Transformata Fouriera i analiza spektralna

Transformata Fouriera i analiza spektralna

● Z czego składają się sygnały?● Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość● Liczby zespolone● Transformata Fouriera● Szybka Transformata Fouriera (FFT)● FFT w 2D● Przykłady

Częstotliwość Prędkość (liniowa): V = S / tS – drogat – czas

Prędkość kołowa: ω = θ / tθ – kątt – czas

kąt pełny = 2*PI PI=3.14....okres T [s] – czas, w jakim przebyty zostanie kąt pełny

Częstotliwość kąt pełny = 2*PI PI=3.14....2*PI = 360˚PI = 180˚PI/2 = 90˚ itd...

okres T [s] – czas, w jakim przebyty zostanie kąt pełny

jednostka: sekunda 1 s

częstotliwość f [Hz] – ile pełnych kątów na sekundęjednostka: Herz 1 Hz = 1/s

ω = 2*PI / T = 2*PI *f

Sygnał 1D

Sygnał 1D

Sygnały składają się z wielu składowych o różnych częstotliwościach...

Zaszumiony sygnał 1D

...dodatkowo występują w nich szumy.

Sygnał 1D

Celem analizy spektralnej i zastosowania transformaty Fouriera jest analiza sygnału w przestrzeni częstotliwości (rys. po prawej). Widać, że w sygnale występują dwie częstotliwości – 25 Hz oraz 40 Hz.

Przykład zastosowania:odfiltrowanie zbędnych częstotliwości

Mając zaszumiony sygnał, możemy przenieść go do przestrzeni częstotliwości....


... i zaobserwować, iż pewne częstotliwości zdecydowanie dominują w sygnale, pozostałe mogą (ale nie muszą) odpowiadać za szum.


Usuwamy (zerujemy) “zbyt małe” częstotliwości i wracamy do przestrzeni sygnału za pomocą transformaty odwrotnej...


...otrzymując sygnał jedynie z dominującymi składowymi częstotliwościowymi.

Transformata Fouriera

t – czas (time domain)f – częstotliwość (frequency domain)

Liczby zespolone

Liczby zespoloneDziałania

Liczby zespolonePostać trygonometryczna

Wzory Eulera

z = | z | (cosφ + i sinφ) = | z | e^(iφ)

Liczby zespolone


Symetrie


Właściwości

Transformata FourieraKonwolucja (splot) dwóch funkcji g(t) oraz h(t), których transformatami Fouriera są odpowiednio

G(f) oraz H(f).

Zamiast dokonywać uciążliwego obliczeniowo splotu w sposób bezpośredni, można obliczenia przenieść do przestrzeni częstotliwości, gdzie splot sprowadza się do mnożenia.

Transformata FourieraKonwolucja (splot) to np. również nakładanie

dyskretnej maski na obraz (np. Sobela, Gaussa, itd.)Mask = [-1,-2,-1;

0, 0, 0; 1, 2, 1];


Korelacja dwóch funkcji

* oznacza liczbę zespoloną sprzężoną

Transformata Fourieradla dyskretnych sygnałów

Krytyczna częstotliwość Nyquista

to “sampling interval” - tzn. jak często próbkujemy dany sygnał

Próbkując dany sygnał nie jesteśmy w stanie “uchwycić” tych wysokich częstotliwości, które są “szybsze” od naszego próbkowania.

Powyższa zależność mówi, że próbkowanie będzie skuteczne jeśli da nam co najmniej dwie zmierzone wartości w jednym okresie T danej częstotliwości.


Próbkowanie


W przypadku dyskretnych sygnałów, całka przechodzi w sumę.

Nasz dyskretny sygnał składa się z N zmierzonych wartości:

Możemy uzyskać informacje o następujących częstotliwościach:


Dyskretna Transformata FourieraOdwrotna

Dyskretna Transformata Fouriera

W ogólności wszystkie operacje są dla liczb zespolonych.

Szybka Transformata Fourieradla dyskretnych sygnałów

Szybka Transformata Fouriera (Fast Fourier Transform – FFT) pozwala w sposób

efektywny liczyć transformaty dla sygnałów dyskretnych.

Transformata Fourieratransformata cosinusów i sinusów


Transformata sinusów

Transformata cosinusów

FFT w 2DFFT w dwóch wymiarach

Inverse FFT w dwóch wymiarach

FFT w 2DReasumując, dla obrazów przedstawianych jako dwuwymiarowa funkcja

f(m,n) mamy

FFT w 2DW przypadku dwóch wymiarów, FFT wykonuje się najpierw w jednym z wymiarów (np. dla każdego wiersza) a później dla drugiego wymiaru na otrzymanej transformacie z pierwszej FFT.

Analogicznie jest dla większej liczby wymiarów.

FFT w 2DDlatego w Matlabie wykonanie FFT dla obrazu (funkcji dwuwymiarowej)

Y = fft2(X)jest równoważne wykonaniu jednowymiarowej FFT dla każdego wiersza a potem jednowymiarowej FFT dla kązdej kolumny w wynikowym obrazie

fft(fft(X).').'

FFT w 2D

FFT w 2D Warto zwrócić uwagę, że rysunek transformaty pokazuje większą energię dla dużych horyzontalnych częstotliwości niż dla dużych wertykalnych częstotliwości. Wynika to z faktu, iż na oryginalnym rysunku szybsze zmiany następują w przekroju poziomym (tzn. jest większa częstotliwość zmian), dlatego, że prostokąt jest węższy w poziomie.

FFT w 2D

FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o niskich wspólczynnikach Fouriera

FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o wysokich wspólczynnikach Fouriera

FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o niskich wspólczynnikach Fouriera

FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o wysokich wspólczynnikach Fouriera

Wniosek

Widać, że nie zawsze współczynniki Fouriera o niskich wartościach odpowiadają za szum w obrazie

(sygnale) ale niosą ważną informację.

Konwolucja

Konwolucja dwóch obrazów w przestrzeni oryginalnej odpowiada mnożeniu w przestrzni

częstotliwości!

Konwolucja za pomocą dyskretnej maski 3x3

mask = [-1,-2,-1; 0, 0, 0; 1, 2, 1];x3 = filter2(mask, x);figureimshow(x3,'notruesize');title('po filtrowaniu');

Konwolucja za pomocą mnożenia w przestrzeni częstotliwości

mask = [-1,-2,-1; 0, 0, 0; 1, 2, 1];mask = rot90(mask,2);mask(s(1),s(2)) = 0; % Zero-pad mask to be 8-by-8;

%KONWOLUCJAx2 = ifft2(fft2(x).*fft2(mask));x2 = real(x2); % Remove imaginary part caused by roundoff error

Ten sposób jest dużo oszczędniejszy w przypadku dużych masek filtrów.

Konwolucja za pomocą mnożenia w przestrzeni częstotliwości

Korelacja w przestrzeni częstotliwości

Szukany wzorzec


Korelacja dwóch obrazów również może być wydajnie przeprowadzona w przestrzeni częstotliwości. Jest ona ponownie równoważna mnożeniu transforat z dodatkową rotacją szukanego wzorca.


Zwróć uwagę na jaśniejsze punkty.


Po odpowiednim progowaniu...


...wzorzec zostaje znaleziony.

Transformata Fouriera i analiza spektralna

Documents

Transcript of Transformata Fouriera i analiza spektralna