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MatemáticaTópicos Especiais

Estatística

Características:

• Curvas com forma de “sino”;

• Simétricas em torno de X=μ;

• Possuem ponto máximo em X=μ;

• Tendem a zero quando X tende a ±∞

Distribuição Normal

Cada distribuição normal fica determinada pelos parâmetros µ(média) e σ(desvio padrão).

Notação:


Distribuição normal: A distribuição ou curva normal (de

Gauss) é definida como segue:

• onde: -∞ < X < ∞

• μ= média da distribuição

• σ= desvio padrão da distribuição

• p = 3,1416....

• e = 2,71828...


Distribuição normal padronizada: facilita os cálculos deprobabilidade, evitando o uso da fórmula e projetandoqualquer análise mediante utilização de ESCORES (Z). Se x éuma observação de uma distribuição que tem média μ edesvio-padrão σ, o valor padronizado de x é:

A distribuição normal padronizada tem média igual a zero e desvio padrão igual a 1:


Tabela de curva normal

Há vários tipos de tabelas que nos oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva normal.

O tipo mais frequente é a tabela da faixa central, que dá a área sob a curva normal padrão entre Z = 0 e qualquer valor positivo de Z.


Exemplo: As alturas dos alunos de uma determinada escolasão normalmente distribuídas com média 1,60 m e desviopadrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um alunomedir:

a) entre 1,50 m e 1,80 m;

b) mais de 1,75 m.


Solução:


b)


Exercício: Página 32 da apostilaEm um concurso público serão chamados para contratação imediata20% dos candidatos com as maiores notas. As notas obtidas seguemuma distribuição normal com média 5,5 e desvio padrão 3. A notamínima para que o candidato seja chamado para contratação imediataé, aproximadamente:

(A) 7,0

(B) 7,5

(B) 8,0

(C) 8,5

(E) 9,0

Obs: Lembre-se que a tabela Z é bicaudal, ou seja (50%-20%) =30%. Na tabela, 0,30 corresponde a um Z de 0,85


Solução:Normalizando-se a função para Z(0,1), temos que:

Mas a tabela Z é bicaudal, ou seja (50%-20%) =30% (ver tabela)Na tabela, vemos que 0,30 corresponde a um Z de 0,85. Assim:

0,85=(X-5,5)/3

X=8,05

Resposta (C)


Exercício:

Constatou-se que o tempo médio para se fazer um teste-padrão de matemática é aproximadamente normal, com média 80 minutos e desvio padrão de 20 minutos.

a) Que porcentagem de candidatos levará menos que 80 minutos?

b) Que porcentagem não terminará o teste, se o tempo máximo concedido é de 2 horas?

c) Se 200 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que terminem o teste na primeira hora?

*Dado P (Z=2)= 0,4772 e P (Z=1)= 0,3413


Solução:

a)

b)


Solução:

c)


Exercício: Página 35 da apostila

Suponha os pesos dos pacotes de arroz normalmentedistribuídos com média 1Kg e desvio padrão 20g. Escolhendoum pacote ao acaso, qual é a probabilidade de ele pesarmais de 1030g?

(A) 13,4%

(B) 11,6%

(C) 10,0%

(D) 8,4%

(E) 6,7%

*Dado que P(Z=1,5)=0,43319

Exercícios

• Solução:

Μ=1000g

σ= 20g

P(X>1030) = ?

Z= (1030-1000)/20= 1,5

P(Z=1,5)=0,43319

P(Z>1,5)=0,5-0,43319= 0,067 ou 6,7%

Resposta (E)

Exercícios

Exercício: Página 32 da apostilaA tabela a seguir apresenta algumas estatísticas das ações de trêsempresas dos setores de petróleo e química. Os dados referem-se àsúltimas 80 semanas.

Exercícios

Considere as armações derivadas das estatísticas acima.

I - O coeficiente de variação das ações da empresa A é o mesmo que o dasações da empresa C.

II - A rentabilidade média das ações da empresa B é maior do que dasdemais e apresenta menor dispersão relativa, ou seja, menor risco.

III - A rentabilidade média das ações da empresa C é menor do que dasdemais e apresenta menor dispersão relativa, ou seja, menor risco.

Estão corretas as armações

(A) I, apenas.

(B) I e II, apenas.

(C) I e III, apenas.

(D) II e III, apenas.

(E) I, II e III.

Exercícios

Solução:

Cálculo dos coeficientes de variação:

CA= 3,5/0,5=7%

CB= 3,9/0,6=6,5%

CC = 2,8/0,4=7%

Resposta (B)

Exercícios


Na curva de distribuição de permeabilidades da rocha de umreservatório, mostrada na figura, os atributos X, Y e Z,respectivamente, são:(A) mediana, média e moda.

(B) mediana, moda e média.

(C) moda, mediana e média.

(D) moda, média e mediana.

(E) média, mediana e moda.

Resposta: (C)

Exercícios

Solução:• A moda sempre é o valor que mais aparece na distribuição, portanto,

será o máximo do pico;• A mediana deverá estar sempre no meio da distribuição.• A média será menor que a mediana devido a grande cauda existente.

Neste caso, sempre que tivermos uma distribuição assimétrica positivaou negativa, teremos:

Resposta C

Exercícios


Estudando o número de infrações cometidas por postos degasolina em determinada cidade, numa amostra de 100postos foram encontradas as seguintes quantidades deinfrações. Quais são, respectivamente, a média, a mediana, amoda e a variância desta amostra?

(A) 0,7 1 0 0,94

(B) 0,7 1 1 0,94

(C) 0,8 0;5 0 0,96

(D) 0,8 1 0 0,96

(E) 0,8 1 1 0,96

Exercícios

Solução:

Média:

E(X)=(1x30+2x10+3x10)/100

E(X)= 0,8

Mediana: se ordenarmos os dados de acordo com o número de infrações, existirão 50 zeros nas 50 primeiras posições, seguidos de 30 uns. Como a mediana será a media entre os pontos mais centrais da população, ela será 0,5.

Moda: a moda é o elemento com maior frequência, portanto zero

Exercícios

Variância:

Var(X)= [50x(0-0,8)2]+ [30x(1-0,8)2]+[10x(2-0,8)2]+[10x(3-0,8)2]/100

Var(X)=(32+1,2+14,4+48,4)/100 = 0,96

Resposta (C)

Exercícios


A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é o valor médio:

(A) da soma dos desvios de X e Y em relação ao valor absoluto de suas médias.

(B) da soma dos desvios de X e Y em relação às suas respectivas médias.

(C) do produto dos desvios de X e Y em relação ao quadrado de suas médias.

(D) do produto dos desvios de X e Y em relação às suas respectivas médias.

(E) do quadrado do produto dos desvios de X e Y em relação às suas respectivas médias.

Exercícios

Solução:O valor esperado do produto dos desvios é denominado

covariância entre as variáveis aleatórias x e y e é definida por:

Cov(x,y)=σxy

Resposta (D)

Exercícios

Matemática financeira

Tópicos

• Juros Simples• Juros Compostos• Valor presente Líquido• Descontos

Definições:

• Juros: é a remuneração do capital emprestado,podendo ser entendido, de forma simplificada,como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.

• Taxa de juros: é a razão entre os juros recebidos(ou pagos) no final de certo período de tempo e ocapital inicialmente aplicado (ou emprestado).

Onde: J é o juros e P é o capital inicial

Definições:

Capital: é qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época.Valor Presente ( Vp ): É a quantidade monetária inicial envolvida em uma transação.Montante ( M ): É a quantidade monetária resultante de uma transação financeira, igual ao capital mais o valor dos juros.Fluxo de Caixa: é um recebimento ou pagamentode uma quantia em dinheiro.

Juros Simples

• Na capitalização em regime de juros simples, ojuros calculado varia linearmente em função dotempo.

• Juros simples calculado no período (n):

• Montante ou valor futuro é o capital inicialsomado dos juros calculado no período:

Juros Compostos

• A taxa de juros incide sobre o capital inicialsomado dos juros acumulados até o períodoanterior.

• Na capitalização em regime de juros compostos,o juros calculado cresce exponencialmente emfunção do tempo.

• O montante ou valor futuro no período n édado pela expressão:

• Sendo que o termo é chamado de fatorde capitalização.

Valor Presente Líquido: é uma fórmula matemática-financeira utilizada para calcular o valor presente de umasérie de pagamentos futuros descontando um taxa de custode capital estipulada.

No qual, FC significa o fluxo de caixa de cada período, o i é a taxa de desconto escolhida e o t é o período analisado.

Valor Presente Líquido


O banco WS emprestou a um de seus clientes a quantia deR$ 12.000;00, a uma taxa de 5% ao mês, no regime de jurossimples, para pagamento único no final de 90 dias. Deacordo com as condições do empréstimo, o cliente deverápagar ao Banco, em reais, o montante total de:

(A) 12.600,00(B) 12.800,00(C) 13.200,00(D) 13.600,00(E) 13.800,00

Exercícios

Solução:

P=12.000,00

i=0,05

n=3 meses

S=12000x(1+0,05x3)= 13.800,00

Resposta (E)

Exercícios


Um investidor aplicou a quantia de 20.000,00 a uma taxa de 3% aomês, por um período de 60 dias. Considerando que a aplicação foirealizada com capitalização composta mensal, no final do períodoo investidor acumulará, em reais, um valor bruto de:

(A) 21.218,00

(B) 21.320,00

(C) 22.208,00

(D) 23.620,00

(E) 24.310,00

Exercícios

Solução:

P=20.000,00

i=0,03

n= 2meses

S = 20000x(1+0,03)2= 21.218,00

Resposta (A)

Exercícios


Um investidor aplicou a importância de R$ 2.000,00,gerando uma remuneração de R$ 400,00 ao final de umperíodo de 1 ano. De acordo com o regime de juros simples

com capitalização anual, a taxa anual de juros dessaoperação foi:(A) 5%

(B) 10%

(C) 12%

(D) 20%

(E) 25%

Exercícios

Solução:

P=2.000,00

n=12 meses

S=2.400,00

2400=2000x(1+ix12)

i=17%

Resposta (D)

Exercícios


A Transalpina S.A., empresa de transportes aéreos, está estudando um projeto de investimento com as seguintes características:

* Valor do investimento inicial: R$ 45.000.000,00

* Retornos anuais esperados:

1 ano: R$ 28.600.000,00

2 ano: R$ 19.360.000,00

3 ano: R$ 10.648.000,00

Exercícios


Sabendo-se que a taxa composta de retorno esperada pela empresa é de 10% ao ano, o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto, em reais, é:

(A) 2.500.000,00

(B) 4.946.500,00

(C) 4.500.000,00

(D) 5.000.000,00

(E) 5.115.000,00

Exercícios

Solução:

Resposta: (D)

Exercícios


Uma prestação é composta por duas partes: os juros e o valoramortizado. Esses juros correspondem a 25% do valoramortizado. Os juros correspondem a que porcentagem

da prestação?

(A) 75%

(B) 50%

(C) 25%

(D) 20%

(E) 15%

Exercícios

Solução:

P = J + A

Ele nos diz que J = 0,25.A, logo A = 4.J

Substituindo na fórmula inicial:

P = J + 4.J

P = 5.J

J = 0,2.P ---> Portanto J equivale a 20% de P.

Resposta (D)

Exercícios


Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no valor de R$400,00, sofrerá desconto comercial simples hoje. Se a taxade desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valordescontado), em reais, será igual a:

(A) 400,00

(B) 352,00

(C) 256,00

(D) 144,00

(E) 48,00

Exercícios

Solução:

O desconto simples deve ser tratado como o juros simples, porém subtrai-se do valor inicial:

D =P(1-ixn)

D=400(1-0,12x3)=256

Resposta (C)

Exercícios

Método de Newton-Raphson

Introdução

No caso de polinômios de alto grau e de funções mais complicadas é impraticável localizar suas raízes exatas.

– Para contornar este problema, foram criados métodos iterativos de aproximações de raízes de funções com qualquer precisão pré-fixada.

– O método de Newton-Raphson é rápido, e encontra raízes que tocam o eixo. Porém, é necessário o cálculo da derivada da função, o que nem sempre é fácil.


Algoritmo


Exemplo

Seja f(x) = x3 + 9x + 3;

x0 = 0,5;

ε1 = ε2= 1 x10-4; ε ϵ (0,1)

Aplicar o método de Newton-Raphson para obtenção das raízes aproximadas.


Solução:f(x) = x3 - 9x + 3

Derivando:

f‘(x)=3x2-9

Sabe-se que x0=0,5, então

f(0,5)= (0,53)-(9x0,5)+3= -1,375

f‘(0,5)=3x(0,52)-9=-8,25

Aplicando-se:

X1=0,5-0,1667=0,3333


Para x1=0,3333, temos que

f(0,3333)= (0,33333)-(9x0,3333)+3= 0,03732

f‘(0,3333)=3x(0,33332)-9=-8,6667

X2=0,3333+0,0043=0,3376

Então:

f(0,3376)= (0,33763)-(9x0,3376)+3=0,00007

f‘(0,3376)=3x(0,33762)-9=-8,65807

X3=0,3376+0,00000808=0,3376


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