Furijeova Analiza

42
8. Furijeova analiza 8.1. Periodične funkcije Značajno svojstvo sinusoidne funkcije je njena periodičnost. Vrednosti koje funkcija uzima kada se t menja u intervalu ponavljaju se kada se t menja u intervalima , ... a grafik funkcije se periodično ponavlja. Ako ovu funkciju označimo sa , njeno svojstvo periodičnosti predstavjeno je jednačinom , koja je tačna za sve vrednosti t. Svaka funkcija koja zadovoljava jednačinu (1.1) za sve vrednosti t, ima isto svojstvo periodičnosti i prema tome naziva se periodična funkcija sa periodom T. Njen grafik ima oblik talasa, sastavjen je od sukcesivnih, sličnih lukova od kojih svaki pokriva interval dužine T. Na slici 1.1 prikazan je jednostavan, ne-sinusoidni slučaj periodične funkcije, grafik funkcije definisane sa (1.1) i jednačinama (1.2) Očigledno je da se bilo koja vrednost u određenom trenutku koji izaberemo periodično ponavlja sa periodom . Zamenjujući u (1.1) t sa , nalazimo da je odakle sledi da je , tj. da takođe ima period od . U stvari lako je pokazati da ima periode U daljem tekstu, T će označavati najmanji period .

Transcript of Furijeova Analiza

Page 1: Furijeova Analiza

8. Furijeova analiza

8.1. Periodične funkcije

Značajno svojstvo sinusoidne funkcije je njena periodičnost. Vrednosti koje funkcija uzima kada se t menja u intervalu ponavljaju se kada se t menja u intervalima , ... a grafik funkcije se periodično ponavlja. Ako ovu funkciju označimo sa , njeno svojstvo periodičnosti predstavjeno je jednačinom

,

koja je tačna za sve vrednosti t. Svaka funkcija koja zadovoljava jednačinu

(1.1)

za sve vrednosti t, ima isto svojstvo periodičnosti i prema tome naziva se periodična funkcija sa periodom T. Njen grafik ima oblik talasa, sastavjen je od sukcesivnih, sličnih lukova od kojih svaki pokriva interval dužine T. Na slici 1.1 prikazan je jednostavan, ne-sinusoidni slučaj periodične funkcije, grafik funkcije definisane sa (1.1) i jednačinama

(1.2)

Očigledno je da se bilo koja vrednost u određenom trenutku koji izaberemo periodično ponavlja sa periodom .

Zamenjujući u (1.1) t sa , nalazimo da je odakle sledi da je , tj. da takođe ima period od . U stvari lako je pokazati da

ima periode U daljem tekstu, T će označavati najmanji period .

Frekvencija f periodične funkcije sa vremenskom varijablom t, koja se pojavljuje u (1.1), je broj talasa ili ciklusa koje funkcija ima u jedinici vremena. Kako je svaki ciklus kompletiran za T sec, kao u sinusoidnom slučaju. Takođe, pogodno je definisati ugaonu frekvenciju funkcije, , posredstvom jednačine .

Sinusne funkcije pripadaju klasi periodičnih funkcija sa elementarnim svojstvima; Furije (Fourier, 1768-1830) je došao do izvanrednog otkrića da se sve*

periodične funkcije mogu jednostavno izraziti kao suma takvih elementarnih funkcija.

* Sa izuzetkom izvesnih funkcija prilično kompleksnog ponašanja, ali od malog značaja za inženjere.

Page 2: Furijeova Analiza

Slika 1.1. Jednostavna periodična funkcija

Furije je otkrio a Dirihle (Dirichlet, 1805-1859) pod opštim uslovima dokazao (odeljak 1.3) da se ako je periodična, ugaone frekvencije , može predstaviti u obliku

(1.3)

Svaki član ovog reda je periodičan, sa periodom , a ima

najmanji perod . Prema tome, suma je takođe periodična sa periodom .

Srednja vrednost svakog člana reda očigledno je nula, pa je

takva i srednja vrednost reda. Stoga predstavlja srednju vrednost od . Član

ima najnižu frekvenciju i zove se osnovni (fundamentalni) član. Član

ima frekvenciju n puta veću od osnovne frekvencije i zove se -ti

harmonik.

Da bi red (1.3) konvergirao neophodno je da kada . Zbog toga je u praktičnim slučajevima moguće zanemariti harmonike iza nekog stupnja i time obezbediti aproksimaciju periodične funkcije koja se razmatra.

Stavljajući da je

, ,

u (1.3), transformišemo u

(1.4)

Ovaj izraz je standardni oblik Furijeovog reda.8.2. Izračunavanje koeficijenata Furijeovog reda

Pomoću periodične funkcije , poznatog perioda, pokazaćemo kako se iz

jednačine (1.4) izračunavaju koeficijenti Furijeovog reda i .

Ako su i nule ili bilo koji celi pozitivni brojevi i ako je , a uzima bilo koju vrednost imamo da je

Page 3: Furijeova Analiza

(1.5)

a ako je

. (1.6)

Slično dobijamo rezultate

(1.7)

(1.8)

poslednji rezultat je tačan za ili .

Množeći (1.4) sa i integraleći ga na celom periodu , dobijamo

,

gde smo pretpostavili da smemo da integralimo beskonačne redove član po član.

S obzirom na rezultate (1.5)-(1.8), jedini član sa desne strane ove jednačine koji nije jednak nuli je onaj za koji je i time se jednačina svodi na

,

pod pretpostavkom da je . Odatle

. (1.9)

Page 4: Furijeova Analiza

Da bi izračunali , (1.4) integralimo na celom periodu i dobijamo

kada je , a prema rezultatima (1.5) i (1.8), svi drugi članovi su jednaki nuli.

Dakle

(1.10)

što ukazuje da je (1.9) tačno za Koeficijent uz član u (1.4) uveden

je radi postizanja uopštenog oblika jednačine (1.9).

Da bi izračunali , množimo (1.4) sa i integralimo na celom periodu. Rezultat je

(1.11)

Prema tome, izračunavanje koeficijenata i sveli smo na jednostavno integraljenje, a u daljem tekstu ovog odeljka bavićemo se ovim izračunavanjem kada uzima brojne oblike od praktičnog značaja.

Primeri

1. Povorka pravougaonih impulsa

Pretpostavimo da je svaki impuls jedinične amplitude, tako da grafik izgleda kao na Slici 1.2. Uzećemo da je vremenski period između početaka sukcesivnih impulsa, i stoga period , a tada je ugaona frekvencija talasnog oblika. Trajanje svakog impulsa je .

Page 5: Furijeova Analiza

Slika 1.2. Povorka pravougaonih impulsa jedinične amplitude

Uzimanjem početnog vremena kako je pokazano na slici, je definisano na

celom periodu jednačinama

Integraljenjem na ovom periodu koristeći (1.9)

Iz (1.11) na sličan način moguće je dokazati da je za svako m.

Prema tome Furijeov red za je

. (1.12)

Zapazimo da su (kada je negativan) svi harmonici u fazi ili anti-fazi jedan

sa drugim. Osnovni je . Uzimanjem da je i zanemarivanjem

svih članova osim konstantnog i osnovnog člana , dobijamo prvu aproksimaciju , koja je na slici 1.3. prikazana punom linijom.

Slika 1.3. Aproksimacije povorke impulsa

Page 6: Furijeova Analiza

Uključenje drugog harmonika rezultira isprekidanom linijom na slici 1.3., a uključenje četvrtog harmonika (treći je nula ) rezultira tačkastom linijom.

m-ti harmonik ima amplitudu: puta amplituda člana nulte frekvencije (tj. konstantnog člana). Na slici 1.4. grafički je prikazan način na koji se ovaj faktor menja sa povećanjem . Vertikalne linije predstavljaju amplitude harmonika u redosledu prikazanom duž horizontalne ose. Ovakav dijagram se zove spektar funkcije . Uzeto je da je .

Slika 1.4. Spektar povorke impulsa

2. »Testerasti« talasni oblik ugaone frekvencije

Promena napona između X-ploča katodnog osciloskopa ima »testerasti« talasni oblik prikazan na slici 1.5.

Slika 1.5. Testerasti talasni oblik

je na periodu definisana jednačinama

.

Odatle, koristeći (1.11)

Page 7: Furijeova Analiza

svaki integral je izračunat parcijalnim integraljenjem.

Korišćenjem (1.9) moguće je pokazati da je za svako . Odatle sledi da je

. (1.13)

U slučaju kada nagibi dve prave linije (jednakih veličina) formiraju zubac jednake

veličine, i

(1.14)

Slika 1.6. Povorka vrhova kosinusnih talasa

3. Povorka vrhova kosinusnih talasa

Talasni oblik koji ćemo razmatrati prikazan je na slici 1.6., i definisan je na periodu

jednačinama

.

Page 8: Furijeova Analiza

Integraljenjem na ovom periodu, nalazimo da je

i takođe da je za svako m.

Dakle

(1.15)

8.3.Ponašanje Furijeovog reda pri diskontinuitetu

Prva uspešna istraživanja konvergencije Furijeovih redova izvršio je Dirihle, koji je dokazao da ako je periodična funkcija, definisana na periodu , na takav način da ovaj interval može biti podeljen u konačan broj pod-intervala, od kojih u svakom ostaje konstantno ili postepeno raste ili opada, tada Furijeov red , dat jednačinom (1.4), konvergira ka za svaku vrednost za koju je

neprekidno i konvergira ka za svaku vrednost u kojoj je

diskontinualno. Svaka funkcija koju smo u ovom poglavlju proširili u Furijeov red zadovoljava Dirihleove uslove, koji su dovoljno opšti za sve funkcije od praktičnog značaja.

Kao primer, razmatraćemo funkciju koja definiše povorku impulsa grafički prikazanu na slici 1.2. Dirihleovi uslovi su zadovoljeni sa koje je konstantno nad

svakim od intervala , . Prema tome,

Furijeov red (1.12) konvergira ka za sve vrednosti osim onih kao što su u kojem je diskontinualno. Očigledno je da je

i odatle, za , red konvergira ka . Zamenjujući ovu vrednost u (1.12), dolazimo do rezultata

Page 9: Furijeova Analiza

a uzimajući da je dobijamo

što je dobro poznat Gregorijev (Gregory) red za .

Zbog svega što sledi u ovom i sledećem poglavlju, pogodno je da odredimo da je

vrednost koju uzima funkcija u diskontinuitetu , da bi njen

Furijeov red, ako je periodična, i njen integral, ako nije, uvek konvergirao ka . Iz ovog razloga, izabrano je da vrednost za bude .

Bez obzira na to da li zadovoljava Dirihleove uslove, ili ne, ako su definisani integralima (1.9) i (1.11) red (1.4) će biti definisan, i uobičajeno je da se na njega gleda kao na Furijeov red . Međutim, ovaj red će konvergirati ka sumi

, samo pod uslovom da je ograničeno tako da zadovolji Dirihleove uslove.

Neka je suma reda datog jednačinom (1.12) i neka uključuje -ti harmonik.

Kada , za sve vrednosti . Na slici 1.10, prikazani su grafici više

Page 10: Furijeova Analiza

1.7. Gibov (Gibb) fenomen

funkcija , za rastuće vrednosti u blizini (na slici ima vrednost 0.5).

Kako raste ne postoji tendencija da se dva maksimuma na grafiku izgube, sa jedne ili druge strane diskontinuiteta, iako se postepeno pomeraju bliže diskontinuitetu. Ovo ni na koji način ne protivreči tvrdnji da za vrednost , koliko god da je blizu diskontinuitetu, kada . Izborom takve vrednosti , sa dovoljno velikim možemo učiniti da maksimum pređe na stranu ove vrednosti u smeru diskontinuiteta i posle toga, ako dalje povećavamo , za ovu

specifičnu vrednost na oscilatorni način. Prema tome, kada je uzima

vrednosti PN, QN, RN, i SN kada uzima vrednosti 1, 3, 5 i 7 respektivno. Dalje povećanje prouzrokovaće da maksimum pređe na desnu stranu ove ordinate

prema diskontinuitetu , i uzima vrednosti TN, UN, VN, WN kada uzima vrednosti 9, 11, 13 i 15 respektivno.Kako nastavlja da raste, oscilira oko vrednosti , težeći joj kao

granici kada . Grafik se sve više i više približava krivoj prikazanoj na slici

1.8. Ovaj fenomen može biti opisan kao tendencija da kod dodje do

premašenja kada prolazi kroz diskontinuitet . Fenomen je prikazan Furijeovim redom svih funkcija u njihovom diskontinuitetu, a prvi ga je zapazio Gibs (1899). Ovim se otkriva da nam

Page 11: Furijeova Analiza

Slika 1.8. za veoma veliko

Furijeov red obezbeđuje slabu predstavu periodičnih funkcija u okolini njihovih diskontinuiteta. U bilo kom problemu u kome je potrebno da se takva funkcija zameni njenim Furijeovim redom, treba imati na umu da je time ponašanje funkcije u njenim diskontinuitetima promenjeno u tip ponašanja prikazan na slici 1.8. Ako je ova modifikacija problema prihvatljiva, tada možemo nastaviti sa korišćenjem Furijeovog reda (u suprotnom ne možemo).

8.4. Diferenciranje i integraljenje Furijeovog reda

Pretpostavimo da je periodična, sa periodom , i da je neprekidna. Pretpostavimo dalje da njen izvod postoji i da je svuda neprekidan sem u konačnom broju tačaka u bilo kom periodu u kome može imati konačne diskontinuitete. Tada je periodična sa periodom i poseduje Furijeov red.

Neka su koeficijenti Furijeovog reda , i neka su odgovarajući

koeficijenti reda . Integraljenjem po delovima

Page 12: Furijeova Analiza

(1.16)

zato što je periodična i neprekidna.

Slično, možemo dokazati da je . (1.17)

Furijeov red za je

Diferenciranjem ovog reda, član po član, dobijamo Furijeov red

(1.18)

koji je, po onome što je ranije dokazano, Furijeov red .

Pod iznetim uslovima, da bi dobili Furijeov red imamo pravo da diferenciramo

Furijeov red član po član. Ako zadovoljava Dirihleove uslove, ovako

izračunat red konvergiraće ka za bilo koju vrednost za koju je neprekidno.

Na primer, uzimajući da je u analizi »testerastog« talasnog oblika , iz jednačine

(1.14) dobijamo

gde je , i , . Diferencirajući član po član dobijamo Furijeov red

koji je odgovarajući red za diferenciranu funkciju , definisanu sa:

.

Page 13: Furijeova Analiza

u periodu zadovoljava Dirihleove uslove, i stoga njen Furijeov

red konvergira u ovom periodu ka sa izuzetkom diskontinuiteta . Za ove vrednosti očigledno je da je suma reda jednaka nuli (odeljak 1.2).

Kako je neprekidna, ne smemo ponovo da diferenciramo njen red. Ako to uradimo, dobijeni red je

koji je divergentan.

Sada ćemo razmotriti integraljenje Furijeovog reda. Neodređen integral od nije obavezno periodičan i stoga ne poseduje, u principu, Furijeov red. Međutim, možemo definisati funkciju , u bliskoj vezi sa integralom , za koju je moguće dokazati da je periodična. Definišemo tako da je

(1.19)

Tada

a kako je

imamo da je

Page 14: Furijeova Analiza

U svim praktičnim slučajevima će zadovoljiti Dirihleove uslove, pa prema tome poseduje Furijeov red čija je suma u skladu sa objašnjenem iz odeljka 1.2.*

Napišimo

gde je, za , integraljenjem po delovima i zapažanjem iz jednačine (1.19) da je

Slično možemo pokazati da je . Odatle

(1.20)

Stavljajući u (1.20) da je , nalazimo da je

i odatle . Zamenjujući u (1.20) dobijamo

(1.21)

što je, s obzirom na (1.19) ekvivalentno sa

. (1.22)

* Moguće je pokazati da čak iako ne zadovoljava Dirihleove uslove, takve ograničavajuće prirode je da je suma njegovih Furijeovih redova u skladu sa odeljkom 1.2

Page 15: Furijeova Analiza

Desna strana ove jednačine je rezultat integraljenja Furijeovog reda , član po član, između granica 0 i . Stoga, (1.22) pokazuje da je rezultat integraljenja član po član Furijeovog reda između granica , red koji konvergira sumi koja je integral između istih granica. Potrebno je shvatiti generalizaciju koju daje ovaj rezultat. Njegova valjanost je obezbeđena, a da nije neophodno da se pretpostavi da Furijeov red treba da konvergira ka . U stvari, ovaj poslednji red može da divergira.

Za donju granicu integraljenja izabrana je nula, samo zato što je ona pogodna (moguće je ponavljanje gornjeg dokaza korišćenjem bilo koje druge donje granice).

Primer

Neka su koeficijenti Furijeovog reda koji odgovaraju povorci jediničnih

impulsa razdvojenih vremenskim intervalima . Tada možemo da definišemo jednačinom

.

Sledi da je

a da je Furijeov red

Page 16: Furijeova Analiza

Ovaj red divergira. Naravno, ne zadovoljava Dirihleove uslove.

Međutim, integraljenjem možemo dobiti

(1.23)

i red na desnoj strani ove jednačine konvergira. Precizna definicija integrala na levoj strani ove jednačine nije odmah jasna, jer ako je ,

tj. integral poseduje diskontinuitet s obzirom na donju granicu integraljenja, čija je vrednost nula. U saglasnosti sa principom navedenim u odeljku 1.2 uzimamo

.

Isti princip pokazuje da je

i tako dalje. Grafik prikazan je na slici 1.9.

Poteškoće koje smo upravo savladali ne pojavljuju se ako za donju granicu integraljenja izaberemo, recimo, . Korišćenjem ove donje granice može da se izračuna ekspanzija »stepeničaste« funkcije, i da se verifikuje (1.23).

Možemo verifikovati (1.23) i na sledeći način. Isprekidana linija na slici 1.9. predstavlja funkciju . Sa slike je jasno da je

(1.24)

da je periodična i da je na periodu definisana jednačinom .

Sada se može proveriti da je Furijeov red

Page 17: Furijeova Analiza

(1.25)

Slika 1.9. Grafik stepenaste funkcije

Jednačine (1.24), (1.25) zajedno su ekvivalent jednačini (1.23).

8.5. Neparne i parne periodične funkcije. Sinusni i kosinusni redovi

Ako ima period i ako je neparna funkcija, tada

gde je i, kako je , sledi da je .

Slično

i odatle, ponovo koristeći , dobijamo

Page 18: Furijeova Analiza

(1.26)

izražavajući kao integral nad polovinom perioda od . Primetimo da ako (1.26)

koristimo za izračunavanje , polovina perioda integraljenja nije proizvoljna, već

moramo uzeti da je interval .

Dakle, Furijeov red neparne periodične funkcije je sinusni red koji ne sadrži ni kosinusne ni konstantne članove.

Slično, ako je periodična i parna, možemo dokazati da je i

(1.27)

a odgovarajući Furijeov red je kosinusni red koji ne sadrži sinusne članove,a može sadržati konsatantni član.8.6. Proširenje funkcije definisane na konačnom intervalu u Furijeov red

Ako je definisana na bilo kom konačnom intervalu dužine , ako na ovom intervalu zadovoljava Dirihleove uslove i ako ili nije definisana za druge vrednosti , ili takve vrednosti nisu bitne za problem koji razmatramo, možemo uvesti funkciju koja je identična sa na datom intervalu i definisana na nekom drugom mestu tako da je periodična sa periodom . Ovu funkciju sada možemo proširiti u Furijeov red čija će suma, osim u diskontinuitetima, biti i stoga će na konačnom intervalu konvergirati ka . Ovaj postupak objasnićemo sledećim primerom.

Page 19: Furijeova Analiza

Primer

Proširiti funkciju u Furijeov red validan na intervalu

Razmatramo periodičnu funkciju , ugaone frekvencije , koja je na periodu data sa . Njen grafik je prikazan na slici 1.10.

Koeficijenti Furijeovog reda za su

i odatle, za , na kojem je imamo sledeće proširenje

(1.28)

Proširenje nije validno u krajnjim tačkama intervala , jer je u jednoj i drugoj tački

diskontinualno. U odgovarajuća suma je koja, kako se

vidi iz slike 1.10, ima vrednost .

Page 20: Furijeova Analiza

Slika 1.10. Periodična funkcija koja odgovara Zamenjujući u Furijeov red, dobijamo rezultat

Suma reda u je ista. Izvan intervala suma reda je i tada ovo nije jednako .Ako smo za dato na intervalu dužine , u mogućnosti da postavimo tako da bude indentično sa na datom intervalu, da bude neparna funkcija i da bude periodična, Furijeov red za biće sinusni red koji će, na datom konačnom intervalu, konvergirati ka .Primer

Proširiti u sinusni red validan na

Postavićemo funkciju tako da:

i je definisana za sve druge vrednosti tako što je periodična sa periodom . Tada je neparna i ima grafik prikazan na slici 1.11.

Ugaona frekvencija je i za jednačinu (1.26) nalazimo

Slika 1.11. Neparna periodična funkcija koja odgovara

tako da je traženi red

Page 21: Furijeova Analiza

. (1.29)

Ovaj red konvergira ka za . U diskonuitetima , i 1, suma ovog reda je nula.

Definisanjem tako da bude identična datoj funkciji na intervalu dužine , da je parna i periodična i da proširuje u kosinusni red, obezbeđujemo kosinusno proširenje za , validno na datom intervalu dužine .

Primer

Proširiti u kosinusni red validan na

Definisaćemo tako da ima period 2 i da je na periodu određena jednačinama

je parna funkcija i ima grafik prikazan na slici 1.12. Koristeći jednačinu (1.27) nalazimo da je

tako da je traženi red

(1.30)

Ovaj red konvergira ka u celom intervalu uključujući krajnje tačke, pošto je sa slike 1.12. jasno da nije diskontinualno u ili .

Page 22: Furijeova Analiza

Slika 1.12. Parna periodična funkcija koja odgovara

8.7. Furijeova teorema integrala

Ako je definisana na nekom intervalu , možemo je proširiti u Furijeov red validan na ovom intervalu, tako što ćemo na osnovu periodičnosti, proširiti njenu specifikaciju na sve vrednosti . Proces je opisan u prethodnom odeljku. Puštajući da , dobijamo formulu za koja je validna za sve vrednosti i koja se zove Furijeova teorema integrala. Pod uslovom da zadovoljava Dirihleove uslove , je definisana u diskontinuitetu.

gde je

Zamenjujući u integrale za dobijamo

Page 23: Furijeova Analiza

Ali, kako je ovaj rezultat je ekvivalentan sa

(1.31)

Ako sada pretpostavimo da je malo, imamo

za sve vrednosti , pod uslovom da integral sa beskonačnim granicama konvergira. Odatle, jednačinu (1.31) možemo napisati ovako

(1.32)

Ali, za malo važi

iz osnovne definicije određenog integrala. Prema tome (1.32) je približno

(1.33)

Kad , možemo dokazati da se povećava tačnost (1.33), i da postaje tačna kada se dostigne granica. (1.33) je formula Furijeovog integrala za funkciju koja je definisana za sve vrednosti i koja zadovoljava Dirihleove uslove. Za oba

Page 24: Furijeova Analiza

integrala koja se pojavljuju u ovoj formuli da bi konvergirali dovoljno je da

konvergira i ovo će biti slučaj ako, na primer, opada brže nego kada .

U diskontinuitetu u formula ostaje tačna pod uslovom da za vrednost funkcije u

diskontinuitetu uzmemo .

Ako napišemo da je

(1.34)

tada se (1.33) pojavljuje u obliku

(1.35)

čime je predstavljena kao određeni integral.

Primer

Izračunati Furijeovu predstavu integrala funkcije definisane tako da je

Grafik ove funkcije prikazan je na slici 1.13. Izgleda kao jedan jedini impuls centriran u trenutku . Oblast ispod krive je jedinica i stoga, kada , približava se funkciji jediničnog impulsa.

U ovom slučaju iz jednačine (1.34) imamo

Page 25: Furijeova Analiza

Slika 1.13. Jedinični pravougaoni impuls

i odatle, zamenjujući u jednačinu (1.35), dobijamo

(1.36)

U diskontinuitetima , ovaj integral uzima vrednost .

Ako u podintegralnoj funkciji pustimo da , integral se formalno približava

. Međutim, ovaj integral ne konvergira tako da time nismo obezbedili

predstavu impulsne funkcije preko integrala. Naravno, ova funkcija ne zadovoljava Dirihleove uslove te teorema integrala ne može biti primenjena na nju. U praksi treba da primenimo teoremu na aproksimaciju dobijenu uzimanjem da u gornjoj funkciji bude dovoljno malo.

Ako je parna funkcija,

Slično, u ovom slučaju, možemo pokazati da je

Proširenjem kosinusa u podintegralnoj funkciji

i korišćenjem ova dva rezultata nalazimo da je

(1.37)

i odatle se jednačina (1.33) svodi na

(1.38)

Page 26: Furijeova Analiza

Ali integral na desnoj strani (1.37) je parna funkcija od i stoga je (1.38) ekvivalentno sa

(1.39)

Kada napišemo

(1.40)

(1.39) pokazuje da imamo recipročan rezultat

(1.41)

Ovaj reciprocitet je jasnije izložen ako sada u (1.40) promenimo varijablu integraljenja u i napišemo

(1.42)

je nazvana Furijeovom kosinusnom transformacijom od , i jednačine

(1.41), (1.42) pokazuju da ako je Furijeova kosinusna transformacija ,

tada je ista transformacija . Simbolima, ako tada

.

Jednačina (1.41) se može protumačiti kao prikazivanje kao sume sinusoidnih funkcija beskonačno malih amplituda; tipična takva funkcija ugaone frekvencije je

. Ova komponenta ima amplitudu . Kako je

definisano za sve pozitivne vrednosti , ova kriva biće neprekidna linija, a spektar je neprekidan spektar. Ovakav spektar treba uporediti sa spektrom periodične funkcije, za koji je pokazano da je diskretan spektar.

Ako je dozvoljeno da uzima negativne vrednosti, (1.42) pokazuje da je parno i stoga (1.41) možemo napisati kao

što odgovara predstavi kao sumi beskrajno malih sinusoidnih funkcija ugaonih frekvencija koje variraju na opsegu . Zbog toga neki autori više vole da se

prema grafiku na celom mogućem opsegu vrednosti odnose kao prema

spektru .

Page 27: Furijeova Analiza

Kao primer uzećemo u obzir spektar pravougaonih impulsa, analiziranih ranije. Iz jednačine (1.36)

i stoga ima spektar prikazan na slici 1.14.

Ako amplitudu svake beskonačno male sinusoidne komponente od definišemo

da bude pozitivna, spektar je tada dijagram .Primetimo da se u integralima (1.41) i (1.42) pojavljuju samo vrednosti pretpostavljene od strane i za pozitivne vrednosti njihovih argumenata. Sledi da su ova dva rezultata tačna za bilo koju funkciju definisanu za pozitivnu vrednost njihovih argumenata. Ako je dozvoljeno da uzme negativnu vrednost, tada će (1.41) dati vrednost koja će biti dobijena pod pretpostavkom da je funkcija parna. Prema tome ako je i ako je definisana samo za pozitivno ,

tada će (1.41) definisati za negativno , prema jednačini .

Slika 1.14. Spektar jednog pravougaonog impulsa

U slučaju kada je neparna, ako Furijeovu sinusnu transformaciju definišemo pomoću jednačine

(1.43)

tada postoji recipročna veza

(1.44)

Ova poslednja jednačina predstavlja kao sumu sinusoidnih beskonačno malih

amplituda, i prema tome grafik za sve vrednosti ili samo za pozitivne

vrednosti, naziva se spektar . Očigledno je, takođe neparno. Ako je definisana samo za pozitivno , očigledno je da se tada još uvek mogu primeniti (1.43) i (1.44), a ako je onda dozvoljeno da u (1.44) uzima pozitivne vrednosti tako da je opseg definicije proširen, tako definisana funkcija biće neparna.

Primer

Page 28: Furijeova Analiza

Izračunati Furijeovu sinusnu i kosinusnu transformaciju funkcije definisane za pozitivne vrednosti putem .

Jednačina (1.42) daje

U pogledu reciprociteta između i njene transformacije, sledi da je kosinusna transformacija funkcije

parna funkcija, koja je za pozitivne vrednosti svog argumenta jednaka .

Stoga, simbolima možemo napisati

Iz jednačine (1.43) sinusna transformacija je

Recipročno, sledi da je sinusna transformacija neparne funkcije parna

funkcija definisana za pozitivne vrednosti svog argumenta .

Ako nije ni neparna ni parna, možemo dobiti njen spektar na sledeći način. Proširenjem kosinusa u formuli Furijeovog integrala (1.33) dobijamo

i stavljajući

(1.45)

(1.46)

možemo napisati

Page 29: Furijeova Analiza

(1.47)

što pokazuje da je razloživo u sumu sinusoida beskonačno malih amplituda: tipična takva funkcija, ugaone frekvencije ,

gde je . Grafik je spektar . Grafik se zove fazna

karakteristika .

Primer

Naći spektar i faznu karakteristiku funkcije definisane tako da je

Page 30: Furijeova Analiza

Koristeći jednačine (1.45) i (1.46), funkcije i dobijamo na sledeći način

Crtanjem ovih funkcija u zavisnosti od , dobijamo spektar i faznu karakteristiku prikazane na slici 1.15.

Alternativno, uvođenjem funkcija opštu funkciju možemo analizirati na sređeniji način.

Očigledno je da je

pod uslovom da integral postoji, neparna funkcija od . Stoga sledi da je

(1.48)

Slika 1.15. Spektar i fazna karakteristika

Kombinujući rezultate (1.33) i (1.48),

(1.49)

Ako kompleksnu Furijeovu transformaciju definišemo kao , gde je

Page 31: Furijeova Analiza

(1.50)

tada je (1.49) ekvivalent jednačini

(1.51)

Jednačine (1.50), (1.51) pokazuju da je veza između i veoma blizu

recipročne. Jednačina (1.51) pokazuje da je raščlanjena u sumu beskonačno malih kompleksnih sinusoida, čija je komponenta ugaone frekvencije ,

. Jednačina (1.50) je ekvivalentna sa

(1.52)

gde su i definisani jednačinama (1.45) i (1.46). Sledi da je

(1.53)

i stoga će dijagram funkcija , predstavljati spektar i faznu

karakteristiku , respektivno.

Primer

Izvedite Furijeovu analizu funkcije definisane jednačinama

Iz jednačine (1.50)

Da bi nacrtali spektar i faznu karakteristiku posmatramo

Page 32: Furijeova Analiza

gde je ceo broj čija vrednost zavisi od . Pogodno je dozvoliti da amplituda opšte sinusoidne komponente uzima negativne vrednosti. U tom slučaju, spektar i fazne karakteristike su grafici funkcija

koje je lako nacrtati.

Na kraju, u ovom odeljku napomenućemo da se formule u vezi sa Furijeovom analizom periodičnih funkcija mogu svrstati u okvir teorije transformacije. Ako je neparna i ima period , za (1.26) se može smatrati da definiše konačnu Furijeovu sinusnu transformaciju od , koja je funkcija varijable integraljenja . Recipročna veza je tada Furijeov red

Slično, ako je parno imamo recipročnu vezu

gde je konačna Furijeova kosinusna transformacija od . Ove formule su analogne jednačinama (1.42) i (1.41), respektivno (integraljenje je zamenjeno sumiranjem).

U opštem slučaju kada nije ni parna ni neparna, pogodno je koristiti kompleksan oblik Furijeovog reda (1.3). Ovaj red možemo napisati kao

(1.54)

Page 33: Furijeova Analiza

gde su

Koristeći jednačine (1.9) i (1.11), izračunavamo da je

(1.55)

Na sličan način, može se pokazati da jednačina (1.55) važi za .

Jednačina (1.55) se može smatrati definicijom konačnog kompleksnog oblika Furijeove transformacije periodične funkcije . Tada je (1.55) recipročna veza

koja specifikuje u uslovima njene transformacije.

Amplituda -tog harmonika izračunata iz reda (1.4) je . Bez faktora

, ovo je . Stoga će dijagram , za pozitivne cele vrednosti , generisati

spektar . Ovaj rezultat je analogan onome iz prve od jednačina (1.53).

Primer

Izračunati konačnu kompleksnu Furijeovu transformaciju periodične funkcije perioda koja je na periodu definisana jednačinama

Grafik izgleda kao povorka eksponencijalno opadajućih impulsa.

Integraljenjem na periodu i korišćenjem jednačine (1.55), nalazimo

(1.56)