Ψηφιακά Μαθήματα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου...

1

ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1Ο: ΜΗΧΑΝΙΚΔ – ΗΛΔΚΣΡΙΚΔ ΣΑΛΑΝΣΩΔΙ

ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ

ΘΔΜΑ Β

Δρώτηση 1.

Έμα ρώμα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη πλάςξσπ Α. Η ελάυιρςη υοξμική διάοκεια

για ςη μεςάβαρη ςξσ ρώμαςξπ από ςη θέρη x 0 ρςη θέρη A

x2

είμαι At . Η ελάυιρςη

υοξμική διάοκεια Bt για ςη μεςάβαρη ςξσ ρώμαςξπ από ςη θέρη A

x2

ρςη θεςική

ακοαία θέρη x A ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι

α) μικοόςεοη από At .

β) ίρη με At .

γ) μεγαλύςεοη από At .

Να αιςιξλξγήρεςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Λύρη

Η ρχρςή απάμςηρη είμαι η γ.

Καςά ςη μεςάβαρη ςξσ ρώμαςξπ από ςη θέρη x 0 ρςη θέρη A

x2

διαμύεςαι

απόρςαρη A

s2

ρε υοξμικό διάρςημα At . Δπξμέμχπ, η μέρη ςαυύςηςα ςηπ κίμηρηπ είμαι

A

s

t .

Καςά ςη μεςάβαρη ςξσ ρώμαςξπ από ςη θέρη A

x2

ρςη θεςική ακοαία θέρη x A

ςηπ ςαλάμςχρηπ, διαμύεςαι απόρςαρη A

s2

ρε υοξμικό διάρςημα Bt . Δπξμέμχπ, η μέρη

ςαυύςηςα ςηπ κίμηρηπ είμαι B

B

s

t .

Καθώπ ςξ ρώμα κιμείςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ποξπ ςημ ακοαία θέρη η ςαυύςηςά ςξσ

διαοκώπ μειώμεςαι. Έςρι, η κίμηρη από ςη θέρη x 0 ρςη θέρη A

x2

γίμεςαι με

μεγαλύςεοη μέρη ςαυύςηςα απ' ό,ςι η κίμηρη από ςη θέρη A

x2

ρςη θεςική ακοαία

θέρη x A ςηπ ςαλάμςχρηπ.

2

B

A B

s s

t t B At t

(βλ. ρελ. 10 ςξσ Συξλικξύ Βιβλίξσ)

3

Δρώτηση 2.

Έμα ρώμα μάζαπ m είμαι δεμέμξ ρςημ ελεύθεοη άκοη καςακόοστξσ ιδαμικξύ ελαςηοίξσ

ρςαθεοάπ k και ηοεμεί ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ. Απξμακούμξσμε ςξ ρώμα ποξπ ςα κάςχ

καςά Α και ςξ ατήμξσμε ελεύθεοξ. Τξ ρύρςημα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη.

Αμςικαθιρςξύμε ςξ ελαςήοιξ με άλλξ, ρςαθεοάπ 2k, υχοίπ μα αλλάνξσμε ςξ αμαοςημέμξ

ρώμα. Απξμακούμξσμε ςξ ρώμα ποξπ ςα κάςχ από ςη μέα θέρη ιρξοοξπίαπ καςά Α και

ςξ ατήμξσμε ελεύθεοξ. Τξ ρύρςημα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη. Ο λόγξπ max,1

max,2

a

a

ςχμ μέςοχμ ςχμ μεγίρςχμ επιςαυύμρεχμ ςχμ δύξ ςαλαμςώρεχμ είμαι ίρξπ με

α) 2 .

β) 1.

γ) 1

2.


Λύρη


Η μέγιρςη επιςάυσμρη δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: 2

maxa .

Δπειδή 2D k m έυξσμε: 2 2 k

k mm

Με αμςικαςάρςαρη ρςξ λόγξ max,1

max,2

a

a ςχμ μέςοχμ ςχμ μεγίρςχμ επιςαυύμρεχμ ςχμ δύξ

ςαλαμςώρεχμ, έυξσμε:

2max,1 max,1 max,11

2

max,2 2 max,2 max,2

ka a a km

2ka a a 2k

m

max,1

max,2

a 1

a 2

(βλ. ρελ. 10-11 ςξσ Συξλικξύ Βιβλίξσ)

4

Δρώτηση 3.

Η τάρη μιαπ απλήπ αομξμικήπ ςαλάμςχρηπ μεςαβάλλεςαι με ςξ υοόμξ όπχπ ταίμεςαι ρςξ διάγοαμμα:

Η πεοίξδξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι ίρη με

α) 1s .

β) 2 s .

γ) 2 s .


Λύρη

Σχρςή απάμςηρη η α.

Η ρυέρη ςηπ τάρηπ με ςξ υοόμξ δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: 0t .

Από ςη γοατική παοάρςαρη ταίμεςαι όςι για 3

t 0 rad2

. Με αμςικαςάρςαρη

έυξσμε: 0 0

3 30 rad

2 2

.

Από ςη γοατική παοάρςαρη ταίμεςαι όςι για 11

t 2 s rad2

. Με αμςικαςάρςαρη

έυξσμε: 11 3 rad

2 22 2 s

.

Από ςξμ ςύπξ 2

T

έυξσμε: 2

T2

T 1s


Δμαλλακςικά, επειδή d

.dt t t t

11 / 2 3 / 2 rad rad2

2 0 s s

T 1s

5

Δρώτηση 4.

Έμα ρώμα μάζαπ m είμαι δεμέμξ ρςημ ελεύθεοη άκοη καςακόοστξσ ιδαμικξύ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k και ηοεμεί ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ. Απξμακούμξσμε ςξ ρώμα ποξπ ςα πάμχ μέυοι μα τςάρει ρςη θέρη τσρικξύ μήκξσπ ςξσ ελαςηοίξσ και ςξ ατήμξσμε ελεύθεοξ. Τξ ρύρςημα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη πλάςξσπ Α. Τξ μέςοξ ςηπ μέγιρςηπ δύμαμηπ πξσ δέυεςαι ςξ ρώμα από ςξ ελαςήοιξ καςά ςη διάοκεια ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι ίρξ με

α) Μηδέμ.

β) k A .

γ) 2k A .


Λύρη


Τξ ρώμα ελεσθεοώμεςαι από ςη θέρη ςξσ Φσρικξύ μήκξσπ ςξσ ελαςηοίξσ, άοα ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ Α ιρξύςαι με ςημ απόρςαρη d μεςανύ ςηπ θέρηπ τσρικξύ μήκξσπ ελαςηοίξσ (ΘΦΜ) και ςηπ θέρηπ ιρξοοξπίαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ (ΘΙ).

Τξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ πξσ αρκεί ςξ ελαςήοιξ ρςξ ρώμα μπξοεί μα βοεθεί από ςξ Νόμξ

Hooke: F kL ,όπξσ L η επιμήκσμρη ςξσ ελαςηοίξσ. Τξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ πξσ δέυεςαι

ςξ ρώμα από ςξ ελαςήοιξ είμαι μέγιρςξ ρςη θέρη πξσ ςξ ελαςήοιξ έυει ςη μέγιρςη

επιμήκσμρη maxL . Από ςξ ρυήμα ταίμεςαι όςι ασςή είμαι η κάςχ ακοαία θέρη ςηπ

ςαλάμςχρηπ ΑΘ ΚΑΤΩ ρςημ ξπξία L 2A .

Δπξμέμχπ: ,max maxF kL ,maxF 2k A

6

Δρώτηση 5.

Να απξδείνεςε όςι ρε μια απλή αομξμική ςαλάμςχρη η απξμάκοσμρη x ςξσ ρώμαςξπ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ, ςξ πλάςξπ Α ςηπ ςαλάμςχρηπ, η ςαυύςηςα σ ςξσ ρώμαςξπ ρςημ

απξμάκοσμρη υ και η μέγιρςη ςαυύςηςα max ςηπ ςαλάμςχρηπ, ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη

2 2

2 2

max

x1

A

.

Λύρη

Από ςημ Αουή Διαςήοηρηπ ςηπ Δμέογειαπ ρςημ ςαλάμςχρη, έυξσμε:

2 2 21 1 1E K U DA m Dx

2 2 2

2 2 22 2

2 2 22 2 2

1 1 1DA m Dx

m x2 2 2 11 1 1 m A A

DA DA DA2 2 2

2 2

2 2

max

x1

A

7

Δρώτηση 6.

Έμα μικοό ρώμα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη έυξμςαπ εμέογεια ςαλάμςχρηπ 20 J .

Κάπξια ρςιγμή, πξσ ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρε ακοαία θέρη ςηπ ςαλάμςχρηπ, ςξσ αρκξύμε ρςιγμιαία δύμαμη με απξςέλερμα ςξ διπλαριαρμό ςξσ πλάςξσπ ςαλάμςχρηπ. Τξ έογξ πξσ ποξρτέοαμε ρςξ ςαλαμςξύμεμξ ρύρςημα μέρχ ασςήπ ςηπ ρςιγμιαίαπ δύμαμηπ, για ςξ διπλαριαρμό ςξσ πλάςξσπ ςαλάμςχρηπ, είμαι ίρξ με

α) 20 J .

β) 60 J .

γ) 80 J .


Λύρη

Σχρςή απάμςηρη είμαι η β.

Τξ έογξ W πξσ ποξρτέοαμε ρςξ ςαλαμςξύμεμξ ρύρςημα για ςξ διπλαριαρμό ςξσ πλάςξσπ

ςαλάμςχρηπ, είμαι ίρξ με: W E' E , όπξσ E η αουική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ και

E ' η ςελική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ. Με αμςικαςάρςαρη, έυξσμε:

2 2 2 21 1 1 1W E' E W D(A') DA W D(2A) DA

2 2 2 2

2 2 21 1 1W D4A DA W 3 DA W 3E

2 2 2 W 60 J


8

Δρώτηση 7.

Για έμα ρύρςημα πξσ εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη, μα γοάφεςε ςη ρυέρη πξσ δίμει ςη δσμαμική εμέογεια ςαλάμςχρηπ ρε ρυέρη με ςημ απξμάκοσμρη από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ. Να απξδείνεςε ςη ρυέρη πξσ γοάφαςε.

Λύρη

Η ρχρςή απάμςηρη είμαι 21

U Dx2

με απόδεινη.

Έρςχ όςι ςξ ρώμα βοίρκεςαι ακίμηςξ ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ. Δευόμαρςε όςι ρ' ασςή ςη θέρη, ςξ ρώμα έυει δσμαμική εμέογεια μηδέμ. Για μα μεςακιμηθεί ςξ ρώμα ρε μια άλλη θέρη πξσ απέυει απόρςαρη x από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ, ποέπει μα ςξσ αρκηθεί δύμαμη F', ίδιξσ μέςοξσ και αμςίθεςηπ τξοάπ, ώρςε μα ενξσδεςεοώμει ςη δύμαμη επαματξοάπ F . Τξ μέςοξ ςηπ F', ρε κάθε θέρη, θα είμαι: F' Dx . Τξ έογξ W ςηπ δύμαμηπ F' απξθηκεύεςαι χπ δσμαμική εμέογεια U ρςξ ρύρςημα. Δπξμέμχπ, η δσμαμική εμέογεια ςαλάμςχρηπ ιρξύςαι με ςξ έογξ ςηπ δύμαμηπ πξσ ποέπει μα αρκηθεί για μα μεςακιμηθεί ςξ ρώμα από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ, ρςη θέρη πξσ απέυει απόρςαρη x από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ. Ο σπξλξγιρμόπ ασςξύ ςξσ έογξσ γίμεςαι από ςη γοατική παοάρςαρη F'=f(x), επειδή η F’ είμαι μεςαβληςή δύμαμη. Tξ εμβαδόμ ςηπ επιτάμειαπ (ςοιγώμξσ) μεςανύ ςξσ διαγοάμμαςξπ και ςξσ άνξμα x είμαι αοιθμηςικά ίρξ με ςξ έογξ ςηπ δύμαμηπ F':

21 1U W x Dx U Dx

2 2

(η απόδεινη βοίρκεςαι και ρςη ρελ. 13 ςξσ Συξλικξύ Βιβλίξσ)

F'

x

Dx

x

W

9

Δρώτηση 8.

Τξ διάγοαμμα ςξσ ρυήμαςξπ παοιρςάμει ςη μεςαβξλή ςξσ τξοςίξσ εμόπ ξπλιρμξύ ςξσ πσκμχςή ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ ρε έμα ιδαμικό κύκλχμα LC πξσ εκςελεί αμείχςη ηλεκςοική ςαλάμςχρη.

Τα ρημεία ςξσ διαγοάμμαςξπ πξσ αμςιποξρχπεύξσμ υοξμικέπ ρςιγμέπ, ρςιπ ξπξίεπ η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα είμαι αομηςική, είμαι ςα ενήπ:

α) Α, Β και Γ.

β) Γ και Δ.

γ) Β και Δ.


Λύρη

Η ρχρςή απάμςηρη είμαι ςξ β.

Α' ςοόπξπ:

Συεδιάζξσμε ςιπ γοατικέπ παοαρςάρειπ q=f(t) και i=f(t) (η μξοτή ςχμ γοατικώμ παοαρςάρεχμ ποξκύπςει από ςη ρελ. 15 ςξσ Συξλικξύ Βιβλίξσ). Από ςημ αμςιρςξίυιρη ςχμ διαγοαμμάςχμ ποξκύπςει όςι η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ είμαι αομηςική μόμξ ρςα ρημεία Γ και Δ.

10

Β' ςοόπξπ:

Από ςξμ ξοιρμό dq

idt

ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ ποξκύπςει όςι η κλίρη ςηπ γοατικήπ

παοάρςαρηπ ςηπ ρσμάοςηρηπ q=f(t) ρςξ διάγοαμμα q-t δίμει ςη ρςιγμιαία ςιμή ςηπ

έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ. Από ςξ διάγοαμμα q-t ταίμεςαι όςι η κλίρη είμαι αομηςική μόμξ

ρςα ρημεία Γ και Δ.

11

Δρώτηση 9.

Διαθέςξσμε δύξ κσκλώμαςα ηλεκςοικώμ ςαλαμςώρεχμ, ςα Α και Β. Οι υχοηςικόςηςεπ ςχμ πσκμχςώμ ρςα δύξ κσκλώμαςα είμαι ίρεπ. Σςξ ρυήμα παοιρςάμεςαι η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ ρςα κσκλώμαςα Α και Β, ρε ρσμάοςηρη με ςξ υοόμξ.

Αμ η ξλική εμέογεια ςξσ κσκλώμαςξπ Α είμαι E , η ξλική εμέογεια ςξσ κσκλώμαςξπ Β είμαι

α) 4E

9.

β) 2E

3.

γ) 9E

4.


Λύρη


Από ςξ ρυήμα ταίμεςαι όςι ςα πλάςη ςχμ εμςάρεχμ ςξσ οεύμαςξπ ρςα δύξ κσκλώμαςα

είμαι ίρα: A BI I .

Δπίρηπ, από ςξ ρυήμα ταίμεςαι πχπ για ςιπ πεοιόδξσπ ςαλάμςχρηπ ιρυύει όςι:

A B3T 2T A B B A

93 2 L C 2 2 L C L L

4

Η ξλική εμέογεια ςξσ κσκλώμαςξπ Α δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: 2

A A

1E L I

2

Η ξλική εμέογεια ςξσ κσκλώμαςξπ Β δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: 2

B B B

1E L I

2

Θέςξμςαπ B A

9L L

4 και επειδή A BI I έυξσμε:

2 2

B A A B A A

1 9 9 1E L I E L I

2 4 4 2 B

9EE

4

i

12


13

Δρώτηση 10.

Σςξ κύκλχμα ςξσ ρυήμαςξπ, αουικά ξ διακόπςηπ Δ είμαι κλειρςόπ, ξ πσκμχςήπ είμαι ατόοςιρςξπ και ςξ κύκλχμα διαοοέεςαι από ρςαθεοό οεύμα:

Όςαμ αμξίνξσμε ςξ διακόπςη, ξ πσκμχςήπ

α) θα παοαμείμει ατόοςιρςξπ.

β) θα τξοςιρςεί, με ςξμ ξπλιρμό Κ μα απξκςά ποώςξπ θεςικό τξοςίξ.

γ) θα τξοςιρςεί, με ςξμ ξπλιρμό Λ μα απξκςά ποώςξπ θεςικό τξοςίξ.


Λύρη

Σχρςή απάμςηρη είμαι η γ.

Όςαμ αμξίνξσμε ςξ διακόπςη, ςξ πημίξ και ξ πσκμχςήπ δημιξσογξύμ έμα κύκλχμα LC, με ςξμ πσκμχςή αουικά ατόοςιρςξ και ςξ πημίξ μα διαοοέεςαι από οεύμα έμςαρηπ i I , ίδιαπ τξοάπ με ςξ αουικό, λόγχ ςξσ ταιμξμέμξσ ςηπ ασςεπαγχγήπ. Τξ κύκλχμα LC νεκιμά ηλεκςοική ςαλάμςχρη, με ςημ έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα μα μειώμεςαι και ςξμ πσκμχςή μα τξοςίζεςαι. Δπειδή η τξοά ςξσ οεύμαςξπ είμαι η ρσμβαςική τξοά, δηλαδή η τξοά κίμηρηπ θεςικώμ τξοςίχμ, ξ ξπλιρμόπ πξσ θα τξοςιρςεί ποώςξπ θεςικά είμαι ξ ξπλιρμόπ Λ.

(βλ. ρελ. 14-17 και αρκ. 1.49 ςξσ Συξλικξύ Βιβλίξσ)

Λ Κ

14

Δρώτηση 11.

Τξ πλάςξπ A μιαπ τθίμξσραπ ςαλάμςχρηπ μεςαβάλλεςαι με ςξ υοόμξ t ρύμτχμα με ςη

ρυέρη t

0A A e , όπξσ 0A ςξ αουικό πλάςξπ και μια θεςική ρςαθεοά. Ο

απαιςξύμεμξπ υοόμξπ μέυοι ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ μα γίμει 0A

2 είμαι

α) ln 2

2.

β) ln 2

.

γ) 2ln 2

.


Λύρη


Θέςξσμε 0AA

2 ρςη ρυέρη

t

0A A e :

t t t t00 0

A 1 1A A e A e e ln ln e

2 2 2

ln 2 t ln 2

t


15

Δρώτηση 12.

Σε μια τθίμξσρα ςαλάμςχρη όςαμ ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι A η εμέογεια ςηπ

ςαλάμςχρηπ είμαι E . Όςαμ η εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ γίμει E

2, ςξ πλάςξπ ςηπ

ςαλάμςχρηπ θα είμαι

α) A

4.

β) A

2.

γ) A 2

2.


Λύρη

Η ρχρςή απάμςηρη είμαι ςξ γ.

Με υοήρη ςηπ ρυέρηπ 21

E DA2

και με διαίοερη καςά μέλη, έυξσμε:

22

2

2

1DAE A22 2 A

1 2DA

2 2

A 2

A2

(βλ. ρελ. 13 & 18 ςξσ Συξλικξύ Βιβλίξσ)

16

Δρώτηση 13.

Έμα μηυαμικό ρύρςημα εκςελεί τθίμξσρα ςαλάμςχρη. Κάπξια ρςιγμή, ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι Α και η εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι Δ. Όςαμ ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ μειχθεί καςά 50%, η εμέογεια πξσ έυει απξμείμει ρςξ ρύρςημα είμαι

α) 0,75 .

β) 0,5 .

γ) 0,25 .


Λύρη


Όςαμ ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ μειχθεί καςά 50%, θα ιρυύει όςι A

A '2

.

Η εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: 21

E DA2

. Για ςημ εμέογεια E ' πξσ

έυει απξμείμει ρςξ ρύρςημα, έυξσμε:

2 22 21 1 A 1 A 1 1

E ' DA' E ' D E ' D E ' DA2 2 2 2 4 4 2

E' 0,25E

(βλ. ρελ. 13 & 18-20 ςξσ Συξλικξύ Βιβλίξσ)

17

Δρώτηση 14.

Η ρταίοα Σ είμαι αμαοςημέμη ρε ιδαμικό ελαςήοιξ και εκςελεί τθίμξσρα ςαλάμςχρη ρςξ ερχςεοικό ςξσ δξυείξσ. Με ςη υοήρη μιαπ αεοαμςλίαπ μειώμξσμε πξλύ αογά ςημ πίερη ςξσ αέοα ρςξ δξυείξ. Από ςη ρςιγμή πξσ ρςαμαςά η λειςξσογία ςηπ αεοαμςλίαπ, ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςηπ ρταίοαπ Σ ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ

α) ασνάμεςαι.

β) παοαμέμει ρςαθεοό.

γ) μειώμεςαι.


Λύρη



Μεςά ςξ ρςαμάςημα ςηπ λειςξσογίαπ ςηπ αεοαμςλίαπ ρςξ δξυείξ ενακξλξσθεί μα σπάουει

μια πξρόςηςα αέοα. Ο αέοαπ ποξκαλεί δύμαμη πξσ αμςιςίθεςαι ρςημ κίμηρη, επξμέμχπ,

ποξκαλεί απόρβερη και ελάςςχρη ςξσ πλάςξσπ.

18

Δρώτηση 15.

Έμα ρώµα µάζαπ m είμαι κοεμαρμέμξ από ελαςήοιξ ρςαθεοάπ k και εκςελεί

εναμαγκαρμέμη ςαλάμςχρη πλάςξσπ 1A και ρσυμόςηςαπ 1f , μικοόςεοηπ από ςημ

ιδιξρσυμόςηςα 0f ςξσ ρσρςήμαςξπ. Για μα γίμει ςξ πλάςξπ ςηπ εναμαγκαρμέμηπ

ςαλάμςχρηπ μεγαλύςεοξ ςξσ 1A , ποέπει η ρσυμόςηςα f ςξσ διεγέοςη

α) μα ασνηθεί και μα πληριάρει ςημ ςιμή 0f .

Β) μα μειχθεί.

γ) μα ασνηθεί και μα νεπεοάρει καςά πξλύ ςημ ςιμή 0f .


Λύρη

Η ρχρςή απάμςηρη είμαι ςξ α.

Σςξ ρυήμα ταίμεςαι η ενάοςηρη ςξσ πλάςξσπ μιαπ εναμαγκαρμέμηπ ςαλάμςχρηπ από ςη ρσυμόςηςα ςξσ διεγέοςη:

Η ρσυμόςηςα 0f αμςιρςξιυεί ρςη ρσυμόςηςα ρσμςξμιρμξύ, δηλαδή, ρςη ρσυμόςηςα ρςημ

ξπξία μεγιρςξπξιείςαι ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ. Όπχπ ταίμεςαι, επειδή 1 0f f , για μα

γίμει ςξ πλάςξπ ςηπ εναμαγκαρµέμηπ ςαλάμςχρηπ µεγαλύςεοξ ςξσ 1A , ποέπει η

ρσυμόςηςα f ςξσ διεγέοςη μα ασνηθεί και μα πληριάρει ςημ ςιμή 0f , δηλαδή, ςξ ρύρςημα

μα πληριάρει ρςημ καςάρςαρη ρσμςξμιρμξύ.


19

Δρώτηση 16.

Τξ ρώμα μάζαπ m ςξσ ρυήμαςξπ εκςελεί εναμαγκαρμέμη ςαλάμςχρη μέρα ρε δξυείξ πξσ πεοιέυει αέοα σπό πίερη, από ςξμ ξπξίξ δέυεςαι δύμαμη ςηπ μξοτήπ

F' b με b =ρςαθ. Αμ ασνηθεί η πίερη ςξσ αέοα ρςξ δξυείξ, με απξςέλερμα μα σπάονει μια μικοή αύνηρη ςηπ ρςαθεοάπ b, ςξ ρώμα θα εκςελέρει:

α) τθίμξσρα ςαλάμςχρη.

β) αμείχςη ςαλάμςχρη μικοόςεοξσ πλάςξσπ.

γ) απεοιξδική κίμηρη.


Λύρη


Η ενάοςηρη ςξσ πλάςξσπ μιαπ εναμαγκαρμέμηπ ςαλάμςχρηπ από ςη ρσυμόςηςα f ςξσ διεγέοςη, καθώπ και από ςη ρςαθεοά απόρβερηπ b, ταίμεςαι ρςξ παοακάςχ ρυήμα:

Αμ ασνηθεί η πίερη ςξσ αέοα ρςξ δξυείξ, ασνάμεςαι η ρςαθεοά απόρβερηπ b. Για μια ρσγκεκοιμέμη ρσυμόςηςα f, ςξ ρύρςημα μεςαβαίμει από ςημ καςάρςαρη Κ ςξσ ρυήμαςξπ, ρςημ καςάρςαρη Λ. Δπξμέμχπ, θα μειχθεί ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ, ρε ρυέρη με ςξ ποξηγξύμεμξ. Όμχπ ςξ μέξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ θα παοαμέμει ρςαθεοό ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ, διόςι η ςαλάμςχρη είμαι εναμαγκαρμέμη.


20

Δρώτηση 17.

Σε έμα κύκλχμα LC με αμςιρςάςη και πηγή εμαλλαρρόμεμηπ ςάρηπ, ςξ πλάςξπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ ρε ρσμάοςηρη με ςη ρσυμόςηςα f ςηπ εμαλλαρρόμεμηπ ςάρηπ δίμεςαι ρςξ παοακάςχ διάγοαμμα:

Όςαμ η ρσυμόςηςα f είμαι ίρη με 1

LC, ςξ πλάςξπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ είμαι 1I .

Μεςαβάλλξσμε ςη ρσυμόςηςα f. Για μα ναμαγίμει ςξ πλάςξπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ ίρξ

με 1I , ποέπει η ρσυμόςηςα ςηπ εμαλλαρρόμεμηπ ςάρηπ μα γίμει

α) μεγαλύςεοη από 1

LC

β) ίρη με 1

2 LC

γ) μικοόςεοη από 1

2 LC


Λύρη



Τξ πλάςξπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ παίομει ςη μέγιρςη ςιμή όςαμ η ρσυμόςηςα ςηπ εμαλλαρρόμεμηπ ςάρηπ (διεγέοςηπ) γίμει ίρη με ςη ρσυμόςηςα ςηπ ελεύθεοηπ ηλεκςοικήπ

ςαλάμςχρηπ (ιδιξρσυμόςηςα): 0

1f f

2 LC

(ρσμςξμιρμόπ).

Σςξ ρυήμα ταίμεςαι η ρσυμόςηςα ρσμςξμιρμξύ 0f f , η αουική ρσυμόςηςα

1

1f f

LC

, για ςημ ξπξία ςξ πλάςξπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ είμαι ίρξ με 1I και η

ρσυμόςηςα 2f , για ςημ ξπξία ςξ πλάςξπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ γίμεςαι ναμά ίρξ με 1I

.

21

Παοαςηοξύμε όςι η ρσυμόςηςα 2f είμαι μικοόςεοη από ςημ 0f , δηλαδή μικοόςεοη από

1

2 LC.

22

Δρώτηση 18.

Έμα ρώμα εκςελεί κίμηρη πξσ ποξέουεςαι από ςη ρύμθερη δύξ απλώμ αομξμικώμ

ςαλαμςώρεχμ πξσ πεοιγοάτξμςαι από ςιπ ενιρώρειπ: 1x 0,01 100 t

και

2x 0,01 102 t (SI). Οι δύξ ςαλαμςώρειπ γίμξμςαι γύοχ από ςξ ίδιξ ρημείξ και ρςημ

ίδια διεύθσμρη. Η ενίρχρη ςηπ ςαλάμςχρηπ πξσ εκςελεί ςξ ρώμα δίμεςαι από ςη ρυέρη

α) x 0,02 ( t) 101 t (SI)

β) x 0,02 2 t 101 t (SI)

γ) x 0,02 101 t (SI)


Λύρη

Η ρχρςή απάμςηρη είμαι η α.

Οι δύξ ςαλαμςώρειπ είμαι ςηπ μξοτήπ 1 1x A t και 2 2x A t , με 1

rad100

s ,

2

rad102

s και A 0,01m . Η απξμάκοσμρη ςξσ ρώμαςξπ λόγχ ςηπ ρύμθερηπ ασςώμ

ςχμ ςαλαμςώρεχμ δίμεςαι από ςξμ ςύπξ:

1 2 1 2x 2A t t2 2

Με αμςικαςάρςαρη έυξσμε:

1 2 1 2x 2A t t2 2

x 0,02 t 101 t (SI)


23

Δρώτηση 19.

Έμα ρώμα εκςελεί κίμηρη πξσ ποξέουεςαι από ςη ρύμθερη ςχμ απλώμ αομξμικώμ

ςαλαμςώρεχμ 1x 0,04 400 t και 2x 0,04 404 t (SI). Οι δύξ ςαλαμςώρειπ

γίμξμςαι γύοχ από ςξ ίδιξ ρημείξ και ρςημ ίδια διεύθσμρη. Τη υοξμική ρςιγμή 1t ςξ

πλάςξπ ςηπ κίμηρηπ πξσ εκςελεί ςξ ρώμα είμαι 0,08 m . Τξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ

ρώμαςξπ θα μηδεμιρςεί για ποώςη τξοά ςη υοξμική ρςιγμή

α) 1t 0,25 s .

β) 1t 0,5 s .

γ) 1t 1s .


Λύρη

Η ρχρςή απάμςηρη είμαι ςξ α.

Η κίμηρη ςξσ ρώμαςξπ παοξσριάζει διακοξςήμαςα επειδή ξι γχμιακέπ ρσυμόςηςεπ

διατέοξσμ ελάυιρςα. Οι ςαλαμςώρειπ 1x 0,04 400 t και 2x 0,04 404 t έυξσμ

πλάςξπ ςαλάμςχρηπ A 0,04 m . Τη υοξμική ρςιγμή 1t ςξ πλάςξπ ςηπ κίμηρηπ πξσ

εκςελεί ςξ ρώμα είμαι 0,08 m 2A , δηλαδή είμαι μέγιρςξ. Δπξμέμχπ, ςξ πλάςξπ ςηπ

κίμηρηπ ςξσ ρώμαςξπ θα μηδεμιρςεί για ποώςη τξοά μεςά από υοόμξ ίρξ με ςξ μιρό ςηπ

πεοιόδξσ T ςχμ διακοξςημάςχμ:

2 1

Tt t

2

(1)

Υπξλξγίζξσμε ςημ πεοίoδξ T ςχμ διακοξςημάςχμ (βλ. ρελ. 28 ςξσ Συξλικξύ Βιβλίξσ):

1 2

2 2 2 1T T T T s

400 404 4 2

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ (1) έυξσμε: 2 1t t 0,25 s

24

Δρώτηση 20.

Τξ ρώμα Σ ςξσ ρυήμαςξπ εκςελεί ςασςόυοξμα δύξ απλέπ αομξμικέπ ςαλαμςώρειπ ίδιαπ

διεύθσμρηπ, γύοχ από ςξ ίδιξ ρημείξ, με πεοιόδξσπ 1T και 2T , με απξςέλερμα η κίμηρή

ςξσ μα παοξσριάζει διακοξςήμαςα.

Ο υοόμξπ μεςανύ δύξ διαδξυικώμ μηδεμιρμώμ ςξσ πλάςξσπ ςηπ ςαλάμςχρηπ πξσ θα εκςελέρει ςξ ρώμα είμαι ίρξπ με

α) 1 2

1 2

T T

T T.

β) 1 2T T

2

.

γ) 1 2T T .


Λύρη

Η ρχρςή απάμςηρη είμαι η α.

Ο υοόμξπ μεςανύ δύξ διαδξυικώμ μηδεμιρμώμ ςξσ πλάςξσπ ςηπ ςαλάμςχρηπ, πξσ θα εκςελέρει ςξσ ρώμα, ξμξμάζεςαι πεοίξδξπ ςχμ διακοξςημάςχμ και δίμεςαι από ςξμ ςύπξ

1 2

1T

f f

.


Θέςξμςαπ 1

1

1f

T και 2

2

1f

T έυξσμε:

2 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1T T T

T T T T1 1

T T T T T T T T

1 2

1 2

T TT

T T

25

Δρώτηση 21.

Έμα ρώμα εκςελεί κίμηρη πξσ ξτείλεςαι ρςη ρύμθερη δύξ απλώμ αομξμικώμ ςαλαμςώρεχμ ίδιαπ διεύθσμρηπ, πξσ γίμξμςαι γύοχ από ςξ ίδιξ ρημείξ, με ςξ ίδιξ πλάςξπ A και ρσυμόςηςεπ f1 και f2 πξσ διατέοξσμ λίγξ μεςανύ ςξσπ. Σςξ υοξμικό διάρςημα μεςανύ δύξ διαδξυικώμ μηδεμιρμώμ ςξσ πλάςξσπ, ςξ ρώμα έυει διέλθει από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ

α) 1 2

1 2

f f

2 f f

τξοέπ.

β) 1 2

1 2

f f

f f

τξοέπ.

γ) 1 2

1 2

2(f f )

f f

τξοέπ.


Λύρη


Τξ υοξμικό διάρςημα μεςανύ δύξ διαδξυικώμ μηδεμιρμώμ ςξσ πλάςξσπ ξμξμάζεςαι πεοίξδξπ ςχμ διακοξςημάςχμ και δίμεςαι από ςξμ ςύπξ:

1 2

1

f f

Η γχμιακή ρσυμόςηςα ςηπ ςαλάμςχρηπ δίμεςαι από ςξμ ςύπξ:

1 2

2

Η πεοίξδξπ Τ ςηπ ςαλάμςχρηπ βοίρκεςαι από ςξμ ςύπξ 2

T

:

1 2 1 2 1 2

2 4 4 2T T T T

2 (f f ) f f

Ο αοιθμόπ N ςχμ ςαλαμςώρεχμ πξσ γίμξμςαι ρε υοόμξ ίρξ με ςημ πεοίξδξ ςχμ διακοξςημάςχμ είμαι:

1 2 1 2

1 2

1 2

1

f fT f fN N N

2 2 f f

f f

Δπειδή ρε κάθε ςαλάμςχρη ςξ ρώμα διέουεςαι 2 τξοέπ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ, ξ

αοιθμόπ N ςχμ διελεύρεχμ από ςη θέρη ιρξοξπίαπ ρςξ υοξμικό διάρςημα μεςανύ δύξ

διαδξυικώμ μηδεμιρμώμ ςξσ πλάςξσπ θα είμαι:

26

N 2 1 2

1 2

f fN

f f


27

Δρώτηση 22.

Τξ ρυήμα παοξσριάζει ςιπ απλέπ αομξμικέπ ςαλαμςώρειπ 1, 2 και 3, ξι ξπξίεπ γίμξμςαι ρςημ ίδια διεύθσμρη, γύοχ από ςξ ίδιξ ρημείξ.

Αμ γμχοίζεςε όςι έμα ρώμα εκςελεί κίμηρη πξσ ποξέουεςαι από ςη ρύμθερη δύξ ςαλαμςώρεχμ από ασςέπ ςόςε η ςαλάμςχρη πξσ πεοιγοάτει ςημ κίμηρη ςξσ ρώμαςξπ είμαι

α) η ςαλάμςχρη 1.

β) η ςαλάμςχρη 2.

γ) η ςαλάμςχρη 3.


Λύρη


Από ςξ ρυήμα ταίμεςαι πχπ ξι απλέπ αομξμικέπ ςαλαμςώρειπ 1, 2 και 3 έυξσμ ίδια πεοίξδξ, επξμέμχπ έυξσμ ίδια ρσυμόςηςα.

Η ςαλάμςχρη 1 είμαι ςηπ μξοτήπ 1 1x A t

Η ςαλάμςχρη 2 είμαι ςηπ μξοτήπ 2 2 2 2x A ( t ) x A t

Η ςαλάμςχρη 3 είμαι ςηπ μξοτήπ 3 3x A t

Από ςξ ρυήμα ταίμεςαι όςι: 3 1 2 3 1 2A A A A t A t A t

3 1 2A t A t ( A t) 3 1 2x x x

Δπξμέμχπ, η ςαλάμςχρη πξσ πεοιγοάτει ςημ κίμηρη ςξσ ρώμαςξπ είμαι η ςαλάμςχρη 3.

28

Δρώτηση 23.

Από ςη ρύμθερη δύξ απλώμ αομξμικώμ ςαλαμςώρεχμ, πξσ ξι ρσυμόςηςέπ ςξσπ f1 και f2

(f2>f1) διατέοξσμ πξλύ λίγξ, ποξκύπςει η ιδιόμξοτη πεοιξδική κίμηρη ςξσ ρυήμαςξπ.

Αμ η ρσυμόςηςα f1 ιρξύςαι με 29 Hz, η ρσυμόςηςα ςηπ πεοιξδικήπ κίμηρηπ ιρξύςαι με

α) 31Hz .

β) 30Hz .

γ) 2Hz .


Λύρη


Από ςξ ρυήμα σπξλξγίζξσμε ςημ πεοίξδξ ςχμ διακοξςημάςχμ:

T 0,75s 0,25s T 0,5 s

Δπξμέμχπ, η ρσυμόςηςα ςχμ διακοξςημάςχμ θα είμαι:

1f f 2 Hz

T

και επειδή 2 1f f f και 2 1f f :

2 1 2 2f f 2 f 29 2 f 31Hz

Η ρσυμόςηςα ςηπ πεοιξδικήπ κίμηρηπ σπξλξγίζεςαι χπ ενήπ:

1 2 1 2 1 22 f 2 f f f2 f f f 30 Hz

2 2 2

29

Δρώτηση 24.

Έμα ρώμα εκςελεί ςαλάμςχρη πξσ ποξέουεςαι από ςη ρύμθερη δύξ απλώμ αομξμικώμ ςαλαμςώρεχμ ίδιαπ ρσυμόςηςαπ πξσ γίμξμςαι ρςημ ίδια διεύθσμρη γύοχ από ςξ ίδιξ ρημείξ. Όςαμ ςξ ρώμα εκςελεί μόμξ ςημ ποώςη ςαλάμςχρη, η εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ

είμαι 1E 2 J . Όςαμ ςξ ρώμα εκςελεί μόμξ ςη δεύςεοη ςαλάμςχρη, η εμέογεια ςηπ

ςαλάμςχρηπ είμαι 2E 8 J . Όςαμ ςξ ρώμα εκςελεί ςασςόυοξμα ςιπ δύξ απλέπ αομξμικέπ

ςαλαμςώρειπ, η εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι E 10 J . Η διατξοά τάρηπ ςχμ δύξ

ςαλαμςώρεχμ είμαι ίρη με

α) 030 .

β) 090 .

γ) 060 .


Λύρη


Η ρύμθερη δύξ απλώμ αομξμικώμ ςαλαμςώρεχμ ςηπ ίδιαπ ρσυμόςηςαπ, πξσ γίμξμςαι γύοχ από ςξ ίδιξ ρημείξ ρςημ ίδια διεύθσμρη, είμαι απλή αομξμική ςαλάμςχρη με

πλάςξπ 2 2

1 2 1 2A A A 2A A , όπξσ 1A , 2A είμαι ςα πλάςη ςχμ αομξμικώμ

ςαλαμςώρεχμ και είμαι η διατξοά τάρηπ ςξσπ. Έυξσμε:

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2A A A 2A A A A A 2A A

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1DA DA DA D 2A A E E E DA A

2 2 2 2

1 2

1 2 1 2

E E E 10J 2J 8J0

DA A DA A 2


30

Δρώτηση 25.

Δύξ απλξί αομξμικξί ςαλαμςχςέπ Α και Β με ρςαθεοέπ επαματξοάπ DA και DB αμςίρςξιυα, με DA > DB , εκςελξύμ αμείχςεπ αομξμικέπ ςαλαμςώρειπ και έυξσμ ςημ ίδια μέγιρςη κιμηςική εμέογεια. O μέγιρςξπ οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ είμαι

α. μεγαλύςεοξπ ρςξμ ςαλαμςχςή Α.

β. μεγαλύςεοξπ ρςξμ ςαλαμςχςή Β.

γ. ίρξπ και ρςξσπ δύξ ςαλαμςχςέπ.


Λύρη

Σχρςή απάμςηρη είμαι η (α).

O μέγιρςξπ οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ είμαι η μέγιρςη δύμαμη,

max

max

F .Γt

ΔPD A

Άοα, A,max A A

B B

B,max

ΓP

Γt D A

ΓP D A

Γt

(1)

Οι δύξ ςαλαμςχςέπ έυξσμ ςημ ίδια μέγιρςη κιμηςική εμέογεια, δηλαδή ςημ ίδια ξλική εμέογεια:

1 2E E , άοα

22 2 A B

A A B B B A2

B A

D A1 1D A D A 1 A A

2 2 D A

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) ποξκύπςει:

1

2

A,max B A B

2

A,max B,maxA B A

B,max

ΔP

Δt A A A ΔP ΔP = =

ΔP A A A Δt Δt

Δt

.

31

Δρώτηση 26.

Έμα ρώμα νεκιμά μα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη ςη υοξμική ρςιγμή t=0 από ςη

θέρη A

x2

με καςεύθσμρη ποξπ ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ. Η τάρη ςηπ

ςαλάμςχρηπ όςαμ ςξ ρώμα εκςελέρει μια πλήοη ςαλάμςχρη είμαι

α. 8π

rad3

.

β. 23π

rad6

.

γ. 19π

rad6

.


Λύρη

Σχρςή απάμςηρη είμαι η (β).

Δπειδή ςη υοξμική ρςιγμή t=0 ςξ ρώμα δεμ διέουεςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ η

ςαλάμςχρη έυει αουική τάρη τ0 και μεςά από μια πλήοη ςαλάμςχρη η τάρη ςηπ θα

είμαι: 0 0 0

2πθ σt θ Τ θ θ 2π θ

Τ (1)

Ποέπει μα σπξλξγίρξσμε ςη τ0.

Η ενίρχρη ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρώμαςξπ δίμεςαι από ςη ρυέρη:

x=Aημ(χt+τ0). Για t=0 δίμεςαι A

x2

, ξπόςε έυξσμε

0AA

2εκθ 0εκθ

1

2

0

0 0

2π

θ 0

0 θ

7π 7π2θπ 2

6 6

11π 11π2θπ

θ θ

36 6

.

Τξ ρώμα κιμείςαι ποξπ ςη θέρη ιρξοοξπίαπ, άοα η ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ είμαι θεςική.

Έςρι κάμξσμε δεκςή ςη δεύςεοη λύρη, πξσ δίμει σ=σmaxρσμ(χt+τ0) > 0.

Έςρι, η αουική τάρη ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι τ0 =11π

6rad.

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) ποξκύπςει

11π 23πθ 2π θ

6 6 rad.

32

Δρώτηση 27.

Έμα ρώμα νεκιμά μα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη ςη υοξμική ρςιγμή t=0 και ςη

υοξμική ρςιγμή t=Τ/8 ξ οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςξσ γίμεςαι μέγιρςξπ. Η αουική

τάρη 0θ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι

α. 5π

rad4

.

β. π

rad6

.

γ. 7π

rad4

.


Λύρη


Ο οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςξσ ρώμαςξπ είμαι η ρσμξλική δύμαμη πξσ δέυεςαι,

ΓPF D x

Γt και γίμεςαι μέγιρςξπ ρςη θέρη x=-A. Σςξ +Α η δύμαμη επαματξοάπ και

ξ οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ είμαι αομηςικξί.

Η ενίρχρη ςαλάμςχρηπ εμόπ ρώμαςξπ δίμεςαι από ςη ρυέρη: x=Aημ(χt+τ0).

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ ενίρχρη t= Τ/8 και x=-A βοίρκξσμε ςημ αουική τάρη ςηπ

ςαλάμςχρηπ.

0 0 0

2π Τ π 3πA Aεκ θ 1 2θπ

Τ 8 4 2

πεκ θ θ

4

.

Για κ=0 παίομξσμε 0θ5π

4 rad.

33

Δρώτηση 28.

Τα δύξ ρώμαςα Σ1 και Σ2 έυξσμ μάζεπ m και 2m αμςίρςξιυα, είμαι δεμέμα ρςα άκοα δύξ

ελαςηοίχμ με ρςαθεοέπ k και k

2, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα. Τα δύξ ρώμαςα εκςελξύμ

απλέπ αομξμικέπ ςαλαμςώρειπ με ίρεπ μέγιρςεπ επιςαυύμρειπ.

Για ςιπ ξλικέπ εμέογειεπ ςχμ ςαλαμςώρεχμ Δ1 και Δ2 ιρυύει

α. Δ2 = Δ1

β. Δ2=4 Δ1

γ. Δ2=8 Δ1


Λύρη

Σχρςή απάμςηρη είμαι η (γ).

Για ςιπ ξλικέπ εμέογειεπ ςχμ ςαλαμςώρεχμ Δ1 και Δ2 ιρυύει

2

1 1

1E k A

2 και

2

2 2

1 kE A

2 2

Τα δύξ ρώμαςα Σ1 και Σ2 έυξσμ ίρεπ μέγιρςεπ επιςαυύμρειπ,

2 2

1,max 2,max 1 1 22

1 2 1 2 12

k k / 2α α σ Α σ Α 4

m

ΑΑ Α Α

2mΑ Α

4

Οπόςε με αμςικαςάρςαρη ρςημ Δ2 παίομξσμε

2 2 2

2 2 1 1 2 1

1 k 1 k 1Δ A (4A ) 8 k A E E

2 2 2 28

2 .

m

Σ1

k 2m

Σ2

k/2

34

Δρώτηση 29.

Έμα ρώμα μάζαπ m είμαι δεμέμξ και ιρξοοξπεί ρςξ κάςχ άκοξ καςακόοστξσ ιδαμικξύ

ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k1 ςξσ ξπξίξσ ςξ πάμχ άκοξ είμαι ρςεοεχμέμξ ρε ακλόμηςξ ρημείξ.

Απξμακούμξσμε ςξ ρώμα καςακόοστα ποξπ ςα πάμχ μέυοι ςη θέρη ςξσ τσρικξύ μήκξσπ

ςξσ ελαςηοίξσ και ςξ ατήμξσμε ελεύθεοξ μα κάμει ςαλάμςχρη. Δπαμαλαμβάμξσμε ςξ

ίδιξ πείοαμα με έμα άλλξ ελαςήοιξ ρςαθεοάπ k2 = 4k1. Οι γοατικέπ παοαρςάρειπ ςχμ

κιμηςικώμ εμεογειώμ ςχμ δύξ ςαλαμςώρεχμ ρε ρσμάοςηρη με ςημ απξμάκοσμρη από ςη

θέρη ιρξοοξπίαπ, ταίμξμςαι ρςξ διάγοαμμα ςξσ ρυήμαςξπ

α. (Ι)

β. (ΙΙ)

γ. (ΙΙΙ)


Λύρη


Τα διαγοάμμαςα διατξοξπξιξύμςαι ρςα πλάςη

ςαλάμςχρηπ και ρςιπ εμέογειεπ ςαλάμςχρηπ.

Τξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ θα είμαι ίρξ με ςημ

απόρςαρη ςηπ θέρηπ τσρικξύ μήκξσπ ςξσ ελαςηοίξσ και

ςηπ θέρηπ ιρξοοξπίαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ, δηλαδή Α=d. Η

ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ δίμει:

ει

m gΣF 0 W F m g k d d

k

.

Άοα 1 1

1

m gA d

k

και

12 2 2

2 1

Am g m gA d A

k 4k 4

.

Η ρυέρη ασςή ικαμξπξιείςαι ρςα διαγοάμμαςα (Ι) και (ΙΙ).

d

m

Θ. Φ. Μ.

k

Θ. Ι.

Fελ

W

35

Η εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ ρςιπ δύξ πεοιπςώρειπ είμαι:

22 2

2

1 1 1 1

1 1

1 1 m g 1 m gE k d k

2 2 k 2 k

και

22 2 2 2

2 12 2 2 2 2

2 2 1

E1 1 m g 1 m g 1 m gE k d k E

2 2 k 2 k 2 4k 4

.

Άοα ρχρςό είμαι ςξ διάγοαμμα (Ι).

36

Δρώτηση 30.

Σε ιδαμικό κύκλχµα ηλεκςοικώμ ςαλαμςώρεχμ LC, ςη υοξμική ρςιγµή πξσ η ςάρη ςξσ

πσκμχςή είμαι η µιρή ςηπ μέγιρςηπ ςάρηπ ςξσ, η εμέογεια UB ςξσ µαγμηςικξύ πεδίξσ ςξσ

πημίξσ και η εμέογεια UΔ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχςή ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη

α. B EU 0,5U

β. B EU 0,25U

γ. B EU 3U


Λύρη


Η εμέογεια UΔ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχςή δίμεςαι από ςη ρυέρη EU =21

C V2

.

Η ςάρη ςξσ πσκμχςή V είμαι η µιρή ςηπ μέγιρςηπ ςάρηπ, Vmax, άοα :

2 22 max max

E E

V V1 1 1 EU C V C C U

2 2 2 2 4 4

.

Σύμτχμα με ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ ςηπ αμείχςηπ ηλεκςοικήπ ςαλάμςχρηπ

E B B E B E B E

E EE U U U E U E U 3 3U U 3U

4 4

37

Δρώτηση 31.

∆ύξ ιδαμικά κσκλώµαςα ηλεκςοικώμ ςαλαμςώρεχμ LC

έυξσμ ίρεπ ξλικέπ εμέογειεπ και για ςα μέγιρςα οεύμαςα

ιρυύει 1 2

3I Ι

2 . Σςξ διπλαμό διάγοαµµα παοιρςάμξμςαι

ξι µεςαβξλέπ ςχμ οεσµάςχμ πξσ διαοοέξσμ ςα δύξ

κσκλώµαςα ρε ρσμάοςηρη µε ςξ υοόμξ. Για ςιπ υχοηςικόςηςεπ ςχμ πσκμχςώμ C1 και C2

αμςίρςξιυα ιρυύει

α. 1 2C C .

β. 1 2

9C C

16 .

γ. 1 2

16C C

9


Λύρη


Από ςξ διάγοαμμα ποξκύπςει για ςιπ πεοιόδξσπ όςι Τ2=2Τ1.

Τα δύξ κσκλώµαςα έυξσμ ίρεπ ξλικέπ εμέογειεπ, Δ1=Δ2. Η ξλική εμέογεια ςχμ ηλεκςοικώμ

κσκλχμάςχμ ιρξύςαι με ςη μέγιρςη εμέογεια ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ, άοα 21

E L I2

.

Από ςη ρυέρη ςχμ εμεογειώμ ποξκύπςει:

2 2

1 2 1 1 2 2

1 1E E L I L I

2 2

2

2

1 2 2 2 1 2

1 3 1 9L Ι L I L L

2 2 2 4

.

Η ρυέρη με ςιπ πεοιόδξσπ μαπ δίμει

2 2 1 1 1 2 1 12 1

9T 2π L C 2 2π L C 2π L C 2 2π L C

42T

2 1 2 1 1 2

9C 2 C C 4C C C

4

9 9

4 16 .

38

Δρώτηση 32.

Τξ πλάςξπ μιαπ τθίμξσραπ ςαλάμςχρηπ δίμεςαι από ςη ρυέρη A=A0e−Λ t. Αμ με Α0 , Α1, Α2,

Α3, Α4 ρσμβξλίρξσμε διαδξυικά πλάςη ςηπ ςαλάμςχρηπ ποξπ ςημ ίδια καςεύθσμρη, ςόςε

ιρυύει η ρυέρη

α. 0 2

2 4

Α Α

Α Α .

β. 0 1

1 3

Α Α

Α Α

γ. 3 2

4 1

Α Α

Α Α


Λύρη


Α’ ςοόπξπ

Σςιπ τθίμξσρεπ ςαλαμςώρειπ, πξσ ςξ πλάςξπ δίμεςαι από ςη ρυέρη A=A0e−Λ t, για ςα

διαδξυικά πλάςη ιρυύει 0 31 2

1 2 3 4

Α ΑΑ Α

Α Α Α Α .

Από ςημ ποξηγξύμεμη ρειοά ρυέρεχμ επιλέγξσμε 2 ρυέρειπ:

0 30 4 1 3

1 4

Α ΑΑ Α Α A

Α Α (1) και

1 22 2 1 3

2 3

Α ΑΑ Α Α A

Α Α (2)

Τα δεύςεοα μέλη ςχμ ποξηγξύμεμχμ ρυέρεχμ είμαι ίρα, άοα και ςα ποώςα,

0 20 4 2 2

2 4

Α ΑΑ Α Α Α

Α Α .

Β’ ςοόπξπ

Θα δείνξσμε όςι η ρυέρη 0 2

2 4

Α Α

Α Α είμαι ρχρςή, με βάρη ςη ρυέρη A=A0e

−Λ t.

Σε υοόμξ t=2T ςξ πλάςξπ θα είμαι A2=A0e−Λ2Τ και ρε υοόμξ t=4T ςξ πλάςξπ θα είμαι

A4=A0e−Λ 4Τ. Άοα

39

Λ2Τ

Λ2Τ

0

2 0

0 0

2

Α Α Α

Α A Αe

e (3)

Λ2ΤΛ2Τ Λ4Τ Λ2Τ0

Λ4Τ

0

2 2 2

4 4 4

Α Α Α

Α Α

A ee e

A e Α

(4)

Τα δεύςεοα μέλη ςχμ ποξηγξύμεμχμ ρυέρεχμ είμαι ίρα, άοα και ςα ποώςα, άοα

0 2

2 4

Α Α

Α Α .

40

Δρώτηση 33.

Έμα ρώμα μάζαπ m είμαι ποξρδεμέμξ ρε ελαςήοιξ ρςαθεοάπ k και εκςελεί εναμαγκαρμέμη

ςαλάμςχρη. Η ρσυμόςηςα ςξσ διεγέοςη είμαι f = f0, όπξσ f0 η ιδιξρσυμόςηςα ςξσ

ρσρςήμαςξπ. Αμςικαθιρςξύμε ςη μάζα m ςξσ ρώμαςξπ με άλλη εμμιαπλάρια και

διαςηοξύμε ςη ρσυμόςηςα ςξσ διεγέοςη ρςαθεοή. Η παοαπάμχ μεςαβξλή ποξκαλεί

α. ςοιπλαριαρμό ςηπ ιδιξρσυμόςηςαπ και αύνηρη ςξσ πλάςξσπ ςαλάμςχρηπ ςξσ

ρσρςήμαςξπ.

β. σπξςοιπλαριαρμό ςηπ ιδιξρσυμόςηςαπ και μείχρη ςξσ πλάςξσπ ςαλάμςχρηπ ςξσ

ρσρςήμαςξπ.

γ. μόμξ μείχρη ςξσ πλάςξσπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρσρςήμαςξπ.


Λύρη


Η ιδιξρσυμόςηςα ςξσ ρσρςήμαςξπ δίμεςαι από ςη ρυέρη 0

1 D

2 k

k

f 1

πm2π

.

Aμ αμςικαςαρςήρξσμε ςη μάζα m ςξσ ρώμαςξπ με άλλη εμμιαπλάρια, m΄=9m, η μέα

ιδιξρσυμόςηςα θα είμαι

0

1 k 1 k 1 1 kf

2 2 3 2

π m π 9m π m ή 0 0

1f

3f

Δτόρξμ αουικά η ρσυμόςηςα ςξσ διεγέοςη ήςαμ ίρη με ςημ ιδιξρσυμόςηςα ςξσ ρσρςήμαςξπ

είυαμε ςξ ταιμόμεμξ ςξσ ρσμςξμιρμξύ και ςξ πλάςξπ ήςαμ μέγιρςξ, Α1. Με ςημ αλλαγή

ςηπ ιδιξρσυμόςηςαπ παύει η ρσυμόςηςα ςξσ διεγέοςη μα ιρξύςαι με ςη μέα ιδιξρσυμόςηςα,

με ρσμέπεια μα παύει ςξ ταιμόμεμξ ςξσ ρσμςξμιρμξύ, ξπόςε ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ

ελαςςώμεςαι και γίμεςαι Α2< Α1, όπχπ ταίμεςαι ρςξ παοακάςχ διάγοαμμα.

fo= fΔ

fΔ

A

fo΄= f0/3

A1

A2

41

Δρώτηση 34.

Έμα οαδιότχμξ είμαι ρσμςξμιρμέμξ ρε ρςαθμό ρσυμόςηςαπ 1000ΚΗz. Γσοίζξσµε ςξ

κξσµπί επιλξγήπ ςχμ ρςαθµώμ και μειώμξσμε ςη υχοηςικόςηςα ςξσ πσκμχςή καςά 36%.

O μέξπ ρςαθμόπ ρςξμ ξπξίξ θα ρσμςξμιρςεί ςξ οαδιότχμξ θα έυει ρσυμόςηςα

α. 1250ΚΗz.

β. 800ΚΗz.

γ. 1360ΚΗz.

Να δικαιξλξγήρεςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Λύρη


Η μέα υχοηςικόςηςα ςξσ πσκμχςή C2 ρε ρυέρη με ςημ ποξηγξύμεμη C1, θα είμαι

2 1 1 1

36C C C 0,64 C

100 .

Η παλιά ρσυμόςηςα ρσμςξμιρμξύ ήςαμ:

1

1

1f

2π L C και η μέα

2

2

10,64

1 1f

2π L C 2π L C ή 1

2

1000ΚΗz

0 8

f

,f

8 0, ή 2 125 zf 0ΚΗ .

42

Δρώτηση 35.

Έμα ρώμα εκςελεί ςαλάμςχρη πξσ ποξέουεςαι από ςη ρύμθερη δύξ απλώμ αομξμικώμ

ςαλαμςώρεχμ πξσ γίμξμςαι γύοχ από ςημ ίδια θέρη ιρξοοξπίαπ, ρςημ ίδια διεύθσμρη, με

ςξ ίδιξ πλάςξπ και ρσυμόςηςεπ f1,f2 πξσ διατέοξσμ λίγξ (f1<f2), ώρςε μα δημιξσογείςαι

διακοόςημα. Η μία αομξμική ςαλάμςχρη έυει ρσυμόςηςα f1=98 Hz και η πεοίξδξπ ςξσ

διακοξςήμαςξπ είμαι 0,25 sec. Μέρα ρε υοξμικό διάρςημα ίρξ με ςημ πεοίξδξ ςξσ

διακοξςήμαςξπ ςξ ρώμα εκςελεί

α. 25 ςαλαμςώρειπ.

β. 50 ςαλαμςώρειπ.

γ. 125 ςαλαμςώρειπ.


Λύρη


Η πεοίξδξπ ςξσ διακοξςήμαςξπ είμαι

Γ 2

2 1 2

0, 25s ff f f

1 1T 102Ηz.

98Hz

Η πεοίξδξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι ηαι

1 2ηαι

1 1 2Τ 0,01sec

f ff 200

2

Άοα ρε υοόμξ ίρξ με ςημ πεοίξδξ ςξσ διακοξςήμαςξπ ςξ ρώμα εκςελεί

Γ 0, 25sN 25

0,01Τ s

Τ

ςαλαμςώρειπ.

43

Δρώτηση 36.

Έμα ρώμα εκςελεί ςαλάμςχρη πξσ ποξέουεςαι από ςη ρύμθερη δύξ απλώμ αομξμικώμ

ςαλαμςώρεχμ πξσ γίμξμςαι γύοχ από ςημ ίδια θέρη ιρξοοξπίαπ, ρςημ ίδια διεύθσμρη και

η μία αομξμική ςαλάμςχρη πεοιγοάτεςαι από ςημ ενίρχρη x1 = 5ημ(10πt +π/2) ( S.I.).

Αμ ςξ απξςέλερμα ςηπ ρύμθερηπ ςχμ δύξ ςαλαμςώρεχμ είμαι x= 2ημ(10πt +π/2) ( S.I.),

ςόςε η δεύςεοη αομξμική ςαλάμςχρη πεοιγοάτεςαι από ςημ ενίρχρη

α. x2 =3ημ(10πt + π) ( S.I.).

β. x2 = 3ημ(10πt+π/2) ( S.I.).

γ. x2 =3ημ(10πt+3π/2) ( S.I.).


Λύρη


Η διατξοά τάρηπ θ ςηπ ρύμθεςηπ ςαλάμςχρηπ από ςημ ποώςη ςαλάμςχρη με ςημ

μικοόςεοη τάρη δίμεςαι από ςη ρυέρη:

2

1 2

Α εκε ζ

Α Α ζπλ

, όπξσ η διατξοά τάρηπ μεςανύ ςχμ δύξ ρσμιρςχρώμ

ςαλαμςώρεχμ.

Δπειδή η ποώςη αομξμική ςαλάμςχρη και η ρύμθεςη ςαλάμςχρη έυξσμ ςημ ίδια τάρη,

ε ζ 0 , άοα εκ 0 , δηλαδή η διατξοά τάρηπ μεςανύ ςχμ δύξ αομξμικώμ

ςαλαμςώρεχμ είμαι ν0 ή

ν180 .

Τα πλάςη ςχμ αομξμικώμ ςαλαμςώρεχμ και ςξ πλάςξπ ςηπ ρύμθεςηπ ςαλάμςχρηπ

ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 2Α Α Α 2Α Α ζπλ 2 5 Α 2 5 Α ζπλ

Για μα ιρυύει η παοαπάμχ ιρόςηςα ποέπει ρσμτ<0, άοα τ=180ξ.

Από ςιπ ποξςειμόμεμεπ απαμςήρειπ μόμξ η (γ) έυει διατξοά τάρηπ μεςανύ ςχμ δύξ

ςαλαμςώρεχμ 180ξ.

44

Δρώτηση 37.

Έμα ιδαμικό κύκλχμα LC εκςελεί αμείχςεπ ηλεκςοξμαγμηςικέπ ςαλαμςώρειπ. Τη υοξμική

ρςιγμή πξσ η εμέογεια ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ UB ςξσ πημίξσ γίμεςαι ίρη με ςημ εμέογεια

ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχςή UE, UE = UB, ςξ τξοςίξ ςξσ πσκμχςή είμαι ίρξ με

α. Q

2.

β. Q 3

2.

γ. Q 2

2.


Λύρη


Με εταομξγή ςηπ αουήπ διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ ρςημ ςαλάμςχρη ςξσ κσκλώμαςξπ LC

παίομξσμε:

2 2

η E B E,max E

1 Q 1 q Q 2E U U U 2U 2 q

2 C 2 C 2 .

45

Δρώτηση 38.

Έλα ηδαληθό θαηαθόξπθν ειαηήξην είλαη ζηεξεσκέλν κε ην θάησ άθξν ηνπ ζε νξηδόληην

δάπεδν, ελώ ζην πάλσ άθξν ηνπ ππάξρεη ζηεξεσκέλν ζώκα κάδαο m1. Σπζπεηξώλνπκε

επηπιένλ ην ειαηήξην απνκαθξύλνληαο ην ζώκα από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαηά d θαη

ην αθήλνπκε ειεύζεξν, νπόηε απηό εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε έρνληαο ελέξγεηα

ηαιάλησζεο Δ1 θαη ζπρλόηεηα f1.

Σηε ζπλέρεηα επαλαιακβάλνπκε ηελ ίδηα αθξηβώο δηαδηθαζία αληηθαζηζηώληαο κόλν ην

ζώκα κε έλα άιιν ηεηξαπιάζηαο κάδαο (m2 = 4m1). Η λέα ελέξγεηα ηαιάλησζεο Δ2 θαη ε

λέα ζπρλόηεηα f2 είλαη αληίζηνηρα

α. Δ2 = Δ1 θαη f2 = f1 .

β. Δ2 = 2Δ1 θαη f2 = f1 .

γ. Δ2 = Δ1 θαη f2 = f1/2.

Να αιτιολογήςετε την απάντηςή ςασ.

Λύρη

Σσζηή απάντηςη είλαη ε (γ).

2

max

1E U k·A

2 , όκσο θαη ζηηο δύν πεξηπηώζεηο A d . Άξα Δ2 = Δ1.

Γηα ηηο ζπρλόηεηεο f ηζρύεη:

1

1

1 kf

2π m θαη 2

1

1 kf

2π 4m , άξα 1

2

ff

2 .

46

Δρώτηση 39.

Έλα ζύζηεκα μεθηλά θζίλνπζεο ηαιαληώζεηο κε αξρηθή ελέξγεηα 100J θαη αξρηθό πιάηνο

Α0. Τν έξγν ηεο δύλακεο αληίζηαζεο κεηά από Ν ηαιαληώζεηο είλαη -75J. Άξα ην πιάηνο

ηαιάλησζεο κεηά από Ν ηαιαληώζεηο είλαη:

α. Α0/2.

β. Α0/16.

γ. Α0/5.


Λύρη

Σσζηή απάντηςη είλαη ε (α).

Γλσξίδνπκε πσο ην έξγν ηεο Fαλη. είλαη ίζν κε ηελ απώιεηα ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο ηνπ

ζπζηήκαηνο, άξα ζα έρνπκε:

Fαλη αξρ ηει ηει ηει| W | Δ Δ 75J 100J Δ Δ 25J , νπόηε:

2

Nηει N 0

N2αξρ 0

0

1DA

E A A25 1 1 12 A1Δ 100 4 4 A 2 2

DA2

.

47

Δρώτηση 40.

Σην δηπιαλό ζρήκα θαίλνληαη ηα δηαγξάκκαηα ηεο

δπλακηθήο ελέξγεηαο ζε ζπλάξηεζε κε ηελ

απνκάθξπλζε, U = f(x), γηα δύν ζπζηήκαηα κάδαο

– ειαηεξίνπ πνπ εθηεινύλ α.α.η . Αλ γλσξίδνπκε

όηη νη κάδεο ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε m1 = m2 , ν

ιόγνο ησλ πεξηόδσλ ηαιάλησζεο 1

2

T

T είλαη ίζνο κε

α. 2.

β. 1/2.

γ. 1/4.

Να αιτιολογήςετε την απάντηςή ςασ. Λύρη

Σσζηή απάντηςη είλαη ε (β).

Ο λόγοσ το περιόδων είναι ίςοσ με:

11 2

2 1

2

m2π

kT k

T km2π

k

Από ην ζρήκα πξνθύπηεη πσο max,1 max,2U U θαη 2 1A 2A 2A .

2 2

max,1 max,2 1 2 1 2

1 1U U k A k (2A) k 4k

2 2 .

Με αληηθαηάζηαζε ζηελ αξρηθή ζρέζε παίξλνπκε:

21 1

2 2

2

m2π

4kT T 1

T T 2m2π

k

48

Δρώτηση 41.

Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ελόο

απινύ αξκνληθνύ ηαιαλησηή ζε ζπλάξηεζε κε ην

ρξόλν θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα. Αλ ηε ρξνληθή

ζηηγκή t1 ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο έρεη ζεηηθό

πξόζεκν, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο απνκάθξπλζεο

ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν είλαη ε


Λύρη

Σσζηή απάντηςη είλαη ε (γ).

Από ην δηάγξακκα Κ = f(t) πξνθύπηεη πσο ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 0 ην ζώκα έρεη Κ=0 ,

άξα βξίζθεηαη ζε αθξαία ζέζε ηεο ηαιάλησζήο , x=+A ή x= -A. Δπίζεο ηελ ρξνληθή

ζηηγκή t1 (t1=Τ/4) ε θηλεηηθή ελέξγεηα είλαη κέγηζηε, δειαδή ην ζώκα δηέξρεηαη από ηε

ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κε κέγηζηε ηαρύηεηα ε νπνία ζύκθσλα κε ηελ εθθώλεζε είλαη

ζεηηθή. Άξα ην ζώκα μεθηλά από x= -A.

Άξα ην ζσζηό δηάγξακκα, x = f(t), είλαη ην γ.

49

Δρώτηση 42.

Γύν αξκνληθνί ηαιαλησηέο (1) θαη (2) κε ζηαζεξέο επαλαθνξάο D1 θαη D2 αληίζηνηρα,

έρνπλ ζώκαηα ησλ νπνίσλ νη κάδεο m1 θαη m2 ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε

m1 = 4m2. Οη δύν ηαιαλησηέο έρνπλ ηηο ίδηεο ελέξγεηεο ηαιάλησζεο Δ θαη ηηο ίδηεο

πεξηόδνπο Τ. Τν ζρήκα πνπ δείρλεη ηα δηαγξάκκαηα ησλ δπλάκεσλ επαλαθνξάο ηνπο F ζε

ζπλάξηεζε κε ηελ απνκάθξπλζε x, F = f(x), είλαη ην


Λύρη

Σσζηή απάντηςη είλαη ε (α)

Από ηε ζρέζε ησλ δύν πεξηόδσλ έρνπκε:

2 21 2 1 2

1 2

4m mT T 2π 2π D 4D

D D

Από ηε ζρέζε ησλ ελεξγεηώλ έρνπκε:

2 2

1 2 2 1 2 2 2 1

1 1E E 4D A D A A 2A

2 2 . Έηζη , αλ 1A A ηόηε 2A 2A .

Η ηειεπηαία ζρέζε ηθαλνπνηείηαη κόλν ζην ζρήκα (α).

50

Δρώτηση 43.

Η θηλεηηθή ελέξγεηα ελόο ζώκαηνο πνπ εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κεηώλεηαη θαη ε

αιγεβξηθή ηηκή ηεο επηηάρπλζεο απμάλεηαη. Άξα ε ηαρύηεηα

α. θαη ε επηηάρπλζε έρνπλ ηελ ίδηα θαηεύζπλζε.

β. είλαη αξλεηηθή θαη ην κέηξν ηεο κεηώλεηαη.

γ. είλαη ζεηηθή θαη ην κέηξν ηεο κεηώλεηαη.


Λύρη


Αθνύ ε θηλεηηθή ελέξγεηα κεηώλεηαη ην ζώκα θαηεπζύλεηαη πξνο αθξαία ζέζε, δειαδή

πεγαίλεη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο πξνο ην +Α ή πξνο ην –Α.

Η αιγεβξηθή ηηκή ηεο επηηάρπλζεο (α= - σ2x) απμάλεηαη θαζώο ην ζώκα θηλείηαη από ην

+Α πξνο ην –Α.

Άξα, αθνύ ην ζώκα έρεη κείσζε θηλεηηθήο ελέξγεηαο θαη ηαπηόρξνλα αύμεζε ηεο

αιγεβξηθήο ηηκήο ηεο επηηάρπλζεο θηλείηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο πξνο ην -Α.

Σην δηάζηεκα απηό ηεο θίλεζεο ε ηαρύηεηα είλαη αξλεηηθή θαη ην κέηξν ηεο κεηώλεηαη.

51

Δρώτηση 44.

Σην ζρήκα θαίλνληαη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο

ησλ εμηζώζεσλ θνξηίνπ-ρξόλνπ, q = f(t) , ζηε

ρξνληθή δηάξθεηα 0 έσο t0, γηα δύν ηδαληθά

θπθιώκαηα LC. Ο ιόγνο ησλ κεγίζησλ

εληάζεσλ ξεύκαηνο, 2

1

I

I, ζηα δύν θπθιώκαηα

ηζνύηαη κε

α. 3/4.

β. 4/3.

γ. 4/9.

Λύρη

Σσζηή απάντηςη είλαη ε (α)

Από ηα δηαγξάκκαηα θνξηίνπ – ρξόλνπ q = f(t) πξνθύπηνπλ όηη:

1 2

3T T

2 θαη 1 2Q 2Q .

Γηα ην ιόγν ησλ κέγηζησλ εληάζεσλ ηνπ ξεύκαηνο ηζρύεη:

2 2

2 2 2 2 2

1 1 11 2

12

2π 2πQ Q

I σ Q Τ Τ 3

2π 2πI σ Q 4Q 2Q

3ΤΤ

2

.

52

Δρώτηση 45.

Έλα ζώκα εθηειεί θίλεζε πνπ πξνέξρεηαη από ηε ζύλζεζε δύν απιώλ αξκνληθώλ

ηαιαληώζεσλ, ίδηνπ πιάηνπο θαη ίδηαο δηεύζπλζεο. Οη ζπρλόηεηεο f1 θαη f2 αληίζηνηρα ησλ

δύν ηαιαληώζεσλ δηαθέξνπλ κεηαμύ ηνπο 4Hz, (f2 > f1), κε απνηέιεζκα λα παξνπζηάδεηαη

δηαθξόηεκα. Αλ ε ζπρλόηεηα f1 απμεζεί θαηά 8Hz, ρσξίο λα κεηαβιεζεί ε ζπρλόηεηα f2, ν

ρξόλνο πνπ κεζνιαβεί κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ κεδεληζκώλ ηνπ πιάηνπο ζα

α. παξακείλεη ν ίδηνο.

β. κεησζεί θαηά 4s.

γ. απμεζεί θαηά 1/4 s.


Λύρη


Ο ρξόλνο κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ κεδεληζκώλ ηνπ πιάηνπο είλαη ίζνο κε ηελ πεξίνδν ηνπ

δηαθξνηήκαηνο.

Αξρηθά : 2 1

1T

f f

θαη 2 1f f 4Hz , άρα

1T s

4 .

Τειηθά: '

'2 1

1T

f f

θαη

' ' '2 1 2 1 2 1 2 1 2 1f f f (f 8Hz) (f f ) 8Hz f f 4Hz f f 4Hz

Με αληηθαηάζηαζε εύθνια πξνθύπηεη ' 1T s

4 .

53

Δρώτηση 46.

Σηε δηάηαμε ηνπ ζρήκαηνο, ην πελίν Π΄

βξίζθεηαη ζε επαγσγηθή ζύδεπμε κε ην πελίν Π

ηνπ θπθιώκαηνο LC. Τα δύν θπθιώκαηα

βξίζθνληαη ζε θαηάζηαζε ζπληνληζκνύ. Αλ ζην

πελίν Π εηζαρζεί ππξήλαο καιαθνύ ζηδήξνπ, κε

ζπλέπεηα λα απμεζεί ν ζπληειεζηήο

απηεπαγσγήο ηνπ, ηόηε ε ζπρλόηεηα ησλ

ηαιαληώζεσλ ηνπ θπθιώκαηνο LC ζα

α. κεησζεί θαη ην πιάηνο ηεο έληαζεο ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ην θύθισκα LC ζα

παξακείλεη ακεηάβιεην.

β. παξακείλεη ακεηάβιεηε θαη ην πιάηνο ηεο έληαζεο ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ην

θύθισκα LC ζα κεησζεί.

γ. παξακείλεη ακεηάβιεηε θαη ην πιάηνο ηεο έληαζεο ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ην

θύθισκα LC ζα απμεζεί.


Λύρη


Αξρηθά ην θύθισκα βξίζθεηαη ζε θαηάζηαζε ζπληνληζκνύ νπόηε ζα ηζρύεη fηαι = f0.

Δηζάγνληαο ηνλ ππξήλα καιαθνύ ζηδήξνπ ζην πελίν απμάλεηαη ν ζπληειεζηήο

απηεπαγσγήο ηνπ L κε απνηέιεζκα λα κεηώλεηαη ε ηδηνζπρλόηεηα ηνπ θπθιώκαηνο

0

1f

2π LC

, θαη ζπλέπεηα λα πάςεη λα πθίζηαηαη ε θαηάζηαζε ηνπ ζπληνληζκνύ

0 δηεξf f . Άξα, ην πιάηνο Ι ηεο έληαζεο ηνπ ξεύκαηνο κεηώλεηαη.

Η ζπρλόηεηα ηεο ηαιάλησζεο ηνπ θπθιώκαηνο παξακέλεη ζηαζεξή , αθνύ απηή

θαζνξίδεηαη κόλν από ηε ζπρλόηεηα ηνπ δηεγέξηε (fηαι = fδηεγ = fελ. ηάζεο).

54

Δρώτηση 47.

Γηαζέηνπκε δύν ηδαληθά θπθιώκαηα

ειεθηξηθώλ ηαιαληώζεσλ, ηα Α θαη Β.

Οη ζπληειεζηέο απηεπαγσγήο ησλ δύν

πελίσλ είλαη ίζνη. Σην ζρήκα

παξηζηάλεηαη ε έληαζε ηνπ ξεύκαηνο

πνπ δηαξξέεη ηα δύν θπθιώκαηα σο

ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ.

Γηα ηηο κέγηζηεο ηάζεηο ζηα άθξα ησλ

ππθλσηώλ ηζρύεη:

α. max max

C,A C,BV V .

β. max max

C,A C,BV 4 V .

γ.

max

C,Αmax

C,A

VV

4 .


Λύρη

Σσζηή απάντηςη είλαη ε (β)

Από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο i = f(t) ζπκπεξαίλνπκε όηη: B AT 2T θαη A BI 2I .

B A B Α B AT 2 T 2π LC 2 2π LC C 4 C

max max

A B A A B B A C,A A C,B

Α Α

2π 2πI 2I σ Q 2 σ Q C V 2 4C V

Τ 2 Τ

max max

C,A C,BV 4V

55

Δρώτηση 48.

Έλαο ηαιαλησηήο εθηειεί ηαιάλησζε πνπ πξνέξρεηαη από ηε ζύλζεζε δύν αξκνληθώλ

ηαιαληώζεσλ πνπ έρνπλ εμηζώζεηο:

x1 = Αεκ196πt (t ζε s) θαη x2 = Αεκ204πt (t ζε s).

Οη δύν ηαιαληώζεηο εμειίζζνληαη ζηελ ίδηα δηεύζπλζε γύξσ από ηελ ίδηα ζέζε

ηζνξξνπίαο. Σην ρξνληθό δηάζηεκα πνπ κεζνιαβεί κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ κεδεληζκώλ ηνπ

πιάηνπο, ν ηαιαλησηήο δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ

α. 50 θνξέο.

β. 100 θνξέο.

γ. 25 θνξέο.


Λύρη


Από ηηο εμηζώζεηο x = f(t) πξνθύπηεη όηη σ1 = 196π rad/s θαη σ2 = 204π rad/s, νπόηε

αληίζηνηρα νη ζπρλόηεηεο είλαη f1 = 98Hz θαη f2 = 102Hz.

Τν ειάρηζην ρξνληθό δηάζηεκα πνπ κεζνιαβεί κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ κεδεληζκώλ ηνπ

πιάηνπο είλαη ίζν κε ηελ πεξίνδν ησλ δηαθξνηεκάησλ.

δ δ

2 1

1 1T T s

f f 4

.

Η ζπρλόηεηα ηεο ζύλζεηεο ηαιάλησζεο ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε:

1 2f f 98 102f Hz f 100Hz

2 2

Έηζη, ζε ρξνληθό δηάζηεκα δ

1T s

4 , ν ηαιαλησηήο εθηειεί 25 ηαιαληώζεηο θαη επεηδή ζε

θάζε ηαιάλησζε δηέξρεηαη 2 θνξέο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζα θάλεη 50 δηειεύζεηο.

56

ΘΔΜΑ Γ

Άσκηση 1.

Έμα ρώμα μάζαπ m 1kg είμαι ρςεοεχμέμξ ρςημ άκοη ξοιζξμςίξσ ιδαμικξύ ελαςηοίξσ

ρςαθεοάπ k 100 N / m , ςξσ ξπξίξσ ςξ άλλξ άκοξ είμαι ακλόμηςα ρςεοεχμέμξ. Τξ ρώμα

εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη, καςά ςη διεύθσμρη ςξσ άνξμα υ'υ, ρε λείξ ξοιζόμςιξ

επίπεδξ με πλάςξπ A 0,1m . Τη υοξμική ρςιγμή 0t 0 ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρςη θέρη ςη

μέγιρςηπ θεςικήπ απξμάκοσμρηπ.

Να βοείςε:

α) ςη γχμιακή ρσυμόςηςα χ και ςημ εμέογεια Δ ςηπ ςαλάμςχρηπ.

β) ςημ ενίρχρη x f (t) ςηπ απξμάκοσμρηπ ςξσ ρώμαςξπ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ.

γ) ςξ διάρςημα d πξσ θα διαμύρει ςξ ρώμα μέυοι ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςάπ ςξσ μα

μεγιρςξπξιηθεί για δεύςεοη τξοά μεςά ςη υοξμική ρςιγμή 0t .

δ) ςημ ςαυύςηςα σ ςξσ ρώμαςξπ ςη ρςιγμή πξσ βοίρκεςαι ρςη θέρη A 2

x2

και

κιμείςαι με καςεύθσμρη ποξπ ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ.

Λύρη

α) Δπειδή ςξ ρώμα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη και η μξμαδική δύμαμη πξσ αρκείςαι ρςξ ρώμα, καςά ςη διεύθσμρη ςηπ κίμηρηπ ςξσ, είμαι ασςή ςξσ ελαςηοίξσ, η ρςαθεοά επαματξοάπ D ιρξύςαι με ςη ρςαθεοά ςξσ ελαςηοίξσ k.

Από ςη ρυέρη 2D m , για N

D k 100m

έυξσμε:

2 kk m

m

rad10

s

(βλ. και ρελ. 11 ςξσ Συξλικξύ Βιβλίξσ)

Από ςη ρυέρη 21

E DA2

έυξσμε:

2 21 1E DA E 100 0,1 J

2 2 E 0,5 J


β) Η απλή αομξμική ςαλάμςχρη ςξσ ρώμαςξπ είμαι ςηπ μξοτήπ 0x A ( t ) .


57

Για 0t 0 ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρςη θέρη ςη μέγιρςηπ θεςικήπ απξμάκοσμρηπ (x A) .

Δπξμέμχπ:

0 0 0 0x A ( t ) A A 1 rad2

, επειδή

00 2

Με αμςικαςάρςαρη ςχμ Α, χ, τ0 ποξκύπςει:

x 0,1 (10t ) (SI)2

γ) Η ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ μεγιρςξπξιείςαι ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ. Δπξμέμχπ, αμαζηςξύμε ςξ μήκξπ ςηπ ςοξυιάπ πξσ έυει διαμύρει ςξ ρώμα μέυοι ςη υοξμική ρςιγμή πξσ διέουεςαι για 2η τξοά από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ.

Από ςξ ρυήμα ταίμεςαι όςι ασςό ςξ διάρςημα είμαι d 3A , ςξ πλάςξπ Α είμαι ίρξ με 0,1m, επξμέμχπ:

d 0,3 m

δ) Η εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρσρςήμαςξπ δίμεςαι από ςη ρυέρη E K U . Με αμςικαςάρςαρη, όςαμ ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρςη θέρη υ, έυξσμε:

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 A 2E K U kA m kx kA m k( )

2 2 2 2 2 2 2

2 m

2 s


Δπειδή x>0 και η καςεύθσμρη ςηπ κίμηρηπ είμαι ποξπ ςη θέρη ιρξοοξπίαπ, ρσμπεοαίμξσμε όςι σ<0. Άοα:

2 m

2 s

υ=+Α υ=-Α υ=0

58

Άσκηση 2.

Έμα καςακόοστξ ιδαμικό ελαςήοιξ ρςαθεοάπ k 200 N / m έυει ςξ πάμχ άκοξ ςξσ

ρςεοεχμέμξ ρε μια ξοξτή. Σςξ κάςχ άκοξ ςξσ ελαςηοίξσ έυει ποξρδεθεί ρώμα μάζαπ

m 2 kg πξσ ιρξοοξπεί. Μεςακιμξύμε ςξ ρώμα ποξπ ςα πάμχ καςά d 0,2 m και ςη

υοξμική ρςιγμή 0t 0 ςξ ατήμξσμε ελεύθεοξ. Τξ ρώμα νεκιμά μα εκςελεί απλή αομξμική

ςαλάμςχρη. Θεχοώμςαπ θεςική ςημ καςακόοστη ποξπ ςα κάςχ τξοά μα βοείςε:

α) ςημ αουική τάρη 0 ςηπ ςαλάμςχρηπ.

β) ςη μέγιρςη ςαυύςηςα max ςξσ ρώμαςξπ καςά ςη διάοκεια ςηπ ςαλάμςχρηπ.

γ) ςημ κιμηςική εμέογεια Κ ςξσ ρώμαςξπ ςιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ πξσ η δσμαμική εμέογεια

ςαλάμςχρηπ είμαι U 1J .

δ) ςξ μέςοξ ςηπ μέγιρςηπ δύμαμηπ ,maxF πξσ αρκεί ςξ ελαςήοιξ ρςξ ρώμα καςά ςη

διάοκεια ςηπ ςαλάμςχρηπ.

Δίμεςαι: 2g 10 m / s .

Λύρη


α) Τξ ρώμα θα νεκιμήρει μα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη από ακοαία θέρη με

A d 0,2 m . Δπειδή έυξσμε θέρει θεςική ςημ καςακόοστη ποξπ ςα κάςχ τξοά, η

ςαλάμςχρη θα νεκιμήρει από ςημ αομηςική ακοαία θέρη ςηπ ςαλάμςχρηπ. Για ςημ εύοερη

ςηπ αουικήπ τάρηπ ςηπ ςαλάμςχρηπ θέςξσμε t 0 και x A ρςημ ενίρχρη ςηπ ςαλάμςχρηπ:

0 0 0x A ( t ) A 1 0

3rad

2

επειδή 00 2

β) Θέςξσμε N

D k 200m

και βοίρκξσμε ςη γχμιακή ρσυμόςηςα ςηπ ςαλάμςχρηπ:

2 2 radk m 200 2 10

s

Από ςη ρυέρη max σπξλξγίζξσμε ςη μέγιρςη ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ καςά ςη

διάοκεια ςαλάμςχρηπ:

59

max max

m2

s

γ) Θέςξσμε N

D k 200m

και σπξλξγίζξσμε ςημ εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ:

21E kA E 4 J

2

Δπειδή E K U έυξσμε:

E K U 4 K 1 K 3 J

δ) Τξ ελαςήοιξ αρκεί ρςξ ρώμα μέγιρςη δύμαμη ,maxF , καςά ςη διάοκεια ςηπ

ςαλάμςχρηπ, ρςη θέρη πξσ έυει μεγιρςξπξιηθεί η απόρςαρη maxL από ςξ τσρικό μήκξπ

ςξσ. Ασςή η θέρη είμαι η καςώςεοη θέρη ςηπ ςαλάμςχρηπ (θεςική ακοαία θέρη, ΑΘ(+), όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα.

Από ςξ ρυήμα ταίμεςαι όςι η απόρςαρη maxL ιρξύςαι με d A , όπξσ d είμαι η απόρςαρη

μεςανύ ςηπ θέρηπ τσρικξύ μήκξσπ (ΘΦΜ) και ςηπ θέρηπ ιρξοοξπίαπ (ΘΙ).

Βοίρκξσμε ςημ απόρςαρη d από ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ:

ρςη ΘΙ: mg

F 0 F w kd mg d d 0,1mk

Υπξλξγίζξσμε ςημ απόρςαρη maxL :

maxL d A maxL 0,3 m

Από ςξ Νόμξ Hooke έυξσμε: ,max maxF kL F kL ,maxF 60 N

60

Άσκηση 3.

Καςακόοστξ ελαςήοιξ ρςαθεοάπ k έυει ςξ πάμχ άκοξ ςξσ ρςεοεχμέμξ ρε ξοξτή. Σςξ κάςχ άκοξ ςξσ ελαςηοίξσ έυει ποξρδεθεί ρώμα μάζαπ m πξσ ιρξοοξπεί. Σςη θέρη

ιρξοοξπίαπ, ςξ ελαςήοιξ έυει επιμηκσμθεί καςά d 0,05 m . Τξ ρύρςημα εκςελεί απλή

αομξμική ςαλάμςχρη με εμέογεια E 1J και ενίρχρη απξμάκοσμρηπ

x 0,1 ( t ) (SI) . Θεςική έυει θεχοηθεί η καςακόοστη ποξπ ςα κάςχ τξοά.

Να βοείςε:

α) ςη ρςαθεοά k ςξσ ελαςηοίξσ.

β) ςη μάζα m ςξσ ρώμαςξπ.

γ) ςη γχμιακή ρσυμόςηςα χ ςηπ ςαλάμςχρηπ.

δ) ςημ ςαυύςηςα σ ςξσ ρώμαςξπ, ςη υοξμική ρςιγμή 2

t s80

.


Λύρη

α) Θέςξσμε D k ρςξμ ςύπξ ςηπ εμέογειαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ:

2

2

1 2EE kA k

2 A

Nk 200

m


β) Από ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ (για ςη θέρη ιρξοοξπίαπ, ΘΙ), θέςξμςαπ d 0,05 m

έυξσμε:

ρςη ΘΙ: kd

F 0 F w kd mg mg

m 1kg


61

γ) Από ςη ρυέρη m

T 2D

έυξσμε:

m 1T 2 T 2 s

D 200

2T s

10

Δπειδή 2

T

, με αμςικαςάρςαρη έυξσμε:

2

T

rad10 2

s


δ) Γοάτξσμε ςη ρσμάοςηρη ςηπ ςαυύςηςαπ ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ.

max 0( t )

Υπξλξγίζξσμε ςη μέγιρςη ςαυύςηςα ςαλάμςχρηπ:

max max

mA 2

s

Αμςικαθιρςξύμε ρςημ παοαπάμχ ρσμάοςηρη ςιπ ςιμέπ: 2

t s80

,

rad10 2

s και

max

m2

s

max 0

m( t ) 2 (10 2 t )

s

2 m2 (10 2 )

80 s

m2 ( )

4 s

m1

s


62

Άσκηση 4.

Έμα ρώμα μάζαπ m εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη πλάςξσπ Α. Η εμέογεια ςηπ

ςαλάμςχρηπ είμαι E 0,8 J . Η γοατική παοάρςαρη ςηπ ςαυύςηςαπ σ ςξσ ρώμαςξπ ρε

ρσμάοςηρη με ςξ υοόμξ t απεικξμίζεςαι ρςξ παοακάςχ ρυήμα:

α) μα βοείςε ςξ πλάςξπ Α ςηπ ςαλάμςχρηπ.

β) μα σπξλξγίρεςε ςη ρςαθεοά επαματξοάπ D ςηπ ςαλάμςχρηπ.

γ) μα παοαρςήρεςε γοατικά ςη τάρη τ ςηπ ςαλάμςχρηπ ρσμαοςήρει ςξσ υοόμξσ t, ρςξ

υοξμικό διάρςημα από 0t 0 χπ t T , αμ γμχοίζξσμε όςι η απξμάκοσμρη ςξσ ρώμαςξπ

μεςαβάλλεςαι όπχπ ςξ ημίςξμξ ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ.

δ) μα βοείςε ςξ οσθμό μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςξσ ρώμαςξπ ςη υοξμική ρςιγμή 1t s40

.

Λύρη

Από ςξ ρυήμα ενάγξσμε ςιπ ενήπ πληοξτξοίεπ:

• max

m4

s

• T

s T s2 20 10

• Για t 0 0 , δηλαδή ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρε ακοαία θέρη.

Αμέρχπ μεςά ςη ρςιγμή t 0 0 , άοα ςξ ρώμα ςη ρςιγμή t 0 βοίρκεςαι ρςημ

αομηςική ακοαία θέρη ( x A ).

Θέςξμςαπ t 0 και x A ρςημ ενίρχρη 0x A ( t ) ςηπ απλήπ αομξμικήπ

ςαλάμςχρηπ, βοίρκξσμε ςημ αουική τάρη ςηπ ςαλάμςχρηπ:

0 0 0 0

3x A ( t ) A A 1 rad

2

επειδή 00 2 .

α) Από ςξμ ςύπξ 2

σπξλξγίζξσμε ςη γχμιακή ρσυμόςηςα ςηπ ςαλάμςχρηπ:

63

2 rad20

s

Από ςξμ ςύπξ max A σπξλξγίζξσμε ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ:

max A A 0,2 m


β) Από ςξμ ςύπξ 21

E DA2

σπξλξγίζξσμε ςη ρςαθεοά επαματξοάπ ςηπ ςαλάμςχρηπ:

2

2

1 2EE DA D

2 A

ND 40

m


γ) Η τάρη τ ςηπ ςαλάμςχρηπ ρσμαοςήρει ςξσ υοόμξσ t δίμεςαι από ςη ρσμάοςηρη:

0

3t 20t (SI)

2

Η ρσμάοςηρη ασςή είμαι ποώςξσ βαθμξύ χπ ποξπ t.

Η γοατική παοάρςαρη ςηπ τάρηπ τ ςηπ ςαλάμςχρηπ ρσμαοςήρει ςξσ υοόμξσ t, ρςξ

υοξμικό διάρςημα από 0t 0 χπ t=T ταίμεςαι ρςξ ρυήμα:


δ) Σύμτχμα με ςξ 2ξ Νόμξ Newton, ξ οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ιρξύςαι με ςη

ρσμιρςαμέμη δύμαμη πξσ αρκείςαι ρςξ ρώμα: dp

Fdt

.

64

Σςημ απλή αομξμική ςαλάμςχρη, η ρσμιρςαμέμη δύμαμη δίμεςαι από ςξμ ςύπξ F Dx , επξμέμχπ:

dpDx

dt

Βοίρκξσμε ςημ απξμάκοσμρη υ ςξσ ρώμαςξπ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςη υοξμική ρςιγμή

1t s40

:

3x 0,2 (20t )m

2

20 3x 0,2 ( )m x 0

40 2

Με αμςικαςάρςαρη ποξκύπςει: dp

0dt


65

Άσκηση 5.

Τξ ιδαμικό κύκλχμα LC ςξσ ρυήμαςξπ εκςελεί αμείχςη ηλεκςοική ςαλάμςχρη. Τη υοξμική

ρςιγμή 0t 0 , ξ πσκμχςήπ έυει ςξ μέγιρςξ ηλεκςοικό τξοςίξ Q 4 mC . Ο πσκμχςήπ

έυει υχοηςικόςηςα C 50 F και ςξ πημίξ έυει ρσμςελερςή ασςεπαγχγήπ L 20 mH .

Να βοείςε:

α) Τημ ενίρχρη q f (t) ςξσ τξοςίξσ ςξσ ξπλιρμξύ Κ ςξσ πσκμχςή.

β) Τημ εμέογεια Δ ςηπ ηλεκςοικήπ ςαλάμςχρηπ.

γ) Τη υοξμική ρςιγμή 1t καςά ςημ ξπξία η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα

μεγιρςξπξιείςαι για δεύςεοη τξοά μεςά ςη υοξμική ρςιγμή 0t .

δ) Τημ έμςαρη i ςξσ οεύμαςξπ ςη υοξμική ρςιγμή καςά ςημ ξπξία ςξ τξοςίξ ςξσ ξπλιρμξύ

Κ είμαι q 2 3 mC και ξ πσκμχςήπ είμαι ρε καςάρςαρη τόοςιρηπ.

Λύρη

α) Δπειδή ςη υοξμική ρςιγμή 0t 0 , ξ πσκμχςήπ έυει μέγιρςξ ηλεκςοικό τξοςίξ, με ςξμ

ξπλιρμό Κ θεςικά τξοςιρμέμξ, η υοξμική ενίρχρη q f (t) ςξσ τξοςίξσ ςξσ ξπλιρμξύ Κ

ςξσ πσκμχςή είμαι ςηπ μξοτήπ:

q Q t

Βοίρκξσμε ςη γχμιακή ρσυμόςηςα ςηπ ςαλάμςχρηπ:

31 rad10

sLC

Δπξμέμχπ: 3 3q 4 10 10 t (SI)

β) Από ςξμ ςύπξ

21 QE

2 C σπξλξγίζξσμε ςημ ξλική εμέογεια ςηπ ηλεκςοικήπ

ςαλάμςχρηπ:

L Κ

Λ

C

66

2 3 2

6

1 Q 1 (4 10 )E E J

2 C 2 50 10

E 0,16 J

γ) Από ςιπ γοατικέπ παοαρςάρειπ ςχμ ενιρώρεχμ q f (t) και i f (t) παοαςηοξύμε όςι

η υοξμική ρςιγμή 1t καςά ςημ ξπξία η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα μεγιρςξπξιείςαι

για δεύςεοη τξοά μεςά ςη υοξμική ρςιγμή 0t είμαι η: 1

3Tt

4

Υπξλξγίζξσμε ςημ πεοίξδξ Τ ςηπ ηλεκςοικήπ ςαλάμςχρηπ:

32T T 2 10 s

Με αμςικαςάρςαρη έυξσμε:

1

3Tt

4

3

1t 1,5 10 s

δ) i 2 A

Από ςη ρυέρη E BE U U έυξσμε:

2 2 2 22 2

E B

1 Q 1 q 1 Q qE U U Li Li

2 C 2 C 2 C C

2 22 2 2 2 2 2 6 6 6 2Q q

i i (Q q ) i 10 (16 10 12 10 )ALC

2 2i 4A i 2 A

Σύμτχμα με ςημ εκτώμηρη ξ πσκμχςήπ είμαι ρε καςάρςαρη τόοςιρηπ. Ασςό ρημαίμει όςι

ςξ q ασνάμεςαι και για ςξμ ξπλιρμό Κ πξσ έυει αομηςικό τξοςίξ θα ιρυύει, dq

0dt

.Άοα

i 2 A .(βλ. και γοατικέπ παοαρςάρειπ ρςξ εοώςημα γ).

67

Άσκηση 6.

Σςξ κύκλχμα ςξσ ρυήμαςξπ δίμξμςαι: πηγή ηλεκςοεγεοςικήπ δύμαμηπ E 10 V

μηδεμικήπ ερχςεοικήπ αμςίρςαρηπ, πσκμχςήπ υχοηςικόςηςαπ C 100 F , ιδαμικό πημίξ

με ρσμςελερςή ασςεπαγχγήπ L. Αουικά ξ μεςαγχγόπ μ είμαι ρςη θέρη (Α) και ξ πσκμχςήπ είμαι πλήοχπ τξοςιρμέμξπ. Σςοέτξσμε ςξ μεςαγχγό ρςη θέρη (Β) και ςξ κύκλχμα LC αουίζει μα εκςελεί αμείχςεπ ηλεκςοικέπ ςαλαμςώρειπ. Η μέγιρςη ςιμή ςηπ έμςαρηπ ςξσ

οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα LC είμαι I 0,1A .

Να βοείςε:

α) Τξ μέγιρςξ τξοςίξ Q ςξσ πσκμχςή.

β) Τημ πεοίξδξ Τ ςηπ ηλεκςοικήπ ςαλάμςχρηπ.

γ) Τξ ρσμςελερςή ασςεπαγχγήπ L ςξσ πημίξσ.

δ) Τξ λόγξ E

B

U

U ςηπ εμέογειαπ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχςή ποξπ ςημ εμέογεια

ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ ςξσ πημίξσ ςιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ πξσ ςξ τξοςίξ ςξσ πσκμχςή είμαι

Q 2q

2 .

Λύρη


α) Δπειδή αουικά ξ πσκμχςήπ είμαι πλήοχπ τξοςιρμέμξπ, ιρυύει:

6

max

Q QC C Q C E Q 100 10 10C

V E

3Q 10 C

β) Από ςξμ ςύπξ I Q βοίρκξσμε ςη γχμιακή ρσυμόςηςα:

3 radI Q 0,1A 10 C 100

s

68

Υπξλξγίζξσμε ςημ πεοίξδξ ςηπ ηλεκςοικήπ ςαλάμςχρηπ από ςξμ ςύπξ:

2 2T T s

100

T s50

γ) Από ςξμ ςύπξ T 2 LC σπξλξγίζξσμε ςξ ρσμςελερςή ασςεπαγχγήπ ςξσ πημίξσ:

2 22 2

2 2 4 2

TT 2 LC T 4 LC L L H

4 C 4 10 50

4

2

10L H

4 50

L 1H

δ) Από ςη ρυέρη E BE U U έυξσμε:

E B B EE U U U E U

Με αμςικαςάρςαρη ρςξ λόγξ E

B

U

U ςηπ εμέογειαπ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχςή

ποξπ ςημ εμέογεια ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ ςξσ πημίξσ, έυξσμε:

2

2

E E E E

2 2 2 2

B E B B

1 q

U U U U q2 C

1 Q 1 qU E U U U Q q

2 C 2 C

Θέςξμςαπ Q 2

q2

έυξσμε:

2

2

E E

2 22B B

2

Q 2 Q2U U 2

QU UQ 2 QQ 22

E

B

U1

U

69

Άσκηση 7.

Τξ ιδαμικό κύκλχμα LC ςξσ ρυήμαςξπ εκςελεί αμείχςη ηλεκςοική ςαλάμςχρη. Ο

πσκμχςήπ έυει υχοηςικόςηςα C 4 F και η πεοίξδξπ ςαλάμςχρηπ ςξσ κσκλώμαςξπ

είμαι 3T 2 10 s . Τη υοξμική ρςιγμή πξσ ςξ τξοςίξ ςξσ πσκμχςή είμαι

6q 2 10 C , η

έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα είμαι i 2 3 mA . Τη υοξμική ρςιγμή 3

1

3t 10 s

4

ξ πσκμχςήπ είμαι πλήοχπ τξοςιρμέμξπ.

Να βοείςε:

α) Τη υοξμική ρςιγμή 2t καςά ςημ ξπξία ξ πσκμχςήπ τξοςίζεςαι πλήοχπ για ποώςη

τξοά μεςά ςη υοξμική ρςιγμή 1t .

β) Τη μέγιρςη έμςαρη I ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα.

γ) Τξ ρσμςελερςή ασςεπαγχγήπ L ςξσ πημίξσ.

δ) Τη μέγιρςη ςάρη maxV μεςανύ ςχμ ξπλιρμώμ ςξσ πσκμχςή.

Λύρη

α) Δύξ διαδξυικέπ τξοςίρειπ ςξσ πσκμχςή απέυξσμ μεςανύ ςξσπ υοξμικάT

t2

. Δπειδή

ςη υοξμική ρςιγμή 3

1

3t 10 s

4

ξ πσκμχςήπ είμαι πλήοχπ τξοςιρμέμξπ για ςη υοξμική

ρςιγμή t2 θα ιρυύει:

3 3

2 1 2

T 3 2t t t 10 s 10 s

2 4 2

3

2

7t 10 s

4

β) Από ςη ρυέρη E BE U U έυξσμε:

2 2 2 22 2 2 2 2 2

2

1 1 q 1 q 4 qLI Li I i I i

2 2 C 2 LC (2 LC)

L

C

70

2 2 2 6 22 3 2

2 3 2

4 q 4 (2 10 )I i I (2 3 10 ) A

(2 10 )

6 6 6I 4 10 12 10 A I 16 10 A 3I 4 10 A

γ) Από ςξμ ςύπξ T 2 LC με αμςικαςάρςαρη έυξσμε:

3 6 6 6T 2 LC 2 10 s 2 L 4 10 F 10 H L 4 10

L 0,25 H

δ) Από ςη ρυέρη max

QC

V έυξσμε:

max max max

max

Q Q I IC V V V

V C C 2 C

3 3

max 6

4 10 2 10V V

2 4 10

maxV 1V

71

Άσκηση 8.

Έμα ρώμα εκςελεί κίμηρη πξσ ποξέουεςαι από ςη ρύμθερη δύξ απλώμ αομξμικώμ

ςαλαμςώρεχμ πξσ πεοιγοάτξμςαι από ςιπ ενιρώρειπ: 1x 2 3 10 t (cm) και

2

2x 3 (10 t ) (cm)

3

. Οι δύξ ςαλαμςώρειπ γίμξμςαι γύοχ από ςξ ίδιξ ρημείξ και

ρςημ ίδια διεύθσμρη.

Να βοείςε:

α) Τημ πεοίξδξ Τ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρώμαςξπ.

β) Τξ πλάςξπ Α ςηπ ςαλάμςχρηπ.

γ) Τημ αουική τάρη 0 ςηπ ςαλάμςχρηπ.

δ) Τη υοξμική ρςιγμή 1t ρςημ ξπξία ςξ ρώμα τςάμει ρε ακοαία θέρη ςηπ ςαλάμςχρήπ ςξσ

για ποώςη τξοά μεςά ςη υοξμική ρςιγμή 0t 0 .

Δίμξμςαι: 3

6 2

,

2 1

3 2

,

7 3

6 6 3

.

Λύρη

α) Οι δύξ ςαλαμςώρειπ είμαι ςηπ μξοτήπ 1 1x A ( t) και

2 2x A ( t ) .

Δπξμέμχπ:

1A 2 3 cm

2A 3 cm

rad10

s

2rad

3

Η ρύμθερη δύξ αομξμικώμ ςαλαμςώρεχμ πξσ γίμξμςαι ρςημ ίδια διεύθσμρη και γύοχ από ςξ ίδιξ ρημείξ με ίδια χ είμαι απλή αομξμική ςαλάμςχρη με ςημ ίδια χ, ςηπ μξοτήπ:

0x A ( t ) .

Δπξμέμχπ, για ςημ πεοίξδξ ςηπ ρύμθεςηπ ςαλάμςχρηπ, έυξσμε:

2 2T T

10

T 0,2 s

72

β) Για ςξ πλάςξπ Α ςηπ ςαλάμςχρηπ έυξσμε:

22 2 2

1 2 1 2

2A A A 2A A A (2 3) 3 2 2 3 3 cm

3

112 3 12·( )

2A cm

A = 3 cm.

γ) Για ςημ αουική τάρη 0 ςηπ ςαλάμςχρηπ, έυξσμε:

20 0 0

1 2

2 33 3

3 22 32 3 3 2 33 2

0 0 0

33 32

33 3 3 3

2

.

Δπξμέμχπ (για 00 2 rad ) έυξσμε 0 rad

6

ή 0

7rad

6

.

Η ςιμή 0

7rad

6

απξοοίπςεςαι διόςι η

0 ποέπει μα είμαι μεςανύ ςχμ αουικώμ

τάρεχμ ςχμ αουικώμ ςαλαμςώρεχμ, επξμέμχπ ποέπει 0

20 rad

3

, ςξ ξπξίξ ιρυύει

για 0 rad6

δ) Από ςη ρυέρη 0x A ( t ) , με αμςικαςάρςαρη έυξσμε: 3· (10 )

6x t

.

Η αμςίρςξιυη ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ είμαι max (10 t )6

. Θέςξμςαπ

0t 0

ρ' ασςή ςημ ενίρχρη έυξσμε: 0 max 0 max 0

3( ) 06 2

.

Δπειδή η ςαλάμςχρη νεκιμά με θεςική ςαυύςηςα, ςξ ρώμα τςάμει ποώςα ρςη θεςική ακοαία θέρη ςηπ ςαλάμςχρήπ ςξσ ( x A ).

Θέςξμςαπ 3x A cm ρςημ ενίρχρη 3 (10 )( )6

x t cm

, έυξσμε:

73

1 1 13 3 (10 ) (10 ) 1 10 26 6 6 2

t t t k

1 1

k 110 t 2k t

2 6 5 30

Ποέπει: 1 1

k 1 60 t T 0 t 0,2s 0

5 30 30

1 k 5 1 5k

30 5 30 6 6 k 0 ή k 1 .

Δπειδή ςη υοξμική ρςιγμή 1t ςξ ρώμα τςάμει ρε ακοαία θέρη ςηπ ςαλάμςχρήπ ςξσ για

ποώςη τξοά μεςά ςη υοξμική ρςιγμή 0t 0 , θέςξσμε k 0 και έυξσμε:

1

1t 0 s

30

1

1t s

30

74

Άσκηση 9.

Διαθέςξσμε δύξ κσκλώμαςα ηλεκςοικώμ ςαλαμςώρεχμ Α και Β.

Τα πημία είμαι ιδαμικά και ξι

αγχγξί ρύμδερηπ έυξσμ

αμεληςέα αμςίρςαρη.

Η μεςαβξλή ςξσ τξοςίξσ

καθεμόπ πσκμχςή , ρε

ρσμάοςηρη με ςξ υοόμξ ,

ταίμεςαι ρςξ ακόλξσθξ

διάγοαμμα.(Η κόκκιμη

καμπύλη αμςιρςξιυεί ρςξ Α και

η κσαμή ρςξ Β). Οι πσκμχςέπ

έυξσμ υχοηςικόςηςεπ

AC 1 F και BC 2 F .

α) Να βοείςε ςιπ μέγιρςεπ ςιμέπ

ςηπ εμέογειαπ ηλεκςοικξύ πεδίξσ

για κάθε κύκλχμα.

β) Να βοείςε ςιπ ςιμέπ ςχμ

ρσμςελερςώμ ασςεπαγχγήπ ςχμ

δύξ πημίχμ.

γ) Να βοείςε ςιπ μέγιρςεπ ςιμέπ

ςχμ οεσμάςχμ πξσ διαοοέξσμ ςα δύξ κσκλώμαςα.

δ) Να γοάφεςε ςιπ ενιρώρειπ ςχμ τξοςίχμ ςχμ πσκμχςώμ, ρε ρσμάοςηρη με ςξ υοόμξ,

ρςα δύξ κσκλώμαςα, ρε μξμάδεπ ςξσ S.I.

Δίμεςαι 2 10 .

Λύρη

α) Από ςξ διάγοαμμα βοίρκξσμε: 6

AQ 2 10 C , 6

BQ 3 10 C .

Η εμέογεια ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ρε κάθε κύκλχμα σπξλξγίζεςαι από ςιπ παοακάςχ

ρυέρειπ:

2

AA,max

A

Q1U

2 C

6 2 2

6

1 (2 10 ) C

2 1 10 F

62 10 J ,

2 6 2 26B

B,max 6

B

Q1 1 (3 10 ) CU 2,25 10 J

2 C 2 2 10 F

75

β) Από ςξ διάγοαμμα βοίρκξσμε: 2A

A

3T15ms T 10ms 10 s

2

και 3B

B

3T15ms T 20ms 20 10 s

4

.

2 4 2

AA A A A 2 6

A

T 10 s 10T 2 L C L H 2,5H

4 C 4 10 10 F 4

,

2 4

BB B B B 2 6

B

T 4 10 s 10T 2 L C L H 5H

4 C 4 10 2 10 F 2

γ)

64

A A A A 2

A

2 2 2 10 CI Q Q 4 10 A

T 10 s

,

64

B B B B 2

B

2 2 3 10 CI Q Q 3 10 A

T 2 10 s

δ) Γεμικά ιρυύει: 0q Q ( t )

Για ςημ ςαλάμςχρη Α όςαμ t 0 , ιρυύει q 0

και όςαμT

t t4 2

ιρυύει q Q .

Άοα, για t 0 ιρυύει 00 ξπόςε ή 02

ή 0

3

2

Για T

t4

και 02

βοίρκξσμε q Q (άςξπξ),

εμώ για 0

3

2

βοίρκξσμε q Q (δεκςό)

Έςρι παίομξσμε

6

A A A A A

A

3 2q Q ( t ) Q t Q t q 2 10 200 t S.I.

2 T

Για ςημ ςαλάμςχρη Β όςαμ t 0 , ιρυύει q Q .

76

Οπόςε 0Q Q , δηλαδή 0 1 και 02

Έςρι η 6

B B B B

B

2q Q t Q t q 3 10 100 t (S.I.)

T

77

Άσκηση 10.

Έμα μικοό ρώμα μάζαπ m=0,2 kg εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη ρε ξοιζόμςιξ

επίπεδξ. Τη ρςιγμή t=0 βοίρκεςαι ρςημ ακοαία αομηςική ςξσ απξμάκοσμρη και ςη ρςιγμή

t1=π/20 s διέουεςαι για ποώςη τξοά από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ με

ςαυύςηςα μέςοξσ 4m/s.

Α. Να βοείςε ςη υοξμική ρςιγμή t2 πξσ ςξ ρώμα θα τςάρει ρςη ακοαία θεςική

απξμάκοσμρή ςξσ για ποώςη τξοά.

Β. Να βοείςε ςξ μέςοξ ςηπ μέγιρςηπ επιςάυσμρηπ ςξσ ρώμαςξπ καςά ςη διάοκεια ςηπ

ςαλάμςχρήπ ςξσ.

Γ. Να γοάφεςε ςημ ενίρχρη ςηπ δύμαμηπ επαματξοάπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ρε ρυέρη με ςξ

υοόμξ και μα ςη ρυεδιάρεςε για μια πεοίξδξ.

Δ. Να βοείςε υοξμική ρςιγμή t3 πξσ η κιμηςική εμέογεια ιρξύςαι με ςη δσμαμική εμέογεια

ςηπ ςαλάμςχρηπ για ποώςη τξοά.

Λύρη

Α) Τξ ρώμα νεκιμά ςημ ςαλάμςχρή ςξσ από ςη θέρη –Α και για μα τςάρει ρςη θέρη +Α

θέλει υοόμξ Τ/2.

Ο υοόμξπ πξσ θέλει ςξ ρώμα για μα μεςαβεί από ςη θέρη –Α μέυοι ςη θέρη ιρξοοξπίαπ

είμαι 1t T / 4 π / 20 s , άοα Τ π / 5 s και 2t π /10 s .

Β) 2

maxα σ A , (1)

2π radσ 10

T s

To ρώμα διέουεςαι από ςη Θ.Ι. με ςαυύςηςα maxπ π 4m / s , άοα

maxmax

ππ σΑ Α 0,4m

σ

Αμςικαθιρςώμςαπ ρςημ (1) παίομξσμε 2

maxα 40m / s

Γ) Η δύμαμη επαματξοάπ δίμεςαι από ςη ρυέρη:

2

oF mα mσ A εκ σt θ , (2)

78

Tημ t=0 ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρςη θέρη –Α, επξμέμχπ

t 0

o ox A εκ σt θ A A εκθ

o o

3πεκθ 1 θ

2

Η ρυέρη (2) γίμεςαι:

3πF 8 εκ 10t (SI) F 8 ζπλ10t , (SI)

2

Δ) Mε εταομξγή ςηπ διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ για ςημ ςαλάμςχρη βοίρκξσμε ςιπ θέρειπ

πξσ η κιμηςική εμέογεια ιρξύςαι με ςη δσμαμική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ.

2 2K U 1 1 2

2U E 2 Dx DA x AK U E 2 2 2

Τξ ρώμα νεκιμά από ςη θέρη –Α με θεςική ςαυύςηςα. Για

ποώςη τξοά ιρυύει Κ=U ρε θέρη από –Α έχπ 0, δηλαδή ρςη

θέρη 2

x A2

με π 0 .

Η ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ είμαι:

3πx A εκ 10t

2

(t ρε sec)

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ ποξκύπςει:

2 3π 5π 3πA A εκ 10t εκ εκ 10t

2 2 4 2

Οι δύξ λύρειπ ςηπ παοαπάμχ ςοιγχμξμεςοικήπ ενίρχρηπ είμαι

5π 3π2θπ 10t

4 2 , (3) και

7π 3π2θπ 10t

4 2 , (4)

Οι λύρειπ ςηπ (3) αμςιρςξιυξύμ ρε αομηςική ςαυύςηςα και απξοοίπςξμςαι.

Η 1η τξοά δίμεςαι από ςημ (4) για θ 0

3 3

7π 3π π10t t s

4 2 40

79

Άσκηση 11.

Σςξ διπλαμό ρυήμα ταίμεςαι ςξ διάγοαμμα

επιςάυσμρηπ – υοόμξσ για έμα ρώμα πξσ εκςελεί

απλή αομξμική ςαλάμςχρη. Τξ μέςοξ ςηπ

μεςαβξλήπ ςηπ αλγεβοικήπ ςιμήπ ςηπ ξομήπ

αμάμερα ρε δύξ διαδξυικέπ διελεύρειπ ςξσ

ρώμαςξπ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ είμαι

Δp=2πkgm/s. Να βοεθξύμ:

Α. η αουική τάρη ςηπ ςαλάμςχρηπ.

B. ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ.

Γ. η μάζα ςξσ ρώμαςξπ.

Δ. ξ οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςξσ ρώμαςξπ ςη υοξμική ρςιγμή t1 πξσ η επιςάυσμρη

είμαι 25m/s2.

Δίμεςαι 2π 10 .

Λύρη

Α) Από ςξ διάγοαμμα ταίμεςαι όςι ςη υοξμική ρςιγμή t 0 η επιςάυσμρη είμαι μέγιρςη

θεςική, άοα ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρςη θέρη –Α. Από ςημ ενίρχρη επιςάυσμρηπ-υοόμξσ

έυξσμε:

max o max max o o o

3πα α εκ σt θ α α εκθ 1 εκθ θ

2

Β) 2

maxα σ A (1)

Από ςξ διάγοαμμα ποξκύπςει όςι η υοξμική ρςιγμή t=0,3s ιρξδσμαμεί με 3Τ/4, άοα

Τ 0,4s και σ 2π / Τ 5π rad / s . Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) ποξκύπςει:

22 max

max 2 2

α 50m / sα σ A A A 0,2m

σ 25π

Γ) Όςαμ ςξ ρώμα διέουεςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ έυει μέγιρςη ςαυύςηςα maxπ σA .

Μεςανύ δύξ διαδξυικώμ διελεύρεχμ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ η μεςαβξλή ςηπ ξομήπ είμαι:

ηει αξρ max max maxΓp p p mπ ( mπ ) Γp 2mπ

80

Γp 2πkgm / sm m 1kg

2σA 2 5πr / s 0,2m

Δ) 1ΣF Ddp

xdt

(2)

2 2

1 1 1 1α σ x 25 25π x x 0,1m

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (2) εύκξλα ποξκύπςει:

2 2

1mσ 1kg (5πr / s) 25Νdp dp

x ( 0,1m)dt dt

81

Άσκηση 12.

Έμα ρώμα μάζαπ m 2kg ιρξοοξπεί δεμέμξ ρςξ πάμχ άκοξ

καςακόοστξσ ιδαμικξύ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k 50 N / m , ςξσ

ξπξίξσ ςξ κάςχ άκοξ είμαι ρςεοεχμέμξ ρςξ δάπεδξ.

Δκςοέπξσμε καςακόοστα ςξ ρώμα ποξπ ςα πάμχ μέυοι ςξ

τσρικό μήκξπ ςξσ ελαςηοίξσ (βλέπε ρυήμα) και ςξ ατήμξσμε

ελεύθεοξ. Να βοεθξύμ:

Α) ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρώμαςξπ.

Β) η εμέογεια πξσ δαπαμήθηκε για μα εκςοέφξσμε ςξ ρώμα από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ

μέυοι ςη θέρη ςξσ τσρικξύ μήκξσπ ςξσ ελαςηοίξσ.

Γ) η μέγιρςη δσμαμική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ και η μέγιρςη δσμαμική εμέογεια ςξσ

ελαςηοίξσ καςά ςη διάοκεια ςηπ ςαλάμςχρηπ.

Δ) η υοξμική ρςιγμή καςά ςημ ξπξία ςξ ρώμα θα απξκςήρει ςαυύςηςα μέςοξσ πm

3s

για δεύςεοη τξοά.

Θεχοείρςε θεςική τξοά ποξπ ςα πάμχ. Δίμεςαι 2g 10m / s .

Λύρη

Α) Όςαμ ατήρξσμε ςξ ρώμα ρςη θέρη τσρικξύ

μήκξσπ ςξσ ελαςηοίξσ, ασςό νεκιμά υχοίπ

ςαυύςηςα (πάμχ ακοαία θέρη ςηπ

ςαλάμςχρηπ). Όςαμ πεοάρει από ςη θέρη

ιρξοοξπίαπ, θα έυει διαμύρει απόρςαρη ίρη με

ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ.

Σςη θέρη ιρξοοξπίαπ:

mgΣF 0 mg k Γ Γ A 0,4m

k

Β) Η εμέογεια πξσ δαπαμήθηκε για μα εκςοέφξσμε ςξ ρώμα από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ

μέυοι ςη θέρη ςξσ τσρικξύ μήκξσπ ςξσ ελαςηοίξσ ιρξύςαι με ςημ εμέογεια ςηπ

ςαλάμςχρηπ.

2 2

δαπ δαπ

1 1 NE E kA (50 )(0,4m) E 4J

2 2 m

82

Γ) Η μέγιρςη δσμαμική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι ίρη με ςημ ξλική εμέογεια, δηλαδή

maxU E 4J

Η μέγιρςη δσμαμική εμέογεια ςξσ ελαςηοίξσ εμταμίζεςαι όςαμ ςξ ςαλαμςξύμεμξ ρώμα

βοίρκεςαι ρςημ κάςχ ακοαία θέρη ςηπ ςαλάμςχρηπ, δηλαδή όςαμ η απόρςαρη από ςξ

τσρικό μήκξπ ςξσ ελαςηοίξσ είμαι 2Α=0,8m.

2ει

max

1U k 2A 16J

2

Δ) Με εταομξγή ςηπ διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ ρςημ ςαλάμςχρη θα βοξύμε ρε πξια

απξμάκοσμρη x ςξ ρώμα απξκςά ςαυύςηςα μέςοξσ πm

3s

.

2 2 21 1 1K U E mπ kx kA

2 2 2

Με αμςικαςάρςαρη εύκξλα ποξκύπςει x 0,2m

Τη υοξμική ρςιγμή t=0 ςξ ρώμα νεκιμά από ςη θέρη +Α , άοα έυει για 2η

τξοά ςαυύςηςα μέςοξσ πm

3s

όςαμ διέουεςαι από ςη θέρη -0,2m για

1η τξοά. Θα σπξλξγίρξσμε ςη υοξμική ρςιγμή από ςημ ενίρχρη θέρηπ.

ox A εκ σt θ , (1)

Όπξσ Α 0,4m , k rad

σ 5m s

και o

πθ rad

2 (ςημ t=0 , x=+A)

Έςρι η ρυέρη (1) γοάτεςαι:

πx 0,4 εκ 5t (SI)

2

Αμςικαθιρςώμςαπ ςημ ςιμή ςξσ x παίομξσμε:

7π πεκ εκ 5t ,

6 2π 1 π0,2 0,4 εκ 5t εκ 5t

2 2 2 11π πεκ εκ 5t ,

6 2

(2)

(3)

Η ζηςξύμεμη λύρη βοίρκεςαι ρςημ πεοιξυή από 0 έχπ –Α με αομηςική ςαυύςηςα (ρςξ 3ξ

ςεςαοςημόοιξ ςξσ ςοιγχμξμεςοικξύ κύκλξσ), ξπόςε από ςη ρυέρη (2) για k 0

παίομξσμε: 7π π 2π

5t t s6 2 15

83

Άσκηση 13.

H πηγή ρςξ κύκλχμα ςξσ διπλαμξύ ρυήμαςξπ έυει

υαοακςηοιρςικά ε=60V, r=2 Ω, o πσκμχςήπ έυει

υχοηςικόςηςα C=200μF, ξ αμςιρςάςηπ έυει αμςίρςαρη

R=10Ω και ςξ ιδαμικό πημίξ ρσμςελερςή

ασςεπαγχγήπ L=0,5H. Ο μεςαγχγόπ αουικά

βοίρκεςαι ρςη θέρη 1 και ςξ κύκλχμα διαοοέεςαι

από ρςαθεοό οεύμα. Τη υοξμική ρςιγμή t=0 ξ μεςαγχγόπ ςξπξθεςείςαι ρςη θέρη 2.

Να βοεθξύμ:

Α) η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ πξσ διαοοέει ςημ πηγή και ςξ τξοςίξ ςξσ πσκμχςή όςαμ ξ

μεςαγχγόπ βοιρκόςαμ ρςη θέρη 1.

Β) η ενίρχρη πξσ πεοιγοάτει πχπ μεςαβάλλεςαι ςξ τξοςίξ ςξσ ξπλιρμξύ Γ ςξσ πσκμχςή

ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ μεςά ςη υοξμική ρςιγμή t=0 και μα παοαρςαθεί γοατικά ρε

αοιθμημέμξσπ άνξμεπ.

Γ) ςξ τξοςίξ ςξσ ξπλιρμξύ Γ ςη υοξμική ρςιγμή t1 πξσ η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ ρςξ

κύκλχμα γίμεςαι για ποώςη τξοά i=+I/2 , όπξσ Ι είμαι ςξ πλάςξπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ

οεύμαςξπ.

Δ) ςη υοξμική ρςιγμή t1 ςξσ εοχςήμαςξπ γ , η απόλσςξπ ςιμή ςξσ οσθμξύ μεςαβξλήπ ςηπ

έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα.

Λύρη

Α) Όςαμ ξ μεςαγχγόπ βοίρκεςαι ρςη θέρη 1, ξ

αμςιρςάςηπ διαοοέεςαι από οεύμα έμςαρηπ Ι1 και ξ

πσκμχςήπ τξοςίζεςαι λόγχ ςηπ διατξοάπ δσμαμικξύ ρςα

άκοα ςξσ αμςιρςάςη.

1 R 1 RI 5A , V I R 5A 10Ω V 50V ,R r

ε

6 2

RQ C V 200 10 50V Q 10 CF

Β) Όςαμ ξ μεςαγχγόπ μεςαβεί ρςη

θέρη 2, νεκιμξύμ αμείχςεπ ηλεκςοικέπ

ςαλαμςώρειπ υχοίπ αουική τάρη

καθώπ ςημ t=0 ξ πσκμχςήπ είμαι

πλήοχπ τξοςιρμέμξπ. Ο ξπλιρμόπ Γ

είμαι ξ ξπλιρμόπ αματξοάπ, ατξύ ςη

ρςιγμή t=0 είμαι θεςικά τξοςιρμέμξπ.

84

Γq Q ζπλσt , όπξσ 2Q 10 C και

1 radσ 100

sLC

Δπξμέμχπ 2

Γq 10 ζπλ100t , (S.I.)

Γ) Δταομόζξσμε ςημ αουή διαςήοηρηπ εμέογειαπ για ςξ κύκλχμα LC

2 2

B E Emax

21 1 q 1 QU U U Li

2 2 C 2 C

Αμςικαθιρςώμςαπ i Ι / 2 σQ / 2 παίομξσμε:

22 22 2 221 1 q 1 Q

L(σQ / 2) q L σ2 2 C 2 C

QQ C

4

22 2

q q q3Q 3 3

Q 10 C4 2 2

Όςαμ i=+I/2 για ποώςη τξοά, ασςό ρσμβαίμει κάπξια υοξμική ρςιγμή από Τ/2 έχπ 3Τ/4,

ςξ τξοςίξ ςξσ ξπλιρμξύ Γ ςξσ πσκμχςή είμαι αομηςικό (βλέπε και διαγοάμμαςα i=f(t) και

q=f(t)).

Άοα 2

q3

10 C2

Δ) O πσκμχςήπ και ςξ πημίξ έυξσμ κξιμά άκοα, άοα κάθε ρςιγμή ξι ςάρειπ ρςα άκοα ςξσπ

είμαι ίρεπ.

2

2 2 2

L C

di di di diV V L σ 10 50

dt dt dt dt

qq 3 Aq r / s 10 C 3

C LC 2 s

85

ΘΔΜΑ Δ

Πρόβλημα 1.

Σςξ κύκλχμα ςξσ ρυήμαςξπ η πηγή έυει ηλεκςοεγεοςική δύμαμη E 2 V και μηδεμική

ερχςεοική αμςίρςαρη, ξι χμικξί αμςιρςάςεπ έυξσμ αμςίρςαρη R 10 , ξ πσκμχςήπ έυει

υχοηςικόςηςα 6C 5 10 F , ςξ πημίξ 1L έυει ρσμςελερςή ασςεπαγχγήπ 1L 200 mH

και ςξ πημίξ 2L έυει ρσμςελερςή ασςεπαγχγήπ 2L 4 mH . Αουικά ξ πσκμχςήπ είμαι

ατόοςιρςξπ, ξ μεςαγχγόπ μ1 είμαι ρςη θέρη (Α), ξ μεςαγχγόπ μ2 είμαι ρςη θέρη (Γ) και ςξ

πημίξ 1L διαοοέεςαι από ρςαθεοό οεύμα. Σςοέτξσμε ςξ μεςαγχγό μ1 ρςη θέρη (Β) και ςξ

κύκλχμα L1C αουίζει μα εκςελεί αμείχςη ηλεκςοική ςαλάμςχρη. Κάπξια υοξμική ρςιγμή

0t 0 πξσ η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα L1C είμαι μηδέμ, ρςοέτξσμε ςξ

μεςαγχγό μ2 ρςη θέρη (Δ) και ςξ κύκλχμα RL2C αουίζει μα εκςελεί τθίμξσρα ηλεκςοική ςαλάμςχρη.

Να βοείςε:

α) ςη μέγιρςη ςιμή ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα L1C.

β) ςημ εμέογεια 1E ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ κσκλώμαςξπ L1C.

γ) ςξ λόγξ E

B

U

U ςηπ εμέογειαπ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχςή ποξπ ςημ εμέογεια

ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ ςξσ πημίξσ ρςξ κύκλχμα L1C, ςιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ καςά ςιπ

ξπξίεπ ςξ τξοςίξ ςξσ πσκμχςή είμαι 4q 10 C .

δ) ςη θεομόςηςα RQ πξσ οέει από ςξ κύκλχμα RL2C ποξπ ςξ πεοιβάλλξμ, από ςη

υοξμική ρςιγμή 0t μέυοι ςη υοξμική ρςιγμή 1t , καςά ςημ ξπξία ςξ μέγιρςξ τξοςίξ ςξσ

πσκμχςή είμαι 5

1Q 5 10 C .

Λύρη

α) Δπειδή ςξ πημίξ 1L διαοοέεςαι από ρςαθεοό οεύμα 0I ιρυύει:

0 0E I R I 0,2 A

R

L1 E

μ1

Κ

Λ

C

(Α) (Β)

R

L2

μ2 (Γ) (Δ)

86

Όςαμ ρςοέφξσμε ςξ μεςαγχγό μ1 ρςη θέρη (Β), λόγχ ασςεπαγχγήπ, ςξ πημίξ ρςιγμιαία

ενακξλξσθεί μα διαοοέεςαι από ςξ ίδιξ οεύμα 0I . Δπειδή αουικά ξ πσκμχςήπ είμαι

ατόοςιρςξπ, ασςή θα είμαι η μέγιρςη ςιμή ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα L1C:

1I 0,2 A

β) Η εμέογεια ςξσ κσκλώμαςξπ L1C βοίρκεςαι από ςη ρυέρη

2

1

1 QE (1)

2 C

Από ςη ρυέρη 1T 2 L C σπξλξγίζξσμε ςημ πεοίξδξ ςαλάμςχρηπ ςξσ κσκλώμαςξπ L1C:

1T 2 L C 6T 2 0,2 5 10 s 3T 2 10 s


T

έυξσμε:

3 rad10

s

Από ςξμ ςύπξ 1I Q βοίρκξσμε ςξ μέγιρςξ τξοςίξ ςξσ πσκμχςή:

41IQ Q 2 10 C

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) παίομξσμε 3

1E 4 10 J

γ) Δπειδή B EU E U , έυξσμε:

2

2

E E E E

2 2 2 2

B E B B

1 q

U U U U q2 C

1 Q 1 qU E U U U Q q

2 C 2 C

8 8

E E

88 8B B

U U10 J 10 J

U U 3 10 J4 10 10 J

E

B

U 1

U 3

δ) Δπειδή ςη υοξμική ρςιγμή 0t 0 , πξσ ρςοέφαμε ςξ μεςαγχγό μ2 ρςη θέρη (Δ), η

έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα L1C είμαι μηδέμ, ςξ τξοςίξ ςξσ πσκμχςή είμαι

μέγιρςξ, δηλαδή ιρξύςαι με 4Q 2 10 C . Ασςό είμαι ςξ τξοςίξ 0Q ςξσ πσκμχςή ςη

υοξμική ρςιγμή 0t , δηλαδή 4

0Q 2 10 C .

87

Η θεομόςηςα RQ πξσ οέει από ςξ κύκλχμα RL2C ποξπ ςξ πεοιβάλλξμ, από ςη υοξμική

ρςιγμή 0t μέυοι ςη υοξμική ρςιγμή 1t , ιρξύςαι με ςημ απώλεια εμέογειαπ 0 1E E από ςξ

κύκλχμα, ρςξ ίδιξ υοξμικό διάρςημα:

2 22 20 1

R 0 1 R R 0 1

Q Q1 1 1Q E E Q Q (Q Q )

2 C 2 C 2C

3

RQ 3,75 10 J

(βλ. και εοώςηρη 1.19, ρελ. 34 ςξσ Συξλικξύ Βιβλίξσ)

88

Πρόβλημα 2.

Σςξ ιδαμικό κύκλχμα ςξσ ρυήμαςξπ έυξσμε αουικά ςξμ πσκμχςή υχοηςικόςηςαπ

C 20 F τξοςιρμέμξ με τξοςίξ Q , με πξλικόςηςα πξσ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα και ςξσπ

διακόπςεπ Δ1 και Δ2, αμξικςξύπ. Τη υοξμική ρςιγμή 0t 0 ξ διακόπςηπ Δ1 κλείμει ξπόςε

ρςξ κύκλχμα L1C έυξσμε αμείχςη ηλεκςοική ςαλάμςχρη. Ο ρσμςελερςήπ ασςεπαγχγήπ

1L ςξσ πημίξσ ςξσ κσκλώμαςξπ L1C είμαι 1L 2 mH . Η μέγιρςη ςιμή ςηπ έμςαρηπ ςξσ

οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα L1C είμαι 2

1I 2 10 A . Τη υοξμική ρςιγμή 1 1t T , όπξσ 1T η

πεοίξδξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ κσκλώμαςξπ L1C, ξ διακόπςηπ Δ1 αμξίγει και ςασςόυοξμα κλείμει ξ Δ2, ξπόςε ρςξ κύκλχμα L2C έυξσμε αμείχςη ηλεκςοική ςαλάμςχρη με πεοίξδξ

2 1T 2T .

Να βοείςε:

α) ςημ πεοίξδξ 1T ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ κσκλώμαςξπ L1C.

β) ςξ μέγιρςξ τξοςίξ 1Q πξσ θα απξκςήρει ξ πσκμχςήπ υχοηςικόςηςαπ 1C καςά ςη

διάοκεια ςηπ ηλεκςοικήπ ςαλάμςχρηπ ςξσ κσκλώμαςξπ L1C.

γ) ςξ ρσμςελερςή ασςεπαγχγήπ 2L ςξσ πημίξσ ςξσ κσκλώμαςξπ L2C.

δ) ςη ρσμάοςηρη ςξσ τξοςίξσ q ςξσ ξπλιρμξύ Κ ςξσ πσκμχςή ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ και

μα ρυεδιάρεςε ςημ αμςίρςξιυη γοατική παοάρςαρη από 0t 0 μέυοι 2 1t 3T .

Λύρη


α) Από ςξμ ςύπξ 1T 2 LC με αμςικαςάρςαρη έυξσμε:

3 6

1 1 1T 2 L C T 2 2 10 20 10 s 4

1T 4 10 s

β) Από ςξμ ςύπξ 1

1

2

έυξσμε:

L1

Κ

Λ

C

Δ1

L2

Δ2

++++

-- --

89

3

1 1

1

2 rad5 10

s

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη 1 1 1I Q έυξσμε:

11 1 1 1

1

II Q Q

6

1Q 4 10 C

γ) Δπειδή 2 1T 2T , έυξσμε:

2 1T 2T 2 1 2 12 L C 2 2 L C L 4 L 3

2L 8 10 H

δ) Από 0t 0 μέυοι 1 1t T ςξ τξοςίξ ςξσ ξπλιρμξύ (Κ) ςξσ πσκμχςή μεςαβάλλεςαι

ρύμτχμα με ςη ρυέρη:

6 3

1 1q Q t q 4 10 5 10 t (SI) , 10 t T

Σύμτχμα με ασςή, ρςξ υοξμικό διάρςημα 10 t T , ςξ κύκλχμα L1C έυει εκςελέρει μια

πλήοη ηλεκςοική ςαλάμςχρη.

Τη υοξμική ρςιγμή 1 1t T , ξ διακόπςηπ Δ1 αμξίγει και ςασςόυοξμα κλείμει ξ Δ2, ξπόςε ςξ

κύκλχμα L2C νεκιμά αμείχςη ηλεκςοική ςαλάμςχρη με ςξμ ξπλιρμό Κ μα έυει τξοςίξ

1q Q , διόςι ςξ κύκλχμα έυει επιρςοέφει ρςημ αουική καςάρςαρη.

Από 1 1t T μέυοι 2 1t 3T ςξ τξοςίξ ςξσ ξπλιρμξύ (Κ) ςξσ πσκμχςή μεςαβάλλεςαι

ρύμτχμα με ςη ρυέρη:

6 3

1 2 1q Q (t T ) q 4 10 (2,5 10 t ) (SI) , 1 1T t 3T

Τξ μέγιρςξ τξοςίξ παοαμέμει ςξ ίδιξ και αλλάζει η πεοίξδξπ ςαλάμςχρηπ Τ.

Σύμτχμα με ςημ ποξηγξύμεμη ρυέρη, ρςξ υοξμικό διάρςημα 1 1T t 3T , επειδή 2 1T 2T

, ςξ κύκλχμα L2C έυει εκςελέρει μια πλήοη ηλεκςοική ςαλάμςχρη.

Η γοατική παοάρςαρη ςξσ τξοςίξσ q ςξσ ξπλιρμξύ Κ ςξσ πσκμχςή ρε ρυέρη με ςξ

υοόμξ, από 0t 0 μέυοι 2 1t 3T , είμαι η ενήπ:

91

Πρόβλημα 3.

Τξ ιδαμικό κύκλχμα LC ςξσ ρυήμαςξπ εκςελεί αμείχςη ηλεκςοική ςαλάμςχρη. Η έμςαρη

ςξσ οεύμαςξπ ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ δίμεςαι από ςημ ενίρχρη 3i 0,2 10 t (SI) , εμώ ξ

πσκμχςήπ έυει υχοηςικόςηςα C 20 F .

Να βοείςε:

α) ςη μέγιρςη ςάρη maxV μεςανύ ςχμ ξπλιρμώμ ςξσ πσκμχςή.

β) ςημ εμέογεια BU ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ ςξσ πημίξσ ςη υοξμική ρςιγμή 1t καςά ςημ

ξπξία η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα λαμβάμει ςημ ςιμή i 0,1A .

γ) ςημ παοαπάμχ υοξμική ρςιγμή 1t αμ γμχοίζξσμε όςι ασςό ρσμβαίμει για ποώςη τξοά

μεςά ςη υοξμική ρςιγμή 0t 0 .

δ) ςημ απόλσςη ςιμή ςξσ οσθμξύ μεςαβξλήπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα, ςη

υοξμική ρςιγμή 1t .

Λύρη

Με ρύγκοιρη ςχμ ενιρώρεχμ 3i 0,2 10 t (SI) και i I t ενάγξσμε ςιπ ενήπ

πληοξτξοίεπ:

• I 0,2 A

• 3 rad

10s

α) Από ςη ρυέρη I Q σπξλξγίζξσμε ςξ μέγιρςξ τξοςίξ ςξσ πσκμχςή:

4II Q Q Q 2 10 C

Από ςξμ ξοιρμό ςηπ υχοηςικόςηςαπ ςξσ πσκμχςή σπξλξγίζξσμε ςη μέγιρςη ςάρη maxV

μεςανύ ςχμ ξπλιρμώμ ςξσ:

max

max

Q QC V

V C maxV 10 V


92

β) Από ςξμ ςύπξ T 2 LC σπξλξγίζξσμε ςξ ρσμςελερςή ασςεπαγχγήπ ςξσ πημίξσ:

22 3 6

1 1 1T 2 LC L L H L 0,05 H

CLC 10 20 10


B

1U Li

2 σπξλξγίζξσμε ςημ εμέογεια ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ ςη υοξμική

ρςιγμή 1t καςά ςημ ξπξία η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα λαμβάμει ςημ ςιμή

i 0,1A :

2

B

1U Li

2

4

BU 2,5 10 J


γ) Δπειδή η ενίρχρη ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα είμαι ςηπ μξοτήπ 3i I 10 t , η

αμςίρςξιυη ενίρχρη ςξσ τξοςίξσ θα είμαι ςηπ μξοτήπ 3q Q 10 t . Συεδιάζξσμε ςιπ

αμςίρςξιυεπ γοατικέπ παοαρςάρειπ και ρημειώμξσμε ςη υοξμική ρςιγμή 1t καςά ςημ

ξπξία η έμςαρη ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα λαμβάμει ςημ ςιμή i 0,1A για ποώςη

τξοά μεςά ςη υοξμική ρςιγμή 0t 0 :

Παοαςηοξύμε όςι 1

Tt

4 .

Θέςξσμε ςημ ςιμή i 0,1A ρςημ ενίρχρη 3i 0,2 10 t (SI) και έυξσμε:

3 3 3

1 1 1 1

1 k0,1 0,2 10 t 10 t 10 t 2k t s

2 6 500 6000

Για ποώςη τξοά ρσμβαίμει για k=0, άοα

93

3

1t 10 s6

δ) Από ςη ρυέρη 4 3q 2 10 10 t σπξλξγίζξσμε ςξ τξοςίξ ςη υοξμική ρςιγμή 1t :

4 3 4 4q 2 10 10 t q 2 10 q 3 10 C6

Από ςξμ ξοιρμό ςηπ υχοηςικόςηςαπ ςξσ πσκμχςή σπξλξγίζξσμε ςημ ςάρη V μεςανύ ςχμ

ξπλιρμώμ ςξσ ςη υοξμική ρςιγμή 1t :

q qC V V 5 3 V

V C

Η ςάρη V μεςανύ ςχμ ξπλιρμώμ ςξσ πσκμχςή ιρξύςαι κάθε ρςιγμή με ςημ απόλσςη ςιμή

ςηπ ηλεκςοεγεοςικήπ δύμαμηπ από ασςεπαγχγή E ρςα άκοα ςξσ πημίξσ:

E V 5 3 V

Η ηλεκςοεγεοςική δύμαμη από ασςεπαγχγή δίμεςαι από ςξμ ςύπξ:

diE L

dt

diE L

dt

όπξσ di

dt είμαι η απόλσςη ςιμή ςξσ οσθμξύ μεςαβξλήπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ ρςξ

κύκλχμα.

Με αμςικαςάρςαρη ςιμώμ έυξσμε:

di diE L 5 3 0,05

dt dt

di A100 3

dt s


94

Πρόβλημα 4.

Έμα ρώμα μάζαπ m 4 kg ιρξοοξπεί πάμχ ρε λείξ κεκλιμέμξ επίπεδξ πξσ ρυημαςίζει με

ςξμ ξοίζξμςα γχμία 030 . Τξ ρώμα είμαι δεμέμξ ρςημ άκοη ιδαμικξύ ελαςηοίξσ

ρςαθεοάπ N

k 100m

ςξ άλλξ άκοξ ςξσ ξπξίξσ ρςεοεώμεςαι ρςημ κξοστή ςξσ

κεκλιμέμξσ επιπέδξσ, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα.

Δκςοέπξσμε ςξ ρώμα καςά 0,1m από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ ποξπ ςα κάςχ καςά μήκξπ

ςξσ κεκλιμέμξσ επιπέδξσ και ςη υοξμική ρςιγμή 0t 0 ςξ ατήμξσμε ελεύθεοξ.

Θεχοώμςαπ θεςική ςη τξοά ςξσ ρυήμαςξπ:

α) Να απξδείνεςε όςι ςξ ρώμα θα εκςελέρει απλή αομξμική ςαλάμςχρη.

β) Να γοάφεςε ςημ ενίρχρη πξσ πεοιγοάτει πχπ μεςαβάλλεςαι η επιςάυσμρη ςξσ ρώμαςξπ ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ καςά ςη διάοκεια ςηπ απλήπ αομξμικήπ ςαλάμςχρηπ.

γ) Να βοείςε ςξ οσθμό μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςξσ ρώμαςξπ ρςη θέρη A

x2

, όπξσ Α ςξ

πλάςξπ ςηπ απλήπ αομξμικήπ ςαλάμςχρηπ.

δ) Να σπξλξγίρεςε ςημ επιπλέξμ εμέογεια W πξσ ποέπει μα δξθεί ρςξ ρύρςημα, ποξκειμέμξσ μα διπλαριαρςεί ςξ πλάςξπ ςηπ απλήπ αομξμικήπ ςαλάμςχρηπ.

τ

(+)

95

Λύρη

α)

• Συεδιάζξσμε ςξ ελαςήοιξ ρςη θέρη τσρικξύ μήκξσπ (ΘΦΜ).

• Συεδιάζξσμε ςξ ρύρςημα πξσ ςαλαμςώμεςαι ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ (ΘΙ) και ρε μια ςσυαία θέρη (ΤΘ).

• Ομξμάζξσμε d ςημ απόρςαρη ΘΦΜ – ΘΙ και x ςημ απόρςαρη ΘΙ – ΤΘ (Τσυαία Θέρη).

• Συεδιάζξσμε ςιπ αρκξύμεμεπ δσμάμειπ ρςη ΘΙ και ρςημ ΤΘ.

• Σςη ΘΙ ιρυύει:

x xF 0 F w 0 kd w (1)

• Σςημ ΤΘ ιρυύει:

x x xF F ' w F k(d x) w F kd kx w

Με αμςικαςάρςαρη ςηπ (1) έυξσμε:

F kx

• Ασςή η ενίρχρη είμαι ςηπ μξοτήπ F Dx , η ξπξία απξςελεί ικαμή και αμαγκαία ρσμθήκη απλήπ αομξμικήπ ςαλάμςχρηπ. Δπξμέμχπ, ςξ ρώμα εκςελεί απλή αομξμική

ςαλάμςχρη με D k .

β) Από ςη ρυέρη 2D m , θέςξμςαπ D k , σπξλξγίζξσμε ςη γχμιακή ρσυμόςηςα ςηπ

ςαλάμςχρηπ:

96

2 2N radk m 100 4kg 5

m s

Δπειδή εκςοέφαμε ςξ ρώμα καςά 0,1m από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ ποξπ ςα κάςχ καςά

μήκξπ ςξσ κεκλιμέμξσ επιπέδξσ και ςξ ατήραμε ελεύθεοξ, ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ

είμαι A 0,1m .


maxa A σπξλξγίζξσμε ςη μέγιρςη επιςάυσμρη:

2

max max 2

ma A a 2,5

s

Τη υοξμική ρςιγμή 0t 0 ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρςημ ακοαία θεςική θέρη ςηπ ςαλάμςχρήπ

ςξσ. Δπξμέμχπ:

0

x At 0

0

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ 0x A ( t ) έυξσμε:

0 0 0A A 1 rad2

Αμςικαθιρςώμςαπ ςιπ ςιμέπ ςχμ maxa , και 0 ρςημ ενίρχρη ςηπ επιςάυσμρηπ, έυξσμε:

max 0a a ( t ) a 2,5 (5t ) (SI)2

γ) Σύμτχμα με ςξ 2ξ Νόμξ Newton, ξ οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςξσ ρώμαςξπ ιρξύςαι με ςη ρσμιρςαμέμη δύμαμη (δύμαμη επαματξοάπ). Με αμςικαςάρςαρη έυξσμε:

2

dp dp dp 0,1 mF Dx 100 ( )kg

dt dt dt 2 s

2

dp kg m5

dt s

δ) Αμ η αουική εμέογεια ςαλάμςχρηπ είμαι E και η ςελική εμέογεια ςαλάμςχρηπ είμαι E ',

η διατξοά ςχμ δύξ εμεογειώμ ξτείλεςαι ρςημ επιπλέξμ εμέογεια W πξσ θα δξθεί ρςξ ρύρςημα. Δπξμέμχπ:

2 21 1W E' E W D(2A) DA

2 2 23

W kA2

W 1,5 J

97

Πρόβλημα 5.

Καςακόοστξ ελαςήοιξ ρςαθεοάπ k έυει ςξ κάςχ άκοξ ςξσ ρςεοεχμέμξ ρςξ δάπεδξ. Σςξ

άμχ άκοξ ςξσ ελαςηοίξσ έυει ποξρδεθεί ρώμα Σ1 μάζαπ 1m 2 kg πξσ ιρξοοξπεί. Τη

υοξμική ρςιγμή 0t 0 ατήμεςαι πάμχ ρςξ ρώμα Σ1, υχοίπ ςαυύςηςα, έμα άλλξ ρώμα Σ2

μάζαπ 2m 1kg . Τξ ρύρςημα ελαςήοιξ – Σ1 – Σ2 νεκιμά μα εκςελεί απλή αομξμική

ςαλάμςχρη πλάςξσπ 1

A m30

.

Θεχοώμςαπ θεςική ςημ καςακόοστη ποξπ ςα πάμχ τξοά, μα βοείςε:

α) Τη ρςαθεοά k ςξσ ελαςηοίξσ.

β) Τη μέγιρςη ρσρπείοχρη maxL ςξσ ελαςηοίξσ από ςξ τσρικό ςξσ μήκξπ.

γ) Τημ ενίρχρη U f (t) ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρσρςήμαςξπ.

δ) Τη δύμαμη επατήπ N πξσ αρκείςαι από ςξ Σ2 ρςξ Σ1 ρςη θέρη μέγιρςηπ ρσρπείοχρηπ ςξσ ελαςηοίξσ.


Λύρη


Συεδιάζξσμε ςξ ελαςήοιξ ρςη θέρη τσρικξύ μήκξσπ (ΘΦΜ) και ςξ ρύρςημα ελαςήοιξ – Σ1 ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ (ΘΙ(1)). Συεδιάζξσμε ςξ ρύρςημα ελαςήοιξ – Σ1 – Σ2 ρςημ αουική ςξσ θέρη, η ξπξία είμαι και ακοαία θεςική θέρη ςαλάμςχρηπ (ΑΘ(+)), ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ (ΘΙ(1+2)) και ρςημ ακοαία αομηςική θέρη ςαλάμςχρηπ (ΑΘ(-)), η ξπξία είμαι και θέρη μέγιρςηπ ρσρπείοχρηπ ςξσ ελαςηοίξσ:

98

α) Βοίρκξσμε ςημ απόρςαρη 1d μεςανύ ςηπ θέρηπ τσρικξύ μήκξσπ (ΘΦΜ) και ςηπ θέρηπ

ιρξοοξπίαπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1 (ΘΙ(1)), από ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ:

Σςη ΘΙ(1): 1F 0 F w 0 1 1kd m g 11

m gd

k (1)

Βοίρκξσμε ςημ απόρςαρη d 2 μεςανύ ςηπ θέρηπ ιρξοοξπίαπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1 και ςηπ θέρηπ ιρξοοξπίαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ Σ1+Σ2 (ΘΙ(1+2)) ,από ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ:

Σςη ΘΙ(1+2):

1 2 1 2 1 2F 0 F ' w w 0 k(d d ) (m m )g 1 2 1 2kd kd m g m g

και επειδή 1 1kd m g :

22 2 2

m gkd m g d

k

Δπειδή ςξ ρύρςημα ελαςήοιξ – Σ1 – Σ2 νεκιμά μα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη από ςη ΘΙ(1) υχοίπ ςαυύςηςα, ασςή η θέρη θα είμαι ακοαία θέρη ςηπ ςαλάμςχρηπ. Δπξμέμχπ, ςξ πλάςξπ Α ςηπ ςαλάμςχρηπ ιρξύςαι με ςημ απόρςαρη ΘΙ(1) – ΘΙ(1+2), δηλαδή με ςημ απόρςαρη d2:

2 22

m g m gd A A k

k A

Nk 300

m

β) Από ςη ρυέρη (1) σπξλξγίζξσμε ςημ απόρςαρη d1:

11 1

m g 2d d m

k 30

99

Όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα, η μέγιρςη ρσρπείοχρη maxL ςξσ ελαςηοίξσ από ςξ τσρικό

ςξσ μήκξπ είμαι:

max 1L d 2A max

4L m

30

γ) Η δσμαμική εμέογεια μιαπ α.α.ς. ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ δίμεςαι από ςη ρυέρη 2

0U E ( t )

Όμχπ

21E DA

2

Δπειδή N

D k 300m

, με αμςικαςάρςαρη ρςξμ ςύπξ 21

E DA2

, σπξλξγίζξσμε ςημ

εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ:

2

21 1 N 1 1E DA E 300 m E J

2 2 m 30 6


1 2D (m m ) σπξλξγίζξσμε ςη γχμιακή ρσυμόςηςα:

2 2

1 2

radD (m m ) 300 3 10

s

Τη υοξμική ρςιγμή 0t 0 η ςαλάμςχρη νεκιμά από ςη θέρη x A . Βοίρκξσμε ςημ

αουική τάρη ςηπ ςαλάμςχρηπ χπ ενήπ:

0 0 0 0x A ( t ) A A 1 rad2

Με αμςικαςάρςαρη ρςξμ ςύπξ 2

0U E ( t ) έυξσμε:

2 2

0

1U E ( t ) U (10t )

6 2

21U 10t (SI)

6

δ) Για μα σπξλξγίρξσμε ςη δύμαμη επατήπ N πξσ αρκείςαι από ςξ Σ2 ρςξ Σ1 αοκεί μα

σπξλξγίρξσμε ςη δύμαμη επατήπ N πξσ αρκείςαι από ςξ Σ1 ρςξ Σ2. Σςη θέρη μέγιρςηπ ρσρπείοχρηπ ςξσ ελαςηοίξσ, ρυεδιάζξσμε ςιπ αρκξύμεμεπ δσμάμειπ ρςξ Σ2.

Για ςημ απλή αομξμική ςαλάμςχρη ςξσ ρώμαςξπ Σ2, ρε κάθε θέρη ιρυύει:

2 2F D x (2)

100

Τξ ρώμα Σ2 ςαλαμςώμεςαι με ςημ ίδια γχμιακή ρσυμόςηςα χ πξσ ςαλαμςώμεςαι ςξ

ρύρςημα ελαςήοιξ – Σ1 – Σ2, άοα για ςη ρςαθεοά 2D ιρυύει: 2

2 2D m

Έςρι η ρυέρη (2) γίμεςαι:

2 2

2 2 2 2N' m g m x N' m g m x

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ ςελεσςαία ρυέρη παίομξσμε:

2

2

m rad 1N' 1kg 10 1kg 10 m

s s 30

10 40N' 10 N' N

3 3

Δπειδή ξι δσμάμειπ N ' και N είμαι αμςίθεςεπ, για ςιπ αλγεβοικέπ ςιμέπ ςξσπ έυξσμε:

N N' 40

N N3

Δηλαδή, η δύμαμη N έυει μέςοξ 40

N3

και καςεύθσμρη ποξπ ςα κάςχ.

101

Πρόβλημα 6.

Έμα καςακόοστξ ελαςήοιξ ρςαθεοάπ k 100 N / m έυει ςξ άμχ άκοξ ςξσ ρςεοεχμέμξ ρε

ξοξτή. Σςξ κάςχ άκοξ ςξσ ελαςηοίξσ έυει ποξρδεθεί ρώμα Σ1 μάζαπ 1m 3 kg πξσ

ιρξοοξπεί ρςη θέρη ΘΙ(1). Τη υοξμική ρςιγμή 0t 0 , έμα βλήμα Σ2 μάζαπ 2m 1kg πξσ

κιμείςαι ρςξμ άνξμα ςξσ ελαςηοίξσ με ςαυύςηςα μέςοξσ 2 και τξοά ποξπ ςα πάμχ,

ποξρκοξύει ρςξ ρώμα Σ1 και ρτημώμεςαι ρ' ασςό. Τξ ρσρρχμάςχμα νεκιμά μα εκςελεί

απλή αομξμική ςαλάμςχρη με αουική ςαυύςηςα μέςοξσ 3 m

2 s .

Θεχοώμςαπ θεςική ςημ καςακόοστη ποξπ ςα κάςχ τξοά, μα βοείςε:

α) ςημ επιμήκσμρη 1d ςξσ ελαςηοίξσ χπ ποξπ ςξ τσρικό ςξσ μήκξπ, ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ

ΘΙ(1) ςξσ ρώμαςξπ Σ1.

β) ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ 2 ςξσ βλήμαςξπ.

γ) ςξ πλάςξπ Α ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ.

δ) ςημ ενίρχρη f (t) ςηπ ςαυύςηςαπ με ςημ ξπξία ςαλαμςώμεςαι ςξ ρσρρχμάςχμα.


Λύρη

(βλ. ρελ. 8-13 και 154, 157 ςξσ Συξλικξύ Βιβλίξσ)

Συεδιάζξσμε ςξ ελαςήοιξ ρςη θέρη τσρικξύ μήκξσπ (ΘΦΜ), ςξ ρύρςημα ελαςήοιξ – Σ1 ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ (ΘΙ(1)) και ρςημ ίδια θέρη ςξ ρύρςημα ελαςήοιξ – Σ1 – Σ2 αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη, η ξπξία είμαι και αουική θέρη ςηπ ςαλάμςχρηπ. Δπίρηπ ρυεδιάζξσμε ςξ ρύρςημα ελαςήοιξ – Σ1 – Σ2 ρςημ ακοαία αομηςική θέρη ςαλάμςχρηπ (ΑΘ(-)), ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ (ΘΙ(1+2)) και ρςημ ακοαία θεςική θέρη ςαλάμςχρηπ (ΑΘ(+)):

1

2

2υ

(+)

102

α) Βοίρκξσμε ςημ απόρςαρη 1d μεςανύ ςηπ θέρηπ τσρικξύ μήκξσπ (ΘΦΜ) και ςηπ θέρηπ

ιρξοοξπίαπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1 (ΘΙ(1)) από ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ:

ρςη ΘΙ(1):

1F 0 F w 0 1 1kd m g 11

m gd

k

1

3 10d m

100

1d 0,3 m

β) Τξ ρύρςημα είμαι μξμχμέμξ καςά ςξμ ελάυιρςξ υοόμξ πξσ διαοκεί η κοξύρη, επξμέμχπ η ξομή ςξσ ρσρςήμαςξπ διαςηοείςαι:

p ( ) p ( )ξλ ξλποιμ μεςά

Θεχοώμςαπ θεςική ςημ καςακόοστη ποξπ ςα κάςχ τξοά και με υοήρη αλγεβοικώμ ςιμώμ έυξσμε:

1 2 2 2 1 2p ( ) p ( ) p p p 0 m (m m )ξλ ξλποιμ μεςά

1 22 2

2

m m 3 1 3 m

m 1 2 s

2

m2 3

s

Τξ αομηςικό ποόρημξ δείυμει ςη τξοά κίμηρηπ ςξσ βλήμαςξπ. Η ςαυύςηςα ςξσ βλήμαςξπ

έυει μέςοξ 2

m2 3

s

γ) Μεςά ςημ κοξύρη ςξ ρσρρχμάςχμα νεκιμά αομξμική ςαλάμςχρη με θέρη ιρξοοξπίαπ πξσ βοίρκεςαι υαμηλόςεοα από ςημ αουική καςά d2. Τξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ θα βοεθεί εταομόζξμςαπ ςη διαςήοηρη ςηπ εμέογειαπ για ςημ ςαλάμςχρη.

103

Από ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ Σ1+Σ2 βοίρκξσμε ςη μεςαςόπιρη d2 ςηπ θέρηπ ιρξοοξπίαπ.

Για ςη ΘΙ(1+2) ιρυύει: 1 2 1 2 1 2F 0 F ' w w 0 k(d d ) (m m )g

1 2 1 2kd kd m g m g

και επειδή 1 1kd m g παίομξσμε:

22 2 2 2

m gkd m g d d 0,1m

k

Από ςη διαςήοηρη ςηπ εμέογειαπ για ςημ ςαλάμςχρη μεςανύ ςηπ αουικήπ θέρηπ και ςηπ

ακοαίαπ και λαμβάμξμςαπ σπόφη όςι N

D k 100m

, έυξσμε:

22 2 2 2 21 2

1 2 2 2

(m m )1 1 1E K U kA (m m ) k( d ) A d

2 2 2 k

2

2 2 2

34

2A 0,1 m

100

A 0,2 m

δ) Η ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ ρςη γεμική ςηπ μξοτή δίμεςαι από ςη ρυέρη

max 0( t )


1 2D (m m ) για N

D k 100m

βοίρκξσμε ςη γχμιακή ρσυμόςηςα ςηπ

ςαλάμςχρηπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ:

2 2

1 2

radD (m m ) 100 4 5

s

Από ςη ρυέρη max A σπξλξγίζξσμε ςη μέγιρςη ςαυύςηςα ςηπ ςαλάμςχρηπ:

max max

mA 1

s

Για ςξμ σπξλξγιρμό ςηπ αουικήπ τάρηπ εογαζόμαρςε χπ ενήπ:

Τη υοξμική ρςιγμή 0t 0 ιρυύει 0 2x d και 0 0 . Με αμςικαςάρςαρη ρςιπ

ενιρώρειπ 0x A ( t ) και max 0( t ) έυξσμε:

0 2 0 0

1x A ( t ) d A

2 (1)

104

max 0 max 0 0( t ) 0 0 (2)

Η επίλσρη ςξσ ρσρςήμαςξπ ςχμ (1) και (2) δίμει 0

72k

6

. Δπειδή 00 2 ,

θέςξμςαπ k 0 έυξσμε 0

7rad

6

.

Με αμςικαςάρςαρη ςχμ ςιμώμ max

m1

s ,

rad5

s , 0

7rad

6

ρςη ρυέρη

max 0( t ) έυξσμε:

7(5t ) (SI)

6

105

Πρόβλημα 7.

Τξ ρώμα Σ μάζαπ m 1kg ςξσ ρυήμαςξπ είμαι δεμέμξ ρςξ έμα άκοξ ξοιζξμςίξσ

ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ N

k 400m

. Τξ άλλξ άκοξ ςξσ ελαςηοίξσ είμαι ακλόμηςα

ρςεοεχμέμξ. Τξ ρύρςημα ελαςήοιξ – ρώμα Σ ιρξοοξπεί ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ. Τη

υοξμική ρςιγμή 0t 0 αρκείςαι ρςξ ρώμα Σ ρςαθεοή ξοιζόμςια δύμαμη μέςοξσ F με

απξςέλερμα ςξ ρύρςημα μα νεκιμήρει απλή αομξμική ςαλάμςχρη πλάςξσπ A 0,4 m .

Να βοεθεί:

α) ςξ μέςοξ F ςηπ δύμαμηπ.

β) η ενίρχρη x f (t) ςηπ απξμάκοσμρηπ ςξσ ρώμαςξπ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ.

γ) η ενίρχρη F f (t) ςηπ δύμαμηπ πξσ αρκεί ςξ ελαςήοιξ ρςξ ρώμα.

δ) Τξ πλάςξπ A ' και η ξλική εμέογεια E ' ςηπ μέαπ ςαλάμςχρηπ πξσ θα εκςελέρει ςξ ρώμα, αμ κάπξια ρςιγμή πξσ ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρςημ ακοαία θεςική θέρη ςαλάμςχρηπ, καςαογηθεί η δύμαμη F.

Λύρη


Συεδιάζξσμε ςξ ελαςήοιξ ρςη θέρη τσρικξύ μήκξσπ (ΘΦΜ), ςξ ρύρςημα ελαςήοιξ – Σ

ρςημ αουική ςξσ θέρη, η ξπξία είμαι και ακοαία αομηςική θέρη ςαλάμςχρηπ (ΑΘ(-)), ρςη

θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ (ΘΙ), και ρςημ ακοαία θεςική θέρη ςαλάμςχρηπ (ΑΘ(+)). Δπίρηπ,

ρυεδιάζξσμε ςξ ρύρςημα ελαςήοιξ – Σ ρςημ αουική θέρη ςηπ μέαπ ςαλάμςχρηπ, η ξπξία

είμαι και ακοαία θεςική θέρη ςαλάμςχρηπ (ΑΘ(+)) και ρςη μέα ακοαία αομηςική θέρη

ςαλάμςχρηπ (ΝΔΑ ΑΘ(-)). Η μέα θέρη ιρξοοξπίαπ (ΝΔΑ ΘΙ) ρσμπίπςει με ςη ΘΦΜ:

Σ

(+)

F

106

α) Δπειδή ςξ ρώμα Σ αουικά δεμ έυει ςαυύςηςα, νεκιμά μα ςαλαμςώμεςαι από ακοαία θέρη

ςαλάμςχρηπ (ΑΘ(-)). Δπξμέμχπ, η απόρςαρη d 1 μεςανύ ςηπ θέρηπ τσρικξύ μήκξσπ (ΘΦΜ) και ςηπ θέρηπ ιρξοοξπίαπ (ΘΙ) ςξσ ρώμαςξπ Σ είμαι ίρη με ςξ πλάςξπ ςηπ

ςαλάμςχρηπ: 1d A 0,4 m .

Από ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ ρςη ΘΙ παίομξσμε:

1F 0 F F 0 kd F F 400 0,4N F 160 N

β) Η ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ ρςη γεμική ςηπ μξοτή δίμεςαι από ςη ρυέρη

0x A ( t )

Από ςη ρυέρη 2D k m σπξλξγίζξσμε ςη γχμιακή ρσυμόςηςα:

2 k radk m 20

m s

Τη υοξμική ρςιγμή 0t 0 η ςαλάμςχρη νεκιμά από ςη θέρη x A . Βοίρκξσμε ςημ

αουική τάρη ςηπ ςαλάμςχρηπ χπ ενήπ:

0 0 0 0

3x A ( t ) A A 1 rad

2

Δπξμέμχπ, η ενίρχρη x f (t) ςηπ απξμάκοσμρηπ ςξσ ρώμαςξπ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ

δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: 3

x 0,4 (20t ) (SI)2

γ) Θέςξμςαπ D k (βλέπε ρυ. Βιβλίξ) ρςη ρυέρη F Dx και υοηριμξπξιώμςαπ αλγεβοικέπ ςιμέπ, έυξσμε:

107

F kx F F kx F 160 400x F 400x 160 SI

Αμςικαθιρςώμςαπ ςημ απξμάκοσμρη με 3

x 0,4 (20t )2

έυξσμε:

3F 160 (20t ) 160 (SI)

2

δ) Αμ κάπξια ρςιγμή πξσ ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρςημ ακοαία θεςική θέρη ςαλάμςχρηπ, καςαογηθεί η δύμαμη F, η μέα θέρη ιρξοοξπίαπ (ΝΔΑ ΘΙ) θα ρσμπίπςει με ςη ΘΦΜ.

Δπξμέμχπ: A' 2A A' 0,8 m

Για ςη μέα ξλική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ έυξσμε (θέςξμςαπ D k ):

2 2 21 1 NE' DA' E ' 400 0,8 m

2 2 m E' 128 J

108

Πρόβλημα 8.

Tξ ρώμα ςξσ ρυήμαςξπ έυει μάζα m 2kg και

ιρξοοξπεί ρςεοεχμέμξ ρςξ πάμχ άκοξ ιδαμικξύ

καςακόοστξσ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k 200 N / m , ςξ

άλλξ άκοξ ςξσ ξπξίξσ είμαι ακλόμηςα ρςεοεχμέμξ.

Δκςοέπξσμε ςξ ρώμα από ςη Θ.Ι. ςξσ τέομξμςάπ ςξ

ρςη θέρη τσρικξύ μήκξσπ ςξσ ελαςηοίξσ. Τη υοξμική

ρςιγμή t 0 δίμξσμε ρςξ ρώμα αουική ςαυύςηςα 3 m / s , ποξπ ςα πάμχ.

α) Να σπξλξγίρεςε ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ.

β) Να γοάφεςε ςημ ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ y f t .

γ) Να σπξλξγίρεςε ςημ μέγιρςη εμέογεια ςξσ ελαςηοίξσ;

δ) Να βοείςε πξια υοξμική ρςιγμή, ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρώμαςξπ απξκςά μέγιρςη

ςιμή για δεύςεοη τξοά, μεςά ςη ρςιγμή t 0 .

ε) Να βοείςε ςημ ξομή ςξσ ρώμαςξπ καςά ςη υοξμική ρςιγμή t s10

.

Δίμξμςαι: 2g 10 m / s ,

1

6 2

,

3

6 2

και όςι η θεςική τξοά είμαι ποξπ ςα

πάμχ.

Λύρη

α)

Σςη θέρη ιρξοοξπίαπ ιρυύει

109

mg 2 10Nmg ky y 0,1m

k 200N / m

Δταομόζξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ εμέογειαπ για ςημ ςαλάμςχρη μεςανύ ςηπ θέρηπ πξσ νεκιμά η

ςαλάμςχρη και ςηπ πάμχ ακοόςαςηπ θέρηπ.

U K E

2 22 2 21 1 1 ky m 200 0,01 2 3

ky m kA A m A 0,2m2 2 2 k 200

β) Γεμικά η ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ είμαι:

0y A t και ςηπ ςαυύςηςαπ είμαι 0( t )

Για 0t 0 γίμξμςαι 0y A και 0A

Από ςημ εκτώμηρη για 0t 0 , A

y 0,1m2

και 0

Με αμςικαςάρςαρη βοίρκξσμε: 0 0 0

1 5

2 6 6ή

Δεκςή γίμεςαι η ςιμή 06

(1ξ ςεςαοςημόοιξ , 0 0 0 ).

Από ςη ρυέρη 2k m παίομξσμε k 200

rad / s 10rad / sm 2

Άοα, η ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ γίμεςαι y 0,2 10t S.I.6

γ) Η μέγιρςη εμέογεια ςξσ ελαςηοίξσ βοίρκεςαι ρςη θέρη ςηπ μέγιρςηπ παοαμόοτχρηπ

ςξσ, δηλαδή ρςημ κάςχ ακοόςαςη θέρη ςηπ ςαλάμςχρηπ.

2

.max.

1 1U k A y 200 0,09J 9J

2 2

δ) Η ςαυύςηςα απξκςά ςη μέγιρςη ςιμή ςηπ όςαμ ςξ ρώμα διέουεςαι από ςη θέρη

ιρξοοξπίαπ ςξσ, δηλαδή όςαμ:

110

y 0 0 0,2 10t 10t 0 10t k6 6 6

k 0 t 0 απξοοίπςεςαι

5

k 1 t s60

1η τξοά

11

k 2 t s60

2η τξοά.

ε)

p m m A t 2 10 0,2 10 kgm / s 4 kgm / s6 10 6 6

p 4 kgm / s6

3p 4 kgm / s p 2 3 kgm / s

2

Τξ αομηςικό ποόρημξ δηλώμει όςι ςξ ρώμα κιμείςαι ποξπ ςα κάςχ.

111

Πρόβλημα 9.

Έμαπ κύβξπ μάζαπ M 10 kg ιρξοοξπεί ςξπξθεςημέμξπ πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ.

Σςη μια καςακόοστη έδοα ςξσ κύβξσ είμαι δεμέμη η μια άκοη ιδαμικξύ ξοιζόμςιξσ

ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k 250 N / m , ςξσ ξπξίξσ η άλλη άκοη είμαι δεμέμη ρε ακλόμηςξ

ρημείξ καςακόοστξσ ςξίυξσ. Τξ ελαςήοιξ βοίρκεςαι ρςξ τσρικό ςξσ μήκξπ. Σςημ

απέμαμςι καςακόοστη έδοα ςξσ κύβξσ είμαι δεμέμξ μη ελαρςικό και αβαοέπ μήμα ςξ

ξπξίξ έυει όοιξ θοαύρεχπ F 120 .

Μέρχ ςξσ μήμαςξπ αρκξύμε ρςξ ρώμα δύμαμη καςά ςη διεύθσμρη ςξσ άνξμα ςξσ

ελαςηοίξσ και με τξοά ςέςξια ώρςε ςξ ελαςήοιξ μα επιμηκύμεςαι. Τξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ

μεςαβάλλεςαι ρε ρσμάοςηρη με ςημ επιμήκσμρη x ςξσ ελαςηοίξσ ρύμτχμα με ςημ

ενίρχρη F 80 200x (SI).

α) Να βοείςε ςη δσμαμική εμέογεια ςξσ ελαςηοίξσ ςη ρςιγμή πξσ κόβεςαι ςξ μήμα.

β. Να βοείςε ςημ ςαυύςηςα ςξσ κύβξσ ςη ρςιγμή πξσ κόβεςαι ςξ μήμα.

γ) Να γοάφεςε ςημ ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ y f t . Να θεχοήρεςε 0t 0 ςη ρςιγμή

πξσ κόβεςαι ςξ μήμα και άνξμα x x με αουή ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ κύβξσ και θεςική

τξοά εκείμη καςά ςημ ξπξία ςξ ελαςήοιξ επιμηκύμεςαι.

δ) Να βοείςε μεςά από πόρξ υοόμξ από ςη ρςιγμή 0t 0 πξσ κόβεςαι ςξ μήμα, θα

πεοάρει ξ κύβξπ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ για ποώςη τξοά.

Λύρη

α) Τη ρςιγμή πξσ κόβεςαι ςξ μήμα, ςξ

ελαςήοιξ έυει επιμηκσμθεί καςά x και η

δύμαμη έυει πάοει ςημ ςιμή πξσ καθξοίζει

ςξ όοιξ θοαύρηπ ςξσ μήμαςξπ.

120N 80NF 80 200x x

200N / m

x 0,2m

Τημ ίδια ρςιγμή η δσμαμική εμέογεια ςξσ

ελαςηοίξσ είμαι:

112

221 1 N

U kx 250 0,2m U 5J2 2 m

β) Παοαςηοξύμε όςι από x 0 μέυοι x 0,2m , η δύμαμη πξσ αρκξύμε ρςξ ρώμα, μέρχ

ςξσ μήμαςξπ, είμαι μεγαλύςεοη από ςη δύμαμη πξσ ςξσ αρκεί ςξ ελαςήοιξ

(80 200x 250x) .

Ασςό ρημαίμει όςι η εμέογεια πξσ ποξρτέοαμε εμείπ ρςξ ρώμα, μέρχ ςξσ έογξσ ςηπ

F 80 200x , είμαι μεγαλύςεοη από ςημ εμέογεια πξσ ςξσ αταιοείςαι, μέρχ ςξσ έογξσ

ςηπ F k x . Έςρι ρςη θέρη όπξσ θοαύεςαι ςξ μήμα ( x 0,2m ) ςξ ρώμα έυει κιμηςική

εμέογεια.

Δταομόζξσμε ςξ Θ.Μ.Κ.Δ. από x 0 μέυοι x 0,2m

2

F F

1M 0 W W

2 (1)

Οι δύξ δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξμ κύβξ είμαι μεςαβληςέπ, έςρι ςα έογα ςξσπ μπξοξύμ

μα σπξλξγιρςξύμ από ςα εμβαδά ςχμ πεοιξυώμ πξσ πεοιλαμβάμξμςαι αμάμερα από ςιπ

γοατικέπ παοαρςάρειπ και ςξμ άνξμα ςχμ υ.

F F

80 120W 0,2J W 20J

2

F F

50W 0,2J W 5J

2

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ ρυέρη (1) παίομξσμε:

2110kg 0 20J 5J 3m / s

2

113

γ) Μεςά ςη θοαύρη ςξσ μήμαςξπ ςξ ρύρςημα ελαςήοιξ – μάζα εκςελεί απλή αομξμική

ςαλάμςχρη, πλάςξσπ Α. Οι ενιρώρειπ ςηπ απξμάκοσμρηπ και ςηπ ςαυύςηςαπ είμαι

αμςίρςξιυα:

0x A t (2)

0A t

Ποέπει μα σπξλξγίρξσμε ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ, ςη γχμιακή ρσυμόςηςα καθώπ και ςημ

αουική τάρη.

Για μα βοξύμε ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ εταομόζξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ εμέογειαπ για ςημ ςαλάμςχρη μεςανύ ςχμ θέρεχμ, ακοιβώπ μεςά ςη θοαύρη ςξσ μήμαςξπ και ρςημ ακοόςαςη θέρη:

2 22 2 21 1 1 kx M

kx M k A 0 A2 2 2 k

Και με αμςικαςάρςαρη ποξκύπςει:

A 0,4m

2 k 250k M rad / s 5rad / s

M 10

Για t 0 , x 0,2m , 0

Άοα, 0 0 0

10,2 0,4

2 6

ή 0

5

6

.

Δεκςή γίμεςαι η ςιμή 06

(1ξ ςεςαοςημόοιξ και 0 )

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (2) βοίρκξσμε ςημ ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ

x 0,4 (5 t )6

(S.I.)

δ) Όςαμ ςξ ρώμα πεομά από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ, για ποώςη τξοά μεςά ςη θοαύρη

ςξσ μήμαςξπ, ασςό θα κιμείςαι ποξπ ςημ αομηςική καςεύθσμρη και θα ιρυύει:

x 0 και 0

Άοα, 0 A ( t ) ( t ) 06 6

114

t 2k t 2k6 6

ή

Δεκςή γίμεςαι η λύρη t 2k6

, διόςι 0 .

Οπόςε, η 1η διέλεσρη από ςξ x 0 γίμεςαι για

k 05 5 5T

t t26 12

6T

(3)

Όμχπ, M 2

T 2 sk 5

και με αμςικαςάρςαρη ρςημ ρυέρη (3) παίομξσμε: 5T 10

t t s12 60 6

.

115

Πρόβλημα 10.

Έμα ρώμα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ. Τη ρςιγμή t1

πξσ ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρε απξμάκοσμρη x1 = -20cm , ξι υοξμικξί οσθμξί μεςαβξλήπ ςηπ

ςαυύςηςάπ ςξσ, ςηπ ξομήπ ςξσ και ςηπ κιμηςικήπ ςξσ εμέογειαπ είμαι 5m/s2, 10 kgm/s2

και 10 3 J/s αμςίρςξιυα. Nα βοείςε:

α. ςη μάζα ςξσ ρώμαςξπ.

β. ςo μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ σ1 ςη υοξμική ρςιγμή t1.

γ. ςημ εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ.

δ. ςξσπ μέγιρςξσπ οσθμξύπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ και ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ καςά ςη

διάοκεια ςηπ ςαλάμςχρηπ.

Δίμεςαι: 2ημαρσμα=ημ2α.

Λύρη

α) O οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρώμαςξπ ιρξύςαι με ςημ επιςάυσμρή ςξσ και ξ οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςξσ είμαι η ρσμιρςαμέμη δύμαμη πξσ αρκείςαι ρε ασςό. Η μάζα ςξσ ρώμαςξπ σπξλξγίζεςαι από ςξ 2ξ μόμξ ςξσ Νewton.

m m 2kgΣF 10

kgα 5

β) O οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςη ρςιγμή t1 είμαι

νι1

dWdK ΣF dx dKΣF π

dt dt dt dt

άοα 1 1

m10 3 J s 10N π π 3

s

γ) Γμχοίζξσμε όςι ρςη θέρη x1 ςξ ρώμα έυει ςαυύςηςα μέςοξσ σ1. Η εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι:

2

T 1 1 T 1

21

1 1E K U E mπ Dx

2 2 , (1)

H ρςαθεοά επαματξοάπ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι

2D m

2 2 2

1 1 5 / ( 0,2m) 5 arad

x m ss

Οπότε 22 ·(5 / ) 50 / D kg r s D N m

Αμςικαθιρςώμςαπ ρςημ (1) παίομξσμε EΤ = 4J

116

δ) Ο μέγιρςξπ οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςξσ ρώμαςξπ ιρξύςαι με ςη μέγιρςη ςιμή ςηπ δύμαμηπ πξσ αρκείςαι ςξ ρώμα και είμαι ίρξπ με

max

max

dpΣF DA

dt , (2)

όπξσ Α ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ πξσ δίμεςαι από ςη ρυέρη

2 TT

2E1E DA A 0,4m

2 D

Αμςικαθιρςώμςαπ ρςη ρυέρη (2) παίομξσμε: max

dp20N

dt

Ο οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ ιρξύςαι με

2

o o

dKΣF π Dx π mσ A εκ σt θ σAζπλ σt θ

dt

3 2

o

dK mσ Aεκ2 σt θ

dt 2

Ο οσθμόπ είμαι μέγιρςξπ όςαμ ημ2(χt+τo)=1 άοα

3 2

max

dK mσ A J20

dt 2 s

117


Σςξ κύκλχμα ςξσ διπλαμξύ ρυήμαςξπ, η ΗΔΔ ςηπ

ιδαμικήπ πηγήπ είμαι ε 100 3V , η υχοηςικόςηςα

ςξσ πσκμχςή είμαι C=10-6F, ξ ρσμςελερςήπ ασςεπαγχγήπ ςξσ ιδαμικξύ πημίξσ είμαι L=10-2H και

η αμςίρςαρη ςξσ αμςιρςάςη είμαι R=100 3 Ω. Ο

διακόπςηπ Δ1 είμαι κλειρςόπ, ξ Δ2 είμαι αμξικςόπ και ςξ πημίξ διαοοέεςαι από ρςαθεοό οεύμα. Τη υοξμική ρςιγμή t=0 ξ διακόπςηπ Δ1 αμξίγει και ςασςόυοξμα κλείμει ξ Δ2. Να βοείςε:

α. ςημ ηλεκςοική εμέογεια ςξσ πσκμχςή και ςη μαγμηςική εμέογεια ςξσ πημίξσ όςαμ ςξ πημίξ διαοοέεςαι από ρςαθεοό οεύμα.

β. μεςά ςη υοξμική ρςιγμή t=0 , ςξ μέγιρςξ τξοςίξ και ςη μέγιρςη έμςαρη ςξσ ηλεκςοικξύ οεύμαςξπ ςξσ κσκλώμαςξπ LC.

γ. μεςά ςη υοξμική ρςιγμή t=0 , ςιπ ενιρώρειπ ςξσ τξοςίξσ ςξσ πάμχ ξπλιρμξύ ςξσ πσκμχςή και ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ πξσ διαοοέει ςξ πημίξ ρςξ κύκλχμα L-C ρε ρσμάοςηρη με ςξ υοόμξ.

δ. ςη υοξμική ρςιγμή t=0

i. ςξ οσθμό μεςαβξλήπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ οεύμαςξπ ρςξ κύκλχμα. ii. ςξ οσθμό μεςαβξλήπ ςηπ εμέογειαπ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ πσκμχςή.

Θεχοείρςε όςι καςά ςξ άμξιγμα ςξσ Δ1 και κλείριμξ ςξσ Δ2 δεμ έυξσμε απώλεια εμέογειαπ ρςξ κύκλχμα.

Λύρη

α. Τo ρςαθεοό οεύμα πξσ διαοοέει ςξ πημίξ και ςξμ αμςιρςάςη είμαι ίρξ με:

i 1AR

ε και ςξ πημίξ πεοικλείει εμέογεια

2 2 2

B B

1 1U Li 10 H (1A) U 0,005J

2 2

Ο πσκμχςήπ είμαι τξοςιρμέμξπ ρε ςάρη VC ίρη με ςη διατξοά δσμαμικξύ ρςα άκοα ςξσ

αμςιρςάςη, C RV V 100 3 Vε .

To τξοςίξ ςξσ πσκμχςή είμαι:

6 4q C 10 F 100 3 V q 3 10 Cε

Και η απξςαμιεσμέμη εμέογεια ίρη με :

2 4 2

E E6

1 q 1 ( 3 10 C)U U 0,015J ,

2 C 2 10 F

118

β. Με ςξ άμξιγμα ςξσ Δ1 και ςξ κλείριμξ ςξσ Δ2 έυξσμε αμείχςεπ ηλεκςοικέπ ςαλαμςώρειπ ρςξ κύκλχμα LC. Τη ρςιγμή t=0 έυξσμε εμέογεια ρςξμ πσκμχςή και ρςξ πημίξ. Τξ μέγιρςξ τξοςίξ ςξσ πσκμχςή βοίρκεςαι με εταομξγή ςηπ διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ ρςημ ςαλάμςχρη ςη υοξμική ρςιγμή t=0.

2 2 22 4

E B 6

1 q 1 1 Q QU U E Li 0,015J 0,005J Q 2 10 C

2 C 2 2 C 2 10 F

I σQ

4

2 6

1 1σ σ 10 r / s

LC 10 H 10 F

I σQ I 2A

γ. Τη ρςιγμή t=0 έυξσμε εμέογεια ρςξμ πσκμχςή και ρςξ πημίξ επξμέμχπ έυξσμε αουική τάρη ρημ ςαλάμςχρη ςξσ κσκλώμαςξπ. Τημ ρςιγμή t=0 ςξ οεύμα έυει ςη τξοά ςξσ ρυήμαςξπ, ξ πσκμχςήπ εκτξοςίζεςαι, άοα ςημ ρςιγμή t=0 για ςξμ πάμχ ξπλιρμό έυξσμε q>0 και i (=dq/qt)<0.

Η ενίρχρη ςξσ τξοςίξσ γοάτεςαι:

o o

t 0q Q ζπλ σt θ q Q ζπλθ

4 4

o o o

π 11π3 10 C 2 10 C ζπλθ θ ή θ

6 6

Η αουική τάρη τξ=11π/6 απξοοίπςεςαι γιαςί ςημ t=0 ςξ οεύμα είμαι αομηςικό, άοα

o

πθ

6 .

Οι ενιρώρειπ είμαι 4 4 π

q 2 10 ζπλ 10 t , S.I.6

4 πi 2 εκ 10 t , S.I

6

δ) Τημ t=0, 4q 3 10 C, i 1A

i. O πσκμχςήπ και ςξ πημίξ έυξσμ κξιμά άκοα, άοα κάθε ρςιγμή για ςιπ ςάρειπ ρςα άκοα ςξσπ ιρυύει:

L CV V ή

2

2 4 4 4di di di diL σ 10

dt dt dt dt

q q Aq r / s 3 10 C 3 10

C LC s

ii. E Δc

dU dUq JPc V i i 100 3

dt C dt s

119


Έμα ρώμα μάζαπ m=2kg κιμείςαι υχοίπ ςοιβέπ ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ με ςαυύςηςα μέςοξσ σ=

3 m/s. Τη υοξμική ρςιγμή t=0 καθώπ διέουεςαι

από ςη θέρη z=0 δέυεςαι ςημ επίδοαρη ξοιζόμςιαπ δύμαμηπ, ίδιαπ τξοάπ με ςημ ςαυύςηςα, ςηπ ξπξίαπ ςξ μέςοξ μεςαβάλλεςαι ρύμτχμα με ςη ρυέρη

F = 8-32z (S.I.)

α) Ατξύ βοείςε ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ ρώμαςξπ, μα απξδείνεςε όςι ασςό θα εκςελέρει απλή αομξμική ςαλάμςχρη.

β) Να βοείςε ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ.

γ) Να γοάφεςε ςημ ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ ρε ρσμάοςηρη με ςξ υοόμξ και μα βοείςε ςη υοξμική ρςιγμή πξσ ςξ ρώμα θα ρςαμαςήρει για ποώςη τξοά.

δ) Nα βοείςε ςξ οσθμό μεςαβξλήπ ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ ςη ρςιγμή πξσ ςξ ρώμα διέουεςαι από ςη θέρη πξσ βοίρκεςαι +0,25m δενιόςεοα από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ για ποώςη τξοά.

Λύρη

α) Η θέρη ιρξοοξπίαπ είμαι ασςή όπξσ

ΣF=0 ή 8-32zo=0 ή zo=0,25m.

Άοα, η θέρη ιρξοοξπίαπ είμαι δενιόςεοα καςά zo=0,25m από ςη θέρη πξσ βοίρκεςαι ςξ ρώμα ςη υοξμική ρςιγμή t=0.

Για μα εκςελεί ςξ ρώμα απλή αομξμική ςαλάμςχρη θα ποέπει μα ιρυύει ΣF=-Dx όπξσ x η απόρςαρη από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ.

Σε ςσυαία θέρη x από ςη Θ.Ι. έυξσμε:

ΣF=8-32(zo+x)=8-32zo-32x ή ΣF=8-32x-32.0,25 ή ΣF=-32x ,

άοα ςξ ρώμα εκςελεί α.α.ς με D=32 N/m.

β) Δταομόζξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ εμέογειαπ για ςημ ςαλάμςχρη μεςανύ ςχμ θέρεχμ (Β), όπξσ ςξ ρώμα βοίρκεςαι 0,25m αοιρςεοά ςηπ Θ.Ι. με ςαυύςηςα σ και (Γ) όπξσ ασςό ρςαμαςά ρςιγμιαία.

( ) ( ) 2 2 2 2 2

1 1max

22

1 1 1

2 2 2

20,25 · 3 / 0,5

32 /

B B

mK U U m Dx DA A x

D

kgA m m s A m

N m

120

γ) Η ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ ςξσ ρώμαςξπ ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ είμαι

0x Α εκ σt θ .

Τημ t=0 ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρε θέρη 0,25m αοιρςεοά ςηπ θέρηπ ιρξοοξπίαπ (x=-A/2), και καςεσθύμεςαι ποξπ ςη θέρη ιρξοοξπίαπ, άοα έυξσμε αουική τάρη πξσ βοίρκεςαι ρςξ 4ξ ςεςαοςημόοιξ ςξσ ςοιγχμξμεςοικξύ κύκλξσ.

Α 7π 7πΑ εκθ εκθ εκ θ , (π 0)

o o o2 6 6

ή 11π

θ , (π 0)o

6

Η αουική τάρη είμαι 11π/6.

D 32 radσ N / m σ 4

m 2 s

.

Άοα, η ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ είμαι: 11π

x 0,5 εκ 4t , SI

6

Τξ ρώμα μηδεμίζει για ποώςη τξοά ςημ ςαυύςηςά ςξσ ρςη θέρη (Γ) όπξσ x=+Α, επξμέμχπ

1 1

11π π 11πA Α εκ 4t εκ εκ 4t

6 2 6

1 1

π 11π π(k 1)2kπ 4t t s

2 6 6

δ) Ο οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ βοίρκεςαι από ςη ρυέρη :

η

dU dΚ dU dΚ dWU K E 0

dt dt dt dt dt

2 2 2 2 2

dU dUΣF π ( D x ) π D x π

dt dt

Με εταομξγή ςηπ διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ για ςημ ςαλάμςχρη μεςανύ ςηπ θέρηπ πξσ αρκήθηκε η δύμαμη (x1 = -0,25m), και ςηπ θέρηπ x2 = +0,25m βοίρκξσμε ςημ ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ όςαμ διέουεςαι από ςη θέρη x2.

2 2 2

1 2 2 2 2

21 1 1 1mπ Dx mπ Dx

2 2 2 2π π π 3m / s

Δπειδή διέουεςαι για 1η τξοά από ςη θέρη x2 απξδεκςή λύρη είμαι η 2π 3m / s .

Με αμςικαςάρςαρη εύκξλα ποξκύπςει:dU dU J

32(N / m) 0,25m 3 m / s 8 3dt dt s

121


Η μια άκοη ιδαμικξύ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k=100N/m είμαι ρςεοεχμέμη ρςξ πάμχ μέοξπ ςξσ πλάγιξσ επιπέδξσ γχμίαπ τ=30o, όπχπ ρςξ ρυήμα. Από έμα ρημείξ ςξσ πλάγιξσ επιπέδξσ πξσ απέυει s=0,25m από ςξ ελεύθεοξ άκοξ ςξσ ελαςηοίξσ, εκςξνεύεςαι με αουική ςαυύςηςα σξ=2m/s, καςά μήκξπ ςξσ άνξμα ςξσ ελαςηοίξσ ποξπ ςα πάμχ έμα ρώμα Σ μάζαπ m=2kg. Όςαμ ςξ ρώμα ακξσμπήρει ρςξ ελαςήοιξ, εμώμεςαι με ασςό και αουίζει μα εκςελεί αομξμική ςαλάμςχρη.

α) Να βοείςε ςημ ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ ςη ρςιγμή πξσ έουεςαι ρε επατή με ςξ ελαςήοιξ.

β) Να βοείςε ςη μέγιρςη ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ.

γ) Να γοάφεςε ςη ρσμάοςηρη ςηπ απξμάκοσμρηπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ, θεχοώμςαπ t=0 ςη ρςιγμή ςηπ έμχρηπ ςξσ ρώμαςξπ με ςξ ελαςήοιξ και ςα θεςικά ποξπ ςα πάμχ.

δ) Να βοείςε ςξ οσθμό μεςαβξλήπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ ςη ρςιγμή πξσ διέουεςαι από ςξ ρημείξ εκςόνεσρηπ για δεύςεοη τξοά.

Δίμεςαι g=10m/s2

Λύρη

α) Δταομόζξσμε ςξ θεώοημα έογξσ-εμέογειαπ για ςξ ρώμα Σ από ςη θέρη (Α) μέυοι ςη θέρη (Β) λίγξ ποιμ έοθει ρε επατή με ςξ ελαςήοιξ.

(Β) (Α) νιΚ – Κ W ή

2 2

o

2

o

2 2

mg εκθ s

π g εκθ s

10m / s 0, 25m

1 1mπ mπ

2 2

π 2

12m / s 2

2

mπ 1,5

s

β) Για μα βοξύμε ςη μέγιρςη ςαυύςηςα ςηπ ςαλάμςχρηπ, θα εταομόρξσμε ςημ διαςήοηρη ςηπ εμέογειαπ ρςημ ςαλάμςχρη μεςανύ ςχμ θέρεχμ (Β), όπξσ ςξ ρώμα έουεςαι ρε επατή

122

με ςξ ελαςήοιξ με ςαυύςηςα μέςοξσ σ και ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ (Δ) όπξσ ςξ ρώμα έυει μέγιρςη ςαυύςηςα ςαλάμςχρηπ.

Σςη Θ.Ι. αρκξύμςαι ρςξ ρώμα ξι δσμάμειπ mgημτ και η δύμαμη ςξσ ελαςηοίξσ (kx1) ξι ξπξίεπ είμαι αμςίθεςεπ και δίμξσμ ΣF=0. Δπξμέμχπ

ΣF 0 ή

2

1 1 1

mg εκθ 2kg 10m / s 1/ 2k x mg εκθ 0 x x 0,1m

k 100N / m

Δταομόζξσμε ςημ ΑΔΔΤ ρςιπ θέρειπ (Β) και (Δ).

2

max 1 max

2 21 1 1K U K mπ x mπ

2 2 2k

2 221

max max

2 kx 100N / m (0,1m)π π π

m 2kg

m1,5m / s 2

s

γ) Η ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ με ςξ υοόμξ είμαι: ox A εκ σt θ , (1)

με σk rad

50m s

Τξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι maxπ σ2

A A 0,2m50

Τη υοξμική ρςιγμή t=0 ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρςη θέρη (Β) , δηλαδή ρε απξμάκοσμρη

1x 0,1m και έυει θεςική ςαυύςηςα, επξμέμχπ η αουική τάρη ςηπ ςαλάμςχρηπ θα

βοίρκεςαι ρςξ 1ξ ςεςαοςημόοιξ ςξσ ςοιγχμξμεςοικξύ κύκλξσ.

1 o o o ox εκθ εκθ θ θπ 5π

A 0,1 0,2 ή6 6

Δπειδή ςημ t=0 η ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ είμαι θεςική, έυξσμε τξ=π/6.

Η (1) γίμεςαι: x 0, 2 εκπ

50t , S.I.6

δ) Όςαμ ςξ ςαλαμςξύμεμξ ρώμα πεομά για δεύςεοη τξοά από ςξ ρημείξ εκςόνεσρηπ απέυει s-x1=0,15m από ςη Θ.Ι. ςηπ ςαλάμςχρηπ και βοίρκεςαι ρε απξμάκοσμρη x2=-0,15m. Τξ ρώμα καςεβαίμει και έυει αομηςική ςαυύςηςα μέςοξσ σ2. O οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ ςξσ εμέογειαπ ρςη θέρη ασςή είμαι

2 2

dΚ dW ΣF dx dΚk x π

dt dt dt dt

, (2)

Η ςαυύςηςα σ2 θα σπξλξγιρςεί από ςημ διαςήοηρη ςηπ εμέογειαπ για ςημ ςαλάμςχρη.

123

2

max 2 2

2 21 1 1K U K mπ x kA

2 2 2k

2 2 2 2 2 2

22 2

k(A x 100N / m(0, 2 0,15π π

m 2kg

14 m) m m )

4 s

Αμςικαθιρςώμςαπ ρςημ (2) παίομξσμε:

2 2

dΚ 14 dΚ JΣF π (100N / m) ( 0,15m) m / s π 3,75 14

dt 4 dt s

1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο: ΚΥΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΔΜΑ Β

Ερώτηση 1.

Ιαςά μήκξπ ςξσ θεςικξύ ημιάνξμα Ου διαδίδεςαι αομξμικό κύμα. H ενίρχρη ςαλάμςχρηπ

ςξσ ρημείξσ Ο ςηπ θέρηπ x 0 (πηγή) είμαι y A t . Τξ σλικό ρημείξ Α πξσ απέυει

από ςημ πηγή x2

Α. έυει γοατική παοάρςαρη απξμάκοσμρηπ ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ όπχπ ρςξ διάγοαμμα

α1)

α2)

α3)

2

Β. ςξ ρημείξ Α έυει τάρη

β1) μεγαλύςεοη από ςξ ρημείξ ςηπ θέρηπ x 0 .

β2) μικοόςεοη από ςξ ρημείξ ςηπ θέρηπ x 0 καςά ακέοαιξ πξλλαπλάριξ ςξσ 2 .

β3) μικοόςεοη από ςξ ρημείξ ςηπ θέρηπ x 0 καςά .

Μα επιλένεςε ςιπ ρχρςέπ απαμςήρειπ. Μα αιςιξλξγήρεςε ςιπ επιλξγέπ ραπ.

Κύρη

Α. Σχρςή απάμςηρη είμαι η α2.

Τξ σλικό ρημείξ Α αουίζει μα ςαλαμςώμεςαι ςη υοξμική ρςιγμή 1

xt

2 2

.

Φσρικά, για 1t t ιρυύει y 0

Β. Σχρςή απάμςηρη είμαι η β3.

Τξ σλικό ρημείξ Α απέυει από ςημ πηγή x2

και η τάρη ςξσ είμαι:

A A

t t 122 2T T 2

Άοα η διατξοά τάρηπ με ςημ πηγή είμαι:

2 t t 12 2

T T 2O A O A A O- - -

3

Ερώτηση 2.

Ιαςά μήκξπ ςξσ θεςικξύ ημιάνξμα Ου διαδίδεςαι αομξμικό κύμα. Τξ ρημείξ ςηπ θέρηπ

x 0 ςη υοξμική ρςιγμή t 0 διέουεςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ με θεςική ςαυύςηςα. Τη

υοξμική ρςιγμή 5T

t4

ςξ ρημείξ ςηπ θέρηπ x

2

έυει ςαυύςηςα με μέςοξ

1) 0 .

2) max (μέγιρςη).

3) max0 .

Μα επιλένεςε ςη ρχρςή ποόςαρη. Μα δικαιξλξγήρεςε ςημ επιλξγή ραπ.

Κύρη

Σχρςή απάμςηρη η 1.

Τξ κύμα για μα τςάρει ρςη θέρη x2

υοειάζεςαι υοόμξ ίρξ με

2

.

Άοα ςξ σλικό ρημείξ ασςό αουίζει μα ςαλαμςώμεςαι ςη υοξμική ρςιγμή 2

, με θεςική

ςαυύςηςα. Σσμεπώπ, ςη υοξμική ρςιγμή 5T

t '4

έυει ςαλαμςχθεί για υοξμικό διάρςημα

ίρξ με 5T T 3T

t4 2 4

.

Άοα ςξ σλικό ρημείξ ασςό θα βοίρκεςαι ρε αομηςική απξμάκοσμρη με μέγιρςξ μέςοξ

(y A) και η ςαυύςηςά ςξσ θα είμαι μηδέμ.

Β Τοόπξπ:

Λε αμςικαςάρςαρη ςχμ δεδξμέμχμ: x2

και

5Tt

4 ρςη γεμική ενίρχρη ςξσ κύμαςξπ

t xy A 2

T

παίομξσμε:

5T 5 1 3 3y A 2 y A 2 y A 2 y A

4T 2 4 2 4 2

y A

Άοα, ατξύ ςξ σλικό ρημείξ βοίρκεςαι ρε ακοαία θέρη θα έυει ςαυύςηςα μηδέμ.

4

Ερώτηση 3.

Ιαςά μήκξπ εμόπ γοαμμικξύ ελαρςικξύ μέρξσ διαδίδεςαι εγκάοριξ αομξμικό κύμα με

τξοά ποξπ ςημ καςεύθσμρη ςξσ θεςικξύ ημιάνξμα Ου. Τξ ρημείξ ςηπ θέρηπ x 0

ςαλαμςώμεςαι ρύμτχμα με ςη ρυέρη y 0,05 (8 t) (S.I.) . Σςξ παοακάςχ ρυήμα

απεικξμίζεςαι ςξ ρςιγμιόςσπξ ςξσ κύμαςξπ ςη υοξμική ρςιγμή 1t , καςά ςημ ξπξία ςξ κύμα

έυει διαδξθεί ρε απόρςαρη 3m .

Ζ ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ ρςξ ελαρςικό μέρξ, είμαι

1) m

8s

.

2) m

12s

.

3)3 m

4 s

.


Κύρη

Σχρςή απάμςηρη είμαι η 1.

Από ςη ρύγκοιρη ςηπ ρυέρηπ y 0,05 (8 t) , με ςη γεμική ενίρχρη ςχμ απλώμ

αομξμικώμ ςαλαμςώρεχμ, y A (2 ft) ποξκύπςει:

2 ft 8 t , ρσμεπώπ, f 4Hz , και 1

T s4

.

Σύμτχμα με ςξ διάγοαμμα, ςξ κύμα έυει διαμύρει απόρςαρη 3

x2

ή x 3m , πξσ

αμςιρςξιυεί ρε υοξμικό διάρςημα T

t T2

ή 1 1 3

t s s t s4 8 8

5

Άοα x m

8t s

.

Σσμεπώπ η απάμςηρη 1 είμαι η ρχρςή.

6

Ερώτηση 4.

Ιαςά μήκξπ ςξσ υ΄Ου διαδίδεςαι αομξμικό κύμα. Τξ ρημείξ ςηπ θέρηπ x 0

ςαλαμςώμεςαι ρύμτχμα με ςη ρυέρη y A t . Ζ διατξοά τάρηπ μεςανύ δύξ ρημείχμ

πξσ βοίρκξμςαι ρςη διεύθσμρη διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ

1) ασνάμεςαι ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ.

2) είμαι αμενάοςηςη από ςξ υοόμξ.

3) μειώμεςαι ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ.


Κύρη

Σχρςή είμαι η ποόςαρη 2.

Οι ενιρώρειπ ςχμ τάρεχμ για ςα δύξ ρημεία A και B είμαι:

Axt2 ( )

T

και Bxt

2 ( )T

Λε αταίοερη ποξκύπςει:

A B B AB B

x x x xt t2 ( ) 2 ( ) 2

T T

Άοα η διατξοά τάρηπ μεςανύ ςχμ δύξ ρημείχμ είμαι αμενάοςηςη ςξσ υοόμξσ.

7

Ερώτηση 5.

Τξ διάγοαμμα 1 παοιρςάμει ςξ ρςιγμιόςσπξ εμόπ εγκάοριξσ αομξμικξύ κύμαςξπ μια

δεδξμέμη υοξμική ρςιγμή t , εμώ ςξ διάγοαμμα 2 παοιρςάμει ςημ απξμάκοσμρη από ςη

θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ ρε ρσμάοςηρη µε ςξ υοόμξ, εμόπ δεδξμέμξσ ρημείξσ Α ςξσ

ελαρςικξύ μέρξσ, ρςξ ξπξίξ διαδίδεςαι ςξ παοαπάμχ κύμα.

Από ςη μελέςη ςχμ δύξ διαγοαμμάςχμ ποξκύπςει όςι η ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ

είμαι

α) cm

0,1s

.

β) cm

1s

.

γ) cm

2s

.

Μα επιλένεςε ςη ρχρςή απάμςηρη. Μα δικαιξλξγήρεςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Κύρη


Από ςξ 1ξ διάγοαμμα ποξκύπςει: 5 5cm 2cm2

Από ςξ 2ξ διάγοαμμα ποξκύπςει: 2s 1s T T 1s f 1Hz

Από ςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ ποξκύπςει: f 2cm / s

8

Ερώτηση 6.

Τξ διάγοαμμα 1 παοιρςάμει ςξ ρςιγμιόςσπξ εμόπ εγκάοριξσ αομξμικξύ κύμαςξπ μια

δεδξμέμη υοξμική ρςιγμή t , εμώ ςξ διάγοαμμα 2 παοιρςάμει ςημ απξμάκοσμρη από ςη

θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ ρε ρσμάοςηρη µε ςξ υοόμξ, εμόπ δεδξμέμξσ ρημείξσ Α ςξσ

ελαρςικξύ μέρξσ, ρςξ ξπξίξ διαδίδεςαι ςξ παοαπάμχ κύμα.

Τη υοξμική ρςιγμή t πξσ αμςιρςξιυεί ςξ παοαπάμχ ρςιγμιόςσπξ, η πηγή και ςξ σλικό

ρημείξ Α πεομξύμ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσπ με

α) αομηςική ςαυύςηςα.

β) αμςίθεςεπ ςαυύςηςεπ.

γ) θεςική ςαυύςηςα.


Κύρη

Σχρςή απάμςηρη είμαι η α.

Από ςξ διάγοαμμα 2 παοαςηοξύμε όςι ςξ σλικό ρημείξ Α άουιρε μα ςαλαμςώμεςαι ςη

υοξμική ρςιγμή t T , ξπόςε απέυει από ςημ πηγή απόρςαρη x . Άοα ρημείξ Α και

πηγή είμαι ρε ρσμτχμία τάρηπ.

Τξ ρςιγμιόςσπξ ςξσ διαγοάμμαςξπ 1 δείυμει όςι ςξ κύμα έυει διαδξθεί καςά 22

, άοα

ςξ ρςιγμιόςσπξ αμςιρςξιυεί ρςη υοξμική ρςιγμή T

t 2T2

. Ασςή ςη υοξμική ρςιγμή η

πηγή έυει κάμει δύξ πλήοειπ ςαλαμςώρειπ και μιρή επί πλέξμ ςαλάμςχρη, άοα διέουεςαι

9

από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ με αομηςική ςαυύςηςα. Τημ ίδια υοξμική ρςιγμή, ςξ ίδιξ κάμει

και ςξ ρημείξ Α, ετόρξμ είμαι ρε ρσμτχμία τάρηπ με ςημ πηγή, όπχπ ποξαματέοθηκε.

10

Ερώτηση 7.

Σςξ διπλαμό ρυήμα η πηγή Ο παοάγει

αομξμικό κύμα πξσ διαδίδεςαι πάμχ ρε γοαμμικό U

ελαρςικό μέρξ με ςαυύςηςα σ. Δύξ ρημεία

Α,Β ςξσ μέρξσ βοίρκξμςαι πάμχ ρςη εσθεία Ο Β Α υ

διάδξρηπ και έυξσμ τάρειπ 4

3A=

και

3B=

.

Α. Μα βοείςε αμ σπάουει λάθξπ ρςξ ρυήμα χπ ποξπ ςιπ θέρειπ ςχμ ρημείχμ Α και Β ρε

ρυέρη με ςημ πηγή Ο, και αμ μαι μα ςξ διξοθώρεςε τςιάυμξμςαπ ςξ ρχρςό ρυήμα.

Μα δικαιξλξγήρεςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Β. Τη υοξμική ρςιγμή πξσ ςξ ρημείξ Α βοίρκεςαι ρςη μέγιρςη θεςική ςξσ απξμάκοσμρη,

ςξ ρημείξ Β θα βοίρκεςαι ρςη θέρη

α) y .

β) y .

γ) y 0 .

Μα επιλένεςε ςη ρχρςή απάμςηρη. Μα δικαιξλξγήρεςε ςημ επιλξγή ραπ.

Κύρη

A. Πιξ κξμςά ρςημ πηγή είμαι ςξ σλικό ρημείξ Α.

Από ςη ρυέρη t x

2 ( - )T

, ταίμεςαι όςι όρξ πιξ μακοιά από ςημ πηγή είμαι έμα σλικό

ρημείξ ςόρξ μικοόςεοη τάρη έυει. Σσμεπώπ ςξ ρημείξ με ςη μεγαλύςεοη τάρη θα είμαι

πιξ κξμςά ρςημ πηγή. Ζ ρχρςή θέρη ςχμ ρημείχμ Α και Β ταίμεςαι ρςξ παοακάςχ

ρυήμα:

U

Ο Α Β x

11

B. Σχρςή απάμςηρη είμαι η β.

Δπειδή η διατξοά τάρηπ ςχμ δύξ ρημείχμ είμαι ίρη με π, θα βοίρκξμςαι ρε αμςίθερη

τάρηπ. Σσμεπώπ ςξ ρημείξ Β θα βοίρκεςαι ρε απξμάκοσμρη y .

12

Ερώτηση 8.

Λια πηγή κσμάςχμ Ο αουίζει ςημ υοξμική ρςιγμή t 0 , μα εκςελεί απλή αομξμική

ςαλάμςχρη, πλάςξσπ Α, πεοιόδξσ T και αουικήπ τάρηπ 0 0 . Τξ ρςιγμιόςσπξ ςξσ

κύμαςξπ, ςη υοξμική ρςιγμή t T , είμαι όπχπ ςξ διάγοαμμα


Κύρη


13

Σε υοόμξ μιαπ πεοιόδξσ ςξ κύμα διαδίδεςαι καςά έμα μήκξπ κύμαςξπ. Ασςό ρσμβαίμει ρςα

ρςιγμιόςσπα β, γ.

Σε έμα κύμα κάθε σλικό ρημείξ επαμαλαμβάμει ςημ κίμηρη ςξσ ποξηγξύμεμξύ ςξσ. Σςξ

διάγοαμμα β, ςξ ρημείξ ςηπ θέρηπ x δείυμεςαι μα νεκιμά ςαλάμςχρη ποξπ ςα κάςχ,

εμώ ρςξ διάγοαμμα γ, δείυμεςαι μα νεκιμά ποξπ ςα πάμχ.

Δπειδή η πηγή ςαλαμςώμεςαι ρύμτχμα με ςη ρυέρη y A t , ασςό ρημαίμει όςι ρε

κάθε ρημείξ πξσ τςάμει η διαςαοαυή ασςό νεμικά αομξμική ςαλάμςχρη ποξπ ςα θεςικά.

Άοα ρχρςό διάγοαμμα είμαι ςξ γ.

14

Ερώτηση 9.

Δύξ μεγάτχμα Λ1 και Λ2 ςοξτξδξςξύμςαι από ςημ ίδια γεμμήςοια ρσυμξςήςχμ και

ςξπξθεςξύμςαι όπχπ ρςξ ρυήμα. Έμαπ αμιυμεσςήπ ήυξσ ςξπξθεςείςαι ρςξ ρημείξ Α.

Λ1 40m

A

900

9m 41m

Λ2

Ιαθώπ η ρσυμόςηςα ςηπ γεμμήςοιαπ ασνάμεςαι ριγά - ριγά από 200Hz 1000Hz

διαπιρςώμεςαι όςι ξ αμιυμεσςήπ Α καςαγοάτει ρειοά εμιρυύρεχμ και απξρβέρεχμ. Οι

απξρςάρειπ ςξσ αμιυμεσςή από ςιπ πηγέπ είμαι 1M A 40m και 2M A 41m , εμώ η

ςαυύςηςα ςξσ ήυξσ ρςξμ αέοα είμαι m

340s

. Ζ ρσυμόςηςα για ςημ ξπξία παοαςηοείςαι η

ποώςη απόρβερη είμαι

α) 200Hz .

β) 510Hz .

γ) 850Hz .

Μα επιλένςε ςη ρχρςή απάμςηρη. Μα αιςιξλξγήρεςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Κύρη


Για μα ρσμβαίμει απόρβερη ποέπει για ςα κύμαςα πξσ τςάμξσμ από ςα δύξ μεγάτχμα

ρςξμ αμιυμεσςή μα ιρυύει η ρυέρη :

1 2

2K 1r r

2

. Αμςικαθιρςώμςαπ,

f

,

1r 41m , 2r 40m και m

340s

παίομξσμε:

340m / s

41m 40m 2K 1 1m 2K 1 f 2K 1 170Hz2f 2f

Για K 0 βοίρκξσμε f 170Hz η ξπξία απξοοίπςεςαι γιαςί είμαι μικοόςεοη από 200Hz.

Για K 1 βοίρκξσμε f 510Hz πξσ είμαι η ζηςξύμεμη, εμώ για K 2 βοίρκξσμε

f 850Hz κλπ.

15

Ερώτηση 10.

Δύξ ρύγυοξμεπ πηγέπ κσμάςχμ Π1 και Π2 ςαλαμςώμξμςαι κάθεςα ρςημ επιτάμεια εμόπ

σγοξύ με ςξ ίδιξ πλάςξπ Α, παοάγξμςαπ αομξμικά κύμαςα ρσυμόςηςαπ f και μήκξσπ

κύμαςξπ λ. Έμα ρημείξ Σ ςηπ επιτάμειαπ ςξσ σγοξύ απέυει 1r 4 από ςημ πηγή Π1 και

2r 7 από ςημ πηγή Π2. Τξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ ςξσ σλικξύ ρημείξσ Σ, ατξύ

ρσμβάλλξσμ ρε ασςό ςα κύμαςα, ιρξύςαι με:

α) .

β) 2 .

γ) 3 .


Κύρη


Ζ διατξοά ςχμ απξρςάρεχμ ςξσ ρημείξσ από ςημ πηγή είμαι 1 2r | r r | 3 , δηλαδή

ακέοαιξ πξλλαπλάριξ μήκξσπ κύμαςξπ. Σσμεπώπ έυξσμε εμιρυσςική ρσμβξλή και πλάςξπ

ςαλάμςχρηπ ίρξ με 2 .

16

Ερώτηση 11.

Ιαςά μήκξπ υξοδήπ μήκξσπ L , πξσ η μια ςηπ άκοη είμαι ακλόμηςα ρςεοεχμέμη, έυει

δημιξσογηθεί ρςάριμξ κύμα, με ςξ ελεύθεοξ άκοξ ςηπ μα είμαι κξιλία.

Α. Τξ μήκξπ ςηπ υξοδήπ μπξοεί μα είμαι

α) L2

.

β) L2 4

.

γ) L .

Β. Αμ Α είμαι ςξ πλάςξπ ςχμ αομξμικώμ κσμάςχμ πξσ ρσμβάλλξσμ και παοάγεςαι ςξ

ρςάριμξ κύμα, ςόςε η ρυέρη πξσ δίμει ςη μέγιρςη ςαυύςηςα με ςημ ξπξία ςαλαμςώμξμςαι

ξι κξιλίεπ, είμαι:

α) max .

β) max 2 .

γ) max 2 t .

Μα επιλένεςε ςιπ ρχρςέπ απαμςήρειπ. Μα δικαιξλξγήρεςε ςιπ επιλξγέπ ραπ.

Κύρη

Α. Σχρςή απάμςηρη είμαι η β.

Τξ έμα άκοξ ςηπ υξοδήπ είμαι ακλόμηςξ, ξπόςε εκεί θα σπάουει δερμόπ. Σςξ άλλξ άκοξ,

ρύμτχμα με ςημ εκτώμηρη, δημιξσογείςαι κξιλία. Ζ απόρςαρη μεςανύ μιαπ κξιλίαπ και

εμόπ δερμξύ είμαι 4

, άοα ςξ μήκξπ ςηπ υξοδήπ θα ποέπει μα είμαι πεοιςςό πξλλαπλάριξ

ςξσ 4

. Διαιοώμςαπ ςξ μήκξπ υξοδήπ με ςξ

4

βοίρκξσμε πεοιςςό αοιθμό μόμξ ρςξ β.

K (2K 1)L

2 4 4

Β. Σχρςή η απάμςηρη είμαι η β.

17

Ζ μέγιρςη ςαυύςηςα εμόπ σλικξύ ρημείξσ πξσ εκςελεί αομξμική ςαλάμςχρη δίμεςαι από

ςη ρυέρη max , με A , μα δηλώμει ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρήπ ςξσ. Οι κξιλίεπ

ςαλαμςώμξμςαι με πλάςξπ 0 2 . Λε αμςικαςάρςαρη εύκξλα ποξκύπςει max 2 .

18

Ερώτηση 12.

Δύξ ρύγυοξμεπ πηγέπ αομξμικώμ κσμάςχμ 1 και 2 δημιξσογξύμ κύμαςα ίδιξσ

πλάςξσπ Α και μήκξσπ κύμαςξπ 0,5cm . Αμ για ςιπ απξρςάρειπ 1r και 2r εμόπ ρημείξσ Σ

από ςιπ πηγέπ ιρυύει 1 2r r 4cm , ςόςε ςξ ρημείξ Σ

α) ςαλαμςώμεςαι με πλάςξπ 2 .

β) ςαλαμςώμεςαι με πλάςξπ A .

γ) παοαμέμει ακίμηςξ.


Κύρη


Γμχοίζξσμε όςι για μα ρσμβεί εμιρυσςική ρσμβξλή ποέπει μα ιρυύει η ρυέρη 1 2r r Μ .

Ασςό ποάγμαςι ιρυύει γιαςί

1 2r r 4cm 1 2 1 2r r 8 0,5cm r r 8 , όπξσ

0,5cm . Σσμεπώπ ςξ σλικό ρημείξ εκςελεί ρύμθεςη ςαλάμςχρη μεγίρςξσ πλάςξσπ.

19

Ερώτηση 13.

Ιαςά μήκξπ υξοδήπ, πξσ έυει ρςεοεχμέμξ ςξ έμα ςηπ άκοξ, διαδίδεςαι ξ παλμόπ ςξσ

ρυήμαςξπ. Όςαμ ξ παλμόπ τςάρει ρςξ ρημείξ Ι, ςόςε ξ ςξίυξπ θα αρκήρει δύμαμη ρςξ

ρυξιμί πξσ θα έυει ςημ καςεύθσμρη ςηπ

α) 1F .

β) 2F .

γ) 3F .

δ) 4F .


Κύρη


Σε έμα κύμα (ή παλμό) κάθε σλικό ρημείξ επαμαλαμβάμει ςημ κίμηρη ςξσ ποξηγξύμεμξύ

ςξσ. Ο παλμόπ ςξσ ρυήμαςξπ κιμείςαι ποξπ ςα δενιά και η μξοτή ςξσ δηλώμει όςι ρε κάθε

ρημείξ πξσ τθάμει ασςό κιμείςαι ποξπ ςα πάμχ. Έςρι, όςαμ ξ παλμόπ τςάρει ρςξ ρημείξ

Ι θα ςοαβήνει ποξπ ςα πάμχ ςξ ποώςξ μόοιξ ςξσ ρημείξσ ρςήοινηπ. Σύμτχμα με ςξμ 3ξ

μόμξ ςξσ Μεύςχμα ςξ ρημείξ ρςήοινηπ θα αρκήρει ρςξ άκοξ ςξσ ρυξιμιξύ αμςίθεςη

δύμαμη.

20

Ερώτηση 14.

Ιαςά μήκξπ ξμξγεμξύπ ελαρςικήπ υξοδήπ απξκαθίρςαςαι ρςάριμξ κύμα πξσ

πεοιγοάτεςαι από ςημ ενίρχρη :x

y 4 ( ) 6 t10

, όπξσ x , y ρε cm και t ρε s .

Α. Ζ ρσυμόςηςα ςχμ κσμάςχμ πξσ ρσμβάλλξσμ είμαι

α) 6Hz .

β) 3Hz .

γ) 10Hz .

Β. Ζ απόρςαρη μεςανύ δύξ διαδξυικώμ δερμώμ είμαι

α) 5cm .

β) 1

cm5

.

γ) 10cm .


Κύρη

Α. Σχρςή απάμςηρη είμαι η β.

Από ςη ρύγκοιρη ςηπ ενίρχρηπ x

y 4 ( ) 6 t10

με ςη γεμική ενίρχρη ςχμ

ρςάριμχμ κσμάςχμ 2 x 2 t

y 2A ( ) ( )T

, έυξσμε:

2 t6 t 2 f 6 f 3Hz

T

Β. Σχρςή απάμςηρη είμαι η γ.

Ζ απόρςαρη μεςανύ δύξ διαδξυικώμ δερμώμ ρε έμα ρςάριμξ είμαι 2

.

21

Από ςη ρύγκοιρη ςηπ ενίρχρηπ x

y 4 ( ) 6 t10

με ςη γεμική ενίρχρη ςχμ

ρςάριμχμ κσμάςχμ 2 x 2 t

y 2A ( ) ( )T

, έυξσμε:

2 x x

10

, από όπξσ ποξκύπςει 20cm . Σσμεπώπ η απόρςαρη μεςανύ δύξ

διαδξυικώμ δερμώμ είμαι d 10cm2

.

22

Ερώτηση 15.

Δύξ κύμαςα πξσ διαδίδξμςαι πάμχ ρςημ ίδια εσθεία έυξσμ ενιρώρειπ:

1y 4 (10 t - x)6

και 2y 5 (10 t x)

6

.

Από ςη ρσμβξλή ςχμ δύξ παοαπάμχ κσμάςχμ:

α) δεμ μπξοεί μα ποξκύφει ρςάριμξ κύμα.

β) θα δημιξσογηθεί ρςάριμξ κύμα, γιαςί ςα δύξ κύμαςα διαδίδξμςαι ρςημ ίδια διεύθσμρη

με αμςίθεςεπ τξοέπ, έυξσμ ίδιεπ ρσυμόςηςεπ και ίδιξ μήκξπ κύμαςξπ.

γ) θα δημιξσογηθεί ρςάριμξ κύμα, γιαςί ςα δύξ κύμαςα έυξσμ ίδιεπ ρσυμόςηςεπ, και

διαδίδξμςαι ρε αμςίθεςεπ καςεσθύμρειπ.

Μα επιλένεςε ςη ρχρςή απάμςηρη. Μα δικαιξλξγήρεςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Κύρη


Για μα δημιξσογηθεί ρςάριμξ κύμα, είμαι απαοαίςηςξ ςα κύμαςα πξσ ρσμβάλλξσμ μα

διαδίδξμςαι ρε αμςίθεςεπ καςεσθύμρειπ και μα έυξσμ όλα ςα άλλα ρςξιυεία ςξσπ (πλάςξπ,

ρσυμόςηςα, ςαυύςηςα) ίρα. Τα εμ λόγχ κύμαςα διαδίδξμςαι ρε αμςίθεςεπ καςεσθύμρειπ,

έυξσμ ίρεπ ρσυμόςηςεπ, ίρεπ ςαυύςηςεπ διάδξρηπ αλλά δεμ έυξσμ ίρα πλάςη. Σσμεπώπ θα

ρσμβάλλξσμ, αλλά δεμ θα ποξκύφξσμ ρημεία πξσ μα παοαμέμξσμ ακίμηςα, δηλαδή

ρςάριμξ κύμα.

23

Ερώτηση 16.

Τξ ηλεκςοικό πεδίξ εμόπ ηλεκςοξμαγμηςικξύ κύμαςξπ πεοιγοάτεςαι από ςημ ενίρχρη

10 2E 60 2 (12 10 t 4 10 x) SI .

Ζ ρυέρη πξσ πεοιγοάτει ςξ μαγμηςικό πεδίξ ςξσ παοαπάμχ ηλεκςοξμαγμηςικξύ κύμαςξπ

είμαι

7 10 2) B 2 10 2 (12 10 t - 4 10 x)(S.I.)

7 10 2) B 4 10 2 (12 10 t - 4 10 x)(S.I.)

8 10 2) B 3 10 2 (12 10 t - 4 10 x)(S.I.)

Κύρη


Ζ διατξοά μεςανύ ςχμ απαμςήρεχμ είμαι η ςιμή ςξσ Β0, άοα αοκεί μα σπξλξγίρξσμε ςξ

0 .

Ζ ενίρχρη ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ θα είμαι:

10 2

0B B 2 (12 10 t - 4 10 x)

Θρυύει 0

0

Ec

B .

Ζ ςαυύςηςα ςξσ τχςόπ βοίρκεςαι από ςα ρςξιυεία ςηπ δξθείραπ ενίρχρηπ.

Από ςη ρύγκοιρη ςηπ ενίρχρηπ 10 2E 60 2 (12 10 t 4 10 x) S.I. με ςη γεμική

ενίρχρη ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ ηλεκςοξμαγμηςικξύ κύμαςξπ

0

xE E 2 (f t ) S.I.

έυξσμε:

10f 12 10 Hz και 2

1m

4 10

.

Λε εταομξγή ςηπ θεμελιώδξσπ ενίρχρηπ ςηπ κσμαςικήπ βοίρκξσμε ςημ ςαυύςηςα

διάδξρηπ ςξσ ηλεκςοξμαγμηςικξύ κύμαςξπ.

10 8

2

1 mf 12 10 Hz 3 10 c

4 10 m s

Άοα, 70

0 08

E 60V / mB B 2 10 T

c 3 10 m / s

24

Ερώτηση 17.

Έμα ηλεκςοξμαγμηςικό κύμα διαδίδεςαι καςά ςη θεςική καςεύθσμρη ςξσ ξοιζξμςίξσ άνξμα. Σε έμα ρημείξ ςξσ υώοξσ η τάρη ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ πεοιγοάτεςαι από ςη

ρυέρη 2 f t 1 (S.I) .

Σςξ ρημείξ ςξσ υώοξσ, όπξσ ςξ ηλεκςοικό πεδίξ ςξσ ηλεκςοξμαγμηςικξύ κύμαςξπ

παοξσριάζει ςημ παοαπάμχ τάρη, η έμςαρη ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ

α) είμαι ρε ρσμτχμία τάρηπ με ςημ έμςαρη ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ.

β) παοξσριάζει διατξοά τάρηπ 2

με ςημ έμςαρη ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ.

γ) είμαι υοξμικά ρςαθεοή.


Κύρη

Σχρςή είμαι η απάμςηρη β.

Σε έμα ηλεκςοξμαγμηςικό κύμα, κξμςά ρςημ πηγή η έμςαρη ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ

παοξσριάζει διατξοά τάρηπ 2

με ςημ έμςαρη ςξσ μαγμηςικξύ , εμώ μακοιά από ςημ

πηγή ξι δύξ εμςάρειπ είμαι ρε ρσμτχμία τάρηπ. Από ςη ρύγκοιρη ςηπ δξθείραπ ενίρχρηπ

2 f t 1 με ςημ γεμική ενίρχρη ςηπ τάρηπ t x

2 ,T

ποξκύπςει όςι:

x1 x

Όμχπ απόρςαρη ίρη με έμα μήκξπ κύμαςξπ δηλώμει θέρη πξλύ κξμςά ρςημ πηγή

δημιξσογίαπ ςξσ ηλεκςοξμαγμηςικξύ κύμαςξπ. Άοα ξι δύξ εμςάρειπ παοξσριάζξσμ

διατξοά τάρηπ 2

.

25

Ερώτηση 18.

Λια ακςίμα μξμξυοχμαςικξύ τχςόπ ρσυμόςηςαπ f , ρςημ πξοεία ςηπ ρσμαμςά και

διαπεομά κάθεςα δύξ διαταμή πλακίδια Α και Β, ςα ξπξία έυξσμ ίδιξ πάυξπ και δείκςεπ

διάθλαρηπ αμςίρςξιυα An και Bn , για ςξσπ ξπξίξσπ ιρυύει A Bn n .

Α. Για ςα μήκη κύμαςξπ , ςξσ τχςόπ ρςα δύξ πλακίδια ιρυύει

α) .

β) .

γ) .

Β. Για ςξσπ υοόμξσπ διέλεσρηπ ςξσ τχςόπ tA, tB από ςξ κάθε πλακίδιξ θα ιρυύει

α) A Bt t .

β) A Bt t .

γ) A Bt t .

Μα επιλένεςε ςιπ ρχρςέπ απαμςήρειπ. Μα αιςιξλξγήρεςε ςιπ επιλξγέπ ραπ.

Κύρη

Α. Σχρςή απάμςηρη είμαι η γ.

Από ςη ρυέρη c c

nn

, ποξκύπςει όςι ρςξ σλικό με μεγάλξ δείκςη διάθλαρηπ η

ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ τχςόπ είμαι μικοόςεοη.

A B A Bn n

Δταομόζξμςαπ ρςημ ςελεσςαία ρυέρη ςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ και

παίομξμςαπ σπόφη όςι η ρσυμόςηςα δεμ αλλάζει, ποξκύπςει:

A B A B A Bf f

Άοα, ςξ τχπ ρςξ πλακίδιξ Β έυει μεγαλύςεοξ μήκξπ κύμαςξπ, γιαςί διαδίδεςαι με

μεγαλύςεοη ςαυύςηςα.

Β. Σχρςή απάμςηρη είμαι η β.

26

Ο υοόμξπ διέλεσρηπ ςξσ τχςόπ από ςξ κάθε πλακίδιξ είμαι d

t

(όπξσ d ςξ πάυξπ ςξσ

πλακιδίξσ). Δεδξμέμξσ όςι ςα πλακίδια έυξσμ ςξ ίδιξ πάυξπ, ςξ τχπ θα πεοάρει ρε

μικοόςεοξ υοξμικό διάρςημα από ςξ πλακίδιξ όπξσ διαδίδεςαι με μεγαλύςεοη ςαυύςηςα.

Όμχπ c

n , άοα θα πεοάρει πιξ γοήγξοα από ςξ πλακίδιξ πξσ έυει μικοόςεοξ δείκςη

διάθλαρηπ, δηλαδή ςξ ξπςικώπ αοαιόςεοξ σλικό.

27

Ερώτηση 19.

Ακςίμα τχςόπ ειρέουεςαι από ξπςικά πσκμόςεοξ ρε ξπςικά αοαιόςεοξ μέρξ. Αμ

ρσμβξλίρξσμε με a ςη γχμία ποόρπςχρηπ και b ςη γχμία διάθλαρηπ, ςόςε ιρυύει

α) a b .

β) a b .

γ) a b .

Μα επιλένεςε ςη ρχρςή απάμςηρη. Μα αιςιξλξγήρεςε ςημ επιλξγή ραπ.

Κύρη


Σσμβξλίζξσμε με n ςξ δείκςη διάθλαρηπ ςξσ ξπςικά πσκμόςεοξσ μέρξσ και με n ςξ

δείκςη διάθλαρηπ ςξσ ξπςικά αοαιόςεοξσ, άοα B An n

Από ςξ μόμξ ςξσ Snell έυξσμε: A B bn n .

Έςρι, ατξύ B An n ποέπει b .

Δπειδή ξι γχμίεπ είμαι ξνείεπ ποξκύπςει όςι: b .

28

Ερώτηση 20.

Όςαμ μξμξυοχμαςικό τχπ μεςαβαίμει από ξπςικά πσκμόςεοξ ρε ξπςικά αοαιόςεοξ μέρξ,

ςόςε

α) η ρσυμόςηςά ςξσ μειώμεςαι.

β) ςξ μήκξπ κύμαςξπ μειώμεςαι.

γ) η ςαυύςηςά ςξσ ασνάμεςαι.


Κύρη


Ζ ρσυμόςηςα δεμ αλλάζει πξςέ γιαςί είμαι ίδια με ςη ρσυμόςηςα ςηπ πηγήπ.

Όςαμ ςξ τχπ μεςαβαίμει από ξπςικά πσκμόςεοξ ρε ξπςικά αοαιόςεοξ μέρξ, ςόςε μεςαβαίμει από μεγαλύςεοξ ρε μικοόςεοξ δείκςη διάθλαρηπ.

Από ςη ρυέρη f ποξκύπςει όςι επειδή η ςαυύςηςα ασνάμεςαι ςξ μήκξπ κύμαςξπ ασνάμεςαι.

29

Ερώτηση 21.

Λξμξυοχμαςικό τχπ κιμξύμεμξ ρςξ ερχςεοικό διαταμξύπ σλικξύ με δείκςη διάθλαρηπ

an 2 , ποξρπίπςει ρε διαυχοιρςική επιτάμεια και ειρέουεςαι ρε δεύςεοξ διαταμέπ σλικό

με δείκςη διάθλαρηπ bn 3 .

Α. Για ςιπ γχμίεπ ποόρπςχρηπ a και διάθλαρηπ b ιρυύει

α) a b .

β) a b .

γ) a b .


Β. Αμ η γχμία ποόρπςχρηπ είμαι a3

και

3

3 2ημ

, μα ρυεδιάρεςε ςη πξοεία μιαπ

ακςίμαπ ςξσ μξμξυοχμαςικξύ τχςόπ.

Κύρη

Α. Σχρςή απάμςηρη είμαι η α.

Λε εταομξγή ςξσ μόμξσ ςξσ Snell ποξκύπςει

a bb b a a a b

b a

n 3n n 1

n 2

.

Β. Λε αμςικαςάρςαρη ρςξ μόμξ ςξσ Snell παίομξσμε:

b b a a b b b

3n n 3 2 1

2 2

, ρσμεπώπ η ακςίμα θα έυει

πξοεία παοάλληλα ρςη διαυχοιρςική επιτάμεια.

31

Ερώτηση 22.

Λξμξυοχμαςική ακςιμξβξλία πξσ διαδίδεςαι ρςξ γσαλί ποξρπίπςει ρςη διαυχοιρςική

επιτάμεια ςξσ γσαλιξύ µε ςξμ αέοα, µε γχμία ποόρπςχρηπ a rad3

. Ο δείκςηπ

διάθλαρηπ ςξσ γσαλιξύ είμαι an 2 και ςξσ αέοα είμαι n 1 . Ζ ακςιμξβξλία θα

α) διαθλαρςεί και θα ενέλθει ρςξμ αέοα.

β) κιμηθεί παοάλληλα ποξπ ςη διαυχοιρςική επιτάμεια.

γ) αμακλαρςεί ξλικά από ςη διαυχοιρςική επιτάμεια.


Δίμεςαι 3

3 2

.

Κύρη

Σχρςή απάμςηρη είμαι η γ (θα γίμει ξλική αμάκλαρη).

Για μα κοίμξσμε πξια θα είμαι η πξοεία ςηπ ακςίμαπ μεςά ςημ ποόρπςχρή ςηπ ρςη

διαυχοιρςική επιτάμεια ςχμ δύξ μέρχμ, ποέπει μα σπξλξγίρξσμε ςημ κοίριμη γχμία.

Λε εταομξγή ςξσ μόμξσ ςξσ Snell για ςημ κοίριμη γχμία παίομξσμε

crit a crit crit crit

a

1 1n n rad

2 n 42

Ζ γχμία ποόρπςχρηπ είμαι

a rad3

Δπειδή η γχμία ποόρπςχρηπ, a , είμαι μεγαλύςεοη από ςημ κοίριμη γχμία, crit , η

τχςειμή ακςίμα θα σπξρςεί ξλική αμάκλαρη.

32

Ερώτηση 23.

Α. Λξμξυοχμαςική ακςιμξβξλία μήκξσπ κύμαςξπ λ0 πεομάει από ςξμ αέοα ρε διαταμέπ

σλικό, μέρα ρςξ ξπξίξ ςξ μήκξπ κύμαςόπ ςηπ μειώμεςαι καςά ςξ 1

3 ςηπ αουικήπ ςξσ ςιμήπ.

Ο δείκςηπ διάθλαρηπ ςξσ διαταμξύπ σλικξύ είμαι

α) 3

2.

β) 3 .

γ) 2 .

Β. Ο λόγξπ ςηπ πεοιόδξσ ςηπ ακςιμξβξλίαπ ρςξ διαταμέπ σλικό ποξπ ςημ πεοίξδό ςηπ

ρςξμ αέοα, είμαι:

α) 1

3.

β) 3 .

γ) 1.


Κύρη

Α. Σχρςή απάμςηρη είμαι η α.

Δπειδή ςξ μήκξπ κύμαςξπ μειώμεςαι καςά 0

1

3 , ςξ μέξ μήκξπ κύμαςξπ είμαι

0 0 0

1 2

3 3

Από ςξμ ξοιρμό ςξσ δείκςη διάθλαρηπ παίομξσμε

0 0

0

fc 3n n

2f 2

3

.

Β. Σχρςή απάμςηρη είμαι η γ.

33

Ζ ρσυμόςηςα (και η πεοίξδξπ ςξσ κύμαςξπ) είμαι ίδια με ςηπ πηγήπ, ρσμεπώπ δε

μεςαβάλλξμςαι.

34

Ερώτηση 24.

Σςημ επιτάμεια σγοξύ διαδίδξμςαι δύξ αομξμικά εγκάορια κύμαςα ίδιξσ πλάςξσπ A και

ίδιαπ ρσυμόςηςαπ , πξσ παοάγξμςαι από δύξ ρύγυοξμεπ πηγέπ Π1,Π2 με ενιρώρειπ

ςαλάμςχρηπ 1 2y y Aημωt . Σε έμα ρημείξ Λ ςηπ επιτάμειαπ ςξσ σγοξύ ποώςα τςάμει

ςξ κύμα από ςημ πηγή Π1 και μεςά από υοξμικό διάρςημα 3Τ/4 τςάμει ςξ κύμα από ςημ

πηγή Π2. Κόγχ ςηπ ρσμβξλήπ ςχμ δύξ κσμάςχμ ςξ ρημείξ Λ ςαλαμςώμεςαι με πλάςξπ

α) A 2

β) A 2

2

γ) 2A

Δίμεςαι: 3π 2

ζυν4 2

Μα αιςιξλξγήρεςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Κύρη


Τξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ δίμεςαι από ςη ρυέρη: 2 1r rA 2Aζυν2π

2λ

(1)

Για ςιπ απξρςάρειπ ςξσ ρημείξσ Λ από ςιπ πηγέπ ιρυύει:

1 1r υt και 2 2r ut

2 1 1 1 2 1 2 1

3T 3T 3λr r υ t υt r r υ r r

4 4 4

Λε αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) παίομξσμε:

3λ3π4A 2Aζυν2π 2Aζυν A 2

2λ 4

35

Ερώτηση 25.

Ιαςά μήκξπ υξοδήπ μεγάλξσ μήκξσπ

διαδίδεςαι εγκάοριξ αομξμικό κύμα

πλάςξσπ Α και μήκξσπ κύμαςξπ λ. Τξ

ρςιγμιόςσπξ ςξσ κύμαςξπ ςη υοξμική

ρςιγμή 1t είμαι όπχπ ρςξ ρυήμα.

Τξ ρημείξ Λ πξσ βοίρκεςαι ρςη θέρη 5λ

x3

ςη υοξμική ρςιγμή 1t έυει απξμάκοσμρη

α) Α.

β) Α/3.

γ) -Α/2 .


Δίμεςαι: π 1

ημ6 2

Κύρη


Τξ κύμα πεοιγοάτεςαι από ςημ ενίρχρη t x

y Aημ2πT λ

(1)

Τη υοξμική ρςιγμή t1 ςξ κύμα έυει ποξυχοήρει λ

2λ4

. Έυξμςαπ σπόφη όςι ρε μια

πεοίξδξ ςξ κύμα ποξυχοά καςά λ, ποξκύπςει όςι 1

Tt 2T

4 .

Λε αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) , 5λ

x3

και 1

Tt 2T

4 έυξσμε:

5λT2T

9 5 7π π34y Aημ2π Aημ2π Aημ AημT λ 4 3 6 6

ή A

y2

36

Ερώτηση 26.

Δύξ ελαρςικέπ υξοδέπ 1 και 2 είμαι

ρσγκξλλημέμεπ ρςξ έμα άκοξ ςξσπ. Έμαπ

κσμαςξπαλμόπ, ημιςξμξειδξύπ μξοτήπ,

ξδεύει από ςα αοιρςεοά ποξπ ςα δενιά ρςξ

μέρξ 1 με ςαυύςηςα υ1.

Σςξ πάμχ ρςιγμιόςσπξ ταίμεςαι ξ

κσμαςξπαλμόπ ςη ρςιγμή πξσ τςάμει ρςξ

μέρξ 2, εμώ ρςξ κάςχ ρςιγμιόςσπξ

ταίμξμςαι ξ αμακλώμεμξπ κσμαςξπαλμόπ,

καθώπ και ασςόπ πξσ διαδίδεςαι ρςξ μέρξ

2, με ςαυύςηςα υ2 .

Από ςη μελέςη ςχμ ρυημάςχμ ποξκύπςει όςι ξι ςαυύςηςεπ διάδξρηπ ρςξ μέρξ 1 και ρςξ

μέρξ 2 ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη

α) υ υ1 2

β) υ υ1 2

γ) υ υ1 2


Κύρη


Όςαμ έμα κύμα αλλάζει μέρχ διάδξρηπ η ρσυμόςηςα παοαμέμει ρςαθεοή.

Από ςξ ρυήμα και ςξμ ξοιρμό ςξσ μήκξσπ κύμαςξπ , ποξκύπςει: 1λd2

και 2λd2

.

Δπίρηπ από ςξ ρυήμα ποξκύπςει: d d άοα και 1 2λ λ ή 1 2λ f λ f ή 1 2υ υ .

37

Ερώτηση 27.

Δύξ ρύγυοξμεπ πηγέπ αομξμικώμ κσμάςχμ Π1, Π2 παοάγξσμ κύμαςα ίδιξσ πλάςξσπ ρςη

επιτάμεια σγοξύ. Λικοό κξμμάςι τελλξύ απέυει 1r 5m από ςημ πηγή Π1 και 2r 4,5m

από ςημ Π2. Τξ μέγιρςξ μήκξπ κύμαςξπ πξσ μπξοεί μα παοαυθεί από ςιπ πηγέπ,

ποξκειμέμξσ μα παοαμέμει ακίμηςξπ ξ τελλόπ είμαι

α) 2m

β) 1m

γ) 0,5m


Κύρη


Ατξύ ξ τελλόπ παοαμέμει ακίμηςξπ ιρυύει η ρυέρη 1 21 2

2(r r )λr r (2k 1) λ

2 2k 1

Λε βάρη ςημ παοαπάμχ ρυέρη ςξ μέγιρςξ λ ποξκύπςει για ςξ ελάυιρςξ k, δηλαδή για

k=0. Λε αμςικαςάρςαρη ποξκύπςει:

2 (5m 4,5m)λ λ 1m

2 0 1

38

Ερώτηση 28.

Σςημ επιτάμεια εμόπ σγοξύ δύξ

ρύγυοξμεπ πηγέπ παοάγξσμ κύμαςα ίδιξσ

πλάςξσπ και ίδιαπ ρσυμόςηςαπ. Για έμα

ρημείξ Λ ςηπ επιτάμειαπ ςξσ σγοξύ, η

γοατική παοάρςαρη ςηπ απξμάκοσμρηπ y

ρε ρσμάοςηρη με ςξ υοόμξ t είμαι όπχπ

ρςξ διάγοαμμα. Αμ 1r και 2r είμαι ξι

απξρςάρειπ ςξσ Λ από ςιπ δύξ πηγέπ, ςόςε

α) 2 1| r r | 2,5λ

β) 2 1| r r | 1,5λ

γ) 2 1| r r | 5λ


Κύρη

Σχρςή ποόςαρη είμαι η (β).

Παοαςηοξύμε όςι ςξ ρημείξ Λ αουίζει μα ςαλαμςώμεςαι ςη υοξμική ρςιγμή 1t και ρςαμαςά

μα ςαλαμςώμεςαι ςη υοξμική ρςιγμή 2t . Ασςό ρσμβαίμει γιαςί ςη υοξμική ρςιγμή 2t

έτςαρε ςξ δεύςεοξ κύμα και ποξκλήθηκε απξρβερςική ρσμβξλή.

Από ςη γοατική παοάρςαρη ποξκύπςει: 2 1

3Tt t

2 .

2 1 2 1 2 1 2 1

3T λ 3T 3λr r υ (t t ) υ r r r r

2 T 2 2

39

Ερώτηση 29.

Σε μια υξοδή μήκξσπ L δημιξσογείςαι ρςάριμξ κύμα, με δερμξύπ ρςα δύξ άκοα ςηπ και

άλλξσπ δύξ εμδιάμερα. Αμ f είμαι η ρσυμόςηςα ςαλάμςχρηπ ςηπ υξοδήπ, ςόςε η ςαυύςηςα

διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ ρςη υξοδή είμαι

α) 2Lf

υ3

β) Lf

υ3

γ) 3Lf

υ2


Κύρη

Σχρςή ποόςαρη είμαι η (α).

Σςα δύξ άκοα ςηπ υξοδήπ δημιξσογξύμςαι δερμξί, έςρι ςξ μήκξπ ςηπ υξοδήπ και ςξ μήκξπ

κύμαςξπ ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη: λ 2L

L 3 λ2 3

Λε αμςικαςάρςαρη ρςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ παίομξσμε:

2L 2Lυ λf f υ f

3 3

40

Ερώτηση 30.

Οι ρειρμξλόγξι, ποξκειμέμξσ μα ποξρδιξοίρξσμ ςημ απόρςαρη ςηπ ερςίαπ εμόπ ρειρμξύ

από έμα ρειρμξγοάτξ, υοηριμξπξιξύμ ςη διατξοά υοόμξσ άτινηπ με ςημ ξπξία

καςαγοάτξμςαι από ςξ ρειρμξγοάτξ ςα διαμήκη και εγκάορια κύμαςα πξσ παοάγξμςαι

ρςημ ερςία ςξσ ρειρμξύ. Αμ Δt η υοξμική διατξοά άτινηπ ςχμ διαμήκχμ και εγκάοριχμ

κσμάςχμ, δυ , ευ ξι ςαυύςηςεπ ςχμ διαμήκχμ και εγκαορίχμ κσμάςχμ αμςίρςξιυα,

( δ ευ υ ), ςόςε η απόρςαρη ςηπ ερςίαπ ςξσ ρειρμξύ από ςξμ ρειρμξγοάτξ είμαι

α) δ ευ υ t

2

β) δ ευ υ t

γ) δ ε

δ ε

υ υ t

υ υ


Κύρη


Αμ με δt και εt ρσμβξλίρξσμε ςξσπ υοόμξσπ πξσ απαιςξύμςαι για μα τςάρξσμ ςξ

εγκάοριξ και ςξ διαμήκεπ κύμα από ςημ ερςία ςξσ ρειρμξύ έχπ ςξ ρειρμξγοάτξ

αμςίρςξιυα, ιρυύει:

δ

δ

dt

υ και

ε

ε

dt

υ , όπξσ d η απόρςαρη ερςίαπ ρειρμξγοάτξσ .

Δπειδή ε δυ υ θα είμαι δ εt t .

Σεισμογράφος

ΕΣΤΙΑ

d

υδ

υε

41

Άοα, ε δ

ε δ

d dΓt t t

υ υ και από εδώ λύμξμςαπ χπ ποξπ d βοίρκξσμε: δ ε

δ ε

υ υ td

υ υ

.

42

Ερώτηση 31.

Έμα κύκλχμα αμείχςχμ ηλεκςοικώμ ςαλαμςώρεχμ πημίξσ-πσκμχςή παοάγει

ηλεκςοξμαγμηςικά κύμαςα μήκξσπ κύμαςξπ λ. Αμ ασνήρξσμε ςξμ ρσμςελερςή

ασςεπαγχγήπ ςξσ πημίξσ καςά 44%, ςξ μήκξπ κύμαςξπ ςξσ ηλεκςοξμαγμηςικξύ κύμαςξπ

α) ασνάμεςαι καςά 44%

β) μειώμεςαι καςά 44%

γ) ασνάμεςαι καςά 20%

Μα δικαιξλξγήρεςε ςημ επιλξγή ραπ.

Κύρη


Ζ αουική ρσυμόςηςα ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι: 1

f2π LC

Ζ ρσυμόςηςα ςηπ μέαπ ςαλάμςχρηπ είμαι: 1 1

f2π L C 2π 1,44LC

ή f

f1,2

Γοάτξμςαπ ςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ για ςημ κάθε πεοίπςχρη και διαιοώμςαπ

καςά μέλη παίομξσμε:

c λf λf 1,2λ1 1 λ ' 1,2λ

c λ 'f ' λ 'f /1,2 λ ' ή λ ' 120%λ

Άοα, έυξσμε αύνηρη 20% .

43

Ερώτηση 32.

Ζ ενίρχρη ςξσ ηλεκςοικξύ και ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ εμόπ ηλεκςοξμαγμηςικξύ κύμαςξπ

πξσ διαδίδεςαι ρε έμα ξπςικό μέρξ είμαι:

8

max

xE E ημ2π 10 t

2

(S.I.) ,

5 8 xB 10 ημ2π 10 t

2

(S.I.) αμςίρςξιυα.

Ζ μέγιρςη έμςαρη ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ, maxΔ , είμαι

α) 33 10 V / m

β) 32 10 V / m

γ) 34 10 V / m


Κύρη


Από ςημ ενίρχρη ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ ποξκύπςει:

8f 10 Hz , λ 2m και 5

maxΒ 10 T .

H ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ ρςξ μέρξ είμαι: 8 υ λf 2 10 m / s .

Δπίρηπ ιρυύει: 8 5 3max

max max max

max

E m Vυ E υB 2 10 10 T E 2 10

B s m

.

44

Ερώτηση 33.

Σε μια υξοδή έυει δημιξσογηθεί ρςάριμξ κύμα. Έμα ρημείξ Λ ςηπ υξοδήπ ςαλαμςώμεςαι

με πλάςξπ Α και ςη υοξμική ρςιγμή t 0 βοίρκεςαι ρςη θέρη A

x2

κιμξύμεμξ ποξπ ςη

θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ. Ζ υοξμική ρςιγμή πξσ η επιςάυσμρή ςξσ γίμεςαι μηδέμ για ποώςη

τξοά είμαι

α) T

3.

β) T

6.

γ) T

12.


Κύρη


Οι ενιρώρειπ κίμηρηπ είμαι:

0x Aημ ωt φ και max 0υ υ ζυν ωt φ .

Τη υοξμική ρςιγμή t 0 είμαι:

Ax

2 και υ 0 άοα 0

1ημφ

2 και 0ζυνφ 0 . Δπειδή 00 φ 2π θα είμαι

0

π 5πφ π

6 6 . Ζ επιςάυσμρη μηδεμίζεςαι για 1η τξοά ρςημ θέρη x 0 , άοα

5π0 Αημ ωt

6

ή

5πκπ ωt

6 ή

5πωt κπ

6 και για κ 1 έυξσμε:

πωt

6 ή

2π πt

T 6 ή

Tt

12 .

45

Ερώτηση 34.

Σςα παοακάςχ ρυήμαςα βλέπξσμε ςα ρςιγμιόςσπα μέοξσπ μιαπ υξοδήπ πξσ

ςαλαμςώμεςαι, ςιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ 1t και 1

Tt

4 . Λελεςώμςαπ ςα ρςιγμιόςσπα ασςά και

έυξμςαπ σπόφη όςι ςξ ρημείξ ςηπ θέρηπ

x 0 (δεμ δείυμεςαι ρςξ ρυήμα)

ςαλαμςώμεςαι ρύμτχμα με ςη ρυέρη

y Aημωt , ρσμπεοαίμξσμε όςι

α) έυει δημιξσογηθεί ρςάριμξ κύμα ρςη

υξοδή.

β) παοιρςάμξσμ αομξμικό κύμα πξσ

διαδίδεςαι ποξπ ς’ αοιρςεοά.

γ) παοιρςάμξσμ αομξμικό κύμα πξσ διαδίδεςαι ποξπ ςα δενιά.

Δπιλένςε ςη ρχρςή ποόςαρη και δικαιξλξγείρςε ςημ επιλξγή ραπ.

Κύρη

Σχρςή είμαι η (β).

Δεμ θα μπξοξύρε μα είμαι ρςάριμξ κύμα, γιαςί βλέπξσμε όςι ςα ρημεία πξσ ςη υοξμική

ρςιγμή 1t βοιρκόμςξσραμ ρςιπ θέρειπ ιρξοοξπίαπ, ςη υοξμική ρςιγμή 1

Tt

4 βοίρκξμςαι

ρςιπ μέγιρςεπ απξμακούμρειπ.

Για μα απξταρίρξσμε ποξπ ςα πξύ διαδίδεςαι ςξ κύμα θα ρςηοιυθξύμε ρςημ παοαςήοηρη

όςι ρε έμα ςοέυξμ κύμα όλα ςα ρημεία ςξσ σλικξύ εκςελξύμ διαδξυικά ςημ κίμηρη ςξσ

ποξηγξύμεμξύ ςξσπ.

Αμ ςξ κύμα διαδίδεςαι ποξπ ςα αοιρςεοά, ρςξ ρςιγμιόςσπξ ςηπ υοξμικήπ ρςιγμή 1t ςα

ποξηγξύμεμα ςξσ ρημείξσ Α βοίρκξμςαι ρε θεςική απξμάκοσμρη και ςξ ρημείξ Α μεςά

από υοξμικό διάρςημα T/4 θα έποεπε μα βοεθεί ρςη μέγιρςη θεςική απξμάκοσμρη.

Αμ ςξ κύμα διαδίδεςαι ποξπ ςα δενιά, ρςξ ρςιγμιόςσπξ ςηπ υοξμικήπ ρςιγμή 1t ςα

ποξηγξύμεμα ςξσ ρημείξσ Δ βοίρκξμςαι ρε θεςική απξμάκοσμρη και ςξ ρημείξ Δ μεςά

από υοξμικό διάρςημα T/4 θα έποεπε μα βοεθεί ρςη μέγιρςη θεςική απξμάκοσμρη,

αλλά ασςό βοίρκεςαι ρςξ -Α.

Από ςη ρσγκοιςική μελέςη ςχμ δύξ γοατημάςχμ εύκξλα ποξκύπςει όςι ςξ κύμα

διαδίδεςαι ποξπ ςα αοιρςεοά.

46

Ερώτηση 35.

Οι ξπςικέπ ίμεπ είμαι τςιαγμέμεπ από δύξ διαταμή σλικά 1 και 2 , έςρι ώρςε ςξ

ερχςεοικό μα είμαι κύλιμδοξπ και γύοχ ςξσ ςξ σλικό 2 είμαι ξμξανξμικόπ κξίλξπ

κύλιμδοξπ. Σςξ ρυήμα ταίμεςαι μια ςξμή καςά μήκξπ ςξσ άνξμα ςξσ κσλίμδοξσ. Λια

ακςίμα laser διαδιδόμεμη ρςξ σλικό 1 ποξρπίπςει με γχμία 45ξ ρςη διαυχοιρςική

επιτάμεια ςχμ δύξ ξπςικώμ μέρχμ και στίρςαςαι ξλική αμάκλαρη, όπχπ ρςξ ρυήμα. Αμ

ξ δείκςηπ διάθλαρηπ ςξσ σλικξύ 1 είμαι 1n 2 , ςόςε για ςξ δείκςη διάθλαρηπ ςξσ σλικξύ

2 ιρυύει

α) 21 n 2

β) 2 2 n 2

γ) 2 1 n 2


Κύρη


Ατξύ ρσμβαίμει ξλική αμάκλαρη η γχμία ποόρπςχρηπ ςχμ 45ξ είμαι μεγαλύςεοη από ςημ

κοίριμη γχμία. Ζ κοίριμη γχμία σπξλξγίζεςαι από ςη ρυέρη:

o 2crit 1 2 crit

1

nημ n ημ90 n ημ

n

o o o 2 2crit crit 2

1

n n245 ημ45 ημ ημ45 n 2

n 2 2

47

Ερώτηση 36.

Έμα εγκάοριξ αομξμικό κύμα διαδίδεςαι υχοίπ απώλειεπ

καςά μήκξπ ςξσ άνξμα x’Ox. Τξ ρημείξ ςηπ θέρηπ x 0 ,

ςαλαμςώμεςαι ρύμτχμα με ςη ρυέρη y Aημωt . Σςξ

διάγοαμμα ταίμεςαι για έμα ρημείξ Λ ςξσ ελαρςικξύ

μέρξσ πξσ απέυει Mx 40cm από ςημ πηγή η

απξμάκοσμρη ρε ρσμάοςηρη με ςξ υοόμξ

H ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ είμαι

α. 0,1 m/s

β. 0,2 m/s

γ. 0,5 m/s


Κύρη


Από ςξ διάγοαμμα ποξκύπςει όςι ςξ κύμα ρε υοξμικό διάρςημα Γt 0,8s διαμύει

απόρςαρη Γx 0,4m .

Παίομξμςαπ σπόφη όςι η ςαυύςηςα διάδξρηπ είμαι ρςαθεοή έυξσμε:

Γx 0,4mυ υ 0,5m / s

Γt 0,8s= =

48

Ερώτηση 37.

Έμα εγκάοριξ αομξμικό κύμα διαδίδεςαι υχοίπ απώλειεπ

καςά μήκξπ ςξσ άνξμα x’Ox. Τξ ρημείξ ςηπ θέρηπ x 0 ,

ςαλαμςώμεςαι ρύμτχμα με ςη ρυέρη y Aημωt . Σςξ

διάγοαμμα ταίμεςαι για έμα ρημείξ Λ ςξσ ελαρςικξύ μέρξσ

πξσ απέυει Mx 40cm από ςημ πηγή η απξμάκοσμρη ρε

ρσμάοςηρη με ςξ υοόμξ.Τξ διάγοαμμα ςηπ απξμάκοσμρηπ

όλχμ ςχμ ρημείχμ ςξσ ελαρςικξύ μέρξσ (ρςιγμιόςσπξ ςξσ κύμαςξπ) ςη υοξμική ρςιγμή

t 0,35s είμαι ςξ

α. (Θ)

β. (ΘΘ)

γ. (ΘΘΘ)


Κύρη

Σχρςή απάμςηρη η (γ).

Από ςξ διάγοαμμα ποξκύπςει όςι ςξ υοξμικό διάρςημα 0,8s έχπ 1,1s αμςιρςξιυεί ρε

3Τ / 2 . Οπόςε έυξσμε ή 0,3s 3Τ / 2 ή Τ 0,2s .

Ζ υοξμική ρςιγμή t 0,35s 0,20s 0,15s αμςιρςξιυεί ρε υοξμικό διάρςημα 7T / 4 .

Παίομξμςαπ σπόφη όςι ςξ κύμα ρε υοξμικό διάρςημα μιαπ πεοιόδξσ ποξυχοά καςά έμα

μήκξπ κύμαςξπ λ εύκξλα ποξκύπςει όςι ρε υοξμικό διάρςημα 7T / 4 ποξυχοά καςά

Γx 7λ / 4 .

Άοα ρχρςό είμαι ςξ διάγοαμμα (ΘΘΘ).

49

Ερώτηση 38.

Ιαςά μήκξπ γοαμμικξύ ελαρςικξύ μέρξσ διαδίδεςαι εγκάοριξ αομξμικό κύμα μήκξσπ

κύμαςξπ λ καςά ςη διεύθσμρη ςξσ άνξμα x’Ox. Τξ ρημείξ ςηπ θέρηπ x 0 , ςαλαμςώμεςαι

ρύμτχμα με ςη ρυέρη y Aημωt . Ζ τάρη εμόπ ρημείξσ Λ ςξσ μέρξσ ρε ρυέρη με ςξ

υοόμξ δίμεςαι από ςη ρυέρη

Μφ πt 4π (SI)

Όςαμ ςξ ρημείξ Λ απξκςήρει για ςοίςη τξοά ςη μέγιρςη δσμαμική ςξσ εμέογεια, η

επιςάυσμρη ςηπ πηγήπ (x=0) θα είμαι

α. μηδέμ

β. θεςική

γ. αομηςική.


Κύρη


Ζ τάρη ςξσ ρημείξσ Λ γοάτεςαι: t

φ πt 4π φ π 22

= =2

Από ςη ρύγκοιρη με ςη γεμική ενίρχρη ςηπ τάρηπ ποξκύπςει:

Τ 2s και x

2 x 2λλ

=

Ζ πηγή και ςξ ρημείξ Λ βοίρκξμςαι ρε ρσμτχμία τάρηπ, ατξύ απέυξσμ μεςανύ ςξσπ

ακέοαιξ πξλλαπλάριξ ςξσ μήκξσπ κύμαςξπ και θα έυξσμ κάθε ρςιγμή ίδιεπ

απξμακούμρειπ. Όςαμ ςo M απξκςά ςη μέγιρςη δσμαμική ςξσ εμέογεια για 3η τξοά,

βοίρκεςαι ρε απξμάκοσμρη +Α, επξμέμχπ και η πηγή βοίρκεςαι ρε απξμάκοσμρη +Α .

Παίομξμςαπ σπόφη όςι, 2α ω y , ποξκύπςει όςι ςξ ρημείξ Λ έυει αομηςική επιςάυσμρη.

50

Ερώτηση 39.

Σςξ ρυήμα ταίμξμςαι ρε κξιμό ρύρςημα ανόμχμ ςα

διαγοάμμαςα τάρηπ – απόρςαρηπ δύξ αομξμικώμ κσμάςχμ

1 και 2 πξσ διαδίδξμςαι καςά μήκξπ δύξ γοαμμικώμ

ελαρςικώμ μέρχμ ςη υοξμική ρςιγμή tξ. Τα κύμαςα

νεκίμηραμ ςη υοξμική ρςιγμή t 0 ςη διάδξρή ςξσπ από

ςιπ πηγέπ ςξσπ υχοίπ αουική τάρη.

Ο λόγξπ ςχμ μηκώμ κύμαςξπ ςχμ κσμάςχμ, 1

2

λ

λ, είμαι

α. 1

2

λ 1

λ 2

β. 1

2

λ 2

λ 3

γ. 1

2

λ 3

λ 2


Κύρη


Από ςα διαγοάμμαςα βλέπξσμε όςι:

ςη ρςιγμή tξ ςα δύξ κύμαςα ποξυώοηραμ μέυοι 1x 4m και 2x 6m αμςίρςξιυα.

Eπξμέμχπ

1 o1 1 1 1

2 2 o 2 2 2

υ tx υ λ f2 2

x υ t υ 3 λ f 3

(1)

ςη υοξμική ρςιγμή tξ ξι τάρειπ ςχμ πηγώμ είμαι 4π και 3π αμςίρςξιυα. Δπoμέμχπ:

1 o1 1 1

2 2 o 2 2

2πf tφ f f4π 4

φ 2πf t 3π f f 3 .

Λε αμςικαςάρςαρη ρςημ (1) ποξκύπςει:

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

λ f λ 4 λ λ2 2 2 1

3 λ f 3 λ 3 λ 4 λ 2

51

Ερώτηση 40.

Ιαςά μήκξπ γοαμμικξύ ελαρςικξύ μέρξσ διαδίδεςαι ποξπ ςημ

καςεύθσμρη ςξσ αομηςικξύ ημιάνξμα εγκάοριξ αομξμικό

κύμα. Τη υοξμική ρςιγμή t=0, ςξ ρημείξ x=0 νεκιμά ςημ

ςαλάμςχρή ςξσ διεουόμεμξ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ με

θεςική ςαυύςηςα. To διάγοαμμα τάρηπ-απόρςαρηπ ςη

υοξμική ρςιγμή t1 ταίμεςαι ρςξ διπλαμό ρυήμα. Τξ ρημείξ Ι

βοίρκεςαι ρςη θέρη

α. λ

2

β. 3λ

2

γ. 3λ


Κύρη


Τη υοξμική ρςιγμή t1: Κφ 0 και Μφ 3π .

Δπειδή ςξ κύμα διαδίδεςαι ποξπ ςξμ αομηςικό ημιάνξμα η τάρη εμόπ ρημείξσ δίμεςαι από

ςη ρυέρη t x

φ 2πT λ

.

Λε αμςικαςάρςαρη ςχμ ςιμώμ για ςξ ρημείξ Λ ςη υοξμική ρςιγμή t1 παίομξσμε:

1 M 1M 1

t x t λ Tφ 2π 3π 2π t

T λ T λ 2

Λε αμςικαςάρςαρη ςχμ ςιμώμ για ςξ ρημείξ Ι ςη υοξμική ρςιγμή t1 παίομξσμε:

1 KK K

t x λφ 0 0 2π x

T λ 2

52

Ερώτηση 41.

Οι πηγέπ Ο1 και Ο2 ςξσ ρυήμαςξπ βοίρκξμςαι ρε ρσμτχμία

τάρηπ και δημιξσογξύμ ρςημ ήοεμη επιτάμεια σγοξύ

αομξμικά κύμαςα ίδιξσ πλάςξσπ Α, πξσ διαδίδξμςαι με

ςαυύςηςα μέςοξσ σ=4 cm/s παοάγξμςαπ ταιμόμεμα

ρσμβξλήπ. Tξ ρημείξ Λ απέυει r1=51,5 cm και r2=49,5cm

από ςιπ πηγέπ αμςίρςξιυα. Για μα βοίρκεςαι ςξ ρημείξ Λ ρε

σπεοβξλή εμίρυσρηπ, θα ποέπει ξι πηγέπ μα εκπέμπξσμ ςα

κύμαςα με ρσυμόςηςεπ

α. f=1,3,5,7…… Hz

β. f=2,4,6,8…… Hz

γ. f=1,2,3,4,5… Hz

Κύρη


Για ςη διατξοά ςχμ απξρςάρεχμ ςξσ Λ από ςιπ δύξ πηγέπ ιρυύει : 1 2r r 2cm

Για μα έυξσμε εμιρυσςική ρσμβξλή ποέπει:

1 2 1 2

1 2

υ Nυ N 4cm / sr r Nλ r r N f f 2NHz

f r r 2cm

με Ν 1,2,3 .

άοα f 2,4,6 ..Hz .

53

Ερώτηση 42.

Οι πηγέπ Ο1 και Ο2 ςξσ ρυήμαςξπ βοίρκξμςαι ρε

ρσμτχμία τάρηπ και δημιξσογξύμ ρςημ ήοεμη επιτάμεια

σγοξύ αομξμικά κύμαςα ίδιξσ πλάςξσπ Α, πξσ διαδίδξμςαι

με ςαυύςηςα μέςοξσ σ=6 cm/s παοάγξμςαπ ταιμόμεμα

ρσμβξλήπ. Tξ ρημείξ Λ απέυει r1=31,5 cm και r2=34,5cm

από ςιπ πηγέπ αμςίρςξιυα. Για μα βοίρκεςαι ςξ ρημείξ Λ ρε

σπεοβξλή απόρβερηπ, θα ποέπει ξι πηγέπ μα εκπέμπξσμ

ςα κύμαςα με ρσυμόςηςεπ

α. f=1,3,5,7…… Hz

β. f=2,4,6,8…… Hz

γ. f=1,2,3,4,5… Hz


Κύρη

Σχρςή απάμςηρη η (α).

Για ςη διατξοά ςχμ απξρςάρεχμ ςξσ Λ από ςιπ δύξ πηγέπ ιρυύει : 1 2r r 3cm

Για μα έυξσμε απξρβερςική ρσμβξλή ποέπει:

1 2 1 2

1 2

λ υ (2N 1)υ (2N 1) 6cm / sr r (2N 1) r r (2N 1) f

2 2f 2 r r 2 3cm

f (2N 1)Hz με N 0,1,2,3...

Άοα f 1,3,5,7 Hz

54

Ερώτηση 43.

Σε έμα ξοιζόμςιξ ρυξιμί πξσ έυει ςξ έμα άκοξ ςξσ ελεύθεοξ και ςξ άλλξ ρςεοεχμέμξ

ακλόμηςα, δημιξσογξύμε ρςάριμξ κύμα ρςξ ξπξίξ ρςξ ελεύθεοξ άκοξ ρυημαςίζεςαι

κξιλία. Τξ μήκξπ ςξσ ρυξιμιξύ είμαι L 7λ / 4 όπξσ λ είμαι ςξ μήκξπ κύμαςξπ ςξσ

ρςάριμξσ. Τη υοξμική ρςιγμή t 0 όλα ςα ρημεία ςξσ ρυξιμιξύ διέουξμςαι από ςη θέρη

ιρξοοξπίαπ ςξσπ.

Ζ διατξοά τάρηπ μεςανύ ςχμ ρημείχμ Β και Γ είμαι

α. ΒΓΓφ 0 rad

β. ΒΓΓφ π rad

γ. ΒΓΓφ 2π rad


Κύρη


Τξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ςσυαίξσ ρημείξσ ρε έμα

ρςάριμξ δίμεςαι από ςη ρυέρη2πx

Α 2Aζυν2λ

, όπξσ

x η ξοιζόμςια απόρςαρη από μια κξιλία, εδώ από ςξ

ελεύθεοξ άκοξ.

To ρημείξ B απέυει λ/2 από ςημ κξιλία (x=0), επξμέμχπ

Β

2πλΑ 2Aζυν 2Α

2λ

To ρημείξ Γ απέυει λ από ςημ κξιλία (x=0), επξμέμχπ

Γ

2πλΑ 2Aζυν 2Α

λ

Τα ποόρημα ςχμ όοχμ ΑΒ και ΑΓ είμαι αμςίθεςα, άοα ςα Β και Γ έυξσμ διατξοά τάρηπ π.

55

Ερώτηση 44.

Σε έμα ξοιζόμςιξ ρυξιμί πξσ έυει ςξ έμα άκοξ ςξσ ελεύθεοξ και ςξ άλλξ ρςεοεχμέμξ

ακλόμηςα, δημιξσογξύμε ρςάριμξ κύμα ρυημαςίζξμςαπ ρςξ ελεύθεοξ άκοξ κξιλία. Τξ

μήκξπ ςξσ ρυξιμιξύ είμαι L 7λ / 4 όπξσ λ είμαι ςξ μήκξπ κύμαςξπ ςξσ ρςάριμξσ. Τη

υοξμική ρςιγμή t 0 όλα ςα ρημεία ςξσ ρυξιμιξύ διέουξμςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ

ςξσπ.

Ο λόγξπ ςχμ πλαςώμ ςχμ ςαυσςήςχμ ςχμ ρημείχμ Α και Γ είμαι αμςίρςξιυα

α.

A

max

Γ

max

υ2

υ

β.

A

max

Γ

max

υ 2

υ 2

γ.

A

max

Γ

max

υ3

υ


Κύρη


max A A

maxΓ Γ

υ ω A

υ ω A

, (1)

Τξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ςσυαίξσ ρημείξσ ρε

έμα ρςάριμξ δίμεςαι από ςη ρυέρη2πx

Α 2Aζυν2λ

,

όπξσ x η ξοιζόμςια απόρςαρη από μια κξιλία, εδώ

από ςξ ελεύθεοξ άκοξ.

Τξ ρημείξ Α απέυει ξοιζόμςια λ/8 από ςξ ρημείξ x=0 και έυει πλάςξπ

A

2πλΑ 2Aζυν Α 2

8λ .

Τξ ρημείξ Γ απέυει ξοιζόμςια λ από ςξ ρημείξ x=0 και έυει πλάςξπ 2Α.

56

Ζ ρυέρη (1) γίμεςαι: max A max AA

maxΓ Γ maxΓ

υ υA A 2 2

υ A 2A υ 2

57

Ερώτηση 45.

Τα άκοα μιαπ ελαρςικήπ υξοδήπ μήκξσπ L=2,5m

είμαι δεμέμα ρςα ρςαθεοά ρημεία Α και Β. Σςη

υξοδή έυξσμε δημιξσογία ρςάριμξσ κύμαςξπ από

ςοέυξμςα κύμαςα πξσ είυαμ ςαυύςηςα διάδξρηπ

12m / s .

Ζ ρσυμόςηςα με ςημ ξπξία έμα ρημείξ ςηπ υξοδήπ ςαλαμςώμεςαι μπξοεί μα είμαι

α. 5 Hz

β. 4,4 Hz

γ. 7,2 Hz


Κύρη


Τα άκοα ςξσ ρυξιμιξύ είμαι δερμξί, άοα ςξ μήκξπ ςξσ ρυξιμιξύ ποέπει μα είμαι ακέοαιξ

πξλλαπλάριξ ςξσ λ/2.

λ υ υN 12m / s N

L N N f f 2,4 N SI2 2f 2L 2 2,5m

με Ν 1,2,3,4,

Παοαςηοξύμε όςι για Ν 3 παίομξσμε f 7,2Hz

58

Ερώτηση 46.

Τξ γσάλιμξ ποίρμα ςξσ ρυήμαςξπ είμαι βσθιρμέμξ ρε

δξυείξ πξσ πεοιέυει σγοό. Ζ μξμξυοχμαςική ακςίμα

τχςόπ ειρέουεςαι κάθεςα ρςημ έδοα ΑΒ ςξσ ποίρμαςξπ.

Αμ ξι δείκςεπ διάθλαρηπ ςχμ δύξ σλικώμ ρσμδέξμςαι με

ςη ρυέρη nποιρμαςξπ=2 nσγοξύ , ςόςε η ακςίμα θα ακξλξσθήρει

ςημ πξοεία

α. (α)

β. (β)

γ. (γ)


Δίμεςαι, ο

1ημ30

2 .

Κύρη


Δύκξλα ποξκύπςει από ςη Γεχμεςοία για ςη γχμία ποόρπςχρηπ, ο

1φ 30 .

Λε εταομξγή ςξσ μόμξσ Snell ρςξ Ι ποξκύπςει: ο

πρ υγρ 2n ημ30 n ημφ ή 22 0,5 ημφ ή 2ημφ 1 ή ο

2φ 90 .

59

Ερώτηση 47.

Ζ μξμξυοχμαςική ακςίμα τχςόπ ςξσ ρυήμαςξπ ποξρπίπςει ρςημ

πάμχ επιτάμεια ςξσ γσάλιμξσ κσλίμδοξσ ρςξ ρημείξ Α με γχμία

ποόρπςχρηπ τ και ακξλξσθεί ςημ πξοεία ςξσ ρυήμαςξπ. Τξ

ημίςξμξ ςηπ γχμίαπ τ είμαι

α. 3

3

β. 3

2

γ. 2

3


Δίμξμςαι, ο

1ημ30

2 ,

ο

3ημ60

2 .

Κύρη


Λε εταομξγή ςξσ μόμξσ ςξσ Snell ρςξ Α παίομξσμε: o oημφ 1 n ημ30 ημφ n ημ30 (1)

Λε εταομξγή ςξσ μόμξσ ςξσ Snell ρςξ Β παίομξσμε:

o o

o

1ημ60 n ημ90 1 n

ημ60 (2)

Σσμδσάζξμςαπ ςιπ (1) και (2) παίομξσμε:

o

o

1ημ30 32ημφ ημφημ60 33

2

60

ΘΔΜΑ Γ

Άσκηση 1.

Ιαςά μήκξπ μιαπ ελαρςικήπ υξοδήπ μεγάλξσ μήκξσπ πξσ ςξ έμα άκοξ ςηπ είμαι ακλόμηςα

ρςεοεχμέμξ, διαδίδξμςαι δύξ κύμαςα, ςχμ ξπξίχμ ξι ενιρώρειπ είμαι αμςίρςξιυα:

1y 10 2 (5t x) και 2y 10 2 (5t x) , όπξσ y και x είμαι μεςοημέμα ρε cm και

ςξ t ρε s . Σςη θέρη x 0 , πξσ είμαι ςξ “ελεύθεοξ” άκοξ ςηπ υξοδήπ δημιξσογείςαι

κξιλία.

α) Μα βοείςε ςημ ςαυύςηςα διάδξρηπ ςχμ κσμάςχμ ρςη υξοδή.

β) Μα βοείςε ςημ ενίρχρη ςξσ ρςάριμξσ κύμαςξπ πξσ θα δημιξσογηθεί από ςη ρσμβξλή

ςχμ δύξ ασςώμ κσμάςχμ και ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ κάθε σλικξύ ρημείξσ ςηπ υξοδήπ,

ρσμαοςήρει ςηπ απόρςαρήπ ςξσ από ςξ “ελεύθεοξ” άκοξ ςηπ.

γ) Μα ρυεδιάρεςε ςιπ γοατικέπ παοαρςάρειπ απξμάκοσμρηπ - υοόμξσ, για ςα ρημεία Α, Β

και Γ, ςα ξπξία απέυξσμ από ςξ “ελεύθεοξ” άκοξ αμςίρςξιυα, Ax4

, Bx

2

και

x , ατξύ δημιξσογηθεί ςξ ρςάριμξ.

δ) Μα βοείςε ςη ρυέρη πξσ δίμει ςη μέγιρςη ςαυύςηςα ςαλάμςχρηπ κάθε σλικξύ ρημείξσ

ςηπ υξοδήπ. Λεςανύ πξιώμ ςιμώμ κσμαίμεςαι ςξ μέςοξ ςηπ μέγιρςηπ ςαυύςηςαπ ςχμ

σλικώμ ρημείχμ ςηπ υξοδήπ;

ε) Πξιά είμαι η απόρςαρη από ςξ “ελεύθεοξ” άκοξ ςηπ υξοδήπ ςχμ ρημείχμ πξσ

παοαμέμξσμ ακίμηςα και ςχμ ρημείχμ πξσ πάλλξμςαι με μέγιρςξ πλάςξπ;

Κύρη

α) Ζ γεμική ενίρχρη ςξσ αομξμικξύ κύμαςξπ είμαι t x

y A 2T

. Σσγκοίμξμςάπ

ςημ με μία από ςιπ δύξ ενιρώρειπ ςχμ ςοευόμςχμ κσμάςχμ, έρςχ ςημ ενίρχρη

1y 10 2 (5t x) , ποξκύπςει:

t 15t T s

T 5 και

xx 1cm

Λε αμςικαςάρςαρη ρςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ ποξκύπςει:

1cm cm5

1 ss

5

β) Ζ γεμική ενίρχρη ςξσ ρςάριμξσ κύμαςξπ δίμεςαι από ςη ρυέρη

61

2 x 2 ty 2A

T

.

Λε αμςικαςάρςαρη ςχμ ςιμώμ ςχμ Α, λ και Τ ποξκύπςει: y 20 (2 x) (10 t) ,

όπξσ y και x είμαι μεςοημέμα ρε cm και ςξ t ρε s . Άοα ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ

ρσμαοςήρει ςηπ απόρςαρηπ είμαι:

A' 20 2 x cm

γ) Αμςικαθιρςξύμε ρςημ ενίρχρη ςξσ ρςάριμξσ ςιπ ςιμέπ ςξσ x ςχμ ςοιώμ ρημείχμ.

Για ςξ σλικό ρημείξ Α:

AA A

A A

xy 20 (2 ) (10 t) cm,s y 20 (10 t) cm,s

2

y 20 0 (10 t) cm,s y 0cm

Τξ ρημείξ Α παοαμέμει ακίμηςξ, άοα είμαι δερμόπ.

Για ςξ σλικό ρημείξ Β:

BB

xy 20 (2 ) (10 t) cm,s 20 ( ) (10 t) cm,s

, δηλαδή

By 20 10 t (cm,s) .Άοα ςξ σλικό ρημείξ Β πάλλεςαι με μέγιρςξ πλάςξπ, επξμέμχπ

είμαι κξιλία.

Για ςξ σλικό ρημείξ Γ:

x

y 20 (2 ) (10 t) cm,s y 20 (2 ) (10 t) cm,s

δηλαδή

y 20 10 t cm,s .

Άοα και ςξ σλικό ρημείξ Γ πάλλεςαι με μέγιρςξ πλάςξπ, επξμέμχπ είμαι κξιλία.

Συόλιξ: To αομηςικό ποόρημξ ρςημ ενίρχρη ςαλάμςχρηπ ςξσ ρημείξσ Β ρημαίμει όςι ςξ Β

βοίρκεςαι ρςη μέγιρςη αομηςική απξμάκοσμρη από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ όςαμ ςξ

ρημείξ Γ βοίρκεςαι ρςη μέγιρςη θεςική απξμάκοσμρη. Κέμε όςι ςα δύξ ρημεία

ςαλαμςώμξμςαι με διατξοά τάρηπ Γ . Οι γοατικέπ παοαρςάρειπ απξμάκοσμρηπ

υοόμξσ ταίμξμςαι ρςα διαγοάμμαςα πξσ ακξλξσθξύμ.

62

δ) Τξ ςσυαίξ σλικό ρημείξ ςηπ υξοδήπ ςαλαμςώμεςαι με βάρη ςημ ενίρχρη

y A' (10 t) cm,s , όπξσ A' 20 (2 x) cm .

Ζ μέγιρςη ςαυύςηςα με ςημ ξπξία ςαλαμςώμεςαι κάθε σλικό ρημείξ θα είμαι:

max ' 200 (2 x) cm / s

Δπειδή 0 (2 x) 1 , ςξ μέςοξ ςηπ μέγιρςηπ ςαυύςηςαπ ςχμ σλικώμ ρημείχμ

κσμαίμεςαι μεςανύ ςηπ ελάυιρςηπ ςιμήπ 0 και ςηπ μέγιρςηπ max

cm200

s

ε) Tα ρημεία πξσ παοαμέμξσμ ακίμηςα απέυξσμ από ςξ ελεύθεοξ άκοξ ςηπ υξοδήπ,

2K 1 2K 1x cm

4 4

, όπξσ K 0,1,2,3

Για ςα ρημεία πξσ πάλλξμςαι με μέγιρςξ πλάςξπ ιρυύει:K K

x cm2 2

, όπξσ

K 0,1,2,3...

63

Άσκηση 2.

Ιαςά μήκξπ εμόπ γοαμμικξύ ελαρςικξύ μέρξσ και καςά ςη θεςική καςεύθσμρη ςξσ άνξμα

x'0x διαδίδεςαι αομξμικό κύμα με ενίρχρη: x

y 0,1 (4 t )2

(S.I.). Ιάπξια υοξμική

ρςιγμή t ξι τάρειπ δσξ ρημείχμ (Λ) και (Μ) ςξσ μέρξσ, ςα ξπξία βοίρκξμςαι δενιά ςηπ

πηγήπ (Ο), είμαι 10

rad3

και

17rad

6

αμςίρςξιυα.

α) Μα βοείςε ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ.

β) Μα βοείςε πξιξ από ςα δσξ ρημεία (Λ), (Μ) είμαι πιξ κξμςά ρςημ πηγή (Ο), καθώπ και

ςημ απόρςαρη μεςανύ ςχμ δύξ ρημείχμ.

γ) Μα ρυεδιάρεςε ςξ ρςιγμιόςσπξ ςξσ κύμαςξπ ςη υοξμική ρςιγμή t 1s .

δ) Μα βοείςε ςημ απξμάκοσμρη ςξσ ρημείξσ (Μ) από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ, κάθε τξοά

πξσ ςξ ρημείξ (Λ) απξκςά ςη μέγιρςη θεςική απξμάκοσμρη.

Κύρη

α) Ζ ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ θα βοεθεί από ςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ

κσμαςικήπ f .

Σσγκοίμξμςαπ ςημ ενίρχρη x

y 0,1 (4 t - )2

με ςη γεμική ενίρχρη ςχμ κσμάςχμ,

t xy A 2 ( - )

T

έυξσμε όςι:

2 t4 t T 0,5s f 2Hz

T

x 2 x4m

2

Σσμεπώπ f 8m / s

β) Όπχπ ταίμεςαι από ςη ρυέρη πξσ δίμει ςη τάρη ςξσ κύμαςξπ t x

2 ( - )T

, όρξ πιξ

μακοιά είμαι έμα ρημείξ από ςημ πηγή ςόρξ μικοόςεοη είμαι η τάρη ςξσ.

H τάρη ςξσ ρημείξσ Λ, 10 20

rad rad3 6

, είμαι μεγαλύςεοη από ςη τάρη ςξσ

ρημείξσ Μ,17

rad6

. Σσμεπώπ πιξ κξμςά ρςημ πηγή είμαι ςξ ρημείξ Λ.

64

Ο σπξλξγιρμόπ ςηπ απόρςαρηπ μεςανύ ςχμ ρημείχμ Λ και Μ γίμεςαι με αταίοερη ςχμ δύξ

τάρεχμ.

x xxxt t2 - -2 - 2

T T

x x x x20 17 32 2 x x 1m

6 6 6 4m

γ) Υπξλξγίζξσμε ρε πόρη απόρςαρη θα έυει διαδξθεί ςξ κύμα ρε υοξμικό διάρςημα 1s . Σε

υοόμξ t 1s 2T , ςξ κύμα θα έυει διαδξθεί απόρςαρη ίρη με δύξ μήκη κύμαςξπ 2

Βοίρκξσμε ςημ κίμηρη υαοακςηοιρςικώμ σλικώμ ρημείχμ.

Τα σλικά ρημεία ρςιπ θέρειπ x 0 , x και x 2 , θα βοίρκξμςαι ρε απξμάκοσμρη

y 0 και είμαι έςξιμα μα κιμηθξύμ καςά ςη θεςική τξοά.

δ) Δπειδή ςα ρημεία Λ, Μ, απέυξσμ μεςανύ ςξσπ 1m4

, παοξσριάζξσμ διατξοά τάρηπ

2

, με ςξ ρημείξ Λ μα ποξηγείςαι. Έςρι, όςαμ ςξ Λ είμαι ρςη θέρη μέγιρςηπ θεςικήπ

απξμάκοσμρηπ, ςόςε ςξ Μ πεομά από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ με θεςική ςαυύςηςα.

65

Άσκηση 3.

Ιαςά μήκξπ μιαπ ελαρςικήπ υξοδήπ μήκξσπ L 16,25cm διαδίδεςαι αομξμικό κύμα ςηπ

μξοτήπ: 2 x

y 8 (10 t )5

όπξσ x , y ρε cm και t ρε s . Τξ έμα άκοξ ςηπ υξοδήπ

είμαι ρςεοεχμέμα ακλόμηςα, με απξςέλερμα ςξ κύμα μα αμακλαρςεί και μα δημιξσογηθεί

ρςάριμξ κύμα. Τξ άλλξ άκοξ ςηπ υξοδήπ είμαι ελεύθεοξ, δημιξσογείςαι ρε ασςό κξιλία

και θεχοξύμε όςι βοίρκεςαι ρςη θέρη x 0 . Ζ κξιλία ςηπ θέρηπ x 0 εκςελεί απλή

αομξμική ςαλάμςχρη υχοίπ αουική τάρη.

α) Μα βοείςε ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ διάδξρηπ ςξσ αομξμικξύ κύμαςξπ.

β) Μα βοείςε ςξμ αοιθμό ςχμ κξιλιώμ πξσ δημιξσογξύμςαι.

γ) Μα βοείςε ςημ ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ ρσμαοςήρει ςξσ υοόμξσ για ςημ κξιλία Ι πξσ

απέυει 2

από ςξ ρημείξ x 0 .

δ) Αμ έμα ρημείξ ςξσ θεςικξύ ημιάνξμα ςαλαμςώμεςαι με πλάςξπ 0 8 3cm , μα

σπξλξγίρεςε ςημ απόρςαρη ςξσ ρημείξσ ασςξύ από ςξμ πληριέρςεοξ δερμό.

Κύρη

α) Για μα σπξλξγίρξσμε ςημ ςαυύςηςα θα εταομόρξσμε ςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ

κσμαςικήπ.

Γοάτξσμε ςη δξθείρα ενίρχρη

ρε μξοτή αμςίρςξιυη ςηπ γεμικήπ ενίρχρηπ ςξσ

αομξμικξύ κύμαςξπ x

y A 2 (f t )

Έυξσμε 2 x

y 8 (10 t )5

xy 8 2 (5t ) (cm,s)

5

Από ςη ρύγκοιρη ςχμ δύξ ενιρώρεχμ παίομξσμε:

2 f 10 , ρσμεπώπ f 5Hz και 2 2

5

, ρσμεπώπ 5cm

Άοα cm

f 25s

β) Τξ ρημείξ αμάκλαρηπ είμαι ακλόμηςξ , άοα ρε ασςό δημιξσογείςαι δερμόπ. Σςξ

ελεύθεοξ άκοξ δημιξσογείςαι κξιλία. Δπειδή ρε έμα ρςάριμξ, ξ δερμόπ από ςημ κξιλία

66

απέυξσμ 4

ςξ μήκξπ ςηπ υξοδήπ L ρσμδέεςαι με ςξ μήκξπ κύμαςξπ με ςη ρυέρη:

κL

2 4

Λε αμςικαςάρςαρη ςξσ L και ςξσ λ ποξκύπςει όςι 6 . Σσμεπώπ μεςανύ ποώςξσ και

ςελεσςαίξσ δερμξύ ξι κξιλίεπ είμαι 6 και δεδξμέμξσ όςι ρςη θέρη x 0 σπάουει κξιλία

ρςξ ρύμξλξ δημιξσογξύμςαι 7 κξιλίεπ.

γ) Ζ απξμάκοσμρη ςχμ σλικώμ ρημείχμ ςξσ μέρξσ ρε έμα ρςάριμξ δίμξμςαι από ςη ρυέρη

2 xy 2 t

.

Έςρι η κξιλία Ι ςηπ θέρηπ x2

θα ςαλαμςώμεςαι ρύμτχμα με ςη ρυέρη

2

2y 2 8 10 t y 16 10 t (cm,s)

και η ςαυύςηςα

ςαλάμςχρήπ ςηπ θα δίμεςαι από ςη ρυέρη:

K K10 ( 16) (10 t) (cm / s) 160 (10 t) (cm / s)

δ) Τξ πλάςξπ ρσμαοςήρει ςηπ απόρςαρηπ από ςη θέρη x 0 , δίμεςαι από ςη ρυέρη:

2 xA ' 2A

ρσμεπώπ

2 x8 3 16

5

δηλαδή

2 x 3( )

5 2

Άοα 2 x

5 6

ή

2 x

5 6

, ξπόςε

5 5x cm

2 12

, όπξσ x η απόρςαρη από ςξ

ελεύθεοξ άκοξ ςηπ υξοδήπ πξσ πάλλεςαι με μέγιρςξ πλάςξπ (κξιλία).

Οι κξιλίεπ απέυξσμ από ςξ ελεύθεοξ άκοξ απόρςαρη 5

x (cm)2 2

Σσμεπώπ κάθε ρημείξ πξσ πάλλεςαι με πλάςξπ 8 3cm , θα απέυει από ςημ πληριέρςεοη

κξιλία απόρςαρη 1

5d cm

12 .

Οι δερμξί απέυξσμ από ςξ ελεύθεοξ άκοξ απόρςαρη

(2 1) 5 5x (cm)

4 2 4

.

67

Σσμεπώπ κάθε ρημείξ πξσ πάλλεςαι με πλάςξπ 8 3cm , θα απέυει από ςξμ πληριέρςεοξ

δερμό απόρςαρη 2d για ςημ ξπξία ιρυύει:

1 2 2 1 2 2

5 5 10d d d d d cm cm d cm

4 4 4 12 12

68

Άσκηση 4.

Λξμξυοχμαςική ακςιμξβξλία ρσυμόςηςαπ 14f 5 10 Hz ποξρπίπςει σπό γχμία 3

ρςημ

έδοα ΑΒ ςοιγχμικξύ ιρξπλεύοξσ γσάλιμξσ ποίρμαςξπ ΑΒΓ. Ζ διαθλώμεμη ακςίμα μέρα

ρςξ ποίρμα είμαι παοάλληλη ρςη πλεσοά ΒΓ.

α) Μα βοεθεί ξ δείκςηπ διάθλαρηπ ςξσ σλικξύ ςξσ ποίρμαςξπ.

β) Μα βοεθεί ςξ μήκξπ κύμαςξπ και η ςαυύςηςα ςηπ ακςιμξβξλίαπ μέρα ρςξ ποίρμα.

γ) Μα ρυεδιαρθεί η πξοεία ςηπ ακςίμαπ και μα βοεθεί η γχμία με ςημ ξπξία βγαίμει από

ςξ ποίρμα.

Δίμεςαι η ςαυύςηςα ςξσ τχςόπ ρςξ κεμό 8 m

c 3 10s

, ξ δείκςηπ διάθλαρηπ ςξσ αέοα

an 1 , 1

6 2

και

3

3 2

.

Κύρη

α) Ο σπξλξγιρμόπ ςξσ δείκςη διάθλαρηπ, bn γίμεςαι με βάρη ςξ μόμξ ςξσ Snell, αοκεί

ποώςα μα σπξλξγίρξσμε ςη γχμία διάθλαρηπ b .

Δπειδή η διαθλώμεμη ακςίμα ΙΚ είμαι παοάλληλη ρςη πλεσοά ΒΓ, η γχμία διάθλαρηπ b

μέρα ρςξ ποίρμα θα είμαι b2 3 6

.

(Τξ ςοίγχμξ ΑΙΚ θα είμαι επίρηπ ιρόπλεσοξ)

69

Λε εταομξγή ςξσ μόμξσ ςξσ Snell ρςξ ρημείξ Ι πξσ ρσμβαίμει ςξ ταιμόμεμξ ςηπ διάθλαρηπ παίομξσμε:

a ab b a a b b b

b

31

n 3 2n n n n n 31

6 2

β) Από ςξμ ξοιρμό ςξσ δείκςη διάθλαρηπ έυξσμε:

88

b b b

b b

c c 3 10 m / s mn 3 10

n s3

Σσμεπώπ από ςη ρυέρη f ποξκύπςει όςι:

87b

b b14 1

3 10 m / s2 3 10 m

f 5 10 s

γ) Δταομόζξσμε ςξ μόμξ ςξσ Snell ρςξ ρημείξ Κ πξσ ρσμβαίμει εκ μέξσ διάθλαρη ςηπ ακςίμαπ, καθώπ η ακςίμα ενέουεςαι από ςξ ποίρμα.

Ζ μέα γχμία ποόρπςχρηπ είμαι 16

. Λε εταομξγή ςξσ μόμξσ ςξσ Snell για ςη μέα

γχμία διάθλαρηπ 2 παίομξσμε:

b 1a 2 b 1 2 2 2

a

n 3 1/ 2 3n n

n 1 2 3

.

70

Άσκηση 5.

Δγκάοριξ αομξμικό κύμα πλάςξσπ 10cm και μήκξσπ κύμαςξπ 1 m διαδίδεςαι καςά ςη

θεςική τξοά ρε ξοιζόμςια ελαρςική υξοδή πξσ εκςείμεςαι καςά ςη διεύθσμρη ςξσ άνξμα

x΄x. Ηεχοξύμε όςι ςξ ρημείξ ςηπ υξοδήπ ρςη θέρη x 0 ςη υοξμική ρςιγμή t 0 έυει

μηδεμική απξμάκοσμρη από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ και θεςική ςαυύςηςα. Ζ ςαυύςηςα

διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ είμαι m

100s

.

α) Μα σπξλξγίρεςε ςημ πεοίξδξ ςαλάμςχρηπ ςχμ σλικώμ ρημείχμ ςηπ υξοδήπ.

β) Μα γοάφεςε ςημ ενίρχρη ςξσ κύμαςξπ ρςξ S.I. και μα κάμεςε ςη γοατική παοάρςαρη

απξμάκοσμρηπ ρσμαοςήρει ςξσ υοόμξσ, για έμα σλικό ρημείξ Α ςηπ υξοδήπ, ςξ ξπξίξ

βοίρκεςαι ρςη θέρη 3

x4

.

γ) Μα σπξλξγίρεςε ςημ εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ ρςξιυειώδξσπ ςμήμαςξπ ςηπ υξοδήπ

μάζαπ 0,001 kg . (Μα θεχοήρεςε ςξ ρςξιυειώδεπ ςμήμα ςηπ υξοδήπ χπ σλικό ρημείξ.)

δ) Σςημ παοαπάμχ υξοδή διαδίδεςαι ςασςόυοξμα άλλξ έμα κύμα παμξμξιόςσπξ με ςξ

ποξηγξύμεμξ, αλλά αμςίθεςηπ τξοάπ, με απξςέλερμα ςη δημιξσογία ρςάριμξσ κύμαςξπ

με κξιλία ρςη θέρη x 0 . Μα σπξλξγίρεςε ρςξ θεςικό ημιάνξμα ςη θέρη ςξσ 5 δερμξύ

ςξσ ρςάριμξσ κύμαςξπ.

Δίμεςαι: 2 10 .

Κύρη

α) Λε βάρη ςη ρυέρη: T

βοίρκξσμε όςι:

21mT T 10 s

100m / s

.

β) Ζ γεμική ενίρχρη κύμαςξπ είμαι:

t xy A 2 ( )

T

Ζ ρσυμόςηςα είμαι rad

f 100Hz, 2 f 200s

άοα , και 1m .

Ζ ενίρχρη ςξσ αομξμικξύ κύμαςξπ ποξκύπςει με αμςικαςάρςαρη και είμαι:

y 0,1 2 (100t x) (S.I.)

ςξ ξπξίξ βοίρκεςαι ρςη θέρη 3

x4

.

71

Ζ απξμάκοσμρη ςξσ σλικξύ ρημείξσ Α, πξσ βοίρκεςαι ρςη θέρη 3 3

x m4 4

,

θα δίμεςαι από ςη ρυέρη A

3y 0,1 2 (100t ) (S.I.)

4

Για μα τθάρει ςξ κύμα ρςξ ρημείξ Α, πξσ απέυει από ςη πηγή 3λ/4 υοειάζεςαι υοόμξ ίρξ

με 2

1 1

x 0,75mt t 0,75 10 s

100m / s

. Άοα για 1t t ςξ ρημείξ Α είμαι ακίμηςξ. Έςρι η

παοαπάμχ ενίρχρη ιρυύει για 2

1t t t 0,75 10 s ή

γ) Ζ εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ θα είμαι ίρη με ςη μέγιρςη κιμηςική εμέογεια ςξσ σλικξύ

ρημείξσ δηλαδή: 2

max max

1E K m

2

Όμχπ, max max

rad mA 200 0,1m 20

s s

Λε αμςικαςάρςαρη παίομξσμε K 2J

δ) Από ςξμ ςύπξ x (2k 1)4

πξσ δίμει ςιπ θέρειπ ςχμ δερμώμ ρε έμα ρςάριμξ,

βλέπξσμε όςι ξ ποώςξπ δερμόπ ποξκύπςει για k 0 , ξπόςε η θέρη ςξσ πέμπςξσ δερμξύ

θα ποξκύφει για k 4 :

5 5x (2 4 1) 9 x 2,25m4 4

72

Άσκηση 6.

Έμα αομξμικό ηλεκςοξμαγμηςικό κύμα ρσυμόςηςαπ 14f 6 10 Hz ειρέουεςαι από ςξμ

αέοα ρε ξοθξγώμιξ διαταμέπ πλακίδιξ πάυξσπ d 2,4 28cm , με γχμία ποόρπςχρηπ

030 . Ιαςά ςη διάδξρη ςξσ κύμαςξπ ρςξμ αέοα, ςξ πλάςξπ ςηπ έμςαρηπ ςξσ

ηλεκςοικξύ πεδίξσ είμαι 1

max

VE 18 10

m

. Ιαςά ςημ είρξδξ ςξσ κύμαςξπ ρςξ πλακίδιξ

παοαςηοείςαι ελάςςχρη ςξσ μήκξσπ κύμαςξπ καςά 20% , ρε ρυέρη με ςημ ςιμή ςξσ ρςξ

κεμό.

α) Μα σπξλξγίρεςε ςξ μήκξπ κύμαςξπ ρςξ κεμό και μα γοάφεςε ςιπ ενιρώρειπ πξσ

πεοιγοάτξσμ ςξ ηλεκςοικό και ςξ μαγμηςικό πεδίξ ςξσ κύμαςξπ ασςξύ ρςξμ αέοα, καςά

ςη διάδξρη ςξσ ρςξμ άνξμα υ.

Β) Μα σπξλξγίρεςε ςημ ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ ασςξύ ρςξ διαταμέπ πλακίδιξ και

μα βοείςε ςξμ δείκςη διάθλαρηπ ςξσ πλακιδίξσ.

γ) Μα βοείςε ςη γχμία με ςημ ξπξία ενέουεςαι η ακςίμα από ςημ απέμαμςι πλεσοά ςξσ

πλακιδίξσ.

δ) Μα βοείςε ρε πόρξ υοόμξ η παοαπάμχ παοάλληλη λεπςή δέρμη θα διαπεοάρει ςξ

πλακίδιξ.

Δίμεςαι: 8 m

c 3 10s

.

Κύρη

α) Λε αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη: 0c f βοίρκξσμε ςξ μήκξπ κύμαςξπ ρςξ κεμό,

ποξκύπςει: 7

0 5 10 m 500nm .

Από ςη θεχοία γμχοίζξσμε όςι:

1

9max maxmax max

8max

V18 10

E E mc B B 6 10 TmB c

3 10s

Σσμεπώπ ξι ζηςξύμεμεπ ενιρώρειπ θα είμαι:

1 14 6

max

t xE E 2 ( ) E 18 10 2 (6 10 t-2 10 x) SI

T

9 14 6

max

t xB B 2 ( ) B 6 10 2 (6 10 t-2 10 x)(SI)

T

73

β) 70

0

20500nm 100nm 400nm 4 10 m

100

Ζ ςαυύςηςα ρςξ πλακίδιξ θα είμαι:

7 14 8f (4 10 m) (6 10 Hz) 2,4 10 m / s

Ο δείκςηπ διάθλαρηπ θα είμαι 7

0

7

c 5 10n n 1,25

4 10

γ) Δταομόζξσμε ςξ μόμξ ςξσ Snell ρςξ ρημείξ ειρόδξσ Α και ςξ ρημείξ ενόδξσ Β:

Σημείξ Α:

o o

1

1

30 n 30

1 n

Σημείξ Β: 22

1

n n

Από ςη γεχμεςοία ςξσ ρυήμαςξπ ποξκύπςει 1 2 , έςρι ρςιπ δύξ παοαπάμχ ρυέρειπ ςα

ποώςα μέλη είμαι ίρα, ξπόςε εύκξλα παίομξσμε

o30 , και επειδή ξι γχμίεπ είμαι ξνείεπ, ποξκύπςει όςι 030 .

δ) Ο ζηςξύμεμξπ υοόμξπ είμαι (AB)

t=

Υπξλξγιρμόπ ςηπ διαδοξμήπ (ΑΒ).

Από ςξ ξοθξγώμιξ ςοίγχμξ ΑΒΓ παίομξσμε:

1

1

d d(AB)

(AB)

. Άοα

1

dt

(1)

74

Από ςξ μόμξ ςξσ Snell για ςξ ρημείξ ειρόδξσ Α με αμςικαςάρςαρη, βοίρκξσμε ςξ 1 .

o o

1 1

1

30 n 30 1/ 2 4

1 n 5 / 4 10

Από ςη ρυέρη 2 2 1 , βοίρκξσμε ςξ 1 . Ποξκύπςει

1

84

10 . Λε

αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) ποξκύπςει:

210 9

81

d 2,4 10 28 m 10 3t 10 s t 10 s

3m 84 32,4 10

s 10

Άοα ξ ζηςξύμεμξπ υοόμξπ θα είμαι 93

t 10 s3

.

75

Άσκηση 7.

Τξ ρημείξ Ο ξμξγεμξύπ ελαρςικήπ υξοδήπ μεγάλξσ μήκξσπ, ςη υοξμική ρςιγμή t 0 ,

αουίζει μα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη με ενίρχρη y 0,05 8 t (S.I.) κάθεςα

ρςη διεύθσμρη ςηπ υξοδήπ. Τξ αομξμικό κύμα πξσ παοάγεςαι διαδίδεςαι με ςαυύςηςα

μέςοξσ 2m / s , καςά ςη θεςική τξοά ςξσ άνξμα x΄Οx, καςά μήκξπ ςηπ υξοδήπ.

α) Μα βοεθξύμ ξ υοόμξπ πξσ υοειάζεςαι έμα σλικό ρημείξ ςξσ ελαρςικξύ μέρξσ για μα

εκςελέρει μια πλήοη ςαλάμςχρη καθώπ και ςξ μήκξπ κύμαςξπ ςξσ αομξμικξύ κύμαςξπ.

β) Μα γοατεί η ενίρχρη ςξσ κύμαςξπ πξσ παοάγεςαι και μα βοεθξύμ ξι θέρειπ όλχμ ςχμ

ρημείχμ πξσ βοίρκξμςαι ρε ρσμτχμία τάρηπ με ςημ πηγή.

γ) Μα γοάφεςε και μα ρυεδιάρεςε ςημ ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ ρσμαοςήρει ςξσ

υοόμξσ για έμα σλικό ρημείξ Α πξσ απέυει απόρςαρη 3

x2

από ςημ πηγή.

δ) Μα ρυεδιάρεςε ςα ρςιγμιόςσπα ςξσ κύμαςξπ ςιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ 1

Tt

4 και

2

3Tt

4 .

Κύρη

α) Από ςημ ενίρχρη y 0,05 8 t (S.I.) βοίρκξσμε: 0,05m , 8 rad / s . H

πεοίξδξπ ποξκύπςει από ςη ρυέρη 2

T

, άοα T 0,25s και ρσμεπώπ η ρσυμόςηςα

είμαι f 4Hz . Ο υοόμξπ πξσ υοειάζεςαι έμα σλικό ρημείξ μα κάμει μια πλήοη

ςαλάμςχρη, είμαι η πεοίξδξπ ςαλάμςχρηπ ςξσ, δηλαδή είμαι ίρξπ με 0,25s .

Τξ μήκξπ κύμαςξπ ποξκύπςει από ςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ.

2m / sf 0,5m

f 4Hz

.

β) Ζ γεμική ενίρχρη ςξσ κύμαςξπ είμαι: t x

y A 2 ( - )T

, η ξπξία με αμςικαςάρςαρη,

ςχμ μεγεθώμ A , T και γίμεςαι:

y 0,05 2 (4t 2x) SI

Τα ρημεία πξσ είμαι ρε ρσμτχμία τάρηπ με ςημ πηγή απέυξσμ από ασςή ακέοαιξ αοιθμό

μηκώμ κύμαςξπ, δηλαδή βοίρκξμςαι ρε θέρειπ για ςιπ ξπξίεπ ιρυύει

x k k 0,5m k 1,2,3,...

76

γ) Ζ μέγιρςη ςαυύςηςα θα είμαι: max A 0,4 m / s , εμώ η ενίρχρη ςαυύςηςαπ

ςαλάμςχρηπ ςχμ σλικώμ ρημείχμ είμαι:

max

t x2 ( - )

T

. Άοα 0,4 2 (4t - 2x) ρςξ (S.I.).

Ζ γεμική ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ ςαλάμςχρηπ ςχμ σλικώμ ρημείχμ είμαι

max

t x2 ( - )

T

Ζ μέγιρςη ςαυύςηςα ςαλάμςχρηπ θα είμαι: max A 0,4 m / s

Λε αμςικαςάρςαρη ρςη γεμική ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ ςαλάμςχρηπ: T 0,25s ,

0,5m, 3 3

x m2 4

παίομξσμε A

30,4 2 (4t - ) SI

2

Τξ κύμα τθάμει ρςξ Α A

3(x m)

4 ςη υοξμική ρςιγμή A

A

x 3t s

8

. Για At t ςξ ρημείξ

Α παοαμέμει ακίμηςξ. Άοα η ενίρχρη ςαυύςηςαπ – υοόμξσ είμαι:

A 0,4 2 (4t - 2x) για 3

t s8

ρςξ S.I.

δ) Για μα ρυεδιάρξσμε ςξ ρςιγμιόςσπξ, βοίρκξσμε ςημ ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ

ρσμαοςήρει ςηπ απόρςαρηπ και σπξλξγίζξσμε πξσ έυει τθάρει ςξ κύμα ςημ κάθε υοξμική

ρςιγμή.

Τη υοξμική ρςιγμή T

4, η ενίρχρη απξμάκοσμρηπ – θέρηπ είμαι:

1y 0,05 2 ( - 2x)

4 .

Τη υοξμική ρςιγμή ασςή ςξ κύμα έυει διαδξθεί ρε απόρςαρη

77

Tx t 0,125m

4 4

, εμώ ςη υοξμική ρςιγμή

3T

4, η ενίρχρη απξμάκοσμρηπ –

θέρηπ, είμαι: 3

y 0,05 2 ( - 2x)4

.

Τη υοξμική ρςιγμή ασςή ςξ κύμα έυει διαδξθεί ρε απόρςαρη

3T 3x t 0,375m

4 4

.

78

Άσκηση 8.

Ζ εικόμα παοιρςάμει ςξ ρςιγμιόςσπξ εμόπ γοαμμικξύ αομξμικξύ κύμαςξπ μια υοξμική

ρςιγμή 1t , ςξ ξπξίξ διαδίδεςαι καςά ςη θεςική καςεύθσμρη ςξσ άνξμα x ρε έμα ξμξγεμέπ

ελαρςικό μέρξ. Τξ ρημείξ ςηπ θέρηπ x 0 άουιρε μα ςαλαμςώμεςαι υχοίπ αουική τάρη

ςη υοξμική ρςιγμή 0t 0 . Ζ ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ παοαπάμχ κύμαςξπ είμαι 2m / s .

α) Μα βοείςε ςη υοξμική ρςιγμή t1.

β) Μα βοείςε ςημ ενίρχρη ςξσ κύμαςξπ.

γ) Μα ρυεδιάρεςε ςξ διάγοαμμα ςηπ τάρηπ ρε ρυέρη με ςη θέρη, f x , για ςη

υοξμική ρςιγμή 1t .

δ) Μα βοείςε ςη υοξμική ρςιγμή πξσ ςξ ρημείξ Λ, πξσ βοίρκεςαι ρςη θέρη x 3,3m , θα

απέυει για ποώςη τξοά 0,1m από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ.

ε) Μα γίμξσμ ςα διαγοάμμαςα ςηπ τάρηπ και ςηπ απξμάκοσμρηπ ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ,

f t και y f t , για ςξ Μ πξσ βοίρκεςαι ρςη θέρη x 2,4m .

Κύρη

α) Από ςξ διάγοαμμα ςξσ ρςιγμιόςσπξσ ταίμεςαι όςι ςξ κύμα διαδόθηκε, από ςημ υοξμική

ρςιγμή 0t 0 μέυοι ςημ 1t , καςά x 2,7m .

Άοα 1 1

x 2,7mt t 1,35s

2m / s

79

β) Από εκτώμηρη η ενίρχρη ςαλάμςχρηπ ςηπ πηγήπ είμαι y A t , ξπόςε η

ενίρχρη ςξσ (ςοέυξμςξπ) κύμαςξπ θα είμαι ςηπ μξοτήπ t x

y A 2 ( )T

.

- Από ςξ διάγοαμμα ταίμεςαι όςι ςξ πλάςξπ ςξσ κύμαςξπ είμαι 0,2m .

- Από ςξ διάγοαμμα ταίμεςαι όςι ςξ κύμα διαδόθηκε, από ςημ υοξμική ρςιγμή 0t 0

μέυοι ςημ 1t , καςά 2 94 4

, όπξσ λ ςξ μήκξπ κύμαςξπ.

Άοα 9

2,7m 1,2m4 .

- Από ςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ παίομξσμε

12m / s 1f f f s T 0,6s

1,2m 0,6

Οπόςε η ενίρχρη ςξσ κύμαςξπ θα έυει ςημ μξοτή t x

y 0,2 2 ( ) (SI)0,6 1,2

.

γ) Ζ τάρη ςξσ κύμαςξπ, για ςημ υοξμική ρςιγμή 1t 1,35s πεοιγοάτεςαι από ςη

ρσμάοςηρη 1,35 x x

2 ( ) 4,5 SI0,6 1,2 0,6

( 0 x 2,7m )

Τξ ζηςξύμεμξ διάγοαμμα είμαι:

δ) Από ςημ ενίρχρη ςξσ κύμαςξπ, για x 3,3m και y 0,1m έυξσμε:

t 3,3 t 3,3 10,1 0,2 2 ( ) 2 ( )

0,6 1,2 0,6 1,2 2 ξπόςε:

t 3,32 ( ) 2k

0,6 1,2 6

ή

t 3,3 52 ( ) 2k

0,6 1,2 6

80

Ατξύ, για ςξ ρημείξ Λ, ασςό ρσμβαίμει για ποώςη τξοά, δεκςή γίμεςαι η ποώςη λύρη

και με k 0 . Δηλαδή t 3,3

2 ( )0,6 1,2 6

από ςημ ξπξία ποξκύπςει t 1,7s .

ε) Για ςξ ρημείξ Μ (x 2,4m) η τάρη θα δίμεςαι από ςη ρυέρη:

N

t 2,42 ( )

0,6 1,2

t2 ( 2)

0,6 , με

x 2,4t s t 1,2s

2


Για ςξ Μ (x 2,4m)

Ζ ενίρχρη ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρημείξσ Μ θα είμαι:

N

t 2,4 ty 0,2 2 ( ) 0,2 2 ( 2) SI

0,6 1,2 0,6 με

x 2,4t s t 1,2s

2


81

Άσκηση 9.

Λια πηγή κσμάςχμ Ο αουίζει μα ςαλαμςώμεςαι ςημ υοξμική ρςιγμή t 0 , ρύμτχμα με ςημ

ενίρχρη y A (2 ft) . Τξ εγκάοριξ κύμα πξσ δημιξσογείςαι διαδίδεςαι ρε ξμξγεμέπ ,

γοαμμικό ελαρςικό μέρξ καςά ςη θεςική καςεύθσμρη ςξσ άνξμα x'Οx. Σςξ ρυήμα 1

παοιρςάμεςαι ςξ ρςιγμιόςσπξ ςξσ κύμαςξπ μια ρσγκεκοιμέμη υοξμική ρςιγμή t ' , εμώ ρςξ

ρυήμα 2 ταίμεςαι η γοατική παοάρςαρη απξμάκοσμρηπ ρσμαοςήρει ςξσ υοόμξσ για έμα

σλικό ρημείξ Σ ςξσ ελαρςικξύ μέρξσ ρςξ ξπξίξ διαδίδεςαι ςξ εμ λόγχ κύμα. Μα βοείςε:

α) ςημ ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ και ςη διατξοά τάρηπ μεςανύ ςξσ σλικξύ ρημείξσ

Σ και ςηπ πηγήπ κσμάςχμ.

β) ςη υοξμική ρςιγμή t ' ρςημ ξπξία αμςιρςξιυεί ςξ ρςιγμιόςσπξ ςξσ κύμαςξπ.

γ) ςημ απξμάκοσμρή από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ σλικξύ ρημείξσ Σ και ςηπ πηγήπ

κσμάςχμ ςημ δεδξμέμη υοξμική ρςιγμή t ' .

δ) ςη μέγιρςη ςαυύςηςα ςαλάμςχρηπ και ςη μέγιρςη επιςάυσμρη ςξσ σλικξύ ρημείξσ Σ.

ε) Nα ρυεδιάρεςε ςξ διάγοαμμα ςηπ τάρηπ ςξσ σλικξύ ρημείξσ Σ ρσμαοςήρει ςξσ υοόμξσ.

Δίμεςαι ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ ςηπ πηγήπ 4 cm και 2 10 .

(Συήμα 1)

(Συήμα 2)

82

Κύρη

Από ςα διαγοάμμαςα ποξκύπςξσμ ςα παοακάςχ:

Σςξ ρυήμα 1, παοαςηοξύμε όςι ςημ υοξμική ρςιγμή t ' ςξ κύμα έυει διαδξθεί ρε απόρςαρη

x 5cm (1).

Από ςξ ίδιξ ρυήμα επίρηπ ποξκύπςει όςι η απόρςαρη ασςή αμςιρςξιυεί ρε 5

x2

(2)

Δνιρώμξμςαπ ςιπ ρυέρειπ (1) και (2) ποξκύπςει 2cm .

Σςξ ρυήμα 2 παοαςηοξύμε όςι η πεοίξδξπ ςαλάμςχρηπ ςξσ σλικξύ ρημείξσ Σ είμαι T 1s ,

άοα και η ρσυμόςηςα θα είμαι f 1Hz .

Άοα η ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ είμαι: f 2 cm / s .

Δπίρηπ παοαςηοξύμε όςι ςξ κύμα για μα τςάρει ρςξ σλικό ρημείξ Σ έκαμε υοόμξ 1t 1s .

Ο υοόμξπ ασςόπ είμαι ίρξπ με ςημ πεοίξδξ ςξσ κύμαςξπ T 1s , άοα η απόρςαρη πηγήπ

και ρημείξσ Σ είμαι ίρη με έμα μήκξπ κύμαςξπ και η διατξοά τάρηπ μεςανύ ςηπ πηγήπ Ο

και ςξσ ρημείξσ Σ είμαι 2 , δηλαδή 2 .

β) Τη υοξμική ρςιγμή t ' ςξ κύμα έυει διαδξθεί ρε απόρςαρη

x 5cm με ςαυύςηςα 2cm / s . Άοα x 5cm 5

t ' t ' s2cm / s 2

.

γ) Ζ πηγή ςη υοξμική ρςιγμή t ' έυει ςαλαμςχθεί για υοξμικό διάρςημα 5 T

t s 2T2 2

.

Άοα πεομά από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςηπ κιμξύμεμη καςά ςημ αομηςική τξοά.

Τξ σλικό ρημείξ Σ, νεκιμά μα ςαλαμςώμεςαι ςη υοξμική ρςιγμή 1t 1s . Tη υοξμική ρςιγμή

t ' έυει ςαλαμςχθεί για υοόμξ: 1

5 3 Tt t '- t s 1s s T

2 2 2 .

Άοα ςξ σλικό ρημείξ Σ ςη υοξμική ρςιγμή ασςή έυει κάμει μια πλήοη ςαλάμςχρη και μιρή

δηλαδή πεομά από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ κιμξύμεμξ και ασςό καςά ςημ αομηςική τξοά.

Ασςό ήςαμ αμαμεμόμεμξ, ατξύ ςα δύξ ρημεία παοξσριάζξσμ διατξοά τάρηπ 2 .

δ) Ζ μέγιρςη ςαυύςηςα ςαλάμςχρηπ δίμεςαι από ςη ρυέρη:

max max max

cmA 2 f A 2 1Hz 4cm 8

s

83

Ζ μέγιρςη επιςάυσμρη ρςη ςαλάμςχρη δίμεςαι από ςη ρυέρη 2

max 2

cmA 160

s

ε) Ζ τάρη ςξσ κύμαςξπ δίμεςαι από ςη ρυέρη t x

2 ( )T

. Για ςξ σλικό ρημείξ Σ

x θα ιρυύει 2 (t 1) . H τάρη έυει μόημα για t 1s .

Διάγοαμμα τάρηπ - υοόμξσ για ςξ σλικό ρημείξ Σ:

84

Άσκηση 10.

Ιαςά μήκξπ εμόπ γοαμμικξύ, ξμξγεμξύπ, ελαρςικξύ μέρξσ διαδίδεςαι ρςη θεςική

καςεύθσμρη ςξσ άνξμα υ'Ου έμα αομξμικό κύμα πξσ πεοιγοάτεςαι από ςημ ενίρχρη:

2 10 xy 4 10 200 t

17

(S.I.). Δύξ ρημεία Α και Β βοίρκξμςαι πάμχ ρςη

διεύθσμρη διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ, απέυξσμ μεςανύ ςξσπ 17m , και γμχοίζξσμε όςι ςξ πιξ

κξμςιμό ρημείξ ρςημ πηγή Ο είμαι ςξ ρημείξ Α.

α) Nα βοείςε ςη ρσυμόςηςα και ςημ ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ.

β) Μα δείνεςε όςι η διατξοά τάρηπ ςχμ ρημείχμ Α και Β είμαι αμενάοςηςη ςξσ υοόμξσ και

όςι ςα ρημεία ασςά είμαι ρε ρσμτχμία τάρηπ.

γ) Μα ρυεδιάρεςε ςιπ γοατικέπ παοαρςάρειπ απξμάκοσμρηπ – υοόμξσ για ςα δύξ ασςά

σλικά ρημεία Α και Β, αμ γμχοίζξσμε όςι ςξ ρημείξ Α βοίρκεςαι ρςη θέρη Ax 6,8m .

δ) Μα βοείςε ςη μεςαβξλή ςηπ τάρηπ ςξσ σλικξύ ρημείξσ Α ρε υοξμική διάοκεια t 1s .

ε) Μα βοείςε ςημ απξμάκοσμρη από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ ρημείξσ Γ ςηπ θέρηπ

x 3,4m, ςη υοξμική ρςιγμή t πξσ ςξ σλικό ρημείξ Β έυει απξμάκοσμρη By 2,2cm ,

και αομηςική ςαυύςηςα.

Κύρη

α) Σσγκοίμξμςαπ ςημ ενίρχρη ςξσ ρσγκεκοιμέμξσ κύμαςξπ

2 10 xy 4 10 [(200 t) ]

17

με ςη γεμική ενίρχρη ςξσ κύμαςξπ έυξσμε:

2 x 10 x 17m 3,4m

17 5

2 f t 200 t f 100Hz

Λε αμςικαςάρςαρη ρςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ έυξσμε:

mf 340

s

β) Οι τάρειπ ςχμ σλικώμ ρημείχμ Α και Β, δίμξμςαι από ςιπ ρυέρειπ: Axt2 ( )

T

και Bxt2 ( )

T

, αμςίρςξιυα. Αταιοώμςαπ ςιπ δύξ παοαπάμχ ρυέρειπ βοίρκξσμε ςη

διατξοά τάρηπ ςχμ δύξ ασςώμ ρημείχμ:

85

B AA B A B

2 (x x ) 2 (17m)10 rad

3,4m

Άοα η διατξοά τάρηπ μεςανύ ςχμ δύξ ρημείχμ είμαι αμενάοςηςη ςξσ υοόμξσ. Δπειδή

A B 10 rad 5 2 rad (ακέοαιξ πξλλαπλάριξ ςξσ 2 ) ή x 5 (ακέοαιξ

πξλλαπλάριξ ςξσ μήκξσπ κύμαςξπ) ςα ρημεία ασςά βοίρκξμςαι ρε ρσμτχμία τάρηπ

μεςανύ ςξσπ.

γ) Τξ κύμα τςάμει ρςξ ρημείξ Α ςη υοξμική ρςιγμή

A1 1

x 6,8m 2 3,4m 2t t s 2T

340m / s 3,4 100m / s 100

, εμώ ςξ ρημείξ Β αουίζει μα

ςαλαμςώμεςαι ςη υοξμική ρςιγμή

B2 2

x 17 6,8m 7 3,4m 7t t s 7T

340m / s 3,4 100m / s 100

Ιαι ςα δύξ ρημεία εκςελξύμ απλή αομξμική ςαλάμςχρη με ενίρχρη ςαλάμςχρηπ

2

Ay 4 10 [(200 t) 4 ] , όπξσ 2

t s100

και

2

By 4 10 [(200 t) 14 ] , όπξσ 7

t s100

, αμςίρςξιυα.

86

δ) 2 f t 200 rad

ε) Τξ ρημείξ Β βοίρκεςαι ρςη θέρη Bx 6,8m 17m 23,8m και απέυει από ςξ ρημείξ Γ

Bx x 23,8m 3,4m Bx x 20,4m B Bx x 6 3,4m x x 6

Τα δύξ ρημεία βοίρκξμςαι ρε ρσμτχμία τάρηπ και έυξσμ κάθε ρςιγμή ίδια απξμάκοσμρη

και ίδια ςαυύςηςα, άοα η απξμάκοσμρη ςξσ ρημείξσ Γ είμαι y 2,2cm .

87

Άσκηση 11.

Έμα εγκάοριξ αομξμικό κύμα διαδίδεςαι καςά ςη θεςική τξοά ρε ξοιζόμςια ελαρςική

υξοδή πξσ εκςείμεςαι καςά ςη διεύθσμρη ςξσ άνξμα x΄Ox. Tξ ρημείξ O ςηπ υξοδήπ ρςη

θέρη x 0 , ςη υοξμική ρςιγμή t 0 , έυει μηδεμική απξμάκοσμρη και θεςική ςαυύςηςα.

Ζ ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ είμαι υ 1m / s . Για έμα ρημείξ Μ ςηπ ελαρςικήπ

υξοδήπ, η απξμάκοσμρή ςξσ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ρε ρσμάοςηρη με ςξ υοόμξ

ταίμεςαι ρςη γοατική παοάρςαρη πξσ ακξλξσθεί.

α. Μα γοάφεςε ςημ ενίρχρη ςξσ κύμαςξπ ρςξ S.I.

β. Μα βοείςε πόρξ απέυει ςξ ρημείξ Μ από ςξ Ο .

γ. Μα βοείςε πξια είμαι η μέγιρςη ςαυύςηςα ςαλάμςχρηπ ςξσ ρημείξσ Μ.

δ. Μα βοείςε ςη τάρη ςξσ ρημείξσ Ο, ςη υοξμική ρςιγμή πξσ ςξ ρημείξ Μ βοίρκεςαι για

ποώςη τξοά ρςημ μέγιρςή ςξσ απξμάκοσμρη.

Κύρη

α. Ζ ενίρχρη πξσ πεοιγοάτει έμα αομξμικό κύμα πξσ διαδίδεςαι καςά ςη θεςική τξοά

ςξσ άνξμα x΄Ox είμαι: t x

y Aημ2π -T λ

. (1)

Ποέπει μα σπξλξγίρξσμε ςξ πλάςξπ Α, ςημ πεοίξδξ Τ και ςξ μήκξπ κύμαςξπ λ.

Από ςξ διάγοαμμα ποξκύπςει όςι:

Α 5cm και 2Τ 8s 4s 4s , άοα Τ 2s .

Από ςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ, βοίρκξσμε ςξ μήκξπ κύμαςξπ.

mυ λf λ υT 1 2s λ 2m

s

Mε αμςικαςάρςαρη ρςημ (1) παίομξσμε: t x

y 5ημ2π -2 2

, (y ρε cm, x ρε m).

yΝ(cm)

t(s)

5

-5

0 4 8 2

88

β. Από ςξ διάγοαμμα ταίμεςαι όςι η ςαλάμςχρη ςξσ ρημείξσ Μ αουίζει ςη υοξμική ρςιγμή

t 4s . Άοα, η απόρςαρη ΟΜ θα είμαι ίρη με:

Nx υ t 1m / s 4s ή Nx 4 m .

γ. H μέγιρςη ςαυύςηςα ςαλάμςχρηπ ςξσ ρημείξσ Μ δίμεςαι από ςη ρυέρη:

2

max max

2 2π πυ ωA A 5 10 m / s υ 5π cm / s.

Τ 2

δ. Τξ ρημείξ Μ μεγιρςξπξιεί για ποώςη τξοά ςημ απξμάκοσμρή ςξσ από ςη θέρη

ιρξοοξπίαπ ςξσ μεςά από υοξμικό διάρςημα Τ/4 από ςη ρςιγμή πξσ αουίζει μα

ςαλαμςώμεςαι. Όπχπ ταίμεςαι από ςξ διάγοαμμα ςξ ρημείξ Μ αουίζει μα ςαλαμςώμεςαι ςη

ρςιγμή t 4s . Ιαςά ρσμέπεια ποέπει μα βοξύμε ςη τάρη ςξσ ρημείξσ Ο ςη υοξμική

ρςιγμή t 4s Τ / 4 ή t 4,5s .

H τάρη ςηπ πηγήπ δίμεςαι από ςη ρυέρη:

2π 2πφ ωt t 4,5 rad φ 4,5π rad

T 2

89

Άσκηση 12.

Δύξ ρύγυοξμεπ πηγέπ κσμάςχμ Π1, Π2 δημιξσογξύμ ρςημ επιτάμεια σγοξύ εγκάορια

αομξμικά κύμαςα. Τη υοξμική ρςιγμή t 0 ξι πηγέπ αουίζξσμ μα ςαλαμςώμξμςαι με

απξμακούμρειπ πξσ πεοιγοάτξμςαι από ςη ρυέρη y 0,05 ημ 4πt , (SI). Ζ ςαυύςηςα

διάδξρηπ ςχμ εγκαορίχμ κσμάςχμ ρςημ επιτάμεια ςξσ σγοξύ είμαι ίρη με υ 2 m / s . Σε

έμα ρημείξ K, ςηπ επιτάμειαπ ςξσ σγοξύ, ςξ κύμα από ςημ πηγή Π1 τςάμει ςη υοξμική

ρςιγμή 1t 1s , εμώ ςξ κύμα από ςημ πηγή Π2 τςάμει ρςξ ρημείξ Ι όςαμ η πηγή Π2 έυει

εκςελέρει 4 πλήοειπ ςαλαμςώρειπ.

Μα βοείςε:

α. Πόρξ απέυει ςξ ρημείξ Ι από ςιπ δύξ πηγέπ.

β. Πόρη θα είμαι η ρσυμόςηςα και ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρημείξσ Ι μεςά ςημ

ρσμβξλή ςχμ δύξ κσμάςχμ;

γ. Πόρεπ σπεοβξλέπ εμίρυσρηπ σπάουξσμ αμάμερα ρςξ ρημείξ Ι και ςημ μερξκάθεςξ ρςξ

εσθύγοαμμξ ςμήμα Π1Π2;

δ. Πόρη είμαι η ςαυύςηςα ςξσ ρημείξσ Ι ςη υοξμική ρςιγμή t 4,75 s ;

Κύρη

α. Από ςημ ενίρχρη ςαλάμςχρηπ ςχμ πηγώμ y 0,05 ημ 4πt ποξκύπςει όςι:

Α 0,05m και ω 4πrad / s .

Eίμαι 2 2 2π π π

ω T s T 0,5sΤ ω 4π

.

Τξ κύμα διαδίδεςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα. Άοα η απόρςαρη ςξσ ρημείξσ Ι από ςημ ποώςη

πηγή θα είμαι:

1 1r υ t 2m / s 1s ή 1r 2m .

H απόρςαρη ςξσ ρημείξσ Ι από ςημ δεύςεοη πηγή θα είμαι ξμξίχπ, 2 2r υ t .

Π1 Π2

Κ

90

Τξ κύμα από ςημ πηγή Π2 τςάμει ρςξ ρημείξ Ι όςαμ η πηγή Π2 έυει εκςελέρει 4 πλήοειπ

ςαλαμςώρειπ, δηλαδή 2t 4Τ 4 0,5s ή 2t 2s .

Οπόςε, 2 2r υ t 2m / s 2s ή 2r 4 m .

β. Τξ ρημείξ Ι μεςά ςημ ρσμβξλή ςχμ δύξ κσμάςχμ θα εκςελέρει απλή αομξμική

ςαλάμςχρη, με ρσυμόςηςα ίδια με ςη ρσυμόςηςα ςχμ δύξ κσμάςχμ πξσ ρσμβάλλξσμ. Άοα

f f 2HzΤ 0,5s

1 1

= .

Τξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρημείξσ Ι μεςά ςημ ρσμβξλή ςχμ δύξ κσμάςχμ θα είμαι:

2 1K K

r 4m 2m0,1m

rΑ 2A ζυν2π 2 0,05 ζυν2π 0,1 ζυν2π Α

2λ 2 1m

.

Τξ ρημείξ Ι είμαι λξιπόμ έμα ρημείξ εμιρυσςικήπ ρσμβξλήπ.

γ. Ηα βοξύμε ςξ ρημείξ Ι ρε πξια σπεοβξλή εμιρυσςικήπ ρσμβξλήπ αμήκει. Δίμαι

2 1r r N λ 4m 2m Ν 1m Ν 2 .

Ιαςά ρσμέπεια αμάμερα ρςημ σπεοβξλή εμίρυσρηπ πξσ πεομά από ςξ ρημείξ Ι (Ν 2 )

και ςημ μερξκάθεςξ ρςξ εσθύγοαμμξ ςμήμα Π1Π2 , πξσ είμαι η σπεοβξλή εμίρυσρηπ με

Ν 0 , πεομά μία σπεοβξλή εμίρυσρηπ, ασςή πξσ αμςιρςξιυεί ρε Ν 1 .

δ. Ζ ενίρχρη ςηπ απξμάκοσμρηπ ςξσ ρημείξσ Ι είμαι:

Π1

Π1

Π2

Κ

Κ

Μ

Ν=0

Ν=2

Ν=1

91

2 1 1 2t ty 2A ζυν ημ2 0,1 ημ2

r r r r 2 42π π π (SI)

2λ Τ 2λ 0,5 2

y 0,1 ημ2 2tπ 3 (SI) .

Άοα, η ενίρχρη ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρημείξσ Ι ρσμαοςήρει ςξσ υοόμξσ θα είμαι:

υ 0,1 2 2t 2 2t4π ζυν π 3 υ 0,4π ζυν π 3 (SI) .

Τη υοξμική ρςιγμή t 4,75 s η ςαυύςηςα ςξσ ρημείξσ Ι είμαι

υ 2 2 4,750,4π ζυν π 3 0,4π ζυν13π 0,4π ζυνπ υ -0,4π m / s .

92

Άσκηση 13.

Σε ξοιζόμςια ελαρςική υξοδή πξσ εκςείμεςαι καςά ςη διεύθσμρη ςξσ ξοιζόμςιξσ άνξμα

x΄Ox διαδίδξμςαι δύξ εγκάορια αομξμικά κύμαςα με ςξ ίδιξ πλάςξπ και ςημ ίδια

ρσυμόςηςα ρε αμςίθεςεπ καςεσθύμρειπ. Τα κύμαςα ρσμβάλλξσμ και δημιξσογξύμ ρςάριμξ

κύμα πξσ πεοιγοάτεςαι από ςημ ενίρχρη y 0,1 ζυν 2πx ημ 10πt S.I. .

Μα σπξλξγίρεςε

α. ςημ ςαυύςηςα διάδξρηπ ςχμ εγκάοριχμ κσμάςχμ πξσ ρσμβάλλξσμ.

β. ςη θέρη ςξσ δεύςεοξσ δερμξύ και ςηπ ςοίςηπ κξιλίαπ, θεχοώμςαπ όςι ρςη θέρη

x 0 βοίρκεςαι η ποώςη κξιλία.

γ. ςημ απόρςαρη μεςανύ ςξσ δεύςεοξσ δερμξύ και ςηπ ςοίςηπ κξιλίαπ ςη υοξμική ρςιγμή

1t 5 / 6 s .

δ. ςξ πηλίκξ ςηπ δσμαμικήπ ποξπ ςημ κιμηςική εμέογεια, εμόπ σλικξύ ρημείξσ πξσ

βοίρκεςαι ρςη θέρη ςηπ ςοίςηπ κξιλίαπ ςη υοξμική ρςιγμή 1t 5 / 6 s .

Δίμξμςαι: ζυν π / 3 1/ 2 , ημ π / 3 3 2 .

Κύρη

α. Από ςη ρύγκοιρη ςηπ δξθείραπ ενίρχρηπ με ςη γεμική ενίρχρη ςχμ ρςάριμχμ

κσμάςχμ

2πx 2 ty 2Aζυν ημ

λ

π

Τ

.

ποξκύπςει:

2Α 0,1m , άοα Α 0,05m 5cm ,

2πx

λ2πx λ 1m ,

2 tt T 0, 2s

π10π

Τ

ή

15Hzf

Τ

.

Από ςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ ποξκύπςει η ςαυύςηςα διάδξρηπ ςχμ

εγκάοριχμ κσμάςχμ πξσ ρσμβάλλξσμ, υ λ f 1m 5Hz ή υ 5m / s .

β. Οι θέρειπ ςχμ δερμώμ δίμξμςαι γεμικά από ςη ρυέρη Γ

λx (2k 1)

4 . H θέρη ςξσ 2ξσ

δερμξύ Δ ποξκύπςει για k 1 και βοίρκεςαι ρςη θέρη 3λ

4x 0,75m .

93

Οι θέρειπ ςχμ κξιλιώμ δίμξμςαι γεμικά από ςη ρυέρη Κ

λx k

2 . Ζ θέρη ςηπ 3ηπ κξιλίαπ Ι

ποξκύπςει για k 2 και βοίρκεςαι ρςη θέρη x λ 1m .

γ. Ζ ςοίςη κξιλία Ι ςη υοξμική ρςιγμή 1t 5 / 6 s έυει απξμάκοσμρη πξσ σπξλξγίζεςαι με

αμςικαςάρςαρη ςχμ x, t ρςημ ενίρχρη ςξσ ρςάριμξσ.

5 50

y 0,1 ζυν 2πx ημ 10πt 0,1 ζυν 2π ημ 10π 0,1 ημ π6 6

ή

2 48 πy 0,1 ημ π 0,1 ημ

6 3

ή y 0,05 3 m .

Ζ ζηςξύμεμη απόρςαρη μεςανύ ςξσ δεύςεοξσ δερμξύ Δ και ςηπ ςοίςηπ κξιλίαπ Ι, ςη

υοξμική ρςιγμή 1t 5 / 6 s , βοίρκεςαι με εταομξγή ςξσ πσθαγόοειξσ θεχοήμαςξπ για

ςξ ςοίγχμξ πξσ ρυημαςίζεςαι ρςξ παοακάςχ ρςιγμιόςσπξ ςξσ ρςάριμξσ κύμαςξπ:

2

2(ΓΚ) 0,25 m 0,0625 0,0025 33 m0,05

(ΓΚ) 0,07m (ΓΚ) 0,1 7m

δ. Τξ πηλίκξ ςηπ δσμαμικήπ ποξπ ςημ κιμηςική εμέογεια, εμόπ σλικξύ ρημείξσ πξσ

βοίρκεςαι ρςη θέρη ςηπ ςοίςηπ κξιλίαπ ςη υοξμική ρςιγμή 1t 5 / 6 s , θα είμαι

22

2 22 2

2

22

0,05 3m

(0,1m)

1Dy

U U y 0,0075 U2 31 1K Δ U 0,0025 K2A yD 2A Dy2

0,05 3m2

y (cm)

5 3

x (m) 1

Κ

0,75 0

-5 3

t1=5/6 s

Δ

94

Άσκηση 14.

Λια μξμξυοχμαςική ακςιμξβξλία ρσυμόςηςαπ 14f 6 10 Hz διαδιδόμεμη ξοιζόμςια ρςξ

κεμό με ςαυύςηςα 8c 3·10 m / s ποξρπίπςει κάθεςα, όπχπ ταίμεςαι ρςξ παοακάςχ

ρυήμα, ρε ποίρμα ςξσ ξπξίξσ η ςξμή είμαι ξοθξγώμιξ και ιρξρκελέπ ςοίγχμξ. Ζ

ποξρπίπςξσρα ακςίμα ενέουεςαι από ςξ ποίρμα παοάλληλα ρςημ πλεσοά ΑΒ ςξσ

ποίρμαςξπ. Τξ μέςοξ ςηπ μέγιρςηπ έμςαρηπ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ ςξσ κύμαςξπ ρςξ κεμό

είμαι 4

maxΔ 4·10 Ν / C και μέρα ρςξ γσάλιμξ ποίρμα 4

maxE 2 2 10 N / C .

α. Μα γοάφεςε ςημ ενίρχρη ςηπ έμςαρηπ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ για ςη διάδξρη ςξσ

ηλεκςοξμαγμηςικξύ κύμαςξπ ρςξ κεμό.

β. Μα σπξλξγίρεςε ςξ δείκςη διάθλαρηπ ςξσ ποίρμαςξπ.

γ. Μα σπξλξγίρεςε ςξ μήκξπ κύμαςξπ καςά ςη διάδξρη ςξσ κύμαςξπ ρςξ ποίρμα.

δ. Μα γοάφεςε ςημ ενίρχρη ςηπ έμςαρηπ ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ για ςη διάδξρη ςξσ

ηλεκςοξμαγμηςικξύ κύμαςξπ ρςξ γσάλιμξ ποίρμα.

Δίμεςαι ημ 452

2

Κύρη

α. Από ςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ 0c λ f , βοίρκξσμε ςξ μήκξπ κύμαςξπ ρςξ

κεμό. Δίμαι

87

0 014

3 10 m / sλ λ 5 10 m.

6 10 Hz

c

f

H ενίρχρη ςηπ έμςαρηπ ςξσ ηλεκςοικξύ πεδίξσ για ςη διάδξρη ςξσ ηλεκςοξμαγμηςικξύ

κύμαςξπ ρςξ κεμό είμαι:

4 14

max max 7

0 0

t x x xE E ημ2π E ημ2π f t E ημ2π t4 - S·10 6· .I.

T λ λ 5 1010

β. Δτόρξμ η ποξρπίπςξσρα ακςίμα ενέουεςαι από ςξ ποίρμα παοάλληλα ρςημ πλεσοά ΑΒ

ςξσ ποίρμαςξπ, η γχμία ποόρπςχρηπ τ, πξσ ταίμεςαι ρςξ παοακάςχ ρυήμα θα ιρξύςαι

95

με ςημ κοίριμη γχμία. Όμχπ, η γχμία τ ιρξύςαι με ςη γχμία A , γιαςί ξι δύξ γχμίεπ

έυξσμ ςιπ πλεσοέπ ςξσπ αμά δύξ κάθεςεπ. Άοα 0

crθ 45 .

Από ςξ μόμξ ςξσ Snell για ςημ κοίριμη γχμία παίομξσμε:

o

cri αερ 0

cri

1 1ημ n ημ90 n n n 2.

ημ45ημ

γ. Ο δείκςηπ διάθλαρηπ η ςξσ μέρξσ και ςα μήκη κύμαςξπ ρςξ κεμό, 0λ , και ρςξ μέρξ, λ,

ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη:

770 0n

λ λ 5 10 mλ λ 2,5 2 10 m.

λ n 2

=

δ. Ζ ενίρχρη ςηπ έμςαρηπ ςξσ μαγμηςικξύ πεδίξσ για ςη διάδξρη ςξσ ηλεκςοξμαγμηςικξύ

κύμαςξπ ρςξ γσάλιμξ ποίρμα είμαι:

max

t xB B ημ2π

T λ

Ποέπει μα σπξλξγίρξσμε ςξ maxB .

412max max max

max max8

max

2 2 10 V / m 4υ 10 T

c 3 10 m / sυ 3

n 2

E E E= B B

B

Λε αμςικαςάρςαρη ποξκύπςει:

1412

7

4 xB 10 ημ2π t - S.I.

3 2,5 2 106·10

96

ΘΔΜΑ Δ

Πρόβλημα 1.

Τξ πιξ πάμχ ρυήμα παοιρςά ςξ ρςιγμιόςσπξ εμόπ ξδεύξμςξπ αομξμικξύ κύμαςξπ ρε

ξμξγεμέπ γοαμμικό ελαρςικό μέρξ καςά ςη υοξμική ρςιγμή 0t . Τη υοξμική ρςιγμή t 0

ςξ ρημείξ Ο ςηπ θέρηπ x 0 διέουεςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ με θεςική ςαυύςηςα.

Για ςιπ ρημειχμέμεπ ρςξ ρυήμα απξρςάρειπ ιρυύει: (OK) 0,1m , (OZ) 0,3m .

Εηςξύμςαι:

α) Ζ υοξμική ρςιγμή 0t και η μέγιρςη ςαυύςηςα με ςημ ξπξία ςαλαμςώμξμςαι ςα σλικά

ρημεία ςξσ ελαρςικξύ μέρξσ.

β) Μα υαοαυθεί πάμχ ρε βαθμξλξγημέμξσπ άνξμεπ ςξ ρςιγμιόςσπξ ςξσ κύμαςξπ ςη

υοξμική ρςιγμή 1 0t t 0,01s . Τημ ίδια υοξμική ρςιγμή μα βοεθεί η απξμάκοσμρη εμόπ

ρημείξσ Β αμ γμχοίζεςε όςι ςξ ρημείξ ασςό απέυει από ςξ O απόρςαρη, OB 1,4m .

γ) Τξ πιξ πάμχ ξδεύξμ κύμα μεςατέοει εμέογεια 24,5 10 J , ρε κάθε σλικό ρημείξ ςξσ

γοαμμικξύ ελαρςικξύ μέρξσ. Πόρη είμαι η ρςαθεοά ςαλάμςχρηπ κάθε σλικξύ ρημείξσ,

δεδξμέμξσ όςι όλα εκςελξύμ απλή αομξμική ςαλάμςχρη;

δ) Αμ ςξ πιξ πάμχ ρςιγμιόςσπξ παοίρςαμε ρςάριμξ κύμα ςη υοξμική ρςιγμή 0t , καςά ςημ

ξπξία όλα ςα ρημεία ςξσ γοαμμικξύ ελαρςικξύ μέρξσ, έυξσμ μηδεμική ςαυύςηςα, ςόςε,

μα ρυεδιάρεςε ςξ ρςιγμιόςσπό ςξσ ςη υοξμική ρςιγμή 1t , όπξσ 1 0t t 0,01s .

Δίμεςαι όςι η ρσυμόςηςα ςχμ ξδεσόμςχμ κσμάςχμ πξσ δημιξσογξύμ ςξ ρςάριμξ κύμα

είμαι: f 25Hz .

Κύρη

α) Δίμεςαι όςι ςξ ρςιγμιόςσπξ είμαι ξδεύξμςξπ κύμαςξπ. Σσμεπώπ ρε ασςό ταίμξμςαι ξι

θέρειπ ςχμ σλικώμ ρημείχμ ςξσ μέρξσ ςη δεδξμέμη υοξμική ρςιγμή.

Από ςξ διάγοαμμα έυξσμε ( ) 0,14

ρσμεπώπ 0,4m .

Δπίρηπ, ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ είμαι ςξ (OZ) , δηλαδή η μεγαλύςεοη απόρςαρη από ςη

θέρη ιρξοοξπίαπ. Σσμεπώπ ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ κάθε ρημείξσ θα είμαι

0A (OZ) 0,3m .

97

H ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ κύμαςξπ είμαι 1 m

f 0,4m 25s 10s

.

Από ςξ ρςιγμιόςσπξ ςξσ κύμαςξπ ταίμεςαι όςι ςη υοξμική ρςιγμή ot , ςξ κύμα έυει

διαδξθεί ρε απόρςαρη 5

2

.

Άοα, 0 0 0

55 5 0,2m2x t t t 0,1s2 10m / s

Άοα 0t 0,1s .

Ζ μέγιρςη ςαυύςηςα ςαλάμςχρηπ ςχμ μξοίχμ θα είμαι:

max 0 max

rad m50 0,3m 15

s s

β) Δεδξμέμξσ όςι η πεοίξδξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι 1

T 0,04sf

, η υοξμική ρςιγμή

0t 0,1s αμςιρςξιυεί ρε 5T T

2T2 2 . Από ςημ παοαπάμχ παοαςήοηρη ποξκύπςει όςι η

πηγή, ςημ υοξμική ρςιγμή 0t 0,1s πεομά από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ με αομηςική τξοά,

(δηλαδή ποξπ ςα κάςχ). Σσμεπώπ ρε υοόμξ T

t 0,01s4

μεςά ςη υοξμική ρςιγμή 0t ,

βοίρκεςαι ρςη μέγιρςη αομηςική απξμάκοσμρη, εμώ ςξ κύμα έυει διαδξθεί απόρςαρη

επιπλέξμ 0,1m4

και έυει τςάρει μέυοι ςη θέρη

x 5 5 0,2m 0,1m x 1,1m2 4

Λε δεδξμέμξ όςι ςξ ςελεσςαίξ ρημείξ πξσ έυει τςάρει έμα κύμα είμαι ακόμα ρςη θέρη

ιρξοοξπίαπ και έςξιμξ μα κιμηθεί όπχπ ςξ ποξηγξύμεμό ςξσ, ςξ ρςιγμιόςσπξ θα είμαι ςξ

παοακάςχ:

Τξ ρημείξ Β θα παοαμέμει ακίμηςξ ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ, δεδξμέμξσ όςι ςξ κύμα δεμ

έυει τςάρει ακόμα εκεί.

98

γ) Ζ εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ κάθε σλικξύ ρημείξσ ςξσ σλικξύ μέρξσ δίμεςαι από ςη

ρυέρη: 21

E DA2

. Λε αμςικαςάρςαρη ποξκύπςει N

D 1m

.

δ) Παοαςηοξύμε όςι ςα ακοαία ρημεία Ο και Α είμαι δερμξί. Γμχοίζξσμε όςι ρςξ ρςάριμξ

κύμα όλα ςα ρημεία πεομξύμ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςημ ίδια υοξμική ρςιγμή.

Οι υοξμικέπ ρςιγμέπ 1t και 0t διατέοξσμ καςά T

4. Δπειδή, ρύμτχμα με ςημ εκτώμηρη,

όλα ςα ρημεία ςξσ γοαμμικξύ ελαρςικξύ μέρξσ ςη υοξμική ρςιγμή 0t έυξσμ μηδεμική

ςαυύςηςα και βοίρκξμςαι ρςη μέγιρςη απξμάκοσμρή ςξσπ, μεςά από υοόμξ T

4 θα

βοίρκξμςαι ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ από όπξσ διέουξμςαι με ςη μέγιρςη ςαυύςηςά ςξσπ. Τξ

ρςιγμιόςσπξ ςξσ γοαμμικξύ ελαρςικξύ μέρξσ δίμεςαι ρςξ παοακάςχ ρυήμα, ρςξ ξπξίξ

έυξσμ ρυεδιαρθεί και ξι ςαυύςηςεπ πξσ έυξσμ διάτξοα σλικά ρημεία.

99

Πρόβλημα 2.

Δύξ ρύγυοξμεπ πηγέπ κσμάςχμ Π1 και Π2 δημιξσογξύμ ρςημ επιτάμεια σγοξύ πξσ ηοεμεί

εγκάορια κύμαςα πξσ διαδίδξμςαι με ςαυύςηςα cm

80s

. Οι δύξ πηγέπ ςη υοξμική

ρςιγμή t 0 αουίζξσμ μα εκςελξύμ απλή αομξμική ςαλάμςχρη, ρε διεύθσμρη κάθεςη

ρςημ επιτάμεια ςξσ σγοξύ και η ενίρχρη ςαλάμςχρήπ ςξσπ είμαι 2 t

y A ( )T

.

Λε ςημ επίδοαρη ςχμ δύξ κσμάςχμ έμα μικοό κξμμάςι τελλξύ πξσ βοίρκεςαι ρςημ

επιτάμεια ςξσ σγοξύ ςαλαμςώμεςαι, με ενίρχρη απξμάκοσμρηπ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ

ςξσ:

y 4 2 (8t 4) , όπξσ y ρε cm και t ρε s .

Οι απξρςάρειπ ςξσ τελλξύ από ςιπ πηγέπ Π1 και Π2 είμαι 1r , 2r αμςίρςξιυα και ρσμδέξμςαι

με ςη ρυέρη 1 2r r 2 , όπξσ ςξ μήκξπ κύμαςξπ ςχμ δσξ κσμάςχμ.

α) Μα σπξλξγίρεςε ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ ςχμ πηγώμ.

β) Μα σπξλξγίρεςε ςξ μήκξπ κύμαςξπ ςχμ κσμάςχμ καθώπ και ςιπ απξρςάρειπ 1r και

2r .

γ) Μα σπξλξγίρεςε ςημ επιςάυσμρη ςαλάμςχρηπ ςξσ τελλξύ ςημ υοξμική ρςιγμή 1t 1s .

δ) Μα βοείςε ςη υοξμική ρςιγμή t , καςά ςημ ξπξία ξ τελλόπ πεομάει από ςη θέρη

μέγιρςηπ απξμάκοσμρηπ y 4cm για 1η τξοά, εκςελώμςαπ ρύμθεςη ςαλάμςχρη.

ε) Μα βοείςε ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ ςχμ ρημείχμ πξσ βοίρκξμςαι ρςημ μερξκάθεςη ςξσ

εσθύγοαμμξσ ςμήμαςξπ πξσ εμώμει ςιπ δύξ πηγέπ.

Κύρη

α) Σσγκοίμξσμε ςη δξθείρα ενίρχρη

y 4 2 (8t 4)(cm,s)

με ςη γεμική ενίρχρη ςηπ ρσμβξλήπ εγκαορίχμ κσμάςχμ ρςημ επιτάμεια σγοξύ

1 2 1 22 (r r ) r rty 2 2

2 T 2

Για ςξ πλάςξπ ςξσ σλικξύ ρημείξσ ιρυύει:

1 22 (r r ) 2 (2 )2 4cm 2A 4cm 2A 4cm A 2cm

2 2

Άοα ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ κάθε πηγήπ είμαι A 2cm

100

β) Τξ μήκξπ κύμαςξπ βοίρκεςαι με αμςικαςάρςαρη ρςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ

ατξύ ποώςα βοεθεί η πεοίξδξπ T .

Σσγκοίμξσμε ςη δξθείρα ενίρχρη με ςη γεμική ενίρχρη ςηπ ρσμβξλήπ εγκαορίχμ

κσμάςχμ:

(i) Για ςημ πεοίξδξ ιρυύει: t 1

8t T sT 8

Υπξλξγιρμόπ μήκξσπ κύμαςξπ:

m 10,8 s 0,1m

s 8 . Άοα

10cm 0,1m .

(ii) Για ςξμ όοξ 1 2r r

2

ιρυύει:

1 21 2 1 2

r r4 r r 8 r r 8 10cm

2

1 2r r 80cm

Από ςιπ ρυέρειπ 1 2r r 80cm

και 1 2r r 2 20cm ποξκύπςει 1r 50cm και

2r 30cm .

γ) Ζ μέγιρςη επιςάυσμρη ςξσ τελλξύ θα είμαι

2

2 2

max 0 max 2

rad m16 4 10 m 102,4

s s

Άοα για 1t 1s έυξσμε

1 2max

r rt2 102,4 2 8t 4

T 2

102,4 2 4 (SI)

0

Δηλαδή ςη υοξμική ρςιγμή 1t 1s ξ τελλόπ έυει μηδεμική επιςάυσμρη άοα βοίρκεςαι ρςη

θέρη ιρξοοξπίαπ (y 0cm) και η ςαυύςηςά ςξσ είμαι μέγιρςη.

δ) Ζ ζηςξύμεμη υοξμική ρςιγμή είμαι T

4 μεςά από ςη υοξμική ρςιγμή άτινηπ ςξσ

δεύςεοξσ κύμαςξπ. Για ςη υοξμική ρςιγμή ατινηπ 1t ςξσ δεσςέοξσ κύμαςξπ ιρυύει:

11 1

r 50cm 5t t s

80cm / s 8

101

Άοα η ζηςξύμεμη υοξμική ρςιγμή είμαι:

1

T 5 1/ 8 20 1 21t t s s t s t s

4 8 4 32 32 32

ε) Για ςα ρημεία ςηπ μερξκαθέςξσ ιρυύει 1 2r r , ξπόςε ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ για

κάθε ρημείξ είμαι:

1 22 (r r )2A 2A 0 2A 4cm

2

Άοα, Όλα ςα ρημεία ςηπ μερξκαθέςξσ πάλλξμςαι με μέγιρςξ πλάςξπ 4cm .

102

Πρόβλημα 3.

Ιαςά μήκξπ εμόπ γοαμμικξύ, ξμξγεμξύπ, ελαρςικξύ μέρξσ διαδίδεςαι ρςη θεςική

καςεύθσμρη ςξσ άνξμα υ'Ου έμα αομξμικό κύμα. Τξ ρημείξ Ο ςηπ θέρηπ x 0 εκςελεί

αομξμική ςαλάμςχρη πξσ πεοιγοάτεςαι από ςημ y A t . Σςξ παοακάςχ διάγοαμμα

ταίμεςαι η γοατική παοάρςαρη ςηπ τάρηπ ςχμ σλικώμ ρημείχμ πξσ βοίρκξμςαι ρςη

διεύθσμρη διάδξρηπ ςξσ αομξμικξύ κύμαςξπ, ρε ρσμάοςηρη με ςημ απόρςαρη x από ςξ

ρημείξ O , ρε μια δεδξμέμη υοξμική ρςιγμή 1t .

α) Μα σπξλξγίρεςε ςξ μήκξπ κύμαςξπ και μα βοείςε ςη τάρη ςηπ πηγήπ ςη υοξμική ρςιγμή

1t .

β) Μα σπξλξγίρεςε ποιμ από πόρξ υοόμξ άουιρε μα ςαλαμςώμεςαι η πηγή, δηλαδή ςη

υοξμική ρςιγμή 1t , αμ γμχοίζεςε όςι η ρσυμόςηςα ςαλάμςχρηπ ςηπ πηγήπ, είμαι f 10Hz.

γ) Τημ παοαπάμχ υοξμική ρςιγμή 1t

1) Μα βοείςε ςημ απξμάκοσμρη ςξσ ρημείξσ ςηπ θέρηπ x 0 (πηγή).

2) Μα βοείςε ςξμ αοιθμό ςχμ πλήοχμ απλώμ αομξμικώμ ςαλαμςώρεχμ πξσ έυει

κάμει η πηγή.

3) Μα ρυεδιάρεςε ςξ ρςιγμιόςσπξ ςξσ κύμαςξπ.

Δίμεςαι όςι ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ ςηπ πηγήπ είμαι A 0,1m

δ) Τη υοξμική ρςιγμή 1t μα βοείςε ςημ ςαυύςηςα με ςημ ξπξία ςαλαμςώμεςαι έμα σλικό

ρημείξ, ςξ ξπξίξ βοίρκεςαι ρςη θέρη x 5m και μα απξδείνεςε όςι ασςό ςξ σλικό ρημείξ

βοίρκεςαι ρε αμςίθεςη τάρη με ςημ πηγή.

Κύρη

α) Ζ τάρη δίμεςαι από ςξμ ςύπξ t x

2 ( )T

πξσ μπξοεί μα γοατεί και χπ

2 2 t( )x

T

. Ζ ρυέρη ασςή, για ρσγκεκοιμέμη υοξμική ρςιγμή, παοιρςά μία εσθεία.

Από ςημ κλίρη ρςξ διάγοαμμα, βοίρκξσμε 2 10

10

ρσμεπώπ 2m .

103

Ζ πηγή βοίρκεςαι ρςη θέρη x 0 , έυει ςη μεγαλύςεοη τάρη από όλα ςα ρημεία ςξσ

μέρξσ και ρύμτχμα με ςξ διάγοαμμα η τάρη ςηπ είμαι 10 rad .

β)

1ξπ ςοόπξπ

Ζ ςαυύςηςα ςξσ κύμαςξπ είμαι m

f 2m 10Hz 20s

. Όπχπ ταίμεςαι από ςξ

διάγοαμμα ςξ κύμα έυει διαδξθεί ρε απόρςαρη x 10m , ρσμεπώπ

xt

, από όπξσ 1t 0,5s

2ξπ ςοόπξπ

Ζ πηγή ςαλαμςώμεςαι για ςόρξ υοξμικό διάρςημα 1t όρξ υοειάζεςαι για μα απξκςήρει

ρύμτχμα με ςξ διάγοαμμα τάρη 10 rad . Έςρι με αμςικαςάρςαρη ρςξμ ςύπξ ςηπ τάρηπ

x 10m , 1 10 rad παίομξσμε:

t x2 ( )

T

1t 0

10 2 ( )0,1s 2m

1t 0,5s

3ξπ ςοόπξπ

Ζ πηγή ςαλαμςώμεςαι για ςόρξ υοξμικό διάρςημα t1 όρξ υοειάζεςαι για μα διαδξθεί ςξ

κύμα ρε απόρςαρη 1x 10m . Δπίρηπ γμχοίζξσμε όςι ςξ ρημείξ ςηπ θέρηπ πξσ νεκιμά μα

ςαλαμςώμεςαι έυει τάρη μηδέμ. Έςρι με αμςικαςάρςαρη ρςξμ ςύπξ ςηπ τάρηπ 1x 10m ,

1 0 παίομξσμε

11

tt x 10m2 ( ) 0 2 ( ) t 0,5s

T 0,1s 2m

γ)

1) Ζ ενίρχρη ςαλάμςχρηπ ςηπ πηγήπ είμαι y A t . Τη υοξμική ρςιγμή 1t 0,5s η

ενίρχρη δίμει

y A (20 0,5) y A (10 ) 0 y A (5 2 0) y 0 , ρσμεπώπ η πηγή

ςη υοξμική ρςιγμή 1t πεομά από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ κιμξύμεμη καςά ςη θεςική τξοά,

δηλαδή ςη τξοά πξσ είυε και ςη υοξμική ρςιγμή t 0 .

104

2) Θρυύει t 0,5s

N 5T 0,1s

.Άοα η πηγή ςη υοξμική ρςιγμή 1t έυει κάμει 5 πλήοειπ

ςαλαμςώρειπ.

3) Για μα ρυεδιάρξσμε ςξ ρςιγμιόςσπξ ςξσ κύμαςξπ, ςημ υοξμική ρςιγμή 1t , γοάτξσμε

ςημ ενίρχρη ςξσ αομξμικξύ κύμαςξπ, t x

y A 2 ( )T

, η ξπξία με αμςικαςάρςαρη

γίμεςαι: x

y 0,1 2 (10t ) (SI)2

Ατξύ ρσμξλικά η πηγή έυει κάμει 5 πλήοειπ ςαλαμςώρειπ ςξ κύμα θα έυει

διαδξθεί ρε απόρςαρη x 5 .

Για x 0 , βοίρκξσμε όςι η πηγή ςη υοξμική ρςιγμή ασςή, πεομά από ςη θέρη

ιρξοοξπίαπ με θεςική ςαυύςηςα, (y 0) .

Για x4

, βοίρκξσμε y A (10 )

2

Σσμεπώπ ςξ ρςιγμιόςσπξ θα είμαι:

δ) Ζ ενίρχρη ςξσ αομξμικξύ κύμαςξπ είμαι x

y 0,1 2 (10t ) (SI)2

. Ατξύ κάθε σλικό

ρημείξ εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη, η ενίρχρη ςαυύςηςαπ ρσμαοςήρει ςξσ υοόμξσ

θα είμαι: t x

2 ( )T

, η ξπξία με αμςικαςάρςαρη γίμεςαι:

2 (20 t x)(SI) .

Λε αμςικαςάρςαρη x 5m , 1t 0,5s ποξκύπςει

m2 (10 5 )(SI) 20 (5 ) 2

s

Τξ ρημείξ ασςό βοίρκεςαι ρε αμςίθεςη τάρη με ςημ πηγή. Ασςό απξδεικμύεςαι και από ςξ

όςι η απόρςαρή ςξσ υ από ςημ πηγή είμαι ςηπ μξοτήπ x2

.

105

Πρόβλημα 4.

Δύξ αομξμικά κύμαςα ίδιξσ πλάςξσπ ( 2cm ) και ίδιαπ ρσυμόςηςαπ ( f 10Hz )

διαδίδξμςαι με ςαυύςηςα m

20s

ρε ελαρςική υξοδή x 'Ox , με αμςίθεςη τξοά. Ιαςά

μήκξπ ςηπ υξοδήπ απξκαθίρςαςαι ρςάριμξ κύμα και ρςξ ρημείξ Ο, ςηπ θέρηπ x 0 ,

δημιξσογείςαι κξιλία. Τξ ρημείξ Ο ςη υοξμική ρςιγμή t 0 έυει απξμάκοσμρη y 0 και

ςαυύςηςα 0 .

α) Μα γοάφεςε ςιπ ενιρώρειπ ςχμ δύξ κσμάςχμ και μα βοείςε ςημ ενίρχρη ςξσ ρςάριμξσ

κύμαςξπ πξσ ποξκύπςει από ςη ρσμβξλή ςχμ δσξ ασςώμ κσμάςχμ.

β) Μα ποξρδιξοίρεςε ςιπ θέρειπ ςχμ δερμώμ και ςιπ θέρειπ ςχμ κξιλιώμ και μα βοείςε ςημ

απόρςαρη μεςανύ εμόπ δερμξύ και ςηπ γειςξμικήπ ςξσ κξιλίαπ.

γ) Μα βοείςε ςημ απόρςαρη μεςανύ ςχμ δύξ πληριέρςεοχμ ρημείχμ πξσ βοίρκξμςαι

εκαςέοχθεμ εμόπ δερμξύ και ςαλαμςώμξμςαι με πλάςξπ ίρξ με ςξ μιρό ςξσ πλάςξσπ ςηπ

κξιλίαπ.

δ) Μα ρυεδιάρεςε ςξ ρςιγμιόςσπξ ςξσ ρςάριμξσ κύμαςξπ πξσ έυει δημιξσογηθεί καςά

μήκξπ ςηπ υξοδήπ, ςιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ 1

Tt

4

και 2

Tt

2

.

Κύρη

α) Από ςη ρυέρη ff

, με αμςικαςάρςαρη βοίρκξσμε ςξ μήκξπ κύμαςξπ

20m / s2m

10Hz .

Τα δύξ κύμαςα πεοιγοάτξμςαι από ςιπ ενιρώρειπ:

Τξ διαδιδόμεμξ ποξπ ςη θεςική καςεύθσμρη ςξσ άνξμα υ΄Ου,

1 1

t x xy A 2 ( ) y 0,02 2 (10t )

T 2

(S.I.)

Τξ διαδιδόμεμξ ποξπ ςημ αομηςική καςεύθσμρη ςξσ άνξμα υ΄Ου,

2 2

t x xy A 2 ( ) y 0,02 2 (10t )

T 2

(S.I.)

Συόλιξ: Τξ υ παίομει θεςικέπ και αομηςικέπ ςιμέπ.

Για μα βοξύμε ςημ ενίρχρη ςoσ ρςάριμξσ κύμαςξπ εταομόζξσμε ςημ αουή ςηπ επαλληλίαπ ςχμ κσμάςχμ:

106

1 2

t x t xy y y y A 2 ( ) A 2 ( )

T T

από όπξσ ποξκύπςει: 2 x 2 t

y 2A ( ) ( )T

Αμςικαθιρςώμςαπ ςα δεδξμέμα ςηπ άρκηρηπ βοίρκξσμε:

y 0,04 ( x) 20t (SI)

β) Δερμξί θα είμαι ςα ρημεία για ςα ξπξία ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ θα είμαι ίρξ με μηδέμ

και ιρυύει 2 x

| | 0

. Λε λύρη ςηπ ενίρχρηπ ποξκύπςει

kx (2k 1) ( ),

4 4 2

όπξσ ςξ σπάουει επειδή ςξ ρςάριμξ κύμα δημιξσογείςαι

και ρςξμ αομηςικό ημιάνξμα.

Ιξιλίεπ θα είμαι ςα ρημεία για ςα ξπξία ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ είμαι μέγιρςξ και ιρυύει

2 x| | 1

. Λε λύρη ςηπ ενίρχρηπ ποξκύπςει K

kx

2

, όπξσ ςξ σπάουει επειδή

ςξ ρςάριμξ κύμα δημιξσογείςαι και ρςξμ αομηςικό ημιάνξμα.

Ζ απόρςαρη d μεςανύ εμόπ δερμξύ και μιαπ κξιλίαπ είμαι ίρη με 4

, διόςι

Kd | x x |4

Τξ μήκξπ κύμαςξπ έυει σπξλξγιρςεί από ςη ρυέρη f και είμαι 2m . Άοα

Kd | x x | 0,5m

γ) Τα ρημεία ασςά θα πάλλξμςαι με πλάςξπ Α, άοα θα ιρυύει: 2 x

2A | | A

δηλαδή:

2 x 1| |

2

από όπξσ ποξκύπςξσμ ξι ςοιγχμξμεςοικέπ ενιρώρειπ:

2 x 1

2

και

2 x 1

2

Ζ 1η ενίρχρη δίμει 2 x

2k3

Ζ 2η ενίρχρη δίμει 2 x

(2k 1)3

Οι δύξ ρειοέπ λύρεχμ εμξπξιξύμςαι ρςημ

107

(k )2 x k 13k x x ( )

3 2 2 6

Ηα δξσλέφξσμε ρςξ θεςικό ημιάνξμα. Ποξταμώπ όςι ιρυύξσμ ρςξμ άνξμα ασςόμ αμςίρςξιυα θα ιρυύξσμ και ρςξμ αομηςικό.

Ζ θέρη ςξσ πιξ κξμςιμξύ ρημείξσ ρςξ ρημείξ Ο πξσ ςαλαμςώμεςαι με πλάςξπ Α, θα βοεθεί

αμ θέρξσμε ρςημ παοαπάμχ ενίρχρη, k 0 , ξπόςε ποξκύπςει Ax6

. Τξ ρημείξ ασςό

είμαι δενιά ςξσ ρημείξσ Ο, (βλέπε ρυήμα) και θα είμαι ςξ κξμςιμόςεοξ ρςξμ ποώςξ δερμό.

Αμ ρςημ παοαπάμχ ενίρχρη k 1

x ( )2 6

θέρξσμε k 1 , ποξκύπςξσμ 4

x6

και

B

2x

6

.

Τα δύξ πληριέρςεοα ρημεία ρςξμ ποώςξ δερμό είμαι ςα ρημεία Α και Β με απξρςάρειπ

από ςημ αουή Ο ίρεπ με Ax6

και B

2x

6

.

Σσμεπώπ η ζηςξύμεμη απόρςαρη θα είμαι: B A

2d x x d

6 6 6

, άοα

1d m

6 3

Συόλιξ: Όςι ιρυύει για ςα δύξ (πληριέρςεοα) ρημεία Α και Β πξσ είμαι εκαςέοχθεμ ςξσ ποώςξσ δερμξύ, για λόγξσπ ρσμμεςοίαπ θα ιρυύει και για όλα ςα άλλα ρημεία και ρςξσπ άλλξσπ δερμξύπ.

δ) Τξ ρςάριμξ κύμα εκςείμεςαι και ποξπ ςιπ δύξ καςεσθύμρειπ, με αουή ςξ ρημείξ Ο.

Ηέςξμςαπ ρςημ ενίρχρη ςξσ ρςάριμξσ κύμαςξπ T

t4

, ποξκύπςει:

108

2 x 2 t 2 xy 2A ( ) ( ) y 2A ( ) ( ) y 2A ( x)

T 2 2

y 0,02 ( x) SI

Για x 0 y 2A , δηλαδή ςξ ρημείξ Ο ςη ρςιγμή T

t4

βοίρκεςαι ρςη μέγιρςη θεςική

απξμάκοσμρη.


t2

η ενίρχρη ςξσ ρςάριμξσ δίμει

2 x 2 t 2 x 2 xy 2A ( ) ( ) y 2A ( ) y 2A ( ) 0 y 0

T


t2

ςξ ρημείξ Ο, πεομά από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ με αομηςική τξοά,

δηλαδή ποξπ ςα κάςχ. Ποξταμώπ όλα ςα ρημεία ςξσ ελαρςικξύ μέρξσ ςη υοξμική ρςιγμή ασςή, θα πεομξύμ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσπ. Γμχοίζξσμε επίρηπ, όςι όλα ςα ρημεία μεςανύ δύξ διαδξυικώμ δερμώμ έυξσμ ςημ ίδια τάρη, άοα πεομξύμ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσπ με ίδια τξοά. Δμώ ςα ρημεία εκαςέοχθεμ εμόπ δερμξύ, έυξσμ διατξοά

τάρηπ και ρσμεπώπ πεομξύμ από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ με αμςίθεςεπ καςεσθύμρειπ.

Σσμεπώπ ςα ρςιγμιόςσπα θα είμαι:

109

Πρόβλημα 5.

Ακςίμα μξμξυοχμαςικξύ τχςόπ ρσυμόςηςαπ 14f 5 10 Hz διέουεςαι από δύξ διαταμή

πλακίδια Α και Β, ίδιξσ πάυξσπ d 3cm , ςα ξπξία έυξσμ δείκςεπ διάθλαρηπ An 2 και

Bn 3 .

Α) Αμ η μξμξυοχμαςική δέρμη τχςόπ, ποξρπέρει κάθεςα και ρςα δύξ πλακίδια

α) μα βοείςε ςξσπ υοόμξσπ διέλεσρηπ ςηπ τχςειμήπ ακςίμαπ από ςα δύξ πλακίδια.

β) μα βοείςε ςξμ αοιθμό μηκώμ κύμαςξπ πξσ δημιξσογξύμςαι ρε κάθε πλακίδιξ.

Β) Τξπξθεςξύμε ςξ πλακίδιξ Β, πάμχ ρςξ πλακίδιξ Α. Ζ παοαπάμχ μξμξυοχμαςική

δέρμη τχςόπ, ποξρπίπςει με γχμία 3

ρςημ επιτάμεια ςξσ πλακιδίξσ Β.

α) Μα βοείςε αμ η ακςίμα θα ειρέλθει ρςξ πλακίδιξ Α ή θα σπξρςεί ξλική αμάκλαρη και

θα ρσμευίρει ςημ πξοεία ςηπ ρςξ πλακίδιξ Β.

β) μα βοείςε ςξ ρσμξλικό υοόμξ μέυοι ςξ τχπ μα ενέλθει πάλι ρςξμ αέοα.

Δίμξμςαι η ςαυύςηςα ςξσ τχςόπ ρςξ κεμό, 8 m

c 3 10s

, 13 3,6 και 3

3 2

.

Κύρη

Α)

α) Για ςξσπ δείκςεπ διάθλαρηπ ςχμ δύξ πλακιδίχμ αμςίρςξιυα ιρυύξσμ:

Πλακίδιξ Α: A

A

cn

από όπξσ η ςαυύςηςα ςξσ τχςόπ ρςξ πλακίδιξ Α είμαι:

88

A

A

c 3 10 m m1,5 10

n 2 s s

Πλακίδιξ Β: B

B

cn

από όπξσ η ςαυύςηςα ςξσ τχςόπ ρςξ πλακίδιξ Β είμαι:

88

B

B

c 3 10 m m3 10

n s s3

Οι αμςίρςξιυξι υοόμξι διέλεσρηπ θα είμαι:

10

A

A

dt 2 10 s

και

10

B

B

dt 3 10 s

.

Τξ τχπ θα διαπεοάρει γοηγξοόςεοα ςξ πλακίδιξ Β.

110

β) Ο αοιθμόπ μηκώμ κύμαςξπ θα δίμεςαι από ςη ρυέρη d

N 1

Για μα σπξλξγίρξσμε ςα μήκη κύμαςξπ ρε κάθε πλακίδιξ θα υοηριμξπξιήρξσμε ςη

ρυέρη: f , ξπόςε:

87A

A A14

1,5 10 m / s3 10 m

f 5 10 Hz

86B

B B14

3 10 m / s 310 m

f 53 5 10 Hz

Λε αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) ποξκύπςει:

5

A

A

dN 10

μήκη κύμαςξπ.

4

B

B

dN 5 3 10

μήκη κύμαςξπ.

Β)

α) Ζ τχςειμή ακςίμα καςεσθύμεςαι από ξπςικά αοαιόςεοξ ποξπ ξπςικά πσκμόςεοξ μέρξ,

άοα δεμ σπάουξσμ ποξϋπξθέρειπ για μα σπξρςεί ξλική αμάκλαρη. Ζ ακςίμα θα πεοάρει

ρςξ πλακίδιξ Α πληριάζξμςαπ ςημ κάθεςξ ρςη διαυχοιρςική επιτάμεια.

β)Λε εταομξγή ςξσ μόμξσ ςξσ Snell για ςημ ποώςη διάθλαρη, ρςη διαυχοιρςική

επιτάμεια αέοα και πλακιδίξσ Β, έυξσμε: B b1 n .

Από εδώ βοίρκξσμε όςι b

1

2 6

, ρσμεπώπ b

6

, διόςι η γχμία είμαι ξνεία.

Σςξ ξοθξγώμιξ ςοίγχμξ ΔΕΙ έυξσμε:

b

d

( )

, άοα B B B

B B

2d 2d c 2d( ) t t

n t c3 3

Λε εταομξγή ςξσ μόμξσ ςξσ Snell για ςημ δεύςεοη διάθλαρη, ρςη διαυχοιρςική

επιτάμεια ςχμ δύξ πλακιδίχμ, έυξσμε: b A

a B

n

n

,

από όπξσ Ba b

A

n

n .

111

Λε αμςικαςάρςαρη ποξκύπςει: a

3

4 , ρσμεπώπ από ςη ρυέρη

2 2

a b 1

ποξκύπςει a

13

4 .

Από ςξ ςοίγχμξ ΙΛΠ έυξσμε a

d

( )

, από όπξσ

a

d( )

.

Όμχπ A A( ) t , άοα A A

A

c 8d( ) t t

n c 13 .

Σσμεπώπ

10

A B

8d 2dt t t t 4,22 10 s

cc 13

112

Πρόβλημα 6.

Σε ξμξγεμή ελαρςική υξοδή μήκξσπ L 22,5cm πξσ ςξ έμα άκοξ ςηπ είμαι ακλόμηςα

ρςεοεχμέμξ, δημιξσογξύμςαι ρςάριμα κύμαςα. Έμα από ςα αομξμικά κύμαςα πξσ

δημιξύογηραμ ςξ ρςάριμξ κύμα πεοιγοάτεςαι από ςημ ενίρχρη x

y 4 (8 t - )5

( t ρε

s , y και x ρε cm ). Τξ ελεύθεοξ άκοξ ςηπ υξοδήπ βοίρκεςαι ρςη θέρη x 0 και

γμχοίζξσμε όςι ρε ασςό δημιξσογείςαι κξιλία.

α) Μα γοατξύμ ξι ενιρώρειπ ςξσ αμακλώμεμξσ και ςξσ ρςάριμξσ κύμαςξπ.

β) Μα βοεθξύμ ξ αοιθμόπ ςχμ δερμώμ και ξ αοιθμόπ ςχμ κξιλιώμ, πξσ δημιξσογξύμςαι

καςά μήκξπ ςηπ υξοδήπ.

γ) Μα γίμξσμ ςα ρςιγμιόςσπα ςξσ κύμαςξπ ςιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ 1

Tt

4 και 2

3Tt

4

ρςξ ίδιξ διάγοαμμα.

δ) Μα βοεθξύμ ξι θέρειπ ςχμ ρημείχμ ςηπ υξοδήπ πξσ έυξσμ μέγιρςη ςαυύςηςα

μέςοξσ ίρξσ με ςξ μιρό ςηπ μέγιρςηπ ςαυύςηςαπ μιαπ κξιλίαπ.

Κύρη

α) Ζ δξθείρα ενίρχρη γοάτεςαι:

xy 4 2 (4t - )

10

( t ρε s , y και x ρε cm ), άοα

ενίρχρη ςξσ αμακλώμεμξσ κύμαςξπ είμαιx

y 4 2 (4t )10

( t ρε s , y και x ρε cm )

Σςη γεμική πεοίπςχρη η ενίρχρη ςξσ ρςάριμξσ είμαι:

2 xy 2A 2 ft

Άοα, η ζηςξύμεμη ενίρχρη ςξσ ρςάριμξσ θα είμαι:

2 x xy 2 4 2 4t y 8 8 t

10 5

( t ρε s , y και x ρε cm )

Σσγκοίμξμςαπ ςημ ςελεσςαία ενίρχρη με ςη γεμική ενίρχρη ςξσ ρςάριμξσ κύμαςξπ

έυξσμε: 2 x x

5

, άοα 10cm

και 8 t 2 f , άοα f 4Hz . Σσμεπώπ η ςαυύςηςα διάδξρηπ θα είμαι:

f 40 cm / s

β) Ζ απόρςαρη κάθε δερμξύ από ςη θέρη υ=0, όπξσ δημιξσογείςαι κξιλία θα είμαι:

113

x4 2

. Aμ θέρξσμε όπξσ x L 22,5cm και 10cm βοίρκξσμε 4 , ρσμεπώπ

ξι δερμξί θα είμαι ρσμξλικά 5, ρσμπεοιλαμβαμόμεμξσ και ςξσ δερμξύ ρςξ ακλόμηςξ

άκοξ. Τόρεπ θα είμαι και ξι κξιλίεπ, δηλαδή 5.

γ) H ενίρχρη ςξσ ρςάριμξσ κύμαςξπ είμαι: x

y 8 8 t5

( t ρε s , y και x ρε

cm )

Για T

t4

, γίμεςαι: x

y 8 (cm)5

.

Για 3T

t4

γίμεςαι: x

y 8 cm5

. Οπόςε ςα ρςιγμιόςσπα θα είμαι ςα παοακάςχ:

δ) Ιάθε σλικό ρημείξ ςηπ υξοδήπ εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη. Ζ μέγιρςη ςαυύςηςα

ςαλάμςχρηπ ςχμ κξιλιώμ είμαι max( ) max( ) max( )A 2A . Δμείπ φάυμξσμε ςιπ

θέρειπ ςχμ ρημείχμ ςηπ υξοδήπ πξσ έυξσμ μέγιρςη ςαυύςηςα ςαλάμςχρηπ max A ,

δηλαδή έυξσμ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ ' 4cm . Τξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ ςχμ ρημείχμ

ςξσ ρςάριμξσ πεοιγοάτεςαι από ςη ρυέρη x

A' 8 (cm)5

.

Άοα έυξσμε x x 1 x 1

4 85 5 2 5 2

και

x 1

5 2

.

Ζ λύρη ςηπ 1ηπ ενίρχρηπ δίμει:

x 5

2k x 10k cm5 3 3

με 0 x 22,5cm ή

67,50 x cm

3

114

Για 5

k 0 x cm3

Για 35

k 1 x cm3

και 25

x cm3

Για 65

k 2 x cm3

και 55

x cm3

Ζ λύρη ςηπ 2ηπ ενίρχρηπ δίμει:

x 2 10

2k x 10k cm5 3 3

με 0 x 22,5cm ή

67,50 x cm

3

Για 10

k 0 x cm3

Για 40

k 1 x cm3

και 20

x cm3

Για 70

k 2 x cm3

(απξοοίπςεςαι) και 50

x cm3

Οι ζηςξύμεμεπ θέρειπ είμαι ρσμξλικά 9.

1

ΚΔΥΑΛΑΙΟ 4Ο: ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΣΔΡΔΟΤ ΩΜΑΣΟ

ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΔ ΑΚΗΔΙ

ΘΔΜΑ Β

Δρώτηση 1.

ε έμα οξλόι θέλξσμε ςξ άκοξ ςξσ χοξδείκςη και ςξ άκοξ ςξσ λεπςξδείκςη μα έυξσμ ςημ

ίδια ςαυύςηςα λόγχ πεοιρςοξτήπ (γοαμμική ςαυύςηςα). Αμ ρσμβξλίρξσμε με ςξ μήκξπ

ςξσ χοξδείκςη και με ςξ μήκξπ ςξσ λεπςξδείκςη, ςόςε για ςξ λόγξ ςχμ μηκώμ ιρυύει

α) 1

β) 1

12

γ) 12


Λύρη

χρςή απάμςηρη είμαι η γ.

Οι γοαμμικέπ ςαυύςηςεπ ςχμ δύξ άκοχμ δίμξμςαι αμςίρςξιυα από ςιπ ρυέρειπ

. Παίομξμςαπ σπόφη όςι: 2

T

και όςι 12h , 1h

ποξκύπςει:

T2 212

T T T

2

Δρώτηση 2.

ςη οάβδξ ςξσ ρυήμαςξπ αρκξύμςαι ςοειπ ξμξεπίπεδεπ δσμάμειπ ίρξσ μέςοξσ. Η οάβδξπ

μπξοεί μα ρςοέτεςαι γύοχ από ρςαθεοό άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ ρημείξ Ο και είμαι

κάθεςξπ ρςξ επίπεδξ ςχμ δσμάμεχμ.

Η καςάςανη ςχμ δσμάμεχμ, καςά ςη ρειοά με ςημ ξπξία ςξ μέςοξ ςηπ οξπήπ ςξσπ χπ

ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ασνάμεςαι, είμαι:

α) 3F , 1F , 2F .

β) 3F , 2F , 1F .

γ) 1F , 2F , 3F .


Λύρη

χρςή απάμςηρη είμαι η α.

Σξ μέςοξ ςηπ οξπήπ δύμαμηπ χπ ποξπ ρςαθεοό άνξμα δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: F L ,

όπξσ F ςξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ (κξιμό για ςιπ ςοειπ δσμάμειπ) και L η απόρςαρη ςξσ

τξοέα ςξσπ από ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ (μξυλξβοαυίξμαπ). Από ςξ ρυήμα ταίμεςαι όςι η

δύμαμη 3F έυει μηδεμικό μξυλξβοαυίξμα, επξμέμχπ δεμ αρκεί οξπή. Δπίρηπ, η δύμαμη

1F έυει μικοόςεοξ μξυλξβοαυίξμα από ςη δύμαμη 2F , ξπόςε αρκεί μικοόςεοη οξπή.

Δπξμέμχπ, η καςάςανη ςχμ δσμάμεχμ, καςά ςη ρειοά με ςημ ξπξία ςξ μέςοξ ςηπ οξπήπ

ςξσπ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ασνάμεςαι, είμαι: 3F , 1F , 2F .

Ο

1F

2F

3F

3

Δρώτηση 3.

ςξ ρυήμα (α) ταίμεςαι έμα ελεύθεοξ ρςεοεό, ςξ ξπξίξ ρςοέτεςαι σπό ςημ επίδοαρη ςξσ

ζεύγξσπ δσμάμεχμ 1F και 2F .

Αμ μεςακιμήρξσμε ςα ρημεία εταομξγήπ ςχμ δσμάμεχμ μεςακιμώμςαπ παοάλληλα ςξσπ

τξοείπ ςχμ δσμάμεχμ, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα (β), υχοίπ μα μεςαβάλλξσμε ςη μεςανύ

ςξσπ απόρςαρη, ςόςε ςξ ρςεοεό:

α) ρςοέτεςαι όπχπ και ρςξ ρυήμα α.

β) ρςοέτεςαι αμςίρςοξτα από ςξ ρυήμα α.

γ) ιρξοοξπεί.


Λύρη


Η οξπή ζεύγξσπ δύμαμηπ είμαι ίδια χπ ποξπ ξπξιξδήπξςε ρημείξ και εναοςάςαι μόμξ από ςξ μέςοξ ςχμ δσμάμεχμ και ςημ απόρςαρη μεςανύ ςχμ τξοέχμ ςξσπ. ςξ ρυήμα (β) δεμ έυξσμε μεςαβάλλει ξύςε ςξ μέςοξ ςχμ δσμάμεχμ, ξύςε ςημ απόρςαρη μεςανύ ςχμ τξοέχμ ςξσπ. Δπξμέμχπ, η οάβδξπ ρςξ ρυήμα (β), σπό ςημ επίδοαρη ςηπ ίδιαπ οξπήπ ςξσ ζεύγξσπ δύμαμηπ, θα κάμει ό,ςι έκαμε και ρςξ ρυήμα (α), δηλαδή, θα ρςοέτεςαι με τξοά αμςίθεςη ςχμ δεικςώμ ςξσ οξλξγιξύ.

1F

2F

2F

1F

(α) (β)

4

Δρώτηση 4.

Μια ξμξγεμήπ λεπςή οάβδξπ μάζαπ M και μήκξσπ L πεοιρςοέτεςαι γύοχ από ρςαθεοό

άνξμα πξσ είμαι κάθεςξπ ρ' ασςή και διέουεςαι από ςξ έμα άκοξ ςηπ. Η οξπή αδοάμειαπ

ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ είμαι 21

ML3

. Η οξπή αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ

χπ ποξπ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ και είμαι παοάλληλξπ ρςξμ

ποξηγξύμεμξ άνξμα είμαι:

α) 21

ML4

.

β) 27

ML12

.

γ) 21

ML12

.


Λύρη


Ο αουικόπ και ξ ςελικόπ άνξμαπ πεοιρςοξτήπ είμαι παοάλληλξι και απέυξσμ L

d2

.

Δπειδή ξ έμαπ άνξμαπ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ μπξοξύμε μα κάμξσμε υοήρη ςξσ θεχοήμαςξπ Steiner.

Έυξσμε:

2

2 2 2 2

cm cm cm

1 L 1 1I I Md ML I M ML I ML

3 2 3 4

2 2

cm

1 1I ML ML

3 4 2

cm

1I ML

12

5

Δρώτηση 5.

Ο ξμξγεμήπ ςοξυόπ ςξσ ρυήμαςξπ ρσγκοαςείςαι ακίμηςξπ πάμχ ρςξ πλάγιξ επίπεδξ. Κάπξια ρςιγμή ατήμεςαι ελεύθεοξπ και αουίζει μα εκςελεί ρύμθεςη κίμηρη. Η επιςάυσμρη

λόγχ μεςατξοάπ cm και η επιςάυσμρη λόγχ πεοιρςοξτήπ a ςξσ ςοξυξύ έυξσμ

αμαλξγία μέςοχμ cm Ra

, όπξσ R η ακςίμα ςξσ ςοξυξύ.

Η κίμηρη ςξσ ςοξυξύ γίμεςαι ρε πλάγιξ επίπεδξ ςξ ξπξίξ είμαι

α) λείξ.

β) ςοαυύ.

γ) αουικά λείξ και ρςη ρσμέυεια ςοαυύ.


Λύρη

χρςή απάμςηρη είμαι η β.

Δπειδή ιρυύει cm a R , ξ ςοξυόπ κσλίεςαι (υχοίπ μα ξλιρθαίμει) επιςαυσμόμεμξπ.

ςξμ ςοξυό αρκείςαι ςξ βάοξπ ςξσ w , ςξ ξπξίξ έυει μηδεμική οξπή επειδή αρκείςαι ρςξ κέμςοξ ςξσ ςοξυξύ (ρςξμ ελεύθεοξ άνξμα πεοιρςοξτήπ).

Δπίρηπ, ρςξμ ςοξυό αρκείςαι η κάθεςη ρςξ έδατξπ δύμαμη ρςήοινηπ (κάθεςη αμςίδοαρη)

N , η ξπξία έυει μηδεμική οξπή επειδή ξ τξοέαπ ςηπ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ ςξσ ςοξυξύ.

Δπειδή ξι δσμάμειπ w και N δεμ αρκξύμ οξπή, δε μπξοξύμ μα δώρξσμ γχμιακή

επιςάυσμρη ρςξμ ςοξυό. Δπξμέμχπ, είμαι απαοαίςηςη κάπξια άλλη δύμαμη η ξπξία θα

αρκεί οξπή ρςξμ ςοξυό. Ασςό μπξοεί μα ρσμβεί μόμξμ αμ ςξ έδατξπ είμαι ςοαυύ, ώρςε η

οξπή ςηπ ρςαςικήπ ςοιβήπ μα ποξρδώρει ςημ απαιςξύμεμη γχμιακή επιςάυσμρη.

6

Δρώτηση 6.

Σξ ρύρςημα ςξσ ρυήμαςξπ απξςελείςαι από μια αβαοή οάβδξ ΑΒ μήκξσπ d 30 cm και

δύξ πξλύ μικοά ρταιοίδια με μάζεπ 1m και 2 1m 2m . Σξ ρύρςημα πεοιρςοέτεςαι γύοχ

από ρςαθεοό άνξμα πξσ έυει ποξραομξρςεί ρςξ μέρξ Μ ςηπ οάβδξσ ΑΒ, όπχπ ρςξ ρυήμα.

Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ ρυήμαςξπ είμαι

0I . Αμ ξ άνξμαπ πεοιρςοξτήπ μεςακιμηθεί παοάλληλα ρςξμ εασςό ςξσ ρςξ μέρξ ςηπ

απόρςαρηπ ΜΒ, η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ

α) θα ασνηθεί.

β) θα μειχθεί.

γ) δε θα μεςαβληθεί.


Λύρη


Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ πξσ έυει

ποξραομξρςεί ρςξ μέρξ Μ ςηπ οάβδξσ ΑΒ είμαι:

2 2 22

0 1 2 0 1 1 0 1

d d d 3I m m I (m 2m ) I m d

2 2 4 4

Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ χπ ποξπ ςξ μέξ άνξμα πεοιρςοξτήπ είμαι:

2 2

2 2

1 1 2 1 1 1

3d d 9 2I m m I m d m d

4 4 16 16

2

1 1

11I m d

16

Α Β Μ 1m 2m

7

Δπειδή 1 0I I , η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ θα μειχθεί.

8

Δρώτηση 7.

Ο ξμξγεμήπ δίρκξπ ακςίμαπ R και μάζαπ M ςξσ ρυήμαςξπ (α) μπξοεί μα πεοιρςοέτεςαι

γύοχ από άνξμα πξσ είμαι κάθεςξπ ρςξ επίπεδό ςξσ και πεομά από ςξ κέμςοξ ςξσ. Η

οξπή αδοάμειαπ ςξσ δίρκξσ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ είμαι 21

MR2

και

επιπλέξμ γμχοίζξσμε όςι η μάζα εμόπ ςμήμαςξπ ςξσ δίρκξσ είμαι αμάλξγη ςηπ επιτάμειαπ

πξσ καλύπςει.

Αταιοξύμε από ςξ δίρκξ έμα κσκλικό ςμήμα ακςίμαπ R

r2

όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα

(β). Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ δακςσλίξσ πξσ ρυημαςίρςηκε είμαι:

α) 23

MR8

.

β) 27

MR16

.

γ) 215

MR32

.


Λύρη


Η οξπή αδοάμειαπ I ςξσ δακςσλίξσ πξσ ρυημαςίρςηκε είμαι 2 21 1

I MR mr2 2

, όπξσ m

η μάζα ςξσ κσκλικξύ ςμήμαςξπ πξσ αταιοέθηκε.

Η μάζα ςξσ κσκλικξύ ςμήμαςξπ πξσ αταιοέθηκε είμαι αμάλξγη ςηπ επιτάμειαπ πξσ καλύπςει. Δπξμέμχπ:

2

2

2 2

R

m r M2m M m

M R R 4

R r

(α) (β)

9

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη 2 21 1

I MR mr2 2

έυξσμε:

221 1 M R

I MR2 2 4 4

215I MR

32 .

10

Δρώτηση 8.

ε έμα ρταιοικό κέλστξπ μάζαπ m , όλεπ ξι ρςξιυειώδειπ μάζεπ πξσ ςξ απξςελξύμ

βοίρκξμςαι ρςημ ίδια απόρςαρη R από ςξ κέμςοξ ςξσ. Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρταιοικξύ

κελύτξσπ χπ ποξπ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ ςξσ είμαι

α) 2MR , όπξσ κ έμαπ αοιθμόπ για ςξμ ξπξίξ ιρυύει 1 .

β) 2MR , όπξσ κ έμαπ αοιθμόπ για ςξμ ξπξίξ ιρυύει 1 .

γ) 2MR .


Λύρη


Η οξπή αδοάμειαπ εμόπ ρςεοεξύ ρώμαςξπ δίμεςαι από ςη ρυέρη 2 2

1 1 2 2I m r m r ,

όπξσ ςα r1, r2, … δηλώμξσμ απξρςάρειπ από ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ (και όυι από ςξ

κέμςοξ μάζαπ ςξσ ρώμαςξπ). Οι ρςξιυειώδειπ μάζεπ ςξσ ρταιοικξύ κελύτξσπ βοίρκξμςαι

ρε απξρςάρειπ r για ςιπ ξπξίεπ ιρυύει

0 r R

και για ελάυιρςεπ από ασςέπ ιρυύει

r R .

11

Δρώτηση 9.

ςξ ρυήμα ταίμεςαι μια διπλή ςοξυαλία, η ξπξία μπξοεί μα ρςοέτεςαι γύοχ από

ακλόμηςξ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ και δύξ μικοά ρώμαςα 1 και 2,

ςα ξπξία αμαοςώμςαι από ςη διπλή ςοξυαλία. Για μα ιρξοοξπεί ςξ ρύρςημα ποέπει

α) ςξ 1 μα είμαι βαούςεοξ από ςξ 2.

β) ςξ 2 μα είμαι βαούςεοξ από ςξ 1.

γ) ςξ 1 μα έυει ίρξ βάοξπ με ςξ 2.


Λύρη


ςξ ρυήμα ταίμξμςαι ξι δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςα 1 και 2 και ξι δσμάμειπ πξσ

αρκξύμςαι ρςη διπλή ςοξυαλία. Από ςιπ δσμάμειπ ασςέπ οξπή ποξκαλξύμ ξι 1T ' και 2T ' .

Δπειδή ςα 1 και 2 ιρξοοξπξύμ, από ςη ρυέρη F 0 έυξσμε:

1

R1 R2

2

12

1 1T w

2 2T w

Για ςιπ δσμάμειπ 1T ,

1T ' και 2T , 2T ' ιρυύει: 1 1T T ' και 2 2T T ' .

Δπειδή η διπλή ςοξυαλία ιρξοοξπεί ρςοξτικά, από ςη ρυέρη 0 έυξσμε:

1 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

2 1

w RT 'R T 'R T R T R w R w R

w R

και επειδή 1 2R R έυξσμε: 2 1w w .

13

Δρώτηση 10.

ε έμα ελεύθεοξ ρςεοεό αρκείςαι έμα ζεύγξπ δσμάμεχμ 1F και 2F , από ςιπ ξπξίεπ η

δύμαμη 1F αρκείςαι ρςξ κέμςοξ μάζαπ ςξσ ρςεοεξύ. Σξ ρςεοεό ιρξοοξπεί. Αμ καςαογηθεί

η δύμαμη 1F , ςξ ρςεοεό θα εκςελέρει:

α) μεςατξοική κίμηρη.

β) ρςοξτική κίμηρη.

γ) ρύμθεςη κίμηρη.


Λύρη


Έρςχ 1F και 2F ξι δσμάμειπ πξσ απξςελξύμ ζεύγξπ δσμάμεχμ. Για ςιπ δσμάμειπ ασςέπ

ιρυύει 2 1F F άοα για ςα μέςοα ςξσπ ιρυύει:

2 1F F ( F) .

Η οξπή ζεύγξσπ δσμάμεχμ είμαι ίδια χπ ποξπ ξπξιξδήπξςε ρημείξ και έυει μέςοξ:

F d , όπξσ d η απόρςαρη ςχμ τξοέχμ ςχμ δσμάμεχμ 1F και 2F .

Δπειδή αουικά ςξ ρςεοεό ιρξοοξπεί, ιρυύει:

0 F d 0

Δπειδή F 0 ρσμπεοαίμξσμε όςι d 0 , δηλαδή ξι δσμάμειπ 1F και 2F είμαι

ρσγγοαμμικέπ. Δπξμέμχπ, ξ τξοέαπ ςηπ 2F διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ ςξσ ρςεοεξύ,

όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα (α):

14

Όςαμ καςαογηθεί η δύμαμη 1F , επειδή η δύμαμη 2F δεμ αρκεί οξπή χπ ποξπ άνξμα πξσ

διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ, ςξ ρςεοεό θα εκςελέρει μόμξ μεςατξοική κίμηρη ρςημ

καςεύθσμρη ςηπ δύμαμηπ 2F , (βλέπε ρυήμα β).

(α) (β)

1F

2F

cm

2F

cm

15

Δρώτηση 11.

Η ςεςοάγχμη πλάκα ΑΒΓΔ πλεσοάπ ςξσ ρυήμαςξπ μπξοεί μα πεοιρςοέτεςαι γύοχ από

ακλόμηςξ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ ςηπ Κ και είμαι κάθεςξπ ρε ασςή. ςημ

πλάκα αρκξύμςαι ξι δσμάμειπ 1F και 2F με μέςοα 1 2F F ( F) .

Η δύμαμη πξσ ποέπει μα αρκηθεί ρςξ ρςεοεό για μα ιρξοοξπεί είμαι:

α) η δύμαμη F , μέςοξσ F F .

β) η δύμαμη F , μέςοξσ F 2F .

γ) η δύμαμη F , μέςοξσ F 2F .


Λύρη


Για μα ιρξοοξπεί έμα ρςεοεό πξσ μπξοεί μα πεοιρςοέτεςαι γύοχ από ακλόμηςξ άνξμα,

ποέπει μα ιρυύει 0 χπ ποξπ ξπξιξδήπξςε ρημείξ. Δπιλέγξσμε μα σπξλξγίρξσμε ςιπ

οξπέπ χπ ποξπ ςξ ρημείξ Κ ώρςε μα μηδεμιρςεί η οξπή ςηπ δύμαμηπ πξσ αρκεί ξ

ακλόμηςξπ άνξμαπ πεοιρςοξτήπ. ςξ ρυήμα ταίμξμςαι ξι καςεσθύμρειπ ςχμ οξπώμ:

Α Β

Γ Δ

1F

2F

αF

βF

γF

Κ

16

Από ςιπ καςεσθύμρειπ ςχμ οξπώμ ταίμεςαι όςι η δύμαμη F δε μπξοεί μα ιρξοοξπήρει

ςημ πλάκα, διόςι αρκεί ξμόοοξπη οξπή με ςη ρσμξλική οξπή ςχμ δσμάμεχμ 1F και 2F .

Για ςα μέςοα ςχμ οξπώμ ςχμ δσμάμεχμ F και F έυξσμε αμςίρςξιυα:

( )F F

2 2

( )F 2F F

2 2

Για ςξ μέςοξ ςηπ ρσμξλικήπ οξπήπ ςχμ δσμάμεχμ 1F και 2F έυξσμε:

12 12

( ) ( )F F F

2 2

Δπξμέμχπ, η δύμαμη πξσ ποέπει μα αρκηθεί ρςξ ρςεοεό για μα ιρξοοξπεί είμαι η δύμαμη

F , επειδή αρκεί αμςίθεςη οξπή από ςη ρσμξλική οξπή ςχμ δσμάμεχμ 1F και 2F .

Α Β

Γ Δ

1F

2F

αF

βF

γF

Κ

12τ

βτ

γτ

ατ

17

Δρώτηση 12.

Η αβαοήπ δξκόπ ΑΒ ςξσ ρυήμαςξπ (α) ρςηοίζεςαι ρε έμα ρημείξ ςηπ Ο και ιρξοοξπεί όςαμ

ρςα άκοα ςηπ Α και Β ςξπξθεςηθξύμ δύξ μικοά ρώμαςα και 1 με μάζεπ m και 1m .

Αμ η απόρςαρη (ΟA) είμαι ίρη με ςξ 1

3 ςηπ απόρςαρηπ (ΑΒ), ξ λόγξπ

1

m

m είμαι ίρξπ με

α) 1.

β) 2 .

γ) 1

2.


Λύρη


Δπειδή ςα ρώμαςα ιρξοοξπξύμ πάμχ ρςη δξκό, ςηπ αρκξύμ δσμάμειπ ίρεπ με ςα αμςίρςξιυα βάοη ςξσπ. ςξ ρυήμα ταίμξμςαι ξι δσμάμειπ πξσ αρκξύμ οξπή ρςη δξκό, χπ ποξπ ςξ ρημείξ Ο:

Δπειδή η δξκόπ ιρξοοξπεί ιρυύει 0 . Ωπ ποξπ ςξ ρημείξ Ο έυξσμε:

1 10 w(OA) w (OB) (1)

18

Όμχπ 1

(OA) (OB) (AB) (OA) (AB)3

. Από ςξ ρσμδσαρμό ςχμ δύξ ρυέρεχμ

ποξκύπςει (OB) 2 (OA)

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) ποξκύπςει:

1

1

mmg(OA) m g2(OA) 2

m

19

Δρώτηση 13.

Από ςξ καμόμι Κ εκςξνεύεςαι ξοιζόμςια έμα βλήμα Β. Σξ βλήμα, ακξλξσθώμςαπ

παοαβξλική ςοξυιά, τςάμει ρςξ έδατξπ. Αγμξώμςαπ ςημ επίδοαρη ςξσ αέοα, και

θεχοώμςαπ ςξ βλήμα ελεύθεοξ ρςεοεό, ςξ ρυήμα πξσ δείυμει ρχρςά ςξμ ςοόπξ με ςξμ

ξπξίξ ςξ βλήμα ρσμαμςά ςξ έδατξπ είμαι:

α) ςξ ρυήμα α.

β) ςξ ρυήμα β.

γ) ςξ ρυήμα γ.


Λύρη


Σξ βλήμα χπ ελεύθεοξ ρςεοεό μπξοεί μα πεοιρςοατεί μόμξ γύοχ από άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ ςξσ. Από ςη ρςιγμή πξσ ςξ βλήμα Β τεύγει από ςξ

Κ

Β

Β

Κ

Β

Β

Κ

Β

Β

(α)

(β)

(γ)

20

καμόμι, μέυοι μα τςάρει ρςξ έδατξπ, η μόμη δύμαμη πξσ αρκείςαι πάμχ ςξσ είμαι ςξ βάοξπ ςξσ. Δπειδή ξ τξοέαπ ςξσ βάοξσπ πεομά από ςξ κέμςοξ μάζαπ ςξσ βλήμαςξπ δεμ αρκεί οξπή, επξμέμχπ δε μπξοεί μα ςξ ρςοέφει. Ατξύ ρςξ βλήμα δεμ αρκξύμςαι οξπέπ ικαμέπ μα ςξ ρςοέφξσμ, θα τςάρει ρςξ έδατξπ με ςξμ αουικό ποξραμαςξλιρμό ςξσ, εκςελώμςαπ μόμξ μεςατξοική κίμηρη.

21

Δρώτηση 14.

ςξ ρυήμα ταίμεςαι μια καςαδύςοια ρε διάτξοεπ τάρειπ ςηπ καςάδσρήπ ςηπ.

Η ρςοξτξομή ςηπ καςαδύςοιαπ:

α) είμαι μεγαλύςεοη ρςη θέρη Α.

β) είμαι μεγαλύςεοη ρςη θέρη Β.

γ) ρςιπ θέρειπ Α και Β είμαι ίρη.


Λύρη


Καςά ςημ κίμηρη ςηπ καςαδύςοιαπ ρςξμ αέοα, μξμαδική ενχςεοική δύμαμη είμαι ςξ βάοξπ

ςηπ, ςξ ξπξίξ, επειδή διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ, δε δημιξσογεί οξπή. Όμχπ, όςαμ η

ρσμξλική οξπή πξσ δέυεςαι έμα ρώμα είμαι μηδέμ η ρςοξτξομή ςξσ διαςηοείςαι ρςαθεοή.

Δπξμέμχπ, η ρςοξτξομή ςηπ καςαδύςοιαπ διαςηοείςαι ρε όλη ςη διάοκεια ςηπ κίμηρηπ,

μέυοι ςημ επατή με ςξ μεοό. Άοα, η ρςοξτξομή ςηπ καςαδύςοιαπ είμαι ίρη ρςιπ θέρειπ Α

και Β.

Β

Α

22

Δρώτηση 15.

Ο δίρκξπ ςξσ ρυήμαςξπ πεοιρςοέτεςαι υχοίπ ςοιβέπ γύοχ από καςακόοστξ ακλόμηςξ

άνξμα πξσ πεομά από ςξ κέμςοξ ςξσ. Από μικοό ύφξπ ατήμξσμε έμα κξμμάςι

πλαρςελίμηπ μα πέρει και μα κξλλήρει πάμχ ρςξ δίρκξ. Σξ ρσρρχμάςχμα δίρκξσ –

πλαρςελίμηπ πξσ ποξκύπςει πεοιρςοέτεςαι ρε ρυέρη με ςξ δίρκξ

α) πιξ αογά.

β) με ςημ ίδια γχμιακή ςαυύςηςα.

γ) πιξ γοήγξοα.


Λύρη


Η ρσμξλική ενχςεοική οξπή ρςξ ρύρςημα δίρκξπ – πλαρςελίμη είμαι μηδέμ, επξμέμχπ η ρςοξτξομή ςξσ ρσρςήμαςξπ παοαμέμει ρςαθεοή:

L L II

Δπειδή η επικόλληρη ςηπ πλαρςελίμηπ ασνάμει ςη οξπή αδοάμειαπ, θα ιρυύει

I , επξμέμχπ .

23

Δρώτηση 16.

Σα παοακάςχ ρυήμαςα δείυμξσμ ςη ρςοξτξομή ςηπ Γηπ, λόγχ ςηπ πεοιρςοξτήπ ςηπ

γύοχ από ςξμ εασςό ςηπ (spin) ρε δύξ θέρειπ, ρςξ πεοιήλιξ (μικοόςεοη απόρςαρη από

ςξμ Ήλιξ) και ρςξ ατήλιξ (μεγαλύςεοη απόρςαρη από ςξμ Ήλιξ) ςηπ ςοξυιάπ ςηπ γύοχ

από ςξμ Ήλιξ.

Σξ ρυήμα ρςξ ξπξίξ έυει ρυεδιαρςεί ρχρςά η ρςοξτξομή είμαι:

α) ςξ ρυήμα α.

β) ςξ ρυήμα β.

γ) ςξ ρυήμα γ.


Λύρη


Η ελκςική δύμαμη πξσ δέυεςαι η Γη από ςξμ Ήλιξ έυει τξοέα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ, άοα δε δημιξσογεί οξπή.

Η ρςοξτξομή ςηπ Γηπ λόγχ ςηπ πεοιρςοξτήπ ςηπ γύοχ από ςξμ εασςό ςηπ παοαμέμει

ρςαθεοή καςά μέςοξ, διεύθσμρη και τξοά, ατξύ καμία οξπή δεμ ςηπ αρκείςαι. Σξ ρυήμα

ρςξ ξπξίξ ρσμβαίμει ασςό είμαι ςξ ρυήμα (α).

(α) (β) (γ)

24

Δρώτηση 17.

Πεςάμε μια μπάλα ςξσ μπάρκες καςακόοστα ποξπ ςα πάμχ με ςέςξιξ ςοόπξ, ώρςε ασςή μα πεοιρςοέτεςαι καθώπ αμέουεςαι. ςξ υοξμικό διάρςημα πξσ η μπάλα αμέουεςαι, η γχμιακή ςηπ ςαυύςηςα

α) ασνάμεςαι.

β) μειώμεςαι.

γ) παοαμέμει ρςαθεοή.


Λύρη


Η μπάλα είμαι έμα ελεύθεοξ ρςεοεό και αμεουόμεμη θα πεοιρςοέτεςαι γύοχ από άνξμα

πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ. Η μόμη δύμαμη πξσ αρκείςαι ρςη μπάλα, ατξύ

υάρει ςημ επατή με ςξ υέοι, είμαι ςξ βάοξπ ςηπ, ςξ ξπξίξ έυει ρημείξ εταομξγήπ ςξ

κέμςοξ μάζαπ και δεμ μπξοεί μα ποξκαλέρει οξπή. Ατξύ η ρσμξλική οξπή πξσ αρκείςαι

ρςη μπάλα είμαι μηδέμ, η γχμιακή ςηπ ςαυύςηςα θα παοαμέμει ρςαθεοή ρε όλη ςη

διάοκεια ςηπ κίμηρήπ ςηπ.

25

Δρώτηση 18.

Έμαπ ςοξυόπ πεοιρςοέτεςαι γύοχ από ρςαθεοό άνξμά. Η κιμηςική εμέογεια ςξσ ςοξυξύ

είμαι . Αμ διπλαριάρξσμε ςη ρςοξτξομή ςξσ ςοξυξύ, ςόςε η κιμηςική ςξσ εμέογεια θα

γίμει

α) 2 .

β) 4 .

γ) 8 .


Λύρη


Η ρςοξτξομή εμόπ ρςεοεξύ χπ ποξπ ρςαθεοό άνξμα δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: L I .

Η κιμηςική εμέογεια λόγχ ρςοξτικήπ κίμηρηπ δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: 21

K I2

.

Με ποάνειπ έυξσμε:

2 2 221 1 I L

K I K K2 2 I 2I

2 2 2L' (2L) LK ' K ' K ' 4

2I 2I 2I K' 4K

26

Δρώτηση 19.

Έμαπ ςοξυόπ κσλίεςαι καςά μήκξπ πλάγιξσ επιπέδξσ. Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ςοξυξύ χπ

ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: 22

I MR3

. Ο λόγξπ ςηπ

κιμηςικήπ εμέογειαπ λόγχ μεςατξοικήπ κίμηρηπ ποξπ ςημ κιμηςική εμέογεια λόγχ

ρςοξτικήπ κίμηρηπ ςξσ ςοξυξύ, K

, ιρξύςαι με

α) 3

2.

β) 2

3.

γ) 1.


Λύρη


Δπειδή ξ ςοξυόπ κσλίεςαι ιρυύει: cm R . Δπξμέμχπ:

22 2cm

2 2 2

1MK K M R21 2

I MR2 3

K 3

2

27

Δρώτηση 20.

Ο άνξμαπ ςξσ αουικά ακίμηςξσ ξμξγεμή ςοξυξύ ςξσ ρυήμαςξπ (α) είμαι ακλόμηςξπ. Γύοχ από ςξμ ςοξυό έυει ςσλιυθεί πξλλέπ τξοέπ αβαοέπ μήμα, ςξ ξπξίξ δεμ ξλιρθαίμει πάμχ

ρςξμ ςοξυό. ςημ ελεύθεοη άκοη ςξσ μήμαςξπ αρκείςαι ρςαθεοή δύμαμη F , η ξπξία

ποξρτέοει ρςξμ ςοξυό έογξ W και μεςά καςαογείςαι. ςξ ρυήμα (β) έμαπ ίδιξπ αουικά

ακίμηςξπ ςοξυόπ κσλίεςαι σπό ςημ επίδοαρη ςηπ ίδιαπ ρςαθεοήπ δύμαμηπ F , η ξπξία

ποξρτέοει ρςξμ ςοξυό ςξ ίδιξ έογξ W όπχπ και ρςη πεοίπςχρη (α) και μεςά

καςαογείςαι. Η γχμιακή ςαυύςηςα, μόλιπ καςαογηθεί η δύμαμη F , είμαι:

α) μεγαλύςεοη ρςξμ ςοξυό α.

β) μεγαλύςεοη ρςξμ ςοξυό β.

γ) ίρη ρςξσπ δύξ ςοξυξύπ.


Λύρη


Η κιμηςική εμέογεια ςξσ ςοξυξύ (α) δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: 21

K2

.

Η κιμηςική εμέογεια ςξσ ςοξυξύ (β) δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: 2 2

cm

1 1K M

2 2 .

ύμτχμα με ςημ εκτώμηρη, ςξ έογξ W και ρςιπ δύξ πεοιπςώρειπ είμαι ςξ ίδιξ. ςη β΄

πεοίπςχρη ςξ έογξ μξιοάζεςαι ρε ρςοξτική και μεςατξοική κιμηςική εμέογεια, εμώ ρςημ

α΄ πεοίπςχρη γίμεςαι όλξ ρςοξτική, επξμέμχπ ιρυύει:

2 21 1I I

2 2 .

F

F

(α) (β)

28

Δρώτηση 21.

Δύξ ρςεοεά Α και Β ρςοέτξμςαι γύοχ από ρςαθεοό άνξμα με κξιμή γχμιακή επιςάυσμρη

μέςοξσ a . Ο λόγξπ ςχμ μέςοχμ ςηπ ρςοξτξομήπ ςξσ ρςεοεξύ Α ποξπ ςη ρςοξτξομή ςξσ

Β χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ κάπξια υοξμική ρςιγμή 1t είμαι 1

2

L2

L . Δκείμη ςη

υοξμική ρςιγμή, ξ λόγξπ 1

2

P

P ςηπ ιρυύξπ ςηπ οξπήπ πξσ επιςαυύμει ςξ ρςεοεό Α ποξπ ςημ

ιρυύ ςηπ οξπήπ πξσ επιςαυύμει ςξ ρςεοεό Β είμαι:

α) 1

2.

β) 1.

γ) 2 .


Λύρη


Δπειδή P και L I έυξσμε:

1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

aP P P P L

P P a P P L

1

2

P2

P

29

Δρώτηση 22.

Σξ ρταιοίδιξ ςξσ ρυήμαςξπ διαγοάτει κσκλική ςοξυιά με ρςαθεοή γχμιακή ςαυύςηςα

ακςίμαπ R. Σξ ρκξιμί ρςξ ξπξίξ είμαι δεμέμξ ςξ ρταιοίδιξ πεομάει από καςακόοστξ

ρχλήμα ΚΛ.

Αρκώμςαπ καςάλληλη δύμαμη ρςξ ελεύθεοξ άκοξ Α ςξσ ρκξιμιξύ μειώμξσμε ςημ ακςίμα

πεοιρςοξτήπ ςξσ ρταιοιδίξσ ρςη μιρή ςηπ αουικήπ. Σξ ρταιοίδιξ θα πεοιρςοέτεςαι:

α) πιξ γοήγξοα.

β) πιξ αογά.

γ) ςξ ίδιξ γοήγξοα με ποιμ.


Λύρη


Δπειδή η ςάρη ςξσ μήμαςξπ, πξσ λειςξσογεί χπ κεμςοξμόλξπ δύμαμη για ςξ ρταιοίδιξ,

έυει τξοέα πξσ διέουεςαι από ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ, δεμ αρκεί οξπή, επξμέμχπ η

ρςοξτξομή ςξσ ρταιοιδίξσ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ διαςηοείςαι:

RL L L L m R m 2

2

R2 R 4

2

Άοα θα κιμείςαι πιξ γοήγξοα.

F

30

Δρώτηση 23.

ώμα αουίζει μα πεοιρςοέτεςαι ςη υοξμική ρςιγμή t 0 , σπό ςημ επίδοαρη ρςαθεοήπ

οξπήπ. Ση υοξμική ρςιγμή 1t η κιμηςική ςξσ εμέογεια, λόγχ πεοιρςοξτήπ, είμαι 1 .Ση

υοξμική ρςιγμή 13t η κιμηςική ςξσ εμέογεια, λόγχ πεοιρςοξτήπ, θα είμαι:

α) η ίδια.

β) ςοιπλάρια.

γ) εμμιαπλάρια.


Λύρη


Η Κιμηςική εμέογεια λόγχ πεοιρςοξτήπ δίμεςαι από ςη ρυέρη 21

K I2

(1).

Δπειδή η οξπή είμαι ρςαθεοή η επιςάυσμρη θα είμαι ρςαθεοή (Νόμξπ ρςοξτικήπ κίμηρηπ).

Δπειδή η αουική γχμιακή ςαυύςηςα είμαι ίρη με μηδέμ, ιρυύει όςι t , καςά

ρσμέπεια όςαμ ξ υοόμξπ ςοιπλαριαρθεί η γχμιακή ςξσ ςαυύςηςα θα ςοιπλαριαρθεί.

1

2 1

t3 (2)

t 3 t

Από ςιπ ρυέρειπ (1) και (2) ρσμπεοαίμξσμε όςι η κιμηςική ςξσ εμέογεια θα

εμμιαπλαριαρθεί.

2

2 21 1 1K I I 3 9 I K 9K

2 2 2

31

Δρώτηση 24.

Σξ μξλύβι ςξσ ρυήμαςξπ μπξοεί μα κιμείςαι ελεύθεοα

πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ ςοαπέζι. Αρκξύμε ςημ ίδια δύμαμη

F δύξ τξοέπ, μία ρςξ άκοξ Α και μία ρςξ μέρξ Μ. Σξ

κέμςοξ μάζαπ ςξσ μξλσβιξύ θα διαμύρει ςξ μήκξπ ςξσ

ςοαπεζιξύ

α. ρε μικοόςεοξ υοόμξ όςαμ η δύμαμη αρκείςαι ρςξ μέρξμ Μ.

β. ρε μικοόςεοξ υοόμξ όςαμ η δύμαμη αρκείςαι ρςξ άκοξ Α.

γ. ρςξμ ίδιξ υοόμξ και ρςιπ δύξ πεοιπςώρειπ.

Να αιςιξλξγήρεςε ςημ επιλξγή ραπ.

Λύρη

χρςή ποόςαρη είμαι η (γ).

Για ςη μελέςη ςηπ μεςατξοικήπ κίμηρηπ εμόπ ρώμαςξπ θεχοξύμε όςι ξι δσμάμειπ

αρκξύμςαι ρςξ κέμςοξ μάζαπ. Έςρι, ρςιπ δύξ πεοιπςώρειπ ςξ κέμςοξ μάζαπ δέυεςαι ςημ

ίδια ρσμιρςαμέμη δύμαμη, cmΣF F , ξπόςε θα απξκςήρει και ςημ ίδια

επιςάυσμρη, cmα F / m . σμεπώπ διαμύει ςημ ίδια απόρςαρη ρςξμ ίδιξ υοόμξ,

2

cm cm

1Γx α t

2 .

32

Δρώτηση 25.

ε κεκλιμέμξ επίπεδξ ατήμεςαι ελεύθεοη ξμξγεμήπ ρταίοα μάζαπ m και ακςίμαπ R. Η

ρταίοα καςέουεςαι κσλιόμεμη (υχοίπ ξλίρθηρη) ρςξ πλάγιξ επίπεδξ. Η οξπή αδοάμειαπ

ςηπ ρταίοαπ χπ ποξπ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ ςηπ σπξλξγίζεςαι από ςημ

ρυέρη 22

I mr5

. ε κάθε θέρη ςξσ κεκλιμέμξσ επιπέδξσ η κιμηςική ςηπ εμέογεια λόγχ

ςηπ μεςατξοικήπ κίμηρήπ ςηπ είμαι ίρη με

α. ςξ 1/2 ςηπ ρσμξλικήπ κιμηςικήπ εμέογειαπ πξσ έυει ρςημ θέρη ασςή.

β. ςα 2/7 ςηπ ρσμξλικήπ κιμηςικήπ εμέογειαπ πξσ έυει ρςημ θέρη ασςή.

γ. ςα 5/7 ςηπ ρσμξλικήπ κιμηςικήπ εμέογειαπ πξσ έυει ρςημ θέρη ασςή.


Λύρη

Ο λόγξπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ λόγχ μεςατξοικήπ κίμηρηπ ποξπ ςημ κιμηςική εμέογεια

λόγχ ρςοξτικήπ κίμηρηπ είμαι ίρξπ με:

22cm

μετ cmστρ μετ

2 2 2στρ

1mυK mυ 5 22 K K

1 2K 2 5Iω mr ω

2 5

Όμχπ η ρσμξλική εμέογεια είμαι:

μετ στρ μετ μετ

7 5E K K E K K E

5 7

33

Δρώτηση 26.

Έμαπ αθληςήπ καςαδύρεχμ καςά ςημ εκςέλερη εμόπ άλμαςξπ καςάτεοε ρσμπςύρρξμςαπ

ςα άκοα ςξσ μα μειώρει ςημ οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρςξ μιρό ςηπ αουικήπ ςιμήπ ςηπ. Η

μεςαβξλή ασςή είυε χπ ρσμέπεια η κιμηςική ςξσ εμέογεια λόγχ ρςοξτικήπ κίμηρηπ μα

α. διπλαριαρςεί.

β. παοαμείμει ρςαθεοή.

γ. ςεςοαπλαριαρςεί.


Λύρη

χρςή ποόςαρη είμαι η (α).

Ο αθληςήπ ρςη διάοκεια ςξσ άλμαςξπ μπξοεί μα θεχοηθεί έμα ελεύθεοξ ρςεοεό. Σα

ελεύθεοα ρςεοεά πεοιρςοέτξμςαι γύοχ από άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ

ςξσπ. Η μόμη δύμαμη πξσ αρκείςαι ρςξμ αθληςή είμαι ςξ βάοξπ ςξσ, ςξσ ξπξίξσ η οξπή

χπ ποξπ ςξ κέμςοξ μάζαπ ςξσ είμαι ίρη με μηδέμ, με ρσμέπεια καςά ςημ εκςέλερη ςξσ

άλμαςξπ η ρςοξτξομή (L) ςξσ αθληςή μα διαςηοείςαι ρςαθεοή.

Η ρυέρη ςηπ ρςοξτικήπ κιμηςικήπ εμέογειαπ γοάτεςαι:

2 2 22

στρ στρ

1 1 I ω LK Iω K

2 2 I 2I

ύμτχμα με ςημ ςελεσςαία ρυέρη, ατξύ ξ αοιθμηςήπ διαςηοείςαι ρςαθεοόπ και ξ

παοξμξμαρςήπ σπξδιπλαριάζεςαι η στρK διπλαριάζεςαι.

34

Δρώτηση 27.

Η ξμξγεμήπ οάβδξπ ςξσ ρυήμαςξπ

έυει βάοξπ w και ιρξοοξπεί ξοιζόμςια

ρςηοιζόμεμη ρςξ μέρξ ςηπ.

Κόβξσμε ςξ έμα ςέςαοςξ ςηπ οάβδξσ

και ςξ ςξπξθεςξύμε όπχπ ρςξ ρυήμα.

Χχοίπ μα αλλάνξσμε ςη θέρη ςξσ

ρςηοίγμαςξπ, για μα ιρξοοξπήρει η

οάβδξπ πάλι, ποέπει μα αρκήρξσμε

ρςξ αοιρςεοό άκοξ μια δύμαμη καςακόοστη

α ποξπ ςα πάμχ μέςοξσ w /4.

β ποξπ ςα πάμχ μέςοξσ w/8.

γ. ποξπ ςα κάςχ μέςοξσ w/8.


Λύρη

χρςή ποόςαρη είμαι η (β).

Η οξπή ςξσ βάοξσπ ςξσ αοιρςεοξύ ςμήμαςξπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ ςξ ρςήοιγμα (μέρξ Μ)

παοαμέμει ρςαθεοή ρςιπ δύξ πεοιπςώρειπ και ίρη καςά μέςοξ με 1

w Lτ

2 4

ςξ δενιό ςμήμα ςηπ οάβδξσ, ρςημ δεύςεοη πεοίπςχρη, η οξπή χπ ποξπ ςξ Μ έυει μέςοξ

2

w Lτ

2 8

Από ασςέπ ςιπ δύξ ρυέρειπ ποξκύπςει πχπ καςά μέςοξ έυξσμε 1 2τ 2 τ

Για μα ιρξοοξπήρει η οάβδξπ θα ποέπει ρςξ αοιρςεοό άκοξ ςηπ μα αρκηθεί καςακόοστη

δύμαμη με οξπή χπ ποξπ ςξ Μ ίδιαπ τξοάπ με ασςήμ ςηπ ς2 και μέςοξσ

w L w L w L

2 4 2 8 2 8

Άοα, F

L w L L wτ F F F

2 2 8 2 8

35

Δρώτηση 28.

O δίρκξπ και o δακςύλιξπ ςξσ ρυήμαςξπ είμαι

αουικά ακίμηςξι και έυξσμ ίρεπ μάζεπ και ίρεπ

ακςίμεπ. Με ςη βξήθεια μημάςχμ πξσ είμαι

ςσλιγμέμα ρςιπ πεοιτέοειέπ ςξσπ αρκξύμε

εταπςξμεμικά ςημ ίδια δύμαμη F μέυοι μα

νεςσλιυςεί μήμα ίδιξσ μήκξσπ d και ρςα δύξ

ρώμαςα.

Για ςξ πηλίκξ 1

2

ω

ω ςχμ γχμιακώμ ςαυσςήςχμ πξσ θα απξκςήρξσμ ξ δίρκξπ και ξ

δακςύλιξπ αμςίρςξιυα, ιρυύει

α. 1

2

ω1

ω

β. 1

2

ω1

ω

γ. 1

2

ω1

ω


Λύρη

χρςή απάμςηρη είμαι η (β).

Δπειδή νεςσλίυςηκε μήμα ίδιξσ μήκξσπ, ςξ έογξ ςηπ δύμαμηπ είμαι ίδιξ και ρςα δύξ

ρώμαςα.

Με βάρη ςξ Θ.Μ.Κ.Δ. έυξσμε:

τελ αρχ F τελK K W K F d , άοα και ςα δύξ ρώμαςα απξκςξύμ ίρεπ κιμηςικέπ

ρςοξτικέπ εμέογειεπ.

Σα δύξ ρώμαςα έυξσμ ίδιεπ μάζεπ και ίδιεπ ακςίμεπ. Ο δακςύλιξπ έυει όλη ςη μάζα ςξσ

ρσγκεμςοχμέμη ρε απόρςαρη R, εμώ ξ δίρκξπ ρε διάτξοεπ απξρςάρειπ και έμα πξλύ

μικοό ςηπ ςμήμα ρε απόρςαρη R . Άοα ξ δακςύλιξπ έυει μεγαλύςεοη οξπή αδοάμειαπ από

ςξ δίρκξ, 1 2I I .

Από ςη ρυέρη ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ 21

K Iω2

εύκξλα ποξκύπςει όςι 1 2ω ω .

36

Δρώτηση 29.

O δίρκξπ και o δακςύλιξπ ςξσ ρυήμαςξπ είμαι

αουικά ακίμηςξι και έυξσμ ίρεπ μάζεπ και ίρεπ

ακςίμεπ. Με ςη βξήθεια μημάςχμ πξσ είμαι

ςσλιγμέμα ρςιπ πεοιτέοειέπ ςξσπ αρκξύμε

εταπςξμεμικά ςημ ίδια δύμαμη F μέυοι μα

νεςσλιυςεί μήμα ίδιξσ μήκξσπ d και ρςα δύξ

ρώμαςα. Σξ πηλίκξ ςχμ κιμηςικώμ εμεογειώμ

1

2

K

K πξσ θα απξκςήρξσμ ξ δίρκξπ και ξ δακςύλιξπ αμςίρςξιυα είμαι

α. 1

β. 1

2

γ. 2


Λύρη


Δπειδή νεςσλίυςηκε μήμα ίδιξσ μήκξσπ , ςξ έογξ ςηπ δύμαμηπ είμαι ίδιξ και ρςα δύξ

ρώμαςα FW F d .

Με βάρη ςξ Θ.Μ.Κ.Δ. έυξσμε:

τελ αρχ F τελK K W K F d , άοα και ςα δύξ ρώμαςα απξκςξύμ ίρεπ κιμηςικέπ

ρςοξτικέπ εμέογειεπ.

37

Δρώτηση 30.

Η γη πεοιρςοέτεςαι γύοχ από ςξμ ήλιξ ρε ελλειπςική

ςοξυιά και η μόμη δύμαμη πξσ δέυεςαι είμαι η δύμαμη

βαούςηςαπ από ασςόμ. Αμ η μέγιρςη (ατήλιξ) και η

ελάυιρςη (πεοιήλιξ) απόρςαρη ςηπ γηπ από ςξμ ήλιξ καςά ςη

διάοκεια ςηπ ελλειπςικήπ ςηπ ςοξυιάπ ικαμξπξιξύμ ςη ρυέρη

max minr 4r , ςόςε η κιμηςική ςηπ εμέογεια όςαμ βοίρκεςαι ρςξ ατήλιξ (Κα) και η κιμηςική

ςηπ εμέογεια όςαμ βοίρκεςαι ρςξ πεοιήλιξ (Κπ) ικαμξπξιξύμ ςη ρυέρη

α. π αΚ 16Κ .

β. π αΚ 4Κ .

γ. π αΚ Κ .


Λύρη


Η βαοσςική δύμαμη είμαι δύμαμη κεμςοική, δηλαδή έυει τξοέα πξσ διέουεςαι από ςξ

κέμςοξ ςηπ ςοξυιά ςηπ και από ςξμ Ήλιξ. Οπόςε ρε ασςήμ κίμηρη ςηπ Γηπ η ρσμξλική

οξπή χπ ποξπ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ ςηπ ςοξυιάπ ςηπ είμαι ίρη με μηδέμ (ς

= 0) με ρσμέπεια η ρςοξτξομή ςηπ μα διαςηοείςαι ρςαθεοή.

Θεχοώμςαπ ςη Γη χπ σλικό ρημείξ ρε ρυέρη με ςξμ Ήλιξ έυξσμε:

2 2 2 2

π α π π α α π π α α π π α πL L mυ r mυ r mω r mω r ω r 16ω r

π αω 16ω

Η ρυέρη ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ γοάτεςαι:

2 2 21 1K mυ mr ω

2 2 , ξπόςε ξ λόγξπ ςχμ κιμηςικώμ εμεογειώμ θα είμαι:

2 22 2 2π π

π π α

2 22 2α π αα α

1mr ω

K r 16 ω2 161K 16r ω

mr ω2

.

38

Δρώτηση 31.

Ο αουικά ακίμηςξπ ξοιζόμςιξπ δίρκξπ ςξσ διπλαμξύ ρυήμαςξπ, μάζαπ Μ και ακςίμαπ R,

μπξοεί μα πεοιρςοέτεςαι υχοίπ ςοιβέπ γύοχ από ακλόμηςξ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ

κέμςοξ ςξσ και είμαι κάθεςξπ ρςξ επίπεδό ςξσ. Μέρχ μήμαςξπ πξσ νεςσλίγεςαι υχοίπ μα

ξλιρθαίμει με ςξ δίρκξ, αρκείςαι εταπςξμεμικά ρςημ πεοιτέοειά ςξσ ρςαθεοή ξοιζόμςια

δύμαμη F.

Όςαμ ξ δίρκξπ απξκςά κιμηςική εμέογεια Κ1, η ρςιγμιαία ιρυύπ ςηπ δύμαμηπ F ιρξύςαι με

Ρ1. Η ρςιγμιαία ιρυύπ ςηπ δύμαμηπ F, θα διπλαριαρςεί όςαμ η κιμηςική εμέογεια ςξσ

δίρκξσ ασνηθεί καςά

α. 1Κ .

β. 12Κ .

γ. 13Κ .


Λύρη

χρςή είμαι η (γ).

Για ςη ρςιγμιαία ιρυύ ςηπ F ρςη ρςοξτική κίμηρη ιρυύει FΡ τ ω .

Η οξπή ςηπ F είμαι ρςαθεοή και ίρη με Fτ F R , ξπόςε για μα διπλαριαρςεί η ιρυύπ Ρ

αοκεί μα διπλαριαρςεί η γχμιακή ςαυύςηςα χ.

Από ςη ρυέρη ςηπ ρςοξτικήπ κιμηςικήπ εμέογειαπ, 21

K Iω2

, ποξκύπςει όςι όςαμ

διπλαριάζεςαι η γχμιακή ςαυύςηςα η κιμηςική εμέογεια ςεςοαπλαριάζεςαι.

Άοα, 2 1Κ 4Κ και η ζηςξύμεμη αύνηρη ςηπ κιμηςικήπ εμέογεια είμαι 13Κ .

39

Δρώτηση 32.

Σξ γιξ - γιξ ςξσ ρυήμαςξπ απξςελείςαι από έμα μικοό κύλιμδοξ

μάζαπ Μ και ακςίμαπ R, ρςξ κσοςό μέοξπ ςξσ ξπξίξσ έυει

ςσλιυςεί πξλλέπ τξοέπ έμα αβαοέπ μήμα.

Κοαςώμςαπ ςξ ελεύθεοξ άκοξ ςξσ μήμαςξπ και ατήμξμςαπ ςξμ

κύλιμδοξ ελεύθεοξ, ςξ μήμα νεςσλίγεςαι και ξ κύλιμδοξπ

καςεβαίμει πεοιρςοετόμεμξπ γύοχ από έμα μξηςό ξοιζόμςιξ

άνξμα x 'x πξσ ςασςίζεςαι με ςξμ άνξμα ρσμμεςοίαπ ςξσ. Αμ η

ςαυύςηςα ςξσ κέμςοξσ μάζαπ είμαι cmυ , ςόςε η ςαυύςηςα ςξσ

ρημείξσ Α, ςξ ξπξίξ βοίρκεςαι ρςημ επιτάμεια ςξσ κσλίμδοξσ, είμαι

α. cmυ

β. cm2υ

γ. 0


Λύρη

χρςή ποόςαρη είμαι η (β).

Κοαςώμςαπ ακίμηςξ ςξ άκοξ ςξσ μήμαςξπ ( Βυ 0 ) ξ κύλιμδοξπ κιμείςαι ποξπ ςα κάςχ

κάμξμςαπ κύλιρη υχοίπ ξλίρθηρη, για ςημ ξπξία θα ιρυύει cmυ ω R . ε κάθε ρημείξ

ςξσ κσλίμδοξσ η ςαυύςηςα θα ποξκύπςει από ςημ διαμσρμαςική ποόρθερη ςηπ

ρσμιρςώραπ ςαυύςηςαπ λόγχ μεςατξοικήπ κίμηρηπ ( cmυ ) και ςηπ γοαμμικήπ

(εταπςξμεμικήπ) ρσμιρςώραπ ςαυύςηςαπ λόγχ ρςοξτικήπ κίμηρηπ ( γρυ ω R ), δηλαδή

θα ιρυύει cm γρυ υ υ . ςξ ρημείξ Α ξι δύξ ρσμιρςώρεπ ςαυύςηςεπ έυξσμ ςημ ίδια τξοά

ξπόςε Α cmυ 2 υ .

40

Δρώτηση 33.

Ο δίρκξπ ςξσ ρυήμαςξπ, με ακςίμα R, κσλίεςαι (υχοίπ μα ξλιρθαίμει) ρε ξοιζόμςιξ επίπεδξ

και η ςαυύςηςα ςξσ κέμςοξσ μάζαπ ςξσ Κ είμαι σcm. Σξ ρημείξ Α ςξσ δίρκξσ, πξσ ταίμεςαι

ρςξ παοακάςχ ρυήμα, έυει ςαυύςηςα με μέςοξ

α. cmυ

β. cm2υ

γ. cm3 / 2 υ


Λύρη

χρςή απάμςηρη είμαι η (α).

Σξ ρημείξ Α ςξσ δίρκξσ έυει γοαμμική ςαυύςηςα σγο,Α, η ξπξία έυει μέςοξ ίρξ με ςη σcm.

Για μα βοξύμε ςη ρσμξλική ςαυύςηςα ςξσ ρημείξσ Α, σΑ , θα βοξύμε ςη ρσμιρςαμέμη ςχμ

δύξ ςαυσςήςχμ σcm και σγο,Α. Οι δύξ επιμέοξσπ ςαυύςηςεπ ρυημαςίζξσμ γχμία θ, πξσ

ιρξύςαι με 1200, γιαςί ςα δύξ ςοίγχμα πξσ ρυημαςίζξμςαι ρςξ παοαλληλόγοαμμξ είμαι

ιρόπλεσοα. Έςρι έυξσμε

2 2 0

Α cm γρ,Α cm γρ,Αυ υ υ 2 υ υ συν120

2 2 2

cm cm cm cm cm cm

1υ υ 2 υ υ υ υ

2

41

Δρώτηση 34.

∆ύξ ίδιεπ ξμξγεμείπ οάβδξι μήκξσπ και μάζαπ m, είμαι εμχμέμεπ, όπχπ ταίμεςαι ρςξ

ρυήμα και ςξ ρύρςημά ςξσπ μπξοεί μα πεοιρςοέτεςαι γύοχ από ςημ άοθοχρη Α ρε

καςακόοστξ επίπεδξ. Αμ g η επιςάυσμρη ςηπ βαούςηςαπ, ςξ μέςοξ ςηπ ρσμξλικήπ οξπήπ

πξσ δέυεςαι ςξ ρύρςημα ςχμ οάβδχμ είμαι

α. 5mg

3 .

β. 7mg

4 .

γ. 2mg .


Λύρη


Οι οάβδξι έυξσμ ίρα βάοη, με μξυλξβοαυίξμεπ χπ ποξπ ςξ Α, ςα εσθύγοαμμα ςμήμαςα ΑΚ

και ΔΓ αμςίρςξιυα. Άοα

w w

0 l 5 7mgmg mg 60 mg mg mg mg

2 2 2 2 2 2 4 4

.

42

Δρώτηση 35.

Mία ξμξγεμήπ οάβδξπ μήκξσπ και βάοξσπ w, είμαι αοθοχμέμη ρςξ άκοξ ςηπ Α και ςξ

ρκξιμί είμαι δεμέμξ ρε απόρςαρη 3 4 από ςξ Α. Σξ ρύρςημα ιρξοοξπεί με ςη οάβδξ ρε

ξοιζόμςια θέρη. Η δύμαμη F πξσ αρκείςαι ρςη οάβδξ από ςημ άοθοχρη έυει μέςοξ ίρξ με

α. 2w

3

β. w

3

γ. w

2


Λύρη


Σξ ρύρςημα ιρξοοξπεί, άοα θα ιρυύει ΣF 0 και (Α)Στ 0 .

Η ποώςη ρυέρη δίμει

F T w (1)

και η δεύςεοη

Τ A Β A

3 2τ τ 0 Τ w 0 T w

4 2 3 .

Χοηριμξπξιώμςαπ ςη ρυέρη (1) έυξσμε

2 wF w w F

3 3 .

43

Δρώτηση 36.

Mία ξμξγεμήπ οάβδξπ μήκξσπ και βάοξσπ w, είμαι αοθοχμέμη ρςξ άκοξ ςηπ Α, όπχπ

ταίμεςαι ρςξ ρυήμα. Σξ ελαςήοιξ είμαι καςακόοστξ. Σξ ρύρςημα ιρξοοξπεί με ςη οάβδξ

ρε ξοιζόμςια θέρη. Η δύμαμη πξσ αρκείςαι ρςη οάβδξ από ςημ άοθοχρη και η δύμαμη

ςξσ ελαςηοίξσ ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη

α. ελ ΑF F .

β. ελ ΑF 3F .

γ. ελ ΑF 2F .


Λύρη

χρςή απάμςηρη είμαι η (α) .

Σξ ρύρςημα ιρξοοξπεί, άοα θα ιρυύει ΣF 0 και (Α)Στ 0 .

Η ποώςη ρυέρη δίμει

Α ελ F F w (1)

και η δεύςεοη ρυέρη ιρξοοξπίαπ δίμει

ελελ ελF A Β A

wτ τ 0 F w 0 F

2 2 .

Χοηριμξπξιώμςαπ ςη ρυέρη (1) έυξσμε

Α Α

w wF w F

2 2 , δηλαδή ελ ΑF F .

44

Δρώτηση 37.

∆ύξ ίδιεπ ξμξγεμείπ οάβδξι μήκξσπ και μάζαπ m, είμαι εμχμέμεπ κάθεςα, όπχπ

ταίμεςαι ρςξ ρυήμα και ςξ ρύρςημά ςξσπ μπξοεί μα πεοιρςοέτεςαι γύοχ από ςημ

άοθοχρη Α ρε καςακόοστξ επίπεδξ. Αμ η οξπή αδοάμειαπ οάβδξσ μήκξσπ και μάζαπ

m χπ ποξπ άνξμα κάθεςξ ρςξ κέμςοξ ςηπ είμαι 2

cm

1I m

12 , ςόςε η οξπή αδοάμειαπ ςξσ

ρσρςήμαςξπ ςχμ οάβδχμ χπ ποξπ ςξ Α είμαι

α. 2

A

5I m

3 .

β. 2

A

4I m

3 .

γ. 2

A

17I m

12 .


Λύρη


Για μα βοξύμε ςη οξπή αδοάμειαπ εμόπ ρσρςήμαςξπ ρχμάςχμ ποξρθέςξσμε ςη οξπή

αδοάμειαπ ςξσ κάθε επιμέοξσπ ρώμαςξπ. ςη ρσγκεκοιμέμη πεοίπςχρη θα ποξρθέρξσμε

ςιπ οξπέπ αδοάμειαπ ςχμ δύξ οάβδχμ χπ ποξπ ςξ ρημείξ Α.

Η ποώςη οάβδξπ, η ξοιζόμςια, ρύμτχμα με ςξ θεώοημα Steiner θα έυει

2 2 2

2 2 2 2

1,A cm cmMA1 1 1

I I m I m m m m m m2 12 2 12 4 3

.

Η δεύςεοη οάβδξπ, η καςακόοστη, ρύμτχμα με ςξ θεώοημα Steiner θα έυει

2 2

2 2 2 2 2 2

2,A cm KA1 1 5 16 4

I I m m m m m m m12 2 12 4 12 3

.

45

Άοα η ρσμξλική οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ θα είμαι

2 2 2

A 1,A 2,A

1 4 5I I I m m m

3 3 3 .

46

Δρώτηση 38.

Σοειπ ρταίοεπ αμεληςέχμ διαρςάρεχμ ίδιαπ μάζαπ m, ρσμδέξμςαι μεςανύ ςξσπ με

οάβδξσπ μήκξσπ L αμεληςέαπ μάζαπ, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα.

Σξ ρύρςημα πεοιρςοέτεςαι ρε ξοιζόμςιξ επίπεδξ γύοχ από καςακόοστξ άνξμα πξσ

διέουεςαι από ςξ μέρξ Μ ςηπ μιαπ πλεσοάπ. Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ χπ ποξπ

ασςόμ ςξμ άνξμα είμαι

α.

25m L

2

.

β.

25m L

4

.

γ. 22m L .


Λύρη


Για μα βοξύμε ςη οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ ςχμ ςοιώμ ρημειακώμ ρταιοώμ

ποξρθέςξσμε ςη οξπή αδοάμειαπ ςηπ κάθε ρταίοαπ χπ ποξπ ςξ ρημείξ Μ.

2 2 2

2 2 2 2

M A B Γ ΑΜ ΒΜ ΓΜL L L

I I I I = m m m = m + m m L2 2 2

2 2 2 2mL mL 3mL 5mL

4 4 4 4

47

Δρώτηση 39.

Ομξγεμήπ ρταίοα μάζαπ m και ακςίμαπ R κσλίεςαι υχοίπ μα ξλιρθαίμει ρε ξοιζόμςιξ

επίπεδξ. Η ςαυύςηςα ςξσ κέμςοξσ μάζαπ ςηπ ρταίοαπ είμαι cmυ και η γχμιακή ςαυύςηςα

χ. Η ξλική κιμηςική εμέογεια ςηπ ρταίοαπ είμαι 2

ολ cm

7K mυ

10 . Η ρςοξτξομή L ςηπ

ρταίοαπ χπ ποξπ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ είμαι

α.

2

cmυ3m

5 ω .

β.

2

cmυ3m

5 R .

γ.

2

cmυ2m

5 ω .


Λύρη

χρςή απάμςηρη είμαι η (γ).

Η ρταίοα κάμει ρύμθεςη κίμηρη, μεςατξοική και πεοιρςοξτική. Η ξλική κιμηςική

εμέογεια ςηπ ρταίοαπ είμαι ςξ άθοξιρμα ςηπ μεςατξοικήπ και πεοιρςοξτικήπ κιμηςικήπ

εμέογειαπ.

2 2 2 2 2 2 2 2

cm cm cm cm cm

7 1 1 7 1 1 2 1K K K mυ mυ Iω mυ mυ Iω mυ Iω

10 2 2 10 2 2 10 2

22 cmcm

mυ2 2mυ Iω L L .

5 5

48

Δρώτηση 40.

Έμα μικοό δαυςσλίδι με ςη μάζα ςξσ όλη ρσγκεμςοχμέμη ρςημ πεοιτέοειά ςξσ, ατήμεςαι

ελεύθεοξ μα κιμηθεί ρςξ ρημείξ Α ςξσ κεκλιμέμξσ επίπεδξσ ςξσ διπλαμξύ ρυήμαςξπ,

κάμξμςαπ κύλιρη, υχοίπ μα ξλιρθαίμει και μόλιπ τςάρει ρςξ ρημείξ Β ειρέουεςαι, υχοίπ

απώλεια εμέογειαπ, ρε ξδηγό ρυήμαςξπ ςεςαοςημξοίξσ, όπχπ ρςξ ρυήμα, ρσμευίζξμςαπ

μα κάμει κύλιρη. Όςαμ τςάρει ρςξ ρημείξ Γ, ρσμευίζει ςημ κίμηρή ςξσ μέυοι ςξ ρημείξ Δ,

όπξσ ρςαμαςάει ςημ άμξδό ςξσ. Δταομόζξμςαπ ςη διαςήοηρη ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ

μεςανύ ςχμ θέρεχμ Α και Δ ποξκύπςει όςι ςξ ςελικό ύφξπ h2, πξσ τςάμει ρςιγμιαία ςξ

δαυςσλίδι και ςξ αουικό ύφξπ h1, πξσ ςξ ατήραμε ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη

α. 2 1h h .

β. 2 1h h .

γ. 2 1h h .


Λύρη


Η κίμηρή ςξσ δαυςσλιδιξύ από ςξ ρημείξ Α μέυοι ςξ Γ είμαι κύλιρη , υχοίπ ξλίρθηρη και

υχοίπ απώλειεπ εμέογειαπ. Από ςξ Γ μέυοι ςξ Δ η κίμηρη είμαι επιβοαδσμόμεμη

μεςατξοική και ξμαλή ρςοξτική, καθώπ η μόμη δύμαμη πξσ αρκείςαι είμαι ςξ βάοξπ,

πξσ δεμ ποξκαλεί οξπή, ατξύ αρκείςαι ρςξ κέμςοξ μάζαπ ςξσ δακςσλιδιξύ. ςξ ρημείξ Δ

πξσ ρςαμαςάει η άμξδξπ ςξσ ρώμαςξπ, ασςό ρσμευίζει μα πεοιρςοέτεςαι.

Η μηυαμική εμέογεια ςξσ δαυςσλιδιξύ παοαμέμει ρςαθεοή καθόλη ςη διάοκεια ςηπ

κίμηρηπ.

Έςρι αμ υοηριμξπξιήρξσμε ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ από ςη θέρη Α

ρςη θέρη Δ έυξσμε

Α Γ 1 2 πΔ Δ mgh mgh K . (Θεχοήραμε ρςάθμη μηδεμικήπ δσμαμικήπ εμέογειαπ

ασςήμ ςξσ δαπέδξσ).

Άοα 1 2 1 2mgh mgh h h .

49

Δρώτηση 41.

Μία ρταίοα, κσλάει (υχοίπ μα ξλιρθαίμει) πάμχ ρε ξοιζόμςιξ ςοαπέζι ύφξσπ h. Ση ρςιγμή

πξσ η ρταίοα εγκαςαλείπει ςξ ςοαπέζι ξ λόγξπ ςηπ μεςατξοικήπ κιμηςικήπ εμέογειαπ

ποξπ ςημ πεοιρςοξτική κιμηςική εμέογεια είμαι ίρξπ με μετ

στρ

K 5

Κ 2 . Δλάυιρςα ποιμ η

ρταίοα κςσπήρει ρςξ δάπεδξ για ςξ λόγξ ςηπ μεςατξοικήπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ποξπ ςημ

πεοιρςοξτική κιμηςική εμέογεια ιρυύει

α. μετ

στρ

Κ 5

Κ 2

.

β. μετ

στρ

Κ 5

Κ 2

.

γ. μετ

στρ

Κ 5

Κ 2

.


Λύρη


Η κίμηρή ςηπ ρταίοαπ είμαι ρύμθεςη και αμαλύεςαι ρε μεςατξοική και ρςοξτική. Η

μόμη δύμαμη πξσ αρκείςαι ρςη ρταίοα είμαι ςξ βάοξπ, πξσ δεμ ποξκαλεί οξπή, ατξύ

αρκείςαι ρςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ ρταίοαπ. Έςρι λόγχ ςξσ έογξσ ςξσ βάοξσπ, η

μεςατξοική κιμηςική εμέογεια ασνάμεςαι μετ μετK K , εμώ η πεοιρςοξτική παοαμέμει

ρςαθεοή, στρ στρK Κ , ατξύ δεμ σπάουει έογξ από οξπή.

μετ μετ μετ

μετ μετ

στρ στρ στρ

K K K 5K K

K K K 2

50

Δρώτηση 42.

Mία ξμξγεμήπ οάβδξπ μήκξσπ και μάζαπ m μπξοεί μα πεοιρςοατεί ρςξ καςακόοστξ

επίπεδξ γύοχ από ξοιζόμςιξ άνξμα, πξσ διέουεςαι από ςξ άκοξ ςηπ Α, όπχπ ταίμεςαι

ρςξ ρυήμα. Η οξπή αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςηπ είμαι

2

A

1I m

3 . Η οάβδξπ νεκιμά από ςημ ξοιζόμςια θέρη, υχοίπ αουική ςαυύςηςα και

πεοιρςοέτεςαι καςά ςη τξοά κίμηρηπ ςχμ δεικςώμ ςξσ οξλξγιξύ, με ςημ εμέογεια πξσ

ποξρτέοει μια δύμαμη F , πξσ αρκείςαι ρςξ άλλξ ςηπ άκοξ και είμαι διαοκώπ κάθεςη ρςη

οάβδξ. Κάθε υοξμική ρςιγμή ξ λόγξπ ςηπ ιρυύξπ ςηπ δύμαμηπ ποξπ ςξ μέςοξ ςηπ

ρςοξτξομήπ ςηπ οάβδξσ είμαι ρςαθεοόπ και ίρξπ με

α. F

2m.

β. 2

F

3m.

γ. 3F

m.


Λύρη


Κάπξια υοξμική ρςιγμή η οάβδξπ θα έυει απξκςήρει γχμιακή ςαυύςηςα χ. Η ιρυύπ ςηπ

δύμαμηπ δίμεςαι από ςη ρυέρη P τ ω και η ρςοξτξομή ςηπ οάβδξσ L Ι ω .

Έςρι, ξ λόγξπ ςηπ ιρυύξπ ςηπ δύμαμηπ ποξπ ςη ρςοξτξομή πξσ απξκςά η οάβδξπ είμαι

2

P τ ω τ F 3F

1L I ω I mm

3

, πξσ παοαςηοξύμε όςι είμαι ρςαθεοόπ, αμενάοςηςξπ ςξσ

υοόμξσ.

51

Δρώτηση 43.

Δύξ όμξιξι ξοιζόμςιξι δίρκξι, οξπήπ αδοάμειαπ Ι, πεοιρςοέτξμςαι αμςίοοξπα γύοχ από

κξιμό καςακόοστξ άνξμα όπχπ ταίμεςαι ρςξ παοακάςχ ρυήμα. Οι γχμιακέπ ςξσπ

ςαυύςηςεπ έυξσμ ρυέρη 1 2ω 2ω . Κάπξια ρςιγμή ξι δύξ δίρκξι έουξμςαι ρε επατή και

ρσμευίζξσμ μα πεοιρςοέτξμςαι ραμ έμαπ δίρκξπ με γχμιακή ςαυύςηςα 2ω ω / 2 . Η

απώλεια εμέογειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ Q είμαι

α. 2

2

3Q I ω

5 .

β. 2

2

9Q I ω

4 .

γ. 2

2

3Q I ω

4 .


Λύρη


Η απώλεια εμέογειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ Q είμαι η διατξοά ςηπ αουικήπ κιμηςικήπ εμέογειαπ

ςξσ ρσρςήμαςξπ ςχμ δύξ δίρκχμ μείξμ ςημ ςελική. Η αουική είμαι:

22 2 2 2

αρχ 1 2 1 2 2 2 2

1 1 1 1 5K Κ Κ I ω I ω I 2ω I ω I ω .

2 2 2 2 2

Η ςελική κιμηςική εμέογεια είμαι:

2

2 22τελ ολ 2

ω1 1 1K I ω 2I I ω .

2 2 2 4

Άοα 2 2 2 2

αρχ τελ 2 2 2 2

5 1 9 9Q Κ –Κ I ω I ω I ω Q I ω

2 4 4 4

52

Δρώτηση 44.

Mία ξμξγεμήπ οάβδξπ μήκξσπ και μάζαπ m μπξοεί μα πεοιρςοατεί γύοχ από ξοιζόμςιξ

άνξμα, πξσ διέουεςαι από ςξ άκοξ ςηπ Α, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα, εμώ ρςξ άλλξ ςηπ

άκοξ έυει κξλλημέμη μια ρημειακή μάζα, ίδιαπ μάζαπ με ςη οάβδξ.

Σξ ρύρςημα νεκιμάει από ςημ καςακόοστη θέρη, υχοίπ αουική ςαυύςηςα και

πεοιρςοέτεςαι καςά ςη τξοά κίμηρηπ ςχμ δεικςώμ ςξσ οξλξγιξύ. Σξ μέςοξ ςξσ οσθμξύ

μεςαβξλήπ ςηπ ρςοξτξομήπ ςξσ ρσρςήμαςξπ απξκςά μέγιρςη ςιμή ίρη με

α. max

dL 3mg .

dt 2

β. max

dL 1mg .

dt 2

γ. max

dL 5mg .

dt 2


Λύρη


Ο οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ρςοξτξομήπ είμαι η ρσμξλική οξπή ςχμ δσμάμεχμ πξσ

αρκξύμςαι ρςξ ρύρςημα. Όςαμ ςξ ρύρςημα ρυημαςίζει ςσυαία γχμία τ με ςημ

καςακόοστξ ςόςε ξι μξυλξβοαυίξμεπ ςξσ βάοξσπ ςχμ δύξ ρχμάςχμ είμαι ξι (ΓΔ) και

(ΔΜ).

Tξ μέςοξ ςηπ ρσμξλικήπ οξπήπ είμαι

53

Στ mg·(EM) mg· ΓΓ mg ημυ mg ημυ2

Παοαςηοξύμε όςι όρξ καςεβαίμει η οάβδξπ η γχμία μεγαλώμει, ςξ ίδιξ και ςξ ημτ,

καθώπ και η ρσμξλική οξπή. Όςαμ η οάβδξπ γίμει ξοιζόμςια μεγιρςξπξιείςαι ςξ ημτ και ξ

οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ρςοξτξομήπ.

Έςρι max

max max

dL dL 3Στ mg mg mg .

dt 2 dt 2

54

Δρώτηση 45.

Mία ξμξγεμήπ οάβδξπ μήκξσπ πξσ μπξοεί μα πεοιρςοέτεςαι γύοχ από καςακόοστξ

άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ άκοξ ςηπ Α, βοίρκεςαι ακίμηςη ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ.

ςη οάβδξ αρκξύμςαι ςασςόυοξμα δύξ ξοιζόμςιεπ δσμάμειπ F με ςξ ίδιξ μέςοξ. Η μία

δύμαμη αρκείςαι ρςξ κέμςοξ ςηπ οάβδξσ, εμώ η άλλη ρςξ άκοξ ςηπ, όπχπ ρςξ ρυήμα.

Η οάβδξπ θα

α. πεοιρςοατεί ρε τξοά όπχπ ξι δείκςεπ ςξσ οξλξγιξύ.

β. πεοιρςοατεί ρε τξοά αμςίθεςη ςχμ δεικςώμ ςξσ οξλξγιξύ.

γ. παοαμείμει ακίμηςη.

Δίμεςαι 0 1

ημ302


Λύρη


Παίομξμςαπ χπ θεςική τξοά ςημ αμςίθεςη ςηπ κίμηρηπ ςχμ δεικςώμ ςξσ οξλξγιξύ, η

ρσμξλική οξπή ςχμ δύξ δσμάμεχμ είμαι:

ψΣτ F (ΑM) F ΑΒ

Η ρσμιρςώρα Fx δεμ έυει οξπή χπ ποξπ ςξ ρημείξ Α.

Άοα 0Στ F - Fημ30 F -F 0

2 2 2 .

Η οάβδξπ ήςαμ αουικά ακίμηςη και έςρι θα παοαμείμει.

55

Δρώτηση 46.

Έμαπ ξμξγεμήπ δίρκξπ μάζαπ m και ακςίμαπ r έυει κξλλημέμη ρε ρημείξ ςηπ πεοιτέοειάπ

ςξσ μία ρημειακή μάζα m, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα. Σξ ρύρςημα μπξοεί μα

πεοιρςοέτεςαι ρε ξοιζόμςιξ επίπεδξ γύοχ από καςακόοστξ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ

ρημείξ Α, πξσ είμαι αμςιδιαμεςοικό ςηπ ρημειακήπ μάζαπ. H οξπή αδοάμειαπ δίρκξσ

μάζαπ m και ακςίμαπ r, χπ ποξπ άνξμα κάθεςξ ρςξ κέμςοξ ςξσ είμαι 2

cm

1I mr

2 .

Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ δίρκξπ – ρημειακή μάζα, χπ ποξπ ςξμ άνξμα πξσ

διέουεςαι από ςξ ρημείξ Α είμαι

α. 25m r

2

.

β. 29m r

4

.

γ. 211m r

2

.


Λύρη


Για μα βοξύμε ςη οξπή αδοάμειαπ εμόπ ρσρςήμαςξπ ρχμάςχμ χπ ποξπ έμαμ άνξμα

ποξρθέςξσμε ςη οξπή αδοάμειαπ ςξσ κάθε επιμέοξσπ ρώμαςξπ χπ ποξπ ασςόμ ςξμ άνξμα.

ςη ρσγκεκοιμέμη πεοίπςχρη θα ποξρθέρξσμε ςιπ οξπέπ αδοάμειαπ ςξσ δίρκξσ και ςηπ

ρημειακήπ μάζαπ, χπ ποξπ ςξμ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ ρημείξ Α.

Ο δίρκξπ ρύμτχμα με ςξ θεώοημα Steiner θα έυει

2 2 2 2

Γ,A cm

1 3I I m r m r m r m r

2 2 .

Άοα η ρσμξλική οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ θα είμαι

22 2 2 2

A Γ,A m,A A

3 3 11I I I m r m 2r m r 4m r I m r

2 2 2 .

56

Δρώτηση 47.

Έμα ρςεοεό ρώμα μπξοεί μα πεοιρςοέτεςαι γύοχ από ακλόμηςξ άνξμα. Σξ διάγοαμμα

πξσ πεοιγοάτει πώπ μεςαβάλλεςαι η ρςοξτξομή ςξσ ρώμαςξπ ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ

ταίμεςαι ρςξ παοακάςχ ρυήμα. ςξ υοξμικό διάρςημα από 0 έχπ ςη υοξμική ρςιγμή t1,

ςξ ρσμξλικό έογξ ςχμ οξπώμ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ρςεοεό ρώμα είμαι μηδέμ.

Η αουική ρςοξτξομή ςξσ ρώμαςξπ είμαι

α. 0L 10 Kg m / s

β. 0L 20 Kg m / s

γ. 0L 5 Kg m / s

Να αιςιξλξγήρεςε ςημ απάμςηρή ραπ

Λύρη


Δτόρξμ ρςξ υοξμικό διάρςημα από 0 έχπ ςη υοξμική ρςιγμή t1, ςξ ρσμξλικό έογξ ςχμ

οξπώμ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ρςεοεό ρώμα είμαι μηδέμ, η μεςαβξλή ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ

ςξσ ρώμαςξπ θα είμαι επίρηπ μηδέμ. Έρςχ χ0 και χ η αουική και η ςελική γχμιακή

ςαυύςηςα ςξσ ςιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ 0 και 1t . ύμτχμα με ςξ Θεώοημα Μεςαβξλήπ ςηπ

Κιμηςικήπ Δμέογειαπ θα είμαι

2 2

τελ αρχ τελ αρχ 0 0

1 1W Κ –Κ 0 Κ Κ I ω I ω ω ω

2 2 . (1)

Η αουική ρςοξτξομή ςξσ ρώμαςξπ είμαι 0 0L Ι ω και η ςελική L Ι ω 10Kg m/ s ,

όπχπ ταίμεςαι από ςξ διάγοαμμα. ύμτχμα με ςη ρυέρη (1) θα είμαι

0L L 10Kg m / s .

57

ΘΔΜΑ Γ

Άσκηση 1.

Ο ξμξγεμήπ και ιρξπαυήπ δίρκξπ ςξσ ρυήμαςξπ έυει ακςίμα R 10 cm και μάζα

M 2 kg , είμαι ξοιζόμςιξπ και μπξοεί μα πεοιρςοέτεςαι, υχοίπ ςοιβέπ, γύοχ από

καςακόοστξ ακλόμηςξ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ ςξσ. Ο δίρκξπ είμαι αουικά ακίμηςξπ και ρςημ πεοιτέοειά ςξσ είμαι ςσλιγμέμξ αβαοέπ, μη εκςαςό ρυξιμί μήκξσπ

4 m . Ση υοξμική ρςιγμή 0t 0 αρκξύμε ρςημ ελεύθεοη άκοη ςξσ ρυξιμιξύ ρςαθεοή,

ξοιζόμςια δύμαμη F 2 N και ξ δίρκξπ νεκιμά μα πεοιρςοέτεςαι. Σξ ρυξιμί δεμ

ξλιρθαίμει ρςημ πεοιτέοεια ςξσ δίρκξσ.

Να σπξλξγίρεςε:

α) ςξ μέςοξ ςηπ γχμιακήπ επιςάυσμρηπ a ςξσ δίρκξσ.

β) ςη υοξμική ρςιγμή 1t πξσ νεςσλίγεςαι όλξ ςξ ρυξιμί.

γ) ςξ μέςοξ ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ςξσ δίρκξσ ςη ρςιγμή καςά ςημ ξπξία έυει νεςσλιυθεί όλξ ςξ ρυξιμί.

δ) ςξ έογξ ςηπ δύμαμηπ ρςη διάοκεια ςξσ δεύςεοξσ δεσςεοξλέπςξσ ςηπ κίμηρηπ.

Δίμεςαι η οξπή αδοάμειαπ ςξσ δίρκξσ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ: 21

I MR2

.

Λύρη

α) (βλ. ρελίδα 119 ςξσ υξλικξύ Βιβλίξσ)

Από ςξ Θεμελιώδη Νόμξ ςηπ ςοξτικήπ Κίμηρηπ έυξσμε:

2

F Ra a a

1R

2

F

R Ο

Α

58

2

2F 2 2N rada a 20

R 2kg 0,1m s

β) Δπειδή ςξ ρυξιμί δεμ ξλιρθαίμει ρςξ δίρκξ ςξ μήκξπ ςξσ είμαι ίρξ με ςξ μήκξπ ςξσ

ςόνξσ s πξσ διαγοάτει έμα ρημείξ ςξσ δίρκξσ. Έςρι, από ςξμ ςύπξ s R βοίρκξσμε ςη γχμία ρςοξτήπ μέυοι μα νεςσλιυθεί όλξ ςξ ρυξιμί:

1 1 1

s 4ms R 40 rad

R 0,1m

Δπειδή a . , ξ δίρκξπ θα εκςελέρει ξμαλά μεςαβαλλόμεμη ρςοξτική κίμηρη, μέυοι

μα νεςσλιυθεί όλξ ςξ μήμα. Δπξμέμχπ ιρυύει:

2 11 1 1 12

21 2 40rada t t t 2s

2 a 20rad / s

γ) Για ςημ ξμαλά μεςαβαλλόμεμη ρςοξτική κίμηρη ςξσ δίρκξσ ιρυύει:

1 1 12

rad rada t 20 2s 40

s s

Μόλιπ νεςσλιυθεί όλξ ςξ ρυξιμί καςαογείςαι η δύμαμη F , επξμέμχπ δεμ αρκείςαι, πλέξμ,

οξπή ρςξ δίρκξ. Δπξμέμχπ, από ςη υοξμική ρςιγμή 1t 2s και μεςά, ξ δίρκξπ θα

εκςελέρει ξμαλή ρςοξτική κίμηρη με ςη ρςαθεοή γχμιακή ςαυύςηςα πξσ έυει απξκςήρει. Άοα, μεςά ςξ νεςύλιγμα ςξσ ρυξιμιξύ, η γχμιακή ςαυύςηςα έυει ρςαθεοό μέςοξ:

1

rad40

s .

δ) Σξ έογξ ςηπ δύμαμηπ ρςη διάοκεια ςξσ δεύςεοξσ δεσςεοξλέπςξσ ςηπ κίμηρηπ βοίρκεςαι με εταομξγή ςξσ θεχοήμαςξπ έογξσ - εμέογειαπ ρςξ αμςίρςξιυξ υοξμικό διάρςημα.

2 2

F

1 1W I I 1

2 2

Όπξσ, ςξ δηλώμει ςη γχμιακή ςαυύςηςα ρςημ αουή ςξσ δεύςεοξσ δεσςεοξλέπςξσ

(πξσ ρσμπίπςει με ςξ ςέλξπ ςξσ ποώςξσ) και ςξ δηλώμει ςη γχμιακή ςαυύςηςα ρςξ

ςέλξπ ςξσ δεύςεοξσ δεσςεοξλέπςξσ 1

rad40

s .

Για ςξ ιρυύει: 2

rad rada t 20 1s 20

s s

59

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) παίομξσμε:

2 2 2 2 2

F

2 2 2

F F

1 1 1W I MR

2 2 2

1W 2kg 0,1m (40rad / s) (20rad / s) W 6J

4

60

Άσκηση 2.

Η ξοιζόμςια και ξμξγεμήπ οάβδξπ ΑΒ ςξσ ρυήμαςξπ έυει μήκξπ d 2 m μάζα M 3 kg

και μπξοεί μα ρςοέτεςαι γύοχ από καςακόοστξ ρχλήμα πξσ πεομά από ςξ κέμςοξ ςηπ.

ςξ ρχλήμα έυει ποξραομξρςεί, ρςαθεοά, έμαπ μικοόπ κύλιμδοξπ ακςίμαπ R 0,1m .

Γύοχ από ςξμ κύλιμδοξ είμαι ςσλιγμέμξ πξλλέπ τξοέπ λεπςό μήμα, ρςημ ελεύθεοη άκοη

ςξσ ξπξίξσ αμαοςάςαι, μέρχ ςοξυαλίαπ, έμα ρώμα . ςα άκοα Α και Β ςηπ οάβδξσ

έυξσμ ρςεοεχθεί δύξ μικοέπ ρταίοεπ με μάζεπ 1m 1kg και 2m 2 kg αμςίρςξιυα. Ο

ρχλήμαπ, ξ κύλιμδοξπ, η ςοξυαλία και ςξ μήμα θεχοξύμςαι αβαοή. Σξ μήμα δεμ

ξλιρθαίμει ρςξμ κύλιμδοξ.

Αουικά όλη η διάςανη είμαι ακίμηςη. Ση ρςιγμή 0t 0 ςξ ρώμα ατήμεςαι μα κιμηθεί και

η οάβδξπ νεκιμά μα πεοιρςοέτεςαι. Σξ μήμα αρκεί ρςξμ κύλιμδοξ ρςαθεοή οξπή μέςοξσ

16 Nm .

Να βοείςε:

α) Ση ρσμξλική οξπή αδοάμειαπ I ςξσ ρσρςήμαςξπ ςηπ οάβδξσ και ςχμ δύξ ρταιοιδίχμ

χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςηπ οάβδξσ.

β) Σξ μέςοξ ςηπ γχμιακήπ επιςάυσμρηπ a ςξσ παοαπάμχ ρσρςήμαςξπ.

γ) Σξ ύφξπ h καςά ςξ ξπξίξ έυει καςέλθει ςξ ρώμα από ςη υοξμική ρςιγμή 0t 0 μέυοι

ςη υοξμική ρςιγμή 1t 10 s .

δ) Σξμ αοιθμό ςχμ πεοιρςοξτώμ N ςηπ οάβδξσ ρςξ ίδιξ υοξμικό διάρςημα.

1m 2m

d

R

h

Α Β

61

Δίμξμςαι: Η οξπή αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςηπ

21I Md

12 ,

2

mg 10

s .

Λύρη

α) Η ρσμξλική οξπή αδοάμειαπ ιρξύςαι με ςξ άθοξιρμα ςχμ επιμέοξσπ οξπώμ αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ ΑΒ, ςξσ ρταιοιδίξσ Α και ςξσ ρταιοιδίξσ Β χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςηπ οάβδξσ:

2 2

2 2 2 2

1 2

1 d d 1I Md m m I 3kg (2m) 1kg (1m) 2 (1m)

12 2 2 12

2I 4 kgm

β) Η μόμη οξπή πξσ αρκείςαι ρςξ ρύρςημα είμαι η οξπή ςηπ ςάρηπ ςξσ μήμαςξπ. Ο κύλιμδοξπ και ξ ρχλήμαπ είμαι αβαοή, άοα δεμ έυξσμ οξπή αδοάμειαπ. Από ςξ Θεμελιώδη Νόμξ ςηπ ςοξτικήπ Κίμηρηπ για ςξ ρύρςημα οάβδξσ – ρταιοιδίχμ, έυξσμε:

2 2

16 Nm rada a a 4

4kgm s

γ) Tξ μήμα δεμ ξλιρθαίμει πάμχ ρςξμ κύλιμδοξ, έςρι όςαμ ξ κύλιμδοξπ ρςοατεί καςά

γχμία , θα νεςσλιυςεί μήμα μήκξσπ s R και ςξ ρώμα θα καςέβει

καςά h s . Άοα έυξσμε h R . Διαιοώμςαπ 1ξ και 2ξ μέλξπ με ςξ αμςίρςξιυξ υοξμικό διάρςημα Δt πξσ απαιςήθηκε για ςημ παοαπάμχ μεςαβξλή παίομξσμε:

hR R

t t

,

όπξσ ρσμβξλίζει ςημ ςαυύςηςα με ςημ ξπξία καςέουεςαι ςξ ρώμα .

Παίομξμςαπ οσθμξύπ μεςαβξλήπ ςηπ ςελεσςαίαπ ρυέρηπ ποξκύπςει:

R R at t

όπξσ ρσμβξλίζει ςημ επιςάυσμρη με ςημ ξπξία καςέουεςαι ςξ ρώμα .

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ ςελεσςαία ρυέρη παίομξσμε:

2

rad m4 0,1m 0,4

s s

Από ςημ εσθύγοαμμη ξμαλά μεςαβαλλόμεμη κίμηρη ςξσ έυξσμε:

62

2 2

1 2

1 1 mh t h 0,4 ( 10 s)

2 2 s h 2 m

δ) Από ςημ ξμαλά μεςαβαλλόμεμη ρςοξτική κίμηρη ςξσ ρσρςήμαςξπ οάβδξσ - ρταιοιδίχμ έυξσμε:

2 2

1 1 1 12

1 1 rada t 4 ( 10 s) 20 rad

2 2 s

Για ςξμ αοιθμό πεοιρςοξτώμ ιρυύει:

20 radN N

2 2 rad / .

N 10 ρςοξτέπ.

Δμαλλακςικά, η γχμία ρςοξτήπ 1 θα μπξοξύρε μα σπξλξγιρθεί από ςξ ςόνξ ρςοξτήπ

1s R , με δεδξμέμξ όςι ςξ μήκξπ ςξσ μήμαςξπ s πξσ νεςσλίυθηκε ιρξύςαι με ςξ ύφξπ

h καςά ςξ ξπξίξ μεςακιμήθηκε ςξ ρώμα :

1 1h R 20 rad .

63

Άσκηση 3.

Μια λεπςή ξμξγεμήπ οάβδξπ μήκξσπ L 0,3 m και μάζαπ m 1kg μπξοεί μα

πεοιρςοέτεςαι ρε καςακόοστξ επίπεδξ γύοχ από ακλόμηςξ ξοιζόμςιξ άνξμα, πξσ πεομά

από ςξ άκοξ ςηπ Ο, όπχπ ρςξ ρυήμα. Η οάβδξπ ιρξοοξπεί ακίμηςη ρςη θέρη ΟΑ. Έμα

μικοό ρταιοίδιξ μάζαπ m 1kg ατήμεςαι μα κιμηθεί εμςόπ ςεςαοςξκσκλίξσ πξσ έυει

κέμςοξ ςξσ ςξ ρημείξ Ο και ρσμαμςά ςη οάβδξ ρςξ ρημείξ Α, έυξμςαπ ςαυύςηςα μέςοξσ

m2

s . Σξ ρταιοίδιξ ρσγκοξύεςαι με ςη οάβδξ και ποξρκξλλάςαι ρςξ άκοξ ςηπ Α

δημιξσογώμςαπ ςξ ρύρςημα οάβδξπ – ρταιοίδιξ ςξ ξπξίξ έυει οξπή αδοάμειαπ πξσ

δίμεςαι από ςη ρυέρη 24

I mL3

. Σξ ρύρςημα οάβδξπ – ρταιοίδιξ νεκιμά μα

πεοιρςοέτεςαι γύοχ από ςξ άκοξ Ο ςηπ οάβδξσ.

Να βοείςε:

α) Ση οξπή αδοάμειαπ I ςηπ οάβδξσ, χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ πξσ πεομά από

ςξ άκοξ Ο.

β) Σξ μέςοξ ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ οάβδξπ – ρταιοίδιξ αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη.

γ) Ση μείχρη ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ λόγχ ςηπ κοξύρηπ.

δ) Σξ μέςοξ ςξσ οσθμξύ μεςαβξλήπ ςηπ ρςοξτξομήπ ςξσ ρσρςήμαςξπ οάβδξπ – ρταιοίδιξ

dL

dt όςαμ διέουεςαι από ςη θέρη ΟΒ, η ξπξία ρυημαςίζει γχμία

0ˆ 30 με ςημ αουική ςηπ

θέρη.

Δίμξμςαι: 2

mg 10

s

030 0,5 , 0 3

302

Ο

Α

φ

Β

64

Λύρη

α) Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ ιρξύςαι

με ςξ άθοξιρμα ςχμ οξπώμ αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ I και ςξσ ρταιοιδίξσ I χπ ποξπ

ςξμ ίδιξ άνξμα: I I I .

Με αμςικαςάρςαρη, έυξσμε:

2 2 24 1I I I mL I mL I mL

3 3 21

I 1kg (0,3m)3

2I 0,03 kgm

β) (βλ. ρελίδα 124 ςξσ υξλικξύ Βιβλίξσ)

ςη θέρη Α ξι τξοείπ ςόρξ ςξσ βάοξσπ ςξσ ρταιοιδίξσ όρξ και ςξσ βάοξσπ ςηπ οάβδξσ διέουξμςαι από ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ άοα έυξσμ μηδεμική οξπή χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ πξσ διέουεςαι από ςξ ρημείξ Ο. Άοα η ρςοξτξομή διαςηοείςαι.

Με αμςικαςάρςαρη, ρςη μαθημαςική ρυέρη ςηπ διαςήοηρηπ ςηπ ρςοξτξομήπ έυξσμε:

24L L m L I m L mL

3

3 3 m2

4L 4 0,3m s

rad5

s

γ) Η μείχρη ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ ξτείλεςαι μόμξ ρςημ μείχρη ςηπ κιμηςικήπ

εμέογειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ

2 21 1

2 2E K m I

2 2 21 1 4·1 ·(2 ) · ·1 ·(0,3 ) ·(5 )

2 2 3

m radE kg kg m

s s

2 1,5 0,5E J J E J

δ) Ο οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ρςοξτξομήπ ςξσ ρσρςήμαςξπ οάβδξπ- ρταιοίδιξ dL

dt ρςη

θέρη ΟΒ ιρξύςαι με ςη ρσμξλική οξπή πξσ δέυεςαι ςξ ρσρρχμάςχμα ρςημ ίδια θέρη:

1 2 1 2

dL dL dLw d w d mg(d d )

dt dt dt

65

Από ςξ ξοθξγώμιξ ςοίγχμξ OAB έυξσμε:

22 2

dˆ d 0,3m 0,5 d 0,15 m

L

Δπίρηπ, από ςξ ξοθξγώμιξ ςοίγχμξ ΟΛΚ:

11 1

d 0,3mˆ d 0,5 d 0,075 m

(OK) 2

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη 1 2

dLmg(d d )

dt έυξσμε:

1 2 2

dL mmg(d d ) 1kg 10 (0,075m 0,15m)

dt s

2

2

dL kgm2,25

dt s

66

Άσκηση 4.

Έμα ρςεοεό πεοιρςοέτεςαι γύοχ από ακλόμηςξ άνξμα χπ ποξπ ςξμ ξπξίξ παοξσριάζει

οξπή αδοάμειαπ 2I 0,2 kgm . Η γοατική παοάρςαρη ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ςξσ

ρςεοεξύ χπ ποξπ ςξ υοόμξ δίμεςαι ρςξ διάγοαμμα πξσ ακξλξσθεί:

Να βοείςε:

α) ςημ αλγεβοική ςιμή ςηπ γχμιακήπ επιςάυσμρηπ ςξσ ρςεοεξύ ςιπ υοξμικέπ ρςιγμέπ

1t 1s και 3t 3 s .

β) ςξμ αοιθμό ςχμ πεοιρςοξτώμ πξσ εκςέλερε ςξ ρςεοεό από At 0 μέυοι t 4 s .

γ) ςημ ιρυύ ςηπ δύμαμηπ πξσ αρκείςαι ρςξ ρςεοεό ςη υοξμική ρςιγμή 1t 1s .

δ) ςξ μέςοξ ςηπ ρςοξτξομήπ ςξσ ρςεοεξύ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ ςη

υοξμική ρςιγμή Bt 2 s .

Λύρη

α) (βλ. ρελίδα 109 ςξσ υξλικξύ Βιβλίξσ)

ε έμα διάγοαμμα (t) , η αλγεβοική ςιμή ςηπ γχμιακήπ επιςάυσμρηπ ιρξύςαι με ςημ

κλίρη ςηπ καμπύληπ.

Κίμηρη ΑΒ:

Από At 0 μέυοι Bt 2 s η κλίρη ςηπ γοατικήπ παοάρςαρηπ ςηπ ρσμάοςηρηπ f (t)

είμαι ρςαθεοή, επξμέμχπ η γχμιακή επιςάυσμρη d

adt

γοάτεςαι:

χ (rad/s)

t (s) O 2 4

4

8 A

B Γ

67

1 1 1

B A

rad rad4 8

s sa a at t t 2s 0s

1 2

rada 2

s

Κίμηρη ΒΓ:

Από Bt 2 s μέυοι t 4 s η κλίρη ςηπ γοατικήπ παοάρςαρηπ ςηπ ρσμάοςηρηπ f (t)

είμαι μηδέμ, επξμέμχπ η γχμιακή επιςάυσμρη d

adt

είμαι μηδέμ:

2a 0

β) ε έμα διάγοαμμα (t) , η γχμία ρςοξτήπ ιρξύςαι με ςξ εμβαδόμ ςξσ ςμήμαςξπ

πξσ πεοιέυεςαι μεςανύ ςηπ καμπύληπ και ςξσ άνξμα ςξσ υοόμξσ t .

Από At 0 μέυοι Bt 2 s ςξ εμβαδόμ κάςχ από ςη γοατική παοάρςαρη ςηπ ρσμάοςηρηπ

f (t) δίμει ςη γχμία ρςοξτήπ για ςξ αμςίρςξιυξ υοξμικό διάρςημα:

1

(4 8) 2rad

2

1 12 rad

Από Bt 2 s μέυοι t 4 s ςξ εμβαδόμ κάςχ από ςη γοατική παοάρςαρη ςηπ

ρσμάοςηρηπ f (t) δίμει ςη γχμία ρςοξτήπ για ςξ αμςίρςξιυξ υοξμικό διάρςημα:

2 4 2rad 2 8 rad

1 2 20 rad

Ο αοιθμόπ πεοιρςοξτώμ δίμεςαι από ςξμ ςύπξ N2

. Δπξμέμχπ:

10N

ρςοξτέπ.

χ (rad/s)

t (s) O 2 4

4

8 A

B Γ

χ (rad/s)

t (s) O 2 4

4

8 A

B Γ

68

γ) Η ιρυύπ ςηπ δύμαμηπ δίμεςαι από ςη ρυέρη: P , όπξσ η οξπή ςηπ δύμαμηπ και

η γχμιακή ςαυύςηςα.

Από ςξμ ςύπξ 1a

t

σπξλξγίζξσμε ςη γχμιακή ςαυύςηςα ςη υοξμική ρςιγμή 1t 1s :

1

1 12

rad8

rad radsa 2 6t s 1s 0s s

Με αμςικαςάρςαρη ρςξμ ςύπξ P έυξσμε:

2

1 1 1 2

rad radP P I a P 0,2kgm ( 2 ) (6 )

s s

P 2,4 W

δ) (βλ. ρελίδα 122 ςξσ υξλικξύ Βιβλίξσ)

Για ςη ρςοξτξομή ςξσ ρςεοεξύ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ ςη υοξμική ρςιγμή

Bt 2 s έυξσμε:

2 radL I L 0,2kgm 4

s

2kgmL 0,8

s

Παοαςήοηρη: ςη ρςοξτική κίμηρη, ςα μεγέθη , , a αμςιρςξιυξύμ ρςα μεγέθη x ,

, ςηπ μεςατξοικήπ κίμηρηπ. Δπξμέμχπ, ςξ διάγοαμμα t αμςιρςξιυεί ρςξ

διάγοαμμα t πξσ έυει μελεςηθεί ρε ποξηγξύμεμη ςάνη.

69

Άσκηση 5.

Έμαπ ξοιζόμςιξπ δίρκξπ μπξοεί μα ρςοέτεςαι ρςξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ γύοχ από ακλόμηςξ

καςακόοστξ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ ςξσ. Αουικά ξ δίρκξπ είμαι ακίμηςξπ. Ση

υοξμική ρςιγμή 0t 0 αρκείςαι ρςξ δίρκξ ρςαθεοή οξπή, με απξςέλερμα ξ δίρκξπ μα

απξκςήρει γχμιακή επιςάυσμρη μέςοξσ 2

rada 10

s . Να βοείςε:

α) ςξ μέςοξ ςηπ μεςαβξλήπ ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ρε υοξμικό διάρςημα t 4 s .

β) ςη οξπή αδοάμειαπ I ςξσ δίρκξσ, αμ ρςξ ίδιξ υοξμικό διάρςημα t 4 s η μεςαβξλή

ςξσ μέςοξσ ςηπ ρςοξτξομήπ ςξσ δίρκξσ είμαι 2kgm

L 0,8s

.

γ) Ση ρςιγμιαία ιρυύ 1P ςηπ οξπήπ πξσ ρςοέτει ςξ δίρκξ, ςη υοξμική ρςιγμή 1t 2 s .

δ) Σξμ αοιθμό ςχμ ρςοξτώμ 1 πξσ έυει εκςελέρει ξ δίρκξπ από ςη υοξμική ρςιγμή

0t 0 μέυοι ςη υοξμική ρςιγμή 1t 2 s .

Λύρη

α) Η γχμιακή επιςάυσμρη d

adt

είμαι ρςαθεοή, ξπόςε έυξσμε:

da a a t

dt t

rad40

s

β) Η ρςοξτξομή ρςεοεξύ δίμεςαι από ςξμ ςύπξ L I και η οξπή αδοάμειαπ I ςξσ δίρκξσ είμαι ρςαθεοή, ξπόςε έυξσμε:

2kgm0,8

L sL I L I I Irad

40s

2I 0,02 kgm

γ) Η ρςιγμιαία ιρυύπ 1P ςηπ οξπήπ πξσ ρςοέτει ςξ δίρκξ, ςη υοξμική ρςιγμή 1t 2 s

δίμεςαι από ςξμ ςύπξ:

2 2

1 1 1 1 2

radP P a a t 0,02kgm (10 ) 2s

s 1P 4 W

70

δ) Ο αοιθμόπ ςχμ ρςοξτώμ 1 πξσ έυει εκςελέρει ξ δίρκξπ από ςη υοξμική ρςιγμή

0t 0 μέυοι ςη υοξμική ρςιγμή 1t 2 s σπξλξγίζεςαι χπ ενήπ:

22

1 21

1 1 1

1 rad110 (2s)a t

2 s2

2 2 2

1

10

ρςοξτέπ.

71

Άσκηση 6.

Η ακίμηςη διπλή ςοξυαλία ςξσ ρυήμαςξπ μπξοεί μα ρςοέτεςαι

γύοχ από ρςαθεοό άνξμα πξσ ρσμπίπςει με ςξμ άνξμα

ρσμμεςοίαπ ςηπ. Η ςοξυαλία έυει ακςίμεπ 1R 10cm ,

2R 20cm και οξπή αδοάμειαπ χπ ποξπ ςξμ άνξμα

πεοιρςοξτήπ 2I 1kgm . ςημ ςοξυαλία πξσ είμαι αουικά

ακίμηςη, αρκξύμςαι μέρχ καςάλληλχμ αβαοώμ μημάςχμ ξι

δσμάμειπ 1F 60N και 2F 40N , με ρημεία εταομξγήπ και καςεσθύμρειπ όπχπ ρςξ

ρυήμα. Να σπξλξγίρεςε:

α) ςη ρσμξλική οξπή πξσ δέυεςαι η ςοξυαλία.

β) ςη γχμιακή επιςάυσμρη πξσ απξκςά η ςοξυαλία.

γ) ςη γχμιακή ςηπ ςαυύςηςα ςη υοξμική ρςιγμή t 4 s .

δ) ςη υοξμική ρςιγμή t 4 s , ςξ μήκξπ ςχμ μημάςχμ πξσ έυει ςσλιυςεί ή νεςσλιυςεί ρε

κάθε ςοξυαλία.

Λύρη

α)

2 2 1 1F R FR 40N 0,2m 60N 0,1m 2Nm

β) Η γχμιακή επιςάυσμρη βοίρκεςαι από ςξ θεμελιώδη μόμξ ςηπ Μηυαμικήπ για ςη

ςοξτική κίμηρη

72

2 2

2Nm rada a 2

I 1kgm s

γ) Η κίμηρη ςηπ ςοξυαλίαπ είμαι ρςοξτική ξμαλά επιςαυσμόμεμη υχοίπ αουική ςαυύςηςα,

ξπόςε η γχμιακή ςαυύςηςα βοίρκεςαι από ςημ αμςίρςξιυη ρυέρη ςηπ κιμημαςικήπ

πεοιγοατήπ ςηπ ρςοξτικήπ κίμηρηπ.

2

rad rada t 2 4s 8

s s

δ) Η ςοξυαλία ρςοέτεςαι δενιόρςοξτα, ξπόςε ρςημ ενχςεοική ςοξυαλία, ακςίμαπ 2R , ςξ

μήμα νεςσλίγεςαι, εμώ ρςημ ερχςεοική ςοξυαλία, ακςίμαπ 1R , ςξ μήμα ςσλίγεςαι.

Σξ μήμα πξσ έυει ςσλιυθεί ή νεςσλιυςεί βοίρκεςαι από ςη ρυέρη

s R , όπξσ η γχμία ρςοξτήπ.

Η γχμία ρςοξτήπ είμαι κξιμή για όλα ςα ρημεία ςηπ διπλήπ ςοξυαλίαπ και βοίρκεςαι από

ςη ρυέρη

2 2

2

1 1 rada t 2 (4s) 16rad

2 2 s

Έςρι, για ςα δύξ μήκη ςχμ μημάςχμ έυξσμε:

- ερχςεοική ςοξυαλία: 1 1 1s R 0,1m 16rad s 1,6m

-ενχςεοική ςοξυαλία: 2 2 2s R 0,2m 16rad s 3,2m

Άοα ρςημ ερχςεοική ςοξυαλία ςσλίυςηκε μήμα μήκξσπ 1s 1,6m και από ςημ ενχςεοική

νεςσλίυςηκε μήμα μήκξσπ 2s 3,2m .

73

Άσκηση 7.

Οι ςοξυξί εμόπ πξδηλάςξσ έυξσμ ακςίμα R 0,3m και μάζα m 2kg ξ καθέμαπ. Σξ

πξδήλαςξ κιμείςαι ρςημ καςεύθσμρη από ςξ μόςξ ποξπ ςξ βξοοά με ςαυύςηςα 6m / s. Ο

πξδηλάςηπ τοεμάοει ξμαλά και ςξ ρύρςημα ρςαμαςά μεςά από 3s . ε όλη ςη διάοκεια

ςηπ επιβοαδσμόμεμηπ κίμηρηπ ξι ςοξυξί κσλίξμςαι. Για ςξμ κάθε ςοξυό:

α) μα σπξλξγίρεςε ςη οξπή αδοάμειάπ ςξσ, αμ θεχοήρεςε όςι όλη η μάζα ςξσ είμαι

ρσγκεμςοχμέμη ρςημ πεοιτέοεια.

β) μα βοείςε πώπ μεςαβάλλεςαι η γχμιακή ςαυύςηςά ςξσ ρε ρσμάοςηρη με ςξ υοόμξ.

γ) μα γοάφεςε ςη ρυέρη πξσ ρσμδέει ςξ μέςοξ ςηπ ρςοξτξομήπ ςξσ ρε ρσμάοςηρη με ςξ

υοόμξ και μα ςη ρυεδιάρεςε.

δ) μα σπξλξγίρεςε ςη οξπή πξσ ςξμ επιβοάδσμε και μα ρυεδιάρεςε ςξ διάμσρμά ςηπ,

καθώπ και ςξ διάμσρμα ςηπ αουικήπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ.

Λύρη

α) Δπειδή η μάζα ςξσ ςοξυξύ θεχοείςαι ρσγκεμςοχμέμη όλη ρςημ πεοιτέοειά ςξσ, η

οξπή αδοάμειαπ είμαι:

2 2 2I mR 2kg (0,3m) I 0,18kgm

β) Η κίμηρη ςξσ ςοξυξύ είμαι μεςατξοικά και ρςοξτικά ξμαλά επιβοαδσμόμεμη. Η

γχμιακή ςαυύςηςα κάθε ςοξυξύ δίμεςαι από ςη ρυέρη 0 a t 1

Δπειδή ξι ςοξυξί κσλίξμςαι, γχμιακή και μεςατξοική ςαυύςηςα ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη

cm R .Έςρι για ςημ αουική γχμιακή ςαυύςηςα έυξσμε 0 παίομξσμε:

cm( )

0 0

6m / s rad20

R 0,3m s

Δπειδή ξι ςοξυξί κσλίξμςαι γχμιακή και μεςατξοική επιςάυσμρη ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη

cm a R 2 .

Όμχπ για ςη μεςατξοική επιςάυσμρη έυξσμε:

cmcm cm 2

m m0 6

ms s 2t 3s s


74

2cm

2

m2

20 radsa aR 0,3m 3 s

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) ςχμ 0 και a παίομξσμε:

20

20 t SI 0s t 3s3

γ) Η ρςοξτξομή ςξσ ςοξυξύ δίμεςαι από ςη ρυέρη: L I . Με αμςικαςάρςαρη

παίομξσμε:

20

L 0,18(20 )t SI L 3,6 1,2t SI 0s t 3s3

δ) Η οξπή πξσ επιβοάδσμε ςξμ ςοξυό βοίρκεςαι από ςη ρυέρη:

2 2L 0kgm / s 3,6kgm / s1,2Nm

t 3s

Δπειδή ςξ πξδήλαςξ καςεσθύμεςαι ρςξ βξοοά, η γχμιακή ςαυύςηςα είμαι ποξπ ςη Δύρη.

Σξ αομηςικό ποόρημξ για ςη οξπή δηλώμει ποόρημξ αμςίθεςξ από ασςό ςηπ γχμιακήπ

ςαυύςηςαπ.

76

Άσκηση 8.

Η ξμξγεμήπ οάβδξπ ΑΒ ςξσ ρυήμαςξπ μάζαπ M 2kg και μήκξσπ 12

L m7

, μπξοεί μα

ρςοέτεςαι γύοχ από ξοιζόμςιξ ρςαθεοό άνξμα κάθεςξ ρςη οάβδξ, πξσ διέουεςαι από ςξ

ρημείξ ςηπ Ο.

Η απόρςαρη ΑΟ είμαι ίρη με L

4. Η οξπή αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ άνξμα πξσ

διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ M και είμαι κάθεςξπ ρ' ασςή είμαι 2

cm

1I ML

12 . H

οάβδξπ διαςηοείςαι ρςημ ξοιζόμςια θέρη με ςη βξήθεια καςακόοστξσ μήμαςξπ πξσ είμαι

δεμέμξ ρςξ άκοξ Β. Κόβξσμε ςξ μήμα. Να βοείςε:

α) ςημ ςάρη ςξσ μήμαςξπ ποιμ ασςό κξπεί.

β) ςη οξπή αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςηπ.

γ) ςη γχμιακή επιςάυσμρη ςηπ οάβδξσ αμέρχπ μόλιπ κξπεί ςξ μήμα.

δ) ςη γχμιακή ςαυύςηςα ςηπ οάβδξσ όςαμ ασςή διέουεςαι από ςημ καςακόοστη θέρη.

Δίμεςαι η επιςάυσμρη βαούςηςαπ 2g 10m / s .

Λύρη

α) υεδιάζξσμε ςιπ δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςη οάβδξ ρςημ καςάρςαρη ιρξοοξπίαπ. Από

ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ για ςξ άθοξιρμα ςχμ οξπώμ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ

παίομξσμε:

2

( )

L 3L Mg 2kg 10m / s 200 Mg T 0 T T N

4 4 3 3 3

77

β) Η οξπή αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ, χπ ποξπ ςξ ρημείξ Ο, βοίρκεςαι από ςξ θεώοημα ςχμ

παοαλλήλχμ ανόμχμ (Θεώοημα Steiner).

2

2 2 2

(O) cm (O) (O)

2

2

(O) (O)

L 1 1 7I I M I ML ML I ML

4 12 16 48

7 12 6I 2kg m I kgm

48 7 7

γ) Μόλιπ κξπεί ςξ μήμα, η μόμη δύμαμη πξσ αρκεί οξπή είμαι ςξ βάοξπ.

Από ςξ Θεμελιώδη Νόμξ ςηπ Μηυαμικήπ για ςη ρςοξτικήπ κίμηρη έυξσμε:

2

(O) 22(O)

mL12 10Mg

12g rads4I a a a a 107 12I 7L s

ML 7 m48 7

δ) Η γχμιακή ςαυύςηςα ςηπ οάβδξσ ρςημ καςακόοστη θέρη βοίρκεςαι με εταομξγή ςηπ

διαςήοηρηπ ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ μεςανύ ςηπ ξοιζόμςιαπ και ςηπ καςακόοστηπ θέρηπ.

78

2

(1) (2) (1) (1) (2) (2) (O)

2

2(O)

L 1U K U K Mg 0 I

4 2

122kg 10m / s m

MgL rad7 2062I s

2 kgm7

79

Άσκηση 9.

Ο αμελκσρςήοαπ ςξσ ρυήμαςξπ (α) απξςελείςαι από ςξ θάλαμξ επιβαςώμ ρσμξλικξύ

βάοξσπ w 2000N και ςξ ςύμπαμξ πεοιέλινηπ ςξσ ρσομαςόρυξιμξσ ακςίμαπ

R 0,25m , ρςξ ξπξίξ έυει ποξραομξρςεί ξ κιμηςήοαπ ςξσ αμελκσρςήοα. O θάλαμξπ

αμεβαίμει με ρςαθεοή ςαυύςηςα μέςοξσ 1m / s .

α)

1) Να σπξλξγίρεςε ςη γχμιακή ςαυύςηςα πεοιρςοξτήπ ςξσ ςσμπάμξσ.

2) Να σπξλξγίρεςε ςημ ιρυύ ςξσ κιμηςήοα.

β) ςξ ρυήμα (β) δείυμεςαι ξ ίδιξπ αμελκσρςήοαπ ρςξμ ξπξίξ έυει ποξραομξρςεί έμα

αμςίβαοξ Α βάοξσπ Aw 1800N . Ο θάλαμξπ αμεβαίμει πάλι με ρςαθεοή ςαυύςηςα

μέςοξσ 1m / s .

1) Να σπξλξγίρεςε ςημ μέα οξπή ςξσ κιμηςήοα, πξσ αρκείςαι ρςξ ςύμπαμξ.

2) Να σπξλξγίρεςε ςημ μέα ιρυύ ςξσ κιμηςήοα.

Λύρη

α)

1) Όςαμ ξ θάλαμξπ αμέβει καςά y θα ςσλιυςεί μήμα μήκξσπ s , για ςξ ξπξίξ ιρυύει:

y s R .

Διαιοώμςαπ με ςξ αμςίρςξιυξ υοξμικό διάρςημα παίομξσμε:

y s 1m / s radR R 4

t t R 0,25m s

R K

Α

(α)

R K

Θ Θ

(β)

80

2) Δπειδή ξ θάλαμξπ αμεβαίμει με ρςαθεοή ςαυύςηςα, ιρυύει:

F 0 w '

Όμχπ ΄ έυξσμ ίδιξ μέςοξ. Άοα ςξ μέςοξ ςηπ ςάρηπ ςξσ ρσομαςόρυξιμξσ είμαι

ίρξ με ςξ μέςοξ ςξσ βάοξσπ w ςξσ θαλάμξσ, w .

υήμα (α):

Δπειδή ςξ ςύμπαμξ ρςοέτεςαι με ρςαθεοή γχμιακή ςαυύςηςα η ρσμξλική οξπή πξσ

αρκείςαι ρςξ ςύμπαμξ είμαι μηδέμ, ξπόςε για ςη οξπή 1 πξσ αρκεί ξ κιμηςήοαπ ρςξ

ςύμπαμξ ιρυύει:

1 10 R 0 R

Για ςημ ιρυύ ςξσ κιμηςήοα, ρυήμα (α), έυξσμε:

1 1 1 1 1

mP P w R P w 2000N 1 P 2000W

R s

β)

1) Δπειδή ςξ ςύμπαμξ ρςοέτεςαι με ρςαθεοή γχμιακή ςαυύςηςα, ιρυύει όςι :

2 A 2 A

2 A 2

0 w R w R 0 w R w R

(w w ) R (2000N 1800N) 0,25m 50Nm

R K

(α)

Θ

Θw

'T

T

81

Για ςημ ιρυύ ςξσ κιμηςήοα έυξσμε:

2 2 2 A 2 A

2 2

P P (w R w R) P (w w )R

mP (2000N 1800N) 1 P 200W

s

Α

R K

Θ

(β) Θw

'T

T

'TA

AT

Aw

82

Άσκηση 10.

Μια ρσμπαγήπ ρταίοα μάζαπ m 1kg και ακςίμαπ R 0,2m μπξοεί μα κσλά (υχοίπ μα

ξλιρθαίμει) ρε πλάγιξ επίπεδξ γχμίαπ τ. ‘Όςαμ ασςή ατεθεί ελεύθεοη μα κσλήρει ρςξ

επίπεδξ, ξ οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ρςοξτξομήπ ςηπ χπ ποξπ ςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ έυει

μέςοξ 2 22 / 7 kgm / s .

α. Να ρυεδιάρεςε ςιπ δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςη ρταίοα.

β. Να σπξλξγίρεςε ςξ μέςοξ ςηπ ρςαςικήπ ςοιβήπ.

γ. Να σπξλξγίρεςε ςημ επιςάυσμρη ςξσ κέμςοξσ μάζαπ.

δ. Να σπξλξγίρεςε ςξ ημτ ςηπ γχμίαπ τ ςξσ πλάγιξσ επιπέδξσ.

Δίμξμςαι: 2g 10m / s και η οξπή αδοάμειαπ ςηπ ρταίοαπ χπ ποξπ άνξμα πξσ πεομά από

ςξ κέμςοξ μάζαπ 2

cmI 2mR / 5 .

Λύρη

α. Οι δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςη ρταίοα είμαι:

ςξ βάοξπ πξσ αμαλύεςαι ρε δύξ κάθεςεπ ρσμιρςώρεπ

η δύμαμη ρςήοινηπ Ν από ςξ πλάγιξ επίπεδξ και

η δύμαμη ςηπ ρςαςικήπ ςοιβήπ, Σ, πξσ ποξκαλεί ςημ πεοιρςοξτή ςηπ ρταίοαπ.

β. Ο οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ρςοξτξομήπ ςηπ ρταίοαπ χπ ποξπ ςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ

ιρξύςαι με ςη ρσμιρςαμέμη ςχμ οξπώμ. Μόμξ η ρςαςική ςοιβή, Σ, ποξκαλεί οξπή ρςη

ρταίοα.

83

2 2

Στ T R T T

2kgm / s

dL dL / dt 107 Ndt R 0,2m 7

γ. Eτόρξμ η ρταίοα κσλάει, ιρυύει: cm γωνα α R .

Με εταομξγή ςξσ θεμελιώδη μόμξσ ςηπ Μηυαμικήπ για ςη ρςοξτική κίμηρη παίομξσμε:

2 cmγων cm cm 2

αmR α α

105 N

2 5Τ 25 m7Στ I α T R5 R 2m 2 1kg 7 s

δ. Με εταομξγή ςξσ θεμελιώδη μόμξσ ςηπ Μηυαμικήπ για ςη μεςατξοική κίμηρη

παίομξσμε:

2cm

cm cm 2

αα α

10 25 mN 1kg

T m 17 7 sΣF m mgημυ T m ημυ ημυmg 1kg 10m / s 2

84

Άσκηση 11.

To ρταιοίδιξ ςξσ ρυήμαςξπ έυει μάζα

m 1kg και εκςελεί ξμαλή κσκλική

κίμηρη ακςίμαπ 1R 0,5m με γχμιακή

ςαυύςηςα μέςοξσ 1ω 2rad / s πάμχ ρε

λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ πξσ έυει ρςξ

μέρξ ςξσ ξπή. Σξ ρταιοίδιξ είμαι

δεμέμξ ρε λεπςό αβαοέπ και μη εκςαςό

μήμα ςξ ξπξίξ πεομά από ςημ

καςακόοστη ξπή και καςαλήγει ρςξ

υέοι ςξσ πειοαμαςιρςή. Σξ μήμα μπξοεί μα ξλιρθαίμει ρςα ςξιυώμαςα ςηπ ξπήπ υχοίπ

ςοιβέπ. Ο πειοαμαςιρςήπ καςεβάζει καςακόοστα ςξ υέοι ςξσ ποξρτέοξμςαπ ρςξ

ρταιοίδιξ εμέογεια 7,5J , ξπόςε η ακςίμα πεοιρςοξτήπ ςξσ ρταιοιδίξσ μειώμεςαι ρε 2R .


α. ςξ μέςοξ ςηπ κεμςοξμόλξσ δύμαμηπ πξσ αρκεί ςξ υέοι μέρχ ςξσ μήμαςξπ ρςξ

ρταιοίδιξ, καθώπ ασςό πεοιρςοέτεςαι με γχμιακή ςαυύςηςα μέςοξσ χ1.

β. ςξ μέςοξ ςηπ ρςοξτξομήπ ςξσ ρταιοιδίξσ.

γ. ςη γοαμμική ςαυύςηςα πεοιρςοξτήπ ςξσ ρταιοιδίξσ ρςημ ακςίμα 2R .

δ. ςημ καςακόοστη μεςαςόπιρη ςξσ υεοιξύ ςξσ πειοαμαςιρςή.

Λύρη

α. Σξ μέςοξ ςηπ κεμςοξμόλξσ δύμαμηπ είμαι:

22 21

1 1 1 1 1

1

mυΤ mω R T 1kg (2r/ s) 0,5m T 2N

R

85

β. Σξ μέςοξ ςηπ ρςοξτξομήπ δίμεςαι από ςη ρυέρη

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1L mυ R mω R L 1kg (2r/ s) (0,5m) L 0,5kgm / s

γ. Η εμέογεια πξσ ποξρέτεοε ξ πειοαμαςιρςήπ, καθώπ καςέβαζε ςξ μήμα με ςξ υέοι ςξσ,

ιρξύςαι με ςη μεςαβξλή ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρταιοιδίξσ.

2 22 2 1 F2 1 F 2 2

υ 2W1 1 (1m / s) 2 7,5J mmυ mυ W υ υ 4

2 2 m 1kg s

δ. Όςαμ ξ πειοαμαςιρςήπ μειώμει ςημ ακςίμα ςηπ κσκλικήπ ςοξυιάπ, ξ τξοέαπ ςηπ

δύμαμηπ πξσ αρκεί ρςξ ρταιοίδιξ διέουεςαι από ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ, ξπόςε ρςξ

ρταιοίδιξ δεμ αρκείςαι ενχςεοική οξπή με απξςέλερμα η ρςοξτξομή ςξσ μα διαςηοείςαι

ρςαθεοή.

Δπξμέμχπ 2

2 1L L 0,5kgm / s .

2

22 2 2 2 2

2

L 0,5kgm / sL mυ R R R 0,125m

mυ 1kg 4m / s

Άοα ςξ μήμα καςέβηκε καςά 1 2Γx R R 0,5m 0,125m ή Γx 0,375m

86

Άσκηση 12.

O ξοιζόμςιξπ δίρκξπ ςξσ ρυήμαςξπ ρςοέτεςαι υχοίπ ςοιβέπ

γύοχ από ρςαθεοό καςακόοστξ άνξμα πξσ ρσμπίπςει με ςξμ

άνξμα ρσμμεςοίαπ ςξσ με γχμιακή ςαυύςηςα μέςοξσ

oω 10rad / s . Ση υοξμική ρςιγμή t 0 αρκξύμςαι ρςξ δίρκξ

δύξ εταπςξμεμικέπ ξοιζόμςιεπ ρςαθεοέπ δσμάμειπ 1F 18N και

2F όπχπ ρςξ ρυήμα. Ση ρςιγμή 1t 5s πξσ ςξ μέςοξ ςηπ

γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ςξσ δίρκξσ είμαι 1ω 30rad / s , η 1F καςαογείςαι και ςη ρςιγμή

2t 20s , ξ δίρκξπ ρςαμαςά ρςιγμιαία.

Α. Να βοείςε ςα μέςοα ςχμ γχμιακώμ επιςαυύμρεχμ ςξσ δίρκξσ από ςη υοξμική ρςιγμή

t 0 μέυοι ςη ρςιγμή 2t πξσ θα ρςαμαςήρει ρςιγμιαία.

Β. Να ρυεδιάρεςε ςξ διάγοαμμα ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ςξσ δίρκξσ ρε ρσμάοςηρη με ςξ

υοόμξ από ςη υοξμική ρςιγμή t 0 μέυοι ςη ρςιγμή 2t ρε αοιθμημέμξσπ άνξμεπ.

Γ. Να σπξλξγίρεςε ςξμ αοιθμό ςχμ πεοιρςοξτώμ ςξσ δίρκξσ από ςη υοξμική ρςιγμή t 0

μέυοι ςη ρςιγμή 2t .

Δ. Να βοείςε ςξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ 2F .

Λύρη

A. Από 0 έχπ 1t , η γχμιακή ςαυύςηςα ασνάμεςαι, ξπόςε η οξπή ςηπ 1F είμαι μεγαλύςεοη

ςηπ οξπήπ ςηπ 2F . ςξ δίρκξ αρκξύμςαι ρςαθεοέπ οξπέπ και ασςόπ πεοιρςοέτεςαι με

ρςαθεοή γχμιακή επιςάυσμρη. Σξ μέςοξ ςηπ επιςάυσμρήπ ςξσ από 0 έχπ 1t είμαι:

1 ογων1 γων1 γων1 2

ω ωΓω 30r / s 10r / s radα α α 4

Γt Γt 5s s

Από 1t έχπ 2t καςαογείςαι η 1F και αρκείςαι μόμξ η ρςαθεοή οξπή ςηπ δύμαμηπ 2F με

απξςέλερμα ξ δίρκξπ μα επιβοαδύμεςαι με ρςαθεοό οσθμό. ςξ υοξμικό διάρςημα

2 1t t 15s , η γχμιακή ςαυύςηςα ςξσ δίρκξσ από 30rad / s μηδεμίζεςαι. Άοα,

γων2 γων2 2

Γω 30 r / s radα α 2

Γt 15 s s

87

Β. Σξ διάγοαμμα ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ρε

ρυέρη με ςξ υοόμξ δίμεςαι ρςξ διπλαμό ρυήμα.

Γ. Ο αοιθμόπ Ν ςχμ πεοιρςοξτώμ δίμεςαι από ςη ρυέρη Γθ

N2π

, (1)

Η γχμιακή μεςαςόπιρη Δθ ςξσ δίρκξσ ιρξύςαι αοιθμηςικά με ςξ εμβαδόμ πξσ

πεοικλείεςαι μεςανύ ςηπ γοατικήπ παοάρςαρηπ ςξσ χ-t και ςξσ άνξμα ςχμ υοόμχμ.

10 30 1Γθ εμβ. 5rad 15 30rad Γθ 325rad

2 2

Αμςικαθιρςώμςαπ ρςημ (1) παίομξσμε, Ν 162,5 / π πεοιρςοξτέπ.

Δ. Για ςξ υοξμικό διάρςημα από 0 έχπ 1t , ξ θεμελιώδηπ μόμξπ ςηπ Μηυαμικήπ για ςημ

πεοιρςοξτή γοάτεςαι:

γων1 1 2 γων1Στ I α FR F R I α , (2)

Για ςξ υοξμικό διάρςημα από 1t έχπ 2t , ξ θεμελιώδηπ μόμξπ ςηπ Μηυαμικήπ για ςημ

πεοιρςοξτή γοάτεςαι: γων2 2 γων2Στ I α F R I α , (2)

Διαιοώμςαπ ςιπ (1), (2) καςά μέλη παίομξσμε:

γων11 2 22

2 γων2 2

I αFR F R 18 F 4F 6N

F R I α F 2

88

Άσκηση 13.

Η ρταίοα ςξσ διπλαμξύ ρυήμαςξπ έυει μάζα

m 60kg , ακςίμα R 1m και ςξ εμπόδιξ έυει ύφξπ

h 0,4m . Αρκξύμε ρςξ φηλόςεοξ ρημείξ ςηπ ρταίοαπ

εταπςξμεμικά ξοιζόμςια δύμαμη μέςοξσ F 400N η

ξπξία παοαμέμει διαοκώπ ρςαθεοή ρε καςεύθσμρη και

μέςοξ, με ρσμέπεια η ρταίοα μα σπεοπηδά ςξ

εμπόδιξ.

Α. Να σπξλξγίρεςε ςη οξπή αδοάμειαπ ςηπ ρταίοαπ χπ ποξπ ςξμ ξοιζόμςιξ άνξμα πξσ

διέουεςαι από ςξ ρημείξ Α και είμαι κάθεςξπ ρςξ επίπεδξ ςηπ ρελίδαπ.

Β. Ση υοξμική ρςιγμή πξσ βοίρκξμςαι ρςημ ίδια καςακόοστξ ςξ ρημείξ Α, ςξ κέμςοξ

μάζαπ Κ ςηπ ρταίοαπ και ςξ ρημείξ εταομξγήπ ςηπ δύμαμηπ F, μα:

1. ρυεδιάρεςε ςιπ δσμάμειπ πξσ ακξύμςαι ρςη ρταίοα (μα αγμξηθεί η ρςαςική ςοιβή).

2. σπξλξγίρεςε ςη γχμιακή επιςάυσμρη ςηπ ρταίοαπ χπ ποξπ ςξμ άνξμα

πεοιρςοξτήπ πξσ διέουεςαι από ςξ ρημείξ Α.

3. σπξλξγίρεςε ςη γχμιακή ςαυύςηςα ςηπ ρταίοαπ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ

πξσ διέουεςαι από ςξ ρημείξ Α.

Δίμξμςαι 2g 10m / s και η οξπή αδοάμειαπ ςηπ ρταίοαπ χπ ποξπ άνξμα πξσ πεομά από

ςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ 2

cmΙ 2mR / 5 .

Λύρη

Α. Η οξπή αδοάμειαπ ςηπ ρταίοαπ χπ ποξπ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ ρημείξ Α

βοίρκεςαι με εταομξγή ςξσ θεχοήμαςξπ ςχμ παοάλληλχμ ανόμχμ.

2 2 2 2 2 2

A cm A A

2 7 7I I mR mR mR I mR 60kg (1m) I 84kgm

5 5 5

Β.

1. Οι δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςημ ρταίοα όςαμ

ςα ρημεία Α,Κ,Γ βοίρκξμςαι ρςημ ίδια

καςακόοστξ είμαι:

η ξοιζόμςια δύμαμη F,

ςξ βάοξπ w,

η κάθεςη δύμαμη ρςήοινηπ Ν.

89

2. Με εταομξγή ςξσ θεμελιώδη μόμξσ ςηπ Μηυαμικήπ για πεοιρςοξτή γύοχ από άνξμα

πξσ διέουεςαι από ςξ ρημείξ επατήπ Α παίομξσμε:

(A) A γων A γωνΣτ I α F 2R I α

2

γων γων2

A

F 2R 400N 2 1m 200α α rad / s

I 84kgm 21

3. Με εταομξγή ςξσ θεχοήμαςξπ μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ρςη ρςοξτική

κίμηρη μεςανύ ςχμ δύξ θέρεχμ παίομξσμε:

2

τελ αρχ A F w

1K K ΣW I ω 0 W W

2 (2)

F FW Fx 400N 0,8m W 320J

2

w τελ αρχ wW U U mgh 60kg 10m / s 0,4m W 240J

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ ρυέρη (2) παίομξσμε:

2 2 2

A F w

1 1 40I ω 0 W W 84kgm ω 320J 240J ω r / s

2 2 21

90

ΘΔΜΑ Δ

Πρόβλημα 1.

Η λεπςή, ξμξγεμήπ οάβδξπ ΟΑ ςξσ ρυήμαςξπ έυει μήκξπ L , μάζα M και μπξοεί μα

πεοιρςοέτεςαι ρε καςακόοστξ επίπεδξ γύοχ από ξοιζόμςιξ ακλόμηςξ άνξμα (άοθοχρη)

πξσ διέουεςαι από ςξ άκοξ ςηπ Ο. ςξ άλλξ άκοξ Α ςηπ οάβδξσ είμαι δεμέμξ έμα αβαοέπ

μήμα, ρςξ άλλξ άκοξ ςξσ ξπξίξσ είμαι αμαοςημέμξ, μέρχ ςοξυαλίαπ ακςίμαπ R, έμα

ρώμα μάζαπ 1m 0,1 5 kg .

Σξ μήμα είμαι κάθεςξ ρςη οάβδξ ΟΑ ρςξ άκοξ ςηπ Α. Η οάβδξπ, ςξ ρώμα και η

ςοξυαλία ιρξοοξπξύμ ακίμηςα, με ςη οάβδξ μα ρυημαςίζει γχμία 045 με ςξ ξοιζόμςιξ

δάπεδξ. Να βοείςε:

α) ςξ μέςοξ ςηπ ςάρηπ 1T ςξσ μήμαςξπ ρςξ ρημείξ Α.

β) ςη μάζα M ςηπ οάβδξσ.

γ) ςξ μήκξπ L ςηπ οάβδξσ, αμ η οξπή αδοάμειάπ ςηπ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πξσ διέουεςαι

από ςξ ρημείξ Ο είμαι 4 2

OI 15 10 10 kgm .

δ) Σξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ F πξσ αρκεί η άοθοχρη ρςη οάβδξ.

Δίμξμςαι: Η επιςάυσμρη βαούςηςαπ 2

mg 10

s

και η οξπή αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ άνξμα πξσ διέουεςαι απξ ςξ κέμςοξ μάζαπ

είμαι 21

12cmI ml

Ο

Κ

Α

R

φ

91

Λύρη

α) ςξ ρυήμα ταίμξμςαι ξι δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςη οάβδξ και ρςξ ρώμα, καθώπ και

ξι δσμάμειπ πξσ αρκξύμ οξπή ρςημ ςοξυαλία (χπ ποξπ ςξμ άνξμά ςηπ):

Δπειδή ςξ ρώμα ιρξοοξπεί, ιρυύει:

1 2 1 2 1 2F 0 T w T m g T 5 N

Δπειδή ςξ μήμα είμαι αβαοέπ, έυξσμε:

2 2 2 2 2T ' T T ' T T ' 5 N

Δπειδή η ςοξυαλία ιρξοοξπεί, ιρυύει (χπ ποξπ ςξμ άνξμά ςηπ):

2 1 2 1 10 T ' R T ' R T ' T ' T ' 5 N

Δπειδή ςξ μήμα είμαι αβαοέπ, έυξσμε:

1 1 1 1T ' T T ' T 1T 5 N

Ο

Κ

Α

R

1τ

wτ

w

1T

'T1

2T

'T2

F

xF

yF

F

xF

yF

θ

'2τ

'1τ

1w

92

β) Δπειδή η οάβδξπ ιρξοοξπεί, ιρυύει (χπ ποξπ ςξμ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ Ο):

w 1 w 1 w 10 0 L

Σξ μέςοξ ςηπ οξπήπ w ςξσ βάοξσπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ

ρημείξ Ο δίμεςαι από ςξμ ςύπξ:

w w d , όπξσ d είμαι ξ μξυλξβοαυίξμαπ ςξσ βάοξσπ w . Ιρυύει όςι:

0L L 2d (OK) d 45 d

2 4

Δπξμέμχπ:

w w w

L 2w d Mg d M 10 (SI)

4 w

5L 2M (SI)

2

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη w 1 L έυξσμε:

w 1

5L 2L M 5 L

2

2 5M kg

5 2

2 5 2M kg

5 2 2

M 0,2 10 kg

γ) Η οξπή αδοάμειάπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ ρημείξ Ο και

η οξπή αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ

ρυεςίζξμςαι με ςξ θεώοημα Steiner.

Ο

Κ

Α

wτ

w

φ

d

93

2

2 2 2

(O) cm (O) (O)

4 2(O)

L 1 1 1I I M I ML ML I ML

2 12 4 3

3 I 3 15 10 10 kgmL L 0,15m

M 0,2 10kg

δ) Αμαλύξσμε ςημ 1T ρε δύξ ρσμιρςώρεπ: μία καςακόοστη και μία ξοιζόμςια, όπχπ έυει

αμαλσθεί και η F . Δπειδή η 1T είμαι κάθεςη ρςη οάβδξ και η 1yT είμαι καςακόοστη, η

γχμία πξσ ρυημαςίζξσμ θα είμαι ίρη με ςη γχμία πξσ ρυημαςίζει η οάβδξπ με ςημ

ξοιζόμςια διεύθσμρη (όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα).

Δπειδή η οάβδξπ ιρξοοξπεί, ιρυύει:

x x 1x x 1 x

10F 0 F T F T F N

2

y y 1y y 1F 0 F T w F Mg T

y y

2 3F 2 10N 5 N F 10 N

2 2

Με υοήρη ςξσ Πσθαγξοείξσ Θεχοήμαςξπ έυξσμε:

2 2

2 2 2 2

x y

10 3 10F F F F N N

2 2

2 2 2 210 90F N F 25N

4 4

F 5 N

Ο

Κ

Α

1τ

wτ

w

xF

yF

F

xF

yF

θ

1T

1T

φ

x1Τ

y1T

φ

94

Πρόβλημα 2.

Λεπςή ξμξγεμήπ και ιρξπαυήπ οάβδξπ ΒΑ με μήκξπ L 0,6 3 m και μάζα M 5 kg

ιρξοοξπεί ρε ξοιζόμςια θέρη, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα. ςξ ρημείξ ςηπ Ο σπάουει

ακλόμηςη ξοιζόμςια άοθοχρη γύοχ από ςημ ξπξία η οάβδξπ μπξοεί μα πεοιρςοέτεςαι

ρςξ καςακόοστξ επίπεδξ υχοίπ ςοιβέπ, εμώ ρςξ ρημείξ Γ σπάουει ρςεοεχμέμξ

αμεληςέχμ διαρςάρεχμ ρταιοίδιξ μάζαπ 1m . Η απόρςαρη (ΓΟ) είμαι ίρη με 30 cm , εμώ

η απόρςαρη (ΟΜ) είμαι ίρη με 10cm , όπξσ Μ είμαι ςξ μέρξ ςηπ οάβδξσ ΒΑ.

α) Να σπξλξγίρεςε ςη μάζα 1m .

β) Δμώ ςξ ρύρςημα βοίρκεςαι ρε ιρξοοξπία ποξρκξλλάμε ρςξ ρημείξ Μ ρημειακή μάζα

2

65m kg

99 με ρσμέπεια η οάβδξπ σπό ςημ επίδοαρη ςηπ βαούςηςαπ μα πεοιρςοατεί

υχοίπ ςοιβέπ γύοχ από ςξ ρημείξ Ο.


β1) Ση οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ πξσ διέουεςαι

από ςξ ρημείξ Ο.

β2) Ση γχμιακή επιςάυσμρη ςξσ ρσρςήμαςξπ οάβδξσ-μαζώμ ρςημ ξοιζόμςια θέρη αμέρχπ

μεςά ςημ ποξρκόλληρη ςηπ μάζαπ 2m .

β3) Ση ρςοξτξομή ρσρςήμαςξπ οάβδξσ-μαζώμ ρςημ καςακόοστη θέρη.

Δίμξμςαι: η οξπή αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ

μάζαπ ςηπ 2

cm

1I ML

12 ,

2

mg 10

s

95

Λύρη

α) Οι δσμάμειπ πξσ αρκξύμ οξπή ρςξ ρύρςημα οάβδξπ – ρταιοίδιξ είμαι ξι ενήπ:

ςξ βάοξπ w ςηπ οάβδξσ, πξσ αρκεί ςη οξπή .

ςξ βάοξπ 1w ςξσ ρταιοιδίξσ, πξσ αρκεί ςη οξπή 1 .

Οι καςεσθύμρειπ ςχμ οξπώμ ταίμξμςαι ρςξ ρυήμα:

Για ςη ρςοξτική ιρξοοξπία ςηπ οάβδξσ ιρυύει:

1(O) w w0 0 (1)

Σα μέςοα ςχμ οξπώμ ςχμ δσμάμεχμ είμαι:

1w (OM) Mg (OM) 50N 10 m 5 Nm

2 1

1 1 1 1 1 1 1 1w ( O) m g ( O) m 10m/s 3 10 m m 3 (SI)

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ (1) έυξσμε:

1 10 m 0,3 0,5 1

5m kg

3

β1) Για ςη οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ ιρυύει:

2 2

(O) (O) 1 2I I m ( ) m ( M) (2)

Δπειδή ξ άνξμαπ πεοιρςοξτήπ είμαι παοάλληλξπ ρε ξοιζόμςιξ άνξμα πξσ διέουεςαι από

ςξ κέμςοξ μάζαπ, θα υοηριμξπξιήρξσμε ςξ θεώοημα Steiner για μα σπξλξγίρξσμε ςη

οξπή αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςηπ Ο:

96

2 2 2

(O) cm

1I I M (OM) I ML M (OM)

12

2 2

(O)

1I 5kg (0,6 3m) 5kg (0,1m)

12

2

(O)I 0,5 kgm


2 2 2 2 2

(O) (O) 1 2

2

(O)

5 65I I m ( ) m ( M) 0,5kgm kg (0,3m) kg (0,1m)

3 99

65I kgm

99

β2) Για ςξμ σπξλξγιρμό ςηπ επιςάυσμρηπ ςηπ οάβδξσ ρςημ ξοιζόμςια θέρη, θα

υοηριμξπξιήρξσμε ςξ Θεμελιώδη Νόμξ ςηπ ςοξτικήπ Κίμηρηπ. Οι οξπέπ ςξσ βάοξσπ w

ςηπ οάβδξσ και ςξσ βάοξπ 1w ςξσ ρταιοιδίξσ αλληλξαμαιοξύμςαι, ξπόςε η γχμιακή

επιςάυσμρη ςξσ ρσρςήμαςξπ θα ξτείλεςαι μόμξ ρςη οξπή ςξσ βάοξσπ 2w.

2(O) 2

22(O) (O)

65 mkg 10 0,1m

m g(OM) rad99 sa a a 165I I s

kgm99

Η καςεύθσμρη ςηπ επιςάυσμρηπ είμαι ξμόοοξπη με ςημ καςεύθσμρη ςηπ ρσμξλικήπ οξπήπ,

η ξπξία ταίμεςαι ρςξ ρυήμα:

β3) Η ρςοξτξομή ςξσ ρσρςήμαςξπ θα βοεθεί από ςη ρυέρη L I (3)

Για ςημ εύοερη ςξσ μέςοξσ ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ρςημ καςακόοστη θέρη θα

υοηριμξπξιήρξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ παίομξμςαπ χπ επίπεδξ

μηδεμικήπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςξ επίπεδξ πξσ διέουεςαι από ςημ ςελική θέρη ςξσ

κέμςοξσ μάζαπ ςηπ οάβδξσ.

97

2

1 2 1 ( )

1U K U K (m m M)g(OM) 0 m g[(OM) (O )] I

2

22 2 2

2 ( )2(O)

65 m2 kg 10 0,1m

2m g (OM)1 rad99 sm g(OM) I 2652 I s

kgm99


2 265 rad 65 2L I L kgm 2 L kgm / s

99 s 99

Η καςεύθσμρη ςηπ ρςοξτξομήπ είμαι ξμόοοξπη με ςημ καςεύθσμρη ςηπ γχμιακήπ

ςαυύςηςαπ και ταίμεςαι ρςξ ρυήμα:

98

Πρόβλημα 3.

Ο ςοξυόπ ςξσ ρυήμαςξπ έυει ακςίμα R 0,1m και ρςοέτεςαι γύοχ από ξοιζόμςιξ

ρςαθεοό άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ ςξσ με ρςοξτξομή μέςοξσ 2

0

kgmL 20

s . Η

οάβδξπ ΑΟΒ ςξσ ρυήμαςξπ έυει μήκξπ d 0,4 m , είμαι αβαοήπ και μπξοεί μα ρςοέτεςαι

γύοχ από ξοιζόμςιξ ρςαθεοό άνξμα πξσ πεομά από ςξ ρημείξ Ο και είμαι παοάλληλξπ

ρςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ ςοξυξύ. Ση υοξμική ρςιγμή 0t 0 αρκείςαι ρςξ άκοξ Β ςηπ

οάβδξσ καςακόοστη δύμαμη μέςοξσ F 400 N με απξςέλερμα η οάβδξπ μα ετάπςεςαι

ρςξμ ςοξυό ρςξ άκοξ ςηπ Α. Η οάβδξπ ιρξοοξπεί ξοιζόμςια, εμώ ξ ςοξυόπ, λόγχ ςοιβώμ

ρςξ ρημείξ επατήπ με ςη οάβδξ, επιβοαδύμεςαι και ςελικά ρςαμαςά. Η ςοιβή ξλίρθηρηπ

πξσ αρκεί η οάβδξπ ρςξμ ςοξυό, όρξ ασςόπ πεοιρςοέτεςαι, έυει μέςοξ T 10 N .

Να βοείςε:

α) Σημ απόρςαρη (ΑΟ).

β) Σξ μέςοξ ςξσ οσθμξύ μεςαβξλήπ ςηπ ρςοξτξομήπ ςξσ ςοξυξύ, dL

dt, καςά ςη διάοκεια

ςηπ ρςοξτικήπ ςξσ κίμηρηπ.

γ) Σξ οσθμό μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ςοξυξύ, dK

dt, ςη ρςιγμή πξσ ςξ

μέςοξ ςηπ γχμιακήπ ςξσ ςαυύςηςαπ είμαι ςξ μιρό από ςξ αουικό.

δ) Ση υοξμική ρςιγμή 1t καςά ςημ ξπξία ξ ςοξυόπ ακιμηςξπξιείςαι καθώπ και ςη μέρη

ιρυύ P ςηπ οξπήπ πξσ ςξμ ακιμηςξπξίηρε (ρε απόλσςη ςιμή).

Δίμξμςαι: Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ςοξυξύ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ 2I 2 kgm

και ξ ρσμςελερςήπ ςοιβήπ ξλίρθηρηπ μεςανύ ςοξυξύ και ςηπ οάβδξσ 0,1 .

99

Λύρη

α) Η ςοιβή ξλίρθηρηπ πξσ αρκεί η οάβδξπ ΑΟΒ ρςξμ ςοξυό, όρξ ασςόπ πεοιρςοέτεςαι,

δίμεςαι από ςξμ ςύπξ T N , όπξσ N η κάθεςη δύμαμη επατήπ πξσ αρκεί η οάβδξπ

ΑΟΒ ρςξμ ςοξυό. Με επίλσρη χπ ποξπ Ν και αμςικαςάρςαρη έυξσμε

T 10NN N 100 N

0,1

Από ςξμ 3ξ Νόμξ Newton, η κάθεςη δύμαμη επατήπ πξσ αρκεί η οάβδξπ ΑΟΒ ρςξμ ςοξυό

έυει ίρξ μέςοξ με ςημ κάθεςη δύμαμη επατήπ N πξσ αρκεί ξ ςοξυόπ ρςη οάβδξ ΑΟΒ

(βλ. ςξ παοακάςχ ρυήμα). Δπξμέμχπ: N 100 N

Οι δσμάμειπ πξσ αρκξύμ οξπή ρςη οάβδξ ΑΟΒ είμαι ξι ενήπ:

η καςακόοστη δύμαμη F , πξσ αρκεί ςη οξπή

η κάθεςη δύμαμη επατήπ N πξσ αρκεί ξ ςοξυόπ ρςη οάβδξ ΑΟΒ, πξσ αρκεί ςη οξπή 1 .

Οι καςεσθύμρειπ ςχμ οξπώμ ταίμξμςαι ρςξ ρυήμα:

Για μα ιρξοοξπεί η οάβδξπ ΑΟΒ ρε ξοιζόμςια θέρη, ποέπει μα ιρυύει:

0 (χπ ποξπ ςξ ρημείξ Ο) (1)

Θέςξσμε (AO) x .

Σα μέςοα ςχμ οξπώμ ςχμ δσμάμεχμ είμαι:

F (OB) 400 (0,4 x) (SI) 160 400x (SI)

1 1N x 100x (SI)

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) έυξσμε:

10 160 400x 100x 500x 160 (AO) 0,32 m

100

β) Σξ μέςοξ ςξσ οσθμξύ μεςαβξλήπ ςηπ ρςοξτξομήπ ςξσ ςοξυξύ καςά ςη διάοκεια ςηπ

ρςοξτικήπ ςξσ κίμηρηπ ιρξύςαι με ςξ μέςοξ ςηπ ρσμξλικήπ οξπήπ πξσ αρκείςαι ρςξμ

ςοξυό: dL

dt (2)

Η μόμη δύμαμη πξσ αρκεί οξπή ρςξμ ςοξυό είμαι η ςοιβή ξλίρθηρηπ, η ξπξία είμαι

ρςαθεοή. Η καςεύθσμρη ςηπ οξπήπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα.

Σξ μέςοξ ςηπ οξπήπ ςηπ ςοιβήπ ξλίρθηρηπ είμαι:

2 2T R 10N 0,1m 1 Nm


2

dL

dt

2

2

dL kgm1

dt s

γ) Ο οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ δίμεςαι από ςξμ ςύπξ:

FdWdK

dt dt

(3)

Σξ μέςοξ ςηπ αουικήπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ χ0 βοίρκεςαι από ςξμ ςύπξ: 0 0L I . Με

αμςικαςάρςαρη έυξσμε:

2

00 02

L 20kgm / s rad10

I 2kgm s

Δπξμέμχπ, όςαμ ςξ μέςοξ ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ είμαι ςξ μιρό από ςξ αουικό θα είμαι:

rad5

s .


K

T

N

2τ

101

dK rad dK J1Nm 5 5

dt s dt s

δ) Ση υοξμική ρςιγμή 1t καςά ςημ ξπξία ξ ςοξυόπ ακιμηςξπξιείςαι θα ιρυύει 1L 0 .

Δπειδή 2

2

dL kgm1 .

dt s έυξσμε (SI):

0

1 1

0 LL 201 1 1

t t 0 t

1t 20 s

Η μέρη ιρυύπ P ςηπ οξπήπ πξσ ακιμηςξπξίηρε ςξμ ςοξυό (ρε απόλσςη ςιμή) δίμεςαι από

ςξμ ςύπξ: 1

WP

t , όπξσ W ςξ έογξ ςηπ οξπήπ πξσ ακιμηςξπξίηρε ςξμ ςοξυό.

Από ςξ Θεώοημα Έογξσ – Δμέογειαπ, για ςη ρςοξτική κίμηρη αμ θέρξσμε χπ αουική ςη

ρςιγμή 0t 0 και χπ ςελική ςη ρςιγμή 1t 20 s , έυξσμε:

2 2

0

1 1K W 0 I W W I W 100 J

2 2

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη 1

WP

t έυξσμε:

1

W 100JP P

t 20s P 5 W

102

Πρόβλημα 4.

Η ςοξυαλία ςξσ ρυήμαςξπ μπξοεί μα πεοιρςοέτεςαι γύοχ από ξοιζόμςιξ ακλόμηςξ

άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ ςηπ και είμαι κάθεςξπ ρςξ επίπεδό ςηπ. Η οξπή

αδοάμειαπ ςηπ ςοξυαλίαπ χπ ποξπ ςξμ άνξμα ςηπ, είμαι 2I 0,01kgm και η ακςίμα ςηπ

είμαι R 0,1m . Γύοχ από ςημ ςοξυαλία είμαι ςσλιγμέμξ πξλλέπ τξοέπ λεπςό αβαοέπ

και μη εκςαςό μήμα, ςξ ξπξίξ δεμ ξλιρθαίμει πάμχ ρςημ ςοξυαλία. ςη μία άκοη ςξσ

μήμαςξπ έυει αμαοςηθεί ςξ ρώμα 1. ςημ άλλη άκοη ςξσ μήμαςξπ έυει ποξρδεθεί ςξ

ρώμα 2, ςξ ξπξίξ βοίρκεςαι πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ. Σξ ρύρςημα ιρξοοξπεί

ακίμηςξ με ςη βξήθεια ιδαμικξύ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ N

k 100m

, ρςξ ξπξίξ έυει

ποξρδεθεί ρςξ έμα άκοξ ςξσ ςξ ρώμα 2 και ςξ άλλξ άκοξ ςξσ ρε ακλόμηςξ ρςήοιγμα. Σα

ρώμαςα 1 και 2 έυξσμ μάζα m 1kg ςξ καθέμα.

α) Να βοεθεί ςξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ F πξσ αρκεί ςξ ελαςήοιξ ρςξ ρώμα 2 , όςαμ ςξ

ρύρςημα ιρξοοξπεί.

β) Ση υοξμική ρςιγμή 0t 0 κόβξσμε ςξ μήμα ρςξ ρημείξ πξσ ρσμδέει ςξ ρώμα 2 με ςημ

ςοξυαλία, με απξςέλερμα η ςοξυαλία μα νεκιμήρει μα πεοιρςοέτεςαι και ςξ ρύρςημα

ελαςήοιξ – 2 μα νεκιμήρει απλή αομξμική ςαλάμςχρη.

Να βοείςε:

β1) Σξ μέςοξ ςηπ γχμιακήπ επιςάυσμρηπ a ςηπ ςοξυαλίαπ.

β2) Πόρξ έυει καςέβει ςξ ρώμα 1 από ςη υοξμική ρςιγμή 0t 0 μέυοι ςη υοξμική ρςιγμή

1t καςά ςημ ξπξία ςξ μέςοξ ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ςηπ ςοξυαλίαπ γίμεςαι αοιθμηςικά

ίρξ με ςη γχμιακή ρσυμόςηςα ςηπ απλήπ αομξμικήπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρσρςήμαςξπ

ελαςήοιξ – 2.

1Σ

2Σ

Σ

k

103

β3) Σξ οσθμό μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςηπ ςοξυαλίαπ dK

dt ςη υοξμική ρςιγμή

1t όπχπ ασςή καθξοίζεςαι ρςξ ποξηγξύμεμξ εοώςημα.

Δίμεςαι: 2

mg 10

s .

Λύρη

α) υεδιάζξσμε ςιπ δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςα ρώμαςα και ρςημ ςοξυαλία:

ςξ ρυήμα ταίμξμςαι ξι δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξ 1:

η δύμαμη w είμαι ςξ βάοξπ ςξσ ρώμαςξπ,

η δύμαμη 1T αρκείςαι από ςξ καςακόοστξ μήμα.

Δπίρηπ ταίμξμςαι ξι δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξ 2:

η δύμαμη F αρκείςαι από ςξ ελαςήοιξ,

η δύμαμη 2T αρκείςαι από ςξ ξοιζόμςιξ μήμα.

ςημ ςοξυαλία έυξσμ ρυεδιαρςεί ξι δσμάμειπ πξσ αρκξύμ οξπή:

η δύμαμη 1T ' αρκείςαι από ςξ καςακόοστξ μήμα,

η δύμαμη 2T ' αρκείςαι από ςξ ξοιζόμςιξ μήμα.

Για ςημ ιρξοοξπία ςξσ 1 έυξσμε:

104

1 1 1 1F 0 T w T mg T 10 N

Δπειδή ςξ μήμα είμαι αβαοέπ ιρυύει:

1 1T ' T 10 N

Για ςημ ιρξοοξπία ςηπ ςοξυαλίαπ έυξσμε:

2 1 2 10 T 'R T 'R T ' T ' 10 N

Δπειδή ςξ μήμα είμαι αβαοέπ ιρυύει:

2 2T ' T 10 N

Για ςημ ιρξοοξπία ςξσ 2 έυξσμε:

2 2F 0 F T F 10 N

β1) Μόλιπ κόφξσμε ςξ μήμα, η ςοξυαλία θα νεκιμήρει μα πεοιρςοέτεςαι με γχμιακή

επιςάυσμρη a και ςξ 1 μα καςεβαίμει με επιςάυσμρη . ςξ ρυήμα ταίμξμςαι ξι

δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξ 1 και η δύμαμη πξσ αρκεί οξπή ρςημ ςοξυαλία.

Για ςη μεςατξοική κίμηρη ςξσ 1 ιρυύει η Θεμελιώδηπ Δνίρχρη ςηπ Μηυαμικήπ:

1F m w T m T mg m (1)

Για ςη ρςοξτική κίμηρη ςηπ ςοξυαλίαπ ιρυύει ξ Θεμελιώδηπ Νόμξπ ςηπ Μηυαμικήπ για

ςη ρςοξτική κίμηρη

a T'R a TR a

105

και με αμςικαςάρςαρη ςηπ Σ από ςη ρυέρη (1) παίομξσμε:

(mg m )R a mgR mR a

(2)

Δπειδή ςξ μήμα δεμ ξλιρθαίμει πάμχ ρςημ ςοξυαλία, η επιςοόυια επιςάυσμρη a R ςχμ

ρημείχμ ςηπ πεοιτέοειάπ ςηπ είμαι ίρη καςά μέςοξ με ςημ επιςάυσμρη ςξσ 1: a R .

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ (2) έυξσμε:

2

2

2

2 2 2

mgRmgR mR a mgR mR a a a

mR

1kg 10m / s 0,1m rada a 50

0,01kgm 1kg(0,1m) s

β2) Μόλιπ κόφξσμε ςξ μήμα, ςξ 2 εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη με γχμιακή

ρσυμόςηςα k 100N / m rad

10m 1kg s

.

Ψάυμξσμε πόρξ θα έυει καςέβει ςξ ρώμα 1 όςαμ η ςοξυαλία πεοιρςοέτεςαι με γχμιακή

ςαυύςηςα rad

10s

. Δπειδή ςξ μήμα δεμ ξλιρθαίμει πάμχ ρςημ ςοξυαλία, ςξ ρώμα 1 θα

έυει καςέβει καςά h πξσ είμαι ίρξ με ςξ μήκξπ Δs ςξσ ρυξιμιξύ πξσ νεςσλίυςηκε, h s R .

Δταομόζξσμε ςξ Θεώοημα Έογξσ – Δμέογειαπ για ςημ πεοιρςοξτή ςηπ ςοξυαλίαπ.

Θεχοξύμε χπ αουική θέρη ςη θέρη ρςημ ξπξία βοίρκεςαι ςξ ρώμα ςη υοξμική ρςιγμή

0t 0 και χπ ςελική ςη θέρη για ςημ ξπξία ςξ μέςοξ ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ςηπ

ςοξυαλίαπ γίμεςαι rad

10s

. Σξ μξμαδικό έογξ είμαι ασςό ςηπ ςάρηπ ςξσ μήμαςξπ .Με

βάρη ςα παοαπάμχ έυξσμε:

2 2

T'

1 1K W I 0 T ' R I T ' h (3)

2 2

Σξ T ' βοίρκεςαι με αμςικαςάρςαρη ςηπ ςιμήπ 2

rada 50

s ρςη ρυέρη TR a , έυξσμε:

2Σ k

ελF

106

2

2

radT 0,1m 0,01kgm 50 T T ' 5 N

s .

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (3) παίομξσμε

2 21 rad0,01kgm (10 ) 5N h h 0,1m

2 s

β3) Ο οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςηπ ςοξυαλίαπ dK

dt ςη υοξμική ρςιγμή

1t δίμεςαι από ςξμ ςύπξ: dK

dt . Με αμςικαςάρςαρη, έυξσμε:

dK dK dK radT ' R 5N 0,1m 10

dt dt dt s

dK J5

dt s

107

Πρόβλημα 5.

Μια ρσμπαγήπ ξμξγεμήπ ρταίοα μάζαπ m 0,7 kg και ακςίμαπ r , ατήμεςαι από ςξ

ρημείξ Α εμόπ πλάγιξσ επιπέδξσ πξσ ρυημαςίζει γχμία με ςξ ξοιζόμςιξ δάπεδξ. Σξ

ρημείξ Α βοίρκεςαι ρε ύφξπ H 84 cm από ςξ ξοιζόμςιξ δάπεδξ. Η ρταίοα καθώπ

καςέουεςαι κσλιόμεμη διέουεςαι από ςα ρημεία Β και Γ πξσ απέυξσμ από ςξ ρημείξ Α

καςακόοστη απόρςαρη 1h και 2h αμςίρςξιυα, με 2 1h 4h . Μόλιπ η ρταίοα τςάρει ρςη

βάρη ςξσ πλάγιξσ επιπέδξσ, μπαίμει ρε κσκλική ρςετάμη ακςίμαπ R 28 cm . Η ρταίοα

κσλιόμεμη εμςόπ ςηπ κσκλικήπ ρςετάμηπ εκςελεί αμακύκλχρη.

α) Να βοείςε ςξ μέςοξ ςηπ επιςάυσμρηπ ςξσ κέμςοξσ μάζαπ, cm , ςηπ ρταίοαπ καςά ςημ

κίμηρή ςηπ ρςξ πλάγιξ επίπεδξ.

β) Να βοείςε ςξ λόγξ ςχμ μέςοχμ BL

L

ςχμ ρςοξτξομώμ ςηπ ρταίοαπ ρςιπ θέρειπ Β και Γ.

γ) Να βοείςε ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ κέμςοξσ μάζαπ ςηπ ρταίοαπ cm ρςξ αμώςεοξ

ρημείξ ςηπ ρςετάμηπ (ρημείξ Δ ρςξ ρυήμα).

δ) Να βοείςε ςξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ N πξσ δέυεςαι η ρταίοα από ςη ρςετάμη ρςξ ρημείξ

Δ.

Δίμξμςαι: Η οξπή αδοάμειαπ ςηπ ρταίοαπ χπ ποξπ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ

μάζαπ ςηπ: 2

cm

2I mr

5 , ˆ 0,7 . Η ακςίμα ςηπ ρταίοαπ r είμαι πξλύ μικοή ρε ρυέρη

με ςημ ακςίμα R ςηπ ρςετάμηπ, 2

mg 10

s ,

Η

R

h1

h2

Α

Β

Γ

φ

Δ

108

Λύρη

α) υεδιάζξσμε ςιπ δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςη ρταίοα.

ςξ ρυήμα (α) ταίμξμςαι ξι δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςη ρταίοα καθώπ καςέουεςαι ρςξ

πλάγιξ επίπεδξ. ςξ ρυήμα (β) έυει αμαλσθεί ςξ βάοξπ w ρε δύξ ρσμιρςώρεπ:

Για ςη μεςατξοική κίμηρη ςηπ ρταίοαπ ιρυύει η Θεμελιώδηπ Δνίρχρη ςηπ Μηυαμικήπ:

x cm x cm cmF m w T m T mg m (1)

Για ςη ρςοξτική κίμηρη ςηπ ρταίοαπ ιρυύει ξ Θεμελιώδηπ Νόμξπ ςηπ ςοξτικήπ Κίμηρηπ:

22 2Ia T r mr a T mra

5 5

Δπειδή η ρταίοα καςέουεςαι κσλιόμεμη cm a r , ξπόςε η ςελεσςαία ρυέρη

γίμεςαι cm

2T m

5 (2)

Με αμςικαςάρςαρη ςηπ (2) ρςημ (1) έυξσμε:

cm cm cm cm

2 7T mg m m m mg g

5 5

cm 2

5 m10 0,7

7 s cm 2

m5

s

β) Για ςξ λόγξ BL

L

ςχμ δύξ ρςοξτξομώμ ιρυύει:

B B B BL I L 3

L I L

109

Σα , θα βοεθξύμ από ςη διαςήοηρη ςηπ Μηυαμικήπ Δμέογειαπ μεςανύ ςηπ θέρηπ Α

και ςχμ θέρεχμ Β, Γ αμςίρςξιυα. Δπειδή η ρταίοα καςέουεςαι κσλιόμεμη cm( r) , η

κιμηςική ςηπ εμέογεια μπξοεί μα γοατςεί χπ ενήπ:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cm

1 1 1 2 1 2K m I K (mr mr ) K m(r r )

2 2 2 5 2 5

2 27K mr

10 ή

2

cm

7K m

10 (4), (5)

Από ςη διαςήοηρη ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ μεςανύ ςχμ θέρεχμ Α και Β και γοάτξμςαπ

ςημ κιμηςική εμέογεια με ςη μξοτή ςηπ ρυέρηπ (4) έυξσμε (επίπεδξ μηδεμικήπ δσμαμικήπ

εμέογειαπ ασςό πξσ διέουεςαι από ςξ ρημείξ Β):

2 2 2

B B A A B 1 B 1 B 12

7 10 g 1 10gU K U K 0 mr mgh h h

10 7 r r 7

Από ςη διαςήοηρη ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ μεςανύ ςχμ θέρεχμ Α και Γ έυξσμε (επίπεδξ

μηδεμικήπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ασςό πξσ διέουεςαι από ςξ ρημείξ Γ):

2 2 2

A A 2 2 22

7 10 g 1 10gU K U K 0 mr mgh h h

10 7 r r 7


1B B B 1 B

2

2

1 10gh

L L h L1 1r 7

L L h 4 L 21 10gh

r 7

γ) Δταομόζξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ Μηυαμικήπ εμέογειαπ, θέςξμςαπ χπ αουική ςη θέρη Α

και χπ ςελική ςη θέρη Δ. Λαμβάμξμςαπ σπόφη όςι r<<R και γοάτξμςαπ ςημ κιμηςική

εμέογεια με ςη μξοτή ςηπ ρυέρηπ (5), έυξσμε:

2

A A cm cm

cm cm cm2

7 10U K U K mg2R m mgH 0 g(H 2R)

10 7

10 m 100 m m10 (0,84m 0,56m) 0,28 2

7 s 7 s s

δ) Η ρταίοα τςάμξμςαπ ρςξ αμώςεοξ ρημείξ Δ ςηπ κσκλικήπ διαδοξμήπ, δέυεςαι

ρσμιρςαμέμη (κεμςοξμόλξ) δύμαμη ρςημ καςακόοστη διεύθσμρη:

110

2

cmmF ( F )

R

Οι δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςη ρταίοα ρςξ ρημείξ Δ είμαι ςξ βάοξπ ςηπ w και η δύμαμη

από ςη ρςετάμη N . Με αμςικαςάρςαρη έυξσμε:

2 2 22cm cmm m 0,7kg (2m / s)

mg N N mg 0,7kg 10m / sR R 0,28m

N 3N

w

N

Δ

111

Πρόβλημα 6.

Η ξμξγεμήπ οάβδξπ ΟΑ ςξσ ρυήμαςξπ έυει μάζα M 4 kg και μήκξπ L 2 m . Η οάβδξπ

ιρξοοξπεί ρε ξοιζόμςια θέρη με ςη βξήθεια άοθοχρηπ ρςξ άκοξ Ο και μήμαςξπ πξσ είμαι

δεμέμξ ρςξ άκοξ Α και ρυημαςίζει γχμία 30 με ςη οάδβξ, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα.

Από έμα ρημείξ Γ ςηπ οάβδξσ έυει δεθεί μέρχ αβαοξύπ ρυξιμιξύ έμα γιξ-γιξ μάζαπ

m 12 kg , ξ κύλιμδοξπ ςξσ ξπξίξσ έυει ακςίμα R 0,1m . Σξ γιξ-γιξ ελεσθεοώμεςαι και

καςέουεςαι διαγοάτξμςαπ καςακόοστη ςοξυιά, υχοίπ πξςέ ςξ ρυξιμί μα γλιρςοά. Καθώπ

ςξ γιξ-γιξ καςέουεςαι ςξ μήμα ΑΒ αρκεί ρςη οάβδξ δύμαμη μέςοξσ T 100 N . Να βοείςε:

α) ςξ μέςοξ ςηπ επιςάυσμρηπ cm ςξσ κέμςοξσ μάζαπ K ςξσ γιξ-γιξ.

β) ςξ μέςοξ ςξσ οσθμξύ μεςαβξλήπ ςηπ ρςοξτξομήπ ςξσ γιξ-γιξ χπ ποξπ ςξμ ελεύθεοξ

άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ, πξσ πεομά από ςξ κέμςοξ ςξσ Κ.

γ) ςημ απόρςαρη (ΟΓ).

δ) ςη δύμαμη F πξσ αρκεί η άοθοχρη ρςη οάβδξ (μέςοξ και διεύθσμρη χπ ποξπ ςξμ

ξοιζόμςιξ άνξμα).

Δίμξμςαι: Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ γιξ-γιξ χπ ποξπ ςξμ ελεύθεοξ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ

2

cm

1I mR

2 ,

2

mg 10

s

O A

B

M Γ

Κ

φ

112

Λύρη

α) υεδιάζξσμε ςιπ δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξ γιξ-γιξ:

Δταομόζξσμε ςη Θεμελιώδη Δνίρχρη ςηπ Μηυαμικήπ για ςη μεςατξοική κίμηρη ςξσ γιξ-

γιξ:

y cm 1 cmF m w ' m (1)

Δταομόζξσμε ςξ Θεμελιώδη Νόμξ ςηπ Μηυαμικήπ για ςη ρςοξτική κίμηρη ςξσ γιξ-γιξ:

2

cm 1 1

1 1a T ' R mR a T ' mRa

2 2

(2)

Δπειδή ςξ μήμα δεμ ξλιρθαίμει πάμχ ρςξ γιξ-γιξ, ςξ ςόνξ ds καςά ςξ ξπξίξ έυει ρςοατεί

η πεοιτέοειά ςξσ ρε υοόμξ dt , θα είμαι ίρξ με ςημ απόρςαρη dy καςά ςημ ξπξία έυει

νεςσλιυθεί ςξ μήμα, άοα και ίρξ με ςημ απόρςαρη dy καςά ςημ ξπξία έυει καςέβει ςξ γιξ-

γιξ. Δπξμέμχπ:

dy ds d R

cm

dy ds dR R

dt dt dt

cmcm

d dR a R

dt dt

Αμςικαθιρςώμςαπ ςη ρυέρη cm a R ρςη ρυέρη (2) έυξσμε:

1 cm

1T ' m (3)

2

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) ςηπ 1 ' από ςη ρυέρη (3) έυξσμε:

113

cm cm cm cm

1 3 2w m m m mg g

2 2 3 cm 2

20 m

3 s

β) Ο οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ρςοξτξομήπ ιρξύςαι με ςη ρσμξλική οξπή πξσ αρκείςαι ρςξ

γιξ-γιξ. Δπειδή ςξ βάοξπ αρκείςαι ρςξμ ελεύθεοξ άνξμα πεοιρςοξτήπ, μόμξ η ςάρη ςξσ

μήμαςξπ αρκεί οξπή ρςξ γιξ-γιξ:

1

dL dLT ' R (4)

dt dt

Σξ μέςοξ ςηπ 1T ' σπξλξγίζεςαι από ςη ρυέρη (3) με αμςικαςάρςαρη ςξσ cm .

Έυξσμε 1 12

1 20 mT ' 12kg T ' 40N

2 3 s


2

2

dL dL kgm40N 0,1m 4

dt dt s

114

γ) υεδιάζξσμε ςιπ δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςη οάβδξ.

Από ςημ αμάλσρη ςηπ ςάρηπ ςξσ μήμαςξπ T έυξσμε:

x x x

3T T T 100N T 50 3

2

y y y

1T T T 100N T 50

2

Δπειδή η οάβδξπ ιρξοοξπεί, ιρυύει όςι: 0 . Παίομξμςαπ οξπέπ χπ ποξπ ςξ ρημείξ Ο,

έυξσμε:

1 yw 1 y

L0 w T ( ) T L (5)

2

Σξ μέςοξ ςξσ βάοξσπ ςηπ οάβδξσ είμαι: w Mg w 40 N

Σξ μέςοξ ςηπ T1 είμαι ίδιξ με ςξ μέςοξ ςηπ Σ1΄, ξπόςε με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (5)

παίομξσμε:

240N m 40N ( ) 50N 2m

2 (O ) 1,5 m

δ) Δπειδή η οάβδξπ ιρξοοξπεί, ιρυύει όςι:

115

x x xF 0 F T 0 xF 50 3 N

y y y 1 y yF 0 F T w T 0 F 50N 40N 40N 0 F 30 N

Από ςξ Πσθαγόοειξ Θεώοημα έυξσμε:

2 2

x yF F F F 8400 N F 20 21 N

Για ςη διεύθσμρη ςηπ δύμαμηπ F σπξλξγίζξσμε ςημ :

y

x

F

F

3

5

116

Πρόβλημα 7.

Η λεπςή ξμξγεμήπ δξκόπ ΑΒ ςξσ ρυήμαςξπ μήκξσπ L 7,5 2 m και μάζαπ M 20 kg

ακξσμπά ρε λείξ καςακόοστξ ςξίυξ ΟΒ και ιρξοοξπεί ρυημαςίζξμςαπ γχμία 0ˆ 45 με

ςξ ξοιζόμςιξ δάπεδξ. Έμαπ ξμξγεμήπ, λεπςόπ δίρκξπ μάζαπ m 1kg και ακςίμαπ R

κσλίεςαι (υχοίπ μα ξλιρθαίμει) καςά μήκξπ ςηπ δξκξύ ποξπ ςξ άκοξ Β, σπό ςημ επίδοαρη

δύμαμηπ μέςοξσ F 20 2 N , παοάλληληπ ρςη δξκό, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα.

Να βοείςε:

α) ςξ μέςοξ ςηπ επιςάυσμρηπ cm ςξσ κέμςοξσ μάζαπ ςξσ δίρκξσ.

β) ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ κέμςοξσ μάζαπ cm ςξσ δίρκξσ ςη ρςιγμή πξσ τςάμει ρςξ

αμώςεοξ ρημείξ Β ςηπ δξκξύ, αμ ξ δίρκξπ νεκίμηρε μα κιμείςαι από ςη βάρη Α υχοίπ

ςαυύςηςα.

γ) Σξ μέςοξ και ςη διεύθσμρη ςηπ δύμαμηπ A πξσ αρκεί ξ δίρκξπ ρςη οάβδξ.

δ) Σξμ ελάυιρςξ ρσμςελερςή ξοιακήπ ρςαςικήπ ςοιβήπ μεςανύ δξκξύ και δαπέδξσ ώρςε ξ

δίρκξπ μα τςάρει ρςξ άκοξ Β ςηπ δξκξύ, υχοίπ η δξκόπ μα ξλιρθήρει ρςξ δάπεδξ.

Δίμξμςαι: Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ δίρκξσ χπ ποξπ ςξ κέμςοξ μάζαπ ςξσ 2

cm

1I mR

2 ,

2

mg 10

s

O

B

M

Α φ

F

117

Λύρη

α) υεδιάζξσμε ςιπ δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξ δίρκξ.

Για ςιπ ρσμιρςώρεπ xw και yw ςξσ βάοξσπ ςξσ δίρκξσ έυξσμε:

0

x x xw w w mg 45 w 5 2 N

0

y y yw w w mg 45 w 5 2 N

Δταομόζξσμε ςη Θεμελιώδη Νόμξ ςηπ Μηυαμικήπ για ςη μεςατξοική κίμηρη ςξσ δίρκξσ:

x cm x s cmF m F w m (1)

Δταομόζξσμε ςξ Θεμελιώδη Νόμξ ςηπ Μηυαμικήπ για ςη ρςοξτική κίμηρη ςξσ δίρκξσ χπ

ποξπ ςξμ ελεύθεοξ άνξμα πεοιρςοξτήπ πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ ςξσ και είμαι

κάθεςξπ ρςξ επίπεδό ςξσ:

2

cm s s

1 1a T R mR a T mRa (2)

2 2

Δπειδή ξ δίρκξπ εκςελεί κύλιρη (υχοίπ ξλίρθηρη) ιρυύει: cm a R

Με αμςικαςάρςαρη ςηπ ςελεσςαίαπ ρυέρηπ ρςη ρυέρη (2) ποξκύπςει

s cm

1T m

2 (3)

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) ςχμ F , s και xw σπξλξγίζξσμε ςξ cm .

x s cmF w m cm cm

120 2 N 5 2 N m m

2 cm

315 2 N m

2

cm 2

m10 2

s

118

β) Ο δίρκξπ αμέουεςαι με ρςαθεοή επιςάυσμρη, άοα ξι ενιρώρειπ ςηπ κιμημαςικήπ για ςη

μεςατξοική κίμηρη γοάτξμςαι:

2

cm cm cm

1t, L t

2

Λύμξμςαπ ςημ ποώςη ρυέρη χπ ποξπ ςξ υοόμξ και αμςικαθιρςώμςαπ ρςημ δεύςεοη

παίομξσμε:

22

cm cmcm cm cm

cm cm

1L L 2L

2 2

Με αμςικαςάρςαρη ςχμ cmL, βοίρκξσμε:

cm cm2

m m2 7,5 2m 10 2 10 3

s s

γ) Ο δίρκξπ αρκεί ρςη δξκό ςιπ δσμάμειπ sT ' και N ' . Η sT ' έυει ίδιξ μέςοξ με ςημ

sT (δοάρη - αμςίδοαρη) και η N ' με ςημ Ν (επίρηπ δοάρη-αμςίδοαρη).

Από ςη ρυέρη (3) με αμςικαςάρςαρη σπξλξγίζξσμε ςημ sT , έυξσμε:

s cm s2

1 1 mT m 1kg 10 2 T 5 2N

2 2 s

Άοα sT ' 5 2 N (4)

Για ςξμ άνξμα ςξμ κάθεςξ ρςημ κίμηρη ςξσ δίρκξσ (άνξμαπ y'y) ιρυύει:

y yF 0 N w N 5 2 N

119

Άοα N' 5 2 N (5)

Από ςιπ (4) και (5) και επειδή ξι δσμάμειπ sT ' και N ' είμαι κάθεςεπ, με υοήρη ςξσ

Πσθαγξοείξσ Θεχοήμαςξπ έυξσμε:

2 2 2 2

sA N' T ' A (5 2N) (5 2N) A 10 N

Από ςξ ρυήμα ταίμεςαι όςι:

s

'1

'

0ˆ 45

Άοα η δύμαμη A είμαι ξοιζόμςια δύμαμη, παοάλληλη ποξπ ςξ δάπεδξ.

δ)

Δταομόζξσμε ςιπ ρσμθήκεπ ιρξοοξπίαπ για ςη δξκό:

y 1 1 1F 0 N w N Mg N 200 N

x 2 2F 0 T T 10(SI) 6

'Ts

'N

A

θ

120

(O) 2

2

2 2

0 (OB) w (A ) (OB)

LL Mg A L

2

Mg 200NA 10N 110N

2 2

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (6) βοίρκξσμε T 100N

Για μα μημ ξλιρθήρει η δξκόπ ποέπει:

(max) 1T T T N 100N 200N 0,5

Άοα s,min 0,5

121

Πρόβλημα 8.

Ο λεπςόπ ξμξγεμήπ δίρκξπ ςξσ ρυήμαςξπ (α) έυει μάζα M 9 kg , ακςίμα 1

R m30

και

μπξοεί μα πεοιρςοέτεςαι ρε καςακόοστξ επίπεδξ, γύοχ από ξοιζόμςιξ ρςαθεοό άνξμα

πξσ διέουεςαι από ςξ ρημείξ Ο ςηπ πεοιτέοειάπ ςξσ.

Αουικά ξ δίρκξπ βοίρκεςαι ρε ςέςξια θέρη, ώρςε η ακςίμα ΟΚ πξσ ρσμδέει ςξ ρημείξ Ο με

ςξ κέμςοξ μάζαπ Κ ςξσ δίρκξσ (πξσ ρσμπίπςει με ςξ κέμςοξ ςξσ δίρκξσ), μα είμαι

ξοιζόμςια. Από ασςή ςη θέρη ατήμξσμε ςξ δίρκξ μα ρςοατεί. Η γχμιακή επιςάυσμρη με

ςημ ξπξία ξ δίρκξπ νεκιμά ςη ρςοξτική ςξσ κίμηρη έυει μέςοξ 2

rada 200

s . Να βοείςε:

α) Ση οξπή αδοάμειαπ (O)I ςξσ δίρκξσ χπ ποξπ ςξμ άνξμα πεοιρςοξτήπ ςξσ πξσ

διέουεςαι από ςξ ρημείξ Ο.

β) Σσλίγξσμε πξλλέπ τξοέπ έμα αβαοέπ, μη εκςαςό μήμα γύοχ από έμαμ ίδιξ δίρκξ και

ςημ ελεύθεοη άκοη ςξσ μήμαςξπ ςη ρςεοεώμξσμε ρςημ ξοξτή, ρυημαςίζξμςαπ έμα γιξ-

γιξ, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα (β). Ατήμξσμε ελεύθεοξ ςξ δίρκξ και ασςόπ νεκιμά μα

καςέουεςαι με ςξ μήμα διαοκώπ καςακόοστξ και υχοίπ ασςό μα γλιρςοά χπ ποξπ ςξ

δίρκξ.

γ) Να βοείςε ςη οξπή αδοάμειαπ cmI ςξσ δίρκξσ χπ ποξπ άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ

κέμςοξ μάζαπ ςξσ και είμαι κάθεςξπ ρςξ επίπεδό ςξσ.

δ) Να δείνεςε όςι η ςάρη ςξσ μήμαςξπ πξσ αρκείςαι ρςξ δίρκξ δε μεςαβάλλει ςημ

ρσμξλική κιμηςική ςξσ εμέογεια.

ε) Να βοείςε ςξ μέςοξ ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ςξσ δίρκξσ όςαμ έυει νεςσλιυθεί μήμα

με μήκξπ ίρξ με ςημ ακςίμα ςξσ δίρκξσ.

122

ρς) Να βοείςε ςξ οσθμό μεςαβξλήπ ςηπ ρςοξτικήπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ δίρκξσ όςαμ

έυει νεςσλιυθεί μήμα με μήκξπ ίρξ με ςημ ακςίμα ςξσ δίρκξσ

Δίμεςαι η επιςάυσμρη ςηπ βαούςηςαπ: 2

mg 10

s . Δπίρηπ δεμ θεχοείςαι γμχρςόπ ξ ςύπξπ

ςηπ οξπήπ αδοάμειαπ ξμξγεμή δίρκξσ για άνξμα πξσ διέουεςαι από ςξ κέμςοξ μάζαπ ςξσ.

Λύρη

α) ςξ ρυήμα ταίμεςαι η μόμη δύμαμη πξσ αρκεί οξπή ρςξ δίρκξ:

Από ςξ Θεμελιώδη μόμξ ςηπ Μηυαμικήπ για ςη ρςοξτική κίμηρη έυξσμε :

(O) (O)

MgRIa w R I a I

a

2

(O)

2

m 19kg 10 m

s 30Irad

200s

2 2

(O)I 1,5 10 kgm

β) Από ςξ Θεώοημα Steiner έυξσμε:

2

2 2 2 2

(O) cm cm (O) cm

1I I MR I I MR I 1,5 10 kgm 9kg m

30

3 2

cmI 5 10 kgm

γ) ςξ ρυήμα ταίμξμςαι ξι δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξ δίρκξ, w και T .

R O K

w

123

Δπειδή ςξ μήμα δεμ ξλιρθαίμει πάμχ ρςξ δίρκξ, ςξ ςόνξ ds καςά ςξ ξπξίξ έυει ρςοατεί η

πεοιτέοειά ςξσ ρε υοόμξ dt , θα είμαι ίρξ με ςημ απόρςαρη dy καςά ςημ ξπξία έυει

νεςσλιυθεί ςξ μήμα, άοα και με ςημ απόρςαρη dy καςά ςημ ξπξία έυει καςέβει ξ δίρκξπ.

Δπξμέμχπ:

cmdy ds d R y R

cm

dy ds dR R

dt dt dt

Για ςημ ςαυύςηςα ςξσ ρημείξσ , ρςημ πεοιτέοεια ςηπ ςοξυαλίαπ, ρςξ ξπξίξ αρκείςαι η

ςάρη T ςξσ μήμαςξπ έυξσμε:

( ) cm

και επειδή: cm R και η μεςατξοική ςαυύςηςα είμαι αμςίθεςη από ςη

ρςοξτική, θα ιρυύει:

( ) 0

Άοα, ςξ ρημείξ είμαι ρςιγμιαία ακίμηςξ.

Δηλαδή, η ςάρη T ςξσ μήμαςξπ αρκείςαι ρε ρςιγμιαία ακίμηςξ ρημείξ. Άοα ςξ έογξ ςηπ

TW είμαι μηδέμ με ρσμέπεια μα μημ επηοεάζει ςη ρσμξλική κιμηςική εμέογεια ςξσ δίρκξσ

(ρύμτχμα με ςξ θεώοημα μεςαβξλήπ κιμηςικήπ εμέογειαπ – έογξσ).

R K

w

T

R

124

δ) Για ςξμ σπξλξγιρμό ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ςξσ δίρκξσ όςαμ έυει νεςσλιυθεί μήμα

με μήκξπ ίρξ με ςημ ακςίμα ςξσ δίρκξσ, θα υοηριμξπξιήρξσμε ςξ Θεώοημα Έογξσ –

Δμέογειαπ.

Θέςξμςαπ χπ αουική ςη θέρη ρςημ ξπξία ατήμξσμε ςξ δίρκξ και χπ ςελική ςη θέρη ρςημ

ξπξία έυει νεςσλιυθεί μήμα με μήκξπ ίρξ με ςημ ακςίμα ςξσ δίρκξσ και με δεδξμέμξ όςι η

μόμη δύμαμη πξσ ποξρτέοει έογξ είμαι ςξ βάοξπ w ςξσ δίρκξσ, έυξσμε:

2 2

w cm cm

1 1K W K 0 W I M MgR

2 2

22 2 2

cm 22

cm 3 2

m 12 9kg 10 m

2MgR s 30I M R 2MgRI MR 1

5 10 kgm 9kg m30

rad20

s

ε) d dW

dt dt

Όμχπ η μόμη οξπή πξσ ποξκαλείςαι ρςξ δίρκξ και μεςαβάλλει ςη ρςοξτική ςξσ κιμηςική

εμέογεια είμαι από ςημ ςάρη ςξσ μήμαςξπ Σ, καθώπ η οξπή ςξσ βάοξσπ χπ ποξπ ςξμ

άνξμα πεοιρςοξτήπ είμαι ίρη με μηδέμ. Έςρι παίομξσμε:

d ddW TR dTR

dt dt dt dt

(1)

ςημ ςελεσςαία ρυέρη ξ μόμξπ άγμχρςξπ είμαι η ςάρη ςξσ μήμαςξπ Σ η ξπξία μπξοεί μα

σπξλξγιρςεί από ςξ θεώοημα έογξσ εμέογειαπ μόμξ για ςη ρςοξτική κίμηρη ςξσ δίρκξσ

μεςανύ ςχμ δύξ θέρεχμ.

( ) ( ) ( )K W K 0 TR

Όμχπ ρύμτχμα με ςημ εκτώμηρη R R , άοα η ςελεσςαία ρυέρη γίμεςαι:

3 2 22

2 cm( ) cm

rad5 10 kgm (20 )

I1 sK 0 TR I TR T12 2R

2 m30

T 30N

125

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) βοίρκξσμε:

d d1 rad JTR 30N m 20 20

dt 30 s dt s

1

ΚΕΥΑΛΑΙΟ 5Ο: ΚΡΟΤΕΙ – ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ

ΘΔΜΑ Β

Ερώτηση 1.

Έμα βλήμα μάζαπ m εκςξνεύεςαι καςακόοστα ποξπ ςα πάμχ με ςαυύςηςα 0 . Όςαμ ςξ

βλήμα τςάμει ρςξ φηλόςεοξ ρημείξ ςηπ ςοξυιάπ ςξσ εκοήγμσςαι ρε ςοία κξμμάςια.

Αμέρχπ μεςά ςημ έκοηνη, η ξλική ξομή και ςχμ ςοιώμ κξμμαςιώμ είμαι

α) μηδέμ.

β) 0m .

γ) διάτξοη ςξσ μηδεμόπ και διάτξοη ςξσ 0m .


Λύρη


Δπειδή η έκοηνη διαοκεί πξλύ μικοό υοόμξ, ςσυόμ επίδοαρη ενχςεοικώμ δσμάμεχμ,

όπχπ εδώ ςξ βάοξπ, θεχοείςαι αμεληςέα. Σσμεπώπ ρςη διάοκεια ςηπ έκοηνηπ η ξομή

διαςηοείςαι. Δπειδή η κοξύρη έγιμε ρςξ φηλόςεοξ ρημείξ, η ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ ποιμ

ςημ έκοηνη είμαι μηδέμ, άοα και η ξομή ςξσ.

Σσμεπώπ από ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ ξομήπ ποξκύπςει: p p 0 .

2

Ερώτηση 2.

Μια ρταίοα Α μάζαπ m κιμξύμεμη ξοιζόμςια με ςαυύςηςα μέςοξσ ρσγκοξύεςαι

κεμςοικά και ελαρςικά με άλλη ακίμηςη ρταίοα Β ίρηπ μάζαπ. Η μεςαβξλή ςηπ ξομήπ ςηπ

ρταίοαπ Α, λόγχ ςηπ κοξύρηπ,

α) έυει ίδια καςεύθσμρη με ςημ αουική ξομή και μέςοξ m .

β) έυει αμςίθεςη καςεύθσμρη με ςημ αουική ξομή και μέςοξ m .

γ) έυει αμςίθεςη καςεύθσμρη με ςημ αουική ξομή και μέςοξ 2 m .


Λύρη


Δπειδή ξι ρταίοεπ έυξσμ ίρεπ μάζεπ και η κοξύρη είμαι κεμςοική ελαρςική ςα ρώμαςα

αμςαλλάρρξσμ ςαυύςηςεπ. Σσμεπώπ η ςελική ξομή ςηπ ρταίοαπ Α θα είμαι μηδέμ. Η

μεςαβξλή ςηπ ξομήπ ςηπ θα είμαι:

p p p 0 p m

Από ςη ρυέρη ασςή ποξκύπςει όςι ςξ διάμσρμα ςηπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςηπ ρταίοαπ Α

θα έυει ίδια διεύθσμρη με ςημ αουική ξομή και αμςίθεςη τξοά (-). Τξ μέςοξ ςηπ θα είμαι

p m .

3

Ερώτηση 3.

Δύξ ρώμαςα με ξομέπ ςχμ ξπξίχμ ςα μέςοα είμαι ίρα ( 1 2p p p ), κιμξύμςαι ρε

διεσθύμρειπ κάθεςεπ μεςανύ ςξσπ και ρσγκοξύξμςαι πλαρςικά.

Τξ μέςοξ ςηπ ξομήπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ μεςά ςημ κοξύρη είμαι ίρξ με:

α) p .

β) 2p .

γ) 2p .


Λύρη


Για ςημ κοξύρη ιρυύει η αουή διαςήοηρηπ ςηπ ξομήπ, ξπόςε: p p

. Τξ μέςοξ ςηπ

ξλικήπ ξομήπ, 0p , ςξσ ρσρςήμαςξπ ποιμ ςημ κοξύρη είμαι 2 2

op p p 2p .

Άοα p 2p .

4

Ερώτηση 4.

Δύξ ρώμαςα με ίρεπ μάζεπ ( 1 2m m m ) και ξομέπ ςχμ ξπξίχμ ςα μέςοα είμαι ίρα

( 1 2p p p ), κιμξύμςαι ρε διεσθύμρειπ κάθεςεπ μεςανύ ςξσπ και ρσγκοξύξμςαι

πλαρςικά. Αμ η κιμηςική εμέογεια και η ξομή εμόπ ρώμαςξπ ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη

2pK

2m , ςόςε η μείχρη ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ είμαι ίρη με

α) 2p

m.

β) 2p

2m.

γ) 2p

4m.


Λύρη


22 2

1 21 2

pp p| K | K K K

2m 2m 2(m m)

(1)

Για ςημ κοξύρη ιρυύει η αουή διαςήοηρηπ ςηπ ξομήπ, ξπόςε: p p

.

Τξ μέςοξ ςηπ ξλικήπ ξομήπ, p0, ςξσ ρσρςήμαςξπ ποιμ ςημ κοξύρη είμαι

2 2

op p p 2p .

Άοα p 2p .

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ (1) παίομξσμε:

5

2 2 2 2p p ( 2p) p| K | | K |

2m 2m 2(m m) 2m

6

Ερώτηση 5.

Έμα ρώμα εκςξνεύεςαι καςακόοστα ποξπ ςα κάςχ και ρσγκοξύεςαι ελαρςικά με

ξοιζόμςιξ δάπεδξ. Αμ η διάοκεια ςηπ κοξύρηπ είμαι αμεληςέα και ςξ μέςοξ ςηπ

ςαυύςηςαπ ςξσ ρώμαςξπ ελάυιρςα ποιμ ςημ κοξύρη, ςόςε η μεςαβξλή ςηπ ςαυύςηςάπ ςξσ,

λόγχ ςηπ κοξύρηπ

α) είμαι μηδέμ.

β) έυει καςακόοστη διεύθσμρη με τξοά ποξπ ςα πάμχ και μέςοξ ίρξ με .

γ) έυει καςακόοστη διεύθσμρη με τξοά ποξπ ςα πάμχ και μέςοξ ίρξ με 2 .


Λύρη


Δπειδή η κοξύρη είμαι ελαρςική ςξ ρώμα θα αμαπηδήρει με ςημ ίδια καςά μέςοξ

ςαυύςηςα. Σσμεπώπ, . Αμ ξοίρξσμε θεςική τξοά ποξπ ςα πάμχ ποξκύπςει

όςι και ςξ διάμσρμα θα έυει θεςική τξοά, ςξ μέςοξ ςξσ θα είμαι:

( ) 2

7

Ερώτηση 6.

Μια ρταίοα Σ1, μάζαπ 1m m , ρσγκοξύεςαι κεμςοικά πλαρςικά με ακίμηςη ρταίοα Σ2,

μάζαπ 2m m . Σςη ρταίοα Σ1 μεςά ςημ κοξύρη μέμει ςξ

α) 50% ςηπ αουικήπ εμέογειάπ ςηπ.

β) 100% ςηπ αουικήπ εμέογειάπ ςηπ.

γ) 25% ςηπ αουικήπ εμέογειάπ ςηπ.

Δπιλένςε ςη ρχρςή απάμςηρη. Να δικαιξλξγήρεςε ςημ επιλξγή ραπ.

Λύρη


Με εταομξγή ςηπ διαςήοηρηπ ςηπ ξομήπ βοίρκξσμε ςημ ςαυύςηςα ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ.

1 1 1 2m (m m )V , από όπξσ ποξκύπςει 1 1 1

1 2

mV

(m m ) 2

.

Οπόςε η κιμηςική εμέογεια ςηπ ρταίοαπ Σ1 μεςά ςημ κοξύρη θα είμαι:

2 2

1 1 1 11

m V m 1'

2 2 4 4

Όπξσ Κ1 η κιμηςική ςηπ εμέογεια ποιμ ςημ κοξύρη,

2

1 11 1

m4K

2

Σσμεπώπ ςξ % πξρξρςό ςηπ εμέογειαπ πξσ αμςιρςξιυεί (μέμει) ρςη μάζα 1m θα είμαι:

1

1

΄ 1% 100 100 25%

4

8

Ερώτηση 7.

Ασςξκίμηςξ ςηπ ςοξυαίαπ κιμείςαι ρε εσθύ δοόμξ με ρςαθεοή ςαυύςηςα ή

10

και έυει

εμεογξπξιημέμη ςη ρειοήμα ςξσ, η ξπξία παοάγει ήυξ ρσυμόςηςαπ sf . Μξςξρικλεςιρςήπ

πξσ ποξπξοεύεςαι και κιμείςαι με ςαυύςηςα μέςοξσ ςξ μιρό από ασςό ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ

ασςξκιμήςξσ, ακξύει ήυξ με ρσυμόςηςα Af για ςημ ξπξία ιρυύει

α) A s

19f f

18 .

β) A s

20f f

18 .

γ) A s

21f f

19 .

Δπιλένςε ςη ρχρςή απάμςηρη.


Λύρη


Έυξσμε πηγή πξσ καςεσθύμεςαι ποξπ παοαςηοηςή και παοαςηοηςή πξσ απξμακούμεςαι

από ςημ πηγή. Άοα ξ ήυξπ πξσ αμςιλαμβάμεςαι ξ παοαςηοηςήπ έυει ρσυμόςηςα πξσ

δίμεςαι από ςη ρυέρη:

ή A

A s

ή s

f f

Με αμςικαςάρςαρη ή

s10

και

ήsA

2 20

παίομξσμε:

ή

ή ή

A s A s A sή

ήή

19

1920 20f f f f f f9 18

1010

9

Ερώτηση 8.

Έμα ρώμα Α με ξομή μέςοξσ p και μάζα m ρσγκοξύεςαι κεμςοικά και ελαρςικά με άλλξ

ακίμηςξ ρώμα Β, ίδιαπ μάζαπ με ςξ Α. Η μεςαβξλή ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ Α

είμαι ίρη με

α) μηδέμ.

β) 2p

2m .

γ) 2p

2m.


Λύρη


Δπειδή η κοξύρη είμαι ελαρςική και ςα δύξ ρώμαςα έυξσμ ίδια μάζα, ςα ρώμαςα

αμςαλλάρξσμ ςαυύςηςεπ. Δπειδή ςξ ρώμα Β είμαι αουικά ακίμηςξ, ςξ ρώμα Α μεςά ςημ

κοξύρη θα παοαμείμει ακίμηςξ, καςά ρσμέπεια η μεςαβξλή ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ

ρώμαςξπ Α θα είμαι ίρη με

2 2 2 2m m pK K K 0 K K

2 2m 2m

10

Ερώτηση 9.

Μια πηγή ήυξσ πξσ πληριάζει ποξπ ακίμηςξ παοαςηοηςή εκπέμπει ήυξ ρσυμόςηςαπ sf

πξσ διαδίδεςαι με ςαυύςηςα . Για μα αμςιλαμβάμεςαι ξ παοαςηοηςήπ ρσυμόςηςα Af

διπλάρια από ςη ρσυμόςηςα πξσ εκπέμπει η πηγή

α) μα πληριάζει ςξμ παοαςηοηςή με ςαυύςηςα s 2 .

β) μα πληριάζει ςξμ παοαςηοηςή με ςαυύςηςα s

2

.

γ) μα απξμακούμεςαι από ςξμ παοαςηοηςή με ςαυύςηςα s .

Δπιλένςε ςη ρχρςή απάμςηρη. Να αιςιξλξγήρεςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Λύρη


Ιρυύει A sf 2f (1)

Έυξσμε πηγή πξσ καςεσθύμεςαι ποξπ ακίμηςξ παοαςηοηςή, άοα ξ ήυξπ πξσ

αμςιλαμβάμεςαι ξ παοαςηοηςήπ έυει ρσυμόςηςα A s

s

f f

(2)

Από ςιπ (1) και (2) ποξκύπςει s2

.

11

Ερώτηση 10.

Μια ρταίοα Σ1, μάζαπ 1m m , ρσγκοξύεςαι κεμςοικά ελαρςικά με ακίμηςη ρταίοα Σ2,

μάζαπ 2m m . Η κιμηςική εμέογεια ςηπ ρταίοαπ Σ1 λόγχ ςηπ κοξύρηπ

α) μεςαςοέπεςαι ρε θεομόςηςα πξσ μεςατέοεςαι ρςξ πεοιβάλλξμ.

β) μξιοάζεςαι μεςανύ ςχμ δύξ ρταιοώμ.

γ) μεςατέοεςαι ενξλξκλήοξσ ρςη ρταίοα Β

Δπιλένςε ςη ρχρςή απάμςηρη. Να αιςιξλξγήρεςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Λύρη


Δπειδή η κοξύρη είμαι ελαρςική διαςηοείςαι η μηυαμική εμέογεια και δεμ σπάουει

μεςατξοά θεομόςηςαπ ρςξ πεοιβάλλξμ. Δπειδή ςα δύξ ρώμαςα έυξσμ ίδια μάζα, λόγχ

ςηπ κοξύρηπ, ςα ρώμαςα αμςαλλάρξσμ ςαυύςηςα. Δπειδή ςξ ρώμα Β είμαι αουικά

ακίμηςξ, ςξ ρώμα Α μεςά ςημ κοξύρη θα παοαμείμει ακίμηςξ, καςά ρσμέπεια, λόγχ ςηπ

διαςήοηρηπ ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ, όλη η κιμηςική εμέογεια ςξσ ρώμαςξπ Α θα

μεςατεοθεί ρςξ ρώμα Β.

12

Ερώτηση 11.

Μια οόδα ασςξκιμήςξσ ακςίμαπ R κσλίεςαι με ςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ μα έυει ρςαθεοή

ςαυύςηςα . Έμα μικοό καοτί μάζαπ m είμαι καοτχμέμξ ρςημ ενχςεοική επιτάμεια ςηπ

οόδαπ. Αμ θεχοήρξσμε ςιπ διαρςάρειπ ςξσ καοτιξύ αμεληςέεπ, ςόςε η μεςαβξλή ςηπ

ξομήπ ςξσ καοτιξύ, μεςανύ καςώςεοηπ και αμώςεοηπ θέρηπ

α) είμαι m .

β) είμαι μηδέμ.

γ) έυει μέςοξ ίρξ με 2m .


Λύρη


Δπειδή η οόδα κσλίεςαι η ςαυύςηςα ςξσ καοτιξύ όςαμ πεομά από ςημ καςώςεοη θέρη

(όςαμ είμαι ρε επατή με ςξ έδατξπ) είμαι μηδέμ, εμώ όςαμ ςξ καοτί διέουεςαι από ςξ

φηλόςεοξ ρημείξ ςηπ ςοξυιάπ ςξσ έυει ςαυύςηςα 2 . Έςρι, ςξ καοτί ρςξ υαμηλόςεοξ

ρημείξ ςηπ ςοξυιάπ ςξσ έυει ξομή μέςοξσ 0 και ρςξ φηλόςεοξ ρημείξ έυει ξομή μέςοξσ

p 2m .

Σσμεπώπ, η μεςαβξλή ςηπ ξομήπ ςξσ μεςανύ ςχμ δύξ παοαπάμχ θέρεχμ θα έυει μέςοξ

Γp p p 2m 0 Γp 2m

και ξοιζόμςια διεύθσμρη, δηλαδή θα έυει ίδια

καςεύθσμρη με ασςήμ ςηπ ςαυύςηςαπ πξσ έυει ρςξ φηλόςεοξ ρημείξ.

13

Ερώτηση 12.

Έμα ρώμα A μάζαπ 1m 2m , ςξ ξπξίξ έυει ςαυύςηςα 1 ρσγκοξύεςαι πλαρςικά με

ρώμα B μάζαπ 2m m . Μεςά ςημ κοξύρη, ςξ ρσρρχμάςχμα μέμει ακίμηςξ. Ο λόγξπ ςχμ

μέςοχμ ςχμ ςαυσςήςχμ, 1

2

, ςχμ δύξ ρχμάςχμ ποιμ ςημ κοξύρη είμαι:

α) 1

2.

β) 2 .

γ) 4 .


Λύρη


Από ςημ Αουή Διαςήοηρηπ ςηπ Οομήπ ποξκύπςει όςι για μα είμαι η ξομή ςξσ ρσρςήμαςξπ

ποιμ ςημ κοξύρη μηδέμ ποέπει ςξ δεύςεοξ ρώμα μα κιμείςαι και μάλιρςα με ξομή

αμςίθεςη από ασςήμ ςξσ ρώμαςξπ Α.

Δταομόζξσμε ςημ Διαςήοηρηπ ςηπ Οομήπ για ςημ κοξύρη.

11 2 1 2ά

2

m 1p p m m 0 2m m 0

2m 2

14

Ερώτηση 13.

Έμα ρώμα A μάζαπ 1m 2m , ςξ ξπξίξ έυει κιμηςική εμέογεια

AK K , ρσγκοξύεςαι

πλαρςικά με ρώμα B μάζαπ 2m m . Μεςά ςημ κοξύρη, ςξ ρσρρχμάςχμα μέμει ακίμηςξ.

Η μηυαμική εμέογεια πξσ μεςαςοάπηκε ρε θεομόςηςα καςά ςη διάοκεια ςηπ κοξύρηπ,

είμαι ίρη με

α) 4 .

β) 3

.

γ) 3 .


Λύρη


Ατξύ ςξ ρσρρχμάςχμα μέμει ακίμηςξ όλη η κιμηςική εμέογεια πξσ είυαμ ςα ρώμαςα

ποιμ ςημ κοξύρη μεςαςοέπεςαι ρε θεομόςηςα.

Q (1)

Από ςη διαςήοηρη ςηπ ξομήπ ποξκύπςει:

1 2 1 2 2 1άp p m m 0 2m m 0 2

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1)παίομξσμε:

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 1 1

1 1 1 1Q m m Q 2m m(2 ) m 2m

2 2 2 2

Q K 2K Q 3K

15

Ερώτηση 14.

Έμα ρώμα A μάζαπ 1m κιμξύμεμξ με ςαυύςηςα

1 ρσγκοξύεςαι κεμςοικά και ελαρςικά

με ακίμηςξ ρώμα μάζαπ 2m . Τξ ρώμα A ρσμευίζει μεςά ςημ κοξύρη μα κιμείςαι καςά

ςημ ίδια τξοά με ςαυύςηςα 11'

2

. Ο λόγξπ ςχμ μαζώμ ςχμ δύξ ρχμάςχμ, 1

2

m

m, είμαι

ίρξπ με

α) 3 .

β) 2 .

γ) 1

3.


Λύρη


Δπειδή η κοξύρη είμαι κεμςοική ελαρςική και ςξ ρώμα Β είμαι αουικά ακίμηςξ, ςξ ρώμα Α

μεςά ςημ κοξύρη θα κιμηθεί με ςαυύςηςα πξσ δίμεςαι από ςη ρυέρη

1 21 1

1 2

m m'

m m

Με αμςικαςάρςαρη παίομξσμε

1 1 21 1 2 1 2 1 2

1 2

m mm m 2m 2m m 3m

2 m m

Άοα, 1

2

m3

m .

16

Ερώτηση 15.

Δύξ ρταίοεπ A και B , με ίρεπ μάζεπ, κιμξύμςαι πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ με ίδιεπ

καςεσθύμρειπ και ςαυύςηςεπ πξσ έυξσμ μέςοα 1

m10

s και 2

m20

s , αμςίρςξιυα. Οι

ρταίοεπ ρσγκοξύξμςαι υχοίπ μα δημιξσογείςαι ρσρρχμάςχμα. Αμ μεςά ςημ κοξύρη ςξ

μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςηπ ρταίοαπ A είμαι 1

m' 15

s , ςόςε η κοξύρη είμαι

α) ελαρςική.

β) πλάγια.

γ) αμελαρςική.


Λύρη


Δπειδή ξι ρταίοεπ κιμξύμςαι με ίδιεπ καςεσθύμρειπ η κοξύρη δεμ είμαι πλάγια.

Ιρυύει η διαςήοηρη ςηπ ξομήπ.

p pξλ(ποιμ) ξλ(μεςά) 1 1 2 2 1 1 2 2m m m ' m '

Δπειδή 1 2m m m η ρυέρη γίμεςαι 1 2 1 2' ' , από όπξσ με αμςικαςάρςαρη

παίομξσμε:

2

m' 15

s

Δλέγυξσμε αμ διαςηοείςαι η κιμηςική εμέογεια ςξσ ρσρςήμαςξπ, δηλαδή αμ ιρυύει

2 2 '2 '2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1m m m m

2 2 2 2 ή

2 2 '2 '2

1 2 1 2

Όμχπ 2 2 2 2 '2 '2 2 2

1 2 1 220 10 500 15 15 450

Άοα, ατξύ η κιμηςική εμέογεια δεμ διαςηοείςαι η κοξύρη είμαι ελαρςική.

17

Ερώτηση 16.

Σταίοα A πξσ κιμείςαι ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ με ςαυύςηςα μέςοξσ και κιμηςική

εμέογεια , ρσγκοξύεςαι κεμςοικά και πλαρςικά με άλλη ακίμηςη ρταίοα , ίρηπ

μάζαπ με ςημ , πξσ βοίρκεςαι ρςξ ίδιξ επίπεδξ. Η κιμηςική εμέογεια ςξσ

ρσρρχμαςώμαςξπ μεςά ςημ κοξύρη είμαι ίρη με

α) 0,25 .

β) 0,5 .

γ) 0,75 .

Να αιςιξλξγήρεςε ςημ απάμςηρη ραπ.

Λύρη


Δταομόζξσμε ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ ξομήπ για ςξ ρύρςημα:

1 2 1(m m )V m 0 2mV m V2

2 22(m m)V

mV m 0,52 4 2

ρσρχμ ρσρχμ ρσρχμ

18

Ερώτηση 17.

Έμα ακίμηςξ βλήμα εκοήγμσςαι ρε ςοία μέοη A , B και . Τα μέοη A και B έυξσμ

ξομέπ πξσ βοίρκξμςαι ρε διεσθύμρειπ κάθεςεπ μεςανύ ςξσπ με μέςοα πξσ είμαι ίρα με:

1 2

Kgmp p p 20

s .

Τξ μέςοξ ςηπ ξομήπ ςξσ ςοίςξσ κξμμαςιξύ είμαι:

α) Kgm

10s

.

β) Kgm

20s

.

γ) Kgm

20 2s

.


Λύρη


Δπειδή η ξομή διαςηοείςαι θα ιρυύει

ά 1 2 3 3 12p p 0 p p p p p

(1)

Από ςη ρυέρη (1) ποξκύπςει όςι ξι καςεσθύμρειπ ςχμ 3p και 12

p θα είμαι αμςίθεςεπ.

Τξ μέςοξ ςηπ ξομήπ 12p είμαι:

2 2 2

12 1 2 12

Kgmp p p 2p p 2 p 20 2

s

Άοα ςξ μέςοξ ςηπ ξομήπ ςξσ 3ξσ κξμαςιξύ είμαι 3

mp 20 2 Kg

s

19

Ερώτηση 18.

Έμα ρώμα ατήμεςαι μα πέρει από ύφξπ h πάμχ από ςξ ελεύθεοξ άκοξ καςακόοστξσ

ιδαμικξύ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ K . Η κίμηρη ςξσ ρώμαςξπ γίμεςαι ρςη διεύθσμρη ςξσ

άνξμα ςξσ ελαςηοίξσ υχοίπ ςοιβέπ και αμςιρςάρειπ από ςξμ αέοα. Η κίμηρη ςξσ ρώμαςξπ

για όρξ υοξμικό διάρςημα είμαι ρε επατή με ςξ ελαςήοιξ είμαι απλή αομξμική

ςαλάμςχρη.

Η μεςαβξλή ςηπ ξομήπ p ςξσ ρώμαςξπ από ςη ρςιγμή πξσ έουεςαι ρε επατή με ςξ

ελεύθεοξ άκοξ ςξσ ελαςηοίξσ και μέυοι μα επαμέλθει ρςξ ίδιξ ρημείξ έυει μέςοξ

α) 0 .

β) p .

γ) 2p .


Λύρη


Οι δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ρώμα, ρε όλη ςη διάοκεια ςηπ κίμηρήπ ςξσ είμαι

ρσμςηοηςικέπ (βάοξπ και δύμαμη ελαςηοίξσ), άοα η μηυαμική ςξσ εμέογεια διαςηοείςαι.

Ασςό ρημαίμει όςι ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςάπ ςξσ ελάυιρςα ποιμ και αμέρχπ μεςά ςημ επατή

ςξσ με ςξ ελαςήοιξ θα είμαι ίδια ατξύ ρςημ ίδια θέρη θα έυει ίδια κιμηςική και δσμαμική

εμέογεια.

Σσμεπώπ η μεςαβξλή ςηπ ξομήπ ςξσ θα είμαι:

άp p p

Τα διαμύρμαςα έυξσμ ίδια διεύθσμρη, ξοίζξσμε θεςική τξοά ποξπ ςα πάμχ,

μεςαςοέπξσμε ςη διαμσρμαςική ρυέρη ρε αλγεβοική και λαμβάμξσμε σπόφη όςι

άp p p

Ποξκύπςει p p ( p) 2p . Η καςεύθσμρη ςξσ διαμύρμαςξπ p θα είμαι καςακόοστη

με τξοά ποξπ ςα πάμχ.

21

Ερώτηση 19.

Έμα ρώμα ατήμεςαι μα πέρει από ύφξπ h πάμχ από ςξ ελεύθεοξ άκοξ καςακόοστξσ

ιδαμικξύ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ K . Η κίμηρη ςξσ ρώμαςξπ γίμεςαι ρςη διεύθσμρη ςξσ

άνξμα ςξσ ελαςηοίξσ υχοίπ ςοιβέπ και αμςιρςάρειπ από ςξμ αέοα. Η κίμηρη ςξσ ρώμαςξπ

για όρξ υοξμικό διάρςημα είμαι ρε επατή με ςξ ελαςήοιξ είμαι απλή αομξμική

ςαλάμςχρη.

Τξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρώμαςξπ είμαι μέγιρςξ.

α) ςη ρςιγμή πξσ έουεςαι ρε επατή με ςξ ελαςήοιξ.

β) ρςη θέρη όπξσ η ρσμιρςαμέμη ςχμ δσμάμεχμ πξσ δέυεςαι είμαι μηδέμ.

γ) ρςη θέρη μέγιρςηπ ρσρπείοχρηπ.

Λύρη


Από ςη ρςιγμή πξσ ςξ ρώμα έουεςαι ρε επατή με ςξ ελαςήοιξ εκςόπ από ςξ βάοξπ ςξσ

αρκείςαι και η δύμαμη ςξσ ελαςηοίξσ με τξοά ποξπ ςα πάμχ. Παίομξμςαπ ςα θεςικά ποξπ

ςα κάςχ ξ θεμελιώδηπ μόμξπ ςηπ Μηυαμικήπ γοάτεςαι:

F m mg F m mg kx m , όπξσ x η παοαμόοτχρη ςξσ ελαςηοίξσ.

Καθώπ ςξ ρώμα καςεβαίμει ςξ x μεγαλώμει. Δπξμέμχπ η επιςάυσμρη μικοαίμει.

Σσμευίζει όμχπ μα ασνάμεςαι η ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ, αλλά με μικοόςεοξ οσθμό.

Κάπξια ρςιγμή θα γίμει F 0 , ρςη θέρη ασςή η ςαυύςηςα θα είμαι μέγιρςη και η

επιςάυσμρη ίρη με ςξ μηδέμ. Σςη ρσμέυεια, επειδή ςξ x ασνάμεςαι, η kx θα γίμει

μεγαλύςεοη από ςξ βάοξπ, η επιςάυσμρη θα γίμει αομηςική και ςξ ρώμα θα αουίρει μα

επιβοαδύμεςαι.

Άοα ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρώμαςξπ είμαι μέγιρςξ ρςη θέρη πξσ ιρυύει F 0 .

22

Ερώτηση 20.

Μια μπάλα ατήμεςαι μα πέρει καςακόοστα ρςξ έδατξπ με ξομή Kgm

10s

και αμαπηδά με

ςημ ίδια καςά μέςοξ ςαυύςηςα. Ο υοόμξπ ποόρκοξσρηπ είμαι 0,5s .

Ο μέρξπ οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςηπ μπάλαπ ρςη διάοκεια ςηπ κοξύρηπ ρε 2

Kgm

s

έυει μέςοξ ίρξ με

α) 40 .

β) 20 .

γ) 10 .


Λύρη


Η μπάλα ρςη διάοκεια ςηπ κοξύρηπ δέυεςαι ςιπ δσμάμειπ πξσ ταίμξμςαι ρςξ ρυήμα και γι

ασςό μεςαβάλλεςαι η ξομή ςηπ.

Η μεςαβξλή ςηπ ξομήπ θα είμαι: p p p(μεςά) (ποιμ) (1)

Δπειδή ςα διαμύρμαςα έυξσμ ίδια διεύθσμρη ξοίζξσμε τξοά (θεςική ποξπ ςα πάμχ) και

μεςαςοέπξσμε ςη διαμσρμαςική ρυέρη ρε αλγεβοική:

Kgmp p ( p) 2p 2 10

s

Kgmp 20

s

2

Kgm20

p p Kgms 40t 0,5s t s

23

Ερώτηση 21.

Μια ηυηςική πηγή κιμείςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα s ποξπ ακίμηςξ παοαςηοηςή. Τα μήκη

κύμαςξπ πξσ εκπέμπει η πηγή ποξπ ςημ καςεύθσμρη ςξσ παοαςηοηςή, ποιμ και μεςά ςη

διέλεσρη ςηπ από ασςόμ, διατέοξσμ μεςανύ ςξσπ καςά 10

, όπξσ ςξ μήκξπ κύμαςξπ

πξσ εκπέμπει η πηγή όςαμ είμαι ακίμηςη. Αμ η ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ ήυξσ ρςξμ

αέοα, ξ λόγξπ s

είμαι

α) 1

5.

β) 1

10.

γ) 1

20.


Λύρη


Τξ μήκξπ κύμαςξπ πξσ εκπέμπει η πηγή ποξπ ςξμ παοαςηοηςή είμαι ίρξ με ςημ απόρςαρη

πξσ ασςόπ «αμςιλαμβάμεςαι» χπ μήκξπ κύμαςξπ.

Όςαμ η πηγή πληριάζει ςξμ παοαςηοηςή ασςόπ «αμςιλαμβάμεςαι» χπ μήκξπ κύμαςξπ ςημ

απόρςαρη s sT , όπξσ sT η πεοίξδξπ ςξσ ηυηςικξύ κύμαςξπ.

Όςαμ η πηγή απξμακούμεςαι από ςξμ παοαςηοηςή ασςόπ «αμςιλαμβάμεςαι» χπ μήκξπ

κύμαςξπ ςημ απόρςαρη B s sT .

Με αταίοερη καςά μέλη ςχμ δύξ ρυέρεχμ ποξκύπςει:

B A s s s s s s s

s

ss

1( T ) ( T ) 2 T 2

10 10 10 f 10

12

10 20

24

Ερώτηση 22.

Έμαπ παοαςηοηςήπ απξμακούμεςαι από ακίμηςη ηυηςική πηγή με ρςαθεοή ςαυύςηςα .

Η ρσυμόςηςα ςξσ ήυξσ πξσ αμςιλαμβάμεςαι ξ παοαςηοηςήπ είμαι μειχμέμη ρε ρυέρη με

ασςή πξσ εκπέμπει η πηγή. Τξ μήκξπ κύμαςξπ ςξσ ήυξσ πξσ τςάμει ρςξμ παοαςηοηςή

ρε ρυέρη με ςξ μήκξπ κύμαςξπ πξσ εκπέμπει η πηγή είμαι

α) A .

β) A .

γ) A .


Λύρη


Έμαπ ακίμηςξπ παοαςηοηςήπ γοάτει ςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ χπ

ενήπ: sf (1)

Ο κιμξύμεμξπ παοαςηοηςήπ γοάτει ςη θεμελιώδη ενίρχρη ςηπ κσμαςικήπ χπ

ενήπ: ή ( ) Af (2)

Όμχπ:

ή ( ) A , όπξσ η ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ ήυξσ για ςξμ ακίμηςξ

παοαςηοηςή.

AA sf f


Aή ( ) A A s sf f f

Από ςη ρύγκοιρη ςηπ ςελεσςαίαπ ρυέρηπ με ςημ (1) ποξκύπςει όςι .

25

Ερώτηση 23.

Η κοξύρη μεςανύ ςχμ δύξ ρταιοώμ ςξσ ρυήμαςξπ είμαι κεμςοική

και ελαρςική. Οι ρταίοεπ μεςά ςημ κοξύρη θα κιμηθξύμ όπχπ

ρςξ ρυήμα


Λύρη

Σχρςό είμαι ςξ ρυήμα (α).

Για ςημ κοξύρη ιρυύει η διαςήοηρη ςηπ ξομήπ.

Οι ρταίοεπ ςξσ ρυήμαςξπ ςηπ εκτώμηρηπ έυξσμ ποιμ ςημ κοξύρη ρσμξλική ξομή

p m 3 2m p 5m

Άοα και η ςελική ξομή ςξσ ρσρςήμαςξπ ςχμ ρταιοώμ ποέπει μα είμαι p 5 m

Σςξ ρυήμα (α) μεςά ςημ κοξύρη ξι ρταίοεπ έυξσμ ξομή

7p 2m m p 5m

3 3

Σςξ ρυήμα (β) μεςά ςημ κοξύρη ξι ρταίοεπ έυξσμ ξομή

p 2m 3 m p 5m

Σςξ ρυήμα (γ) μεςά ςημ κοξύρη ξι ρταίοεπ έυξσμ ξομή

p 2m 3 m p 7m

Άοα, η διαςήοηρη ςηπ ξομήπ ικαμξπξιείςαι μόμξ ρςα ρυήμαςα (α) και (β).

Η κοξύρη είμαι ελαρςική. Δπξμέμχπ θα ποέπει επίρηπ μα διαςηοείςαι και η κιμηςική

εμέογεια ςξσ ρσρςήμαςξπ.

Ποιμ ςημ κοξύρη ξι ρταίοεπ έυξσμ κιμηςική εμέογεια

26

2 2 21 1 11

K m 3 2m K m2 2 2

Σςξ ρυήμα (α) μεςά ςημ κοξύρη ξι ρταίοεπ έυξσμ κιμηςική εμέογεια:

2 221 1 7 11

K m 2m K m2 3 2 3 2

= =

Σςξ ρυήμα (β) μεςά ςημ κοξύρη ξι ρταίοεπ έυξσμ κιμηςική εμέογεια:

22 21 1 19

K m 2m 3 K m2 2 2

=

Παοαςηοξύμε όςι η διαςήοηρη ςηπ ξομήπ και η διαςήοηρη ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ

ικαμξπξιξύμςαι μόμξ ρςξ ρυήμα (α).

27

Ερώτηση 24.

Έμα ρώμα A μάζαπ M είμαι ακίμηςξ ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ. Έμα άλλξ ρώμα B μάζαπ m , πξσ κιμείςαι ρςξ ίδιξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ ρσγκοξύεςαι πλαρςικά κεμςοικά με ςξ

ρώμα A . Αμ μεςά ςημ κοξύρη ςξ ρσρρχμάςχμα έυει ςξ 1

3ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ πξσ

είυε ελάυιρςα ποιμ ςημ κοξύρη, ςόςε μεςανύ ςχμ μαζώμ ςχμ ρχμάςχμ ιρυύει η ρυέρη

α) M

6m

.

β) M

2.m

γ) M

3.m


Λύρη


Δίμεςαι όςι:

2

2

2 2

(M m)VK 1 1 V m2

mK 3 3 3(M m)

2

(1)

Δταομόζξσμε ςη Διαςήοηρηπ ςηπ Οομήπ για ςημ κοξύρη, ξπόςε παίομξσμε:

V mp p (M m)V m

M m

(2)

Ατξύ σφώρξσμε ςημ (2) ρςξ ςεςοάγχμξ ςημ ενιρώμξσμε με ςη (1), ξπόςε ποξκύπςει:

2

2

m m 1 m2m M

3(M m) (M m) 3 (M m)

άοα 2

m

.

28

Ερώτηση 25.

Μεςανύ δύξ ακίμηςχμ παοαςηοηςώμ B και A κιμείςαι πηγή S με ρςαθεοή ςαυύςηςα s

πληριάζξμςαπ ποξπ ςξμ A . Τα μήκη κύμαςξπ πξσ τςάμξσμ ρςξσπ παοαςηοηςέπ A και B

είμαι και

αμςίρςξιυα. Όςαμ η πηγή είμαι ακίμηςη εκπέμπει ήυξ μήκξσπ κύμαςξπ .

Τξ μήκξπ κύμαςξπ και ςα μήκη κύμαςξπ και ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη

α)( )

.2

β) ( )

.2

γ) .( )


Λύρη


Ο παοαςηοηςήπ Α, πξσ ςξμ πληριάζει η πηγή, «αμςιλαμβάμεςαι» χπ μήκξπ κύμαςξπ ςημ

απόρςαρη s sT , όπξσ sT η πεοίξδξπ ςξσ ηυηςικξύ κύμαςξπ.

Ο παοαςηοηςήπ B, πξσ απξμακούμεςαι από ασςόμ η πηγή, «αμςιλαμβάμεςαι» χπ μήκξπ

κύμαςξπ ςημ απόρςαρη B s sT .

Με ποόρθερη καςά μέλη ςχμ δύξ ρυέρεχμ ποξκύπςει

( )2

2

29

Ερώτηση 26.

Μια μικοή ρταίοα Σ1, μάζαπ 1m , ρσγκοξύεςαι μεςχπικά και ελαρςικά με ακίμηςη μικοή

ρταίοα Σ2, μάζαπ 2m . Μεςά ςημ κοξύρη ξι ρταίοεπ κιμξύμςαι με αμςίθεςεπ καςεσθύμρειπ

και ςα μέςοα ςχμ ςαυσςήςχμ ςξσπ 1 και 2΄ αμςίρςξιυα ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη

1 2΄ 2 ΄ . Ο λόγξπ ςχμ μαζώμ ςχμ δύξ ρταιοώμ 1

2

m

m, είμαι ίρξπ με:

α) 1.

β)1

5.

γ) 5 .


Λύρη


Έυξσμε ελαρςική κοξύρη δύξ ρχμάςχμ από ςα ξπξία ςξ έμα αουικά είμαι ακίμηςξ, ξπόςε

ξι ςαυύςηςέπ ςξσπ μεςά ςημ κοξύρη δίμξμςαι από ςιπ ρυέρειπ:

1 21 1

1 2

m m'

m m

12 1

1 2

2m'

m m

Τα ρώμαςα μεςά ςημ κοξύρη θα κιμηθξύμ ρςημ ίδια διεύθσμρη αλλά με αμςίθεςεπ τξοέπ.

Όπχπ ποξκύπςει από ςιπ πιξ πάμχ ρυέρειπ ςξ ρώμα Σ2 θα έυει ίδια τξοά με ασςή πξσ

είυε ποιμ ςημ κοξύρη ςξ Σ1. Σσμεπώπ για ςα μέςοα ςχμ ςαυσςήςχμ θα ιρυύει:

1 2 11 2 1 1

1 2 1 2

m m 2m' 2 ' 2

m m m m

.

Από όπξσ ποξκύπςει: 11 2 1 2 1

2

m 1m m 4m m 5m

m 5

30

Ερώτηση 27.

Όλεπ ξι ρταίοεπ ςξσ ρυήμαςξπ βοίρκξμςαι πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ είμαι ελαρςικέπ και αουικά είμαι ακίμηςεπ. Οι μάζεπ ςχμ ρταιοώμ ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη:

1 2 3m m 4m . Σςη ρταίοα μάζαπ 3m δίμξσμε αουική ςαυύςηςα uo και ξι κοξύρειπ πξσ

ακξλξσθξύμ είμαι κεμςοικέπ. Ο αοιθμόπ ςχμ κοξύρεχμ πξσ θα γίμξσμ ρσμξλικά είμαι

α. 2.

β. 3.

γ. 4.


Λύρη


Η 1η κοξύρη είμαι μεςανύ ςχμ ρταιοώμ με μάζεπ m3,m2. Ασςέπ θα κιμηθξύμ με ςαυύςηςεπ:

3 2 3 3 o3 o o 3 o

3 2 3 3

m m m 4m 3uu u u u 0,6u

m m m 4m 5

και: 3 o2 o 2 o

3 2

2m 2uu u u 0,4u

m m 5

Η ρταίοα μάζαπ m3 γσοίζει πίρχ με ςαυύςηςα μέςοξσ o0,6u και ρσγκοξύεςαι κεμςοικά

ελαρςικά με ςημ ακίμηςη m1. Μεςά ςημ κοξύρη θα κιμηθεί με ςαυύςηςα

3 1 3 3 o3 3 o 3 o

3 1 3 3

m m m 4m 1,8uu u ( 0,6u ) u 0,36u

m m m 4m 5

Δπειδή μεςά ςημ 2η κοξύρη η ςαυύςηςα ςηπ ρταίοαπ με μάζα m3 είμαι μικοόςεοη ςηπ ςαυύςηςαπ ςηπ ρταίοαπ με μάζα m2 δεμ θα σπάονει άλλη κοξύρη.

Άοα θα γίμξσμ 2 κοξύρειπ.

31

Ερώτηση 28.

Τα ρώμαςα Α και Β ςξσ ρυήμαςξπ με μάζεπ mA και mB αμςίρςξιυα είμαι ακίμηςα πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ δάπεδξ. Δκςξνεύξσμε ςξ ρώμα Α με ςαυύςηςα uo ποξπ ςξ Β, η κοξύρη πξσ ακξλξσθεί είμαι κεμςοική πλαρςική και διαοκεί υοξμικό διάρςημα Δt. Τξ μέςοξ ςηπ μέρηπ δύμαμηπ πξσ άρκηρε ςξ ρώμα Α ρςξ ρώμα Β δίμεςαι από ςη ρυέρη

α. B A o

A B

m m uF

(m m )Γt

.

β. B A o

A B

m m uF

(m m )Γt

.

γ. B A o

A B

(m m )uF

m m Γt

.


Λύρη


Δπειδή η κοξύρη είμαι κεμςοική η διαςήοηρη ςηπ ξομήπ αλγεβοικά γοάτεςαι:

απσ ηελp p ή A o A Bm u (m m )V ή A o

A B

m uV

m m

. (1)

Τξ μέςοξ ςηπ μέρηπ δύμαμηπ F πξσ αμαπςύρρει ςξ Α ρςξ Β είμαι:

Bm V 0pF

t t

Mε αμςικαςάρςαρη ςηπ V από ςημ (1) παίομξσμε:

B A o

A B

m m uF

(m m )Γt

Α Β uo

32

Ερώτηση 29.

Έμα ρώμα μάζαπ m1 κιμξύμεμξ με ςαυύςηςα u1 ρσγκοξύεςαι κεμςοικά και πλαρςικά με ακίμηςξ ρώμα μάζαπ m2. Τξ πξρξρςό % ςηπ ξομήπ, πξσ μεςατέοεςαι από ςξ ρώμα μάζαπ m1 ρςξ ρώμα μάζαπ m2 καςά ςημ κοξύρη είμαι μεγαλύςεοξ όςαμ για ςιπ μάζεπ ιρυύει η ρυέρη

α. 1

2

m1

m

β. 1

2

m1

m

γ. 1

2

m1

m


Λύρη


Μεςά ςημ κοξύρη ςξ ρσρρχμάςχμα απξκςά ςαυύςηςα πξσ βοίρκεςαι με εταομξγή ςηπ ΑΔΟ.

1 11 1 1 2

1 2

m um u (m m )V V

m m

.

Τξ ρώμα μάζαπ m2 απξκςά ξομή 2 1 12 2

1 2

m m up m V

m m

.

Δπειδή p2, αου.=0, ςξ πξρξρςό % ςηπ ξομήπ πξσ μεςατέοθηκε από ςξ ποώςξ ρςξ δεύςεοξ ρώμα είμαι:

π%=

1 2 1

2 1 2 2

11 1 1 1 2

2

m m u

Γp m m m 100100% 100% 100% %

mp m u m m1

m

.

Παοαςηοξύμε όςι όρξ μικοαίμει ξ λόγξπ ςχμ μαζώμ 1

2

m

m μεγαλώμει ςξ πξρξρςό ςηπ

ξομήπ πξσ μεςαβιβάζει ςξ κιμξύμεμξ ρώμα m1 ρςξ ακίμηςξ m2 .

33

Ερώτηση 30.

Έμα ρώμα, Σ1, μάζαπ m1 κιμξύμεμξ με ςαυύςηςα u1 ρσγκοξύεςαι κεμςοικά και ελαρςικά με ακίμηςξ ρώμα, Σ2, μάζαπ m2. Η γοατική παοάρςαρη ςξσ πξρξρςξύ % ςηπ ξομήπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1 πξσ μεςατέοεςαι ρςξ Σ2 καςά ςημ κοξύρη, ρε ρσμάοςηρη με ςξ λόγξ ςχμ

μαζώμ 1

2

m

m απεικξμίζεςαι ρςξ διάγοαμμα

α ) 1

β) 2

γ) 3


Λύρη


To Σ2 μεςά ςημ κοξύρη θα κιμηθεί με ςαυύςηςα 1 12

1 2

2m uu

m m

και θα απξκςήρει ξομή 2 2 2p m u 1 2 1

1 2

2m m u

m m

Τξ πξρξρςό % ςηπ ξομήπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1 πξσ μεςατέοεςαι ρςξ Σ2 είμαι:

34

2 2 2 2 2 1 1 2

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2

Γp p 0 m u m 2m u 2mπ% 100% 100% 100% π% 100% 100%

p p m u m u m m m m

1

2

200π% %

m1

m

Η ρσμάοςηρη είμαι μια σπεοβξλή, άοα ρχρςά διαγοάμμαςα μπξοεί μα είμαι ςα 1, 2.

Όςαμ ξ λόγξπ 1

2

m1

m , ςόςε π% =100%. Ασςό ρσμβαίμει μόμξ ρςξ διάγοαμμα 2.

35

Ερώτηση 31.

Σε πείοαμα ρςξ C.E.R.N., δύξ ποχςόμια επιςαυύμξμςαι ρε μεγάλεπ ςαυύςηςεπ, κιμξύμεμα αμςίθεςα ρε παοάλληλεπ διεσθύμρειπ με ςαυύςηςεπ ίρχμ μέςοχμ, και αλληλεπιδοξύμ με δσμάμειπ ηλεκςοξμαγμηςικέπ.

Σςη τάρη ςηπ αλληλεπίδοαρηπ δεμ επιδοξύμ ρςξ ρύρςημα ςχμ δύξ ποχςξμίχμ ενχςεοικά αίςια π.υ. πεδία. Μεςά ςημ αλληλεπίδοαρή ςξσπ ςα ποχςόμια κιμξύμςαι

α. ρε παοάλληλεπ διεσθύμρειπ, διατξοεςικέπ ςχμ αουικώμ.

β. ρςιπ ίδιεπ διεσθύμρειπ με ποιμ.

γ. ξπχρδήπξςε ρε κάθεςεπ διεσθύμρειπ.


Λύρη


Η αουική ξομή ςξσ ρσρςήμαςξπ είμαι μηδέμ και θα παοαμείμει μηδέμ, ατξύ δεμ σπάουξσμ ενχςεοικέπ δσμάμειπ. Άοα, ρχρςέπ απαμςήρειπ μπξοεί μα είμαι μόμξ ξι α, β.

Δπειδή ξι διεσθύμρειπ ςχμ αουικώμ ςαυσςήςχμ είμαι παοάλληλεπ, ξι δσμάμειπ αλληλεπίδοαρηπ δεμ βοίρκξμςαι πάμχ ρςιπ διεσθύμρειπ ςχμ ςαυσςήςχμ, με ρσμέπεια μα ακξλξσθήρξσμ διατξοεςικέπ πξοείεπ από ςιπ αουικέπ. Όμχπ κάθε ρςιγμή ποέπει μα έυξσμ ςαυύςηςεπ ίρχμ μέςοχμ και αμςίθεςχμ καςεσθύμρεχμ.

36

Ερώτηση 32.

Έμαπ επιβάςηπ λεχτξοείξσ, πξσ είμαι ακίμηςξ ρε εσθύγοαμμξ δοόμξ, αουίζει μα ακξύει ςη υοξμική ρςιγμή t0=0 ςη ρειοήμα πσοξρβερςικξύ ξυήμαςξπ πξσ κιμείςαι ρςξμ ίδιξ δοόμξ. Μέυοι ςη υοξμική ρςιγμή t1 ακξύει ρςαθεοή ρσυμόςηςα μικοόςεοη ςηπ εκπεμπόμεμηπ fs . Από ςη ρςιγμή t1 έχπ ςη ρςιγμή t2, η ρσυμόςηςα ςξσ ήυξσ πξσ ακξύει διαοκώπ ασνάμεςαι. Σςα υοξμικά διαρςήμαςα (0,t1), (t1,t2) η κίμηρη ςξσ πσοξρβερςικξύ ξυήμαςξπ ήςαμ αμςίρςξιυα

α. εσθύγοαμμη ξμαλή απξμακοσμόμεμξ από ςξ λεχτξοείξ, επιςαυσμόμεμη.

β. εσθύγοαμμη ξμαλή πληριάζξμςαπ ςξ λεχτξοείξ, επιβοαδσμόμεμη.

γ. εσθύγοαμμη ξμαλή απξμακοσμόμεμξ από ςξ λεχτξοείξ, επιβοαδσμόμεμη.


Λύρη


Ο ακίμηςξπ παοαςηοηςήπ ρςξ υοξμικό διάρςημα (0,t1) ακξύει ήυξ ρςαθεοήπ ρσυμόςηςαπ μικοόςεοη ςηπ εκπεμπόμεμηπ fs. Άοα η ηυηςική πηγή απξμακούμεςαι από ασςόμ με

ρςαθεοή ςαυύςηςα και η ρυέρη πξσ ρσμδέει ςιπ δύξ ρσυμόςηςεπ είμαι: ησ

A s

ησ s

ςf f

ς ς

.

Έςρι, ρχρςή μπξοεί μα είμαι η (α) ή η (γ).

Σςξ υοξμικό διάρςημα (t1,t2), ξ ακίμηςξπ παοαςηοηςήπ ακξύει ήυξ με διαοκώπ

ασναμόμεμη ρσυμόςηςα. Για μα ρσμβαίμει ασςό θα ποέπει ρςημ παοαπάμχ ρυέρη ςξ sς

διαοκώπ μα μειώμεςαι. Ασςό ρσμβαίμει ρςημ επιβοαδσμόμεμη κίμηρη.

37

Ερώτηση 33.

Οι δύξ ηυηςικέπ πηγέπ ςξσ ρυήμαςξπ Π1 και Π2 εκπέμπξσμ ήυξ ίδιαπ ρσυμόςηςαπ fs. Η πηγή Π1 είμαι ακίμηςη εμώ η Π2 κιμείςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα u2 απξμακοσμόμεμη από ςξμ ακίμηςξ παοαςηοηςή A. Δευόμαρςε όςι καςά ςη διάδξρη ςξσ ήυξσ από ςιπ δύξ πηγέπ δεμ έυξσμε απώλειεπ εμέογειαπ και η έμςαρη ςξσ ήυξσ είμαι ρςαθεοή ρςημ πεοιξυή ςξσ ταιμξμέμξσ με ρσμέπεια ξ παοαςηοηςήπ μα ακξύει διακοξςήμαςα. Τα παοαγόμεμα διακοξςήμαςα έυξσμ

α) ρςαθεοή ρσυμόςηςα.

β) ασναμόμεμη ρσυμόςηςα.

γ) μειξύμεμη ρσυμόςηςα.

Αιςιξλξγείρςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Λύρη


Ο παοαςηοηςήπ ακξύει από ςημ ακίμηςη πηγή Π1 ήυξ ρσυμόςηςαπ f1=fs, εμώ από ςημ

απξμακοσμόμεμη πηγή Π2: 2 s s

2

uf f f

u u

όπξσ u= η ςαυύςηςα ςξσ ήυξσ ρςξμ αέοα.

Δπειδή έυξσμε ςημ ίδια έμςαρη ςξσ ήυξσ ρςημ πεοιξυή ςξσ ταιμξμέμξσ, ασςό ρημαίμει όςι ςξ ασςί ςξσ παοαςηοηςή δέυεςαι δύξ ηυηςικά κύμαςα ίδιξσ πλάςξσπ πξσ ξι ρσυμόςηςέπ ςξσπ διατέοξσμ λίγξ μεςανύ ςξσπ. Η ρσυμόςηςα ςξσ δημιξσογξύμεμξσ διακοξςήμαςξπ είμαι:

Γ 1 2 sf f f f s

2

uf

u u

2δ s

2

uf f

u u

ρςαθεοή

38

Ερώτηση 34.

Σε μια πλαγιξμεςχπική ρύγκοξσρη δύξ ασςξκιμήςχμ 1, 2, πξσ κιμξύμςαι ρε κάθεςξσπ

δοόμξσπ, δημιξσογείςαι ρσρρχμάςχμα, ςξ ξπξίξ απξκςά κξιμή ςαυύςηςα V πξσ

ρυημαςίζει γχμία θ=45ξ με ςη διεύθσμρη κίμηρηπ ςξσ ασςξκιμήςξσ 1. Ο εμπειοξγμώμξμαπ

ζσγίζει ςα ασςξκίμηςα και βοίρκει όςι ςξ ασςξκίμηςξ 2 είμαι 20% βαούςεοξ από ςξ 1.

Ο λόγξπ ςχμ ςαυσςήςχμ σ1/σ2 είμαι

α) ίρξπ με έμα.

β) μεγαλύςεοξπ ςξσ έμα.

γ) μικοόςεοξπ ςξσ έμα.

Να αιςιξλξγείρςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Λύρη


Δίμαι 2

1

pεθθ

p ή 2

1

p1

p ή 1 2p p ή 1 1 2 2m u m u ή 1 1 1 2m u 1,2m u ή 1

2

u1,2

u

Θ

υ1

υ2

V

P1

P2 pτελ

θ

39

Ερώτηση 35.

Οι ρταίοεπ Σ1, Σ2 ςξσ ρυήμαςξπ είμαι ελαρςικέπ. Η ρταίοα Σ1 κιμξύμεμη με ςαυύςηςα u1

ρσγκοξύεςαι κεμςοικά με ςημ ακίμηςη Σ2 πξσ βοίρκεςαι μποξρςά από λείξ καςακόοστξ

ςξίυξ με ςξμ ξπξίξ ρςημ ρσμέυεια ρσγκοξύεςαι ελαρςικά. Η ρταίοα Σ1 επιρςοέτει με

ςαυύςηςα u1/2. Η ςαυύςηςα ςηπ Σ2 μεςά ςημ κοξύρη με ςξμ ςξίυξ είμαι:

α) u1.

β) u1/2.

γ) 0 .

Αιςιξλξγείρςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Λύρη


Η κοξύρη ςχμ δύξ ρταιοώμ είμαι κεμςοική ελαρςική, άοα για ςημ ςαυύςηςα ςηπ ρταίοαπ

Σ1 έυξσμε:

1 2 1 1 21 1 1 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

m m u m mu u u 2m 2m m m m 3m

m m 2 m m

Η ρταίοα Σ2 μεςά ςημ κοξύρη ςηπ με ςημ Σ1 απξκςά ςαυύςηςα 1u για ςημ ξπξία ιρυύει:

1 11 1

1 2

2m uu u

m m 2

Μεςά ςημ ελαρςική κοξύρη ςηπ με ςξμ ςξίυξ θα επιρςοέφει με ςαυύςηςα ίδιξσ μέςοξσ,

δηλαδή 1u

2.

40

Ερώτηση 36.

Ποξκειμέμξσ μα βοξύμε ςημ ςαυύςηςα πεοιρςοξτήπ ςχμ αεοίχμ μαζώμ ρε έμαμ

αμεμξρςοόβιλξ ρςηοιζόμαρςε ρςξ ταιμόμεμξ Doppler. Aπό μια ρςαθεοή πηγή πξσ είμαι

και δέκςηπ εκπέμπξσμε από μεγάλη απόρςαρη σπέοηυξσπ ρσυμόςηςαπ fs ποξπ ςξμ

αμεμξρςοόβιλξ (βλέπε ρυήμα). Ο αμακλώμεμξπ σπέοηυξπ αμιυμεύεςαι από ςξμ δέκςη ρε

διάτξοεπ ςιμέπ πξσ κσμαίμξμςαι μεςανύ μιαπ ελάυιρςηπ fmin και μιαπ μέγιρςηπ fmax.

Η ελάυιρςη ρσυμόςηςα αμιυμεύεςαι από ςημ αμάκλαρη ρςημ πεοιξυή ςξσ ρημείξσ

α. Α και είμαι ίρη με ησ π

min s

ησ π

u uf f

u u

.

β. Α και είμαι ίρη με ησ π

min s

ησ π

u uf f

u u

.

γ. Β και είμαι ίρη με ησ π

min s

ησ π

u uf f

u u

.


Λύρη

Η ρχρςή απάμςηρη είμαι η (β).

Η ελάυιρςη ρσυμόςηςα αμιυμεύεςαι όςαμ ξ σπέοηυξπ αμακλάςαι ρςξ ρημείξ Α ςξσ

ρυήμαςξπ, επειδή ξι αμακλώρεπ αέοιεπ μάζεπ απξμακούμξμςαι με ςαυύςηςα uπ , εμώ η

μέγιρςη αμιυμεύεςαι από ςημ αμάκλαρη ρςξ ρημείξ Β ςξσ ρυήμαςξπ. Έςρι για ςξ ρημείξ Α

έυξσμε: ησ π

1,πποζπίπηονηορ s 1,ανακλώμενος 1

ησ

u uf f f f

u

Ο δέκςηπ αμιυμεύει χπ ελάυιρςη ρσυμόςηςα ςημ

ησ ησ ησ π ησ π

min 1 s min s

ησ π ησ π ησ ησ π

u u u u u uf f f f f

u u u u u u u

41

Ερώτηση 37.

Σςξ ρυήμα ςξ ρώμα μάζαπ m1 ιρξοοξπεί υαμηλόςεοα καςά h από ςη θέρη τσρικξύ

μήκξσπ ςξσ ελαςηοίξσ. Από ςη θέρη τσρικξύ μήκξσπ ςξσ ελαςηοίξσ ατήμξσμε ρώμα ίρηπ

μάζαπ (m2 =m1=m) μα κάμει ελεύθεοη πςώρη ρςημ καςακόοστξ πξσ διέουεςαι από ςξμ

άνξμα ςξσ ελαςηοίξσ. Η κοξύρη ςχμ ρχμάςχμ είμαι κεμςοική ελαρςική, και αμέρχπ μεςά

ςημ κοξύρη, απξμακούμεςαι η μάζα m2, εμώ ςξ ρώμα m1 εκςελεί α.α.ς. Τξ πλάςξπ

ςαλάμςχρηπ ςξσ m1 είμαι

α) h .

β) 2h .

γ) h 2 .

Δπιλένςε ςη ρχρςή ποόςαρη και αιςιξλξγείρςε.

Λύρη

Η ρχρςή απάμςηρη είμαι η (γ).

Για ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ιρυύει: ΣF 0 ή ελαη.F mg ή kh m (1)

Με εταομξγή ςηπ διαςήοηρηπ ςηπ μηυαμικήπ Δμέογειαπ για ςημ πςώρη ςηπ μάζαπ m2

βοίρκξσμε ςημ ςαυύςηςά ςηπ ελάυιρςα ποιμ ςημ κοξύρη:

2

2

1mgh mu

2 ή 2u 2gh

Δπειδή ξι μάζεπ ςχμ ρχμάςχμ είμαι ίρεπ και η κοξύρη κεμςοική ελαρςική, ςα ρώμαςα

αμςαλλάρξσμ ςαυύςηςεπ, ξπόςε ςξ ρώμα μάζαπ m1 θα νεκιμήρει αομξμική ςαλάμςχρη με

max 2ς u 2gh .

m1

h

m2 Θέςη φυςικοφ

μήκουσ ελατηρίου.

Θέςη ιςορροπίασ m1

42

Έυξσμε: max

kς ωA 2gh A

m και με αμςικαςάρςαρη ςξσ k από ςη ρυέρη (1)

εύκξλα ποξκύπςει A h 2 .

43

Ερώτηση 38.

Μξςξρσκλέςα και πεοιπξλικό κιμξύμςαι ρε εσθύγοαμμξ δοόμξ με ίρεπ καςά μέςοξ

ςαυύςηςεπ σξ, κιμξύμεμα αμςίθεςα και πληριάζξμςαπ μεςανύ ςξσπ. Κάπξια ρςιγμή, ςξ

πεοιπξλικό αουίζει μα παοάγει ήυξ με ςη ρειοήμα ρσυμόςηςαπ fs. Λίγξ μεςά, ςξ

πεοιπξλικό αουίζει μα επιβοαδύμεςαι και ςημ ίδια ρςιγμή αουίζει μα επιβοαδύμεςαι και ξ

μξςξρσκλεςιρςήπ. Ο μξςξρσκλεςιρςήπ, καςά ςη διάοκεια ςηπ επιβοαδσμόμεμηπ κίμηρήπ

ςξσ, ακξύει ήυξ πξσ η ρσυμόςηςά ςξσ

α) είμαι ρςαθεοή.

β) ασνάμεςαι διαοκώπ.

γ) μειώμεςαι διαοκώπ.

Να αιςιξλξγείρςε ςημ απάμςηρή ραπ.

Λύρη


Η ρσυμόςηςα ςξσ ήυξσ πξσ άκξσγε ποιμ ςημ επιβοαδσμόμεμη κίμηρή ςξσ είμαι:

ησ 0

1 s

ησ 0

ς ςf f

ς ς

και μεςά

ησ μ

2 s

ησ π

ς ςf f

ς ς

. Παοαςηοξύμε όςι ξ αοιθμηςήπ ελαςςώμεςαι

διαοκώπ με ςξ υοόμξ εμώ ξ παοξμξμαρςήπ ασνάμεςαι. Άοα ακξύει ήυξ με μειξύμεμη

διαοκώπ ρσυμόςηςα.

44

Ερώτηση 39.

Μια ρταίοα Α μάζαπ m κιμξύμεμη με ςαυύςηςα μέςοξσ σ ρσγκοξύεςαι κεμςοικά και

πλαρςικά με αουικά ακίμηςη δεύςεοη ρταίοα Β διπλάριαπ μάζαπ. Η μεςαβξλή ςηπ ξομήπ

ςηπ ρταίοαπ Α είμαι

α) mσ/3

β) -2mσ/3

γ) -mσ/3


Λύρη


Δταομόζξσμε ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ

ξομήπ για ςξ ρύρςημα ςχμ ρταιοώμ λίγξ

ποιμ και αμέρχπ μεςά ςημ πλαρςική κοξύρη.

απσ ηελ κ κ

ςp p m ς 3m ς ς

3

Η μεςαβξλή ςηπ ξομήπ ςηπ ρταίοαπ Α είμαι

Α Α Α κ Α

2mςΓp p p m ς m ς Γp

3

45

Ερώτηση 40.

Tξ ρώμα Β ςξσ ρυήμαςξπ είμαι ακίμηςξ πάμχ ρε λείξ

ξοιζόμςιξ δάπεδξ και δεμέμξ ρςημ άκοη ιδαμικξύ

ελαςηοίξσ. Τξ ρώμα Α, μάζαπ mA, κιμξύμεμξ με

ςαυύςηςα σΑ=3m/s καςά μήκξπ ςξσ άνξμα ςξσ

ελαςηοίξσ, ρσγκοξύεςαι μεςχπικά με ςξ ρώμα Β ςη

υοξμική ρςιγμή t=0. Οι αλγεβοικέπ ςιμέπ ςχμ ςαυσςήςχμ

ςχμ ρχμάςχμ μεςά ςημ κοξύρη (θεςική τξοά ποξπ ςα

αοιρςεοά) ταίμξμςαι ρςξ διπλαμό διάγοαμμα

ςαυσςήςχμ-υοόμξσ. Οι μάζεπ ςχμ ρχμάςχμ Α και Β

ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη

α. mΒ= mA

β. mΒ=2 mA

γ. mΒ=3 mA.


Λύρη


Από ςξ διάγοαμμα, παοαςηοξύμε όςι αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη ςξ Β έυει ςαυύςηςα

σΒ΄=2m/s και ςξ Α επιρςοέτει με σΑ΄=-1m/s.


απσ ηελ A A B B A A A B A B Ap p m ς m ς m ς m (3m / s) m (2m / s) m ( 1m / s) m 2m

46

Ερώτηση 41.

Σςξ διάγοαμμα ςξσ ρυήμαςξπ ταίμξμςαι ξι αλγεβοικέπ ςιμέπ

ςχμ ςαυσςήςχμ δσξ ρταιοώμ A και B ποιμ και μεςά ςη μεςανύ

ςξσπ κεμςοική κοξύρη. Οι μάζεπ ςχμ δύξ ρταιοώμ ρσμδέξμςαι

με ςη ρυέρη

α. mB=3mA

β. mB=2mA

γ. mB = mA


Λύρη



απσ ηελ A B A B Ap p m ς m ς m 2ς 0 m 3m

47

Ερώτηση 42.

Η ρταίοα A ςξσ ρυήμαςξπ, μάζαπ mΑ, ποξρπίπςει με ςαυύςηςα μέςοξσ σ ρςημ ακίμηςη

ρταίοα B, μάζαπ mΒ =mΑ/3, ρυημαςίζξμςαπ ρσρρχμάςχμα. Καςά ςημ κοξύρη ςξ 25% ςηπ

αουικήπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ γίμεςαι θεομόςηςα. Αμ η ρταίοα Α

ποξρπέρει ρςη ρταίοα Β με ςαυύςηςα μέςοξσ 2σ, ςξ πξρξρςό ςηπ αουικήπ κιμηςικήπ

εμέογειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ πξσ θα γίμει θεομόςηςα είμαι

α. 25%

β. 50%

γ. 75%.


Λύρη


Δταομόζξσμε ςημ ΑΔΟ και έυξσμε:

απσ ηελ A A A B Kp p m ς (m m )ς , (1)

2

2 A A2 2A A A B

A A A B KA B

22απσ A A

A A

Β

A B

m ς1 1 m ς (m m )m ς (m m )ς m mQ 2 2Π% 100% 100% 100%1K m ς

m ς2

mΠ% 100%

m m

Παοαςηοξύμε όςι ςξ απξςέλερμα είμαι αμενάοςηςξ ςηπ αουικήπ ςαυύςηςαπ σΑ.

48

Ερώτηση 43.

Οι δύξ ρταίοεπ ςξσ ρυήμαςξπ κιμξύμςαι ρε κάθεςεπ μεςανύ ςξσπ

διεσθύμρειπ με ςαυύςηςεπ ίδιξσ μέςοξσ και ρσγκοξύξμςαι

πλαρςικά. Η κίμηρη γίμεςαι ρε ξοιζόμςιξ λείξ επίπεδξ. Τξ μέςοξ

ςηπ ςαυύςηςαπ VK ςξσ δημιξσογξύμεμξσ ρσρρχμαςώμαςξπ είμαι

α. KV ς 2

β. K

ς 2V

2

γ. KV 2ς .


Λύρη


Από ςη διαςήοηρη ςηπ ξομήπ έυξσμε:

2 2 2 2 2

K K Kηελ απσ

2p p (2m V ) (mς) (mς) 4V 2ς V ς

2

49

Ερώτηση 44.

Έμα αουικά ακίμηςξ ρώμα πξσ βοίρκεςαι ρε λείξ ξοιζόμςιξ δάπεδξ εκοήγμσςαι ρε δύξ

κξμμάςια Α και Β με μάζεπ mΑ=m και mΒ=2m αμςίρςξιυα, όπχπ ρςξ ρυήμα.

Αμ με Κ ρσμβξλίρξσμε ςημ κιμηςική εμέογεια ςξσ ρσρςήμαςξπ ςχμ δύξ κξμμαςιώμ μεςά

ςημ έκοηνη, ςόςε για ςημ κιμηςική εμέογεια ςξσ κξμμαςιξύ Α, ΚΑ, ιρυύει

α. A

KK

3

β. A

2KK

3

γ. A

KK

2


Λύρη


Α. Η έκοηνη ξτείλεςαι ρε ερχςεοικέπ δσμάμειπ, άοα ιρυύει η αουή διαςήοηρηπ ςηπ

ξομήπ.

απσ ηελ B A A Bp p 0 2mς mς ς 2ς

Β. Η κιμηςική εμέογεια ςξσ δημιξσογξύμεμξσ ρσρρχμαςώμαςξπ είμαι: A BK K K

Όμχπ,

2 2 22 Α A

A Α

m ς p1 1K mς

2 2 m 2m και

2

B AB

p KK

4m 2

Άοα, AA A

K 2KK K K

2 3

50

Ερώτηση 45.

Τα ρώμαςα (A) και (Β) ςξσ ρυήμαςξπ βοίρκξμςαι πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ και

έυξσμ μάζεπ πξσ ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη mB=3mA. Τξ ρώμα (Α) κιμξύμεμξ με ςαυύςηςα

μέςοξσ σ ρσγκοξύεςαι κεμςοικά ελαρςικά με ςξ ακίμηςξ ρώμα (Β) ςξ ξπξίξ είμαι δεμέμξ

ρςημ άκοη ςξσ ξοιζόμςιξσ ιδαμικξύ ελαςηοίξσ, όπχπ ρςξ ρυήμα. Μεςά ςημ κοξύρη, ςξ

ρώμα (B) ςαλαμςώμεςαι με πεοίξδξ Τ και πλάςξπ Α για ςξ ξπξίξ ιρυύει

α. ςT

A2

β. ςT

A2π

γ. ςT

A4π


Λύρη


A. Η κοξύρη είμαι κεμςοική και ελαρςική, άοα ςξ ρώμα Β μεςά ςημ κοξύρη θα απξκςήρει

ςαυύςηςα Bς η ξπξία έυει μέςοξ

AB B

A B

2m ςς ς ς

m m 2

Η ςαυύςηςα σΒ είμαι η μέγιρςη ςηπ ςαλάμςχρηπ, ατξύ ςξ ρώμα (Β) ςη ρςιγμή ςηπ

κοξύρηπ βοίρκεςαι ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ.

Δπξμέμχπ, B

ς 2π ςTς ωA A A

2 T 4π

51

Ερώτηση 46.

Tξ ρώμα Σ ςξσ ρυήμαςξπ, μάζαπ m, είμαι ακίμηςξ

πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ και δεμέμξ ρςημ άκοη

ιδαμικξύ ξοιζόμςιξσ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k. Έμα βλήμα

μάζαπ m κιμξύμεμξ με ςαυύςηςα σo καςά μήκξπ ςξσ

άνξμα ςξσ ελαςηοίξσ, ρσγκοξύεςαι πλαρςικά με ςξ

ρώμα Σ. Τξ πξρξρςό ςηπ εμέογειαπ ςξσ βλήμαςξπ πξσ μεςαςοάπηκε ρε εμέογεια

ςαλάμςχρηπ είμαι ίρξ με

α. 50%

β. 200/3 %

γ. 75%


Λύρη


Δταομόζξμςαπ ςημ ΑΔΟ έυξσμε: oαπσ ηελ o K K

ςp p mς (m m)ς ς

2

Η σΚ είμαι η μέγιρςη ςαυύςηςα ςηπ ςαλάμςχρηπ, ατξύ η κοξύρη γίμεςαι ρςη θέρη

ιρξοοξπίαπ

2

Kmax

2βλo

12m ς

K 2Π% 100% 100% 50%1K

mς2

52

Ερώτηση 47.

Ο πoδηλάςηπ Α ςξσ ρυήμαςξπ πληριάζει ποξπ ςημ

ακίμηςη ηυηςική πηγή S με ρςαθεοή επιςάυσμρη

μέςοξσ α νεκιμώμςαπ από ςημ ηοεμία. Η πηγή

εκπέμπει ήυξ ρςαθεοήπ ρσυμόςηςαπ fS. H ρσυμόςηςα

fA πξσ αμςιλαμβάμεςαι ξ πoδηλάςηπ ρε ρυέρη ςξ

υοόμξ καθώπ ασςόπ πληριάζει ςημ πηγή δίμεςαι από ςξ διάγοαμμα

α. (I)

β. (II)

γ. (III)


Λύρη


Ο παοαςηοηςήπ πληριάζει κιμξύμεμξπ ποξπ ςημ πηγή με ρςαθεοή επιςάυσμρη. Δπξμέμχπ

έυει ςαυύςηςα μέςοξσ ς αt .

H ρσυμόςηςα πξσ αμςιλαμβάμεςαι δίμεςαι από ςη ρυέρη

ησ ησ

A S S A S S

ησ ησ ησ

ς ς ς αt αf f f f f f t

ς ς ς

Η ςελεσςαία ρυέρη δείυμει όςι ρσυμόςηςα Af είμαι ρσμάοςηρη 1ξσ βαθμξύ χπ ποξπ ςξ

υοόμξ.

53

Ερώτηση 48.

Οι ακίμηςεπ ηυηςικέπ πηγέπ S1 και S2 ςξσ ρυήμαςξπ

εκπέμπξσμ κύμαςα ρςαθεοήπ ρσυμόςηςαπ fs. Έμαπ

παοαςηοηςήπ κιμείςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα σΑ

καςά μήκξπ ςηπ εσθείαπ ςχμ πηγώμ και με

καςεύθσμρη ποξπ ςα δενιά. Όςαμ βοίρκεςαι ρςξ υώοξ (Β), δηλαδή μεςανύ ςχμ πηγώμ,

αμςιλαμβάμεςαι λόγξ ρσυμξςήςχμ 1

2

f 9

f 11 όπξσ f1 και f2 ξι ρσυμόςηςεπ πξσ

αμςιλαμβάμεςαι από ςιπ πηγέπ S1 και S2 αμςίρςξιυα. Αμ σηυ είμαι η ςαυύςηςα ςξσ ήυξσ ρςξμ

ακίμηςξ αέοα, ξ παοαςηοηςήπ κιμείςαι με ςαυύςηςα

α. ησ

A

ςς

9

β. ησ

A

ςς

11

γ. ησ

A

ςς

10


Λύρη


Όςαμ ξ παοαςηοηςήπ βοίρκεςαι ρςξ υώοξ (Β) πληριάζει ςημ πηγή S2 και αμςιλαμβάμεςαι

ρσυμόςηςα f2 εμώ απξμακούμεςαι από ςημ S1 και αμςιλαμβάμεςαι ρσυμόςηςα f1. Δπξμέμχπ

ησ A

S

ησ ησ A ησ1A

ησ A2 ησ AS

ησ

ς ςf

ς ς ς ςf 9ς

ς ςf 11 ς ς 10f

ς

54

Ερώτηση 49.

Τξ ρώμα Α μάζαπ m κιμείςαι ποξπ ςξ ακίμηςξ ρώμα Β

μάζαπ 3m με ςαυύςηςα μέςοξσ σΑ=σηυ/5 και

ρσγκοξύεςαι κεμςοικά ελαρςικά με ασςό. Τξ ρώμα Β

πεοιέυει ηυηςική πηγή S πξσ εκπέμπει κύμαςα

ρςαθεοήπ ρσυμόςηςαπ fS, εμώ ςξ Α πεοιέυει δέκςη Δ

πξσ ςημ καςαγοάτει. Η ρσυμόςηςα f2 πξσ καςαγοάτει ξ δέκςηπ μεςά ςημ κοξύρη και η

ρσυμόςηςα fS ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη

α. 2 S

10f f

11

β. 2 S

11f f

12

γ. 2 S

9f f

11


Λύρη


Η κοξύρη είμαι κεμςοική και ελαρςική, επξμέμχπ ξι ςαυύςηςεπ ςχμ δύξ ρχμάςχμ μεςά

ςημ κοξύρη είμαι:

Α Β Α Α ΑΑ Α Β Α

Α Β Α Β

m m ς 2m ςς ς , ς ς

m m 2 m m 2

Μεςά ςημ κοξύρη ξ δέκςηπ καςαγοάτει ρσυμόςηςα

ησΑησησ

2 S S 2 SΑ ησ

ησ ησ

ςςςς

9102f f f f fς ς 11

ς ς2 10

55

Ερώτηση 50.

Τξ ρώμα Α μάζαπ m κιμείςαι ποξπ ςξ ακίμηςξ ρώμα Β

μάζαπ 3m με ςαυύςηςα μέςοξσ σΑ=σηυ/5 και ρσγκοξύεςαι

κεμςοικά ελαρςικά με ασςό. Τξ ρώμα Β πεοιέυει ηυηςική

πηγή S πξσ εκπέμπει κύμαςα ρςαθεοήπ ρσυμόςηςαπ fS,

εμώ ςξ Α πεοιέυει δέκςη Δ πξσ καςαγοάτει ςξ μήκξπ

κύμαςξπ ςξσ αμιυμεσόμεμξσ ήυξσ.

Αμ με λ1 ρσμβξλίρξσμε ςξ μήκξπ κύμαςξπ πξσ αμιυμεύει ξ δέκςηπ ποιμ ςημ κοξύρη και λ2

ασςό πξσ αμιυμεύει μεςά ςημ κοξύρη, ξ λόγξπ 1

2

λ

λείμαι

α. 9

10

β. 10

11

γ. 5

6


Λύρη


Η κοξύρη είμαι κεμςοική και ελαρςική, επξμέμχπ ξι ςαυύςηςεπ μεςά ςημ κοξύρη είμαι

Α Β Α Α ΑΑ Α Β Α

Α Β Α Β

m m ς 2m ςς ς , ς ς

m m 2 m m 2

Τξ μήκξπ κύμαςξπ πξσ καςαγοάτει ξ δέκςηπ ποιμ ςημ κοξύρη είμαι ίδιξ με ασςό ςηπ

πηγήπ, 1 Sλ λ .

Μεςά ςημ κοξύρη η πηγή απξμακούμεςαι από ςξ δέκςη με ςαυύςηςα μέςοξσ ησΑ

ςς

2 10 ,

άοα ξ δέκςηπ αμιυμεύει μήκξπ κύμαςξπ ησ S

2 S S S S

ησ

ς λ 11λ λ ς T λ λ

10 ς 10

Άοα 1

2

λ 10

λ 11 .

56

ΘΔΜΑ Γ

Άσκηση 1.

Έμα ρώμα A μάζαπ 1m 10kg , κιμξύμεμξ με ςαυύςηςα 1 πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ

επίπεδξ καςά ςη θεςική καςεύθσμρη ςξσ άνξμα x Ox , ρσγκοξύεςαι με ακίμηςξ ρώμα Β.

Α) Αμ η κοξύρη είμαι μεςχπική και ελαρςική και ςα δύξ ρώμαςα μεςά ςημ κοξύρη έυξσμ

ςαυύςηςεπ ίρξσ μέςοξσ, μα βοείςε:

1) ςη μάζα ςξσ ρώμαςξπ B.

2) ςημ % μεςαβξλή ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ Α.

Β) Αμ η κοξύρη ςχμ δύξ ρχμάςχμ είμαι πλαρςική και η ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ Α είμαι

1

m4

s μα σπξλξγίρεςε:

1) Τημ κξιμή ςξσπ ςαυύςηςα.

2) Τη μεςαβξλή ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ ςχμ δύξ ρχμάςχμ, ποιμ και

μεςά ςημ κοξύρη.

Λύρη

α)

1) Έυξσμε ελαρςική κοξύρη δύξ ρχμάςχμ πξσ ςξ έμα αουικά είμαι ακίμηςξ, ξπόςε ξι

ςαυύςηςεπ ςχμ ρχμάςχμ μεςά ςημ κοξύρη δίμξμςαι από ςιπ ρυέρειπ:

1 21 1

1 2

m m1

m m

12 1

1 2

2m2

m m

Τα ρώμαςα μεςά ςημ κοξύρη θα κιμηθξύμ ρςημ ίδια διεύθσμρη, αλλά δεμ διεσκοιμίζεςαι

αμ έυξσμ ίδιεπ ή αμςίθεςεπ καςεσθύμρειπ. Έςρι διακοίμξσμε δύξ πεοιπςώρειπ:

i) μα κιμηθξύμ με ςημ ίδια τξοά:

57

Θέςξσμε 1 2 , δηλαδή 1 2 1

1 1

1 2 1 2

m m 2m

m m m m

, η επίλσρη ςηπ ρυέρηπ δίμει

1 2m m , πξσ είμαι άςξπξ. Άοα ςα δύξ ρώμαςα δεμ μπξοεί μα κιμηθξύμ με ίδιεπ

τξοέπ, μεςά ςημ κοξύρη.

ii) μα κιμηθξύμ με αμςίθεςεπ τξοέπ:

Θέςξσμε 1 2 , δηλαδή 1 2 1

1 1

1 2 1 2

m m 2m

m m m m

, η επίλσρη ςηπ ρυέρηπ δίμει:

2 1 2m 3m m 30kg , πξσ είμαι ςξ ρχρςό.

2) Με αμςικαςάρςαρη ρςιπ ρυέρειπ (1) και (2) ςιπ ςιμέπ ςχμ μαζώμ 1m 10kg

και

2m 30kg ποξκύπςει

1 2 11 1 1 1

1 2

m m 10kg 30kg

m m 10kg 30kg 2

1 12 1 1 2

1 2

2m 2 10kg

m m 10kg 30kg 2

Η μεςαβξλή ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ Α είμαι:

212 2 2 21

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1

m ( )m m m m32K

2 2 2 2 4 2

Η εκαςξρςιαία μεςαβξλή ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ Α σπξλξγίζεςαι χπ ενήπ:

1

1

K 3a% 100% 100% a% 75%

K 4

Β) 1) Η κξιμή ςαυύςηςα ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ βοίρκεςαι εταομόζξμςαπ ςη διαςήοηρη ςηπ

ξομήπ για ςημ κοξύρη.

1 11 1 1 2

1 2

m 10kg 4m / s mm (m m )V V V 1

(m m ) 10kg 30kg s

58

2 2

1 2 1 1

2 2

(m m )V mK K K

2 2

(10kg 30kg) (1m / s) 10kg (4m / s)K K 60J

2 2

59

Άσκηση 2.

Έμα ρώμα Σ1, μάζαπ 1m , κιμξύμεμξ ρε ξοιζόμςιξ επίπεδξ ρσγκοξύεςαι με ςαυύςηςα

μέςοξσ 1 5m / s κεμςοικά και ελαρςικά με ακίμηςξ ρώμα Σ2, μάζαπ 2m . Η υοξμική

διάοκεια ςηπ κοξύρηπ θεχοείςαι αμεληςέα και ξ ρσμςελερςήπ ςοιβήπ ξλίρθηρηπ μεςανύ

ςξσ επιπέδξσ και κάθε ρώμαςξπ είμαι 0,5 . Αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη, ςξ ρώμα μάζαπ

Σ1 κιμείςαι αμςίοοξπα με ςαυύςηςα μέςοξσ 1 3m / s .

α) Να ποξρδιξοίρεςε ςξ λόγξ ςχμ μαζώμ 1

2

m

m.

β) Να βοείςε ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρώμαςξπ μάζαπ m2 αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη.

γ) Να βοείςε ςξ πξρξρςό ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1 πξσ μεςαβιβάρςηκε ρςξ ρώμα Σ2 , λόγχ ςηπ κοξύρηπ.

δ) Να σπξλξγίρεςε πόρξ θα απέυξσμ ςα ρώμαςα όςαμ ρςαμαςήρξσμ.

Δίμεςαι 2g 10m / s .

Λύρη

α) Η κοξύρη είμαι κεμςοική και ελαρςική, ξπόςε ξι ςαυύςηςεπ ςχμ ρχμάςχμ μεςά ςημ

κοξύρη θα δίμξμςαι από ςιπ ρυέρειπ:

1 21 1

1 2

12 1

1 2

m m΄ 1

m m

2m΄ (2)

m m

Με αμςικαςάρςαρη, ρςξ S.I., ρςη ρυέρη (1) παίομξσμε:

1 2 11 2 1 2 2 1

1 2 2

m m m 13 5 3m 3m 5m 5m 2m 8m

m m m 4

β) Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (2) παίομξσμε:

12 2

1 1

2m m m΄ 5 ΄ 2

m 4m s s

60

γ) Η κιμηςική εμέογεια πξσ μεςατέοθηκε ρςξ ρώμα Σ2 καςά ςημ κοξύρη είμαι ίρη με ςημ

κιμηςική εμέογεια πξσ απέκςηρε ςξ ρώμα ασςό, ακοιβώπ μεςά ςημ κοξύρη. Έςρι ςξ

πξρξρςό ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1 πξσ μεςαβιβάρςηκε ρςξ ρώμα Σ2, λόγχ

ςηπ κοξύρηπ είμαι:

2

1

K100%

K

2

2 2

2

1 1

1m

2 100%1

m2

2

1 2

2

1 1

4m (2m / s) K100% 100% 64%

m (5m / s) K

δ) Μεςά ςημ κοξύρη και λόγχ ςηπ ύπαονηπ ςχμ ςοιβώμ καθέμα από ςα δύξ ρώμαςα

εκςελεί επιβοαδσμόμεμη κίμηρη και ςελικά ρςαμαςά.

Δταομόζξσμε ςξ Θ.Μ.Κ.Δ. για κάθε ρώμα υχοιρςά.

2

1 1

10 m

2

1 1 1m g N TW W W 2

1 1 1 1

1m T x

2 2

1 1 1 1

1m m g x

2

ή

2 2

11 12

(3m / s)x x 0,9m

2 g 2 0,5 10m / s

61

2 2 2

2

2 2 m g N T

10 m W W W

2 2

2 2 2 2

1m T x

2 2

2 2 2 2

1m m g x

2

ή

2 2

22 22

(2m / s)x x 0,4m

2 g 2 0,5 10m / s

(Τα έογα ςχμ βαοώμ και ςχμ κάθεςχμ αμςιδοάρεχμ είμαι μηδεμικά, διόςι ξι δσμάμειπ

ασςέπ είμαι κάθεςεπ ρςιπ αμςίρςξιυεπ μεςαςξπίρειπ)

Η ςελική απόρςαρη μεςανύ ςχμ δύξ ρχμάςχμ είμαι: 1 2S x x 1,3m

62

Άσκηση 3.

Δύξ μαθηςέπ παγξδοόμξι Α και Β, με μάζεπ αμςίρςξιυα 1m 40Kg και 2m 60Kg ,

κοαςξύμ ςιπ άκοεπ εμόπ ρυξιμιξύ αμεληςέαπ μάζαπ. Οι μαθηςέπ ρςέκξμςαι αουικά ακίμηςξι

πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ (παγξδοόμιξ) απέυξμςαπ μεςανύ ςξσπ L 10m . Κάπξια

ρςιγμή ξι μαθηςέπ αουίζξσμ μα μαζεύξσμ ςξ ρυξιμί αρκώμςαπ δύμαμη ξ έμαπ ρςξμ άλλξμ,

υχοίπ μα πέρει καμείπ από ςξσπ δύξ.

α) Να βοείςε πξια είμαι η ρυέρη μεςανύ ςχμ δσμάμεχμ πξσ αρκεί ξ έμαπ μαθηςήπ ρςξμ

άλλξ μέρχ ςξσ ρυξιμιξύ.

β) Να βοείςε ςξμ λόγξ ςχμ κιμηςικώμ εμεογειώμ πξσ έυξσμ ξι μαθηςέπ ελάυιρςα ποιμ ςη

ρςιγμή ςηπ ρσμάμςηρηπ.

γ) Αμ ελάυιρςα ποιμ ςη ρςιγμή ςηπ ρσμάμςηρηπ, ξ μαθηςήπ Α έυει απξκςήρει ςαυύςηςα

μέςοξσ 1

m2

s , πξιό θα είμαι ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ μαθηςή Β;

δ) Αμ ξι μαθηςέπ ςη ρςιγμή ςηπ ρύγκοξσρηπ αγκαλιαρςξύμ και παοαμείμξσμ

αγκαλιαρμέμξι πξια θα είμαι η κξιμή ςξσπ ςαυύςηςα;

Λύρη

α)

Οι δσμάμειπ F και F πξσ αρκεί ξ έμαπ μαθηςήπ ρςξμ άλλξ μέρχ ςξσ ρυξιμιξύ είμαι

ερχςεοικέπ δσμάμειπ για ςξ ρύρςημα μαθηςέπ - ρυξιμί. Κάθε μαθηςήπ αρκεί και δέυεςαι

δύμαμη από ςξ ρυξιμί (δοάρη – αμςίδοαρη). Δπειδή ςξ ρυξιμί είμαι μη εκςαςό η δύμαμη

μεςατέοεςαι από ςξ έμα άκοξ ςξσ ρυξιμιξύ ρςξ άλλξ και ςξ μέςοξ ςηπ είμαι ρςαθεοό.

Σσμεπώπ ρύμτχμα με ςξμ 3ξ Νόμξ ςξσ Νεύςχμα ξι δσμάμειπ πξσ αρκξύμςαι ρςξσπ

μαθηςέπ από ςξ ρυξιμί θα είμαι αμςίθεςεπ. (Σςξ ρυήμα παοαβλέπξμςαι ξι δσμάμειπ πξσ

αρκξύμ ξι μαθηςέπ ρςξ ρυξιμί).

63

β) Τξ ρύρςημα μαθηςέπ – ρυξιμί είμαι έμα μξμχμέμξ ρύρςημα ρχμάςχμ. Δταομόζξσμε ςη

διαςήοηρη ςηπ ξομήπ μεςανύ ςχμ δύξ θέρεχμ:

T 1 2 1 2p p p p 0 p p

Οι μαθηςέπ ελάυιρςα ποιμ ςη ρσμάμςηρή ςξσπ έυξσμ αμςίθεςεπ ξομέπ και για ςα μέςοα ςχμ

ξομώμ ςξσπ ιρυύει:

1 2p p p (1)

Πξλλαπλαριάζξμςαπ και διαιοώμςαπ ςξ β΄ μέλξπ ςξσ ςύπξσ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ με ςη

μάζα m βοίρκξσμε ςη ρυέρη πξσ ρσμδέει ςημ κιμηςική εμέογεια με ςημ ξομή:

2 2 2 2m m pK

2 2m 2m

(2)

Ο ζηςξύμεμξπ λόγξπ ςχμ κιμηςικώμ εμεογειώμ είμαι:

2 2

1

1 1 1 1 2 1

2 2

22 2 1 2

22

p p

K 2m 2m K m K60kg 3

p pK K m 40kg K 2

2m2m

γ) Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) παίομξσμε:

1 1 2 2m m 12 1 2

2

m 40kg m 4 m2

m 60kg s 3 s

δ) Δταομόζξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ ξομήπ μεςανύ ςχμ θέρεχμ λίγξ ποιμ ρσμαμςηθξύμ και

αμέρχπ μεςά ςη ρσμάμςηρη.

1 1 2 2 1 2p p m m (m m )V από όπξσ ποξκύπςει 1 1 2 2

1 2

(m m )V 0

(m m )

64

Άσκηση 4.

Τα ρώμαςα 1 και 2 , αμεληςέχμ διαρςάρεχμ, με μάζεπ 1m 1Kg και 2m 3Kg

αμςίρςξιυα είμαι ςξπξθεςημέμα ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ. Τξ ρώμα 1 είμαι δεμέμξ ρςη

μία άκοη ξοιζόμςιξσ ιδαμικξύ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ N

k 100m

. Η άλλη άκοη ςξσ

ελαςηοίξσ, είμαι ακλόμηςα ρςεοεχμέμη. Τξ ελαςήοιξ με ςη βξήθεια μήμαςξπ είμαι

ρσρπειοχμέμξ καςά 0,2m , όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα. Τξ ρώμα 2 βοίρκεςαι ακίμηςξ

ρςξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ ρςη θέρη πξσ αμςιρςξιυεί ρςξ τσρικό μήκξπ 0 ςξσ ελαςηοίξσ.

Κάπξια υοξμική ρςιγμή κόβξσμε ςξ μήμα και ςξ ρώμα 1 κιμξύμεμξ ποξπ ςα αοιρςεοά

ρσγκοξύεςαι κεμςοικά και πλαρςικά με ςξ ρώμα 2 , αμ θεχοήρξσμε ςιπ διαρςάρειπ ςχμ

ρχμάςχμ αμεληςέεπ, μα σπξλξγίρεςε:

α) ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρώμαςξπ 1 λίγξ ποιμ ςημ κοξύρη ςξσ με ςξ ρώμα 2 .

β) ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ, αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη.

γ) ςξ πξρό θεομόςηςαπ πξσ μεςατέοθηκε από ςα ρώμαςα ρςξ πεοιβάλλξμ.

δ) ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ.

Δίμεςαι 3,14 .

Λύρη

α) Η κίμηρη ςξσ ρώμαςξπ Σ1 από ςημ ρςιγμή ςηπ ελεσθέοχρηπ μέυοι και ελάυιρςα ποιμ ςη

ρύγκοξσρή ςξσ με ςξ Σ2 είμαι α.α.ς. με πλάςξπ 0,2m . Η ςαυύςηςά ςξσ ρώμαςξπ Σ1

ελάυιρςα ποιμ ςημ κοξύρη θα βοεθεί από ςη διαςήοηρη ςηπ εμέογειαπ για ςημ ςαλάμςχρη

65

μεςανύ ςχμ δύξ θέρεχμ. Η αουική ςξσ θέρη είμαι ρςη μέγιρςη απξμάκοσμρη και η ςελική

θέρη είμαι η θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ.

222 2

1 11 1

1

N100 (0,2m)

mk k mm 22 2 m 1kg s

β) Δταομόζξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ Οομήπ (Α.Δ.Ο) για ςημ κοξύρη:

1 1 1 2m (m m )V , από όπξσ ποξκύπςει

1 1

1 2

m 1kg 2m / s mV V 0,5

(m m ) (1kg 3kg) s

γ) Με βάρη ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ, η θεομόςηςα ιρξύςαι με ςημ μείχρη ςηπ

κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ:

2 2

1 1 1 2m (m m )VQ

2 2

Q 2J 0,5J 1,5J

δ) Τξ ρσρρχμάςχμα θα εκςελέρει αομξμική ςαλάμςχρη με θέρη ιρξοοξπίαπ ίδια με ςημ

αουική. Δταομόζξσμε ςη διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ για ςη μέα ςαλάμςχρη μεςανύ ςηπ

θέρηπ ιρξοοξπίαπ και ςηπ ακοαίαπ θέρηπ.

22

00

kA(M m)V M m 3kg 1kg mA V (0,5 ) A 0,1m

2 2 k 100N / m s

66

Άσκηση 5.

Σώμα 1 , με μάζα 1m 4Kg , είμαι ρςεοεχμέμξ ρςη μία άκοη ιδαμικξύ ελαςηοίξσ

ρςαθεοάπ N

k 500m

, ςξ άλλξ άκοξ ςξσ ξπξίξσ ρςεοεώμεςαι ρε καςακόοστξ ςξίυξ.

To ρύρςημα ιρξοοξπεί πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ. Έμα δεύςεοξ ρώμα 2 , μάζαπ

2m 1Kg κιμξύμεμξ ξοιζόμςια με ςαυύςηςα μέςοξσ m

10s

καςά μήκξπ ςξσ άνξμα ςξσ

ελαςηοίξσ, ρσγκοξύεςαι κεμςοικά και πλαρςικά με ςξ ρώμα 1 , όπχπ ρςξ ρυήμα. Τξ

ρώμα 2 έυει εμρχμαςχμέμη ρειοήμα πξσ εκπέμπει ρσμευώπ ήυξ ρσυμόςηςαπ

sf 700Hz .

α) Nα σπξλξγίρεςε ςη ρσυμόςηςα ςξσ ήυξσ πξσ αμςιλαμβάμεςαι ξ ακίμηςξπ παοαςηοηςήπ

ςξσ ρυήμαςξπ, ποιμ από ςημ κοξύρη ςξσ ρώμαςξπ 2 με ςξ ρώμα 1 .

β) Να σπξλξγίρεςε ςημ πεοίξδξ και ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ μεςά ςημ κοξύρη.

γ) Να γοάφεςε ςημ ςαυύςηςα σ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ ρε ρσμάοςηρη με ςξ υοόμξ. Για ςημ

πεοιγοατή ασςή μα θεχοήρεςε χπ αουή μέςοηρηπ ςξσ υοόμξσ (t 0) ςη ρςιγμή ςηπ

κοξύρηπ και χπ θεςική τξοά ςξσ άνξμα ςχμ απξμακούμρεχμ ςη τξοά ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ

ρσρρχμαςώμαςξπ αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη.

δ) Αμ η ρειοήμα δεμ καςαρςοέτεςαι καςά ςημ κοξύρη, μα βοείςε ςξ πηλίκξ ςηπ μέγιρςηπ

ρσυμόςηςαπ A,maxf ποξπ ςημ ελάυιρςη ρσυμόςηςα A,minf πξσ αμςιλαμβάμεςαι ξ

παοαςηοηςήπ, καςά ςη διάοκεια ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ.

Δίμξμςαι η ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ ήυξσ ρςξμ αέοα x

m340

s και

2

mg 10

s .

Λύρη

67

α) Έυξσμε πηγή πξσ απξμακούμεςαι από ακίμηςξ παοαςηοηςή. Η ενίρχρη πξσ

πεοιγοάτει ςη ρσυμόςηςα ςξσ ήυξσ πξσ αμςιλαμβάμεςαι ξ παοαςηοηςήπ A είμαι

A s

s

f f

, από όπξσ με αμςικαςάρςαρη παίομξσμε:

A A

m340

sf 700Hz f 680Hzm m

340 10s s

.

β) Τξ ρσρρχμάςχμα θα εκςελέρει απλή αομξμική ςαλάμςχρη με πεοίξδξ

1 2m m 1kg 4kgT 2 2 T s

k 500N / m 5

και γχμιακή ρσυμόςηςα 15 rad

2 f 2 s 10s

Δταομόζξσμε ςημ Αουή Διαςήοηρηπ ςηπ Οομήπ για ςημ κοξύρη.

1ά 1 1 2

1 2

m1kg 10

m msp p m (m m )V V V 2(m m ) (1kg 4kg) s

Η ςαυύςηςα m

V 2s

είμαι η μέγιρςη ςαυύςηςα ςαλάμςχρηπ, επειδή η θέρη ασςή είμαι και

θέρη ιρξοοξπίαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ. Σσμεπώπ V , από όπξσ με αμςικαςάρςαρη

παίομξσμε:

m2

V s 0,2mrad

10s

γ) Τη υοξμική ρςιγμή t 0 ςξ ρσρρχμάςχμα νεκιμά ςαλάμςχρη από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ

ςξσ με θεςική ςαυύςηςα, ξπόςε η ρσμάοςηρη πξσ πεοιγοάτει ςημ ςαυύςηςα ςξσ ρε ρυέρη

με ςξ υοόμξ είμαι:

max t 2 10t (S.I.)

δ) Ο παοαςηοηςήπ αμςιλαμβάμεςαι ςη μέγιρςη ρσυμόςηςα όςαμ ςξ ρσρρχμάςχμα, με ςημ

πηγή, ςξμ πληριάζει με ςη μέγιρςη ςαυύςηςα, δηλαδή με 2m / s .

68

A,max s A,max

s

340 340f f 700Hz f 700Hz

340 2 338

Ο παοαςηοηςήπ αμςιλαμβάμεςαι ςημ ελάυιρςη ρσυμόςηςα όςαμ ςξ ρσρρχμάςχμα, με ςημ

πηγή, απξμακούμεςαι από ασςόμ με ςημ μέγιρςη ςαυύςηςα, δηλαδή με 2m / s .

A,min s A,min

s

340 340f f 700Hz f 700Hz

340 2 342

Τξ ζηςξύμεμξ πηλίκξ είμαι:

A,max A,max

A,min A,min

340700Hzf f 342338

340f f 338700Hz

342

69

Άσκηση 6.

Έμα ρώμα ΣΑ, μάζαπ 1m 10Kg , κιμείςαι με ςαυύςηςα 1

m4

s πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ

επίπεδξ. Η διεύθσμρη ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρώμαςξπ ΣΑ ςασςίζεςαι με ςη διεύθσμρη ςξσ

άνξμα εμόπ ιδαμικξύ ελαςηοίξσ ςξ ξπξίξ είμαι ρςεοεχμέμξ, όπχπ ρςξ ρυήμα, ρε ακίμηςξ

ρώμα ΣΒ, μάζαπ 2m 30Kg . Τξ ρώμα ΣΑ ποξρπίπςει ρςξ ελεύθεοξ άκοξ ςξσ ελαςηοίξσ

πξσ αουίζει μα ρσρπειοώμεςαι.

α) Να σπξλξγίρεςε ςημ ξομή και ςη μηυαμική εμέογεια ςξσ ρσρςήμαςξπ ποιμ ςημ κοξύρη.

β) Να ενηγήρεςε γιαςί η μέγιρςη παοαμόοτχρη ςξσ ελαςηοίξσ ρσμβαίμει ςη ρςιγμή πξσ

ςα δύξ ρώμαςα έυξσμ κξιμή ςαυύςηςα.

γ) Να σπξλξγίρεςε ςημ κξιμή ςαυύςηςα ςχμ δύξ ρχμάςχμ ςημ ρςιγμή πξσ η

παοαμόοτχρη ςξσ ελαςηοίξσ θα είμαι μέγιρςη.

δ) Να σπξλξγίρεςε ςη μέγιρςη δσμαμική εμέογεια πξσ απξκςά ςξ ελαςήοιξ λόγχ ςηπ

παοαμόοτχρηπ ςξσ.

Λύρη

α) Από ςξ ρύρςημα ςχμ δύξ ρχμάςχμ και ςξσ ελαςηοίξσ ποιμ ςημ „κοξύρη‟, ξομή και

μηυαμική εμέογεια είυε μόμξ ςξ ΣΑ.

70

1 1

22

1

p m 4kg 10m / s p 40kgm / s

10kg 4m / smE K U 0 E E 80J

2 2

β) Από ςη ρςιγμή πξσ ςξ ρώμα ΣΑ έουεςαι ρε επατή με ςξ ελαςήοιξ, ςόςε ςξ ελαςήοιξ

αουίζει μα ρσρπειοώμεςαι. Ασςό έυει χπ απξςέλερμα ςα ρώμαςα ΣΑ και ΣΒ μα δέυξμςαι

δσμάμειπ από ςξ ελαςήοιξ. Σσμεπώπ ςξ ρώμα ΣΑ μα επιβοαδύμεςαι και ςξ ΣΒ μα

επιςαυύμεςαι. Όμχπ για όρξ υοόμξ η ςαυύςηςα ςξσ ΣΑ είμαι μεγαλύςεοη από ςημ

ςαυύςηςα ςξσ ΣΒ μειώμεςαι η απόρςαρη μεςανύ ςχμ ρχμάςχμ (πληριάζξσμ) και η

παοαμόοτχρη ςξσ ελαςηοίξσ μεγαλώμει, ρσμεπώπ ασνάμεςαι και η δσμαμική εμέογεια

λόγχ παοαμόοτχρηπ. Κάπξια ρςιγμή ξι ςαυύςηςέπ ςξσπ θα γίμξσμ ίρεπ, ςόςε η

παοαμόοτχρη ςξσ ελαςηοίξσ θα είμαι μέγιρςη και τσρικά η απόρςαρη μεςανύ ςχμ

ρχμάςχμ ελάυιρςη. Από ςη ρςιγμή ασςή και μεςά θα μεγαλώμει η απόρςαρη ςχμ

ρχμάςχμ, γιαςί η ςαυύςηςα ςξσ ΣΒ ενακξλξσθεί μα ασνάμεςαι και ςξσ ΣΑ ενακξλξσθεί μα

μειώμεςαι. Ασςό ρσμευίζεςαι μέυοιπ όςξσ ςξ ελαςήοιξ μα απξκςήρει ςξ τσρικό ςξσ ρυήμα.

Άοα ςη ρςιγμή πξσ ςα δύξ ρώμαςα έυξσμ κξιμή ςαυύςηςα ςξ ελαςήοιξ έυει ςη μέγιρςη

παοαμόοτχρη ςξσ.

γ) Οι δσμάμειπ μεςανύ ρχμάςχμ και ελαςηοίξσ είμαι ερχςεοικέπ, έςρι ρε όλη ςη διάοκεια

ςηπ “κοξύρηπ” η ξομή ςξσ ρσρςήμαςξπ διαςηοείςαι.

Δταομόζξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ ξομήπ για ςξ ρύρςημα μεςανύ ςηπ θέρηπ πξσ ςξ ρώμα ΣΑ

ποόκειςαι μα ακξσμπήρει ςξ ελαςήοιξ και ςηπ θέρηπ πξσ ςξ ελαςήοιξ έυει σπξρςεί ςη

μέγιρςη παοαμόοτχρη.

1 2

1 2

p 40kgm / s mp p p (m m )V V V 1

(m m ) (10kg 30kg) s

,

δ) Τξ δάπεδξ είμαι λείξ και ςξ ελαςήοιξ ιδαμικό, ξπόςε η μηυαμική εμέογεια ςξσ

ρσρςήμαςξπ διαςηοείςαι ρε όλη ςη διάοκεια ςξσ ταιμξμέμξσ. Δταομόζξσμε ςη διαςήοηρη

ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ για ςξ ρύρςημα μεςανύ ςηπ θέρηπ πξσ ςξ ρώμα ΣΑ ποόκειςαι μα

ακξσμπήρει ςξ ελαςήοιξ και ςηπ θέρηπ πξσ ςξ ελαςήοιξ έυει σπξρςεί ςη μέγιρςη

παοαμόοτχρη.

2

1 2max

2

max max

(m m )VE E K U K U K 0 U

2

(10kg 30kg)(1m / s)U 80J U 60J

2

71

Άσκηση 7.

Τα ςοία ξυήμαςα ςξσ ρυήμαςξπ, A , B και κιμξύμςαι ρε εσθύγοαμμξ

ασςξκιμηςόδοξμξ. Τα μέςοα ςχμ ςαυσςήςχμ ςξσπ είμαι 1

m20

s , 2

m30

s και

3

m20

s αμςίρςξιυα, όπχπ ρςξ ρυήμα. Τα ξυήμαςα A και B κιμξύμςαι ποξπ ςημ ίδια

καςεύθσμρη και ποξπξοεύεςαι ςξ όυημα A , εμώ ςξ όυημα έουεςαι από ςημ αμςίθεςη

καςεύθσμρη. Τξ όυημα B εκπέμπει ήυξ ρσυμόςηςαπ sf 930Hz .

α) Να σπξλξγίρεςε ςη ρσυμόςηςα ςξσ ήυξσ πξσ αμςιλαμβάμεςαι ξ ξδηγόπ ςξσ ξυήμαςξπ

A .

β) Να σπξλξγίρεςε ςη ρσυμόςηςα ςξσ ήυξσ πξσ αμςιλαμβάμεςαι ξ ξδηγόπ ςξσ ξυήμαςξπ

.

γ) ςα ξυήμαςα B και διαρςασοώμξμςαι, ξπόςε ρςη ρσμέυεια απξμακούμεςαι ςξ έμα

από ςξ άλλξ, μα σπξλξγίρεςε ςη μέα ρσυμόςηςα ςξσ ήυξσ πξσ αμςιλαμβάμεςαι ξ ξδηγόπ

ςξσ ξυήμαςξπ Γ.

δ) Ο ξδηγόπ ςξσ ξυήμαςξπ Α ςη υοξμική ρςιγμή t 0 , εμώ ποξηγείςαι ςξσ ξυήμαςξπ Β,

παςάει γκάζι και ποξρδίδει ρςξ όυημά ςξσ ρςαθεοή επιςάυσμρη 2

m2

s για υοξμικό

διάρςημα 5s , παοαμέμξμςαπ ρε όλη ςη διάοκεια ςηπ επιςαυσμόμεμηπ κίμηρηπ

ποξπξοεσόμεμξπ ςξσ ξυήμαςξπ Β. Να ρυεδιάρεςε ςξ διάγοαμμα ςηπ ρσυμόςηςαπ πξσ

αμςιλαμβάμεςαι ξ ξδηγόπ A ρσμαοςήρει ςξσ υοόμξσ ρε αοιθμημέμξσπ άνξμεπ για ςξ

υοξμικό διάρςημα ςχμ 5s .

Δίμεςαι η ςαυύςηςα ςξσ ήυξσ ρςξμ αέοα m

340s

. Οι ποάνειπ μα γίμξσμ με ακοίβεια

εμόπ δεκαδικξύ φητίξσ.

72

Λύρη

Θα ποξραομόρξσμε ςη ρυέρη A s

s

f f

ρςα δεδξμέμα κάθε εοχςήμαςξπ. Όςαμ ξ

παοαςηοηςήπ καςεσθύμεςαι ποξπ ςημ πηγή, ςόςε ρςξμ αοιθμηςή ιρυύει ςξ (+), εμώ όςαμ

απξμακούμεςαι (-).

Όςαμ η πηγή καςεσθύμεςαι ποξπ ςξμ παοαςηοηςή, ςόςε ρςξμ παοξμξμαρςή ιρυύει ςξ (-),

εμώ όςαμ απξμακούμεςαι ςξ (+).

α) Για ςημ πεοίπςχρη ςξσ ξδηγξύ Α έυξσμε: παοαςηοηςή πξσ απξμακούμεςαι από ςημ

πηγή με ςαυύςηςα 1 , και πηγή πξσ καςεσθύμεςαι ποξπ ςξμ παοαςηοηςή με ςαυύςηςα 2

1A s A

2

340m / s 20m / sf f 930Hz f 960Hz

340m / s 30m / s

β) Για ςημ πεοίπςχρη ςξσ ξδηγξύ Γ έυξσμε: παοαςηοηςή πξσ καςεσθύμεςαι ποξπ ςημ

πηγή με ςαυύςηςα 3 , και πηγή πξσ καςεσθύμεςαι ποξπ ςξμ παοαςηοηςή με ςαυύςηςα 2

3s

2

340m / s 20m / sf f 930Hz f 1080Hz

340m / s 30m / s

γ)

Σςημ πεοίπςχρη ασςή έυξσμε: παοαςηοηςή πξσ απξμακούμεςαι από ςημ πηγή με

ςαυύςηςα 3 , και πηγή πξσ απξμακούμεςαι από ςξμ παοαςηοηςή με ςαυύςηςα 2

33 s 3

2

340m / s 20m / sf f 930Hz f 804Hz

340m / s 30m / s

73

δ) Η ςαυύςηςα ςξσ ξυήμαςξπ Α πξσ επιςαυύμεςαι δίμεςαι από ςη ρυέρη:

A 1 At 20 2t S.I. 0 t 5s ,

Η ενίρχρη Doppler για ςη ρσυμόςηςα ςξσ ήυξσ πξσ αμςιλαμβάμεςαι ξ παοαςηοηςήπ Α, ξ

ξπξίξπ απξμακούμεςαι από ςημ πηγή αλλά η πηγή πληριάζει ποξπ ασςόμ, με βάρη όρα

αματέοθηκαμ παοαπάμχ για ςα ποόρημα, είμαι:

A 1s s

s 2

( t) 340 (20 2t)f f f f 930(S.I.)

340 30

f 960 6t (S.I.) με

0 t 5s

Τη υοξμική ρςιγμή t 0 η ρσυμόςηςα πξσ αμςιλαμβάμεςαι ξ παοαςηοηςήπ Α είμαι

f 960Hz , εμώ ςη υοξμική ρςιγμή t 5s η ρσυμόςηςα πξσ αμςιλαμβάμεςαι είμαι

f 930Hz .

74

Άσκηση 8.

Σςξ πάμχ άκοξ καςακόοστξσ ιδαμικξύ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ N

k 400m

είμαι

ρςεοεχμέμξπ δίρκξπ Α μάζαπ M 4Kg . Τξ κάςχ άκοξ ςξσ ελαςηοίξσ είμαι ακλόμηςα

ρςεοεχμέμξ ρςξ δάπεδξ και ξ δίρκξπ ιρξοοξπεί. Από ύφξπ h 0,25m πάμχ από ςξ

δίρκξ βάλλεςαι καςακόοστα ποξπ ςα κάςχ, με αουική ςαυύςηςα 0

m2

s , μικοή ρταίοα

Β, μάζαπ m 2Kg . Η ρταίοα ρσγκοξύεςαι κεμςοικά και ελαρςικά με ςξ δίρκξ. Μεςά ςημ

κοξύρη απξμακούμξσμε ςη ρταίοα εμώ ξ δίρκξπ εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη. Η

διάοκεια κοξύρηπ θεχοείςαι αμεληςέα, όπχπ και ξι ςοιβέπ και ξι αμςιρςάρειπ

θεχοξύμςαι αμεληςέεπ.

α) Να σπξλξγίρεςε ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ δίρκξσ και ςηπ ρταίοαπ αμέρχπ μεςά ςημ

κοξύρη.

β) Να σπξλξγίρεςε ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ ςξσ δίρκξσ, αμ η ρςαθεοά ςαλάμςχρηπ είμαι

D k .

γ) Να σπξλξγίρεςε ςξμ υοόμξ ρςξμ ξπξίξ θα μηδεμιρςεί για ποώςη τξοά η ςαυύςηςα ςξσ

δίρκξσ.

δ) Να βοείςε ςξμ οσθμό μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςξσ δίρκξσ όςαμ πεομάει από ςη θέρη

ιρξοοξπίαπ ςξσ.

Λύρη

75

α) Τξ ρώμα Β εκςελεί καςακόοστη κίμηρη ποξπ ςα κάςχ με αουική ςαυύςηςα 0 . Η μόμη

δύμαμη πξσ αρκείςαι ρε ασςό είμαι ςξ βάοξπ ςξσ και επειδή είμαι ρσμςηοηςική δύμαμη, η

μηυαμική ςξσ εμέογεια διαςηοείςαι.

Σσμεπώπ

2 22 2 20 1

1 0 1

m m mmgh 2gh (2m / s) 2 (10m / s ) 0,25m 3

2 2 s

Η κοξύρη είμαι κεμςοική ελαρςική με ςξ ρώμα Β ακίμηςξ, ξπόςε για ςιπ ςαυύςηςεπ ςχμ

ρχμάςχμ μεςά ςημ κοξύρη ιρυύξσμ ξι ρυέρειπ:

1 1 1

m M 2kg 4kg m3 1m / s

m M 2kg 4kg s

2 1 2

2m 2 2kg m3 2m / s

m M 2kg 4kg s

Σσμεπώπ ξ δίρκξπ μεςά ςημ κοξύρη θα κιμηθεί καςακόοστα ποξπ ςα κάςχ με ςαυύςηςα

μέςοξσ m

2s

και η ρταίοα θα κιμηθεί καςακόοστα ποξπ ςα πάμχ με ςαυύςηςα μέςοξσ

m1

s.

β) Τξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ θα ςξ βοξύμε από ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ για ςημ

ςαλάμςχρη. Δπειδή ξ δίρκξπ βοίρκεςαι ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ η ςαυύςηςα 2 2m / s πξσ

απξκςά είμαι η μέγιρςη, ρσμεπώπ η διαςήοηρη ςηπ εμέογειαπ για ςημ ςαλάμςχρη

γοάτεςαι:

2 2

22

M DA M m 4kgA 2 A 0,2m

2 2 D s 400N / m

γ) Αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη ξ δίρκξπ βοίρκεςαι ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ και μέυοι μα πάει

για ποώςη τξοά ρςη θέρη μέγιρςηπ απξμάκοσμρηπ, όπξσ η ςαυύςηςά ςξσ θα είμαι μηδέμ,

απαιςείςαι υοόμξπ t 14

Όμχπ η πεοίξδξπ ςαλάμςχρηπ δίμεςαι από ςη ρυέρη:

M 4kgT 2 2 T s

k 400N / m 5

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) ποξκύπςει

76

t s20

δ) Από ςη γεμικεσμέμη μξοτή ςξσ 2ξσ μόμξσ ςξσ Νεύςχμα, dp

Fdt

, ποξκύπςει όςι ξ

οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ είμαι ίρξπ με ςη ρσμιρςαμέμη δύμαμη. Δπειδή ρςη θέρη

ιρξοοξπίαπ ιρυύει F 0 , ρσμεπάγεςαι όςι και dp

0dt

.

77

υ1 M

m

Άσκηση 9.

Έμα ρώμα μάζαπ Μ=4 kg κιμξύμεμξ πάμχ ρε ξοιζόμςιξ επίπεδξ ρσγκοξύεςαι μεςχπικά

και αμελαρςικά, έυξμςαπ ςαυύςηςα σ1 με μια ακίμηςη ρταίοα μάζαπ m=3 kg, η ξπξία είμαι

κοεμαρμέμη με μήμα μήκξσπ ℓ=0,9 m, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα. Μεςά ςημ κοξύρη η

ρταίοα εκςοέπεςαι και η μέγιρςη γχμία πξσ ρυημαςίζει ςξ μήμα με ςημ αουική

καςακόοστη θέρη ςξσ είμαι τ=60º, εμώ ςξ ρώμα μάζαπ Μ διαμύει απόρςαρη d=4 m μέυοι

μα ρςαμαςήρει. Ο ρσμςελερςήπ ςοιβήπ μεςανύ ςξσ ρώμαςξπ μάζαπ Μ και ςξσ ξοιζόμςιξσ

δαπέδξσ είμαι μ=0,2.


α. ςημ ςαυύςηςα σ2΄ ςηπ ρταίοαπ αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη.

β. ςημ ςαυύςηςα σ1΄ ςξσ ρώμαςξπ μάζαπ Μ αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη.

γ. ςημ ςαυύςηςα σ1 ςξσ ρώμαςξπ μάζαπ Μ ελάυιρςα ποιμ ςημ κοξύρη.

δ. ςξ μέςοξ ςηπ ςάρηπ ςξσ μήμαςξπ, αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη.

Δίμεςαι: g=10 m/s2.

Λύρη

α. Για ςημ κίμηρη ςηπ ρταίοαπ μεςά ςημ κοξύρη μέυοι μα ρςαμαςήρει για ποώςη τξοά

εταομόζξσμε ςξ θεώοημα έογξσ – εμέογειαπ

2 2

w (ηελ) (απσ ) w 2 2

2 2

2

0

2 2

2 22

1 1W ΓK K K W 0 mς mgh mς

2 2

1mg mς 2g1 ζςνθ 1 ζςνθ 1 ζςνς ς 2g

2

mς 2 10 0,9

6

m ς 3m / s.1s

0

1

2

78

ℓ

υ1΄ Ν

m

60º

d

h M

Τ

Β

M

ℓ

υ2΄

Τ

m

w

β. Για ςημ κίμηρη ςξσ ρώμαςξπ μάζαπ Μ μεςά ςημ κοξύρη μέυοι μα ρςαμαςήρει

εταομόζξσμε ςξ θεώοημα έογξσ – εμέογειαπ.

2 2

T (ηελ) (απσ ) T 1 1

2 2 2

1 1 1

2

1 1 1 12

1 1W ΓK K K W 0 Mς T d Mς

2 2

1 1 1μ N d Mς μΜgd Mς μΜgd Mς

2 2 2

m2μgd ς ς 2μgd ς 2 0,2 10 4m ς 4m / s.

s

γ. Από ςη διαςήοηρη ςηπ ξομήπ καςά ςημ κοξύρη ποξκύπςει:

1 21 1 2 1ππιν μεηά

1

M 4kg

6,25 m / s.

Mς mς 4kg 4m / s 3kg 3m / sp p Mς Mς mς ς

ς

δ. Η ρσμιρςαμέμη ςηπ ςάρηπ ςξσ μήμαςξπ και ςξσ βάοξσπ ςηπ ρταίοαπ θα είμαι η

κεμςοξμόλξπ δύμαμη. Άοα

2 2

2 2κ

22

m ς m ςF Τ w Τ m g Τ m g

3kg (3m / s)Τ 3kg 10m / s Τ 60N.

0,9m

79

Άσκηση 10.

Έμα βλήμα μάζαπ m=500 g κιμξύμεμξ ξοιζόμςια με ςαυύςηςα σ1 ρτημώμεςαι ρε ρώμα

μάζαπ Μ=9,5kg, πξσ ηοεμεί ρε ξοιζόμςιξ δάπεδξ, δεμέμξ ρςημ άκοη ξοιζόμςιξσ

ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k=80N/m, πξσ βοίρκεςαι ρςξ τσρικό ςξσ μήκξπ, εμώ ςξ άλλξ άκοξ

ςξσ είμαι ρςεοεχμέμξ ρε ακλόμηςξ ρημείξ, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα. Η μέγιρςη

ρσμπίερη ςξσ ελαςηοίξσ είμαι x=0,5m. Η ρσμξλική θεομόςηςα πξσ απελεσθεοώμεςαι από

ςημ έμαονη ςηπ κοξύρηπ μέυοι μα ρςαμαςήρει ςξ ρσρρχμάςχμα για ποώςη τξοά είμαι

390 J.


α. ςημ ςαυύςηςα σ1 ςξσ ρώμαςξπ m.

β. ςημ ςαυύςηςα ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ αμέρχπ μεςά ςημ πλαρςική κοξύρη.

γ. ςημ ςοιβή ξλίρθηρηπ πξσ αρκείςαι ρςξ ρώμα.

δ. ςξ μέγιρςξ μέςοξ ςξσ οσθμξύ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ από ςη

ρςιγμή πξσ νεκιμά ςημ κίμηρή ςξσ μέυοι μα επαμέλθει ςξ ελαςήοιξ ρςξ τσρικό ςξσ μήκξπ.

Δίμεςαι: g=10 m/s2.

Λύρη

α. Σύμτχμα με ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ όλη η κιμηςική εμέογεια πξσ είυε ςξ

βλήμα ποιμ ςημ κοξύρη θα μεςαςοαπεί μέυοι μα ρςαμαςήρει ςξ ρσρρχμάςχμα για ποώςη

τξοά ρε δσμαμική εμέογεια ςξσ ελαςηοίξσ και ρε θεομόςηςα λόγχ ςηπ κοξύρηπ και λόγχ

ςχμ ςοιβώμ ρςημ κίμηρη ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ. Ασςή η ρσμξλική θεομόςηςα πξσ

απελεσθεοώμεςαι από ςημ έμαονη ςηπ κοξύρηπ είμαι 390 J. Άοα

2 2 2 2

απσ ελ 1 1

2 2

1 1 1

1 1 1 1 NΚ U Q mς kx Q 0,5kg ς 80 (0,5m) 390J

2 2 2 2 m

10,5kg ς 400J ς 400 4J / kg ς 40m / s.

2

80

β. Από ςη διαςήοηρη ςηπ ξομήπ καςά ςημ κοξύρη ποξκύπςει για ςξ ρσρρχμάςχμα, πξσ

κιμείςαι με ςαυύςηςα V μεςά ςημ κοξύρη:

1ππιν μεηά 1

40m / s.

m 0,5kgm M m V V V 2m / s

M m 9,5kg 0,5kg

ςp p ς

γ. Με υοήρη ςηπ αουήπ διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ από ςη ρςιγμή μεςά ςημ κοξύρη μέυοι

μα ρςαμαςήρει ςξ ρσρρχμάςχμα για ποώςη τξοά έυξσμε

2 2 2 2T T

1 1 1 1M m V kx Q 10kg (2m / s) 80N / m (0,5m) W

2 2 2 2

20J 10J T 0,5m T 20 N.

δ. Ο οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ ξομήπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ ιρξύςαι με ςη ρσμιρςαμέμη

δύμαμη πξσ δέυεςαι ςξ ρσρρχμάςχμα. Σςξ ρσρρχμάςχμα αρκξύμςαι δύξ δσμάμειπ, η

ςοιβή και η Fελ . Τξ μέςοξ ςηπ ρσμιρςαμέμηπ παίομει ςη μέγιρςη ςιμή ςξσ ελάυιρςα ποιμ

ςξ ρσρρχμάςχμα ρςαμαςήρει ρςημ ακοαία θέρη, όπξσ ξι δύξ δσμάμειπ έυξσμ ςημ ίδια

καςεύθσμρη και η ςιμή ςηπ Fελ έυει μέγιρςξ μέςοξ. Παίομξμςαπ ςα θεςικά ποξπ ςα δενιά

έυξσμε:

ελ 2

dp dp N dp kg mΣF F T kx T 80 0,5m 20N 60 .

dt dt m dt s

81

m

υ1

θ

M Σ2

Σ1

Άσκηση 11.

Έμα ρώμα Σ1, μάζαπ m=2kg, κιμξύμεμξ πάμχ ρε πλάγιξ επίπεδξ γχμίαπ κλίρηπ θ,

ποξρπίπςει με ςαυύςηςα σ1 = 6m/s ρε ακίμηςξ ρώμα Σ2, μάζαπ Μ=4kg, με ςξ ξπξίξ

ρσγκοξύεςαι ελαρςικά. Ο ρσμςελερςήπ ςοιβήπ ξλίρθηρηπ μεςανύ ςχμ ρχμάςχμ και ςξσ

πλάγιξσ δαπέδξσ είμαι μ= 0,25.


α. ςιπ ςαυύςηςεπ σ1΄ και σ2΄ ςχμ ρχμάςχμ Σ1 και Σ2 αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη.

β. ςημ απόρςαρη d2 πξσ διαμύει ςξ ρώμα Σ2 μέυοι μα ρςαμαςήρει.

δ. ςξ υοξμικό διάρςημα πξσ κιμήθηκε ςξ ρώμα Σ2 μέυοι μα ρςαμαςήρει ρςιγμιαία.

δ. ςη θεομόςηςα πξσ αμαπςύυθηκε μεςανύ ςξσ ρώμαςξπ Σ1 και ςξσ δαπέδξσ από ςη

ρςιγμή ςηπ κοξύρηπ μέυοι ςη ρςιγμή πξσ ρςαμαςά ρςιγμιαία ςξ ρώμα Σ2.

Δίμξμςαι: ημθ= 0,6, ρσμθ= 0,8, g=10 m/s2.

Λύρη

α. Η κοξύρη είμαι κεμςοική ελαρςική. Τα ρώμαςα μεςά ςημ κοξύρη θα κιμηθξύμ ρςημ ίδια

διεύθσμρη με ςαυύςηςεπ πξσ δίμξμςαι από ςιπ ρυέρειπ:

1 1

m Mς' ς

m M

(1)

2 1

2mς' ς

m M

(2)

Από ςη ρυέρη (1) έυξσμε

1 1 1

m M 2kg 4kgς' ς 6m / s ς ' 2m / s.

m M 2kg 4kg

2 1 2 2

2m 2 2kgς' ς ς ' 6m / s ς ' 4m / s.

m M 2kg 4kg

82

Σ1

υ1΄

θ

Σ2 Σ2

υ2΄

d1

Σ1 T

θ

T

Σ2

wx

wx wy

wy

N

N

w

θ

+

β. Για ςημ κίμηρη ςξσ ρώμαςξπ Σ2 μεςά ςημ κοξύρη μέυοι μα ρςαμαςήρει εταομόζξσμε ςξ

θεώοημα έογξσ – εμέογειαπ

w T (ηελ) (απσ)W W K K (1)

Η ςοιβή δίμεςαι από ςη ρυέρη Τ=μ·Ν και Ν=wy. Άοα η ρυέρη (1) γίμεςαι

2 2

x 2 2 2 2 2 2

22 2

2 2 2 2

2

2 2

2

1 1w d T d Μς Mg ημθ d μ Mg ζςνθ d Μς

2 2

ς1g ημθ d μ g ζςνθ d ς d

2 2g(ημθ μ ζςνθ)

(4m / s)d d 1m

m2 10 (0,6 0,25 0,8)

s

γ. Θα βοξύμε ρε πόρξ υοόμξ θα ρςαμαςήρει ςξ ρώμα Σ2. Ποώςα απ βοξύμε ςημ

επιςάυσμρή ςξσ. Παίομξμςαπ χπ θεςική τξοά ασςήμ ςηπ αουικήπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρώμαςξπ

Σ1 έυξσμε:

83

X 2 Χ 2 2

2 2

2

2 22

ΣF Μ α w Τ Μ α Μ g ημθ μ N Μ α

Μ g ημθ μ Μ g ζςνθ Μ α α g(ημθ μ ζςνθ)

mα 10 (0,6 0,25 0,8) α 8m / s .

s

Ο υοόμξπ κίμηρηπ θα ποξκύφει από ςη ρυέρη

2 2ς ς α t 0 4 8 t t 0,5s.

δ. Η θεομόςηςα πξσ αμαπςύυθηκε μεςανύ ςξσ ρώμαςξπ Σ1 και ςξσ δαπέδξσ από ςη ρςιγμή

ςηπ κοξύρηπ μέυοι ςη ρςιγμή πξσ ςξ ρώμα Σ2 ρςαμαςά είμαι T 1Q W μ m g ζςνθ d ,

όπξσ ςξ d1 δηλώμει ςη μεςαςόπιρη ςξσ ρώμαςξπ Σ1 ρςξ υοξμικό διάρςημα ςχμ 0,5s.

Η επιςάυσμρη ςξσ ρώμαςξπ Σ1 είμαι:

X 1 Χ 1 1

1 1

2

1 12

ΣF m α w Τ m α m g ημθ μ N m α

m g ημθ μ m g ζςνθ m α g ημθ μ g ζςνθ α

mα g( ημθ μ ζςνθ) 10 ( 0,6 0,25 0,8) α 4m / s .

s

Σςξ υοξμικό διάρςημα ςχμ 0,5s ςξ Σ1 θα μεςαςξπιρθεί καςά d1, πξσ είμαι ίρξ με:

2 2

1 1 1 12

1 1 md ς t α t (2m / s) 0,5s ( 4 ) (0,5s) d 1,5m.

2 2 s

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ παοαπάμχ ρυέρη ςηπ θεομόςηςαπ παίομξσμε:

T 1 2

mQ W μ m g ζςνθ d 0,25 2kg 10 0,8 1,5m Q 6J.

s

84

υ1 Σ1 υ3 υ2 Σ2 Σ3

Άσκηση 12.

Μια ηυηςική πηγή Σ2 κιμείςαι µε ρςαθεοή ςαυύςηςα σ2 = 15 m/s ρε ξοιζόμςιξ επίπεδξ και

εκπέµπει ήυξ ρσυμόςηςαπ fs = 355Hz. Σςξ ίδιξ επίπεδξ κιμξύμςαι άλλα δύξ ρώμαςα με

ςαυύςηςεπ σ1 = 20 m/s και σ3 αμςίρςξιυα, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα, ςα ξπξία τέοξσμ

δέκςεπ ηυηςικώμ κσμάςχμ. Για ςιπ ρσυμόςηςεπ ςξσ ήυξσ f1 και f3 πξσ αμςιλαµβάμξμςαι ξι

δέκςεπ ςχμ ρχμάςχμ Σ1 και Σ3 ιρυύει 1 3

65f f

71 .


α. ςη ρσυμόςηςα ςξσ ήυξσ, f1, πξσ αμςιλαμβάμεςαι ξ δέκςηπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1.

β. ςημ ςαυύςηςα σ3 ςξσ ρώμαςξπ Σ3.

γ. ςξ λόγξ ςχμ μηκώμ κύμαςξπ λ1 και λ3 ςχμ ήυχμ πξσ αμςιλαμβάμξμςαι ξι δύξ

παοαςηοηςέπ.

δ. αμ o δέκςηπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1 αμςιλαμβάμεςαι ςξμ ήυξ για υοξμικό διάρςημα Δt1=7,1 s,

για πόρξ υοξμικό διάρςημα Δt3, αμςιλαμβάμεςαι ςξμ ήυξ o δέκςηπ ςξσ ρώμαςξπ Σ3;

∆ίμεςαι σηυ = 340 m/s.

Λύρη

α. Ο δέκςηπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1 αμςιλαμβάμεςαι ήυξ ρσυμόςηςαπ f1 για ςημ ξπξία ιρυύει:

ηx 1

1 s 1

ηx 2

m m340 20ς ς s sf f 355Hz f 360Hz

m mς ς340 15

s s

β. Ο δέκςηπ ςξσ ρώμαςξπ Σ3 αμςιλαμβάμεςαι ήυξ ρσυμόςηςαπ f3 για ςημ ξπξία ιρυύει:

3 3ηx 3

3 s 3

ηx 2

m m340 ς 340 ςς ς s sf f 355Hz f 355Hz.

m m mς ς340 15 325

s s s

85

Όμχπ ιρυύει

3

1 3 3 3

m340 ς

65 65 m m msf f 360Hz 355Hz 360 340 ς ς 20 .m71 71 s s s

325s

γ. Τα μήκη κύμαςξπ λ1 και λ3 ςχμ ήυχμ πξσ αμςιλαμβάμξμςαι ξι δύξ παοαςηοηςέπ είμαι

ησ ησ 221 2 s 1

s s s

ς ς ςςλ λ ς T λ

f f f

και

ησ ησ 223 2 s 3

s s s

ς ς ςςλ λ ς T λ .

f f f

Με διαίοερη καςά μέλη ςχμ δύξ ρυέρεχμ ποξκύπςει:

ησ 2

ησ 2s1

ησ 23 ησ 2

s

ς ς m m m340 15 355ς ςfλ 71s s s .

ς ς m m mλ ς ς 65340 15 325

s s sf

δ. Ο αοιθμόπ ςχμ πσκμχμάςχμ Ν πξσ εκπέμπει η πηγή είμαι ίρξπ με ςξμ αοιθμό ςχμ

πσκμχμάςχμ πξσ τςάμξσμ ρςξσπ δύξ παοαςηοηςέπ.

Για ςα υοξμικά διαρςήμαςα Δt1 και Δt3 πξσ αμςιλαμβάμξμςαι ςξμ ήυξ ξι δύξ δέκςεπ ιρυύει:

1

1

Νf

Γt (1) και

3

3

Νf

Γt (2)

Οι ρυέρειπ (1) και (2) δίμξσμ:

3 311 1 3 3 3

3 1

Γt Γtff Γt f Γt Γt 6,5s.

f Γt 7,1

65

71

86

ΘΔΜΑ Δ

Πρόβλημα 1.

Σςξ πάμχ άκοξ καςακόοστξσ ιδαμικξύ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k 400N/ m είμαι

ρσμδεδεμέμξπ δίρκξπ μάζαπ M 3kg πξσ ιρξοοξπεί. Τξ κάςχ άκοξ ςξσ ελαςηοίξσ είμαι

ακλόμηςα ρςεοεχμέμξ ρε δάπεδξ. Από ύφξπ h 0,8m πάμχ από ςξ δίρκξ ατήμεςαι μα

πέρει ελεύθεοα μια ρταίοα μάζαπ m 1kg , η ξπξία ρσγκοξύεςαι πλαρςικά με ςξ δίρκξ.

α) Να σπξλξγίρεςε ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ αμέρχπ μεςά ςημ

κοξύρη.

β) Να σπξλξγίρεςε ςξ % πξρξρςό ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςηπ ρταίοαπ, πξσ έγιμε

θεομόςηςα ρςη διάοκεια ςηπ κοξύρηπ.

γ) Να απξδείνεςε όςι ςξ ρσρρχμάςχμα θα εκςελέρει απλή αομξμική ςαλάμςχρη και μα

βοείςε ςημ πεοίξδξ ςαλάμςχρήπ ςξσ.

δ) Να σπξλξγίρεςε ςξ πλάςξπ ςαλάμςχρήπ ςξσ.

Δίμεςαι η επιςάυσμρη ςηπ βαούςηςαπ 2

mg 10

s

και 17 4,12 .

87

Λύρη

α)

Η ρταίοα εκςελεί ελεύθεοη πςώρη και η μηυαμική ςηπ εμέογεια διαςηοείςαι. Γοάτξσμε

ςη διαςήοηρη ςηπ Μηυαμικήπ εμέογειαπ μεςανύ ςηπ θέρηπ ελεσθέοχρηπ και ςηπ θέρηπ

ελάυιρςα ποιμ ςημ κοξύρη με ςξ δίρκξ.

Σσμεπώπ:

2

, , 2

m m mE m g h 2gh 2 10 0,8m 4

2 s s

.

Για ςημ κοξύρη ιρυύει η διαςήοηρη ςηπ ξομήπ. Γοάτξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ ξομήπ μεςανύ

ςχμ θέρεχμ ελάυιρςα ποιμ και αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη.

1ά 1

m1kg 4

m msp p m (M m)V V V 1M m 3kg 1kg s

β) Η εμέογεια πξσ υάθηκε από ςξ ρύρςημα ρςη διάοκεια ςηπ κοξύρηπ και μεςατέοθηκε

ρςξ πεοιβάλλξμ, σπό μξοτή θεομόςηςαπ, είμαι ίρη με ςη μείχρη ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ:

2 2 2 2m (M m)V 1kg (4m / s) (3kg 1kg) (1m / s)Q K K Q

2 2 2 2

Q 8J 2J Q 6J

ρσμεπώπ ςξ % πξρξρςό θα είμαι:

88

Q 6Ja% 100% a% 100% a% 75%

K 8J

όπξσ K η κιμηςική εμέογεια ποιμ ςημ κοξύρη.

γ) Μεςά ςημ κοξύρη ςξ ρσρρχμάςχμα θα νεκιμήρει μα ςαλαμςώμεςαι γύοχ από μια μέα

θέρη ιρξοοξπίαπ πξσ θα είμαι υαμηλόςεοα καςά y2 από ςημ αουική θέρη. Παίομξσμε μια

ςσυαία θέρη, πξσ απέυει y από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ, ρημειώμξσμε ςιπ δσμάμειπ και

βοίρκξσμε ςη ρσμιρςαμέμη δύμαμη.

F w F

Οοίζξμςαπ τξοά θεςική ποξπ ςα κάςχ παίομξσμε:

1 2F (M m)g - k(y y y) 1

Γοάτξμςαπ ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ για ςη μέα θέρη ιρξοοξπίαπ παίομξσμε:

1 2 1 2F 0 w F 0 (M m)g - k(y y ) 0 (M m)g k(y y ) (2)

Από ςξ ρσμδσαρμό ςηπ ρυέρηπ (1) με ςη ρυέρη (2) ποξκύπςει:

F ky

Τξ μείξμ δηλώμει όςι η ρσμιρςαμέμη δύμαμη έυει ςέςξια τξοά ώρςε μα ςείμει μα

επαματέοει ςξ ρώμα ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ, δηλαδή ρςη ρσγκεκοιμέμη πεοίπςχρη

ποξπ ςα πάμχ.

Σσμεπώπ ςξ ρώμα θα κάμει Απλή Αομξμική Ταλάμςχρη, με ρςαθεοά ςαλάμςχρηπ D k .

Η πεοίξδξπ ςαλάμςχρηπ θα είμαι

M m 3kg 1kgT 2 2 T s

k 400N / m 5

δ) Τξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ θα ςξ βοξύμε εταομόζξμςαπ ςημ διαςήοηρη ςηπ εμέογειαπ ρςιπ

ςαλαμςώρειπ. Η μέγιρςη δσμαμική εμέογεια ςηπ ςαλάμςχρηπ θα είμαι ίρη με ςξ άθοξιρμα

ςηπ κιμηςικήπ και δσμαμικήπ εμέογειαπ πξσ έυει αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη. Δπιρημαίμεςαι

όςι αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη ςξ ρσρρχμάςχμα βοίρκεςαι σφηλόςεοα καςά 2y από ςη

θέρη ιρξοοξπίαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα. Η απξμάκοσμρη 2y

βοίρκεςαι από ςξ ρσμδσαρμό ςχμ ρυέρεχμ πξσ ιρυύξσμ για ςιπ δύξ θέρειπ ιρξοοξπίαπ.

Για ςημ αουική θέρη ιρξοοξπίαπ έυξσμε:

89

1 1F 0 w F 0 Mg - ky 0 Mg ky (3)

Για ςη μέα θέρη ιρξοοξπίαπ ιρυύει η ρυέρη (2). Από ςξ ρσμδσαρμό ςχμ ρυέρεχμ (2) και

(3) παίομξσμε:

2

2 2 2

mg 1kg 10m / s 1mg ky y y m

k 400N / m 40

Έςρι η διαςήοηρη ςηπ εμέογειαπ για ςημ ςαλάμςχρη γοάτεςαι:

22 22 2 2 22

2

kykA (M m)V M m 1 3kg 1kgA y V ( m) (1m / s)

2 2 2 K 40 400N / m

17A m 10,3cm

40

90

Πρόβλημα 2.

Σώμα Σ1, μάζαπ 1m m 1Kg , ιρξοοξπεί δεμέμξ ρςημ κάςχ άκοη καςακόοστξσ

ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ N

k 900m

, ςξσ ξπξίξσ η άλλη άκοη είμαι ακλόμηςα ρςεοεχμέμη ρε

ξοξτή. Έμα δεύςεοξ ρώμα Σ2 μάζαπ 2m m 1Kg , βάλλεςαι καςακόοστα ποξπ ςα

πάμχ, με ςαυύςηςα 0

m6

s , από ρημείξ πξσ βοίρκεςαι ρε απόρςαρη h 1,35m κάςχ

από ςξ ρώμα Σ1. Τα δύξ ρώμαςα ρσγκοξύξμςαι κεμςοικά ελαρςικά και ρςη ρσμέυεια ςξ

ρώμα Σ1 εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη. Να βοείςε:

α) ςξ πλάςξπ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1.

β) ςη θέρη ςξσ ρώμαςξπ Σ2 ςη υοξμική ρςιγμή, πξσ η κιμηςική εμέογεια ςξσ ρώμαςξπ Σ1

γίμεςαι για 1η τξοά ελάυιρςη.

γ) ςξ έογξ ςηπ δύμαμηπ ςξσ ελαςηοίξσ καθώπ ςξ ρώμα Σ1 κιμείςαι από ςη θέρη

ιρξοοξπίαπ ςξσ μέυοι ςξ φηλόςεοξ ρημείξ ςηπ ςοξυιάπ ςξσ.

δ) ςξ μέςοξ ςξσ οσθμξύ μεςαβξλήπ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1, ςη ρςιγμή πξσ τςάμει

ρςξ φηλόςεοξ ρημείξ.

Οι αμςιρςάρειπ λόγχ ςχμ ςοιβώμ θεχοξύμςαι αμεληςέεπ. Δίμξμςαι η επιςάυσμρη

βαούςηςαπ 2

mg 10

s και

2 10 .

Λύρη

91

α) Τξ ρώμα Σ2 εκςελεί καςακόοστη κίμηρη ποξπ ςα πάμχ και η μόμη δύμαμη πξσ ςξσ

αρκείςαι είμαι ςξ βάοξπ ςξσ, άοα η μηυαμική ςξσ εμέογεια διαςηοείςαι. Γοάτξσμε ςη

διαςήοηρη ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ μεςανύ ςξσ ρημείξσ εκςόνεσρηπ και ςξσ ρημείξσ

ελάυιρςα ποιμ ςημ κοξύρη. Θεχοξύμε επίπεδξ μηδεμικήπ δσμαμικήπ εμέογειαπ λόγχ

βαοσςικξύ πεδίξσ, εκείμξ από ςξ ξπξίξ νεκιμά ςξ ρώμα Σ2.

2 22 2 20 1

, , 1 0

m mmgh ( 2gh) (6m / s) 2 (10m / s ) 1,35m

2 2

1 3m / s

Σςη διάοκεια ςηπ κοξύρηπ, ξι ενχςεοικέπ δσμάμειπ ςξσ ρσρςήμαςξπ ςχμ δύξ ρχμάςχμ,

είμαι αμεληςέεπ ρε ρυέρη με ςιπ ερχςεοικέπ δσμάμειπ και καςά ρσμέπεια ιρυύει η αουή

διαςήοηρηπ ςηπ ξομήπ. Η κοξύρη είμαι κεμςοική ελαρςική και ςα ρώμαςα έυξσμ ίρεπ

μάζεπ, άοα αμςαλλάρρξσμ ςαυύςηςεπ. Σσμεπώπ η ςαυύςηςα ςξσ Σ1 μεςά ςημ κοξύρη θα

είμαι 2 1

m3

s .

Τξ ρώμα Σ1 θα νεκιμήρει ςαλάμςχρη γύοχ από ςημ αουική θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ, άοα η

ςαυύςηςα 2

m3

s

πξσ απξκςά, απξςελεί ςημ μέγιρςη ςαυύςηςα ςηπ

ςαλάμςχρηπ.2 max

mA 3

s (1)

Για ςημ πεοίξδξ ςηπ ςαλάμςχρηπ ιρυύει:

m 1kg 2T 2 2 T s T s

k 900N / m 30 15

και 2 2

rad / s 30rad / sT /15

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) παίομξσμε: A 0,1m

β)Τξ ρώμα Σ2 μεςά ςημ κοξύρη θα απξκςήρει μηδεμική ςαυύςηςα και θα νεκιμήρει

ελεύθεοη πςώρη. Έςρι, η θέρη ςξσ ρε ρυέρη με ςξ ρημείξ ρύγκοξσρηπ κάθε ρςιγμή θα

βοίρκεςαι από ςη ρυέρη 21

y gt2

(2), θεχοώμςαπ ςη θεςική τξοά ποξπ ςα κάςχ.

Τξ ρώμα Σ1 ελαυιρςξπξιεί ςημ κιμηςική ςξσ εμέογεια για 1η τξοά όςαμ βοεθεί ρςημ πάμχ

ακοαία θέρη. Δπειδή νεκιμά από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ, μέυοι μα πάει ρςη θέρη μέγιρςηπ

απξμάκοσμρηπ απαιςείςαι υοξμικό διάρςημα T 15t s t s4 4 60

92

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (2) βοίρκξσμε:

2

2

1 m 1y 10 ( s) y m

2 s 60 72

γ) Δταομόζξσμε ςξ θεώοημα μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ μεςανύ ςχμ ενήπ δύξ

θέρεχμ: ςηπ θέρηπ ιρξοοξπίαπ και ςξσ σφηλόςεοξσ ρημείξσ ςηπ ςοξυιάπ ςξσ ρώμαςξπ 2 2

2 2F w F F

22

F F

m mK W W 0 W mgA W mgA

2 2

1kg (3m / s)W 1kg (10m / s ) 0,1m W 3,5J

2

δ) Τξ μέςοξ ςξσ οσθμξύ μεςαβξλήπ ςηπ ςαυύςηςαπ είμαι ςξ μέςοξ ςηπ επιςάυσμρηπ ςξσ

ρώμαςξπ ρςη θέρη ασςή. Δπειδή ςξ ρώμα βοίρκεςαι ρε ακοαία θέρη ασςή θα παίομει ςη

μέγιρςη ςιμή ςηπ.

2 2

max max 2

m(30rad / s) 0,1m 90

s

93

Πρόβλημα 3.

Σςξ πάμχ άκοξ καςακόοστξσ ιδαμικξύ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ 2 N

k 80m

είμαι

ρσμδεδεμέμξπ δίρκξπ μάζαπ M 5kg πξσ ιρξοοξπεί. Τξ κάςχ άκοξ ςξσ ελαςηοίξσ είμαι

ακλόμηςα ρςεοεχμέμξ ρε δάπεδξ Από ύφξπ 1h 5m πάμχ από ςξ δίρκξ ατήμεςαι μα

πέρει ελεύθεοα μια ρταίοα μάζαπ m 1kg , η ξπξία ρσγκοξύεςαι μεςχπικά με ςξμ δίρκξ

και η διάοκεια κοξύρηπ είμαι αμεληςέα. Μεςά ςημ κοξύρη η ρταίοα αμαπηδά

καςακόοστα και τςάμει ρε ύφξπ 2h 1,25m πάμχ από ςημ θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ δίρκξσ.


α) ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ δίρκξσ και ςηπ ρταίοαπ αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη.

β) ςημ % μείχρη ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςηπ ρταίοαπ λόγχ ςηπ κοξύρηπ.

γ) ςη θέρη ςξσ δίρκξσ ςη ρςιγμή πξσ η ρταίοα τςάμει ρςξ ύφξπ h2.

δ) ςη δύμαμη επαματξοάπ πξσ αρκείςαι ρςξ δίρκξ ρε ρυέρη με ςημ απξμάκοσμρη από ςη

θέρη ιρξοοξπίαπ και μα ςη ρυεδιάρεςε ρε αοιθμημέμξσπ άνξμεπ.

ε) Τξ μέςοξ ςξσ οσθμξύ μεςαβξλήπ ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςξσ ελαςηοίξσ, αμέρχπ μεςά

ςημ κοξύρη.

Δίμξμςαι: 2

mg 10

s και

2 10 .

94

Λύρη

α) Η ρταίοα εκςελεί ελεύθεοη πςώρη και η μηυαμική ςηπ εμέογεια διαςηοείςαι.

Γοάτξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ Μηυαμικήπ εμέογειαπ μεςανύ ςηπ θέρηπ ελεσθέοχρηπ και ςηπ

θέρηπ ελάυιρςα ποιμ ςημ κοξύρη με ςξ δίρκξ.

μηυ, ποιμ ςημ κοξύρη μηυ, θέρη ελεσθέοχρηπ

Θεχοξύμε επίπεδξ μηδεμικήπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ λόγχ βαοσςικξύ

πεδίξσ, εκείμξ ρςξ ξπξίξ βοίρκεςαι ξ δίρκξπ ποιμ ςημ κοξύρη.

2

11 12

m m mm g h 2gh 2 10 5m 10

2 s s

Μεςά ςημ κοξύρη ςηπ ρταίοαπ με ςξ δίρκξ ασςή κιμείςαι καςακόοστα ποξπ ςα πάμχ με

ςξ βάοξπ μα είμαι η μόμη δύμαμη πξσ ςηπ αρκείςαι, άοα η μηυαμική ςηπ εμέογεια

διαςηοείςαι. Γοάτξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ Μηυαμικήπ εμέογειαπ μεςανύ ςηπ θέρηπ

ελάυιρςα μεςά ςημ κοξύρη και ςηπ σφηλόςεοηπ θέρηπ πξσ τςάμει.

Θεχοξύμε επίπεδξ μηδεμικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ ρςξ βαοσςικό πεδίξ, εκείμξ ρςξ

ξπξίξ βοίρκεςαι ξ δίρκξπ ποιμ ςημ κοξύρη.

2

12 1 2 12

m ' m mmgh ' 2gh 2 10 1,25m ' 5

2 s s

Γοάτξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ ξομήπ ςξσ ρσρςήμαςξπ δίρκξσ - ρώμαςξπ μεςανύ ςχμ

θέρεχμ ελάυιρςα ποιμ και ελάυιρςα μεςά ςημ κοξύρη.

1 11 2 1 2 2ά

m ' m 1kg 5m / s 1kg 10m / s mp p m ' m ' ' ' 3

5kg s

β)

2ά 1

2

1

΄a % 100% 100% (1 ) 100%

2

2

(5m / s)a % (1 ) 100%

(10m / s)

95

a % 75%

γ) Η ςαυύςηςα ςηπ ρταίοαπ καθώπ αμέουεςαι πεοιγοάτεςαι από ςη ρυέρη:

1 1 gt (1)

Σςξ σφηλόςεοξ ρημείξ έυξσμε 1 0 , ξπόςε η ρυέρη (1) δίμει:

2

m m0 5 10 t t 0,5s

s s

Υπξλξγίζξσμε ςημ πεοίξδξ ςηπ ςαλάμςχρηπ ςξσ δίρκξσ:

2

M 5kgT 2 2 T 0,5s

k 80 / m

Άοα ςη ρςιγμή πξσ η ρταίοα τςάμει ρςξ ύφξπ 2h , ξ δίρκξπ έυει εκςελέρει μια πλήοη

ςαλάμςχρη, βοίρκεςαι ρςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ και καςεσθύμεςαι ποξπ ςα κάςχ.

δ) Η δύμαμη επαματξοάπ εμόπ ρώμαςξπ πξσ ςαλαμςώμεςαι δεμέμξ ρςξ άκοξ ελαςηοίξσ

δίμεςαι από ςη ρυέρη :

F ky A y A (2)

Τξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ βοίρκεςαι με εταομξγή ςηπ διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ για ςημ

ςαλάμςχρη

2 2

22 2

M kA m m 5kg 33 m

2 2 k s 80 N / m 4

Άοα η ρυέρη (2) γίμεςαι:

2 3 3F 80 y (SI) m y m

4 4

Η γοατική παοάρςαρη ταίμεςαι ρςξ ρυήμα πξσ ακξλξσθεί.

Για 3

y m4

παίομξσμε F 60

Για 3

y m4

παίομξσμε F 60

96

ε) Ο οσθμόπ μεςαβξλήπ ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςξσ ελαςηοίξσ ρςη θέρη ασςή θα είμαι:

1 2

U F xF ky '

t t

(3)

Τξ 1y δηλώμει ςημ επιμήκσμρη ςξσ ελαςηοίξσ από ςξ τσρικό ςξσ μήκξπ. Για ςξμ

σπξλξγιρμό ςξσ γοάτξσμε ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ για ςξ δίρκξ.

2

1 1 12

Mg 5kg 10m / s 1W F 0 Mg ky 0 y y m

k 80 N / m 16


2U UN 1 m J

(80 ) ( m) 3 150t m 16 s t s

97

Πρόβλημα 4.

Έμα ρώμα μάζαπ 1m κιμξύμεμξ ρε ξοιζόμςιξ επίπεδξ ρσγκοξύεςαι με ςαυύςηςα μέςοξσ

1

m10

s κεμςοικά και ελαρςικά με ρώμα μάζαπ

2m 3Kg πξσ κιμείςαι με ςαυύςηςα

μέςοξσ 2

m15

s ρε αμςίθεςη καςεύθσμρη από ςξ

1m . Η υοξμική διάοκεια ςηπ κοξύρηπ

θεχοείςαι αμεληςέα. Αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη ςξ ρώμα μάζαπ 1m κιμείςαι με αμςίθεςη

τξοά από ςημ αουική ςξσ και με ςαυύςηςα μέςοξσ 1

m' 5

s .

α) Να ποξρδιξοίρεςε ςη μάζα 1m .

β) Να βοεθεί ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρώμαςξπ μάζαπ 2m αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη.

γ) Να βοεθεί ςξ % πξρξρςό ςηπ μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ μάζαπ

1m ρε ρυέρη με ςημ αουική κιμηςική ςξσ εμέογεια, λόγχ ςηπ κοξύρηπ.

δ) Να σπξλξγιρθεί πόρξ θα απέυξσμ ςα ρώμαςα όςαμ ρςαμαςήρξσμ. Δίμεςαι όςι ξ

ρσμςελερςήπ ςοιβήπ ξλίρθηρηπ μεςανύ ςξσ επιπέδξσ και κάθε ρώμαςξπ είμαι 0,5 .

Δίμεςαι 2

mg 10

s .

Λύρη

α) Έυξσμε κεμςοική ελαρςική κοξύρη δύξ ρχμάςχμ πξσ είμαι και ςα δύξ ρε κίμηρη.

Δταομόζξσμε ςξσπ αμςίρςξιυξσπ ςύπξσπ ςξσ ρυξλικξύ βιβλίξσ.

1 2 21 1 2

1 2 1 2

m m 2m

m m m m

(1)

1 2 12 1 2

1 2 1 2

2m m m

m m m m

(2)

Οι παοαπάμχ ρυέρειπ είμαι αλγεβοικέπ, λαμβάμξμςαι δηλαδή σπόφη ςα ποόρημα ςχμ

ςαυσςήςχμ. Σςημ πεοίπςχρή μαπ έυξσμε ξοίρει θεςική τξοά ποξπ ςα δενιά, δηλαδή ςη

τξοά ςηπ ςαυύςηςαπ 1 .

Με αοιθμηςική αμςικαςάρςαρη ρςημ ρυέρη (1) παίομξσμε:

98

1 2 2 1 2 21 2

1 2 1 2 1 2 1 2

m m 2m m m 2m5 10 ( 15) SI

m m m m m m m m

1 2 1 25(m m ) 10m 40m

1 2 13m 7m m 7Kg

β) Με αοιθμηςική αμςικαςάρςαρη ρςημ ρυέρη (2) παίομξσμε:

1 2 12 1 2 2 2

1 2 1 2

2m m m 2 7 3 7 m10 ( 15) (SI) 20

m m m m 10 10 s

γ)

2

1 11( ) 1( ) 1( )1

21( ) 1( ) 1( )1 1

1m

2a % % % ( 1)% a % ( 1)%1

m2

2 2

1

2 2

1

(5m / s)a % ( 1)% ( 1)% a % 75%

(10m / s)

Τξ (-) δηλώμει όςι η εμέογειά ςξσ μειώθηκε.

δ) Για ςη δύμαμη ςηπ ςοιβήπ πξσ αμαπςύρρεςαι ρςα δύξ ρώμαςα ιρυύει:

1 1 1m g και 2 2 2m g .

Παοαςηοξύμε όςι καςά ςη διάοκεια ςηπ κίμηρηπ η κιμηςική εμέογεια ςξσ ρώμαςξπ

ελαςςώμεςαι μόμξ λόγχ ςξσ έογξσ ςηπ ςοιβήπ. Μέρχ ςξσ έογξσ ςηπ ςοιβήπ αταιοείςαι

κιμηςική εμέογεια από ςα ρώμαςα και μεςαςοέπεςαι ρε θεομική, μέυοιπ όςξσ όλη η

κιμηςική εμέογεια γίμει θεομική και ςα ρώμαςα ρςαμαςήρξσμ.

Σσμεπώπ από ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ εμέογειαπ, έυξσμε:

Για ςξ ρώμα μάζαπ 1m ςξ έογξ ςηπ ςοιβήπ θα είμαι ίρξ με ςημ κιμηςική εμέογεια:

99

2 2 2 2

1 1 1 1 11 1 1 1 1 12

m m (5m / s)T d m gd d d 2,5m

2 2 2 g 2 0,5 10m / s

Ομξίχπ για ςξ ρώμα μάζαπ 2m ςξ έογξ ςηπ ςοιβήπ θα είμαι ίρξ με ςημ κιμηςική εμέογεια:

2 2 2 2

2 2 1 2 22 2 2 2 2 22

m m (20m / s)T d m gd d d 40m

2 2 2 g 2 0,5 10m / s

Άοα η μεςανύ ςξσπ απόρςαρη είμαι:

1 2d d d 2,5m 40m d 42,5m

100

Πρόβλημα 5.

Έμα ρώμα 1 με μάζα

1m 1Kg είμαι δεμέμξ με αβαοέπ και μη εκςαςό μήμα μήκξσπ

L 1,8m , ςξσ ξπξίξσ η άλλη άκοη είμαι ακλόμηςα ρςεοεχμέμη, όπχπ ταίμεςαι ρςξ

ρυήμα. Αουικά ςξ μήμα είμαι ξοιζόμςιξ. Ατήμξσμε ελεύθεοξ ςξ ρώμα 1 μα κιμηθεί. Τξ

ρώμα 1 μόλιπ ςξ μήμα γίμει καςακόοστξ, ρσγκοξύεςαι κεμςοικά και ελαρςικά με ρώμα

2 μάζαπ 2 1m m , πξσ είμαι ακίμηςξ πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ. Τξ ρώμα 2

μεςά ςημ κοξύρη ρσμαμςά και ρσγκοξύεςαι με ςξ ελεύθεοξ άκοξ ξοιζόμςιξσ ιδαμικξύ

ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k 100 N / m , ςξσ ξπξίξσ η άλλη άκοη είμαι ακλόμηςα

ρςεοεχμέμη, όπχπ ρςξ ρυήμα. Τξ ρώμα 2 ρσμπιέζει ςξ ελαςήοιξ και ρςη ρσμέυεια

ρσμαμςά εκ μέξσ ςξ ρώμα 1 και ρσγκοξύεςαι μεςχπικά και ελαρςικά για δεύςεοη τξοά

με ασςό. Να θεχοηθξύμ ξι ςοιβέπ και η αμςίρςαρη ςξσ αέοα αμεληςέεπ.

α) Να βοείςε ςξ μέςοξ ςηπ ςάρηπ ςξσ μήμαςξπ ελάυιρςα ποιμ ςη ρύγκοξσρη ςξσ ρώμαςξπ

Σ1 με ςξ ρώμα Σ2.

β) Να βοείςε ςα μέςοα ςχμ ςαυσςήςχμ ςχμ δύξ ρχμάςχμ 1 και 2 αμέρχπ μεςά ςημ

κοξύρη.

γ) Να βοείςε για πόρξ υοόμξ θα είμαι ρε επατή ςξ ρώμα 2 με ςξ ελαςήοιξ.

δ) Να βοείςε ςξ μέγιρςξ ύφξπ πξσ θα τςάρει ςξ ρώμα 1 πξσ είμαι δεμέμξ με ςξ μήμα

μεςά ςη δεύςεοή ςξσ κοξύρη με ςξ ρώμα Σ2.

Δίμεςαι η επιςάυσμρη ςηπ βαούςηςαπ: 2

mg 10

s .

101

Λύρη

α) Σςημ καςώςεοη θέρη η ρσμιρςαμέμη ςξσ βάοξσπ και ςηπ ςάρηπ ςξσ μήμαςξπ θα ιρξύςαι

με ςημ κεμςοξμόλξ δύμαμη, η ξπξία θα έυει τξοά ποξπ ςα πάμχ και μέςοξ πξσ βοίρκεςαι

από ςη ρυέρη:

2 2 2m mF T mg T m(g ) (1)

L L L

Τξ ρώμα 1 διαγοάτει ςξ ςεςαοςξκύκλιξ. Η ςάρη ςξσ μήμαςξπ πξσ αρκείςαι ρε ασςό δεμ

παοάγει έογξ. Έογξ παοάγει μόμξ ςξ βάοξπ ςξσ, πξσ είμαι ρσμςηοηςική δύμαμη. Τοιβέπ

ή αμςιρςάρειπ δεμ σπάουξσμ. Έςρι εταομόζξμςαπ ςη διαςήοηρη ςηπ Μηυαμικήπ εμέογειαπ,

για ςιπ δύξ θέρειπ, ξοιζόμςια και καςακόοστη, μπξοξύμε μα βοξύμε ςημ ςαυύςηςα ςξσ

Σ1 ελάυιρςα ποιμ ςημ κοξύρη. Θεχοξύμε επίπεδξ μηδεμικήπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςξσ

ρώμαςξπ λόγχ ςξσ βαοσςικξύ πεδίξσ, εκείμξ ρςξ ξπξίξ βοίρκεςαι ςξ ρώμα βοίρκεςαι

ρςημ καςώςαςη θέρη.

22

, ,

m mE E mgL 2gL 2 10m / s 1,8m 6

2 s


2

2

m (6m / s)T 1kg (10 ) T 30N

s 1,8m

β) Τα δύξ ρώμαςα έυξσμ ίρεπ μάζεπ και η κοξύρη είμαι ελαρςική κεμςοική, άοα ςα

ρώμαςα αμςαλλάρρξσμ ςαυύςηςεπ. Έςρι ςξ ρώμα 1 μέμει ακίμηςξ και ςξ 2 κιμείςαι με

ςημ ςαυύςηςα ςξσ 1 , δηλαδή με ςαυύςηςα μέςοξσ m

6s

.

102

γ) Για όρξ υοξμικό διάρςημα ςξ ρώμα Σ2 είμαι ρε επατή με ςξ ελαςήοιξ εκςελεί απλή

αομξμική ςαλάμςχρη. Όμχπ η θέρη ιρξοοξπίαπ ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι εκεί πξσ ςξ

ελαςήοιξ έυει ςξ τσρικό ςξσ μήκξπ, ρσμεπώπ από ςη ρςιγμή πξσ έουεςαι ρε επατή με ςξ

ελαςήοιξ και μέυοι μα επιρςοέφει ρςη θέρη ασςή (θέρη ιρξοοξπίαπ) θα έυει πεοάρει

υοόμξπ ίρξπ με μιρή πεοίξδξ.

Η πεοίξδξπ ςαλάμςχρηπ ςξσ Σ2, για όρξ υοόμξ είμαι ρε επατή με ςξ ελαςήοιξ είμαι:

2m 1kg2 2 T s

k 100N / m 5

Άοα, ςξ ρώμα 2 θα είμαι ρε επατή με ςξ ελαςήοιξ για υοξμικό διάρςημα t s

2 10

δ) Τξ ρώμα 2 εγκαςαλείπει ςξ ελαςήοιξ με ςαυύςηςα μέςοξσ 1 και ρσμαμςά ςξ ρώμα

1 ακίμηςξ ρςη θέρη όπξσ ςξ μήμα είμαι καςακόοστξ. Σςημ κοξύρη πξσ ακξλξσθεί ςα

ρώμαςα θα αμςαλλάνξσμ ςαυύςηςεπ, άοα η ςαυύςηςα πξσ θα απξκςήρει ςξ ρώμα 1 θα

έυει μέςοξ ίρξ με ασςό πξσ είυε ποιμ ρσγκοξσρςεί για ποώςη τξοά. Σσμεπώπ, επειδή η

μηυαμική εμέογεια διαςηοείςαι, θα τςάρει ναμά ρςημ αουική θέρη από όπξσ ατέθηκε

ελεύθεοξ, δηλαδή ρςη θέρη όπξσ ςξ μήμα θα είμαι ξοιζόμςιξ.

103

Πρόβλημα 6

Τξ ελαςήοιξ ςξσ ρυήμαςξπ έυει ρςαθεοά k 400N / m και έυει ρςξ έμα άκοξ ςξσ

ρςεοεχμέμξ έμα ρώμα, Σ1, μάζαπ 1m 1kg πξσ τέοει εμρχμαςχμέμξ έμα δέκςη ήυξσ, Δ.

Τξ ρύρςημα εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη πλάςξσπ 0,4m πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ

επίπεδξ. Τη ρςιγμή πξσ ςξ ρώμα Σ1 διέουεςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ, ρσγκοξύεςαι

κεμςοικά ελαρςικά με ακίμηςξ ρώμα Σ2, μάζαπ 2m 3kg , ςξ ξπξίξ τέοει εμρχμαςχμέμη

πηγή ήυξσ ρσυμόςηςαπ Sf 688Hz .

Να βοείςε:

α) ςημ ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ Σ1 ελάυιρςα ποιμ ςη ρύγκοξσρη.

β) ςιπ ςαυύςηςεπ ςχμ ρχμάςχμ Σ1 και Σ2 αμέρχπ μεςά ςη ρύγκοξσρη καθώπ και ςξ πλάςξπ ςηπ μέαπ ςαλάμςχρηπ.

γ) ςη ρσυμόςηςα πξσ αμιυμεύει ξ δέκςηπ όςαμ ςξ ρώμα Σ1 διέουεςαι για 1η και για 2η

τξοά μεςά ςημ κοξύρη από ςημ απξμάκοσμρη 1x 0,1 3 m . Να θεχοήρεςε θεςικό ςξμ

ημιάνξμα ποξπ ςα δενιά.

δ) ςξ οσθμό μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ Σ1 ςη ρςιγμή πξσ αμιυμεύει

ρσυμόςηςα Af 680Hz .

Δίμεςαι η ςαυύςηςα διάδξρηπ ςξσ ήυξσ ρςξμ αέοα, 340m / s .

104

Λύρη

α) Τξ ρώμα Σ1 ελάυιρςα ποιμ ςη ρύγκοξσρη κιμείςαι με ςη max ςηπ ςαλάμςχρηπ, επειδή

διέουεςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ.

max 1 1 1

k 400N / mA 0,4m 8m / s

m 1kg

β) Η κοξύρη ςχμ δύξ ρχμάςχμ είμαι κεμςοική ελαρςική, ξπόςε ξι ςαυύςηςεπ ςχμ ρχμάςχμ μεςά ςημ κοξύρη θα είμαι:

΄ ΄1 21 1 1

1 2

m m 1kg 3kg8m / s 4m / s

m m 1kg 3kg

΄ ΄12 1 2

1 2

2m 2 1kg8m / s 4m / s

m m 1kg 3kg

Άοα, μεςά ςημ κοξύρη η ηυηςική πηγή απξμακούμεςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα ΄

2 4m / s

και ςξ ρώμα Σ1 γσομά πίρχ νεκιμώμςαπ μέα ςαλάμςχρη με πεοίξδξ ίδια με ςημ αουική και

μέα μέγιρςη ςαυύςηςα ςαλάμςχρηπ ΄

max 4m / s . Άοα ςξ μέξ πλάςξπ ςαλάμςχρηπ είμαι:

΄ ΄΄ ΄ ΄ ΄ ΄max maxmax

4m / s0,2m

k 400N / m

m 1kg

105

γ) Δταομόζξμςαπ ςη διαςήοηρη ςηπ εμέογειαπ για ςημ ςαλάμςχρη σπξλξγίζξσμε ςημ

ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ Σ1 όςαμ ασςό διέουεςαι από ςη θέρη 1x 0,1 3 m .

΄2 2 2 ΄2 2 2 2

1 max 1 1 1 1 max 1

1

1

1 1 1 k 400N / mm kx m x (4m / s) ( 0,1 3m)

2 2 2 m 1kg

m2

s

Τημ 1η τξοά ξ δέκςηπ κιμείςαι ποξπ ςα αοιρςεοά απξμακοσμόμεμξπ από ςημ ηυηςική πηγή, ξπόςε η ρσυμόςηςα πξσ αμιυμεύεςαι θα είμαι:

1

1 s 1

s

m m340 2

s sf f 688Hz f 676Hzm m

340 4s s

Τη 2η τξοά ξ δέκςηπ κιμείςαι ποξπ ςα δενιά καςεσθσμόμεμξπ ποξπ ςημ ηυηςική πηγή, πξσ απξμακούμεςαι, ξπόςε η ρσυμόςηςα πξσ αμιυμεύεςαι θα είμαι:

1

1 s 1

s

m m340 2

s sf f 688Hz f 684Hzm m

340 4s s

δ) FWK F x KF kx

t t t t

(1)

Ποέπει μα σπξλξγιρςξύμ ςα x, .

Για ςη ρσυμόςηςα Af πξσ αμιυμεύεςαι από ςξ δέκςη ιρυύει:

A AA s A

s

340f f 680 688 (SI) 0

340 4

Άοα, ςξ ρώμα Σ1 βοίρκεςαι ρε ακοαία θέρη, η ςαυύςηςα ςξσ είμαι ίρη με μηδέμ, ξπόςε με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) ποξκύπςει

K0

t

106

Πρόβλημα 7.

Έμα κξμμάςι νύλξσ μάζαπ m 0,5Kg είμαι ακλόμηςα ρςεοεχμέμξ ρςξ κάςχ άκοξ

ξμξγεμξύπ και ιρξπαυξύπ οάβδξσ μάζαπ M 2Kg . Τξ ρσμξλικό μήκξπ οάβδξσ και

κξμμαςιξύ από νύλξ είμαι r 1m . Tξ πάμχ άκοξ ςηπ οάβδξσ είμαι ρσμδεμέμξ ρε

ακλόμηςξ ρημείξ Ο με ςέςξιξ ςοόπξ ώρςε η οάβδξπ μα μπξοεί μα ρςοέτεςαι ρςξ

καςακόοστξ επίπεδξ γύοχ από ξοιζόμςιξ άνξμα πξσ πεομά από ςξ ρημείξ Ο, υχοίπ

ςοιβέπ. Τξ ρύρςημα ιρξοοξπεί με ςη οάβδξ ρε καςακόοστη θέρη. Έμα μικοό ρώμα Σ,

μάζαπ 1m 0,5Kg , πξσ ξλιρθαίμει ρε λείξ ςεςαοςξκύκλιξ ακςίμαπ r 1m , τςάμξμςαπ

ρςξ καςώςεοξ ρημείξ ςηπ ςοξυιάπ ςξσ, κιμξύμεμξ ξοιζόμςια με ςαυύςηςα 0 , ποξρπίπςει

και ρτημώμεςαι ρςξ νύλξ. Μεςά ςημ κοξύρη ςξ ρύρςημα οάβδξπ - νύλξ - βλήμα

εκςοέπεςαι ώρςε η μέγιρςη απόκλιρη ςηπ οάβδξσ από ςημ αουική καςακόοστη θέρη ςηπ

μα είμαι 060 . Να σπξλξγίρεςε:

α) ςη οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ ρώμα - νύλξ – οάβδξπ.

β) ςξ μέςοξ ςηπ γχμιακήπ ςαυύςηςαπ ςηπ οάβδξσ αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη.

γ) ςξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ 0 ςξσ βλήμαςξπ ποιμ ςημ κοξύρη.

δ) Τξ πξρό ςηπ θεομόςηςαπ, πξσ δημιξσογήθηκε ρςη διάοκεια ςηπ κοξύρηπ.

ε) ςξ μέςοξ ςηπ ςημ ςαυύςηςαπ ςξσ βλήμαςξπ, ώρςε ςξ ρύρςημα βλήμα-οάβδξπ- νύλξ, μα κάμει αμακύκλχρη.

Δίμξμςαι: η οξπή αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ ςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ 2Mr

I12

, η

επιςάυσμρη ςηπ βαούςηςαπ 2

mg 10

s , ξι διαρςάρειπ ςξσ νύλξσ και ςξσ βλήμαςξπ μα

θεχοηθξύμ αμεληςέεπ, αμςιρςάρειπ αέοα και ςοιβέπ αμεληςέεπ.

Λύρη

107

α) Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ ρώμα - νύλξ – οάβδξπ χπ ποξπ ςξμ άνξμα

πεοιρςοξτήπ Ο είμαι ίρη με: (O) (O) (O) (O)I (1)

Δπειδή δίμεςαι η οξπή αδοάμειαπ ςηπ οάβδξσ χπ ποξπ ςξ κέμςοξ μάζαπ ςηπ, εμώ η

οάβδξπ θα ρςοατεί χπ ποξπ ςξ ρημείξ Ο, με ςξ θεώοημα Steiner θα βοξύμε ςη οξπή

αδοάμειάπ ςηπ χπ ποξπ ςξ ρημείξ ασςό.

2 22 2

(O) (O)

Mr r Mr 2I M( ) I Kgm

12 2 3 3 (2)

Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρώμαςξπ ζ(I ) χπ ποξπ ςξ Ο θα είμαι:

2 2

ζ(O) 1m r 0,5Kgm (3)

Η οξπή αδοάμειαπ ςξσ νύλξσ ξ(I ) χπ ποξπ ςξ Ο θα είμαι:

2 2

ξ(O) mr 0,5Kgm (4)

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (1) βοίρκξσμε ςημ ξλική οξπή αδοάμειαπ ςξσ ρσρςήμαςξπ

(I ) ρώμα 1(m ) - νύλξ – οάβδξπ, χπ ποξπ ςξ Ο.

2 2

(O) (O)

2 5I ( 0,5 0,5)kgm I kgm

3 3 (5)

β) Μεςά ςημ κοξύρη ςξ ρύρςημα θα ρςοατεί γύοχ από ςξ ρημείξ Ο. Ατξύ δεμ σπάουξσμ

ςοιβέπ η μηυαμική εμέογεια διαςηοείςαι. Σσμεπώπ, θεχοώμςαπ επίπεδξ μηδεμικήπ

108

δσμαμικήπ εμέογειαπ ασςό πξσ πεομά από ςξ καςώςεοξ ρημείξ ςηπ οάβδξσ, εταομόζξσμε

ςη διαςήοηρη ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ, από ςη ρςιγμή πξσ ξλξκληοώθηκε η κοξύρη

μέυοιπ όςξσ η οάβδξπ ρυημαςίρει γχμία 060 με ςημ καςακόοστξ:

2

1

IMgr(m m )gh Mgh '

2 2

(6)

όπξσ h ' r[1 ( )] 0,75m2

(7)

και

h r (1 ) 0,5m (8)

Αμςικαθιρςώμςαπ ρςημ (6) ςιπ (5), (7) και (8) βοίρκξσμε rad

2 3 s

.

γ) Τξ ρώμα Σ ελάυιρςα ποιμ ςημ κοξύρη εκςελεί κσκλική ςοξυιά ακςίμαπ r 1m , άοα έυει ρςοξτξομή χπ ποξπ ςξμ άνξμα Ο πξσ βοίρκεςαι από ςη ρυέρη:

1 0 0L m r 0,5 (S.I.) (9)

Δπειδή ρςη διάοκεια ςηπ κοξύρηπ ςξσ ρώμαςξπ με ςξ νύλξ, ξι δσμάμειπ πξσ

αμαπςύρρξμςαι μεςανύ ςξσπ είμαι ερχςεοικέπ και όλεπ ξι άλλεπ δσμάμειπ έυξσμ οξπή

μηδέμ χπ ποξπ ςξ Ο, η ρςοξτξομή ςξσ ρσρςήμαςξπ ρώμα-νύλξ – οάβδξπ διαςηοείςαι,

ξπόςε από ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ ρςοξτξομήπ έυξσμε:

ολ(ππιν) ( ά) ζωμ(ππιν) ( ά) 0 (O) 0

5L L L L 0,5 I 0,5 (SI)

3 (10)

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (10) βοίρκξσμε ςημ ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ ελάυιρςα ποιμ

ςημ κοξύρη ςξσ με ςξ νύλξ.

0 0 0

5 10 20 30,5 2 3m / s m / s

3 3 3

δ)

2 2 22 2

1 0

20 3 50,5kg ( m / s) kgm (2 3rad / s)

m 3 3Q2 2 2 2

100 70Q J 10J Q J

3 3

109

ε) Έρςχ όςι ςξ ρώμα Σ έυει ςημ καςάλληλη ςαυύςηςα 1 ώρςε μεςά ςημ κοξύρη ςξ

ρύρςημα μα έυει γχμιακή ςαυύςηςα 1 ικαμή ώρςε μα κάμει αμακύκλχρη.

Για μα κάμει αμακύκλχρη θα ποέπει μα τςάρει ρςξ φηλόςεοξ ρημείξ με γχμιακή

ςαυύςηςα ελάυιρςα μεγαλύςεοη από ςξ μηδέμ. Θα θεχοήρξσμε όςι η γχμιακή ςαυύςηςα

ςξσ ρσρςήμαςξπ ρςξ φηλόςεοξ ρημείξ είμαι μηδέμ (αμ είμαι ακοιβώπ μηδέμ θα

ιρξοοξπήρει ρςξ ρημείξ ασςό).

Δπειδή η μηυαμική εμέογεια διαςηοείςαι για ςξ ρύρςημα, γοάτξσμε ςη διαςήοηρη ςηπ

μηυαμικήπ εμέογειαπ μεςανύ ςηπ καςώςεοηπ και ςηπ σφηλόςεοηπ θέρηπ. Θεχοξύμε

επίπεδξ μηδεμικήπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςημ καςώςεοη θέρη:

2

1, , 1

IMgr Mg3rE E U U (m m )g2r

2 2 2

.

Με αμςικαςάρςαρη ρςημ παοαπάμχ ρυέρη βοίρκξσμε ςη γχμιακή ςαυύςηςα πξσ ποέπει μα

έυει η οάβδξπ αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη, ποξκύπςει 1

rad48

s .

Με αμςικαςάρςαρη ρςη ρυέρη (7) βοίρκξσμε ςημ ςαυύςηςα ςξσ ρώμαςξπ ελάυιρςα ποιμ

ςημ κοξύρη ςξσ με ςξ νύλξ.

1 1 1 1

5 10 40 30,5 48 m / s m / s

3 3 3

110

Πρόβλημα 8.

Έμα ρώμα μάζαπ m 3kg , είμαι ακίμηςξ ρε λείξ ξοιζόμςιξ δάπεδξ, όπχπ ταίμεςαι ρςξ

ρυήμα. Λόγχ ερχςεοικήπ αιςίαπ ςξ ρώμα διαρπάςαι ρε δύξ κξμμάςια με μάζεπ 1m , 2 m

αμςίρςξιυα, για ςιπ ξπξίεπ ιρυύει 1 2m 2m .

Μεςά ςη διάρπαρη ςξ κξμμάςι μάζαπ 1m ρσγκοξύεςαι πλαρςικά με ςξ ρώμα μάζαπ

m 2kg , ςξ ξπξίξ είμαι ρςεοεχμέμξ ρςξ έμα άκοξ ιδαμικξύ ελαςηοίξσ ρςαθεοάπ k , ςξσ

ξπξίξσ ςξ άλλξ άκοξ είμαι ακλόμηςα ρςεοεχμέμξ. Τξ δημιξσογξύμεμξ ρσρρχμάςχμα

εκςελεί απλή αομξμική ςαλάμςχρη πάμχ ρε λείξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ και η ςαυύςηςα ςξσ

μηδεμίζεςαι κάθε s10

.

Τξ κξμμάςι μάζαπ 2m ρσγκοξύεςαι πλαρςικά με ςξ ακίμηςξ ρώμα μάζαπ 3kg , ςξ

ξπξίξ κοέμεςαι από μήμα μήκξσπ 2m . Αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη η δύμαμη πξσ αρκεί

ςξ μήμα ρςξ ρσρρχμάςχμα ςχμ μαζώμ 2m και M είμαι F 90 .

Να βοεθξύμ:

α) Τξ μέςοξ ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ ρσρρχμαςώμαςξπ ςχμ μαζώμ 2m και M αμέρχπ μεςά

ςημ κοξύρη.

β) Τξ ρσμημίςξμξ ςηπ μέγιρςηπ γχμίαπ εκςοξπήπ ςξσ μήμαςξπ.

γ) Οι ςαυύςηςεπ ςχμ κξμμαςιώμ με μάζεπ 1m και M αμέρχπ μεςά ςη διάρπαρη.

δ) Η ρσμάοςηρη πξσ πεοιγοάτει πχπ μεςαβάλλεςαι η δύμαμη επαματξοάπ ςξσ

ρσρρχμαςώμαςξπ ςχμ μαζώμ 1m και m ρε ρυέρη με ςξ υοόμξ. Να θεχοήρεςε t 0 ςη

ρςιγμή ςηπ κοξύρηπ και θεςική τξοά ςξσ άνξμα ποξπ ςα δενιά. Δίμεςαι 2g 10 m / s .

Λύρη

Τα ταιμόμεμα πξσ αματέοξμςαι ρςημ εκτώμηρη πεοιγοάτξμςαι ρςξ ακόλξσθξ ρυήμα.

111

α) Τξ ρσρρχμάςχμα μάζαπ 2(M m ) , αμέρχπ μεςά ςημ κοξύρη, αουίζει μα κιμείςαι

διαγοάτξμςαπ κσκλική ςοξυιά ακςίμαπ R .

Η ρσμιρςαμέμη ςχμ δσμάμεχμ, πξσ δοξσμ ρςξ ρσρρχμάςχμα, παίζει ςξ οόλξ ςηπ

κεμςοξμόλξσ δύμαμηπ.

2

2 22

2

(M m ) [F (M m )g]F (M m )g

M m

(1)

Δπίρηπ 1 2 2 2m m m 2m m m 2

mm 1kg

3

και 1 2m 2m 2kg


2[90N (3kg 1kg) 10m / s ] 2m5m / s

3kg 1kg

β) Δταομόζξσμε Α.Δ.Μ.Δ για ςξ ρσρρχμάςχμα, μεςανύ ςχμ θέρεχμ αμέρχπ μεςά ςημ

κοξύρη και ρςη μέγιρςη εκςοξπή. Δπίπεδξ μηδεμικήπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ασςό ςηπ

αουικήπ θέρηπ.

112

2

. . . . 2 2

2 2

2

1E E 0 (M m ) (M m ) gh 0

2

(5m / s)h h 1,25m

2g 2 10m / s

Από ςξ ξοθξγώμιξ ςοίγχμξ έυξσμε:

h 2m 1,25m0,375

2m

γ) Δταομόζξσμε ςημ Α.Δ.Ο. για ςημ πλαρςική κοξύρη ςξσ ρώμαςξπ μάζαπ 2m με ςξ

ρώμα μάζαπ M .

22 2 2 2

2

2 2

(M m )p p m (M m )

m

(3kg 1kg) 5m / s20m / s

1kg

Σςημ έκοηνη δοξσμ ερχςεοικέπ δσμάμειπ, ξπόςε ιρυύει η Α.Δ.Ο.

1 1 2 2 2 1 2 2p p 0 m m 2m m

21 2 1 12 10m / s

2

δ) Η δύμαμη επαματξοάπ δίμεςαι από ςη ρυέρη:

0F k x F k A ( t ) (2)

Ποέπει μα σπξλξγίρξσμε ςιπ ςιμέπ ςχμ k , , και 0 .

Δπειδή ςη υοξμική ρςιγμή t 0 ςξ ρώμα διέουεςαι από ςη θέρη ιρξοοξπίαπ ςξσ με

αομηςική ςαυύςηςα η αουική τάρη ςηπ ςαλάμςχρηπ είμαι π, δηλαδή 0 .

Η ςαυύςηςα ρε μια ςαλάμςχρη μηδεμίζεςαι κάθε T

2, άοα:

T 2 2s T s 10 rad / s

2 10 10

Από ςημ 2

1D k (m' m ) βοίρκξσμε ςη ρςαθεοά ςξσ ελαςηοίξσ

113

2D k (2kg 2kg) (10 rad / s) D k 400N / m

Δταομόζξσμε ςημ Α.Δ.Ο. για ςημ πλαρςική κοξύρη ςξσ ρώμαςξπ μάζαπ 1m με ςξ ρώμα

μάζαπ m'.

1 1ά 1 1 1

1

mp p m (m m )V V

m m

2kg 10m / sV V 5m / s

2kg 2kg

Ακοιβώπ μεςά ςημ κοξύρη ςξ ρσρρχμάςχμα μάζαπ 1(m' m ) διέουεςαι από ςη θέρη

ιρξοοξπίαπ ςξσ ξπόςε ιρυύει: maxV' V .

Αλλά: max

V' 5m / sV ' V A A 0,5m

10rad / s

.

Με αμςικαςάρςαρη ςχμ ςιμώμ ςχμ k , , και 0 ρςη ρυέρη (2) παίομξσμε:

F 400 0,5 (10t ) (SI) F 200 (10t) (SI)

Ψηφιακά Μαθήματα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου...

Documents

Transcript of Ψηφιακά Μαθήματα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου...