FÍSICA

MÓDULO EXTRA TÓPICOS DE FÍSICA MODERNA II

Professor Ricardo Fagundes

RELATIVIDADE ESPECIAL Vamos começar com um exemplo: O píon (π+ou π−) é uma partícula que pode ser criada em um acelerador de partículas de alta energia. É uma partícula muito instável, com vida média de 26 ns. Em um experimento, píons foram criados a uma velocidade de 0,913c. Nesse caso, observou-se que essas partículas percorriam uma distância de 17,4 m antes de se desintegrarem.

Sendo assim, elas se deslocaram durante 17,4

0,913 . 3 . 108 = 63,7 ns, um tempo

muito maior que a vida média dessa partícula me repouso. Esse efeito de dilatação do tempo surge devido ao movimento relativo entre a partícula e o laboratório.

Agora, para um sistema de coordenadas fixo no píon, o seu deslocamento foi de

0,913 . 3 . 108 . 26 . 10−9 = 7,1 m . Ou seja, dois observadores que estão em movimento relativo (um fixo no laboratório e outro na partícula) medem valores diferentes para o mesmo comprimento, o que não acontecia na física clássica.

Em 1905, Einstein propôs dois postulados que formam a base de sua teoria especial da relatividade:

1. As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais.

2. A velocidade da luz no espaço livre tem o mesmo valor c em todos os referenciais inerciais.

Vamos interpretar esses postulados com um exemplo. Vamos imaginar duas pessoas em diferentes referenciais: uma no solo, do lado de fora do trem (S) e outra dentro do trem em movimento relativístico (S´), como mostra a figura abaixo:

O referencial que está dentro do trem está com uma lâmpada a uma distância vertical L0 de um espelho, no teto do vagão. Para o menino dentro do trem, a luz irá realizar uma trajetória vertical. Irá bater no espelho e voltar. Já para o menino do lado de fora do trem, a trajetória é a que está na figura acima, já que o trem se move com alta velocidade na horizontal. Portanto, para o menino dentro do vagão, o tempo de deslocamento da luz será:

∆t0 = 2L0

c

Já para o menino do lado de fora, a luz irá percorrer uma distância 2L igual a:

2L = 2 L02 + v∆t 2 2

Então o intervalo de tempo medido por ele será:

∆t = 2L

c = 2

L02 + v∆t 2 2

c

Ou seja:

∆t = ∆t0

1− v2 c2

= ∆t0

Onde é o fator de Lorentz, que é sempre maior que 1.

Aplicando no exemplo dos píons:

∆t = ∆t0

1− v2 c2

∴ ∆t = 26ns

1−0,9132 = 63,7 ns.

Valor medido pelo observador em repouso no laboratório.

Usando um raciocínio análogo, com um pouco de cálculo, podemos chegar a relação de relatividade do comprimento:

L = L0 1− v2 c2 =L0γ

Voltando ao exemplo dos píons, L = 17,4 1 + 0,9132 = 7,1 m.

Onde L0 é a distância medida pelo observador em repouso no laboratório.

De acordo com Galileu, o módulo da velocidade de um corpo A em relação a um corpo B é medida pela equação a seguir:

vAB = vA ± vB + sentidos opostos - mesmo sentido

Ou seja, para um corpo A que se move na horizontal, da direita para esquerda, com módulo de velocidade de 20 m/s, um outro, no sentido oposto, a 30 m/s, apresenta uma velocidade relativa de 20 + 30 = 50 m/s.

Então, usando esse raciocínio, um corpo que se move a 0,6 c no sentido oposto a outro, que se move a 0,8c, o vê com uma velocidade de 1,4c, o que violaria o 2º postulado de Einstein!

vA ± vB

Significa, então, que essa equação não está correta. Funcionava para baixas velocidades.

VELOCIDADE RELATIVA

O que temos acima é velocidade relativa de Galileu, que funciona para baixas velocidades. Para movimentos relativísticos (altas velocidades), temos que aplicar a velocidade relativa de Einstein:

vAB = vA ± vB

1 ± vAvBc2

Voltando no exemplo de dois corpos em sentidos opostos, um a 0,6c e o outro a 0,8c, em relação ao solo. A velocidade com que o 1º observa o 2º (e vice-versa) vale:

vAB = 0,6c + 0,8c

1 + 0,48=

1,4

1,48c ≅ 0,95c

Repare que, para baixas velocidades, esse efeito é desprezível. Vamos voltar ao caso clássico, 20 m/s e 30 m/s, do exemplo anterior:

vAB = 20 + 30

1 + 600/9 . 1016 = 50 m/s

QUANTIDADE DE MOVIMENTO RELATIVÍSTICA Resolvendo um problema simples de colisão de partículas que apresentam movimento relativístico, fica claro que, se Q = m.v, como conhecemos classicamente, a quantidade de movimento não se conservará. Como essa grandeza deve se conservar, devido há ausência de forças externas em uma colisão, há a necessidade de consertarmos essa fórmula. Einstein, debruçado sob esse problema, usando Lorentz, chegou à formulação abaixo:

Q =mv

1 − v2 c2

= γmv

O que pode ser interpretado como uma alteração na massa devido ao movimento da partícula.

Exemplo:

Qual é o módulo da quantidade de movimento de um próton a 0,86c?

Resolução:

Q = mv

1 − v2 c2

= 1,67 . 10−27 . 0,86 . 3 . 108

1 − 0,862 = 8,44 . 10−19 kgm/s

OBSERVAÇÃO:

Quando estudamos física de partículas não utilizamos o sistema m.k.s.. Como a unidade de energia /velocidade equivale a unidade de quantidade de movimento, vamos transformar a unidade acima:

8,44 . 10−19 . 3 . 108 = 2,53 . 10−10 J

1,6 . 10−19 = 1580 . 106 eV ou 1580 MeV.

A quantidade de movimento do próton vale, portanto, 1580 MeV/c .

Usando a equação de quantidade de movimento a fim de conservar a energia mecânica na colisão, conseguimos chegar a energia total (mecânica) de uma partícula de massa m a velocidade v:

E = mc2

1 − v2 c2

= γmc2

Sendo a energia de repouso da partícula (o equivalente a energia potencial) vale:

E0 = mc2

Portanto a energia cinética vale:

E − E0 = (γ − 1)mc2

ENERGIA RELATIVÍSTICA

Exemplo:

O Sol libera aproximadamente 3,9 . 1033 erg/s de energia devido a fusão de aproximadamente 600 milhões de toneladas de Hidrogênio em Hélio por segundo. Sabendo-se que 1 erg = 10-7J, qual é a massa que o Sol perde por ano?

Resolução:

1 ano ≅ 3,1 . 107s

Vamos considerar que o Sol está em repouso. Sendo assim, a relação entre energia e massa perdidas fica:

∆E = ∆mc2 ∴ ∆m = 3,9 . 1033 . 10−7 . 3,1 . 107

3 . 108 2 = 1,3 . 1017kg

Apesar de o número ser bem grande, se compararmos com a massa do Sol, que é de aproximadamente 2 . 1030kg, esse valor representa uma parcela ínfima. Uma pessoa que tem uma massa de 80 kg, ao perder 1kg, está perdendo, proporcionalmente, uma quantidade infinitamente maior que o Sol ao longo de um ano inteiro.