αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

58
www.askisopolis.gr ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript of αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

Page 1: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

www.askisopolis.gr

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Page 2: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

www.askisopolis.gr

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί:

Βλαχόπουλος Αποστόλης

Δικαιοσυνόπουλος Νίκος

Κολλινιάτη Γιωργία

Μάκος Σπύρος

Μαρωνίτη Ειρήνη

Μαρωνίτης Λάμπρος

Μπουρούνης Μιχάλης

Μιχαήλογλου Στέλιος

Πανούσης Γιώργος

Παπαθανάση Κέλλυ

Πατσιμάς Ανδρέας

Πατσιμάς Δημήτρης

Ραμαντάνης Βαγγέλης

Σαμπάνης Νίκος

Τόλης Ευάγγελος

Φανέλη Αναστασία

Φερεντίνου Σταυρούλα

Page 3: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

1

www.askisopolis.gr

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ 2ο

2_16950

α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με

συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

(Μονάδες 10)

β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος που ορίσατε στο

α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο.

(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ α) Έστω το γραμμικό σύστημα

(1) (2)3 2 10 1( ) : 0 0 6

3 2 4 2

x yx y

x y

.

Επομένως το σύστημα είναι αδύνατο.

β) Το σύστημα παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες.

Άρα δεν υπάρχει σημείο τομής οπότε το σύστημα είναι

αδύνατο.

2_16954

Δίνεται η εξίσωση: 8x + 2y = 7 (1)

α) Να γράψετε μια άλλη εξίσωση που να μην έχει καμία κοινή λύση με την εξίσωση (1).

(Μονάδες 10)

β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις και, με βάση το γράφημα, να

εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ α) Παίρνουμε την εξίσωση 8x+2y=25. Λύνουμε το γραμμικό σύστημα

(1) (2)8 2 7 1( ) : 0 0 18

8 2 25 2

x yx y

x y

. Το σύστημα είναι αδύνατο.

Άρα η 8x+2y=25 δεν έχει καμιά κοινή λύση με την εξίσωση 8x+2y=7.

Page 4: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

2

www.askisopolis.gr

β) Το σύστημα είναι αδύνατο διότι παριστάνει δύο

παράλληλες ευθείες. Άρα δεν υπάρχει σημείο τομής

οπότε το σύστημα είναι αδύνατο.

2_ 16957

Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια, και ο Μάρκος είναι

μεγαλύτερος από το Βασίλη.

α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 13)

β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να

υπολογίσετε την ηλικία του καθενός.

(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ Έστω ότι η ηλικία του Μάρκου είναι: x και του Βασίλη είναι: y. Έχουμε ότι x+y=27 και x>y.

α) Η εξίσωση x+y=27 είναι γραμμική εξίσωση α΄ βαθμού άρα έχει άπειρες λύσεις.

Επομένως δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την ηλικία του καθενός.

β) Μας δίνεται η πληροφορία ότι x-y=5. Λύνουμε το σύστημα λοιπόν

(1) (2)27 1( ) : 2 32 16

5 2

x yx x

x y

.Επομένως (1) 27 16 11y . Άρα ο

Μάρκος είναι 16 χρονών και ο Βασίλης 11 χρονών.

2_ 16960

α) Με βάση τα δεδομένα του σχήματος,

να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των ευθειών

(ε) και (η).

(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους.

(Μονάδες 13)

Page 5: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

3

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ α) Έστω

1 1y λ x β η εξίσωση της (ε)

Επειδή διέρχεται από τα σημεία 0,2 και 2,0 , ισχύει ότι:

1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

β 22 λ 0 β 2 β 2 β

20 λ 2 β 0 2λ 2 2λ 2 λ 1

2

, άρα ε: y x 2

O συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας η είναι ίσος με 45 1

Η ευθεία η έχει εξίσωση της μορφής ,y x R .

To σημείο (4,0) ανήκει στην (η) οπότε : 0 4 4 .

Άρα η εξίσωση της ευθείας η είναι : y x 4

β) Λύνω το σύστημα

(1) (2)2 1( ) : 2 6 3

4 2

x yx x

x y

. Άρα (1) 2 3 1y .

Άρα το σημείο τομής τους είναι το (3,-1).

2_17647

Δίνεται το σύστημα:2 8x y

ax y

με παραμέτρους , , .

α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική

λύση το ζεύγος (2, -3). (Μονάδες 13)

β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο.

(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ α) Επειδή το ζεύγος 2, 3 είναι λύση του συστήματος επαληθεύει την εξίσωση αx βy γ ,

άρα 2α 3β γ (1).

Παρατηρούμε ότι τα α, β, γ μπορούν να είναι όλοι οι αριθμοί που επαληθεύουν τη

σχέση (1).

Για α 0 και β 1 είναι γ 2 0 3 1 3 , οπότε αυτές μπορούν να είναι τιμές των α,β,γ

για τις οποίες το σύστημα έχει λύση το ζεύγος 2, 3 .

β) Το σύστημα είναι αδύνατο όταν κατ’ αρχάς έχει D 0 .

1 2

D 0 0 β 2α 0 β 2αα β

Έστω α 1 , τότε β 2 και το σύστημα γίνεται: x 2y 8

x 2y γ

.

Είναι φανερό ότι το σύστημα είναι αδύνατο για κάθε γ 8 .

Page 6: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

4

www.askisopolis.gr

2_17650

Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος x cm, πλάτος y cm, περίμετρο ίση με

38 cm και με την ακόλουθη ιδιότητα:

Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά 2 cm και μειώσουμε το πλάτος του κατά 4 cm, θα

προκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού.

α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων ,x y του ορθογωνίου. (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Επειδή το αρχικό ορθογώνιο έχει περίμετρο 38 cm ισχύει ότι:

:2

2x 2y 38 x y 19 (1)

Το εμβαδόν του αρχικού ορθογωνίου είναι 1E x y και το εμβαδόν

του καινούργιου ορθογωνίου είναι:

2E x 2 y 4 xy 4x 2y 8

Επειδή τα δύο ορθογώνια έχουν το ίδιο εμβαδό, ισχύει ότι:

1 2E E xy xy:2

4x 2y 8 4x 2y 8 2x y 4 (2)

Το ζητούμενο σύστημα είναι το x y 19

2x y 4

.

β) Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (1),(2) έχουμε: 15

3x 15 x 53

και από τη

σχέση (1) 5 y 19 y 14

2_17651

Στο δημοτικό parking μιας επαρχιακής πόλης στις 10 το πρωί, το σύνολο των δίκυκλων και

τετράτροχων οχημάτων που έχουν παρκάρει είναι 830 και το πλήθος των τροχών τους 2700.

α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

(Μονάδες 13)

β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων.

(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ α) Έστω x τα δίκυκλα και y τα τετράτροχα οχήματα που βρίσκονται στο δημοτικό parking

εκείνη την ώρα.

Επειδή το σύνολο των οχημάτων που έχουν παρκάρει εκείνη την ώρα στο δημοτικό

parking είναι 830, ισχύει ότι: x y 830 .

Οι τροχοί των δίτροχων είναι συνολικά 2x και των τετράτροχων είναι 4y , οπότε αφού το

σύνολο των τροχών είναι 2.700, ισχύει ότι: :2

2x 4y 2.700 x 2y 1.350 .

Το ζητούμενο σύστημα είναι το x y 830

x 2y 1.350

x

y

x 2

y 4

Page 7: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

5

www.askisopolis.gr

β) x y 830 x 830 y x 830 y

x 2y 1.350 830 y 2y 1.350 y 1.350 830

x 830 520 x 310

y 520 y 520

Τα δίτροχα είναι 310 και τα τετράτροχα 520

2_17683

Δίνεται το σύστημα : ( 1) x 2 3

4 ( 1) 6

y

x y

, με παράμετρο .

α) Αν λ = -3, να δείξετε ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Να βρείτε μια λύση.

(Μονάδες 8)

β) Αν λ = 3, να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο.

(Μονάδες 8)

γ) Αν λ = 0, να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία και να προσδιορίσετε.

(Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

α) Για λ=-3 το σύστημα ( 1) 2 3

4 ( 1) 6

x y

x y

γίνεται: (: 2)

2 2 3 2 2 32 2 3

4 4 6 2 2 3

x y x yx y

x y x y

.

Οπότε αν x=κ με κℝ ,τότε

Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής 3

(x, y) , ,2

και μία λύση

του π.χ. για κ=0 είναι 3

( , ) 0,2

x y

β) Για λ=3 το σύστημα ( 1) 2 3

4 ( 1) 6

x y

x y

γίνεται:

( )4 2 30 0 9

4 2 6

x yx y

x y

άρα το

σύστημα είναι αδύνατο.

γ) Για λ=0 το σύστημα ( 1) 2 3

4 ( 1) 6

x y

x y

γίνεται:

(1) 2 (2)2 3 (1) 2 3 1 2 3 2 4 2

4 6(2) 9 9 1 1 1

x y x y y y y

x y x x x x

Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση ( , ) 1,2x y .

Page 8: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

6

www.askisopolis.gr

2_17703

Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις:

1 : 2 1x y

2 :  1 6x y , με παράμετρο R

α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ευθείες ε1 και ε2 να είναι παράλληλες.

(Μονάδες 8)

β) Να παραστήσετε γραφικά τις ε1 και ε2, για λ= 3.

(Μονάδες 8)

γ) Υπάρχει τιμή του R , ώστε οι ευθείες ε1 και ε2 να ταυτίζονται;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ α) 1 : 2 1 2 1x y y x

2 :  1 6 1 6x y y x

α τρόπος

Για να είναι οι ευθείες ε1 και ε2 παράλληλες θα πρέπει

να έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή 1 2 3 και

διαφορετικά σημεία τομής με τον άξονα y΄y (διαφορετικά β) το οποίο ισχύει

1 6

β τρόπος

Για να είναι οι ευθείες ε1 και ε2 παράλληλες θα πρέπει το σύστημα:

2 1

1 6

x y

x y

να

είναι αδύνατο :

2 1

0 0 2 1 0 3 0 31 1

D

και

όταν αντικαταστήσουμε το λ=3 να προκύψουν διαφορετικές εξισώσεις ευθειών

Για η εξίσωση της (ε2) γίνεται 2 6y x .

Επομένως η ζητούμενη τιμή είναι λ=3

Page 9: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

7

www.askisopolis.gr

β) Για 3 έχουμε: 1 : 2 1y x και 2 : 2 6y x

Σχηματίζουμε για την καθεμία ευθεία ξεχωριστά τον πίνακα τιμών της

Με βάση τους πίνακες αυτούς προκύπτουν

οι γραφικές παραστάσεις των δύο ευθειών.

γ) Για να ταυτίζονται οι δύο ευθείες πρέπει το σύστημα να έχει άπειρο πλήθος

λύσεων,δηλαδή :

0 3D και

όταν αντικαταστήσουμε το λ=3 να προκύψει η ίδια εξίσωση

Για η εξίσωση της (ε2) γίνεται 2 6y x .

Άρα δεν υπάρχει R ώστε οι ευθείες και να ταυτίζονται.

2_17709

Δίνονται οι ευθείες ε1 : 2x + y = 5 , ε2: -2x + 3y = −9 και ε3 : 3x + 2y = 7 .

α) i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ε1 και ε2.

ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ε1 και ε3. (Μονάδες 12)

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α), να δείξετε ότι το κοινό σημείο των ε2 και ε3

είναι σημείο της ε1 . (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ α)

Δίνεται το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών:

723

932

52

yx

yx

yx

i. Για τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε1 και ε2 πρέπει να λύσουμε το

σύστημα:

932

52

yx

yx προσθέτω κατά μέλη και έχω 44 y 1y άρα η

52 yx γίνεται 512 x 62 x 3x

Οπότε το σημείο τομής των ευθειών ε1 και ε2 είναι Α 1,3

ii. Για τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε1 και ε3 πρέπει να λύσουμε το

σύστημα:

723

52

yx

yx

7)25(23

25

xx

xy

74103

25

xx

xy

10743

25

xx

xy

0 1

y 1 3

0 1

-6 -4

Page 10: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

8

www.askisopolis.gr

3

25

x

xy

3

25

x

xy

3

325

x

y

3

1

x

y

Οπότε το σημείο τομής των ευθειών ε1 και ε3 είναι Α 1,3

β) Παρατηρούμε ότι οι ευθείες ε2 , ε3 και ε1 τέμνονται στο σημείο Α 1,3

άρα και οι ευθείες ε2 και ε3 τέμνονται στο Α 1,3 αφού οι συντεταγμένες του σημείου

Α επαληθεύουν τις εξισώσεις των ευθειών αυτών.

2_17717

Ένα θέατρο έχει 25 σειρές καθισμάτων χωρισμένες σε δύο διαζώματα. Η κάθε μια από τις

σειρές του κάτω διαζώματος έχει 14 καθίσματα και η κάθε μια από τις σειρές του πάνω

διαζώματος έχει 16 καθίσματα, ενώ η συνολική χωρητικότητα του θεάτρου είναι 374

καθίσματα.

α) Αν x ο αριθμός σειρών του κάτω και y o αριθμός σειρών του πάνω διαζώματος, να

εκφράσετε τα δεδομένα του προβλήματος με ένα σύστημα δύο εξισώσεων.

(Μονάδες 12)

β) Πόσες σειρές έχει το πάνω και πόσες το κάτω διάζωμα; (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ α)Έστω x οι σειρές του κάτω διαζώματος και y οι σειρές του πάνω διαζώματος. Επειδή το

σύνολο των σειρών είναι 25 θα έχουμε την εξίσωση 25 yx

Κάθε σειρά του κάτω διαζώματος έχει 14 καθίσματα και κάθε σειρά του πάνω διαζώματος

έχει 16 καθίσματα. Αφού το σύνολο των καθισμάτων είναι 374 θα έχουμε την εξίσωση:

3741614 yx . Άρα θα πρέπει να λύσουμε το σύστημα:

3741614

25

yx

yx

β) Πρέπει να λύσουμε το σύστημα:

3741614

25

yx

yx

374)25(1614

25

xx

xy

3741640014

25

xx

xy

262

25

x

xy

13

25

x

xy

13

1325

x

y

13

12

x

y

Άρα οι σειρές που έχει το πάνω διάζωμα είναι 12 και οι σειρές που έχει το κάτω διάζωμα

είναι 13.

Page 11: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

9

www.askisopolis.gr

2_17734

Δίνονται οι ευθείες: ε1: 2x + y = 6 και ε2: x - 2y = -3

α) Να προσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο Μ. (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, η ευθεία 3x + αy = α + 5 διέρχεται από το Μ.

(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ α)Για να προσδιορίσω το σημείο τομής των ευθειών αρκεί να λύσω το σύστημα των

εξισώσεων τους:

2 6 6 2 6 2 6 2

2 3 2(6 2 ) 3 12 4 3 4 12 3

x y y x y x y x

x y x x x x x x

9 18 126 2 6 2 6

6 2 5 5 59

5 9 9 9 95

5 5 5

y x y y yy x

x xx x x

Άρα το σημείο τομής των δυο ευθειών είναι Μ9 12

,5 5

β) Το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία ε : 3x + αy = α + 5 αφού η ευθεία διέρχεται από αυτό.

Άρα οι συντεταγμένες του σημείου θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.

( 5)9 12 2

3 5 27 12 5 25 7 25 5 7

aa a a a a

2.18637.

Δίνεται το σύστημα: x 2y 9

x y

με παραμέτρους α, β, γ .

α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική

λύση το ζεύγος (1, -4). (Μονάδες 13)

β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο και

να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας. (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ α) . Για να έχει μοναδική λύση το σύστημα την (1,-4) πρέπει 0D δηλαδή

1 2

0a

άρα 2 0 2 .

Για να έχει λύση το ζεύγος (1,-4) πρέπει οι συντεταγμένες του ζεύγους να επαληθεύουν το

σύστημα δηλαδή πρέπει:

1 2( 4) 9 1 8 9 9 9

1 ( 4) 4 4

.

Για α=-1 και β=3 και γ= -13 το σύστημα θα γίνεται:

Page 12: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

10

www.askisopolis.gr

x 2y 9

x 3y 13

προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε 4y θα είναι και

9)4(2 x δηλαδή 98 x .

Άρα x=1

Επομένως έχει μοναδική λύση την (x,y)=(1,4)

β)Για να είναι το σύστημα αδύνατο ή αόριστο πρέπει 0 2 0 2D .

Για α=1,β=-2 και γ=20 έχουμε το σύστημα 2 9

2 20

x y

x y

που είναι αδύνατο.

2_18638

Δίνεται το σύστημα: 2 3x y

ax y

με παραμέτρους α, β,γ

α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική

λύση το ζεύγος (-1, 5). (Μονάδες 13)

β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει άπειρες

λύσεις και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας. (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ α) Έχουμε το σύστημα το οποίο για να έχει μοναδική λύση πρέπει

2 1

0 0 2 0 2Da

.

Για να έχει λύση το ζεύγος (-1,5) πρέπει οι συντεταγμένες του ζεύγους να επαληθεύουν

το σύστημα δηλαδή πρέπει:

2 ( 1) 5 3 2 5 3 3 3

( 1) 5 5 5a a a

Για α=1 και για β=1 και γ=4 έχουμε το σύστημα :

(1) (2)2 3 (1) 1 1 1

4 (2) 4 1 4 5

x y x x x

x y x y y y

Page 13: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

11

www.askisopolis.gr

β) Για να αδύνατο ή να έχει άπειρες λύσεις πρέπει :

2 1

0 0 2 0 2Da

Για β=1 και α=2 έχουμε το σύστημα : 2 3

2

x y

x y

για γ=3 προκύπτει το σύστημα 2 3

2 32 3

x yx y

x y

το οποίο έχει άπειρες λύσεις.Άρα για α=2, β=1 και γ=3 το

σύστημα που προκύπτει έχει άπειρες λύσεις.

Η γραφική παράσταση του συστήματος

είναι δύο ευθείες που ταυτίζονται ( ε1: 2x+y=3)

2_20328

Δίνεται το σύστημα : 2

1

x y

x y

, με παράμετρο .

α) Να αποδείξετε ότι για τις ορίζουσες D , Dx ,Dy του συστήματος ισχύουν

( 1)D , 1xD και ( 1)yD (Μονάδες 15)

β) Αν είναι 0 και 1 , τότε να λύσετε το σύστημα. (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) 21

( 1)D

2 1

2 ( 1) 2 1 11

xD

2 22

( 1) 2 2 ( 1)1

yD

β) Για 0 και 1 η ορίζουσα 0D οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση :

1xD

xD

( 1)

1

,

( 1)yDy

D

( 1) 1

Page 14: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

12

www.askisopolis.gr

ΘΕΜΑ 4ο

4_17834

Για τις ηλικίες των μελών μιας τριμελούς οικογένειας ισχύουν τα παρακάτω:

Η ηλικία της μητέρας είναι τριπλάσια από την ηλικία του παιδιού. Ο λόγος της ηλικίας το

πατέρα προς την ηλικία του παιδιού ισούται με 11

3. Επιπλέον το άθροισμα των ηλικιών και

των τριών ισούται με 115 χρόνια.

α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους.

(Μονάδες 13)

β) Να βρείτε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ α) Έστω x(>0) η ηλικία μητέρας , y(>0) η ηλικία του παιδιού και z (>0) : η ηλικία του

πατέρα.

Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε :

3x y , 11

3 113

zz y

y και 115x y z

Άρα έχουμε το σύστημα

3

( ) : 11 3

115

x y

y z

x y z

β)

3 (1)3

11( ) : 11 3 (2)

3115

115 (3)

x yx y

y z z y

x y zx y z

(1),(2) 11

(3) 3 115 9 3 11 345 23 345 153

y y y y y y y y

(1) 3 15 45x 11

(2)3

z 5

15 55

Άρα η μητέρα είναι 45 χρονών, το παιδί 15 και ο πατέρας 55.

4_17835

Δίνονται οι ευθείες 1 και

2 με εξισώσεις ( 2) y 3x , ( 2) 5 3x y αντίστοιχα

και .

α) Για τις διάφορες τιμές του , να βρείτε τη σχετική θέση των δύο ευθειών.

(Μονάδες 13)

β) Στην περίπτωση που οι ευθείες 1 και 2 τέμνονται, να βρείτε τις συντεταγμένες του

σημείου τομής των δύο ευθειών. (Μονάδες 7)

γ) Να βρείτε την τιμή του για την οποία το σημείο ανήκει στην ευθεία με

εξίσωση: 2 3x y . (Μονάδες 5)

Page 15: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

13

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ

α) Θεωρούμε το σύστημα των δύο εξισώσεων των δύο ευθειών:

x λ 2 y 3

λ 2 x 5y 3

Η ορίζουσα του συστήματος, είναι:

2 2 21 λ 2

D 5 λ 2 λ 2 5 λ 4 5 λ 4 9 λ 3 λ 3 λλ 2 5

,

Αν D 0 3 λ 3 λ 0 3 λ 0 λ 3 και 3 λ 0 λ 3 , το

σύστημα έχει μοναδική λύση οπότε οι δύο ευθείες τέμνονται.

Αν D 0 λ 3 ή λ 3 , έχουμε:

Για λ 3 το σύστημα γίνεται: x 5y 3

x 5y 3x 5y 3

.

Στη περίπτωση αυτή οι δύο ευθείες ταυτίζονται με την x 5y 3 .

Για λ 3 το σύστημα γίνεται:

x y 3x y 3

35x 5y 3 x y

5

, οπότε το σύστημα είναι

αδύνατο και οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

β) Η μοναδική λύση του συστήματος είναι:

x3 3 λD

xD

3 λ

3

3 λ3 λ

και

y3 3 λD

yD

3 λ

3

3 λ3 λ

, δηλαδή το σημείο τομής τους είναι το

3 3A ,

3 λ 3 λ

.

γ) Όταν το Α ανήκει στην ευθεία με εξίσωση x 2y 3 , την επαληθεύει, δηλαδή:

3 λ3 3

2 3 3 6 3 3 λ 93 λ 3 λ

9 3λ 3λ 0 λ 0

4_17839

Δίνεται το σύστημα: (α 1)x 3y 3

x (α 1)y 3

, με παράμετρο .

α) Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα έχει μοναδική λύση την0 0( , )x y , τότε

0 0x y .

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το σύστημα:

i. έχει άπειρες σε πλήθος λύσεις και να δώσετε τη μορφή τους.

(Μονάδες 6)

ii. δεν έχει λύση. (Μονάδες 4)

γ) Να εξετάσετε τις σχετικές θέσεις των δύο ευθειών που προκύπτουν από τις εξισώσεις

του παραπάνω συστήματος για α = 3 , α = 2 , α = -2. (Μονάδες 5)

Page 16: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

14

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ α) Έχουμε ότι :

2 21 3

D 1 3 41 1

,

x

3 3D 3 3 9 3 6 3( 2)

3 1

y

1 3D 3 3 3 3 6 3( 2)

1 3

Επειδή το σύστημα έχει μοναδική λύση τότε 2D 0 4 0 2 και

0x

o

D 3( 2) 3x

D ( 2) ( 2) 2

,

y

o

D 3( 2) 3y

D ( 2) ( 2) 2

.Άρα :

0 0x y

β) Για να είναι αδύνατο ή να έχει έχει άπειρες λύσεις το σύστημα πρέπει :

2

0 4 0 2D a a

i) Για α=2 έχουμε το σύστημα 3 3

3 3

x y

x y

x 3y 3 x 3 3y

Άρα το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων τα ζεύγη της μορφής (3 3 ,3), R

ii) Για α=-2 έχουμε το σύστημα (: 3)3 3 3 1

3 3

x y x y

x y x y

,το οποίο είναι αδύνατο

γ)

Για α=3 : 5 0D οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση και οι ευθείες τέμνονται

στο σημείο Μ με συντεταγμένες xo=yo=3

5

Για α=2 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και οι ευθείες ταυτίζονται

Για α=-2 το σύστημα είναι αδύνατο και οι ευθείες είναι παράλληλες

4_20336.

Δίνεται το σύστημα: 2x 4y 1 λ

, λx 6y λ 2

.

α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ.

(Μονάδες 7)

β) Να βρείτε τα x και y συναρτήσει του λ. (Μονάδες 8)

γ) Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, για την οποία οι ευθείες: 2x 4y 1 λ ,

x 6y λ 2 και 16x 16y 19 διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Η ορίζουσα του συστήματος είναι: 2 4

D 2 6 1 4 12 4 16 01 6

, άρα το

σύστημα έχει λύση για κάθε λ .

Page 17: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

15

www.askisopolis.gr

β) Είναι x

1 λ 4D 6 1 λ 4 λ 2 6 6λ 4λ 8 14 2λ

λ 2 6

,

y

2 1 λD 2 λ 2 1 λ 2λ 4 1 λ 3λ 3

1 λ 2

.

Η μοναδική λύση του συστήματος είναι xD 14 2λx

D 16

και

yD 3λ 3y

D 16

.

Λύση του συστήματος είναι το ζεύγος 0 0

14 2λ 3λ 3x , y ,

16 16

.

γ) Για να διέρχονται και οι τρεις ευθείες από το ίδιο σημείο αρκεί η ευθεία 16x 16y 19 να

διέρχεται από το σημείο τομής των δύο άλλων ευθειών, άρα αρκεί το σημείο

14 2λ 3λ 3

,16 16

, να επαληθεύει την 16x 16y 19 . Είναι:

1614 2λ

16

16

3λ 3

16

19 14 2λ 3λ 3 19 λ 17 19 λ 2

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ 2ο

2_17659

α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα: 2

1

1

y x

x y

(Μονάδες 15)

β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος που βρήκατε στο ερώτημα α).

(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α)

22

2

11

1 1

y xy x

x y x x

1

21

(1 ) 0

y x

x x

2 21 21 1

0 10 1 0

y yy x y xή

x xx x

Επομένως οι λύσεις του συστήματος είναι οι (x,y)=(1,2) ή (x,y)=(0,1)

β) Οι λύσεις του συστήματος είναι τα κοινά σημεία των γραφικών

παραστάσεων της παραβολής 21y x με την ευθεία 1x y .

Page 18: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

16

www.askisopolis.gr

ΘΕΜΑ 4ο

4_17850

Ο Κώστας έχει τρία παιδιά. Δύο δίδυμα κορίτσια και ένα αγόρι. Στην ερώτηση πόσων

χρονών είναι τα παιδιά του απάντησε ως εξής.

1. Το άθροισμα των ηλικιών και των τριών παιδιών είναι 14

2. Το γινόμενο της ηλικίας της κόρης μου επί την ηλικία του γιου μου είναι 24

3. Το άθροισμα των ηλικιών των κοριτσιών είναι μικρότερο από την ηλικία του αγοριού.

α) Να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν τα στοιχεία 1. και 2. που έδωσε ο Κώστας.

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις ηλικίες των παιδιών του Κώστα.

(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ α) Έστω x (>0) χρονών είναι η ηλικία κάθε κοριτσιού και y (>0) του αγοριού

Τότε από 1 : 14x x y και από 2 : 24x y

β) Λύνουμε το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων

2 14

24

x y

x y

14 2

14 2 24

y x

x x

2

14 2

14 2 24

y x

x x

2

14 2

2 14 24 0

y x

x x

Η εξίσωση 22 14 24 0x x έχει διακρίνουσα 196 192 4 και ρίζες

1,2

14 2

4x

1 3x και

2 4x

Επομένως: για 3x έχουμε 14 2 3 8y y και για 4x έχουμε

14 2 4 6y y .

Όμως από 3. πρέπει 2x y που ισχύει όταν 3x και 8y

Επομένως τα κορίτσια είναι 3 χρονών και το αγόρι 8 χρονών.

4_20337.

Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με περίμετρο ίση με 24cm έχει την ακόλουθη ιδιότητα: αν

αυξήσουμε το μήκος του κατά 3cm και ελαττώσουμε το πλάτος του κατά 2cm, θα προκύψει

ένα ορθογώνιο με εμβαδόν διπλάσιο του εμβαδού του αρχικού ορθογωνίου.

α) Να εκφράσετε την παραπάνω κατάσταση με ένα σύστημα δυο εξισώσεων με δυο

αγνώστους. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου. (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ α) Έστω x cm το μήκος και y cm το πλάτος του ορθογωνίου με x, y 0 . Επειδή το

ορθογώνιο έχει περίμετρο 24 cm, ισχύει ότι: :2

2x 2y 24 x y 12 (1).

Το εμβαδόν του ορθογωνίου αυτού είναι 2

1 xycm

Το νέο ορθογώνιο έχει μήκος x 3 cm , πλάτος y 2 cm , περίμετρο

2 x 3 2 y 2 2x 6 2y 4 2x 2y 2 και εμβαδό 2E x 3 y 2 .

Επειδή το νέο ορθογώνιο έχει εμβαδό διπλάσιο του εμβαδού του αρχικού ορθογωνίου,

Page 19: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

17

www.askisopolis.gr

ισχύει ότι: 2 1E 2E x 3 y 2 2xy xy 2x 3y 6 2xy

2xy xy 2x 3y 6 0 xy 2x 3y 6 0 (2).

Οι εξισώσεις (1),(2) δημιουργούν το σύστημα:x y 12

xy 2x 3y 6 0

που εκφράζει τα

δεδομένα του προβλήματος.

β)

y 12 xx y 12

x 12 x 2x 3 12 x 6 0xy 2x 3y 6 0

2 2 2

1y 12 x y 12 x y 12 x

212x x 2x 36 3x 6 0 x 17x 30 0 x 17x 30 0

Η (2) είναι εξίσωση 2ου βαθμού με 2 2

17 4 1 30 289 120 169 13 και ρίζες

1,2

17 13x x 15 ή x 2

2

.

Αν x 15 τότε από την (1) έχουμε y 12 15 3 0 που είναι αδύνατο και

αν x 2 τότε από την (1) έχουμε y 12 2 10 .

Άρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 2 cm και 10 cm.

Page 20: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

18

www.askisopolis.gr

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΘΕΜΑ 2ο

2_16962

Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης :f διέρχεται από τα

σημεία (5,2) και (4,9) .

α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f αιτιολογώντας την απάντησή σας.

(Μονάδες 12)

β) Να λύσετε την ανίσωση (5 3x) 2f . (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ α) Επειδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α και Β ισχύει ότι:

f 5 2 και f 4 9 .

Είναι 5 4 και f 5 f 4 και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη, είναι γνησίως

φθίνουσα.

β) f

f 5 3x 2 f 5 3x f 5 5 2

3x 5 3x 0 x 0

2_17688

Δίνεται η συνάρτηση 2

2( ) ,

1

xf x x

x

α) Να δείξετε ότι ( ) 1f x

(Μονάδες 8)

β) Είναι το 1 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

(Μονάδες 8)

γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια η περιττή

(Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

α)

2 1 02 2 2

2

2( ) 1 1 2 1 0 2 1 0 ( 1)

1

xxf x x x x x x

x

που ισχύει για κάθε

x

β) Nαι διότι παρατηρούμε ότι για 1x έχουμε (1) 1f . Aρα από το ερώτημα α έχουμε

( ) 1 ( ) (1)f x f x f για κάθε x επομένως το (1) 1f είναι η μέγιστη τιμή της

συνάρτησης.

γ) Για κάθε ,x R x R .Επίσης για κάθε x ισχύει

2 2 2

2( ) 2 2( ) ( )

( ) 1 1 1

x x xf x f x

x x x

. Άρα η συνάρτηση είναι περιττή.

Page 21: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

19

www.askisopolis.gr

2_17698

Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση Cf μιας

συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το ℝ . Nα απαντήσετε τα

παρακάτω ερωτήματα:

α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους

αριθμούς 1 2( ), ( )f x f x και

3( )f x

(Μονάδες 10)

β) Είναι η συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο ℝ ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

(Μονάδες 10)

γ) Παρουσιάζει η f μέγιστο στο σημείο x2; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

(Μονάδες 5)

Λύση α) Από τη γραφική παράσταση, αν προβάλλουμε στον y΄y

άξονα τα σημεία με τετμημένες 1 2 3,  ,x x x συμπεραίνουμε

ότι 1 3 2f x f x f x

β) Η συνάρτηση f δεν είναι ούτε γνησίως αύξουσα

ούτε γνησίως φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της,

άρα δεν είναι γνησίως μονότονη.

Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι είναι

γνησίως μονότονη κατά διαστήματα.

Πιο αναλυτικά:

Αν ήταν γνησίως αύξουσα, τότε για 1 2 3x x x θα ίσχυε 1 2 3f x f x f x ενώ

αν ήταν γνησίως φθίνουσα, τότε για 1 2 3x x x θα ίσχυε 1 2 3f x f x f x

Όμως από το ερώτημα έχουμε ότι 1 3 2f x f x f x

Άρα η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως μονότονη.

γ) Η γραφική παράσταση δεν παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο σημείο 2x γιατί δεν ισχύει

ότι 2f x f x , για κάθε x . (όπως φαίνεται από το σχήμα 4 2( ) ( )f x f x )

Page 22: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

20

www.askisopolis.gr

2_17732

Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση f: , η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται

από τα σημεία Α(2,3) και Β (4,5) .

α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f . (Μονάδες 13)

β) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο -2, να δείξετε ότι

(0) 0f . (Μονάδες 12)

Λύση α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το Α(2,3) αυτό σημαίνει ότι

3)2( f

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το Β(4,5) αυτό σημαίνει ότι

5)4( f .

Παρατηρούμε ότι για 2<4, ισχύει )4()2( ff και αφού η συνάρτηση είναι γνησίως

μονότονη, η συνάρτηση θα είναι γνησίως αύξουσα.

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα x΄x στο -2 δηλαδή ισχύει ότι

0)2( f .

Επειδή -2<0 και αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα θα είναι )0()2( ff δηλαδή

)0(0 f

ΘΕΜΑ 4ο

ΘΕΜΑ 4 _17833

Δίνεται η συνάρτηση (x) 8 8f x x .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . (Μονάδες 5)

β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή. (Μονάδες 8)

γ) Αν η συνάρτησης f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, να επιλέξετε ποια

από τις παρακάτω τρείς προτεινόμενες, είναι η γραφική της παράσταση και στη συνέχεια

να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. (Μονάδες 7)

δ) Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις g(x) = f (x) − 3 και

h(x) = f (x + 3) δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές .

(Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ:

α)Πρέπει 8 0 8x x και 8 0 8x x . Άρα : 8,8fA

Page 23: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

21

www.askisopolis.gr

β) Για κάθε ,f fx x .Επίσης και για κάθε fx έχουμε :

( ) 8 ( ) 8 ( ) 8 8 8 8 ) ( ).f x x x x x x x f x

Άρα η f είναι περιττή.

γ) Η γραφική παράσταση που αντιστοιχεί η f είναι η ΙΙΙ.

8 8 ( 8) 8 ( 8) 16 0 4f και 8 8 8 8 8 0 16 4f

f(-8)=4 και f(8)=-4.

Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε το f(-8) είναι ολικό μέγιστο και το f(8) ολικό

ελάχιστο.

δ) αλγεβρικά:

( ) ( ) 3 g(x) 8 8 3g x f x x x με [ 8,8]f

Για κάθε gx A , gx A

Για κάθε gx A έχουμε ( ) 8 8 3g x x x

Επομένως ( ) ( ),g(x)g x g x και η g δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή

( ) ( 3) ( ) 8 ( 3) 8 ( 3) ( ) 5 11h x f x h x x x h x x x

[ 11,5]h .

Το 11 hA ,11 hA

Άρα η h δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή

γραφικά:

Οι συναρτήσεις g και h δεν έχουν άξονα συμμετρίας ούτε τον y΄y ούτε την αρχή των

αξόνων, άρα δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές.

4_20332

Δίνονται οι συναρτήσεις 2( )x x , x και 2

( ) 2 1f x x x , x

α) Να αποδείξετε ότι 2( ) ( 1) 2f x x , x

για κάθε x και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της

γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ να

παραστήσετε γραφικά τη

συνάρτηση f . (Μονάδες 10)

β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της f να βρείτε:

i. Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη. (Μονάδες 5)

ii. Το ολικό ακρότατο της f καθώς και τη θέση του. (Μονάδες 5)

Page 24: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

22

www.askisopolis.gr

iii. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) , 2f x . Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας. (Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ α) 2 2 2 2

( ) 2 1 (x 2 ) 1 (x 2 1) 1 1 (x 1) 2f x x x x x

H γραφική παράσταση της f προκύπτει από τη

γραφική παράσταση της φ με δύο μετατοπίσεις

μία οριζόντια κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και μία

κατακόρυφη κατά 2 μονάδες προς τα πάνω

β) i. Είναι γνησίως αύξουσα στο ( ,1] και

γνησίως φθίνουσα στο [1, )

ii. Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 1 (θέση)

το f(1)=2

iii. Οποιαδήποτε ευθεία της μορφής y=k ,k<2

τέμνει την γραφική παράσταση της f σε 2 σημεία άρα έχει δύο ρίζες.

ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

ΘΕΜΑ 2ο

2_16965

Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 4 5f x x x , x R

α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή 2( ) ( 2) 1f x x .

(Μονάδες 12)

β) Στο διπλανό σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί,

να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f, μετατοπίζοντας

κατάλληλα την 2y x

(Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ:

α) 22 2

f x x 4x 5 x 4x 4 1 x 2 1

β) Αρχικά μετατοπίζουμε την 2y x 2 θέσεις δεξιά

και στη συνέχεια 1 θέση πάνω.

Page 25: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

23

www.askisopolis.gr

2_18632

Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι παραβολές Cf και Cg

που είναι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

f και g αντίστοιχα με πεδίο ορισμού το ℝ. Η γραφική

παράσταση της g προκύπτει από τη γραφική

παράσταση της f με οριζόντια και

κατακόρυφη μετατόπιση.

Παρατηρώντας το σχήμα:

α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του

ακρότατου της f και την τιμή του.

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε μέσω ποιων μετατοπίσεων της Cf προκύπτει η Cg.

(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ: α) Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( , 2] και γνησίως

αύξουσα στο [ 2, ) και η f στο 0 2x παρουσιάζει ελάχιστο με τιμή

min ( 2) 3f f

β) γραφική παράσταση της g προκύπτει με κατακόρυφη μετατόπιση κατά 4 μονάδες προς τα

κάτω και οριζόντια μετατόπιση 4 μονάδες προς τα δεξιά δηλ ( ) ( 4) 4g x f x

2_18634

Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 2 12 19f x x x

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f γράφεται στη μορφή:

2( ) 2( 3) 1f x x 1)3(2)(

2 xxf

(Μονάδες 10)

β) Δίπλα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης

2( ) 2g x x .Στο ίδιο σύστημα αξόνων, να σχεδιάσετε

τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να

εξηγήσετε πώς αυτή προκύπτει μετατοπίζοντας

κατάλληλα τη γραφική παράσταση της g.

(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ:

α) 2 2 219 19

( ) 2 12 19 2( 6 ) 2( 6 9 9 )2 2

f x x x x x x x 2 18 19

2 32 2

x

2 21

2 3 2( 3) 12

x x

Άρα 2( ) 2( 3) 1f x x

Page 26: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

24

www.askisopolis.gr

β) Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από τη

μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g

κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά

(οριζόντια μετατόπιση) και κατά 1 μονάδα

προς τα πάνω ( κατακόρυφη μετατόπιση)

2_19914

Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 5, x

α) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x =0 . (Μονάδες 8)

β) Είναι η f άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

γ) Με ποια μετατόπιση της 2g x x προκύπτει η Cf ; (Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ: α) Είναι

2 2x 0 x 5 5 (1), όμως f 0 5 , άρα η (1) γίνεται: f x f 0 , οπότε

η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x = 0 .

β) Επειδή το πεδίο ορισμού της f είναι το , ισχύει ότι: για κάθε x και x .

Είναι 2 2

f x x 5 x 5 f x άρα η f είναι άρτια.

γ) Η fC προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά 5

θέσεις προς τα κάτω.

2_20329

Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις

των συναρτήσεων f και g, που ορίζονται στους

πραγματικούς αριθμούς. Η γραφική παράσταση της g

προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με οριζόντια

και κατακόρυφη μετατόπιση. Από τις γραφικές

παραστάσεις να βρείτε:

α) Τα διαστήματα μονοτονίας της f, το είδος του

ακρότατου της f , τη θέση και την τιμή του.

(Μονάδες 12)

β) Ποιες μετατοπίσεις της f δίνουν τη g. Να προσδιορίσετε στη συνέχεια τον τύπο της

συνάρτησης g, αν ( ) | 2 |f x x . (Μονάδες 13)

Page 27: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

25

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ α) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( , 2] και γνησίως αύξουσα στο [ 2, ) . Παρουσιάζει ελάχιστο στο -2 το ( 2) 0f β) Η συνάρτηση g προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση κατά 5 μονάδες δεξιά και 2 μονάδες κάτω αντίστοιχα. Επομένως ο τύπος της συνάρτησης g είναι : ( ) ( 5) 2 | 2 5 | 2 | 3 | 2g x f x x x

ΘΕΜΑ 4ο

4_17842

Δίνεται η συνάρτηση: 21

( ) ( ) ,2

f x x c d x

με c, d θετικές σταθερές, η γραφική παράσταση

της οποίας διέρχεται από τα σημεία A(0, 16) και

B(4, 0).

α) Με βάση τα δεδομένα, να κατασκευάσετε ένα

σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους

τους c, d και να υπολογίσετε την τιμή τους.

(Μονάδες 10)

β) Θεωρώντας γνωστό ότι c = 6 και d = 2,

i. να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f με τους

άξονες.

(Μονάδες 3)

ii. να μεταφέρετε στην κόλα σας το σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να

σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πώς αυτή

σχετίζεται με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 21

( )2

g x x

(Μονάδες 6)

iii. με βάση την παραπάνω γραφική παράσταση, να βρείτε το ακρότατο της συνάρτησης

f, τα διαστήματα στα οποία η f είναι μονότονη, καθώς και το είδος της μονοτονίας της

σε καθένα από αυτά τα διαστήματα

(Μονάδες 6)

Page 28: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

26

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ α) Aφού η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α και Β θα

έχουμε ότι

(0) 16

(4) 0

f

f

. Aρα δημιουργούμε το σύστημα

2

2

116 (1)

2

14 0 (2)

2

c d

c d

, όπου με αφαίρεση

κατά μέλη των εξισώσεων (1) και (2) παίρνουμε την εξίσωση

2 22 2 2 21 1

4 16 4 32 16 8 32 8 48 62 2

c c c c c c c c c .

Aντικαθιστώντας στην σχέση (2) παίρνουμε 21

4 6 0 22

d d

β) Για 6, 2c d η συνάρτηση παίρνει τη μορφή 21

( ) ( 6) 2,2

f x x x

i) Το σημείο τομής με τον άξονα y y είναι το A(0, 16)

Για το σημείο τομής με τον άξονα x x λύνουμε την εξίσωση

22

6 2 81( ) 0 ( 6) 2 0 6 4 6 2

6 2 42

x xf x x x x

x x

.

Άρα βρήκαμε δυο σημεία του x x τα B(4, 0) , Γ(8,0)

ii) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f

παρατηρούμε ότι σε σχέση με τη συνάρτηση

g είναι μετατοπισμένη κατά 6 μονάδες δεξιά

στον άξονα x x και κατά 2 μονάδες προς τα

κάτω στον άξονα y y .

iii) Από το γράφημα του ερωτήματος ii) παρατηρούμε ότι στο

διάστημα ,6 η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

ενώ στο διάστημα 6, η συνάρτηση f είναι γνησίως

αύξουσα.

Το σημείο Δ είναι το ακρότατο της συνάρτησης στη θέση

6x με τιμή (6) 2f το όποιο είναι το

ολικό ελάχιστο της f.

Page 29: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

27

www.askisopolis.gr

4_20334

Στο σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας παραβολής 2

( )f x ax x και της ευθείας ( ) 2g x x

α) Δεδομένου ότι η παραβολή διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ, να βρείτε τα α, β, γ.

(Μονάδες 8)

β) Αν 1

2a ,β=0 και γ=-2 ,να βρείτε αλγεβρικά τις συντεταγμένες των κοινών σημείων

ευθείας και παραβολής . (Μονάδες 8)

γ) Αν μετατοπίσουμε την παραβολή κατά 4,5 μονάδες προς τα πάνω, να δείξετε ότι η ευθεία

και η παραβολή θα έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. (Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ α) Αφού η παραβολή διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ οι συντεταγμένες των σημείων

ικανοποιούν την εξίσωση της παραβολής.

Οπότε :

για το σημείο Α έχουμε : 0 4 2 4 2 0 (1)

για το σημείο Β έχουμε : 0 4 2 4 2 0 (2)

για το σημείο Γ έχουμε : 2 2 (3)

(1) (2) 4 0 0 (4)

(3),(4) 2 1

(1) 4 2 0 4 24 2

(5)

β) Για τις τιμές των α,β,γ που δίνονται η παραβολή έχει τύπο 21

( ) 22

f x x

Για να βρούμε τα κοινά σημεία της ευθείας και της παραβολής λύνουμε την εξίσωση:

( 2)

2 2 212 2 4 2 4 2 8 0 ( 2) ( 4)

2x x x x x x x ή x

21 1(2) 2 2

2 2f

2

4 2 2 2 0

21 1( 4) ( 4) 2

2 2f

8

16 2 8 2 6

Άρα τα κοινά σημεία τους έχουν συντεταγμένες (2,0) και (-4,6)

γ) Αν μετατοπίσουμε την παραβολή κατά 4,5 μονάδες προς τα πάνω ο τύπος της θα γίνει

21

( ) 2,52

f x x οπότε αν λύσουμε την παραπάνω εξίσωση θα έχουμε:

Page 30: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

28

www.askisopolis.gr

( 2)

2 2 212,5 2 5 2 4 2 1 0

2x x x x x x

2(x 1) 0 1 0 1x x

21 1 5 6( 1) ( 1) 2,5 3

2 2 2 2f

Άρα θα έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το (-1,3)

Page 31: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

29

www.askisopolis.gr

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΘΕΜΑ 2ο

2_17663

Αν 0 x2

και ( ) (5 4)2 1 0x x , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι: 4

x5

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x.

(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ α) Η εξίσωση ( 2συνx + 1) ⋅ ( 5συνx − 4 ) = 0 2συνx + 1=0 ή 5συνx – 4=0

1

2x

ή

4

5x

. Επειδή 0 x

2

: συνx>0 .

Άρα τελικά 4

5x

β) Γνωρίζουμε ότι :

2

2 2 2 2 2 2 24 16 9x x 1 x 1 x x 1 x 1 x

5 25 25

Αλλά 02

x

τότε ημx>0.Επομένως 9 3

25 5x

Έχουμε

3

354 4

5

xx

x

και

4

453 3

5

xx

x

ΘΕΜΑ 4ο

4_17844

α) Να λύσετε το σύστημα: 2 2

1

1

x y

x y

(Μονάδες 12)

Page 32: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

30

www.askisopolis.gr

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) και του τριγωνομετρικού κύκλου, να βρείτε όλες τις

γωνίες ω με 0 ≤ ω ≤ 2π, που ικανοποιούν τη σχέση συνω + ημω = -1 και να τις

απεικονίσετε πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο.

(Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ α) Λύνουμε την ως προς και αντικαθιστούμε στη .

Έχουμε 1 1x y x y

Επομένως:

3

2 22 2 2 2 2 21 1 1 1 1 2 1 1x y y y y y y y y

22 2 0 2 1 0 0     1y y y y y ή y

Από την 3 για 0y έχουμε 1x και για 1y έχουμε 0x

Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις, τις 1,0 και 0, 1

β) Η δοσμένη σχέση 1 , μαζί με τη σχέση 2 21 σχηματίζουν

το σύστημα: 2 2

1

1

με 0 2

Αν θέσουμε x και y προκύπτει το σύστημα: 2 2

1

1

x y

x y

με

1 1

1 1

x

y

που με τη βοήθεια του ερωτήματος προκύπτει ότι:1

0

x

y

ή

0

1

x

y

Αντικαθιστώντας έχουμε:0 21

0

ή

0 20 3

1 2

Στον διπλανό τριγωνομετρικό κύκλο απεικονίζονται οι γωνίες

ω που είναι λύσεις του παραπάνω συστήματος.

Page 33: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

31

www.askisopolis.gr

ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ

ΘΕΜΑ 2ο

2_17699

Δίνεται 3

5 , όπου φ η οξεία γωνία που

σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας (ε)

του διπλανού σχήματος.

α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ.

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών θ και ω του σχήματος.

(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ α) Από την ταυτότητα προκύπτει ότι

Αντικαθιστούμε το ημφ με 3

5 και έχουμε

2

2 3 9 25 9 16  1 1

5 25 25 25

Επειδή φ οξεία γωνία είναι , οπότε έχουμε 16 4

25 5

β) Από το σχήμα προκύπτει ότι και

Άρα : 3

5

4

5

3

5

4

5

Page 34: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

32

www.askisopolis.gr

ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 2ο

2_17656

Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) 2 ,2

f x x x .

α) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η περίοδος

της f ; (Μονάδες 9)

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου.

(Μονάδες 10)

γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μπορεί να πάρει την τιμή 1. Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) 1 1 1

1 2 1 22 2 2

x x αρα ymax=1

2 και ymin

=1

2 .Η περίοδος είναι

2 2

2

β)Έχουμε τον πίνακα

x

0 4

2

3

4

2x

0 2

3

2

2

συν2x 1 0 -1 0 1

12

2x

1

2

0 1

2

0 1

2

γ) Αν f(x)=1 τότε 1

22

x συν2x=2 που είναι αδύνατο γιατί 1 2x 1

Page 35: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

33

www.askisopolis.gr

2_17704

Δίνεται η συνάρτηση x,συν2x 3)(xf

α) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. (Μονάδες 12)

β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και να παραστήσετε γραφικά την f σε διάστημα

μιας περιόδου. (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ α)Έχουμε τη συνάρτηση x,συν2x 3)(xf

Για την περίοδο έχουμε ω

π2T με ω=2 άρα είναι

2

2

Επίσης έχουμε ότι 1συν2x1 (πολ/ζω με -3)

1-3συν2x3)1(3

3 3συν2x -3

3 3συν2x 3 3 ( ) 3 (0) ( )2

f x f f x f

Οπότε η μέγιστη τιμή της f είναι το 3 ( 3max f ) και ελάχιστη τιμή της f είναι το

-3( 3min f )

x 0 π

4

π

2

4

π

2x

συν2x

( ) 3συν2xf x

Page 36: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

34

www.askisopolis.gr

β)

x 0 π

4

π

2

4 π

2x 0 2

π π

2

3π 2π

συν2x 1 0 -1 0 1

( ) 3συν2xf x -3 0 3 0 -3

2_17725

Δίνεται η συνάρτηση xxxf ),32

πσυν(3x)-ημ(π)(

α) Να δείξετε ότι ημ3x2)( xf (Μονάδες 10)

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f . (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α)Έχουμε ότι )32

πσυν(3x)-ημ(π)( xxf .

Xρησιμοποιώντας παραπληρωματικά και συμπληρωματικά τόξα έχουμε

ημ3xημ3x)( xf δηλαδή θα είναι ημ3x2)( xf

β) Θα πρέπει να υπολογίσουμε την περίοδο ω

π2T με ω=3 άρα

3

π2T

x 0 6

π

3

π

6

3

π2

3x 0 2

π

π 2

ημ3x 0 1 0 -1 0

( ) 2ημ3xf x 0 2 0 -2 0

Page 37: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

35

www.askisopolis.gr

2_19913

Έστω η συνάρτηση 2

( )f x x x , x .

α) Να αποδείξετε ότι : ( ) 1 2f x x , για κάθε x . (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της f .

(Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

α) 2 2 2

( ) 2 1 2 ( ) 1 2f x x x x x x x x x f x x

β) Η περίοδος της συνάρτησης είναι : 2 2

2

.

1 2 1 0 1 2 2 0 ( ) 2 ( )4 6

x x f x f f x f

.

Επομένως έχει ελάχιστη τιμή 0 και μέγιστη τιμή 2.

ΘΕΜΑ 4ο

4.20331.

Η θερμοκρασία μιας περιοχής σε βαθμούς Κελσίου (οC) κατά τη διάρκεια ενός

εικοσιτετράωρου δίνεται κατά προσέγγιση από τη συνάρτηση: πt

f t 8συν 412

με

0 t 24 (t ο χρόνος σε ώρες).

α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη θερμοκρασία κατά τη διάρκεια του

εικοσιτετράωρου. (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε τις χρονικές στιγμές που η θερμοκρασία είναι ίση με 0οC. (Μονάδες 6)

γ) Να παραστήσετε γραφικά την f για t 0,24 . (Μονάδες 7)

δ) Να βρείτε, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, πότε η θερμοκρασία είναι πάνω από

0οC. (Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Είναι πt πt πt πt

1 συν 1 8 8συν 8 8 8συν 8 4 8συν 1212 12 12 12

4 f t 12 f (0) f t f (π) .

Η ελάχιστη θερμοκρασία είναι minf 4 όταν

πtσυν 1 t 0 ή t 24

12 και η μέγιστη

είναι maxf 12 όταν

πtσυν 1 t 12

12 .

β) πt πt πt 4 1 πt π

f t 0 8συν 4 0 8συν 4 συν συν συν12 12 12 8 2 12 3

πt π

2κπ πt 24κπ 4π t 24κ 4, κ12 3

Page 38: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

36

www.askisopolis.gr

Είναι 4 20 1 5

0 t 24 0 24κ 4 24 4 24κ 20 κ κ24 24 6 6

.

Επειδή κ , είναι κ 0 οπότε t 24 0 4 4 .

Ακόμη 4 28 1 7

0 t 24 0 24κ 4 24 4 24κ 28 κ κ24 24 6 6

.

Επειδή κ , είναι κ 1 οπότε t 24 1 4 20 .

γ) Αρχικά θα σχεδιάσουμε την

πt

y 8συν12

. Έχει μέγιστο το 8,

ελάχιστο το -8 και περίοδο 2π

T 24π

12

.

Με βάση τη περίοδο κατασκευάζουμε

πίνακα τιμών και έχουμε:

Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της πt

y 8συν12

κατά 4 θέσεις προς τα πάνω.

δ) Για να είναι η θερμοκρασία πάνω από 0οC πρέπει η γραφική παράσταση της f να βρίσκεται

πάνω από τον άξονα x΄x. Αυτό συμβαίνει όταν t 4,20 .

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 2ο

2_16968

α) Είναι η τιμή 4

x

λύση της εξίσωσης 3 4 3 0x ;

Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας . (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

( ) 4f x x με την ευθεία y=-1. (Μονάδες 15)

x 0 6 12 18 24

y - 8 0 8 0 - 8

Page 39: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

37

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ

α) Για να είναι η τιμή π

x4

λύση της εξίσωσης 3συν4x 3 0 πρέπει να την επαληθεύει,

δηλαδή: 3συν 4π

4 3 0 3συνπ 3 0 3 1 3 0 3 3 0

που ισχύει

β) Οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y 1

είναι οι λύσεις της εξίσωσης f x 1 . Είναι:

π π

f x 1 συν4x 1 συν4x συνπ 4x 2κπ π x κ , κ2 4

2_17652

Δίνεται γωνία που ικανοποιεί τη σχέση: 2

( ) 1

α) Να αποδείξετε ότι είτε 0 είτε 0 . (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας . (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) 2 2ημ ω συν ω 1

2 2 2ημω συνω 1 ημ ω 2ημω συνω συν ω 1

1 2ημω συνω 1

2ημω συνω 0 ημω 0 ή συνω 0

β) ημω 0 ω κπ, κ ή π

συνω 0 ω κπ , κ2

2_17681 Δίνεται η συνάρτηση ,( 1) 2  f x x x

α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f .

(Μονάδες 10)

β) Για ποια τιμή του 2[ ]0,x η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή;

(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ α) Ισχύει ότι

2 2 2 1 2 1 3 1 ( ) 3x x f x

Άρα η μέγιστη τιμή της f είναι max 3f και η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f είναι

min 1f .

β) Έχουμε ( ) 3 2 1 3 2 2 12

f x x x x x

[0,2 ]

2 ,2 2

x

x Z x

Page 40: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

38

www.askisopolis.gr

2_17692

α) Να δείξετε ότι 02

x x

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις τιμές του 0,2x για τις οποίες ισχύει 2

x x

(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) ( )2 2

x x x x

x x

Άρα ( ) 02

x x x x

β) α

2 2x x x x

2 0 0 ,2

x x x x x x x

1 1 3

0,2 0 2 0 2 0 22 2 2 2

x x

Επειδή

τότε

0 αρα 2

31 αρα

2

x

x

.

2_17693

α) Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς

17

, ,6 4 10

(Μονάδες 12)

β) Αν 1 2

3

2x x

να συγκρίνετε τους αριθμούς 1 2( ) και ( )

2 2x x

(Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

α) 17 17 17 3

210 10 10 10

Έχουμε ότι : 3

6 4 10

312 10

10 4

.

Επειδή η συνάρτηση ( )f x x είναι γνησίως φθίνουσα στο[0,π] άρα

3

10 4 6

Page 41: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

39

www.askisopolis.gr

Επομένως έχουμε 17

10 4 6

β) Παρατηρούμε ότι 1 1 2 2( ) και ( )2 2

x x x x

. Επομένως αφού

1 2

3

2x x

και η συνάρτηση ( )f x x στο διάστημα

3,

2

είναι γνησίως

αύξουσα τότε 1 2 1 2 1 2( ) < ( )2 2

x x x x x x

.

2_17736

Δίνεται η παράσταση: Α= συνx1

ημ 2

x, με x ≠ 2κπ, .

α) Να αποδείξετε ότι Α = 1+συνx (Μονάδες 12)

β) Να λύσετε την εξίσωση2

1

συνx1

ημ2

xστο διάστημα (0, 2π). (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

α) 2 2ημ 1 συν (1 συνx)(1 συνx)

(1 συνx)1 συνx 1 συνx 1 συνx

x xA

β) 2

ημ 1

1 συνx 2

x

λόγω του (α) ερωτήματος είναι

1

12

x 1

συνx -2

π

συνx -συν3

π

συν(π- )3

x 2

3x

άρα 2

23

x

ή 2

23

x

με

Έχουμε το διάστημα (0, 2π) άρα είναι:

2 2 π

0 2 0 2 23

x

23

22

3

2 2 1 1 1 2

2 2 13 3 3 3 3 3

και επειδή θα είναι κ=0 Άρα 2

3x

Έχουμε και

2 2 2

0 2 0 2 2 2 23 3 3

x

23

4

8

3

Page 42: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

40

www.askisopolis.gr

1 4

3 3 και επειδή θα είναι κ=1

Για κ=1 : 2 4

23 3

x

2_17739

Έστω γωνία x , για την οποία ισχύουν: 2

x

και ημ(π-x)-ημ(π ) 1x

α) Να αποδείξετε ότι 1

2x (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε την γωνία x. (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

α)Για π2

π x έχουμε ότι:

ημ(π-x)-ημ(π x) 1ά ό

ό ά

ημx-ημ( x) 1

ί ό

ημx ημx 1

2ημx 1 2

1ημx

β) 1

2x

πημx ημ

6

π2κπ

6x

ή

π 52κπ π- 2 ,

6 6x x Z

Για 6

πκπ2 x και π

2

π x έχουμε ότι

π

22 6

2

2 6 6

6

52

6

2

άρα 12

5

12

2 και επειδή θα είναι αδύνατο.

Για 6

5πκπ2 x και π

2

π x έχουμε ότι

5

22 6

5 52

2 6 6

62

6

2

άρα 12

1

12

2 και επειδή θα είναι κ=0 άρα

6

5ππ02 x οπότε

6

5πx

2_17741

α) Να αποδείξετε ότι : ημx ημx 2

1-συνx 1 συνx x

, όπου x ≠κπ , (Μονάδες 13)

β) Να λύσετε την εξίσωση: ημx ημx 4

1-συνx 1 συνx 3

(Μονάδες 12)

Page 43: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

41

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ α)Για x ≠κπ

2

ημx ημx ημx(1 συνx) ημx(1-συνx) ημx ημxσυνx ημx-ημxσυνx

1-συνx 1 συνx (1 συνx)(1 συνx) 1 συν x

2 x

2

2

xx

β) ημx ημx 4

1-συνx 1 συνx 3

από (α) ερώτημα θα έχουμε ότι

2 4

ημx 3

34ημx 2 3 ημx=

2

3

πημημx

Οπότε 23

x

ή 23

x

, . Άρα θα είναι:

3

πκπ2 x ή

3

2πκπ2 x με .Δεκτές αφού x ≠ κπ

ΘΕΜΑ 4ο

4_17837

Δίνεται η συνάρτηση (x) | 1| ( x)f με και 0 , η οποία έχει μέγιστη

τιμή 3 και περίοδο 4.

α) Να δείξετε ότι 2 ή 4 και 1

2 . (Μονάδες 7)

β) Για 2 και 1

2 , (Μονάδες 10)

i. να λυθεί η εξίσωση (x) 3f

ii. να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα [0,8] .

(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ α) Η μέγιστη τιμή της f είναι maxf α 1 . Όμως

maxf 3 , άρα α 1 3 α 1 3 ,

δηλαδή α 1 3 α 2 ή α 1 3 α 4

Η περίοδος της f είναι f

2 π

β π

2

β . Επειδή η f έχει περίοδο 4, ισχύει ότι:

2 2 1

4 2 4β ββ 4 2 .

Page 44: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

42

www.askisopolis.gr

β) Για α 2 και 1

β2

είναι πx

f x 3ημ2

i. πx πx π

f x 3 3ημ 3 ημ 12 2

x2κ π

2

π x 4κ 1, κ

2

ii. Αρχικά κάνουμε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης.

4_17840

Δίνεται το σύστημα: 2 1x y

x y

, με παράμετρο .

α) Να λύσετε το σύστημα για τις διάφορες τιμές του λ∊ℝ . (Μονάδες 10)

β) Αν λ = -1 και (x0, y0) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να βρείτε γωνία θ∊[0, 2π)

τέτοια ώστε x0 = συνθ και y0 = ημθ . (Μονάδες 7)

γ) Αν λ = 1 και (x1, y1) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να δείξετε ότι δεν

υπάρχει γωνία ω, τέτοια ώστε x1 = συνω και y1= ημω.

(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ α) Αρχικά υπολογίζουμε τις ορίζουσες του συστήματος:

1 2

21

D D

1 2

2x xD D

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f x 0 3 0 - 3 0 3 0 - 3 0

Page 45: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

43

www.askisopolis.gr

1 1

11

y yD D

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

i) Αν 0 2 0 2D ,τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση:

την 1 1

,2 2 2 2

yxDD

x yD D

δηλαδή την (x,y)=( ,

ii) Αν ,τότε το σύστημα γίνεται:

2 1 2 1

2 2 2 2

x y x y

x y x y

. Επομένως αν λ=-2 τότε το σύστημα είναι αδύνατο.

β) Αν λ=-1και 0 0(x ,y ) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, τότε

(από το ερώτημα ) 0 0

1 01, 0

1 1x y

Επομένως0 0(x ,y ) ( 1,0) ,οπότε

[0,2 ]1

0

γ) Αν λ=1και 1 1(x ,y ) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος τότε (από το ερώτημα )

1 1

1 2,

3 3x y

Επομένως

1

3

2

3

.Όμως αν υπήρχε τέτοια γωνία θ θα έπρεπε: 2 21

2 2

2 1 4 1 51 1 1

3 3 9 9 9

άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει γωνία ω, τέτοια ώστε 1x και

1y

4_17841

Η Αλίκη και η Αθηνά διασκεδάζουν στη ρόδα του λούνα παρκ. Η απόσταση, σε μέτρα, του

καθίσματός τους από το έδαφος τη χρονική στιγμή t sec δίνεται από τη συνάρτηση

( ) 8 630

th t

και 0 .

α) Να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει το κάθισμα, καθώς και τις

στιγμές κατά τις οποίες το κάθισμα βρίσκεται στο ελάχιστο και στο μέγιστο ύψος.

Page 46: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

44

www.askisopolis.gr

(Μονάδες 8)

β) Να υπολογίσετε την ακτίνα της ρόδας. (Μονάδες 3)

γ) Να βρείτε την περίοδο της κίνησης, δηλαδή το χρόνο στον οποίο η ρόδα ολοκληρώνει μια

περιστροφή. Πόσους γύρους έκαναν οι δύο φίλες στο διάστημα από 0 έως 180 sec;

(Μονάδες 4+2=6)

δ) Να μεταφέρετε στην κόλα σας τον

πίνακα τιμών και το σύστημα

συντεταγμένων που δίνονται

παρακάτω και :

i. να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών

της συνάρτησης του ύψους h(t).

(Μονάδες 3)

ii. να σχεδιάσετε στο σύστημα

συντεταγμένων το τμήμα

της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης h(t) με 0 ≤ t ≤ 90.

(Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Για την ( ) 8 630

th t

με 0 180t ισχύει ότι 1 1

30

t

6 ( 1) 6 6 1 6 6 630 30

t t

6 8 6 8 6 8 2 ( ) 14 (45) ( ) (15)30

th t h h t h

Άρα το μέγιστο ύψος της h είναι max 14h και το ελάχιστο ύψος της συνάρτησης h είναι

min 2h .

Το μέγιστο ύψος της h συμβαίνει τις στιγμές t για τις οποίες 4( 1)h t

8 6 14 6 6 1 2 ,30 30 30 2 30 2

t t t t

60 15t (1)

Όμως

15 165 1 33

0 180 0 60 15 180 15 60 16560 60 4 12

t

Επειδή ο αριθμός κ είναι ακέραιος κ=0 ή κ=1 ή κ=2

Όταν κ=0 τότε (1) t=15 sec

Όταν κ=1 τότε (1) t=75 sec

t 0 15 30 45 60 75 90

h(t)

Page 47: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

45

www.askisopolis.gr

Όταν κ=2 τότε (1) t=135 sec

Το ελάχιστο ύψος της h συμβαίνει τις στιγμές t για τις οποίες ( ) 2h t

8 6 2 6 6 130 30 30 2

t t t

2 ,30 2

t 60 15t (2)

Όμως

15 195 1 39

0 180 0 60 15 180 15 60 19560 60 4 12

t

Επειδή ο αριθμός κ είναι ακέραιος κ=1 ή κ=2 ή κ=3

Όταν κ=1 τότε (1) t=45 sec

Όταν κ=2 τότε (1) t=105 sec

Όταν κ=3 τότε (1) t=165 sec

β) Ισχύει : max min 14 2 12όά h h m οπότε

12

62 2

ό

ό

άί m

γ) Η περίοδος της κίνησης είναι 2

T

60

30

sec.

Oι δύο φίλες στο διάστημα από 0 έως 180 sec, έκαναν 180

360

γύρους

δ) i)

δ) ii)

t 0 15 30 45 60 75 90

h(t) 8 14 8 2 8 14 8

Page 48: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

46

www.askisopolis.gr

4_17843

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f η οποία είναι της

μορφής f(x) = ρ∙ημ(ωx) + k, με ρ, ω, k πραγματικές σταθερές.

α) Με βάση τη γραφική παράσταση, να βρείτε:

i. τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (Μονάδες 3)

ii. την περίοδο T της συνάρτησης f (Μονάδες 3)

β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των σταθερών ρ, ω και k. Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας. (Μονάδες 9)

γ) Θεωρώντας γνωστό ότι ρ = 3, 1

2 και k = 2, να προσδιορίσετε αλγεβρικά την

τετμημένη 0x του σημείου 0

7,2

x

της γραφικής παράστασης, που δίνεται στο σχήμα.

(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ α) i) Από το γράφημα της συνάρτησης παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της είναι το 5 και η

ελάχιστη το -1.

ii) Η περίοδος Τ είναι το διάστημα μεταξύ δυο διαδοχικών τετμημένων των σημείων στα

οποία η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο.

Οπότε 5 4 ,όπου 5π και π είναι τα διαδοχικά μέγιστα.

β) 2 2 2 1

44 2

Από τη μορφή του γραφήματός βλέπουμε ότι 0 άρα μέγιστη τιμή της συνάρτησης f

είναι k ενώ η ελάχιστη τιμή είναι k . Άρα με βάση το ερώτημα α)

δημιουργούμε το σύστημα 5

1

k

k

όπου με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε

2 4 2k k και 5 5 3k k

γ) Για ρ = 3, 1

2 και k = 2 έχουμε

1( ) 3 2

2f x x

.Το σημείο Α ανήκει στη

γραφική παράσταση της f οπότε :

0 0 0

7 1 7 1 3( ) 3 2 3

2 2 2 2 2f x x x

0 0

1 1 1

2 2 2 6x x

Page 49: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

47

www.askisopolis.gr

0 0

0 0

12 4

2 6 3, ,

1 52 4

2 6 3

x x

x x

.

Λόγω του γραφήματος της f αυτές οι λύσεις για το x πρέπει να βρίσκονται στο διάστημα

5 ,6 άρα

1 14 17 14 175 4 6 5 4 6 4

3 3 3 3 12 12

5 5 10 13 10 135 4 6 5 4 6 4

3 3 3 3 12 12

ή ή ή ή

. Επειδή

από τις δυο ανισώσεις έχουμε ότι η μόνη τιμή του κ είναι 1 για τη δεύτερη ανίσωση το

οποίο μας δίνει ότι 0 0

5 174

3 3x x

4_17846

Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = συνx και g(x) = συν2x.

α) Να μεταφέρετε στην κόλα σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών των

συναρτήσεων f και g. Στη συνέχεια, να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) και g (x), για x ∊ [0, 2π].

(Μονάδες 8)

x 0 4

2

3

4

5

4

7

4

2

f x

g x

β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της

εξίσωσης συν2x = συνx (1) στο διάστημα [0, 2π].

(Μονάδες 4)

γ) Να λύσετε αλγεβρικά την εξίσωση (1) στο διάστημα [0, 2π] και να σημειώσετε πάνω στο

σχήμα του ερωτήματος (α) τις συντεταγμένες των κοινών σημείων των γραφικών

παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. (Μονάδες 13)

Page 50: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

48

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f x x είναι περιοδική με περίοδο 2 και σύνολο τιμών το 1,1

Άρα 3

0 1,  0,  1,  0,  2 12 2

f f f f f

Πιο αναλυτικά:

0 0 1f

02 2

f

1f

3 3

02 2 2 2

f

2 2 0 1f

2

4 4 2f

3 3 2

4 4 4 4 2f

5 5 2

4 4 4 4 2f

7 7 2

24 4 4 4 4 2

f

Η συνάρτηση 2g x x είναι περιοδική με περίοδο 2

2

και σύνολο τιμών

το 1,1

Άρα 3

0 1,  0,  1,  0,4 2 4

g g g g

5 3 7

1,  0,  1,  0,  2 14 2 4

g g g g g

Με βάση τα παραπάνω σχηματίζεται ο παρακάτω πίνακας τιμών:

x 0 4

2

3

4

5

4

7

4

2

f x 1 2

2 0

2

2 -1

2

2 0

2

2 1

g x 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1

Page 51: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

49

www.askisopolis.gr

Με βάση τον παραπάνω πίνακα τιμών

προκύπτουν οι διπλανές γραφικές

παραστάσεις των δύο συναρτήσεων.

β) Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων προκύπτει ότι οι γραφικές

παραστάσεις έχουν 4 κοινά σημεία, άρα η εξίσωση 2x x έχει 4 λύσεις.

γ) 22 2 1x x x x

22 1 0x x

2 2

1 0x x x

2 21 0x x x

1 1 1 0x x x x

1 1 0x x x

1 2 1 0x x

1x ή 1

2x

0x ή 2

3 3 3x

2x ή

22

3

 ,   

22

3

x

ή

x

Οι λύσεις πρέπει να ανήκουν στο διάστημα 0,2 δηλαδή:

Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι: 2 1 4 1

0,1 ,  2 ,1 ,  , ,  ,3 2 3 2

0 2 2 0 2 2

0 1

0    1ή ( )

Επομένως : 0    2x ή x

20 2 2

3

2 42

3 3

1 20

3 3

Επομένως 2

3x

20 2 2

3

2 82

3 3

1 41

3 3

2 42

3 3x

Page 52: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

50

www.askisopolis.gr

4__17852

Ένα παιγνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο από το ταβάνι. Το ύψος του από το πάτωμα σε cm

συναρτήσει του χρόνου t (sec) δίνεται από τη σχέση: ( ) ( )h t a t , όπου α, ω, β

πραγματικές σταθερές.

Όταν το ελατήριο ταλαντώνεται, το ελάχιστο ύψος του παιχνιδιού από το πάτωμα είναι 20cm

και το μέγιστο 100cm. Τη χρονική στιγμή t=0 το ύψος παίρνει την ελάχιστη τιμή του και ο

χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης (θέσεις: ελάχιστο-ηρεμία-μέγιστο-ηρεμία-ελάχιστο) είναι

6 sec.

α) Να δείξετε ότι 3

(Μονάδες 5)

β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των α και β αιτιολογώντας την απάντησή σας.

(Μονάδες 6)

γ) Να υπολογίσετε το ύψος του παιγνιδιού από το πάτωμα 14sec μετά την έναρξη της

ταλάντωσης. (Μονάδες 8)

δ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h(t), για 0 ≤ t ≤12.

(Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) Ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης είναι η περίοδος της άρα 6sec και 2

Έχουμε:2

6 6 23

β) h t t 3

h t t

Για 0t παίρνει την ελάχιστη τιμή της οπότε :

0 20h 0 20 20 (1)

Επίσης τη μέγιστη τιμή της θα την λαμβάνει στο 3sec2

οπότε θα ισχύει:

3 100h 3 100 1003

(2)

Προσθέτοντας τις (1) και (2): 2 120 60 οπότε 60 20 40

γ) Το ύψος του από το πάτωμα σε cm συναρτήσει του χρόνου t (sec) δίνεται από τη σχέση:

40 603

h t t

Το ύψος του παιχνιδιού από το πάτωμα 14 sec μετά την έναρξη της ταλάντωσης:

14

14 40 14 60 40 603 3

h

2 2

40 4 60 40 603 3

140 60

2

=80

Page 53: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

51

www.askisopolis.gr

δ) 40 603

h t t

t 0 3

2 3

9

2 6

3t

0

2

3

2

2

3t

1 0 1 0 1

403

t

40 0 40 0 40

40 603

t

20 60 100 60 20

Γραφική παράσταση:

4.17855. Ένα σώμα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώματος

από το έδαφος (σε cm), δίνεται από την συνάρτηση: t

f (t) 12 134

, όπου t ο χρόνος

σε ώρες.

α) Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης. (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε την απόσταση του σώματος από το έδαφος τις χρονικές στιγμές t = 5 και t = 8.

(Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε κατά το χρονικό διάστημα από t = 0 έως t = 8, ποια χρονική στιγμή η απόσταση

του σώματος από το έδαφος είναι ελάχιστη. Ποια είναι η απόσταση αυτή; (Μονάδες 10)

Page 54: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

52

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ α) Γνωρίζουμε ότι σε κάθε συνάρτηση της μορφής ρημωx + κ η περίοδος είναι ίση με

Τ 2

. Οπότε για τη συνάρτηση t

f (t) 12 134

είναι

4

και η περίοδος της

ταλάντωσης θα είναι 2 8

8

4

ώρες.

β) Η ζητούμενη απόσταση δίνεται από την f(t), οπότε θα υπολογίσουμε τις τιμές f(5) και

f(8) της συνάρτησης f .

5 4

f (5) 12 13 12 13 12 13 12 134 4 4 4

2

12 13 6 2 132

cm.

8

f (8) 12 13 12 2 13 12 0 13 134

cm.

γ) Γνωρίζουμε ότι η ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτηση της μορφής ρημωx, με ρ > 0, είναι η – ρ

οπότε η ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτηση της μορφής ρημωx + κ , με ρ > 0, θα είναι η – ρ +

κ.

Συνεπώς η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης t

f (t) 12 134

θα είναι – 12 + 13 = 1, έτσι

έχουμε:

t2

4 2t t t

f (t) 1 12 13 1 1 η4 4 4 2

t2

4 2

t2

4 2t

η 2 t 8 2 t 8 2, Z4 2

t 32

4 2

Άρα η ελάχιστη τιμή της f παρατηρείτε τη χρονική στιγμή t 8 2 , για Z .

Όμως αυτή θα πρέπει να βρίσκεται στο χρονικό διάστημα από t = 0 έως t = 8, (δηλαδή στο

χρονικό διάστημα μιας περιόδου Τ = 8 ωρών)

1 50 t 8 0 8 2 8 2 8 10

4 4 . Το Z άρα κ = 1.

Επομένως η απόσταση του σώματος από το έδαφος θα είναι ελάχιστη τη χρονική στιγμή

t = 8 – 2 = 6, και η ελάχιστη απόσταση θα είναι f(6) = 1cm.

Page 55: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

53

www.askisopolis.gr

4_20338.

Στο διπλανό σχήμα, δίνεται η γραφική παράσταση μιας

συνάρτησης f, που είναι της μορφής f x α βσυν2x ,

όπου α, β πραγματικοί αριθμοί.

α) Mε βάση τη γραφική παράσταση της f, να βρείτε τη

μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της.

(Mονάδες 4)

β) Ποια είναι η περίοδος Τ της συνάρτησης f ;

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 4)

γ) Mε βάση τα δεδομένα του σχήματος, να αποδείξετε ότι: α 2 και β 6 .

(Μονάδες 8)

δ) Να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την

ευθεία y 1 στο διάστημα 0,2π . (Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ α) Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι η f έχει μέγιστο το 4 στα σημεία με

x 2π, π, 0, π, 2π και ελάχιστο το 8 στα σημεία με 3π π π 3π

x , , ,2 2 2 2

β) Επειδή μία πλήρη περιστροφή τη πραγματοποιεί στο διάστημα 0,π , η περίοδός της

είναι π . Πράγματι:

f x π α βσυν2 x π α βσυν 2π 2x α βσυν2x f x και

f x π α βσυν2 x π α βσυν 2π 2x α βσυν 2x α βσυν 2x f x

γ) Στο σχήμα βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία 0,4 και

π

, 82

, οπότε οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν τον τύπο της συνάρτησης. Δηλαδή:

f 0 4 α βσυν0 4 α β 4 β 4 α (1) και

1π π

f 8 α βσυν 2 8 α βσυνπ 8 α β 8 α 4 α 82 2

4

α 4 α 8 2α 8 4 4 α 22

και λόγω της (1) είναι β 4 2 6

δ) Για α 2 και β 6 είναι f x 2 6συν2x

Τα σημεία τομής της fC με την y 1 αποτελούν λύσεις της εξίσωσης f x 1 .

Είναι 3 1 π

f x 1 2 6συν2x 1 6συν2x 3 συν2x συν2x συν6 2 3

π π

2x 2κπ x κπ , κ3 6

Είναι π π π π

0 κπ 2π κπ 2π6 6 6

κ π6

11π

1 11κ

6 6 6 .

Επειδή κ είναι κ 0 ή κ 1 και οι λύσεις είναι: π π 7π

x ή x π6 6 6

.

Page 56: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

54

www.askisopolis.gr

Ακόμη π π π π

0 κπ 2π κπ 2π6 6 6

κ π6

13 π

1 13κ

6 6 6

Επειδή κ είναι κ 1 ή κ 2 και οι λύσεις είναι: π 5π π 11π

x π ή x 2π6 6 6 6

.

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΘΕΜΑ 2ο

2_17664

Δίνονται οι γωνίες ω, θ με 0 και 0 για τις οποίες ισχύει: ω + θ = 135°.

Να αποδείξετε ότι:

α) –( ) 1  (Μονάδες 10)

β) 1 · (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) εφ ω θ εφ135 εφ 180 45 εφ45 – 1

β) εφω εφθ

εφ ω θ 1 1 εφω εφθ 1 εφω εφθ1 εφω εφθ

εφω εφθ 1 εφω εφθ

2_19911

α) Να αποδείξετε ότι: 3 1

x x x3 2 2

(Μονάδες 13)

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α), να λύσετε στο διάστημα (0, π) την εξίσωση:

3 1

x x 02 2 (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) π π π 1 3

ημ x ημx συν συνx ημ ημx συνx3 3 3 2 2

β) 3 1 π π

συνx ημx 0 ημ x 0 ημ x ημ02 2 3 3

π π

x κπ x κπ , κ3 3

Page 57: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

55

www.askisopolis.gr

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α

ΘΕΜΑ 2ο

2 _19912

Δίνεται γωνία ω για την οποία ισχύει ότι: 2 5 2 0

α) Να αποδείξετε ότι ισχύει: 2

2 5 3 0 (Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι 1

2 (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

α) 2 2συν2ω 5ημω 2 0 1 2ημ ω 5ημω 2 0 1 2ημ ω 5ημω 2 0

22ημ ω 5ημω – 3 0 (1)

β) Έστω ημω x, x 1,1 , τότε η (1) γίνεται: 2

2x 5x 3 0 .

Η τελευταία είναι εξίσωση 2ου βαθμού με 25 4 2 3 49 και ρίζες

ΘΕΜΑ 4ο

4 _17838

Για τη γωνία ω ισχύει ότι 5συν2ω + 28συνω + 21 = 0.

α) Να δείξετε ότι: 4

5 (Μονάδες 10)

β) Αν για τη γωνία ω επιπλέον ισχύει 2

τότε:

i. να δείξετε ότι: 7

225

και 24

225

(Μονάδες 8)

ii. να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

2 213 2 2 12

18 2 2 25 2 2

(Μονάδες7 )

ΛΥΣΗ

α)Η εξίσωση γίνεται : (:2)

2 25 2 1 28 21 0 10 28 16 0

2

5 14 8 0  . Θέτουμε x=συνω με 1 x 1 οπότε έχουμε 2

5 14 8 0x x

2

14 4 5 8 36 και 14 6 14 6 8 4

x x10 10 10 5

ή 14 6 20

x 210 10

(απορρίπτεται)

Page 58: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 4 12 2014

56

www.askisopolis.gr

β) i) Έχουμε : συν2ω=2συν2ω-1

24 32 7

2 2 1 15 25 25

Επίσης : x2

2

2 2 2 2 2 7 49 5762 2 1 2 1 2 2 1 1

25 625 625

576 24

2625 25

. Όμως 2

2 2 τότε ημ2ω<0. Άρα

24

225

ii)

2 213 2 2 12 13 1 12 25

257 2418 2 2 25 2 2 18 17

18 1 2525 25