Transformata Fouriera i analiza spektralna
Transcript of Transformata Fouriera i analiza spektralna
![Page 1: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/1.jpg)
Transformata Fouriera i analiza spektralna
● Z czego składają się sygnały?● Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość● Liczby zespolone● Transformata Fouriera● Szybka Transformata Fouriera (FFT)● FFT w 2D● Przykłady
![Page 2: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/2.jpg)
Częstotliwość Prędkość (liniowa): V = S / tS – drogat – czas
Prędkość kołowa: ω = θ / tθ – kątt – czas
kąt pełny = 2*PI PI=3.14....okres T [s] – czas, w jakim przebyty zostanie kąt pełny
![Page 3: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/3.jpg)
Częstotliwość kąt pełny = 2*PI PI=3.14....2*PI = 360˚PI = 180˚PI/2 = 90˚ itd...
okres T [s] – czas, w jakim przebyty zostanie kąt pełny
jednostka: sekunda 1 s
częstotliwość f [Hz] – ile pełnych kątów na sekundęjednostka: Herz 1 Hz = 1/s
ω = 2*PI / T = 2*PI *f
![Page 4: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/4.jpg)
Sygnał 1D
![Page 5: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/5.jpg)
Sygnał 1D
![Page 6: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/6.jpg)
Sygnał 1D
Sygnały składają się z wielu składowych o różnych częstotliwościach...
![Page 7: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/7.jpg)
Zaszumiony sygnał 1D
...dodatkowo występują w nich szumy.
![Page 8: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/8.jpg)
Sygnał 1D
Celem analizy spektralnej i zastosowania transformaty Fouriera jest analiza sygnału w przestrzeni częstotliwości (rys. po prawej). Widać, że w sygnale występują dwie częstotliwości – 25 Hz oraz 40 Hz.
![Page 9: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/9.jpg)
Przykład zastosowania:odfiltrowanie zbędnych częstotliwości
Mając zaszumiony sygnał, możemy przenieść go do przestrzeni częstotliwości....
![Page 10: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/10.jpg)
Przykład zastosowania:odfiltrowanie zbędnych częstotliwości
... i zaobserwować, iż pewne częstotliwości zdecydowanie dominują w sygnale, pozostałe mogą (ale nie muszą) odpowiadać za szum.
![Page 11: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/11.jpg)
Przykład zastosowania:odfiltrowanie zbędnych częstotliwości
Usuwamy (zerujemy) “zbyt małe” częstotliwości i wracamy do przestrzeni sygnału za pomocą transformaty odwrotnej...
![Page 12: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/12.jpg)
Przykład zastosowania:odfiltrowanie zbędnych częstotliwości
...otrzymując sygnał jedynie z dominującymi składowymi częstotliwościowymi.
![Page 13: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/13.jpg)
Transformata Fouriera
t – czas (time domain)f – częstotliwość (frequency domain)
![Page 14: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/14.jpg)
Liczby zespolone
![Page 15: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/15.jpg)
Liczby zespoloneDziałania
![Page 16: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/16.jpg)
Liczby zespolonePostać trygonometryczna
Wzory Eulera
z = | z | (cosφ + i sinφ) = | z | e^(iφ)
![Page 17: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/17.jpg)
Liczby zespolone
![Page 18: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/18.jpg)
Transformata Fouriera
![Page 19: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/19.jpg)
Transformata Fouriera
Symetrie
![Page 20: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/20.jpg)
Transformata Fouriera
Właściwości
![Page 21: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/21.jpg)
Transformata FourieraKonwolucja (splot) dwóch funkcji g(t) oraz h(t), których transformatami Fouriera są odpowiednio
G(f) oraz H(f).
Zamiast dokonywać uciążliwego obliczeniowo splotu w sposób bezpośredni, można obliczenia przenieść do przestrzeni częstotliwości, gdzie splot sprowadza się do mnożenia.
![Page 22: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/22.jpg)
Transformata FourieraKonwolucja (splot) to np. również nakładanie
dyskretnej maski na obraz (np. Sobela, Gaussa, itd.)Mask = [-1,-2,-1;
0, 0, 0; 1, 2, 1];
![Page 23: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/23.jpg)
Transformata Fouriera
Korelacja dwóch funkcji
* oznacza liczbę zespoloną sprzężoną
![Page 24: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/24.jpg)
Transformata Fourieradla dyskretnych sygnałów
Krytyczna częstotliwość Nyquista
to “sampling interval” - tzn. jak często próbkujemy dany sygnał
Próbkując dany sygnał nie jesteśmy w stanie “uchwycić” tych wysokich częstotliwości, które są “szybsze” od naszego próbkowania.
Powyższa zależność mówi, że próbkowanie będzie skuteczne jeśli da nam co najmniej dwie zmierzone wartości w jednym okresie T danej częstotliwości.
![Page 25: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/25.jpg)
Transformata Fourieradla dyskretnych sygnałów
Próbkowanie
![Page 26: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/26.jpg)
Transformata Fourieradla dyskretnych sygnałów
W przypadku dyskretnych sygnałów, całka przechodzi w sumę.
Nasz dyskretny sygnał składa się z N zmierzonych wartości:
Możemy uzyskać informacje o następujących częstotliwościach:
![Page 27: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/27.jpg)
Transformata Fourieradla dyskretnych sygnałów
Dyskretna Transformata FourieraOdwrotna
Dyskretna Transformata Fouriera
W ogólności wszystkie operacje są dla liczb zespolonych.
![Page 28: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/28.jpg)
Szybka Transformata Fourieradla dyskretnych sygnałów
Szybka Transformata Fouriera (Fast Fourier Transform – FFT) pozwala w sposób
efektywny liczyć transformaty dla sygnałów dyskretnych.
![Page 29: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/29.jpg)
Transformata Fourieratransformata cosinusów i sinusów
Transformata Fouriera
Transformata sinusów
Transformata cosinusów
![Page 30: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/30.jpg)
FFT w 2DFFT w dwóch wymiarach
Inverse FFT w dwóch wymiarach
![Page 31: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/31.jpg)
FFT w 2DReasumując, dla obrazów przedstawianych jako dwuwymiarowa funkcja
f(m,n) mamy
![Page 32: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/32.jpg)
FFT w 2DW przypadku dwóch wymiarów, FFT wykonuje się najpierw w jednym z wymiarów (np. dla każdego wiersza) a później dla drugiego wymiaru na otrzymanej transformacie z pierwszej FFT.
Analogicznie jest dla większej liczby wymiarów.
![Page 33: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/33.jpg)
FFT w 2DDlatego w Matlabie wykonanie FFT dla obrazu (funkcji dwuwymiarowej)
Y = fft2(X)jest równoważne wykonaniu jednowymiarowej FFT dla każdego wiersza a potem jednowymiarowej FFT dla kązdej kolumny w wynikowym obrazie
fft(fft(X).').'
![Page 34: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/34.jpg)
FFT w 2D
![Page 35: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/35.jpg)
FFT w 2D
![Page 36: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/36.jpg)
FFT w 2D
![Page 37: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/37.jpg)
FFT w 2D
![Page 38: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/38.jpg)
FFT w 2D Warto zwrócić uwagę, że rysunek transformaty pokazuje większą energię dla dużych horyzontalnych częstotliwości niż dla dużych wertykalnych częstotliwości. Wynika to z faktu, iż na oryginalnym rysunku szybsze zmiany następują w przekroju poziomym (tzn. jest większa częstotliwość zmian), dlatego, że prostokąt jest węższy w poziomie.
![Page 39: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/39.jpg)
FFT w 2D
![Page 40: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/40.jpg)
FFT w 2D
![Page 41: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/41.jpg)
FFT w 2D
![Page 42: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/42.jpg)
FFT w 2D
![Page 43: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/43.jpg)
FFT w 2D
![Page 44: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/44.jpg)
FFT w 2D
![Page 45: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/45.jpg)
FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o niskich wspólczynnikach Fouriera
![Page 46: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/46.jpg)
FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o wysokich wspólczynnikach Fouriera
![Page 47: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/47.jpg)
FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o niskich wspólczynnikach Fouriera
![Page 48: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/48.jpg)
FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o wysokich wspólczynnikach Fouriera
![Page 49: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/49.jpg)
Wniosek
Widać, że nie zawsze współczynniki Fouriera o niskich wartościach odpowiadają za szum w obrazie
(sygnale) ale niosą ważną informację.
![Page 50: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/50.jpg)
Konwolucja
Konwolucja dwóch obrazów w przestrzeni oryginalnej odpowiada mnożeniu w przestrzni
częstotliwości!
![Page 51: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/51.jpg)
Konwolucja za pomocą dyskretnej maski 3x3
mask = [-1,-2,-1; 0, 0, 0; 1, 2, 1];x3 = filter2(mask, x);figureimshow(x3,'notruesize');title('po filtrowaniu');
![Page 52: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/52.jpg)
Konwolucja za pomocą mnożenia w przestrzeni częstotliwości
mask = [-1,-2,-1; 0, 0, 0; 1, 2, 1];mask = rot90(mask,2);mask(s(1),s(2)) = 0; % Zero-pad mask to be 8-by-8;
%KONWOLUCJAx2 = ifft2(fft2(x).*fft2(mask));x2 = real(x2); % Remove imaginary part caused by roundoff error
![Page 53: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/53.jpg)
Ten sposób jest dużo oszczędniejszy w przypadku dużych masek filtrów.
Konwolucja za pomocą mnożenia w przestrzeni częstotliwości
![Page 54: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/54.jpg)
Korelacja w przestrzeni częstotliwości
Szukany wzorzec
![Page 55: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/55.jpg)
Korelacja w przestrzeni częstotliwości
Korelacja dwóch obrazów również może być wydajnie przeprowadzona w przestrzeni częstotliwości. Jest ona ponownie równoważna mnożeniu transforat z dodatkową rotacją szukanego wzorca.
![Page 56: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/56.jpg)
Korelacja w przestrzeni częstotliwości
Zwróć uwagę na jaśniejsze punkty.
![Page 57: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/57.jpg)
Korelacja w przestrzeni częstotliwości
Po odpowiednim progowaniu...
![Page 58: Transformata Fouriera i analiza spektralna](https://reader030.fdocument.org/reader030/viewer/2022012609/619cb4790eeee35f2f5b0d29/html5/thumbnails/58.jpg)
Korelacja w przestrzeni częstotliwości
...wzorzec zostaje znaleziony.