Apostila de trigonometra

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TRIGONOMETRIA 1. Trigonometria no triângulo retângulo Um triângulo é chamado retângulo quando apresenta um de seus ângulos internos igual à 90º. O lado que está oposto ao ângulo reto é o maior lado e é chamado de hipotenusa, enquanto os outros dois são chamados de catetos. Para um triângulo retângulo podemos afirma sempre que: α +β = 90º (Ângulos Complementares) a 2 = b 2 + c 2 (Teorema de Pitágoras) 1.1 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Seno O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Sen α = = Sen β = =

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TRIGONOMETRIA

1. Trigonometria no triângulo retângulo

Um triângulo é chamado retângulo quando apresenta um de seus ângulos internos

igual à 90º. O lado que está oposto ao ângulo reto é o maior lado e é chamado de

hipotenusa, enquanto os outros dois são chamados de catetos.

Para um triângulo retângulo podemos afirma sempre que:

• α +β = 90º (Ângulos Complementares)

• a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras)

1.1 Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Seno

O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

Sen α = ������ ������ �

������ ��=

Sen β = ������ ������ � �

������ ��=

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Cosseno

O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a

hipotenusa

Tangente

A tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto

adjacente ao ângulo.

Exemplo 1: No triângulo retângulo ABC, conforme a figura abaixo, tem-se:

Cos α = ������ ��������� �

������ ��=

Cos β = ������ ��������� � �

������ ��=

Tg α = ������ ������ �

������ ��������� � =

Cos β = ������ ������ � �

������ ��������� � �=

Sen α = �

��= 0,6 Cos α =

��= 0,8

Sen β = �

��= 0,8 Cos β =

��= 0,6

Tg α = �

�= 0,75 Tg β =

� = 1,333...

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Exemplo 2: No triângulo retângulo ABC, como mostra a figura. Obtenha

os valores de seno, cosseno e tangente do ângulo BÂC .

a2 = 52 +72 = 74; logo a = √74

Sen Ǻ =

√ !=

√ !. √ !

√ ! = √ !

!

Cos Ǻ = #

√ !=

#

√ !. √ !

√ ! = #√ !

!

Tg Ǻ =

# = 1,4

Observação: O seno, cosseno e a tangente são razões entre grandezas da

mesma espécie e por isso são números puros, não vêm acompanhados de

unidades. No cálculo desses números, as medidas dos lados do triângulo

precisam estar na mesma unidade.

Valores Notáveis

Tabela dos valores trigonométricos de ângulos notáveis.

Resolução: Para calcular o valor do seno e do cosseno precisamos do valor da hipotenusa. Utilizaremos o Teorema de Pitágoras para calcular o valor da hipotenusa. Assim:

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Exemplo 3: Queremos encostar uma escada de 8 m de comprimento em

uma parede, de modo que ela forme um ângulo de 60º com o solo. A que

distância da parede devemos apoiar a escada no solo?

Podemos perceber um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 8 cm,

um ângulo de 60º e o lado x que queremos calcular. Como o lado x

representa o cateto adjacente ao ângulo de 60º, então:

Cos 600 = x/8 ; ½ = x/8, Logo x = 4m

Exemplo 4: Um agrimensor quer determinar a largura de um rio. Como

não pode efetuar diretamente essa medida, ele procede da seguinte

forma:

• Do ponto A, situado numa das margens do rio, ele avista o topo D,

de um morro na margem oposta, sob um ângulo de 60º com a

horizontal;

• Afastando-se 12 m, em linha reta, até o ponto B, ele observa

novamente o topo do morro segundo um ângulo de 53º com a

horizontal.

Com esses dados, que medida, em metros, ele achou para a largura do

rio? (dados: tg 530 = 1,33 e 31/2 = 1,7)

Page 5: Apostila de trigonometra

x – largura do rio

y – altura do morro

Para resolver este problema, utilizaremos dois triângulos, o ∆ACD e o ∆BCD:

Page 6: Apostila de trigonometra

Exemplo 5: Calcular o valor de x indicado na figura abaixo.

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2. Ciclo Trigonométrico

Arcos e Ângulos

Arco de uma circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência

fica dividida por dois de seus pontos.

Ângulo Central

Para cada arco existe sempre um ângulo central correspondente. A medida de

um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente.

med(AB) = α

Unidades de Medidas

Para medir arcos e ângulos utilizamos o grau e o radiano.

Grau (º)

Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada parte é um arco de um

grau (1º). Isto significa que a circunferência possui 360º.

Page 8: Apostila de trigonometra

Os submúltiplos do grau são o minuto (‘) e o segundo (‘’).

� Um minuto é igual a 1/60 do grau.

� Um segundo é igual a 1/60 do minuto.

Radiano (rad)

É o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o

contém.

α = 1rad

Admitindo o raio da circunferência como uma unidade, ou seja, raio unitário

(R=1rad) e partindo que o comprimento de uma circunferência é obtido fazendo

C = 2πR , temos:

C = 2π R

C =2π . 1rad

C =2π rad

Assim, a medida toda da circunferência, em radianos, é 2π rad.

Page 9: Apostila de trigonometra

Comparando as medidas em graus e em radianos, obtemos:

Exemplo 6. Converter 360 em radianos.

Exemplo 7. Converter 5π/2 rad em graus.

Exemplo 8: Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio que

marca 13 horas e 24 minutos.

Ponteiro dos minutos: 1min - 60

24min – x0 portanto, x = 1440

Resolução: Primeiro, precisamos estabelecer uma relação entre tempo e ângulo. Assim, se pensarmos que o ponteiro dos minutos leva 60 minutos para percorrer toda a circunferência e que a circunferência é dividida em 360º, então o ponteiro dos minutos move-se 6º em cada minuto. 1 min ---------- 6º. Da mesma forma estabelecemos a relação para o ponteiro das horas.

1 hora ---------- 30º 60 min ---------- 30º

Page 10: Apostila de trigonometra

Ponteiro das horas: 60 min - 300

24 min - y0 , portanto y = 120

Como o ponteiro das horas partiu do ponto 1, referente a 300, somando-se

temos:

Z = 30 + 12 = 420

Comprimento de um Arco

Para determinar o comprimento de um arco, podemos estabelecer uma regra

de três.

Exemplo 9: Numa circunferência de raio 6 cm qual é o comprimento de

um arco de 72º?

Resolução:

2π.6 cm - 3600

x - 720

x = 12 π/5, x = 7,54 cm

Exemplo 10: As rodas de uma bicicleta têm 60 cm de diâmetro.

a) Qual o comprimento da circunferência dessa roda?

b) Quantas voltas dará cada roda num percurso de 100 m?

Comprimento Ângulo (0) Ângulo (rad)

2πR 360 2π

x α β

Assim, o menor ângulo entre os ponteiros é dado por:

α = 144 – 42 = 1020

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Resolução: A medida do raio é igual à metade do diâmetro, assim:

a) o comprimento é dado por:

C = 2 π. R = 2 . 3,1416 . 30 = 188,4 cm ou 1,884 m

b) o número de voltas é determinado pela razão entre o percurso e o

comprimento de cada roda, então:

n = ��� $

�,��! $≅ 53 '()*+,

Exemplo 11: Numa circunferência de 32 cm de diâmetro, marca-se um

arco de 8 cm de comprimento. Qual a medida desse arco em radianos?

Ciclo Trigonométrico

O ciclo trigonométrico (ou circunferência trigonométrica) é determinado por

uma circunferência de raio unitário (R=1) fixada em um sistema de

coordenadas cartesianas ortogonais, com centro na origem do sistema

cartesiano.

No ciclo trigonométrico podemos observar as seguintes propriedades:

• Centro na origem dos eixos cartesianos;

• Raio unitário;

• Origem dos arcos no ponto A(1,0) que corresponde ao ângulo de 0º;

Page 12: Apostila de trigonometra

• Sentido anti-horário positivo (+) e horário negativo (-), a partir do ponto

A;

• Divide-se em quatro quadrantes

Observação: Como a circunferência trigonométrica tem raio unitário (R=1). A

medida de qualquer arco, em radianos é numericamente igual ao comprimento

desse arco. Portanto, percorrer um arco de x rad no ciclo trigonométrico é fazer

um percurso de comprimento x. Assim, ao invés de escrevermos 5π/12 rad,

escrevemos, apenas 5π/12 e chamamos de imagem de x no ciclo.

Exemplo 12: Marcar no ciclo a imagem do número x em cada caso.

a) x =π

.

b) x =.π

/

Page 13: Apostila de trigonometra

c) x = 1

d) x = −π

/

Exemplo 13: Divida o ciclo em 6 partes iguais, a partir da origem, e

indique o número x, 0 ≤ x ≤ 2p , associado a cada ponto divisor.

Resolução: Como a circunferência tem comprimento igual a 2π, então cada

parte equivale a 1/6 de 2π. Assim, cada parte tem comprimento igual a π/3.

Arcos Côngruos

Vamos representar os arcos de extremidades em 30º, 390º, 750º e 1110º no

mesmo ciclo trigonométrico. Percebemos que as extremidades destes arcos

encontram-se na mesma posição, porém em voltas diferentes. Os arcos que

têm a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas inteiras são

chamados de arcos côngruos.

Page 14: Apostila de trigonometra

300 300 + 00 300 + 00 . 3600

3900 300 + 3600 300 + 1 . 3600

7500 300 + 7900 300 + 2 . 3600

11100 300 + 10800 300 + 3 . 3600

x ................... α + k . 3600

Assim, podemos representar todos os arcos côngruos à 30º pela expressão:

x = 30º + 360º. k, k ∈ Z (Z = números inteiros)

De maneira geral:

• Se o arco estiver em graus:

x =α + 360º k, k ∈ Z

• Se o arco estiver em radianos:

x =α + 2kπ , k ∈ Z

Observação: Chama-se primeira determinação positiva de um arco se o

mesmo encontrar- se no intervalo de 0º a 360º, ou, 0 a 2p.

Exemplo 14: Um móvel, partindo do ponto A, percorreu um arco de 2396º

no ciclo trigonométrico. Quantas voltas completas foram dadas e em que

quadrante parou?

Page 15: Apostila de trigonometra

Foram completadas 6 voltas;como o arco de 2396º é côngruo ao arco de 236º

na primeira determinação, podemos verificar que sua extremidade encontra-se

no 3º quadrante

Exemplo 15: Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão

geral dos arcos côngruos ao arco de 1845º.

Resolução: Fazendo,

Tem-se que:

• A primeira determinação positivaé 45º;

• A expressão geral é dada por:

x = 45º+360º k, k ∈ Z

3. Funções Circulares

As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular

e são importantes devido à sua periodicidade, pois elas podem representar

fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o

comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis

de água dos oceanos, etc.

3.1. Função Seno

Denominamos função seno à função que a cada número real x faz

corresponder o número y = sen x.

Page 16: Apostila de trigonometra

O seno de um arco x é obtido fazendo a projeção da extremidade do arco no

eixo vertical, denominado eixo dos senos.

Domínio e Imagem

O domínio da função seno é o conjunto de todos os números reais, R.

Podemos perceber através do ciclo trigonométrico que o menor valor possível

para o seno é – 1 e o maior valor possível é 1. Assim, podemos dizer que o

conjunto imagem da função seno é o intervalo de – 1 a 1. Vejamos:

Estudo do Sinal

D = R

Im = {-1,1}

Page 17: Apostila de trigonometra

Valores Notáveis

Gráfico

A função seno é uma função periódica de período p = 2π. O período é o

comprimento do intervalo no qual a função passa por um ciclo completo de

variação.

Dada a função y = sen(mx), o período da função seno pode ser determinado

fazendo:

2 =24|6|

Page 18: Apostila de trigonometra

3.2. Função Cosseno

Denominamos função cosseno à função que a cada número real x faz

corresponder o número y = cos x.

Interpretação Geométrica

O cosseno de um arco x é obtido fazendo a projeção da extremidade do arco

no eixo horizontal, denominado eixo dos cossenos.

Domínio e Imagem

O domínio da função cosseno é o conjunto de todos os números reais, R.

Podemos perceber através do ciclo trigonométrico que o menor valor possível

para o cosseno é – 1 e o maior valor possível é 1. Assim, podemos dizer que o

conjunto imagem da função cosseno é o intervalo de – 1 a 1.

Vejamos:

D = R

Im = {-1,1}

Page 19: Apostila de trigonometra

Estudo do Sinal

Valores Notáveis

Gráfico

A função cosseno também é uma função periódica de período p = 2π.

2 =24|6|

Dada a função y = cos(mx), o período da função cosseno pode ser determinado fazendo:

Page 20: Apostila de trigonometra

Relação Fundamental I

Esta relação é válida para qualquer que seja x ∈ R.

,78.9 + ;(,.9 = 1

Exemplo 16: Determine o valor de sen x , sabendo-se que cos x = ½ e

3π/2 < x < 2π

Exemplo 17: Calcule o valor da expressão

< ==>?@ABB − CD=@EBB

CD=AFBB + =>?EGBB

Resolução: Calculando separadamente cada valor temos:

sen 1200 = sen 600 = √/

.

cos 1500 = -cos 300 =− √/

.

sen 5700 = sen 2100 = -sen 300 = -1/2

Resultado: −√3

Exemplo 18: determine a expressão

H ==>?

I

A− CD=AI

CD=I

J− =>?FI

; =LM>?ND − => OP> I =Q

A

3.3. Função tangente

Denominamos função tangente à função que a cada número real x faz

corresponder o número y = tg x.

Interpretação Geométrica

Page 21: Apostila de trigonometra

Domínio e Imagem

Estudo do Sinal

Valores Notáveis

A tangente de um arco x é obtida fazendo o prolongamento do raio da extremidade do arco no eixo vertical paralelo ao eixo dos senos que tangencia o ciclo trigonométrico no ponto x = 0, denominado eixo das tangentes.

Nos pontos 90º e 270º, as retas geradas pelo prolongamento dos raios geram uma reta paralela ao eixo das tangentes, assim, não existirá tangente para os valores de 90º, 270º e todos os arcos côngruos a estes.

D = {x ∈ R, x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}

Im = R

Page 22: Apostila de trigonometra

Gráfico

Relação Fundamental II

Esta relação é válida para qualquer que seja x ∈R / x ≠ 90º + kπ, k ∈ Z.

RST =UVWT

XYUT

Exemplo 19: Determine o valor da expressão

2 =4

|6|

A função tangente também é uma função periódica de período p = π.

Dada a função y = tg (mx), o período da função tangente pode ser determinado fazendo:

Page 23: Apostila de trigonometra

Z =XYU G[BB + RS

J\

F

J. RS ]JBB. UVW F\

J

Resolução: Calculando os valores para cada termo, temos:

cos780º = cos60º = 1/2

tg 3π/4 = - tg π/4 = -1

tg 930º = tg 210º = tg 30º = √/

/

Sen 4 π/3 = - sen π/3 = - √/

.

Assim,

Z =

@

A+ (−@)

J. √J

J . (− √J

A)

=@

J

Exemplo 20: Dado o valor de sen x = - 3/5 , com π< x < 3π/2, determine o

valor da tg x .

Exemplo 21: Dado que sen x + cos x = a , calcule o valor de y = sen x ×

cos x em função de a.

Page 24: Apostila de trigonometra

3.4. Função Cossecante

Denominamos função cossecante à função que a cada número real x faz

corresponder o número y = cossec x.

Interpretação Geométrica

Domínio e Imagem

O domínio da função cossecante pode ser observado no gráfico a seguir:

Nos pontos 0º e 180º, as retas tangentes aos arcos são paralelas ao eixo das

cossecantes, assim, não existirá intersecção, logo não será possível calcular a

cossecante para os valores de 0º, 180º e todos os arcos côngruos a estes.

D = {x∈R ; x ≠ kπ , k ∈Z}

A imagem da cossecante serão todos os valores fora do ciclo trigonométrico,

ou seja, maiores ou igual a 1 e menores ou igual a – 1, assim:

Im = R - ]-1;1[

A cossecante de um arco x é obtida através da distância da origem do eixo vertical até a intersecção da reta que tangencia o ponto que representa a extremidade do arco x. Assim, o eixo vertical passa a ser chamado, também, de eixo das cossecantes.

Page 25: Apostila de trigonometra

Estudo do Sinal

Gráfico

A função cossecante também é uma função periódica de período p = 2π.

Dada a função y = cossec(mx), o período da função cossecante pode ser

determinado fazendo:

2 =24|6|

Page 26: Apostila de trigonometra

3.5. Função Secante

Denominamos função secante à função que a cada número real x faz

corresponder o número y = sec x.

Interpretação geométrica

Domínio e Imagem

O domínio da função secante pode ser observado no gráfico a seguir: Nos

pontos 90º e 270º, as retas tangentes aos arcos são paralelas ao eixo das

secantes, assim, não existirá intersecção, logo não será possível calcular a

secante para os valores de 90º, 270º e todos os arcos côngruos a estes.

{D = x∈R ; x ≠ π/2 + kπ , k ∈ Z}

A imagem da secante serão todos os valores fora do ciclo trigonométrico, ou

seja, maiores ou igual a 1 e menores ou igual a -1, assim:

Im = R - ]-1;1[

A secante de um arco x é obtida através da distância da origem do eixo horizontal até a intersecção da reta que tangencia o ponto que representa a extremidade do arco x. Assim, o eixo vertical passa a ser chamado, também, de eixo das secantes.

Page 27: Apostila de trigonometra

Estudo do Sinal

Gráfico

3.6. Função Cotangente

Denominamos função cotangente à função que a cada número real x faz

corresponder o número y = cotg x.

2 =24|6|

Período

Page 28: Apostila de trigonometra

Interpretação Geométrica

Domínio e Imagem

Nos pontos 0º e 180º, as retas geradas pelo prolongamento dos raios geram

uma reta paralela ao eixo das cotangentes, assim, não existirá cotangente para

os valores de 0º, 180º e todos os arcos côngruos a estes.

D = {x∈R / x ≠ kπ , k ∈ Z}

A imagem da cotangente serão todos os valores, incluindo dentro do ciclo

trigonométrico, ou seja, todos os números reais, assim:

Im = R

A cotangente de um arco x é obtida fazendo o prolongamento do raio da extremidade do arco no eixo horizontal paralelo ao eixo dos cossenos que tangencia o ciclo trigonométrico no ponto x = π/2, denominado eixo das cotangentes.

Page 29: Apostila de trigonometra

Estudo do sinal

Gráfico

3.7. Relações entre as Funções Circulares

CD=I. =>CI =@

=>?I

=>CI =@

CD=I

CD`aI =@

`aI=

CD=I

=>?I

`aAI + @ = =>CAI

CD`aAI + @ = CD==>CAI

2 =4

|6|

Período

Page 30: Apostila de trigonometra

Exemplo 22: Calcule, se existir, o valor numérico para:

a) cossec π/6 b) sec 5 π/6 c) cotg 480 º d) cossec (-π/4)

Resolução:

a) Cossec π/6 = 1/sen π/6 =1/ 0,5 = 2

b) Sec 5 π/6 = 1/ cos 5 π/6 = 1/ - cos π/6 = -2/√J

c) cotg 480 º = 1/tg 480 º = 1/ tg 120 º = 1/-tg60o = 1/-√3 = - √J

J

d) cossec (-π/4) = 1/sen(-π/4) = 1/ -sen (π/4) = 1/ - √.

. = - √A

Exemplo 23: Construa o gráfico das funções:

a) y = 2sen x b) f(x) = sen 2x c) y = cos x+1 d) f(x) = cos x/2

Resolução: Para construir o gráfico de cada função, primeiro, vamos

determinar o período e a imagem, e em seguida construir uma tabela para

determinados valores. Vejamos:

a) y = 2sen x

Período:

2 =24|6|

=24|1|

= 24

Imagem: Im = [- 2;2]

X y = 2sen x y

0 Y = 2 sen 0 = 0 0

π/2 2sen π/2 = 2.1 2

π 2sen π = 2.0 0

3π/2 2sen 3π/2 = 2.(-1) -2

2π 2sen 2π=2.0 0

Page 31: Apostila de trigonometra

b) f (x) = sen 2x

2 =24|6|

=24|2|

= 4

Imagem: Im = [-1;1]

x f(x) = sen 2x f(x)

0 sen 2.0 = 0 0

π/4 sen 2.π/4 = sen π/2=1 1

π/2 sen 2π/2 = sen π = 0

3π/4 sen 2.3π/4 = sen3π/2 -1

π sen 2π=0 0

Page 32: Apostila de trigonometra

c) f(x) = cos x +1

2 =24|6|

=24|1|

= 24

Imagem: Im = [0;2]

x f(x) = cosx+1 f(x)

0 cos0+1 = 1+1 = 2 2

π/2 cosπ/2+1 = 0+1=1 1

π cosπ+1= -1+1 = 0 0

3π/2 cos3π/2+1 = 0+1 1

2π cos2π= 1+1 2

d) y = cos x/2

2 =24|6|

=24

|1/2|= 44

Imagem: Im = [-1;1]

Page 33: Apostila de trigonometra

x y = cos x/2 y

0 cos0/2 = cos0 = 1 1

π cos π/2 = 0 0

2π cos2π/2 =cos π=-1 -1

3π cos3π/2 = 0 0

4π Cos4π/2=cos2π=1 1

4. Equações Trigonométricas

Uma equação trigonométrica é uma equação que envolve as funções

trigonométricas.

4.1. Equação do tipo sen x = sen a.

Dado um número real z vamos determinar os valores de x que satisfazem à

equação sen x = sen a . Observando que a condição para que exista solução é

-1 ≤ z ≤ 1. Vejamos:

Exemplo 24: Determine o conjunto solução da equação sen x = √A

A , U = R.

,789 =√2

2

Page 34: Apostila de trigonometra

,789 =4

4 7 ,789 =

34

4

9 =4

4+ 2c4 7 9 =

34

4+ 2c4

Como o domínio da função são todos os números reais, devemos considerar todos os arcos côngruos a π/4 e 3π/4. Assim: S = { x ∈ R; x = π/4 + 2k π ou x = 3π/4+ 2k π , k ∈ Z}