αλγεβρα α λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 29 10 2014

ΤΤΤΡΡΡΑΑΑΠΠΠΕΕΕΖΖΖΑΑΑ ΘΘΘΕΕΕΜΜΜΑΑΑΤΤΤΩΩΩΝΝΝ

ΑΑΑΛΛΛΓΓΓΕΕΕΒΒΒΡΡΡΑΑΑ

ΕΕΕΚΚΚΦΦΦΩΩΩΝΝΝΗΗΗΣΣΣΕΕΕΙΙΙΣΣΣ ΚΚΚΑΑΑΙΙΙ ΛΛΛΥΥΥΣΣΣΕΕΕΙΙΙΣΣΣ

ΑΑΑ΄́́ ΓΓΓΕΕΕΝΝΝΙΙΙΚΚΚΟΟΟΥΥΥ ΛΛΛΥΥΥΚΚΚΕΕΕΙΙΙΟΟΟΥΥΥ

ΣΣΣτττέέέλλλιιιοοοςςς ΜΜΜιιιχχχαααήήήλλλοοογγγλλλοοουυυ---ΔΔΔηηημμμήήήτττρρρηηηςςς ΠΠΠααατττσσσιιιμμμάάάςςς

ΕΕΕκκκφφφωωωνννήήήσσσεεειιιςςς κκκαααιιι λλλύύύσσσεεειιιςςς θθθεεεμμμάάάτττωωωννν ΆΆΆλλλγγγεεεβββρρραααςςς ΤΤΤρρράάάπππεεεζζζαααςςς θθθεεεμμμάάάτττωωωννν ααανννάάά εεενννόόότττηηητττααα

1


2

ΑΑΑΛΛΛΓΓΓΕΕΕΒΒΒΡΡΡΑΑΑ ΑΑΑ΄́́ΛΛΛΥΥΥΚΚΚΕΕΕΙΙΙΟΟΟΥΥΥ


3

Παρατηρήσεις

Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Απόλυτες τιμές: 2.504(Δεν χρειάζεται το α<0)

Εξισώσεις 4.13082 αλλάξαμε την έκφραση τιμή του γινομένου

Ανισώσεις : 2.478(έχει βγει) ,την αφήσαμε γιατί δεν είχε πρόβλημα

4.7506 (δεν έχουν αντιστοιχηθεί μονάδες στα ερωτήματα)

Πρόοδοι: 4.8458(από το 13ο κάθισμα και κάτω τα κενά καθίσματα βγαίνουν

περισσότερα από τα καθίσματα)

4.4678( την διορθώσαμε)

Συναρτήσεις: 2.3378 β( στο -1 του άξονα y΄y΄ αντιστοιχίζονται 2 τιμές)

4.2339( δεν φαίνεται καλά η τιμή δ(5)

4.13084 είχε λάθος στο διάστημα

ΑΑΑσσσκκκήήήσσσεεειιιςςς κκκαααιιι λλλύύύσσσεεειιιςςς θθθεεεμμμάάάτττωωωννν ΆΆΆλλλγγγεεεβββρρραααςςς ΤΤΤρρράάάπππεεεζζζαααςςς θθθεεεμμμάάάτττωωωννν ααανννάάά εεενννόόότττηηητττααα

5

ΠΠΠιιιθθθααανννόόότττηηητττεεεςςς

222οοο θθθέέέμμμααα

2.497

Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων.

Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης

(Μ) και 2 γυναίκες: η Ειρήνη (Ε) και η Ζωή (Ζ). Επιλέγονται στην τύχη ένας

άντρας και μια γυναίκα για να διαγωνιστούν και καταγράφονται τα ονόματά τους.

α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. (Μονάδες 10)

β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων

Α : Να διαγωνίστηκαν ο Κώστας ή ο Μιχάλης .

Β : Να διαγωνίστηκε η Ζωή.

Γ: Να μη διαγωνίστηκε ούτε ο Κώστας ούτε ο Δημήτρης.

(Μονάδες 15)

ΛΛΛύύύσσσηηη

α)

Ω={ΔΕ,ΔΖ,ΚΕ,ΚΖ,ΜΕ,ΜΖ} και 6

β) Α={ ΚΕ,ΚΖ,ΜΕ,ΜΖ} , 4 και 4 2

( )6 3

Β={ΔΖ,ΚΖ,ΜΖ} , 3 και 3 1

( )6 2

Γ={ΜΕ,ΜΖ} , 2 και 4 2

( )6 3

2.499.

Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 25% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα, το 30%

συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου και το 15% των μαθητών συμμετέχει και στις

δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν ονομάσουμε τα ενδεχόμενα:

Α: «ο μαθητής να συμμετέχει στη θεατρική ομάδα» και

Β: «ο μαθητής να συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου»,

α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα:

i) Α∪Β ii) Α∩Β iii) Β-Α iv) Α΄ (Μονάδες 12) β) να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων

i) ο μαθητής που επιλέχθηκε να συμμετέχει μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου

ii) ο μαθητής που επιλέχθηκε να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα. (Μονάδες 13)


α) i) Α∪Β : «ο μαθητής να συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ή στην ομάδα

ποδοσφαίρου»

ii) Α∩Β : «ο μαθητής να συμμετέχει στη θεατρική ομάδα και στην ομάδα

ποδοσφαίρου»


6

iii) Β-Α : «ο μαθητής να συμμετέχει μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου» iv) A΄ : «ο μαθητής να μη συμμετέχει στη θεατρική ομάδα

β) i) P(A)=25%=0,25 , P(B) =0,30 , ( ) 0,15P

Άρα ( ) ( ) ( ) 0,25 0,15 0,1P

ii) ( ) 1 ( ) 1 P(A) P(B) P(A B)P P

( ) 1 0, 25 0,3 0,15 0,6P

2.1003.

Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5,

οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 16. Επιλέγουμε μια

μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Α: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΑΣΠΡΗ

K: η μπάλα που επιλέγουμε είναι KOKKINH

Π: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ

α) Χρησιμοποιώντας τα Α, Κ και Π να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων τα

ενδεχόμενα:

i) Η μπάλα που επιλέγουμε δεν είναι άσπρη,

ii) Η μπάλα που επιλέγουμε είναι κόκκινη ή πράσινη. (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του

ερωτήματος (α).

(Μονάδες 12)


α) i) A΄ ii)

β) 5 9 16 30

( ) 5

( )( ) 30

,

( ) 9 3( )

( ) 30 10

.

5 25 5

1 130 30 6

΄ και

, ( ) ( ) ( ) ( ) 16 8

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 30 15

ί

2.1102

Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω και οι

πιθανότητες:3 5

( ) , ( )4 8

και 1

( )4

.

α) Να υπολογίσετε την ( ) (Μονάδες 9)

β) Να παραστήσετε με διάγραμμα Vehn και να παραστήσετε στη γλώσσα

των συνόλων το ενδεχόμενο «Α ή Β».

γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης του παραπάνω

ενδεχομένου.


7


α) 3 5 6 5 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 8 8 8 8

β)

γ) 3 1 1 6 2 1 7

( ) ( ) ( ) ( )4 4 8 8 8 8 8

2.1287

Δίνεται ο πίνακας:

Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθμούς του παραπάνω

πίνακα. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης των παρακάτω ενδεχομένων:

Α: ο διψήφιος να είναι άρτιος (Μονάδες 7)

Β: ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολλαπλάσιο του 3 (Μονάδες 9)

Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιο του 3 (Μονάδες 9)


Αρχικά θεωρούμε το ενδεχόμενο Δ: ο διψήφιος είναι πολλαπλάσιο του 3.

Είναι 12,21,33 , A={12,22,32} , 12 και

12,22,32,33,21

Είναι ( ) 3 1

( )( ) 9 3

,

( ) 1( )

( ) 9

και Ρ(Γ)=

5( )

9

2.1506.

Δίνεται το σύνολο Ω={1,2,3,4,5,6} και τα υποσύνολά του Α={1,2,4,5}

και Β={2,4,6}.

α) Να παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Vehn, με βασικό σύνολο το Ω, τα σύνολα

Α και Β. Κατόπιν, να προσδιορίσετε τα σύνολα Α∪Β, Α∩Β , Α΄ και Β΄.

(Μονάδες 13)

1 2 3

1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33


8

β) Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. Να βρείτε τις πιθανότητες των

ενδεχομένων:

i) Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α. (Μονάδες 4)

ii) Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β. (Μονάδες 4)

iii) Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α,Β. (Μονάδες 4)


α)

{1,2,4,5,6} , {2,4} , 3,6 , 1,3,5

β) i) ( ) 2 1

( )( ) 6 3

ii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β

είναι το . Είναι: ( ) 2 1

( )( ) 6 3

iii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β

είναι το . Είναι: ( ) 5

( )( ) 6

2.1520.

Από τους σπουδαστές ενός Ωδείου, το 50% μαθαίνει πιάνο, το 40% μαθαίνει κιθάρα,

ενώ το 10% των σπουδαστών μαθαίνει και τα δύο αυτά όργανα. Επιλέγουμε τυχαία

ένα σπουδαστή του Ωδείου. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α: ο σπουδαστής αυτός μαθαίνει πιάνο

Β: ο σπουδαστής αυτός μαθαίνει κιθάρα

Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου:

α) Ο σπουδαστής αυτός να μαθαίνει ένα τουλάχιστον από τα δύο παραπάνω

όργανα. (Μονάδες 12)

β) Ο σπουδαστής αυτός να μην μαθαίνει κανένα από τα δύο παραπάνω όργανα.

(Μονάδες 13)


50% 0,5 , 40% 0,4 , ( ) 10% 0,1

α) Το ενδεχόμενο ο σπουδαστής να μαθαίνει ένα τουλάχιστον από κιθάρα και

πιάνο, είναι το . Είναι:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 0,4 0,1 0,8


9

β) Το ενδεχόμενο ο σπουδαστής να μην μαθαίνει κανένα από τα δύο παραπάνω

όργανα είναι το ( ) . Είναι: ( ) 1 ( ) 1 0,8 0, 2

2.3383

Το 70% των κατοίκων μιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει μηχανάκι και το

20% έχει και αυτοκίνητο και μηχανάκι. Επιλέγουμε τυχαία έναν κάτοικο αυτής

της πόλης. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α: ο κάτοικος να έχει αυτοκίνητο

Μ: ο κάτοικος να έχει μηχανάκι.


i) Α∪Μ ii) Μ-Α iii) Μ΄ (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε την πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε :

i) Να μην έχει μηχανάκι. (Μονάδες 7)

ii) Να μην έχει ούτε μηχανάκι ούτε αυτοκίνητο. (Μονάδες 9)


α) i) Α∪Μ : ο κάτοικος να έχει μηχανάκι ή αυτοκίνητο

ii) Μ-Α : ο κάτοικος να έχει μόνο μηχανάκι

iii) M : ο κάτοικος να μην έχει μηχανάκι

Ρ(A)=70%=0,7, Ρ(Μ)=40%=0,4, ( ) 20% 0,2

β) i) (M) 1 (M) 1 0,4 0,6

ii) Το ενδεχόμενο ο κάτοικος να μην έχει ούτε μηχανάκι ούτε αυτοκίνητο είναι

το ( ) . Είναι:

( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )

0,7 0( , 4 0,2 0 1) 1 ,

2.3384.

Από τους 180 μαθητές ενός λυκείου, 20 μαθητές συμμετέχουν στη

θεατρική ομάδα,30 μαθητές συμμετέχουν στην ομάδα στίβου, ενώ 10 μαθητές

συμμετέχουν και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή του λυκείου.

Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α: ο μαθητής συμμετέχει στη θεατρική ομάδα

Β: ο μαθητής συμμετέχει στην ομάδα στίβου


i) Α∪Β ii) Β-Α iii) Α΄ (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέχθηκε:

i) Να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα. (Μονάδες 9)

ii) Να συμμετέχει μόνο στην ομάδα στίβου. (Μονάδες 7)


10


α) i) Α∪Β : ο μαθητής να συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ή στην ομάδα στίβου

ii) Β-Α : ο μαθητής να συμμετέχει μόνο στην ομάδα στίβου

iii) Α΄ : ο μαθητής να μη συμμετέχει στη θεατρική ομάδα

( ) 20 1( )

( ) 180 9

,

( ) 30 1( )

( ) 180 6

,

( ) 10 1( )

( ) 180 18

1 1 1 2 3 1 4 2

( ) ( ) ( )9 6 18 18 18 18 18 9

A

β) i) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να μην συμμετέχει σε καμιά από τις ομάδες

είναι το ( ) . Είναι: 2 7

( ) 1 ( ) 19 9

ii) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να συμμετέχει μόνο στην ομάδα στίβου είναι

το . Είναι:

1 1 3 1 2 1

( ) ( ) ( )6 18 18 18 18 9

2.3878.

Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 200 είναι

μαθητές της Α΄ τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να

είναι μαθητής της Γ΄ τάξης είναι 20%. Να βρείτε:

α) Το πλήθος των μαθητών της Γ΄ τάξης (Μονάδες 10)

β) Το πλήθος των μαθητών της Β΄ τάξης. (Μονάδες 5)

γ) Την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέξαμε να είναι της Β΄ τάξης.

(Μονάδες 10)


α) Έστω Α : το ενδεχόμενο να είναι μαθητής της Α΄ Λυκείου

Β: το ενδεχόμενο να είναι μαθητής της Β΄ Λυκείου

Γ: το ενδεχόμενο να είναι μαθητής της Γ΄ Λυκείου

Ρ(Γ)=20%=0,2

α) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 400 0,2 80( )

β) 400 200 80 120

γ)( ) 120 3

( ) 0,3( ) 400 10


11

2.13096. α) Αν Α,Β,Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός

δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης που

αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να

διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα:

i) A B ii) B

iii) iv)

(Μονάδες 12)

β) Στο διπλανό σχήμα παριστάνονται με

διάγραμμα Venn ο παραπάνω δειγματικός χώρος

και τα τρία ενδεχόμενα Α,Β και Γ αυτού. Να

υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των

ενδεχομένων του (α) ερωτήματος. (Μονάδες 13)


α) i) A B = πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β

ii) B= πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ

iii) = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α και Β και Γ.

iv) = δεν πραγματοποιείται το Α

β) Είναι 1, 2,2, 12, 5,0,7,6, 1,3,4,8,21,10 με 14 , 1, 2,2, 12, 5

με

5 , B 2,2,0,7,8 με N B 5 και 2, 12,8,6,21 με 5 .

i) Είναι A B 1, 2,2, 12, 5,0,7,8 με A B 8 , άρα 8 4

A B14 7

ii) Είναι B 2,8 με B 2 και 2 1

B14 7

iii) Είναι 2 με 1 και 1

14

iv) 5 9

1 P A 114 14

444οοο θθθέέέμμμααα

4.1868.

Σε ένα τμήμα της Α΄ Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών

και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά

είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά είναι τετραπλάσια

από την πιθανότητα να παρακολουθεί Γαλλικά. Τέλος, η πιθανότητα ένας μαθητής να

παρακολουθεί μαθήματα τουλάχιστον μιας από τις δύο γλώσσες είναι 0,9.

α) Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη.

i) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα και των δύο

γλωσσών; (Μονάδες 9)

ii) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα μόνο μιας από

τις δύο γλώσσες; (Μονάδες 9)

β) Αν 14 μαθητές παρακολουθούν μόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι μαθητές του

τμήματος; (Μονάδες 7)


12


Έστω Α : το ενδεχόμενο ένας μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα Αγγλικών

Β : το ενδεχόμενο ένας μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα Γαλλικών

1 1 0,8 21 0,

4 4 0,2 0,8

Επειδή η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα τουλάχιστον μιας από

τις δύο γλώσσες είναι 0,9, ισχύει ότι ( ) 0,9

α) i) Το ενδεχόμενο να παρακολουθεί και τις δύο γλώσσες είναι το . Είναι:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0,2 0,8 0,9 0,1

ii) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα μόνο μιας από

τις δύο γλώσσες, είναι το ( ) ( ) . Είναι:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0,8 0,1 0,2 0,1 0,8

β) 0,8 0,1 0,7

( ) ( ) 14

( ) ( ) ( ) 20( ) ( ) 0,7

4.1936.

Η εξέταση σε ένα διαγωνισμό των Μαθηματικών περιλάμβανε δύο θέματα τα οποία

έπρεπε να απαντήσουν οι εξεταζόμενοι. Για να βαθμολογηθούν με άριστα έπρεπε να

απαντήσουν και στα δύο θέματα, ενώ για να περάσουν την εξέταση έπρεπε να

απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέματα. Στο διαγωνισμό εξετάσθηκαν

100 μαθητές. Στο πρώτο θέμα απάντησαν σωστά 60 μαθητές. Στο δεύτερο θέμα

απάντησαν σωστά 50 μαθητές, ενώ και στα δύο θέματα απάντησαν σωστά 30

μαθητές. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή.

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Vehn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων

(ορίζοντας τα κατάλληλα ενδεχόμενα) τα παραπάνω δεδομένα. (Μονάδες 13)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής:

i) Να απάντησε σωστά μόνο στο δεύτερο θέμα.

ii) Να βαθμολογηθεί με άριστα.

iii) Να μην απάντησε σωστά σε κανένα θέμα.

iv) Να πέρασε την εξέταση.

(Μονάδες 12)


α) Έστω Α : το ενδεχόμενο ένας μαθητής να απάντησε

σωστά στο πρώτο θέμα

Β : το ενδεχόμενο ένας μαθητής να απάντησε

σωστά στο δεύτερο θέμα


13

A B : το ενδεχόμενο ένας μαθητής να απάντησε

σωστά σε ένα τουλάχιστον από

τα δύο θέματα (πέρασε την εξέταση)

A B : το ενδεχόμενο ένας μαθητής να απάντησε

σωστά και στα δύο θέματα

(βαθμολογήθηκε με άριστα)

β) ( ) 60

( ) 0,6( ) 100

,

( ) 50( ) 0,5

( ) 100

,( ) 30

( ) 0,3( ) 100

i) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να απάντησε σωστά μόνο στο δεύτερο θέμα είναι το

. Είναι: ( ) ( ) ( ) 0,5 0,3 0,2

ii) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να μην απάντησε σωστά σε κανένα θέμα είναι το

( ) . Είναι:

( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 0,6 0,5 0,3 0,2

iii) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να πέρασε την εξέταση είναι το , δηλαδή όταν

απαντήσει σωστά σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέματα. Είναι:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,5 0,3 0,8

4.2064.

Σε μια ομάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και 13 γυναίκες, 4 από τους

άνδρες και 2 από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα

άτομα αυτά.

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Vehn και με χρήση της γλώσσας των

συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε:

i) να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι. (Μονάδες 6)

ii) να μην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι. (Μονάδες 6)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτομο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και

να παίζει σκάκι. (Μονάδες 13)


Έστω Α: το ενδεχόμενο το άτομο να είναι άντρας

Β: το ενδεχόμενο το άτομο να παίζει σκάκι

α) i) A B : το ενδεχόμενο να είναι άντρας ή να παίζει

σκάκι


14

ii) Β - Α : να μην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι.

β) Το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε να είναι

γυναίκα και να παίζει σκάκι είναι το ίδιο με το να μην είναι άντρας και να παίζει

σκάκι, δηλαδή το Β - Α.

( ) 2

( ) 0,1( ) 20

4.2073.

Οι δράστες μιας κλοπής διέφυγαν μ’ ένα αυτοκίνητο και μετά από την

κατάθεση διαφόρων μαρτύρων έγινε γνωστό ότι ο τετραψήφιος αριθμός της

πινακίδας του αυτοκινήτου είχε πρώτο και τέταρτο ψηφίο το 2 . Το δεύτερο

ψηφίο ήταν 6 ή 8 ή 9 και το τρίτο ψηφίο του ήταν 4 ή 7.

α) Με χρήση δενδροδιαγράμματος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών

αριθμών της πινακίδας του αυτοκινήτου. (Μονάδες 13)

β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων

Α: Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι το 7.

Β: Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι 6 ή 8.

Γ: Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας δεν είναι ούτε 8 ούτε 9.

(Μονάδες 12)


α) Ω={2642,2672,2842,2872,2942,2972}

β) Α={2672,2872,2972} ,

Β={2642,2672,2842,2872}, Γ={2642,2672}

Ν(Α)=3, Ν(Β)=4 , Ν(Γ)=2 και Ν(Ω)=6

( ) 3 1

( )( ) 6 2

( ) 4 2( )

( ) 6 3

( ) 2 1

( )( ) 6 3

4.2080.

Από μια έρευνα μεταξύ μαθητών ενός Λυκείου της χώρας, προέκυψε ότι

το 80% των μαθητών πίνει γάλα ή τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι

στο σπίτι το πρωί. Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη και ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α: ο μαθητής πίνει γάλα

Β: ο μαθητής τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι

Αν από το σύνολο των μαθητών το 60% πίνει γάλα και το 45% τρώει δυο φέτες

ψωμί με βούτυρο και μέλι,

α) Να ορίσετε με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόμενα:

i) ο μαθητής ούτε να πίνει γάλα ούτε να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και

μέλι

Ω

Α Β


15

ii) ο μαθητής να πίνει γάλα και να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι

iii) ο μαθητής να πίνει μόνο γάλα.

(Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του α)

ερωτήματος. (Μονάδες 13)


α) i) (A ) ii) iii) Α-Β

Ρ(Α)=60%=0,6 , Ρ(Β)=45%=0,45, ( ) 80% 0,8

β) ( ) 1 ( ) 1 0,8 0, 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,45 0,8 0,25

( ) ( ) ( ) 0,6 0,25 0,35

4.6144.

Μια ημέρα, στο τμήμα Α1 ενός Λυκείου, το 1

4 των μαθητών δεν έχει διαβάσει ούτε

Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία, ενώ το 1

3 των μαθητών έχει διαβάσει και τα δύο αυτά

μαθήματα. Η καθηγήτρια των μαθηματικών επιλέγει τυχαία ένα μαθητή για να τον

εξετάσει. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α: ο μαθητής να έχει διαβάσει Άλγεβρα

Β: ο μαθητής να έχει διαβάσει Γεωμετρία

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Vehn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων

τα δεδομένα του προβλήματος. (Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής:

(i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο μαθήματα

(ii) να έχει διαβάσει ένα μόνο από τα δυο μαθήματα.

(Μονάδες 8)

γ) Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι οι μισοί από τους μαθητές έχουν διαβάσει

Γεωμετρία, να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής:

i) να έχει διαβάσει Γεωμετρία

ii) να έχει διαβάσει Άλγεβρα (Μονάδες 8)


α) ( ) : ο μαθητής δεν έχει διαβάσει ούτε

Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία


16

: ο μαθητής έχει διαβάσει και Άλγεβρα και

Γεωμετρία

β) i) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο

μαθήματα είναι το .

Είναι 1

( )4

,1

( )3

και

1 3

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 14 4

ii) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 1 9 4 5

( ) ( )4 3 12 12 12

γ) i)

( )

( )( )

( )

2

( )

1

2

ii)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 1 1 9 6 4 7( )

4 2 3 12 12 12 12


17

ΟΟΟιιι πππρρράάάξξξεεειιιςςς τττωωωννν πππρρραααγγγμμμααατττιιικκκώώώννν αααρρριιιθθθμμμώώώννν κκκαααιιι οοοιιι ιιιδδδιιιόόότττηηητττεεεςςς τττοοουυυςςς

2ο θέμα

2.1070.

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ με β ≠ 0 και δ ≠ γ ώστε να

ισχύουν: 4

και

1

4

α) Να αποδείξετε ότι 3 και 5 . (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

(Μονάδες 15)


α) 4 4 3

1

4 54

β) ( )( ) (3 ) 4

1( ) (5 ) 4

ώ

2.1080.

Έστω x, y πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει:4 5

24

x y

x y

.

α) Να αποδείξετε ότι: 2y x . (Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης :2 22 3x y xy

xy

(Μονάδες 13)


α)

4 52 4 5 2( 4 )

4

4 5 2 8 6 3 2

x yx y x y

x y

x y x y x y y x

β) 2 2 2 2 2 2

2

2 3 2 3(2 ) 2 18

2

x y xy x x x xA

xy x

22 x9

2.3874.

Δίνονται οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί α, β, με για τους οποίους

ισχύει: 2

2

1

1

a

.

α) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι. (Μονάδες 13)


18

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 22 3 8

2 25

( )

( )

(Μονάδες 12)


α) 2

2 2

2

1( 1) ( 1)

1

a

2 2

2 2

0 ( ) ( ) 0 ( )( 1) 0

1 0 1 . Άρα α, β αντίστροφοι.

β) 22 3 8 22 24

22 2 24 24 24 24

2 25 2

( )( ) 1

( ) 1

ΔΔΔιιιάάάττταααξξξηηη

2ο θέμα

2.486.

Αν 0 1 , τότε

α) να αποδείξετε ότι: 3 (Μονάδες 13)

β) να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς:

3 10, ,1, ,

(Μονάδες 12


Αν 0 1 , τότε

α) 3 3 2

0 ( 1) 0 το οποίο ισχύει αφού 0 και

0

2 21 1 1 0

β) Είναι ( 0) 1

1 1

, τότε 3 1

0 1

.

2.487.

α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y

ισχύει: 2 2 2 2

( 1) ( 3) 2 6 10x y x y x y (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τους αριθμούς x, y ώστε: 2 2

2 6 10 0x y x y (Μονάδες 13)


α) 2 2 2 2 2 2

( 1) ( 3) 2 1 6 9 2 6 10x y x x y y x y x y


19

β) 2 2 2 2

2 6 10 0 ( 1) ( 3) 0x y x y x y

1 0 1 3 0 3x x y y

2.506.

Αν 2 x 3 και 1 y 2 , να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων βρίσκεται η

τιμή καθεμιάς από τις παρακάτω παραστάσεις:

α) x y (Μονάδες 5)

β) 2 3x y (Μονάδες 10)

γ) x

y (Μονάδες 10)


α) Είναι 2 x 3 (1) και 1 ≤ y ≤ 2 (2)

και με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) έχουμε 3 x y 5

β) (1) 4 2 6 (3)x , (2) 3 3 6 6 3 3 (4)y y

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (3) και (4) και έχουμε 2 2x 3y 3

γ) 1 1 1 1

(2) 1 1 (5)2 2y y

Πολλαπλασιάζουμε τις (1) και (5) και έχουμε: 1

1 3 1 3x

xy y

2.1092.

Από το ορθογώνιο ΑΒΖΗ αφαιρέθηκε το

τετράγωνο ΓΔΕΗ πλευράς y.

α) Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του

γραμμοσκιασμένου σχήματος ΕΖΒΑΓΔ

που απέμεινε δίνεται από τη σχέση:

Π = 2x + 4y (Μονάδες 10)

β) Αν ισχύει 5 x 8 και 1 2y , να βρείτε

μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η τιμή

της περιμέτρου του παραπάνω γραμμοσκιασμένου σχήματος.

(Μονάδες 15)


α) x y 2y x y 2 4y y x y

β) 5 8 10 2 16x x (1), 1 2 4 4 8y y (2)

Προσθέτουμε τις (1) και (2) και έχουμε: 14 2 4 24 14 24x y


20

2.1541.

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος x εκατοστά και πλάτος y εκατοστά,

αντίστοιχα. Αν για τα μήκη x και y ισχύει: 4 x 7 και 2 3y τότε:

α) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του

ορθογωνίου παραλληλογράμμου. (Μονάδες 10)

β) Αν το x μειωθεί κατά 1 και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια μεταξύ των

οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου

παραλληλογράμμου. (Μονάδες 15)


α) Αν Π η περίμετρος τότε 2 2x y . Είναι

4 7 8 2 14x x (1) , 2 3 4 2 6y y (2) και με πρόσθεση των (1)

και (2) κατά μέλη, έχουμε 12 2 2 20 12 20x y

β) Αν Π΄ η νέα περίμετρος τότε 2( 1) 6 2 2 6 2 6 2x y x y x y

Είναι 4 7 8 2 14x x (1) και

2 3 12 6 18 10 6 2 16y y y (3)

Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (3) έχουμε:

18 2 6 2 30 18 30x y

2.3852.

Για τους πραγματικούς αριθμούς α , β ισχύουν: 2 4 και 4 3 .

Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις

παραστάσεις:

α) 2 (Μονάδες 12)

β) 2

2 (Μονάδες 13)


α) Είναι 2 4 (1) και 4 3 8 2 6 6 2 8 (2)

Προσθέτουμε τις (1) και (2) κατά μέλη και έχουμε: 8 2 12

β) 2

2 4 4 16 (3)

4 3 8 2 6 6 2 8 (2)

Με πολλαπλασιασμό των (1) και (2) κατά μέλη έχουμε 12 2 32 (4)

Με πρόσθεση (3) και (4) κατά μέλη έχουμε 2

16 2 48

2.3870.

Δίνονται οι παραστάσεις: 2 2

2 9 και 2 3 , όπου , .

α) Να δείξετε ότι: 2 2 22 6 9 (Μονάδες 3)

β) Να δείξετε ότι: , για κάθε τιμή των , . (Μονάδες 10)


21

γ) Για ποιες τιμές των , ισχύει η ισότητα ; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 12)


α) 2 2 22 2 3 22 29 9 6

2 2 2

2 6 9

2 2 2 2 2 22 6 9 2 6 9

β) 2 2 2 2 2

2 6 9 ( ) ( 3) 0 για κάθε , .

γ) 2 2

0 ( ) ( 3) 0 3

Άρα 3, 3

2.4299.

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύουν: 3 5x και 2 1y ,

να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων βρίσκονται οι τιμές των παραστάσεων: α) y x (Μονάδες 12)

β) 2 2

x y

(Μονάδες 13)


α) Είναι 2 1y (1) και 3 5 3 5 5 3x x x (2)

Με πρόσθεση των (1) και (2) κατά μέλη έχουμε 7 4y x .

β) 2

2 1 2 1 1 2 1 4y y y y (3)

2

3 5 9 25x x (4)

Με πρόσθεση των (3) και (4) κατά μέλη έχουμε 2 2

9 100x y

2.7519.

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί α, β, με 0 και 0 . Να αποδείξετε ότι:

α) 4

4

(Μονάδες 12)

β) 4 4

16

(Μονάδες 13)


α) ( 0)

2 2 244 4 4 4 4 0 ( 2) 0

το οποίο ισχύει

β) Είναι 4

4

(1) και όμοια 4

4

(2)


22

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη έχουμε 4 4

16

2.7520. πλέον (2.13152)

Δίνονται οι παραστάσεις: 2 2

2 και 2 , όπου , .

α) Να δείξετε ότι: , για κάθε τιμή των , . (Μονάδες 12)

β) Για ποιες τιμές των , ισχύει η ισότητα ; Να αιτιολογήσετε την



α) 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 0 ( ) 0 το

οποίο ισχύει αφού 2

0 και 2

( ) 0 .

β) 2 2

0 0 0 ( )

Άρα 0


23

ΑΑΑπππόόόλλλυυυτττηηη τττιιιμμμήήή

2ο θέμα

2.504.

α) Αν 0 , να αποδειχθεί ότι:1

2aa

(Μονάδες 15)

β) Αν 0 , να αποδειχθεί ότι: 1

| | 2aa

(Μονάδες 10)


α) ( 0)

2 2 212 1 2 1 2 0 ( 1) 0a

a

το οποίο ισχύει

β) | | 0

2 21 1| | 2 | | 2 | | 1 2 | | | | 2 | | 1 0

| |a

a

,

2

(| | 1) 0 το οποίο ισχύει.

Παρατήρηση: Δεν χρειάζεται το 0

2.509.

α) Αν , 0 , να αποδειχθεί ότι: 2

(1) (Μονάδες 15)

β) Πότε ισχύει η ισότητα στην (1); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 10)


α) ( | || |)

2 2| | | |2 2 | | | | 2 | || |

| | | |

22 2| | | | 2 | || | 0 | | | | 0, ί ύ

β) 2

| | | | 0 | | | | 0 | | | |

Η ισότητα ισχύει όταν

2.991.

Αν ο πραγματικός αριθμός x ικανοποιεί τη σχέση: 1 2x ,

α) να δείξετε ότι x 3,1 . (Μονάδες 12)

β) να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης: K = | 3 | | 1|

4

x x είναι αριθμός

ανεξάρτητος του x. (Μονάδες 13)


24


α) 1 2 2 1 2 3 1 ( 3,1)x x x x

β) Αφού 3 1x είναι 3 0x και 1 0x .

Τότε 3 3x x , 1 1x x και | 3 | | 1| 3 1

44 4

x x x xK

2.996.

Δίνεται η παράσταση: 1 3A x y , με x, y πραγματικούς αριθμούς,

για τους οποίους ισχύει: 1 4x και 2 3y .Να αποδείξετε ότι:

α) 2A x y . (Μονάδες 12)

β) 0 4A . (Μονάδες 13)


α) Αφού 1 4x ισχύει ότι 1 0x και 1 1x x .

Επειδή 2 3y , ισχύει ότι 3 0y και 3 3y y .

Άρα 1 3 2x y x y .

β) Είναι 1 4x (1) και

2 3 2 3 3 2 1 2 0y y y y (2)

Με πρόσθεση των (1) και (2) έχουμε: 0 2 4 0 4x y A

2.1009.

Δίνεται η παράσταση: 3 – 6 2x ,όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός.

α) Να αποδείξετε ότι

i) για κάθε 2x , 3 4A x

ii) για κάθε 2x , 8 3A x

(Μονάδες 12)

β) Αν για τον x ισχύει ότι 2x να αποδείξετε ότι: 29 16

3 4| 3 6 | 2

xx

x

(Μονάδες 13)


α) i) 2 3 6 3 6 0x x x και | 3 6 | 3 6x x

Άρα 3 6 2 3 4x x

ii) 2 3 6 3 6 0x x x και | 3 6 | 3 6x x

Άρα 3 6 2 3 8 8 3x x x


25

β) 2 2 (3 4)9 16 (3 4)(3 4)

| 3 6 | 2

x xx x x

x A

(3 4)

3 4

x

x

3 4x

2.1062.

α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει : – 3 1y .

(Μονάδες 12)

β) Αν ,x y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με

1 3x και 2 4y , τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η

τιμή του εμβαδού Ε του ορθογωνίου. (Μονάδες 13)


α) | y 3| 1 1 y 3 1 2 4 (2,4)y y

β) x y ,

Είναι 1 3x (1) και 2 4y (2)

Με πολλαπλασιασμό των (1) και (2) κατά μέλη, έχουμε

2 12 2 12 (2,12)x y E E

2.1074.

α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει : – 3 1y .

(Μονάδες 12)

β) Αν x, y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με

1 3x και 2 4y , τότε να αποδείξετε ότι: 6 14 , όπου Π είναι η

περίμετρος του ορθογωνίου. (Μονάδες 13)


α) 3 1 1 y 3 1 2 4 (2, 4)y y y

β) 2 2x y ,

Είναι 1 3 2 2 6x x (1) και 2 4 4 2 8y y (2)

Με πρόσθεση των (1) και (2) έχουμε 6 2 2 14 6 14x y

2.1089.

Για κάθε πραγματικό αριθμό x με την ιδιότητα 5 10x ,

α) να γράψετε τις παραστάσεις 5x και 10x χωρίς απόλυτες τιμές. (Μονάδες 10)

β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: | 5 | | 10 |

5 10

x x

x x

(Μονάδες 15)


26


α) Είναι 5 10x , άρα 5 0 5 5x x x και 10 0 10 10x x x

β) ( )5 10 5 10 5

5 10 5 10

ώx x x x x

x x x x

5x

10x

10x 1 1 0

2.1091.

Δίνεται η παράσταση: 1 2A x x

α) Για 1 2x , να δείξετε ότι: 2 3x (Μονάδες 13)

β) Για 1x , να δείξετε ότι η παράσταση A έχει σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του x),

την οποία και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 12).


α) Είναι 1 2x , άρα 1 0 1 1x x x και 2 0 2 2x x x

Άρα 1 ( 2) 1 2 2 3x x x x x

β) Είναι 1 1 0 1 1x x x x

και 1 2 1 0 2 2x x x x

Άρα 1 2x x x 1 x 2 1

2.1273.

Δίνονται δύο τμήματα με μήκη x και y, για τα οποία ισχύουν: 3 2x και 6 4y .

α) Να δείξετε ότι: 1 5x και 2 10y . (Μονάδες 12)

β) Να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η

περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις 2x και y. (Μονάδες 13)


α) Είναι 3 2 2 x 3 2 1 5x x και

6 4 4 6 4 2 10y y y

β) Αν Π η περίμετρος τότε 2 2x y

Είναι 1 5 2 2 10x x (1) , 2 10 4 2 20y y (2)

και με πρόσθεση των (1) και (2) έχουμε 6 2 2 30 6 30x y .

Άρα η μικρότερη τιμή της περιμέτρου είναι 6 και η μεγαλύτερη τιμή είναι 30.

2.3384.

Για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει: 2 ,3 3 – 2d x x

α) Να αποδείξετε ότι 3

2x . (Μονάδες 12)


27

β) Αν 3

2x , να αποδείξετε ότι η παράσταση: 2 3 2 3K x x

είναι ανεξάρτητη του x. (Μονάδες 13)


α) |2 ,3 3 – 22 3 | 3 x2d x x x , το οποίο ισχύει όταν

3

2 3 0 2 32

x x x .

β) Από (α) ερώτημα είναι 2 3 3 2x x .

3

2 3 2 3 6 2 3 02

x x x x

Άρα 6 2 6 2x x και

2 3 2 3 2 3 6| |2 3 2 6 2 3 2K x x x x x x x 6 2x 3

Επομένως η παράσταση Κ ανεξάρτητη του x.

2.4290.

Δίνεται πραγματικός αριθμός x για τον οποίο ισχύει: 2 3x

α) Να αποδείξετε ότι: 1 5x . (Μονάδες 12)

β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: | 1| | 5 |

3

x xK

(Μονάδες 13)


α) | x 2 | 3 3 x 2 3 1 5x

β) Από (α) ερώτημα έχουμε 1 1 0 1 1x x x x και

5 0 5 5x x x

Άρα | 1 | | 5 |

3

x x xK

1 x 5 62

3 3

2.4295.

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί y, για τους οποίους ισχύει: 2 1y .

α) Να αποδείξετε ότι: 1,3y . (Μονάδες 12)

β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: 1 3

2

y yK

(Μονάδες 13)


α) 2 1 1 2 1 1 3 (1,3)y y y y

β) Από (α) ερώτημα έχουμε 1 1 0 1 1y y y y και


28

3 3 0 3 3y y y y

Άρα 1 3

2

yy yK

1 y 3 21

2 2

2.4318.

Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει 2 1 1x , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 0 1x . (Μονάδες 15)

β) Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς:

2

1, , x x .Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)


α) 2 1 1 1 2 1 1 0 2 2 0 1x x x x

β) Από (α) ερώτημα έχουμε 0

21x

x x x

, άρα 2

1x x .

2.7521.

α) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον

άξονα των πραγματικών αριθμών:

i) 1 2 5x και (Μονάδες 9)

ii) 1 2 1x (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι

παραπάνω ανισώσεις. (Μονάδες 7)


α) 1 2 5 5 1 2 5 6 2 4 3 2 2 3x x x x x

1 2 1 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 2 1 x x x x ή x x x

β) Συναληθεύουν στο ( 2,0] [1,3) .Οι ακέραιοι αριθμοί που υπάρχουν στα

διαστήματα αυτά είναι οι: -1,0,1,2.


29

4ο θέμα

4.2287.

Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός x που ικανοποιεί τη σχέση: ,5 9d x .

α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά. (Μονάδες 5)

β) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, να παραστήσετε σε μορφή

διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του x. (Μονάδες 5)

γ) Να γράψετε τη σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να επιβεβαιώσετε

με αλγεβρικό τρόπο το συμπέρασμα του ερωτήματος (β). (Μονάδες 10)

δ) Να χρησιμοποιήσετε το συμπέρασμα του ερωτήματος (γ) για να δείξετε ότι:

4 14 18x x . (Μονάδες 5)


α) η απόσταση του πραγματικού αριθμού x από τον αριθμό 5 είναι μικρότερη ή ίση

του 9.

β)

O ζητούμενος αριθμός είναι οποιοσδήποτε αριθμός είναι σημείο του ΑΒ ([-4,14])

γ) 5 9 9 5 9 9 5 9 5 4 14x x x x

δ) Επειδή 4 14x είναι 4 0 4 4x x x και

14 0 14 14x x x

Επομένως 4 14x x x 4 x 14 18

4.2301.

Δίνονται τα σημεία Α , Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των

πραγματικών αριθμών τους αριθμούς -2, 7 και x αντίστοιχα, με 2 7x .

α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων.

i) 2x (Μονάδες 4)

ii) 7x (Μονάδες 4)

β) Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του

αθροίσματος: 2 7x x (Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης 2 7A x x γεωμετρικά.

(Μονάδες 5)

δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούμενο συμπέρασμα.

(Μονάδες 7)


30


α) i) 2 ( , 2)x d x παριστάνει την απόσταση του πραγματικού αριθμού x από

το -2.

ii) 7 ( ,7)x d x παριστάνει την απόσταση του πραγματικού αριθμού x από το 7.

β)

γ) Παριστάνει το άθροισμα των αποστάσεων του πραγματικού αριθμού x από το -2

και από το 7,δηλαδή αν Μ, Γ,Δ οι εικόνες των x,-2,7 στον άξονα των

πραγματικών αριθμών τότε 7 2 9

δ) Είναι 2 7x , επομένως 2 0 2 2x x x και

7 0 7 7x x x . Άρα x 2 x 7 9

4.2302.

Σε έναν άξονα τα σημεία Α , Β και Μ αντιστοιχούν στους αριθμούς 5, 9

και x αντίστοιχα.

α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων 5x και 9x .

(Μονάδες 10)

β) Αν ισχύει 5 9x x ,

i) Ποια γεωμετρική ιδιότητα του σημείου Μ αναγνωρίζετε; Να αιτιολογήσετε

την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

ii) Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό x που

παριστάνει το σημείο Μ. Να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο την



α)

5 d(x,5)x παριστάνει την απόσταση του πραγματικού αριθμού x από το 5

και το 9 ( ,9)x d x παριστάνει την απόσταση του πραγματικού αριθμού x από

το 9.

β) i) το Μ ισαπέχει από τα σημεία Α και Β όπου Α η εικόνα του 5 και Β η εικόνα του

9 και βρίσκεται στον άξονα χ΄χ. Άρα είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος


31

ΑΒ δηλαδή ο αριθμός 7.

ii) 5 9 5 9 0 4x x x x x ύ ή

5 ( 9) 5 9 2 14 7x x x x x x

4.7791.

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β για τους οποίους ισχύει η ανίσωση:

1 1 0

α) Να αποδείξετε ότι το 1 είναι μεταξύ των α, β. (Μονάδες 13)

β) Αν επιπλέον 4 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

1 1 . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας είτε γεωμετρικά είτε

αλγεβρικά (Μονάδες 12)


α) Επειδή 1 1 0 , οι αριθμοί 1,1 είναι ομόσημοι.

Αν 1 0 1a και 1 0 1 , τότε 1 .

Αν 1 0 1a και 1 0 1 , τότε 1 .

Άρα πάντοτε το 1 είναι μεταξύ των α, β.

β) Αν 1 έχουμε 4 ( ) και

1 1 4 ( 1 0, 1 0 )

Αν 1 έχουμε 4 ( ) και

1 1 4 1 0,1 0

4.8453.

Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β∈ R ισχύει ότι

2 1

3 2

α) Να αποδειχθεί ότι 1 3 . (Μονάδες 4)

β) Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται ο β . (Μονάδες 5)

γ) Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση 2 3 .

(Μονάδες 7)

δ) Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση

. (Μονάδες 9)


α) 2 1 1 2 1 1 3 (1)

β) 3 2 2 3 2 1 5 [1,5]

γ) Είναι 1 3 2 2 6 (2) και


32

1 5 3 3 15 15 3 3 (3).

Με πρόσθεση των (2) και (3) έχουμε 13 2 3 3 .

δ) Είναι 1 3 (1) και1 1 1 1

1 5 1 15 5

(4)

Με πολλαπλασιασμό των (1) και (4) έχουμε 1 1 1

3 35 5


33

ΡΡΡίίίζζζεεεςςς

2ο θέμα

2.936.

Δίνεται η παράσταση: 4 1 4 1x x x x

α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την


β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x.

(Μονάδες 13)


α) Πρέπει 4 0 4x x και 1 0 1x x .Άρα η παράσταση Α ορίζεται για

4x

β) 2 2

4 1 4 1 4 1x x x x x x

4 ( 1)x x x 4 x 1 5

2.938.

α) Να δείξετε ότι : 33 30 4 (Μονάδες 12)

β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 3 330, 6 30 (Μονάδες 13)


α) 3

3 33 33 30 4 3 30 4 27 30 64 ισχύει

β) 3

33 3 3 3 330 6 30 2 30 6 30 3 30 3 30 27 ισχύει .

Άρα 3 330 6 30

2.944.

Δίνεται η παράσταση: 4 6x x


απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε μορφή

διαστήματος. (Μονάδες 13)

β) Για 5x ,να αποδείξετε ότι: 2

6 0 (Μονάδες 12)


α) Πρέπει 4 0 4x x και 6 0 6x x .Άρα η παράσταση Α ορίζεται για

4 6x

β) Για 5x είναι: 5 4 6 5 1 1 1 1 2A

Άρα 2 2

6 2 2 6 4 2 6 0


34

2.947.

Δίνεται η παράσταση:2 4 4x x




β) Για 4x ,να αποδείξετε ότι: 2 2 (10 5)A A (Μονάδες 12)


α) Πρέπει 4 0 4x x και 2

4 0x που ισχύει πάντοτε. Άρα η παράσταση Α

ορίζεται για 4x , δηλαδή 4,x .

β) Για 4x 2 24 4 4 4 20 0 2 5 2 5

Άρα 2

22 5 2 5 20 2 5 2(10 5)

2.950.

Δίνεται η παράσταση:441 x x




β) Για 3x ,να αποδείξετε ότι: 3 2

1 0A A A (Μονάδες 12)


α) 441 1 | |x x x x

Πρέπει 1 0 1x x , άρα η παράσταση Α ορίζεται για ,1x .

β) Για 3x είναι: 1 ( 3) | 3 | 4 3 2 3 1

Άρα 3 2 3 21 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1A A A 1 1 1 0

2.952.

Δίνεται η παράσταση:55 ( 2)B x

α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Β; Να αιτιολογήσετε την



β) Για 4x ,να αποδείξετε ότι: 2 4

6B B B (Μονάδες 12)


α) Πρέπει 5

( 2) 0 2 0 2 [2, )x x x x

β) Για 4x είναι 55 55 (4 2) 2 2B και

2 2 4 4

6 2 6 2 4 12 16 2B B B


35

2.955.

Δίνονται οι αριθμοί: 6( 2)A και 63( 2)

α) Να δείξετε ότι: 4 (Μονάδες 13)

β) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς: 32,1, 2

(Μονάδες 12)


α) 6 6

3 232 2 2 2 8 4 4A B

β) 6 6

6 2 33 31 2 2 1 2 2 1 2 2 1 4 8 ισχύει

2.1276.

Δίνεται η παράσταση:2 2

4 4 6 9

2 3

x x x xK

x x

α) Να βρεθούν οι τιμές που πρέπει να πάρει το x, ώστε η

παράσταση Κ να έχει νόημα πραγματικού αριθμού. (Μονάδες 12)

β) Αν 2 3x , να αποδείξετε ότι παράσταση Κ σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη

του x. (Μονάδες 13)


α) Πρέπει 22 0x x και 3 0 3x x .Άρα για x≠-2,3 η παράσταση Κ

έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

β) Όταν 2 3x ,είναι 2 0 2 2x x x και

3 0 3 3 ( 3)x x x x

2 22 2 ( 2) ( 3)4 4 6 9

2 3 2 3

x xx x x xK

x x x x

| 2 | | 3 | 2

2 3

x x xK

x x

2x

3x

3x 1 1 2

2.1300.

Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις: 6 6

32 , 3 και 6

6 6

α) Να δείξετε ότι: 23A B (Μονάδες 13)

β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: 3 3 και 6 6

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12)


α) 6 6 6

3 23 62 3 6 2 3 6 8 9 6 23A B


36

β) 6 6

23 6 3 63 6 3 6 3 6 9 6 ισχύει

2.4311.

Δίνονται οι παραστάσεις: 2( 2)x και 33 (2 )B x όπου x

πραγματικός αριθμός

α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση A; (Μονάδες 7)

β) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση B; (Μονάδες 8)

γ) Να δείξετε ότι, για κάθε 2x , ισχύει A B . (Μονάδες 10)


α) Είναι 2A x και ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό x.

β) Πρέπει 3

(2 ) 0 2 0 2x x x

γ) Για 2x είναι 2A x και 33 (2 ) | 2 | 2B x x x

Άρα A B .

2.4314.

Αν είναι 3 5, 3 και 6 5 , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 15 (Μονάδες 15)

β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Α, Β . (Μονάδες 10)


α) 6 6 6 62 3 2 3 3 3 33 6 65 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 15 6

15

β) 3

33 35 3 5 3 5 27 ισχύει. Άρα A B .

2.4316.

Αν είναι 2 3, 2 3A B , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 1A B . (Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 2 2A B . (Μονάδες 13)


α) 2

22 3 2 3 2 3 4 3 1A B

β) 2 3A B 2 3 2 2 4

2 2 2 22 4 2 1 16 2 14A B A BA B


37

2.8173.

Στον πίνακα της τάξης σας είναι γραμμένες οι παρακάτω πληροφορίες

(προσεγγίσεις):

2 ≅ 1,41

3 ≅ 1,73

5 ≅ 2,24

7 ≅ 2,64

α) Να επιλέξετε έναν τρόπο, ώστε να αξιοποιήσετε τα παραπάνω δεδομένα

(όποια θεωρείτε κατάλληλα) και να υπολογίσετε με προσέγγιση

εκατοστού τους αριθμούς 20, 40, 80 (Μονάδες 12)

β) Αν δεν υπήρχαν στον πίνακα οι προσεγγιστικές τιμές των ριζών πώς θα

μπορούσατε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 3 20 80

45 5

;

(Μονάδες 13)


α) 2 220 2 5 2 5 2,24 4,48

240 2 2 5 2 2 2 1,41 2,24 6,375

2 480 4 5 4 5 2,24 8,96

β) 2

10 53 20 80 3 2 5 4 5 6 5 4 5

45 5 3 5 53 5 5

2 55


38

ΕΕΕξξξιιισσσώώώσσσεεειιιςςς

ΕΕΕξξξιιισσσώώώσσσεεειιιςςς 111οοουυυ βββαααθθθμμμοοούύύ

2ο θέμα

2.485.

Δίνεται η εξίσωση 21x x , με παράμετρο .

α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

1 x 1 1 , (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς

μία λύση την οποία και να βρείτε. (Μονάδες 8)

γ) Για ποια τιμή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των

πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 9)


α) 2 21 1 ( 1) ( 1)( 1)x x x x x

β) Πρέπει 1 0 1

Τότε έχει τη μοναδική λύση ( 1)

x

( 1)

1

1

γ) Πρέπει 1 .Πράγματι για 1 έχουμε 0 0x

2.507.

Δίνεται η εξίσωση: 2 29 x 3 , με παράμετρο (1)

α) Επιλέγοντας τρείς διαφορετικές πραγματικές τιμές για το λ, να γράψετε τρείς

εξισώσεις. (Μονάδες 6)

β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του , ώστε η (1) να έχει μία και μοναδική

λύση.

(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε την τιμή του , ώστε η μοναδική λύση της (1) να ισούται με 4.

(Μονάδες 10)


α) 2 21 0 (0 9) 0 3 0 9 0 x x

β) Έχει μοναδική λύση όταν

29 0 ( 3)( 3) 0 3 0 3 3 0 3

την 2

2

( 3)3

9x

( 3) 3( 3)

2 21 1 (1 9) 1 3 1 8 2 x x

2 21 4 (4 9) 4 3 4 7 4 x x


39

γ) 4 4( 3) 4 123

12

4 12 3 12 43

2.1055.

Δίνεται η εξίσωση: 2 1 x 1 2 , με παράμετρο

α) Να λύσετε την εξίσωση για 1 και για 1 . (Μονάδες 12)

β) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει μοναδική λύση; Να αιτιολογήσετε την



α) Για 1 : 2

(1 1) (1 1)(1 2) 0 6x x αδύνατη

Για 1 : 2

(( 1) 1) ( 1 1)( 1 2) 0 0x x αόριστη ή ταυτότητα

β) Όταν 2 21 0 1 1 έχει μοναδική λύση

2.2702.

Δίνονται οι παραστάσεις: 2x 4 και x 3 , όπου ο x είναι

πραγματικός αριθμός.

α) Για κάθε 2 x 3 να αποδείξετε ότι x 1 . (Μονάδες 16)

β) Υπάρχει x 2,3 ώστε να ισχύει 2 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας. (Μονάδες 9)


α) Έστω 2 x 3 , τότε 2 0 2( 2) 0 2 4 0x x x και | 2x 4 | 2x 4

Επίσης 3 0 | 3| 3x x x

Επομένως 2x 4 x 3 x 1

β) Αν υπάρχει θα πρέπει 2 1 3 [2,3)x x , άρα δεν υπάρχει.

2.3382.

Δίνεται η παράσταση: 3 5

5 3 5 3A

α) Να δείξετε ότι: 4 . (Μονάδες 12)

β) Να λύσετε την εξίσωση: x 1 . (Μονάδες 13)


α)

3 5 3 5 5 33 5

5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3A


40

15

A

2 2

3 5 15 2 2

3 5 84

5 3 25 3

β) 4 1 4 1 3 4 1 5x x x ή x x

2.4302

Δίνεται η εξίσωση: 23 x 9 , με παράμετρο .

α) Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις:

i) όταν 1 (Μονάδες 5)

ii) όταν 3 (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και να

προσδιορίσετε τη λύση αυτή. (Μονάδες 12)


23 x – 9 (1)

α) i) Για 1 από την (1) έχουμε 2 8

4 1 9 4 8 24

x x x x

ii) Για 3 από την (1) έχουμε 2

0 ( 3) 9 0 8x x Αδύνατη

β) Έχει μοναδική λύση όταν 3 0 3 την

2 ( 3) ( 3)9

3

a aax

a

3a 3

ΔΔΔεεευυυτττεεερρροοοβββάάάθθθμμμιιιεεεςςς εεεξξξιιισσσώώώσσσεεειιιςςς

2ο θέμα

2.481.

Δίνεται η εξίσωση 22 4( 1) 0x x , με παράμετρο

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε


γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή

του λ ισχύει: 1 2 1 2x x x x (Μονάδες 9)


α) 2 2 2 2

4 4 4( 1) 4 16( 1) 4 16 16 (2 4)

β) Είναι 2

(2 4) 0 άρα η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε .

γ) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2 2x x και 1 2 4( 1) 4 4x x

Επομένως 1 2 1 2 2 4 4 4 2 4 2 4 2x x x x


41

2.483.

α) Να λύσετε την εξίσωση 2 1 3x (Μονάδες 12)

β) Αν , με είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να

λύσετε την εξίσωση 2

3 0x x (Μονάδες 13)


α) 2 1 3 2 1 3 2 4 2 1 3 2 2x x x ή x x x = 2 x = 1

β) Είναι 1 και 2 οπότε η εξίσωση γίνεται:2

2 3 0 1 3x x x ή x

2.493.

α) Να λύσετε την εξίσωση 2 3x (Μονάδες 10)

β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του

α) ερωτήματος. (Μονάδες 15)


α) 2 3 2 3 2 3x x ή x x = 2+ 3 x = 2 3

β) Το άθροισμα των ριζών είναι 2 3S 2 3 4

Το γινόμενο των ριζών είναι: 2

2(2 3)(2 3) 2 3 4 3 1P

H ζητούμενη εξίσωση είναι η 2

x 4x 1 0

2.496.

Δίνεται η εξίσωση 2

2 4( 1) 0x x .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε . (Μονάδες 8)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης τότε να βρείτε για ποια τιμή

του λ ισχύει2

1 2 1 2( ) 5 0x x x x (Μονάδες 9)


α) 2 2 2

4 16( 1) 4 16 16 (2 4)

β) Είναι 2

2 4 0 , άρα η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε .

γ) Από τις σχέσεις Vieta : 1 2 2S x x και 1 2 4( 1)x x

Άρα 2 2 2

1 2 1 2( ) 5 0 ( 2 ) 4( 1) 5 0 4 4 4 5 0x x x x

2 2

4 4 1 0 (2 1) 0 2 1 0 2 1 1

λ =2


42

2.1005.

Δίνονται οι παραστάσεις 1

1

x

x

και

2

2B

x x

, όπου ο x είναι

πραγματικός αριθμός.

α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει:

1x και 0x . (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει A B . (Μονάδες 13)


α) Για να ορίζεται η παράσταση Α θα πρέπει 1 0 1x x και για να ορίζεται η

παράσταση Β θα πρέπει 2

0 ( 1) 0 0 1 0 1x x x x x x x

Άρα για να ορίζονται ταυτόχρονα θα πρέπει 1x και 0x .

β) ( ( 1))

2

1 2 1 2

1 1 (x 1)

x xx x

x x x x x

(1 ) 2x x

2 22 2 0 1 2x x x x x ί ή x ή

2.1007.

α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: 22 10 12x x (Μονάδες 15)

β) Να λύσετε την εξίσωση:2

2 10 120

2

x x

x

(Μονάδες 10)


α) (:( 2))

2 2 22 10 12 2 10 12 0 5 6 0 2 3x x x x x x x ή x

β) Πρέπει 2 0 2x x

2

22 10 120 2 10 12 0 2

2x = 3

x xx x x ί ή

x

2.1067.

Δίνεται η παράσταση:2

2

4 4

2 3 2

x xK

x x

.

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 22 3 2x x (Μονάδες 10)

β) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση K; Να αιτιολογήσετε την


γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση K. (Μονάδες 8).


α) 2

3 4 2 ( 2) 9 16 25

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι: 1 2

3 5 3 5 12,

4 4 2x x

.


43

Άρα 2 12 3 2 2 2 ( 2)(2 1)

2x x x x x x

β) Θα πρέπει 2 1

2 3 2 0 22

x x x x

γ)

2 2

2

4 4 (x 2)

2 3 2

x xK

x x

( 2)x

2

2 1(2 1)

x

xx

2.1093.

Δίνονται οι αριθμοί:1 1

,5 5 5 5

A B

α) Να δείξετε ότι:

i) 1

2A B (Μονάδες 8)

ii)1


β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς Α και Β.

(Μονάδες 9)


α) i)

5 5

A B

5 5

2

2

10 10 10 1

25 5 20 25 5 5 5 5 5

ii)

22

1 1 1 1 1 1

25 5 205 5 5 5 5 5 5 5 5 5A

β) Η ζητούμενη εξίσωση έχει άθροισμα ριζών 1

2S A B , γινόμενο ριζών

1

20P A και είναι η

( 20)2 21 1

0 20 10 1 02 20

x x x x

2.1097.

Δίνεται το τριώνυμο 2

2x x 5 , όπου .

α) Αν μια ρίζα του τριωνύμου είναι ο αριθμός 0x 1 , να προσδιορίσετε την τιμή

του λ. (Μονάδες 12)

β) Για 3 , να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο. (Μονάδες 13)

1 1 5 5 5 5

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5A B


44


α) Το 1 ρίζα του τριωνύμου , επομένως 22 1 1 5 0 2 5 0 3

β) Για 3 το τριώνυμο γίνεται 2

2x 3x 5 .

2

3 4 2 ( 5) 9 40 49 και 1

3 7 41

4 4x

, 2

3 7 10 5

4 4 2x

Επομένως 2 5

2 3 5 2(x 1) ( 1)(2 5)2

x x x x x

2.1275.


2x 5x 1 .

α) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων: 1 2 1 2,x x x x και 1 2

1 1

x x (Μονάδες 9)

γ) Να προσδιορίσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς

1 2

1 1,

x x (Μονάδες 10)


α) 25 4 2 1 25 8 33 0 , άρα έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.

β) Από τις σχέσεις Vieta : 1 2 1 2

5 1, P

2 2S x x x x και

2 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2

5

1 1 2x x x x

x x x x x x x x

1

2

5

γ) Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι 1 2

1 15S

x x και το γινόμενο των

ριζών της είναι 1 2 1 2

1 1 1 12

1

2

Px x x x

.

Η ζητούμενη εξίσωση είναι η 2

x 5x 2 0

2.1281.

Δίνεται το τριώνυμο 2 ( 3 1) 3x x

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: 2

( 3 1)

(Μονάδες 12)

β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο (Μονάδες 13)


45


α) 2 22 2

3 1 4 ( 1)( 3) 3 2 3 1 4 3 3 2 3 1 3 1

β) Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι

1

3x

1 3 11

2

και 2

3 1x

3 1 2 33

2 2

.

Επομένως 2 ( 3 1) 3 (x 3)(x 1)x x

2.1282.

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2

3x 2x 1 (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες έχει νόημα η παράσταση:

2

1( )

3 2 1

xA x

x x

και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. (Μονάδες 9)

γ) Να λύσετε την εξίσωση: A x 1 (Μονάδες 8)


α) 2

( 2) 4 3 ( 1) 4 12 16 . Οι ρίζες είναι

1

2 4 61

6 6x

και 2

2 4 2 1

6 6 3x

. Άρα

2 1

3 2 1 3(x 1) ( 1)(3 1)3

x x x x x

β) Πρέπει 2 1

3 2 1 0 13

x x x x .

2

1 1( )

3 2 1

x xA x

x x

( 1)x

1

3 1(3 1) xx

γ) 1 1

| ( ) | 1 1 1 | 3 1| 13 1 | 3 1|

A x xx x

3 1 1 3 0 3 1 1 3 2x x ή x x 2

x = 0 x =3

2.1298.

Έστω , πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: 2 και 2 2

30

α) Να αποδείξετε ότι: 15 . (Μονάδες 10)

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς , και

να τους βρείτε. (Μονάδες 15)


46


α) 2 (1)

(1) (:2)

2 2 30 ( ) 30 2 30 15

β) Η ζητούμενη εξίσωση έχει άθροισμα ριζών 2S , γινόμενο ριζών

15P και είναι η 2

x 2x 15 0 .

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα 2 22 4 1 15 64 8 και ρίζες

1

2 85

2x

και 2

2 83

2x

, άρα 5a και 3 ή 3 και 5

2.1509.

Δίνεται η εξίσωση 2x 1 x 6 0 , (1) με παράμετρο .

α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1,να βρείτε το λ. (Μονάδες 13)

β) Για 2 να λύσετε την εξίσωση (1). (Μονάδες 12)


α) Το 1 επαληθεύει την εξίσωση. Άρα

21 1 6 0 1 81 1 6 0

β) Για 2 η εξίσωση γίνεται 2

x x 6 0 .

Επειδή 1 4 1 6 1 24 23 0 , δεν έχει πραγματικές λύσεις.

2.3839.

Δίνεται η εξίσωση: 2x 1 x 1 0 , με παράμετρο 0 .

α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό −2 .

(Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε 0 .

(Μονάδες 13)


α) Το -2 επαληθεύει την εξίσωση. Άρα

2 3 1( 2) 1 0 4 2 2( 2) 1 1 0 6 3

6 2

β) Για κάθε 0 η εξίσωση είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα:

2 2 2( 1) 4 ( 1) ( 1) 4 2 1 4

2 22 1 ( 1) 0

Άρα έχει πραγματικές λύσεις για κάθε λ ≠ 0.


47

2.3857.

Έστω , πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: 4 και 2 2

20


β) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς , και να

τους βρείτε. (Μονάδες 15)


α) 4 (1)

(1) (:4)

2 2 20 ( ) 20 4( ) 20 5



x 5x 4 0 .


1

5 34

2x

και 2

5 31

2x

, άρα 4a και 1 ή 1 και 4 .

2.3863.

Έστω , πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

1 και 3 2 2 3

2 12


β) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς , και να

τους βρείτε. (Μονάδες 15)


α) 1 (1)

3 2 2 3 2 2

2 12 ( 2 ) 12

(1)

2 2( ) 30 ( 1) 12 12



x x 12 0 .


1

1 73

2x

και 2

1 74

2x

, άρα 3a και 4 ή 4 και 3 .

2.4308.

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του x η παράσταση 2

2

2 1 1

1

x

x x x

έχει

νόημα πραγματικού αριθμού. (Μονάδες 10)

β) Για τις τιμές του x που βρήκατε στο α) ερώτημα, να λύσετε την εξίσωση:

2

2

2 1 10

1

x

x x x



48


α) Πρέπει 2

0 ( 1) 0 0 1x x x x x x και 1 0 1x x .

άρα έχει νόημα για 0 1x x

β) 2 2 ( 1)

2

2

2 1 1 2 1 10 0 2 1 0

1 (x 1) 1

x xx xx x

x x x x x

2

2 1 0 1x x x ή 1

2x δεκτή

2.4309.

Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο 20cm και εμβαδό 2

E 24cm .

α) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη

των πλευρών αυτού του ορθογωνίου. (Μονάδες 15)

β) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 10)


α) Αν , οι πλευρές του ορθογωνίου τότε:

:2

2 2 20 2 2 10 10 (1)

24 24 (2)

Η ζητούμενη εξίσωση έχει άθροισμα ριζών 10S , γινόμενο ριζών

24P και είναι η 210 24 0x x (3)

β) Η εξίσωση έχει διακρίνουσα 2 210 4 1 24 4 2 και ρίζες

1

10 26

2x

και 2

10 24

2x

, άρα που είναι τα μήκη των πλευρών

του ορθογωνίου 4 και 6.

2.4310

Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί , τέτοιοι ώστε: 12 και 2 2

272 .

α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας 2 2 22 , να δείξετε ότι:

64 . (Μονάδες 8)

β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς , .

(Μονάδες 10)

γ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς , . (Μονάδες 7)


49

x

x + 1


α) 22 22 2 22 2

2 2 2 2( ) 12 272 144 272 12864

2 2 2 2


64P και είναι η 212 64 0x x (1)

γ) Η εξίσωση έχει διακρίνουσα 2 212 4 1 64 400 20 και ρίζες

1

12 2016

2x

και 2

12 204

2x

,

Οι , είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1) άρα 16a και 4 ή 4 και 16 .

2.4313.

Δίνονται οι αριθμοί:1

3 7A

και

1

3 7B

α) Να δείξετε ότι: 3A B και 1


β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς ,A B .

(Μονάδες 13)


α) i)

1 1 3 7 3 7

3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7A B

3 7

A B

3 7

2

2

6 6 63

9 7 23 7 3 7 3 7

ii)

22

1 1 1 1 1 1

9 7 23 7 3 7 3 7 3 7 3 7A B

β) Η ζητούμενη εξίσωση έχει άθροισμα ριζών 3S A B , γινόμενο ριζών

1

2P A B και είναι η

( 2)2 21

3 0 2 6 1 02

x x x x

2.13073.

Το πάτωμα του εργαστηρίου της πληροφορικής ενός σχολείου είναι σχήματος

ορθογωνίου με διαστάσεις x 1 μέτρα και x μέτρα.

α) Να γράψετε με τη βοήθεια του x την περίμετρο και το εμβαδόν του

πατώματος.

(Μονάδες 10)


50

β) Αν το εμβαδόν του πατώματος του εργαστηρίου είναι 90

τετραγωνικά μέτρα, να βρείτε τις διαστάσεις του. ( Μονάδες 15)


α) Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι: x x x 1 x 1 4x 2 m.

Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι: 2E x x 1 x x 2m .

β) 2 2E 90 x x 90 x x 90 0 .

Η τελευταία είναι εξίσωση 2ου βαθμού με διακρίνουσα: 21 4 1 90 361

και ρίζες 1,2

1 361 1 19x

2 2

1x 9 και 2x 10 απορρίπτεται αφού x 0

Επομένως οι διαστάσεις του εργαστηρίου είναι 9 m και 10 m.

2.13153.

Δίνεται το τριώνυμο 2x κx 2 , με κ .

α) Να αποδείξετε ότι 0 για κάθε κ , όπου Δ η διακρίνουσα του τριωνύμου.

(Μονάδες 10)

β) Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2

x κx 2 0 (1),

i) να βρείτε το άθροισμα 1 2S x x και το γινόμενο

1 2P x x των ριζών της (1).

(Μονάδες 6)

ii) να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες 1 2ρ ,ρ , όπου

1 1ρ 2x και

2 2ρ 2x . (Μονάδες 9)


α) 2 2κ 4 1 2 κ 8 0 για κάθε κ .

β) i) Από τους τύπους Vieta είναι 1 2

κS x x κ

1

και 1 2

2P x x 2

1

ii) Η ζητούμενη εξίσωση έχει άθροισμα ριζών

1 2 1 2 1 2S ρ ρ 2x 2x 2 x x 2S 2κ και γινόμενο ριζών

1 2 1 2 1 2ρ ρ 2x 2x 4x x 4 2 8

Η εξίσωση είναι η 2 2x S x P 0 x 2κx 8 0

4ο θέμα

4.1955.

Τέσσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο Δημήτρης τερμάτισαν σε

έναν αγώνα δρόμου με αντίστοιχους χρόνους (σε λεπτά) tA, tB, tΓ και tΔ, για τους

οποίους ισχύουν οι σχέσεις:

tA < tB , 2

3

t tt

και A B

t t t t

.

α) i) Να δείξετε ότι: 2

t tt

(Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε τη σειρά με την οποία τερμάτισαν οι αθλητές. Να αιτιολογήσετε



51

β) Δίνεται επιπλέον ότι ισχύει: Bt t 6A και A Bt t 8

i) Να γράψετε μία εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς tA και tB

(Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε τους χρόνους τερματισμού των τεσσάρων αθλητών.

(Μονάδες 5)


α) i) A B At t t t t t Bt t A Bt t άτοπο ( A Bt t )

ή 2)2

( A BA B A B A B

t tt t t tt tt ttt t t

ii) 22

A A A A B A B

t tt t t t t t t t

ισχύει.

23( ) 2( 2 )

2 3

3 3 2 4 .

A B A B

A B A B A B

t t t tt t t t t t

t t t t t t ύ

Άρα At t t t

β) i) Η ζητούμενη εξίσωση έχει άθροισμα ριζών Bt t 6AS , γινόμενο ριζών

2

2 33

A B B A B

t tt t t t t t t t

ισχύει.

A Bt t 8P και είναι η2

x 6x 8 0 .

ii) Οι χρόνοι τερματισμού των αθλητών Α και B είναι οι ρίζες της εξίσωσης

2

x 6x 8 0 δηλαδή At 2min και t 4min ( A Bt t )

Ο χρόνος τερματισμού του αθλητή Γ είναι

2 2 2 4 10

3min 20sec3 3 3

t tt

Ο χρόνος τερματισμού του αθλητή Δ είναι 2 4

3min2 2

t tt

4.2055.

Δίνεται η εξίσωση: 2 2 2x 1 x 1 0 , (1) με παράμετρο

α) Να βρεθούν οι τιμές του , για τις οποίες η (1) είναι εξίσωση 2ου βαθμού.

(Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του που βρήκατε στο (α) ερώτημα η (1)

παίρνει τη μορφή : 2x – 1 x 1 0 (Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του που βρήκατε στο (α) ερώτημα η (1)

έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 7)

δ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της (1), αν αυτή είναι 2ου βαθμού. (Μονάδες 6)


α) Για να είναι εξίσωση 2ου βαθμού θα πρέπει

2

0 ( 1) 0 λ 0 και 1 0 λ 1


52

β) 2 2 2 1 1 0x x

:( 1) 0

2( 1) x ( 1)( 1) ( 1) 0x

2x ( 1) 1 0x

γ) 2 2 2 2( 1) 4 2 1 4 2 1 ( 1) 0 ( 1)

Άρα έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.

δ) 1

1x

1 21

2 2

και

2x

1 1 2 1

2 2

4.2332.

Δίνεται η εξίσωση 2 2

x 4x 2 0 (1) με παράμετρο .

α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του , η (1) έχει δύο ρίζες άνισες.

(Μονάδες 10)

β) Αν x1 και x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1):

i) Να βρείτε το 1 2S x x .

ii) Να βρείτε το 1 2P x x ως συνάρτηση του πραγματικού αριθμού λ .

(Μονάδες 5)

γ) Αν η μία ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός 2 3 τότε:

i) να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός 2 3 .

ii) να βρείτε το λ. (Μονάδες 10)


α) Η εξίσωση έχει διακρίνουσα 2 2 2 2

( 4) 4(2 ) 16 8 4 8 4 0

άρα έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.

β) i) 1 2 4S x x

ii) 1 2

22P x x

γ) i) Αν 1 2 3x τότε : 1 2 2 24 2 3 4 4 2 3 2 3x x x x

ii) 2 2

1 2 (2 3)(2 3)2 2x x

2

2 2 2 22 3 2 4 3 2 1 1

4.4551.

Δίνεται το τριώνυμο: 2 2x 1 x , 0

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το

τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0 (Μονάδες 8)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα 1 2S x x

συναρτήσει του 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου 1 2P x x των ριζών

(Μονάδες 5)


53

γ) Αν 0 , τότε:

i) το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6)

ii) να αποδείξετε ότι 1 2 1 22x x x x , όπου 1 2x , x είναι οι ρίζες του

παραπάνω τριωνύμου. (Μονάδες 6)


α) 2

2 4 2 2 4 2 2 2( 1) 4 2 1 4 2 1 ( 1) 0

Άρα η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές για κάθε .

β) 1 2

21

S x x

και 1 2 1P x x

γ) i) Επειδή το γινόμενο είναι θετικός αριθμός και το άθροισμα αρνητικός αριθμός

(2

1 0 και 0 ) το τριώνυμο έχει ρίζες αρνητικές.

ii) 2 2 ( ) 0

2

1 2 1 2

1 1| | 2 2 2 1 2x x x x

2 2

2 1 0 ( 1) 0

4.4558.

Δίνεται το τριώνυμο: 2 2f x x – 1 x , με 0


τριώνυμο έχει ρίζες θετικές για κάθε 0 . (Μονάδες 10)

β) Αν οι ρίζες του τριωνύμου είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου

παραλληλογράμμου, τότε:

i) να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου. (Μονάδες 4)

ii) να βρείτε την περίμετρο Π του ορθογωνίου ως συνάρτηση του λ και να

αποδείξετε ότι 4 για κάθε 0 . (Μονάδες 8)

iii) για την τιμή του λ που η περίμετρος γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση

με 4, τι συμπεραίνετε για το ορθογώνιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή



α) 2

2 4 2 2 4 2 2 2( 1) 4 2 1 4 2 1 ( 1) 0


Από τους τύπους Vieta έχουμε: 1 2

21

S x x

και 1 2 1P x x

Επειδή το γινόμενο είναι θετικός αριθμός και το άθροισμα θετικός αριθμός

(2

1 0 και 0 ) το τριώνυμο έχει ρίζες θετικές.


54

β) i) 2

1 2 1 2

12 2 2( ) 2x x x x

ii) 2 (:2)( 0)

214 2 4 2 2 4

2 2 2

1 2 2 1 0 ( 1) 0 ύ

iii) 2

4 ( 1) 0 1 0 1

Για 1 είναι 22x 2x 1 x 1f x , Οι ρίζες του είναι 1 2 1x x

Στην περίπτωση αυτή το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.

4.4654.

α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: 4 2

x – 7x 12 0

Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις

οποίες και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 10)

β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε

τη διτετράγωνη εξίσωση: 4 2

x x 0 (1) με παραμέτρους , .

Να δείξετε ότι: Αν 0 , 0 και 2

– 4 0 , τότε η εξίσωση (1) έχει

τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 15)


α) 4 2

x – 7x 12 0 (1)

Αν στην εξίσωση (1) θέσουμε 2

x (2) προκύπτει η εξίσωση 2

7 12 0 με

ρίζες τους αριθμούς 3,4.

Από την (2)2 24 2 3 3x x ή x x

Άρα η (1) έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες.

β) 4 2

x x 0 (1) Θέτουμε 2

x (2). Τότε η εξίσωση (1) γίνεται

2

0 (3) με διακρίνουσα 2

4 0 .Επομένως έχει δύο ρίζες

πραγματικές και άνισες.

Επίσης από τις σχέσεις Vieta είναι 1 2 0S και 1 2 0P

(ω1,ω2 οι ρίζες της (3)).Άρα η (3) έχει δύο θετικές ρίζες.

Οπότε από την (2) 2 2

1 1 2 2x x ή x x

Άρα η (1) έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες.

4.4659.

Δίνεται η εξίσωση: 2

x 5x 0 , με παράμετρο α≠0.

α) Να αποδείξετε ότι αν 5

| |2

a , τότε η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικούς

αριθμούς, που είναι αντίστροφοι μεταξύ τους. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν 2 . (Μονάδες 5)


55

γ) Να λύσετε την εξίσωση:

21 1

2 5 2 0x xx x

(Μονάδες 10)


α) 2 2

0 ( 5) 4 0 25 4 0 2 54 25 2 | | 5 | |

2

Από τις σχέσεις Vieta : 1a

Pa

.Άρα έχει ρίζες πραγματικούς αριθμούς, που

είναι αντίστροφοι μεταξύ τους.

β) Όταν 2 έχουμε την εξίσωση : 2

2x 5x 2 0

2

( 5) 4 2 2 25 16 9 και 1 2

5 3 8 5 3 2 12,

2 2 4 2 2 4 2x x

γ) Θέτουμε 1

xx

(1) .Οπότε προκύπτει η εξίσωση 2

2 5 2 0 ,η οποία από

το ερώτημα (β) έχει ρίζες τους αριθμούς 2 και 1

2

( )2

2 2 21(1) 2 1 2 2 1 0 ( 1) 0 1 0 x = 1

xx

x x x x x x xx

1

( 2 )22 21 1

(1) 2 2 2 2 0 (2)2

xx

x x x x xx

2

4 2 2 1 16 15 01 .Επομένως η εξίσωση (2) δεν έχει

πραγματικές λύσεις.

Άρα η εξίσωση

21 1

2 5 2 0x xx x

έχει μοναδική λύση την x 1 .

4.4665.

Δίνεται η εξίσωση: 2 2x x 5 0 (1) με παράμετρο .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης (1). (Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για

κάθε . (Μονάδες 10)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (1), να βρεθούν οι τιμές του

για τις οποίες ισχύει: 1 2x 2 x 2 4 (Μονάδες 10)


α) 2 2 2 2 2( ) 4 ( 5) 4 20 5 20

β) Είναι 2

5 20 0 άρα η (1) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε

λ∈ ℝ .


56

γ) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε : 1 2S x x και 2 2

1 2 ( 5) 5x x

1 2 1 2 1 22 2 4 4 2 2 4 4x x x x x x

2

1 2 1 24 2( ) 8 0 4 ( 5) 2 8 0x x x x

(:2)

2 2 24 20 2 8 0 4 2 12 0 2 6 0

Η τελευταία έχει διακρίνουσα 2

1 4 2 ( 6) 1 48 49

Άρα 1 7 8

24 4

ή 1 7 6 3

4 4 2

4.4667.

α) Να λύσετε την εξίσωση: 2

x 3x 4 0 (1) (Μονάδες 10)

β) Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί α, β για τους οποίους ισχύει: 2 2

3 4 0 .

i) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

είναι λύση της εξίσωσης (1).

(Μονάδες 7)

ii) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β.

(Μονάδες 8)


α) 2

( 3) 4 1 ( 4) 9 16 25

άρα 1

3 5 84

2 2x

, 2

3 5 21

2 2x

β) i) Για να είναι αριθμός

είναι λύση της εξίσωσης (1) θα πρέπει να την

επαληθεύει, δηλαδή

22 2 ( )2 2

23 4 0 3 4 0 3 4 0

ισχύει.

ii) Αφού αριθμός

είναι λύση της εξίσωσης (1) θα πρέπει 1

απορρίπτεται

γιατί οι α, β είναι ομόσημοι ή 4 4

.

Άρα ο α είναι τετραπλάσιος του β.

4.4681.

Δίνεται η εξίσωση: 2 2x x 0 , με παράμετρο (1)

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση

έχει ρίζες πραγματικές για κάθε . (Μονάδες 10)

β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)


57

γ) Αν 1

2 και 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε

για ποιες τιμές του λ ισχύει: 1 2

1 2

1( , )

( , )d x x

d x x (Μονάδες 9)


α) 2 2 2 2

( 1) 4 1 ( ) 1 4 4 (1 2 ) 0 .

Άρα η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ ∈ℝ


0 (1 2 ) 0 1 2 0 2 12

γ) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 2

1 2 1 21,S x x x x

2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

2 2

1 1( , ) | x | | x | 1

( , ) | x |

( ) 1 2 1 ( ) 4 1

1 4( ) 1 1

d x x x xd x x x

x x x x x x x x x x

24 4 1 4 ( 1) 0

0 1ή

4.4833.

Μία υπολογιστική μηχανή έχει προγραμματιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν

ένας πραγματικός αριθμός x, να δίνει ως εξαγόμενο τον αριθμό λ που δίνεται από τη

σχέση: 2

2x 5 8x (1)

α) Αν ο εισαγόμενος αριθμός είναι το -5, ποιος είναι ο εξαγόμενος;

(Μονάδες 6)

β) Αν ο εξαγόμενος αριθμός είναι το 20, ποιος μπορεί να είναι ο εισαγόμενος;

(Μονάδες 6)

γ) Να γράψετε τη σχέση (1) στη μορφή 24x 12x 25 0 και στη

συνέχεια:

i) να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιμή και να έχει ο εισαγόμενος αριθμός x, ο

εξαγόμενος αριθμός λ δεν μπορεί να είναι ίσος με 5. (Μονάδες 6)

ii) να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές του εξαγόμενου αριθμού λ. (Μονάδες 7)


α) 2 22( 5) 5 8( 5) ( 5) 40 25 40 65

β) 2 2 220 2 5 8 20 4 20 25 8 20 4 12 5 0x x x x x x x

24 4 5 141 4 80 642 .

άρα 12 8 4 1

8 8 2x

ή

12 8 20 5

8 8 2x


58

γ) 2 2 22 5 8 4 20 25 8 4 12 25 0x x x x x x x (2)

i) Για 5 η (2) γίνεται : (:4)

2 24 12 20 0 3 5 0x x x x

23 4 1 5 9 20 11 0

Άρα δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός x για να είναι ο εξαγόμενος αριθμός λ

είναι ίσος με 5.

ii) Για να έχει πραγματικές ρίζες η (2) θα πρέπει

2

0 12 4 4 (25 ) 0 144 400 16 0 16 256

256

1616

4.4835.


x x 0 με β, γ πραγματικούς αριθμούς.

Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 1 2x x 4 ,

τότε:

α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β . (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι 4 . (Μονάδες 7)

γ) Δίνεται επιπλέον η εξίσωση 2x – x 3 0 (1)

Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του β που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η

εξίσωση (1) δεν έχει πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 12)


α) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2S x x .Άρα :

1 2 4 | | 4 4x x

β) Αφού έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες :

4

2 20 4 0 4 4 16 4

γ) Θέτουμε x (2)

(2)

2 2| x | | | 3 0 3 01 ό x (3)

Για 4 από 2

(3) 4 3 0

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα 16 12 4 .

Άρα έχει ρίζες τις 1

4 2 63

2 2

, 2

4 2 21

2 2

.

(2) | x | 1 1x .Άρα έχει πραγματικές ρίζες

Για 4 . 2

(3) 4 3 0

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα 16 12 4 .

Άρα έχει ρίζες τις: 1

4 2 21

2 2

, 2

4 2 63

2 2

(2) | x | 1 αδύνατη στο .

(2) | x | 3 αδύνατη στο .

Άρα η (1) δεν έχει πραγματικές ρίζες


59

4.4857.

Δίνεται η εξίσωση: 2 2 2x x 0 , όπου , δύο θετικοί αριθμοί.

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης είναι: 2

2 2

(Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των αριθμών , , ώστε η εξίσωση να έχει δυο

ρίζες άνισες, τις οποίες να προσδιορίσετε, ως συνάρτηση των , .

(Μονάδες 10)

γ) Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι 1x

και

2x

, τότε να αποδείξετε ότι:

1 21 x 1 x 4 . (Μονάδες 7)


α)

β) Θα πρέπει 2 2 2 2

0

Οι ρίζες είναι

2 2

1

ax

2 2 2

2

2

2

,

2

2

ax

2 2 2

2

2

2

2

γ) Από τις σχέσεις Vieta : 2 2

1 2

aS x x

, 1 2x x

1

2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 ( 0)2 2 2 2 2

1 1 4 1 4 1 1 4

2 2 2 0 ( ) 0 .

x x x x x x

ύ

4.4903.

Δίνεται η εξίσωση 2x 2 1 x 1 0 , με παράμετρο 0

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του λ,

δηλαδή σταθερή. (Μονάδες 8)

β) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ.

(Μονάδες 7)

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον

άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με 2 μονάδες.

(Μονάδες 10)


α) 2 242 1 ( 1) 4 4 21 4 4 1 ανεξάρτητη του λ

24 2 2 4 2 2

24 2 2 4

2 2

2 2

4 2 4

2


60

β) 1

2 1x

1 2

2 , 1

2 1 1 2 2 2( 1)x

γ) Από τους τύπους Vieta έχουμε 1 2

2 1S x x

και 1 2

1x x

.

Είναι 22

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) | | 2 | | 4 4d x x x x x x x x

2 2

1 1 2 22 4x x x x (1)

Όμως 2 2 2

1 2 1 1 2 22x x x x x x 22 2

1 2 1 2 1 22x x x x x x

Οπότε η σχέση (1) γίνεται: 2

1 2 1 24 4x x x x

22

2

2 12 1 1 4 44 4 4

22 ( )2

2

4 4 1 4 44 4

4

21 4 4

24

2 2 1 1

4 14 2

4.4957.

Δίνεται το τριώνυμο: 2 2x 1 x , 0


τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0 .

(Μονάδες 8)


συναρτήσει του λ≠0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου 1 2P x x των ριζών.

(Μονάδες 5)

γ) Αν 0 , το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να


δ) Για κάθε 0 , αν 1 2x , x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, να

αποδείξετε ότι 1 21 2

2

x xx x

(Μονάδες 6)


α) 2

2 4 2 2 4 2 2 2( 1) 4 2 1 4 2 1 ( 1) 0

Άρα το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0 .

β) Από τους τύπους Vieta έχουμε 2

1 2

1S x x

, 1 2x x

1

γ) 1 0 ,άρα οι ρίζες είναι ομόσημοι αριθμοί.


61

Είναι 2

10S

γιατί

21 0 και 0 .Επομένως οι ρίζες είναι θετικοί

αριθμοί.

δ) Επειδή για 0 είναι 1 2S x x 0 , έχουμε:

2

2 21 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2

22 2 2 ( 0)

2

1 2 1 2 2

2 4 2 4 2 2 2

2 42

1 ( 1)4 4 4

4 2 1 2 1 0 ( 1) 0 .

x xx x x x x x x x x x

x x x x

ύ

4.4962.

Δίνεται το τριώνυμο: 2 2x 1 x , 0 .


τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0 . (Μονάδες 8)


συναρτήσει του λ≠0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου 1 2P x x των ριζών.

(Μονάδες 5)

γ) Αν 0 το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να


δ) Αν 0 1 και 1 2x , x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να

συγκρίνετε τους αριθμούς 1 2

2

x x και 1. (Μονάδες 6)


α) 2

2 4 2 2 4 2 2 2( 1) 4 2 1 4 2 1 ( 1) 0

Άρα το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0 .

β) Από τους τύπους Vieta έχουμε 2

1 2

1S x x

, 1 2x x

1

γ) Επειδή 1 0 οι ρίζες είναι ομόσημοι αριθμοί.

Είναι 2

10S

γιατί

21 0 και 0 , επομένως οι ρίζες είναι θετικοί

αριθμοί.

δ) Για 0 1 είναι 1 2S x x 0

Είναι

2

22 2

1 2

111 1 2

1 1 1 02 2 2 2 2

x x

, δηλαδή

1 2 1 21 0 12 2

x x x x .


62

4.4970.


2x x 36 0 (1) με παράμετρο

α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ , η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές

και άνισες. (Μονάδες 8)

β) Υποθέτουμε τώρα ότι μία από τις ρίζες της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός .

i) Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης 2

2x x –36 0

(Μονάδες 7)

ii) Να δείξετε ότι:

0 και

ο αριθμός 1

είναι ρίζα της εξίσωσης:

236x x 2 0

(Μονάδες 4+6=10)


α) 2 2

4 2 ( 36) 288 0

Άρα το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

β) i) Θα πρέπει ο αριθμός να την επαληθεύει ,δηλαδή :

2 2

2( ) ( ) – 36 0 2 36 0 που ισχύει αφού ο αριθμός ρ είναι

ρίζα της (1)

ii) Αν 0 ,τότε αφού είναι ρίζα της (1) θα πρέπει

22 0 0 36 0 36 0 άτοπο. Άρα 0

Για να είναι ο αριθμός 1

ρίζα της εξίσωσης πρέπει να την επαληθεύει,

δηλαδή:

22( )

2

1 1 1 136 2 0 36 2 0

2 2

36 2 0 2 36 0 ύ

4.4975.


x 8x 9 0 .

Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο μόνο πραγματικές ρίζες, τις οποίες και

να προσδιορίσετε. (Μονάδες 10)

β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη

διτετράγωνη εξίσωση: 4 2

x x 0 (1) με παραμέτρους , .

Να δείξετε ότι: Αν 0 τότε

i) 2

– 4 0 (Μονάδες 3)

ii) η εξίσωση (1) έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.

(Μονάδες 12)


63


α) 4 2

x 8x 9 0 (1)


x προκύπτει η εξίσωση 2

8 9 0 με

ρίζες τους αριθμούς -1,9.

Τότε 2 1x αδύνατη ή

29 3x x , άρα η (1) έχει δύο μόνο

πραγματικές ρίζες .

β) 4 2

x x 0 (2)


x (3), προκύπτει η εξίσωση

2

0 (3)

i) H (3) έχει διακρίνουσα 2

4 και επειδή 2

0 , 0 4 0 είναι

και 2

0 4 0 .

ii) Επειδή 0 η (3) έχει δύο ρίζες 1 2, πραγματικές και άνισες.

Από τις σχέσεις Vieta έχουμε : 1 2 0 . Άρα η (3) έχει δύο

ετερόσημες ρίζες. Έστω ω1 η θετική ρίζα και ω2 η αρνητική ρίζα.

Από την (2) 2 2

1 1 2 0x x ή x αδύνατη

Άρα η (1) έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες .

Όμοια αν 1 0 και 2 0 .

4.4992.

α) Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με περίμετρο 34 cm και

διαγώνιο 13 cm

i) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 2

E 60 cm .

(Μονάδες 5)

ii) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τα μήκη των

πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5)

iii) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5)

β) Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με εμβαδόν 40 cm2

και διαγώνιο 8 cm. (Μονάδες 10)


α) i) Αν α, β οι πλευρές του ορθογωνίου τότε:

:2

2 2 34 2 2 17 (1)

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ

έχουμε: 2 2 2 2 2

169

(1)

2 22 169 17 2 169 289 2 169a

2 289 169 2 120 60

Άρα το εμβαδόν είναι 5 12 60


64

ii) Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι 17S a , και το γινόμενο τους

είναι 60 .

Από τους τύπους του Vieta η ζητούμενη εξίσωση είναι η 2

x 17x 60 0 (3)

iii) Η εξίσωση (3) έχει ρίζες τους αριθμούς 5,12, άρα 5 και 12 ή

12 και 5

β) Αν , οι πλευρές του ορθογωνίου και η διαγώνιος τότε:

40 (4),

2 2 2 2 2 2

64 ( ) 2 64

( , 0)

2 2( ) 80 64 ( ) 144 12(5)

Οι αριθμοί , είναι ρίζες της εξίσωσης : 2

x 12x 40 0 (6)

H (6) έχει διακρίνουσα 2

( 12) 4 40 144 160 16 0

Άρα δεν υπάρχει ορθογώνιο με εμβαδόν 40 cm2 και διαγώνιο 8 cm.

4.5317.


x –9x 20 0

Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις

οποίες και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 10)

β) Να κατασκευάσετε μία διτετράγωνη εξίσωση της μορφής 4 2

x x 0 ,

η οποία να έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.

Να αποδείξετε τον ισχυρισμό σας λύνοντας την εξίσωση που κατασκευάσατε.

(Μονάδες 15)


α) 4 2

x –9x 20 0 (1)


x προκύπτει η εξίσωση 2

9 20 0

με ρίζες τους αριθμούς 4,5. Τότε

2 24 2 5 5x x ή x x

Άρα η (1) έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες

β) Θέτουμε 2

0x και η εξίσωση γίνεται 2

0 (2)

Για να έχει η διτετράγωνη εξίσωση δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες,

πρέπει η (2) να έχει μία θετική ρίζα , έτσι ώστε 2x x θα είναι οι

ρίζες της διτετράγωνης εξίσωσης.

Τότε όμως η (2) θα γράφεται 22 2 4 2 2

0 0 2 0x x x .

Άρα αντικαθιστώντας στη θέση του ρ στη τελευταία εξίσωση έναν θετικό αριθμό

έχουμε μια διτετράγωνη που ικανοποιεί την εκφώνηση. Για 4 είναι:

2

4 2 2 2 2x 8x 16 0 4 0 4 0 4 2x x x x (2)

Άρα η (2) έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες .


65

4.6223.


x 5 x 1 0 , με παράμετρο

α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε , η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και

άνισες. (Μονάδες 7)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε:

i) Να προσδιορίσετε τις τιμές του , για τις οποίες ισχύει:

2 24

1 2 1 218 7 0x x x x . (Μονάδες 9)

ii) Για 1 , να βρείτε την τιμή της παράστασης: 2 2

1 2 1 2 1 23 4 3x x x x x x .

(Μονάδες 9)


α) Η εξίσωση έχει διακρίνουσα 2 2

( 5 ) 4 1 ( 1) 25 4 0 .

άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

β) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε: 1 2 1 25 , 1S x x x x

i) 2 24 2 24

1 2 1 2 18 7 0 (5 ) 18 7( 1) 0+ x x x x

2 2 2

25 18 7 0 25 25 1 1

ii) Για 1 είναι S 5 και

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

3 4 3 3 3 4

( ) 3( ) 4 1 5 3 5 4 5 15 4 16

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

4.6224.

Οι πλευρές 1 2x , x ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης:

2 14 16 0x x

,λ∈ (0,4) .

α) Να βρείτε:

i) την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. (Μονάδες 6)

ii) το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι 16 , για κάθε 0, 4 . (Μονάδες 7)

γ) Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή

ίση με 16; Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; (Μονάδες 6)


α) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε : 1 2 1 2

14 , 16S x x x x

i) 1 2

1 82 2 2 4 8x x

ii) 1 2 5E x x


66

β)

γ)

Για 1 η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη. Τότε προκύπτει η

εξίσωση : 2 2

8 16 0 (x 4) 0 4 0 4x x x x .

Άρα 1 2x x 4 .Επομένως στην περίπτωση αυτή έχουμε τετράγωνο πλευράς 4.

4.6226.

Οι πλευρές 1 2x , x ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης

2x 2x 2 0 με 0, 2 .

α) Να βρείτε:

i) την περίμετρο Π του ορθογωνίου. (Μονάδες 6)

ii) το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι 1 , για κάθε 0, 2 (Μονάδες 7)

γ) Για ποια τιμή του λ το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή

ίσο με 1; Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;

(Μονάδες 6)


α) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε: 2

1 2 1 22, (2 ) 2S x x x x

i) 1 2 1 22 2 2(x ) 2 2 4x x x

ii) 2

1 2 2E x x

β)

γ)

Για 1 το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο . Τότε προκύπτει η

εξίσωση : 2 2

2 1 0 (x 1) 0 1 0 1x x x x .

Άρα 1 2x x 1 επομένως στην περίπτωση αυτή έχουμε τετράγωνο πλευράς 1.

( 0) (:8)2 2 2

2

816 8 16 8 8 16 8 16 8 0 2 1 0

( 1) 0 ύ

( 0) (:8)2 2 2

2

816 8 16 8 8 16 8 16 8 0 2 1 0

( 1) 0 1 0 1

2 2 2 21 2 1 2 1 0 2 1 0 ( 1) 0 ύ

2 2 2

2

1 2 1 2 1 0 2 1 0

( 1) 0 1 0 1


67

4.7510.

Τα σπίτια τεσσάρων μαθητών, της Άννας, του Βαγγέλη, του Γιώργου και της

Δήμητρας βρίσκονται πάνω σε έναν ευθύγραμμο δρόμο, ο οποίος ξεκινάει από το

σχολείο τους. Οι αποστάσεις των τεσσάρων σπιτιών από το σχολείο, sA, sB, sΓ, και sΔ

αντίστοιχα, ικανοποιούν τις σχέσεις:

A Bs s

3

4

A Bs ss

και

A Bs s s s

Στον παρακάτω άξονα, το σχολείο βρίσκεται στο σημείο Ο και τα σημεία Α, Β,

παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών της Άννας και του Βαγγέλη αντίστοιχα.

α) Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα τα σημεία Γ και Δ, που παριστάνουν τις

θέσεις των σπιτιών του Γιώργου και της Δήμητρας. Να αιτιολογήσετε την


β) Αν επιπλέον, οι τιμές των αποστάσεων sA, sB σε Km ικανοποιούν τις σχέσεις

1,4A Bs s και 0,45A Bs s τότε:

i) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τους

αιθμούς sA, sB (Μονάδες 6)

ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις sA, sB, sΓ, και sΔ. (Μονάδες 7)


α)i)

ss s ss s s A B A Bs s ss s άτοπο γιατί

A Bs s

ή 2

2 A BA B A B

ss s

ss s s s s s ss s s

22

A A A A B A B

s ss s s s s s s s

ισχύει.

32(s ) s 3

2 4

2 2 3 .

A B A B

A B A B A B

s s s ss s s s

s s s s s s ύ

3

3 44

A B B A B

s ss s s s s s s s

ισχύει.

Άρα As s s s


68

β) i) Η ζητούμενη εξίσωση έχει άθροισμα ριζών 1,4A BS s s , γινόμενο ριζών

0,45A BP s s και είναι η 2

1,4 0,45 0s s

ii) Οι αποστάσεις sA και sΒ είναι οι ρίζες της εξίσωσης

2

1,4 0,45 0s s δηλαδή 0,5As km και 0,9s km ( A Bs s )

H απόσταση sΓ είναι 3 0,5 3 0,9 3,2

0,84 4 4

s ss km

H απόσταση sΔ είναι 0,5 0,9

0,72 2

s ss km

4.7515.

Δίνονται η εξίσωση: 2x 2x+λ 0 , με παράμετρο 1 .

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες 1 2,x x διαφορετικές μεταξύ

τους (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι 1 2 2x x (Μονάδες 4)

γ) Αν για τις ρίζες 1 2,x x ισχύει επιπλέον 1 2| x 2 | | 2 |x ,τότε :

i) Να δείξετε ότι 1 2 4x x (Μονάδες 7)

ii) Να προσδιορίσετε τις ρίζες 1 2,x x την τιμή του λ. (Μονάδες 8)


α) Η εξίσωση έχει διακρίνουσα 2

( 2) 4 4 4 4(1 ) 0 (

1 1 0 4(1 ) 0 .Άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

β) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε: 1 2 2S x x (1)

γ) i) Από την (1)1 22x x .Επομένως

1 2 1 2 1 2

(1)

1 2 1 2

| x 2 | | 2 | 2 2 4

2 2 0 2 0

x x x x x ή

x x x x ά

Άρα 1 2 4x x (2)

ii) Από (1)+(2)1 12 6 3x x και

2 12 1x x

Από τις σχέσεις Vieta έχουμε: 1 2 3x x

4.7516.

Δίνονται η εξίσωση: 2 2x 1 x 0 , με παράμετρο 0 .

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: 2

2 1 . (Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι: 1p και2

1p

.(Μονάδες 10)

γ) Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε: 1 22p p . (Μονάδες 10)


69


α) 2

2 4 4 2 22

2 21 4 ( ) 2 1 4 2 1 1

β) Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:2

1

1ap

21a 2

2a

2a

2 aa και

2

2

ap

21 a 1 2

2a

2

1

γ) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε :2

1 2

1S x x

, 1 2x x

1

2 2

1 2 1 2 1 2

2 2

1 1 2 22 4 4 2 4p p p p p p p p p p

2

2 22 2

1 2 1 2

1 14 4( 1) 4 44

a ap p p p

a a

4

22 2

2 21 10 0 1 0 1 1

a aa a a

a a

4.7940.

α) Να λύσετε τις εξισώσεις 2

3x 14x 8 0 (1) και 2

8x 14x 3 0 (2).

(Μονάδες 10)

β) Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης (2) είναι οι αντίστροφοι των

ριζών της εξίσωσης (1) και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε

ζευγάρι εξισώσεων της μορφής: 2

x x 0 (3) και 2

x x 0 (4),

με 0 .

Αποδείξτε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι:

Αν ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης (3) και 0 , τότε

i) 0 και (Μονάδες 5)

ii) o 1

επαληθεύει την εξίσωση (4). (Μονάδες 10)


α) Η εξίσωση 2

3x 14x 8 0 έχει διακρίνουσα 2

( 14) 4 8 3 196 96 100

και οι ρίζες της είναι : 1

14 10 244

2 3 6x

και 2

14 10 4 2

2 3 6 3x

Η εξίσωση 2

8x 14x 3 0 έχει διακρίνουσα 2

( 14) 4 3 8 196 96 100

και οι ρίζες της είναι : 1

14 10 24 3

2 8 16 2x

και 2

14 10 4 1

2 8 16 4x

β) i) Αν 0 ,τότε αφού είναι ρίζα της εξίσωσης (3) την επαληθεύει.

Επομένως 2

0 0 0 0 άτοπο αφού 0 0 0

Άρα 0 .


70

ii) Για να την επαληθεύει θα πρέπει

22( )

2

2

1 1 1 10 0 0

,

το οποίο ισχύει αφού ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (3).

4.13078.

Δίνεται η εξίσωση 28 λ x 2 λ 2 x 1 0 με παράμετρο λ .

α) Να βρείτε τη τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1ου βαθμού.

(Μονάδες 5)

β) Αν η εξίσωση είναι 2ου βαθμού, να βρείτε τις τιμές του λ ώστε αυτή να έχει μια

διπλή ρίζα. Για τις τιμές του λ που βρήκατε, να προσδιορίσετε τη διπλή ρίζα της

εξίσωσης.

(Μονάδες 10)

γ) Για τις τιμές του λ που βρήκατε στο ερώτημα (β), να δείξετε ότι το τριώνυμο

28 λ x 2 λ 2 x 1 είναι μη αρνητικό, για κάθε πραγματικό αριθμό x.

(Μονάδες 10)


α) Η εξίσωση είναι 1ου βαθμού όταν 8 λ 0 λ 8 . Τότε η εξίσωση γίνεται:

2 8 2 x 1 0 12x 1 0

β) Η εξίσωση είναι 2ου βαθμού όταν 8 λ 0 λ 8 . Τότε έχει διακρίνουσα:

2 2 2

2 λ 2 4 8 λ 1 4 λ 4λ 4 32 4λ 4λ 16λ 16 32 4λ

24λ 12λ 16

Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα όταν (:4)

2 20 4λ 12λ 16 0 λ 3λ 4 0 .

Η τελευταία είναι εξίσωση 2ου βαθμού ως προς λ με 2

3 4 1 4 25 και

ρίζες 1,2

3 25 3 5λ

2 2

λ 4 ή λ 1 .

Για λ 4 η εξίσωση γίνεται:

22 1

4x 4x 1 0 2x 1 0 2x 1 0 2x 1 x2

Για λ 1 η εξίσωση γίνεται:

22 1

9x 6x 1 0 3x 1 0 3x 1 0 3x 1 x3

γ) Για λ 4 το τριώνυμο γίνεται: 22 2

8 4 x 2 4 2 x 1 4x 4x 1 2x 1 0

και για λ 1 το τριώνυμο γίνεται 22

9x 6x 1 3x 1 0


71

ΑΑΑνννιιισσσώώώσσσεεειιιςςς 111οοουυυ βββαααθθθμμμοοούύύ

2ο θέμα

2.489

α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 2 (Μονάδες 8)

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 3x 5 (Μονάδες 8)

γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δυο προηγούμενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα

των πραγματικών αριθμών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το

σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε με διάστημα ή

ένωση διαστημάτων. (Μονάδες 9)


α) | 5 2 2 5 2 3| 7x x x

β) 2 3 5 x

7

2 3 5 3x 3 x 1 2 3x 5 3x 7 x 3

x ή

γ)

Άρα (3,7)x

2.491.

Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1 x 9 και 1

22 2

xx .

α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 15)

β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων. (Μονάδες 10)


α) 3 1 9 3 9 1 2 10 5x x x x x x

( 2)1

2 4 2 1 3 3 12 2

xx x x x x

β) Το σύνολο των κοινών τους λύσεων είναι το [1,5)

2.503

α) Να λύσετε την ανίσωση: 1

42

x (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση: 5 3x (Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με

χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών και να τις γράψετε με τη μορφή



72


α) ( 2)1 1 7 9

4 4 4 8 2 1 8 7 2 92 2 2 2

x x x x x

β) 5 3 5 3 2 5 3 8 x x x ή x x

γ)

9

2,2

x

2.505.

α) Να λύσετε την εξίσωση: 2x – 4 3 x –1 (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση: 3x – 5 1 (Μονάδες 9)

γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος και λύσεις της ανίσωσης

του (β) ερωτήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)


α) 2 42 – 3( 1) 2 4 3 3 14 3 –1x xx x x x x ή

52 4 3( 1) 2 4 3 3 5 7

7x x x x x x

β) 3 – 5 1 3 5 1 3 6 2 x x x x ή 4

3 5 1 3 43

x x x

γ) Είναι 4

13

και 5 4

7 3 , άρα οι αριθμοί -1 και

4

3 ανήκουν στο διάστημα

4,3

,

επομένως είναι λύσεις της ανίσωσης.

2.1039.

α) Να λύσετε την ανίσωση 1 5x . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τους αριθμούς x που απέχουν από το 5 απόσταση μικρότερη του 3.

(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β). (Μονάδες 8)


α) –1 1 1 1 2 1 1 0 x x x ή x x

Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι τα διαστήματα ,0 2,

β) ( ,5) 3 | 5| 3 3 5 3 2 8d x x x x


73

γ)

Οι κοινές λύσεις των (α) και (β) είναι το διάστημα (2,8)

2.1077.

α) Να λύσετε την ανίσωση: x 5 4 . (Μονάδες 10)

β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι:

1 1



α) 5 4 4 5 4 1 9x x x

β) Αφού ο αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση έχουμε :

1 1 1 1

1 9 1 19 9

2.1278.

Δίνεται πραγματικός αριθμός x, για τον οποίο ισχύει: d x, 2 1 .

Να δείξετε ότι:

α) 3 x 1 . (Μονάδες 10)

β) 2

x 4x 3 0 . (Μονάδες 15)


α) , 2 1 | x 2 | 1 1 x 2 1 3 1d x x

β) Από (α) ερώτημα : 1 1 0x x και 3 3 0x x

Επομένως : 2 2

0 0

4 3 3 3 1 3 1 x 1 3 0 x x x x x x x x x

2.1305.

α) Να λύσετε την ανίσωση x 4 3 (Μονάδες 12)

β) Αν 1 , να γράψετε την παράσταση 4 3 χωρίς απόλυτες τιμές.

Να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας ( Μονάδες 13)


α) 4 3 4 3 1 4 3 7 x x x ή x x

β) 1 4 4 1 4 3 0 και 1 1 0

Άρα : 4 0 1 0

4 3 | 4 3 | | 1| 1


74

2.1533.

Θεωρούμε την εξίσωση 2

2 2 0x x , με παράμετρο .

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 10)

β) Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δυο ρίζες 1 2x , x , να προσδιορίσετε το

ώστε να ισχύει: 1 2 1 2x x 2 x x 1 (Μονάδες 15)


α) Πρέπει 2

0 2 4 1 ( 2) 0 4 4 8 0 4 12 3

β) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2 2S x x και 1 2 2x x

Επομένως 1 2 1 22 1 2 2( 2) 1 2 4 1 1x x x x

2.3847.

Δίνεται η εξίσωση 22 2 1 0x x , με παράμετρο 2 .

Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες:

α) η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 13)

β) το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με 2. (Μονάδες 12)


α) Πρέπει: 2 2

0 (2 ) 4 ( 2) ( 1) 0 4 2

4 4 8 8 0

:( 4)

4 8 2

Επειδή 2 και 2 , τελικά , 2 2, 2

β) Από τις σχέσεις Vieta : 1 2

2 22 2( 2) 2

2 2S x x

2 4 2 4 4 1 δεκτή

2.4305.

α) Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των

πραγματικών αριθμών:

i) 2 3 5x (Μονάδες 9)

ii) 2x 3 1 (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις.

(Μονάδες 7)


α) i) | 2 3 5 5 2x 3 5 2 2 8 1 4| xx x


75

ii) 2 3 1 2 3 1 2 4 2 2 3 1 2 2 1 x x x x ή x x x

β) [ 1,1] [2,4]x

2.4306.

α) Να λύσετε την εξίσωση: 2

2x x 6 0 (1) (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση: x 1 2 (2) (Μονάδες 9)

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του x που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις

σχέσεις (1) και (2). (Μονάδες 7)


α) 2 2

( 1) 4 2 ( 6) 1 48 49 7

1

1 7 82

2 2 4x

και 2

1 7 6 3

2 2 4 2x

β) | 1| 2 2 1 2 1 3 (1,3)x x x x

γ) Επειδή 2 (1,3) , ενώ 3

1,32

το 2 είναι η ζητούμενη τιμή.

2.4317.

Δίνεται η εξίσωση 22 2 1 0x x , με παράμετρο 2 .

α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές


β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε

1 2x x 3 (Μονάδες 13)


α)Πρέπει (:4)

2 20 4 4 ( 2)( 1) 0 ( 2)( 1) 0

2 2 2 2 0 2 2


1

2x x

.

Άρα 1 2

13 3 1 3( 2)

2x x

5

1 3 6 4 54


76

4ο θέμα

4.1874

Δίνεται η εξίσωση: 2x 2 1 x 5 0 (1), με παράμετρο .

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης (1) είναι: 2

4 12 16 .

(Μονάδες 7)

β) Να βρείτε τις τιμές του , ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές


γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς 1 2x , x και 1 2d x , x είναι η

απόσταση των 1 2x , x στον άξονα των πραγματικών αριθμών, να βρείτε για

ποιες τιμές του λ ισχύει: 1 2( , ) 24d x x (Μονάδες 8)


α)Πρέπει (:4)

2 20 4 4 ( 2)( 1) 0 ( 2)( 1) 0

2 2 2 2 0 2 2


1

2x x

.

Άρα 1 2

13 3 1 3( 2)

2x x

5

1 3 6 4 54

4.1890.

Δίνεται η εξίσωση 22 x 2 3 x 2 0 (1) , με παράμετρο 2 .

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης (1) είναι: 12 25

(Μονάδες 6)

β) Να βρείτε τις τιμές του 2, ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο ρίζες πραγματικές


γ) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του λ το άθροισμα των ριζών 1 2S x x

και το γινόμενο των ριζών 1 2P x x .

(Μονάδες 4)

δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ ώστε για τις ρίζες 1 2x , x της εξίσωσης

(1) να ισχύει η σχέση : 2 2

1 2 1 2x x 1 x x 3 0 (Μονάδες 8)


α) 2 22 3 2 2( )4 4 212 9 4 16 12 25


77

β) Πρέπει 25

0 1212

12 25 0 25

γ) 1 2

2 3 2 3

2 2S x x

, 1 2

2

2x x

δ) 2 2

1 2 1 21 3 0 x x x x

( ( 2)

1 2

2 3 51 0 1 0 2 3 2 0 3 5

2 3x x

( ( 2)

1 2

23 0 3 0 2 3 6 0 4 4 1

2x x

Το λ παίρνει 2 τιμές ταυτόχρονα που είναι άτοπο.

4.2081.

Δίνεται η εξίσωση 2x 2 1 x 2 0 , (1) με παράμετρο .

α) Να λύσετε την εξίσωση όταν 0 . (Μονάδες 5)

β) Έστω 0 .

i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, τις

οποίες στη συνέχεια να βρείτε. (Μονάδες 10)

ii. Αν 1x 1 και 2

21x

είναι οι δυο ρίζες της εξίσωσης (1), να

προσδιορίσετε τις τιμές του λ, για τις οποίες ισχύει 1 2x x 1 .

(Μονάδες 10)


α) Για 0 προκύπτει η εξίσωση 2 2 0 2 2 1x x x

β) i) 2 2 22( 1) 4 ( 2) 4( 2 1) 4 8

2

4 82

4 4 82

4 2

ii) 1 2

2 1 1 1 1 1x x

1

21

02 2

1 1 | | 2 2 2 ( 2,0) (0,2)| |

4.2238.

Δίνεται η εξίσωση 2 2

x 2 x 1 0 , με παράμετρο .

α) Να δείξετε ότι για κάθε η εξίσωση έχει δυο άνισες ρίζες. (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης, για κάθε . (Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, οι δυο άνισες ρίζες της

εξίσωσης ανήκουν στο διάστημα 2, 4 . (Μονάδες 13)


78


α) Είναι 2 2 2

( 2 ) 4 1 ( 1) 4 2

4 4 4 0 .

Άρα η εξίσωση έχει δυο πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε

β) Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:1

2 2 2

2x

( 1)

2

1 και

2

2 2 2

2x

( 1)

2

1

γ) Πρέπει 2 2 4 4 2 ( 4,2) και

2 2 4 0 6 (0,6)

Οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι το διάστημα (0,2).

Άρα θα πρέπει (0,2) .

4.4946.

α) Να λύσετε την ανίσωση: x 3 5 (Μονάδες 7)

β) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον

άξονα των πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα, με

βάση τη γεωμετρική σημασία της παράστασης x 3 (Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς x που ικανοποιούν την ανίσωση

x 3 5 (Μονάδες 5)

δ) Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθμών x που ικανοποιούν την ανίσωση

| | 3 5x .Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 8)


α) | 3| 5 5 3 5 2 8 [ 2,8]x x x x

β)

Το σύνολο των λύσεων είναι τα σημεία του διαστήματος [-2,8] με κέντρο 3 και

ακτίνα 5

γ) Οι ακέραιοι αριθμοί που βρίσκονται στο διάστημα [-2,8] είναι:

-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8

δ) | | 0

| | 3 5 5 | x | 3 5 2 | | 8 | | 8 8 8 [ 8,8]x

x x x x x

Οι ακέραιοι αριθμοί που βρίσκονται στο διάστημα [-8,8] είναι:

-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8


79

4.4952.

α) Θεωρούμε την εξίσωση 2

x 2x 3 , με παράμετρο .

i) Να βρείτε για ποιες τιμές του α η εξίσωση 2

x 2x 3 έχει δυο ρίζες

πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 6)

ii) Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα, την οποία και να

προσδιορίσετε. (Μονάδες 6)

β) Δίνεται το τριώνυμο 2x x 2x 3, xf .

i) Να αποδείξετε ότι f x 2 , για κάθε x (Μονάδες 7)

ii) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2 2f x (Μονάδες 6)


2 2

2 3 2 3 0x x x x (1) 2

2 4 1 (3 ) 4 12 4 4 8

α) i) Θα πρέπει 0 4 8 0 4 8 2

ii) Θα πρέπει 0 4 8 0 4 8 2

Για 2 :2 2

(1) 2 1 0 ( 1) 0 1 0 1x x x x x

β) i) 2 2 22 3 2 1 2 ( 1) 2 2f x x x x x x (2

( 1) 0x )

ii) Πρέπει ( ) 2 0 ( ) 2f x f x το οποίο ισχύει από (i)

2( ) 2 2 ( 1) 2f x x 2 2 | 1| 2 2 1 2 3 1x x x

4.8443.

α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύει 4 2x .

(Μονάδες 10)

β) Θεωρούμε πραγματικό αριθμό x που η απόστασή του από το 4 στον άξονα

των πραγματικών αριθμών είναι μικρότερη από 2.

i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλάσιου του αριθμού αυτού από το 4

είναι μεγαλύτερη του 2 και μικρότερη του 14. (Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων περιέχεται η τιμή της απόστασης του 3x

από το 19. (Μονάδες 10)


α) | 4 | 2 2 4 2 2 6 (2,6)x x x x

β) i) Έχουμε ότι

(x,4) 2 | x 4 | 2 2 6 6 3 18 2 3 4 14d x x x (1)

Άρα 3x 4 0 και | 3x 4 | 3x 4 .

Επομένως από (1) 2 | 3 4 | 14x δηλαδή η απόσταση του τριπλάσιου του

αριθμού αυτού από το 4 είναι μεγαλύτερη του 2 και μικρότερη του 14.

ii) (3 ,19) | 3 19 |d x x

2 6 6 3 18 13 3 19 1x x x (2) άρα 3 19 0x .

Άρα d(3x,19) 3 19 3x 19x

(2) 13 3 19 1 1 3 19 13 1 (3 ,19) 13x x d x


80

4.13082.

Δίνεται το τριώνυμο 2x α 1 x 4 α, α

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: 2

α 1 16 .

(Μονάδες 5)

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.

(Μονάδες 10)

γ) Αν το τριώνυμο έχει ρίζες 1 2x ,x , τότε:

i) Να εκφράσετε το άθροισμα 1 2S x x και το γινόμενο

1 2P x x των ριζών του

συναρτήσει του α

(Μονάδες 2)

ii) Να αποδείξετε ότι: 1 2d x ,1 d x ,1 4 (Μονάδες 8)


α) Η διακρίνουσα είναι:

2 22 2

α 1 4 1 4 α α 2α 1 16 4α α 2α 1 16 α 1 16

β) Το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες όταν 0 2

α 1 16 0

2

α 1 16 α 1 4 α 1 4 α 3 ή α 1 4 α 5

γ) i)

1 2

α 1S x x α 1

1

και 1 2

4 αP x x 4 α

1

ii) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2d x ,1 d x ,1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1

1 2 1 2 1 2 1 2d x ,1 d x ,1 x x x x 1 4 α x x 1 4 α α 1 1

1 2d x ,1 d x ,1 4 α α 1 1 4

ΔΔΔεεευυυτττεεερρροοοβββάάάθθθμμμιιιεεεςςς ααανννιιισσσώώώσσσεεειιιςςς

2ο θέμα

2.478.

Δίνεται η εξίσωση:2 2

( 1) 0x x (1) , με παράμετρο λ ∈ℝ.

α) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση (1) να έχει ρίζες

πραγματικές. (Μονάδες 12)

β) Να λύσετε την ανίσωση: 2

2 0S P , όπου S και P είναι αντίστοιχα το

άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (1). (Μονάδες 13)


α) Πρέπει 2 2 2 2

0 4( 1) 0 4 4 4 0

2 23 4 4 0 3 2 0

3

22

3


81

β) 2 2 2

2 0 ( 1) 2 0S P

2 2 1 2 0 1 0 1

2.482.


2 2 0x x , με παράμετρο .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για

κάθε λ∈ ℝ. (Μονάδες 8)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή

του λ ισχύει: 1 2 1 2x x x x (Μονάδες 9)


α) 2 2

4 4( 2) 4 4 8

β) 2

1 4 4 8 16 32 16 0 (Δ1 η διακρίνουσα του τριωνύμου

24 4 8 ) . Άρα 2

4 4 8 0 0 και η εξίσωση 22 2 0x x

έχει πραγματικές ρίζες και άνισες για κάθε .

γ) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2 2x x και 1 2 2x x

Επομένως

1 2 1 2 2 ( 2) 2 2 2 2x x x x

2.484.

α) Να λύσετε τις ανισώσεις: 2 5 3x και 22 1 0x x (Μονάδες 16)

β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος α). (Μονάδες 9)


α) | 2 5| 3 3 2 5 3 2 2 8 1 4 [1,4]x x x x x

Για την 22 1 0x x , έχουμε:

2 2

( 1) 4 2 ( 1) 1 8 9 3

1

1 3 41

2 2 4x

, 2

1 3 2 1

2 2 4 2x

x

1

2 1 +∞

22 1x x + +

άρα η λύση της ανίσωσης είναι 1

, 1,2

β)

Οι κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος α) είναι το διάστημα 1, 4 .


82

2.490.

Δίνεται το τριώνυμο 22x 3x 1 .

α) Να βρείτε τις ρίζες του. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες: 22x 3x 1 0 (Μονάδες 5)

γ) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 1

2 και

3

2 είναι λύσεις της ανίσωσης

22x 3x 1 0 (Μονάδες 10)


α) 2

( 3) 4 2 1 9 8 1 , 1

3 1 41

2 2 4x

, 2

3 1 2 1

2 2 4 2x

Επομένως οι ρίζες του είναι οι αριθμοί 1

1,2

β)

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα 1

,12

γ) Είναι 1 1

22 και

1 3 4 21

2 2 2 2 .Άρα ο

1

2 δεν είναι λύση ενώ ο

3

2είναι

λύση της ανίσωσης 22x 3x 1 0 .

2.498.

α) Να λύσετε την εξίσωση:1 1 4 2

3 5 3

x x . (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση:2

2 3 0x x (Μονάδες 9)

γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της

ανίσωσης του (β) ερωτήματος. (Μονάδες 7)


α) ( 15)1 1 4 2

5 1 3 1 12 103 5 3

x xx x

2 1 22 1 11x x 1 11 1 11x ή x x =10 x = 12

β) 2 2

2 4 ( 1) 3 4 12 16 4

1

2 4 21

2 ( 1) 2x

, 2

2 4 63

2 ( 1) 2x

x 1 3 +∞ 2

2 3x x +

x

1

2 1 +∞

22 3 1x x + +


83

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι τιμές του x ( , 1] [3, )

γ) 12 ( , 1] , 10 [3, ) .Άρα οι αριθμοί -12 και 10 είναι λύσεις της

ανίσωσης 22 3 0x x .

2.1277.

Δίνονται οι ανισώσεις: 2

x 5x 6 0 (1) και 2

x 16 0 (2).

α) Να βρεθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1), (2). (Μονάδες 12)

β) Να παρασταθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1) και (2) πάνω στον άξονα των

πραγματικών αριθμών και να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω

ανισώσεων. (Μονάδες 13)


α) 25 6 0x x (1)

2

5 4 ( 1)( 6) 25 24 1 , 1

5 1 42

2 ( 1) 2x

, 1

5 1 63

2 ( 1) 2x

x -∞ 2 3 +∞ 2

5 6x x +

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι τιμές του x , 2 3,

2 2

16 0 16 | | 4 4 4x x x x .

β)

Οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι τα διαστήματα 4, 2 3, 4

2.1288.


x 10x 21 0 (Μονάδες 12)

β) Δίνεται η παράσταση: 2x 3 x 10x 21

i) Για 3 x 7 , να δείξετε ότι: 2

x 11x 24 (Μονάδες 8)

ii) Να βρείτε τις τιμές του x 3,7 , για τις οποίες ισχύει 6 . (Μονάδες 5)


α) 2

10 4 1 21 16 , 1 2

10 4 10 47, 3

2 2x x

x -∞ 3 7 +∞ 2

10 21x x + +

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα (3,7)


84

β) i) 3 7 0 3 4 3 3x x x x και

2x 10x 21 0 για 3 x 7 , οπότε 2 2 x 10x 21 x 10x 21

Επομένως 2 223 1 3 10 20 2 1 1 21 1 4x x x x xx x x

ii) 2 2

116 524 6 11 30 0 6x x x xA x ή x

2.1297.


3x 4x 1 0 . (Μονάδες 12)

β) Αν , δυο αριθμοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να αποδείξετε

ότι ο αριθμός 3 6

9

είναι επίσης λύση της ανίσωσης. (Μονάδες 13)


α) 2 2( 4) 4 3 1 16 12 4 2

Οι ρίζες είναι οι αριθμοί 1

4 2 61

2 3 6x

και 2

4 2 2 1

2 3 6 3x

x

1

3 1 +∞

23 4 1x x + +

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα 1

,13

β) Αφού α, β λύσεις της ανίσωσης ανήκουν στο διάστημα 1

,13

.

Είναι 1

1 1 3 33 a a (1) και

11 2 6 6

3 (2)

Με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2) έχουμε

3 3 6 1 3 6

3 3 6 9 1 19 9 3 9

Επομένως 3 6

9

λύση της ανίσωσης .

2.1512.

α) Να λυθεί η εξίσωση: 2

x x 2 0 (Μονάδες 8)

β) Να λυθεί η ανίσωση: 2

x x 2 0 και να παραστήσετε το σύνολο λύσεων της

στον άξονα των πραγματικών αριθμών. (Μονάδες 12)

γ) Να τοποθετήσετε το 4

3 στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Είναι το

4

3

λύση της ανίσωσης του ερωτήματος (β); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 5)


85


α) 2 2( 1) 4 1 2 9 3


1 3 42

2 1 2x

και 2

1 3 21

2 1 2x

β)

x 1 2 +∞ 2

2x x + +

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα 1, 2

γ)

4

( 1, 2)3

, άρα δεν είναι λύση της ανίσωσης.

2.1544.

α) Να αποδείξετε ότι 2

x 4x 5 0 , για κάθε πραγματικό αριθμό x. (Μονάδες 10)

β) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση: 2 2B x 4x 5 x 4x 4 .

(Μονάδες 15)


α) 24 4 1 5 16 20 4 0 . Άρα 2

x 4x 5 0 , για κάθε πραγματικό

αριθμό x.

β) 2 2 24 5 0 4 5 4 5x x x x x x

2 2 2 24 4 (x 2) 0 4 4 4 4x x x x x x

Επομένως 2 2 2

4 )4(5 4x x x x x 4x2

5 x 4x 4 1

2.3380.

Δίνεται το τριώνυμο: 2f x 3x 9x 12, x

α) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 0f x και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεων της


β) Να ελέγξετε αν ο αριθμός 3 2 είναι λύση της ανίσωσης του ερωτήματος (α).



α) 2 2

9 4 3 ( 12) 81 144 225 15


9 15 61

2 3 6x

και 2

9 15 244

2 3 6x


86

x 4 1 +∞ 2

3 9 12x x + +

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα 4,1

β) Για να είναι λύση πρέπει

33 33 3 32 4,1 4 2 1 4 2 1 64 2 1 που δεν ισχύει,

άρα ο αριθμός 3 2 4,1 και δεν είναι λύση της ανίσωσης.

4ο θέμα

4.2244.

Δίνονται οι ανισώσεις: x 2 3 και 2

x 2x 8 0 .


β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x 1, 4 . (Μονάδες 5)

γ) Αν οι αριθμοί 1 και 2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο

ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός 1 2

2

είναι κοινή τους λύση.

(Μονάδες 10)


α) | 2 | 3 3 2 3 1 5 ( 1,5)x x x x

Για την 2x 2x 8 0 , έχουμε:

2 2

( 2) 4 1 ( 8) 4 32 36 6


2 6 84

2 2x

και 2

2 6 42

2 2x

X 2 4 +∞ 2

x 2x 8 + +

Οι λύσεις της ανίσωσης 2x 2x 8 0 είναι το διάστημα 2, 4

β)

Όπως φαίνεται από τον άξονα οι ανισώσεις συναληθεύουν για x ∈ (-1, 4].


87

γ) Επειδή οι αριθμοί 1 και 2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο

ανισώσεων, είναι 11 4 , 21 4 , άρα και

1 21 22 8 1 4

2

Δηλαδή ο αριθμός 1 2

2

βρίσκεται στο διάστημα κοινών λύσεων, άρα είναι

κοινή τους λύση.

4.2255.

Δίνονται οι ανισώσεις: 2 x 3 και 2

x 4x 0 .


β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x 2,3 . (Μονάδες 5)


ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός 1 2

2

είναι κοινή τους λύση.

(Μονάδες 10)


α) 2 x 3 (1)

Για 0 | |x x x και (1) 2 3 [2,3]x x

Για 0 | |x x x και

(1) 2 3 2 3 3 2 [ 3, 2]x x x x

Άρα [ 3, 2] [2,3]x

2x 4x 0 4 0x x (2)

Οι ρίζες είναι οι αριθμοί 0 και 4

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα (0,4)

β)

Όπως φαίνεται από τον άξονα οι ανισώσεις συναληθεύουν για x 2,3 .


ανισώσεων, είναι 12 3 , 22 3 , άρα και 1 21 24 6 2 3

2

x 0 4 +∞ 2

4x x + +


88

Δηλαδή ο αριθμός 1 2

2

βρίσκεται στο διάστημα κοινών λύσεων, άρα είναι

κοινή τους λύση.

4.2273.

Δίνονται οι ανισώσεις : x 1 2 και 2

x x 2 0 .

α) Να λύσετε τις ανισώσεις. (Μονάδες 10)

β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x 3, 1 . (Μονάδες 5)


ανισώσεων, να δείξετε ότι: 1 2 2, 2 (Μονάδες 10)


α) 1 2 2 1 2 3 1 3,1x x x x

Για την 2x x 2 0 , έχουμε:

2 2

( 1) 4 1 ( 2) 1 8 9 3


1 3 42

2 2x

και 2

1 3 21

2 2x

X 1 2 +∞ 2

2x x + - +

Οι λύσεις της ανίσωσης 2x x 2 0 είναι ( , 1) (2, )x

β)

Όπως φαίνεται από τον άξονα οι ανισώσεις συναληθεύουν για x 3, 1


ανισώσεων, είναι 13 1 , 2 2 23 1 3 1 1 3 , άρα και

1 22 2 1 2 2, 2

4.2336.

α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου 2

x 5x 6 για τις διάφορες

τιμές του x . (Μονάδες 10)

β) Δίνεται η εξίσωση 21(2 ) 2 0

4x x (1) με παράμετρο λ .

i) Να αποδείξετε ότι, για κάθε , 2 3, , η εξίσωση (1) έχει

δύο ρίζες άνισες. (Μονάδες 10)

ii) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι ρίζες της (1) είναι ομόσημοι

αριθμοί. (Μονάδες 5)


89


α) 2 2

( 5) 4 1 6 25 24 1 1


5 1 63

2 2x

και 2

5 1 42

2 2x

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον πίνακα

x 2 3 +∞ 2

5 6x x + +

β) i) 2(2 ) 4 1

4 2 2( 2) 4 4 2 5 6

Είναι 25 6 0 για κάθε , 2 3, από το (α)

ερώτημα. Άρα 0 και η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και

άνισες για κάθε , 2 3,

ii) Πρέπει (:4)

1 2

20 0 4( 2) 0 2 0 2

1

4

x x

Τελικά

23

, 2 3,

4.4542.

α) Να λύσετε την ανίσωση: 2x x στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

(Μονάδες 8)

β) Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός α με 0 1 .

i) Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο και να τοποθετήσετε

πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, τους αριθμούς: 20, 1, , ,

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια και του ερωτήματος α).

(Μονάδες 10)

ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα: 1 1 (Μονάδες 7)


α) 2 2

0 ( 1) 0 0 1x x x x x x x

β) i) 2

0 1a a a .Αφού:

20 0

2 από (α) ερώτημα 0 1

02 2

2 2a a ά a

και 0

1 1


90

ii) 2 2 2

1 1 1 1 1 1 2

1 1 2 0 2 ισχύει.

4.4548.

Δίνεται η εξίσωση: 2 2x x 0 , με παράμετρο . (1)




γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση 1

AS P

,όπου S, P το άθροισμα και το

γινόμενο των ριζών της εξίσωσης (1) αντίστοιχα, έχει νόημα πραγματικού

αριθμού για κάθε πραγματικό αριθμό λ. (Μονάδες 9)


α) 2 2 2 2

1 4 1 ( ) 1 4 4 (2 1) 0


β) Θα πρέπει 1

2 1 02

γ) 1 2 1S x x και 1 2

2P x x

Για να έχει η παράσταση Α νόημα πραγματικού αριθμού για κάθε πραγματικό

αριθμό λ θα πρέπει 20 1 0S P το οποίο ισχύει αφού η διακρίνουσα

του τριωνύμου 21 είναι ίση με 1 3 0

4.4607.

α) Να λύσετε την ανίσωση: 2x x στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

(Μονάδες 8)

β) Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός με 1 .

i) Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο και να

τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, τους αριθμούς:

20, 1 , , ,

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια και του ερωτήματος α).

(Μονάδες 10)

ii) Να κάνετε το ίδιο για τους αριθμούς: 2

2, ,

2

(Μονάδες 7)


α) 2 2

0 ( 1) 0x x x x x x

Οι ρίζες είναι οι αριθμοί 0,1



91

2 20 4(1 ) 4 1 (4 3 ) 0 16(1 2 ) 16 12 0

16

232 16 16

212 0 16 20 0 4 (4 5) 0

x 0 1 +∞ 2x x + +

Οι λύσεις της ανίσωσης 2x x είναι η ένωση των διαστημάτων : ( ,0) (1, )

β) i) 2

0 1 a a a , αφού: 1 1 και

από (α) ερώτημα είναι 02

2 2

ii) 2

2

2a a

, αφού:

2

2 22

2a a a a a a

ισχύει από (α) ερώτημα

2

2 2 2 22

2a a a a

ισχύει από (α) ερώτημα

4.4663.


x 2 4x 3 , με παράμετρο

α) Να γράψετε την εξίσωση στη μορφή 2

x x 0, 0 . (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.

(Μονάδες 10)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, στην περίπτωση που έχει ρίζες

πραγματικές και άνισες,

i) να υπολογίσετε τα 1 2S x x και 1 2P x x .

ii) να αποδείξετε ότι η παράσταση 1 24x 3 4x 3 είναι ανεξάρτητη του λ,

δηλαδή σταθερή. (Μονάδες 10)


α) 2 22 4 3 4 4 4 3xx x xx

2 2

4 4 4 3 0 4(1 ) 4 3 0x x x x x

β) Πρέπει :

Άρα 5

04

ή

γ) i) 1 2 4(1 )S x x , 1 2 4 3P x x


92

ii)

4.4680.

Δίνεται η εξίσωση: 2 2

x x 0 , με παράμετρο (1)




γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε για ποιες

τιμές του λ ισχύει 1 20 d x , x 2 . (Μονάδες 9)


α) 2 2 2 2

( 1) 4 1 ( ) 1 4 4 (1 2 ) 0 .

Άρα η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές για κάθε ..


0 (1 2 ) 0 1 2 0 2 12

γ) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2 1S x x , 2

1 2x x

1 11 2 22

10 | x | 0 ( ),

2x xd x x x ώ (1)

2

11 2 22 1, < 22 4x x x xd x x

2 2 2

1 2 1 2 1 24 2 4x x x x x x

2 2

1 2 1 24 4 1 4( ) 4x x x x

2 21 4 4 4 0 4 4 3 0

Η διακρίνουσα του τριωνύμου 24 4 3 είναι:

2 2

( 4) 4 4 ( 3) 16 48 64 8 και οι ρίζες του

1

4 8 12 3

2 4 8 2x

και 2

4 8 4 1

2 4 8 2x


λ

1

2

3

2 +∞

24 4 3 + - +

Οι λύσεις της ανίσωσης 24 4 3 0 είναι το διάστημα :

1 3,

2 2

Επειδή 1

2 οι τιμές του λ για τις οποίες ισχύει 1 2

0 d x , x 2 είναι οι

1 1 1 3

, ,2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 21 2 16 12 12 9 16 12(4 3 4 3 ) 9

16(4 3 ) 12 4 (1 ) 64 48

x x x x x x x xx x

48 48 16


93

4.4819.

Δίνεται το τριώνυμο 2 2f x x x ,


τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε . (Μονάδες 10)

β) Για ποια τιμή του λ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)

γ) Αν 1

2 και 1 2x , x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με 1 2x x , τότε :

i) να αποδείξετε ότι 1 21 2

2

x xx x

(Μονάδες 4)

ii) να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς

1 22 2( ), , ( 1)

2

x xf x f f x

(Μονάδες 5)


α) 2 2 2 2

( 1) 4 1 ( ) 1 4 4 (1 2 ) 0 .

Άρα η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ ∈ℝ


0 (1 2 ) 0 1 2 0 2 12

γ) i) ( 2)

1 21 2 1 1 2 22 2

2

x xx x x x x x

1 1 2 1 22x x x x x ισχύει

1 2 2 1 22x x x x x ισχύει

ii) Επειδή 1 0 το πρόσημο του τριωνύμου είναι:

x x1

1 2

2

x x x2 2 1x +∞

2x x + +

Επομένως 1( ) 0f x , 1 2

2

x xf

<0 , 2( 1) 0f x

Άρα 1 22 2( ) ( 1)

2

x xf f x f x

4.4836.


x x 1 0 (1) με παράμετρο .

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές και

άνισες. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (1), τότε και ο

αριθμός 1

είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης. (Μονάδες 5)


94

γ) Για 2 , να αποδείξετε ότι:

i) Οι ρίζες 1 2x , x της εξίσωσης (1) είναι αριθμοί θετικοί.

ii) 1 2x 4x 4 . (Μονάδες 12)


α) Για να έχει ρίζες πραγματικές και άνισες πρέπει

2 2 2

0 ( ) 4 1 1 0 4 0 4 | | 2 2 2ή

β) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε : 1

1 2 2 2

11 1

x

x x x x

γ) i) 1 2 1 0x x άρα οι ρίζες 1 2x , x είναι ομόσημοι αριθμοί.

1 2 2 0S x x άρα οι ρίζες 1 2x , x θετικοί αριθμοί.

ii) Από ερώτημα (β) 2

1x

άρα :

1( )

2 2 2

1 2

14 4 4 4 4 4 4 4 0 ( 2) 0

x

x x

το οποίο ισχύει.

4.4853.


x x , 0 με ρίζες τους αριθμούς 1 και 2.

α) Χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα S και το γινόμενο P των

ριζών του τριωνύμου, να αποδείξετε ότι: 2 και 3 .

(Μονάδες 9)

β) Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για κάθε

x 1, 2 ,τότε:

i) να αποδείξετε ότι 0 . (Μονάδες 9)

ii) να λύσετε την ανίσωση 2

x x 0 . (Μονάδες 7)


α) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε : 1 2 1 2 3S x x

και 1 2 2 2x x

β) i) Αν 0 τότε το τριώνυμο θα είχε αρνητικές τιμές εντός των ριζών, δηλαδή στο

(1,2), άρα 0

ii) ( ) (: 0)

2 2 20 332 0 2 1 0a ώ

x x x x x x

2

( 3) 4 2 1 9 8 1


3 1 41

2 2 4x

και 2

3 1 2 1

2 2 4 2x



95

x 1

2 1 +∞

22 3 1x x + +

Οι λύσεις της ανίσωσης 22x 3x 1 0 είναι η ένωση των διαστημάτων :

1

, (1, )2

4.4859.

Θεωρούμε το τριώνυμο 2f x 3x x 4 , με παράμετρο

α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του κ, το τριώνυμο έχει ρίζες

πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 10)

β) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες ή ετερόσημες; Να αιτιολογήσετε την


γ) Αν 1x και 2x είναι οι ρίζες του τριωνύμου και α, β δυο πραγματικοί αριθμοί

ώστε να ισχύει 1 2x x , να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου:

f f . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)


α) 2 2

4 3 ( 4) 48 0 . Άρα το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και

άνισες.

β) 1 2

40

3x x .Άρα έχει ρίζες ετερόσημες

γ)

x -∞ α x1 x2 β +∞ 2

3x x 4 + - +

Έχουμε: 1x 0 , 2x 0 ( 1 2x 0, x 0 από β ερώτημα)

Από τον πίνακα προσήμου έχουμε f 0, f 0 .

Άρα f f 0

4.5285.

Δίνονται οι εξισώσεις 2

x 3x 2 0 (1) και 4 2

x 3x 2 0 (2) .

α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (1). (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (2). (Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε τριώνυμο της μορφής 2

x x που οι ρίζες του να είναι κάποιες

από τις ρίζες της εξίσωσης (2) και επιπλέον, για κάθε αρνητικό αριθμό x , να

έχει θετική τιμή. (Μονάδες 10)



96

α) 2

( 3) 4 1 2 9 8 1

1

3 1 42

2 2x

, 2

3 1 21

2 2x

β) Αν στην εξίσωση (2) θέσουμε 2x 0 (3), προκύπτει η εξίσωση

23 2 0 με ρίζες τους αριθμούς 1,2.

Από την (3) 2 21 1 2 2x x ή x x

γ) 1) Aν έχει διπλή ρίζα αυτή θα ανήκει στο σύνολο 2, 1,1, 2

Aν έχει διπλή ρίζα το 1 τότε έχουμε το τριώνυμο 2

(x 1)

(Για οποιαδήποτε τιμή ≠1 παίρνει θετικές τιμές ).

Aν έχει διπλή το ρίζα το 2 τότε έχουμε το τριώνυμο 2(x 2)

(Για οποιαδήποτε τιμή ≠ 2 παίρνει θετικές τιμές ).

Δεν μπορεί να έχει διπλή ρίζα αρνητικό αριθμό γιατί τότε για αυτή τη ρίζα θα

είχε μηδενική τιμή και δεν θα έχει θετική τιμή για κάθε αρνητικό αριθμό x.

2) Αν έχει ρίζες 1 2x , x πραγματικές και άνισες επειδή 0 θα έχουμε

x -∞ x1 x2 +∞ 2

x x + +

Αν 1x αρνητικός αριθμός ,τότε στο διάστημα 1 2x , x θα υπάρχουν αρνητικοί

αριθμοί για τις οποίες το τριώνυμο θα παίρνει αρνητικές τιμές άτοπο.

Άρα οι ρίζες θα πρέπει να είναι θετικοί αριθμοί.

Επειδή είναι και ρίζες της εξίσωσης (2) θα είναι οι αριθμοί 1 και 2

Από τις σχέσεις Vieta 1 2 1 2 1 2S x x και

1 2 1 2 2x x

Άρα το ζητούμενο τριώνυμο είναι το 2 ) 2(1 2x x

4.5316.

Δίνεται το τριώνυμο: 2 2

x x , όπου β ∈ℝ

α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα του τριωνύμου. (Μονάδες 4)

β) i) Αν 0 τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο του τριωνύμου; (Μονάδες 7)

ii) Πώς αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτημα (i), όταν β= 0 (Μονάδες 6)

γ) Με τη βοήθεια της απάντησής στο ερώτημα (β), να αποδείξετε ότι ισχύει η

ανισότητα 2 2

0 για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β

που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα 0. (Μονάδες 8)


α) 2 2 2

4 3

β) i) Αν 0 τότε 0 .Επομένως 2 2

x x 0 για κάθε x


97

ii) Όταν 0 τότε το τριώνυμο γίνεται 2 2 2

x x x και 20x για κάθε

0x .

γ) Αν 0 τότε το τριώνυμο ως προς β : 2 2

0 από (β(i) ερώτημα)

Αν 0 τότε το τριώνυμο ως προς β : 2 2

0 από (β(i) ερώτημα)

Άρα η ανισότητα 2 2

0 ισχύει για οποιουσδήποτε πραγματικούς

αριθμούς α, β που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα 0.

4.5322.

Δίνεται το τριώνυμο: 2

x 2x 8

α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του πραγματικού

αριθμού x . (Μονάδες 10)

β) Αν 8889

4444k , είναι η τιμή της παράστασης:

22 8 μηδέν, θετικός ή

αρνητικός αριθμός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

γ) Αν ισχύει 4 4 , τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο της τιμής της

παράστασης: 2 – 2 8 ;Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)


α) Οι ρίζες είναι οι αριθμοί -2,4.


x 2 4 +∞ 2

2 8x x + - +

β) 8889

2 8889 88884444

k ισχύει

Άρα 22 –8 0 από τον πίνακα προσήμων.

γ) 4 4 | | 4 .Άρα 0 4

Από την παράσταση 2 2– 2 8 | | –2 8 για x προκύπτει το αρχικό

τριώνυμο ,το οποίο για 0 x 4 είναι αρνητικό.

Επομένως το ίδιο συμβαίνει για την παράσταση 2 – 2 8 .

4.5884.

Δίνεται το τριώνυμο 2f x x 6x 3 , με λ ∈ℝ

α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει δύο άνισες

πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 7)

γ) Αν 3 12 , τότε:

(i) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες. (Μονάδες 6)


98

(ii) Αν 1 2x , x με 1 2x x είναι οι δύο ρίζες του τριωνύμου και κ, μ είναι δύο

αριθμοί με 0 και 1 2x x , να προσδιορίσετε το πρόσημο του

γινομένου f f . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 7)


α) 2

( 6) 4 1 ( 3) 36 4 12 48 4 .

β) Θα πρέπει 0 48 4 0 4 48 12 .

γ) i) Επειδή 12 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.

1 2 3 0x x .Άρα έχει ρίζες ομόσημες.

1 2 6 0S x x . Άρα έχει ρίζες θετικές .

γ) i)

Έχουμε : 10, x 0 ( 1x 0 , από γ)i) ερώτημα)

Από τον πίνακα προσήμου έχουμε f 0, f 0 .

Άρα f f 0

4.5885.

α) i) Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου: 2

x 9x 18 (Μονάδες 4)

ii) Να λύσετε την εξίσωση: 23 9 18 0x x x (Μονάδες 7)

β) i) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου 2

x 9x 18 , για τις διάφορες

τιμές του πραγματικού αριθμού x. (Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει:

2 29 18 9 18 x x x x (Μονάδες 7)


α) i) 2 29 4 1 8 81 32 49 7 . Οι ρίζες του τριωνύμου είναι :

1

9 7 21

2 2x

και 2

9 7 168

2 2x

ii) 2 23 9 18 0 3 0 3 9 18 1, 8x x x x x x x x

β) i) To πρόσημο του τριωνύμου δίνεται από τον πίνακα :

x 8 1 +∞ 2

9 18x x + +

x -∞ κ x1 μ x2 +∞

f x + - +


99

ii) Για να ισχύει : 2 29 18 9 18 x x x x θα πρέπει

2

9 18 0 [ 8, 1]x x x

4.6227.


x 5x 6 0 . (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού

246 46

5 647 47

K

και να

αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. (Μονάδες 7)

γ) Αν 6, 6 , να βρείτε το πρόσημο της παράστασης 2 5 6 .



α) 2 2

( 5) 4 1 ( 6) 25 24 49 7

Οι ρίζες του τριωνύμου 2x 5x 6 είναι:

1

5 7 126

2 2x

και 2

5 7 21

2 2x

To πρόσημο του τριωνύμου δίνεται από τον πίνακα :

x 1 6 +∞ 2

5 6x x + +

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι : ( 1,6)x

β) 46

1 46 4747

και 46

647

. Ο αριθμός

246 46

5 647 47

K

είναι η τιμή του τριωνύμου 2x 5x 6 για

46

47x .Άρα 0 .

γ) ( 6,6) 6 6 | | 6 .Άρα 0 6

Από την παράσταση 2 2– 5 6 | | –5 6 για x προκύπτει το αρχικό

τριώνυμο ,το οποίο για 0 x 6 είναι αρνητικό.

Επομένως το ίδιο συμβαίνει για την παράσταση Λ.

4.7263.

Δίνεται το τριώνυμο: 2

x 6x 7 , όπου

α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες.

(Μονάδες 7)

β) i) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να βρείτε την τιμή του αθροίσματος

1 2S x x των ριζών και να εκφράσετε συναρτήσει του λ το γινόμενο

1 2P x x των ριζών. (Μονάδες 2)

ii) Να δείξετε ότι, για κάθε λ με 7 16 , το τριώνυμο έχει δύο άνισες

ομόσημες ρίζες. Ποιο είναι τότε το πρόσημο των ριζών; Να αιτιολογήσετε



100

γ) i) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση 2x 6 x 7 (1)

έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 8)

ii) Έχει η εξίσωση (1) για 3 10 τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες;



α) Για να έχει το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες πρέπει :

2

0 ( 6) 4 1 ( 7) 0 36 4 28 0 4 64 16

β) i) 1 2 6S x x και 1 2 7 7x x

ii) Αφού 16 0 , άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες και επειδή

7 7 0 0 οι ρίζες αυτές είναι ομόσημες.

Το άθροισμα S των ριζών είναι θετικός αριθμός.

Επομένως οι ρίζες έχουν θετικό πρόσημο.

γ) i) 2 26 7 | | 6 7 0x x x x (1)

Αν θέσουμε | x | (2) ,τότε προκύπτει το αρχικό τριώνυμο.

Το οποίο έχει δύο θετικές ρίζες ω1 και ω2 όταν 7 < λ < 16.

Τότε 1 1| | xx και 2 2| | xx δηλαδή τότε η εξίσωση (1) έχει

τέσσερις διαφορετικές ρίζες.

ii) Θα πρέπει 7 3 10 16 49 90 256 ισχύει.

4.7506.

Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος.

Το ύψος y (σε m) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγμή t (σε sec)

μετά την εκτόξευση, δίνεται από τη σχέση: y = 60t − 5t2

α) Μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος;

β) Ποιες χρονικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί στο ύψος y = 175 m;

γ) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται

σε ύψος μεγαλύτερο από 100 m.


α) Θα επανέλθει όταν

2

0 0 5 (12 ) 0 0se60 5 c 12secy t t t ίt t ή t

β) 2

( 52

: )

175 17560 5 60 175 5 0t t ty t

2

12 35 0 5sec 7sect t t ή t

γ) (:5)

2 22100 100 5 60 100 0 12 05 2060y t t tt tt

Η διακρίνουσα του τριωνύμου 212 20t t είναι ίση με

2 2

( 12) 4 1 20 144 80 64 8 και οι ρίζες του είναι :


101

1

12 8 2010

2 2t

και 2

12 8 42

2 2t


t 0 2 10 +∞ 2

12 20t t + +

Άρα 2

12 20 0 (2,10)t t t sec

4.7677.

Δίνεται η ανίσωση: x 1 4 (1)

α) Να λύσετε την ανίσωση και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεων της πάνω


β) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1). (Μονάδες 3)

γ) Να κατασκευάσετε ένα τριώνυμο της μορφής 2

x x το οποίο να έχει

ρίζες δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1) και να έχει θετική τιμή,

για κάθε x 0 . (Μονάδες 15)


α) 1 4 4 1 4 5 3 ( 5,3)x x x x

β) Οι ακέραιοι που βρίσκονται στο διάστημα 5,3 είναι οι -4,-3,-2,-1,0,1,2

γ) το τριώνυμο 2

f (x) x x είναι θετικό για κάθε 0x και άρα f 0 0 .

Αλλά από τους τύπους του Vieta για τις ρίζες του τριωνύμου 1 2x , x έχουμε

1 2 0x x συνεπώς οι ρίζες που θα επιλέξουμε θα πρέπει να είναι

ομόσημες ( αυτόματα αποκλείεται η τιμή 0).

Δεν γίνεται να είναι οι ρίζες ίσες και αρνητικές γιατί τότε το τριώνυμο θα γίνεται

μηδέν όταν η τιμή του ταυτιστεί με την ρίζα αυτή.

Εξετάζουμε τώρα αν γίνεται να είναι ρίζες δύο διακεκριμένες αρνητικές τιμές

του 4, 3, 2, 1,0,1, 2 .

Σε τέτοια περίπτωση, ισχύει ότι και προηγουμένως δηλαδή το τριώνυμο θα

μηδενίζεται όταν η τιμή του x ταυτιστεί με μια από τις ρίζες .

(Επί πλέον δε οι τιμές του τριωνύμου ανάμεσα στις ρίζες αυτές θα είναι

ετερόσημες του 1 0 που πάλι έρχεται σε αντίφαση με τις προϋποθέσεις της

άσκησης).

Μετά από τα παραπάνω το τριώνυμο θα έχει για ρίζες είτε τις δύο διακεκριμένες

θετικές τιμές του συνόλου A , δηλαδή τις 1x 1 και 2x 2

Οπότε θα έχουμε το τριώνυμο 2

( ) 3 2f x x x

Eίτε διπλή κάθε μια απ’ αυτές και πράγματι τότε 2

( ) ( 1)f x x

ή 2

( ) ( 2)f x x που είναι θετικό για κάθε 0x .


102

4.7684.

Δίνεται η ανίσωση: x 1 3 (1)

α) Να λύσετε την ανίσωση και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεων της πάνω


β) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1). (Μονάδες 3)

γ) Να κατασκευάσετε ένα τριώνυμο της μορφής 2

x x το οποίο να έχει

ρίζες δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1) και να έχει θετική τιμή,

για κάθε 0x . (Μονάδες 15)


α) 1 3 1 3 2 4 [ 2, 4]3x x x x

β) Οι ακέραιοι που βρίσκονται στο διάστημα [-2,4] είναι οι -2,-1,0,1,2,3,4

γ) το τριώνυμο2

f (x) x x είναι θετικό για κάθε 0x και άρα f 0 0 .

Αλλά από τους τύπους του Vieta για τις ρίζες του τριωνύμου 1 2x , x έχουμε

1 2 0x x συνεπώς οι ρίζες που θα επιλέξουμε θα πρέπει να είναι

ομόσημες ( αυτόματα αποκλείεται η τιμή 0).

Δεν γίνεται να είναι οι ρίζες ίσες και θετικές γιατί τότε το τριώνυμο θα γίνεται

μηδέν όταν η τιμή του x ταυτιστεί με την ρίζα αυτή.

Εξετάζουμε τώρα αν γίνεται να είναι ρίζες δύο διακεκριμένες θετικές τιμές

του 2, 1,0,1, 2,3, 4 .

Σε τέτοια περίπτωση, ισχύει ότι και προηγουμένως δηλαδή το τριώνυμο θα

μηδενίζεται όταν η τιμή του x ταυτιστεί με μια από τις ρίζες .

(Επί πλέον δε οι τιμές του τριωνύμου ανάμεσα στις ρίζες αυτές θα είναι

ετερόσημες του 1 0 που πάλι έρχεται σε αντίφαση με τις προϋποθέσεις της

άσκησης).

Μετά από τα παραπάνω το τριώνυμο θα έχει για ρίζες είτε τις δύο διακεκριμένες

αρνητικές τιμές του συνόλου A , δηλαδή τις 1x 1 και 2x 2 .

Οπότε θα έχουμε το τριώνυμο 2

( ) 3 2f x x x

Eίτε διπλή κάθε μια απ’ αυτές και πράγματι τότε 2

( ) ( 1)f x x

ή 2

( ) ( 2)f x x που είναι θετικό για κάθε 0x .

4.7745.

Δίνεται το τριώνυμο 2f x x 2x 3

α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου f x για τις διάφορες τιμές του x.

(Μονάδες 10)

β) Να προσδιορίσετε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσημο του

γινομένου: f 2,999 f 1,002 (Μονάδες 7)


103

γ) Αν – 3 3 , να βρείτε το πρόσημο του αριθμού: 2 2 3 .

(Μονάδες 8)


α) 2 2

2 4 ( 1) 3 4 12 16 4

Οι ρίζες του τριωνύμου f x είναι:

1

2 4 21

2 2x

και 2

2 4 63

2 2x


x 1 3 +∞ 2

2 3x x +

β) Είναι 1 2,999 3 , άρα f 2,999 0 και

1,002 ( , 1) . Άρα f 1,002 0 (όπως φαίνεται από τον πίνακα προσήμων)

Επομένως f 2,999 f 1,002 0 .

γ) 3 3 | | 3 .Άρα 0 3

Από την παράσταση 2 22 3 | | 2 3 για x προκύπτει το

αρχικό τριώνυμο ,το οποίο για 0 x 3 είναι αρνητικό.

Επομένως το ίδιο συμβαίνει για την παράσταση 2 2 3 .

4.7958.

α) Να λύσετε την ανίσωση: 2 51

2x x (1) (Μονάδες 10)

β) Δίνονται δύο αριθμοί κ, λ οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης (1) και

ικανοποιούν επιπλέον τη σχέση: –1 –1 0 .

i) Να δείξετε ότι το 1 είναι μεταξύ των κ, λ (Μονάδες 8).

ii) Να δείξετε ότι: 3



α) ( 2)

2 2 251 2 2 5 2 5 2 0

2x x x x x x

α) 2 2

( 5) 4 2 2 25 16 9 3

Οι ρίζες του τριωνύμου f x είναι: 1

5 3 82

2 2 4x

και 2

5 3 2 1

2 2 4 2x


x -∞ 1

2 2 +∞

22 5 2x x + +


104

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι : 1

, [2, )2

x

β) Επειδή –1 –1 0 , οι αριθμοί 1, 1 είναι ετερόσημοι.

Έστω 1 0 1 και 1 0 1 .Τότε 1 .

Αν 1 0 1 και 1 0 1 .Τότε 1 .

άρα σε κάθε περίπτωση το 1 είναι μεταξύ των κ, λ.

γ) Αν 1 και κ, λ λύσεις της ανίσωσης τότε : 1 1

2 2 (1) και

2 (2).

Με πρόσθεση των (1) και (2) έχουμε :1 3

22 2

Αν 1 και κ, λ λύσεις της ανίσωσης τότε : 1 1

2 2 (1) και

2 (2).

Με πρόσθεση των (1) και (2) έχουμε :1 3

22 2

Άρα σε κάθε περίπτωση έχουμε 3

2 .

4.7974.

Δίνεται πραγματικός αριθμός α, που ικανοποιεί τη σχέση: – 2 1

α) Να γράψετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του α.

(Μονάδες 8)

β) Θεωρούμε στη συνέχεια το τριώνυμο: 2 1( 2)

4x a x .

i) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύμου και να προσδιορίσετε το

πρόσημό της. (Μονάδες 10)

ii) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του x , ισχύει 2 1( 2) 0

4x a x .

(Μονάδες 7)


α) – 2 1 1 2 1 1 3 (1,3)

β) i) 2 2 21

( 2) 4 1 4 4 1 4 34

Οι ρίζες του τριωνύμου 24 3 είναι το 1 και το 3.


α -∞ 1 3 +∞ 2

4 3 + +


105

ii) Επειδή (1,3)a είναι 0 και 2 1

( 2) 04

x a x για κάθε τιμή του x .

4.8217.


x x 6 0 (Μονάδες 8)

β) Να λύσετε την ανίσωση: 1

12

x (Μονάδες 5)

γ) Δίνεται το διπλανό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με

πλευρές α και α + 1 όπου ο αριθμός α ικανοποιεί τη

σχέση 1

12

a .Αν για το εμβαδόν Ε του

ορθογωνίου ισχύει 6 , τότε:

i) Να δείξετε ότι: 3

22

a (Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών κυμαίνεται η περίμετρος του ορθογωνίου.

(Μονάδες 5)


α) Οι ρίζες είναι οι αριθμοί -3 και 2

H λύση της ανίσωσης είναι το διάστημα (-3,2)

β) 1 1 3 1 1

1 1 12 2 2 2 2

x x x ή x x

Άρα 1 3

, ,2 2

x

γ) i) Το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο 21

Άρα ( )

2 26 6 6 0 ( 3, 2)ώ

Επειδή 0 είναι (0,2)

Επίσης 1 1 3

1 , ,2 2 2

a

Άρα 3

22

a

x 3 2 +∞ 2

6x x +

+


106

ii) Έστω Π η περίμετρος του ορθογωνίου. Τότε

2 2 1 2 2 2 4 2

Έχουμε ( 4) ( 2)3

2 6 4 8 8 4 2 10 8 10 (8,10)2

a

4.8445.

α) Δίνεται το τριώνυμο 2

x 3x 2, x .Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου.

(Μονάδες 10)

β) Θεωρούμε πραγματικούς αριθμούς α, β διαφορετικούς από το 0 με για

τους οποίους ισχύει 2 23 2 3 2 0 .

Να αποδείξετε ότι ισχύει 1 2 1 2 . (Μονάδες 15)


α) Οι ρίζες είναι οι αριθμοί 1 και 2

β) Είναι 2 23 2 3 2 0 , όταν οι αριθμοί 23 2 και

2

3 2 είναι ετερόσημοι.

Αν 23 2 0 1 2 και

23 2 0 1 2ή

Τότε 1 0 και 2 0 ( ) .

Επομένως 1 2 1 2 1 20

Αν 2

3 2 0 1 2ή και 2

3 2 0 1 2 , τότε

1 0 και 2 0 .

Επομένως 1 2 1 20 2 1 .

4.13086.

Δίνεται το τριώνυμο 2 2λx λ 1 x λ, λ 0 .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει

ρίζες πραγματικές για κάθε λ 0 .

(Μονάδες 9)

β) Για ποιες τιμές του λ το παραπάνω τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες;

(Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε 2 2λx λ 1 x λ 0 , για κάθε x .

( Μονάδες 10)


2 2

2 4 2 2 4 2 2λ 1 4 λ λ λ 2λ 1 4λ λ 2λ 1 λ 1

α) 2

2λ 1 0 , άρα το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ 0 .

β) Το τριώνυμο έχει ρίζες ίσες όταν 2

2 2 20 λ 1 0 λ 1 0 λ 1 λ 1 .

x 1 2 +∞ 2

x 3x 2 + - +


107

γ) Είναι 2 2λx λ 1 x λ 0 , για κάθε x όταν 0 και λ 0 (το τριώνυμο

διατηρεί σταθερό πρόσημο, είναι ομόσημο του α). Όμως από το (α) σκέλος είναι

0 , άρα τελικά πρέπει 0 και λ 0 . Είναι 0 λ 1 και επειδή λ 0 ,

τελικά είναι λ 1 .

4.13102

Δίνεται η εξίσωση: 22 4 5 0x x , με παράμετρο λ ∈ℝ

α) Να αποδείξετε ότι αν λ = 5 η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα.

(Μονάδες 5)

β) Να εξετάσετε αν υπάρχει και άλλη τιμή του λ, ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα.

(Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες.

(Μονάδες 10)

δ) Αν 2 2| 4 5 | 4 5 , λ ∊ℝ- {-1, 5} να δείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει

ρίζες. (Μονάδες 5)


Η διακρίνουσα είναι : 2 2 2

( 2 ) 4 1 (4 5) 4 16 20 4( 4 5) 4( 1)( 5)

α) Για λ=5 : Δ =0, άρα η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα

β) 0 ( 1)( 5) 0 ( 1 0 1) ( 5 0 5)ή .

Επομένως και για λ =-1 έχει διπλή ρίζα

γ) Πρέπει 0 ( 1)( 5) 0 1 5 ( , 1) (5, )ή

δ) 2 2 2 2 2| 4 5 | 4 5 | 4 5 | 4 5 4 5

πρέπει 0 ( 1)( 5) 0 ( 1,5)

4.13107

Δίνεται το τριώνυμο: 2 2( ) ( 1) , {0}f x x x R


τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ∊ℝ-{0}

(Μονάδες 8)

β) Αν x1, x2 είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S = x1+x2

συναρτήσει του λ ≠ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P = x1∙x2 των ριζών.

(Μονάδες 5)

γ) Αν λ > 0 το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 6)

δ) Αν 0<λ≠ 1 και x1, x2, με x1<x2 , είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου,

τότε να βρείτε το πρόσημο του γινομένου f(0)∙f(κ)∙f(μ), όπου κ, μ είναι αριθμοί

τέτοιοι ώστε x1 <κ < x2< μ

(Μονάδες 6)


108


α) 2

2 4 2 2 4 2 2 2( 1) 4 2 1 4 2 1 ( 1) 0 .

Άρα το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ∊ℝ-{0}

β) 2

1 2

1S x x

και 1 2 1x x

γ) Αν λ>0 τότε S >0 και P=1>0 άρα έχει ρίζες θετικές.

δ) Επειδή λ> 0 το τριώνυμο έχει θετικές ρίζες.

Επομένως : 0<x1 <κ < x2< μ και το πρόσημο του τριωνύμου είναι:

x -∞ 0 x1 κ x2 μ +∞

f(x) - +

Επομένως f(0)>0 , f(κ) <0 ,f( μ)>0 και f(0)∙f(κ)∙f(μ)<0


109

ΠΠΠρρρόόόοοοδδδοοοιιι

ΑΑΑρρριιιθθθμμμηηητττιιικκκήήή πππρρρόόόοοοδδδοοοςςς

2ο θέμα

2.474.

Θεωρούμε την ακολουθία (αν) των θετικών περιττών αριθμών:1, 3, 5, 7, …

α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (αν) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15)

β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ν πρώτων περιττών θετικών αριθμών είναι

ίσο με το τετράγωνο του πλήθους τους. (Μονάδες 10)


α) Κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με πρόσθεση του αριθμού 2.Άρα είναι

αριθμητική πρόοδος με α1=1 και ω=2.

100 1 99 1 99 2 199

β) 12 ( 1)2 2

S

2 1 ( 1) 2 (1 1 2)

2.480.

Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε

σειρά έχει α καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη. Η 7η σειρά έχει 36

καθίσματα και το πλήθος των καθισμάτων του σταδίου είναι 300.

α) Αποτελούν τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Να

αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. (Μονάδες 12)

β) Πόσα καθίσματα έχει κάθε σειρά; (Μονάδες 13)


α) Αν θεωρήσω μία ακολουθία (αν),όπου α1 η πρώτη σειρά καθισμάτων ,α2 η δεύτερη

σειρά καθισμάτων …. Κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με πρόσθεση του

αριθμού α. Άρα είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά α.

β) 7 1 136 6 36 36 6a a (1)

(:5)

10 1 1 1

10300 2 9 300 5 2 9 300 2 9 60

2S a a a a a a (2)

(1)

(2) 2(36 6 ) 9 60 72 12 9 60 3 12 4a a (3)

(3)

1(1) 36 6 4 12

Άρα η πρώτη σειρά έχει 12 καθίσματα (α1)

η δεύτερη σειρά έχει 12+4 =16 καθίσματα(α2)

η τρίτη σειρά έχει 16+4=20 καθίσματα(α3)

η τέταρτη σειρά έχει 20+4=24 καθίσματα(α4)

η πέμπτη σειρά έχει 24+4=28 καθίσματα(α5)

η έκτη σειρά έχει 28+4=32 καθίσματα(α6)

η έβδομη σειρά έχει 36 καθίσματα(α7)


110

η όγδοη σειρά έχει 36+4=40 καθίσματα(α8)

η ένατη σειρά έχει 40+4=44 καθίσματα(α9)

η δέκατη σειρά έχει 44+4=48 καθίσματα(α10)

2.508.

α) Να βρείτε το άθροισμα των ν πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων

1,2,3,…ν (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους

πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να πάρουμε άθροισμα τον αριθμό 45.

(Μονάδες 13)


α)Έχουμε την ακολουθία και 1 1 1 , άρα είναι αριθμητική

πρόοδος με 1 1 και 1 .

1

( 1)2 ( 1) 2 1 ( 1) 1 2 1 1

2 2 2 2 2S

β) 2 2( 1)

45 45 90 90 02

S

2 2

1 4 1 ( 90) 360 361 19

1 19 18

92 2

ή 1 19 20

102 2

απορρίπτεται (ν>0)

2.1015.

Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 2 40, 4 .

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 1 2 , όπου ω είναι η διαφορά της προόδου και

ο πρώτος όρος της. (Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος με 2 4 , ν ∈N*

και να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με 98. (Μονάδες 15)


α) 2 10 0 (1)

4 14 3 4 (2)

Από 12 1 13 4 0 2 4 2 (3)

(3)

1 1(1) 2 0 2

β) 1 ( 1) 2 ( 1) 2 2 2 2 2 4

98 2 4 98 2 102 51

1


111

2.1050.

α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x ώστε οι αριθμοί :

2

2, 1 , 3 2x x x με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου. (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε τη διαφορά ω της παραπάνω αριθμητικής προόδου, όταν

i) x 1 ii) x 1 . (Μονάδες 12)


α)Αφού είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ισχύει (2β=α+γ)

2 22(x 1) 2 3 2 2 4x x x x 2 4x 4 2 2

2 2 1 1x x x

β) i) Για x 1 οι αριθμοί που μας δίνονται είναι οι 2

2 3, 1 4, 3 2 5x x x

Τότε 4 3 1 .

ii) Για x 1 οι αριθμοί που μας δίνονται είναι οι

2

2 1, 1 0, 3 2 1x x x , τότε 0 1 1

2.1057.

Σε ένα γυμναστήριο με 10 σειρές καθισμάτων, η πρώτη σειρά έχει 120 καθίσματα και

κάθε σειρά έχει 20 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη της.

α) Να εκφράσετε με μια αριθμητική πρόοδο το πλήθος των καθισμάτων της

ν-οστής σειράς. (Μονάδες 9)

β) Πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά; (Μονάδες 8)

γ) Πόσα καθίσματα έχει το γυμναστήριο; (Μονάδες 8)


α) Αν θεωρήσω μία ακολουθία (αν),όπου 1 η πρώτη σειρά καθισμάτων , 2 η

δεύτερη σειρά καθισμάτων …. Κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με

πρόσθεση του αριθμού 20. Άρα είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά 20 και

1 120 . Το πλήθος των καθισμάτων της ν- οστής σειράς είναι:

11 120 1 20 120 20 20 100 20

β) 10 100 20 10 100 200 300

γ) 10 1

102 9 5 2 120 9 20 5 240 180 5 420 2100

2S a

2.1064.

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν ) για την οποία ισχύει ότι: 1 19 και

10 6 24 .

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι 6 . (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τον 20 . (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε το άθροισμα των 20 πρώτων όρων της προόδου. (Μονάδες 8)


112


α) 10 6 1 1 24 9 ( 5 ) 24

1 19 5 24 4 24 6

β) 20 1 19 19 19 6 19 114 133

γ) 20 1

202 19 10(2 19 19 6) 10 (38 114) 10 152 1520

2S

2.1086.

Οι αριθμοί 1 , x 4 , x 8 είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί

όροι αριθμητικής προόδου (αν).

α) Να βρείτε τη τιμή του x. (Μονάδες 10)

β) Αν x 1 και ο αριθμός Α είναι ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου (αν),

i) να υπολογίσετε τη διαφορά ω. (Μονάδες 7)

ii) να υπολογίσετε τον εικοστό όρο της αριθμητικής προόδου. (Μονάδες 8)


α)Αφού είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ισχύει

2 2(x 4) 1 x 8 2 8x 1 8x 1x

β) Για 1x οι αριθμοί που μας δίνονται είναι οι 1A 1 ,B 5 και 9 .

i) Τότε 5 1 4

ii) 20 1 19 1 19 4 1 76 77a a v

2.1101.

Δίνεται η εξίσωση: 2 2x 2 x 4 0 , (1) με παράμετρο β ∈ℝ.

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις: 1x 2 και 2x 2

(Μονάδες 12)

β) Αν 1 2, x x είναι οι ρίζες της (1), να εξετάσετε αν οι αριθμοί 1 2x , , x , με τη σειρά

που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να αιτιολογήσετε

το συλλογισμό σας. (Μονάδες 13)


α) 2 2 2( 2 ) 4 1 ( 4) 4 24 216 16 4

1

2 4 2

2x

( 2)

2

2 και

2

2 4 2

2x

( 2)

2

2

β) οι αριθμοί 1 2x , , x , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν και μόνο αν:

1 22 2 2x x 2 2 2 ισχύει


113

2.1301.

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) για την οποία ισχύει: 4 2 10

α) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι 5 . (Μονάδες 12)

β) Αν το άθροισμα των τριών πρώτων όρων της προόδου είναι 33, να βρείτε

τον πρώτο όρο της προόδου. (Μονάδες 13)


α) 4 2 1 1 110 3 ( ) 10 13 10

2 10 5

β) 3

333

2S 2 1 2a

(:3)

1 1 133 3 ( 5) 33 5 11 6a a

2.1513.

Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με 1 1 και

3 9 .

α) Να βρείτε τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε το μικρότερο θετικό ακέραιο ν, ώστε να ισχύει 30 .

(Μονάδες 13)


α) 3 1 2 9 1 2 8 2 4

β) 130 ( 1) 30 1 ( 1) 4 30

33

1 4 4 30 4 33 84

Άρα ο μικρότερος θετικός ακέραιος είναι ο αριθμός 9.

2.4300.

Σε μία αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύουν: 1 2 και 25 12 39 .

α) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι 3 . (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με 152. (Μονάδες 13)


α) 25 12 139 124 11 39 13 39 3

β) 1152 ( 1) 152 2 ( 1) 3 152

153

2 3 3 152 3 153 513

Άρα ο 51ος όρος είναι ίσος με 152.


114

2.4301.

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) με διαφορά ω.

α) Να δείξετε ότι: 15 9

10 7

2

(Μονάδες 13)

β) Αν 15 9 18 , να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου. (Μονάδες 12)


α) 15 915 9 10 7

10 7

2 2

1 1 1 114 ( 8 ) 2 9 ( 6 )

1 114 18 2 19 6 6 2 3 6 6 ύ

β) 15 9

10 7

2

(1) , 15 9 18 (2)

Από την (2) (:2)

10 7 10 7

10 7

18(1) 2 18 2 9

19 19 6 9 3 3

2.4303.

Σε αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύουν: 4 9 15 και

1 41 .

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι ίση με -3. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε το θετικό ακέραιο ν, ώστε . (Μονάδες 13)


α) 4 9 1 1 115 3 ( 8 ) 15 13 8 15

5 15 3

β) 1 ( 1) 41 ( 1)( 3)

41 3 3 4 44 11

2.4304.

Σε αριθμητική πρόοδο (αν) με διαφορά 4 , ισχύει: 6 11 40 .

α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α1 της προόδου. (Μονάδες 12)

β) Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουμε ώστε το

άθροισμά τους να είναι ίσο με το μηδέν; Να αιτιολογήσετε την απάντησή



115


α) 6 11 1 1 140 5 10 40 2 15 40

1 1 1 12 15 4 40 2 60 40 2 20 10a a a a

β) 0

10 2 ( 1) 0 2 ( 10) ( 1)4 02

S

20 4 4 0 4 24 6

Επομένως θα πρέπει να προσθέσουμε τους έξι πρώτους όρους

2.4312.

Οι αριθμοί 6, 5 2, 11 6 x x x είναι, με τη σειρά που δίνονται,

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α1 και διαφορά ω.

α) Να βρείτε την τιμή του x και να αποδείξετε ότι 4 . (Μονάδες 12)

β) Αν ο πρώτος όρος της προόδου είναι 1 0 , να υπολογίσετε το άθροισμα S8

των 8 πρώτων όρων. (Μονάδες 13)


α) Αφού είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ισχύει :

2(5 2) 6x x 11 6x 10 4 12 2 4 2x x x x

Άρα οι αριθμοί που δίνονται είναι οι 8,12,16 και 12 8 4 .

β) 8 1

82 7 4 (0 7 4) 4 28 112

2S a

2.4319.

Σε αριθμητική πρόοδο (αν) είναι 1 2 και 5 14 .

α) Να αποδείξετε ότι 3 . (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε πόσους αρχικούς (πρώτους) όρους πρέπει να προσθέσουμε, ώστε

το άθροισμά τους να είναι ίσο με 77. (Μονάδες 13)

(Δίνεται: 1849 43 ).


α) 5 114 4 14 2 4 14 4 12 3

β)

2

1 4 3 ( 154) 1 1848 1849

Άρα 1 1849 1 43 42

72 3 6 6

ή

1 1849 1 43 44 22

02 3 6 6 3


( 2)

1

2

77 2 ( 1) 77 (2 2 ( 1) 3) 1542

(4 3 3) 154 (3 1) 154 0 3 154 0

S


116

4ο θέμα

4.2047.

Ένας μελισσοκόμος έχει τοποθετήσει 20 κυψέλες σε μια ευθεία η οποία διέρχεται

από την αποθήκη του Α. Η πρώτη κυψέλη απέχει 1 μέτρο από την αποθήκη Α, η

δεύτερη 4 μέτρα από το Α, η τρίτη 7 μέτρα από το Α και γενικά κάθε επόμενη

κυψέλη απέχει από την αποθήκη Α, 3 επιπλέον μέτρα, σε σχέση με την

προηγούμενη κυψέλη.

α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη Α αποτελούν

διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και να βρείτε το νο όρο αυτής της

προόδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου και τι η

διαφορά της; (Μονάδες 6)

β) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη Α είναι η 20η κυψέλη; (Μονάδες 6)

γ) Ο μελισσοκόμος ξεκινώντας από την αποθήκη Α συλλέγει το μέλι, από μία

κυψέλη κάθε φορά, και το μεταφέρει πάλι πίσω στην αποθήκη Α.

i) Ποια είναι απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το

μέλι από την 3η κυψέλη; (Μονάδες 6)

ii) Ποια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να

συλλέξει το μέλι και από τις 20 κυψέλες; (Μονάδες 7)


α) Κάθε κυψέλη απέχει από την προηγούμενη απόσταση 3.Άρα οι αποστάσεις των

κυψελών από την αποθήκη Α αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής

προόδου. Ο πρώτος όρος παριστάνει την απόσταση της 1ης κυψέλης από την

αποθήκη και η διαφορά την απόσταση των κυψελών μεταξύ τους.

Είναι 11 1 1 3 1 3 3 3 2

β) Η ζητούμενη απόσταση είναι ο όρος α20 με 20 3 20 2 58 m

γ) i) 3 1 2 3 1

3 3 242 2 (2 1 2 3) 12

2 2 2S a a a a m

ii)

4.2083.

Ένα κλειστό στάδιο έχει 25 σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά έχει

12 καθίσματα και καθεμιά από τις επόμενες σειρές έχει δυο καθίσματα παραπάνω

από την προηγούμενη.

α) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η μεσαία και πόσα η τελευταία σειρά.

(Μονάδες 10)

β) Να υπολογίσετε την χωρητικότητα του σταδίου. (Μονάδες 5)

γ) Οι μαθητές ενός Λυκείου προκειμένου να παρακολουθήσουν μια εκδήλωση,

κατέλαβαν όλα τα καθίσματα από την 7η μέχρι και την 14η σειρά. Να βρείτε

το πλήθος των μαθητών του Λυκείου. ( Μονάδες 10)

20 1 2 20 1

20... 2 19 10(2 1 19 3)

2

10(2 57) 10 59 590

S a a a a

m


117


α) Αφού τα καθίσματα από σειρά σε σειρά αυξάνονται κατά δύο, τότε έχουμε

αριθμητική πρόοδο με 1 12 και διαφορά 2 .

Οι σειρές του σταδίου είναι 25 (περιττός) άρα υπάρχει μεσαία σειρά και είναι η

25 1 13

2

.

Θα βρούμε πόσα καθίσματα έχει η 13 και η τελευταία δηλαδή η α25.

13 1 12 12 12 2 12 24 36

Άρα η μεσαία σειρά έχει 36 καθίσματα .

25 1 24 12 24 2 12 48 60

Επομένως η τελευταία σειρά έχει 60 καθίσματα .

β) Για να βρω τη χωρητικότητα του σταδίου θα προσθέσω τα καθίσματα και των 25

σειρών , δηλαδή 1 2 25 25S .

25 1

25 252 24

2 2S a 2 12 24 2 25 36 900 θέσεις έχει το στάδιο .

γ) Το πλήθος των καθισμάτων από την 7η έως την 14η σειρά δίνεται από το

άθροισμα: 7 8 14 14 6S S

14 1

142 13 7 2 12 13 2 7(24 26) 350

2S a θέσεις έχουν οι

14 πρώτες σειρές .

6 1

62 5 3 2 12 5 2 3(24 10) 102

2S a θέσεις έχουν οι 6 πρώτες

σειρές .

Άρα Το πλήθος των καθισμάτων από την 7η έως την 14η σειρά είναι

14 6 350 10 24 2 8S S . Άρα το Λύκειο έχει 248 μαθητές .

4.2323.

Ο Διονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθμούς 3, 7, 11, 15,... και

συνεχίζει προσθέτοντας κάθε φορά το 4. Σταματάει όταν έχει γράψει τους 40

πρώτους από τους αριθμούς αυτούς.

α) Είναι οι παραπάνω αριθμοί διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου; Να


β) Να βρείτε το άθροισμα των 40 αυτών αριθμών. (Μονάδες 7)

γ) Είναι ο αριθμός 120 ένας από αυτούς τους 40 αριθμούς; Να αιτιολογήσετε


δ) Ο Γιώργος πήρε το τετράδιο του Διονύση και συνέχισε να γράφει διαδοχικούς

όρους της ίδιας αριθμητικής προόδου, από εκεί που είχε σταματήσει ο

Διονύσης μέχρι να εμφανιστεί ο αριθμός 235. Να βρείτε το άθροισμα των

αριθμών που έγραψε ο Γιώργος. (Μονάδες 7)


118


α) Ναι γιατί κάθε αριθμός προκύπτει από τον προηγούμενο όταν προσθέσουμε

τον ίδιο αριθμό (4).Έχει πρώτο όρο τον αριθμό 1 3 και διαφορά 4

β) 40 1

402 39 20 (2 3 39 4) 20 (6 156) 20 162 3240

2S

γ)

Άρα ο αριθμός 120 δεν ένας από αυτούς τους 40 αριθμούς.

δ) 1235 ( 1) 235 3 ( 1)4 235

236

3 4 4 235 4 1 235 4 236 594

Ο Γιώργος έγραψε τους αριθμούς 41 42, 43, 59, ,

Θέλουμε το άθροισμα 41 42 43 64 59 40S S S

59

59

2S 2 1 58a

29

59 3 29 4 59 (3 116) 7021

Άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι :S 7021 3240 3781

4.4671.

Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν) με διαφορά ω.

α) Να αποδείξετε ότι 20 10 10 . (Μονάδες 6)

β) Αν 20 10 30 και 1 1 , να αποδείξετε ότι 3 2 . (Μονάδες 6)

γ) Ποιος είναι ο πρώτος όρος της προόδου που ξεπερνάει το 30; (Μονάδες 7)

δ) Πόσοι όροι της παραπάνω προόδου είναι μικρότεροι του 60; (Μονάδες 6)


α) 20 10 1 1 119 ( 9 ) 119 9 10

β) 20 10 30 10 30 3

1 ( 1) 1 ( 1) 3 1 3 3 3 2

γ) 32

30 3 2 30 3 32 10,63

.Επομένως ο πρώτος όρος της

προόδου που ξεπερνάει το 30 είναι ο 11.

δ) 62

60 3 2 60 3 62 20,63

. Άρα 20 όροι της παραπάνω

προόδου είναι μικρότεροι του 60.

1120 ( 1) 120 3 ( 1)4 120

1213 4 4 120 4 1 120 4 121 1, 2,3,..., 40

4


119

4.4858.

Μια περιβαλλοντική οργάνωση ξεκινά να καταγράφει τον πληθυσμό

των ελαφιών σε μια δασική περιοχή από το 2000 όπως φαίνεται στον

παρακάτω πίνακα:

Έτος 2000 2001 2002 2003 2004

Αριθμός ελαφιών 1300 1360 1420 1480 1540

Αν ο πληθυσμός των ελαφιών συνεχίσει να αυξάνεται με τον ίδιο σταθερό ρυθμό

και μετά το 2004:

α) Να βρείτε μια σχέση που να επιτρέπει τον υπολογισμό του πληθυσμού των

ελαφιών στο τέλος κάθε έτος από το 2000 και μετά. (Μονάδες 6)

β) Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής:

i) Να προσδιορίσετε τον πληθυσμό των ελαφιών στο τέλος του 2012.

(Μονάδες 6) ii) Να προβλέψετε το έτος στο τέλος του οποίου ο αρχικός πληθυσμός

των 1300 ελαφιών θα αυξηθεί κατά 60%. (Μονάδες 6)

iii) Να προβλέψετε το έτος που ο πληθυσμός των ελαφιών δε θα υπερβεί τα

2600 ελάφια. (Μονάδες 7)


α) Ο πληθυσμός των ελαφιών αυξάνεται κατά 60 ελάφια στο τέλος κάθε έτους.

Άρα αποτελεί αριθμητική πρόοδο (αν) με 1 1300 και 60 .

Η ζητούμενη σχέση είναι ο ν-οστός όρος της προόδου, με:

1 ( 1) 1300 ( 1) 60 1300 60 60 60 1240

β) i) Ο πληθυσμός των ελαφιών to 2012 είναι ο όρος

13 60 13 1240 780 1240 2020 ελάφια

ii) 1300 1300 0,6 60 1240 2080 60 840 14a

Άρα το ζητούμενο έτος είναι το 2015.

iii) 136 68

2600 60 1240 2600 60 1360 22,66 3

a

Επομένως το 2023 ο πληθυσμός των ελαφιών δε θα υπερβεί τα

2600 ελάφια.

4.4925.

Σε αριθμητική πρόοδο είναι 2

2 και 2

3 1 , κ ακέραιος με 1 .

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι αριθμός περιττός.(Μονάδες8)

β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι 1 2 , τότε:

i) Να βρείτε τον αριθμό κ και να αποδείξετε ότι 7 . (Μονάδες 8)

ii) Να εξετάσετε αν ο αριθμός 1017 είναι όρος της προόδου. (Μονάδες 9)


120


α) 2 2( 1) ( 1 ) ( 1 ) 2 1 περιττός

β) i) 1 2 3, , διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Άρα

2 2 2 2

2 1 3

2

2 2 2 ( 1) 2 2 2 1

2 3 0 1 ( 1) 3ί ή

Άρα 2 3 1 7

ii) 11017 ( 1) 1017 2 ( 1) 7 1017a

1022

2 7 7 1017 7 1022 1467

Άρα ο όρος 1007 είναι ο 146ος όρος της προόδου.

4.6143.

Στην Α΄ τάξη ενός Λυκείου της Καρδίτσας η σύμβουλος των μαθηματικών πρόκειται

να πραγματοποιήσει μια δραστηριότητα. Επειδή όμως δεν γνωρίζει το πλήθος των

μαθητών της τάξης, συμβουλεύεται το Γυμναστή του σχολείου, που στοιχίζει τους

μαθητές για τις παρελάσεις και εκείνος της απαντά με ένα πρόβλημα:

«Μπορώ να τοποθετήσω όλους τους μαθητές σε x σειρές με x - 1 μαθητές σε

κάθε σειρά. Αν όμως θελήσω να τους τοποθετήσω σε x+3 σειρές με x-3 μαθητές

σε κάθε σειρά, θα μου λείπει ένας μαθητής».

α) Να βρείτε την τιμή του x. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε η Α΄ τάξη έχει 90 μαθητές. (Μονάδες 6)

γ) Η σύμβουλος σκοπεύει να μοιράσει τους παραπάνω 90 μαθητές σε ν ομάδες

εργασίας, ώστε στην πρώτη ομάδα να πάνε 2 μαθητές και σε κάθε επόμενη

ομάδα να πηγαίνουν 2 παραπάνω κάθε φορά. Να βρείτε την τιμή του ν,

δηλαδή πόσες ομάδες εργασίας θα δημιουργηθούν. (Μονάδες 13)


α) Το πλήθος των μαθητών είναι από το πρώτο δεδομένο (x 1)x μαθητές.

Από το δεύτερο δεδομένο είναι (x 3)(x 3) 1 μαθητές. Άρα :

2

( 1) ( 3)( 3) 1x x x x x 2

x x 9 1 10 10x x

β) Έχει 10 10 1 10 9 90 μαθητές

γ) Κάθε ομάδα έχει 2 παραπάνω μαθητές από την προηγούμενη ομάδα. Άρα το

πλήθος μαθητών κάθε ομάδας είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά 2 και

1 2

Το άθροισμα των μαθητών όλων των ομάδων είναι ίσο με 90 .

190 2 ( 1) 902 2

S

2 2 ( 1) 2

2 2

90

2 90 90 0 10 ( 1)ή ί

ν = 9


121

(2 2

1 4 1 ( 90) 1 360 361 19

1 19 18

92 2

ή 1 19 20

102 2

)

Άρα θα δημιουργηθούν 9 ομάδες εργασίας.

4.7503.

Οι αριθμοί : 2 25, , 2 4x x x x , με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου.

α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του αριθμού x. (Μονάδες 6)

β) Αν 3x και ο αριθμός 2x 5 είναι ο 4ος όρος της προόδου, να βρείτε:

i) Τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου. (Μονάδες 5)

ii) Τον πρώτο όρο της προόδου. (Μονάδες 6)

iii) Το άθροισμα 15 16 17 24S . (Μονάδες 8)


α) Αφού είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου έχουμε :

2 2 2

2(x ) 5 2 4 2 2x x x x x 2

5 2x x

2 2

4 0

9 0 9 3x x x

β) Για 3x : Οι αριθμοί που δίνονται είναι οι : 2

4 3 5 14 , 2

5 3 3 12 ,

6 2 3 4 10

i) Η διαφορά 5 4 12 14 2

ii) 4 1 1 1 114 3 14 3 ( 2) 14 6 14 20a a

iii) 15 16 17 24 24 14 72 98 170S S S

24 1

242 23 12 2 20 23 ( 2) 12 (40 46) 72

2S a

14 1

142 13 7 2 20 13 ( 2) 7 (40 26) 98

2S a

4.7504.

Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν), ο 3ος όρος είναι 3 8 και ο 8ος όρος είναι 8 23 .

α) Να αποδείξετε ότι ο 1ος όρος της αριθμητικής προόδου είναι 1 2 και η

διαφορά της 3 . (Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε τον 31ο όρο της. (Μονάδες 6)

γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: 1 2 3 31S 1 2 3 31

(Μονάδες 10)


α) 3 18 2 8 (1) και 8 123 7 23 (2).

(2) (1) 5 15 3

3

1 1(1) 6 8 2


122

β) 31 1 30 2 30 3 2 90 92

γ) 1 2 3 311 2 3 31S

1 2 3 31 31 31... 1 2 3 ... 3 1457 4961 1953 S S S

31

31

2S 2 1 30

15

31 (2 15 3) 31 47 1457

Θεωρώ την αριθμητική πρόοδο (βν) με 1 1 και 1 (1,2,3,…ν)

Τότε :31

311 2 3 ... 31

2S ( 2 1 30

15

) 31 (1 15) 31 16 496

4.7514.

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) με 3 10 και

20 61 .

α) Να βρεθεί ο πρώτος όρος και η διαφορά της προόδου. (Μονάδες 8)

β) Να εξετάσετε αν ο αριθμός 333 είναι όρος της προόδου. (Μονάδες 8)

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι x και y της παραπάνω προόδου

(αν), τέτοιοι ώστε να ισχύει: 2 3

x y (Μονάδες 9)


α) 3 18 2 8 (1) και 8 123 7 23 (2).

(2) (1) 5 15 3

3

1 1(1) 6 8 2

β) 31 1 30 2 30 3 2 90 92

γ) 1 2 3 311 2 3 31S

1 2 3 31 31 31... 1 2 3 ... 3 1457 4961 1953 S S S

31

31

2S 2 1 30

15

31 (2 15 3) 31 47 1457

Θεωρώ την αριθμητική πρόοδο (βν) με 1 1 και 1 (1,2,3,…ν)

Τότε :31

311 2 3 ... 31

2S ( 2 1 30

15

) 31 (1 15) 31 16 496

4.8458.

Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) , όπου ν ∈Ν* που αποτελείται από ακέραιους

αριθμούς για την οποία ισχύει ότι: 2 2

1 2 3x , 2x 3x 4 , x 2

όπου x .

α) Να αποδειχθεί ότι 3x . (Μονάδες 10)

β) Να βρεθεί ο ν-οστός όρος της προόδου και να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει

όρος της προόδου που να ισούται με 2014 . (Μονάδες 8)


123

γ) Να υπολογιστεί το άθροισμα 1 3 5 15S ... . (Μονάδες 7)


α) Επειδή οι 1 2 3, , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου έχουμε:

2 2

2 1 3

2 2 2

2 2(2 3 4) 2

4 6 8 2 3 7 6 0

x x x x

x x x x x x

2 2

( 7) 4 3 ( 6) 49 72 121 11

1

7 11 183

2 3 6x

δεκτή και 2

7 11 4 2

2 3 6 3x


β) Για x 3 είναι 2 2

1 2 33, 2 3 3 3 4 5, 3 2 7 και

2 1 5 3 2

1 ( 1) 3 ( 1) 2 3 2 2 2 1

2014 2 1 2014 2 2013 άτοπο(άρτιος ίσος με περιττό)

γ) Αν θεωρήσω αριθμητική πρόοδο (βν) ,με 1 1 3 και διαφορά 2 4 ,

τότε:

1 15 1

1

1 ( 1)

114 ( 1) 4 14 2 4 4 4 32 8

8 1 2 3 8 1

8... (2 7 ) 4(6 28) 4 34 136

2S S

Υπάρχει πρόβλημα . Από το 13ο κάθισμα και κάτω

τα κενά καθίσματα βγαίνουν περισσότερα από τα καθίσματα

4.10775.

Σε μια αίθουσα θεάτρου με 20 σειρές καθισμάτων, το πλήθος των καθισμάτων κάθε

σειράς αυξάνει καθώς ανεβαίνουμε από σειρά σε σειρά, κατά τον ίδιο πάντα αριθμό

καθισμάτων .Η 1η σειρά έχει 16 καθίσματα και η 7η σειρά έχει 28 καθίσματα.

α) Να δείξετε ότι οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των καθισμάτων κάθε

σειράς είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρείτε τον πρώτο όρο

της και τη διαφορά αυτής της προόδου. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε το γενικό όρο της προόδου. (Μονάδες 4)

γ) Πόσα καθίσματα έχει όλο το θέατρο; (Μονάδες 5)

δ) Αν στην 1η σειρά της αίθουσας αυτής υπάρχουν 6 κενά καθίσματα, στη 2η

υπάρχουν 9 κενά καθίσματα, στην 3η υπάρχουν 12 κενά καθίσματα και γενικά, τα

κενά καθίσματα κάθε σειράς, από τη 2η και μετά, είναι κατά 3 περισσότερα από

αυτά της προηγούμενης, τότε:

i) Να βρείτε από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχουν μόνο κενά καθίσματα.

(Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε πόσοι είναι οι θεατές.

(Μονάδες 6)


124


α) To πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς αυξάνεται κατά τον ίδιο πάντα αριθμό

καθισμάτων. Άρα αποτελεί αριθμητική πρόοδο (αν) με α1=16 καθίσματα και

διαφορά ω που είναι ο αριθμός κατά τον οποίο αυξάνεται μία σειρά σε

σχέση με την προηγούμενη της.

Η 7η σειρά είναι ο

7 128 6 28 16 6 28 6 12 2

β)

γ) 20 1

202 19 10 2 16 19 2 10 (32 38) 10 70 700

2S a καθίσματα

δ) Το πλήθος των κενών καθισμάτων κάθε σειράς είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής

προόδου γιατί κάθε σειρά έχει 3 περισσότερα καθίσματα από την προηγούμενη

της.

Θεωρούμε την αριθμητική πρόοδο (βν) του πλήθους των κενών καθισμάτων κάθε

σειράς με πρώτο όρο 1 6 και 3 καθίσματα

i) 1 ( 1) 6 ( 1) 3 6 3 3 3 3

Ισχύει 3 3 2 14 11

Το πλήθος των κενών καθισμάτων δεν μπορεί να υπερβαίνει το πλήθος των

καθισμάτων της ίδιας σειράς.

Θα υπάρχουν κενά καθίσματα από την 11η σειρά και πάνω ( 11 )

ii) Αν 10S το σύνολο των κενών καθισμάτων των πρώτων 10 σειρών της αίθουσας

τότε :

10 1

102 9 5 (2 6 9 3) 5 (12 27) 195

2S ΄ καθίσματα

10 1

102 9 5 (2 16 9 2) 5 (32 18) 250

2S καθίσματα

Οι θεατές βρίσκονται από τη διαφορά 10 10 250 195 55S S θεατές

4.13093

Ο ιδιοκτήτης ενός ταξιδιωτικού γραφείου εκτιμά ότι, όταν για μια συγκεκριμένη

διαδρομή διαθέτει τα εισιτήρια στην κανονική τιμή των 21 € ανά εισιτήριο, τότε

πουλά κατά μέσο όρο 30 μόνο εισιτήρια, ενώ το λεωφορείο έχει 51 θέσεις.

Θέλοντας να αυξήσει τη πελατεία του, κάνει την ακόλουθη προσφορά: Ο πρώτος

επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει 3€ και κάθε επόμενος επιβάτης θα

πληρώνει 0,5€ περισσότερο από τον προηγούμενο.

α) Να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο δεύτερος, ο τρίτος και ο τέταρτος επιβάτης.

(Μονάδες 4)

β) Αν για κάθε ν ≤ 51 ο αριθμός αν εκφράζει το ποσό που θα πληρώσει ο ν-οστός

επιβάτης, να δείξετε ότι οι αριθμοί α1, α2,…,α51 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής

1 ( 1) 16 ( 1) 2 16 2 2 2 14


125

προόδου και να βρείτε τη διαφορά ω αυτής της προόδου.

(Μονάδες 6)

γ) Αν το λεωφορείο γεμίσει, να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο 51ος

επιβάτης.

(Μονάδες 7)

δ) Να βρείτε πόσα τουλάχιστον εισιτήρια θα πρέπει να πουληθούν ώστε η είσπραξη

του γραφείου με αυτή την προσφορά να ξεπερνά την είσπραξη που θα έκανε αν

πουλούσε 30 εισιτήρια στην τιμή των 21 € ανά εισιτήριο.

(Δίνεται ότι: 10201 101 )

(Μονάδες 8)


α) Ο δεύτερος επιβάτης θα πληρώσει 3+0,5=3,5€

ο τρίτος επιβάτης θα πληρώσει 3,5+0,5=4€

ο τέταρτος επιβάτης θα πληρώσει 4+0,5=4,5€

β) Επειδή το ποσό που πληρώνει κάθε επιβάτης είναι κατά 0,5 € περισσότερο από τον

προηγούμενο η (αν) είναι αριθμητική πρόοδος με α1=3€ και διαφορά ω=0,5€

γ) Το ποσό που θα πληρώσει ο 51ος

επιβάτης είναι 51 1 50 3 50 0,5 28 €

δ) Έστω ότι πρέπει να πουλήσει ν εισιτήρια .Τότε η είσπραξη θα είναι Σν €.

Οπότε : ( 4)

130 21 2 ( 1) 630 2 3 ( 1) 0,5 6302 2

22 6 0,5 0,5 2520 12 2520 0

211 2520 0 (1)

Η διακρίνουσα είναι : 211 4 1 ( 2520) 121 10080 10201

Έχει ρίζες :11 10201 11 101 90

452 2 2

και

11 10201 11 101 112

562 2 2

Από την (1) 45 0

( 45)( 56) 0 56 0 56

Θα πρέπει να βγάλει τουλάχιστον 57 εισιτήρια αδύνατον αφού το λεωφορείο έχει

51 θέσεις

4.13156

Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (αν) , όπου * . Αν οι τρεις πρώτοι όροι της

προόδου είναι: α1 = x, 2

2 2 3 4x x , 2

3 2a x , όπου x Z , τότε :

α) να αποδειχθεί ότι x = 3 .

(Μονάδες 10)

β) να βρεθεί ο ν-οστός όρος της προόδου και να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει όρος

της προόδου που να ισούται με 2014 .

(Μονάδες 8)

γ) να υπολογιστεί το άθροισμα S = α1 + α3 + α5 + ...+ α15 .

(Μονάδες 7)



126

α)Επειδή α1,α2,α3 διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου :

2 2 2 2

2 1 3

2

2 2(2 3 4) 2 4 6 8 2 0

3 7 6 0

x x x x x x x x

x x

H διακρίνουσα είναι : 2 2( 7) 4 3 ( 6) 49 72 121 11

Οι ρίζες είναι : 1

7 11 183

2 3 6x

, 2

7 11 4 2

2 3 6 3x Z


Επομένως x=3.

β) α1=3,α2= 5 ,α3 =7 και ω= α2-α1=5-3=2

1 ( 1) 3 ( 1) 2 3 2 2 2 1

2014 2 1 2014 2 2013 άτοπο (άρτιος =περιττός)

Επομένως δεν υπάρχει όρος της προόδου που να ισούται με 2014

γ)1 3 5 15, , ,..., 3,7,11,...,31

Έστω η αριθμητική πρόοδος βν ,με β1=α1 =3 ,(β2=7) και

2 1 3 1 7 3 4́

1 15( 1) 3 ( 1) 4 31 3 4 4 4 32 8΄

1 3 5 15 1 2 8 8 1 8

8 8

8 ... ... ( )

2

4 (3 31) 4 34 136

S S

S S

Άρα S=136

ΓΓΓεεεωωωμμμεεετττρρριιικκκήήή πππρρρόόόοοοδδδοοοςςς

2ο θέμα

2.495.

Σε γεωμετρική πρόοδο (αν) με θετικό λόγο λ, ισχύει: 3 1 και

5 4 .

α) Να βρείτε το λόγο λ της προόδου και τον πρώτο όρο της. (Μονάδες 13)

β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι : 32

(Μονάδες 12)


α) 2

3 11 1 (1), 4

5 14 4 (2)

1(2)

(1)

42

12

024

4 21

2

1 1 1

1(1) 2 1 4 1

4

β) 1 1

1 2

1 12

4 2

12 3

32

2.1032.


127

α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x ώστε οι αριθμοί: , 2 1, 5 4x x x ,

με τη σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

(Μονάδες 13)

β) Να βρείτε το λόγο λ της παραπάνω γεωμετρικής προόδου, όταν:

i) 1x ii) 1x (Μονάδες 12)


α) Αφού είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ισχύει :

2 2(2 1) (5 4) 4 x 4x x x x 21 5 4x x 2 1 1x x

β) i) Όταν 1x έχουμε τους αριθμούς : 1,3,9 και o λόγος είναι : 3:1 3

ii) Όταν 1x έχουμε τους αριθμούς : -1,-1,-1 και o λόγος είναι :

( 1) : ( 1) 1

2.1088.

α) Αν οι αριθμοί 4 , , 2x x είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να

προσδιορίσετε τον αριθμό x. (Μονάδες 9)

β) Αν οι αριθμοί 4 , , 2x x είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να

προσδιορίσετε τον αριθμό x. (Μονάδες 9)

γ) Να βρεθεί ο αριθμός x ώστε οι αριθμοί 4 , , 2x x να είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου. (Μονάδες 7)



2 2 4 3 6 2x x x x

Τότε έχουμε τους αριθμούς : 2,2,2 και η διαφορά είναι 2 2 0 .

β) Αφού είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ισχύει :

2 2 2

2 (4 ) 8 2 2 8 0 2 4x x x x x x x ή x

Τότε έχουμε τους αριθμούς : 2,2,2 και ο λόγος είναι 2

12

ή

τους αριθμούς : 8,-4,2 και ο λόγος είναι 4 1

8 2

γ) Αφού είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου ισχύει:

2x .

2.1100.

Δίνεται η εξίσωση: 2 22x 5 x 2 0 (1) , με παράμετρο β >0.

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις: 1x 2 και 22

x

(Μονάδες 12)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της (1), να εξετάσετε αν οι αριθμοί 1 2, , x x , με τη


128

σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να

αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. (Μονάδες 13 )


α) 2 2 2 2 2

( 5 ) 4 2 2 25 16 9

1

5 3 82

2 2 4x

και 1

5 3 2

2 2 4 2x

β) Για να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα πρέπει : 2

1 2x x ,το οποίο

ισχύει γιατί 1 2

2x x

2

2

2 (Σχέσεις Vieta)

2.3828.

Οι αριθμοί 2, 2 και 7 4 , κ∈ℕ είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί

όροι μιας γεωμετρικής προόδου (αν).

α) Να αποδείξετε ότι 4 και να βρείτε το λόγο λ της προόδου. (Μονάδες 12)

β) i) Να εκφράσετε το 2ο όρο, τον 5ο και τον 4ο όρο της παραπάνω γεωμετρικής

προόδου ως συνάρτηση του α1. (Μονάδες 6)

ii) Να αποδείξετε ότι 2 5 1 44 . (Μονάδες 7)



2 2 2

2

(2 ) ( 2)(7 4) 4 7 4 14 8

3 10 8 0

2 2

( 10) 4 3 ( 8) 100 96 196 14

10 14 24

42 3 6

ή 10 14 4 2

2 3 6 3ί

Τότε έχουμε τους αριθμούς : 2,8,32 και ο λόγος είναι 8: 2 4

β) i) 2 1 14a a , 4 4

5 1 1 14 256a a , 3 3

4 1 1 14 64a a

ii) 2 5 1 1 1 1 1 44 256 4 256 4+ = a

2.4288.

α) Να βρείτε, για ποιες τιμές του x, οι αριθμοί 4, 2 , 6x x x με τη σειρά

που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. (Μονάδες 13)

β) Αν 5x και ο 6 x είναι ο τέταρτος όρος της παραπάνω γεωμετρική προόδου,

να βρείτε

i) το λόγο λ της γεωμετρικής προόδου. (Μονάδες 6)

ii) τον πρώτο όρο α1 της προόδου. (Μονάδες 6)



129


2(2 ) (x 4)(6 x) 4 4x x 2 26 24 4x x x x

(:2)2 22 6 20 0 3 10 0 5 2x x x x x ή x

β) Για 5x έχουμε τους αριθμούς : 49, 3, 1 και

i) ο λόγος είναι 1 1

3 3

ii)

3

3

4 1 1 1 1

1 11 1 27

3 27a

2.4315.

Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν), για την οποία ισχύει 5

2

27

α) Να δείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι 3 . (Μονάδες 10)

β) Αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου είναι 200, να

βρείτε τον πρώτο όρο α1. (Μονάδες 15)


α) 15

2

27

3

4

1

327 27 3

β)

4ο θέμα

4.2340.

Μια οικογένεια, προκειμένου να χρηματοδοτήσει τις σπουδές του παιδιού της, έχει να

επιλέξει μεταξύ δυο προγραμμάτων που της προτείνονται:

Για το πρόγραμμα Α πρέπει να καταθέσει τον 1ο μήνα 1 ευρώ, το 2ο μήνα 2 ευρώ,

τον 3ο μήνα 4 ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει, πρέπει να καταθέτει ποσό

διπλάσιο από αυτό που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα.

Για το πρόγραμμα Β πρέπει να καταθέσει τον 1ο μήνα 100 ευρώ,

το 2ο μήνα 110 ευρώ, τον 3ο μήνα 120 ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει

πρέπει να καταθέτει ποσό κατά 10 ευρώ μεγαλύτερο από εκείνο που κατέθεσε τον

προηγούμενο μήνα.

α) i) Να βρείτε το ποσό αν που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό το νο

μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα Α. (Μονάδες 4)

ii) Να βρείτε το ποσό βν που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό το νο μήνα

4 4

4 1 1

40

1 1

1 3 1200 200 200

1 3 1

81 1 80200

2

S a a

21 1200 40 200 5


130

σύμφωνα με το πρόγραμμα Β. (Μονάδες 4)

iii) Να βρείτε το ποσό Aν που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από ν μήνες

σύμφωνα με το πρόγραμμα Α. (Μονάδες 5)

iv) Να βρείτε το ποσό Βν που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από ν μήνες

σύμφωνα με το πρόγραμμα Β. (Μονάδες 5)

β) i) Τι ποσό θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά τους πρώτους 6 μήνες, σύμφωνα

με κάθε πρόγραμμα; (Μονάδες 3)

ii) Αν κάθε πρόγραμμα ολοκληρώνεται σε 12 μήνες, με ποιο από τα δύο

προγράμματα το συνολικό ποσό που θα συγκεντρωθεί θα είναι μεγαλύτερο;

(Μονάδες 4)


α) Το πρόγραμμα Α περιγράφει μία γεωμετρική πρόοδο με 1 1, 2

Το πρόγραμμα B περιγράφει μία αριθμητική πρόοδο με β1=100 , ω=10

i) 1 1 1

1 1 2 2

ii) 1 ( 1) 100 ( 1) 10 100 10 10 10 90

iii) 1 2 1

1 2 1... 1 2 1

1 2 1

iv)

β) i)

6

6 2 1 64 1 63 ευρώ (πρόγραμμα Α)

2

6 5 6 95 6 180 570 750 ευρώ (πρόγραμμα Β )

ii) 12

12 2 1 4096 1 4095 ευρώ (πρόγραμμα Α)

2

12 5 12 95 12 720 1140 1860 ευρώ (πρόγραμμα Β )

Με το πρόγραμμα Α θα συγκεντρωθεί μεγαλύτερο ποσό.

4.4629.

Ένα μυρμήγκι περπατάει πάνω σε ένα ευθύγραμμο κλαδί μήκους 1 m,

με τον ακόλουθο τρόπο:

Ξεκινάει από το ένα άκρο του κλαδιού και το 1ο λεπτό προχωράει 1 cm, το 2ο

λεπτό προχωράει 3 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά 2 cm

μεγαλύτερη από αυτήν που διάνυσε το προηγούμενο λεπτό.

α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει το μυρμήγκι κάθε λεπτό της κίνησής του,

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον v-οστό όρο αν

αυτής της προόδου. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τη συνολική απόσταση που κάλυψε το μυρμήγκι τα πρώτα 5 λεπτά

της κίνησής του. (Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού.

(Μονάδες 4)

δ) Υποθέτουμε τώρα ότι, την ίδια στιγμή που το μυρμήγκι ξεκινάει την πορεία του,

1 2 1... 100 10 902 2

2

B

105

190 95

25 95


131

από το άλλο άκρο του κλαδιού μία αράχνη ξεκινάει και αυτή προς την αντίθετη

κατεύθυνση και με τον ακόλουθο τρόπο: Το 1ο λεπτό προχωράει 1 cm, το 2ο

λεπτό προχωράει 2 cm, το 3ο λεπτό προχωράει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτό

διανύει απόσταση διπλάσια από αυτήν που διένυσε το προηγούμενο λεπτό.

(i) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό της

κίνησής της, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να βρείτε

τον v-οστό όρο βν αυτής της προόδου. (Μονάδες 7)

(ii) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι και η αράχνη θα βρεθούν

αντιμέτωπα σε απόσταση 1 cm. (Μονάδες 5)


α) Από ορισμό αριθμητικής προόδου οι αποστάσεις που διανύει το μυρμήγκι κάθε

λεπτό της κίνησής του, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο

α1= 1 και διαφορά ω= 2 (κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά 2 cm μεγαλύτερη

από αυτήν που διάνυσε το προηγούμενο λεπτό)

Ο ν-οστός όρος είναι 1 ( 1) 1 ( 1) 2 1 2 2 2 1

β) Η συνολική απόσταση που κάλυψε το μυρμήγκι τα πρώτα 5 λεπτά

της κίνησής του είναι :

5 1

5 52 4

2 2S a ( 2 1 4 2 ) 5 (1 4) 5 5 25cm .

γ)

δ)

i) Από ορισμό γεωμετρικής προόδου οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε

λεπτό της κίνησής της, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο

όρο 1 1 και λόγο λ= 2 (κάθε λεπτό διανύει διπλάσια απόσταση από αυτήν

που διάνυσε το προηγούμενο λεπτό)

Ο ν-οστός όρος είναι 1 1 1

1 1 2 2

ii) Αν S΄ν η απόσταση που διανύει η αράχνη σε ν λεπτά ,τότε:

1 1

11 100 1 100

1 2

2 11 (1

2 1 2

vS S

2 1 ) 1 100 2 1

2

2 1

2

100

2 100

Για 1 είναι 2

2 2 1 3 100


2 4 4 8 100


2 8 9 17 100


2 16 16 32 100


2 32 25 57 100


2 64 36 100

Για κάθε 7 είναι 2

2 100 , άρα 6

1100 ( ) 100 (12 2

S

2 1 ) 100

2

20

2100 100 10min


132

4.4678

Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών α, β και εμβαδόν Ε, τέτοια

ώστε οι αριθμοί α, Ε, β, με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι

γεωμετρικής προόδου.

α) Να αποδείξετε ότι 1 . (Μονάδες 10)

β) Αν 5

2a τότε:

i) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τα μήκη α, β.

(Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε τα μήκη α, β. (Μονάδες 10)


α) Το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο (1)

Αφού είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου έχουμε :

(1)

2 2 0

1

β) (1) 1 και 5

2a

i) H ζητούμενη εξίσωση είναι η 2 25

1 0 2 5 2 02

x x x x

ii) Tα μήκη α, β είναι ρίζες της εξίσωσης 2

2 5 2 0x x

2 2

( 5) 4 2 2 25 16 9 3

Οι ρίζες της είναι 1

5 3 82

2 2 4x

και 2

5 3 2 1

2 2 4 2x

Επομένως 2 και 1

2 ή

1

2 και 2

4.6859.

Δίνονται οι αριθμοί 2, , 8x με 0x .

α) Να βρείτε την τιμή του x ώστε οι αριθμοί 2, , 8x , με τη σειρά που δίνονται,

να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά

ω αυτής της προόδου; (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τώρα την τιμή του x ώστε οι αριθμοί 2, , 8x , με τη σειρά που

δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Ποιος

είναι ο λόγος λ αυτής της προόδου; (Μονάδες 5)

γ) Αν (αν) είναι η αριθμητική πρόοδος 2, 5, 8, 11, … και (βν) είναι η

γεωμετρική πρόοδος 2, 4, 8, 16, … τότε:

i) Να βρείτε το άθροισμα Sν των ν πρώτων όρων της (αν). (Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε την τιμή του ν ώστε, για το άθροισμα Sν των ν πρώτων όρων

της (αν) να ισχύει: 72 24S (Μονάδες 8)



133


2 2 8 2 10 5x x x

Τότε έχουμε τους αριθμούς : 2,5,8 και η διαφορά είναι 5 2 3

β) Αφού είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ισχύει :

0

2 22 8 16 4x

x x x

Τότε έχουμε τους αριθμούς : 2,4,8 και ο λόγος είναι 4

22

γ) i) 2

1

32 ( 1) 2 2 ( 1)3 4 3 3 (3 1)

2 2 2 2 2S

ii) 6 6 7

7 1 2 2 2 128

7

22

2

32 24 128 3 48 128

2

3 80 0

2 24S

2 2

1 4 3 ( 80) 1 960 961 31

1 31 30

52 3 6

ή 1 31 32 16

2 3 6 3

απορρίπτεται (ν>0)

4.8170

Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν) με λόγο λ για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:

3 54 , 16 και 0 .

α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α1 και το λόγο λ της προόδου. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (βν), με 1

αποτελεί επίσης γεωμετρική

πρόοδο με λόγο τον αντίστροφο του λόγου της (αν). (Μονάδες 9)

γ) Αν S10 και S΄10 είναι τα αθροίσματα των 10 πρώτων όρων των προόδων (αν)

και (βν) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: 10 109

1

2S S

(Μονάδες 8)


α) 2

3 14 4 (1)

4

5 116 16 (2)

1(2)

(1)

42

12

2164 2( 0)

4

(3)

2

1 1 1(1) 2 4 4 4 1

β) 1 1

11

1

1 1

1 2

Άρα η ακολουθία (βν) αποτελεί επίσης


134

γεωμετρική πρόοδο με λόγο τον αντίστροφο του λόγου της (αν).

γ) 1

1

11

10 1010

10 1

1 2 11 2 1 1023

1 2 1S a

1010

10 10

10

1 1 1 21 122 2 21 1

1 1 2 11

2 2 2 2

S

10

10

(1 2 )

2

9 9 9

109 9

1023 1023

2 2

1 11023

2 2S

4.13088.

Εξαιτίας ενός ατυχήματος σε διυλιστήριο πετρελαίου, διαρρέει στην θάλασσα

πετρέλαιο που στο τέλος της 1ης ημέρας καλύπτει 3 τετραγωνικά μίλια (τ.μ), στο

τέλος της 2ης ημέρας καλύπτει 6 τ.μ, στο τέλος της 3ης ημέρας καλύπτει 12 τ.μ. και

γενικά εξαπλώνεται έτσι, ώστε στο τέλος κάθε ημέρας να καλύπτει επιφάνεια

διπλάσια από αυτήν που κάλυπτε την προηγούμενη.

α) Να βρείτε την επιφάνεια της θάλασσας που θα καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος

της 5ης ημέρας μετά το ατύχημα.

(Μονάδες 7)

β) Πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος το πετρέλαιο θα καλύπτει

768τ.μ.;

(Μονάδες 9)

γ) Στο τέλος της 9ης ημέρας επεμβαίνει ο κρατικός μηχανισμός και αυτομάτως

σταματάει η εξάπλωση του πετρελαίου. Στο τέλος της επόμενης ημέρας η

επιφάνεια που καλύπτει το πετρέλαιο έχει μειωθεί κατά 6 τ.μ. και συνεχίζει να

μειώνεται κατά 6 τ.μ. την ημέρα. Να βρείτε πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του

ατυχήματος η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από το πετρέλαιο θα έχει

περιοριστεί στα 12 τ.μ. (Μονάδες 9)


α) Επειδή η επιφάνεια που καλύπτει στη θάλασσα το πετρέλαιο κάθε μέρα είναι

διπλάσια από την προηγούμενη ημέρα ,οι αριθμοί 3, 6, 12,… που είναι τα

τετραγωνικά που καλύπτει το πετρέλαιο είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής

προόδου με 1α 3 και λ 2 .

Στο τέλος της 5ης ημέρας η επιφάνεια της θάλασσας που θα καλύπτει το πετρέλαιο

είναι 4 4

5 1α α λ 3 2 48 τ.μ.

β) ν 1 ν 1 ν 1 ν 1 8

ν

768α 768 3 2 768 2 2 256 2 2

3

, άρα ν 1 8 ν 9 .

Δηλαδή στο τέλος της 9ης ημέρας το πετρέλαιο θα καλύπτει 768τ.μ.

γ) Οι αριθμοί των τετραγωνικών μέτρων που δηλώνουν την επιφάνεια που καλύπτει

το πετρέλαιο στη θάλασσα από το τέλος της 9ης ημέρας και μετά είναι:

768,762,756,... και αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με 1β 768


135

και ω 6

Έστω ότι τη ν–οστή ημέρα το πετρέλαιο καλύπτει 12 τ.μ στη θάλασσα. Τότε

ν 1β 12 β ν 1 ω 12 768 6 ν 1 12 768 6ν 6 12

762

768 6 12 6ν 6ν 762 ν 1276

.

Δηλαδή σε 127 ημέρες η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από το πετρέλαιο θα

έχει περιοριστεί στα 12 τ.μ.

4.13092 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 204800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν

102400 βακτήρια, μετά από 2 ώρες 51200 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των

βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα.

α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από 6 ώρες;

(Μονάδες 6)

β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν 3200, ο οργανισμός παρουσίασε

ξαφνική επιδείνωση. Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται

ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για 5

ώρες. Συμβολίζουμε με βν το πλήθος των βακτηρίων ν ώρες μετά από την

στιγμή της επιδείνωσης (v ≤ 5).

i) Να δείξετε ότι η ακολουθία (βν) είναι γεωμετρική πρόοδος, και να βρείτε τον

πρώτο όρο και το λόγο της.

(Μονάδες 6)

ii) Να εκφράσετε το πλήθος βν των βακτηρίων συναρτήσει του ν.

(Μονάδες 6)

iii) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό 3 ώρες μετά από την στιγμή της

επιδείνωσης;

(Μονάδες 7)


Επειδή ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε ώρα έχουμε γεωμετρική

πρόοδο με 1 102400 βακτήρια και

1

2 .

α) Μετά από 6 ώρες θα έχουμε 5

5

6 1

1 1102400 102400 3200

2 32

βακτήρια

β) i) Μετά από μία ώρα θα έχουμε 3200 3 9600 βακτήρια. Επειδή ο αριθμός των

βακτηρίων άρχισε να τριπλασιάζεται έχουμε γεωμετρική πρόοδο με 1 9600

και λ=3

ii) 1 1

1 9600 3

iii) 2

3 1 9600 9 86400 βακτήρια.


136

ΣΣΣυυυννναααρρρτττήήήσσσεεειιιςςς

ΗΗΗ έέέννννννοοοιιιααα τττηηηςςς σσσυυυνννάάάρρρτττηηησσσηηηςςς

2o θέμα

2.488.

Δίνεται η συνάρτηση f, με 2

2

2 5 3( )

1

x xf x

x

.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Α. (Μονάδες 5)

β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2

2 5 3x x (Μονάδες 10)

γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x ∈ A ισχύει : 2 3

( )1

xf x

x

(Μονάδες 10)


α) Πρέπει 2 2

1 0 1 1x x x .Άρα 1,1f

β) 2

2 5 3x x

Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι 2

( 5) 4 2 3 25 24 1

Οι ρίζες του είναι 1

5 1 6 3

2 2 4 2x

και 2

5 1 41

2 2 4x

Άρα 2 3

2 5 3 2(x 1) x ( 1)(2 3)2

x x x x

γ) 2

2

(x 1)2 5 3( )

1

x xf x

x

(2 x 3)

( 1)x

2 3

1( 1)

x

xx

2.510

Δίνεται η συνάρτηση f, με: 2

2 5, 3( )

,3 10

x xf x

x x

.

α) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f σε μορφή διαστήματος.

(Μονάδες 8)

β) Να υπολογίσετε τις τιμές 1 , 3f f και 5f . (Μονάδες 8)

γ) Να λύσετε την εξίσωση 25f x . (Μονάδες 9)


α) ( ,3] (3,10) ( ,10)f

β) 1 2 1 5 7f , 3 2 3 5 1f , 25 5 25f

γ) Για 3x : ( ) 25 2 5 25 2 30 15f x x x x απορρίπτεται

Για 3 10x : 0

2( ) 25 25 5x

f x x x

δεκτή (3<5<15)


137

2.999.

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 25 6x x . (Μονάδες 12)

β) Δίνεται η συνάρτηση 2

2( )

5 6

xf x

x x

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης. (Μονάδες 5)

ii) Nα αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 1

( )3

f xx

(Μονάδες 8)


α) 2

5 4 1 6 1 , 1 2

5 1 5 13, 2

2 2x x

.Άρα

25 6 (x 2)(x 3)x x

β) i) Πρέπει 2

5 6 0 2 3x x x x , άρα 2,3

ii) 2

2 2( )

5 6

x xf x

x x

( 2)x

1

3( 3) xx

2.1042.

Δίνεται η συνάρτηση : 2 4, 0

( )1, 0

x xf x

x x

α) Να δείξετε ότι 1 3f f (Μονάδες 13)

β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του x ,ώστε ( ) 0f x . (Μονάδες 12)


α) 1 2 1 4 2 4 2f και f 3 3 1 2 , άρα 1 3f f .

β) Για 0x : ( ) 0 2 4 0 2 4 2f x x x x < 0 δεκτή

Για 0x : ( ) 0 1 0 1f x x x > 0 δεκτή

2.1082.

Δίνεται η συνάρτηση: 2

2( )

6

xf x

x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 15)

β) Να δείξετε ότι: 2 4 0f f . (Μονάδες 10)


α) Πρέπει 2

6 0 3 2x x x x , άρα : 2,3f

x


138

β) 2

2 2( )

6

x xf x

x x

( 2)x

1

3( 3) xx

1 1

2 4 1 1 02 3 4 3

f f

2.1096.

Η απόσταση y (σε χιλιόμετρα) ενός αυτοκινήτου από μια πόλη Α, μετά από x λεπτά,

δίνεται από τη σχέση: y=35+0,8x

α) Ποια θα είναι η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη Α μετά από 25 λεπτά;

(Μονάδες 12)

β) Πόσα λεπτά θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει 75 χιλιόμετρα από

την πόλη Α; (Μονάδες 13)


α) 35 0,8 25 35 20 55y km

β) 75 35 0,8 0,8 40 50minx x x

2.1302.

Δίνεται η συνάρτηση f, με 8 , 0

( )2 5, 0

x xf x

x x

.

α) Να δείξετε ότι : 5 4f f . (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε τις τιμές του x ∈ℝ, ώστε 9f x . (Μονάδες 12)


α) 5 8 5 8 5 13f , 4 2 4 5 8 5 13f , άρα 5 4f f .

β) Για 0x : ( ) 9 8 9 1f x x x > 0 δεκτή

Για 0x : ( ) 9 2 5 9 2 4 2f x x x x < 0 δεκτή

2.1532.

Δίνεται η συνάρτηση 3 16

( )4

x xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να αποδείξετε ότι,

για τα x που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της, ισχύει 2( ) 4f x x x .

(Μονάδες 15)

β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει . (Μονάδες 10)

32f x


139


α) Πρέπει 4 0 4x x , άρα 4f

3 2 ( 4)16 ( 16)

( )4 4

x xx x x xf x

x x

( 4)

4

x

x

2( 4) 4x x x x

β)

2.1537.

Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) , 0f x x xx

α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 1

(1) (2)2

A f f f

(Μονάδες 10)

β) Να λύσετε την εξίσωση 5

( )2

f x (Μονάδες 15)


α) 1 1 1 1 1 1

(1) (2) 1 212 2 1 2 2

2

A f f f

2 1 1 2 1

2 2

β) ( 2 )

2 25 1 5( ) 2 2 5 2 5 2 0

2 2

x

f x x x x x xx

2

( 5) 4 2 2 25 16 9

1

5 3 82

2 2 4x

και 2

5 3 2 1

2 2 4 2x

2 2( ) 32 4 32 4 32 0 8( )

4( )

f x x x x x x ή ή

x ί


140

4ο θέμα

4.4682.

Δίνεται η εξίσωση: 2 2x x 0 , με παράμετρο . (1)




γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση 2 2( )f x x x να έχει πεδίο

ορισμού το ℝ. (Μονάδες 9)


α) 2 2 2 2

( 1) 4 1 ( ) 1 4 4 (1 2 ) 0 .



0 (1 2 ) 0 1 2 0 2 12

γ) Θα πρέπει 2 2

0x x για κάθε , που ισχύει όταν

2

0 (1 2 ) 0 1

1 2 0 2 12

4.6228.

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90ο ) με κάθετες πλευρές που

έχουν μήκη x, y τέτοια, ώστε: 10x y .

α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του x δίνεται

από τον τύπο :21

( ) ( 10 ), (0,10)2

x x x x (Μονάδες 9)

β) Να αποδείξετε ότι 25

( )2

E x για κάθε x 0,10 . (Μονάδες 8)

γ) Για ποια τιμή του x 0,10 το εμβαδόν E x γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με

25

2; Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ΑΒΓ; (Μονάδες 8)


α) 10 10x y y x (1)

To εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με (1)

21 1(10 ) ( 10 )

2 2 2

x yx x x x

Άρα 21

(x) ( 10 )2

x x , (0,10)x

β)

2 2

10 25 0 ( 5) 0x x x ισχύει

25 1(x)

2 2 2 25

( 10 )2

x x ( 1)

2 10 25 0x x


141

γ)

2

( 5) 0 5 0 5x x x ή

Για 5x : (1) 5y .Στην περίπτωση αυτή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και

ισοσκελές.

4.7502

Οι ανθρωπολόγοι για να προσεγγίσουν το ύψος ενός ενήλικα, χρησιμοποιούν τις

παρακάτω εξισώσεις που παριστάνουν τη σχέση μεταξύ του μήκους y (σε cm)

οστού του μηρού και του ύψους x (σε cm) του ενήλικα ανάλογα με το φύλο του :

Γυναίκα: 0,43 26y x

Άνδρας 0,45 31y x

α) Ένας ανθρωπολόγος ανακαλύπτει ένα μηριαίο οστό μήκους 38,5cm που ανήκει

σε γυναίκα. Να υπολογίσετε το ύψος της γυναίκας. (Μονάδες 8)

β) Ο ανθρωπολόγος βρίσκει μεμονωμένα οστά χεριού, τα οποία εκτιμά ότι

ανήκουν σε άντρα ύψους περίπου 164cm. Λίγα μέτρα πιο κάτω, ανακαλύπτει

ένα μηριαίο οστό μήκους 42,8cm που ανήκει σε άντρα. Είναι πιθανόν το

μηριαίο οστό και τα οστά χεριού να προέρχονται από το ίδιο άτομο; Να


γ) Να εξετάσετε αν μπορεί ένας άνδρας και μια γυναίκα ίδιου ύψους να έχουν

μηριαίο οστό ίδιου μήκους. (Μονάδες 9)


α) Αντικαθιστούμε για y=38,5 στον τύπο που δίνει το μήκος y (σε cm) οστού του

μηρού και του ύψους x (σε cm) μιας γυναίκας 38,5 0,43 26 0,43 64,5 150x x x cm

Άρα το ύψος της γυναίκας είναι 1,5m

β) Όμοια : 42,8 0,45 31 0,45 73,8 164x x x cm .Επομένως είναι πιθανό να

προέρχονται από τον ίδιο άντρα

γ) Θα πρέπει 0,43 26 0,45 31 0,02 5 250x x x x cm .Όταν έχουν ύψος

2,5m

25( )

1

2x

2 2( 10 )

25

2x x 2 10 25 0x x


142

4.7517.

Δυο φίλοι αποφασίζουν να συνεταιριστούν και ανοίγουν μια επιχείρηση που γεμίζει

τόνερ (toner) για φωτοτυπικά μηχανήματα. Τα πάγια μηνιαία έξοδα της εταιρείας

ανέρχονται στο ποσό των 6500 ευρώ (για ενοίκιο, παροχές, μισθούς, φόρους κ.α. ).

Το κόστος γεμίσματος ενός τόνερ είναι 15 ευρώ, η δε τιμή πώλησης του

ενός τόνερ καθορίζεται σε 25 ευρώ.

α) Να γράψετε μια σχέση που να περιγράφει το μηνιαίο κόστος Κ(ν) της

επιχείρησης, αν γεμίζει ν τόνερ το μήνα. (Μονάδες 5)

β) Να γράψετε μια σχέση που να εκφράζει τα μηνιαία έσοδα Ε(ν) της

επιχείρησης από την πώληση ν αριθμού τόνερ το μήνα. (Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε πόσα τόνερ πρέπει να πωλούνται κάθε μήνα ώστε η επιχείρηση

i) να μην έχει ζημιά. (Μονάδες 7)

ii) να έχει μηνιαίο κέρδος τουλάχιστον 500 ευρώ. (Μονάδες 8)


α) Το κόστος για το γέμισμα ν τόνερ είναι 15 και μαζί με τα πάγια έξοδα, έχουμε:

15 6500

β) Τα έσοδα από την πώληση ν τόνερ, είναι E 25

γ) i) Για να μην έχει ζημιά πρέπει Έσοδα = έξοδα

Άρα ( ) 1 5 6500 25 1 0 6500 650 τόνερ ανά μήνα

ii) Έστω Α(ν) η συνάρτηση του κέρδους τότε πρέπει :

( ) 500 ( ) 500 25 15 6500 500

1 0 7000 700 ό ά ή

4.8455.

Για τους πραγματικούς αριθμούς , ισχύει ότι

1 3 2

Η απόσταση του αριθμού β από τον αριθμό 2 είναι μικρότερη του 1.

α) Να αποδειχθεί ότι 1

13


β) Να αποδειχθεί ότι 3 1 3 . (Μονάδες 10)

γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 2 2( ) 4 4( 2)f x x x

έχει πεδίο ορισμού όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. (Μονάδες 10)


α)

β)

(:( 3) 0)

1 3 2 2 1 3 2 3 3 1 (2)

1 11 1 (3)

3 3


143

( ,2) 1 | 2 | 1 1 2 1 1 3d (4)

(2) 3 1 3 1 0 4 3 1 0 (5)

Με πρόσθεση των (4) και (5) έχουμε 3 1 33 3 1 3

γ) Πρέπει 2 2

4 4( 2) 0x x για κάθε x . Είναι:

2 2 2 2

2

4( 2) 4 4 16( 4 4) 16

16

264 64 16 64 64 64( 1)

(4) 1 3 3 1 2 1 0

Άρα 1 0 64( 1) 0 0

Άρα 2 2

4 4( 2) 0x x για κάθε x ( 4 0 ).

4.13084.


2

x 1 x 4g x

x κx λ

, η οποία έχει πεδίο ορισμού το

2,1 .

α) Να βρείτε τις τιμές των κ, λ. (Μονάδες 9)

β) Για κ 1 και λ 2 ,

i) να απλοποιήσετε τον τύπο της g. (Μονάδες 9)

ii) να δείξετε ότι: g α 3 g α όταν α 1,1 1, . (Μονάδες 7)


α) Επειδή η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το 2,1 και είναι ρητή, οι αριθμοί

2 και 1 είναι ρίζες του παρονομαστή. Άρα

2

2 κ 2 λ 0 4 2κ λ 0 2κ λ 4 (1) και

21 κ 1 λ 0 κ λ 1 (2)

Αφαιρώντας από την (1) τη (2), έχουμε:

2κ λ κ λ 3

4 1 3κ 4 1 3κ 3 κ 13

Από τη (2) για κ 1 έχουμε 1 λ 1 λ 2

β) i) Για κ 1 και λ 2 είναι

2 2

2

x 1x 1 x 4g x

x x 2

x 1 x 2 x 2

x 2 x 1 g x x 1 x 2

ii) Είναι g α 3 α 3 1 α 3 2 α 4 α 1 και g α α 1 α 2 άρα

g α 3 g α α 4 α 1 α 1 α 2 α 4 α 1 α 1 α 2 0

α 1 α 4 α 2 0 α 1 α 4 α 2 0 6 α 1 0

α 1 0 α 1 . Επειδή όμως α 2 και α 1 τελικά είναι α 1,1 1,


144

4.13085.


2

x 1 x 4g x

x κx λ

, η οποία έχει πεδίο ορισμού το

2,1 .

α) Να βρείτε τις τιμές των κ, λ. (Μονάδες 9)

β) Για κ 1 και λ 2 ,

i) να απλοποιήσετε τον τύπο της g. (Μονάδες 9)

ii) να δείξετε ότι: g α g β 0 όταν α,β 1,1 1,2 . (Μονάδες 7)


α) Επειδή η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το 2,1 και είναι ρητή, οι αριθμοί

2 και 1 είναι ρίζες του παρονομαστή. Άρα

2

2 κ 2 λ 0 4 2κ λ 0 2κ λ 4 (1) και

21 κ 1 λ 0 κ λ 1 (2)

Αφαιρώντας από την (1) τη (2), έχουμε:

2κ λ κ λ 3

4 1 3κ 4 1 3κ 3 κ 13

Από τη (2) για κ 1 έχουμε 1 λ 1 λ 2

β) i) Για κ 1 και λ 2 είναι

2 2

2

x 1x 1 x 4g x

x x 2

x 1 x 2 x 2

x 2 x 1 g x x 1 x 2

ii) Είναι g α g β α 1 α 2 β 1 β 2

Επειδή α,β 1,1 1,2 , είναι α 1 0, α 2 0, β 1 0, β 2 0 , οπότε

g α g β 0 .

ΓΓΓρρραααφφφιιικκκήήή πππαααρρράάάσσστττααασσσηηη σσσυυυνννάάάρρρτττηηησσσηηηςςς

2ο θέμα 2.477.

Δίνεται η συνάρτηση f , με 2

5 6( )

3

x xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . (Μονάδες 7)

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f . (Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

χ΄χ και y' y . (Μονάδες 9)



145

α) Πρέπει 3x .Άρα 3f

β) 2 (x 2) (x 3)5 6

( )3

x xf x

x

3x 2x

γ) Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα

χ΄χ λύνουμε την εξίσωση : ( ) 0 2 0 2f x x x

Άρα το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

είναι το σημείο Α(2,0).

Tα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y΄y είναι το

σημείο (0,f(0)). Είναι (0) 0 3 3f , άρα το σημείο τομής της γραφικής

παράστασης της f με τον άξονα y΄y είναι το 0, 3 .

2.492.

Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 2 15,f x x x x .

α) Να υπολογίσετε το άθροισμα ( 1) (0) (1)f f f . (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της f με τους άξονες.

(Μονάδες 15)


α) 2

( 1) ( 1) 2 ( 1) 15 1 2 15 16f

2

(0) 0 2 0 15 15f

2

(1) 1 2 1 15 12f

( ) ( ) ( )1 0 1 16 15 12 43f f f

β) Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα

χ΄χ λύνουμε την εξίσωση : 22 15( ) 0 0 3 5x xf x x ή x

Άρα τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

είναι τα σημεία 5,0 και 3,0 .

Tα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y΄y είναι το

σημείο 0, f 0 . Είναι (0) 15f ,άρα το σημείο τομής της γραφικής

παράστασης της f με τον άξονα y΄y είναι το σημείο 0, 15 .

2.1090.

Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο 2

1( )

1f x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το

σημείο 1

,8

M a

να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

(Μονάδες 12)


α) Πρέπει 2 2

1 0 1 1x x x .Άρα 1,1f


146

β) Το σημείο 1

,8

M a

ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

Άρα ισχύει 2 2

2

1 1 1( ) 1 8 9 3

8 1 8f a a a a

a

2.1542.

α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: 3 23 3x x x .

(Μονάδες 13)

β) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 3

( )f xx

και

2 3g x x x έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το 1, 3 . (Μονάδες 12)


α) 3 2 2 2

3 3 ( 1) 3( 1) ( 1)( 3)- x x x x x x x x

β) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των συναρτήσεων f και g λύνουμε την εξίσωση :

2

( )2 3 2

( ) ( 3 0)3 2 2

3( ) ( ) 3 3 3

3 3 0 ( 3)( 1) 0 1 0 1

x

x

f x g x x x x x xx

x x x x x x x

Είναι 3

(1) 3 (1)1

f g , άρα οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g

έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το 1,3 .

2.3378.

Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση

μιας συνάρτησης f .

α) Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (Μονάδες 6)


147

β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών:

(Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες.

(Μονάδες 6)

δ) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα του πεδίου ορισμού στα οποία η

συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές. (Μονάδες 7)


α) Οι προβολές όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στον

άξονα χ΄χ , δημιουργούν το σύνολο 2,6 , άρα 2,6f

β)

γ) Είναι τα σημεία (-1,0), (1,0),(4,0) με τον χ΄χ και το (0,-1) με τον y΄y.

δ) τα διαστήματα του πεδίου ορισμού στα οποία η συνάρτηση παίρνει αρνητικές

τιμές είναι : 1,1 4,6

2.3379

Στο παραπάνω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση μιας

συνάρτησης f .

α) Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (Μονάδες 6)

β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών:

(Μονάδες 6)

x -2 -1 1 2

y -1 -3

x -2 -1 0 1 2 6

y 3 0 -1 0 3 -3

x -3 -1 0 3

y -2 -4


148

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες.

(Μονάδες 6)

δ) Να προσδιορίσετε το διάστημα του πεδίου ορισμού στο οποίο η συνάρτηση

παίρνει θετικές τιμές. (Μονάδες 7)


α) Οι προβολές όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στον

άξονα χ΄χ , δημιουργούν το σύνολο 3,8 , άρα 3,8f

β)

γ) Είναι τα σημεία (-3,0),(6,0) με τον χ΄χ και το (0,3) με τον y΄y.

δ) Είναι στο διάστημα (-3,6).

2.3381.

Δίνεται η συνάρτηση g, με 2

2 4( )

1

x xg x

x

. Αν η γραφική παράσταση της

συνάρτησης g διέρχεται από το σημείο 1, 4 ,

α) να δείξετε ότι 6 . (Μονάδες 9)

β) να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (Μονάδες 9)

γ) για 6 να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης . (Μονάδες 7)


α) Επειδή το σημείο 1, 4 ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

ισχύει ότι

2

2 1 4 1 2 4(1) 4 4 4 2 8 6

1 1 2f

β) Πρέπει 1 0 1x x , άρα 1fA .

γ) Για 6 είναι: 2 2 ( 1)2 4 6

( )1

xx xg x

x

( 3)

1

x

x

2( 3) 2 6x x

Το τριώνυμο 2

2x 4x 6 έχει διακρίνουσα

2 2

( 4) 4 2 ( 6) 16 48 64 8

και ρίζες 1

4 8 123

2 2 4x

και 2

4 8 41

2 2 4x

Άρα 2

2 4 6 2( 1)(x 3)x x x

x -3 -1 0 3 7 8

y 0 2 3 6 -2 -4


149

4ο θέμα

4.1963

Δίνονται οι συναρτήσεις: 2f x x και 1g x x , x και

λ παράμετρος με λ ≠ 0 .

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις fC και gC έχουν για κάθε τιμή της

παραμέτρου λ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο. (Μονάδες 8)

β) Για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι fC και gC έχουν ένα μόνο κοινό σημείο;

Ποιο είναι το σημείο αυτό; (Μονάδες 8)

γ) Αν λ ≠ 2 και 1 2, x x είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των και ,

να βρεθεί η παράμετρος λ ώστε να ισχύει: 2

1 2 1 2 2x x x x

(Μονάδες 9)


α) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των συναρτήσεων f και g λύνουμε την εξίσωση :

2 2

( ) ( ) 1 1 0f x g x x x x x

2 2 2

( ) 4 1 ( 1 ) 4 4 ( 2) 0

Άρα η δευτεροβάθμια εξίσωση 2

1 0x x (1) έχει μία τουλάχιστον ρίζα

Επομένως οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ένα

τουλάχιστον κοινό σημείο.

β) Για 2 είναι 0 , τότε η (1) έχει μία διπλή ρίζα την 2

12 2

x

και 1 1 1f g .

Επομένως έχουν κοινό σημείο το (1,1).

γ) Από τις σχέσεις Vieta : 1 2S x x και 1 2 1x x

Άρα :

Θέτoυμε (2) , τότε (2)

2(1) 2 0 1 2ή

1

(2) | | 1 ύ

και

2 2

(2) | | 2 2

4.2338.

Δίνονται οι συναρτήσεις 2f x x και 2g x x 3 με α ∈ℝ.

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο

(1, 2) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού α . (Μονάδες 7)

β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη

1, τότε:

i) Να βρείτε την τιμή του α . (Μονάδες 4)

fC gC

22 2

1 2 1 2 2 2 0 2 0 (1)x x x x


150

ii) Για την τιμή του α που βρήκατε υπάρχει άλλο σημείο τομής των

γραφικών παραστάσεων των f και g; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

(Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν

δύο σημεία τομής. (Μονάδες 10)


α) Πρέπει για κάθε α : 1 2f a a 2 2 0 0 ισχύει.

β) i)Αφού οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη

1, είναι: 22 1 3 21 1 1 3 2f a a ag

ii) Για 2 είναι : 2f x x και 2 1g x x .

Για να βρούμε αν υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων

των f και g λύνουμε την εξίσωση:

2 2 2

( ) ( ) 2 1 1 2 0 ( 1) 0 1f x g x x x x x x x

Άρα δεν υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων

των f και g .

γ) ( ) ( )f x g x ax a 22 x a 23 1 0x ax

Για να έχουν δύο σημεία τομής πρέπει

2 2

0 ( ) 4 1 1 0 4 | | 2 2 2ή

4.4545.

Δίνεται η συνάρτηση

25 6

( )3

x xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x∈ A ισχύει: 2f x x . (Μονάδες 9)

γ) Για x∈ A, να λύσετε την εξίσωση: 2

f x 2 4f x 5 0 (Μονάδες 10)


α) Πρέπει 3 0 3 3x x x .άρα 3,3f

β)

γ)

2 2

2 2

2 4 5 0 4( 2) 5 0

4 8 5 0 4 3 0 (1)

x x

x x x

f x x

x

f

2 225 6 5 6 2 3 6

( )| | 3 3 3

2 3( 2) 3( 2)

3

x x x x x x xf x

x x x

x xx x x

x

3x 2x


151

Θέτουμε x (2)

(2)

2(1) 4 3 0 1 3ή

1

(2) 1 1x x

3

(2) 3 3x x

4.4575.

Δίνονται οι συναρτήσεις: 2 4f x x x και 5g x x ,με .

α) Αν ισχύει 2 2f g , να βρείτε την τιμή του α. (Μονάδες 7)

β) Για 1 ,

i) να λύσετε την εξίσωση: f x g x (Μονάδες 8)

ii) να λύσετε την ανίσωση: f x g x και, με τη βοήθεια αυτής, να λύσετε

την εξίσωση: f x g x f x g x (Μονάδες 5+5=10)


α) 22 4 2 2 5 4 12 2 8 2 5ag a af a a

β) i) Για 1 είναι 2 4 1f x x x και 5g x x

2 24 1 5 5 6 0 2 3x ήf x g x x x x x xx

ii) 2 24 1 5 5 6 0f x g x x x x x x


x -∞ 2 3 +∞ 2

5 6x x + - +

H λύση της ανίσωσης είναι : ( ,2] [3, )x

f x g x f x g x ,όταν :

2 20 4 1 5 0 5 6 0

( , 2] [3, )

f

x

x g x x x x x x

4.4679.

Δίνεται η συνάρτηση: 2( )

4

af x x x .

α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της

συνάρτησης f να είναι το σύνολο . (Μονάδες 10)

β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το

σημείο 1

0,2

, τότε

i) Να αποδείξετε ότι 1 και να γράψετε τον τύπο της χωρίς το σύμβολο της

τετραγωνικής ρίζας. (Μονάδες 7)


152

ii) Να λύσετε την εξίσωση 1

( )2

f x (Μονάδες 8)


α) Πρέπει 2

04

ax x για κάθε x ,και αυτό ισχύει όταν

2

0 ( 1) 4 1 0 1 0 14

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο 1

0,2

.

αν και μόνο αν:

21 1 1(0) 0 0

2 4 2 4 2

a af . Πρέπει 0 0

4

, τότε

2

1 11

4 4 4 4

a aa

Aν 1 τότε :

2

2 1 1 1( )

4 2 2f x x x x x

γ)

4.4912.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις 2 1f x x και g x x , με x και .

α) Για 1 , να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και g. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f

και g τέμνονται σε δυο σημεία. (Μονάδες 10)

γ) Για 1 , να εξετάσετε αν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών

παραστάσεων των συναρτήσεων f και g είναι ομόσημες ή ετερόσημες.

(Μονάδες 10)


α) Για 1 είναι 1g x x

Για να βρούμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f

και g λύνουμε την εξίσωση

2 1( ) ( )f x g x x 1x 2 0 ( 1) 0 0 1x x x x x ή x

0 0 1f g και 1 1 2f g .

άρα τα κοινά σημεία τους είναι τα Α(0,1) και Β(1,2).

β) 2 2

( ) ( ) 1 1 0f x g x xx x x

Για να τέμνονται σε δυο σημεία θα πρέπει

2 3

0 ( 1) 4 1 (1 ) 0 1 4 4 0 4 34

1 1 1 1 1 1 1( ) 1 0

2 2 2 2 2 2 2f x x x x ή x x


153

γ) Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

f και g είναι οι ρίζες της εξίσωσης ( ) ( )f x g x .

Για 3

4 έχει δύο ρίζες 1 2,x x πραγματικές και άνισες.

Από τις σχέσεις Vieta : 1 2 1 0x x a , άρα οι 1 2,x x είναι ετερόσημες.

4.5882.

Δίνονται οι συναρτήσεις 2

1 4f x x και g x 1 2x , με .

α) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ. (Μονάδες 9)

β) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης g

βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ. (Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f

και g. (Μονάδες 12)


α) Είναι f gA A

Για να βρούμε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ λύνουμε την ανίσωση:

2 2( ) 0 4 | 1| 2

1 2 2 1

4

3

0 1

1

1 f x x

x x ή x x

x x

β) 1 0 1 2 2 0 ( ) 0x x g x , άρα η γραφική παράσταση της

συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ για κάθε τιμή του x

γ) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f

και g λύνουμε την εξίσωση:

22

1 4 1 2( ) ( ) 6 0 (1)1 1xf x g x x x x

Θέτουμε 1 0x (2)

(2)

2(1) 6 0 2 ( 0) 3ί ή

3

(2) 1 3 1 3 1 3x x ή x

x = 4 x = 2

(4) 4 1 2 3 2 5 (4)g f

( 2) 2 1 2 3 2 5 ( 2)g f

Άρα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f

και g είναι τα Α(4,5) και Β(-2,5).

x


154

4.6146.

Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική

παράσταση μιας συνάρτησης

και της συνάρτησης 2 2g x x .

Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε:

α) τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει

2 2f x x . (Μονάδες 6)

β) τις τιμές 1 , 0 , 1f f f .

(Μονάδες 6)

γ) τις τιμές του x, για τις οποίες η γραφική

παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από τη γραφική παράσταση της g. (Μονάδες 6)

δ) τις τιμές του x, για τις οποίες η παράσταση ( ) 2 2f x x έχει νόημα

πραγματικού αριθμού. (Μονάδες 7)


α) Πρόκειται για τις τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και g. Είναι 1x ή 0x ή 1x

β) 1 4f , 0 2f και 1 0f

γ) ( 1,0) (1, )x

δ) Πρέπει ( ) 2 2 0 ( ) 2 2 [ 1,0] [1, )f x x f x x x

4.7784.

Στο παρακάτω σχήμα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις fC και gC των

συναρτήσεων f και g αντίστοιχα, με 2f x x και 1g x , x .

α) i) Να εκτιμήσετε τα σημεία τομής των fC και gC .

ii) Να εκτιμήσετε τις τιμές του x, για τις οποίες η fC είναι κάτω από τη gC .

f :


155

(Μονάδες 10)

β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας στο προηγούμενο ερώτημα.

(Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση

1 ( )

( )

f xA

f x

(Μονάδες 5)


α) i) Τα σημεία τομής των fC και gC είναι τα Α(-1,1) και Β(3,1)

ii) (1,3)x

β) i) ( ) ( ) 2 1 2 1 3 2 1 1f x g x x x x ή x x

Άρα τα σημεία τομής των fC και gC είναι τα Α(-1,1) και Β(3,1)

ii) ( ) ( ) | 2 | 1 1 2 1 1 3 (1,3)f x g x x x x x

γ) Πρέπει 1 ( ) 0 ( ) 1 [1,3]f x f x x και ( ) 0 2f x x

Άρα η παράσταση Α έχει νόημα πραγματικού αριθμού για [1,2) (2,3]x

4.8448.

Δίνεται η συνάρτηση 2 5 6

( )2

x xf x

x

.

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f . (Μονάδες 5)

β) Να αποδειχθεί ότι 3, 2

( )3, 2

x xf x

x x


γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f και να βρεθούν τα σημεία τομής

της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x΄x και y′y . (Μονάδες 8)

δ) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 0f x . (Μονάδες 5)


α) Πρέπει | 2 | 0 2 0 2x x x , άρα : 2f

β) Για 2 2 0 2 2x x x x και

2 (x 2)5 6

( )2

x xf x

x

(x 3)

2x

3x

Για 2 2 0 | 2 | 2 ( 2)x x x x x και

2 (x 2)5 6

( )( 2)

x xf x

x

(x 3)

( 2x

( 3) 3

)x x


156

Επομένως 3, 2

( )3, 2

x xf x

x x

.

γ)

Τα σημεία τομής γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x΄x και y′y είναι τα

Α(3,0) και Β(0,3) αντίστοιχα.

δ) ( ) 0 (2,3]f x x

4.8451.

Δίνεται η συνάρτηση 2

4 2( 3) 3( )

2 3

x a x af x

x

, όπου .

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f . (Μονάδες 5)

β) Να αποδειχθεί ότι 2f x x , για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού

της f. (Μονάδες 8)

γ) Να βρεθεί η τιμή του α αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το

σημείο . (Μονάδες 7)

δ) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f

με τους άξονες χ΄χ και y′y . (Μονάδες 5)


α) Πρέπει 3

2 3 0 2 32

x x x , άρα : 3

2f

β) Το τριώνυμο 2

4 2( 3) 3x a x a , έχει διακρίνουσα:

2 2 2

2 2

2( 3) 4 4 3 4( 6 9) 48 4 24 36 48

4 24 36 (2 6)

1, 1


157

και ρίζες 1

2( 3) 2 6 2 6

2 4

a a ax

2 6a 4

8 8 2

a a και

2

2( 3) (2 6) 2

2 4

a a ax

6 2a 6 12 3

8 8 2

Είναι 2 34 2( 3) 3 4 (2 )(2 3)

2 2

ax a x a x x x a x

και 2 (2 ) (2 3)4 2( 3) 3

( )2 3

x a xx a x af x

x

2 3x 2x a

γ) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο 1, 1 είναι:

1 1 2 1 3f a a

δ) 0 2 x 0 22

af x x a x

Αν 3

32 2

.Έχει σημείο τομής με τον άξονα χ΄χ το σημείο ,0

2

.

Αν 3 δεν έχει σημείο τομής με τον χ΄χ.

Είναι 0f , άρα έχει σημείο τομής το σημείο Β(0,-α)

4.13090.

Δίνονται οι συναρτήσεις 2f x x 3x 2 και g x x 1, x .

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g έχουν ένα μόνο

κοινό σημείο, το οποίο στη συνέχεια να προσδιορίσετε. ( Μονάδες 10)

β) Δίνεται η συνάρτηση h x x α . Να δείξετε ότι:

i) Αν α 1 , τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,h έχουν δύο κοινά

σημεία.

ii) Αν α 1 , τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,h δεν έχουν κοινά

σημεία.

(Μονάδες 15)


α) Η τετμημένη του κοινού σημείου βρίσκεται από την εξίσωση f x g x .

Είναι 2 2f x g x x 3x 2 x 1 x 2x 1 0

2

x 1 0 x 1 0 x 1 . Τότε f 1 g 1 0 , άρα κοινό σημείο είναι το

M 1,0 .

β) Για τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f,h έχουμε:

2 2f x h x x 3x 2 x α x 2x 2 α 0 (1).

Η (1) είναι εξίσωση 2ου βαθμού και έχει διακρίνουσα

22 4 1 2 α 4 8 4α 4α 4 4 α 1

i) Αν α 1 , τότε 0 και η (1) έχει 2 ρίζες πραγματικές και άνισες , άρα οι

γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,h έχουν δύο κοινά σημεία.

ii) Αν α 1 , τότε 0 και η (1) δεν έχει πραγματικές ρίζες, άρα οι γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων f,h δεν έχουν κοινά σημεία.


158

ΗΗΗ σσσυυυνννάάάρρρτττηηησσσηηη yyy===αααxxx+++βββ

2ο θέμα

2.1024.

Δίνεται η συνάρτηση y x , όπου α, β πραγματικοί αριθμοί.

α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α(1,6),

( 1,4), να βρείτε τις τιμές των α, β (Μονάδες 13)

β) Αν 1 και 5 , να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες x΄x και y΄y. (Μονάδες 12)


α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α(1,6),

( 1,4), επομένως : (1) 6 6f a (1) και ( 1) 4 4f a (2)

Με πρόσθεση (1) και (2) προκύπτει 2 10 5 .

Από την (1) : 5

5 6 1

β) Για 1 και 5 είναι: 5f x x

Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα

χ΄χ λύνουμε την εξίσωση : ( ) 0 5 0 5x xxf

Άρα τo σημείo τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

είναι τo σημεία Α(-5,0) .

Tα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y΄y είναι τα

σημεία (0,f(0)). Είναι (0) 5f , άρα το σημείο τομής της γραφικής παράστασης

της f με τον άξονα y΄y είναι το σημείο Γ(0,5)

2.1283.

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο x2 + 2x – 3 (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: 2

2 3( )

1

x xf x

x

και στη

συνέχεια να απλοποιήσετε τον τύπο της. (Μονάδες 9)

γ) Να παραστήσετε γραφικά την παραπάνω συνάρτηση. (Μονάδες 8)


α) Το τριώνυμο έχει ρίζες τους αριθμούς -3 και 1, άρα 2

x 2x – 3 (x 3)(x 1)

β) Πρέπει 1 0 1x x . Tο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι : 1f .

2 (x 3) (x 1)2 3( )

1

x xf x

x

1x 3x


159

γ) Επειδή είναι ευθεία, βρίσκουμε δύο

σημεία της. Για 0x , είναι 0 3f ,

άρα τέμνει τον y΄y στο 0,3 και για

0y είναι 3 0 3x x , τέμνει

τον χ΄χ στο 3,0 .

2.1293.

Η θερμοκρασία Τ σε βαθμούς Κελσίου (˚C), σε βάθος x χιλιομέτρων κάτω από την

επιφάνεια της Γης, δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση: T(x) 15 25 x , όταν

0 x 200 .

α) Να βρείτε τη θερμοκρασία ενός σημείου που βρίσκεται 30 χιλιόμετρα κάτω

από την επιφάνεια της Γης. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 7)

β) Να βρείτε το βάθος στο οποίο η θερμοκρασία είναι ίση με 290˚C.Να


γ) Σε ποιο βάθος μπορεί να βρίσκεται ένα σημείο, στο οποίο η θερμοκρασία είναι

μεγαλύτερη από 440˚C; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)


H θερμοκρασία είναι συνάρτηση του x, άρα T(x) 15 25 x (1)

α) Από την (1) για x 30 : 15 25 30 15(30 7 0) 5 765T ˚C

β) Από την (1) για T(x) =290 : 275

15 25 25 275 1105

22

9 x x x km

γ) 425

15 25 440 25 425 1725

( ) 440 x x xx kmT x

2.1529.

Δίνεται η συνάρτηση f x x , με , , για την οποία ισχύει: 0 5f

και 1 3f .

α) Να δείξετε ότι 2 και 5 . (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

χ΄χ και y΄y. (Μονάδες 7)

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 8)


α) 5

1 3 1 3 5 3 2f a

0 5 0 5 5f a


160

β) Είναι 2 5f x x .

Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα

χ΄χ λύνουμε την εξίσωση :

5 5

( ) 0 2 0 2 52 2

5f x xx x x

Άρα τo σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

είναι τo σημεία 5

,02

A

.

Tο σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y΄y είναι το

σημεία (0,f(0)). Επειδή (0) 5f το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα y΄y είναι το σημείο Γ(0,5)

γ) Για τη κατασκευή της γραφικής παράστασης της f,

αρκεί να χαράξουμε την ευθεία που διέρχεται από τα

σημεία Α και Γ.

2.1553.

Δίνονται οι συναρτήσεις 3f x x και g x x , x .

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται

σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13)

β) Αν Α, Ο, Β είναι τα σημεία τομής των παραπάνω γραφικών παραστάσεων,

όπου Ο(0,0), να αποδείξτε ότι Α, Β είναι συμμετρικά ως προς το Ο. (Μονάδες 12)


α) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f

και g λύνουμε την εξίσωση ( ) ( )f x g x . Είναι:

2 23 3

0 ( 1) 0 0 1 1 1x x x x ή x xx xx ήx

f 0 g 0 0, f 1 g 1 1, f 1 g 1 1 .

Άρα τα κοινά σημεία τους είναι τα O(0,0),Α(1,1) και Β(-1,-1)

β) Είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων γιατί έχουν αντίθετες

συντεταγμένες.


161

2.2212.

Δίνεται η συνάρτηση f, με

22 6

( )2 6

x xf x

x

α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης f. (Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι ( )f x x ,για κάθε xA (Μονάδες 10)

γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για 0x .

(Μονάδες 5)

Λύση

α) Πρέπει 2 6 0 2 6 3 3x x x x , άρα : 3,3fA

β)

22 22 6 2 6( )

2 6 2 6

x x x xf x

x x

( 3)x x

2 ( 3)x x

γ) Για 0x είναι f x x

4ο θέμα

4.1880.

Δίνεται η συνάρτηση f , με 2

2( )

9

xf x

x

.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με

τους άξονες. (Μονάδες 7)

γ) Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με

τους άξονες χ΄χ και y ΄y αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση

της ευθείας που ορίζεται από τα Α και Β. (Μονάδες 8)


α) Πρέπει : 2 29 0 9 3 3 3x x x x , άρα ( 3,3)fA

β) Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα

χ΄χ λύνουμε την εξίσωση : 2

2( ) 0 0 2 0 2

9

xf x x x

x

Άρα τo σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ


162

είναι τo σημείο 2,0A .

Tα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y΄y είναι τα

σημεία (0,f(0)).

Είναι 2

0 2 2 2(0)

399 0f

, άρα το σημείο τομής της γραφικής παράστασης

της f με τον άξονα y΄y είναι το σημείο 2

0,3

B

γ) Έστω (ε) : y x η ζητούμενη ευθεία.

Τότε επειδή το σημείο Α ανήκει στην ευθεία, έχουμε: 0 2a (1) και

επειδή το σημείο Β ανήκει στην (ε):: 2 2

03 3

a (2).

(2) ( 3)2 2 1

(1) 2 0 4 2 0 4 23 4 2

Άρα (ε) :1 2

2 3y x

4.2046

Ένας αθλητής κολυμπάει ύπτιο και καίει 9 θερμίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυμπάει

πεταλούδα καίει 12 θερμίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει

360 θερμίδες.

α) Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει ύπτιο 32 λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει

να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει συνολικά 360 θερμίδες.

(Μονάδες 5)

β) Ο αθλητής αποφασίζει πόσο χρόνο θα κολυμπήσει ύπτιο και στη συνέχεια

υπολογίζει πόσο χρόνο πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει 360

θερμίδες.

i) Αν x είναι ο χρόνος (σε λεπτά) που ο αθλητής κολυμπάει ύπτιο, να

αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει το χρόνο που πρέπει

να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει 360 θερμίδες είναι: 3

( ) 304

f x x .

(Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του ερωτήματος β(i),στο

πλαίσιο του συγκεκριμένου προβλήματος. (Μονάδες 4)

γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος

(β), να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες και να ερμηνεύσετε

τη σημασία τους στο πλαίσιο του προβλήματος. (Μονάδες 9)


Με τα δεδομένα του προβλήματος η συνάρτηση που δείχνει τις θερμίδες που

καίγονται με την πάροδο του χρόνου όταν κολυμπάει ύπτιο έχει τύπο ( ) 9x x ,

(x ο χρόνος σε λεπτά)και η συνάρτηση που δείχνει τις θερμίδες που καίγονται με την

πάροδο του χρόνου όταν κολυμπάει πεταλούδα έχει τύπο ( ) 12x x

(x ο χρόνος σε λεπτά).

α) Όταν κολυμπάει ύπτιο 32 λεπτά καίει 32 9 32 288 θερμίδες

Πρέπει να κάψει ακόμη 360- 288=72 θερμίδες κολυμπώντας πεταλούδα.


163

Θα κολυμπήσει δηλαδή 6 λεπτά ( ( ) 72 12 72 6 )x x x ά

β) i) Όταν κολυμπάει ύπτιο x λεπτά καίει ( ) 9x x θερμίδες

Όταν κολυμπάει πεταλούδα f x y λεπτά καίει 12y y θερμίδες

(:3)

(x) (y) 360 9 x 12 y 360 3 4 120x y

120 3 120 3 3

4 120 3 ( ) 304 4 4 4

x xy x y y f x x

ii) Είναι 0x και 3 3

0 30 0 30 120 3 404 4

y x x x x ,

άρα 0 40x λεπτά

γ) Τα σημεία τομής με τους

άξονες χ΄χ , y΄yείναι τα σημεία

B( 40,0) και A(0,30) αντίστοιχα.

Στο σημείο Β κολυμπάει μόνο

ύπτιο για να κάψει 360 θερμίδες.

Στο σημείο Α κολυμπάει μόνο

πεταλούδα για να κάψει 360

θερμίδες.

4.2084

Για την κάλυψη, με τετράγωνα πλακάκια, μέρους ενός τοίχου, μπορούμε να

χρησιμοποιήσουμε πλακάκια τύπου Α με πλευρά d cm ή πλακάκια τύπου Β με

πλευρά (d+1) cm.

α) Να βρείτε, ως συνάρτηση του d, το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι

τύπου Α και κάθε πλακάκι τύπου Β. (Μονάδες 6)

β) Αν η επιφάνεια μπορεί να καλυφθεί είτε με 200 πλακάκια τύπου Α είτε με

128 τύπου Β, να βρείτε:

i) Τη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου. (Μονάδες 12)

ii) Το εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν. (Μονάδες 7)


α) Αν ΕΑ(d) το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου Α, τότε : 2( ) dd

Αν ΕB(d) το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου Β, τότε : 2( ) ( 1)B d d .


164

β) i) Αν Ε η επιφάνεια του τοίχου τότε ( ) 128 (2 0 )0 d d cm2.

(:8)2 2

2 2 2 2

2

( ) 128 ( ) 200 128( 1)

25

2

16( 1) 25 16 32d 16

9 32 16

00

0

d d

d d d

d

d

d

d

d

2 2

( 32) 4 9 ( 16) 1024 576 1600 40

32 40 72

42 9 18

d cm

ή 32 40 8

02 9 18

d ί

Άρα το πλακάκι τύπου Α θα έχει πλευρά 4 cm και το πλακάκι τύπου B πλευρά

(4+1)=5 cm

ii) 2 2( ) 200 4 200 16 3200200 d cm .

4.2226. Για την τύπωση επαγγελματικής κάρτας

επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς x cm

(5≤x≤10) στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται

από περιθώρια 2 cm στο πάνω και στο κάτω μέρος

της και 1 cm δεξιά και αριστερά (όπως στο σχήμα).

α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης

των επαγγελματικών στοιχείων εκφράζεται από τη

συνάρτηση: 2 4E x x x (Μονάδες 8)

β) Να βρεθεί η τιμή του x ώστε το εμβαδόν της

περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων

να είναι 35 cm2. (Μονάδες 7)

γ) Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει η πλευρά x του τετραγώνου, αν η

περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον

24 cm2. (Μονάδες 10)


α) Έστω α, β οι διαστάσεις της κάρτας .

Τότε 1 1 2x x και 2 2 4x x .

Επειδή το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι

, το εμβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης

των επαγγελματικών στοιχείων

εκφράζεται από τη συνάρτηση:

2 4E x x x

β) 34 2 452E x x x x x

2

2 4 8 35x x x 2

6 27 0x x 9 3 0x cm ή x ί


165

γ) 2 224 24 2 4 8 242 4 6 16 0x x x x xE x x x

2 2

( 6) 4 1 ( 16) 36 64 100 10

1

6 10 168

2 2x

και 2

6 10 42

2 2x

Άρα: 2 0

2 6 16 0 (x 8)(x 2) 0 8 0 8x

x x x x

4.2229.

Για την τύπωση επαγγελματικής κάρτας

επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς x cm

(5 x 10 ) στο οποίο η περιοχή τύπωσης

περιβάλλεται από περιθώρια 2 cm στο πάνω και στο

κάτω μέρος της και 1 cm δεξιά και αριστερά (όπως

στο σχήμα).

α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε της περιοχής

τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων


2 6 8E x x x (Μονάδες 8)

β) Να βρεθεί η τιμή του x ώστε το εμβαδόν της

περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών

στοιχείων να είναι 35 cm2. (Μονάδες 7)

γ) Aν η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν

το πολύ 24 cm2, να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει η πλευρά x του

τετραγώνου. (Μονάδες 10)


α) Έστω α, β οι διαστάσεις της κάρτας.

Τότε 1 1 2x x και

2 2 4x x .

Επειδή το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι

, το εμβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης

των επαγγελματικών στοιχείων


2 22 4 2 4 8 6 8E x x x x x x x x

β) 34 2 452E x x x x x

2 2

2 4 8 35 6 27 0 9 3 0x x x x x x cm ή x ί

γ) 2 224 24 2 4 8 242 4 6 16 0x x x x xE x x x

2 2

( 6) 4 1 ( 16) 36 64 100 10

1

6 10 168

2 2x

και 2

6 10 42

2 2x

Άρα: 2 0

2 6 16 0 (x 8)(x 2) 0 8 0 8x

x x x x


166

4.2234.

Για τη μέτρηση θερμοκρασιών χρησιμοποιούνται οι κλίμακες βαθμών Κελσίου

(Celsius), Φαρενάιτ (Fahrenheit) και Κέλβιν (Kelvin). Οι μετατροπές της

θερμοκρασίας από Κελσίου σε Φαρενάιτ και από Κελσίου σε Κέλβιν,

περιγράφονται από τις προτάσεις Π1 και Π2:

Π1: Για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου (○C) σε βαθμούς

Φαρενάιτ (○F), πολλαπλασιάζουμε τους βαθμούς Κελσίου με 1,8 και

προσθέτουμε 32.

Π2: Για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου (○C) σε βαθμούς

Κέλβιν (○K), προσθέτουμε στους βαθμούς Κελσίου (○C) το 273.

α) Να εκφράσετε συμβολικά τη σχέση που περιγράφει η κάθε πρόταση.

(Μονάδες 8)

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση που παριστάνει τη σχέση μεταξύ της

θερμοκρασίας σε βαθμούς Κέλβιν (○K) και της θερμοκρασίας σε βαθμούς

Φαρενάιτ (○F) είναι η: 32

2731,8

FK

(Μονάδες 7)

γ) Στη διάρκεια μιας νύχτας η θερμοκρασία σε μια πόλη κυμάνθηκε από

278○Κ μέχρι 283 ○Κ. Να βρείτε το διάστημα μεταβολής της θερμοκρασίας σε

○F. (Μονάδες 10)


α) 1: F 1,8 C 32 (1) και 2: K C 273 (2)

β) (2)32

1,8 32 1,8 321,8

FF C C F C

32 32

273 273 (3)1,8 1,8

F FK K

γ) (3) ( 273)32

278 283 278 273 2831,8

F

( 1,8)32

5 10 9 32 18 41 501,8

FF F


167

4.2339.

Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α(0,100) και

Β(10,50) παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης δ(x) των ετήσιων

δαπανών μιας εταιρείας, σε χιλιάδες ευρώ, στα x χρόνια της λειτουργίας της. To

ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ με Γ(0,50) και Δ(10,150) παριστάνει τη γραφική παράσταση

της συνάρτησης των ετήσιων εσόδων ε(x) της εταιρείας, σε χιλιάδες ευρώ, στα

x χρόνια της λειτουργίας της. Οι γραφικές παραστάσεις αναφέρονται στα δέκα

πρώτα χρόνια λειτουργίας της εταιρείας.

α) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων να εκτιμήσετε τα έσοδα και τα

έξοδα τον πέμπτο χρόνο λειτουργίας της εταιρείας. (Μονάδες 4)

β) i) Να προσδιορίσετε τους τύπους των συναρτήσεων x , x και να ελέγξετε

αν οι εκτιμήσεις σας στο α) ερώτημα ήταν σωστές. (Μονάδες 15)

ii) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των τμημάτων ΑΒ και ΓΔ

και να τις ερμηνεύσετε στο πλαίσιο του προβλήματος. (Μονάδες 6)


α) Τα έσοδα τον πέμπτο χρόνο λειτουργίας της εταιρείας είναι: 5 100 χιλιάδες

ευρώ και τα έξοδα : 5 75 χιλιάδες ευρώ .

β) i) Η ευθεία που περιγράφει τα έσοδα είναι της μορφής y x .

Τα σημεία (0,50), (10,150) ανήκουν στην ευθεία αυτή. Άρα οι συντεταγμένες

τους την επαληθεύουν : 50 0 50 (1)

(1)

150 10 10 50 150 10 100 10

Επομένως ο τύπος της (x) είναι : (x) 10x 50

5 10 5 50 50 50 100 χιλιάδες ευρώ

Η ευθεία που περιγράφει τις ετήσιες δαπάνες είναι της μορφής y x .

Τα σημεία (0,100), (10,50) ανήκουν στην ευθεία αυτή. Άρα οι

συντεταγμένες τους την επαληθεύουν : 100 0 100 (2)


168

(2)

50 10 10 100 50 10 50 5

Επομένως ο τύπος της (x) είναι : (x) 5x 100

Είναι 5 5 5 100 25 100 75 χιλιάδες ευρώ

Άρα οι εκτιμήσεις στο α) ερώτημα ήταν σωστές.

ii) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των τμημάτων ΑΒ και

ΓΔ λύνουμε το σύστημα των (x) και (x) :

10 50 10 50 10 50

5 100 10 50 5 100 15 50

y x y x y x

y x x x x

10 100 25010 50 10 50 50

3 3 350 10

10 10 1015 3

3 3 3

y x y y y

xx x x

Άρα στα 3 χρόνια και 120 ημέρες λειτουργίας της η εταιρεία δεν έχει ούτε

κέρδος ούτε ζημιά.

4.4647.

Για δεδομένο λ ∈ℝ, θεωρούμε τη συνάρτηση f, με

2 1 1 2f x x x , x .

α) Να δείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ, η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(0,2). (Μονάδες 3)

β) Για 1 , να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 4)

γ) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο B(2, 0), να

βρείτε την τιμή του λ και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση τέμνει τον

άξονα x΄x και σε άλλο σημείο. (Μονάδες 8)

δ) Για 1 , να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη

πάνω από τον άξονα χ΄χ. (Μονάδες 10)


α) 2

(0) ( 1) 0 ( 1) 0 2 2f , άρα η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(0,2) για οποιαδήποτε τιμή του λ

β) Για 1 είναι ( ) 2f x και η γραφική της

παράσταση είναι η οριζόντια ευθεία 2y .

γ) Αφού η γραφική παράσταση της f

τέμνει τον άξονα χ΄χ στο σημείο

B(2, 0) ισχύει ότι:

2

(2) 0 (2) ( 1) 2 ( 1) 2 2 0f f

4( 1) 2 2 2 0 4 4 2 0 2 4 2


169

Για 2 είναι 2 2f x x x

Για να βρούμε αν η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x΄x και σε άλλο σημείο

θα λύσουμε την εξίσωση 0f x . Είναι 2 2

1 4 ( 1) 2 9 3

Οι ρίζες είναι : 1

1 3 21

2 ( 1) 2x

και 2

1 3 42

2 ( 1) 2x

Άρα τέμνει τον άξονα χ΄χ και στο σημείο Γ(-1,0).

δ) Για 1 είναι 22 2f x x x

2

( 2) 4 2 2 4 16 12 0

Άρα 0f x και η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από

τον άξονα χ΄χ.

4.4656.

Δίνεται η συνάρτηση 2 1f x x x , x .

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν

τέμνει τον άξονα x΄x. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της που βρίσκονται κάτω από

την ευθεία 2 3y x . (Μονάδες 10)

γ) Έστω M( x , y ) σημείο της Cf. Αν για την τετμημένη x του σημείου Μ

ισχύει: 2 1 3x , τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω

από την ευθεία 2 3y x . (Μονάδες 10)


α) 2

1 4 1 1 1 4 3 0 , άρα 2

x x 1 0 και η γραφική παράσταση της f

βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα χ΄χ. Άρα δεν τέμνει τον χ΄χ.

β) Για να βρούμε τις τετμημένες των σημείων της fC που βρίσκονται κάτω από

την ευθεία 2 3y x λύνουμε την ανίσωση :

2 2

( ) 2 3 1 2 3 2 0f x x x x x x x

Οι ρίζες του τριωνύμου 2

2x x είναι οι αριθμοί -1 και 2


H λύση της ανίσωσης είναι : ( 1,2)x

γ) (:2)

2 1 3 3 2 1 3 2 2 4 1 2x x x x .

Όπως δείξαμε στο β) ερώτημα το σημείο Μ βρίσκεται κάτω από την ευθεία

2 3y x

fC

fC

x -∞ -1 2 +∞ 2

2x x + - +


170

4.4657.

Δίνεται η συνάρτηση f , με 2, 0

( )2, x 0

x xf x

x

.

α) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα

y' y . (Μονάδες 3)

β) i) Να χαράξετε τη fC και την ευθεία 3y , και στη συνέχεια να εκτιμήσετε

τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους. (Μονάδες 5)

ii) Να εξετάσετε αν τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y΄y.


γ) i) Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α , η ευθεία y τέμνει τη σε

δυο σημεία; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 5)

ii) Για τις τιμές του α που βρήκατε στο ερώτημα (γi), να προσδιορίσετε

αλγεβρικά τα σημεία τομής της με την ευθεία y και να εξετάσετε αν

ισχύουν τα συμπεράσματα του ερωτήματος (βii), αιτιολογώντας τον

ισχυρισμό σας. (Μονάδες 8)


α) Tα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y΄y είναι τα

σημεία (0,f(0)). Είναι (0) 0 2 2f , άρα το σημείο τομής της γραφικής

παράστασης της f με τον άξονα y΄y είναι το σημείο 0, 2B .

β) i)Τα σημεία τομής είναι τα σημεία Α(-1,3)

και Β(1,3)

ii) Έχουν ίδια τεταγμένη και αντίθετες

τετμημένες .Άρα είναι συμμετρικά ως

προς τον άξονα y΄y.

γ) i) Για 2

ii) Για 0x : έχουμε

( ) 2 2f x a x a x a

δεκτή αν 2

Για 0x : έχουμε

( ) 2 2f x a x a x a δεκτή αν 2

Επομένως για 2 έχουμε δύο σημεία τομής τα Γ(2-α,α) και Δ(α+2,α)

4.4660.

Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, με 2 2f x x x και 3 4g x x , x .

α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f

και g. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω

από εκείνη της g. (Μονάδες 10)

γ) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της μορφής y , 1 , βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 10)

fC

fC

fC


171


α) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f


2 23 4( ) ( ) 2 5 4 0 1 4x x xf x g x x x x ή x

Είναι 1 1 1, 4 4 8f g f g , άρα τα κοινά σημεία τους είναι τα

Α(1,-1) και Β(4,4).

β) Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω

από εκείνη της g λύνουμε την ανίσωση:

2 2( ) ( ) 2 53 44 0f x g x x xx x x


H λύση της ανίσωσης είναι : (1,4)x

γ) Πρέπει 2 2( ) 2 2 0f x a x x a x x a ισχύει αφού

2( 2) 4 1 ( ) 4 4 4(1 ) 0 ( 1)

4.4861.

Μια μπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει μια τροχιά,

μετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος. Το ύψος h (σε m) από το έδαφος, στο

οποίο βρίσκεται η μπάλα κάθε χρονική στιγμή t (σε sec) κατά την κίνησή της,

προσδιορίζεται από τη συνάρτηση: h(t) = - 5t2 + 10t + 1,05.

α) Να βρείτε τις τιμές h(0), h(1) και h(2) και να εξηγήσετε τι παριστάνουν στο

πλαίσιο του προβλήματος. (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η μπάλα θα φτάσει στο έδαφος. (Μονάδες 8)

γ) Να δείξετε ότι το ύψος στο οποίο βρίσκεται η μπάλα κάθε χρονική στιγμή t

μπορεί να προσδιοριστεί και από τον τύπο: h(t) = 5[1,21 – (t – 1)2]

(Μονάδες 5)

δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει χρονική στιγμή t1 (σε sec) που το ύψος h της

μπάλας από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,05 m (Μονάδες 6)


α) 2h 0 5 0 10 0 1,05 1,05m . Τη χρονική στιγμή 0t εκτοξεύεται από τα

1,05 m

2h 1 5 1 10 1 1,05 5 10 1,05 6,05 m .

Είναι το ύψος που βρίσκεται η σφαίρα μετά από 1 sec.

2h 2 5 2 10 2 1,05 5 4 20 1,05 20 20 1,05 1,05 m

Είναι το ύψος που βρίσκεται η σφαίρα μετά από 2 sec.

x -∞ 1 4 +∞ 2

5 4x x + +


172

β) 20 5 10 1,05 0h t t t

2 2

10 4 ( 5) 1,05 100 21 121 11

10 11 1

02 ( 5) 10

t ί

ή 10 11 21

2,1 min2 ( 5) 10

t

Μετά από 2,1 min η μπάλα θα φτάσει στο έδαφος

γ) 2 2 25 10 1,05 5 2 0,21 5 1,21 2 1h t t t t t t t

225 1,21 2 1 5 1,21 1h t t t t

δ) Έστω ότι υπάρχει χρονική στιγμή t1 (σε sec) που το ύψος h της μπάλας από το

έδαφος θα είναι πάνω από 6,05m.Τότε:

2

1 1 15 10 1,05 66 ,, 5 050h t t t

2 2(:( 5

2

1

)

1 1 1 15 2 1 0 ( 1)10 5 00t t t t t ά

Άρα δεν υπάρχει χρονική στιγμή t1 (σε sec) που το ύψος h της μπάλας από το

έδαφος θα είναι πάνω από 6,05m.

4.4862.

Αν ένας κάτοικος μιας πόλης Α καταναλώσει x κυβικά νερού σε ένα χρόνο, το ποσό

που θα πρέπει να πληρώσει δίνεται (σε ευρώ) από τη συνάρτηση:

12 0,5 , 0 30( )

0,7 6, 30

x xf x

x x

α) Να βρείτε πόσα ευρώ θα πληρώσει όποιος:

i) έλειπε από το σπίτι του και δεν είχε καταναλώσει νερό. (Μονάδες 2)

ii) έχει καταναλώσει 10 κυβικά μέτρα νερού. (Μονάδες 3)

iii) έχει καταναλώσει 50 κυβικά μέτρα νερού. (Μονάδες 5)

β) Σε μια άλλη πόλη Β το ποσό (σε ευρώ) που αντιστοιχεί σε κατανάλωση x

κυβικών μέτρων δίνεται από τον τύπο: ( ) 12 0,6g x x , για 0x .

Ένας κάτοικος της πόλης Α και ένας κάτοικος της πόλης Β κατανάλωσαν τα

ίδια κυβικά νερού, για το 2013. Αν ο κάτοικος της πόλης Α πλήρωσε

μεγαλύτερο ποσό στο λογαριασμό του από τον κάτοικο της πόλη Β, να

αποδείξετε ότι ο κάθε ένας από τους δύο κατανάλωσε περισσότερα από 60

κυβικά μέτρα νερού. (Μονάδες 15)


α) i) 0 12f ευρώ

ii) 10 12 0,5 12 12 6 18f ευρώ

iii) 50 0,7 50 6 35 6 41f ευρώ

β) Θα πρέπει : ( ) ( )f x g x

Αν 0 30x : ( ) ( ) 12f x g x 0,5 12x 0,6 0x x άτοπο.


173

Αν 30x : 6

( ) ( ) 0,7 6 12 0,6 0,1 6 600,1

x x xf x g x x x

Άρα ο κάθε ένας από τους δύο κατανάλωσε περισσότερα από 60 κυβικά μέτρα

νερού.

4.4886.

Στο διπλανό σχήμα, δίνονται

οι γραφικές παραστάσεις fC

και gC των συναρτήσεων f

και g αντίστοιχα, με

2f x x και

1 2( ) ,

3 3g x x x

α) Να εκτιμήσετε τις

συντεταγμένες των σημείων

τομής των fC και gC ..

(Μονάδες 6)

β) Να επιβεβαιώσετε

αλγεβρικά την απάντησή σας στο ερώτημα α). (Μονάδες 8)

γ) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων, να βρείτε για ποιες τιμές του x

η fC βρίσκεται πάνω από τη gC . (Μονάδες 6)

δ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος γ), να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει

νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση: 3 2 (x 2)K x

(Μονάδες 5)


α) Τα σημεία τομής των fC και gC είναι Α(1,1) και Β(4,2).

β) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f


( 3)1 2

( ) ( ) 2 3 6 23 3

f x g x x x x x

Αν 2x : αδύνατη

Αν 2x : 3 6 2 2 8 4x x x x ή 3 6 2 4 4 1x x x x

Είναι 1 1 1, 4 4 2f g f g , άρα τα κοινά σημεία τους είναι τα Α(1,1)

και Β(4,2).

γ) H fC βρίσκεται πάνω από τη gC για κάθε ( ,1) (4, )x

δ) Πρέπει : |2 | | 2| 1

3 2 (x 2) 0 2 23

x x

x x x

( )

( ) ( ) ( ,1] [4, )ώ

f x g x x


174

4.5275 .

Για την ενοικίαση ενός συγκεκριμένου τύπου αυτοκινήτου για μία ημέρα, η εταιρεία

Α χρεώνει τους πελάτες της σύμφωνα με τον τύπο: 60 0,20y x ,όπου x είναι η

απόσταση που διανύθηκε σε Km και y είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ.

α) Τι ποσό θα πληρώσει ένας πελάτης της εταιρείας Α, ο οποίος σε μία ημέρα

ταξίδεψε 400 Km ; (Μονάδες 5)

β) Πόσα χιλιόμετρα οδήγησε ένας πελάτης ο οποίος, για μία ημέρα, πλήρωσε 150

ευρώ; (Μονάδες 5)

γ) Μία άλλη εταιρεία, η Β, χρεώνει τους πελάτες της ανά ημέρα σύμφωνα με τον

τύπο 80 0,10y x όπου, όπως προηγουμένως, x είναι η απόσταση που

διανύθηκε σε Km και y είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ. Να εξετάσετε

ποια από τις δύο εταιρείες μας συμφέρει να επιλέξουμε, ανάλογα με την

απόσταση που σκοπεύουμε να διανύσουμε. (Μονάδες 10)

δ) Αν 60 0, 20f x x και 80 0,10g x x είναι οι συναρτήσεις που

εκφράζουν τον τρόπο χρέωσης των εταιρειών Α και Β αντίστοιχα, να βρείτε

τις συντεταγμένες του σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και g και να εξηγήσετε τι εκφράζει η τιμή καθεμιάς από

αυτές τις συντεταγμένες σε σχέση με το πρόβλημα του ερωτήματος (γ).

(Μονάδες 5)


α) Για 400x : 60 0,20 400 60 80 140y ευρώ

β) Για 150y : 90

150 60 0, 20 0, 2 90 4500, 2

x x x x km

γ) Έστω 60 0, 20f x x η συνάρτηση που μας δείχνει πόσο χρεώνει η Α

εταιρεία και ( ) 80 0,10g x x η συνάρτηση που μας δείχνει πόσο χρεώνει η B

εταιρεία.

60 0,20 80 0,10 0,1 20 0,1(x 2( ) ( 00)) x xf x g x x

Για 200 ( ) ( ) 0 ( ) ( )x f x g x f x g x

Για λιγότερο από 200km συμφέρει να επιλέξουμε την Α εταιρεία

Για ακριβώς 200 km οποιαδήποτε από τις δύο.

Για περισσότερο από 200km συμφέρει να επιλέξουμε την Β εταιρεία.

δ) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων

των συναρτήσεων f και g λύνουμε την εξίσωση :

60 0,20( ) ( 80 0,10 0,1 2 0) 0 20f x g x x x x kmx

(200) 60 0,2 200 60 40 100 (200)f g

To σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g

είναι το A(200,100).

Για την τετμημένη 200 έχουμε την ίδια χρέωση και στις δύο εταιρείες.


175

4.5879.

Ο αγώνας δρόμου ανάμεσα στη χελώνα και το λαγό γίνεται σύμφωνα με τους

ακόλουθους κανόνες:

Η διαδρομή είναι τμήμα ενός ευθύγραμμου δρόμου.

Ο λαγός ξεκινάει τη χρονική στιγμή 0t από ένα σημείο Ο.

Το τέρμα βρίσκεται σε σημείο Μ με 600 μέτρα.

Η χελώνα ξεκινάει τη στιγμή 0t με προβάδισμα, δηλαδή από ένα σημείο Α

που βρίσκεται μεταξύ του Ο και του Μ, με 600 μέτρα.

Υποθέτουμε ότι, για 0t , η απόσταση του λαγού από το Ο τη χρονική στιγμή t

min δίνεται από τον τύπο 210 S t t

μέτρα, ενώ η απόσταση της χελώνας από

το Ο τη στιγμή t min δίνεται από τον τύπο 600 40S t t

μέτρα.

α) Να βρείτε σε πόση απόσταση από το Ο θα πρέπει να βρίσκεται το τέρμα Μ,

ώστε η χελώνα να κερδίσει τον αγώνα. (Μονάδες 10)

β) Υποθέτουμε τώρα ότι η απόσταση του τέρματος Μ από το Ο είναι ΟΜ=2250

μέτρα. Να βρείτε:

i) Ποια χρονική στιγμή ο λαγός φτάνει τη χελώνα. (Μονάδες 5)

ii) Ποιος από τους δύο δρομείς προηγείται τη χρονική στιγμή t = 12min

και ποια είναι τότε η μεταξύ τους απόσταση. (Μονάδες 5)

iii) Ποια χρονική στιγμή τερματίζει ο νικητής του αγώνα. (Μονάδες 5)


α) Για να κερδίσει η χελώνα τον αγώνα θα πρέπει:

2 2( 4) 4 1 ( 60) 16 240 256 16

1

4 16 2010

2 2t

και

2

4 16 126

2 2t

απορρίπτεται αφού 0t .

Είναι 0 6 0

2 4 60 0 ( 6)( 10) 0 10 0 10t t

t t t t t t

Άρα [0,10)t

Για 10t : 2(10) 10 10 1000 (10)xS S

Θα πρέπει το τέρμα να βρίσκεται σε απόσταση μικρότερη από 1000m από το Ο.

β) i) Όταν 10t από το α) ερώτημα

ii) Επειδή 12 10t προηγείται ο λαγός και η απόσταση μεταξύ τους είναι:

(:10

2

2)

2

0 600 401

1 40 600 0 4 60 00

XS t S t t t

t t t t


176

(12) (12) 1440 1080 360xS S m

γ) Επειδή 2250 1000 m m ,θα τερματίσει πρώτος ο λαγός.

0

2 2(t) 10 2250 225 15

t

S t t t

min.

Άρα τη χρονική στιγμή 15t min θα τερματίσει ο νικητής ,δηλαδή ο λαγός.

4.6229. Σε μια πόλη της Ευρώπης μια εταιρεία ΤΑΧΙ με το όνομα ‘RED’ χρεώνει 1 ευρώ

με την είσοδο στο ΤΑΧΙ και 0,6 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο που διανύει ο πελάτης.

Μια άλλη εταιρεία ΤΑΧΙ με το όνομα ‘YELLOW’ χρεώνει 2 ευρώ με την

είσοδο στο ΤΑXΙ και 0,4 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο που διανύει ο πελάτης.

Οι παραπάνω τιμές ισχύουν για αποστάσεις μικρότερες από 15 χιλιόμετρα.

α) i) Αν f(x) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία ‘RED’ για μια διαδρομή x

χιλιομέτρων να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

x (km) 0 2 8

f ( x) (ευρώ)

(Μονάδες 3)

ii) Αν g(x) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία ‘YELLOW’ για μια διαδρομή

x χιλιομέτρων να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

x (km)

g ( x) (ευρώ) 2 3,2 4,8

(Μονάδες 3)

β) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f , g και τους τύπους τους

f(x) , g(x) . (Μονάδες 8)

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f , g και να βρείτε

για ποιες αποστάσεις η επιλογή της εταιρείας ‘RED’ είναι πιο οικονομική,

αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

δ) Αν δυο πελάτες Α και Β μετακινηθούν με την εταιρεία ‘RED’ και ο πελάτης Α

διανύσει 3 χιλιόμετρα παραπάνω από τον Β, να βρείτε πόσο παραπάνω θα

πληρώσει ο Α σε σχέση με τον Β. (Μονάδες 3)


α) i) Για 0x πληρώνουμε μόνο την είσοδο

στο ΤΑΧΙ, 1 ευρώ.

Για 2x πληρώνουμε 1 ευρώ για την

είσοδο και 0,6 2 1,2 ευρώ για τη

διαδρομή, άρα συνολικά 1 1,2 2,2 ευρώ

Όμοια για 8x πληρώνουμε 1 0,6 8 1 4,8 5,8 ευρώ

ii) Για να πληρώσουμε 2 ευρώ που είναι η

είσοδος στο ΤΑΧΙ, δεν έχουμε κάνει

καθόλου χιλιόμετρα, άρα 0x .

Για να πληρώσουμε 3, 2g x ευρώ, αν

αφαιρέσουμε τα 2 ευρώ της εισόδου, για τη διαδρομή πληρώνουμε 1,2 ευρώ.

0 2 8

f ( x) (ευρώ) 1 2,2 5,8

x (km) 0 3 7

g ( x) (ευρώ) 2 3,2 4,8


177

Άρα 1, 2

0, 4 1, 2 30, 4

x x x χιλιόμετρα.

Όμοια αφαιρούμε 2 ευρώ της εισόδου και μένουν 2,8 ευρώ για τη διαδρομή.

Άρα 2,8

0, 4 2,8 70, 4

x x x

β) Για τη διαδρομή x χιλιομέτρων στην ‘RED’ πληρώνουμε 0,6x για τη διαδρομή

και 1 ευρώ με την είσοδο, άρα 0,6 1f x x , x σε km. Για τη διαδρομή x

χιλιομέτρων στην ‘YELLOW’ πληρώνουμε 0,4x για τη διαδρομή και 2 ευρώ με

την είσοδο, άρα ( ) 2 0,4g x x ,x σε km Είναι [0, )f g

γ) Για την fC σχεδιάζουμε την

ημιευθεία που έχει αρχή το 0,1

και διέρχεται από το 2, 2, 2 .

Για την gC σχεδιάζουμε την

ημιευθεία που έχει αρχή το 0, 2

και διέρχεται από το 3, 3, 2 .

Όπως φαίνεται από το σχήμα η

γραφική παράσταση της f

είναι κάτω από τη γραφική

παράσταση της g στο διάστημα

0,5 ,οπότε για διαδρομή

μικρότερης των 5 χιλιομέτρων η εταιρεία ‘RED’ είναι πιο οικονομική.

δ) Έστω xA τα χιλιόμετρα που διάνυσε ο πελάτης Α και xΒ τα χιλιόμετρα που διάνυσε

ο πελάτης Β.

Τότε 3A Bx x (1)

( ) g(x ) 0, 4 2A B Ag x x 0, 4 2Bx 0, 4( ) 0, 4 3 ( ) g(x ) 1, 2A B A Bx x g x

Άρα ο πελάτης Α θα πληρώσει παραπάνω 1,2 ευρώ.

4.6231.

Στο επόμενο σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο

πλευράς ΑΒ=3 και το Μ είναι ένα

τυχαίο εσωτερικό σημείο της διαγωνίου ΑΓ. Έστω Ε

το συνολικό εμβαδόν των

σκιασμένων τετραγώνων του σχήματος.

α) Να αποδείξετε ότι 22 6 9E x x , 0,3x .

(Μονάδες 9)

β) Να αποδείξετε ότι 9

2E , για κάθε 0,3x .

(Μονάδες 8)


178

γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στην ΑΓ το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων

τετραγώνων του σχήματος γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο με 9

2 ;



α) 3 x

2 2 2 2 2(3 ) 9 6 2 6 9x x x x x x x , (0,3)x

β) ( 2)

2 29 92 6 9 4 12 18 9

2 2E x x x x

2 2

4 12 9 0 (2 3) 0x x x ύ

γ)

Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΘΜ :

32 2

22 2 2 2

2 2 2

3 3

2 2

9 9 18 9

4 4 4 2

9 3 3 2

2 22

x

AM AM AM

4.7511.

Ένα δημοτικό κολυμβητήριο έχει σχήμα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με

διαστάσεις 15m και 25m. Ο δήμος, για λόγους ασφάλειας, θέλει να

κατασκευάσει γύρω από το κολυμβητήριο μια πλακοστρωμένη ζώνη με

σταθερό πλάτος x m (x > 0), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της ζώνης δίνεται από τη σχέση:

( 2)2 2

2 2

9 92 6 9 4 12 18 9

2 2

4 12 9 0 (2 3) 0 2 3 0

32 3

2

E x x x x

x x x x

x x


179

24 80x x x , 0x (Μονάδες 9)

β) Να βρεθεί το πλάτος x της ζώνης, αν αυτή έχει εμβαδό 500 m2.

(Μονάδες 7)

γ) Ποιο μπορεί να είναι το πλάτος της ζώνης, αν αυτή έχει εμβαδόν μικρότερο

από 500 m2; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)


α)

2 25 2x x , 2 15 2EH AB x x

2 2 2

(15 2 )(25 2x) 375 30x 50x 4x 4 80 37( ) 5x x x m

( ) 15 25 375 m2

2( ) ( ) ( 4 80 375)E xEZ xx H 375

2

8( ,) 4 0 0xE x xx

β) Άρα x=5m

γ) (:4)

2 2500 4 80 500 4 80 500 0x x x x x + +

25 0

2 20 125 0 (x 5)( 25) 0 5 0 5x

x x x x x

, άρα (0,5)x .

4.7512.

Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο Π=40cm. Αν x cm είναι το μήκος

του παραλληλογράμμου, τότε :

α) να αποδείξετε ότι 0 20x . (Μονάδες 4)

β) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε(x) του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση:

220E x x x . (Μονάδες 8)

γ) να αποδείξετε ότι ισχύει 100x , για κάθε x ∊(0, 20). (Μονάδες 6)

δ) να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο 40cm, εκείνο

που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 10cm. (Μονάδες 7)

(:4)

2 2

2

500 4 80 500 4 80 500 0

20 125 0 5 25

+ + x x x x x

x x x ή x ί


180


α) Έστω y το πλάτος του ορθογωνίου .

(:2)

40 2 2 40 20 20x y x y y x (1)

Επειδή x, y μήκη πλευρών x, y >0

Από την σχέση (1) ισχύει : 0 20y x .

Άρα 0 20x

β) 2

( ) x (20 ) 20x y x x x x

γ) 2 2 2100 20 100 20 100 0 ( 10) 0x x x x x x ύ .

δ) H μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το εμβαδόν είναι :

2 2100 20 100 20 100 0x x x x x

2( 10) 0 10 0 10x x x cm

Για 10 20 10 10x y y cm

Tο μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τετράγωνο πλευράς 10cm.

4.10774.

Μια μικρή εταιρεία πουλάει βιολογικό ελαιόλαδο στο διαδίκτυο.

Στο διπλανό παραπάνω σχήμα, παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της

συνάρτησης που περιγράφει τα έξοδα Κ(x) και τα έσοδα Ε(x) από την

πώληση x λίτρων λαδιού σε ένα μήνα.

α) Να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών και

να ερμηνεύσετε τη σημασία του. (Μονάδες 6)

β) Ποια είναι τα αρχικά (πάγια) έξοδα της εταιρείας; (Μονάδες 5)

γ) Πόσα λίτρα ελαιόλαδο πρέπει να πουλήσει η εταιρεία για να μην έχει ζημιά

(Μονάδες 6)

δ) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων K(x) και Ε(x) και να επαληθεύσετε

αλγεβρικά την απάντηση του ερωτήματος (γ). (Μονάδες 8)


α) Οι συντεταγμένες του σημείου τομής είναι (100,500), δηλαδή όταν πουλήσει 100

λίτρα λάδι δεν θα έχει ούτε κέρδος ούτε ζημία.


181

β) Τα αρχικά έξοδα της εταιρείας είναι : K(0) =200 ευρώ

γ)Για μην έχει ζημιά πρέπει Έσοδα περισσότερα από τα έξοδα, δηλαδή:

(x) K(x) 100x ί

δ) Η ευθεία που περιγράφει τα έσοδα είναι της μορφής y x αφού διέρχεται από

την αρχή των αξόνων .

Το σημείο 200,1000 ανήκει στην ευθεία αυτή. Άρα οι συντεταγμένες

του την επαληθεύουν : 1000

1000 200 5200

(1)

Επομένως ο τύπος της Ε(x) είναι : ( ) 5x x .

Η ευθεία που περιγράφει τις ετήσιες δαπάνες είναι της μορφής y x .

Τα σημεία (0,200), (200,800) ανήκουν στην ευθεία αυτή. Άρα οι

συντεταγμένες τους την επαληθεύουν :

200 0 200 (2)

(2) 600

800 200 200 200 800 200 600 3200

Επομένως ο τύπος της Κ(x) είναι : Κ(x)=3x+200

(x) K(x) 5 3 200 2 200 100x x x x ί

Άρα οι εκτιμήσεις στο α) ερώτημα ήταν σωστές.

4.13155

Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 4 2f x x και 2( ) 4 9g x x με πεδίο ορισμού το ℝ.

α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g με

τον άξονα x΄x.

(Μονάδες 6)

β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες σε κάποιο

από τα σημεία (3, 0) και ( −3, 0) .

(Μονάδες 4)

γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g δεν

έχουν κοινό σημείο πάνω σε κάποιον από τους άξονες.

(Μονάδες 8)

δ) Να βρείτε συνάρτηση h της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία, διέρχεται

από το Α(0, 3) και τέμνει τη γραφική παράσταση της g σε σημείο του ημιάξονα

Οx.

(Μονάδες 7)


α) Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα

χ΄χ λύνουμε την εξίσωση :

4

( ) 0 4 2 0 4 2f x x x 4

x 2 1

4 2x

Άρα το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

είναι το σημείο 1

0,2

β) Τα σημεία (3,0) και (-3,0) ανήκουν στον άξονα χ΄χ .Από το α) ερώτημα η γραφική

παράσταση της f τέμνει τον χ΄χ μόνο στο σημείο Β.


182

Άρα δεν τέμνει τους άξονες (τον χ΄χ΄) σε κάποιο από τα σημεία (3, 0) και ( −3, 0) .

γ) Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον y΄y στο σημείο Γ(0,2)

Η γραφική παράσταση της g τέμνει τον y΄y στο σημείο Δ(0,-9)

2 2 4

( ) 0 4 9 0 4 9g x x x 2

4

x 29 9 3

4 4 2x x

Άρα τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

είναι τα σημεία 3 3

,0 , ,02 2

.

Επομένως τα κοινά σημεία των συναρτήσεων f και g δεν βρίσκονται πάνω στους

άξονες

δ) Έστω h(x)=αx+β.

Επειδή η γραφική παράσταση της h διέρχεται από το σημείο Α έχουμε : 3 0 3

Επειδή η γραφική παράσταση της h τέμνει τη γραφική παράσταση της g σε σημείο

του ημιάξονα Οx , δηλαδή στο σημείο 3

,02

, ισχύει ότι:

( 2)3 3

0 0 3 3 6 0 3 6 22 2

Επομένως ( ) 2 3h x x .

4.13158.

Δυο φίλοι αποφάσισαν να κάνουν το χόμπι τους δουλειά. Τους άρεσε να ζωγραφίζουν

μπλουζάκια και έστησαν μια μικρή επιχείρηση για να τα πουλήσουν μέσω

διαδικτύου. Τα έξοδα κατασκευής (σε ευρώ) για x μπλουζάκια δίνονται από τη

συνάρτηση 12,5 120x x και τα έσοδα από την πώλησή τους (σε ευρώ), σε

διάστημα ενός μηνός, από τη συνάρτηση 15,5E x x .

α) Αν η επιχείρηση κάποιο μήνα δεν κατασκευάσει μπλουζάκια, έχει έξοδα; Να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 6)

β) Τι εκφράζει ο αριθμός 12,5 και τι ο αριθμός 15,5 στο πλαίσιο του προβλήματος;

(Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε πόσα μπλουζάκια πρέπει να πουλήσουν ώστε να έχουν έσοδα όσα

και έξοδα (δηλαδή να μην «μπαίνει μέσα» η επιχείρηση) (Μονάδες 6)

δ) Αν πουλήσουν 60 μπλουζάκια θα έχουν κέρδος; Να αιτιολογήσετε την



α) Τα πάγια έξοδα της επιχείρησης είναι 0 120 ευρώ , γιατί πρόκειται για το

κόστος της εταιρείας τους χωρίς καθόλου παραγωγή.

β) Επειδή τα πάγια έξοδα είναι 120 ευρώ και από την παραγωγή x μπλουζάκια, το

κόστος είναι 12,5x ,ο αριθμός 12,5 εκφράζει το πόσο κοστίζει ένα μπλουζάκι.


183

Αντίστοιχα επειδή τα έσοδα από τη πώληση x τεμαχίων, η είσπραξη είναι 15,5x ,

το 15,5 είναι η είσπραξη από τη πώληση μιας μπλούζας, άρα το 15,5 εκφράζει το

πόσο που πουλιέται ένα μπλουζάκι.

γ) 12,5 120 15,5 3 120 40 x E x x x x x μπλουζάκια

Άρα πρέπει να πουλήσουν 40 μπλουζάκια για να μην «μπαίνει μέσα» η

επιχείρηση.

δ) Αν Α(x) η συνάρτηση του κέρδους τότε

( ) ( ) ( ) 15,5 12,5 120 3 120x E x K x x x x

(60) 3 60 120 180 120 60 ευρώ

Θα έχει κέρδος 60 ευρώ.

αλγεβρα α λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 29 10 2014

Documents

Transcript of αλγεβρα α λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 29 10 2014