Askisopolis Μιχαήλογλου & Πατσιμάς Επαναληπτικά Θέματα...

8/18/2019 Askisopolis Μιχαήλογλου & Πατσιμάς Επαναληπτικά Θέματα Άλγεβρας Α Λυκειου.pdf

1/112


2/112


3/112

1

www.askisopolis.gr

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

1. Έστω βασικό σύνολο Ω = {1,2,3, 4, 5, 6,7,8,9, 10} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {1, 2,4,6},Β = {2,4, 8, 10}.

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα.

β) Να περιγράψετε με αναγραφή τα σύνολα , , , γ) Να γράψετε όλα τα δυνατά υποσύνολα του Α.

2. Θεωρούμε ως βασικό σύνολο το: Ω = {1,2,3, ..., 21} καθώς και τα σύνολαΑ = {x Ω / x άρτιος} και Β = {x Ω / x πολλαπλάσιο του 5}.

α) Να παραστήσετε τα σύνολα Α και Β με αναγραφή των στοιχείων τους.

β) Να βρείτε τα σύνολα:

i) ii) iii)

iv) v) vi)

3. Δίνονται τα σύνολα 2/ 7 6 0 x R x x και 2/ 2 5 2 ( 1) 0 x N x x x α) Να γραφούν με αναγραφή τα σύνολα.

β) Να βρείτε την ένωση και τη τομή τους.

γ) Να εξετάσετε αν το Α είναι υποσύνολο του Β.

4. Γνωρίζουμε ότι αν επιλέξουμε τυχαία ένα πολίτη ,τότε η πιθανότητα να διαβάζει 2 βιβλίατο μήνα είναι 36%.

α) Να αποδείξετε ότι α=10 β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

Α: ο πολίτης να μη διαβάζει βιβλία το μήνα

Β: ο πολίτης να διαβάζει το πολύ 1 βιβλίο το μήνα

Γ: ο πολίτης να διαβάζει τουλάχιστον 3 βιβλία το μήνα

5. Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {1, 2, 3,..., 10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Θεωρούμεεπίσης τα ενδεχόμενα: Α = {x Ω/|x- 4|≤ 2},Β = {xΩ/x2- 4x+ 3 ≤ 0} και

Γ={x Ω/(x-4)2 ≥ 3x-2}.α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Γ).

β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα Α

Β και Α

Γ και στη συνέχεια τις πιθανότητες Ρ(Α

Β) καιΡ(ΑΓ).

6. Έστω ο δειγματικός χώρος :Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα.Για τα ενδεχόμενα A, Β, Γ του Ω, είναι :A Β = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,Α Β = {1, 3, 4},

Α- Β = {2, 6} και Γ = {x Ω/|2x- 5| < 3}

α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ).

β) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το Γ.

γ) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Β και Γ.


4/112

2

www.askisopolis.gr

7. Θεωρούμε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία γνωρίζουμε ότι:Ρ(Α΄) = 0,6, Ρ(Β) = 0,3 και Ρ(ΑΒ) = 0,2.α) Να δείξετε ότι Ρ(Α) = 0,4.

β) Να βρείτε την πιθανότητα «να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α ή Β».

γ) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ[(ΑΒ΄)(ΒΑ΄)].

δ) Αν Γ είναι ένα τρίτο ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω το οποίο δεν είναι το κενό

σύνολο, τότε να αποδείξετε ότι: 14 ( ) 4( )

P P

.

8. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω και οι

πιθανότητες: 1 3

( ) , ( )2 5

και3

( )10

.

α) Να υπολογίσετε την ( ) .β) Να υπολογίσετε την ( ) .γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα

ενδεχόμενα Α και Β.



(B) , ( )2 3

, 3

4

.

α) Να υπολογίσετε την ( ) .β) Να υπολογίσετε την ( ) .

γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα .

10. Από 50 μαθητές μιας τάξης, που ρωτήθηκαν, οι 30 απάντησαν ότι έγραψαν κάτω από τη βάση

στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας, οι 35 ότι έγραψαν κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Γεωμετρίας και 20 έγραψαν κάτω από τη βάση και στα δύο

διαγωνίσματα. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή

α) να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων:

i) Ο μαθητής να μην έγραψε κάτω από τη βάση και στα δύο διαγωνίσματα.

ii) Ο μαθητής να έγραψε κάτω από τη βάση μόνο στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της

Άλγεβρας .

iii) Ο μαθητής να έγραψε κάτω από τη βάση διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας ή

να μην έγραψε κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Γεωμετρίας.

β) Να βρεθεί ο αριθμός των μαθητών :

i) που να έγραψε κάτω από τη βάση μόνο στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας

ii) να έγραψε κάτω από τη βάση διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας ή να μην

έγραψε κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Γεωμετρίας

11. Από 120 μαθητές μιας σχολής μαγειρικής , 24 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμόΙταλικής κουζίνας , 30 μαθητές συμμετέχουν σ’ ένα στο διαγωνισμό Κινέζικης κουζίνας

και 12 μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία ένα

μαθητή.

α) Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής:

i) Να συμμετέχει από τους δύο διαγωνισμούς;

ii) Να συμμετέχει μόνο σ΄ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς;

iii) Να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς;


5/112

3

www.askisopolis.gr

β) Να βρεθεί ο αριθμός των μαθητών που

i) συμμετέχουν σ΄ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς

ii) συμμετέχουν μόνο σ΄ έναν από τους δύο διαγωνισμούς

12. Σε μία γειτονιά το 70% των σπιτιών έχουν θέρμανση με πετρέλαιο ,το 45% των σπιτιών έχουν τζάκι ενώ το 30% έχουν τζάκι και θέρμανση με πετρέλαιο.

α) Επιλέγουμε τυχαία ένα σπίτι από την παραπάνω γειτονιά. i) Να βρείτε την πιθανότητα το σπίτι να μην έχει θέρμανση με πετρέλαιο.

ii) Να βρείτε την πιθανότητα το σπίτι να έχει μόνο τζάκι ή μόνο θέρμανση με πετρέλαιο.

β) Αν 210 σπίτια έχουν θέρμανση με πετρέλαιο , να βρείτε :

i) τον αριθμό των σπιτιών της γειτονιάς.

ii) τον αριθμό των σπιτιών που τζάκι.

13. Από τους μαθητές ενός σχολείου, το 85% έχει κινητό, το 45% δεν έχει ηλεκτρονικό υπολογιστή ενώ το 50% έχει και κινητό και ηλεκτρονικό υπολογιστή.

α)Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή του παραπάνω σχολείου.

i) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να μην έχει κινητό ούτε ηλεκτρονικό υπολογιστή.

ii) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να έχει μόνο κινητό ή μόνο ηλεκτρονικό

υπολογιστή.

β) Αν 110 μαθητές έχουν ηλεκτρονικό υπολογιστή, να βρείτε :

i) το σύνολο των μαθητών του σχολείου

ii) το πλήθος των μαθητών που έχουν μόνο κινητό.

iii) το πλήθος των μαθητών που έχουν και κινητό και ηλεκτρονικό υπολογιστή

14. Ένα ενυδρείο έχει 2400 ψάρια .Από αυτά τα 1800 είναι τροπικά ψάρια ,τα 800 έχουν κόκκινοχρώμα και τα 600 είναι τροπικά ψάρια με κόκκινο χρώμα. Επιλέγουμε τυχαία ένα ψάρι.

Αν Α: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι τροπικό και

Β: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι κόκκινο . α) Να βρεθεί η πιθανότητα το ψάρι

i) να είναι τροπικό ή να έχει κόκκινο χρώμα ;

ii) να μην είναι τροπικό ούτε να έχει κόκκινο χρώμα ;

iii) να έχει κόκκινο χρώμα αλλά να μην είναι τροπικό;

iv) να είναι τροπικό ή να μην έχει κόκκινο χρώμα ;

β) i) Να δείξετε ότι1 1

( )12 3

p A B

ii) Να αποδείξετε ότι5 3

( )12 4

p A B

15.

Ένας κήπος έχει 1200 δέντρα .Από αυτά τα 300 είναι τροπικά ,τα 1000 είναι οπωροφόρα καιτα 200 είναι τροπικά και οπωροφόρα. Επιλέγουμε τυχαία ένα δέντρο.

Αν Α: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι τροπικό και

Β: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι οπωροφόρο .

α) Να βρεθεί η πιθανότητα το δέντρο

i) να είναι τροπικό ή να είναι οπωροφόρο ;

ii) να μην είναι οπωροφόρο ούτε τροπικό ;

iii) να είναι οπωροφόρο αλλά να μην είναι τροπικό;

iv) να είναι τροπικό ή να μην είναι οπωροφόρο ;

β) i) Να αποδείξετε ότι : 1 1

( )

12 4

P A B


6/112

4

www.askisopolis.gr

ii) Να αποδείξετε ότι7 5

( )12 6

P

300 1 1000 5( ) , ( )

1200 4 1200 6

16. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, Β, Α ∩ Β ενός πειράματος τύχης µε δειγματικό χώρο Ω

ικανοποιούν την σχέση [3Ρ(Α)-1]2+[2Ρ(Β')-1]2+[6Ρ(Α ∩ Β)-1]2=0. (1) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : α) Να πραγματοποιηθεί µόνο το ενδεχόμενο Α.

β) Να πραγματοποιηθεί µόνο το ενδεχόμενο Β.

γ) Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β.

δ) Να µην πραγματοποιούνται συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β.

17. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι:

2

9 7 2 ( )

α) Να εκφράσετε την P(AB) συναρτήσει της Ρ(Α). β) Να βρείτε την Ρ(Α).

γ) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τo Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α.

δ) Αν επιπλέον η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β είναι1

4 να βρείτε:

i) την πιθανότητας Ρ(Α Β),

ii) την πιθανότητα Ρ(Β) .

18. Από τους 25 μαθητές ενός τμήματος Α΄ Λυκείου ενός σχολείου, οι 23 μαθαίνουν Αγγλικά, οι 8Γαλλικά . Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης.

α) Να δείξετε ότι : 6 8

( )25 25 A B .

β) Να αποδείξετε ότι :3 23

( )5 25

A B .

ΔΙΑΤΑΞΗ-ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ-ΡΙΖΕΣ

19. Δίνεται η παράσταση 3 22 6 3 A x x x α) Να δείξετε ότι 23 2 1 A x x .β) Nα αποδείξετε ότι 22 1 x για x > 4.γ) Να δείξετε ότι 3 10 11 x x για x>2.

20. Αν για τους αριθμούς x ,y ισχύει: 2 2 10 2 26 0 x y x y .α) Να δείξετε ότι x = 5 και y = -1.

β) Να δείξετε ότι οι αριθμοί 2 x y και 2 x y είναι αντίστροφοι.

γ) Να δείξετε ότι : 2 4 2 4 2 2 x y x x y x .


7/112

5

www.askisopolis.gr

21. Αν 7453 y x ,να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις:

α) 2 x y β) Β= x -2y γ)Γ=2 x

y και δ)

3 4 x

y

22.

Αν 3 6 x y ,να δείξετε ότι: α) 2 23 6 0 x x y y .β) 6 3 18 0 xy x y .

γ) 2 2

2 3 6 3 0 xy xy x y y .

23. Δίνονται οι παραστάσεις 30 5 και 30 5 Να αποδειχτεί ότι

α) 2 2 70 .

β) 3 33 5 5 .

γ) 30 30 6

2 2 5

.

24. Δίνονται οι παραστάσεις Α = | 4 | x και Β = | 4 | x , x .

α) Να αποδειχτεί ότι 2 2 22 32 x .β) Να δείξετε ότι 8 A B για 4 4 x .

γ) Να δείξετε ότι 2 2 16 A B x .

25. Δίνονται οι παραστάσεις 34 3 123 3 3 και 33 3 Να αποδειχτεί ότι

α) 63 3 , 3 3 .

β) 3 3 .

γ)

2 2

3 345

5 5

.

26. Δίνονται οι παραστάσεις Α = | 3 4 | x και Β = 3 ,4d x

α) Να αποδειχτεί ότι 2 2 218 32 x .β) Να αποδειχτεί ότι 8, 1 1 x .γ) Να δείξετε ότι 2 2 48 x .

27.

α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του x ισχύει : – 4 3 x .

β) Αν , x y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με 1 7 x και8 12 y , τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεταιi) η τιμή της περιμέτρου Π του ορθογωνίου.

ii) η τιμή του εμβαδού Ε του ορθογωνίου.

28. α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει : –10 7 y .

β) Αν y η πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου με 3 17 y να αποδείξετε ότι : 9


8/112

6

www.askisopolis.gr

i) 14 44 , όπου Π είναι η περίμετρος του ορθογωνίου.ii) 12< E


9/112

7

www.askisopolis.gr

35. Δίνονται οι παραστάσεις Α= |x|+4 και Β=|2x-6| .

α) Να λυθεί η εξίσωση2

3 5 3

.

β) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της ανίσωσης 2 8 B .γ) Να λυθεί η εξίσωση Α= Β για 0


10/112

8

www.askisopolis.gr

iii) Όταν η εξίσωση (1) έχει μοναδική λύση, να αποδείξετε ότι αυτή είναι μεγαλύτερη ή ίση

του 4.

42. Δίνεται η παράσταση 2 22 3 2 2 3 8 x x x .

α) Να αποδείξετε ότι2

3 2 5 x x , x .

β) Να λύσετε την εξίσωση 0

.γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: 4 .

δ) Nα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: 2 12 0 .

43. Δίνεται η παράσταση 2 2 x x .α) Να λυθεί η εξίσωση 0.

β) Με την βοήθεια του ερωτήματος α) να λυθεί η εξίσωση 4 2 2 0 x x .γ) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες 2 2 8 0 .

44. Θεωρούμε την παράσταση 21 , . A x x R α) Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση A=0 να είναι πρώτου βαθμού.β) Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση A=0 να είναι δευτέρου βαθμού

και έχει ρίζα τον αριθμό 1.

γ) Για λ=1, να λύσετε την ανίσωση 0 A .

45. Δίνεται η εξίσωση : 2(2 2) 2 0 x x ,λ ≠1 (1)α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.

β) Να λυθεί η εξίσωση 1 2 1 2 3 x x x x ,όπου 1 2, x x οι ρίζες της εξίσωσης (1).

γ) Να βρεθεί ο λ R ώστε να έχει ρίζα το 3.

46.

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση 2 21 3 x x x έχειδύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

β) Αν 1 2, x x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του

οι ρίζες αυτές ικανοποιούν τη σχέση2

2 2

1 2 1 2

3

3 x x x x

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει 2 21 3 x x x για κάθεπραγματικό x.

47.

Δίνεται η εξίσωση 2 2

2 1 0 x x α) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές; β) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και

αντίστροφες;

γ) Αν x1 και x2 είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν

τα ώστε να ισχύει 2 21 2 1 2 4 x x x x .

δ) Αν x1 και x2 είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί η

εξίσωση που έχει ρίζες 11

1

x και 2

2

1

x .


11/112

9

www.askisopolis.gr

48. Δίνονται τα τριώνυμα 22 ( 1) 1 x x και 2 6 4 2 x x .α) Αν το Α έχει ρίζα τον αριθμό –1, να αποδείξετε ότι το Β έχει

πραγματικές ρίζες και άνισες.

β) Για λ = - 4, αν 1 2, x x είναι οι ρίζες του Β, να βρείτε την τιμή της

παράστασης

1 2

1 2

2 1 2 1

1 1 36

x x

x x

.

49. Δίνεται η εξίσωση 2( 1) 1 1 0 x x (1) με 1, 0 .α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των κ ,λ .

β) Να λυθεί η εξίσωση.

γ)Αν μία ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός ,να δείξετε ότι ο αριθμός1

της

εξίσωσης 2 1 ( 1) 0 x x (2).

ΠΡΟΟΔΟΙ

50. Δίνεται αριθμητική πρόοδος (α ν), της οποίας ο 10ος όρος είναι 29 και το άθροισμα τωνπρώτων 7 όρων είναι 77. Να βρείτε:

α) τον πρώτο όρο α1 και τη διαφορά ω της (α ν).

β) τον 30ο όρο της (α ν).

γ) ποιος όρος της (α ν) είναι ίσος με 134.

δ) το άθροισμα των πρώτων 15 όρων της (α ν).

ε) πόσοι πρώτοι όροι της (α ν) έχουν άθροισμα 610.

51. Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (α ν), της οποίας ο 4ος όρος είναι -81 και 0 7ος όρος είναι 2287. Να βρείτε:

α) τον πρώτο όρο α1 και το λόγο λ της (α ν).

β) τον 9ο όρο της (α ν).

γ) ποιος όρος της (α ν) είναι ίσος με 243.

δ) το άθροισμα των πρώτων 5 όρων της (α ν).

ε) πόσοι πρώτοι όροι της (α ν) έχουν άθροισμα 1741.

52. Οι αριθμοί 2 2 21,2 3 6,2 2 x x x x είναι διαδοχικοί όροι μίας αριθμητικής προόδου a

α) Να αποδείξετε ότι 3 x .β) Να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου.

γ) Αν 10 50 , να βρείτε: i) τον πρώτο όρο της προόδου .

ii) το άθροισμα 10S των 10 πρώτων όρων της προόδου.

53. Δίνεται ακολουθία (α ν) για την οποία ισχύει 2 5 .

α) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (α ν) είναι αριθμητική πρόοδος.

β) Να βρείτε το άθροισμα των 8 πρώτων όρων της (α ν)

γ) Να βρείτε το άθροισμα 4 5 6 7 8 9 10 11 12S

δ) Nα δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης 2 28 195 0 x x είναι διαδοχικοί όροι

της (α ν).


12/112

10

www.askisopolis.gr

54. Δίνεται ακολουθία (α ν) για την οποία ισχύει 1 1

32

.

α) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (α ν) είναι γεωμετρική πρόοδος.

β) Να βρείτε το άθροισμα των 3 πρώτων όρων της (α ν)

γ) Να βρείτε το άθροισμα 4 5 6 7 8S .

δ) Nα βρείτε την εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τον 1ο και τον 2ο όρο της προόδου (α ν).

55. Δύο αριθμοί έχουν αριθμητικό μέσο 10 και γεωμετρικό μέσο 8.α) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.

β) Αν ο μικρότερος από τους αριθμούς που βρήκατε είναι ο 4ος όρος και ο μεγαλύτερος είναι

ο 6ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου (α ν) με θετικούς όρους, να βρείτε τον πρώτο όρο και

το λόγο της (α ν).

γ) Αν ο μικρότερος από τους αριθμούς που βρήκατε είναι ο 5ος όρος και ο μεγαλύτερος είναι

ο 9ος όρος μιας αριθμητικής προόδου (β ν) με θετικούς όρους, να βρείτε τον πρώτο όρο και

τη διαφορά της (β ν).

δ) Να βρείτε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου (β ν) που ξεπερνάει τον 5ο όρο της

γεωμετρικής προόδου (α ν).

56. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών α, β , τέτοια ώστε οι αριθμοία,4,β με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

α) Να αποδείξετε ότι 16 ,όπου Π η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

β) Αν α ,β ρίζες της 2 1

4 16 0, 0,4 x x

τότε:

i) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ

ii) Να δείξετε ότι στην περίπτωση αυτή έχουμε τετράγωνο.

57.

Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 204800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 102400βακτήρια, μετά από 2 ώρες 51200 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων

υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα.

α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από 6 ώρες;

β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν 3200, ο οργανισμός παρουσίασε

ξαφνική επιδείνωση. Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται

ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για 5

ώρες. Συμβολίζουμε με β ν το πλήθος των βακτηρίων ν ώρες μετά από την

στιγμή της επιδείνωσης (v ≤ 5).

i) Να δείξετε ότι η ακολουθία ( β ν ) είναι γεωμετρική πρόοδος, και να βρείτε τον

πρώτο όρο και το λόγο της.

ii) Να εκφράσετε το πλήθος β ν των βακτηρίων συναρτήσει του ν.iii) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό 3 ώρες μετά από την στιγμή της

επιδείνωσης;

58. Η τιμή αγοράς ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή είναι μεγαλύτερη από 620€ και μικρότερη από640€.Κατά την αγορά συμφωνήθηκαν τα εξής:

Να δοθεί προκαταβολή 120€ .

Η εξόφληση του υπόλοιπου ποσού να γίνει σε δέκα μηνιαίες δόσεις.

Κάθε δόση να είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά ω € όπου ω θετικός ακέραιος

Η τέταρτη δόση είναι 48 € .

α) Να εκφράσετε το ποσό της πρώτης δόσης ως συνάρτηση του ω.β) Να εκφράσετε την τιμή αγοράς σαν συνάρτηση του ω.


13/112

11

www.askisopolis.gr

γ) Να βρείτε την τιμή του ω.

δ) Να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης.

ε) Να βρείτε την τιμή αγοράς του ηλεκτρονικού υπολογιστή.

59. Ένα μυρμήγκι περπατάει πάνω σε ένα ευθύγραμμο κλαδί μήκους 1 m,με τον ακόλουθο τρόπο: Ξεκινάει από το ένα άκρο του κλαδιού και το 1ο λεπτό προχωράει 1 cm, το 2ο

λεπτό προχωράει 3 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά 2 cmμεγαλύτερη από αυτήν που διάνυσε το προηγούμενο λεπτό.

α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει το μυρμήγκι κάθε λεπτό της κίνησής του,

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον v-οστό όρο αν

αυτής της προόδου.

β) Να βρείτε τη συνολική απόσταση που κάλυψε το μυρμήγκι τα πρώτα 5 λεπτά

της κίνησής του.

γ) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού.

δ) Υποθέτουμε τώρα ότι, την ίδια στιγμή που το μυρμήγκι ξεκινάει την πορεία του,

από το άλλο άκρο του κλαδιού μία αράχνη ξεκινάει και αυτή προς την αντίθετη

κατεύθυνση και με τον ακόλουθο τρόπο: Το 1ο λεπτό προχωράει 1 cm, το 2ο

λεπτό προχωράει 2 cm, το 3ο λεπτό προχωράει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτόδιανύει απόσταση διπλάσια από αυτήν που διένυσε το προηγούμενο λεπτό.

i) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό της

κίνησής της, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να βρείτε

τον v-οστό όρο β ν αυτής της προόδου.

ii) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι και η αράχνη θα βρεθούν

αντιμέτωπα σε απόσταση 1 cm.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

60.

Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f .

α) Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών:

x -2 -1 1 2

y -1 -3


14/112

12

www.askisopolis.gr

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες.

δ) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα του πεδίου ορισμού στα οποία η

συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές.

61. Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f .

α) Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών:

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες.

δ) Να προσδιορίσετε το διάστημα του πεδίου ορισμού στο οποίο η συνάρτηση

παίρνει θετικές τιμές.

62. Δίνεται η συνάρτηση 1

2

x f x

x

.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

β) Να βρείτε τις τιμές 0 f και 1 f .γ) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x΄x.

δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 3 y .

63. Δίνεται η συνάρτηση 23 18 24 f x x x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 23 18 24 18 2 40 x x x x .γ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y y .

δ) Να εξετάσετε αν το σημείο 3, 3 ανήκει στη γραφική παράσταση της f .

64. Δίνονται η συνάρτηση 2

( )7

x f x

x

.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της f τους άξονες.

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της f το οποίο να βρίσκεται

κάτω από τον άξονα χ΄χ.

x -3 -1 0 3

y -2 -4


15/112

13

www.askisopolis.gr

δ) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α 13,

2

, 4,1 B ανήκουν στη γραφική παράσταση της f.

65. Δίνεται η συνάρτηση2

2

3( )

7 6

x x a f x

x x

.

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f .β) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α, αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση

της f διέρχεται από το σημείο 2, 2 A .

γ) Αν 2 , τότε: i) Να απλοποιηθεί ο τύπος της συνάρτησης.

ii) Να βρεθούν τα σημεία τομής της με τους άξονες.

iii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y =2

66. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφικήπαράσταση μιας συνάρτησης f.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολοτιμών της f.

β) Να βρείτε τις τιμές f (0), f (1) και f (f (4)).

γ) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = 0.

δ) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = - 3.

ε) Να λύσετε την ανίσωση f (x) > 3.

67. Δίνεται η συνάρτηση : 2( 2) f x x x .Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεταιαπό τα σημεία Α(0,-1) και Β(1,0) :

α) Να βρείτε τους αριθμούς κ και λ .

β) Έστω κ =2,λ =1.i) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση

της 2 2 g x x .ii) Να βρείτε την σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g.

68. Δίνεται η συνάρτηση 22 4 6 9

( ) .3

x x x f x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τον τύπο της.

β) Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση f.

γ) Να λύσετε την εξίσωση2

( ) 4 16. f x x

69. Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x2 + 3x +5 και g(x) = x2- x+ 4 και έστω ε η ευθεία πουδιέρχεται από τα σημεία Α(2,f(2)) και B(3,g(3)).

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε).

β) Έστω Γ και Δ τα σημεία της ευθείας ε με τεταγμένες -10 και 20 αντίστοιχα. Να βρείτε:

i) τις τετμημένες των Γ και Δ,

ii) τα συμμετρικά των Γ και Δ ως προς.

γ) Nα βρείτε το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων της f και g

δ) Nα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη

(ε).


16/112

14

www.askisopolis.gr

70. Δίνεται η συνάρτηση3 9, 2

( )6 3, 2

x x f x

x x

α) Να υπολογιστούν οι τιμές:4

3 f

, (0) f , (1) f , (3) f ,

7

3 f

β) Nα βρείτε τα συμμετρικά των σημείων 4 4,f , (3, (3))3 3

B f

ως προς την αρχή των

αξόνων.

γ) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση.


4 ,| | 2

, 2

x a x f x

ax x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.

β) Να βρείτε τα α, β, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από τα σημεία 1,5 και 3,8 .

γ) Για α = β = 1

i) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0.

ii) Να βρείτε τα συμμετρικά Α΄,Β΄ των Α,Β αντίστοιχα ως προς τον άξονα y΄y.

72. Δίνεται η συνάρτηση8 30, 1

( )10 24, 1

x x f x

x x

.

α) Να υπολογιστούν οι τιμές: (2), ( 4), ( 3), (3) f f f f .

β) Να δείξετε ότι τα σημεία Α(2, (2) f ) και Β(-4, ( 4) f ) είναι συμμετρικά ως προς τηδιχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων .γ) Να δείξετε ότι τα σημεία Γ(3, (3) f ) και Δ(-3, ( 3) f ) είναι συμμετρικά ως προς την αρχή

των αξόνων.

73. Έστω τα σημεία Α 2 3 ,| 1| , Β(2,-1) και Γ 3 1,2 | | .Να βρείτε τα , γιατα οποία:

α) τα σημεία Α,Β να είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων

β) Α,Γ να είναι συμμετρικά ως προς τον y΄y

γ) Β,Γ να είναι συμμετρικά ως προς την διχοτόμο της γωνίας x y

δ) το σημείο Α να ανήκει στην ευθεία 9

4 y x

74. Δίνεται η συνάρτηση:

, 1

( ) 2 1, 1 x 2

5 , 2

x x

f x x

x x

με α, β R, της οποίας η γραφική

παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(-2,-6)και Β(4,11)

α) Να βρείτε τις τιμές των α και β.

β) Αν α=3 και β=4

i) Να βρείτε τις τιμές 1 , 0 , 0 , 4( f f f f f


17/112

15

www.askisopolis.gr

ii) Να βρείτε τα συμμετρικά των σημείων Α και Β ως προς την διχοτόμο του 1ου-3ου

τεταρτημορίου

iii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ

iv) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.

75.

Δίνεται η συνάρτηση

2 22

x 1 x 4

g x x κx λ

, η οποία έχει πεδίο ορισμού το 2,1 .α) Να βρείτε τις τιμές των κ, λ.

β) Για κ 1 και λ 2 ,i) να απλοποιήσετε τον τύπο της g.

ii) να δείξετε ότι: g α g β 0 όταν α,β 1,1 1, 2 .

76. Δίνονται οι ευθείες : 1 : 3 3 2016 y x και 2 : 3 21 20 y x .α) Να βρείτε για ποια τιμή του α, οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες.

β) Για α=3, να βρείτε:

i) το σημείο τομής Α της ε1 με τον y'y,

ii) το σημείο τομής Β της ε2 με τον χ'χ.

iii) τα συμμετρικά των σημείων Α και Β ως προς την αρχή των αξόνων .

77. Έστω ότι οι ευθείες 2: 6 2 y x και : 4 25 6 y x είναι παράλληλες.α) Να βρείτε τον αριθμό λ.

β) Αν 5 και το σημείο Α(μ-10, 5-μ) ανήκει στην ευθεία ε : i) να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας (ε) με τους άξονες.

ii) να βρείτε τον αριθμό μ.

γ) Για 12 να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α ως προς: i) τον άξονα χ'χ,

ii) τον άξονα y'y,

iii) την αρχή των αξόνων,

iv) τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων

δ) Έστω Β το σημείο της ευθείας ζ με τεταγμένη 11. Να βρείτε:

i) την τετμημένη του σημείου Β,

ii) το τεταρτημόριο που ανήκει το Β.

78. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο Π=40cm. Αν x cm είναι το μήκος τουπαραλληλογράμμου, τότε :

α) να αποδείξετε ότι 0 20 x .

β) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε(x) του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση: 220 E x x x .

γ) να αποδείξετε ότι ισχύει 100 x , για κάθε x ∊(0, 20).δ) να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο 40cm, εκείνο

που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 10cm.


18/112

16

www.askisopolis.gr

79. Μια μικρή εταιρεία πουλάει βιολογικό ελαιόλαδο στο διαδίκτυο.

Στο διπλανό παραπάνω σχήμα, παρουσιάζεται η γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης που περιγράφει τα έξοδα Κ(x) και τα έσοδα Ε(x) από την

πώληση x λίτρων λαδιού σε ένα μήνα.

α) Να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών και

να ερμηνεύσετε τη σημασία του.

β) Ποια είναι τα αρχικά (πάγια) έξοδα της εταιρείας;

γ) Πόσα λίτρα ελαιόλαδο πρέπει να πουλήσει η εταιρεία για να μην έχει ζημιά

δ) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων K(x) και Ε(x) και να επαληθεύσετεαλγεβρικά την απάντηση του ερωτήματος (γ).

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ

80. Θεωρούμε το βασικό σύνολο 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 και την εξίσωση

22 2 2 0, x x . Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου

α) Α: η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες,

β) Β: η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες

γ) Γ: η εξίσωση να έχει μία ρίζα

δ) Ζ : η εξίσωση να έχει ρίζες ετερόσημες.

81. Δίνεται η ευθεία (ε) : 3 ( ) y P x ,όπου P A η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α

και τα σημεία της1

0,3

και

1 1,

2 2

.

α) Να βρείτε την πιθανότητα P A .

β) Να βρείτε την πιθανότητα P .

γ) αν 1

3 P B A ,


19/112

17

www.askisopolis.gr

i) να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα

ενδεχόμενα Α,Β

ii) να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α,Β.

82. Έστω Ρ(Α) και Ρ(Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Για

τον αριθμό Ρ(Α) ισχύει: 3 2 ( ) ( ) 1 3 P A P A , ενώ ο αριθμός Ρ(Β) είναι ρίζα της εξίσωσης:26x x 1 0 .

α) Να βρείτε τους αριθμούς Ρ(Α) και Ρ(Β) .

β) Αν Ρ(Α)=1

3και Ρ(Β)=

1

2 και η πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α και Β

είναι1

6, να υπολογίσετε:

i) την πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β.

ii) την πιθανότητα να συμβεί το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β.

iii) την πιθανότητα να συμβεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β.

83.

Δίνονται οι παραστάσεις 1 A x και 3 B x

α) Να λύσετε τη εξίσωση4 5

2 3 3

A A .

β) Να λύσετε την εξίσωση A B γ) Αν 3 x , τότε:

i) να μετατρέψετε τη παράσταση1

B A σε ισοδύναμη με ρητό παρονομαστή.

ii) Να αποδείξετε ότι 3 3 A A A .

84. Δίνεται η συνάρτηση 3 2

2

4 4

4

x x x

f x x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

β) Nα δείξετε ότι 1 f x x .

γ) Να λυθεί η ανίσωση 2 f x 3 .

δ) Να λυθεί η εξίσωση 2

x 3x 2f x

x 3

.

85. Δίνονται οι παραστάσεις d 1, A x , x , 3 33 3 4 7 4 7 B και

2 2

1 1

( 5 3) ( 5 3)

.

α) Να αποδείξετε ότι 3 B β) Να αποδείξετε ότι 4 γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες Β,Α,Γ με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί

όροι αριθμητικής προόδου .

δ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες Β,Α,Γ με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί

όροι γεωμετρικής προόδου .


20/112

18

www.askisopolis.gr

86. Δίνεται η εξίσωση: 22 9 2x 3 x (1).

α) Να δείξετε ότι 2

x 33

β) Αν η εξίσωση (1) είναι ταυτότητα, να λύσετε την εξίσωση 2

x 1 2 x 1 3| 0|

(2).

γ) Αν η εξίσωση (1) είναι αδύνατη, να λύσετε την ανίσωση 2x 2 x 2 8 0 (3) .

δ) Αν η εξίσωση (1) έχει μοναδική λύση x0, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει 0| | 2 x .

87. Δίνεται η εξίσωση 2 4 4 4 x x (1) , .Αν η εξίσωση (1) είναι ταυτότητα τότε: α) Να δείξετε ότι : 2 2 4 2 x .

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2( 20) 2 6 x (2) είναι αδύνατη.

γ) Να λυθεί η ανίσωση 2 3 x x .

δ) Να αποδείξετε ότι2

8

1

x

x για κάθε x .

88. Δίνονται οι συναρτήσεις 2( ) 2 1 f x x x και

2

2 1, 11

( ) 2 , 2

2,2 4

3

x x x x

g x x

x x

x

.

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ για κάθε

πραγματικό x.

β) Να λυθεί η εξίσωση | ( ) | | ( ) 3 | 2 f x f x x .γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g.

δ) Να βρεθούν οι τιμές g 0 ,g 2 ,g 3 .ε) Να λυθεί η ανίσωση f x g 2 .

89. Δίνεται η συνάρτηση 4 2( ) 4 5 f x x x και η παράσταση3 5

5 3 5 3 A

.

α) Να αποδείξετε ότι η παράσταση3 5

45 3 5 3

A

.

β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.

γ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την γραφική παράσταση

της συνάρτησης 2g x Ax A ,όπου Α η παράσταση που έχει δοθεί.

δ) Να βρεθούν τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της f δεν βρίσκεταιπάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g.

90. Δίνεται η συνάρτηση:3

2

16( )

4

x x f x

x x .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιήσετε τον τύπο της.

β) Nα μετατρέψετε το κλάσμα(5)

(8) (7)

f

f f

σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.

γ) Να λύσετε την ανίσωση: 2016 2 3( (3)) (31) 10 0 f x f x .

δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.


21/112

19

www.askisopolis.gr

91. Δίνεται η συνάρτηση 2 4 f x x x . Να βρείτε την τιμή (τιμές) του πραγματικού αριθμού

λ για την οποία η εξίσωση 0 f x έχει: α) ρίζα το 2

β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες

γ) ρίζες ετερόσημες

δ) Αν 3 , τότεi) να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω απότον άξονα χ΄χ.

ii) να λύσετε την εξίσωση 4 4 f x x x .

92. Δίνεται η συνάρτηση 2 2( ) 3( 1) 4 , f x x x .

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0 f x έχει δύο άνισες ρίζες 1 2, x x για κάθε .

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι ρίζες 1 2, x x είναι θετικές.

γ) Αν 1 , τότε:

i) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ.

iii) Να βρείτε την εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες τα 1 1 x και 2 1 x .

93. Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x 3x x 1 2 x 2 1 .

α) Να αποδείξετε ότι 2f x x x 2 , x .

β) Να λύσετε την εξίσωση f x 0 .

γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: f x 10 .

δ) να λύσετε την εξίσωση 2 2 8 0 f x f x .

94. Δίνεται η συνάρτηση4 2

1f(x)

x x 12

.


β) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία1

10 y .

γ) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα

y΄y.

δ) Να λύσετε την ανίσωση1

60f(x)

.

95. Έστω η συνάρτηση 2 1 f x x k x k

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 f x έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικούαριθμού k.

β) Να βρείτε την τιμή του k , αν είναι γνωστό ότι για τις ρίζες 1 2, x x της εξίσωσης 0 f x

ισχύει ότι: 2 2

1 2 5 x x .

γ) Αν 2k , τότε: i. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x΄x.

ii. Να λύσετε την ανίσωση 0 f x .


22/112

20

www.askisopolis.gr

96. Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 1 f x x x .

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 f x έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικούαριθμού λ .

β) Έστω 1 2, x x οι ρίζες της εξίσωσης 0 f x . Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε 1 2 4 x x .

γ) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε 2 21 2 1 2

2 x x x x .

δ) Για 3 να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες αληθεύει η σχέση 2 6 f x .

97. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 2 f x x .

α) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης f , χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής.

β) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

γ) Να λύσετε την εξίσωση 1 f x .

δ) Να λύσετε την ανίσωση 1 f x .ε) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης 2 2 5 g x x .

98. Δίνεται η συνάρτηση 2 1 f x x x , x .

α) Να λύσετε την εξίσωση: 1 2 3 2 5 f x f x f .

β) Να λύσετε την εξίσωση: 2 2 1 3 f x x x .

γ) Να λύσετε την ανίσωση 4 1 f x x f .δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα χ΄χ.

ε) Να αποδείξετε ότι

2 2 2

42 2 2 2 2 2

f f

f f f f

.

99. Δίνεται η συνάρτηση

21

12 1

21

x f x x

x

.


β) Να δείξετε ότι 1 f x x .γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.

δ) Αν οι αριθμοί 2 , , 26 f a f με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής

προόδου i) να βρείτε τον θετικό αριθμό α και το λόγο λ της προόδου..

ii) Αν 2 f o 3ος όρος της γεωμετρικής προόδου να βρείτε τον πρώτο όρο α1 της προόδου.

100. Δίνεται η συνάρτηση 4 4 2 16 f x x x .α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.

γ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο 8, 6 4 2 M .

δ) Να δείξετε ότι o

2

2 είναι ο αριθμητικός μέσος των 6 , 17 f f .


23/112

21

www.askisopolis.gr


2 8, 1

8 7, 1

x x f x

x x x

.

α) Να υπολογίσετε τις τιμές 0 , 2 , 1 , 3 f f f f .

β) Αν αριθμητική πρόοδος με 4 3 f και 10 1 f .Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο α1 της προόδου και τη διαφορά ω. ii) το άθροισμα των 16 πρώτων όρων.

γ) Αν Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με

2

3

f

f ,

2

1

f

f

και η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από

τα Α και Β είναι ίση με

2 2 3

3 1

f f

f

,να υπολογίσετε :

i) την πιθανότητα να πραγματοποιηθo ύν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β.

ii) η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α και Β.δ) Για κάθε 0 x , να αποδείξετε ότι 2 2 f x f x .


2 f x

x

.


β) Να λύσετε την εξίσωση 2 2 1 f x f x .

γ) Να λύσετε την ανίσωση

2

30 x

f x

.

δ) Να αποδείξετε ότι

i) 1 3 f

ii)

2 2

1 18 3

2 1 2 1 f f

103. Δίνεται η εξίσωση 5 16 0 x x και 1 2 3 1 2 3, , x x x x x x οι ρίζες της .

α) Να βρείτε τις ρίζες 1 2 3, , x x x της εξίσωσης

Για 1 2 32, 0, 2 x x x :

β) Να δείξετε ότι3

3 3

1 12

1 1 x

x x

γ) i) Να δείξετε ότι οι αριθμοί 1 2 3, , x x x είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής πρόδου a .

ii) Αν ο 160ς όρος της a είναι τριπλάσιος από τον όγδοο όρο της , να βρείτε το άθροισμα των 20 πρώτων όρων της .

δ) Αν τα σημεία 2 14 , M x και 36,x N είναι συμμετρικά ως προςτον άξονα x x ,να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ .


24/112

22

www.askisopolis.gr

104. Δίνονται οι συναρτήσεις 3 3 9 f x x και 4 16 4 g x x .α) Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g.

β) Να δείξετε ότι οι αριθμοί 0 , 3 3 , 2 f f f είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικήςπροόδου.

γ) Να δείξετε ότι οι αριθμοί

17

12 , ,g 316 g g

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής

προόδου.

δ) Να λυθεί η εξίσωση 3 4 f x g x .


2

2

x x f x

x x

α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η συνάρτηση έχει πεδίο

ορισμού το .

β) Αν 2 , τότε:

i) Να λύσετε την ανίσωση 2 0 x f f ii) Να αποδείξετε ότι 2 9 0 6 f

iii) Να λύσετε την εξίσωση 2 0 3 x f .

γ) Αν γεωμετρική πρόοδος με 13

625 και 6 15 ,να βρείτε:

i) το λόγο λ της προόδου

ii) Αν υπάρχει τιμή της συνάρτησης που να είναι ίση με τον α4.

106. Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (α ν) για την οποία ισχύει 6 38 και το άθροισμα των

πρώτων 5 όρων της ισούται με 93.α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α1 και τη διαφορά ω της (α ν).

β) Να βρείτε το άθροισμα 6 7 8 9 10 11 12 13 14a a .

γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης2 , x 6

( ), 6

x f x

x x

: διέρχεται από τα σημεία

4 5, και 2 3, .i) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.

ii) Για α=6, β=24 να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με την

ευθεία ( ) : 6 y .

107. Δίνεται αριθμητική πρόοδος (α ν) για την οποία ισχύει ότι: 3 4 20 450

22 44 136 .

α) Να αποδείξετε ότι 1 4 και 2 .

β) Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x x f x

x

και τα σημεία της

52 6 4 8, , , 14

S a

i) Να βρείτε τους πραγματικούς β,γ


25/112

23

www.askisopolis.gr

ii) Για 5 και 6 :α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιήσετε τον τύπο της.

β) Να λύσετε την ανίσωση 3 f x .

108. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν), ισχύει: 2 3 7 10 200 και ο 18ος όρος είναι

επταπλάσιος από τον τρίτο όρο της προόδου. α) Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου.

β) Να βρείτε τον όρο της προόδου που είναι ρίζα της εξίσωσης 2 26 25 0 x x .γ) Να βρείτε τα πολλαπλάσια του 5 που είναι λύσεις της ανίσωσης :

2

3 4 20 0 x a x S δ) Να βρείτε τρείς διαδοχικούς όρους της προόδου που να έχουν άθροισμα ίσο με τον

15ο όρο της προόδου.

109. α) Δίνεται ότι 2 216 25 8 10 2 0 x y x y .Να δείξετε ότι1 1

,4 5

x y .

β) Δίνεται ότι 2 216 25 8 10 2 0 P A P B P A P B .

i) Να βρείτε τις πιθανότητες , .

ii) Αν είναι λύση της εξίσωσης 4 2100 99 1 0 x x

α) να υπολογίσετε την πιθανότητα β) την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β

γ) η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α και Β

110. Δίνεται η συνάρτηση

5, 1

2

1 , 14

x x

f x

x x

και δύο ενδεχόμενα Α,Β ενός δειγματικού

χώρου Ω.

α) Να βρείτε τις τιμές 2 , 8 , 4 4 f f f f

β) Οι πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(Α Β) και Ρ(ΑΒ) είναι διαφορετικές ανά δύο και ανήκουν στο

σύνολο: 2 , 8 , 4 , 4 f f f f Να βρείτε τις πιθανότητες:

i) Ρ(Β), Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) ii) να μην πραγματοποιηθεί το Α,

iii) να πραγματοποιηθεί το A και να μην πραγματοποιηθεί το B,

iv) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α,Β ,γ) Να βρείτε την τιμή του θετικού αριθμού λ ώστε οι αριθμοί

4 , , 8 f f με τη σειρά που δίνονται να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικήςπροόδου.

111. Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 4 4 1 1, . f x x x α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση f(x)=0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και

άνισες.

β) Αν 1 2, x x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου :


26/112

24

www.askisopolis.gr

i) Να δείξετε ότι 2 2 1 21 22 1

4 0 x x

x x x x

.

ii) Για μ=3 να βρείτε την εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς1 2

1 1,

x x

γ) Αν οι ρίζες 1 2, x x του παραπάνω τριωνύμου είναι ο έκτος και ο δέκατος όρος αντίστοιχα

μιας γεωμετρικής προόδου , να υπολογίσετε τον αριθμό 3 13 A a a όπου 2 7, είναιεπίσης όροι της ίδιας γεωμετρικής προόδου.

112. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Ισχύουν τα εξής:

Οι πιθανότητες , είναι ρίζες της εξίσωσης 26 5 1 0 x x

Οι αριθμοί ), , ( είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

α) Να αποδείξετε ότι : 1

( )2

, 1

( )3

και 3

4 .

β) Να βρείτε τις πιθανότητες :

i) να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β ii) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β

γ) Αν 3 :

i) να βρείτε το λόγο και τον πρώτο όρο της .

ii) να υπολογίσετε το άθροισμα των πέντε πρώτων όρων της προόδου .

113. Ένα κουνούπι κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f με 2( ) 4 3 f x x x και

μία μύγα στη γραφική παράσταση της συνάρτησης2

( ) 2 2 g x x x .α) Να βρείτε

i) αν θα συναντηθούν η μύγα και το κουνούπι και αν ναι σε ποιο σημείο; ii) για ποιες τιμές του x το κουνούπι βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄

β) Αν ο x΄ x παριστάνει την επιφάνεια της θάλασσας

i) να δείξετε ότι η μύγα δεν πρόκειται να πνιγεί

ii) να βρείτε αν υπάρχουν σημεία τα οποία πρέπει να αποφύγει το κουνούπι ώστε να μη

πέσει στη θάλασσα

iii) αν ένα ψάρι βρίσκεται στο σημείο 1, 8 A να βρείτε την θέση που θα βρίσκεται τοκουνούπι ,αν το ψάρι και το κουνούπι ακολουθούν συμμετρική πορεία ως προς τον

χ΄χ

γ) Αν ένας άνθρωπος κινείται στην ευθεία 4 7 y x , να βρείτε πόσες φορές θα τον

τσιμπήσει το κουνούπι και σε ποια σημεία.


27/112

25

www.askisopolis.gr

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

1. Έστω βασικό σύνολο Ω = {1,2,3, 4, 5, 6,7,8,9, 10} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {1, 2,4,6},

Β = {2,4, 8, 10}.

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα.

β) Να περιγράψετε με αναγραφή τα σύνολα , , ,

γ) Να γράψετε όλα τα δυνατά υποσύνολα του Α.

Λύση

α)

β) 1,2,4,6,8,10

2,4

8,10

1,6 γ) Τα δυνατά υποσύνολα του Α είναι τα :

1 2 3 41 , 2 , 4 , 6 ,

5 2 3 4 5 61,2 , 1,4 , 1,6 , 2,4 , 2,6 , 4,6 ,

7 8 9 101,2,4 , 1,2,6 , 1,4,6 , 2,4,6 ,

10 1,2,4,6 , 11

2. Θεωρούμε ως βασικό σύνολο το: Ω = {1,2,3, ..., 21} καθώς και τα σύνολα

Α = {x Ω / x άρτιος} και Β = {x Ω / x πολλαπλάσιο του 5}.

α) Να παραστήσετε τα σύνολα Α και Β με αναγραφή των στοιχείων τους.

β) Να βρείτε τα σύνολα:

i) ii) iii)

iv) v) vi)


28/112

26

www.askisopolis.gr

Λύση

α) 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

5,10,15,20

β) i) 2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20

ii) 10,20

iii) 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21

iv) 1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19,21

v) 1,3,7, 9,11,13,17,19,21

vi) 2,4,6,8,12,14,16,18

3. Δίνονται τα σύνολα 2/ 7 6 0 x R x x και 2/ 2 5 2 ( 1) 0 x N x x x

α) Να γραφούν με αναγραφή τα σύνολα.

β) Να βρείτε την ένωση και τη τομή τους.

γ) Να εξετάσετε αν το Α είναι υποσύνολο του Β.

Λύση α)

27 6 0 1 6 x x x ή x .

2 2 1

2 5 2 ( 1) 0 2 5 2 0 22

x x x x x x ή x

ή 1 0 1 x x .

Οπότε 1,6 και1

,1,22

β) 1

,1,2,62

, 1

γ) To A δεν είναι υποσύνολο του Β γιατί περιέχει το 6 που δεν ανήκει στο σύνολο Β.

Σε μία πόλη ρωτήθηκαν κάποιοι πολίτες σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διαβάζουν το

μήνα. Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν ,συντάχθηκε ο επόμενος πίνακας :

Βιβλία Αριθμός πολιτών

0 α

1 3α+8

2 2α+16

3 2α-10

4 α-4


29/112

27

www.askisopolis.gr

4. Γνωρίζουμε ότι αν επιλέξουμε τυχαία ένα πολίτη ,τότε η πιθανότητα να διαβάζει 2 βιβλία

το μήνα είναι 36%.

α) Να αποδείξετε ότι α=10

β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

Α: ο πολίτης να μη διαβάζει βιβλία το μήνα

Β: ο πολίτης να διαβάζει το πολύ 1 βιβλίο το μήνα

Γ: ο πολίτης να διαβάζει τουλάχιστον 3 βιβλία το μήνα

Λύση

α) Έστω Δ : το ενδεχόμενο να διαβάζει 2 βιβλία .

Τότε

36 9 2 16 9

50 400 81 90100 25 9 10 25

31 310 10 β) Για α=10

10

0,1100

,

10 38 48

0,48100 100

10 6 16

0,16100 100

5.

Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {1, 2, 3,..., 10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Θεωρούμεεπίσης τα ενδεχόμενα: Α = {x Ω/|x- 4|≤ 2},Β = {xΩ/x2- 4x+ 3 ≤ 0} και

Γ={x Ω/(x-4)2 ≥ 3x-2}.

α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Γ).

β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα ΑΒ και ΑΓ και στη συνέχεια τις πιθανότητες Ρ(Α Β) και

Ρ(ΑΓ).

Λύση

Βιβλία Αριθμός πολιτών

0 10

1 38

2 36

3 10

4 6

Σύνολο 100


30/112

28

www.askisopolis.gr

α) | 4 | 2 2 4 2 2 6 x x x .Άρα 2,3,4,5,6 και ( ) 5

( )( ) 10

2 4 3 0 1 3 x x x . Άρα 1,2,3 B και (B) 3

(B)( ) 10

2 2 2( 4) 3 2 8 16 3 2 0 11 18 0 ( ,2] [9, ) x x x x x x x x .

Άρα 1,2,9,10 και ( ) 4

( )( ) 10

β) {1,2,3,4,5,6} A B , {2} A ,6

( )10

A B , 1

( )10

A

6. Έστω ο δειγματικός χώρος :Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα.

Για τα ενδεχόμενα A, Β, Γ του Ω, είναι :A Β = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,Α Β = {1, 3, 4},

Α- Β = {2, 6} και Γ = {x Ω/|2x- 5| < 3}

α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ).

β) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το Γ.

γ) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Β και Γ.

Λύση

α) ( ) ( ) {1,2,3,4,6} ,( ) 5

( )( ) 10

Επειδή το στοιχείο 5 βρίσκεται στο B και δεν βρίσκεται στο Α, θα είναι στοιχείο μόνο του

Β, δηλαδή: B-A={5}. Επειδή τα στοιχεία 1,3,4 ανήκουν στη τομή είναι στοιχεία και

των δύο συνόλων, Άρα B-A={5} ,B={1,3,4,5} ,(B) 4

(B)( ) 10

| 2 5 | 3 3 2 5 3 2 2 8 1 4 x x x x .Επειδή x είναι x=2 ή 3, άρα

2,3 και( ) 2

( )( ) 10

.

Άρα ( ) 2

( )( ) 10

.

β) Β-Γ= {1,4,5} ,Γ-Β ={2} . Άρα 3

( )10

P B

γ)

1

10 P

,


31/112

29

www.askisopolis.gr

, 1 3 4

( ) ( )10 10 10

ί

P

.

7. Θεωρούμε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία γνωρίζουμε ότι:

Ρ(Α΄) = 0,6, Ρ(Β) = 0,3 και Ρ(ΑΒ) = 0,2.α) Να δείξετε ότι Ρ(Α) = 0,4.

β) Να βρείτε την πιθανότητα «να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α ή Β».

γ) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ[(ΑΒ΄)(ΒΑ΄)].

δ) Αν Γ είναι ένα τρίτο ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω το οποίο δεν είναι το κενό

σύνολο, τότε να αποδείξετε ότι:1

4 ( ) 4( )

P P

.

Λύση

α) P(A)=1-P(A΄)=0,4

β) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,4 0,3 0,2 0,5 P B P A P B P A B

γ) Επειδή τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα, έχουμε:

(A ) ( ) 2 P B A

0,4 0,3 0,2 0,5

δ) 2 21

4 ( ) 4 4 ( ) 4 ( ) 1 0 (2 ( ) 1) 0( )

P P P

ισχύει.



( ) , ( )2 5

και3

( )10

.

α) Να υπολογίσετε την ( ) .

β) Να υπολογίσετε την ( ) .

γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα

ενδεχόμενα Α και Β.

Λύση

3 2

( ) 1 ( ) 15 5

3 7( ) 1 ( ) 1

10 10

α) 1 7 2 5 7 4 8 4

( ) ( ) ( )2 10 5 10 10 10 10 5

.

β) 7 4 3

( ) ( )10 10 10

.

γ) 4 1

( ) 1 ( ) 1 5 5 .


32/112

30

www.askisopolis.gr



(B) , ( )2 3

, 3

4

.

α) Να υπολογίσετε την ( ) .

β) Να υπολογίσετε την ( ) .

γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα .

Λύση

3 1

( ) 1 ( ) 14 4

α) Επε

Askisopolis Μιχαήλογλου & Πατσιμάς Επαναληπτικά Θέματα...

Documents

Transcript of Askisopolis Μιχαήλογλου & Πατσιμάς Επαναληπτικά Θέματα...