Contagem de ciclos em carregamento de Amplitude Variável: método Rainflow

Prof. Dr. José Benedito Marcomini

Deformação-Vida ( x N)

Assimetria do ciclo de carregamento

Regra de Palmgreen-Miner

Sensibilidade ao entalhe

DEFINIÇÕES E CONCEITOSDescrição do Ciclo de CarregamentoTensão,

max

min

Tensão média, m

Amplitude de Tensão,σa Intervalo de Tensão,

a = (max - min )/2 m = (max + min )/2

= (max - min ) R = σmin / σmax

A = a / mRAZÃO DE AMPLITUDE

Repetição ou Variação de Carga

Tempo

Cargas em

solo

Te

ns

ão

Média em terra

Vôo médio

Carregamento

em vôo

Estudo do Espectro de Tensão Aplicada

Str

ess

Nível de Tensão S1

Nível de Tensão S2

Nível de Tensão S3

Nível de tensão S4

Efeito da Assimetria do Ciclo

J. D. Morrow e verificada por R. Landgraf (1970)

Lei de Basquin modificada

Frequência dos Níveis de tensão Aplicados

n1 Ciclos de níveis S1

n2 ciclos de

níveis S2

ni ciclos de

níveis Si

n3 ciclos de

níveis S3

Dados S - N para vários níveis de tensão

N1 Números de ciclos para falhar se o componente é submetido a

somente S1 e assim por diante, sendo Ni Números de ciclos para

falhar se o componente é submetido a somente Si

Nív

el

de

Te

ns

ão

Núm. De ciclos para falhar, N

N1

S1

Ni

Si

O dano acumulado total devido a uma história de

tensão aplicada

Assim, a fração de dano causado por Si em 01 ciclo

D

i =

1

Ni

k

k

3

3

2

2

1

1

i

i

1

i

N

n+.......

N

n

N

n

N

n=

N

nDD

+++

== n

A falha irá acontecer se

1N

nD

i

i = Regra de Palmgren – Miner

ou regra de Miner

Comentários sobre a regra de MINER

- Modelo linear de dano acumulado;

- Não leva em conta a sequência de aplicação de cargas ou

tensões;

Exemplo: A regra de Miner prediz o mesmo dano para

sequências de alta para baixa tensões e de baixa para alta

tensões. Na prática, estas histórias de carregamentos

apresentam diferentes danos.

-Prediz que a taxa de dano acumulado é independente do nível

de tensão.

Em altas amplitudes de tensão, a nucleação de trincas ocorrerá

em poucos ciclos e em baixas amplitudes de tensão, quase toda

vida é gasta para nucleação.

Efeitos da regra de Miner sobre a curva S-N

n1

N´1 N1

S1

Ciclos para falhar (escala log)

Am

pl. d

e T

ensão

(escala

log)

Curva S-N original

Curva S-N após a aplicação

das tensões S1 por n1 ciclos

N´1= (N1 -n1) é o novo valor de vida no nível S1 após ter sido

submetido a n1 ciclos.

N´2 N2

S2

Ciclos para falhar, (escala log)

Am

plit

ude d

e tensão

(escala

log)

Curva S-N original

Curva S-N após a aplicação

de S1 por n1 ciclos

Se o nível S2 é aplicado, o componente falhará em N´2 ciclos, ao

invés de N2.

Implementação da regra de Miner

1. Estabeleça a história de carregamento/tensão para a

estrutura;

2. Espectro de tensão:

Nível de tensão(Tensão alternada e média) versus o

número de ocorrências em uma unidade de operação (tal como

dia, hora, ano, vôos, etc.)

3. Analise a geometria do componente para Kt , etc.;

4. Obtenha os dados S-N para o material correspondente ao

Kt e níveis de tensão.

5. Calcule o dano acumulado por unidade de operação

usando a regra de Miner.

Teoria do Dano Não Linear

Para superar os problemas na regra de Miner

-As teorias não lineares exigem constantes adicionais do

material e de geometria que devem ser obtidas a partir de

ensaios.

- A teoria não linear leva em conta o efeito da história. Cálculo

pode ser trabalhoso.

- Elas fornecem uma melhor previsão do que a regra de Miner

em alguns históricos de carregamentos simples, mas não é

garantia de que ela funciona melhor do que a aplicação real da

historia de carregamento real.

Descricão geral das teorias não lineares

D =

n

N

p

O exponente, p, é função do nível de tensão.

Geralmente, 0 < p < 1

para p =1, recorre-se a regra linear do dano de Miner

Alta - BaixaD

ano,

D

0

1

0 1Razão de ciclos, n/N

S1

S2

•

•

•

n1/N1

n2/N2

A

B

Baixa - Alta

DBDB

Dano,

D

0

1

0 1Razão de ciclos, n/N

S1

S2•

• •

n1/N1

n2/N2

A

B

Dano DB no final dos blocos de carregamentos são diferentes.

S2

••

n1 n2

0

A B

S1

t•

•

S2

• •

n2 n1

0 A B

S1

t

(c)

Efeito de Entalhes – Fator Concentrador de Tensão

• Kt é um fator teórico dependente da geometria

• Kt depende do modo de carregamento

• Kt não depende da magnitude do carregamento

• Kt não depende das propriedades do material

S Smax

Tensão máxima local

S

maxtK

=

S – tensão nominal (baseada na área da seção )

Fator concentrador de tensão estático:

Os resultados dos ensaios com peças contendo entalhes podem

ser comparados à curva S/N obtida com corpos de prova polidos e

a relação entre as tensões nominais correspondentes à vida em

fadiga define o chamado fator de concentração de tensão em

fadiga, ou fator de entalhe à fadiga Kf, dado pela equação, onde σfe

e σfu são os valores da tensão (para um determinado número de

ciclos) das peças com e sem entalhe, respectivamente.

Uma das formas de se avaliar o efeito do entalhe é definir a

“sensibilidade ao entalhe” em fadiga (q). O máximo efeito possível,

de modo que Kf = Kt, então q = 1. Se iguala a zero quando Kf = 1, ou

seja, o entalhe não tem efeito sobre a resistência à fadiga. O valor de

q varia com a severidade e tipo do entalhe, com o tamanho do

corpo-de-prova e com a forma do carregamento e, portanto, não é

uma constante do material. A sensibilidade ao entalhe aumenta com a

resistência à tração, ou seja, se a dureza ou resistência de um material

for aumentada por meio de tratamentos térmicos, é possível que seu

desempenho piore em termos da sensibilidade ao entalhe:

Relação Empírica (Peterson, 1974)

A constante de Peterson, a, depende da

resistência do material e dutilidade

obtidas experimentalmente

Su 0.5 BHN Usando a aproximação,

pol 10 0.5BHN

300 3-

1.8

=

( )pol. 10

ksiS

300 3-

1.8

u

=

Para ligas ferrosas

Su> 550MPa ou

Su>80 ksi

1

1

+

=q

mm )(

2070025,0

=

MPaS u

• De maneira geral:

• α=0,51 mm (0,02”) para ligas de Al

• α=0,25 mm (0,01”) para aço carbono recoz. ou norm.

• α=0,064 mm (0,0025”) para aços temperados e revenidos.

Combinando as equações tem-se que:

+

−+=

1

11

kk

t

f

001103,0309,1654,2log 1010327

+−=−−

uu

xx

Relação Empírica (Neuber)

(4.9) /1

1K1 K t

f+

−+=

ρ – é o raio do entalhe

β - é uma constante do material

Relacionando à sensibilidade ao entalhe

(4.10) /1

1 q

+=

CONTAGEM DE CICLOS PARA HISTÓRICO DE

CARREGAMENTOS IRREGULARES

MÉTODO RAINFLOW

DEFORMAÇÃO-VIDA ( x N)

Fadiga controlada pela deformação, fadiga de baixo ciclo

deformação-vida.

A apresentação dos dados de fadiga em termos da amplitude de

deformação apareceu na literatura técnica pela primeira vez no início

da década de 1950.

O número de ciclos para a fratura pode ser calculado pela equação

de Coffin-Manson, onde ε’f é o coeficiente de ductilidade à fadiga

e c é o expoente de ductilidade à fadiga.

Deformação - Vida Vs. Tensão Vida

100 103 106 N

Tensão

Metodologia

Def. - Vida Metodologia

Tensão - Vida

Fadiga de

baixo ciclo(FBC)Fadiga de alto ciclo

FAC

Def. de Eng. & Def. Verdadeira

Comparação entre Tensão – Def. Verd. e de Eng.

Te

nsã

o d

e E

ng

. , S

Te

nsã

o V

erd

. ,

Sy

Def. de Eng. , e

Def. Verd. ,

E=S/e

x

x

Falha

Emp. acontece

em Su

Eng. S-e

Verd. -

f

= ln 1+ e( )

= SA0

A= S 1+ e( )

f

Relação Monotônica entre Tensão-Def.

Descarregamento.

elástico

E E

•P

pe

t

Def. total t

Def. Elast. e

Def. Plast. p

t= e+ p

e=/E

Deformação Plástica

1.0

H

n

Log T

ensã

o V

erd

, (l

og

)

Log Def. Plast, (logp)

H – Coeficiente de resistência

n - Expoente de encruamento

( )

( )p

n

n

p

nH

Hor

H

logloglog

1

p

+=

=

=

Deform. Elástica, Plástica & Total

( )

pet

p

e

+=

=

=

Total

HPlástica

EElástica

n1

n

1

H

E

+=

t

Relação tensão – Def.

De Ramberg-Osgood

Comportamento Cíclico dos Materiais

Comportamento Cíclico dos Materiais

Laço de histerese

Resposta do Material a carregamentos cíclicos inelásticos

a =/2 = amplitude de def.

a = /2 amplitude de tensão

e - parte elástica

p – parte plástica

2=

e

2+

p

2;

e

= E

pe

E

Comportamento Transiente – Encruamento

+

-

Tempo

1

2

3

4

5

(a) Amplitude de deform. Const.

135

2

4

Tempo

1

2

3

4

5+

-

(b) Resposta da tensão

(aumentando o nível de tensão)

(c) Resposta Tensão-Def.

Comportamento Transiente –Amolecimento

+

-

Tempo

1

2

3

4

5

Tempo

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

(a) Ampl. De def. cíclica

(b) Resposta Tensão

(diminuindo o nível de tensão)

(c) Resposta cíclica tensão-def.

Materiais com alta energia de falha de empilhamento (EFE) apresentam

mais facilidade de ocorrência do deslizamento cruzado. Isso facilita a

formação de subestruturas celulares (Contornos de grão de baixo

ângulo: Linhas de discordâncias). Esses contornos podem ter a densidade

de discordâncias reduzidas por processos de aniquilação, levando ao

amolecimento como no caso de deformação a frio, cujas paredes celulares

são densas. Exemplos: Cu, Al, Ni, Fe, aços carbono. Os de baixa EFE,

nos quais é dificil ocorrer o deslizamento cruzado e não há formação de

contorno de baixo ângulo.Ex: ligas Cu-Zn, Fe-Si, aços austeníticos.

A ocorrência de amolecimento ou endurecimento cíclico depende da

estrutura inicial de LDs e sua evolução, presença de precipitados,

microestrutura.

Encruamento Vs. Amolecimento

( )

( )amolece teciclicamen material

0,1nou

12,1/ Se

endurece teciclicamen material 0,2nou

4,1/ Se

u

y

yu

Postulado de Manson: Baseado em observações experimentais.

Utilizando as propriedades estáticas do material (limite de

resist. e de escoamento e expoente de encruamento, n), pode ser

previsto se o material irá encruar ou amolecer.

n

1

H

E

+=

tonde, n é dado por

Laço de Histerese do Cobre

Laço de Histerese estabiliz.

em =0.0084

Material exibe endureci-

mento na condição de

recozido.

Laço de histerese

estabilizado em =0.0078

Material exibe amolecimento

Cíclico na condição

parcialmente recozido

Laço de Histerese do Cobre

Laço de histerese estab.

em =0.0099

Material exibe amolecimento

cíclico na cond. de traba-

lhado a frio.

Laço de Histerese do Cobre

- Aplicar uma amplitude de def. de

/2.

- O transiente de tensão é seguido de

um laço de histerese estabilizado

- Estabeleça o laço de histerese

estabilizado para este nível de def.

- Repetir o procedimento com uma

diferente amplitude de def.

- Unir as pontas dos laços de histerese

estabilizados.

- A CURVA TENSÃO DEF. do Material.

Determinação da Curva Tensão-Deformação Cíclica

Encruamento/amolecimento

RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA

( ) n1

H'Plast, Def.

E, Elast. Def.

Total Def.

=

=

+==

p

e

pet

( )n

p' H=

H' – Coef. de Resist. cíclica

n' - Expoente de encruamento cíclico.

n

1

H'E que maneira De

+=

t

1.0

H'

n'

Lo

g T

en

sã

o c

íclic

a, (l

og

)

Log Def. Ciclica, (logp)

( )

( )p

n

p

ou

lognH'loglog

H'

H'

n1

p

+=

=

=

RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA

CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA

O processo tende à saturação (geralmente dentro de 10 a 20%

da vida em fadiga) quando os laços de histerese tornam-se

coincidentes, ou a variação do comportamento tensão-

deformação diminui com o aumento do número de ciclos:

comportamento tensão-deformação cíclico estável.

Hipótese de Masing:

-Para materiais exibindo comportamento simétrico em

tração e compressão.

-Curva de histerese pode ser ESTIMADA a partir da curva

Tensão - Def. cíclica estabilizada.

Segundo a hipótese de Masing: Dada uma curva tensão – def. cíclica,

obter o ponto B sobre a curva dobrando o valor correspondente ao

ponto A na curva tensão - deformação cíclica, estabilizada e

deslocar para a esquerda.

Curva tensão - def.

cíclica estabilizada

0.002

270A

(a)

540

0.0040

Curva de histerese

estabilizada

B

(b)

=0.004

= 540

0

Laço de histerese

estabilizadaB

(c)

CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA

EQUAÇÕES PARA O LAÇO DE HISTERESE

Seguindo a hipótese de Masing:

n

1

H'E Relembre

+==

t

= 2

= 2 = /2

= /2

Equação da

Histeresen

1

n

1

2H' 2

E

2H'2E2 que maneira De

+

=

+

=

Curvas Deformação-Vida

Conforme já visto, usando a amplitude de tensão verdadeira

(/2), os dados Tensão-vida (S-N) podem ser plotados linearmente

na escala log-log,

( ) 2N2

b

ff

=

ciclo) 2

1 reverso um (falhar para reversos 2N f ==

ff fadiga, a a verdadeirresist.

=

=

fadiga a resist. de expoente b

fadiga a resist. de coef. f Propriedade de fadiga

do material

Manson & Coffin encontraram que os dados def.-vida (p-N)

podem ser, também, linearizados na coord. log-log. (Coffin-

Manson)

( ) f

2N2

c

f

p =

plástica def. de amplitude 2

p=

=

=

fadiga em edutillidad de expoente c

fadiga. em dutilidade de coef. f Propriedade de

Fadiga do material

f

f

ciclo) 2

1 reverso um (falhar para reversos 2N f ==

Curvas Deformação-Vida

Como podemos relacionar a vida à Ampl. De Def. Total /2?

(2.39) 2E

2

22

2 Relembre,

e

pe

=

+

=

Relação

Def-vida

( )

( ) ( ) (2.41) 2N2NE

2

(2.40) 2NE2

2.39 & 2.37 De

c

ff

b

ff

b

ffe

+

=

=

elástica plástica

Curvas Deformação-Vida

As equações apresentadas são lineares no plano log-log

( )bf

fe N2E2

'=

2Nf100

Ef ' b

2

e ( )cff

pN2

2'=

2Nf100

'f

c

2

p

Def. – Vida Elástica Def. – Vida plástica

Relação Tensão – Vida Total

2

e

2

p 2

e/2

p/2

/2

2Nf

( )bf

fe N2E2

'=

( )cff

pN2

2'=

( ) ( )cff

bf

f N2N2E

2

''

+

=

Vida de Transição

Plástica

e/2

p/2

/2

2Nf

Dominante

Elástica

Dominante

plástica

TotalElástica

2Nt

22 :2N2N Em

petf

=

=

f'

E2N

t( )

b

= f' 2N

t( )

c

2Nt=

f' E

f'

1b−c

Def.

Total

Def.

ElásticaDef.

Plástica

600100

106

100

2N

t

Aços

BHN

Duro→ 2Nt é pequena – mais de 2Nf é elástica

Mole → 2Nt é grande – mais de 2Nf é plástica

2Nt

e/2

p/2

/2

Vida de Transição

Resistência e Dutilidade

Normalizado (material dútil)

Temperado (material duro)

Dútil tem melhor vida em alto

Duro tem melhor vida em baixo

2Nf , log

/

2, lo

g

100 108

100

10-4

Na ausência de “dados cíclicos”, os parâmetros de fadiga podem

ser obtidos por estimativas grosseiras a partir das “propriedades

monotônicas”

f´ f f Su + 50 ksi para aços com BHN < 500

Su+345 [MPa]

b varia com – 0,05 a – 0,12 com uma média de – 0,085

( a mesma que nós temos no modelo tensão-vida)

f´ fRA-1

1ln onde f =

c varia entre – 0.5 to – 0.7

Para metais mutio dútil c - 0.6

Para metais muito resist. c - 0.5

Propriedades de Fadiga

Exemplo

A partir dos dados monotônicos e ciclicos de tensão-

Def.Determine as constantes cíclicas de tensão-def & def. – vida)

Dados monotônicos: Sy=158 ksi E = 28.4103 ksi

Su=168 ksi f = 228 ksi

%RA = 52 f = 0.734

50

68

122

256

350

488

1,364

1,386

3,540

3,590

9,100

35,200

140,000

162.5

162

155

143.5

143.5

136.5

130.5

126.5

121

119

114

106

84.5

0.0393

0.0393

0.02925

0.01975

0.0196

0.01375

0.00980

0.00980

0.00655

0.00630

0.00460

0.00360

0.00295

Reversos para

Falhar, 2Nf

Ampl. De tensão

/2 (ksi)

Ampl. de

Def. Total,

/2

Ampl. Def. Plástica,

p/2*

0.0336

0.0336

0.0238

0.0147

0.0145

0.00894

0.00521

0.00534

0.00229

0.00211

0.00059

0.00000

0.00000

p

2=

2−

e

2=

2−

2E

2=

f' 2N

f( )

b

p

2=

f' 2N

f( )

c

f' = 222 ksi b = - 0.076

f' = 0.811 c = - 0.732

c

log 2Nf

log

p/2

b

log 2Nf

log

/2

Para determinar H´ e n´ (Dois métodos)

( )n'

p

p

H'

2 plástica, def. ampl. a

e 2

entre, potência de curva uma ajuste (A)

=

H´ = 216 ksi n´=0,094

y = 0,0939x + 2,6081

2,32

2,34

2,36

2,38

2,4

2,42

2,44

2,46

2,48

2,5

2,52

2,54

-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0

Série1

Linear (Série1)

n

1

H'2

1

2E2

+

=

( )

( )ksi 227

0,811

222H'

0,1040,732-

0,076-b/cn'

'

'H' Relembre (B)

0,104

n'

f

f

==

===

=

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

1 100 10000 1000000

Def. Elástica

Def. Plástica

Def. Total

Potência (Def.

Plástica)

Potência (Def.

Elástica)

Reversos para falhar, 2Nf

Am

pl. d

e D

ef. ,

/2

EXEMPLO

Em um local de interesse em um componente aeronáutico feito de uma liga de Ti-6Al-4V da Tabela abaixo; o material é repetidamente carregado uniaxialmente com umahistória de carregamento da figura abaixo. Estime o número de repetições necessáriaspara causar a falha do componente.

Constantes para a curva S-N para materiais estruturais -CPS ensaiados com tensão média igual a zero e sem entalhe e carregamento axial(Ref: Dowling)

S = 'f (2Nf)b = A(Nf)

b a=C+D logNf Materiais Sy Su

'f A b C D

Aços AISI 1015 (N) Man-Ten (HR) RQC-100 (R Q&T) AISI 4142 (Q&T, 450 HB) AISI 4340 (qualidade aeronáutica)

227 322 683 1584 1103

415 557 758 1757 1172

976 1089 938 1937 1758

886 1006 897 1837 1643

-0.14 -0.115 -0.0648 -0.0762 -0.0977

545 703 780 1529 1247

-69.6 -83.0 -68.9 -148 -137

Liga de Al 2024-T4

303

476

900

839

-0.102

624

-69.9

Liga de Ti Ti-6Al-4V (Solubilizada e envelhecida)

1185

1233

2030

1889

-0.104

1393

-157

(N) Normalizada, (HR) laminado a quente. Sy, Su , 'f, A,C e D estão em MPa. Os dados são para fadiga de alto ciclo 10

3 < N < 10

6

• A contagem de ciclos inicia no primeiro ponto no nível A e termina quando a históriaretorna a este ponto, em A’. Considerando os eventos:

• A1-B1-A2 um ciclo é contado neste nível.

• A2-B2-A3

• A3-B3-A4

• O próximo evento A4-C1-D1 será considerado mas não contado.

• C1-D1-C2 outro ciclo de outro nível e assim por diante até 100 ciclos seremformados.

• Neste ponto todos os ciclos foram considerados menos os ciclos A4, E e A’. Estesforam o maior ciclo que pode ser formado.

Ciclo j Nj min

MPa

max

MPa

a

MPa

Nfj Nj/Nfj

A-B

C-D

A-E

1

2

3

3

100

1

130

-140

-250

950

560

950

410

350

600

4,21X104

1,14X106

6,75X103

7,12X10-5

8,74X10-5

1,481X10-4

S=3,068 x10-4

As constantes ’f e b para a liga de Ti-4Al-4V e a equação de SWT

b

f

a

f

b

ffa

N

N/1

max

maxmax

2

1

)0.(..........)2(

=

=

A estimativa do número de repetições pode ser obtida para :

repetições 3259 3,068x

1

1N

nD

10B 4-f

i

i

==

== B f

Uma história de carregamento é apresentada a seguir, sendo ocarregamento uniaxial aplicado em um CP não entalhadofabricado de um aço AISI 4340. Estime o número de repetiçõesnecessárias para falhar o CP.

j Nj min max a m Nfj Nj/Nfj

1

2

1

10

0

220

800

800

400

290

400

510

1,36 x 105

1,54 x 106

7,37 x 10-6

6,51 x 10-6

b

mf

a

f

ma

N

/1

minmaxminmax

2

1

2.................

2

−=

+=

−=

repetiçõesxN

BNN

B fj fj

j

f

B

..000.72388,1/11 105

1

===

−

=

’f= 1758 MPa e

b = -0,0977

Considere a história de carregamento anterior e:

a) Estime a vida usando o método da tensão equivalente com

amplitude constante.

b) Se para esta história de tensões é esperada 1000 repetições,

qual o fator de segurança em vida e em tensão?

j Nj min max a m arj Nj x (arj)-1/b

1

2

1

10

0

220

800

800

400

290

400

510

517,8

408,5

6,036 x 1027

5,330 x 1027

( ) MPax

bk

jB

b

arjjaq NN 8,435]11/137,1[ )0977,0(28

1

/1

10 ==

= −−

−

=

−

( )

000.7211

300.792

300.7921758

8,435

2

1

2

12

0977,0/1/1

===

=

=

==

−

f

f

f

b

f

aq

f

b

ffaq

NB

NN

Substituindo este valor em e calculando Nf:

O fator de segurança pode ser calculado como:

52,1

0,72100011

300.792

72

ˆ0977,0

2

===

===

−−

XX

N

NX

b

NS

f

N x

FIM