Apostila 001 trigonometria equacoes trigo
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Equações Trigonométricas Equações Trigonométricas Equações do tipo: Equações do tipo: sen x k = ( ) 360º 180º 360º , sen x k sen x sen x k x k k α α α = = ⇔ = + ⋅ ∨ = − + ⋅ ∈ Só são possíveis quando Só são possíveis quando 1 1 k − ≤ ≤ 1º caso positivo k π α − α k ( ) 2 2 , x k x k k α π π α π = + ∨ = − + ∈ ( ) 30º 360º 180º 30º 360º , 30º 360º 150º 360º 2 2 , 6 , exemplo: 1 2 30 6 5 2 , 6 º 2 6 x k x k k x k x k k sen x s x k x k k x en k x k k x sen π π π π π π π π π ⎛ ⎞ = + ∨ = − + ∈ ⎜ = + ⋅ ∨ = − + ⋅ ∈ = + ⋅ ∨ = + ⋅ ⎟ ⎝ ⎠ = = = ⇔ + = + ∈ ∨ ∈ 2º caso negativo k π α + α − k ( ) π α −− ( ) 360º 180º 360º , sen x k sen x sen x k x k k α α α = = ⇔ = + ⋅ ∨ = − + ⋅ ∈ ( ) 2 2 , x k x k k α π π α π = + ∨ = − + ∈ ( ) ( ) 30º 360º 180º 30º 360º , 30º 36 exemp 2 2 0º 210º , 6 6 7 2 2 , 6 36 lo: 1 2 3º 0 6 , 0 º x k x k k x k x k sen x sen x se x k x k k x k k x k k n π π π π π π π π π = − + ⋅ ∨ = + + ⋅ ∈ =− + ⋅ ∨ = + ⋅ ⎛ ⎞ =− + ∨ = + + ∈ ⎜ ⎟ ∈ =− = − ⎝ ⎠ =− + ∨ = + ∈ ⇔ Nota: o seno é positivo nos 1º e 2º quadrantes Nota: o seno é negativo nos 3º e 4º quadrantes Casos particulares ( ) 1, 0 ( ) 0 1, − ( ) 0, 1 − ( ) 0,1 0 0 , , sen x x k k x k k π π = ⇔ = + ∈ ⇔ = ∈ 1 2 , 2 sen x x k k π π = ⇔ = + ∈ 1 2 , 2 sen x x k k π π = −⇔ =− + ∈ 0 180º , 180º , x k k x k k = + ∈ ⇔ = ∈ 90º 360º , x k k = + ∈ 90º 360º , x k k = − + ∈ Jorge Freitas 2005/2006
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Equações TrigonométricasEquações Trigonométricas
Equações do tipo:Equações do tipo: sen x k=
( )360º 180º 360º ,
sen x ksen x senx k x k k
αα α
== ⇔
= + ⋅ ∨ = − + ⋅ ∈
Só são possíveis quandoSó são possíveis quando 1 1k− ≤ ≤
1º caso positivok
π α−α
k
( )2 2 ,x k x k kα π π α π= + ∨ = − + ∈
( )30º 360º 180º 30º 360º ,30º 360º 150º 360º
2 2 ,6
,
exemplo:12
30
652 ,
6
º
26
x k x k kx k x k k
sen x
s
x k x k k
x
en
k x k k
x sen
π ππ π π
π π π π
⎛ ⎞= + ∨ = − + ∈⎜
= + ⋅ ∨ = − + ⋅ ∈
= + ⋅ ∨ = + ⋅
⎟⎝ ⎠
=
=
= ⇔
+ = +
∈
∨ ∈
2º caso negativok
π α+α−
k( )π α− −
( )360º 180º 360º ,
sen x ksen x senx k x k k
αα α
== ⇔
= + ⋅ ∨ = − + ⋅ ∈
( )2 2 ,x k x k kα π π α π= + ∨ = − + ∈
( )( )30º 360º 180º 30º 360º ,
30º 36
exemp
2 2
0º 210º
,6 6
72 2 ,6
36
lo:12
3 º
0
6
,
0
ºx k x k kx k x k
sen x
sen x se
x k x k k
x k
k
x k k
n
π ππ π π
π π π π
=− + ⋅ ∨ = + + ⋅ ∈
=− + ⋅ ∨ = + ⋅
⎛ ⎞=− + ∨ = + + ∈⎜ ⎟
∈
=−
= −
⎝ ⎠
=− + ∨ = + ∈
⇔
Nota: o seno é positivo nos 1º e 2º quadrantes
Nota: o seno é negativo nos 3º e 4º quadrantesCasos particulares
( )1,0( )01,−
( )0, 1−
( )0,1 00 , ,
sen xx k k x k kπ π
= ⇔= + ∈ ⇔ = ∈
1
2 ,2
sen x
x k kπ π
= ⇔
= + ∈
1
2 ,2
sen x
x k kπ π
=− ⇔
= − + ∈
0 180º , 180º ,x k k x k k= + ∈ ⇔ = ∈
90º 360º ,x k k= + ∈
90º 360º ,x k k= − + ∈
Jorge Freitas 2005/2006
Equações TrigonométricasEquações Trigonométricas
Equações do tipo:Equações do tipo: cos x k=
360º ,
cos x kcos x cox k
skα
α
== ⇔
=± + ⋅ ∈
Só são possíveis quandoSó são possíveis quando 1 1k− ≤ ≤
1º caso positivok
2 ,x k kα π=± + ∈
exemplo:12
cos cos6060º 360º
º,
2 ,3
x k
cos x
x
k
x k k
π π
=± +
=
=
= ⇔
± ∈
∈
+
⋅
α
α−k
Nota: o co-seno é positivo nos 1º e 4º quadrantes2º caso negativok
360º ,
cos x kcos x cox k
skα
α
== ⇔
=± + ⋅ ∈
2 ,x k kα π=± + ∈
α
α−k
( )
exemplo:12
cos cos 180º 60º cos1120º
2360
,
º
2
0º
2
,
3
x k
cos x
x
x
k
k kπ π
=± + ⋅
=−
= − = ⇔
= +
∈
± ∈
Nota: o co-seno é negativo nos 2º e 3º quadrantesCasos particulares
( )1,0( )01,−
( )0, 1−
( )0,1 0
,2
cos x
x k kπ π
= ⇔
= + ∈ 90º 180º ,x k k= + ∈
10 2 , 2 ,
cos xx k k x k kπ π
= ⇔= + ∈ ⇔ = ∈ 360º ,x k k= ∈
12 ,
cos xx k kπ π
=− ⇔= + ∈ 180º 360º ,x k k= + ∈
Jorge Freitas 2005/2006
π α+ α
Equações do tipo:Equações do tipo: tg x k=
São sempre possíveisSão sempre possíveis
180º ,x
tg x k
kt x t
kg gα
α= +
=
⋅= ⇔
∈
,x k kα π= + ∈
4
e
5
xe
º
mplo:1
45º180º
,
,
4
tg x
x k k
tk k
xxg tg
π π
= +
== ⇔
+
⋅
=
∈
∈
1º caso positivok
Nota: a tangente é positiva nos 1º e 3º quadrantes
2º caso negativok
180º ,x
tg x k
kt x t
kg gα
α= +
=
⋅= ⇔
∈
α−
,x k kα π= + ∈
( )
,
exemplo:1
45º 180º
4
5º,
4tg xtg x tgx k k
x k kπ π
=−
=− +
=−
= −
⋅ ∈
⇔
+
∈
Nota: a tangente é negativa nos 2º e 4º quadrantes
Por estranho que possa parecer, o poder das matemáticas reside no facto de queelas se abstêm de todo o pensamento inútil e economizam admiravelmente as
operações mentais.
E. Mach
Jorge Freitas 2005/2006
