Analiza Stabilitatii Sistemelor Automate

download Analiza Stabilitatii Sistemelor Automate

of 6

  • date post

    02-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    61
  • download

    7

Embed Size (px)

description

ok

Transcript of Analiza Stabilitatii Sistemelor Automate

  • 1

    Analiza stabilitii sistemelor automate 6.1. Criteriul lui Bode6.1. Criteriul lui Bode6.1. Criteriul lui Bode6.1. Criteriul lui Bode

    Utiliznd caracteristicile semilogaritmice de frecven, stabilitatea se poate aprecia prin dou mrimi:

    marginea (ctigul) de amplitudine:

    marginea (ctigul) de faz:

    unde t este pulsaia de tiere (|H(j)| = 1), iar pulsaia la care sistemul are o faz egal cu (vezi figura de mai jos).

    0

    oo o1t 2t

    +-

    0

    - 180001>

    02

    Stabil

    Instabil

    Figura 1. Caracteristicile semilogaritmice de frecven criteriul lui Bode

    Criteriul lui Bode precizeaz:

    Condiia necesar i suficient ca un sistem s fie stabil este ca marginea de amplitudine i

    marginea de faz s fie pozitive n situaia n care caracteristicile semilogaritmice de frecven ale

    sistemului deschis sunt monoton descresctoare. Se observ c la sistemele stabile, t < . Practica arat c stabilitatea intern se asigur pentru m 10 20 dB i 300 600.

  • 2

    EXEMPLUL 1. n acest exemplu se d o funcie de transfer i se dorete studierea stabilitii cu ajutorul criteriului de stabilitate Bode, dup cum urmeaz: se definete funcia de transfer

    cu ajutorul a dou variabile, numite num i den. n acestea sunt introduse valorile corespunztoare coeficienilor (n ordinea descresctoare a puterilor) numrtorului i numitorului: >> num=[40]

    >> den=[0.5 1.5 1 0]

    Pentru reprezentarea n frecven a caracteristicilor de frecven semilogaritmice, se folosete funcia MATLAB bode(num,den). Dac se dorete i afiarea marginei de amplitudine i de faz, se folosete comanda: margin(num,den).

    Dup executarea acestei comenzi, se va deschide o fereastr grafic coninnd cele dou caracteristici amplitudine-pulsaie i faz-pulsaie. Intersecia reprezentrii amplitudine-pulsaie cu axa 0 se noteaz cu t i se numete pulsaie de tiere. Intersecia reprezentrii faz-pulsaie cu axa de -180 se noteaz i se numete pulsaie de frngere. Condiia necesar i suficient ca sistemul s fie stabil este ca reprezentarea faz-pulsaie s intersecteze axa ntr-un punct situat dup intersecia cu aceeai ax a reprezentrii amplitudine-pulsaie, adic < t.

    Figura 2. Reprezentarea diagramelor Bode

    Dup rularea liniilor de comand din secvena anterioar, MATLAB-ul va afia fereastra grafic prezentat n fig. 2. Stabilitatea sistemului definit prin funcia de transfer H(s) se poate evalua conform criteriului de stabilitate Bode. Din grafic, se poate observa c < t (margini de amplitudine i faz negative) i deci n acest caz avem un sistem instabil.

  • 3

    6.2. Criteriul lui Nyquist6.2. Criteriul lui Nyquist6.2. Criteriul lui Nyquist6.2. Criteriul lui Nyquist

    Criteriul pornete de la observaia c

    i deci un sistem cu reacie este asimptotic stabil (intern), dac i numai dac n +C se gsesc cel mult polii raionalei 1 + Hb(s).

    Acest lucru se poate constata inspectnd semiplanul stng al variabilei s, ce a fost nchis printr-un contur Nyquist (axa imaginar i un cerc de raz infinit mare). Cnd acest contur este parcurs n sens pozitiv, n planul funciei, funcia de transfer H(s) descrie locul de transfer. n raport cu punctul (-1, j0) din planul funciei, locul de transfer devine hodograful ecuaiei caracteristice 1 + Hb(s) = 0.

    Criteriul lui Nyquist generalizat precizeaz: Condiia necesar i suficient ca un SRA s fie stabil este ca locul de transfer a lui Hb(s) s

    nconjoare punctul critic (-1, j0) n sens antiorar de un numr de ori p, reprezentnd polii lui 1+Hb(s)

    aflai n semiplanul drept al planului s, cnd (-,+). Dac sistemul este stabil n circuit deschis, se poate aplica criteriul lui Nyquist simplificat (practic):

    Condiia necesar i suficient ca un SRA s fie stabil este ca locul de transfer al lui Hb(s) s nu

    nconjoare punctul critic (-1, j0) cnd (-,+) sau Condiia necesar i suficient ca un SRA s fie stabil este ca hodograful lui Hb(s) s taie axa

    real, n sensul cresctor al pulsaiilor [0,+), la dreapta punctului critic (-1,j0) (vezi fig. 3) sau

    s taie axa real la stnga punctului critic (-1,j0) cnd (0,+) (regula minii stngii).

    o ooo

    o

    o

    o

    -1

    +1

    1M2M

    instabil

    stabil

    o

    -1

    01 >

    02

  • 4

    Se definete funcia de transfer

    cu ajutorul variabilelor num1 i den1. n aceste variabile sunt introduse valorile corespunztoare coeficienilor (n ordinea descresctoare a puterilor) numrtorului i numitorului: >> num1=[1 0]

    >> den1=[0.01 0.4 2]

    Pentru reprezentarea n frecven, se folosete funcia de mai jos: >> nyquist(num1,den1);

    Dup executarea acestei comenzi, se va deschide o fereastr grafic coninnd hodograful (locul

    de transfer) lui H(s), ca n figura de mai jos:

    Figura 4. Diagrama Nyquist pentru sistemul considerat Cu ajutorul Criteriul Nyquist simplificat putem aprecia stabilitatea sistemului. Condiia necesar i suficient pentru ca un sistem s fie stabil este ca locul de transfer al lui H(s) s nu nconjoare punctul critic (-1,j0). Din grafic, se poate observa c hodograful lui H(s) nu nconjoar punctul critic, deci este stabil.

    6.3. Criteriul lui Routh 6.3. Criteriul lui Routh 6.3. Criteriul lui Routh 6.3. Criteriul lui Routh ---- Hurwitz Hurwitz Hurwitz Hurwitz

    Se pune problema cum se poate aprecia stabilitatea fr a calcula efectiv rdcinile polinomului caracteristic? Rspunsul la aceast ntrebare este dat de criteriul Routh - Hurwitz.

  • 5

    Fie polinomul caracteristic:

    complet i cu toi coeficienii pozitivi.

    Condiia necesar i suficient ca radacinile lui A(s) s aib partea real strict negativ este ca

    toi determinanii principali ai matricei Hurwitz s fie strict pozitivi:

    EXEMPLUL 3. n acest exemplu se consider un sistem definit printr-o funcie de transfer de tipul

    Se dorete studierea stabilitii acestui sistem cu ajutorul criteriului de stabilitate Routh - Hurwitz.

    Astfel, se determin polinomul caracteristic

    i se verific dac toi coeficienii polinomului caracteristic sunt mai mari ca 0.

    Dac aceste condiii sunt ndeplinite, se alctuiete matricea Hurwitz, dup care se calculeaz determinanii principali ai acesteia.

    n momentul n care am gsit un determinant < 0, putem trage concluzia c sistemul este instabil, nemaifiind necesar calcularea tuturor determinanilor matricei Hurwitz. Pentru acest exemplu, determinantul matricei Hurwitz 3 0H = indic un sistem la limita de stabilitate.

    Pentru rezolvarea acestei probleme, utilizm comenzile MATLAB (vezi fiierul script

    Hurwitz.m): %Definirea functiei de transfer prin declararea coeficientii in

    %ordine descrescatoare ai numaratorului functiei de transfer

  • 6

    num=[1 1]

    % si ai numitorului functiei de transfer

    den=[1 1 0 0]

    H=tf(num,den)

    % determinarea polinomului caracteristic

    X=1+H

    %matricea Hurwitz

    DH1=[1 1 0;1 1 0;0 1 1]

    %Calcularea determinantului

    det(DH1)

    Rezultatele rulrii scriptului anterior sunt afiate mai jos: (afiarea numrtorului funciei de transfer): num =

    1 1

    (afiarea numitorului funciei de transfer): den =

    1 1 0 0

    (afiarea funciei de transfer): Transfer function:

    s + 1

    ---------

    s^3 + s^2

    (determinarea polinomul caracteristic): Transfer function:

    s^3 + s^2 + s + 1

    -----------------

    s^3 + s^2

    (afiarea determinantul de ordinul trei al matricei Hurwitz): DH1 =

    1 1 0

    1 1 0

    0 1 1

    (calculul determinantul de ordinul trei al matricei Hurwitz): ans =

    0