Análisis con el método de columna ancha

Leonardo Flores Corona

23 de julio de 2019, Aguascalientes, Ags.

Análisis con el método

de columna ancha

2Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.

24 de julio de 2019

Método simplificado (hasta las NTCM-2004)

Para estructuras a base de muros

Limitaciones (HTot ≤ 13 m, L/B ≤ 2,…etc.)

Suma de resistencias de muros en una

planta en cada dirección ΣVR,i

Revisión Vu ≤ ΣVR,i

Método estático

V0 = WT c/Q’, usar acc. espectral a=f(T)

distribuir fuerzas por piso Fi

Métodos dinámicos

Modal espectral

Análisis Paso a paso

Métodos para análisis sísmicos


24 de julio de 2019

Muros regulares: columnas anchas.

Distribución compleja: elementos finitos, puntales y

tensores, etc...

Muros diafragma: como diagonal equivalente o como

paneles unidos en las esquinas con el marco.

Prototipo Columna ancha Elemento finito

Métodos de análisis refinados


24 de julio de 2019

www.smie.org.mx

Análisis de estructuras de mampostería

Acciones de diseño

Fenómeno sísmico


24 de julio de 2019

Tiempo t, sAceleración del terreno

-200

-100

100

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Acele

ració

n

0

F=m·a

m

V

Aceleración del terreno m

k

a

Aceleración del terreno

Efecto del sismo en las estructuras


24 de julio de 2019

Fm = m·a

Fc = c·v

Fk = k·u

k

Fk

u

1

c

Fc

v

1

m a + c v + k u = 0

Ecuación de equilibrio dinámico

Ecuación de equilibrio dinámico

m

Fk

Fa

Movimiento del terreno

Fc

u

s

c

k


24 de julio de 2019

Terreno (T 0 s)

T1

T2

T3

T1 T2 T3

Periodo de vibrar, seg

Re

sp

ue

sta

(a

, v,

d, e

tc.)

k3

m3

k2

m2

k1

m1

T =2 m/k

Espectro de respuesta


24 de julio de 2019

-400

-300

-200

-100

100

200

300

400

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Tiempo t, s

Ac

ele

rac

ión

-400

-300

-200

-100

100

200

300

400

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Tiempo t, s

Ac

ele

rac

ión T = 1.4 s

Terreno (T 0 s)m

V

F=m·a

Espectro

de respuesta

0

200

400

600

800

1000

0 0.5 1 1.5 2Periodo T, s

Sa

, cm

/s²

0

0

Aceleración espectral


24 de julio de 2019

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 1 2 3 4 5

Periodo T, s

Ace

lera

ció

n S

a/g

(Reinoso y Jaimes, 2009)

Espectro de diseño


24 de julio de 2019

si {u} vector de desplazamientos

{ u} vector de velocidades

{ü} vector de aceleraciones s aceleración del terreno

Sistema de múltiples grados de

libertad.- Ecuación de equilibrio

dinámico

𝑴 𝒖 + 𝑪 𝒖 + 𝑲 𝒖 = −[𝑴]{𝑱} 𝒔

[M] matriz de masas

[C] matriz de amortiguamientos

[K] matriz de rigideces

{J} vector de unos en los grados de libertad

mn

m2

m1

kn

k2

k1

1

2

n…

GDL


24 de julio de 2019

Solución ecuación matricial, caso

vibración libre no amortiguada

𝑴 𝒖 + 𝑲 𝒖 = {𝟎}

La solución es una configuración de desplazamientos (forma

modal) con una frecuencia particular para cada modo.

1er 2° 3er

El movimiento es armónico simple:

u = a sen ωt

ü = –ω² a sen ωtLa aceleración es:

Sustituyendo:

𝑲 𝒂 − ω² 𝑴 𝒂 = {𝟎}

a

Que tiene solución no trivial cuando:

| 𝑲 − ω² 𝑴 | = 𝟎 (el determinante sea cero)


24 de julio de 2019

1er modo

T1

2° modo

T2

3er modo

T3

Análisis dinámico: formas modales


24 de julio de 2019

1er modo + 2° modo + 3er modo +… Σ = Final

Análisis dinámico:

superposición modal


24 de julio de 2019

Vi = Ve / Q’

Desplazamientos iguales Áreas iguales

Vy

y u

μ =u / y

Ductilidad

Reducción de fuerza elástica

k = Ve / e

Rigidez

e

Ve

Ve / 1.5

Ve / 2

Ve / 4

k1

e

Ve

Ve / 2.6

i

k1

Reducción de fuerzas sísmicas


24 de julio de 2019

Reducción de fuerzas sísmicas

𝑅 = 𝑘1𝑅0 + 𝑘2

𝑅0 = 2, para mampostería (factor básico de sobrerresistencia);

𝑘1 = 1, para mampostería (factor de corrección por hiperestaticidad)

𝑘2 = 0.5 1 −𝑇

𝑇𝑎

1

2> 0 factor para estructuras pequeñas y rígidas


24 de julio de 2019

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 1 2 3 4 5

Periodo T, s

Sa

/g =

a/Q

'

1

1.5

2

3

4

Zona III b

Q = 1

Q = 1.5

Q = 2

Q = 3

Q = 4

si T ≥ Ta, o T=?

Q’ = Q

si T < Ta

Q’ = 1+T/Ta (Q-1)

Reducción fuerzas sísmicas


24 de julio de 2019

Límites de altura y tipo de análisis,

NTC-S, RCDF (2017)Para Grupo A.- No se admite el método estático

Para Grupo B.- Se admite para:

Estructura regular: HT 30 m en zona II o III

HT 40 m en zona I

Estructura irregular: HT 20 m en zona II o III

HT 30 m en zona I

Estructura muy irregular: No se admite

Sin diafragma rígido y simetría: No se admite

Análisis dinámico modal espectral.-

En cualquier caso menos si requiere DNLPP:

Debe analizarse como dinámico no lineal paso a paso (DNLPP) si:

Estructura regular: HT > 120 m en zona II o III

Estructura irregular: HT > 100 m en zona II o III

Estructura muy irregular: HT > 80 m en zona II o III


24 de julio de 2019

1) Muros/marcos paralelos a X, Y (≤ 15°)

2) H / Bmín ≤ 4

3) L / B ≤ 4

4) Entrantes y salientes: dim ≤ 20% planta

5) Sistema de piso rígido y resistente

6) Área de aberturas ≤ 20% planta y no difiere de

piso a piso (salvo azotea)

7) Peso ≤ 120% piso inferior

8) Dimensión ≤ 110% piso inmediato inferior

Dimensión ≤ 125% cualquier piso inferior

9) Columnas restringidas en todo piso (losa/vigas)

Condiciones de Regularidad

(NTC-S, RCDF, 2017)


24 de julio de 2019

10) Columnas de entrepiso de misma altura (salvo az.)

11) Rigidez difiere ≤ 20% piso inmediato inf. (salvo az.)

12) Desplaz. lat. planta ≤ 120% prom. de los extremos

13) (VR/Vu)piso i ≥ 0.85 prom(VR/Vu)todos si Q = 4

(VR/Vu)piso i ≥ 0.75 prom(VR/Vu)todos si Q ≤ 3

(salvo azotea)


(NTC-S, RCDF, 2017)

Irregular.-

si no cumple cualquiera: 5, 6, 9, 10, 11, 12 ó 13

o si no cumple dos o más de: 1, 2, 3, 4, 7 y 8


24 de julio de 2019

Muy Irregular si:

no cumple dos o más: 5, 6, 9, 10, 11, 12 ó 13

• Desplaz. lat. planta > 130% prom. de los extremos

• Rigidez lateral ≥ 140% piso inmediato inferior

Resistencia corte ≥ 140% piso inmediato inferior

• > 30 % columnas no cumplen el 9 (restringidas)

Planta baja débil si:

• (VR/Vu)1=PB < 0.6 (VR/Vu)2 y

(VR/Vu)1=PB < 0.6 (VR/Vu)j para más de la mitad de

los pisos de j=3,…n


(NTC-S, RCDF, 2017)


24 de julio de 2019

Q’ se multiplica por: (pero siempre Q’ ≥ 1)

1.0 si es regular

0.8 si es irregular

0.7 si es muy irregular

planta baja débil:

Q’ = 1.0 en la planta baja

Q’ la que corresponda en pisos superiores

(sin factores de irregularidad)

Li ≤ 0.006 en planta baja

Análisis dinámico no lineal paso a paso:

no requiere factor por irregularidad

Correcciones por irregularidad


24 de julio de 2019

Ejemplo:

para zona IIIb

Q = 2

si factor = 0.8:

si T ≥ Ta , o T = (?)

Q’ = 0.8Q = 1.6

si T < Ta

Q’ = 0.8[ 1+T/Ta (Q-1) ] ≥ 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 1 2 3 4 5

Sa

/g =

a/Q

'

Periodo T, s

Q=2

0.7Q

0.8Q

Elástico

Modificación de Q’ por Irregularidad

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Q' (i

nclu

ye

Irre

gu

lari

da

d)

Periodo T, s

FIrreg=1

0.8

0.7


24 de julio de 2019

Se admite si la estructura tiene las siguientes

características:

Calificada como regular y HT 30 m en zona II o III

HT 40 m en zona I

Estructura es irregular y HT 20 m en zona II o III

HT 30 m en zona I

Wn

Wi

…

W2

W1

Fn

Fi

F2

F1

hn

hi

…

h2

h1

oii

iiii a

Q

c

hW

WhW

Q

cF ;

Fi = Wi αhi

V0 / W0 = c/Q a0

Análisis estático, NTC-S, RCDF (2017)

(Las aceleraciones

varían en forma de

triángulo invertido)


24 de julio de 2019

Distorsión lateral inelástica

(en las NTC-Sismo)

Sistema Estructural QDistorsión

de diseño

Muros de carga de mampostería confinada de

piezas macizas con refuerzo horizontal2.0 0.010


piezas macizas2.0 0.005


piezas huecas con refuerzo horizontal2.0 0.008


piezas huecas1.5 0.004

Muros de carga de mampostería de piezas

huecas reforzadas interiormente1.5 0.006

Muros diafragma / Marcos y muros de carga (1) (2)

Muros de carga de piezas huecas o macizas sin

refuerzo(3), Mampostería de piedra1.0 0.002

(1) Marcos y muros, si los marcos resisten 70%: Q del marco; sino: Q del muro(2) Del tipo de mampostería utilizada.(3) Sólo para revisión de estructuras existentes.


24 de julio de 2019

Sismicidad en México


24 de julio de 2019

Programa PRODISIS, CFE 2015


24 de julio de 2019

Sistema de Acciones Sísmicas de

Diseño SASID ver 4.0.2 (NTCS-RCDF,

2017)

http://www.SASID.df.gob.mx

Método de la columna

ancha


24 de julio de 2019

Modelo de la columna ancha

columnas ubicadas en el

centro del muro y con las

propiedades del mismo

vigas con extremos rígidos

dentro del ancho del muro

dirección del

análisis

PLANTAt

6t

tdirección del

análisis

6t

6t

Ancho del patín de compresiónModelo de columna ancha


24 de julio de 2019

Modelo de la columna ancha


24 de julio de 2019

División de un muro largo

cantiliver

doble

empotrado

Gm=0.4Em

Gm=0.2Em

Se puede dividir si :

y se usa

𝐺𝑚 = 0.2𝐸𝑚

𝐿/𝐻 > 1.4

error


24 de julio de 2019

Verificación del modelado con columna

ancha

FR1 FR2

FR3 FR4


24 de julio de 2019

Propiedades de las

secciones para muros

hc

Lm

L

bct

Área: A = t·L

Área de cortante:

Av = A/k, k=1.2

Momento de inercia (mayor):

Ix = t·L³/12

Como sección rectangular:

L

t

Sección transformada:

Lm = L – 2hc , Ac = hc·bc , nc = Ec /Em

Área: A = t·Lm + 2nc Ac

Área de cortante:

Av = t·L (aprox.)

Momento de inercia (mayor):

Ix = t·Lm³/12 + 2nc [ bchc³/12 + Ac(L-hc)²/4 ]


24 de julio de 2019


24 de julio de 2019

Modelado

Esfuerzo y deformación por cortante:

Energía acumulada:hm

hc

hc

y

hc

E.N.t1

Factor de Forma

Área de Cortante

Factor de forma

Referencia: Dr. Juan José Pérez Gavilán


24 de julio de 2019

Modelado

nt1

hmhc

hc

hmhc

hc

t1

t1

(a)

(b)

4 3

1 2

(1,-1)(-1,-1)

(1,1)(-1,1)

Factor de forma

Referencia: Taveras, 2008

𝑘 =6

51 +

𝛼(𝑛 − 1

2 − 2𝛼


24 de julio de 2019

Restricción de losas, dinteles y pretiles.

Modelado de losas con vigas o dalas

(NTC-M, 2004)

muro

incluir pretiles

(sección transformada)

tlosa

losa con

trabe o dala

4tlosa

4tlosa

sólo losa

tlosa

3tlosa

muro

ancho equivalente

mu

ro

mu

ro


24 de julio de 2019

Acotaciones, en cm

135

335

285 240135 130130 240

335

120

285

6 5 4 3 2 1 2’ 3’ 4’ 5’ 6’

C

B

A

Ejemplo de análisis de estructuras de

mampostería


24 de julio de 2019

Fachada del edificio (eje A)V

ista

del eje

A

35595

250

250

355290195 195 95

65

6 5 4 3 2 1 2’ 3’ 4’ 5’ 6’

Dim

en

sio

ne

s e

n c

m


24 de julio de 2019

Modelo de marco equivalente para

análisis (columna ancha)Marco equivalente del eje A


24 de julio de 2019

Modelo de marco equivalente para

análisis (columna ancha)

Zona de

momento

de inercia infinito


24 de julio de 2019


24 de julio de 2019

Mismo desplaza-

miento vertical

Zona rígida

Análisis 3D:

Columna ancha

Ligas rígidas entre

columnas anchas;

desplazamientos ligados en

nudos de unión

Métodos de análisis


24 de julio de 2019

Mismo desplaza-miento vertical

Zona rígida


24 de julio de 2019

Modelo de columna ancha 3D


24 de julio de 2019

Momentos

flexionantes

Modelo de columna ancha


24 de julio de 2019

Análisis con el método de las rigideces (ejemplo con sólo deformaciones por flexión)

Grados de libertad

1 23

GDL

Convención de signos:

θ2 = 1

6𝐸𝐼𝑐

𝐻²

4𝐸𝐼𝑡𝐿

4𝐸𝐼𝑐𝐻

2𝐸𝐼𝑡𝐿

3 = 1

6𝐸𝐼𝑐𝐻²

12𝐸𝐼𝑐

𝐻³

6𝐸𝐼𝑐𝐻²

12𝐸𝐼𝑐𝐻³

Σ𝑀① =4𝐸𝐼𝑐𝐻

+4𝐸𝐼𝑡𝐿

𝜃1 +2𝐸𝐼𝑡𝐿

𝜃2 +6𝐸𝐼𝑐

𝐻²𝛿3 = 𝑀1

Σ𝑀② =2𝐸𝐼𝑡𝐿

𝜃1 +4𝐸𝐼𝑐𝐻

+4𝐸𝐼𝑡𝐿


𝐻²𝛿3 = 𝑀2

Σ𝐹③ =6𝐸𝐼𝑐

𝐻²𝜃1 +

6𝐸𝐼𝑐

𝐻²𝜃2 +

24𝐸𝐼𝑐

𝐻³𝛿3 = 𝐹3

Planteando el equilibrio de fuerzas y

momentos en los nudos (en los GDL)

se establece el sistema de ecuaciones

simultáneas lineales:

(Se han despreciado

deformaciones axiales)

θ1 = 1

6𝐸𝐼𝑐

𝐻²

4𝐸𝐼𝑡𝐿

4𝐸𝐼𝑐𝐻

2𝐸𝐼𝑡𝐿

empotrado

H

L

It

Ic

Geometría y propiedades

F3

M1 M2


24 de julio de 2019

Análisis con el método de las rigideces (ejemplo con sólo deformaciones por flexión)

4𝐸𝐼𝑐𝐻

+4𝐸𝐼𝑡𝐿

𝜃1 +2𝐸𝐼𝑡𝐿


𝐻²𝛿3 = 𝑀1

2𝐸𝐼𝑡𝐿

𝜃1 +4𝐸𝐼𝑐𝐻

+4𝐸𝐼𝑡𝐿


𝐻²𝛿3 = 𝑀2

6𝐸𝐼𝑐

𝐻²𝜃1 +

6𝐸𝐼𝑐

𝐻²𝜃2 +

24𝐸𝐼𝑐

𝐻³𝛿3 = 𝐹3

4𝐸𝐼𝑐

𝐻+

4𝐸𝐼𝑡

𝐿

2𝐸𝐼𝑡

𝐿

6𝐸𝐼𝑐

𝐻²2𝐸𝐼𝑡

𝐿

4𝐸𝐼𝑐

𝐻+

4𝐸𝐼𝑡

𝐿

6𝐸𝐼𝑐

𝐻²6𝐸𝐼𝑐

𝐻²

6𝐸𝐼𝑐

𝐻²

24𝐸𝐼𝑐

𝐻³

𝜃1

𝜃2

𝛿3

= 𝑀1

𝑀2

𝐹3

Ordenando los coeficientes y variables en matriz y vectores y expresándolos como un

producto de matrices:

Que se puede escribir en forma compacta:

donde:𝐾 =

4𝐸𝐼𝑐

𝐻+

4𝐸𝐼𝑡

𝐿

2𝐸𝐼𝑡

𝐿

6𝐸𝐼𝑐

𝐻²2𝐸𝐼𝑡

𝐿

4𝐸𝐼𝑐

𝐻+

4𝐸𝐼𝑡

𝐿

6𝐸𝐼𝑐

𝐻²6𝐸𝐼𝑐

𝐻²

6𝐸𝐼𝑐

𝐻²

24𝐸𝐼𝑐

𝐻³

, {} = 𝜃1

𝜃2

𝛿3

,{F} =

𝑀1

𝑀2

𝐹3

Y se resuelve el sistema invirtiendo la matriz o usando métodos numéricos: {} = [K]-1 {F}

Conocidas las

deformaciones los

elementos mecánicos

se calculan con las

rigideces:

[K] {} = {F}

θ1 θ23

𝑀𝐴 =4𝐸𝐼𝑡

𝐿𝜃1+

2𝐸𝐼𝑡

𝐿𝜃2 𝑀𝐵 =

2𝐸𝐼𝑡

𝐿𝜃1+

4𝐸𝐼𝑡

𝐿𝜃2

𝑉 =𝑀𝐴 + 𝑀𝐵

𝐿

MAMB

V


24 de julio de 2019

Ejemplo: análisis con el método de las

rigideces (considerando deformaciones por flexión, cortante y extremos

rígidos) Convención de signos:

θ2 = 1

𝑉𝐴,𝑐𝑟𝐴𝐴,𝑡

𝑟𝐴𝐴,𝑐

𝑟𝐴𝐵,𝑡

3 = 1

𝑉𝐴,𝑐

𝑉𝐴𝐵,𝑐

𝑉𝐴,𝑐

𝑉𝐴𝐵,𝑐

Planteando el equilibrio de fuerzas y

momentos en los nudos (en los GDL) se

establece el sistema de ecuaciones

simultáneas lineales y en forma matricial:

(Se desprecian

deformaciones axiales)

θ1 = 1

𝑉𝐴,𝑐

𝑟𝐴𝐴,𝑡

𝑟𝐴𝐴,𝑐

𝑟𝐴𝐵,𝑡

empotrado

H

L

It

Ic

Geometría y propiedades

F3

M1 M2

𝐾 =

𝑟𝐴𝐴,𝑐 + 𝑟𝐴𝐴,𝑡 𝑟𝐴𝐵,𝑡 𝑉𝐴,𝑐

𝑟𝐴𝐵,𝑡 𝑟𝐴𝐴,𝑐 + 𝑟𝐴𝐴,𝑡 𝑉𝐴,𝑐

𝑉𝐴,𝑐 𝑉𝐴,𝑐 2𝑉𝐴𝐵,𝑐

; {} = [K]-1 {F}

Grados de libertad

GDL

23

1

L


24 de julio de 2019

Rigidez de la barra con extremos rígidos,

caso: sólo deformaciones por flexión

L

L’a b

𝛼 =𝑎

𝐿′, 𝛽 =

𝑏

𝐿′

rAA

VA VAL

rBA =rAB

VA

VB

VAB VAB

L’

𝐾 =

𝑟𝐴𝐴 𝑟𝐴𝐵

𝑟𝐴𝐵 𝑟𝐵𝐵

𝑉𝐴 −𝑉𝐴𝑉𝐵 −𝑉𝐵

𝑉𝐴 𝑉𝐵

−𝑉𝐴 −𝑉𝐵

𝑉𝐴𝐵 −𝑉𝐴𝐵

−𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐴𝐵

𝑟𝐴𝐴 =4𝐸𝐼

𝐿′1 + 3𝛼 + 3𝛼²

𝑟𝐵𝐵 =4𝐸𝐼

𝐿′1 + 3𝛽 + 3𝛽²

𝑟𝐴𝐵 =2𝐸𝐼

𝐿′1 + 3𝛼 + 3𝛽 + 6𝛼𝛽

VA = (rAA+rAB) / LVB = (rBB+rAB) / LVAB = (rAA+rBB+2rAB) / L²

; rBA = rAB

rBB

VBVB L

rAB


24 de julio de 2019

Caso general de barra prismática, incluye

deformación por cortante y extremos rígidos

L

L’a b𝛼 =

𝑎

𝐿′, 𝛽 =

𝑏

𝐿′

𝐾 =

𝑟𝐴𝐴 𝑟𝐴𝐵

𝑟𝐴𝐵 𝑟𝐵𝐵

𝑉𝐴 −𝑉𝐴𝑉𝐵 −𝑉𝐵

𝑉𝐴 𝑉𝐵

−𝑉𝐴 −𝑉𝐵

𝑉𝐴𝐵 −𝑉𝐴𝐵

−𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐴𝐵

VA = (rAA+rAB) / LVB = (rBB+rAB) / LVAB = (rAA+rBB+2rAB) / L²𝑟𝐴𝐴 =

4𝐸𝐼

𝐿′

1 + 𝑐 + 3𝛼 + 3𝛼²

1 + 4𝑐

𝑟𝐵𝐵 =4𝐸𝐼

𝐿′

1 + 𝑐 + 3𝛽 + 3𝛽²

1 + 4𝑐

𝑟𝐴𝐵 =2𝐸𝐼

𝐿′

1 − 2𝑐 + 3𝛼 + 3𝛽 + 6𝛼𝛽

1 + 4𝑐

𝑟𝑁 =𝐸𝐴

𝐿′, 𝑟𝑇 =

𝐺𝐽

𝐿′

donde:𝑐 = 6 (1 + 𝜈

𝐼

𝐴𝑣𝐿²


24 de julio de 2019

𝑉 =𝑀𝐴 + 𝑀𝐵

𝐿

MAMB

V

Ejemplo: análisis con el método de las rigideces (considerando deformaciones por flexión, cortante y extremos rígidos)

Se resuelve el sistema invirtiendo la matriz o usando métodos numéricos: {} = [K]-1 {F}

Conocidas las deformaciones los elementos

mecánicos se calculan con las rigideces:

𝑀𝐴 = 𝑟𝐴𝐴,𝑐𝜃1+ 𝑉𝐴,𝑐𝛿3

𝑀𝐴 = 𝑟𝐴𝐴,𝑡𝜃1+ 𝑟𝐴𝐵,𝑡𝜃2

θ1

θ2 3

𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑟𝐴𝐵,𝑐𝜃1+ 𝑉𝐴,𝑐𝛿3

𝑉=

𝑀𝐴+

𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒

𝐻

𝑀𝐵 = 𝑟𝐴𝐵,𝑡𝜃1+ 𝑟𝐵𝐵,𝑡𝜃2

Elementos mecánicos en las columnas

Elementos mecánicos en los extremos de la trabe

𝑉1 =𝑀𝐴1 + 𝑀𝐵1

𝐿′

MA1MB1

V1V1

Elementos mecánicos en la trabe

𝑀𝐴1 = 𝑀𝐴 − 𝑉 · 𝑎

𝑉1 = 𝑉

a

b

𝑀𝐵1 = 𝑀𝐵 − 𝑉 · 𝑏

O bien:


24 de julio de 2019

Modelado con elemento finito

Análisis con el método de columna ancha

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