f = 1 δ F δki i - mec.upt.ro · inginer mecanic: solicitările compuse, calculul deplasrilor şi...

f = 1

Fk Fi

Fi

Fk

Fk

δkk·Fk

δik·Fk

δii·Fi

vi vk

δki·Fik

k

k

i

i

Fk

δkk·Fk

δik·Fk

k

i

i

δkk

δik

i k

f = 1

Fi δii

δki

δii·Fi

δki·Fi

ki

i k

Mihai HLUŞCU Pavel TRIPA

REZISTENŢA MATERIALELOR

II

Editura MIRTON Timişoara

2013

Referenţi ştiinţifici: Prof. univ. dr. ing. Ion DUMITRU

Conf. dr. ing. Dana PERJU SILAGHI Tehnoredactare computerizată: Prof. univ. dr. ing. Pavel TRIPA Coperta: Şef lucr. dr. ing. Mihai HLUŞCU

„Ce poate bucura mai mult un om decât să ştie că este unul din aceia care au izbutit să mişte, chiar şi cu un micron, bariera cunoaşterii în înfruntarea cu natura” D. H. R. BARTON Chimist şi fizician britanic

Prefaţă

Diversitatea continuă a specializărilor în domeniul ingineriei, apariţia cunoştinţelor noi

în domeniul tehnic, readaptarea la noile cerinţe a multor sectoare industriale, obligă

învăţământul tehnic superior din ţara noastră la o permanentă transformare şi la o calitate

superioară a pregătirii inginereşti fundamentale. Rezistenţa materialelor fiind o disciplină

tehnică fundamentală în pregătirea inginerilor mecanici nu poate rămâne în afara acestor

cerinţe.

Rezistenţa materialelor este, poate, prima disciplină necesară şi obligatorie în

deprinderea de a gândi inginereşte, în asumarea răspunderii de luare a deciziilor pentru

conceperea, proiectarea, realizarea economică şi chiar exploatarea maşinilor şi utilajelor

tehnice în deplină siguranţă.

Lucrarea de faţă reprezintă volumul al doilea al lucrării Rezistenţa materialelor, care

constituie cursul care se predă studenţilor din învăţământul tehnic cu specific mecanic, de la

Facultatea de.Mecanică din Timişoara.

Dacă în primul volum, autorii tratează noţiunile fundamentale din Rezistenţa

materialelor (eforturi, tensiuni şi deformaţii), caracteristicile geometrice ale suprafeţelor

plane, caracteristicile mecanice ale metalelor, solicitările simple (tracţiune-compresiune,

forfecarea pieselor de grosime mică sau mare, încovoierea, răsucirea), noţiuni de teoria

elasticităţii, în acest volum sunt tratate alte capitole care întregesc buna pregătire a viitorului

inginer mecanic: solicitările compuse, calculul deplasărilor şi a sistemelor static

nedeterminate, stabilitatea echilibrului elastic, solicitările dinamice prin forţe de inerţie sau

şocuri, solicitările variabile cu amplitudine constantă, calculul plăcilor plane izotrope, vasele

de revoluţie cu pereţi subţiri, tuburile cu pereţi groşi, solicitările peste limita de elasticitate.

Noţiunile teoretice sunt prezentate simplu, în logica lor firească, făcând astfel lucrarea

accesibilă unui număr cât mai mare de persoane şi cu un nivel de pregătire nu prea ridicat.

După abordarea teoretică a problematicii, fiecare capitol se finalizează cu prezentarea

unor aplicaţii model rezolvate, astfel încât cei care parcurg lucrarea să-şi poată verifica nivelul

cunoştinţelor dobândite, să-şi stimuleze gândirea şi apoi prin efort propriu să poată rezolva

problemele în faţa cărora vor fi puşi.

Lucrarea răspunde de deplin cerinţelor pe care trebuie să le dobândească cei interesaţi

de această disciplină tehnică inginerească: schematizarea elementelor de rezistenţă,

schematizarea încărcărilor, stabilirea solicitărilor fundamentale, efectuarea calculelor de

verificare, dimensionare sau încărcare capabilă, deformaţii, stabilitate etc.

Lucrarea se adresează în primul rând studenţilor de la facultăţile de inginerie

mecanică, ciclul licenţă sau master. Ea poate fi utilizată şi de studenţii altor facultăţi care

studiază Rezistenţa materialelor sau de inginerii din cercetare, proiectare sau producţie.

În vederea elaborării acestei lucrări, autorii s-au bazat pe experienţa lor proprie din

activitatea didactică desfăşurată cu studenţii de-a lungul multor ani, precum şi pe cele mai

reprezentative lucrări din domeniu, apărute la edituri din ţara noastră.

Autorii sunt conştienţi de faptul că prezenta lucrare poate fi îmbunătăţită atât sub

aspectul conţinutului cât şi al prezentării grafice, motiv pentru care îşi esprimă multumirea

faţă de cei care vor veni cu sugestii şi aprecieri critice sincere şi documentate, în vederea

ridicării nivelului lucrării sub toate aspectele sale, într-o ediţie viitoare.

Autorii

C U P R I N S

1. SOLICITĂRI COMPUSE …………………………………………………... 9 Consideraţii generale …………………………………………………………... 91.1 Încovoierea oblică a barelor drepte 101.2 Tracţiunea – compresiunea excentrică ………………………………………… 131.3 Sâmburele central ……………………………………………………………… 19 1.3.1 Sâmburele central pentru suprafaţa dreptunghiulară ………………… 19 1.3.2 Sâmburele central pentru suprafaţa circulară ………………………. 21 1.3.3 Sâmburele central pentru suprafaţa I simetrică …………………….. 221.4 Tensiuni normale extreme în secţiune, exprimate funcţie de limitele

sâmburelui central ………………………..............………………...............…. 231.5 Calculul arcurilor elicoidale cu pas mic (cu spire strânse) .................................. 251.6 Tensiuni în bare curbe plane solicitate la încovoiere pură .................................. 291.7 Teorii de rezistenţă. Încovoiere cu torsiune …………………………………… 37 1.7.1 Teorii de rezistenţă …………………………………………………. 37 1.7.2 Încovoierea cu răsucire (torsiune) .………………………………….. 42 Aplicaţii ………………………………………………………………………... 45 2. METODE PENTRU CALCULUL DEFORMAŢIILOR ……………….. 83 2.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 832.2 Metode clasice pentru calculul deformaţiilor barelor drepte solicitate la

încovoiere ……………………………………………………………………… 84 2.2.1 Metoda dublei integrări ……………………………………………… 84 2.2.2 Metoda parametrilor iniţiali (metoda parametrilor în origine) ...……. 88 2.2.3 Metoda grinzii conjugate (reciproce) sau metoda Mohr ……………. 932.3 Metoda energetice pentru calculul deformaţiilor ....…………………………… 100 2.3.1 Teoremele de reciprocitate ................................................................... 100 2.3.2 Metoda sarcinii unitare (Metoda Mohr – Maxwell) 105 Aplicaţii ........................................………………………………………….. 109 2.3.3 Regula de integrare Veresceaghin (Procedeul Veresceaghin) .……… 117 Aplicaţii ......................................................................................................... 1192.4 Sisteme static nedeterminate …………………………………………………... 127 Aplicaţii la sisteme static nedeterminate .……………………………………... 132 3. STABILITATEA ECHILIBRULUI ELASTIC. FLAMBAJUL ………... 160 3.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 1603.2 Calculul forţei critice de flambaj la barele drepte zvelte solicitate la

compresiune axială (Formula lui Euler) ....…………………………………….. 161 3.2.1 Bara articulată la ambele capete ……………………………………... 161 3.2.2 Bara înţepenită la un capăt şi liberă la celălalt ………………………. 163

3.2.3 Bara articulată la un capăt şi înţepenită la celălalt …………………... 165 3.2.4 Bara înţepenită la ambele capete …………………………………….. 1683.3 Limitele de valabilitate ale formulei lui Euler. Flambajul elastic şi plastic …… 171 3.3.1 Flambajul elastic …………………………………………………….. 171 3.3.2 Flambajul plastic. Relaţiile Tetmajer – Iasinski ……………………... 1733.4 Calculul la flambaj …………………………………………………………….. 174 3.4.1 Calculul în domeniul elastic şi plastic ……………………………….. 175 3.4.2 Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj ϕ ………... 1763.5 Flambajul barelor sub acţiunea forţelor excentrice ……………………………. 1783.6 Flambajul lateral al grinzilor subţiri solicitate la încovoiere …………………... 180 Aplicaţii la flambaj ...…………………………………………………………... 185 4. SOLICITĂRI DINAMICE ………………………………………………….. 198 4.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 1984.2 Solicitări prin forţe de inerţie ………………………………………………….. 199 4.2.1 Calculul cablului de ascensor sau de macara ………………………... 201 4.2.2 Calculul volantului în mişcarea de rotaţie …………………………… 203 4.2.3 Calculul barei în mişcarea de rotaţie în jurul unei axe perpendiculare

pe planul său …………………………………………………………. 206 4.2.4 Calculul bielei motoare ……………………………………………… 209 4.2.5 Calculul bielei de cuplare ..................................................................... 2144.3 Solicitări produse de variaţii rapide ale acceleraţiei (Şocuri) .………………… 217 4.3.1 Consideraţii generale ………………………………………………… 217 4.3.2 Întinderea (compresiunea) prin şoc ………………………………….. 218 4.3.3 Încovoierea prin şoc …………………………………………………. 221 4.3.4 Răsucirea prin şoc prin şoc .………………………………………… 224 4.3.5 Calculul arcului elicoidal cu spire strânse solicitat la şoc …………… 225 4.3.6 Efectul masei corpului lovit asupra solicitării prin şoc ……………… 227 Aplicaţii la solicitarea prin şoc …….....………………………………………... 232 5. SOLICITĂRI VARIABILE ………………………………………………… 250 5.1 Cicluri ale solicitărilor variabile ……………………………………………….. 2505.2 Oboseala materialelor. Ruperea prin oboseală ......…………………………….. 2525.3 Rezistenţa la oboseală. Curba lui Wőhler ……………………………………... 2545.4 Diagramele rezistenţelor la oboseală ………………………………………….. 2585.5 Schematizarea diagramelor rezistenţelor la oboseală …………………………. 260 5.5.1 Schematizări ale diagramei Haigh …………………………………… 260 5.5.2 Schematizarea diagramei Smith ……………………………………... 2635.6 Factorii care influenţează rezistenţa la oboseală ………………………………. 2655.7 Calculul la oboseală. Calculul coeficientului de siguranţă ……………………. 278 5.7.1 Calculul coeficientului de siguranţă, schematizarea Soderberg,

criteriul R = const. …………………………………………………… 282 5.7.2 Calculul coeficientului de siguranţă, schematizarea Serensen,

criteriul R = const. …………………………………………………… 283 5.7.3 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile compuse … 2855.8 Calculul la durabilitate limitată ………………………………………………... 287 Aplicaţi ………………………………………………………………………… 289

6. CALCUL PLĂCILOR PLANE IZOTROPE …………………………….. 293 6.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 2936.2 Calculul la încovoiere al plăcilor circulare încărcate simetric ………………… 295 6.2.1 Relaţii între tensiuni şi deformaţii specifice …………………………. 295 6.2.2 Echilibrul elementului de placă ……………………………………… 298 6.2.3 Calculul plăcii circulare încărcată cu o sarcină uniform distribuită

şi încastrată pe contur …………………………………………….….. 305 6.2.4 Calculul plăcii circulare încărcată cu o sarcină uniform distribuită şi

simplu rezemată pe contur …………………………………………… 310 6.2.5 Calculul plăcii circulare încărcată cu o forţă concentrată în centru şi

înţepenită pe contur ………………………………………………….. 3146.3 Calculul la încovoiere al plăcilor dreptunghiulare …………………………….. 3176.4 Calculul la şoc al plăcilor plane ……………………………………………….. 3196.5 Calculul aproximativ al plăcilor plane ………………………………………… 321 6.5.1 Calculul aproximativ al plăcii circulare simplu rezemată pe contur şi

încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe o suprafaţă circulară în jurul centrului plăcii …………………………………………………. 321

6.5.2 Calculul aproximativ al plăcii dreptunghiulare simplu rezemată pe contur şi încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe toată suprafaţa

şi cu o forţă concentrată în centrul plăcii ………………......………… 323 7. VASE DE REVOLUŢIE CU PEREŢI SUBŢIRI ………………………. 325 7.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 3257.2 Calculul vaselor de revoluţie cu pereţi subţiri …………………………………. 326 8. TUBURI CU PEREŢI GROŞI …………………………………………….. 334 8.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 3348.2 Tubul cilindric cu perete gros supus la presiune interioară şi exterioară ……… 334 8.2.1 Tubul cilindric supus numai la presiune interioară ………………….. 339 8.2.2 Tubul cilindric supus numai la presiune exterioară …………………. 3438.3 Tuburi cilindrice fretate ……………………………………………………….. 3458.4 Tensiuni termice în tubul cu perete gros ………………………………………. 3548.5 Vase sferice cu pereţi groşi ……………………………………………………. 360 9. SOLICITĂRI PESTE LIMITA DE ELASTICITATE …………………. 366 9.1 Consideraţii generale …………………………………………………………... 3669.2 Schematizarea diagramelor caracteristice ……………………………………... 3709.3 Calculul în domeniul elasto – plastic ………………………………………….. 3749.4 Criterii de plasticitate ………………………………………………………….. 3819.5 Solicitări simple în domeniul elasto – plastic ………………………………….. 382 9.5.1 Tracţiunea sau compresiunea în domeniul elasto – plastic ………….. 382 9.5.2 Încovoierea barelor drepte în domeniul elasto – plastic …………….. 383 9.5.3 Tensiuni şi deformaţii remanente la încovoiere în domeniul elasto –

plastic ………………………………………………………………... 389 9.5.4 Răsucirea barelor drepte circulare în domeniul elasto – plastic ……... 392 9.5.5 Tensiuni remanente în cazul răsucirii barei drepte circulare în

domeniul elasto – plastic …………………………………………….. 394 9.5.6 Răsucirea simplă a unei bare drepte de secţiune transversală oarecare

în domeniul elasto – plastic ………………………………………….. 3959.6 Tubul cu perete gros supus la presiune interioară, în domeniul elasto – plastic . 3989.7 Cedarea sistemelor alcătuite din bare drepte, solicitate la încovoiere …………. 403 BIBLIOGRAFIE ……………………………………………...........………………... 408

M. HLUŞCU P. TRIPA - REZISTENŢA MATERIALELOR II

1. SOLICITĂRI COMPUSE

CONSIDERAŢII GENERALE Dacă în secţiunea transversală a unui element de rezistenţă acţionează un singur efort, atunci în acea secţiune se realizează o solicitare simplă (axială, forfecare, încovoiere, torsiune). Deoarece, în cele mai multe cazuri forţa tăietoare se neglijează, se poate considera că încovoierea cu forţă tăietoare (încovoierea simplă) este o solicitare simplă. Dacă însă în secţiunea transversală a elementului de rezistenţă acţionează două sau mai multe eforturi, în acea secţiune se realizează o solicitare compusă. Solicitarea compusă apare din acţiunea simultană a mai multor componente ale eforturilor din secţiunea transversală în diferite combinaţii (două, trei, patru, cinci sau chiar şase componente). În Fig.1-1 se prezintă starea generală de solicitare compusă, când în secţiunea transversală acţionează toate componentele eforturilor.

Miz

Ty

Tz

N

MiyMt

Fig.1-1 După cum se constată, unele eforturi la solicitarea compusă produc tensiuni normale σ (N, Miz, Miy) iar altele (Tz, Ty, Mt) tensiuni tangenţiale τ. Dacă în secţiunea transversală acţionează eforturi care produc numai tensiuni de acelaşi fel, solicitarea compusă este de categoria I, iar dacă produc tensiuni normale şi tangenţiale, solicitarea compusă este de categoria a II-a. În cele de categoria I, se încadrează solicitarea axială cu cea de încovoiere sau de forfecare cu cea de torsiune. În categoria a II-a, cea mai răspândită este încovoierea simplă cu torsiunea.

9


Calculul de rezistenţă la solicitarea compusă, impune calculul tensiunilor cele mai mari din secţiunea transversală, care se determină cu relaţiile de calcul ale solicitărilor simple. În cazul general de solicitare compusă, pentru bara dreaptă, starea de tensiune într-un punct al acesteia poate fi considerată ca o stare plană. În acest caz, calculul de rezistenţă se efectuează după teoriile stărilor de tensiune limită. De asemenea pentru solicitarea compusă de categoria I, încovoiere oblică sau tracţiune (compresiune) cu încovoiere, starea de tensiune poate fi considerată liniară dacă se neglijează forţa tăietoare, care eventual ar putea exista. Aici, criteriul stării limită utilizat este cel de la solicitarea de întindere sau compresiune simplă. În cazurile ce se vor prezenta în continuare, se va considera valabil principiul independenţei acţiunii forţelor, ceea ce înseamnă că tensiunile şi deformaţiile la solicitarea compusă de categoria I, se vor determina prin însumarea geometrică a tensiunilor şi deformaţiilor produse de fiecare efort existent în secţiunea respectivă. Acest mod de calcul simplificat, poate fi acceptat numai pentru barele rigide, la care deformaţiile mici produse de încărcări nu modifică semnificativ forma iniţială a barelor. Încovoierea oblică care este un caz simplu de solicitare compusă de categoria I, a fost prezentat în volumul anterior al lucrării Rezistenţa Materialelor, motiv pentru care nu se mai prezintă în acest volum. De altfel, studiul încovoierii oblice este un caz particular al celui care se prezintă în continuare.

1.1 ÎNCOVOIEREA OBLICĂ A BARELOR DREPTE

Dacă forţele exterioare nu sunt situate toate într-un plan principal de inerţie al secţiunii transversale, dar sunt conţinute în plane longitudinale, atunci vectorul momentului încovoietor nu se află pe una din direcţiile centrale principale de inerţie. Solicitarea de încovoiere la care vectorul moment încovoietor nu este situat pe o direcţie principală de inerţie, este o solicitare de încovoiere oblică. La încovoierea oblică, vectorul moment încovoietor face cu axele centrale principale de inerţie un unghi α. Încovoierea oblică se întâlneşte în multe situaţii: în cazul unei bare solicitate de forţe exterioare atât în plan orizontal cât şi în

plan vertical (Fig.1.1-1a). La aceste bare, diagrama de momente încovoietoare are componente în plan orizontal Miy şi în plan vertical Miz

la profilele la care direcţiile principale de inerţie nu coincid cu planul forţelor (Fig.1.1-1b). Fie o secţiune de formă dreptunghiulară (Fig.1.1-1a), la care direcţiile

principale de inerţie coincid cu direcţiile centrale Gz şi Gy (Fig.1.1-2).

10


Direcţia momentului încovoietor Mi din secţiunea transversală a grinzii nu coincide cu nici una din direcţiile principale de inerţie.

Momentul încovoietor Mi se descompune în două componente orientate pe direcţiile principale de inerţie:

z

F2

F1

l

Miz = F1· l

Miy = F2 · l

a)

b)

Fig.1.1-1

G

y

1

2

α⋅=α⋅= sinMM;cosMM iiyiiz 1.1-1

y

Axa neutră

T

C

Miz

Miy

σT σC

α

z

β

Fig.1.1-2

11


Cele două momente încovoietoare, produc într-un punct al secţiunii, tensiunile:

iz iMiz

z z

iy iyMiy

y y

M M cosασ y yI I

M M sinασ z z

I I

⋅= ± ⋅ = ± ⋅

⋅= ± ⋅ = ± ⋅

1.1-2

În relaţia 1.1-2 s-a pus semnul ±, deoarece într-un punct oarecare al secţiunii, cele două momente încovoietoare pot produce tensiuni normale de întindere sau de compresiune.

Aceste tensiuni, fiind normale la secţiunea barei şi având aceeaşi direcţie, dau o tensiune normală rezultantă:

iyizrez Miz Miy i

z y z y

MMcosα y sinα zσ σ σ M yI I I I

⎛ ⎞⋅ ⋅= + = ⋅ ± ± = ± ⋅ ± ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠z 1.1-3

Din relaţia 1.1-3, rezultă că tensiunea normală rezultantă la încovoierea oblică variază liniar pe secţiune. Analizând diagramele de momente (care sunt reprezentate pe fibra întinsă) rezultă că punctul T este cel mai întins, iar punctul C, cel mai comprimat (Fig.1.1-2). Pentru calculul tensiunii normale rezultante într-un punct, în relaţia 1.1-3 se pune semnul + sau – în funcţie de ce efect are în acel punct momentul încovoietor respectiv. Ecuaţia axei neutre, rezultă din relaţia 7.7-3, punând condiţia ca σrez = 0:

iyiz

an anz y

MM y zI I

0⋅ + ⋅ = 1.1-4

unde: zan, yan – reprezintă coordonatele unui punct situat pe axa neutră. Axa neutră la încovoierea oblică este o dreaptă care trece prin centrul de greutate al secţiunii. Scriind sub altă formă relaţia 1.1-4, se obţine:

iy iy y yanizan an

z y iz z an z

M M I IyM y z tgα tgβI I M I z I

⋅ =− ⋅ ⇒ =− ⋅ ⇒ =− ⋅ 1.1-5

unde: α - unghiul format de momentul încovoietor Mi cu axa principală Gz

12


β - unghiul format de axa neutră cu axa principală Gz. Din relaţia 1.1-5, se deduce expresia care dă valoarea unghiului β:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α⋅−=β⇒α⋅−=β

iz

iy

y

z

y

z

y

z

MM

IIarctgtg

IIarctgtg

IItg 1.1-6

Dacă Iz = Iy, , rezultă α =β, adică axa neutră se suprapune peste direcţia

momentului încovoietor Mi. Această constatare, permite o determinare simplă a tensiunii normale maxime pentru secţiuni circulare, unde tensiunea maximă se obţine în punctele cele mai depărtate de axa neutră, dar şi cele mai depărtate de direcţia momentului încovoietor Mi:

z

2iy

2iz

z

imax W

MMWM +

==σ 1.1-7

Pentru secţiunile la care Iz > Iy, se obţine β>α.

Variaţia tensiunii normale din secţiunea dreptunghiulară a barei din Fig.1.1-1a, este prezentată în Fig.1.1-2. Încovoierea oblică poate fi considerată atât solicitare simplă cât şi solicitare compusă de categoria I. Simplă, pentru că există numai încovoiere Mi (e drept în două plane) şi compusă, deoarece există două eforturi de încovoiere (Miz şi Miy).

1.2 TRACŢIUNEA-COMPRESIUNEA EXCENTRICĂ

O forţă normală pe secţiune produce întindere sau compresiune doar dacă este aplicată în lungul axei longitudinale. Dacă punctul de aplicaţie al forţei normale este plasat excentric în raport cu centrul de greutate al secţiunii atunci prin reducerea forţei în centrul de greutate se obţine o forţă axială (N), şi un moment încovoietor (Mi). Prezenţa simultană a lui N şi Mi determină o solicitare compusă de întindere sau compresiune şi încovoiere (solicitare compusă de categoria I). Se consideră o bară dreaptă solicitată de o forţă F normală la planul secţiunii transversale a cărei direcţie nu coincide cu axa longitudinală a barei (Fig.1.2-1a). Faţă de centrul de greutate al secţiunii transversale, punctul de aplicaţie al forţei excentrice F, are coordonatele (zF , yF). Reducând forţa excentrică F în centrul de greutate al secţiunii transversale în care ea acţionează, se obţine torsorul

13


format dintr-o forţă axială (N = F) şi două cupluri (Miz , Miy). Torsorul forţelor este prezentat în Fig.1.2-1a. Valoarea acestora este: N = F Miz = F ⋅ yF 1.2-1 Miy = F ⋅ zF

yF

Nz

y

zF

Fig.1.2-1

z

y

Miz

MiyNb)a)

Diagramele de eforturi în lungul barei pentru această situaţie, sunt prezentate în Fig.1.2-2a,b.

F

F

+

N Mi

Miz = F yF

Miy = F zF

Fig.1.2-2

a) b) c)

σN σMiz σMiy σ > 0

σ > 0 σ > 0

σ < 0

σ < 0

Cum bara are secţiunea constantă, iar eforturile au aceeaşi valoare în oricare secţiune, rezultă că secţiunea periculoasă poate fi oricare. Calculul de

14


rezistenţă se efectuează în această secţiune. Deci eforturile din secţiunea periculoasă sunt:

N = F Miz = F ⋅ yF 1.2-2 Miz = F ⋅ zF Fiecare efort produce în secţiunea transversală a barei tensiuni normale σ, rezultând astfel o solicitare compusă de categoria I. Pentru cele trei eforturi tensiunile se calculează cu relaţiile cunoscute de la solicitările simple:

AF

AN

N ==σ 1.2-3a

yIyF

yI

M

z

F

z

izMiz ⋅

⋅=⋅=σ 1.2-3b

zIzF

zI

M

y

F

y

iyMiy ⋅

⋅=⋅=σ 1.2-3c

Variaţia tensiunilor normale produse de cele trei eforturi sunt prezentate în Fig.1.2-2c. Fiind tensiuni de acelaşi fel şi având aceeaşi direcţie (normală la secţiunea transversală), tensiunea rezultantă într-un punct al secţiunii transversale, se obţine prin însumarea algebrică a tensiunii normale produsă de fiecare efort:

z

IzF

yIyF

AF

zI

My

IM

AN

y

F

z

F

y

iy

z

izMiyMizNrez

⋅⋅

±⋅⋅

±±

=⋅±⋅±±=σ+σ+σ=σ

1.2-4

În relaţia 1.2-4 apare semnul ± deoarece într-un punct oarecare al secţiunii transversale, cele trei eforturi pot produce tensiuni normale de întindere (semnul +) sau de compresiune (semnul -). Se poate uşor constata că, variaţia tensiunii normale rezultante pe secţiune este una liniară. Rezultând atât tensiuni de întindere cât şi de compresiune, înseamnă că există puncte în secţiunea transversală în care tensiunea este nulă. Locul geometric al acestor puncte reprezintă axa neutră. Ecuaţia axei neutre rezultă din relaţia 1.2-4, ca fiind ecuaţia tensiunii normale rezultante nule:

15


F Frez an an

z y

F y F zFσ y zA I I

0⋅ ⋅= + ⋅ + ⋅ = 1.2-5

În relaţia 1.2-5, zan şi yan reprezintă coordonatele unui punct situat pe axa neutră. Această ecuaţie reprezintă ecuaţia unei drepte, iar reprezentarea ei grafică poate fi făcută prin intersecţia cu direcţiile principale:

intersecţia cu direcţia principală Gz: an

yan

F F

y

Iz

A z z

2

0=

⇒ = − = −⋅

yi 1.2-6a

intersecţia cu direcţia principală Gy:

an

zan

F F

z

IyA y y

2

0=

⇒ = − = −⋅

zi 1.2-6b

Se constată că intersecţia axei neutre cu direcţiile principale ale secţiunii transversale, are loc pe sensurile negative ale acestora. Din acest motiv trebuie stabilite sensurile pozitive ale direcţiilor principale de inerţie. Acestea pot fi fixate de la început, ceea ce poate complica calculul tensiunii normale rezultante, sau se aleg astfel încât ele să fixeze cadranul în care tensiunile produse de cele trei eforturi să aibă acelaşi semn, adică toate să fie de întindere sau toate de compresiune. În cazul nostru vom opta pentru cea de-a doua variantă. Pentru problema pusă în discuţie (Fig.1.2-1a), cadranul determinat de sensurile pozitive ale direcţiilor principale (cadranul în care toate eforturile produc tensiuni de întindere, vezi şi Fig.1.2-2c) coincide cu cadranul I trigonometric. Poziţia axei neutre pentru cazul studiat, este prezentată în Fig.1.2-3.

σmax,C

Axa neutră

+

-

zan

yan

z

y Cadranul I

σmax,t

Fig.1.2-3

C

T

16


Poziţia axei neutre poate rezulta şi în funcţie de eforturi (vezi relaţia 1.2-4):

iyizan an

z y

MMN y zA I I

0+ ⋅ + ⋅ = 1.2-7

Procedând ca mai înainte, se obţin coordonatele punctelor de intersecţie

ale axei neutre cu direcţiile principale: intersecţia cu direcţia principală Gz:

an

yan

iy

yI NzA M

0=

= − ⋅ 1.2-8a

intersecţia cu direcţia principală Gy:

an

zan

iz

zI NyA M

0=

= − ⋅ 1.2-8b

Analizând ecuaţia axei neutre precum şi coordonatele punctelor de intersecţia ale axei neutre cu direcţiile principale de inerţie ale secţiunii transversale, rezultă următoarele:

poziţia axei neutre nu depinde de valoarea forţei F poziţia axei neutre depinde de poziţia iniţială a punctului de aplicaţie al

forţei, astfel: dacă punctul de aplicaţie al forţei F se apropie de centrul de greutate al secţiunii, axa neutră se îndepărtează de centrul de greutate. Când forţa se aplică în centrul de greutate, axa neutră se află la infinit.

dacă punctul de aplicaţie al forţei F se depărtează de centrul de greutate al secţiunii, axa neutră se apropie de centrul de greutate.

Dacă axa neutră intersectează direcţiile principale ale secţiunii, în secţiune există tensiuni atât de întindere cât şi de compresiune. În cazul în care axa neutră nu intersectează secţiunea, tensiunile normale din secţiune sunt de acelaşi fel, fie de întindere fie de compresiune.

Rezultă că există o suprafaţă (o zonă) în jurul centrului de greutate al secţiunii, în care dacă este situat punctul de aplicaţie al forţei F, axa neutră nu intersectează secţiunea sau este cel mult tangentă la aceasta. Această suprafaţă din jurul centrului de greutate în care aplicând forţa F axa neutră este cel mult

17


tangentă la secţiune, reprezintă aşa numitul sâmbure central. Studiul sâmburelui central pentru câteva suprafeţe simple se face într-un paragraf separat. Dacă forţa excentrică F este aplicată pe o axă principală de inerţie a secţiunii, unul din momente este nul iar axa neutră este paralelă cu acea direcţie principală.

Calculul de rezistenţă la solicitarea compusă de categoria I, solicitare axială cu încovoiere, impune calculul tensiunii rezultante maxime la întindere respectiv, la compresiune. Pentru cazul analizat, punctul cel mai solicitat la întindere este colţul din cadranul I trigonometric (punctul T din Fig.1.2-3), iar cel mai solicitat la compresiune este colţul din cadranul III trigonometric (punctul C din Fig.1.2-3). În aceste puncte, toate cele trei eforturi produc valori maxime ale tensiunilor. În punctul T, efortul axial produce tensiuni maxime de întindere (de altfel aceleaşi valori în toate punctele), iar momentele încovoietoare, de asemenea tensiuni maxime de întindere. În punctul C, efortul axial produce tensiuni maxime de întindere, iar momentele încovoietoare, tensiuni maxime de compresiune. În punctele cele mai solicitate şi acestea trebuie stabilite, se pune condiţia de rezistenţă cunoscută:

acCcmax,

atTtmax,

σ≤σ=σ

σ≤σ=σ 1.2-9

unde: σat – tensiunea admisibilă la întindere σac – tensiunea admisibilă la compresiune Relaţiile explicite pentru calculul de rezistenţă sunt:

ac

y

iy

z

iz

aty

iy

z

iz

zI

My

IM

AN

zI

My

IM

AN

σ≤⋅±⋅±±

σ≤⋅±⋅±±

1.2-10

unde, y respectiv z, reprezintă coordonatele punctului în care se calculează tensiunea normală. Variaţia pe secţiune a tensiunii normale rezultante este prezentată în Fig.1.2-3.

18


1.3 SÂMBURELE CENTRAL În cazul elementelor de rezistenţă, mai ales din construcţii, realizate din materiale care au rezistenţă mică la întindere (betoane simple, piatră naturală, cărămidă etc.), este foarte important pentru acestea ca pe întreaga secţiune transversală să se producă numai tensiuni de compresiune. În aceste condiţii, trebuie precizată poziţia punctului de aplicaţie al forţei normale, astfel ca pe secţiune, tensiunile normale să fie de acelaşi fel. Altfel spus, trebuie determinat sâmburele central. La stabilirea mărimii sâmburelui central, se porneşte de la relaţiile care dau intersecţia axei neutre cu direcţiile principale de inerţie ale suprafeţei secţiunii transversale (relaţiile 1.2-6a,b), numai că în acest caz ne interesează coordonatele (zF ; yF) ale punctului de aplicaţie al forţei, cunoscând intersecţia axei neutre cu direcţiile principale (zan ; yan). 1.3.1 Sâmburele central pentru suprafaţa dreptunghiulară Suprafaţa dreptunghiulară a secţiunii transversale de dimensiunile b, respectiv h, este prezentată în Fig. 1.3.1-1.

y Cazul III

h

Cazul IV

h/6

h/6Sâmburele central

z

b/3

bCazul ICazul II

Fig.1.3.1-1 Relaţiile de calcul utilizate sunt relaţiile 1.2-6a,b:

yan

F

zan

F

Iz

A zIy

A y

= −⋅

= −⋅

1.3.1-1

Cazul I: Punem condiţia ca axa neutră să fie tangentă la conturul suprafeţei în partea dreaptă. În acest caz zan = b/2:

19


yan

F

yF

Ib bzA z

b hI bz

A b bh b

3

2 2

22 126

= ⇒ = −⋅

⋅⋅⋅

⇒ = − = − = −⋅ ⋅

1.3.1-2a

Cazul II: Punem condiţia ca axa neutră să fie tangentă la conturul suprafeţei în partea stângă (zan = - b/2):

yan

F

yF

Ib bzA z

b hI bz

A b bh b

3

2 2

22 126

= − ⇒ − = −⋅

⋅⋅⋅

⇒ = = =⋅ ⋅

1.3.1-2b

Cazul III: Punem condiţia ca axa neutră să fie tangentă la conturul suprafeţei în partea superioară (yan = h/2):

zan

F

zF

Ih hyA y

b hI hy

A h bh h

3

2 2

22 126

= ⇒ = −⋅

⋅⋅⋅

⇒ = − = − = −⋅ ⋅

1.3.1-2c

Cazul IV: Punem condiţia ca axa neutră să fie tangentă la conturul suprafeţei în partea inferioară (yan = - h/2):

zan

F

zF

Ih hyA y

b hI hy

A h bh h

3

2 2

22 126

= − ⇒− = −⋅

⋅⋅⋅

⇒ = = =⋅ ⋅

1.3.1-2d

Punând condiţii ca axa neutră să fie tangentă la conturul suprafeţei şi în alte puncte se obţin alte coordonate pentru punctul de aplicaţie al forţei F. Forma şi mărimea sâmburelui central obţinute pentru suprafaţa dreptunghiulară sunt prezentate în Fig.1.3.1-1.

20


1.3.2 Sâmburele central pentru suprafaţa circulară Se vor studia aceleaşi cazuri ale poziţiei axei neutre faţă de conturul exterior a suprafeţei şi se utilizează aceleaşi relaţii care s-au folosit şi la suprafaţa dreptunghiulară. Poziţiile axei neutre la suprafaţa circulară de diametru d pentru cele patru cazuri sunt prezentate în Fig.1.3.2-1. y

d/4

Cazul ICazul II

Cazul III

Cazul IV

Sâmburele z

central

d

Fig.1.3.2-1 Cazul I:

yan

F

yF

Id dzA z

d πI dz

πdA d d

4

2

2 2

22 648

4

= ⇒ = −⋅

⋅⋅⋅

⇒ = − = − = −⋅ ⋅

1.3.2-1a

Cazul II:

yan

F

yF

Id dzA z

d πI dz

πdA d d

4

2

2 2

22 648

4

= − ⇒ − = −⋅

⋅⋅⋅

⇒ = = =⋅ ⋅

1.3.2-1b

Cazul III:

21


zan

F

zF

Id dyA y

d πI dy

πdA d d

4

2

2 2

22 648

4

= ⇒ = −⋅

⋅⋅⋅

⇒ = − = − = −⋅ ⋅

1.3.2-1c

Cazul IV:

zan

F

zF

Id dyA y

d πI dy

πdA d d

4

2

2 2

22 648

4

= − ⇒ − = −⋅

⋅⋅⋅

⇒ = = =⋅ ⋅

1.3.2-1d

Punând condiţia ca axa neutră să fie tangentă la suprafaţă şi în alte puncte se obţin alte valori pentru coordonatele punctului de aplicaţie al forţei F. În cazul secţiunii circulare se obţine tot valoarea d/8, ceea ce înseamnă că pentru suprafaţa circulară sâmburele central este o suprafaţă circulară de diametru d/4 în jurul centrului de greutate. Forma şi mărimea sâmburelui central pentru suprafaţa circulară sunt prezentate în Fig.1.3.2-1. 1.3.3 Sâmburele central la suprafaţa I simetrică Ca şi la suprafaţa dreptunghiulară se pot considera patru tangente la contur (Fig.1.3.3-1), rezultând patru cazuri.

1

y

z

Cazul III

Cazul II Cazul IV

Cazul I

2’2

1’

h

b

Fig.1.3.3-1

22


Cazul I şi II:

yan F

F

I Ib bzA z A b

22 2

yz⋅

= ± ⇒ ± = − ⇒ =⋅ ⋅

m 1.3.3-1a

Punctele de aplicaţie ale forţei F sunt punctele 2, respectiv 2’ (Fig.1.3.3-1). Cazul III şi IV:

zan F

F

I Ih hyA y A b

22 2

zy ⋅= ± ⇒ ± = − ⇒ =

⋅ ⋅m 1.3.3-1b

Punctele de aplicaţie ale forţei F sunt punctele 1, respectiv 1’ (Fig.1.3.3-1). Ca şi la secţiunea dreptunghiulară, rezultă că forma sâmburelui central este rombul 12’1’2 (Fig.1.3.3-1). 1.4 TENSIUNI NORMALE EXTREME ÎN SECŢIUNE, EXPRIMATE FUNCŢIE DE LIMITELE SÂMBURELUI CENTRAL

Pentru anumite elemente de rezistenţă solicitate la compresiune cu încovoiere, este avantajos ca tensiunile extreme (maxime, respectiv minime) să fie determinate prin reducerea forţei normale în raport cu limitele sâmburelui central al suprafeţei şi nu în raport cu centrul de greutate, aşa cum se procedează în mod curent.

Se consideră o suprafaţă simetrică în raport cu axa Gy, iar punctul de aplicaţie B al forţei normale este situat pe această axă (Fig.1.4-1).

z

y

eGB

h1

h2

y1

y2

σmax

σmin

N/A

Fig.1.4-1

23


Punctele extreme (limită) ale sâmburelui central al suprafeţei pe axa de simetrie Gy sunt la distanţele h1, respectiv h2 de axa Gz, iar forţa normală are excentricitatea GB = e (Fig.1.4-1) Forţa normală F redusă în centrul de greutate al suprafeţei, conduce la eforturile:

N = ± F , Miz = F ⋅ e 1.4-1 Dacă se consideră forţa normală F de întindere (la compresiune se va considera cu semnul -), tensiunile extreme se determină cu relaţiile cunoscute:

2

z

izmin

1z

izmax

yI

MAN

yI

MAN

⋅−=σ

⋅+=σ

1.4-2

Ţinând seama de expresia momentului încovoietor Miz şi că Iz = iz

2·A, tensiunile extreme (relaţiile 1.4-2) pot fi scrise şi sub forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅=

⋅⋅−

⋅=⋅+=σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⋅=

⋅⋅+

⋅=⋅+=σ

eyi

IyN

IyeN

IiNy

IM

AN

eyi

IyN

IyeN

IiNy

IM

AN

2

2z

z

2

z

2

z

2z

2z

izmin

1

2z

z

1

z

1

z

2z

1z

izmax

1.4-3

Ţinând seama de relaţiile (1.2-6a,b) care conduc la stabilirea limitelor sâmburelui central (punctul de aplicaţie al forţei) se poate scrie:

12

2z

1

2z

2

212z

2

2z

1

yhiyih

yhiyih

⋅=⇒=

⋅=⇒=

1.4-4

care înlocuite în relaţiile 1.4-3 conduc la:

( ) ( )

( ) ( )

z y

z y

N y Nσ h e h eI W

N y Nσ h e h eI W

1

2

1max 2 2

2min 1 1

⋅= ⋅ + = ⋅ +

⋅= ⋅ − = ⋅ −

1.4-5

24


Dacă se notează:

( )(

h

h

M N h e

M N h e1

2

2

1 )= ⋅ +

= ⋅ − 1.4-6

care sunt momentele forţei normale F în raport cu punctele limită ale sâmburelui central al suprafeţei de pe axa de simetrie Gy, rezultă că tensiunile extreme din secţiune se pot calcula cu relaţiile:

2

2

1

1

y

hmin

y

hmax

WM

WM

=σ

=σ

1.4-7

Aceste relaţii sunt asemănătoare cu cele de la solicitarea de încovoiere pură.

1.5 CALCULUL ARCURILOR ELICOIDALE CU PAS MIC (CU SPIRE STRÂNSE)

Arcurile elicoidale cu pas mic sunt elemente des întâlnite în practică: la

vagoanele de cale ferată, la supape, la unele mecanisme etc. Ele sunt supuse acţiunii unor forţe exterioare care întind sau comprimă arcul.

Fie arcul elicoidal cu pas mic din Fig.1.5-1a, la care: F – sarcina aplicată arcului; R – raza de înfăşurare a spirei; d – diametrul sârmei arcului; n – numărul de spire.

Dacă unghiul de înclinare al spirei α este mare, în secţiunea transversală a

spirei iau naştere eforturile: axial, tăietor, moment încovoietor şi moment de răsucire. La arcul cu unghiul α mic, efortul axial şi momentul încovoietor sunt foarte mici şi se pot neglija. Deci, la arcurile elicoidale cu pas mic, singurele eforturi care se consideră că acţionează în secţiunea spirei arcului, sunt Fig.1.5-1b):

efortul tăietor T = F momentul de răsucire, Mt = F R.

25


Distribuţia tensiunilor tangenţiale în punctele reprezentative ale secţiunii, produse de cele două eforturi sunt prezentate în Fig.1.5-2.

α Mt = F· R

F

F

R

F

T = F

αd

a)

b)

Fig.1.5-1

Tensiunea maximă se produce în puntul E situat la interiorul spirei, acolo unde tensiunile produse de cele două eforturi sunt maxime şi de acelaşi sens.

Tensiunea tangenţială maximă produsă de efortul tăietor este cea din punctele C şi E (în punctele B şi D, tensiunea tangenţială produsă de efortul tăietor este nulă) şi are valoarea:

E

τt

B

C

τt

τtτt

τf MtT

Fig.1.5-2

D

τf

Axa

arc

ului

R

26


f ,max fT Fτ τ

π dA π d2 24 4 163 3 3

4

F⋅= = ⋅ = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ 1.5-1

Tensiunea tangenţială maximă produsă de momentul de răsucire se

produce în toate punctele situate pe conturul secţiunii şi are valoarea:

33p

ttmax,t d

RF16

16dRF

WM

⋅π⋅⋅

=⋅π⋅

==τ=τ 1.5-2

În punctul cel mai solicitat (punctul E din Fig.1.5-2), tensiunea tangenţială

maximă este:

max f tF F R Fτ τ τ

π d π d π d2 3 216 16 16 1

3 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞= + = + = ⋅ +⎜⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎝ ⎠

Rd ⎟ 1.5-3

De cele mai multe ori, la astfel de elemente, se neglijează tensiunea

tangenţială produsă de efortul tăietor, calculul făcându-se numai din condiţia de rezistenţă la răsucire:

a3p

tmax d

RF16WM

τ=⋅π⋅⋅

==τ 1.5-4

de unde rezultă diametru sârmei pentru realizarea arcului:

3

a

RF16dτ⋅π⋅⋅

= 1.5-5

În acest caz, solicitarea compusă de categoria I s-a transformat în una simplă (T = 0, Mt ≠ 0).

În practică, la calculul arcurilor, în relaţia 1.5-4 se introduce un coeficient de corecţie k, prin care se ţine seama atât de influenţa forfecării cât şi de o serie de alţi factori neluaţi în considerare (încovoierea, deformaţiile longitudinale etc.). Valoarea coeficientului k este cu atât mai mare cu cât raportul R/r (r – raza sârmei arcului, r = d/2) este mai mic, adică cu cât arcul este mai rigid din punct de vedere geometric.

Relaţia 1.5-4 corectată are forma:

27


3p

tmax d

RF16kWMk

⋅π⋅⋅

⋅=⋅=τ 1.5-6

Valorile coeficientului k sunt prezentate în Tabelul 1.5-1. Tabelul 1.5-1

R/r 3 4 5 6 7 8 9 10 k 1,58 1,40 1,31 1,25 1,21 1,18 1,16 1,14

Săgeata arcului f, adică lungirea sau scurtarea lui pe direcţia forţei de

solicitare, se determină din egalitatea lucrului mecanic al forţei F cu energia de deformaţie a arcului.

Lucrul mecanic al forţei F de solicitare, este:

fF21L ⋅⋅= 1.5-7

iar energia de deformaţie a arcului, este:

4

32

4

22

p

2t

dGnRF32

32dG2

Rn2RFGI2

lMU⋅

⋅⋅=

ππ⋅

=⋅

= 1.5-8

Egalând relaţiile 1.5-7 şi 1.5-8, se obţine:

2 3

4

1 32 F RF f =2 G d

n⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ 1.5-9

de unde rezultă relaţia pentru săgeata arcului:

4

3

dGnRF64f

⋅⋅⋅⋅

= 1.5-10

În practică, uneori se calculează variaţia săgeţii Δf datorată unei variaţii a

forţei ΔF:

4

3

dGnRF64f

⋅⋅⋅Δ⋅

=Δ 1.5-11

28


Se poate constata din relaţia 1.5-10, că între săgeată şi forţa care solicită arcul, există o relaţie liniară.

1.6 TENSIUNI ÎN BARE CURBE PLANE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE PURĂ

În secţiunea transversală a unei bare curbe plane, se întâlnesc în general toate cele trei eforturi: N, T, Mi. Tensiunea tangenţială produsă de efortul tăietor T având valori mici în comparaţie cu cea normală produsă de efortul axial şi momentul încovoietor, se poate neglija sau se poate calcula cu relaţia lui Juravski utilizată în cazul barelor drepte cu grosime mare. Se poate afirma atunci că în secţiunile transversale ale barelor curbe plane se produce o solicitare compusă de categoria I. Ne propunem acum să stabilim relaţia de calcul a tensiunii normale σ produsă în secţiunea unei bare curbe plane numai de către momentul încovoietor Mi. Tensiunea normală σN produsă de efortul axial N se calculează cu relaţia cunoscută de la barele drepte (σ = N / A). Calculul tensiunii normale produse de momentul încovoietor în barele curbe plane, se face acceptând următoarele ipoteze:

axa barei este o curbă plană, iar bara este solicitată prin forţe conţinute în planul său

este valabilă legea lui Hooke planul forţelor este un plan de simetrie al barei, cu axa Gy axă de simetrie a secţiunii barei

momentul încovoietor Mi este orientat după direcţia principală Gz. Pentru bara cu curbură mică (rază de curbură mare), având raportul dintre

raza de curbură R şi înălţimea secţiunii h (măsurată pe direcţie radială) mai mare decât 5 ... 6, tensiunile normale σ produse de momentul încovoietor Mi, se pot calcula cu relaţia lui Navier, de la barele drepte.

Relaţia lui Navier conduce la erori cu atât mai mari, cu cât curbura barei este mai mare (rază de curbură mică). Dacă raportul R / h < 5 ... 6, relaţia lui Navier nu este satisfăcătoare, fiind nevoie de o altă relaţie pentru calculul tensiunii normale la încovoiere pură.

În literatura de specialitate se utilizează în general două relaţii pentru calculul tensiunii normale în barele curbe plane cu curbură mare, solicitate la încovoiere pură:

relaţia lui Winkler relaţia lui Toll.

29


Pentru deducerea relaţiei lui Winkler, se ia un element de bară cu unghiul la centru dϕ (Fig.1.6-1a) delimitat de două secţiuni plane ab şi cd, solicitat la încovoiere pură de către momentul încovoietor Mi ≡ Miz.

Notaţiile din Fig.1.6-1 au următoarea semnificaţie: ♦ R1, R2 – razele extreme (interioară, respectiv exterioară) ale barei curbe ♦ R – raza de curbură a axei geometrice pe care este situat şi centrul de greutate

G al secţiunii transversale ♦ r – raza de curbură a axei neutre ♦ BD – o fibră oarecare situată la distanţa y de axa neutră, în care se calculează

tensiunea normală σ. Distanţa y este pozitivă pentru punctele situate faţă de axa neutră spre interiorul barei curbe (spre centul de curbură C)

♦ e – (excentricitatea) distanţa dintre axa geometrică şi cea neutră ♦ Mi – momentul încovoietor din secţiunea transversală. El se consideră

pozitiv, dacă întinde fibrele din interiorul barei curbe. Datorită solicitării la încovoiere pură de către momentul încovoietor Mi,

elementul izolat se deformează, fibrele dinspre centrul de curbură (din interior) se lungesc (solicitate la întindere), iar cele dinspre exterior, se scurtează (sunt

σdAσmax

By

e

Δdϕ

σdA

D

d’d

Axa geometrică a

b

cc’

D’

GO

dϕ

dϕ-Δdϕ

R1

R2

R r r-y y

Axa neutră Mi

Mi

C

σmin

b)

a)

Fig.1.6-1

30


comprimate). Presupunând secţiunea ab fixă, în urma solicitării, secţiunea cd se roteşte în raport cu ab cu unghiul Δdϕ, ajungând în poziţia c’d’. Atunci, fibra BD se lungeşte ajungând în D’.

Înainte de deformare, fibra BD a avut lungimea:

( ) ϕ⋅−== dyrBDarcds 1.6-1 iar lungirea ei este: ϕΔ⋅==Δ dy'DDds 1.6-2 Lungirea specifică (alungirea) fibrei este:

ϕϕΔ

⋅−

=ϕΔ

=εdd

yry

dsd

1.6-3

Fiind valabilă legea lui Hooke, expresia tensiunii normale este:

ϕϕΔ⋅

⋅−

=ε⋅=σd

dEyr

yE 1.6-4

Deoarece în relaţia 1.6-4, mărimile E, Δdϕ şi dϕ sunt constante, rezultă că tensiunea normală variază pe secţiune după o lege hiperbolică (Fig.1.6-1b). Este maximă spre interior unde y are valoarea cea mai mare, zero în axa neutră şi minimă spre exterior. Poziţia axei neutre faţă de care s-a poziţionat fibra la care se calculează tensiunea normală, se determină din relaţia de echivalenţă care există între efortul axial (care în acest caz este nul) şi tensiunea normală:

∫ ∫ ∫ =⋅−

⋅ϕϕΔ⋅

=⋅−

⋅ϕϕΔ⋅

=⋅σ=A A A

0dAyr

yd

dEdAyr

yd

dEdAN 1.6-5

de unde rezultă:

∫ =⋅−A

0dAyr

y 1.6-6

Rezolvând relaţia 1.6-6 se obţine raza de curbură r a axei neutre. Relaţia de echivalenţă dintre momentul încovoietor Mi şi tensiunea normală σ, este:

31


∫ ∫ ⋅−

⋅ϕϕΔ⋅

=⋅σ⋅=A A

2

i dAyr

yd

dEdAyM 1.6-7

Integrala din relaţia 1.6-7, după rezolvare devine de forma:

∫ ∫ ∫ ∫ ⋅−

⋅+⋅−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−−=−A A A A

2

dAyr

yrdAydAyryry

yry

1.6-8

Ţinând seama de relaţia 1.6-6, relaţia 1.6-8, devine:

∫ ∫ ⋅−=⋅−=⋅−A A

G

2

AydAydAyr

y 1.6-9

Cum yG = -e, relaţia 1.6-9 are forma:

∫ ⋅=⋅−=⋅−A

G

2

eAAydAyr

y 1.6-10

Înlocuind relaţia 1.6-10 în relaţia 1.6-7, rezultă:

eAM

ddEeA

ddEM i

i ⋅=

ϕϕΔ⋅

⇒⋅⋅ϕϕΔ⋅

= 1.6-11

Ţinând seama de relaţia 1.6-11, relaţia 1.6-4, devine:

yry

eAMi

−⋅

⋅=σ 1.6-12

şi reprezintă relaţia lui Winkler pentru calculul tensiunii normale la o bară curbă plană solicitată la încovoiere pură. În relaţia 1.6-12 atât momentul încovoietor Mi cât şi coordonata y intră cu semn. Atunci, relaţia lui Winkler sub o formă mai generală se poate scrie sub forma:

( )yry

eAMi

±−±

⋅⋅

±=σ 1.6-13

32


Convenţia de semne pozitive pentru aceste mărimi, a fost prezentată ceva mai devreme. În fibrele extreme, tensiunea normală, calculată pe baza relaţiei 1.6-12 sau 1.6-13, este:

i

max intM d

σ σA e R

1

1= = ⋅

⋅ 1.6-14

i

min extM d

σ σA e R

2

2= = − ⋅

⋅ 1.6-15

unde, d1, d2 reprezintă distanţa în valoare absolută dintre axa neutră şi fibrele extreme interioare, respectiv extreme exterioare. În relaţia 1.6-13 nu este cunoscută poziţia axei neutre (mărimea r) şi de aici nici excentricitatea e, care se obţine din relaţia: e = R – r 1.6-16 Dacă se ţine seama şi de efortul axial, atunci tensiunea normală rezultantă este:

( )yry

eAM

AN i

±−±

⋅⋅

±+±=σ 1.6-17

iar în fibrele extreme

2

2imin

1

1imax

Rd

eAM

AN

Rd

eAM

AN

⋅⋅

±±=σ

⋅⋅

±±=σ

1.6-18

În mod asemănător se poate determina tensiunea normală în orice punct k din secţiune:

k

kik r

yeA

MAN

⋅⋅

±±=σ 1.6-19

unde:

33


rk – este distanţa de la centrul de curbură la punctul k (raza de curbură a fibrei care conţine punctul k). În relaţia 1.7-19 se ia semnul + dacă eforturile produc tensiuni de întindere în punctul k, respectiv semnul −, dacă produc tensiuni de compresiune. Toate celelalte mărimi se iau în valoare absolută. Poziţia axei neutre se determină pe baza relaţiei 1.6-6, pentru fiecare secţiune în parte. Pentru secţiunea dreptunghiulară (Fig.1.6-2), se poate scrie:

dA = b dy

dy

b

h e y

y

Se face o schimbare de variabilă, înlocuind pe y cu v: v = r – y ⇒ y = r - v Cu aceste notaţii, integrala din relaţia 1.6-6, devine:

∫ ∫ ∫ ∫ =−⋅=⋅−

=⋅−A A A A

0dAdAvrdA

vvrdA

yry

Rezultă mai departe:

1

2R

R

R

RA

A A AA

RRln

h

vdvh

vdvbhb

vdAAr

vdArA0AdA

vrdAdA

vr

2

1

2

1

==⋅

⋅==⇒

=⇒=−⋅=−⋅

∫∫∫

∫ ∫ ∫∫

z

r R1

C

v

G

O

Fig.1.6-2

R2

R

34


S-a obţinut pentru poziţia axei neutre la secţiuni dreptunghiulare, relaţia:

1

2

RRln

hr = 1.6-20

iar pentru excentricitate

1

2

RRln

hRrRe −=−=

Dacă numitorul relaţiei 1.6-20 se dezvoltă în serie

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅+⋅=

⋅−

⋅+

=−

+= ...

R2h

51

R2h

311

Rh

R2h1

R2h1

ln

2hR

2hR

lnRRln

42

1

2

şi se iau numai primii doi termeni, se obţine pentru poziţia axei neutre:

22

R2h

311

R

R2h

311

Rh

hr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅+

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅+⋅

≈ 1.6-21

şi a excentricităţii e:

RAI

R12h

R2h

311

RRrRe z2

2 ⋅=

⋅≈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅+

−=−= 1.6-22

Relaţia 1.6-22 de calcul aproximativ a excentricităţii e, se poate utiliza cu

rezultate destul de bune, mai ales atunci când pentru suprafaţa respectivă nu se dispune de relaţia exactă pentru determinarea poziţiei axei neutre. Pe baza relaţiei 1.6-22, se determină poziţia axei neutre:

r = R – e 1.6-23

35


Valorile pentru r şi e, trebuie calculate cu precizie de până la trei zecimale, altfel se pot obţine rezultate mult neconforme cu realitatea.

În literatura de specialitate se recomandă în general relaţiile exacte pentru poziţia axei neutre.

Pentru o secţiune compusă formată din mai multe secţiuni dreptunghiulare (Fig.1.6-3), relaţia exactă pentru poziţia axei neutre, este:

h3

eb2

b3

b1

y R1

R2

R

r R

h1

h2

C

Fig.1.6-3

z

R43

3

43

2

32

1

21

332211

RR

lnbRR

lnbRR

lnb

hbhbhbr

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅=

36


1.7 TEORII DE REZISTENŢĂ. ÎNCOVOIERE CU RĂSUCIRE 1.7.1 Teorii de rezistenţă În cazul materialelor metalice s-au identificat trei tipuri de rupere:

a) rupere prin separaţie, (denumită şi rupere prin smulgere). Aceste ruperi sunt perpendiculare pe direcţia tensiunii normale maxime, (σmax). Secţiunile de rupere au un aspect fibros, "grăunţos", ceea ce atestă rolul determinant al tensiunilor σ în procesul ruperii. Astfel de ruperi apar la materialele fragile supuse la întindere, încovoiere sau răsucire.

b) rupere prin alunecare. Secţiunea de rupere este orientată după planul în care acţionează tensiunile tangenţiale maxime, (τmax). Suprafeţele de rupere au un aspect neted, lucios. Asemenea ruperi apar în plane înclinate la circa 45° faţă de direcţia tensiunilor normale σ , şi sunt caracteristice materialelor fragile solicitate la compresiune,

c) rupere mixtă (Fig.1.7-1). O astfel de rupere este caracteristică materialelor ductile solicitate la tracţiune. Secţiunea ruptă are formă de con-cupă şi cuprinde două zone:

I- o zonă marginală cu muchiile înclinate la 45°, cu aspect lucios, care corespunde unei ruperi prin alunecare;

II- o zonă centrală, cu aspect fibros, care corespunde unei ruperi prin separaţie, (smulgere).

Zona de lunecare

Directia tensiunilor σ

Rupere mixtă

Zona de smulgere

Directia tensiunilor σ

Fig.1.7-1

Prezenţa zonei I evidenţiază că, cel puţin în faza iniţială a ruperii, rolul determinant l-au avut tensiunile tangenţiale τ, care acţionează în acele plane înclinate la 45° faţă de tensiunile normale. Chiar şi în cazul celei mai simple solicitări, cea de întindere, în secţiunile înclinate faţă de direcţia tensiunilor σ, apar atât tensiuni normale σ, cît şi tensiuni tangenţiale τ, deformaţii specifice liniare ε şi deformaţii specifice unghiulare γ. În piesă, înainte de a se produce ruperea, se acumulează o anumită cantitate de energie de deformaţie. Se pune problema stabilirii răspunsului la

37


întrebarea: "Care dintre mărimile care apar în timpul deformării şi al ruperii are rolul determinant în procesul ruperii?" La solicitarea simplă de întindere sau compresiune, tensiunea principală σ1 care poate avea teoretic orice valoare, conduce la rupere atunci când se atinge starea limită σ1 = σr (rezistenţa la rupere). La solicitarea pe două direcţii, tensiunile principale σ1 şi σ2, pot avea de asemenea o infinitate de valori. Este util de ştiut la ce valori sau la ce combinaţie ale celor două tensiuni principale, se atinge starea limită, se produce ruperea. În decursul anilor, cercetătorii au încercat să dea un răspuns acestei probleme, care să poată fi confirmată şi de cercetarea experimentală. Astfel, între tensiunile principale s-au stabilit o serie de relaţii matematice, corespunzătoare atingerii stării limită. Aceste relaţii sunt cunoscute sub diferite denumiri: teorii de rupere, teorii de rezistenţă, teorii ale stărilor limită. Deoarece relaţiile respective sunt stabilite pe baza Teoriei elasticităţii, extinderea lor până la rupere este incorectă. Din acest motiv denumirea de teorii de rupere este improprie, mai potrivite sunt denumirile de teorii de rezistenţă sau teorii ale stărilor limită. Noi le vom numi teorii de rezistenţă. Ca stare limită se va considera atingerea unei anumite caracteristici de material: limita de elasticitate, limita de proporţionalitate, limita de curgere sau rezistenţa admisibilă, până la care se pot utiliza relaţiile teoriei elasticităţii. Cea mai utilizată limită este limita de elasticitate σe, care poate fi înlocuită după caz cu σp, σc, σa. Problema unei teorii de rezistenţă constă în a compara o stare de tensiune complexă cu starea de tensiune monoaxială, prin compararea valorii maxime a factorului determinant în procesul de rupere pentru piesa analizată, cu valoarea critică a aceluiaşi factor specific materialului piesei în cazul unei încercări simple de tracţiune. Practic problema se reduce la a calcula o tensiune echivalentă (σech), care este o tensiune fictivă care dacă ar apărea într-o probă solicitată la întindere ar creea acelaşi pericol ca şi pentru piesa solicitată complex. Funcţie de factorul acceptat ca determinant în procesul de rupere au fost elaborate 5 teorii de rezistenţă.

Formularea teoriilor de rezistenţă se bazează pe observaţia că, la întinderea simplă, atingerea limitei de elasticitate poate fi constatată cantitativ, prin atingerea uneia dintre mărimile:

tensiunea de întindere, σe alungirea, εe = σe / E tensiunea tangenţială pe secţiunea înclinată la 450 (tensiunea

tangenţială maximă), τ / 2 e = σe

energia specifică de deformaţie, Ud = σe2 / 2E

energia specifică modificatoare de formă, Udf = (1+ν)· σe2 / 3E.

38


După cum se poate constata, teoriile de rezistenţă stabilesc relaţii între tensiunile principale σ1, σ2, σ3 care conduc la atingerea uneia sau alteia dintre cele cinci mărimi ale stărilor limită. Cu aceste relaţii se stabileşte o tensiune echivalentă σech a stării de tensiune (plană sau spaţială), care permite compararea cu tensiunea corespunzătoare stării limită de la solicitarea de întindere simplă, σe. Pentru calculul de rezistenţă se utilizează criteriul stării limită:

ech,max aσ σ≤ 1.7.1-1 În funcţie de tensiunile principale, cele cinci teorii de rezistenţă prezintă următoarele relaţii:

Teoria I (teoria tensiunii normale maxime sau teoria lui Rankine, Lamé)

Conform acestei teorii, starea limită se atinge atunci când tensiunea principală maximă din corp, atinge valoarea tensiunii corespunzătoare stării limită de la solicitarea de întindere simplă:

1echI

e1

σ=σ⇒σ=σ

1.7.1-2

Teoria a II-a (teoria deformaţiei specifice maxime sau teoria lui Saint - Venant’s)

Conform acestei teorii, starea limită se atinge atunci când lungirea specifică (alungirea) maximă din corp, atinge valoarea lungirii specifice (alungirii) corespunzătoare stării limită de la solicitarea de întindere simplă:

( )[ ] ee321max E1

E1

ε=σ⋅=σ+σν−σ⋅=ε 1.7.1-3a

Tensiunea echivalentă pentru teoria a II-a de rezistenţă este:

( )321echII σ+σν−σ=σ 1.7.1-3b

Teoria a III-a de rezistenţă (teoria tensiunii tangenţiale maxime, teoria Tresca, Guest sau teoria lui Ch. Coulomb)

Conform acestei teorii, starea limită se atinge atunci când tensiunea tangenţială maximă atinge valoarea tensiunii tangenţiale corespunzătoare stării limită de la solicitarea de întindere simplă:

39


31echIII

e31max 22

σ−σ=σ⇒

σ=

σ−σ=τ

1.7.1-4

Teoria a IV-a (teoria energiei specifice totale de deformaţie sau teoria lui E.

Beltrami - Haigh) Conform acestei teorii, starea limită se atinge atunci când energia

specifică de deformaţie este egală cu energia de deformaţie specifică corespunzătoare stării limită de la întinderea simplă:

( ) ( )E2EE2

1 2e

13322123

22

21

σ=σσ+σσ+σσ

ν−σ+σ+σ 1.7.1-5a

de unde rezultă:

( ) ( )13322123

22

21echIV 2 σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ=σ 1.7.1-5b

Teoria a V-a (teoria energiei specifice modificatoare de formă sau teoria Huber

Hencky – von Mises)

Această teorie mai este denumită şi teoria IV-b. Conform acestei teorii, starea limită se atinge atunci când energia de deformaţie specifică modificatoare de formă este egală cu energia de deformaţie specifică modificatoare de formă corespunzătoare stării limită de la solicitarea de întindere simplă:

( ) ( ) ( )[ ] 2e

213

232

221 2

E61

E61

σ⋅ν+

=σ−σ+σ−σ+σ−σν+

1.7.1-6a

de unde se obţine:

( ) ( ) ( )echVσ [ σ σ σ σ σ σ ]2 21 2 2 3 3 1

12

= − + − + − 2 1.7.1-6b

Pentru starea plană de tensiune (σ3 = 0), tensiunea echivalentă pentru cele cinci teorii de rezistenţă, capătă următoarea formă:

40


2122

21

2122

21

21

21

1

2

σσ−σ+σ=σ

σσ⋅ν−σ+σ=σ

σ−σ=σσ⋅ν−σ=σ

σ=σ

echV

echIV

echIII

echII

echI

1.7.1-7

În cazul particular al elementelor de rezistenţă la care există numai tensiuni normale σ în lungul axei longitudinale şi tensiuni tangenţiale τ în planul secţiunii, tensiunile principale σ1,2 au expresiile cunoscute:

222,1 4

21

2τ+σ⋅±

σ=σ 1.7.1-8

care înlocuite în relaţiile 1.7.1-7, conduc pentru acestea la următoarea formă:

a22

echI 421

2σ≤τ⋅+σ⋅+

σ=σ 1.7.1-9a

aechII σ≤τ⋅+σ⋅+σ⋅=σ 22 465,035,0 1.7.1-9b

a22

echIII 4 σ≤τ⋅+σ=σ 1.7.1-9c

a22

echIV 6,2 σ≤τ⋅+σ=σ 1.7.1-9d

a22

echV 3 σ≤τ⋅+σ=σ 1.7.1-9e Cercetările experimentale au demonstrat că pentru materialele tenace rezultate mai apropiate de cele reale dau teoria a III-a şi a V-a de rezistenţă, iar pentru materialele fragile, teoria a II-a de rezistenţă. Ca urmare, dintre relaţiile 1.7.1-9 utilizate în calculele de rezistenţă, se vor alege cele mai potrivite materialului din care sunt realizate elementele respective.

41


1.7.2 Încovoierea cu răsucire (torsiune) Încovoierea cu torsiune este una dintre cele mai întâlnite solicitări compuse. În special este întâlnită în cazul arborilor. La această solicitare, cele două eforturi produc tensiuni de natură diferită: momentul încovoietor tensiuni normale σ; momentul de torsiune tensiuni tangenţiale τ. Înseamnă că solicitarea de încovoiere cu răsucire este o solicitare compusă de categoria a II-a. Pentru acest tip de solicitare compusă, calculul de rezistenţă se face pe baza teoriilor de rezistenţă (relaţiile 1.7.1-9) care impun calculul tensiunii echivalente. Prima etapă de calcul impune determinarea separată a tensiunilor normale σ, respectiv tangenţiale τ. Aceste tensiuni pot rezulta de la solicitări simple sau de la solicitări compuse (de categoria I): Tensiunile normale care pot apărea, sunt:

AN

=σ 1.7.2-1a

WM i=σ 1.7.2-1b

WM

AN i+=σ 1.7.2-1c

iar cele tangenţiale:

fT Sτb I⋅

=⋅

1.7.2-2a

t

tp t

M Mτ sau τW

= t

W=

τ t

1.7.2-2b

τ τrez f= +r ur ur

1.7.2-2c În calculul care se efectuează se va ţine seama de orientarea şi sensul (semnul) tensiunilor din punctul considerat. În cazul arborilor de secţiune circulară, solicitaţi la încovoiere şi răsucire, introducând expresiile tensiunilor (relaţiile 1.7.2-1b, respectiv 1.7.2-2b) în expresiile tensiunii echivalente pentru cele cinci teorii de rezistenţă (relaţiile 1.7.1-9), acestea capătă forma (funcţie de eforturi):

42


( )

a

2t

2ii

WMMM5,0

σ≤++⋅

1.7.2-3a (I)

a

2t

2ii

WMM65,0M35,0

σ≤+⋅+⋅

(II) 1.7.2-3b

a

2t

2i

WMM

σ≤+

(III) 1.7.2-3c

a

2t

2i

WM65,0M

σ≤⋅+

(IV) 1.7.2-3d

a

2t

2i

WM75,0M

σ≤⋅+

(V) 1.7.2-3e

Relaţiile 1.4.2-3 utilizate pentru calculul de rezistenţă la solicitarea compusă de încovoiere cu răsucire, seamănă cu relaţia de la încovoiere simplă, dacă expresia de la numărător care este o combinaţie între momentul încovoietor M şi cel de răsucire Mi t, poate fi considerată un moment echivalent (nici încovoietor nici de răsucire). Aşadar, calcul de rezistenţă pentru solicitarea compusă de încovoiere cu răsucire, poate fi făcut pe baza unei relaţii generale de forma:

ech(...)a

Mσ

W≤ 1.7.2-4

unde:

Mech(…) – reprezintă expresia momentului echivalent, corespunzător uneia dintre teoriile de rezistenţă W – modulul de rezistenţă al secţiunii transversale (pentru secţiunile circulare acesta poate fi oricare, inclusiv Wz).

Din relaţiile 1.7.2-3 rezultă expresiile momentului echivalent corespunzător celor cinci teorii de rezistenţă:

43


( )2t

2iiechI MMM5,0M ++⋅= (I) 1.7.2-5a

2t

2iiechII MM65,0M35,0M +⋅+= 1.7.2-5b (II)

2t

2iechIII MMM += 1.7.2-5c (III)

2t

2iechIII M65,0MM ⋅+= 1.7.2-5d (IV)

2t

2iechIII M75,0MM ⋅+= 1.7.2-5e (V)

După cum se poate constata, în calculul arborilor de secţiune circulară solicitaţi la încovoiere şi torsiune, efectul forţei tăietoare a fost neglijat. Calculul de dimensionare la solicitarea compusă: axială, încovoiere şi răsucire, este destul de dificil din punct de vedere al rezolvării ecuaţiei care se obţine. Din acest motiv, la aceste solicitări, calculul de dimensionare se efectuează pe baza solicitării de încovoiere şi răsucire, după care se efectuează un calcul de verificare cu dimensiunea obţinută de data aceasta la solicitarea compusă iniţială. Dacă este nevoie se modifică dimensiunea obţinută iniţial, până când condiţia de verificare este îndeplinită.

44


APLICAŢII

A1. Pentru bara de fontă din Fig.A1-1 se cere:

a) forţa capabilă pentru σat = 30 MPa şi σac = -90 MPa, a = 200 mm b) diagrama de variaţie a tensiunii normale în secţiunea periculoasă.

2F

F a

2a

120

60 Fig.A1-1

Rezolvare Etapele de rezolvare a elementelor de rezistenţă supuse la solicitări compuse sunt prezentate într-o altă lucrare a autorului. Mai întâi se reduc forţele aplicate în centrul de greutate al secţiunii în care ele acţionează şi torsorul de reducere obţinut se pune pe bara reprezentată numai prin axa sa geometrică (Fig.A.1-2).

2F

F

Miz = 2F 60

Miy = 2F 30

a

2a

Fig.A1-2 Cu încărcarea din Fig.A1-1, se trasează diagramele de eforturi (toate în afara celui tăietor care la astfel de bare se neglijează). Diagramele rezultate sunt prezentate în Fig.A1-3.

45


+ 2F

2F

120F

400F

60F

N Mi

Fig.A1-3

Analizând diagramele de eforturi se constată că secţiunea periculoasă este în încastrare, unde acţionează eforturile:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

F60MF520M

F2N

iy

iz

Toate cele trei eforturi produc tensiuni normale, ceea ce înseamnă că în secţiunea periculoasă se realizează o solicitare compusă de categoria I. Problema este de efort capabil şi trebuie determinate punctele cele mai întinse, respectiv cele mai comprimate. Studiind semnul tensiunii normale produsă de fiecare efort existent în secţiunea periculoasă, rezultă că punctul cel mai solicitat la întindere este punctul T, iar cel mai solicitat la compresiune, punctul C (Fig.A1-4). T

C

axa neutră

30 MPa

- 26,33 MPa

Fig.A1-4

+

46


Relaţiile de calcul utilizate sunt cele de la solicitarea compusă de categoria I (relaţiile 1.2-10), care particularizate pentru punctul T, respectiv C, au forma:

9030

IF6060

IF520

AF2

3030I

F6060I

F520AF2

yzCcmax

yzTtmax

−=⋅⋅

−⋅⋅

−=σ=σ

=⋅⋅

+⋅⋅

+=σ=σ

Din relaţiile anterioare rezultă valorile pentru forţa capabilă:

( ) KN32,6F,FminF

KN8,21F

KN32.6F

''cap

'capcap

''cap

'cap

==⇒

≈

≈

Pentru punctul b), trebuie determinată poziţia axei neutre. Tăieturile axei neutre cu direcţiile principale de inerţie ale secţiunii transversale, se calculează cu relaţiile 1.2-8a,b:

yan

iy

zan

iz

I Nz mA M

I Ny ,A M

10

4 6

= − ⋅ = −

= − ⋅ = −

m

mm

Caracteristicile geometrice (A, Iz, Iy) pentru suprafaţa dreptunghiulară sunt destul de uşor se determinat. Poziţia axei neutre (atenţie la primul cadran) şi sensul pozitiv al direcţiilor principale sunt prezentate în Fig.A1-4. Ducând paralele la axa neutră prin punctele cele mai îndepărtate de aceasta (trec prin aceleaşi puncte T şi C), se poate trasa diagrama de variaţie a tensiunii normale (vezi Fig.A1-4). La valoarea forţei capabile obţinute, trebuie determinată tensiunea maximă la compresiune (cea din punctul C):

MPa33,2630I

1032,66060I

1032,6520A

1032,62

y

3

z

33

Ccmax −=⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

−⋅⋅

=σ=σ

47


A2. Pentru bara cu forma, dimensiunile şi încărcarea din Fig.A2-1, se cere:

a) verificarea barei pentru σa = 150 MPa b) diagrama de variaţie a tensiunii normale în secţiunea periculoasă.

F = 30 KN 40

40

20

20

Fig.A2-1

yG = 25 mm

Rezolvare Pentru a putea reduce forţa F, trebuie determinată poziţia centrului de greutate al secţiunii transversale. Poziţia centrului de greutate yG este prezentată în Fig.A2-2. Componentele torsorului de reducere sunt prezentate în Fig.A2-2a iar diagramele de eforturi pentru bară, în Fig.A2-2b,c.

F

Miz = 25 F

Miy = 20 F

Miz = 25 F

Miy = 20 F

F

+

N Mi

a) b) c)

Fig.A2-2

Toate secţiunile sunt la fel de periculoase. În secţiunea periculoasă acţionează eforturile:

48


N = F Miz = 25 F Miy

= 20 F deci, o solicitare compusă de categoria I. Analizând semnul tensiunii normale produsă de fiecare efort în secţiune, rezultă punctul T ca fiind cel mai solicitat la întindere, respectiv C la compresiune (Fig.A2-3).

z

y

C

T

σC = -79,35 MPa

σT = 146,7 MPa

axa neutră

Fig.A2-3

Tensiunile extreme sunt:

acyz

Ccmax

atyz

Ttmax

MPa35,7910I

F2035

IF25

AF

MPa7,14620I

F2025

IF25

AF

σ<−=⋅+⋅+=σ=σ

σ<=⋅+⋅+=σ=σ

iar condiţia de rezistenţă este satisfăcută. În relaţiile anterioare s-a avut în vedere că: A = 1600 mm2, Iz = 49,33 104 mm4, Iy = 13,33 104 mm4. Tăieturile axei neutre cu direcţiile principale de inerţie se calculează cu relaţiile:

yan

iy

INz ,A M

4 16= − ⋅ = − mm

49


zan

iz

INy ,A M

12 33= − ⋅ = − mm

Poziţia axei neutre, variaţia tensiunii normale şi valorile extreme ale acesteia sunt prezentate în Fig.A2-3. A3. Pentru grinda circulară din Fig.A3-1, se cere:

a) forţa capabilă, pentru σa = 150 MPa b) diagrama de variaţie a tensiunii normale în secţiunea periculoasă.

F Rezolvare Diagramele de eforturi (N şi Mi) sunt prezentate în Fig.A3-2a,b.

a = 1 m

4a 2a

d = 40 mm

Fig.A3-1

2Fa/3

F N

a)

Fa/3 Mi Fa/3

b)

Fig.A3-2

50


Secţiunea periculoasă este la îmbinarea barei orizontale cu cea verticală. Eforturile din această secţiune sunt:

3

aF2M

FN

iz =

−=

deci, solicitare compusă categoria I, dar cu un singur moment încovoietor. Punctele cele mai solicitate sunt prezentate în Fig.A3-3.

z

C

T

σac

y0

Fig.A3-3

Axa neutră

σt

Dintre cele două puncte, mai solicitat este punctul C, unde tensiunea normală este:

acmaxz

max yI

aF32

AF

σ=⋅−−=σ

Dacă se are în vedere că A = 4 π⋅102 mm2, Iz = 4 π⋅104 mm4, ymax = 20 mm, rezultă valoarea forţei capabile: Fcap = 1,4 KN Axa neutră în acest caz, intersectează numai direcţia principală Gy (este paralelă cu Gz) la distanţa:

zan

iz

INy ,A M

0 15= − ⋅ = − mm

Poziţia axei neutre şi variaţia tensiunii normale pe secţiunea transversală a barei sunt prezentate în Fig.A3-3.

51


A4. Pentru bara de secţiune dreptunghiulară din Fig.A4-1, se cere:

a) tensiunile maxime la întindere, respectiv la compresiune b) diagrama de variaţie a tensiunii normale în secţiunea periculoasă.

Se cunosc: F1 = 10 KN, F2 = 20 KN, F3 = 30 KN, a = 100 mm, b = 200 mm, h = 300 mm.

F1

F3F2

a b

h

a/4

Fig.A4-1

Rezolvare Torsorul de reducere al forţelor exterioare este prezentat în Fig.A4-2a, iar diagramele de eforturi corespunzătoare în Fig.A4-2b,c.

F1

F2

F3

F3

F3

F3 a/4

F3 b/2 F3 b/2

F3 a/4

F3 a/4 + F2 h

F3 b/2 + F1 h

N Mi

a) b) c)

Fig.A4-2

Secţiunea periculoasă este în înţepenire, unde eforturile au valorile:

52


hF4aFM

hF2bFM

FN

23iy

13iz

3

⋅+⋅=

⋅+⋅=

=

Punctele cele mai solicitate din secţiunea periculoasă (T, respectiv C) sunt indicate în Fig.A4-3.

C

T

z

y 75 MPa

-90 MPa

axa neutră

Fig.A4-3

Tensiunea normală din punctele T, respectiv C, se calculează cu relaţiile:

2a

IM

2b

IM

AN

2a

IM

2b

IM

AN

y

iy

z

izCcmax

y

iy

z

izTtmax

⋅−⋅−−=σ=σ

⋅+⋅+−=σ=σ

Ţinând seama de valoarea mărimilor din relaţiile anterioare şi că A = 200 cm2, Iz = 6666,6 cm4, Iy = 1666,6 cm4 , pentru cele două puncte rezultă valorile:

MPa90MPa75

Ccmax

Ttmax

−≈σ=σ≈σ=σ

Tăieturile axei neutre sunt:

53


yan

iy

zan

iz

I Nz ,A M

I Ny ,A M

3 7

22 2

= − ⋅ ≈ −

= − ⋅ ≈ −

mm

mm

Poziţia axei neutre şi variaţia tensiunii pe secţiune sunt prezentate în Fig.A4-3.

A5. Pentru grinda de secţiune dreptunghiulară constantă din Fig.A5-1 se cer:

a) diagramele momentelor de încovoiere; b) verificarea din condiţia de rezistenţă (dacă σa = 150 MPa); c) trasarea diagramei tensiunilor în secţiunea din încastrare.

Se cunosc: F = 6 kN, p = 8 kN/m, β = 30º, a =1 m, b = 80 mm şi h =120 mm.

β F

a

b

p

Fig.A5-1

Rezolvare

- se reprezintă schematic bara încastrată prin axa ei pe care se aplică şi sarcinile exterioare: p şi Fz = F·sinβ = 3 kN, în plan orizontal şi respective Fy = F·cosβ = 5,196 kN în plan vertical (Fig.A5-2);

Fy

p

Fz

Fig.A5-2

54


Datorită acestor sarcini, într-o secţiune aflată la distanţa x ∈ [0,a], apar momentele de încovoiere:

Miz(x) = Fy·x Miy(x) = Fz·x + p·x2/2

Diagramele acestor momente sunt reprezentate în Fig.A5-3. Din diagrame se vede că secţiunea cea mai solicitată este încastrarea. În această secţiune tensiunea normală are expresia:

iz iy

zy

rez M Mz y

p aF aF a

σ σ σ y z , y ,I I

2

20 451 13672

⎛ ⎞⋅⋅ +⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅z

7 kNm

5,196 kNm

Fig.A5-3

Momentele de inerţie centrale principale, se calculează cu relaţiile

cunoscute pentru un dreptunghi, obţinându-se: Iz = 11520000 mm4, Iy = 5120000 mm4.

Pentru determinarea axei neutre, se anulează expresia tensiunilor:

rezyσ , y , z tgα , α arctg( , ) ,z

0 0 451 13672 0 3 0315 3 0315 7174= ⇔ ⋅ + ⋅ = ⇒ = =− ⇒ = − =− °

Axa neutră este o dreaptă care trece prin originea sistemului de axe central, înclinată cu unghiul α, măsurat în cadranul 4 al sistemului de axe ales ca în Fig.A5-4 în care este reprezentată diagrama tensiunilor rezultante. Valorile extreme ale tensiunilor apar în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră: T şi C.

55


α

T

+81,75 MPa(σ)

Axa neutrăC

(-)

(+)

- 81,75 MPa

y

z

Fig.A5-4

A6. O bară de oţel cu secţiunea dreptunghiulară, cu înălţimea h = 3 b, încastrată la un capăt, este încărcată cu forţa F (Fig.A.6-1). 1) Dacă tensiunile din punctele (2) şi (4) sunt egale, între coordonatele punctului de aplicaţie al forţei F, (yF şi zF), există o relaţie de forma: yF = k·zF. Ce valoare are constanta k? 2) Ce valoare are tensiunea din punctul (1) dacă yF = b/2 şi σ2 = σ4 = 30 MPa?

F

h

3

12

4

b

yF

zFFig.A6-1

Rezolvare 1) Oricare dintre secţiunile barei este solicitată la întindere excentrică. Eforturile sunt: N = F; Miz = F·yF şi Miy = F·zF . Caracteristicile geometrice sunt: A = 3 ·b2, Iz =

b434

⋅ şi Iy = b4312

⋅ .

56


Ecuaţia tensiunilor rezultante are expresia:

iz iy

F F F Frez N M M

F y F z y zF Fσ σ σ σ y z yb bb bb b

2 22 24 4

4 1213 3 3 3

4 12

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= + + = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

z

Pentru fiecare din punctele (2) şi (4), se înlocuiesc coordonatele y şi z în expresia tensiunilor, şi se egalează tensiunile. Rezultă:

F F F F

F FF F

y z y zb b b bσ σb b b b

y z y zb b

2 4 2 2 2 24 12 4 123 31 1

2 2 24 123 3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇔ + − = − + ⇔

⋅ ⋅⇔ = ⇒ = ⋅

2

Deci: k = 3 2) Dacă σ2 = σ4 = 30 MPa, înseamnă că între yF şi zF există relaţia: yF = 3 zF.

Pentru yF = b/2 rezultă că: zF = 32

b şi cum σ2 = σ4 = 30 MPa rezultă:

F b b b b Fσ MPa

bb b b2 22 2 2

4 3 121 32 2 23 2 3 3

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅= + ⋅ − ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

0

Pentru tensiunea punctului (1) se înlocuiesc coordonatele acestui punct

(b b; 32 2

⋅) şi

Fb2

303

=⋅

, şi se obţine:

( )F b b b bσ , MPbb b1 22 2

4 3 121 30 1 2 3 133 9232 2 23 2 3

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

a

57


58

A7. Pentru bara din Fig.A7-1, se cer: a) Diagramele de eforturi: (N) şi (Mi); b) Valoarea forţei F, pentru σ = 150 MPa; c) Diagrama tensiunii normale σ, în secţiunea periculoasă.

20F

80

600

100

60

Fig.A7-1

Rezolvare

Se analizează încărcările barei şi se determină de pe desen coordonatele punctului de aplicaţie al forţei 20F aplicate excentric: zF = 30 mm şi yF = 30 mm. Reducând forţa 20F în centrul de greutate al secţiunii de capăt se obţin (Fig.A7-2):

- o forţă orientată în lungul axei longitudinale: 20F, de compresiune; - două momente orientate în jurul axelor principale ale secţiunii de

capăt: Mz = 20 F·yF = 600 F şi My = 20 F·zF = 600 F. Aplicând metoda secţiunilor într-o secţiune aflată la distanţa x de capătul

liber al barei, se obţin următoarele eforturi datorate forţei 20F: - N(x)= -20F = constant; - Miz(x)= 600F = constant; - Miy(x)= 600F = constant. Forţa F aplicată perpendicular pe axa longitudinală a barei, după direcţia

axei verticale y, determină, în aceeaşi secţiune un moment orientat după axa Gz:

- Miz(x)= F·x ⇒ - pentru x = 0 ⇒ Miz = 0; - pentru x = 500 mm ⇒ Miz,max = 500F.


F

N=20F

YF=30

ZF= 30

600

Miz=600F

Miy=600F

Miz

Miy

N

600F

600F

1100F

20F

Fig.A7-2

Diagramele de eforturi sunt reprezentate în Fig.A7-2. De pe diagramele de eforturi se vede că secţiunea cea mai solicitată este cea din încastrare, în care momentul de încovoiere în plan vertical este maxim: Miz,max = 1100F. Caracteristicile geometrice ale secţiunii sunt :

- aria: A = 802- 602 = 2800 mm2; - momentele de inerţie axiale, Iz = Iy, sunt:

z yI I . . mm4 4

480 60 233333312 12

= = − =

- modulele de rezistenţă, Wz = Wy = 58.333,(3) mm3. Tensiunea maximă este cea de compresiune şi se obţine în punctul din

stânga jos al secţiunii din încastrare. Aceasta trebuie să fie egală cu rezistenţa admisibilă:

max a

cap

F F F F , Fσ σ, , , ,

F , N,

20 1100 600 20 1 85 3 6286 1502800 58333 33 58333 33 2000 1 4 29 167 100

150 100 4133 863 6286

⋅⎛ ⎞= + + = + = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠⋅

⇒ = =

⇒

59


Pentru trasarea diagramei tensiunii normale în secţiunea cea mai solicitată, se scrie ecuaţia tensiunii totale:

F F Fσ y z , , y ,

, ( ) , ( )6 620 1100 600 29 53 1 95 1 0632800 2 3 3 10 2 3 3 10

⋅ ⋅ ⋅= − − ⋅ − ⋅ = − − ⋅ −

⋅ ⋅z⋅

Sistemul de axe se alege astfel încât în cadranul I, toate tensiunile să aibă

acelaşi semn, (negative în cazul acesta). Alegerea este uşor de făcut dacă se observă că şi secţiunea din încastrare este solicitată de eforturi de aceleaşi semn ca şi cea din capătul liber, (pentru care cadranul I este cel în care se găseşte punctul de aplicaţie af forţei excentrice 2F). Pentru a determina axa neutră, se anulează ecuaţia tensiunii totale şi se determină intersecţiile axei neutre cu sistemul de axe central (Fig.A7-3):

an an

an an

an an

σ , , y , z,G y , (z ) : y , m m

,,G z , ( y ) : z , m m

,

0 2 9 53 1 9 5 1 0 63 02 9 5 30 151 95

2 9 5 30 271 0 63

≡ ⇔ + ⋅ + ⋅ = ⇒

⇒ ∩ = = − = −

⇒ ∩ = = − = −

14

7 8

Valorile extreme ale tensiunilor se obţin în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră, (C şi T), puncte ale căror coordonate sunt: C(40;40) şi T(-40;-40). Înlocuind aceste coordonate în expresia tensiunii totale se obţin: σC = -150 MPa şi σT = +90,94 MPa.

z

σσc =150 MPa

4t

(C)

Axa neutră

(T)

σT =90,94 MPa

G

y

zan

yan

Fig.A7-3

60


A8. Bara de secţiune constantă dinFig.A8-1 este solicitată de sarcinile “p” şi F = 2pa. Cunoscând dimensiunile indicate pe desen în mm, σa = 120 MPa, se cer:

a) Diagramele (N) şi (Mi); b) pcap =? ; c) Diagrama tensiunilor normale (σ) în secţiunea cea mai solicitată.

140

100

120

p

100

F=2pa

a= 400

yc

Fig.A8-1

Rezolvare

Se analizează încărcările barei şi se determină de pe desen coordonatele punctului de aplicaţie al forţei F = 2pa aplicată excentric: zF = 60 mm şi yF = yC. Cum coordonata yC a centrului de greutate nu se cunoaşte, trebuie să determinăm mai întâi caracteristicile geometrice ale secţiunii barei. Acestea sunt: yC = 99,4 mm; aria: A = 6800 mm2; momentele de inerţie axiale: Iz = 922,43·104 mm4, Iy = 1182,(6)·104 mm4; modulele de rezistenţă: Wz,min = 92800 mm3, Wz,max = 227200 mm3 şi Wy,min = 197,(1) mm3. Reducând forţa F în centrul de greutate al secţiunii de capăt (Fig.A8-2) se obţin:

- o forţă orientată în lungul axei longitudinale: F, de întindere; - două momente orientate în jurul axelor principale ale secţiunii de

capăt: Mz = 198,8·pa = 79520·p şi My = F·zF = 48000·p. Aplicând metoda secţiunilor într-o secţiune aflată la distanţa x de capătul

liber al barei, se obţin următoarele eforturi datorate forţei F: - N(x) = +F = 800·p = constant; - Miz(x) = 79520·p = constant; - Miy(x) = 48000·p = constant.

61


My=120pa

p

F=2pa

Mz=198,8pa

MizMiy

N

79520·p

80000·p

48000·p

800·p

800·p

Fig.A8-2

Sarcina uniform distribuită p, în plan vertical, pe lungimea a = 400 mm a barei, determină, într-o secţiune oarecare a barei un moment de încovoiere orientat după axa Gz:

Miz(x) = p x2

2⋅

⇒

- pentru x = 0 ⇒ Miz = 0; - pentru x = 400 mm⇒ Miz,max = 80000·p.

Diagramele de eforturi sunt reprezentate în Fig.A8-2. De pe diagramele de eforturi se vede că secţiunea cea mai solicitată este cea din capătul liber, secţiune care este solicitată la întindere excentrică. În încastrare, momentul de încovoiere în plan vertical este minim: Miz,min = 480·p, şi întinde fibrele aflate deasupra axei centrale Gz. Pentru calculul sarcinii maxim admise pcap, se impune condiţia ca tensiunea maximă din secţiunea cea mai solicitată să fie egală cu σa = 120 MPa:

62


( )

iyiz,maxmax

z,min y,min

cap

MMN p p pσA W W

Np , , , , p p , ,mm

800 79520 480006800 92800 197111

0 11765 0 8569 0 2435 121806 120 98 517 98 5

⋅ ⋅ ⋅= + + = + + =

= ⋅ + + = ⋅ = ⇒ = ≈

Pentru trasarea diagramei de variaţie a tensiunii normale în secţiunea periculoasă (Fig.A8-3), se scrie expresia tensiunii:

σ y z , , y, ,( )4 4

78800 7832720 4728000 28 143 0 849 0 42800 922 43 10 1182 6 10

= + ⋅ + ⋅ = + ⋅ +⋅ ⋅

, z⋅

z

σ

σc =49 MPa

(C)

Axa neutră

(T)

σT =120 MPa

y

G

zan

yan

Fig.A8-3

Sistemul de axe se alege astfel încât în cadranul I, toate tensiunile să aibă

acelaşi semn, (pozitive în cazul acesta). Alegerea este uşor de făcut: cadranul I este cel în care se găseşte punctul de aplicaţie af forţei excentrice F. Pentru a determina axa neutră, se anulează ecuaţia tensiunii totale şi se determină intersecţiile axei neutre cu sistemul de axe central:

an an

an an

an an

σ , , y , z,Gy, (z ) : y , mm

,,Gz, (y ) : z , mm,

0 28 143 0 849 0 4 028 1430 30 849

28 1430 70 4

≡ ⇔ + ⋅ + ⋅ = ⇒

⇒ = = − = −

⇒ = = − = −

I

I

3 15

0 36

63


A9. Fie bara din Fig.A9-1 pentru care se cunosc: F = 20 kN, Ri = 200

mm şi σa = 150 MPa. Se cere: a) verificarea condiţiei de rezistenţă b) diagrama de variaţie cu valori a tensiunii normale maxime din

secţiunea periculoasă.

F 50

100Ri

Fig.A9-1

2Ri

Rezolvare Schema simplificată şi diagramele de eforturi sunt prezentate în Fig.A9-2.

R

F

2Ri

-F

+F+F

FR F2R F2R

N Mi

Fig.A.9-2

Secţiunea periculoasă poate fi oriunde pe porţiunea dreaptă şi la separaţia dintre porţiunea dreaptă de cea curbă. Ţtiind că la aceiaşi solicitare secţiunea de pe bara curbă este mai periculoasă decât cea de pe bara dreaptă, tensiunea se va calcula pe secţiunea care aparţine barei curbe. În această secţiune eforturile sunt: N = + F Mi = 2·F· R Se calculează raportul:

R , ..h

200 50 2 5 5 6100

.+= = <

64


ceea ce înseamnă că tensiunea trebuie calculată cu relaţia lui Winkler (vezi rel. 1.6-19):

i kk

k

M yNσA A e r

= ± ± ⋅⋅

Se calculează excentricitatea cu relaţia aproximativă:

zIe ,A R

350 10012 3 33

50 100 250

⋅

≅ = =⋅ ⋅ ⋅

mm

Tensiunea are valori extreme pentru fibrele din interiorul curburii, respectiv exteriorul său. Astfel avem: - pentru fibrele din interior: rint = Ri = 200 mm yint = 50 – e = 50 – 3,33 = 46,67 mm Aplicân relaţia lui Winkler obţinem:

intiint max

int

yMN F Fσ σA A e r ,

F , , , M,

3

3

2 250 46 6750 100 50 100 3 67 200

2 250 46 67 20 101 32 7950 100 3 67 200 5 10

⋅ ⋅= = + + ⋅ = + ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

,

Pa131 16

=

- pentru fibrele din exterior:

rext = R + 50 = 300 mm yext = 50 + e = 50 + 3,33 = 53,33 mm Aplicân relaţia lui Winkler obţinem:

( )

ex tiex t

ext

yMN F F ,σA A e r ,

F , , ,,

3

3

2 250 53 3350 100 50 100 3 67 300

2 250 53 33 20 101 23 2250 100 3 67 300 5 10

⋅ ⋅= + − ⋅ = + ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ = ⋅ − = −⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

MPa92 88

Poziţia axei neutre precum şi celelalte elemente ale secţiunii periculoase pe baza cărora s-au calculat valorile extreme ale tensiunii din secţiunea periculoasă sunt ptrezentate în Fig.A9-3.

65


+131,16 MPa

Axa geometrică

yint

yext

rint

rext

R rn

Axa neutră

Centrul de

curbură

-92,88 MPa

σFig.A9-3

Se poate constata că valorile maxime ale tensiunii normale din secţiunea periculoasă sunt mai mici decât tensiunea admisibilă (σa = 150 MPa). În concluzie, pentru această bară condiţia de rezistenţă este satisfăcută.

A10. Pentru bara de secţiune circulară din Fig.A10-1 se cer: a) valoarea forţei maxim admise (F = ?) pentru σa = 140 MPa b) diagrama de variaţie a tensiunii normale în secţiunea cea mai

solicitată. Se dau: d = 80 mm şi R = 400 mm.

F

Rd

Fig.A.10-1

Rezolvare

Se trasează diagramele de efotruri N şi Mi (Fig.A10-2).

66


F F

N

FRMi

2FR

FR

Fig.A.10-2

Pe diagramele de eforturi se identifică secţiunea cea mai solicitată ca fiind cea în care efortul Mi este maxim. În aceasta eforturile sunt: Mi,max = 2FR şi N = F.

Raportul dintre raza de curbură a barei şi înălţimea secţiunii este: Rh

400 580

= = , şi ca urmare bara este una curbă la care tensiunile datorate

încovoierii se vor calcula cu relaţia lui Winkler. Excentricitatea axei neutre la încovoiere se calculează cu relaţia aproximativă:

z

π dI de m

π dA R RR

4

2 2

28064 1

16 16 4004

⋅

≅ = = = =⋅⋅ ⋅ ⋅⋅

m

Forţa capabilă se obţine din condiţia ca tensiunea maximă din secţiunea cea mai solicitată să fie egală cu rezistenţa admisibilă. Această tensiune maximă este de întindere şi se obţine pentru fibrele extreme dinspre centrul de curbură, (fibrele interioare). Aceste fibre au: yi= 39 mm şi Ri= 360 mm. Tensiunea maximă este:

i

i imax y

i i

y yF FR F R F ,σ σ FA A e R A e R π39 2

2 2 4 2 400 39 111621 180 1 360 6400=

⎛ ⎞ ⋅ ⋅⎛ ⎞= = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠⋅

Egalând această tensiune cu rezistenţa admisibilă, rezultă:

max a cap,σ F σ F N111 62 8027

6400= = ⇒ =

67


Pentru trasarea diagramei de variaţie a tensiunii în secţiunea cea mai

solicitată, trebuie să se calculeze şi tensiunea maximă de compresiune, precum şi excentricitatea axei neutre. Expresia tensiunilor este:

F F R y F yσA A e r A y

2 2 40011 400

⎛ ⎞⋅ ⋅= + + ⋅ = + ⋅⎜ ⎟⋅ −⎝ ⎠

Ecuaţia axei neutre este:

yσ y y ,y 0

2 4000 1 0 799 400 0 5 1 400

⋅= ⇔ + ⋅ = ⇔ = − ⇒ ≈ −

−mm

Pentru fibrele exterioare, (ye = - 41 mm şi Re = 440 mm), se obţine:

ee

e

yF F R Fσ , MPA A e R A

2 2 400 411 117 45 1 440

⋅ ⋅⎛ ⎞= + + ⋅ = − ⋅ = −⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠a

Diagrama de variaţie a tensiunilor este reprezentată în Fig.A10-3.

ye yi

e

Ri

Re

σe = -117,45 MPa

σi = +140 MPa

Axa neutră

Centrul de curbură

Fig.A.10-3

rn

σ

68


A11. Să se dimensioneze bara cotită de secţiune circulară din Fig.A11-1 după teoria a V-a de rezistenţă dacă se cunosc: σa = 150 MPa, F = 15 KN, a = 200 mm.

F

2F

a

a

2a

Fig.A11-1

Rezolvare Pentru acest sistem nu este nevoie de nici o reducere a forţelor exterioare, deoarece ele sunt fixate pe axa longitudinală a barei cotite. Diagramele de eforturi sunt prezentate în Fig.A11-2a,b,c.

2F

2F

Fa

Fa

FaFa

Fa

Fa Fa

2Fa

Fig.A11-2

N Mi Mt

a) b) c)

Secţiunea periculoasă este în capetele barei de lungime 2a, unde acţionează eforturile:

iH

iV

t

N FM FM F aM F a

22 a

= ⋅= ⋅ ⋅= ⋅

= ⋅

Solicitarea din secţiunea periculoasă este compusă, de categoria a II-a.

69


Pentru dimensionare se neglijează efortul axial N. Dimensionarea se face atunci numai la încovoiere oblică şi torsiune unde se calculează o tensiune echivalentă. Se impune în enunţ teoria a V-a de rezistenţă. Mai întâi se calculează momentul încovoietor rezultant maxim: irez iH iVM M M F2 2 2 25 a2= + = ⋅ ⋅ iar momentul echivalent după teoria a V-a de rezistenţă este:

echV irez tM M , M . F2 20 75 5 75 a= + ⋅ = ⋅ ⋅ Relaţia de dimensionare corespunzătoare acestui caz este:

mm80M32d 3

a

echV ≈σ⋅π

⋅=

Deoarece la dimensionare s-a neglijat efortul axial, după determinarea prin rotunjire a dimensiunii secţiunii transversale, se impune o verificare a condiţiei de rezistenţă ţinând seama şi de efortul axial. Numai după îndeplinirea condiţiei de rezistenţă la toate eforturile se poate accepta dimensiunea determinată (eventual modificată). Pentru cazul prezentat, dimensiunea obţinută satisface condiţia de rezistenţă ţinând seama şi de efortul axial.

Observaţie: La toate exemplele prezentate nu s-a pus un accent deosebit pe calculul numeric. A interesat în mod deosebit însuşirea modului de abordare şi al etapelor ce trebuie parcurse în vederea rezolvării acestor tipuri de problemă.

Acest principiu va fi aplicat şi în cazul exemplelor care vor fi prezentate în capitolele următoare.

70


A12. Pentru bara de secţiune inelară din Fig.A12-1, se cere: a) dimensiunile (d, D) ale secţiunii transversale pentru σa = 60 MPa şi k

= d/D = 0,8 unde: d – diametrul interior, D – diametrul exterior. La nevoie se va utiliza teoria a V-a de rezistenţă.

10 F F = 12 KN

10 D

Fig.A12-1

Rezolvare Torsorul de reducere al forţelor exterioare şi diagramele de eforturi sunt prezentate în Fig.A5.2a-1.7, iar diagramele de eforturi aferente, în Fig.A5.2b,c,d-1.7.

F

10 F

10 F D/2

10 F

10 F

5 FD

5 FD

F D/2F D/2

F D/2

N Mi Mt

a) b) c)

Fig.A12-2

d)

Sunt două secţiuni la fel de periculoase, iar eforturile din această secţiune sunt:

iz

t

N F KM F D

DM F

10 1205

2

= ⋅ == ⋅

= ⋅

N

71


Rezultă că în secţiunea periculoasă se realizează o solicitare compusă de categoria a II-a (tracţiune, încovoiere. torsiune). Calculul de rezistenţă impune determinarea unei tensiuni echivalente, care necesită o teorie de rezistenţă. În enunţul problemei se indică teoria a V-a de rezistenţă. Se poate lucra în tensiuni sau cu momentul echivalent (MechV). Optăm pentru prima variantă:

arezechV σ=τ+σ=σ 22 3 unde

p

t

z

izrez

WM

WM

AN

=τ

+=σ

Condiţia de rezistenţă după teoria a V-a este atunci:

( ) ( ) ( )a

2

43

2

43

22

k116D

2DF

k132D

FD5

k14D

F10σ=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅π

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−⋅

π+

−⋅π

După rezolvarea ecuaţiei de mai sus şi ţinând seama de valoarea mărimilor care intervin, se obţin dimensiunile secţiunii transversale: D = 157 mm d = 125 mm

72


A13. Bara de secţiune circulară constantă, cu diametrul d, este situată în planul vertical şi încărcată cu forţele 2F, aparţinând aceluiaşi plan, şi F, perpendiculară pe planul barei Fig.A13-1). Se cer:

a) Diagramele de eforturi: (N), (T), (Mi) şi (Mt); b) Dimensionarea barei: dnec = ?, pentru σa= 160 MPa, F= 3 kN şi a = 200

mm; c) Să se calculeze rotirea secţiunii (2), φ2=?, în jurul axei tronsonului (2-3),

dacă G = 8·104 MPa.

F

2a

2Fa

1

2

3

Fig.A13-1

Rezolvare

Diagramele de eforturi sunt reprezentate în Fig.A13-2. Din aceste diagrame se vede că secţiunea cea mai solicitată este cea din încastrare, (3). Eforturile axial, (N3 = 2F), şi efortul tăietor, (Ty = F), se vor neglija pentru dimensionarea din condiţia de rezistenţă. După dimensionarea barei pe baza solicitărilor la încovoiere, (Mi,re z = Fa2 2 ⋅ ), şi torsiune, (Mt = Fa), diametrul obţinut va fi mărit şi se va verifica ţinându-se cont şi de forţa axială, (N3 = 2F).

( ) ( ) ( )( )i,ech,( )M Fa Fa Fa Fa2 2 23 2 2 3 1800000= + + = = Nmm

i,ech( ) nec necz,nec

a

nec ef

M πd πdWσ

d , mm dπ

3 33

3

180000032 160 32

32 1800000 48 57 50160

= = ⇔ =

⋅= = ⇒ =

⋅mm

⇒

73


Pentru calculul rotirii secţiunii (2), în jurul axei tronsonului (2-3), se observă că această rotire este datorată răsucirii acelui tronson şi se aplică relaţia de calcul cunoscută de la răsucirea barelor de secţiune circulară:

Mt

F·a

F·a

2F

T

F

F

2F

N

2F

F·2a

F·a

MiMi

2F·a

2F·a

2F·a

2F

FF

Fig.A13-2

t ,

p

M l Fa aφ , rad ,πdG I πG

3 223 23 0

2 4 4 42 3 10 2 200 64 9 778 0 56

8 10 5064

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

74


A14. Pentru bara de secţiune inelară (Fig.A14-1) cu d/D = 0,8 şi D = 100 mm, se cer:

a) Diagramele de eforturi (N), (Mi) şi (Mt); b) Dacă a = 600 mm şi σa = 150 MPa, să se determine forţa maxim admisă,

(Fcap=?), calculată cu teoria a III-a de rezistenţă. Obs. Forţa 2F este perpendiculară pe planul cadrului, (paralelă cu axa z).

x2a

F

a

a

F

2F

zy

1

2 3

4

Fig.A14-1

Rezolvare

Forţele F, aplicate în secţiunile (1) şi(2), fiind cuprinse în planul barei vor determina doar eforturi axiale, tăietoare şi de încovoiere. Asfel forţa aplicată în (1) este axială de întindere, pentru tronsonul (1-2), şi de compresiune pentru (3-4). Forţa aplicată în (2) este axială de compresiune pentru (2-3). Pe porţiunile de bară pentru care cele două forţe sunt tăietoare, se obţine diagrama de momente (Miz). Forţa 2F, fiind perpendiculară pe planul barei nu poate să determine solicitări axiale, (N = 0). Efortul tăietor este constant pe toată lungimea barei, şi ca urmare pentru momentul de încovoiere se obţine diagrama (Mix). În plus pe tronsoanele (2-3) şi (3-4), bara este solicitată şi la răsucire (diagrama Mt). Diagramele de eforturi sunt prezentate în Fig.A14-2.

F·a

Miz

F·a

F·a

2F·a

2F·a

2F·a

2F·a

Mix

Mt

2Fa

2Fa

2Fa

N

F

F

F

F

F

F

Fig.A14-2

75


Pentru determinarea forţei maxim admise se va impune condiţia ca tensiunea maximă să fie egală cu rezistenţa admisibilă:

ech ( ),m ax aσ σ M P a3 1 5 0≡ =

Secţiunea cea mai solicitată poate fi considerată oricare dintre secţiunile (3) sau

(4). În aceste secţiuni eforturile sunt: N = -F, ( ) ( )iM Fa Fa F2 22 5 a= + = ⋅ , Mt

= 2Fa. Datorită eforturilor N şi Mi,max, într-un punct al secţiunii se obţine tensiunea maximă:

imax N MF Fσ σ σ

πD d πD dD D

2 42 3

5

1 14 32

⋅ ⋅= + = +

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

a=

⎞⎟⎟⎠

( )F a F , ,,πD d D d

D D

2 22

51 1 65 446 0 02352827 43

1 14 8

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⋅

= ⋅ + = ⋅ + =⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

F⋅

Datorită momentului de răsucire, în orice punct de pe conturul exterior al secţiunii, deci şi în cel cu tensiunea normală maximă, se produce o tensiune tangenţială maximă:

t

maxp

M F a Fτ , FW πD d

D

43

2 1200 0 01035115925

116

⋅ ⋅ ⋅= = = = ⋅

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Tensiunea echivalentă maximă este:

ech( ),max max max a capσ σ τ . F σ F ,2 23 4 0 031319 150 4789 46= + ⋅ = ⋅ = = ⇒ = N.

76


A15. Două roţi de greutate G1 şi G2 sunt montate pe un arbore de secţiune circulară, ca în Fig.A15-1a. Utilizând ipoteza tensiunilor tangenţiale maxime, să se determine diametrul arborelui (d), cunoscând: σa = 80 MPa şi G1 = G2 = 100 daN.

F

F = 500 daN

DD = 1,5 m

A B

300 400 400

d

F

F + G2G1 F D/2

F D/2

F = 500 daN 15.0007.500

a)

b)

c)

d)

e)

G1 = 100 daN F + G2 = 600 daN3.000

10.50037.500

MiH

MiV

Mt

[daN cm]

[daN cm]

[daN cm]

Fig.A15-1

Rezolvare În Fig.A15-1b se prezintă torsorul de reducere al forţelor exterioare, iar în Fig.A15-1c,d diagramele momentului încovoietor produs de forţele care acţionează în plan orizontal, respectiv plan vertical. Diagrama momentului de răsucire este prezentată în Fig.A15-1e. După o analiză a variaţiei eforturilor rezultă că secţiunea periculoasă este în reazemul A, unde momentul încovoietor rezultant are cea mai mare valoare.

77


În secţiunea periculoasă se realizează o solicitare compusă de categoria a II-a, de către eforturile:

cmdaN500.37McmdaN000.3McmdaN000.15M

t

iV

iH

⋅=⋅=⋅=

Momentul încovoietor rezultant din secţiunea A, este:

cmdaN300.15MMM 2iV

2iHiArez ⋅=+=

iar momentul echivalent din aceiaşi secţiune, după teoria a III-a de rezistenţă este: cmdaN500.40MMM 2

tiArezechIII ⋅=+= Condiţia de rezistenţă după teoria a III-a de rezistenţă şi problemă de dimensionare este:

mm81M32d

M32

dMW

3

a

echIII

a

echIII3

a

echIIIznec

≈σ⋅π

⋅=⇒

σ=

⋅π⇒

σ=

78


A16. Pentru arborele de secţiune circulară din Fig.A16-1 se dau: D1 = 400 mm, D2 = 600 mm, σa (3) = 100 MPa, F2 = 12 kN. Se cere: a) valoarea forţei F1; b) diagramele momentelor de răsucire şi de încovoiere; c) dimensionarea arborelui.

a = 1 m

D2

F1

F2 d

a a

D1 D2

D1

A B

1

2

Fig.A16-1

Rezolvare

Reducând forţele F1 şi F2, în centrele de greutate ale secţiunilor arborelui, din dreptul fiecărei roţi, se obţin torsoarele (F1, M1) şi (F2, M2), unde:

DM F F11 1 200

2= ⋅ = ⋅ 1 , şi

DM F F kN mm22 2 2300 3600

2= ⋅ = ⋅ = ⋅

Reprezentarea shematică a încărcării arborelui este prezentată în Fig.A16-2. În cele două reazeme, (A) şi (B), apar doar reacţiuni de tip forţă: HA, VA, HB, VB

=B.

Din condiţia de echilibru: Σ , se obţine: .

xM 0M M F F kN1 2 1 1200 3600 18= ⇔ ⋅ = ⇒ =

3,6 kNm

12 kNm

6 kN/mMiV

MiH

Mt

A B

1

2

a a a

F2 F1

M1 M2

HB

HA

VBVA

Mi,H,(1)=6 kNm

Fig.A16-2

79


Momentul de răsucire, reprezentat în diagrama (Mt), este constant între cele două roţi, şi egal cu 3,6 kNm. Forţa F1 = 18 kN determină apariţia reacţiunilor VA şi VB, egale între ele şi cu valoarea 9 kN. Aceste sarcini exterioare au ca rezultat momentul de încovoiere în plan vertical, M

B

iV, a cărui valoare maximă este: VA·a = 6 kNm. Forţa F2 = 12 kN, determină reacţiunile HA = 6 kN şi HB =18 kN. Diagrama de momente de încovoiere în planul orizontal al acestor sarcini se poate trasa şi fără a calcula reacţiunile HA şi HBB. Din diagramă se vede că valoarea maximă a acestui moment este: Mi,H,B = 12 kNm. Secţiunea cea mai solicitată a arborelui este cea din dreptul reazemului (B), întrucât în aceasta momentul de încovoiere resultant este maxim: Mi,(B) = 12 kNm. În dreptul secţiunii (1), momentul de încovoiere rezultant are valoarea: i,( )M 1 6 2= ⋅ kNm. Dimensionarea se face cu teoria a-3-a de rezistenţă:

i,max ti,ech( ) necz,nec

a a

nec ef

M MM π d ,Wσ σ

,d , mmπ

2 23 2 2 63

2 2 43

12 3 6 1032 100

32 12 3 6 10 108 47 110

+⋅ + ⋅= ⇔ = =

⋅ + ⋅⇒ = = ⇒ =d mm

⇒

A17. Arborele de secţiune circulară constantă din figură, transmite puterea P=28 kW la viteza unghiulară ω=14 rad/s (Fig.A17-1). Se cere: a) să se traseze diagrama momentelor de răsucire, (Mt); b) să se traseze diagramele momentelor de încovoiere în plan vertical şi orizontal, (MiV) şi (MiH); c) să se dimensioneze arborele, aplicând teoria a-III-a de rezistenţă, dacă σa = 120 MPa.

Se cunosc: a = 240 mm; D1 = 400 mm, D2 = 600 mm. Rezolvare

A B1

2

a 2a 1,1a

D1 F1

F2D2

D1 d

D2

Fig.A17-1

Cunoscând puterea transmisă de arbore şi viteza unghiulară a acestuia, se poate determina mometul de torsiune transmis: t

PM k . Nmω

2= =

80


Reducând forţele F1 şi F2, în centrele de greutate ale secţiunilor arborelui, din dreptul fiecărei roţi, se obţin torsoarele (F1, M1) şi (F2, M2), unde:

DM F F11 1 200

2 1= ⋅ = ⋅ , şi DM F F2

2 2 3002 2= ⋅ = ⋅

Reprezentarea shematică a încărcării arborelui este prezentată în

(Fig.A17-2). Valorile forţelor F1 şi F2 se determină din condiţia ca arborele să nu se

rotească, adică să existe:

x tM M M M kNmm F kN;F , ( ) kN1 2 1 20 2000 10 6 6Σ = ⇔ = = = ⇒ = = . În cele două reazeme, (A) şi (B), apar doar reacţiuni de tip forţă: HA, VA,

HB, VB B. Momentul de răsucire, reprezentat în diagrama (Mt), este constant între cele două roţi, şi egal cu 2 kNm. Forţa F2 = 6,(6) kN determină apariţia reacţiunilor VA = 1788,6 N şi VB = 4878 N. Aceste sarcini exterioare au ca rezultat momentul de încovoiere în plan vertical, MiV, a cărui valoare maximă este: VA·3a = 1180,476 kNmm şi se obţine pentru secţiunea din dreptul roţii (2). Forţa F2 =10 kN, determină reacţiunile HA = 67560,975 N şi HB = 2439 N. Valoarea maximă a momentului de încovoiere în planul orizontal este: HBB·3,1a = 1.663,415 kNmm, şi se obţine în dreptul roţii (1).

A B1 2

a 2a 1,1a

F2

F1

M1 M2

HB

HA

VBVA

2 kNm

Mt

1663,4 kNmm

MiV

MiH 590,23 kNmm

393,5 kNmm 1180,5 kNmm

Fig.A17-2

81


Secţiunea cea mai solicitată se stabileşte prin compararea valorilor momentelor de încovoiere rezultante din secţiunile (1) şi (2). Calculând cele două momente se obţin valorile:

Mi,(1) = 1709,324 kNmm şi Mi,(2) = 1319,8 kNmm.

Cum momentul maxim este cel din dreptul roţii (1), dimensionarea se va

face pentru Mi,(1) = 1709,324 kNmm şi Mt,(1) = 2000 kNmm. Dimensionarea se face cu teoria a-3-a de rezistenţă:

i,max ti,ech( ) necz,nec

a a

nec ef

M MM π d ,Wσ σ

,d , mm d mmπ

2 23 2 2 33

23

1709 324 2000 1032 120

32 2630 929 10 60 67 6112

+⋅ + ⋅= ⇔ = =

⋅ ⋅⇒ = = ⇒ =

⋅

⇒

82


83

2. METODE PENTRU CALCULUL DEFORMAŢIILOR

2.1 CONSIDERAŢII GENERALE Pentru un element de rezistenţă solicitat la încovoiere condiţia de rezistenţă este primordială. De foarte multe ori satisfacerea acesteia nu este suficientă pentru buna funcţionare a elementului (piesei) respectiv. În acest sens, este necesar şi un calcul al deformaţiilor acestuia. În acest studiu se cercetează forma pe care o ia după încovoiere (deformare) axa geometrică a elementului de rezistenţă. Această axă (linie) poartă numele de fibră medie deformată. În cazul încovoierii, o secţiune transversală, suferă o deplasare (Fig.2.1-1), care în funcţie de sensul în care se produce, poartă diferite denumiri:

δx – deplasare axială, care fiind mică în general se neglijează δy = v – deplasare verticală (transversală) sau săgeată θ - deplasare unghiulară (rotire) Dacă deplasarea axială δx se neglijează, rezultă că θ = ϕ (Fig.2.1-2). Deci, o secţiune a unei bare încovoiate suferă două deplasări: v – deplasare liniară numită şi săgeată

θ

ϕ

δx

δy = v

1

1’

Fig.2.1-1

ϕ

ϕv

Fig.2.1-2

fibra medie deformată

F

F


84

ϕ - deplasare unghiulară numită şi rotire. Studiul deformaţiilor barei constă în a cunoaşte funcţiile: v = f1(x) şi ϕ = f2(x) 2.1-1 pentru orice secţiune a acesteia. Într-un sistem de axe ca cel din Fig.2.1-3, rezultă că

dxdv

=ϕ 2.1-2

Întrucât deformaţiile sunt mici se poate considera că tgϕ ≈ ϕ. Această egalitate poate fi acceptată numai pentru barele cu deformaţii relativ mici, excluzându-se cele cu deformaţii mari (arcul spiral, lamele elastice etc.).

2.2 METODE CLASICE PENTRU CALCULUL DEFORMAŢIILOR BARELOR DREPTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

Pentru calculul celor două deplasări produse la solicitarea de încovoiere a

barelor drepte, s-au dezvoltat mai multe metode. În continuare se vor prezenta câteva dintre acestea, de fapt cele mai utilizate.

2.2.1 Metoda dublei integrări (Metoda ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate)

Se consideră că într-o secţiune curentă x fibra medie deformată a barei are raza de curbură ρ (a se vedea încovoierea simplă), a cărei expresie în geometria diferenţială este de forma următoare:

x

y Fig.2.1-3


85

2

2

23

2

2

2

dxvd

dxdv1

dxvd

1±≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

±=ρ 2.2.1-1

De la studiul încovoierii pure s-a văzut că între raza de curbură a fibrei medii, momentul încovoietor Mi şi rigiditatea barei EI există relaţia:

z

iz

iz

z

IEM1

MIE

=ρ

⇒=ρ 2.2.1-2

Din relaţiile 2.2.1-1 şi 2.2.1-2 se obţine:

z

iz2

2

IEM

dxvd

±= 2.2.1-3

Cu sistemul de axe din Fig.2.1-3 derivata de ordinul doi v’’ a săgeţii este negativă, iar momentul încovoietor este pozitiv. Rezultă că relaţia 2.2.1-3 capătă forma finală:

z

iz2

2

IEM

dxvd

−= 2.2.1-4

Derivând încă de două ori relaţia 2.2.1-4, se obţine:

z

y

z

iz3

3

IET

IEM

dxd

dxvd

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2.2.1-5a

zz

y

z

y4

4

IEp

IEp

IET

dxd

dxvd

=−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2.2.1-5b

Integrând o dată ecuaţia fibrei medii deformate (relaţia 2.2.1-4) se obţine rotirea secţiunii ϕ:

∫ +−==ϕ 1z

iz CdxIE

Mdxdv

2.2.1-6a


86

iar integrând din nou se obţine săgeata v:

∫ ∫ ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 21

z

iz CxCdxdxIE

Mv 2.2.1-6b

unde C1 şi C2 sunt două constante de integrare care se determină din condiţiile de rezemare şi de continuitate la trecerea de la un interval la altul. Astfel:

pe reazeme simple

0şi0v ≠ϕ= 2.2.1-7a

în înţepeniri

0şi0v =ϕ= 2.2.1-7b Pentru calculul deplasărilor produse la încovoiere prin această metodă, se indică parcurgerea următoarelor etape:

se scriu funcţiile momentului încovoietor pe fiecare interval caracteristic al barei

se scrie ecuaţia fibrei medii deformate pentru fiecare interval se integrează o dată această ecuaţie şi se obţine expresia rotirii ϕ se mai integrează o dată relaţia obţinută şi rezultă expresia pentru săgeata v

se pun toate condiţiile de rezemare şi de continuitate de la un interval la altul şi se obţin constantele de integrare

se scriu expresiile finale pentru deplasări pe fiecare interval se calculează deplasările cerute.

Atenţie: Fiecare interval caracteristic introduce două constante de integrare. Acest lucru constituie un mare inconvenient pentru metoda dublei integrări. Aplicaţie: Pentru bara de rigiditate constantă din Fig.2.2.1-1 să se calculeze deplasarea (săgeata) maximă şi rotirea (deplasarea unghiulară) pe reazeme.

F

F/2 F/2

1 2 3

a/2 a/2

Fig.2.2.1-1

x1 x2


87

Rezolvare Pentru această bară se delimitează două intervale caracteristice: 1-2 şi 2-3. Se rezolvă problema în paralel pe cele două intervale, urmându-se etapele de rezolvare recomandate la finalul prezentării acestei metode. Intervalul 1-2 Intervalul 2-3

42322

3221

31

32221

21

21

22223112

CxCx8aFx

12FvIECxCx

12FvIE

Cx4aFx

4FIECx

4FIE

4aFx

2F''vIEx

2F''vIE

4aFx

2FxFx

2a

2FMx

2FM

++−=++−=

+−=ϕ+−=ϕ

−=−=

+−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

)2(0C0

)1(0C96aC48Fa2

0v0v0C0v0x

30x

433

2/ax321

2

2

=⇒=ϕ=++−

⇒=⇒==⇒=⇒=

=

=

Condiţia de continuitate la trecerea de la un interval la altul (secţiunea 2) este: 00x2/ax 21

=ϕ=ϕ ==

Din relaţia (1) ţinând seama de (2), se obţine:

48aFC

3

4 =

iar condiţia de continuitate conduce la

16aF

C2

1 =

Constantele de integrare fiind determinate, relaţiile pentru deplasări

corespunzătoare celor două intervale caracteristice au forma finală: Pentru intervalul 1-2:


88

1

231

221

x16aFx

12FvIE

16aF

x4FIE

+−=

+−=ϕ

iar pentru intervalul 2-3:

48aFx

8aFx

12FvIE

x4aFx

4FIE

322

32

222

+−−=

−=ϕ

Acum se pot calcula deplasările solicitate:

z

2

2/ax0x31

z

3

0x2/axmax

IE16aF

IE48aF

vvv

21

21

=ϕ−=ϕ=ϕ=ϕ

===

==

==

2.2.2 Metoda parametrilor iniţiali (metoda parametrilor în origine) Când în lungul barei există mai multe intervale (multe expresii pentru momentul încovoietor), metoda dublei integrări devine dificilă, din cauza multor constante de integrare (două pentru fiecare interval). În continuare se prezintă o metodă universală pentru calculul deplasărilor unei bare drepte de rigiditate constantă, numită metoda parametrilor iniţiali (metoda parametrilor în origine) sau metoda Macaulay. În această metodă intervin numai două constante de integrare şi anume: valorile iniţiale (în origine) ale săgeţii şi rotirii. Se consideră o bară dreaptă (Fig.2.2.2-1) la care nu se precizează modul de rezemare.

a

b

c

d

x

x

x

x

0 1 2 34

5 x

M F p

Fig.2.2.2-1


89

Grinda este încărcată cu un moment concentrat M, o forţă concentrată F şi o sarcină uniform distribuită p. Faţă de originea O a sistemului de referinţă forţele exterioare au coordonatele a, b, respectiv c. Cu d s-a notat distanţa de la originea sistemului până la secţiunea în care se termină acţiunea sarcinii uniform distribuite. Pe cele patru intervale funcţiile momentului încovoietor sunt: 0M01 = 2.2.2-1a ( )0

12 axMM −−= 2.2.2-1b ( ) ( )10

23 bxFaxMM −−−−= 2.2.2-1c

( ) ( ) ( )2

cxpbxFaxMM2

1034

−−−−−−= 2.2.2-1d

( ) ( ) ( ) ( )2dxp

2cxpbxFaxMM

2210

45−

+−

−−−−−= 2.2.2-1e

După secţiunea 4 unde sarcina uniform distribuită se termină, se consideră

că aceasta ar continua până la capătul barei. În plus se aplică o sarcină egală şi de sens contrar cu ea, aşa că de fapt practic de la 4 spre dreapta nu mai acţionează nici o sarcină. Se poate constata că pe fiecare interval, ecuaţia de momente este cea de pe intervalul precedent plus un nou termen.

Se integrează relaţiile 2.2.2-1a,b,c,d,e ştiind că:

iM''vIE −= 2.2.2-2 Toate binoamele din relaţiile 2.2.2-1a,b,c,d,e se integrează sub formele:

( )

( ) ( )∫

∫−

=−

−=−

2bxdxbx

axdxax2

0

2.2.2-3

ceea ce conduce numai la o schimbare a constantelor de integrare. Integrând o singură dată (relaţiile 2.2.2-1) se obţin expresiile rotirilor:

101 CEI =ϕ 2.2.2-4a ( ) 212 CaxMEI +−=ϕ 2.2.2-4b

( ) ( )3

2

23 C2

bxFaxMEI +−

+−=ϕ 2.2.2-4c

( ) ( ) ( )4

32

34 C6

cxp2

bxFaxMEI +−

+−

+−=ϕ 2.2.2-4d


90

( ) ( ) ( ) ( )5

332

45 C6

dxp6

cxp2

bxFaxMEI +−

−−

+−

+−=ϕ 2.2.2-4e

Integrând încă o dată relaţiile 2.2.2-4, se obţin expresiile pentru săgeţi:

1101 DxCvEI += 2.2.2-5a ( )

22

2

12 DxC2

axMvEI ++−

= 2.2.2-5b

( ) ( )33

3

23 DxC6

bxF2

axMvEI ++−

+−

= 2.2.2-5c

( ) ( ) ( )44

432

34 DxC24

cxp6

bxF2

axMvEI ++−

+−

+−

= 2.2.2-5d

( ) ( ) ( ) ( )55

4432

45 DxC24

dxp24

cxp6

bxF2

axMvEI ++−

−−

+−

+−

= 2.2.2-5e

Se notează cu ϕ0 rotirea, respectiv cu v0 săgeata, în originea sistemului de coordonate. Scriind relaţia rotirii pentru origine (x = 0), rezultă: 10 CEI =ϕ 2.2.2-6 Scriind prima relaţie şi a doua a rotirii în secţiunea 1 (pentru x = a) care sunt egale (continuitate de la un interval la altul), se obţine: ( ) 2121 CCCaaMC =⇒+−= 2.2.2-7a La fel, între a doua şi a treia pentru x = b:

( ) ( ) ( ) 3232

2 CCCbb2FabMCaxM =⇒+−+−=+− 2.2.2-7b

Procedând mai departe la fel, se obţine o relaţie între constantele de integrare C: 54321 CCCCC ==== 2.2.2-7c Urmând acelaşi raţionament pentru săgeţi, se obţine în final: 54321 DDDDD ==== 2.2.2-7d Rezultă că relaţiile pentru deplasări se pot scrie sub o formă concentrată (se începe cu constantele de integrare):


91

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )24

dxp24

cxp6

bxF2

axMxEIEIvvEI

6dxp

6cxp

2bxFaxMEIEI

4432

00

332

0

−−

−+

−+

−+ϕ+=

−−

−+

−+−+ϕ=ϕ

2.2.2-8

sau sub o altă formă:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

−+

−+

−+ϕ+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

−+

−+

−+ϕ=ϕ

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

!4dxp

!4cxp

!3bxF

!2axM

EI1vv

!3dxp

!3cxp

!2bxF

!1axM

EI1

4432

00

332

0

2.2.2-9

În relaţiile 2.2.2-8, respectiv 2.2.2-9, forţele exterioare M, F, p intervin cu semn. Ele au semnul + dacă sunt orientate pe bară aşa cum sunt orientate pe bara din Fig.2.2.2-1 sau cum se mai prezintă în Fig.2.2.2-2. Originea sistemului de referinţă se alege întotdeauna în secţiunea cea mai din stânga a barei. Constantele de integrare ϕ0 şi v0 (care sunt numai două) se determină din condiţiile de rezemare. După ce acestea au fost determinate şi relaţiile pentru deplasări sunt în forma lor finală, se poate trece la calculul deplasărilor (săgeţi sau rotiri) în orice secţiune a barei. Trebuie avut în vedere faptul că atunci când se determină constantele de integrare sau se calculează deplasările, în relaţiile finale intervin numai termenii care provin de la sarcinile situate strict în stânga secţiunii respective. De altfel pentru o secţiune situată unde acţionează o sarcină, termenii din relaţii au valori nule, iar pentru secţiuni situate după sarcini, termenii sunt negativi (nu se ia în considerare exponentul). Astfel de termeni se elimină (nu se iau în considerare).

x

y

M F p

Fig.2.2.2-2

O


92

Aplicaţie: Pentru bara dreaptă din Fig.2.2.2-3 să se calculeze săgeata şi rotirea secţiunii 2. Se cunoaşte EI = 1,4 KN m2. Rezolvare Se calculează reacţiunile: V1 = 2,5 KN V2 = 17,5 KN Originea sistemului de referinţă este în secţiunea 1. Nu există decât numai sarcini concentrate. Relaţiile pentru deplasări (relaţiile 2.2.2-8) particularizate pentru problema dată sunt:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )6

n2xV6

nxF6

0xVxEIvEIvEI

2n2xV

2nxF

20xVEIEI

3

2

33

100

2

2

22

10

−−

−+

−−ϕ+=

−−

−+

−−ϕ=ϕ

În relaţiile de mai sus, se avut în vedere că ϕ0 = ϕ1, v0 = v1 iar forţa F din

secţiunea 4 nu s-a luat în considerare deoarece la calculul deplasărilor nu va avea efect (paranteza va avea valoarea zero). Condiţiile la limită pentru calculul parametrilor în origine sunt:

pentru x = 0 ⇒ v1 = v0 = 0 pentru x = 2 n = 2 m ⇒ v3 = 0

Înlocuind aceste condiţii în relaţiile deplasărilor, rezultă:

( ) ( )

6nn2F

6n2Vn2EI0

33

10−

+−⋅ϕ=

Din această relaţie se calculează rotirea în origine: rad592,010 =ϕ=ϕ

F = 10 KN F

V1 = 2,5 KN V2 = 17,5 KN

200

100 n = 1 m n n/2

Fig.2.2.2-3

1 2 34


93

Cunoscându-se acum deplasările din origine (parametri iniţiali) se poate trece la calculul săgeţii în secţiunea 2. Pentru aceasta în relaţia săgeţii se ia x = n = 1 m:

( ) ( ) ( )

( )

m2952,0v6

0nVnEI

6n2nV

6nnF

60nVnEIvEI

2

3

10

3

2

33

102

=⇒

−−ϕ=

=−

−−

+−

−ϕ=

Pentru calculul rotirii în secţiunea 3, în relaţia rotirii se consideră x = 2n şi se obţine: rad297,02 =ϕ

2.2.3 Metoda grinzii conjugate (reciproce) sau metoda Mohr Se consideră o grindă simplu rezemată încărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare p(x) ca în Fig.2.2.3-1a. Sub acţiunea acesteia, grinda se deformează la încovoiere. Ne propunem să determinăm deplasările (săgeata şi rotirea) într-o secţiune oarecare a acestei bare, secţiune poziţionată de coordonata x. Pentru grinda dată numită grindă reală, considerăm că am trasat diagrama momentului încovoietor (Fig.2.2.3-1b). Înseamnă că se pot scrie următoarele relaţii (deja cunoscute):

p(x)

x

v ϕa)

b)

Mi(x) pf = Mi(x)

x ??c)

Fig.2.2.3-1


94

( )xMdx

vdEI i2

2

−= 2.2.3-1a

( ) ( )xT

dxxdMi = 2.2.3-1b

( ) ( )xp

dxxdT

−= 2.2.3-1c

( ) ( ) ( )xp

dxxdT

dxxMd

2i

2

−== 2.2.3-1d

Se consideră acum o altă grindă numită grindă conjugată sau grindă reciprocă al cărui mod de rezemare încă nu se precizează şi pe care o încărcăm cu sarcina fictivă pf ce variază după aceeaşi lege ca şi momentul încovoietor Mi(x) al grinzii reale (Fig.2.2.3-1c):

( ) ( )xMxp if = 2.2.3-2 Toate mărimile care se vor referi la grinda conjugată vor purta de acum înainte indicele f . Se poate scrie pentru grinda conjugată:

f

f2

if2

ff

fif

pdxdT

dxMd

pdxdT

;Tdx

dM

−==⇒

−==

2.2.3-3

Ţinând seama de relaţia 2.2.3-1a, rezultă:

( )

2if

2

2

2

fi2

2

dxMd

dxvdEI

pxMdx

vdEI

=⇒

−=−=

2.2.3-4

Integrând o dată relaţia 2.2.3-4 se obţine:

1if C

dxdM

dxdvEI += 2.2.3-5


95

Se pune acum condiţia ca grinda conjugată să fie astfel rezemată încât constanta de integrare C1 = 0. Cu această condiţie, relaţia 2.2.3-5 devine:

fif T

dxdMEI

dxdvEI ==ϕ= 2.2.3-6

de unde rezultă expresia pentru rotire:

z

f

IET

=ϕ 2.2.3-7

Integrând încă o dată relaţia 2.2.3-4 (sau relaţia 2.2.3-6) se obţine expresia săgeţii:

z

ifif EI

MvMvEI =⇒= 2.2.3-8

Şi la această integrare se impun condiţii de rezemare astfel încât constanta de integrare care apare să fie nulă. Modurile de rezemare pentru grinzile conjugate ale câtorva grinzi reale, astfel încât constantele de integrare să fie nule sunt prezentate în Fig.2.2.3-2.

GRINDA REALĂ GRINDA CONJUGATĂ

ϕ = 0 v = 0

ϕ ≠ 0 v ≠ 0

ϕ ≠ 0 v = 0

ϕ ≠ 0 v = 0

ϕ ≠ 0 v ≠ 0

ϕ ≠ 0 v = 0

ϕ ≠ 0 v = 0

Tf = 0 Mif = 0

Tf ≠ 0 Mif ≠ 0

Tf ≠ 0 Mif = 0

Tf ≠ 0 Mif = 0

Tf ≠ 0 Mif ≠ 0 Tf ≠ 0

Mif = 0 Tf ≠ 0 Mif = 0

a)

b)

c)

Fig.2.2.3-2


96

În practică se întâlnesc multe situaţii când barele au secţiune variabilă (momentul de inerţie Iz al secţiunii transversale nu este constant în lungul barei). Metoda grinzii conjugate spre deosebire de celelalte metode care au fost prezentate, poate fi utilizată şi pentru bare cu secţiune variabilă. La calculul deplasărilor în acest caz se porneşte de la ecuaţia fibrei medii deformate, iar domeniile (intervalele) barei se stabilesc atât în funcţie de sarcinile aplicate cât şi de variaţia momentului de inerţie Iz(x). Aplicând metoda dublei integrări, ecuaţia fibrei medii deformate este:

( )( )xI

xM''vE

z

i−= 2.2.3-9

Prin două integrări succesive se ajunge la expresia rotirii, respectiv a săgeţii:

( )( )∫ +−=ϕ 1

z

i CdxxIxM

E 2.2.3-10a

( )( )∫ ∫ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 21

z

i CxCdxdxxIxM

vE 2.2.3-10b

Se introduce acum noţiunea de moment încovoietor redus (Mired). De asemenea, se fixează un moment de inerţie I0 faţă de care se efectuează convenţional o reducere. Momentul de inerţie I0 este unul dintre momentele de inerţie ale barei, de obicei de pe intervalul corespunzător momentului încovoietor maxim sau cea mai mică valoare a momentului de inerţie de pe bară.

Expresia fibrei medii deformate (relaţia 2.2.3-9) se înmulţeşte cu I0 şi rezultă:

( ) ( ) iredz

0i0 M

xIIxM''vEI −=−= 2.2.3-11

Integrând de două ori relaţia 2.2.3-11 se obţine: ∫ +−=ϕ 1ired0 CdxMEI 2.2.3-12a ( )∫ ∫ ++−= 21ired0 CxCdxdxMvEI 2.2.3-12b În relaţiile 2.2.3-11, 2.2.3-12a,b, Mired este momentul încovoietor redus în raportul momentelor de inerţie I0 / Iz(x):

( ) ( )xII

xMMz

0iired = 2.2.3-13

Acum deplasările se calculează cu relaţiile:

0

if

0

f

IEM

v

IET

=

=ϕ

2.2.3-14


97

Pentru calculul deplasărilor în cazul barelor cu secţiune variabilă, se parcurg aceleaşi etape ca şi la bara de secţiune constantă, numai că după trasarea diagramei momentului încovoietor se trasează diagrama momentului încovoietor redus Mired şi grinda conjugată se încarcă cu această diagramă. Pentru calculul deplasărilor prin metoda grinzii conjugate la barele drepte de secţiune constantă, se parcurg următoarele etape:

se trasează diagrama de moment încovoietor pentru grinda reală (grinda dată)

se reprezintă grinda reală fără sarcini (dar cu reazeme) se formează grinda conjugată a grinzii reale (vezi cazurile din Fig.2.2.3-2)

se încarcă grinda conjugată cu diagrama momentului încovoietor al grinzii reale (s-a obţinut astfel un sistem fictiv)

pentru calculul deplasărilor într-o secţiune, de pe sistemul fictiv se determină după caz forţa tăietoare fictivă (Tf) sau momentul încovoietor fictiv (Mif) şi se aplică relaţiile 2.2.3-7 sau 2.2.3-8.

Aplicaţia A1: Pentru grinda de rigiditate constantă din Fig.2.2.3-3 să se

calculeze ϕ1 şi v4.

2pa2 4pa p

a a a

2pa2

pa2/2

2pa2

2pa2

2pa2 pa2/2

V1f = pa3/2

1 2 3 4

1f 2f3f 4f

1f 2f3f 4f

a)

b)

c)

d)

Fig.2.2.3-3


98

Rezolvare Diagrama momentului încovoietor pentru grinda reală este trasată prin suprapunere de efecte şi este prezentată în Fig.2.2.3-3b. În Fig.2.2.3-3c este prezentată grinda conjugată a grinzii reale. Grinda conjugată este încărcată cu diagrama de moment încovoietor obţinându-se sistemul fictiv (Fig.2.2.3-d). Pentru calculul rotirii în secţiunea 1 (grinda reală) trebuie determinată forţa tăietoare din secţiunea 1f. Această forţă tăietoare este tocmai reacţiunea Vif din secţiunea 1f. După calcul se obţine:

zz

f

iff

IEap

EIT

paVT

31

1

3

1

2

2

⋅==ϕ⇒

==

Pentru calculul săgeţii din secţiunea 4 (grinda reală) se calculează momentul încovoietor fictiv din secţiunea 4f (Mi4f). Pentru exemplul studiat se obţine:

z

4

4

4

f4i

IE8apv

8apM

=⇒

=

Aplicaţia A2: Să se calculeze rotirea şi deplasarea secţiunii 2 pentru bara de rigiditate variabilă din Fig.2.2.3-4. Rezolvare Mai întâi se trasează diagrama momentului încovoietor. Şi de această dată, diagrama momentului încovoietor se trasează prin suprapunere de efecte (Fig.2.2.3-5a).

4Fa FIz 2 Iz

1 2

3

a a

Fig.2.2.3-4


99

La acest tip de bară trebuie trasată diagrama de moment încovoietor redus. Momentul încovoietor redus se calculează în secţiunile caracteristice ale barei cu relaţia:

z

0iired I

IMM =

Pentru exemplul prezentat s-a considerat că I0 = I (momentul de inerţie al primului interval, intervalul 1-2). Înseamnă că pe acest interval diagrama reală a momentului încovoietor coincide cu cea redusă (nu se modifică), însă pe intervalul 2-3 aceasta se reduce (se micşorează). Diagrama momentului încovoietor redus Mired este prezentată în Fig.2.2.3-5b. Grinda conjugată a grinzii reale este prezentată în Fig.2.2.3-5c. Grinda conjugată încărcată cu diagrama momentului încovoietor redus se prezintă în Fig.2.2.3-5d, obţinându-se aşa numitul sistem fictiv.

4Fa

4Fa

2Fa

Fa/22Fa

Fa

Fa/2Fa/4

1f 2f 3f

a)

b)

c)

4Fa

1f 2f

3f

Fa/2Fa/4

Fa2Fa

d)

Fig.2.2.3-5

V3f = 5 Fa2 / 6 V1f


100

Acum se pot calcula deplasările cerute. Pentru calculul acestora este nevoie de calculul cel puţin a unei reacţiuni. S-a calculat reacţiunea din reazemul 3f (Fig.2.2.3-5d). Forţa tăietoare fictivă din secţiunea 2f este:

z

2

0

22

22 EI

aF2411

EIT

Fa2411T f

f==ϕ⇒=

iar momentul încovoietor fictiv din aceeaşi secţiune este:

z

3

0

2i2

32i EI

aF2417

EIM

vFa2417M f

f−==⇒−=

2.3 METODE ENERGETICE PENTRU CALCULUL DEFORMAŢIILOR 2.3.1 Teoremele de reciprocitate La baza acestor teoreme stă observaţia că energia de deformaţie, înmagazinată într-un sistem elastic, depinde numai de starea finală de eforturi şi nu depinde de modul în care s-a ajuns la această stare. a) Teorema reciprocităţii lucrului mecanic de deformaţie sau teorema lui BETTI

Vom considera un sistem elastic Fig.3.3.1a-1., (o grindă), încărcat cu două sisteme de forţe generalizate, S1 şi S2, pe care le vom denumi: sistem primar: S1, şi sistem secundar: S2. Deplasările produse de S1 vor fi denumite "deplasări primare", iar cele produse de S2 "deplasări secundare". Considerăm că asupra grinzii acţionează iniţial doar S1. Ca urmare grinda se va deforma, obţinându-se deplasările primare, iar în ea se va înmagazina energia de deformaţie U11. U11 = lucrul mecanic produs de sistemul de forţe primar care parcurge deplasările primare (proprii).


101

Peste grinda încărcată cu S1 se va aplica şi S2. Grinda se va deforma şi vor apărea deplasările secundare. În acelaşi timp în grindă se înmagazinează energia de deformaţie: U22+ U12.

U22 = lucrul mecanic produs de sistemul de forţe secundar S2, care parcurge deplasările secundare;

U12 = lucrul mecanic produs de sistemul de forţe primar S1, care parcurge, cu întreaga intensitate, deplasările secundare;

Energia totală de deformaţie înmagazinată în grindă, Ud′ , va fi:

'dU U U U11 22 12= + + 2.3.1a-1

Vom considera acum, că iniţialpe grindă se aplică sistemul de forţe S2. Grinda se deformează, obţinându-se deplasările secundare şi înmagazinându-se energia U22. Peste grinda încărcată cu S2 vom aplica şi sistemul de forţe primar, S1. Ca urmare în grindă se va înmagazina energia de deformaţie: U11+ U21, şi se vor parcurge deplasările primare.

U21 = lucrul mecanic produs de sistemul de forţe secundar S2, care parcurge cu întreaga intensitate deplasările primare.

Energia totală de deformaţie, în acest caz, va fi:

Deplasări primare S1

S1 S2

Deplasări primare

S1 S2

Deplasări secundare S2

U'd

U"d

U11

U22 + U12

U22

U11 + U21

Fig.3.3.1a-1


102

"dU U U U11 22 21= + + 2.3.1a-2

Pe baza observaţiei făcute anterior, că energia de deformaţie depinde doar

de starea finală de eforturi şi nu depinde de modul cum s-a ajuns la această stare, rezultă că:

' "d dU U U U12 21= ⇒ = 2.3.1a-3

şi reprezintă forma analitică a teoremei lui BETTI. Teorema lui Betti afirmă că "Lucrul mecanic produs de sistemul de forţe primar care parcurge cu întreaga intensitate deplasările secundare este egal cu lucrul mecanic produs de sistemul de forţe secundar care parcurge cu întreaga intensitate deplasările primare".

b) Teorema reciprocităţii deplasărilor sau teorema lui MAXWELL

Vom considera o grindă simplu rezemată şi două secţiuni oarecare (i) şi (k) Fig.2.3.1b-1. În (i) vom aplica o forţă unitară f = 1. Ca urmare grinda se deformează iar secţiunile ei suferă deplasări (Figura 2.3.1b-1a). Vom nota cu:

- δii deplasarea secţiunii (i) produsă de forţa unitară “f” aplicată în aceeaşi secţiune (i);

- δki deplasarea secţiunii (k) produsă de forţa unitară “f” aplicată în secţiunea (i).

U"d Fk Fi

Fi

Fk

Fk

δkk·Fk

δik·Fk

δii·Fi

vi vk

δki·Fi

i

k

k

k

i

i

1g

1f

1e

f = 1

Fk

Fi δii

δki

δii·Fi

δkk·Fk

δik·Fk

δki·Fi

δkk

δik

ki

i

i

i

k

k

f = 1 k

1a

1d

1c

1b

Fig.2.3.1b-1


103

Dacă mărim vafoarea forţei de Fi ori şi deplasările vor creşte la valorile δii ⋅ Fi şi respectiv δki ⋅ Fi, Fig.2.3.1b-1b. Repetăm experimentele aplicând forţa unitară “f” în secţiunea (k), Fig.2.3.1b-1c. Se vor obţine deplasările:

- δkk deplasarea secţiunii (k) produsă de forţa unitară “f” aplicată în secţiunea (k);

- δik deplasarea secţiunii (i) produsă de forţa unitară “f” aplicată în secţiunea (k).

Dacă se măreşte forţa “f” de Fk ori se va înregistra şi o creştere a deplasărilor de Fk ori, obţinându-se δkk ⋅ Fk şi respectiv δik ⋅ Fk , Fig.2.3.1b-1d. La aplicarea simultană a forţelor Fi şi Fk, Fig.2.3.1b-1e, în secţiunile (i) şi (k) se vor obţine deplasările notate cu vi şi respectiv vk. Datorită deformării, în grindă se înmagazinează o energie de deformaţie U'd, care ţinând cont de teorema lui Clapeyron, este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele exterioare Fi şi Fk care parcurg deplasările vi şi respectiv vk:

'd i i k kW F v F v1 1

2 2= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 2.3.1b-1

Săgeţile vi şi vk se calculează cu relaţiile:

i ii i ik kv δ F δ F= ⋅ + ⋅ 2.3.1b-2a

k ki i kk kv δ F δ F= ⋅ + ⋅ 2.3.2-2b

Să considerăm grinda încărcată doar în secţiunea (k) cu Fk, Fig.2.3.1b-2f. Din cauza deformării se obţin deplasările: δkk ⋅ Fk, în (k), şi respectiv δik ⋅ Fk în (i), acumulându-se energia de deformaţie W22 egală cu lucru mecanic efectuat de forţa Fk la parcurgerea deplasării proprii:

k kk kU F δ F2212

= ⋅ ⋅ 2.3.1b-3

Dacă peste grinda încărcată cu Fk se aplică forţa Fi, în secţiunea (i), atunci

se vor înregistra deplasările suplimentare: δii ⋅ Fi, în (i), şi respectiv δki ⋅ Fi, în (k), Fig.2.3.1b-2g. În grindă se va înmagazina energia de deformaţie: W11 + W21, unde:

- W11 = lucrul mecanic produs de forţa Fi care îşi parcurge propriile deplasări:

i ii iU F δ F1112

= ⋅ ⋅ ⋅ 2.3.1b-4


104

- W21 = lucrul mecanic produs de forţa Fk care parcurge cu întreaga sa intensitate deplsarea datorată forţei Fi:

-

k i ki iU F δ F2112

= ⋅ ⋅ ⋅ 2.3.1b-5

Energia totală de deformaţie înmagazinată în grindă ca urmare a încărcării

ei în succesiunea descrisă este:

''d k kk k

i ii i k ki i

U U U U F δ F

F δ F F δ F

11 22 2112

12

= + + = ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 2.3.1b-6

Deoarece energia de deformaţie depinde doar de stare finală de eforturi se

poate scrie că:

( ) ( )' ''d d i ii i ik k k ki i kk k

k kk k i ii i k ki i

ik ki ki

U U F δ F δ F F δ F δ F

F δ F F δ F F δ F

δ δ δ

1 12 2

1 12 2

1 12 2

≡ ⇔ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

+ =

ik kiδ δ⇒ = 2.3.1b-7

Relaţia 2.3.1b-7 constituie forma analitică a teoremei lui Maxwell, al

cărei enunţ este: „Deplasarea într-o secţiune (i), produsă de o forţă unitară aplicată în secţiunea (k), este egală cu deplasarea din secţiunea (k) produsă de o forţă egală cu unitatea aplicată în secţiunea (i)”. Mărimile δii, δik, δki şi δkk poartă denumirea de deplasări unitare sau coeficienţi de influenţă ai lui Maxwell.


105

2.3.2 Metoda sarcinii unitare (Metoda Mohr – Maxwell) Metoda sarcinii unitare pentru calculul deformaţiilor propusă de către Mohr şi Maxwell se încadrează în categoria metodelor energetice pentru calculul deformaţiilor.

Reamintim că, în domeniul elastic de solicitare, lucrul mecanic al forţelor exterioare este egal cu cel al forţelor interioare (eforturilor). Acest principiu este cunoscut sub numele de principiul lui Clapeyron.

Le = Li 2.3.2-1

unde:

∑ ∑= =

ϕ+δ=n

1i

m

1jjjiie M

21F

21L 2.3.2-2

cu Fi – forţele exterioare aplicate Mj – momentele exterioare aplicate δi – deplasările secţiunilor în care acţionează forţele exterioare ϕj – rotirile secţiunilor în care acţionează momentele exterioare. Lucrul mecanic al forţelor interioare (se neglijează efortul tăietor) este dat de expresiile deja cunoscute:

l

iNNL dxE A

2

0 2= ∑∫ 2.3.2-3a

i

li

iMz

ML dxE I

2

0 2= ∑∫ 2.3.2-3b

t

lt

iMp

ML dxG I

2

0 2= ∑∫ 2.3.2-3c

Metodele de calcul care se bazează pe energia de deformaţie sunt metode energetice. În Rezistenţa Materialelor se cunosc mai multe metode energetice cu ajutorul cărora se pot determina deplasările elementelor de rezistenţă.

Metoda sarcinii unitare sau metoda Mohr - Maxwell este una dintre aceste metode. Se va studia această metodă deoarece este o metodă relativ simplă şi se


106

poate aplica fără restricţii deosebite. Ea poate fi aplicată barelor drepte, curbe cu secţiune constantă sau variabilă.

Demonstrarea acestui procedeu din metoda sarcinii unitare se face pentru o bară dreaptă solicitată la încovoiere.

Ne interesează pentru început săgeata δ produsă într-o secţiune curentă a grinzii (Fig.2.3.2-1a).

Asupra grinzii acţionează un sistem de forţe transversale concentrate F1 … Fn care în dreptul lor produc barei deplasările δ1 … δn (Fig.2.3.2-1a). În acelaşi timp, datorită deformării, în grindă a luat naştere un moment încovoietor Miz. Conform principiului lui Clapeyron, se poate scrie:

l

izi i

z

MF δ dxE I

2

0

12 2

=∑ ∑∫ 2.3.2-4

Înlăturăm acum toate forţele exterioare aplicate, iar în secţiunea în care

dorim să calculăm săgeata, aplicăm o forţă transversală concentrată f (Fig.2.3.2-1b). Sub acţiunea acesteia grinda se deformează iar în aceasta se dezvoltă momentul încovoietor miz. În secţiunea în care acţionează sarcina f, săgeata este δ’. Principiul lui Clapeyron în acest caz conduce la:

l

iz

z

mf δ dxE I

2

0

12 2

′⋅ ⋅ =⋅ ⋅

∑ ∫ 2.3.2-5

F1 F2 Fn

f

F1 F2 Fnf

δ

δ’

δ1

δ2 δn

δ1 δ2 δ δn

δ’

a)

b)

c)

Fig.2.3.2-1


107

Menţinând forţa f pe bară (Fig.2.3.2-1c) se aşează din nou sistemul de

forţe F1 … Fn situaţie în care în bară există momentele încovoietoare Miz + miz. Aplicând principiul lui Clapeyron, se poate scrie:

( )l

iz izi i

z

M mF δ f δ f δ dx

E I

2

0

1 12 2 2

+′⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =

⋅ ⋅∑ ∑∫ 2.3.2-6

În relaţia 2.3.2-6 la termenul f⋅δ nu apare 1/2 deoarece forţa f parcurge deplasarea δ cu întreaga sa intensitate, fiind deja pe bară când s-a aplicat sistemul de forţe exterioare. Înlocuind termenii din stânga ai relaţiei 2.3.2-6 în funcţie de eforturi (relaţiile 2.3.2-4, 2.3.2-5) se poate scrie:

l l l l liz iz iz iz iz iz

z z z z z

M m M m M mdx dx f δ dx dx dxEI EI EI EI EI

2 2 2 2

00 0 0 0 0

1 1 1 1 1 22 2 2 2 2

+ + = + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫

După reducerea termenilor, rezultă:

l

iz iz

z

M mf δ dxE I0

⋅⋅ =

⋅∑ ∫ 2.3.2-7

Dacă lui f i se atribuie valoarea unitară (unu), relaţia 2.3.2-7 conduce la relaţia de calcul a săgeţii unei secţiuni:

l

iz iz

z

M mδ dxE I0

⋅=

⋅∑ ∫ 2.3.2-8

În relaţia 2.3.2-8: Miz – funcţia momentului încovoietor pe fiecare interval, produs de forţele exterioare direct aplicate miz – funcţia momentului încovoietor pe aceleaşi intervale, dar produs de o sarcină unitară concentrată care acţionează în secţiunea în care se doreşte a se calcula săgeata. Această forţă unitară trebuie să aibă aceeaşi direcţie cu direcţia pe care se calculează săgeata. Dacă se doreşte a se determina rotirea unei secţiuni la solicitarea de încovoiere se procedează analog cu observaţia că în secţiunea respectivă se pune un moment unitar concentrat. Atunci, rotirea secţiunii poate fi calculată cu relaţia:


108

l

iz iz

z

M mφ dxE I0

′⋅=

⋅∑ ∫ 2.3.2-9

unde: m’iz – funcţia momentului încovoietor pe fiecare interval, produs de momentul unitar concentrat pus în secţiunea în care se doreşte calculul rotirii. Dacă se ţine seama şi de alte eforturi, relaţiile 2.3.2-8, 2.3.2-9 se completează cu termenii de la aceste eforturi:

l lt tiz iz

z p

l lt tiz iz

z p

M mM mN nδ dx dxE A E I G I

M mM mN nφ dx dxE A E I G I

0 0

0 0

⋅⋅⋅= + +

⋅ ⋅ ⋅

′′′ ⋅⋅⋅= + +

⋅ ⋅ ⋅

∑ ∑ ∑∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ 2.3.2-10

unde: N, Mt – funcţiile efortului axial, respectiv a momentului de răsucire pe fiecare interval al barei, produse de forţele exterioare direct aplicate n, mt – funcţiile efortului axial, respectiv ale momentului de răsucire pe fiecare interval, produse de forţa unitară aşezată în secţiunea în care se calculează săgeata n’, mt’ - funcţiile efortului axial, respectiv ale momentului de răsucire pe fiecare interval, produse de momentul unitar aşezat în secţiunea în care se calculează rotirea. Observaţie: Interval caracteristic este acel interval al barei pe care toate eforturile prezintă aceleaşi funcţii şi rigiditatea este constantă. La stabilirea intervalelor se are în vedere şi secţiunile în care urmează a se calcula deplasările. Exemplele care vor urma vor elucida mai bine aceste aspecte.


109

APLICAŢII A1. Pentru bara de secţiune variabilă din Fig.A1-1a) să se calculeze deplasarea pe orizontală şi verticală a secţiunii 1 şi rotirea secţiunii 2. Rezolvare Bara prezintă trei intervale: 1-2, 2-3, 3-4. Primele două au rigiditatea la încovoiere EI, iar ultimul, 2EI. Mai întâi se scriu funcţiile momentului încovoietor produs de sarcinile aplicate, pe cele trei intervale:

intervalul 1-2 Mi = px2/2 intervalul 2-3 Mi = 2pa2 intervalul 3-4 Mi = 2pa2 + 2pa x

Pentru calculul deplasării pe orizontală, pe bara eliberară de sarcinile aplicate, în secţiunea 1 se pune o forţă unitară orientată pe orizontală (Fig.A1-1b). Pentru acest sistem se scriu funcţiile momentului încovoietor:

intervalul 1-2 miH = 0 intervalul 2-3 miH = 1· x = x intervalul 3-4 miH = 1· (a + x) = a + x

Se calculează acum deplasarea pe orizontală a secţiunii 1, cu relaţia:

( ) ( )

IEap

310

dxIE2

xaxpa2pa2dxIE

xpa2dxIE

02

px

dxIEmM

4

a2

0

a

0

a

0

22

2

)x(

iHiH1

⋅=

=+⋅+

+⋅

+⋅

=⋅

=δ ∑∫ ∫ ∫ ∫

2pa

p

2a a

a

1 2

3

4

11 1

I

2I a) b) c) d)

Fig.A1-1


110

Pentru calculul deplasării secţiunii 1 pe verticală, pe bara eliberată de sarcinile aplicate, în secţiunea 1 se pune pe verticală o forţă unitară (Fig.A1-1c). Pentru acest sistem, se scriu funcţiile momentului încovoietor:

intervalul 1-2 miV = 1 · x = x intervalul 2-3 miV = 1 ·2a = 2a intervalul 3-4 miV = 1 ·2a = 2a

Deplasarea pe verticală a secţiunii 1, se calculează cu relaţia:

( )

IEap9

dxIE2

a2xpa2pa2dxIE

a2pa2dxIE

x2

px

dxIEmM

4

a2

0

a

0

a

0

22

2

)x(

iViV1

=

=⋅+

+⋅

+⋅

=⋅

=δ ∑∫ ∫ ∫ ∫

Pentru calculul rotirii secţiunii 2, pe bara eliberată de sarcinile aplicate, în secţiunea 2 se pune un moment încovoietor unitar (Fig.A1-1d). Pentru acest sistem se scriu funcţiile momentului încovoietor:

intervalul 1-2 m’i = 0 intervalul 2-3 m’i = 1 intervalul 3-4 m’i = 1

Rotirea secţiunii 2 se calculează cu relaţia:

( )a a ai i

(x)

pxpa paxM m paφ dx dx dx dx

EI EI EI EI

p aE I

2222

20 0 0

3

0 2 2 12 122

72

⋅ + ⋅′⋅ ⋅= = + + =

⋅= ⋅

⋅

∑∫ ∫ ∫ ∫

Cunoscându-se deplasarea pe orizontală şi verticală a secţiunii 1, se poate determina deplasarea totală a acestei secţiuni. Deplasarea totală se calculează cu relaţia:

tot H Vp aδ δ δ ,E I

42 2

1 1 1 9 6 ⋅= + = ⋅

⋅


111

A2. Pentru grinda simplu rezemată din figura de mai jos, cu rigiditate constantă pe intervale, EI şi 2EI, se cere: deplasarea pe verticală în secţiunea (1), δ1, deplasarea pe verticală în secţiunea (2), δ2, şi rotirea secţiunii de capăt (A), φA. Se dă: M0 = p·a2. Particularizaţi pentru: a =1 m, p=10 kN/m, E = 2,1·105 MPa şi I = 21,4·105 mm4. Rezolvare Se calculează reacţiunile:

- din: ( ) A AB

pa paM V a M V2

00 2 02 4

= ⇒ ⋅ − + = ⇒ =∑

- din: ( ) B BA

pa paM V a M V2

05 30 2 0

2 4= ⇒ ⋅ + − = ⇒ =∑

- se verifică reacţiunile: ( ) A BV V V pa0 0= ⇔ + − =∑

Pentru calculul deplasărilor cerute se scriu legile de variaţie ale momentelor produse de sarcinile aplicate pe intervalele: (A→1), (1→B) şi (2→B): - ( )i

paM x x1 14= ⋅ ;

- ( ) ( )ipa pa paM x a x pa x

22

2 2 23

4 4 4= ⋅ + − = − + ; - ( )i

pxM x23

3 2= − .

Pentru deplasarea pe verticală în secţiunea (1), se aplică o sarcină unitară

în acea secţiune şi se scriu legile de variaţie ale momentului unitar pe aceleaşi intervale pe care s-au scris anterior legile Mi: Reacţiunile vA şi vB se calculează din condiţiile de echilibru scrise pentru

M0

a 1

aa

BA

2

p EI

2EI

M0

a 1

aa

BA

2

p x1 x2

x3

a 1

aa

BA 2

x1 x2

x3

1

vA vB


112

încărcarea de mai sus: vA=21 şi vB=

21 . Momentele unitare sunt:

- ( ) 11 21 xxmi = ; - ( ) ( ) ( )2222 2

1121 xaxxaxmi −=⋅−+= ; - ( ) 03 =xmi .

Deplasarea secţiunii (1) se calculează ca fiind:

( )

( )

a a

a

pa pa paδ x x dx x a x dxEI EI

px pa pa padx , mmEI EI EI EI

2

1 1 1 1 2 2 20 0

2 4 4 43

30

1 1 1 3 14 2 2 4 4 2

1 3 1 10 3 0 0 927 2 2 24 16 2 2 3 24

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = + − + + − + = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

∫

Pentru deplasarea pe verticală în secţiunea (2), se aplică o sarcină unitară în acea secţiune şi se scriu legile de variaţie ale momentului unitar pe aceleaşi intervale pe care s-au scris anterior legile Mi:

Reacţiunile vA şi vB se calculează din condiţiile de echilibru scrise pentru încărcarea de mai sus: vA=

21 şi vB=

23 . Momentele unitare sunt:

- ( ) 11 21 xxmi −= ; - ( ) ( )22 2

1 xaxmi +−= ; - ( ) 33 1 xxmi ⋅−= .

Deplasarea secţiunii (2) se calculează ca fiind:

( )

( )

a a

a

pa pa paδ x x dx x a x dxEI EI

px pa pa pa pax dx , mmEI EI EI EI EI

2

2 1 1 1 2 2 20 0

2 4 4 4 43

3 30

1 1 1 3 14 2 2 4 4 2

1 3 1 11 3 5 563 2 2 24 16 2 2 3 16 4

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − ⋅ = − − − − + + + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

∫

Pentru calculul rotirii în secţiunea (A), se introduce un moment unitar în acea secţiune, se calculează reacţiunile şi se scriu legile de variaţie ale momentelor pe intervalele (A→1), (1→B) şi (2→B).

a 1

aa

BA 2

x1 x2

x3

1 vA

vB

a 1

aa

BA 2

x1 x2

x3

1

vA

vB


113

Reacţiunile vA şi vB se calculează din condiţiile de echilibru scrise pentru încărcarea de mai sus: vA=

a21 şi vB=

a21 . Momentele unitare sunt:

- ( )im x xa1 1112

= − + ;

- ( ) ( )im x a x xa a2 2 21 1 112 2 2

= − + + = − + ; - ( ) 03 =xmi .

Rotirea secţiunii (A) se calculează ca fiind:

( )

a a

A

a

pa pa paφ x x dx x x dxEI a EI a

px pa pa pa pa pa padx mmEI EI EI EI EI EI EI

2

1 1 1 2 2 20 0

2 3 3 3 3 3 33

30

1 1 1 3 1 114 2 2 4 4 2 2

1 3 30 0 2 2 8 24 16 32 32 48

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − = − + + − − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

∫

A3. Pentru grinda articulată din figura de mai jos, cu rigiditate constantă, EI, se cere deplasarea pe verticală a articulaţiei din secţiunea (2), δ2, şi rotirea secţiunii (3). Se dă: M0 = 0,25·p·a2.

Rezolvare Pentru calculul deplasărilor cerute trebuie parcurse etapele:

- 1) se scriu legile de variaţie ale momentelor pentru încărcarea cu sarcinile aplicate, pe intervalele: (1→2), (2→3) şi (4→3).

Reacţiunile se determină din condiţiile de echilibru: V1 = 2pa ; V3 = 4

3pa şi

V4 =4pa

.

Legile de variaţie sunt:

- ( ) ( )ipx pxpaM x x a x

21 1

1 1 12 2 2= ⋅ − = − ;

a

412

M0

aa

3p

a

412

M0

aa

3

p

x1

x2 x3

V1 V3

V4


114

- ( )ipaM x x2 22

= − ⋅ ; - ( )ipaM x x3 34

= − .

2) se încarcă grinda cu o forţă unitară în secţiunea (2), se calculează reacţiunile şi se scriu legile de variaţie ale momentelor unitare pe aceleaşi intervale pe care s-au srcis legile momentelor reale:

Reacţiunile, calculate din condiţiile de echilibru, sunt: v1=0; v3=2 şi v4=1.

Legile momentelor sunt: - ( ) 01 =xmi ; - ( ) 22 1 xxmi ⋅−= ; - ( ) 33 1 xxmi ⋅−= .

3) Se calculează deplasarea δ2, ca fiind:

( ) ( ) ( )

( )

a a

a

p paδ x a x dx x x dxEI EI

pa pa pa pax x dxEI EI EI EI

2 1 1 1 2 2 20 0

4 4 4

3 3 30

1 102 2

1 1 04 6 12 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − − ⋅ = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫

Pentru calculul rotirii în secţiunea (3), ϕ3, se reiau etapele 2 şi 3. Astfel: 2/) se încarcă grinda cu un moment unitar în secţiunea (3), se calculează reacţiunile şi se scriu legile de variaţie ale momentelor unitare pe aceleaşi intervale pe care s-au srcis legile momentelor reale:

Reacţiunile, calculate din condiţiile de echilibru, sunt: v1=0; v3= a1 şi

v4= a1 . Legile momentelor sunt:

- ( ) 01 =xmi ; - ( ) 02 =xmi ; - ( ) 331 xa

xmi ⋅−= .

3/) Rotirea secţiunii (3) se calculează ca fiind:

( ) ( ) ( )a a apx pa pa paφ a x dx x dx x x dx

EI EI EI a EI

31

3 1 1 2 2 3 3 30 0 0

1 1 1 10 02 2 4 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

1

a

412 aa

3x1

x2 x3

v1 v3

v4

31

a

412 aa x1

x2 x3

v1 v3

v4


115

A4. Pentru bara cotită plană, de rigiditate constantă, EI, din figura alăturată, se cere să se calculeze: a) deplasarea pe orizontală în secţiunea (2), δh,2, deplasarea secţiunii (5), δ5, şi rotirea secţiunii (3), φ3. Se dă: F =1,2·p·a. Rezolvare - se calculează reacţiunile şi se scriu funcţiile de efort Mi pe intervalele: (1→2), (2→3), (5→4) şi (4→3). Din condiţiile de echilibru se obţin reacţiunile: V1 = pa; H1 = 0,5 pa şi H5 = 1,7pa. Funcţiile de efort sunt:

( )ipaM x x1 12

= − ;

( ) ( )ipaM x a x , pax , pax , pa2

2 2 2 21 2 1 7 0 52

= − + − = − −

( )iM x , pa x3 31 7= − ⋅ ;

( )ipxM x , pa

22 4

4 1 72

= − − .

- se introduce o forţă unitară pe orizontală în secţiunea (2), se calculează reacţiunile,(v1, h1 şi h5), şi se scriu funcţiile de efort mi pe aceleaşi intervale (1→2), (2→3), (5→4) şi (4→3). Reacţiunile sunt: h1=0, v1=0 şi h5=1. Funcţiile de efort sunt:

( ) 01 =xmi ; ( ) 22 1 xxmi ⋅−= ; ( ) 33 1 xxmi ⋅−= ; ( ) axmi ⋅−= 14 .

- deplasarea pe orizontală în secţiunea (2),

se calculează integrand produsele funcţiilor de efort pe fiecare interval:

( ) ( )a

i k i k kk

δ M x m x dxEI

4

210

1=

= ⋅ ⋅ =∑ ∫

( ) ( )( )a apa x dx , pax , pa x dx

EI EI2

1 1 2 2 20 0

1 10 1 7 0 5 12

⎛ ⎞= − ⋅ + − − − ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

a

a

p

3a EI

a

F

1

2

4

5

p

3

F

1

2

4

5

x1

x4

x3

V1

H5

x2

H1

3

1

1

2

4

5 x1

x4

x3

v1

h5

x2

h1


116

( )( ) ( )( )a a pa, pax x dx , pa , px a dx ,

EI EI EI

42 2

3 3 3 4 40 0

1 11 7 1 1 7 0 5 1 3 25+ − − ⋅ ⋅ + − − − ⋅ ⋅ =∫ ∫

- deplasarea secţiunii (5) este posibilă doar pe verticală. Ca urmare se

introduce în această secţiune o forţă egală cu unitatea, se calculează reacţiunile ,(v1, h1 şi h5), şi se scriu funcţiile de efort mi pe intervalele (1→2), (2→3), (5→4) şi (4→3). Reacţiunile sunt: h1=1, v1=1 şi h5=1. Funcţiile de efort sunt:

( ) 11 1 xxmi ⋅−= ; ( ) ( )22 1 xaxmi +⋅−= ;

( ) 33 1 xxmi ⋅−= ; ( ) ( )44 1 xaxmi +⋅−= . Deplasarea se calculează ca fiind:

( ) ( )a

i k i k kk

δ M x m x dxEI

4

510

1=

= ⋅ ⋅ =∑ ∫

( ) ( ) ( )( )a apa x x dx , pax , pa a x dx

EI EI2

1 1 1 2 2 20 0

1 1 1 7 0 5 12

⎛ ⎞= − − ⋅ + − − − + ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

( )( ) ( ) ( )( )a a pa, pax x dx , pa , px a x dx ,

EI EI EI

42 2

3 3 3 4 4 40 0

1 11 7 1 1 7 0 5 1 5 74167+ − − ⋅ ⋅ + − − − + ⋅ =∫ ∫

- pentru calculul rotirii secţiunii (3), se introduce în (3) un moment egal cu unitatea, se calculează reacţiunile, (v1, h1 şi h5), şi se scriu funcţiile de efort mi pe intervalele (1→2), (2→3), (5→4) şi (4→3). Reacţiunile sunt: h1 = a

1 , v1 =0 şi h5 = a1 .

Funcţiile de efort sunt:

( ) 111 xa

xmi ⋅−= ;

( ) ( )221 xaa

xmi +⋅−= ;

( ) 331 xa

xmi ⋅−= ;

( ) ⋅−= 14xmi

Rotirea se calculează prin integrarea produselor funcţiilor de efort:

3

1 1

2

4

5

x1

x4

x3

v1

h5

x2

h1

3

1

1

2

4

5

x1

x4

x3

v1

h5

x2

h1


117

( ) ( )a

i k i k kk

φ M x m x dxEI

4

310

1=

= ⋅ ⋅ =∑ ∫

( ) ( )a apa x x dx , pax , pa a x dx

EI a EI a2

1 1 1 2 2 20 0

1 1 1 11 7 0 52

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⋅ + − − − + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

( ) ( )( )a a pa, pax x dx , pa , px dx ,

EI a EI EI

32 2

3 3 3 4 40 0

1 1 11 7 1 7 0 5 1 4 766⎛ ⎞+ − − ⋅ ⋅ + − − − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

2.3.3 Regula de integrare Vereşceaghin (procedeul Vereşceaghin)

După cum se cunoaşte, pentru determinarea deplasărilor prin metoda

sarcinii unitare, trebuie efectuate integrale. Nu totdeauna, aceste integrale sunt uşor de efectuat. Din acest motiv, Vereşceaghin a dezvoltat o metodă grafo- analitică folosind însă tot metoda sarcinii unitare. Aceast procedeu îi poartă numele. Ca urmare este mai corect să se denumească procedeu şi nu metodă, deoarece ce a stabilit el nu este o nouă metodă, metoda fiind aceea a sarcinii unitare. Din păcate, acest procedeu nu poate fi utilizat la toate tipurile de bare.

Se consideră o porţiune dintr-o bară dreaptă care prezintă diagrama de moment încovoietor ca cea din Fig.2.3.3-1a. Prin înlăturarea sarcinilor direct aplicate şi punerea sarcinii unitare în secţiunea în care urmează a se determina deplasarea, pe acelaşi interval, va rezulta pentru acest sistem o variaţie liniară a momentului încovoietor (Fig.2.3.3-1b).

x1

x2xc

x

x

x dx xc

a + b x mic = a + b xc

a)

b)

Miz

dΩMiz ΩMiz C

Fig.2.3.3-1


118

Punctul C reprezintă centrul de greutate al diagramei de moment încovoietor Miz produs de sarcinile direct aplicate. Integralele de tip Mohr-Maxwell folosite pentru calculul deplasărilor în metoda sarcinii unitare pot fi scrise astfel:

( ) ( )

( )

iz iz iz

iz iz iz iz

x x x x x

iz iz iz iz M M Mx x x x x

M M c M c M ic

M m dx m M dx a bx d a d b x d

a b x a bx m

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

⋅ = ⋅ = + ⋅ Ω = Ω + ⋅ Ω =

= ⋅Ω + ⋅Ω ⋅ =Ω ⋅ + =Ω ⋅

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

După efectuarea calculelor şi reducerile corespunzătoare se obţine:

iz

iz

x

iz iz M icx

M ic

z

M m d x m

mδ

E I

2

1

⋅ = Ω ⋅

Ω ⋅⇒ =

⋅

∫

∑ 2.3.3-1

În relaţia 2.3.3-1: ΩMiz – aria diagramei de moment încovoietor produs de sarcinile direct aplicate mic – valoarea momentului încovoietor produs de forţa unitară, din secţiunea corespunzătoare centrului de greutate C al diagramei momentului încovoietor al sarcinilor direct aplicate (al suprafeţei ΩMiz) Analog, rotirea se poate determina cu relaţia:

iz

iz

x

iz iz M icx

M ic

z

M m dx m

mφ

E I

2

1

′ ′⋅ = Ω ⋅

′Ω ⋅⇒ =

⋅

∫

∑ 2.3.3-2

unde: m’ic - valoarea momentului încovoietor produs de momentul unitar, din secţiunea corespunzătoare centrului de greutate C al diagramei momentului încovoietor al sarcinilor direct aplicate (al suprafeţei ΩMiz) Procedeul Vereşceaghin se poate utiliza numai pe intervalele drepte ale barei.

Observaţie. După cum se poate constata, în acest procedeu nu se mai rezolvă integrale, în schimb se trasează diagrame de eforturi. La suprafeţele


119

diagramelor de eforturi trebuie cunoscută aria şi poziţia centrului de greutate al acestor suprafeţe. Din aceste considerente, este recomandat ca diagramele de eforturi să fie trasate prin suprapunere de efecte, astfel obţinându-se suprafeţe simple la care se cunoaşte aria şi poziţia centrului de greutate.

În Fig.2.3.3-2, se prezintă câteva suprafeţe des întâlnite în calculul deplasărilor, cu relaţia ariei şi poziţia centrului de greutate.

APLICAŢII

A1. Pentru bara cotită de rigiditate constantă, din Fig.A1-1, aplicând procedeul Vereşceaghin, se cere:

a) deplasarea pe verticală şi orizontală a secţiunii 1 b) rotirea secţiunii 1

3 a

2 a a

F

12

Fig.A1-1

b

h

b/2 b/2

b

h

b/3 2b/3 A = b h

A = b h / 2

A = 2 b h / 3

h

b

3b/8 5b/8

A = b h / 3

b/43b/4

Fig.2.3.3-2

C

C

C


120

Rezolvare Pentru calculul deplasărilor, procedeul Vereşceaghin, impune trasarea diagramelor de eforturi ale sarcinilor direct aplicate. Şi în acest caz se va lua în considerare numai momentele. Pentru acest exemplu, moment de răsucire nu există. Diagrama momentului încovoietor al forţei aplicate este prezentată în Fig.A1-2a).

Pentru calculul deplasării secţiunii 1 pe orizontală, în secţiunea 1 se pune o forţă unitară pe orizontală şi se trasează diagrama momentului încovoietor (Fig.A1-2b)). Cu diagramele din Fig.A1-2a) de unde se ia suprafaţa Ω şi cele din Fig.A1-2b) de unde se ia momentul mic din secţiunea corespunzătoare centrului de greutate al suprafeţei Ω, se calculează deplasarea pe orizontală a secţiunii 1:

IEaF

aFa2a2Fa221a2aFa

21

2a2a2Fa0aFa

21EI

3

H1

3H1

−=δ⇒

−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=δ

Pentru calcul deplasării secţiunii 1 pe verticală, în secţiunea 1 se pune o

forţă unitară pe verticală şi se trasează diagrama momentului încovoietor (Fig.A1-2c). Cu diagramele din Fig.A1-2a de unde se ia suprafaţa Ω şi cele din Fig.A1-2c de unde se ia momentul mic din secţiunea corespunzătoare centrului de greutate al suprafeţei Ω, se calculează deplasarea pe verticală a secţiunii 1:

2Fa

Fa

Fa

Fa

Fa 2a

a

aa

a

2a

2a 2a

1

1

1

1

1

1

1 1

a) b)

c) d)

Fig.A1-2


121

IEaF

316

aF3

16a232a2Fa2

21a

32aFa

21aa2Faa

32aFa

21EI

3

V1

3V1

⋅=δ⇒

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=δ

Pentru calcul rotirii secţiunii 1, în secţiunea 1 se pune un moment unitar şi se trasează diagrama momentului încovoietor (Fig.A1-2d). Cu diagramele din Fig.A1-2a) de unde se ia suprafaţa Ω şi cele din Fig.A1-2d) de unde se ia momentul m’ic din secţiunea corespunzătoare centrului de greutate al suprafeţei Ω, se calculează rotirea secţiunii 1:

IEaF

aF1a2Fa2211aFa

211a2Fa1aFa

21EI

2

1

21

=ϕ⇒

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=ϕ

Observaţie: Pe intervalele unde diagramele momentului încovoietor al sarcinilor direct aplicate şi cel al sarcinilor unitare sunt pe părţi opuse, produsul ΩMi · mic este negativ (are semnul -). În diagramele sarcinilor unitare, momentele mic, respectiv m’ic sunt îngroşate.

A2. Pentru bara cotită plană, de rigiditate constantă, EI, din figura alăturată, se cere să se calculeze: a) deplasarea pe orizontală în secţiunea (2), δh,2, deplasarea secţiunii (5), δ5, şi rotirea secţiunii (3), φ3. Se dă: F = 1,2·p·a. Rezolvare

- se calculează reacţiunile şi se trasează diagramele de efort (Mi). Din condiţiile de echilibru se obţin reacţiunile: V1 =pa; H1 = 0,5 pa şi H5 = 1,7 pa. Suprafeţele simple din diagrama (Mi) sunt: Ω1 = 325,0 pa ; Ω2 = 385,0 pa ; Ω3 = 35,0 pa ; Ω4 = 37,1 pa ; Ω5

= 3)6(1,0 pa ; Ω6 = 385,0 pa ;

a

a

p

3a EI

a F

1

2

4

5

Mi Ω1

Ω4

Ω3

Ω2 Ω6

Ω5

C1

C6

C5

C4

C3

C2

a1

a3

a2

a6

a4

a5

0,5pa2

2,2pa2 1,7pa2

2,2pa2

1,7pa2


122

Cotele care indică poziţiile centrelor suprafeţelor simple sunt: a1 = 3

2a ; 2

32

aa = ; 3

53

aa = ;

24aa = ;

43

5aa = ;

32aa = .

- pentru deplasarea pe orizontală a secţiunii (2) se încarcă bara cu o forţă unitară, se calculează reacţiunile,(v1, h1 şi h5) şi se trasează diagrama (mi).

Valorile momentelor în dreptul centrelor de greutate sunt:

01 =Cm ; 23amC = ; 62 3

2CC mam == ; amm CC == 54 .

( )

k Ckk

δ mEI

a a pa, pa , pa , pa , , ( ) pa a ,EI EI

6

21

43 3 3 3

1

1 20 25 0 2 0 85 0 5 1 7 0 1 6 3 253 2

== Ω ⋅ =

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

- pentru deplasarea secţiunii (5), se încarcă bara cu o forţă unitară, se

calculează reacţiunile,(v1, h1 şi h5) şi se trasează diagrama (mi). Reacţiunile se determină din condiţiile de echilibru static: v1=1, h1=1 şi h5=1. Valorile momentelor în dreptul fiecărui centru de greutate al suprafeţelor Ωk, sunt:

61 32

CC mam == ; 3

52

amC = ;

43 23

CC mam == ; 4

75

amC = ;

3

1

1

2

4

v1=0

h5=1

h1=0

5

mi mC1

a1

a3

a2

a6

a4

a5

1·a

1·a

1·a

1·a

mC3

mC2

mC4 mC5

mC6


123

k Ckk

a a a aδ m EI δ , pa , pa , pa , paEI

a a pa, ( )pa , pa δ ,EI

63 3 3 3

5 51

43 3

5

1 2 5 30 25 0 85 0 5 1 73 3 2 2

7 20 1 6 0 85 5 24174 3

== Ω ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅ ⇒ =

∑

- pentru calculul rotirii secţiunii (3) se încarcă bara cu un moment unitar,

se calculează reacţiunile,(v1, h1 şi h5) şi se trasează diagrama (mi).

Reacţiunile sunt: h1 = a

1 , v1 = 0 şi h5 = a1 .


1 1

v1=1

h5=1

h1=1

5

mi

2·a

2·a 1·a

1·a

mC1

a1

a3

a2

mC3

mC2

a6

a4

a5

mC4

mC6

mC5

a

3

1

1

5

v1=0

h5=a1

a

2a

h1= a1

mi

a6

a4

a5

1

1

1

mC4 mC5

mC6

2

mC1

a1

a3

a2

mC3

mC2

2


124

61 32

CC mm == ; 35

2 =Cm ; 23

3 =Cm ; 154 == CC mm .

( )

( )

k Ckk

φ m φ EI , pa , pa , paEI

pa, pa , , ( ) pa φ , ( )EI

63 3 3

3 31

33 3

3

1 2 50 25 0 85 0 853 3

30 5 1 7 0 1 6 1 4 7 62

== Ω ⋅ ⇔ ⋅ = + + ⋅ +

+ ⋅ + + ⋅ ⇒ =

∑

A3. Pentru bara plană simplu rezemată, de rigiditate constantă, EI, din figura alăturată, se cere să se calculeze: deplasarea pe orizontală a secţiunii (5), δh,5, deplasarea pe verticală în secţiunea (1), δv,1, şi rotirea secţiunii (4), φ4. Rezolvare - se trasează diagrama (Mi) pentru încărcarea cu sarcinile iniţiale. Suprafeţele sunt:

Ω1 = 6

3pa ; Ω2 = 4

3pa ; Cotele care indică poziţiile centrelor suprafeţelor simple sunt: a1 = 4

3a ; 3

22

aa = ;

- pentru deplasarea pe orizontală a secţiunii (5), δh,5, se încarcă bara cu o forţă unitară, şi se trasează diagrama (mi):

a

31

a

p

4

2

a

a

5

Mi Ω1

Ω2

a1

a2

0,5pa2

0,5pa2

C2

C1

a a

a

a

51

mi a1

a2

mC2

mC1

1a


125

Valorile momentelor în dreptul centrelor de greutate sunt: amC 4

31 = ;

32

2amC = .

Deplasarea se calculează ca fiind:

h, k Ckk

pa a pa a pa paδ m , ( )EI EI EI EI

3 3 4 42

51

1 1 3 2 7 0 291 66 4 4 3 24=

⎛ ⎞= Ω ⋅ == ⋅ + ⋅ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

- pentru deplasarea pe verticală în secţiunea (1), δv,1, se încarcă bara cu o

forţă unitară, şi se trasează diagrama (mi):


01 =Cm ; 32amC = .


v, k Ckk

pa pa a pa paδ m , ( )EI EI EI EI

3 3 4 42

11

1 1 10 0 08 36 4 3 12=

⎛ ⎞= Ω ⋅ = ⋅ − ⋅ = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ .

- pentru calculul rotirii în secţiunea (4), φ4, se încarcă bara cu un moment

egal cu unitatea, în această secţiune, şi se trasează diagrama (mi):


a a 1

1 mi a1

a2mC2

mC1

1a

a

a

4

1

1

mi a1

a2

mC2mC1

1


126

11 =Cm ; 32

2 =Cm .

Rotirea se calculează ca fiind:

k Ckk

pa pa pa paφ m , ( )EI EI EI EI

3 3 3 32

41

1 1 2 11 0 3 36 4 3 3=

⎛ ⎞= Ω ⋅ == ⋅ + ⋅ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ .

A4. Pentru bara de oţel de secţiune circulară constantă din figura alăturată se cere să se calculeze deplasarea pe verticală a secţiunii (1). Se dă E = 2,5 G. Rezolvare Se calculează reacţiunile din reazeme şi se trasează diagramele momentelor de încovoiere şi de torsiune produse de forţa F; Reacţiunile sunt egale cu F şi au orientarile din figură. Diagramele eforturilor de încovoiere, Mi, şi de torsiune, Mt, sunt reprezentate în (Mi) şi (Mt).

Suprafeţele din diagramele de eforturi sunt: Ω1 = 32

2Fa = Ω2; Ω3 = 2Fa ;

Cotele care indică poziţiile centrelor suprafeţelor simple sunt:

21 32 aaa == ;

23aa = ;

Pentru calculul deplasării pe verticală în secţiunea (1), se încarcă bara cu o forţă egală cu unitatea aplicată pe verticală în acea secţiune, se calculează reacţiunile

a

a

4 3

2 a

F

1

a

a

4 3

2 a

F

1

V4= F

V3= F

V2= F

a2

Ω1

Ω2

a1

Fa

Fa

Mi

C1

C2

a3

Ω3

MtFa

Fa

C3

a

a

4 3

2 a

1

1

v4= 1

v3= 1

v2= 1

a2

a1

1a

1a

mi mt1a

1a

a3

mC1

mC2

mC3


127

şi se trasează diagramele eforturilor de încovoiere şi de torsiune, (mi) şi respective (mt). De pe diagramele (mi) şi respective (mt), se citesc valorile momentelor din dreptul fiecărui centru Ck al suprafeţelor Ωk: 21 3

2CC mam == ; amC =3 .


k Ck Ck p

Fa a , Fa Faδ m m Fa a , ( )EI GI EI EI EI EI

2 3 3422

1 3 31

1 1 2 2 2 5 23 1 91 62 3 2 12=

⎛ ⎞= Ω ⋅ + Ω ⋅ = ⋅ + ⋅ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Obs. Deoarece bara este de secţiune circulară Ip = 2I, iar raportul între E şi G a fost precizat în enunţul problemei.

2.4. SISTEME STATIC NEDETERMINATE Un sistem este static nedeterminat atunci când numărul necunoscutelor (reacţiuni şi eforturi) este mai mare decât numărul ecuaţiilor de echilibru care se pot scrie pentru acel sistem. Diferenţa dintre numărul necunoscutelor şi cel al ecuaţiilor de echilibru indică gradul de nedeterminare (n) al sistemului. Când necunoscutele sunt reacţiuni (Fig.2.4-1a) sistemul este static nedeterminat exterior, când necunoscutele sunt eforturi (Fig.2.4-2b) sistemul este static nedeterminat interior, iar când necunoscutele sunt atât reacţiuni cât şi eforturi (Fig.2.4-1c) sistemul este static nedeterminat exterior şi interior (3 ori interior şi o dată exterior).

n = 2

a)

F

n = 3

b)

F F

Fig.2.4-1

n = 4

F

c)

d)


128

O articulaţie micşorează gradul de nedeterminare cu o unitate (Fig.2.4-1d). Sistemul are gradul de nedeterminare exterior next = 2 (n = 5-3 = 2) iar interior nint = 2 (n = 3-1 = 2, există o articulaţie pe conturul închis).

Dacă într-o articulaţie se întâlnesc trei bare, gradul de nedeterminare scade cu două unităţi. În general, dacă într-o articulaţie se întâlnesc s bare, faţă de cele cunoscute, gradul de nedeterminare scade cu s – 1 unităţi. Se considerăm un sistem static nedeterminat de n ori. Înlăturând de pe sistemul real (static nedeterminat) toate sarcinile aplicate şi legăturile suplimentare (numărul lor este egal cu gradul de nedeterminare) se obţine aşa numitul sistem de bază (SB). Dacă de pe sistemul real se înlătură numai legăturile suplimentare, şi acestea se înlocuiesc cu forţele corespunzătoare legăturilor înlăturate, se obţine un sistem echivalent (SE). Desigur, acest sistem este echivalent cu cel real, numai dacă deplasările sistemului obţinut prin înlocuirea legăturilor suplimentare cu forţele corespunzătoare sunt aceleaşi cu cele ale sistemului real (static nedeterminat). Aşadar, în locul legăturilor suplimentare şi înlăturate, trebuie introduse forţe de legătură sau eforturi (după caz) care să aibă o astfel de valoare încât împreună cu sarcinile direct aplicate să producă sistemului aceleaşi deplasări (liniare sau rotaţii) ca în cazul sistemului static nedeterminat (sistemul real). În general, aceste deplasări sunt nule. La început se încarcă sistemul de bază (care este un sistem static determinat şi neîncărcat) numai cu sarcinile direct aplicate. În secţiunile unde s-au înlăturat legături, se produc deplasările: δ10, δ20 … δn0. Încărcând acum (pe rând) sistemul de bază cu forţele de legătură X1, X2, … Xn , acestea vor produce în secţiunile respective deplasările δiX1, δiX2 … δiXn. Suma deplasărilor forţelor direct aplicate şi a celor de legătură trebuie să fie nulă:

0......

0...

0...

n21

n21

n21

nXnXnX0n

X2X2X220

X1X1X110

=δ++δ+δ+δ

=δ++δ+δ+δ

=δ++δ+δ+δ

2.4-1

Dacă se aplică nu forţe Xi ci forţe unitare şi cunoscând că deplasările sunt proporţionale cu forţele unitare (sau cupluri unitare) aplicate:

jijiX Xj

δ=δ 2.4-2


129

sistemul de ecuaţii (relaţiile 2.4-1) se poate scrie sub forma:

0X...XX...

0X...XX0X...XX

nnn22n11n0n

nn222212120

nn121211110

=δ++δ+δ+δ

=δ++δ+δ+δ=δ++δ+δ+δ

2.4-3

unde: δij – deplasarea pe direcţia i produsă de forţa unitară ce acţionează pe direcţia j δi 0 – deplasarea pe direcţia i produsă de sarcinile direct aplicate.

Sistemul de ecuaţii (relaţiile 2.4-3) reprezintă sistemul de ecuaţii canonice pentru sistemul static nedeterminat. Rezolvând acest sistem de ecuaţii, se determină forţele de legătură suplimentare ale sistemului static nedeterminat. Pentru determinarea coeficienţilor sistemului de ecuaţii canonice (care sunt deplasări) se recomandă parcurgerea următoarelor etape:

se stabileşte gradul de nedeterminare n al sistemului real (SR) se stabileşte tipul nedeterminării statice: exterior, interior sau interior-exterior Pentru calculul deplasărilor se procedează în felul următor:

din SR se formează sistemul echivalent SE, cel mai convenabil din SE se formează sistemul de bază SB corespunzător gradului de nedeterminare, se scrie sistemul de ecuaţii canonice (relaţiile 2.4-3) Pentru cazul când n = 3, sistemul de ecuaţii canonice (de condiţie) este de forma:

0XXX0XXX0XXX

33323213130

32322212120

31321211110

=δ+δ+δ+δ=δ+δ+δ+δ=δ+δ+δ+δ

se ia SB şi se încarcă pe rând:

mai întâi cu sarcinile direct aplicate şi în funcţie de procedeul ales (Mohr-Maxwell sau Vereşceaghin) se scriu funcţiile de eforturi sau se trasează diagramele de eforturi, care se notează cu N0, Mi0, Mt0


130

cu necunoscutele X1 = 1, X2 = 1 … Xn = 1 şi pentru fiecare astfel de încărcare, funcţie de procedeul ales, se scriu funcţiile de eforturi sau se trasează diagramele de eforturi, care se notează cu: (n1, mi1, mt1), (n2, mi2, mt2) … (nn, min, mtn)

cu N0, Mi0, Mt0 şi (n1, mi1, mt1), (n2, mi2, mt2) … (nn, min, mtn) se calculează coeficienţii sistemului de ecuaţii canonice. Indicii io, ij ai acestor coeficienţi indică şi funcţiile sau diagramele care se utilizează pentru calculul coeficienţilor

cunoscându-se coeficienţii sistemului, acesta se rezolvă şi se obţin necunoscutele X1, X2, … Xn

pe SE se înlocuiesc necunoscutele X1, X2, … Xn cu valorile şi sensurile lor reale, obţinându-se astfel un sistem static determinat

pentru sistemul static determinat astfel obţinut, se pot efectua calcule de rezistenţă sau de deplasări

Rezolvarea unui sistem cu un grad mare de nedeterminare, este o operaţie

dificilă, datorită atât unui număr mare de coeficienţi (deplasări) cât şi rezolvării unui sistem liniar care conţine un număr mare de ecuaţii. În aplicaţiile practice din construcţia de maşini, se întâlnesc sisteme de bare cu un grad mare de nedeterminare. De multe ori acestea prezintă simetrii, care încă de la început, permit determinarea sau cunoaşterea unor necunoscute, fie că ele sunt nule, fie că sunt egale pe perechi. Cunoaşterea acestor necunoscute reduce numărul ecuaţiilor canonice şi simplifică mult calculul. Astfel pentru un element de rezistenţă plan şi simetric: încărcat simetric, în secţiunile cuprinse în planul de simetrie se cunoaşte

efortul tăietor. Dacă în secţiunile din planul de simetrie nu există forţe tăietoare (transversale) concentrate, în aceste secţiuni, efortul tăietor este nul Fig.2.4-2a), iar dacă există o forţă tăietoare concentrată, atunci aceasta se distribuie pe cele două feţe ale secţiunii, în mod egal (Fig.2.4-2b). Pentru elementele de rezistenţă simetrice încărcate simetric, efortul axial şi momentul încovoietor sunt simetrice, iar efortul tăietor este antisimetric.

încărcat antisimetric, în secţiunile cuprinse în planul de simetrie, se cunosc

efortul axial şi încovoietor. Dacă în aceste secţiuni nu există aplicate forţă

a) b)

Fig.2.4-2

F F X1

X2F

X2=F/2

X3 X1

SRSE


131

axială sau moment încovoietor, în aceste secţiuni efortul axial şi cel încovoietor sunt nule (Fig.2.4-3). Dacă însă în aceste secţiuni există forţe axiale sau momente concentrate, efortul axial şi momentul încovoietor din aceste secţiuni se distribuie pe cele două feţe ale secţiunii din planul de simetrie, în mod egal. Pentru sistemele simetrice încărcate antisimetric diagrama efortului axial şi a momentului încovoietor sunt antisimetrice, iar a forţei tăietoare este simetrică.

Sistemele simetrice încărcate simetric sau antisimetric prezintă şi avantajul că se poate considera numai jumătate din sistem. La sistemele dublu simetrice, calculul se simplifică şi mai mult. Orice sistem se poate descompune în unul simetric şi unul antisimetric (Fig.2.4-4). Rezolvarea sistemelor static nedeterminate se poate face prin 2 metode:

- metoda eforturilor, care consideră ca necunoscute mărimile static nedeterminate (reacţiuni sau eforturi secţionale), ce se vor determina cu ajutorul unor condiţii suplimentare ce se impun deplasărilor structurii; - metoda deplasărilor, care consideră ca necunoscute deplasările structurii, deplasări ce se vor afla cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru static scrise pentru poziţia deformată a structurii. În lucrarea de faţă se va utiliza numai metoda eforturilor (Mohr–Maxwell).

Fig.2.4-3

F F F F

X1

SESR

Fig.2.4-4

F ≡ F/2 +F/2 F/2 F/2


132

APLICAŢII LA SISTME STATIC NEDETERMINATE A1. Să se ridice nedeterminarea statică pentru bara de rigiditate constantă din Fig.A1-1.

Rezolvare Sistemul are 4 reacţiuni şi fiind plan se pot scrie 3 ecuaţii de echilibru. Rezultă că sistemul este o dată static nedeterminat exterior (legătura suplimentară este o forţă de legătură). O variantă a sistemului echivalent SE este prezentată în Fig.A1-2a), iar sistemul de bază SB se prezintă în Fig.A1-2b).

Sistemul de ecuaţii canonice pentru acest caz conţine o singură ecuaţie:

11

101

10111

X

0X

δδ

−=⇒

=δ+δ

Pentru calculul coeficienţilor acestei ecuaţii se procedează astfel:

F

aa

2a

Fig.A.1-1

a a

2a

F X1

2a

2aSE SB

a) b)

Fig.A1-2


133

sistemul de bază SB se încarcă cu sarcinile direct aplicate şi se trasează diagrama de momente încovoietoare, notată cu M0 (s-a optat pentru procedeul Vereşceaghin). Se obţine sistemul din Fig.A1-3a

sistemul de bază SB se încarcă cu necunoscuta X1 = 1 şi se trasează diagrama momentului încovoietor m1 (Fig.A1-3b)

se calculează coeficienţii sistemului de ecuaţii canonice. Pentru δ10 se

lucrează cu diagrama M0 (de unde se ia suprafaţa Ω) şi cu diagrama m1 de unde se ia valoarea mic

z

3

10

3

10z

IE2aF

2aF

a31aa

2aF

21a

32a

2aF

21EI

−=δ⇒

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅−⋅⋅−=δ

311

311z

a3

16

a3

16a232a2a2

21a2

32a2a2

21EI

=δ⇒

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

Cu valorile determinate pentru coeficienţi, rezultă valoarea necunoscutei:

F323X1 =

Sistemul static determinat rezultat, este prezentat în Fig.A1-4.

a

2a

2a

2a

b)

a X1 = 1 F

Fa/2

2a

2a

M0

m1

a)

Fig.A1-3


134

Pentru acest sistem se poate efectua acum calculul de rezistenţă sau de deplasări, după regulile cunoscute. A2. Să se ridice nedeterminarea pentru bara de rigiditate constantă din Fig.A2-1. Rezolvare Sistemul este de 3 ori static nedeterminat exterior ( 6 reacţiuni şi 3 ecuaţii de echilibru). Sistemul echivalent SE şi cel de bază SB sunt prezentate în Fig.A2-2a,b. Sistemul de ecuaţii canonice corespunzător gradului trei de nedeterminare este:

aa

2a

F 3F / 32

SE

Fig.A1-4

2a

a p

Fig.A2-1

2a

a p

Fig.A2-2

2aa

X1

X2 X3

a) b)


135

0XXX0XXX0XXX

30333232131

20323222121

10313212111

=δ+δ+δ+δ=δ+δ+δ+δ=δ+δ+δ+δ

Pentru calculul coeficienţilor sistemului, se trasează diagramele momentului încovoietor pentru sistemul de bază încărcat cu sarcina distribuită (Fig.A2-3a) şi cu necunoscutele X1 = 1, X2 = 1, X3 = 1 (Fig.A2-3b,c,d). Cu notaţiile din Fig.A2-3 ale diagramelor momentului încovoietor, indicii coeficienţilor sistemului de ecuaţii canonice, indicând diagramele cu care se lucrează, se obţine:

3230

4220

2210

pa341a2pa2

31EI

pa34aa2pa2

31EI

pa2a243a2pa2

31EI

−=⋅⋅−=δ

=⋅⋅=δ

−=⋅⋅−=δ

3

2112

311

a2aa2a221EIEI

a38a2

32a2a2

21EI

−=⋅⋅−=δ=δ

=⋅⋅=δ

2aa

2a

a) b)

c) d)

a

X1 = 1

X2 = 1 X3 = 1

2pa2

2a

a

a

1

11 1

M0 m1

m2 m3

Fig.A2-3


136

2

3113

322

a21a2a221EIEI

a37aa2aa

32aa

21EI

=⋅⋅=δ=δ

=⋅⋅+⋅⋅=δ

EIδ EIδ a a a a a

EIδ a a a

223 32

33

1 51 2 12 2

1 1 2 1 1 3

= = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

Coeficienţii sistemului de ecuaţii canonice fiind determinaţi, se poate calcula mărimea necunoscutelor. Se obţin valorile:

pa91Xpa

31Xpa

1211X 321 ===

Sistemul static determinat este prezentat în Fig.A2-4, care poate fi calculat mai departe. A3. Să se ridice nedeterminarea pentru cadrul de rigiditate constantă din Fig.A3-1.

2a

2a

2a 2a

a a

a a

F F

F FFig.A3-1

2a

ap

11 pa / 12

pa / 3pa2 / 9

Fig.A2-4


137

Rezolvare Sistemul este static nedeterminat interior de trei ori, dar este simetric, încărcat simetric. Înseamnă că în secţiunile cuprinse în axa de simetrie se cunoaşte mărimea efortului tăietor. Pentru cadrul nostru, în aceste secţiuni efortul tăietor este nul (nu există forţă tăietoare concentrată în aceste secţiuni). Sistemul echivalent şi cel de bază sunt prezentate în Fig.A3-2a,b.

Sistemul de ecuaţii canonice pentru acest sistem (sunt numai două

necunoscute) este:

0XX0XX

20222121

10212111

=δ+δ+δ=δ+δ+δ

Pentru determinarea coeficienţilor, se trasează diagramele momentului încovoietor pentru sistemul de bază încărcat cu forţele aplicate (Fig.A3-3a), respectiv pentru necunoscutele X1 = 1, X2 = 1 (Fig.A3-3b,c). Se utilizează numai o jumătate din sistemul de bază. Cu diagramele din Fig.A3-3, se pot determina coeficienţii sistemului de ecuaţii canonice:

F F

F FX1

X2 a) b) SE

Fig.A3-2

SB

F

F

Fa

Fa 2a 2a

1 1

1 1

X1 = 1X2 = 1 M0 m1 m2

a) b)

c) Fig.A3-3


138

EI δ Fa a a Fa a a Fa

EI δ Fa a Fa a Fa a Fa

310

220

12 2 2 42

1 11 2 1 1 32 2

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

a61a211a211a21EI

a61a2a21a2a221EIEI

a3

32a2a2a2a232a2a2

21EI

22

22112

311

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=δ

=⋅⋅+⋅⋅=δ=δ

=⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

După rezolvarea sistemului de ecuaţii canonice, se obţine:

2aFX0X 21 −==

Valoarea nulă a efortului axial din secţiunea situată pe axa de simetrie (cea considerată) putea fi anticipată. Sistemul static determinat are acum forma (Fig.A3-4): A4. Pentru cadrul de rigiditate constantă din Fig.A4 -1 se cere să se ridice nedeterminarea statică.

F F

F F

Fa / 2

Fig.A3-4

M M

aa

a

Fig.A4-1


139

Rezolvare Cadrul este static nedeterminat de 6 ori (3 exterior şi 3 interior). Fiecare contur plan închis introduce trei necunoscute (eforturi). După cum se observă, sistemul analizat este simetric încărcat antisimetric. În secţiunile cuprinse în planul de simetrie se cunosc efortul axial şi momentul încovoietor. În acest caz, ele sunt nule. Se va considera numai o jumătate de cadru. Sistemul echivalent SE şi sistemul de bază SB utilizate sunt prezentate în Fig.A4-2a,b. Sistemul de ecuaţii canonice pentru gradul doi de nedeterminare este:

0XX0XX

20222121

10212111

=δ+δ+δ=δ+δ+δ

Diagramele sarcinilor aplicate şi a celor unitare se prezintă în Fig.A.4-3. Cu diagramele din Fig.A4-3 se determină coeficienţii sistemului de ecuaţii canonice.

M

a

a

a/2

a/2

M0

X1 = 1

a/2

a/2

a/2

X2 = 1

a/2

a/2

a/2

m1 m2

Fig.A4-3

M X1

X2

a) b)

Fig.A4-2

a

a

a/2

a/2

SBSE


140

2aM

2aaMEI

aM2aa2MEI

2

20

210

−=⋅⋅−=δ

−=⋅⋅−=δ

322

3

2112

311

a247

2aa

2a

2a

32

2a

2a

21EI

4a

2aa

2aEIEI

a2413

2aa2

2a

2a

32

2a

2a

21EI

=⋅⋅+⋅⋅=δ

=⋅⋅=δ=δ

=⋅⋅+⋅⋅=δ

Cu aceste valori determinate pentru coeficienţii sistemului de ecuaţii de condiţie şi după rezolvarea acestuia, pentru necunoscutele X1 şi X2 se obţin valorile:

aM218,0X

aM745,1X 21 ==

Sistemul static determinat rezultat este prezentat în Fig.A4-4. Este destul de uşor de trasat acum diagramele de eforturi pentru întreg cadrul. Se trasează mai întâi pentru o jumătate de cadru. Pentru cealaltă jumătate se trasează prin simetrie, respectiv antisimetrie. Se ştie că la un sistem simetric încărcat antisimetric, efortul tăietor este simetric, iar efortul axial şi momentul încovoietor sunt antisimetrice. Diagramele de eforturi pentru cadrul din Fig.A4-1 sunt prezentate în Fig.A4-5.

M 1,745 M / a

0,218 M / a

Fig.A4-4

a

a

a/2

a/2


141

A5. Pentru cadrul de rigiditate EI = constantă din figura alăturată se cer: a) ridicarea nedeterminării; b) trasarea diagramelor de eforturi; c) calculul săgeţii secţiunii din mijlocul riglei orizontale. Se dau: p= 20

mkN ; a1 = 5 m; a2= 4 m; a3 = 3 m;

E = 2,1·105 MPa; I = 24,3·106 mm4. Rezolvare a) se introduc reacţiunile V1,H1, V4 şi H4, şi se determină gradul de nedeterminare: n = 4 (reacţiuni) – 3 (condiţii echilibru) = 1; Sistemul real, (SR), fiind simplu static nedeterminat exterior, se notează cu X1 reacţiunea H4 şi se trece la un sistem static determinat echivalent cu cel real, (SE), care trebuie să îndeplinească aceleaşi condiţii de deplasări ca şi (SR), adică:

1,745 M / a

1,963 M / a

1,745 M / a

0,218 M / a

0,872 M0,128 M

0,109 M

0,019 M

Fig.A4-5

N T

Mi

a 3

p

a2

a 1

1

2 3

4


142

0111101 =⋅+Δ=Δ Xδ

Pentru rezolvarea acestei condiţii de echivalenţă, în funcţie de necunoscuta static nedeterminată X1, vom determina deplasările sistemului de bază, (SB), pe direcţia mărimii X1, deplasări produse de sarcinile iniţiale, (Δ10), şi respectiv cele produse de o forţă unitară aplicată în secţiunea şi pe direcţia lui X1, (δ11).

Pentru aceasta se încarcă (SB) cu sarcinile iniţiale şi se trasează diagrama (M0). Pe diagramă se evidenţiază suprafaţa Ω1 = 3

320 kN·m2, cu centru C1 aflat la d1 =

2m de capetele riglei orizontale. Se încarcă apoi (SB) cu o sarcină unitară în secţiunea şi pe direcţia mărimii X1, şi se trasează diagrama (m1) pentru această încărcare.

3 m

p

4 m

5 m

1

2 3

4

SE

X1

3 m

p

4 m

5 m

1

2 3

4

SR

H4

H1

V4

V1

SB

p=20 kN/m

4 m

V10= 40 kN

V40= 40 kNH10= 0

M0

Ω1

C1

d1

40


143

Pe diagrama (m1) se determină suprafeţele simple: Ω2 =

225 kN·m2; Ω3 =12

kN·m2; Ω4 = 4 kN·m2 şi Ω5 = 29 kN·m2, şi valorile momentelor, (mCk), din dreptul

centrelor, (Ck), al suprafeţelor Ωk: mC1 = mC3 = 4 kN·m; mC2 = 310 kN·m; mC4 = 3

13

kNm; mC5 = 2 kNm. Coeficientul de deplasare, Δ10, se determină cu:

CEI m10 1 11280

3⋅ Δ = −Ω ⋅ = − kN2·m3

Coeficientul de influenţă, δ11, se determină ca fiind:

k Ckk

EI δ m5

112

25 10 13 9 34812 4 4 22 3 3 2 3=

⋅ = Ω ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑ kN·m3

Rezultă: EIX ,δ EI

101

11

1280 3 3 678163 348

Δ= − = ⋅ = kN.

b) Pentru trasarea diagramelor de eforturi se aplică metoda secţiunilor pe fiecare interval al sistemului static determinat (SE) încărcat cu sarcinile exterioare iniţiale şi cu X1 = 3,678 kN. Reacţiunile se pot determina fie din condiţiile de echilibru scrise pentru (SE), fie prin însumarea reacţiunilor calculate pentru sarcina p cu cele calculate pentru sarcina unitară, acestea din urmă multiplicate cu valoarea lui X1, adică prin suprapunerea efectelor.

1

4 m

v1= 0,5

v4= 0,5h1= 1 mC2

5

m1 Ω2

Ω3

Ω4

Ω5

C4

C3

C5

C2

3

mC3=mC1

mC4mC5

p=20

3,678

4 m

V1= 41,839

V4= 38,161H1= 3,678


144

Diagramele de eforturi sunt reprezentate mai jos.

c) Pentru calculul deplasării pe verticală în secţiunea din mijlocul deschiderii riglei, se încarcă (SB) cu o forţă unitară în acea secţiune, se trasează diagrama (mi) şi se calculează deplasarea luând în considerare atât suprafeţele din diagrama (M0), cât şi cele din diagrama (m1), acestea din urmă multiplicate cu valoarea lui X1.. Deoarece legea de variaţie a momentului datorat sarcinii unitare se modifică la mijlocul deschiderii riglei, suprafeţele din diagramele (M0) şi (m1), trebuiesc reconsiderate ca în figura de mai jos. Se obţin astfel: Ω1 = 3

160 = Ω2; Ω3 = Ω4 =

22,068; Ω5 = Ω6 = 3,678; Ω7 =7,356. mC1 = mC2 = 8

5 ; mC3 = mC4 = 0,5; mC5 = mC6

=32 ;

mC7 = 31 .

Deplasarea este:

EI δ ,

, , , ( )

160 5 12 2 22 0683 8 22 12 3 678 7 356 37 242 63 3

⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

− ⋅ ⋅ − ⋅ =

Rezultă δ = 7,2982 mm. Dacă utilizam în calcule suprafeţele iniţiale,

38,16

N, [kN]

-

-

-

41,84

3,68

M, [kNm]

25,36

18,4 11,04

1,91

T, [kN]

+

-

41,84

38,16

3,68

1

2 m

v1= 0,5

v4= 0,5

h1= 0

2 m

mi

1

mC6

Ω1

Ω3

C1 C2

C7C6

C5

C4 C3

Ω2

Ω7 Ω6

Ω5

Ω4

mi

1

mC4

mC5mC1

mC3

mC7mC2


145

fără a ţine seama de modificarea legii de variaţie a momentului, am fi obţinut o deplasare δ =

EI)6(722,52 = 10,33 mm. Eroarea ar fi fost de 41,54%.

Calculul acestei deplasări ar fi fost mai simplu dacă aplicam metoda forţei unitare şi integram produsele momentelor de încovoiere pe cele două intervale:

- pentru jumătatea din stânga a riglei: → Mi(x) = -10·x2 + 41,839·x – 18,39; → mi(x) = 0,5·x;

- pentru jumătatea din dreapta a riglei: → Mi(x) = -10·x2 + 38,161·x – 11,034; → mi(x) = 0,5·x; Prin integrare se obţinea: δ =

EI)6(242,37 = 7,2982 mm.

A6. Pentru cadrul din figura alăturată de rigiditate EI = constantă, se cere ridicarea nedeterminării, trasarea diagramelor de eforturi şi calculul deplasării secţiunii din planul de simetrie (3), δ3 = ?. Rezolvare Ca urmare a aplicării sarcinilor exterioare, simetric, în cele două reazeme apar câte două reacţiuni egale pe perechi., (V1, H1, V5, H5). Sistemul este simplu static nedeterminat exterior: n= 4 – 3 = 1. Cum sistemul este simetric cu încărcare simetrică, în secţiunea (3) nu apare effort tăietor şi ca urmare se poate alege ca şi sistem echivalent sistemul static determinat (SE), iar ca sistem de bază (SB). Condiţia de echivalenţă între sistemul real şi (SE) este:

0111101 =⋅+Δ=Δ Xδ Dacă se aplică sarcinile iniţiale pe (SB), figura (c), după calculul reacţiunilor se pot scrie legile de variaţie ale momentelor:

→ ( )opxM x pR x

243 2

= ⋅ − şi → ( ) ( )( )M φ pR R cos φ02 13

= ⋅ −

Pentru încărcarea sistemului de bază cu un moment egal cu unitatea în secţiunea şi pe direcţia lui X1, (figura (d)), se scriu legile de variaţie ale momentelor:

→ ( )m x xR11

3= − şi → ( ) ( )( ) ( )m φ R cos φ cos φ

R11 2 11 1

3 3 3= − + − = − −

2R p

2

1

R

4

5

p

3


146

Calculul deplasărilor Δ10 şi δ11 se face prin integrare:

( )R π/pxEI pRx x dx pR cos(φ) cos(φ) R dφ

R

πpR pR pR π , pR

22 22

100 0

3 3 3 3

4 1 2 2 113 2 3 3 3 3

32 2 2 1 0 819927 3 9 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⋅Δ = − ⋅ − ⋅ + − ⋅ − − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞= − + − − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

πR

EI δ x dx cos(φ) R dφ , RR

2 222

110 0

1 2 1 1526143 3 3

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⋅ = − + − − ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫

Rezultă:

, pRX , pRδ , R

3210

111

0 8199 0 53721 52614

Δ= − = ⋅ = ⋅

Pentru trasarea diagramelor de eforturi, (N), (T), (Mi), se încarcă (SB) cu p şi X1 = 0,5372 pR2, (figura (e)), se calculează reacţiunile şi se scriu funcţiile de efort pe fiecare interval:

( ) , pR pR RM H , pRR

2

31

0 5372 20 0 84573

⋅ + ⋅= ⇒ = =∑

( ) pR R , pRM H , pRR

2

13

2 2 0 53730 115433

⋅ −= ⇒ = =∑

Pe intervalul (1→2):

X1 2R

p 2

1

R

3

SE

(a)

2R

2

1

R

3

SB

(b)

φ

2R

p

2

1

R

3

V1=0

H1=1,(3)pR

H3=0,(6)pR

(c)

xh1=

1

φ

2R

2

1

v1=0

R31

R31

(d)

x

h3=

0,5372pR2

φ

2R

p

2

1

R

3

V1=0

H1=1,1543pR

H3=0,8457pR

(e)

x


147

( ) 0=xN ; ( ) ( ) pRTpxpRxT 1543,11543,1 1 =⇒−= ( ) pRT 8457,02 −=⇒ şi cum forţa tăietoare se anulează calculăm şi abscisa ξ pentru care T=0. Rezultă ξ=1,1543R.

( ) ( ) ( )

( )i i , i ,

i , m a x i

p xM x , p R x M M , p R

M M ξ , p R

22

1 2

2

1 1 5 4 3 0 0 3 0 8 62

0 6 6 6 2

= − ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = =

Pe intervalul (3→2), φ∈(0→π/2): ( ) ( ) ( ) ( )N φ , pR cos φ N , pR N3 20 8457 0 8457 0= − ⋅ ⇒ = − ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( )T φ , pR sin φ T T , pR3 20 8457 0 0 8457= − ⋅ ⇒ ≡ ⇒ = −

( ) ( ) ( ) ( )i i, i,M φ , pR , pR cos φ M , pR M , pR2 2 2 23 20 3085 0 8457 0 5372 0 3086= − ⇒ = − ⇒ =

Diagramele (N) şi (Mi) sunt simetrice, în timp ce diagrama (T) este antisimetrică în raport cu planul de simetrie. Pentru calculul deplasării pe verticală în secţiunea (3) se încarcă (SB) cu o forţă egală cu unitatea, (figura (g)), se calculează reacţiunile din reazeme, se scriu funcţiile de efort mi şi se calculează deplasarea pin integrarea produselor Mi·mi pe cele două intervale. Reacţiunile sunt: v1 = 1, h1 = h3 = 0,(3).

( ) xxmi 31

= ; ( ) ( ) ( )( )ϕϕϕ cos131sin −−⋅= RRmi

0,84 pR

-

N

0,308 pR2

0,538 pR2

0,66

6 pR

2

Mi

1,15

4 R

T

0,846 pR

1,154 pR

-+

- +

1

φ2R

p

2

1

3

v1=1

h3=0,(3)

(g)

x h1=0,(3)


148

( )

( )( ) ( ) ( )( )

R

π

δ , pRx px x dxEI

, pR , pR cos φ R sin φ R cos φ R dφEI

pRδ ,EI

22

30

22 2

0

4

3

1 111543 23

1 10 3085 0 8457 13

0 2469

⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞+ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ =

∫

∫

A7. Pentru cadrul din figura de mai jos, confecţionat din bare de

rigiditate EI = constantă, se cere ridicarea nedeterminării, trasarea diagramelor de eforturi şi calculul depasării secţiunii (3), δ3.

Rezolvare Întrucât în cele două încastrări apar câte 3 reacţiuni, iar numărul de condiţii de echilibru static pentru sistemul plan este de 3, ar părea că gradul de nedeterminare n =3. Existenţa articulaţiei intermediare (3) reduce gradul de nedeterminare, astfel că n =2. Sistemul static determinat echivalent, (SE), cu cel real poate fi ales fie prin înlocuirea unei încastrări cu o articulaţie mobilă, (SE)1, fie prin desfacerea articulaţiei intermediare, (SE)2.

Condiţiile de echivalenţă pentru ambele cazuri sunt aceleaşi:

00

22212120

21211110

=++Δ=++Δ

XXXX

δδδδ

2a

2

a a

4

1

3

F

X2 2a

2

a

a

4

1

3

FSE1

X1

X2

X1

a

4

F

2

SE2

2a1

3 X2

X1


149

Pentru (SE)1 sistemul de bază este:

Pentru încărcarea lui (SB)1 cu forţa F, se obţine diagrama (M0), pe care există o

singură suprafaţă: 21 2Fa=Ω , cu centul C1, aflat la a

34

de secţiunea (2). Pentru

încărcarea lui (SB)1 cu câte o sarcină unitară în secţiunea şi pe direcţiile mărimilor static nedeterminate X1 şi respectiv X2, se obţin diagramele (m1) şi (m2).

Pe aceste diagrame apar suprafeţele: 2

2

2a

=Ω ; 23 2a=Ω ;

24a

=Ω ; a25 =Ω ,

care au centrele indcate pe diagrame. Coeficienţii de deplasare, Δ10 şi Δ20, se calculează, după identificarea ordonatelor centrului C1 pe diagramele (m1) şi (m2): amC ⋅= 11 şi respectiv

12 =Cm :

CEI m Fa a Fa2 310 1 1 2 2⋅ Δ = −Ω ⋅ = − ⋅ = −

CEI m Fa Fa2 220 1 1 2 1 2⋅ Δ = −Ω ⋅ = − ⋅ = −

SB1

2a

2

a

a

4

1

3 M0

2FaC1

Ω1

a1

2a

2

a

a

1

3 1

1

2a

2

a

a

4

1

3

1am1

Ω2

1a

1a Ω3

C3 C2

m22C4

Ω5 Ω4

C5 1


150

Pentru coeficienţii de influenţă:

3223

211 3

7232

2aaaaamEI

kCkk =⋅+⋅=⋅Ω=⋅ ∑

=

δ , unde mC2 şi mC3 sunt valorile

momentelor citite în (m1), în dreptul centrelor C2 şi respectiv C3;

25

422 3

342

32

2aaamEI

kCkk =⋅+⋅=⋅Ω=⋅ ∑

=



CEI δ EI δ m a a a12 21 5 5 2 2⋅ = ⋅ = Ω ⋅ = ⋅ = , unde mC5 este valoarea momentului în diagrama (m1) citită în dreptul centrului C5. Rezolvând sistemul de ecuaţii de echivalenţă, în raport cu X1 şi X2, se obţin mărimile static nedeterminate:

a X a X Fa

a X a X Fa

3 31 2

2 21 2

7 2 232 3 2

⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ =

X1= 0,2(2)F şi X2= 0,741 Fa

Dacă se optează pentru (SE)2, sistemul de bază este:

Încărcând pe rând (SB)2 cu forţa F, şi cu sarcinile unitare în secţiunile şi pe direcţiile mărimilor static nedeterminate se obţin diagramele: (M0), (m1) şi (m2).

SB2

F C1

Ω1

Fa

M0


151

Pe aceste diagrame apar suprafeţele simple Ωk cu centrele Ck, k=1...5.

2

2

1Fa

=Ω ; 2

2

2a

=Ω ; 23 2a=Ω ;

2

2

4a

=Ω ; 25 2a=Ω .

Coeficienţii Δ10 şi Δ20, se calculează, după identificarea ordonatelor centrului C1 pe diagramele (m1) şi (m2): amC 3

21 = şi respectiv 02 =Cm :

CFa FaEI m a

2 3

10 1 12

2 3 3⋅Δ = −Ω ⋅ = − ⋅ = −

CFaEI m

2

20 1 1 0 02

⋅Δ = −Ω ⋅ = ⋅ =

Pentru coeficienţii de influenţă:

3223

211 3

342

32

2aaaaamEI

kCkk =⋅+⋅=⋅Ω=⋅ ∑

=



3225

422 3

7232

2aaaaamEI

kCkk =⋅+⋅=⋅Ω=⋅ ∑

=


momentelor citite în (m2), în dreptul centrelor C4 şi respectiv C5; 32

332112 22 aaamEIEI C −=⋅−=⋅Ω−=⋅=⋅ δδ , unde mC5 este valoarea momentului în diagrama (m1) citită în dreptul centrului C5. Rezolvând sistemul de ecuaţii de echivalenţă, în raport cu X1 şi X2, se obţin mărimile static nedeterminate:

1 C2

Ω2 1a

m11

2aΩ3C3

1

1 m2

1a Ω4

1a

1aΩ5

C5 C4


152

Faa X a X

a X a X

33 3

1 2

3 31 2

3 23

72 03

⋅ − ⋅ =

− ⋅ + ⋅ =

X1= 0,259 F şi X2= 0,2(2) F

Diagramele de eforturi se trasează pentru oricare din sistemele echivalente, înlocuind mărimile static nedeterminate cu valorile calculate anterior şi aplicând metoda secţiunilor.

Pentru calculul deplasării articulaţiei (3) se aplică o forţă egală cu unitatea pe (SB)2 , de exemplu, se trasează diagrama (mi), şi se calculează deplasarea însumând produsele suprafeţelor din diagrama (Mi) cu ordonatele centrelor acelor suprafeţe citite în (mi). dacă diagrama (Mi) nu ar fi fost trasată deplasarea putea fi calculată şi pe baza suprafeţelor din diagramele (M0), (m1) şi (m2), ultimile multiplicate cu valorile mărimilor X1 şi respectiv X2.

Faδ , Fa a a ,EI EI

3

31 1 20 741 0 247

2 3⎛ ⎞= ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

sau Fa a Faδ , F a ,

EI EI

2 2 3

31 20 259 0 247

2 2 3⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − ⋅ =⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

0,22 F

N

+

+

-

0,22 F

0,741 F

T

-

-

-

0,22 F

0,741 F

0,741 F

0,2963 Fa 0,741 Fa

0,22 Fa

Mi


153

A8. Pentru bara din figura de mai jos, se cere: ridicarea nedeterminării, trasarea diagramelor de eforturi şi calculul deplasării în secţiunea (1), δ1. Rezolvare Sistemul real, (SR), este simplu static nedeterminat exterior. Sistemul echivalent se obţine din (SR) prin înlocuirea reazemului din secţiunea (1) cu mărimea static nedeterminată X1. Condiţia de echivalenţă este:

0111101 =⋅+Δ=Δ Xδ ,

unde: Δ10 = deplasarea secţiunii (1) pe direcţie orizontală datorată sarcinilor iniţiale şi δ11 = deplasarea secţiunii (1) pe direcţia lui X1 datorată unei forţe egale cu unitatea aplicată în secţiunea şi pe direcţia lui X1.

Pentru calculul deplasărilor Δ10 şi δ11 se încarcă (SB), succesiv, cu sarcina exterioară p şi cu o forţă unitară, se trasează diagramele (M0) şi respectiv (m1).

a

2a

p

4

2EI

2a

1

3

2

EI

2a

p

4

2EI

2a

1

3

2

EI X1

SE

SB


154

Pe diagrama (M0) se disting suprafeţele simple: pa a pa2 31

1 42 23 3

Ω = ⋅ = şi 3

2 4 pa=Ω , cu centrele C1 şi C2, poziţionate la a23 de secţiunea (2) şi respectiv

la a de secţiunea (3).

Pe diagrama (m1) se evidenţiază suprafeţele simple: 2

2

3a

=Ω , 652

4 2 Ω=Ω==Ω a

Centrele acestor suprafeţe sunt indicate pe diagrama (m1). Deplasarea Δ10 se calculează ca fiind:

C Cpa pam m

EI EI EI EI

4 4

10 1 1 2 21 1 4 164

2 3 3⎛ ⎞Δ = − Ω ⋅ − Ω ⋅ = − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Deplasarea δ11 se calculează ca fiind:

( ) ( )C C C Caδ m m m m

EI EI EI

aδEI

3

11 3 3 4 4 5 5 6 6

3

11

1 1 1 2 1 72 2 2 22 2 3 2 3

203

⎛ ⎞⎛ ⎞= Ω ⋅ +Ω ⋅ + Ω ⋅ +Ω = ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⇒ =

p

M0

2pa2

Ω1

C1

Ω2

C2

1

m1

1aΩ4

C4

C5

C3

Ω3

Ω6Ω5C6

1a

3a


155

Mărimea static nedeterminată este:

pa EI paX , paδ EI a

410

1 311

16 3 4 0 83 20 5

Δ= − = ⋅ = =

Cu această valoare a lui X1 se obţin diagramele de eforturi:

Pentru calculul deplasării secţiunii (1) se încarcă (SB) cu o forţă egală cu unitatea pe direcţie verticală, se trasează diagrama (mi) şi se calculează deplasarea prin considerarea suprafeţelor din (M0) şi a celor din (m1) multiplicate cu X1 = 0,8pa.

( ) ( )( )C C C C Cpaδ m X m m X m m

EI EI EI

4

1 1 1 4 1 4 2 2 1 5 5 6 61 1 16

2 5= Ω −Ω + Ω − Ω +Ω =

-

2 pa

-

0,8 pa

N

-

0,8 pa+

+

T

2 pa

M

1,2 pa

0,8 pa

0,4 pa

2a1

mi

2a


156

3

R

F

2

1

SE

F

X1

F/2 F/2

X1

X1 X1

SB

A9. Arcul de formă semicirculară, din figura alăturată, cu secţiune constantă b·h = 60·100 mm2, este articulate de tirantul cu secţiune circulară cu d = 30 mm. Cunoscând: R = 800 mm, F = 80 kN, şi E =2·105 MPa, se cere ridicarea nedeterminării şi calculul deplasării secţiunii (3), δ3 = ?. Rezolvare Sub acţiunea forţei F în cele două reazeme apar doar reacţiuni pe verticală, V1 şi V3, ambele egale cu 0,5F. Din punct de vedere exterior sistemul real, (SR), este static determinat. Deoarece (SR) are un contur închis, şi două articulaţii intermediare gradul de nedeterminare este n=1, necunoscuta suplimentară fiind efortul axial din tirant, efort ce va fi notat cu X1 şi considerat mărime static nedeterminată. Sistemul static determinat echivalent celui real este (SE) iar sistemul de bază (SB).

Condiţia de echivalenţă între (SR) şi (SE) este:

0111101 =⋅+Δ=Δ Xδ Calculul deplasărilor Δ10 şi δ11 presupune parcurgerea următoarelor etape:

- se încarcă (SB) cu sacinile initiale, (forţa F), şi se scriu funcţiile de efort M0(φ) pe intervavele (1→2) şi (3→2), respectiv N0(x) pentru tirant:

( ) ( )( )FM φ R cos φ0 12

= − pe ambele intervale (1→2) şi (3→2),

( )N x0 0= .


157

- se încarcă (SB) cu câte o forţă egală cu unitatea în secţiunile şi pe direcţiile fiecărui X1, şi se scriu funcţiile de efort m1(φ) şi n1(x) pe intervalele anterioare:

( )m (φ) R sin φ1 1= − ⋅ ⋅ pe ambele intervale (1→2) şi (3→2),

( )n x1 1= .

- se calculează deplasările:

( )( ) ( )( )π

F FRR cos φ R sin φ R dφEI EI

32

100

12 12 2

Δ = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = −∫

( )( )π

R π R Rδ R sin φ R dφ R ,EI EA EI EA EI

3 32 2 211

0

1 1 22 1 2 1 59292

= − ⋅ ⋅ + ⋅ = + =∫

- se calculează X1:

FR EIX , Fδ EI , R

310

1 311

0 3142 1 5929

Δ= − = ⋅ = ⋅

⋅

Deplasarea secţiunii (3) este egală cu alungirea tirantului:

, F R ,δ ,EA π3 5

0 314 2 0 314 80000 2 800 4 0 2842 10 900

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅mm .

A10. Bara rigidă BC din figura alăturată, este susţinută de 3 tiranţi: (1), (2) şi (3), şi solicitată de forţa F. Cei trei tiranţi au aceeaşi lungime, (a), sunt din acelaşi material şi au secţiunile A1 = A2 = A şi A3 = 2A. Se cer eforturile din tiranţi, N1, N2 şi N3.

F

F/2 F/2

φ φ

x

1

φ

x

φ1 1

1

EA

2EA 30°

2a/3 a/3

30°

1

2 3

C

F

B


158

Rezolvare Cei trei tiranţi, fiind bare articulate la ambele capete pot să preia doar solicitări axiale. Prin urmare în fiecare tirant apare un efort axial N1, N2 şi respectiv N3. În articulaţia (C ) apare doar reacţiunea VC. Numărul de condiţii de echilibru care pot fi scrise este 3, şi ca urmare sistemul dat este simplu static nedeterminat interior, necunoscuta suplimentară fiind unul dintre eforturile din tiranţi. Vom alege ca sistem static determinat echivalent, (SE), cu sistemul real, (SR), sistemul pentru care mărimea static nedeterminată X1 este efortul din tirantul (1). Sistemul de bază, (SB), este cel reprezentat mai sus. Condiţia de echivalenţă între (SR) şi (SE) este:

0111101 =⋅+Δ=Δ Xδ

Pentru calculul deplasărilor Δ10 şi δ11 presupune parcurgerea următoarelor etape: - se încarcă (SB) cu sacinile initiale, (forţa F), şi se determină eforturile

N10, N20 şi N30, din tiranţi: N10 = 0; N20 = N30 = 332

30cos3FF

=° .

SE

X1

30°

2a/3a/3

30°

1

2 3

C

F

BSB

B

30°

2a/3a/3

30°

2 3

C

F

N10

30°

2a/3 a/3

30°

C

F

N20 N30


159

Efortul N10 este nul deoarece tirantul (1) este liber, nesolicitat. Eforturile N20 şi N30 sunt egale din condiţia de echilibru: H N sin N sin20 300 30 30= ⇔ ° = °∑ . Din

condiţia ( )cM N cos a F a20

20 2 303

= ⇔ °⋅ = ⋅∑ ⇒ N20 = N30=F F

cos2

3 30 3 3° = .

- se încarcă (SB) cu o forţă egală cu unitatea în locul mărimii X1 şi se

determină eforturile: n11, n21 şi n31:

În articulaţia (C) nu apar reacţiuni. Este evident că n11 = 1. Din condiţiile

de echilibru ale articulaţiei comune rezultă:

- din suma forţelor pe verticală: n cos n cos n n21 31 21 3130 30° = °⇒ = - din suma forţelor pe orizontală: n n sin n sin n n11 21 31 21 3130 30 1= °+ °⇒ = = - se calculează deplasările:

FaN n a N n aEA EA EA10 20 21 30 311 1

2 3 3Δ = − ⋅ + ⋅ = −

aδ (n a n a) n a

EA EA EA2 2 2

11 11 21 311 1 5

2 2= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Fa EAX , F N

δ aEA10

1 111

2 0 07753 3

Δ= − = = ⋅ ≡

N N n X , F2 20 21 1 0 308= − ⋅ = ⋅ N N n X , F3 30 31 1 0 462= + ⋅ = ⋅

n11

30°30°

C

n21 n31

30° 30°2 3

C1 1


3. STABILITATEA ECHILIBRULUI ELASTIC. FLAMBAJUL

3.1 CONSIDERAŢII GENERALE

Se consideră o bară zveltă (lungime mare în raport cu dimensiunile

transversale) solicitată la compresiune de o forţă axială F (Fig.3.1-1). La început valoarea forţei F este relativ mică. Sub acţiunea acestei forţe bara se scurtează dar rămâne dreaptă. Dacă barei i se aplică lateral o forţă F*, bara se deformează lateral, dar după înlăturarea forţei ea revine imediat la poziţia dreaptă avută anterior.

F F*

Fig.3.1-1

În acest caz, se spune că bara este în echilibru elastic stabil. Se măreşte forţa F iar la un moment dat, la aplicarea forţei laterale F* bara se deformează însă după înlăturarea acesteia, bara nu mai revine la forma ei dreaptă avută înainte de aplicarea forţei axiale F. Bara se află în echilibru elastic nestabil. Valoarea forţei F pentru care bara a trecut în echilibru nestabil, este o valoare critică, iar forţa se numeşte forţă critică şi se notează cu Fcr.

Fenomenul de trecere al unei bare din echilibru stabil în unul nestabil, poartă numele de flambaj. La creşteri mici ale forţei axiale aplicate peste Fcr, deformarea laterală a barei creşte foarte mult. În cazul în care un element de rezistenţă şi-a pierdut stabilitatea, aceasta poate avea loc în trei domenii: domeniul elastic, când după înlăturarea sarcinii axiale F, bara revine la forma

ei iniţială, adică dreaptă domeniul elasto-plastic, situaţie în care, după înlăturarea sarcinii axiale F,

bara îşi mai diminuează din deformare, dar nu revine la forma ei iniţială domeniul plastic, când bara rămâne la forma deformată şi după înlăturarea

sarcinii axiale F. Pentru ca un element de rezistenţă să-şi îndeplinească rolul funcţional, este necesar, pe lângă altele, să nu-şi piardă stabilitatea elastică. Pierderea stabilităţii elastice, reprezintă aşadar, o stare limită care nu trebuie atinsă într-un

160


element de rezistenţă. Dacă totuşi acest fenomen are loc, este de preferat să se producă în domeniul elastic, deoarece în acest caz, înlăturarea imediată a sarcinii care a provocat flambajul, conduce la refacerea formei iniţiale a elementului de rezistenţă. Pierderea stabilităţii elastice a elementelor de rezistenţă poate avea loc în mai multe situaţii, nu numai la o solicitare axială de compresiune. Se vor prezenta câteva astfel de cazuri, care se întâlnesc mai des în practică. 3.2 CALCULUL FORŢEI CRITICE DE FLAMBAJ LA BARELE DREPTE ZVELTE

SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALĂ (FORMULA LUI EULER) Pentru elementele de rezistenţă susceptibile de a îşi pierde stabilitatea, este deosebit de important să se cunoască valoarea forţei critice de flambaj, adică valoarea forţei axiale de compresiune la care acesta îşi pierde stabilitatea. Se vor studia patru variante, avându-se în vedere faptul că forţa critică de flambaj este în mare corelaţie cu modul de rezemare al barei. 3.2.1 Bara articulată la ambele capete Se consideră o bară dreaptă zveltă asupra căreia acţionează la compresiune tocmai forţa critică Fcr (Fig.3.2.1-1). Fcr v = y

x

x

y

Fig.3.2.1-1

1 2

l

Sub acţiunea forţei Fcr bara se deformează lateral. La o distanţă x de reazemul 1, forţa critică Fcr determină un moment încovoietor Mi: yFM cri ⋅= 3.2.1-1 Ecuaţia fibrei medii deformate pentru acest caz conduce la :

c rizFMd y y

dx E I E I

2

2 = − = − ⋅ 3.2.1-2

161


Notând cu

2cr aIE

F= 3.2.1-3

relaţia 3.2.1-2 devine:

0ya

dxyd

yadx

yd

22

2

22

2

=+⇒

−=

3.2.1-4

care este o ecuaţie diferenţială Euler, a cărei soluţie este de forma: axcosBaxsinAy += 3.2.1-5 Determinarea constantelor A, respectiv B, se face punând condiţiile de rezemare:

axsinAy0B0y0xPentru =⇒=⇒=⇒= 3.2.1-6

0alsinA0ylxPentru =⇒=⇒= 3.2.1-7 Cum A ≠ 0, rezultă că sin al = 0, de unde: ...)3,2,1kcu(kal =π= sau

π=⋅ klIE

Fcr

de unde rezultă expresia forţei critice de flambaj:

2

22

cr lIEkF π

=

Deoarece din mulţimea posibilă a valorilor rezultate interesează valoarea

minimă la care se produce flambajul, se va considera cazul pentru care k = 1 şi I = Imin. Cu aceste precizări, forţa minimă critică de flambaj este dată de relaţia:

162


min min

crf

π E I π E IFl l

2 2

2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = 3.2.1-8

În relaţia 3.2.1-8:

l=lf – lungimea barei articulate la ambele capete (lungimea de flambaj) Imin – momentul de inerţie minim al secţiunii transversale a barei.

3.2.2. Bara înţepenită la un capăt şi liberă la celălalt

Sub acţiunea forţei critice de flambaj bara se deformează şi ia forma şi poziţia din Fig.3.2.2-1.

Fcr

x

l

x

y

y

Fig.3.2.2-1

La distanţa x de capătul liber, sub acţiunea forţei critice se realizează momentul încovoietor: yFM cri = iar ecuaţia fibrei medii deformate este:

0y

IEF

dxyd

yIE

FIE

Mdx

yd

cr2

2

cri2

2

=⋅+⇒

⋅−=−=

Notând şi aici

crF aE I

d y a ydx

2

22

2 0

=

⇒ + = 3.2.2-1

163


Relaţia 3.2.2-1 este o ecuaţie diferenţială de tip Euler care admite soluţia: axcosBaxsinAy += Constantele A, respectiv B se determină din condiţii de rezemare. Astfel: Pentru x y Bcosax B y Asin ax0 0 0 0= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

x lx l

dyPentru x l y şi φdx

0 0==

⎛ ⎞= ⇒ ≠ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

cu

dy A a cos axdx

= ⋅ ⋅

de unde:

( ) ( )cr cr

cr

dy π πA a cosax cosal a l , ...dx

F Fπ π π E Il FE I E I l l

2 2

2 2

302 2

2 2 2

⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⋅ =

⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

De aici rezultă forţa critică minimă:

( )min min

crf

π E I π E IFll

2 2

2 22⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ 3.2.2-2

În relaţia 3.2.2-2 s-a notat fl 2 l= ⋅ 3.2.2-3 şi reprezintă lungimea de flambaj pentru bara înţepenită la un capăt şi liberă la celălalt.

164


3.2.3 Bara articulată la un capăt şi înţepenită la celălalt Bara articulată la un capăt şi înţepenită la celălalt solicitată de forţa critică este prezentată în Fig.3.2.3-1. În articulaţie datorită tendinţei de deplasare, apare şi o forţă transversală V. La distanţa x de articulaţie, momentul încovoietor este: i crM F y V x= ⋅ − ⋅ Ecuaţia fibrei medii deformate pentru acest caz are forma:

cri F y V xMd ydx E I E I

2

2

− ⋅ + ⋅= − =

⋅ ⋅

sau

crFd y Vy

dx E I E I

2

2 x+ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ 3.2.3-1

Fcr

V

x l

x

y

y

Fig.3.2.3-1

Ecuaţia 3.2.3-1 este o ecuaţie neomogenă. Partea omogenă a acesteia admite soluţia: axcosBaxsinAy += unde s-a notat

crF a

E I2=

⋅

Partea neomogenă admite soluţia

165


xFVy

cr1 =

Ecuaţia neomogenă 3.2.3-1 admite acum soluţia:

xFVaxcosBaxsinAycr

++= 3.2.3-2

Constantele A, B, şi V se determină din condiţiile rezemare şi deformare. Astfel:

0dxdylx

0ylx0y0xPentru

==ϕ⇒=

=⇒==⇒=

Prima condiţie conduce la B = 0 şi ecuaţia capătă forma:

cr

cr

Vy A sin ax xF

dy VA a cos axdx F

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + 3.2.3-3

Ultima condiţie aplicată la rotirea ϕ, conduce la:

cr

VA a cos alF

0 = ⋅ ⋅ + 3.2.3-4

A doua condiţie conduce la următoarea expresie:

cr

VA sin a l lF

0 = ⋅ + ⋅ 3.2.3-5

Relaţiile 3.2.3-4 şi 3.2.3-5 se pot scrie şi sub forma:

166


cr

cr

VA a cos a lF

VA sin a l lF

⋅ ⋅ = −

⋅ = − ⋅ 3.2.3-6

Împărţind relaţiile 3.2.3-6, rezultă: tg al a l≈ ⋅ 3.2.3-7 Ecuaţia trigonometrică obţinută are ca primă soluţie:

crF,a l , a l , al E

2 2 22

20 164 49 20 16⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = =⋅I

de unde se obţine expresia forţei critice:

cr, EF

l220 16 I⋅ ⋅

=

iar valoarea minimă a forţei critice este:

mincr

, E IFl2

20 16 ⋅ ⋅= 3.2.3-8

Pentru a avea aceeaşi formă ca şi pentru cazurile prezentate anterior, se poate scrie:

min mincr

min mincr

f

π E I π E I, , π π Fll

π E I π E IFl

l

2 22 2

22

2 2

2 2

220 16 2 05 2

2

22

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ≈ ⋅ ⇒ ≈ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = =

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

3.2.3-9

unde s-a notat

fl l ,2 0 7072

= ⋅ = l⋅

167


3.2.4 Bara înţepenită la ambele capete

Bara dreaptă înţepenită la ambele capete este solicitată de forţa critică Fcr (Fig.3.2.4-1). Având în vedere că în încastrare apar trei necunoscute (Fcr, V, M0), momentul încovoietor la distanţa x are expresia:

i crM F y V x M0= ⋅ + ⋅ + 3.2.4-1

Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate este:

crF Md y Vy xdx E I E I E I

20

2 + ⋅ = − ⋅ −⋅ ⋅ ⋅

3.2.4-2

sau dacă se notează:

crFaE I

2 =⋅

relaţia 3.2.4-2 se poate scrie sub forma:

Md y Va y x

dx E I E I

22 0

2 + ⋅ = − ⋅ −⋅ ⋅

3.2.4-3

Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este de forma:

cr cr

MVy A sin ax B cosax xF F

0= ⋅ + ⋅ − ⋅ − 3.2.4-4

Fcr

M0 V

x

l

x

y

Fig.3.2.4-1

y

168


Derivând o dată relaţia 3.2.4-5, se obţine:

cr

dy VA a sin ax B a cos axdx F

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − 3.2.4-6

După cum se poate constata au rezultat patru necunoscute: A, B, V/Fcr şi M0/Fcr. Pentru determinarea acestor constante necunoscute, se pun condiţiile la limită:

0dxdyşi0ylxPentru

0dxdyşi0y0xPentru

==⇒=

==⇒=

După înlocuiri se ajunge la sistemul omogen:

0

FMFVBA

01alsinaalcosa1lalcosalsin

010a1010

cr

0

cr

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

3.2.4-7

Ecuaţia caracteristică rezultă din anularea determinantului principal: 3.2.4-8 ( )cos al a l sinal2 1 0⋅ − − ⋅ ⋅ = Ecuaţia 3.2.4-8 admite o mulţime de soluţii: 3.2.4-9 a l k π cu k , , ...2⋅ = ⋅ ⋅ =1 2 3 din care pentru prima valoare se obţine forţa critică de flambaj:

cr

min

mincr

F l πE I

π E IFl

2

2

2

4

⋅ = ⋅⋅

⋅ ⋅⇒ =

3.2.4-10

Expresia forţei critice de flambaj poate fi scrisă şi sub forma:

169


min min

crf

π E I π E IFll

2 2

2 2

2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3.2.4-11

unde s-a notat cu:

2ll f = 3.2.4-12

şi reprezintă lungimea de flambaj.

Din prezentarea celor patru cazuri de rezemare, se constată că forţa critică de flambaj depinde de modul de rezemare prin mărimea numită lungime de flambaj.

Pentru cele patru moduri de rezemare se poate considera pentru forţa critică de flambaj o expresie generală, însă diferenţiată prin lungimea de flambaj:

Astfel, relaţia generală de calcul a forţei critice de flambaj pentru cazurile prezentate este:

2f

min2

cr lIE

Fπ

= 3.2.4-13

unde:

pentru bara articulată la ambele capete

llf = 3.2.4-14a

pentru bara liberă la un capăt şi înţepenită la celălalt

fl 2 l= ⋅ 3.2.4-14b

pentru bara articulată la un capăt şi înţepenită la celălalt

l707,022lf ⋅≈= 3.2.4-14c

pentru bara înţepenită la ambele capete

170


l21lf ⋅= 3.2.4-14d

unde prin l se înţelege lungimea geometrică a barei. Se menţionează că lungimea de flambaj lf reprezintă distanţa dintre două puncte de inflexiune ale fibrei medii deformate a barei. Relaţiile de calcul ale forţei critice de flambaj reprezintă formulele lui Euler. Pentru alte cazuri de încărcare ale barelor zvelte, expresiile forţei critice de flambaj se găsesc în literatura de specialitate.

3.3 LIMITELE DE VALABILITATE ALE FORMULEI LUI EULER. FLAMBAJUL ELASTIC ŞI PLASTIC

3.3.1 Flambajul elastic La stabilirea formulei lui Euler s-a utilizat relaţia obţinută la deducerea formulei lui Navier:

iM

ρ E I1=

⋅ 3.3.1-1

La comportarea liniar elastică a materialului este necesar ca tensiunea critică σcr să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate σp. Tensiunea critică de flambaj se obţine împărţind forţa critică de flambaj (relaţia 3.2.4-13) la aria secţiunii transversale a barei:

cr mincr p

f

F π E IσA l A

2

2⋅ ⋅

= = ≤⋅

σ 3.3.1-2

Când tensiunea critică σcr ≥ σp, relaţia lui Euler nu mai poate fi aplicată pentru calculul forţei critice de flambaj. Revenind la relaţia 3.3.1-2 şi exprimând momentul de inerţie în funcţie de aria secţiunii şi raza de giraţie, se obţine pentru tensiunea critică de flambaj relaţia:

171


min

cr pf f

min

π E A i π E π Eσ σl A λl

i

2 2 2 2

22 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =⋅ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

≤ 3.3.1-3

unde s-a notat cu

min

f

il

=λ 3.3.1-4

care se numeşte coeficient de zvelteţe sau coeficient de subţirime al barei. Pentru ca relaţia lui Euler să poată fi aplicată, din relaţia 3.3.1-3, rezultă condiţia:

p

Eλ πσ

≥ ⋅ 3.3.1-5

Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe, notat cu λ0 , pentru care formula lui Euler este valabilă, corespunde limitei inferioare a flambajului elastic. Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe (relaţia 3.3.1-3) este o hiperbolă, numită hiperbola lui Euler (Fig.3.3.1-1).

λ λ0

σp

σcr

Domeniul flambajului elastic

O

Flambaj plastic

Fig.3.3.1-1

B

Punctul B, respectiv abscisa λ0 împarte domeniul valorilor lui λ în două domenii:

domeniul flambajului elastic, când σcr ≤ σp, respectiv λ ≥ λ0 domeniul flambajului plastic, când σcr > σp, respectiv λ < λ0

172


Calculul la flambaj utilizând formula lui Euler este permis numai pentru domeniul elastic.

În funcţie de valoarea acceptată pentru limita de proporţionalitate şi modulul de elasticitate longitudinal pentru oţelul pentru oţelul de uz general (σp =210 MPa, E = 2,1·105 MPa), se poate considera λ0 = 100. În unele lucrări de specialitate se acceptă pentru λ0 şi valoarea λ0 = 105. În acest caz σp este înlocuit cu σa. 3.3.2 Flambajul plastic. Relaţiile Tetmajer-Iasinski Pentru valori ale coeficientului de zvelteţe mai mici decât λ0, tensiunea critică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler. Se pune atunci problema stabilirii unei relaţii între σcr şi λ şi pentru domeniul flambajului plastic. Pentru oţeluri, problema stabilirii unei astfel de relaţii devine destul de complicată datorită traseului curbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate. În acest domeniu se introduce modulul de elasticitate tangent curent. Flambajul plastic a fost studiat de mulţi cercetători, care au propus diferite relaţii de calcul pentru tensiunea critică de flambaj, relaţii stabilite mai ales pe baza cercetărilor experimentale. Pentru domeniul flambajului plastic pentru tensiunea critică de flambaj s-au propus relaţii parabolice, eliptice, liniare. Tetmajer şi Iasinski propun până la atingerea limitei de curgere o relaţie liniară între tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe (Fig.3.3.2-1): λ⋅−=σ bacr 3.3.2-1 ce corespunde dreptei BD.

σcr

σC

σp B

D

Oλ0λ1

λ

Fig.3.3.2-1

173


Când tensiunea critică atinge valoarea limitei de curgere, coeficientul de zvelteţe este λ1 (corespunzător punctului D). Pentru valori: 1λ<λ 3.3.2-2 se consideră că bara nu mai flambează, iar calculul se face numai la compresiune. Coeficienţii a şi b din relaţia 3.3.2-1 depind de material, la fel cum depind şi λ0, respectiv λ1. În Tabelul 3.3.2-1 se prezintă pentru câteva materiale valorile acestor coeficienţi. Tabelul 3.3.2-1

Materialul a b λ0 λ1OL 37 (σC = 240 MPa) 304 1,12 105 60 Oţel cu 5% nichel 461 2,25 86 0 Oţel crom-molibden 980 5,3 55 0 Duraluminiu 372 2,14 50 0 Lemn 28,7 0,19 100 0 Fontă - - 80 0 Pentru bare realizate din fontă, expresia tensiunii critice este una parabolică: 3.3.2-3 2

cr 053,012776 λ⋅+λ⋅−=σ

3.4 CALCULUL LA FLAMBAJ

După cum s-a mai spus la începutul acestui capitol, flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă. Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase. Ca urmare, mărimea efortului axial din bara solicitată la compresiune trebuie să fie mai mică decât forţa critică de flambaj. Se defineşte atunci, coeficientul de siguranţă la flambaj cf ca fiind raportul dintre forţa critică de flambaj Fcr şi efortul axial de compresiune efectiv N din bară:

cr

fFcN afc= ≥ 3.4-1

unde: caf – coeficient de siguranţă admisibil la flambaj.

174


3.4.1 Calculul în domeniul elastic şi plastic La flambaj se pot rezolva toate cele trei tipuri de problemă: verificare, dimensionare, încărcare capabilă, pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj. Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se înscriu în limite destul de largi, neexistând prescripţii oficiale pentru acestea. În Tabelul 3.4.1-1 se indică valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj pentru câteva piese de maşini supuse pericolului de pierdere a stabilităţii. Tabelul 3.4.1-1

P i e s a cafMaşini cu un cilindru 8 – 12 Tija

pistonului

Maşini cu un cilindru şi contratijă; maşini cu doi cilindri

4 – 8

Maşini termice mari 14 – 28 Biela Motoare de automobil 4 – 4,5

Pentru piese de maşini, valoarea minimă a coeficientului de siguranţă

admisibil la flambaj este 4. Calculul la flambaj, indiferent de tipul problemei, se face pe baza relaţiei 3.4-1.

a) Probleme de verificare sau efort capabil. Trebuie determinat efortul axial de compresiune din bară (numeric sau funcţie de sarcinile exterioare) şi forţa critică de flambaj. Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică) trebuie stabilit domeniul de flambaj. Se calculează coeficientul de zvelteţe λ cu relaţia 3.3.1-4, care se compară cu λ0 , respectiv λ1:

dacă

( )

mincr

f

cr cr

π E Iλ λ Fl

λ λ λ F σ A a b λ A

2

0 2

1 0

⋅ ⋅≥ ⇒ =

< ≤ ⇒ = ⋅ = − ⋅ ⋅ 3.4.1-2

Valorile astfel determinate se înlocuiesc în relaţia 3.4-1, de unde se face verificarea sau se deduce sarcina capabilă. b) Probleme de dimensionare. La acest tip de problemă, necunoscându-se dimensiunile secţiunii transversale ale barei, nu se poate determina coeficientul de zvelteţe, deci nici domeniul de flambaj. În această situaţie se consideră că bara flambează în domeniul elastic şi pentru forţa critică de flambaj, se admite formula lui Euler. Aceasta se înlocuieşte în relaţia 3.4-1, de unde rezultă:

175


af fmin,nec

N c lI ...π E

2

2

⋅ ⋅= =

⋅ 3.4.1-3

În locul . . . (punctelor) din relaţia 3.4.1-3 se scrie expresia momentului de inerţie al secţiunii, expresie care conţine ca necunoscută dimensiunea secţiunii transversale. Din 3.4.1-3 se determină dimensiunea secţiunii transversale a barei. După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare al domeniului de flambaj. Pentru aceasta:

se calculează cu dimensiunea găsită, coeficientul de zvelteţe λ dacă λ ≥ λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă, verificându-se

domeniul de flambaj) dacă λ < λ0, nu se verifică domeniul. În acest caz:

se calculează forţa critică de flambaj cu relaţia corespunzătoare domeniului plastic (relaţia 3.4.1-2) şi apoi coeficientul de siguranţă la flambaj (relaţia 3.4.1-1). Dacă:

cf ≥ caf dimensiunea se acceptă (se verifică coeficientul de siguranţă dar nu şi domeniul de flambaj)

cf < caf dimensiunea nu se acceptă (nu se verifică nici coeficientul de siguranţă, nici domeniul)

se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calculul coeficientului de zvelteţe până când cf ≥ caf.

3.4.2 Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj ϕ Procedeul prezentat pentru calculul forţei critice de flambaj, după cum se poate constata, implică o serie de încercări, mai ales în domeniul flambajului plastic. Pentru valori bine precizate ale coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj, s-a dezvoltat o metodă de calcul valabilă atât pentru domeniul elastic, cât şi plastic. Conform acestei metode, mai întâi se defineşte rezistenţa admisibilă la flambaj:

AF

cAF

cr

af

cr

af

craf =

⋅=

σ=σ 3.4.2-1

unde: Fr – forţa axială reală (N) din bară, definită astfel:

af

crr c

FF = 3.4.2-2

176


A – aria secţiunii transversale a barei

Pe baza celor prezentate, calculul la flambaj poate fi transformat într-un calcul de dimensionare la compresiune:

af

rnec

FAσ

= 3.4.2-3

Se defineşte acum un coeficient de flambaj:

1a

af <σσ

=ϕ 3.4.2-4

unde: σa – este rezistenţa admisibilă la compresiune. Acum, relaţia de dimensionare (relaţia 3.4.2-3) capătă forma:

a

rnec

FAσ⋅ϕ

= 3.4.2-5

Se poate efectua şi calculul de verificare, cu relaţia:

ar

ef AF

σ<⋅ϕ

=σ 3.4.2-6

După cum se poate constata, calculul la flambaj prin această metodă

implică determinarea coeficientului de flambaj ϕ. Valoarea acestuia este funcţie de natura materialului şi de lungimea de flambaj λ. În literatura de specialitate se găsesc valorile coeficientului de flambaj ϕ pentru diferite materiale. Calculul de dimensionare la flambaj prin coeficientului de flambaj ϕ, necesită parcurgerea următoarelor etape:

se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa se determină dimensiunea secţiunii transversale cu relaţia 3.4.2-3 cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λ din tabele se determină coeficientul de flambaj ϕ, funcţie de λ

determinat anterior se calculează o forţă admisibilă

177


efaaf AF ⋅σ⋅ϕ= 3.4.2-7 Dacă:

Faf > N ⇒ dimensiunea este bună (acceptată) Faf < N ⇒ dimensiunea nu este corespunzătoare.

În acest ultim caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi se reia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ. Calculul se încheie atunci când condiţia de mai sus este verificată.

3.5 FLAMBAJUL BARELOR SUB ACŢIUNEA FORŢELOR EXCENTRICE Se consideră o bară dublu articulată solicitată chiar de forţa critică Fcr aplicată excentric, ca în Fig.3.5-1. Fcr Fcr

e e

x

x l

y

v = y

Fig.3.5-1

În secţiunea x se produce momentul încovoietor Mi ( )yeFM cri += 3.5-1 iar ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate este:

cr cr

cr cr

F Fd y y edx E I E I

F Fd y y edx E I E I

2

2

2

2

= − ⋅ − ⋅⋅ ⋅

⇒ + ⋅ = − ⋅⋅ ⋅

3.5-2

Se notează:

178


cr crF Fa a

E I E I2 = ⇒ =

⋅ ⋅ 3.5-3

Cu această notaţie, relaţia 3.5-2 capătă forma:

eayadx

yd 222

2

⋅−=⋅+ 3.5-4

care are ca soluţie pe: y A sin ax B cosax e= ⋅ + ⋅ − 3.5-5 Constantele din relaţia 3.5-5 se determină din condiţiile la limită:

3.5-6a Pentru x y B e B e

y A sin ax e cos ax e0 0 0= ⇒ = ⇒ = − ⇒ =⇒ = ⋅ + ⋅ −

Pentru x l y A sin al e cos al ecos al alA e e tg

sin alaly e tg sin ax e cosax e

0 01

2

2

= ⇒ = ⇒ = ⋅ + ⋅ −−

⇒ = ⋅ = ⋅

⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ −

3.5-6b

sau sub altă formă, ecuaţia săgeţii este:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⋅= )1axcosaxsin

2altgey 3.5-7

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⋅=⇒

⇒==ϕ⇒=

12alcos

2alsin

2alcos

2alsin

e12alcos

2alsin

2altgey

yysau02lxPentru

max

max

179


2alcos

2alcos1

e

2alcos

2alcos

2alcos

2alsin

y

22

max

−⋅=

−+=⇒ 3.5-8

Pentru ca săgeata y să fie maximă, în relaţia 3.5-8 trebuie ca mărimea cos al/2 să fie minimă. Rezultă atunci:

a l πcos a l π a

l0

2⋅= ⇒ ⋅ = ⇒ =

Ţinând seama de relaţia 3.5-3, se obţine:

cr crF Fπ π

E I l E I l

2

2= ⇒ =⋅ ⋅

de unde se rezultă expresia forţei critice minime de flambaj:

min

crf

π E IFl

2

2⋅ ⋅

= 3.5-9

Din studiul efectuat, se constată că s-a obţinut aceeaşi expresie pentru forţa critică de flambaj ca în cazul barei solicitată centric. Deci, se poate afirma că excentricitatea sarcinii nu modifică mărimea forţei critice de flambaj.

3.6 FLAMBAJUL LATERAL AL GRINZILOR SUBŢIRI SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

Este cunoscut faptul că rezistenţa unei grinzi este cu atât mai mare, cu cât grinda are un moment de inerţie mai mare. Există atunci tendinţa de a realiza grinzi cu secţiuni cât mai înalte şi înguste. Astfel de elemente de rezistenţă devin instabile, producându-se un flambaj lateral atunci când sunt solicitate chiar numai de un moment încovoietor. La atingerea valorii critice a sarcinii se produc brusc deplasări laterale de încovoiere ( w ) şi de răsucire (ϕ ). Pentru prima dată, Prandtl a studiat analitic problema flambajului lateral.

180


Se consideră o grindă de secţiune dreptunghiulară înţepenită la un capăt şi liberă la celălalt, încărcată la capătul liber cu un cuplu M0 (Fig.4.6-1a). Grinda are înălţime mare şi lăţime mică.

O

b

h y

y

M0x

x

M0=Mcr

x

l

z

x

x

w

ββ

M0 sinβ

M0 cosβ

x’z’

y y’

z

z’M0 cosϕ

M0 sinϕ

ϕ

M0

M0

a)

d)

b)

c)

Fig.3.6-1

O

O

Pentru M0 < Mcr grinda se deformează numai în planul xOy, cu săgeţile y mici (Fig.3.6-1a). Când M0 = Mcr poziţia de echilibru în planul xOy devine nestabilă şi bara se deformează (Fig.3.6-1b). Considerăm că la trecerea de la prima poziţie la cea de-a doua, momentul aplicat M0 rămâne dirijat după axa Oz (Fig.3.6-1d). În această poziţie, pe direcţiile Oy’, respectiv Oz’ apar momentele:

pe direcţia Oy’ ⇒ My’ = M0 ·sin ϕ ≈ M0 ·ϕ 3.6-1a

pe direcţia Oz’ ⇒ Mz’ = M0 · cos ϕ 3.6-1b

Pentru deformarea grinzii în planul xOz cu componentele momentului pe direcţiile Ox’, respectiv Oz’ (Fig.3.6-1c) se poate scrie:

x 'dwM M sinβ M tgβ Mdx0 0 0= ⋅ ≈ ⋅ = ⋅ 3.6-2

Aproximările din relaţia 3.6-1a, respectiv 3.6-2, sunt permise deoarece deplasările (liniare, unghiulare) sunt mici.

181


Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate pe direcţia Oz sau Oz’ datorită momentului My’ (vezi relaţia 3.6-1a) este:

y y'd wE I M Mdx

2

02⋅ ⋅ = − = − 3.6-3

iar cea a răsucirii datorită momentului Mx’ (vezi relaţia 3.6-2):

t x 'dφ dwG I M Mdx dx0⋅ ⋅ = − = ⋅ 3.6-4

Derivând relaţia 3.6-4 încă o dată, se obţine:

td φ d wG I Mdx dx

2 2

02⋅ = ⋅ 2 3.6-5

Din relaţiile 3.6-3 şi 3.6-5 rezultă:

ty y

M φ M φd φG I Mdx E I E I

220 0

02

⋅ ⋅⋅ = − ⋅ = −

⋅ ⋅

de unde:

y t

Md φ φdx E I G I

220

2 0+ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ 3.6-6

Coeficientul lui ϕ din relaţia 3.6-6 se notează cu a2:

ty

202

IGIEM

a⋅

= 3.6-7

după care relaţia 3.6-6 reprezintă o ecuaţie diferenţială de tip Euler:

d φ a φdx

22

2 0+ ⋅ = 3.6-8

care admite o soluţie de forma:

182


φ A sin ax B cosax= ⋅ + ⋅ 3.6-9 Constantele A şi B se determină din condiţiile de rezemare:

Pentru x φ B φ A sinax0 0 0= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ 3.6-10a

max maxPentru x l φ φ φ A sin alsin al 1

= ⇒ = ⇒ = ⋅⇒ = 3.6-10b

( )y t

Mπ πa l al lE I G I

0

2 2⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅⋅π

2

( ) y t yf

π πM E I G I E I G Il l0 22

⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ t 3.6-11

Cum M0 = Mcr, relaţia 3.6-11 conduce la expresia încărcării critice la flambajul lateral:

2f

tmincr l

IGIEM

⋅⋅π= 3.6-12

Expresia EImin · GIt (produsul rigidităţii minime la încovoiere cu cel de răsucire) este o caracteristică a flambajului lateral, indiferent de modul de încărcare sau rezemare a barei. În Tabelul 3.6-1 se prezintă expresiile sarcinii critice de flambaj lateral, pentru câteva cazuri de încărcare.

183


Tabelul 3.6-1 Modul de încărcare şi rezemare Sarcina critică de flambaj

Bara simplu rezemată la capete, cu o sarcină uniform distribuită p, aplicată la înălţimea fibrei medii

( ) ty2cr IGIEl

3,28lp ⋅⋅=

Bara încastrată la un capăt, încărcată cu o sarcină uniform distribuită, aplicată la înălţimea fibrei medii

l

p

( ) ty2cr IGIEl85,12lp ⋅⋅=

l

p

Bara încastrată la capete, încărcată cu o forţă F în mijloc, aplicată în centrul de greutate al secţiunii

ty2cr IGIEl

6,26F ⋅⋅=

F

l/2 l/2

Bara simplu rezemată la capete, supusă la încovoiere pură

tycr IGIEl

M ⋅⋅π

=

M M

l

184


APLICAŢII LA FLAMBAJ

A1. Să se dimensioneze barele sistemului din figura următoare pentru care se cunosc: p=24 KN/m, a1 = 1,2 m, a2 = 1,8 m, caf = 3, E = 2,1⋅105 MPa, σcr = 310 - 1,14 λ. Bara orizontală are rigiditate foarte mare.

p

0,4 m

0,3 m

d a1

a2

0,8 m

2a

a

1

2

Rezolvare Calculul static conduce la următoarele valori pentru eforturile axiale din cele două bare: N1 = 15,6 KN şi N2 = 6 KN şi sunt de compresiune. Rezultă că cele două bare sunt predispuse fenomenului de flambaj. Bara (1) este articulată la un capăt şi înţepenită la celălalt, iar bara (2) este articulată la ambele capete. Problema fiind de dimensionare, nu se poate calcula coeficientul de zvelteţe λ şi ca urmare nici domeniul de flambaj. În acest caz (vezi etapele de calcul), dimensionarea se face pentru domeniul elastic. Lungimile de flambaj ale barelor sunt:

l1f = 0,7 a1 = 0,84 m l2f = a2 = 1 ,8 m Relaţia generală de dimensionare este:

EcNl

I 2af

2f

necmin, ⋅π⋅⋅

=

Particularizată pentru cele două bare, se obţine:

pentru bara (1)

mmE

cNldd

EcNl

I affaffnec 24

6464

43

12

14

21

21

1min, =⋅

⋅⋅⋅=⇒=

⋅

⋅⋅=

ππ

π

185


pentru bara (2)

( ) mmE

cNlaaaa

EcNl

I affaffnec 21

6612

2 42

222

43

22

22

2min, =⋅

⋅⋅⋅=⇒=

⋅=

⋅

⋅⋅=

ππ

Se verifică domeniul de flambaj. Pentru:

bara (1)

0f1

1min

f1 140

4d

lil

λ>===λ

Fiind verificat domeniul de flambaj, dimensiunea rezultată din calcul este acceptată: d = 24 m

bara (2)

02f2

2min

f2 9,296

12a

lil

λ>===λ

Şi pentru această bară se verifică domeniul de flambaj. Se acceptă atunci dimensiunea a = 21 mm. Dimensiunile celor două bare sunt: d = 24 mm şi a = 21 mm. A2. Să se determine încărcarea capabilă pentru sistemul de bare din figra următoare, dacă se cunosc: σa = 150 MPa, caf = 3, σcr =310 – 1,14λ, E = 2,1⋅105 MPa, d1 = 40 mm, d2 = 60 mm.

1

2

F2 a = 2 m a

30o

Rezolvare Din condiţiile de stabilitate rezultă efortul axial de compresiune din bara (2): N2 = 3F. Bara (1), este solicitată la încovoiere. Momentul maxim are valoarea Mimax = F l. Calcul de rezistenţă al barei (1), conduce la :

186


KN942,0l

WFl'FWM 1min,za'

cap1min,zaicap =⋅σ

=⇒⋅=σ=

Bara (2) este solicitată la compresiune. La început se efectuează calculul de rezistenţă:

KN37,1413A

"F"F3AN 2a2acap2 =

σ=⇒=σ=

Calculul la stabilitate presupune stabilirea domeniului de flambaj. În acest scop se calculează coeficientul de zvelteţe λ:

02min

f2 3,153il

λ>==λ

Valoarea coeficientului de zvelteţe indică domeniul elastic de stabilitate. Pentru acest domeniu, forţa critică de flambaj se calculează cu relaţia lui Euler:

KN25,249l

IEF 2

f2

2min,2

2,cr =π

=

În expresia forţei critice de flambaj s-a avut în vedere că lungimea de flambaj a barei (2) este egală cu lungimea ei geometrică (bara este articulată la ambele capete). Relaţia de calcul pentru încărcarea capabilă la flambaj a barei (2) este:

cr, cr, cr,af af

af

F F Fc c F"' ,

N F"' c2 2 2

2

27 693 3

= ⇒ = ⇒ = =⋅

KN

Forţa capabilă finală pentru sistemul analizat este:

( ) KN942,0'"F,"F,'FminFcap ==

Din calculul efectuat, rezultă că elementul periculos al sistemului este grinda (1), care este solicitată la încovoiere.

187


A3. Să se determine forţa capabilă pe care o poate suporta sistemul din figura următoare ştiind că bara orizontală are rigiditate mare. Se cunosc: σa = 150 MPa, caf = 3, E = 2,1 · 105 MPa, σcr = 310 - 1,14 λ. d = 20 mm, D = 30 mm, k = d/D = 0,66, a = 0,75 m.

F 1 m2 m

a d D

Rezolvare Se parcurg etapele recomandate pentru această categorie de probleme.

♦ Stâlpul de susţinere al barei orizontale fiind zvelt şi solicitat la compresiune, poate să-şi piardă stabilitatea (să flambeze).

♦ Se determină efortul axial N din stâlp (vezi schema următoare pe bază căreia se determină efortul axial).

( ) F1,5F23N03F2N0M

B=⋅=⇒=⋅−⋅⇒=∑

B F

N

2 m 1 m

Sensul real al efortului axial N, confirmă ipoteza de mai înainte că stâlpul este solicitat la compresiune.

♦ Problema este de efort capabil. ♦ Relaţia fundamentală (de bază) de calcul, pentru probleme de efort

capabil, este:

afef

cr cNF

=

♦ Bara este articulată la ambele capete, rezultând din Fig.5.1-1 (cazul a):

lf = a = 0,75 m

188


şi

mm8,988A

Ii min

min ==

de unde rezultă acum coeficientul de zvelteţe λ:

105λ83,448,988750

iλ 0

min

f =<===l

Rezultă că la o eventuală atingere a forţei critice de flambaj, stâlpul de susţinere va flamba în domeniul elasto-plastic.

♦ Se calculează forţa critică de flambaj, cu:

( ) ( ) =⋅−⋅−⋅⋅

=⋅= λ1,14310k14DπσAF 2

2

crcr

( ) ( ) kN85,72683,441,143100,661430π 2

2

=⋅−⋅−⋅⋅

=

♦ Înlocuind forţa critică de flambaj determinată, şi ţinând seama şi de

efortul axial N, se obţine pentru forţa critică de flambaj: ♦

kN19,05N19.05031,5

85.726F3F1,5

85.726cNF

1capafef

cr ≈=⋅

=⇒=⋅

⇔=

Deoarece în enunţul problemei se dă şi tensiunea normală admisibilă σa,

înseamnă că trebuie făcut şi calculul de rezistenţă. Calcul de rezistenţă conduce la:

1capa

2capaa FkN39,891,5σAFσ

AF1,5σ

AN

>≈⋅

=⇒=⋅

⇔=

Forţa capabilă pentru întregul sistem, este: Fcap = F = min (F1,cap ; F2,cap) = 19,05 KN şi a rezultat din condiţia de stabilitate (flambaj).

189


A4. Să se dimensioneze barele de oţel din figura următoare, pentru care se cunosc: E = 2,1 · 105 MPa, σa = 150 MPa, caf = 3, α = 300, h = 2 m.

2

ααaa

F

h

d

1

Rezolvare

♦ Bara (1) este solicitată la întindere, iar bara (2) la compresiune. Bara (2) este zveltă, deci poate flamba.

♦ Eforturile axiale din cele două bare se determină cu ajutorul schemei următoare:

αα

F

N1 N2

( ) F2NNFsinαNsinαN0F 2121x

⋅=+⇒=⋅+⋅⇒=∑

( ) 2121yNN0αcosNcosαN0F =⇒=⋅−⋅⇒=∑

Ca urmare: N1 = N2 = F = 10 KN

♦ La flambaj se va calcula numai bara (2). ♦ Problema este de dimensionare, condiţia de stabilitate şi rezistenţă. ♦ Relaţia de bază pentru flambaj, este:

af2

cr cNF

=

♦ Lungimea de flambaj lf, este:

mm1.616cosα

h0,77,0f =⋅=⋅= ll

♦ Pentru problemele de dimensionare, se calculează Fcr cu:

190


2f

min2

crIEπ

Fl⋅⋅

=

care se introduce în relaţia de bază rezultând:

af2

2f

min2

cN

IEπ=

⋅⋅⋅

l

de unde:

64dπ

EπcNI

4

2af2

2f

necmin,⋅

=⋅⋅⋅

=l

obţinându-se diametrul barei:

mm22Eπ

cN64d 43

af22f

1 ≈⋅

⋅⋅⋅=

l

♦ Cu această valoare pentru diametrul barei, se verifică domeniul

(presupus iniţial a fi cel elastic):

se calculează λef

105λ293,818

AIl

ilλ 0

min

f

min

fef =>===

Cum se verifică domeniul de flambaj (cel elastic), rezultă că pentru condiţia de stabilitate se acceptă această dimensiune: d1 = 22 mm

♦ Tot pentru bara (2), se calculează un diametru necesar şi din condiţia de rezistenţă:

4dπ

σNA

2

a

22nec

⋅==

de unde se obţine:

mm10150π

10104σπN4d

3

a

22 ≈

⋅⋅⋅

=⋅⋅

=

Pentru bara (2), rezultă în final diametrul secţiunii transversale:

d = max (d1 ; d2) = 22 mm

191


şi a rezultat tot din condiţia de stabilitate. ♦ Bara (1) este solicitată la întindere, deci se dimensionează numai din

condiţia de rezistenţă:

2

a

11nec a

σNA ==

de unde se obţine dimensiunea secţiunii transversale:

mm9150

1010σNa

3

a

1 ≈⋅

==

A5. Să se dimensioneze o bară de oţel de secţiune circulară cu diametrul d, comprimată de o forţă F = 135 KN, bara este articulată la ambele capete (vezi figura următoare), iar lungimea ei poate fi: a) a = 2 m b) a = 0,8 m Se cunosc: caf = 3, σcr = 310 - 1,14 λ, E = 2,1 · 105 MPa.

F a

Rezolvare

♦ Bara este zveltă şi solicitată la compresiune, putând în aceste condiţii să-şi piardă stabilitatea.

♦ Efortul axial din bară este:

N = F = 135 KN

♦ Problema este de dimensionare, condiţia de stabilitate. ♦ Relaţia fundamentală de calcul este:

afcr c

NF

=

♦ Lungimea de flambaj lf este:

lf = a

192


♦ Forţa critică are expresia (problemă de dimensionare):

2f

min2

crIEπF

l⋅⋅

=

care introdusă în relaţia fundamentală, rezultă:

af2f

min2

cNIEπ

=⋅⋅⋅

l

de unde

43

af2f

4

2af

2f

necmin, EπcN64d

64dπ

EπcNI

⋅⋅⋅⋅

=⇒⋅

=⋅⋅⋅

=ll

Cazul a) a = 2 m. Diametrul necesar este:

( ) mm63

102,1π31013510264d 4

53

323

≈⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

♦ Se verifică domeniul de flambaj:

105λ126,9863

1024

4dl

iλ 0

3f

min

f =>=⋅⋅

===l

Se verifică domeniul de flambaj, acceptându-se dimensiunea secţiunii transversale a barei: d = 63 mm Cazul b) a = 0, 8 m = 800 mm Pentru diametrul secţiunii se obţine:

( ) mm40

102,1π310135100,864d 4

53

323

≈⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

♣Verificăm domeniul de flambaj:

193


105λ80408004

4dl

iλ 0

f

min

f =<=⋅

===l

Nu se verifică domeniul de flambaj. Cu această dimensiune pentru diametrul d, bara va flamba în domeniul elasto-plastic.

Se verifică dacă este satisfăcută valoarea coeficientului de siguranţă la flambaj:

se calculează:

( ) kN274,952801,14310440πσAF

2

crcr =⋅−⋅⋅

=⋅=

se calculează coeficientul de siguranţă la flambaj

3c2,03135

274,052NF

c afcr

f =<===

Nu se atinge valoarea coeficientului de siguranţă admis.

se măreşte secţiunea adoptând d = 45 mm şi se reia calculul de la punctul cu semnul ♣ (vezi şi etapele indicate)

Se calculează:

105λ1,71458004

4dl

iλ 0

f

min

f =<=⋅

===l

rezultă tot domeniul elasto-plastic de flambaj

se calculează

( ) kN287,71,711,14310445πσAF

2

crcr =⋅−⋅⋅

=⋅=

coeficientul de siguranţă la flambaj este

3c2,13135

287,7NFc af

crf =<===

Tot nu se atinge valoarea minimă admisă. Se măreşte din nou secţiunea adoptând d = 48 mm şi se reia calculul de la punctul

194


se calculează

105λ66,66488004

4dl

iλ 0

f

min

f =<=⋅

===l

Rezultă tot domeniul elesto-plastic de flambaj.

se calculează:

( ) kN,4542366,661,14310448πσAF

2

crcr =⋅−⋅⋅

=⋅=

se calculează coeficientul de siguranţă la flambaj

3c3,13135

423,45NFc af

crf =>===

Abia acum este atinsă valoarea minimă admisă pentru coeficientul de siguranţă la flambaj. Se poate admite pentru diametrul barei în această variantă, valoarea: d = 48 mm. A6. Să se dimensioneze barele sistemului din figura următoare pentru care se cunosc: p = 24 KN/m, a1 = 1,2 m, a2 = 1,8 m, caf = 3, E = 2.1 · 105 MPa, σcr = 310 - 1,14 λ, iar bara verticală are rigiditate foarte mare.

2

1

p 0,4 m

0,3 m

0,8 m

a1

a2

d 2a

a

195


Rezolvare ♦ Barele (1) şi (2) sunt solicitate la compresiune şi pot să-şi piardă

stabilitatea. ♦ Pe schema din figura următoare se determină eforturile axiale din cele

două bare.

( ) kN6N0,50,4p0,8N0M 22B

=⇒⋅⋅=⋅⇒=∑

B

p0,4 m

0,3 m

0,8 m

N1

CN2

( ) kN6,15N1,30,4p0,8N0M 11C=⇒⋅⋅=⋅⇒=∑

Orientarea eforturilor N1 şi N2 confirmă ipoteza iniţială că barele sunt

solicitate la compresiune. ♦ Problema este de dimensionare, condiţia de stabilitate. ♦ Lungimea de flambaj pentru cele două bare este:

pentru bara (1): lf1 = 0,7a1 = 0,84 m pentru bara (2): lf2 = a2 = 1,8 m.

♦ Relaţia fundamentală de calcul este:

afcr c

NF

=

♦ Relaţia pentru Fcr în cazul problemelor de dimensionare este:

2f

min2

crIEπF

l⋅⋅

=

care înlocuită în relaţia fundamentală, conduce la:

196


EπcNIcIEπ

2af

2f

necmin,af2f

min2

⋅⋅⋅

=⇒=⋅⋅⋅ lNl

Particularizată pentru cele două bare, relaţia de mai sus capătă forma:

pentru bara (1)

mmll 24Eπ

cN64d64

dπEπcNI 4

3af1

2f1

4

2af1

2f1

necmin, ≈⋅

⋅⋅⋅=⇒

⋅=

⋅⋅⋅

=

pentru bara (2)

mmll 21Eπ

cN6a6a

122aa

EπcNI 4

2af2

2f2

43

2af2

2f2

necmin, ≈⋅⋅⋅⋅

=⇒=⋅

=⋅⋅⋅

=

Se verifică acum domeniul de flambaj.

pentru bara (1)

0f1 λ140

248404

d4λ >=

⋅=

⋅=

l

ceea ce însemnă că se verifică domeniul de flambaj şi se adoptă dimensiunea rezultată prin calcul: d = 24 mm

pentru bara (2)

022f2

4f2 λ296,9

1221800.1

12a

a2a6a

λ >===

⋅

=ll

Şi pentru bara (2) se verifică domeniul elastic de flambaj şi ca urmare se acceptă dimensiunea calculată: a = 21 mm. Astfel, s-au obţinut valorile: d = 24 mm, respectiv a = 21 mm.

197


4. SOLICITĂRI DINAMICE


În capitolele precedente s-a considerat că sarcinile acţionează asupra

elementelor de rezistenţă cu intensitate crescândă de la zero la valoarea lor nominală. Sub acţiunea acestora, corpurile se deformează dar nu se mişcă.

O piesă este solicitată static atunci când forţele care îi sunt aplicate cresc lent, de la zero până la valorile lor nominale, şi rămân nemodificate un timp îndelungat.

Există multe situaţii în practică unde elementele de rezistenţă se mişcă, iar mişcarea lor, prin forţa de inerţie, determină stări de solicitare. Solicitările astfel produse poartă numele de solicitări dinamice.

O piesă este solicitată dinamic dacă se află într-una din următoarele stări: 1. piesa are o altă mişcare decât cea de translaţie rectilinie şi uniformă; 2. piesa se ciocneşte de o altă piesă; 3. asupra piesei acţionează sarcini variabile în timp.

Folosind drept criteriu modul de variaţie al acceleraţiilor, vitezelor sau forţelor aplicate pieselor, solicitările dinamice se pot clasifica astfel: A) Solicitări dinamice datorate forţelor de inerţie, întâlnite la piese în mişcare a căror viteză variază continuu, (fără porniri sau opriri brusce). Exemple: cabluri de ascensor, biele şi volanţi de motoare cu ardere internă, discuri de polizoare, discuri de turbină, etc. B) Solicitări dinamice prin şoc, întâlnite la piese care se ciocnesc, sau la cele cu porniri sau opriri brusce. Exemple: frânări brusce, la baterea pilonilor în pământ, etc. C) Solicitări variabile în timp sau solicitări la OBOSEALĂ, întâlnite la piesele care au o variaţie periodică a încărcărilor exterioare, variaţie care se repetă de un număr mare de ori în unitatea de timp. Exemple: arborii maşinilor, bolţurile motoarelor cu ardere internă, dinţii roţilor dinţate, şi în general la majoritatea organelor de maşini aflate în mişcare periodică. Calculul de rezistenţă la oboseală face obiectul altui capitol.

198


4.2 SOLICITĂRI PRIN FORŢE DE INERŢIE

Astfel de solicitări apar la piesele aflate în mişcare neuniformă (mişcare

accelerată). În general se cunoaşte mişcarea pe care o are piesa şi se cere dimensionarea sau verificarea ei. Calculul unei astfel de piese se face adăugând la forţele care o solicită static şi forţele de inerţie. Uneori, când forţele de inerţie sunt mult mai mari decât cele statice, acestea din urmă se neglijează.

Calculul unei piese supuse acţiunii forţelor de inerţie începe cu stabilirea acceleraţiilor şi a forţelor de inerţie care apar în piesă, după care se scriu ecuaţiile de echilibru, se determină reacţiunile, apoi eforturile şi tensiunile. Majoritatea organelor de maşini aflate în mişcare sunt solicitate dinamic datorită forţelor de inerţie care apar şi care se suprapun peste cele direct aplicate şi de legătură. Pentru rezolvarea unor astfel de probleme, se aplică principiul lui d’Alambert, care permite astfel tratarea unei probleme dinamice ca una statică. Se pot utiliza atunci metodele de calcul din statică. Această metodă de rezolvare a problemelor dinamice este cunoscută sub denumirea de metoda cineto-statică. Metoda cineto-statică impune cunoaşterea acceleraţiei a pentru toate punctele elementului aflat în mişcare. Forţa de inerţie elementară dFi a fiecărui element de masă elementară dm este dată de relaţia cunoscută: idF a dm= ⋅ 4.2-1 şi are sens contrar acceleraţiei. Însumarea tuturor forţelor de inerţie şi reducerea acestora conduce la un torsor format dintr-o forţă rezultantă şi un moment rezultant. În mişcarea de translaţie toate punctele elementului au aceeaşi acceleraţie. Prin reducerea forţelor de inerţie în centrul de greutate se obţine numai o forţă de inerţie rezultantă: amFi ⋅= 4.2-2 unde, m – este masa întregului element. În mişcarea de rotaţie cu axă fixă, acceleraţia elementului de masă dm care se află la distanţa r de axa de rotaţie, depinde de viteza unghiulară ω şi acceleraţia unghiulară ε a corpului. Unei acceleraţii normale (centripete) 4.2-3 na R ω2= ⋅ îi corespunde o forţă centrifugă:

199


4.2-4 ic ndF a dm R ω dm2= ⋅ = ⋅ ⋅

ω

an at

(n)

(t)

dFic

dFit

Fig.4.2-1

R

iar acceleraţiei tangenţiale 4.2-5 ta R ε= ⋅ îi corespunde o forţă de inerţie tangenţială: 4.2-6 it tdF a dm R ε dm= ⋅ = ⋅ ⋅

Prin însumarea celor două forţe de inerţie (centrifugă şi tangenţială) care sunt normale ca direcţie, se obţine forţa de inerţie ce acţionează asupra elementului:

i ic itdF dF dF r ω ε dm2 2 4 2= + = ⋅ + ⋅ 4.2-7 Dacă centrul de greutate (al maselor) este situat pe axa de rotaţie, forţele

de inerţie elementare se reduc numai la un cuplu de inerţie: ε⋅= JCi 4.2-8

unde, J – momentul de inerţie masic al corpului faţă de axa de rotaţie.

200


4.2.1 Calculul cablului de ascensor sau de macara

Schema de funcţionare a unui ascensor este prezentată în Fig.4.2.1-1.

a

Q

N

N a Fi

Fig.4.2.1-1

Cabina ascensorului (împreună cu persoanele dinăuntru) are greutatea Q iar greutatea cablului de susţinere se neglijează. Dintre toate poziţiile posibile ale ascensorului, poziţia cea mai periculoasă este la pornirea acestuia în mişcarea de urcare. În această poziţie ascensorul are acceleraţia ascensională a. Forţa de inerţie Fi corespunzătoare acestei acceleraţii (orientată invers acceleraţiei) este dată de relaţia cunoscută:

agQamFi ⋅=⋅= 4.2.1-1

Punând condiţia de echilibru pentru cabină, se obţine efortul axial

dinamic Nd din cablul ascensorului:

ψ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=+= Q

ga1QFQN id 4.2.1-2

unde

1ga1 >+=ψ 4.2.1-3

201


şi se numeşte coeficient dinamic. Forţa axială dinamică creează în cablu o tensiune dinamică σd:

ψ⋅σ=ψ⋅==σ std

d AQ

AN

4.2.1-4

Se constată că tensiunea dinamică este egală cu produsul dintre tensiunea statică σst şi coeficientul dinamic ψ. Tensiunea statică este tensiunea produsă atunci când ascensorul se află într-o mişcare rectilinie sau este în repaus. Condiţia de rezistenţă impune ca tensiunea dinamică să fie mai mică sau cel mult egală cu tensiunea normală admisibilă: astd σ≤ψ⋅σ=σ 4.2.1-5 Dacă se ţine seama şi de greutatea proprie a cablului, în ecuaţia (1) mai trebuiesc introduse încă două forţe: - greutatea cablului: 'Q γ A l= ⋅ ⋅

- forţa de inerţie a cablului: '

iγF A lg

a= ⋅ ⋅ ⋅ ,

unde : γ - greutatea specifică a materialului cablului l - lungimea cablului A - aria secţiunii transversale a cablului.

Relaţia 4.2.1-2 pentru efortul axial în această situaţie devine:

( )' a γ aN Q Q γ A l A l a Q γ A lg g

1⎛ ⎞= + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ +⎜

⎝ ⎠g ⎟ 4.2.1-6

Aplicaţie. Care este tensiunea dintr-un cablu de oţel (γ = 76,5 kN/m3),

care susţine o cabină de ascensor cu greutatea Q = 32 kN, având secţiunea A =3,1 cm2 şi lungimea l = 11 m, dacă acceleraţia este a = 5 m/s2. Rezolvare Aplicând relaţia 4.2.1-6 se obţine:

( )

'

efN Q γ A l a , ,σA A g , ,

, , N / m , MPa

3 3 4

4

6 6 2

32 10 76 5 10 3 1 10 11 51 13 1 10 9 81

104 10 1 0 51 157 1 10 157 1

−

−

⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞= = ⋅ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= ⋅ + = ⋅ =

=

202


4.2.2 Calculul volantului în mişcarea de rotaţie

Volanţii sunt organe de maşini frecvent întâlniţi în componenţa maşinilor şi ei au rolul de a înmagazina o mare cantitate de energie cinetică în vederea reglării mişcării şi a uniformizării turaţiei arborelui.. Volanţii au formă de: roată cu obadă, spiţe şi butuc (Fig.4.2.2-1a) disc plin îngroşat în zona de fixare pe arbore şi în zona periferică (Fig.4.2.2-

1b).

Obadă

Spiţe

Butuc

A

A

A - A

Fig.4.2.2-1

a)

b)

A

A

A - A

Volanţii efectuează o mişcare de rotaţie cu viteză unghiulară ω de obicei constantă, în jurul unei axe fixe. Elementele discului sunt supuse astfel forţelor de inerţie (forţelor centrifuge). Determinarea tensiunilor se poate efectua prin mai multe metode: calculul aproximativ neglijează spiţele şi butucul, iar obada este considerată

un inel subţire în mişcare de rotaţie. Masa spiţelor se neglijează în comparaţie cu masa obadei, iar grosimea obadei este mică în comparaţie cu diametrul mediu 2R al volantului

calculul volantului ca un disc aflat în mişcare de rotaţie calculul volantului considerând şi spiţele. În această ipoteză, volantul este un

sistem static nedeterminat.

203


Dacă turaţia volantului n [rot/min] este constantă, atunci viteza unghiulară ω a acestuia este:

[ ]2s/rad30

n⋅π=ω 4.2.2-1

Se va prezenta calculul aproximativ al volantului. Forţele de inerţie

centrifuge solicită secţiunile transversale ale obadei (Fig.4.2.2-2a). Pentru determinarea efortului axial din obadă se detaşează un element din aceasta (Fig.4.2.2-2a,b).

ω

2 RO

dFi dFi

α

dα

dα

dα/2

dα/2

R

O

a) b)

Fig.4.2.2-2

N

N

Forţa centrifugă ce revine elementului izolat este:

α⋅⋅ω⋅⋅γ

=⋅= dARg

dmadF 22i 4.2.2-2

unde: A – aria secţiunii transversale a obadei γ - greutatea specifică a materialului Pentru elementul izolat (Fig.4.2.2-2b), condiţia de echilibru conduce la relaţia:

idαdF N sin N dα22

= ⋅ ⋅ ≈ ⋅ 4.2.2-3

de unde se obţine expresia efortului axial din secţiunea obadei:

( ) 22i vAg

RAgd

dFN ⋅⋅

γ=ω⋅⋅⋅

γ=

α= 4.2.2-4

204


În relaţia 4.2.2-4 ω⋅= Rv 4.2.2-5 şi reprezintă viteza medie a obadei. Forţa axială produce în secţiunea transversală a obadei tensiunea normală:

2v

gAN

⋅γ

==σ 4.2.2-6

Din relaţia 4.2.2-6 se observă că tensiunea este independentă de mărimea secţiunii transversale a obadei. Asta înseamnă că obada nu poate fi dimensionată din condiţia de rezistenţă. În mişcarea de rotaţie obada înmagazinează energie cinetică şi ca urmare dimensionarea acesteia se va face pe baza acestui criteriu. Din relaţia 4.2.2-6 se va determina atunci viteza maximă admisă a obadei astfel încât tensiunea normală rezultată să nu depăşească pe cea admisibilă. Rezultă atunci:

γ⋅σ

≤g

v a 4.2.2-7

Viteza volantului depinde de natura materialului din care este confecţionat

şi nicidecum de dimensiunile sale. Pentru volanţii din fontă cu σa = 30 MPa şi γ = 71 [kN/m3] ⇒ va ≤ 64,4 m/s, iar pentru volanţii din oţel cu σa = 120 MPa şi γ = 71 kN/m3 ⇒ va ≤ 128,76 [m/s]. Sub acţiunea forţelor centrifuge (a efortului axial) obada se deformează, se lungeşte. Cantitatea cu care se lungeşte obada rezultă relativ uşor, deoarece deformaţiile specifice ε sunt constante:

Ev

gR2R2R

gE1l

Ell

222 ⋅

γ⋅π=⋅π⋅ω⋅

γ⋅=⋅

σ=⋅ε=Δ 4.2.2-8

Datorită acestei lungiri a obadei, raza medie a acesteia creşte cu cantitatea:

ERv

gER

2lR

2 ⋅⋅

γ=

⋅σ=

πΔ

=Δ 4.2.2-9

205


Aplicaţie. Să se calculeze tensiunea maximă din obada unui volant confecţionat din oţel (γ = 7,8 daN /dm3) având diametrul D = 2 m şi care se roteşte cu o turaţie n = 600 rot/min. Să se calculeze şi creşterea razei volantului. Se cunoaşte E = 2,1⋅105 MPa.

Rezolvare Efortul axial care ia naştere în obada volantului este:

gRAN

22 ⋅ω⋅⋅γ=

iar tensiunea normală din obadă are expresia:

MPa29g

R30

n

gR

AN

22

22

=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅π⋅γ

=⋅ω⋅γ

==σ

Creşterea razei se determină cu relaţia cunoscută:

mm138,0E

RR =⋅σ

=Δ

4.2.3 Calculul barei în mişcare de rotaţie în juriul unei axe perpendiculare pe planul său

Se consideră o bară de secţiune variabilă care se roteşte cu viteză

unghiulară ω constantă, în jurul unei axe perpendiculare pe planul său (Fig.4.2.3-1).

În timpul mişcării de rotaţie, în bară apar forţe de inerţie centrifugale, care

supun bara la întindere. Unui element de lungime dx din bară, îi corespunde forţa de inerţie elementară:

ω = ct.r

x dx

l

Fig.4.2.3-1

Ax

206


i xγ γdF a dm ω x A dx ω A x dxg g

2 2= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅x 4.2.3-1

În secţiunea situată la distanţa x de centrul de rotaţie, efortul axial din

secţiunea transversală a barei este:

l

xx

γN ω A x dxg

2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ 4.2.3-2

iar tensiunea normală rezultată are expresia:

l

xxx x

N γ ωσ A x dxA g A

2

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ 4.2.3-3

Se pot întâlni două situaţii:

bara are secţiune constantă. În această situaţie integrarea relaţiei 4.2.3-3 este uşor de efectuat şi se obţine pentru tensiunea normală expresia:

( 222

xl2g

−⋅ω⋅

γ=σ ) 4.2.3-4

Tensiunea maximă se obţine din relaţia 4.2.3-4 când x = r:

( 222

rl2g

−⋅ω⋅

γ=σ ) 4.2.3-5

bara este de egală rezistenţă (elicea de avion). Solicitarea elementului

izolat din bară este prezentată în Fig.4.2.3-2.

σaσa

dx

Ax + dAx

Ax

dFi

Fig.4.2.3-2

Punând condiţia de echilibru pentru elementul din Fig.4.2.3-2, ca o sumă

de forţe pe orizontală se obţine:

207


( )x a x i a x( F) σ A dF σ A dA0 0= ⇒ + ⋅ + − ⋅ + =∑ x După înlocuirea forţei de inerţie elementare cu mărimea

dxxAg

dF x2

i ⋅⋅⋅ω⋅γ

=

şi efectuarea calculelor, rezultă următoarea expresie:

dxxgA

dA

a

2

x

x ⋅⋅σω⋅

γ−=

iar după integrare se obţine ecuaţia:

C2

xg

Aln2

a

2

x +⋅σω⋅

γ−= 4.2.3-6

Constanta de integrare C se determină impunând ca la x = r aria secţiunii transversale a barei să fie A0. Atunci relaţia 4.2.3-6 devine:

C2r

gAln

2

a

2

0 +⋅σω⋅

γ−=

de unde se obţine expresia constantei C:

2r

gAlnC

2

a

2

0 ⋅σω⋅

γ+= 4.2.3-7

Înlocuind expresia constantei C în relaţia 4.2.3-6 şi efectuând calculele se ajunge în final la expresia legii de variaţie a secţiunii transversale a barei:

( )22

a

2rx

g20x eAA

−⋅σω⋅

γ−

⋅= 4.2.3-8

Se observă că la bara de egală rezistenţă care se roteşte în jurul unui ax perpendicular pe planul său, aria secţiunii transversale variază după o funcţie

208


exponenţială. În Fig.4.2.3-1, s-a anticipat această variaţie şi bara a fost reprezentată cu secţiune variabilă, în această ipoteză.

Secţiunea barei este maximă pentru x = r şi minimă pentru x = l.

4.2.4 Calculul bielei motoare

Biela motoare este o componentă a mecanismului bielă-manivelă. Acest tip de mecanism, are o mare răspândire în construcţia de maşini, transformând mişcarea rectilinie în mişcare de rotaţie sau mişcarea de rotaţie în una rectilinie. În Fig.4.2.4-1 se prezintă schematic mecanismul bielă-manivelă. Manivela execută o mişcare de rotaţie în jurul unui ax de cele mai multe ori cu viteză unghiulară ω constantă, iar biela execută o mişcare plană. Cea mai periculoasă poziţie este aceea când biela BC este perpendiculară pe manivela OB. În această poziţie punctul B de articulaţie între bielă şi manivelă, are acceleraţia: 4.2.4-1 2Ra ω⋅= Punctul C are în această poziţie o acceleraţie care poate fi considerată nulă şi considerând că acceleraţia secţiunilor transversale ale bielei între punctele C şi B este liniară, rezultă că la distanţa x de punctul C, acceleraţia este:

xx xa a R ωL

2= ⋅ = ⋅ ⋅L 4.2.4-2

pmax

px

R

x

dx

LC

ω

B

Fig.4.2.4-1

O

Forţa de inerţie repartizată pe elementul de lungime dx este atunci:

i xγ x γ R ωdF a dm Adx R ω A xg L g L

22 ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅dx 4.2.4-3

209


unde A – aria secţiunii transversale a bielei. Forţa de inerţie dFi acţionează ca o sarcină distribuită. Sarcina distribuită px ce acţionează pe unitatea de lungime a bielei este atunci egală cu:

i

xdF γ xp A R ωdx g L

2= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 4.2.4-4

şi are o variaţie liniară în lungul bielei. Pentru x = 0 rezultă px = 0 , iar pentru x =Ll se obţine valoarea maximă (Fig.4.2.4-1):

2

max RAg

p ω⋅⋅⋅γ

= 4.2.4.5

Sarcina distribuită p supune biela la o solicitare de încovoiere (Fig.4.2.4-2). pmax

L

0,577 L

31/2 pmax L2 / 27

T

Mi

Fig.4.2.4-2

Momentul încovoietor maxim se produce la distanţa x = 0,577 ·L şi are valoarea:

maximax

p L R ω A γM Lg

2 22

9 3 9 3⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅⋅ ⋅

⋅ 4.2.4-6

iar tensiunea normală din secţiunea periculoasă este:

210


i maxmax

z z

M R ω A γ LσW g

2 2

9 3⋅ ⋅

= = ⋅ ⋅⋅ W 4.2.4-7

Tensiunea normală maximă depinde atât de viteza unghiulară ω, aria

secţiunii transversale A, cât şi de modulul de rezistenţă Wz . Aplicaţie. Pentru un motor cu ardere internă se cunosc: - forţa maximă din momentul exploziei: Fmax = 23 kN; - raza manivelei: R = 76 mm; - lungimea bielei: L = 330 mm; - Turaţia motorului: n = 1050 rot/min; - Greutatea specifică a materialului: γ = 3

4108 . mm

N−⋅

Secţiunea bielei este constantă şi poate fi aproximată cu un profil I

indicat în Fig.4.2.4-3.

5

5

5

21

18

Fig.4.2.4-3

Se cer: a) Tensiunea σ din bielă în momentul exploziei, poziţie considerată ca

fiind punctul mort superior; b) Tensiunea maximă din bielă în momentul în care aceasta este

perpendiculară pe manivelă, dacă se admite că în acel moment forţa de compresiune din bielă este jumătate din Fmax.

Rezolvare

Pentru secţiunea bielei se calculează caracteristicile geometrice care intervin în calculul tensiunilor normale:

- Aria: mmA 2 5 21 5 18 300= ⋅ ⋅ + ⋅ = 2;

211


- Momentul de inerţie: ( )zI ,3 3

2 421 5 5 182 21 5 11 5 312 12

⎡ ⎤⋅ ⋅ 10= ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

mm4;

- Modulul de rezistenţă: zz,min

max

IW ,y

433 10 2 143 10

14⋅

= = = ⋅ mm3.

a) În cazul (a) biela este în punctul mort superior (Fig.4.2.4-4), deci nu se

mişcă, şi ca atare este solicitată doar la compresiune de forţa axială Fmax = 23 kN.

CR O L

BFmax

Fig.4.2.4-4

Tensiunea se calculează ca fiind: maxFσ MPa. ,

A23000 76 7

300= − = − = −

b) În cazul (b) biela are poziţia din fig,4.2.4-5. Acceleraţia punctului (B)

este:

Ba R ω2= ⋅ , unde π nω 11030⋅

= ≅ , iar cea a punctului (C) este: . Între cele

două extremităţi ale bielei acceleraţia poate fi estimată ca având o variaţie liniară.

Ca 0≅

Schema de încărcare a bilei este reprezentată în Fig.4.2.4-5:

R

O

ω

pmax

L

B

maxF2

C

Fig.4.2.4-5

Datorită mişcării de rotaţie biela va fi solicitată de o sarcină distribuită

liniar, a cărei valoare maximă se calculează ca fiind:

212


max Bγ Ap m a R ω ,

g ,

42 2

38 10 300 76 110 22 5

9 81 10

−⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≅

⋅ N / mm [kN / m]

Ca urmare a încărcărilor cu sarcinile indicate în Fig.4.2.4-6 se calculează reacţiunile şi se trasează diagramele de eforturi: (N), (T) şi (Mi). Într-o secţiune aflată la distanţa x de punctul C există următoarele eforturi:

- N(x) = -11500 N = constant;

- T(x) = maxx pp x x21237 12372 660⋅

− = − ⋅

- Mi(x) = maxp xxL

3

12376

− ⋅ + ⋅ .

B

VB= 2475 N

pmax

C

VC= 1237 R=3712 N

5,112max =

F

ξ=0,577L=190,51 mm

Mimax=157180 Nmm

T

Mi

2475 N

1237 N

kNHB=11,5 kN

N

11500 N

x

Fig.2.4.4-6

Forţa tăietoare se anulează pentru x = ξ = 0,577L = 190,51 mm. În această

secţiune se obţine momentul maxim: Mi,max= 157180 Nmm.

213


Pentru aceste eforturi se calculează tensiunile normale:

NNσ , ( )A

11500 38 3 3300

= = − = − MPa

imax,Mσ ,157180 73 642143

= = MPa.

Există fibre extreme ale secţiunii celei mai solicitate în care ambele

tensiuni sunt negative. Prin urmare tensiunea maximă de compresiune are valoarea:

imax,c N max,Mσ σ σ , (111 97 3)= + = − MPa.

4.2.5 Calculul bielei de cuplare Biela de cuplare a unei locomotive este o bară dreaptă articulată la ambele

capete de manivelele a două roţi egale în diametru (Fig.4.2.5-1). Faţă de locomotivă, biela execută o mişcare de translaţie circulară uniformă, cu viteza unghiulară ω, astfel încât toate punctele sale au aceeaşi acceleraţie a = R·ω2 orientată paralel cu manivelele, spre centrele de rotaţie O şi O1.

bh

L

p´R RO O1

ω ω

Fig.4.2.5-1

Forţele de inerţie sunt orientate centripet în raport cu aceleaşi puncte. Valoarea acestor forţe pentru unitatea de lungime a bielei este:

γ A γ Ap ' R ω R ωg g

21⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 2

4.2.5-1

unde:

214


γ – greutatea specifică a materialului bielei A – aria secţiunii transversale a bielei (A = b·h, secţiune dreptunghiulară) Forţele distribuite p sunt întotdeauna paralele cu manivelele OA şi O1B, deci au o direcţie înclinată faţă de axa bielei (AB). Cea mai defavorabilă poziţie a bielei este cea reprezentată schematic în Fig.4.2.5-1 cu p’ perpendiculară pe bielă. În acest caz, biela poate fi schematizată ca o grindă simplu rezemată încărcată cu o sarcină uniform distribuită p = p’ + p’’ (Fig,4.2.5-2), unde p’’ = γ·A·1 (greutatea proprie a unităţii de lungime a bielei).

Momentul încovoietor este maxim la mijlocul bielei şi are valoarea:

i,maxp L γ A L R ωM

g

2 2 2

18 8

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅⎜

⎝ ⎠+ ⎟ 4.2.5-2

p’ + p’’

p · L/ 2 p · L/ 2 L

L/2 L/2

p · L2 / 8

Mi

Fig.4.2.5-2

de unde rezultă tensiunea normală maximă din bielă:

i,maxmax

z z z

M p L γ A L R ωσW W W g

2 2 2

18 8

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ +⎜⋅ ⋅ ⎝ ⎠

⎟ 4.2.5-3

215


Aplicaţie. Să se calculeze tensiunea dintr-o bielă de cuplare executată din

oţel cu γ = 76,5 kN/m3, având lungimea l = 1,6 m şi secţiunea dreptunghiulară A = b · h = 40 · 100 mm2, articulată de două manivele de rază R = 0,5 m, care se rotesc cu viteza unghiulară ω = 30 rad/s.

Rezolvare

Valoarea momentului încovoietor maxim este (rel.4.2.5-2):

i,max, , ,M ,

,

3 3 2 276 5 10 40 10 1 6 0 5 30 1 4589 668 9 81

− ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠N m⋅ .

zb hW ,

26 366 66 10

6−⋅

= = ⋅ m

iar tensiunea normală efectivă maximă din bielă este:

i,maxef ,max

z

M ,σ , N/ mm MPW ,

26

4589 66 68 85 6966 66 10−= = = ≈

⋅a

216


4.3 SOLICITĂRI PRODUSE DE VARIAŢII RAPIDE ALE

ACCELERAŢIEI (ŞOCURI) 4.3.1 Consideraţii generale Asemenea solicitări sunt frecvente în practică şi ele apar în special atunci

când două corpuri se ciocnesc. În vecinătatea locului de contact corpurile suferă deformaţii elastice sau plastice. La solicitările prin şoc, starea de solicitare are o componentă locală în jurul zonei de contact şi una generală determinată de propagarea efectului şocului în toată masa corpului lovit. Ca urmare, elementele corpului se pun în mişcare efectuând o mişcare oscilatorie amortizată. Din acest punct de vedere, solicitarea prin şoc este deosebit de complexă, motiv pentru care în general problema şocului se abordează cu metode aproximative, care însă conduc la valori ale tensiunilor mai mari decât cele reale.

De cele mai multe ori, în practică ciocnirea se realizează între două corpuri, unul aflat în mişcare (care loveşte) şi unul în repaus (cel lovit). Dacă cel lovit îl opreşte pe cel care loveşte, atunci o soluţionare aproximativă a şocului se obţine pe baza legii conservării energiei.

Înainte de ciocnire, corpul aflat în mişcare are o energie cinetică:

c mE v212

= ⋅ ⋅∫ dm 4.3.1-1

unde: v – viteza unui element al corpului aflat în mişcare m – masa elementului aflat în mişcare. Dacă acel corp de masă m se află în mişcare de translaţie, energia cinetică pe care o posedă este:

cE m 212

= ⋅ ⋅v 4.3.1-2

iar dacă se află în mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe

cE J ω212

= ⋅ ⋅ 4.3.1-3

unde J – momentul de inerţie masic al corpului ω - viteza unghiulară a corpului aflat în mişcare de rotaţie.

217


Când corpul de greutate Q cade, după parcurgerea unei distanţe (înălţime) h, energia lui cinetică este:

hQEc ⋅= 4.3.1-4

Metoda aproximativă cea mai utilizată în abordarea şocului se bazează pe legea conservării energiei care precizează că în momentul ciocnirii, energia cinetică Ec a corpului care loveşte se transformă integral în energie de deformaţie Ud :

dc UE = 4.3.1-5 În urma ciocnirii ambele corpuri suferă deformaţii şi ca urmare, relaţia 4.3.1-5 are forma:

2d1dc UUE += 4.3.1-6 unde Ud1 – energia de deformaţie a corpului care loveşte Ud2 – energia de deformaţie a corpului lovit.

În majoritatea cazurilor deformarea suferită de corpul care loveşte este mică în comparaţie cu cea a corpului lovit şi ca urmare energia Ud1 se neglijează. Elementele de rezistenţă care în timpul şocului suferă deformaţii mari, au o comportare la şoc mult mai bună decât cele care sunt rigide. De aceea, elementele de rezistenţă supuse posibilităţii solicitărilor prin şoc trebuie astfel concepute încât deformarea lor să fie cât mai mare posibil. 4.3.2 Întinderea (compresiunea) prin şoc Se consideră o bară de lungime L, cu secţiune constantă, înţepenită la un capăt, solicitată de o greutate Q care cade de la înălţimea h pe un opritor aşezat în capătul liber al barei (Fig.4.3.2-1). Energia de deformaţie a greutăţii care cade se neglijează. În momentul şocului bara se deformează suferind o lungire dinamică Δld = δd. Energia cinetică pe care o are greutatea în momentul şocului se transformă în energie de deformaţie a barei:

( ) dc d

N LE m g h δE A

2

2⋅

= ⋅ ⋅ + =⋅ ⋅ 4.3.2-2

218


unde m – masa greutăţii care cade g – acceleraţia gravitaţională Nd – efortul axial din bară în momentul şocului (efortul axial dinamic) A – aria secţiunii transversale a barei

L –lungimea barei.

h

L

Opritor

Q = mg

Δld = δd

Fig.4.3.2-1

Dacă se înlocuieşte lungirea dinamică δd

d

dN LδE A

⋅=

⋅ 4.3.2-3

în relaţia 4.3.2-3 se obţine:

d dN L N Lm g m g hE A E A

2

02

⋅ ⋅− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ 4.3.2-4

şi este o ecuaţie de gradul doi în raport cu efortul axial dinamic Nd. Rezolvată această ecuaţie, rezultă pentru efortul axial din momentul şocului expresia:

dE A h E A hN m g Q

m g L m g L2 21 1 1 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + + = ⋅ + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎟⎟ 4.3.2-5

Expresia

219


dst

EAh h h hψ m g L Q LmgL δE A E A

2 2 21 1 1 1 1 1 1 1⎛ ⎞ 2⋅ ⋅ ⋅

= + + = + + = + + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠⋅ ⋅

4.3.2-6

poartă numele de multiplicator de şoc sau coeficient dinamic la şoc. Rezultă atunci că efortul axial dinamic din bara solicitată la şoc, are expresia: dstdd NQN ψ⋅=ψ= 4.3.2-7 În expresia 4.3.2-6: δst – este deplasarea (statică) secţiunii de impact sub acţiunea greutăţii aplicată ca o forţă statică în această secţiune Nst – efortul axial din bară când greutatea este aplicată ca o forţă statică în secţiunea de impact. După cum se poate constata, multiplicatorul de şoc este supraunitar. Atunci când h = 0 (greutatea nu are înălţime de cădere ci se aplică ca un impuls puternic), rezultă că valoarea minimă a multiplicatorului de şoc este ψ = 2, adică în momentul şocului efortul axial creşte de cel puţin două ori. De aici se vede clar cât de periculos poate fi şocul pentru elementele de rezistenţă. De asemenea, din relaţia 4.3.2-6 se constată că micşorarea deplasării statice (δst) a secţiunii de impact conduce la o mărire semnificativă a multiplicatorului de şoc şi invers. Tensiunea normală din momentul şocului (dinamică) din bară este dată de relaţia:

dstdstd

d AN

AN

ψ⋅σ=ψ⋅==σ 4.3.2-8

adică, tensiunea normală din momentul şocului este egală cu tensiunea statică (produsă de sarcina aplicată static) înmulţită cu multiplicatorul de şoc. La fel se poate arăta că în momentul şocului şi deformaţiile se multiplică cu valoarea multiplicatorului de şoc: dstd ll ψ⋅Δ=Δ 4.3.2-9

În concluzie, în momentul şocului, efortul axial, tensiunea normală şi lungirea sau scurtarea barei se obţin prin înmulţirea aceloraşi mărimi calculate în regim static cu multiplicatorul de şoc:

220


dstd

dstd

dstd

ll

NN

ψ⋅Δ=Δψ⋅σ=σψ⋅=

4.3.2-10

Este foarte important de evidenţiat faptul că pentru toate mărimile din relaţia 4.3.2-10 există un singur multiplicator de şoc şi care se calculează cu relaţia

st

dh211

δ++=ψ 4.3.2-11

Când înălţimea de cădere h este mare în raport cu deplasarea statică δst, se

poate utiliza pentru multiplicatorul de şoc relaţia aproximativă:

st

dh21

δ+≈ψ 4.3.2-12

Calculul de rezistenţă impune satisfacerea condiţiei: admaxstmaxd σ≤ψ⋅σ=σ 4.3.2-13 Calculul la compresiune prin şoc se efectuează la fel ca şi pentru tracţiunea prin şoc. 4.3.3 Încovoierea prin şoc Fie o grindă de rigiditate constantă, Înţepenită la un capăt şi liberă la celălalt, pe capătul căreia de la înălţimea h cade o greutate Q de masă m (Fig.4.3.3-1).

Q = mg L

h

δd

Fig.4.3.3-1

x

221


Căderea greutăţii Q este echivalentă cu aplicarea unei forţe dinamice Fd pe capătul barei şi care la rândul ei, determină în bară un moment încovoietor dinamic Mid:

xFM did ⋅= 4.3.3-1 Egalăm şi în acest caz energia cinetică (egală cu lucrul mecanic efectuat) a greutăţii din momentul ciocnirii cu energia de deformaţie a grinzii:

( )L

id dd

z z

M Fm g h δ dxE I E I

2 2

0

1 12 2 3

L3⋅⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ ⋅ ⋅∫ 4.3.3-2

Dacă se are în vedere că

d

dz

F LδE I

3

3⋅

=⋅ ⋅ 4.3.3-3

relaţia 4.3.3-2 conduce la expresia:

d d

z z

F L F Lm g h m gE I E I

3 2

3 6

3⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

de unde rezultă ecuaţia de gradul doi în Fd :

z

d dm g h E IF m g F

L2

362 0⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅ − = 4.3.3-4

Rezolvând ecuaţia 4.3.3-4, se obţine expresia forţei dinamice:

d dst

z

h hF mg Q Q ψmg L δ

E I

32 21 1 1 1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟= ⋅ + + = ⋅ + + = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

4.3.3-5

unde:

222


ψd – multiplicator de şoc la încovoiere şi are aceiaşi expresie ca la întinderea prin şoc. Mărimile din expresia multiplicatorului de şoc au aceleaşi semnificaţii ca la tracţiunea prin şoc. Forţa dinamică în cazul încovoierii se determină prin înmulţirea celei statice cu multiplicatorul de şoc. Tensiunea normală dinamică pentru încovoierea cu şoc se determină cu ajutorul relaţiei de la încovoiere:

idmax d st d istdmax d

zmin zmin zmin zmin

dmax stmax d

M F L F L ψ Mσ ψW W W W

σ σ ψ

⋅ ⋅ ⋅= = = = ⋅

⇒ = ⋅ 4.3.3-6

şi este produsul dintre tensiunea statică şi multiplicatorul de şoc. La fel şi săgeata sau rotirea unei secţiuni în momentul şocului sunt egale cu produsul dintre aceleaşi mărimi statice şi multiplicatorul de şoc. În final, pentru încovoierea prin şoc, în momentul impactului se produc mărimile dinamice:

dstd

distid MMψ⋅σ=σ

ψ⋅= 4.3.3-7a

dstd

dstd vvψ⋅ϕ=ϕψ⋅=

4.3.3-7b

unde.

stst

dh2

1h2

11δ

+≈δ

++=ψ 4.3.3-8

Calculul de rezistenţă impune îndeplinirea condiţiei:

admaxstmaxd σ≤ψ⋅σ=σ 4.3.3-9 Tensiunea normală produsă în timpul şocului este cu atât mai mică cu cât volumul corpului lovit este mai mare, adică cu cât corpul lovit are capacitatea înmagazinării unei cantităţi mai mari de energie de deformaţie. Dacă masa corpului lovit este aproximativ de acelaşi ordin de mărime cu a corpului care loveşte, atât pentru întindere cât şi pentru încovoierea prin şoc, este necesar ca în calcule să se ţină seama şi de inerţia corpului lovit.

223


4.3.4 Răsucirea prin şoc Se consideră un arbore de secţiune circulară pe care este situat un volant de greutate Qv şi diametru D (Fig.4.3.4-1).

Qv

D d

a b c

L

Frână

ω = ct.

Fig.4.3.4-1

Arborele se roteşte cu viteza unghiulară ω constantă. La un moment dat, arborele este oprit brusc (în timp foarte scurt) cu ajutorul unei frâne montată pe arbore. Energia cinetică a volantului se transformă în energie de deformaţie pentru porţiunea dintre volant şi frână. Energia cinetică a arborelui este:

2

vc J21E ω⋅= 4.3.4-2

unde Jv – momentul de inerţie masic al volantului şi care este:

2v

v Dg8

QJ ⋅= 4.3.4-3

Egalând energia cinetică a volantului cu energia de deformaţie a arborelui

se obţine momentul de răsucire dinamic Mtd :

p vtd

v tdp

G I JM LJ ω M ωG I L

221

2 2⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅⋅ ⋅ 4.3.4-4

Tensiunea tangenţială dinamică maximă din arbore se determină cu relaţia cunoscută:

224


p vtd vmax d

p p

v v

a

G I JM Gd ω dτ τ ωπ dI I L L

G J G Jω ωA L V

22

2 24

2 2

⋅ ⋅ ⋅⋅= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅

⋅

J

4.3.4-5

unde, Va – volumul arborelui care a înmagazinat energia de deformaţie

Se poate observa că volumul arborelui influenţează mărimea tensiunii tangenţiale la oprirea rapidă a acestuia. Un volum mare (lungime sau diametru mare) conduce la o micşorare a valorii tensiunii tangenţiale dinamice.

Dacă se ţine seama de expresia momentului de inerţie masic Jv al volantului (relaţia 4.3.4-3), expresia tensiunii tangenţiale dinamice maxime este:

v vmax

vmax

Q GG Dτ ω D ωπ d g d π LL

G QDτ ωd π L

22

28

4

Q⋅⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅⇒ = ⋅ ⋅

⋅

4.3.4-6

4.3.5 Calculul arcului elicoidal cu spire strânse solicitat la şoc Pe un arc elicoidal cu n spire strânse, raza de înfăşurare R, diametrul sârmei de înfăşurare d, cade o greutate Q de la înălţimea h (Fig.4.3.5-1). În momentul şocului sârma arcului este solicitată la forfecare (vezi calculul arcului elicoidal cu spire strânse) şi răsucire. Pentru solicitarea prin şoc se neglijează forfecarea. Energia cinetică a greutăţii Q în momentul şocului este egală cu: ( )fhQEc +⋅= 4.3.5-1 unde f – săgeata arcului ca urmare a ciocnirii. Forţa dinamică Fd care apare în arc în momentul şocului produce un moment de torsiune:

225


RFM dtd ⋅= 4.3.5-2

Q h

f

d

Fig.4.3.5-1

R

Energia de deformaţie înmagazinată în arc se determină funcţie de

momentul de răsucire:

td d d

dp

M L F R n FUG I G d k

2 2 3

4

322

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅

2

4.3.5-3

unde s-a notat:

nR32dGk 3

4

⋅⋅⋅

= 4.3.5-4a

iar, L π R n2= ⋅ ⋅ ⋅ 4.3.5-4b şi reprezintă lungimea sârmei arcului.

Egalând energia cinetică a greutăţii (relaţia 4.3.5-1) cu energia de deformaţie a arcului (relaţia 4.3.5-3) şi ţinând seama de expresia săgeţii arcului

4

3d

dGnRF64

f⋅

⋅⋅⋅= 4.3.5-5

226


se obţine relaţia:

kF

kF

2hQ2dd =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅ 4.3.5-6

care este o ecuaţie de gradul doi în Fd :

4.3.5-7 0hQkFQ2F d2d =⋅⋅−⋅−

Rezolvarea ecuaţiei 4.3.5-7, conduce pentru forţa dinamică din arc la următoarea expresie:

QhkQQF 2d ⋅⋅++= 4.3.5-8

de unde momentul de răsucire dinamic este:

)QhkQQ(RM 2td ⋅⋅++⋅= 4.3.5-9

care produce tensiunea tangenţială maximă:

( )QhkQQdR16

dM16

WM 2

33td

p

tdmax ⋅⋅++⋅

⋅π⋅

=⋅π⋅

==τ 4.3.5-10

Dacă înălţimea de cădere a greutăţii este mare în raport cu săgeata arcului, se poate considera că tensiunea tangenţială maximă din arc are expresia:

nRdGQh8Qhk

dR16

223max ⋅⋅⋅π⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅π⋅

≈τ 4.3.5-11

Şi în acest caz, tensiunea tangenţială scade cu creşterea volumului arcului. 4.3.6 Efectul masei corpului lovit asupra solicitării prin şoc Dacă masa corpului lovit este de acelaşi ordin de mărime cu cea a corpului care loveşte, atunci este necesar ca în calculele la şoc să se aibă în vedere şi inerţia corpului lovit.

227


În toate cazurile prezentate anterior, la stabilirea multiplicatorului de şoc s-a neglijat energia cinetică pe care o primeşte masa corpului lovit. Efectul masei corpului lovit asupra solicitării prin şoc se tratează pe un caz particular şi anume al şocului axial de întindere. Corpul de greutate Q care cade pe bara de greutate Qb are înainte de şoc viteza

v g2= ⋅ ⋅h 4.3.6-1 iar după şoc viteza v1 < v, egală cu viteza capătului lovit al barei (Fig.4.3.6-1).

h

Lx

v1

vx = v1⋅x / L

Fig.4.3.6-1

Q

Qb

a) b)

Se poate considera că viteza diferitelor secţiuni creşte de la viteza v = 0 (în înţepenire) liniar până la viteza v1 (în capătul liber al barei). La distanţa x de capătul fix, viteza secţiunii este (din asemănarea triunghiurilor – vezi Fig.4.3.6-1b):

xxvL 1v= ⋅ 4.3.6-2

iar energia cinetică a unui element de bară, de lungime dx, situat la distanţa x de capătul fix are expresia:

c xγ A xdE dm v dx v

g

22

1 11 12 2

⋅ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜⎝ L ⎟

⎠ 4.3.6-3

Integrând relaţia 4.3.6-3 pe toată lungimea barei se obţine energia cinetică a barei:

228


l

bc

Qvγ AE x dxg L g

22 21

1 120

1 12

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ v

2 3 4.3.6-4

unde Qb = γ ·A· L este greutatea proprie a barei. Dacă se notează

3Q

Q brb = 4.3.6-5

şi numită greutatea redusă a barei, atunci energia cinetică a barei (relaţia 4.3.6-4) poate fi scrisă sub forma:

21rb

21

rb1c vm

21v

gQ

21E ⋅⋅=⋅⋅= 4.3.6-6

unde mrb – masa redusă a barei. Coeficientul

31k = 4.3.6-7

se numeşte coeficient de reducere a greutăţii sau a masei barei.

Se poate acum considera că întreaga masă a barei lovite este mr şi aceasta se află în punctul unde se produce şocul cu viteza v1 (deocamdată necunoscută). Pentru a determina viteza v1 se scrie teorema conservării impulsului înainte şi după şoc:

br k QQQ Q Qv v

g g g g g1 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅

⋅ = + ⋅ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v 4.3.6-8

de unde se obţine:

QQk

1

hg2

QQk

1

vvQkQ

Qvbbb

1 ⋅+

⋅⋅=

⋅+

=⋅⋅+

= 4.3.6-9

229


Energia cinetică totală, a greutăţii Q şi a greutăţii reduse Qr imediat după şoc este:

( )( )

b bc

b

b

bb

Q k Q Q k Q QE vg g Q k Q

Q k Q Q g h hg QQ k Q

22 21

2 2

2

1 12 2

1 22

⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟+ ⋅⎝ ⎠

+ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

+ ⋅+ ⋅

v

Qk Q

2 4.3.6-10

Dacă la această energie se adaugă lucrul mecanic al greutăţii Q în timpul deformaţiei dinamice δ a barei, se obţine energia totală care este cedată barei:

tbb

Q hE h Q δ Q δk QQ k QQ

2

1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅ + ⋅ = ⋅

⋅+ ⋅ ⎜ +⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎟ 4.3.6-11

Energia totală cedată barei este acum egalată cu energia de deformaţie a sa:

b

h E δQ δk Q LQ

2

21

⎛ ⎞⎜ ⎟ A⋅ ⋅⎜ ⎟⋅ + =

⋅ ⋅⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

4.3.6-12

care este o ecuaţie de gradul doi în δ:

bst

hδ δ k QδQ

21 02 1

⋅ − − =⋅⋅ +

4.3.6-13

Rezolvarea ecuaţie 4.3.6-13 conduce pentru deplasarea dinamică a secţiunii de impact la următoarea expresie:

r

st st rst

hδ δ δ ψδ

21 1⎛ ⎞⋅

= ⋅ + + = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

4.3.6-14

unde s-a notat:

230


stQ LδE A

⋅=

⋅ - deplasarea statică a secţiunii de impact

rb

hh k QQ

1=

⋅+

- înălţimea de cădere redusă

st

rr

h211

δ⋅

++=ψ - multiplicator de şoc redus.

Se poate constata că au rezultat relaţii asemănătoare cu cele obţinute când

s-a neglijat masa corpului lovit, cu deosebirea că atunci când se ţine seama şi de masa corpului lovit, în relaţiile obişnuite de calcul se introduc mărimile reduse. Coeficientul de reducere k, depinde de solicitare şi de modul de rezemare al barei. Astfel:

pentru bara liberă la un capăt şi înţepenită la celălalt, solicitată la şoc axial în capătul liber, k = 1/3

pentru grinda înţepenită la un capăt şi liberă la celălalt, solicitată la şoc transversal în capătul liber, k = 33 /140

pentru bara simplu rezemată solicitată la încovoiere printr-un şoc în secţiunea de la mijlocul deschiderii, k = 17 /35.

Tensiunea produsă prin şoc pentru aceste cazuri se va calcula cu relaţia:

rstd ψ⋅σ=σ 4.3.6-15

APLICAŢII LA SOLICITAREA PRIN ŞOC

231


A1. O greutate Q = 200 daN cade de la înălţimea h = 1 cm pe mijlocul unei grinzi cu deschiderea L = 1 m, confecţionată dintr-un profil I10. Să se verifice grinda în două situaţii:

a) grinda se sprijină pe două reazeme rigide (FigA1-1a) b) grinda se sprijină pe două arcuri elicoidale cu spire strânse, având

raza de înfăşurare R = 64 mm, diametrul sârmei d = 16 mm, iar numărul de spire este n = 4 (Fig.A1-1b).

Se mai cunosc: σa = 150 MPa, τa = 400 MPa, E = 2,1 ⋅105 MPa, G = 8,5⋅104 MPa, iar pentru profilul I10, Iz = 171 cm4.

Q Q

h h

l/2 l/2 l/2 l/2

a) b)

Fig.A1-1

Rezolvare

a) Momentul încovoietor din secţiunea periculoasă este

ix maxQ LM

4⋅

=

iar deplasarea statică din secţiunea de impact este:

stz

Q Lδ , mE I

3

0 11648

⋅= =

⋅ ⋅m

Multiplicatorul de şoc se calculează cu relaţia cunoscută

st

hψ ,δ21 1 14 16⋅

= + + =

Tensiunea normală statică maximă din grindă este:

232


izmaxst max

zmin zmin

M Q Lσ , MPaW W

14 64

⋅= = =

⋅

iar cea dinamică maximă: dmax st max aσ σ ψ , MPa σ206 7= ⋅ = >

Se constată că tensiunea normală maximă în momentul şocului este mai mare decât cea admisibilă. O soluţie practică pentru diminuarea tensiunii este mărirea deplasării secţiunii de impact. aceasta se poate realiza prin aşezarea unor elemente elastice de rezemare.

b) Tensiunea normală statică maximă rămâne aceiaşi de la punctul a).

Se modifică deplasarea statică din secţiunea de impact. Deplasarea determinată de deformarea arcului este:

st ,arc

Q R nδ , m

G d

3

4

642 12 05

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅m

mm

iar deplasarea statică totală este: st ,tot st st ,arcδ δ δ , , ,0 116 12 05 12 166= + = + = Multiplicatorul de şoc în acest caz are valoarea

st ,tot

hψ ,δ21 1 2⋅

= + + = 8

care conduce la o tensiune dinamică maximă: dmax st max aσ σ ψ , MPa σ40 88= ⋅ = < Tensiunea normală maximă pentru grinda cu reazeme elastice este mult mai mică decât tensiunea normală maximă pentru grinda rezemată rigid. Arcul elicoidal este solicitat la răsucire, unde tensiunea tangenţială statică maximă este:

233


t

st maxp p

Q RMτ , MPW W

2 80 39⋅

= = = a

care conduce la o valoare dinamică maximă: dmax st maxτ τ ψ , MPa MPa225 1 400= ⋅ = < A2. Asupra barei cotite din Fig.A2-1a cade o greutate Q = 50 daN pe capătul liber de la înălţimea h = 1,2 cm. Să se verifice grinda cunoscând: σa = 140 MPa, d = 6 cm, E = 2,1⋅105 MPa, G = 8,1⋅104 MPa. Se va utiliza teoria a III-a de rezistenţă.

Q

h

a=300 mm

b=800 mm

Q b

Q a

Q a

a) b)

Fig.A2-1

Rezolvare Diagrama de momente este prezentată în Fig.A2-1b. Secţiunea

periculoasă este în încastrare unde se întâlneşte o solicitare compusă de încovoiere cu torsiune. Momentul încovoietor echivalent din secţiunea periculoasă calculat după teoria a III-a de rezistenţă este:

( ) ( )echIII i tM M M Q a Q b daN2 22 2 4280 cm= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ iar tensiunea echivalentă are valoarea:

MPa2,20W

M

z

echIIImaxst ==σ

Deplasarea statică a secţiunii de impact poate fi calculată relativ uşor cu metoda sarcinii unitare:

234


( ) mm02,1

IGbaQ

IE3baQ

p

2

z

33

st =⋅⋅

++⋅

=δ

iar multiplicatorul de şoc este:

6h211st

≈δ⋅

++=ψ

Tensiunea echivalentă dinamică maximă este acum: dmax st,max aσ σ ψ , MPa σ121 2= ⋅ = < Solicitarea prin şoc a barei cotite analizate nu este periculoasă. În capătul liber al barei se produce o deplasare dinamică maximă: mm12,6stmaxd =ψ⋅δ=δ A3. Să se determine înălţimea maximă de la care poate cădea o greutate Q = 100 daN pe platforma unei macarale a cărei schemă constructivă este prezentată în Fig.A3-1. Grinda este de secţiune dreptunghiulară, iar cablul de susţinere al platformei are diametrul d = 20 mm. Ambele elemente sunt din oţel pentru care σa = 150 MPa şi E = 2,1⋅105 MPa. Cilindrul hidraulic de ridicare a grinzii se consideră rigid în momentul şocului.

120

60

a = 7 m b = 5 m

L = 5 m

Qh

Fig.A3-1

235


Rezolvare Sistemul are două elemente care trebuie calculate: grinda orizontală şi cablul de susţinere al platformei. Cablul este solicitat la întindere. Tensiunea normală statică maximă din cablu este:

st ,cabcab cab

N Qσ , MPA A

3 18= = = a

Grinda este solicitată la încovoiere cu momentul maxim în secţiunea de legătură între grindă şi cilindrul hidraulic. Tensiunea normală statică maximă din grindă este:

izmax

st,gr st ,cabzmingr zmingr

M Q bσ , MPa σW W

34 7⋅= = = >

Pentru determinarea multiplicatorului de şoc se calculează deplasarea secţiunii de impact (secţiunea de pe platformă). Deplasarea secţiunii de impact este formată din deplasarea capătului de jos al cablului de susţinere al platformei la care se adaogă deplasarea capătului liber al grinzii: stgrcabst l δ+Δ=δ Lungirea cablului de susţinere este:

cabcab

Q Ll ,E A

0 075 mm⋅Δ = =

⋅

Săgeata capătului liber al grinzii se poate determina cu metoda sarcinii unitare, procedeul Vereşceaghin. Diagramele pentru calculul deplasării sunt prezentate în Fig.A3-2.

Q

1

a b

Qb

ba

b

Mi

m

Fig.A3-2

236


Deplasarea capătului liber al grinzii este:

( )st,grzgr zgr

Q bδ Qb b b Qb a b b aE I E I

21 1 2 1 22 3 2 3 3

⋅⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ +⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⋅

( )

st,grzgr

Q b a bδ , mm

E I

2

55 113⋅ ⋅ +

= =⋅ ⋅

Acum deplasarea statică a secţiunii de impact este: st cab st,grδ l δ , m55 15= Δ + = m Se pune condiţia de rezistenţă pentru elementul cel mai periculos, care este grinda:

st ,gr a

st ,gr ast

σ ψ σ

hσ σδ

21 1

⋅ =

⎛ ⎞⋅⇒ ⋅ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

sau

mm277h

150185,55h2117,34

≈⇒

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅++⋅

A4. O greutate Q cade de la înălţimea h = 0,5 m pe suportul B susţinut de barele 1,2 şi 3, ca în Fig.A4-1. Se cere: a) să se calculeze valoarea greutăţii Q, astfel ca în momentul şocului în nici o bară să nu se depăşească σa = 160 MPa b) deplasarea maximă a secţiunii de impact. Barele au aceeaşi lungime a =1 m, aceeaşi arie A = 1 cm2, α = 300 şi sunt din oţel pentru care E = 2.1 · 105 MPa.

237


2

Q

H

a

a a α

α = 30ο

Opritor

α

31

B

Fig.A4-1

Rezolvare Se parcurg etapele: a) Sistemul reprezentat numai prin axele geometrice ale elementelor de rezistenţă este prezentat în Fig.A4-2, ca de altfel şi schema încărcării statice cu greutatea Q:

Q

2

a a α

α = 30ο

α

3 1

B

a

2

a a α

α = 30ο

α

3 1

B

a

2

Q

H

a

Opritor B

Fig.A4-2

- Problema este de efort capabil, condiţia de rezistenţă. - Relaţia generală de calcul este:

amaxst,st

amaxst,max σσh2σσΨσ =⋅⋅

⇔=⋅=δ

238


- Pentru încărcarea statică a sistemului, se calculează deplasarea secţiunii

(B), care reprezintă secţiunea de impact. Pentru aceasta se determină mai întâi eforturile axiale din cele trei bare. Din schema eforturilor, reprezentată alăturat, rezultă:

N2=Q (ΣF)x = 0 ⇒ N1 sinα - N3 sinα = 0 ⇒ N1 = N3

N1 N2

N2= Q

α α

(ΣF)y = 0 ⇒ N1 cosα + N3 cosα = Q

0,577QQ3

1NQcos(αo2N 11 =⋅=⇒=⇒

- Schema pentru calculul deplasării statice a secţiunii de impact este

prezentată în Fig.A4-3.

Se obţine:

=⋅⋅

+⋅⋅⋅

=+=AEaN

cosαAEaNΔ

cosαΔδ 21

21

st ll

AEaQ1,6(6)

AEaQ

35

AEaQ

23AE

aQ3

1

⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅=⋅⋅

+⋅⋅

⋅⋅=

- Secţiunea periculoasă este oricare a barei

(2) (pentru bara verticală N2 = Nmax = Q) iar tensiunea normală maximă este atunci:

AQ

AN

ANσ 2max

maxst, === Fig.A4-3

- Înlocuind δst şi σst,max relaţia generală de calcul, se obţine:

aσAQ

AE3aQ5

h2=⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅

- Din această relaţie se determină mărimea greutăţii care produce şocul:

2

3 1aa

Δl1=Δl3

α α

Δl1/cosα

Δl1/cosα δst

Δl2

239


N101,587102,1500616010105

Eh6σAa5

Q 5

2232a ≈

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅

=

b) Deplasarea maximă a secţiunii de impact are loc în momentul şocului:

85,2100625,8193,353100101,21000587,101

35

10062,8500211

δδ

h211δΨδ

353

st,1st

st,1max1,

=⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅

++=

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅++=⋅=

−−

Deplasarea statică este: mm108,062AEaQ

35δ 3

st,1−⋅=

⋅⋅

⋅=

iar multiplicatorul de şoc are valoarea:

19,35310062,8

500211δ

h211Ψ 3st

=⋅

⋅++=

⋅++= −

A5. De la ce înălţime poate să cadă greutatea Q = 1 kN pe sistemul din Fig.A5-1 astfel încât tensiunea normală maximă să nu depăşască σa = 150 MPa. Bara oriontală este rigidă, iar cea verticală are secţiunea circulară cu diametrul d = 40 mm şi este realizată din oţel pentru care E = 2,1 · 105 MPa.

Qa=3 m

2 m1 m

h B

Fig.A5-1

Rezolvare

- Sistemul dat, reprezentat numai prin axele geometrice ale elementelor componente, precum şi schema încărcării statice cu greutatea Q sunt prezentate în Fig.A5-2:

240


Q a=3 m

2 m 1 m

BB

Fig.A5-2

- Pentru încărcarea statică a sistemului se calculează deplasarea statică δst a secţiunii de impact. Mai întâi se determină efortul axial din bara verticală articulată. Schemele pentru calculul efortului axial şi a deplasării statice sunt prezentate mai în Fig.A5-3:

Efortul din bara verticală se determină din:

(ΣM)B = 0 ⇒ Q⋅3 - N⋅2 = 0 B

kN1,5Q1,5Q23N =⋅=⋅=⇒

Deplasarea statică δst a secţiunii de impact se calculează ca fiind:

mm0,025

440π102,1

101.50023

AEaN

23

23δ

32

δΔ

25

3

stst

=⋅

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅=Δ⋅=⇒= ll

Relaţia generală de calcul este: amaxst, σσΨ =⋅ - Secţiunea periculoasă pentru bara articulată este oricare. - Tensiunea statică maximă este:

δst

a

2 m 1 m

Δl

B Q N

2 m B 1 m

Fig.A5-3

241


MPa1,1940π

1.5004

4dπ

NANσ 22maxst, =

⋅⋅

=⋅

==

Înlocuind în relaţia generală valorile deplasării, δst, şi tensiunii, σst,max rezultă:

mm198,61,192

1500,025h1501,190,025

h22

2

=⋅

⋅=⇒=⋅

⋅

Pentru acest sistem, multiplicatorul de impact are valoarea:

127,050,025198,6211

δh211Ψ

st

=⋅

++=⋅

++=

Toate mărimile (tensiuni şi deformaţii) în momentul şocului se amplifică de 127,05 ori faţă de situaţia în care greutatea Q ar fi aplicată ca o forţă statică în secţiunea de impact. A6. a) Să se determine înălţimea de la care poate să cadă o greutate Q = 200 N pe o grindă suspendată cu două cabluri, ca în Fig.A6-1, astfel încât tensiunea normală maximă să nu depăşească σa = 150 MPa. b) Să se calculeze deplasările maxime ale elementelor sistemului în momentul producerii şocului. Pentru materialul elementelor componente se va lua E = 2,1· 105 MPa.

Q d = 20 mm a = 4 m

1,5 m 1,5 m

h

60

100

d

Fig.A6-1

Rezolvare Sistemul reprezentat numai prin axele geometrice ale elementelor componente şi schema încărcării statice cu greutatea Q sunt prezentate în Fig.A6-2.

242


Qa

1,5 m 1,5 m

a

Fig.A6-2

- Relaţia generală de calcul are expresia:

amaxst,st

amaxst,max σσδ

h211σσΨσ =⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅++⇔=⋅=

Pentru sistemul dat există două elemente care pot conţine secţiunea periculoasă: barele articulate şi grinda. Se determină tensiunea statică maximă din barele articulate. Pentru aceasta, se determină eforturile axiale din cele două bare. ( ) QNN0F 21y

=+⇒=∑

( ) 122BN

2QN03N1,5Q0M ==⇒=⋅−⋅⇒=∑

Q N1 N21,5 m 1,5 m

B 1,5Q/2

QN1 N2 1,5 m 1,5 m

Fig.A6-3

Cu aceste eforturi se trasează şi diagrama momentelor de încovoiere pentru

grinda orizontală (Fig.A6-3). Momentul maxim este 1,5Q/2 şi se obţine în dreptul sarcinii Q, adică în secţiunea de impact.

Tensiunea normală statică maximă din barele articulate este:

MPa0,318dπN4

4dπ

NANσ 2

12

11maxst, =

⋅⋅

=⋅

==

Tensiunea normală statică maximă din grindă este:

243


MPa1,5

6100602

Q1.500

WMσ 2

z

izmax.grst, =

⋅

⋅

==

Tensiunea normală statică maximă din grindă este mai mare decât

tensiunea normală statică maximă din barele articulate. Rezultă că elementul cel mai periculos din sistem, este grinda şi anume secţiunea în care este aplicată sarcina statică Q (secţiunea în care se produce şocul).

- Se calculează acum deplasarea statică δst a secţiunii de impact. Trebuie avut în vedere că la acest sistem se deformează atât barele articulate cât şi grinda orizontală. Schema pentru calculul deplasării statice a secţiunii de impact este prezentată în Fig.A6-4.

Deplasarea statică δst este:

δlδ st +Δ= unde: Δl - lungirea barelor articulate δ - deplasarea (săgeata) statică a secţiunii de impact, datorată încovoierii grinzii.

a a

δδst

Δl

Fig.A6-4

Deplasarea statică δst este:

δlδ st +Δ= unde: Δl - lungirea barelor articulate

244


δ - deplasarea (săgeata) statică a secţiunii de impact, datorată încovoierii grinzii. Pentru calculul deplasării δ se poate utiliza metoda sarcinii unitare sau procedeul Veresceaghin. Calculele efectuate au condus la următorul rezultat:

mm0,107IE6

1.500Qδz

3

=⋅⋅

⋅=

Lungirea barelor verticale este:

mm0,006100π102,1

4.000100AEaNΔ 5

1 =⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅

=l

Ca urmare deplasarea statică va fi: mm0,1130,1070,006δlΔδst =+=+=

Introducând valorile calculate pentru δst şi σst,max, în relaţia de bază, se poate determina înălţimea de la care poate să cadă greutatea Q:

mm 553,7 h 1505,10,113

h211 =⇒=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅++

c) Deoarece pentru valoarea lui h calculată în secţiunea de impact se obţine

tensiunea maximă egală cu σa, valoarea multiplicatorului de impact este: d)

1001,5150

σσΨ

maxst,

a ===

Pentru acest sistem, în momentul şocului, tensiunile şi deformaţiile se amplifică de 100 de ori. Atunci, în momentul şocului şi lungirea barelor articulate se măreşte tot de 100 de ori, la fel şi săgeata grinzii.

În momentul şocului, pentru cele două elemente de rezistenţă (barele şi grinda), deformaţiile maxime (dinamice), sunt:

- pentru barele articulate: mm0,60,006100ΔΨmaxd,max =⋅=⋅=Δ=Δ lll

- pentru grindă:

mm10,70,107100δΨlδ d,grmax,gr =⋅=⋅=Δ=

245


iar deplasarea maximă a secţiunii de impact, este: mm11,30,113100δΨδ stdmax =⋅=⋅=δ=

A7. Greutatea Q = 20 daN cade de la înălţimea H pe bara de oţel cu secţiunea circulară de diametru d = 50 mm, ca înFig.A7-1.

Se cere să se calculeze înălţimea H de la care poate să cadă greutatea Q, astfel încât în momentul şocului tensiunea normală din sistem să nu depăşească σa = 150 MPa. În calcule se va neglija greutatea barei. Se consideră E = 2,1 · 105 MPa.

a = 1 m

a

H

Q

Fig.A7-1

Rezolvare

- Sistemul reprezentat numai prin axa geometrică şi schema încărcării cu sarcina statică Q sunt prezentate în Fig.A7-2.

Q

a = 1 m a

Fig.A7-2 - Pentru calcul înălţimii maxime de cădere, se impune condiţia de

rezistenţă:

amaxst,st

amaxst,max σσδ

H21σσΨσ =⋅⋅

+⇔=⋅=

246


- Pentru determinarea solicitărilor şi a secţiunii periculoase, pentru sistemul solicitat static, se trasează diagramele de eforturi (Fig.A7-3):

Qa

Qa

Qa

Mi

-Q

-Q

N

Fig.A7-3

- Din diagramele de eforturi rezultă că secţiunea periculoasă este oricare de pe bara verticală a sistemului, unde acţionaează eforturile: N = - Q şi Mi = Q · a

- În secţiunea periculoasă (secţiune circulară) rezultă o solicitare compusă de categoria I, iar tensiunea normală statică maximă, este:

MPa16,195

32dπaQ

4dπ

QWM

ANσ 32

z

izmaxst, =

⋅⋅

+⋅

−=+−=

Se calculează acum deplasarea statică δst a secţiunii de impact. Pentru

aceasta se adoptă metoda sarcinii unitare (Mohr-Maxwell), procedeul Veresceaghin. Pentru calculul lui δst se ţine seama numai de momentul încovoietor, cu diagramele corespunzătoare prezentate în Fig.A7-4. Q

Qa

Qa

Qa

M0

1

1a

1a

1a

mi

Fig.A7-4

Rezultă δst:

mm139,4EI

Qa34δQa

34aaQaa

32aQa

21δEI

3

st3

st =⋅=⇒⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅

247


Înlocuind valorile calculate pentru σst,max şi δst, în condiţia de rezistenţă s

calculează înălţimea cerută:

mmHH 46,175150195,16139,4

21 =⇒=⋅⋅

+

A8. Pentru bara de oţel din Fig.A8-1, (E = 2,1·105 MPa), să se calculeze valoarea maximă a greutăţii Q care poate să cadă de la înălţimea H = 250 mm, astfel încât tensiunea normală maximă să nu depăşească σa = 150 MPa. Se dă d1= 50 mm.

D = 100 mm

d = 50 mm

d1

Opritor

Q

a = 1 m

a H

1

2

Fig.A8-1

Rezolvare

- Sistemul reprezentat numai prin axa geometrică a elementelor componente şi schema încărcării cu sarcina Q aplicată static în secţiunea de impact, sunt prezentate în Fig.A8-2.

- Problema fiind de efort capabil se va rezolva impunându-se condiţia de rezistenţă, adică tensiunea dinamică maximă să fie egală cu rezistenţa admisibilă:

amaxst,st

amaxst,maxd, σσδ

h2σσΨσ =⋅⋅

⇔=⋅=

6.2.3-1a

a

a

Q

Fig.A8-2

248


- Cum efortul axial N = Q, este constant pe toată lungimea barei, deplasarea statică a secţiunii de impact se poate calcula cu:

Q100,551AAAA

EaQ

AEaN

AEaNδ 5

21

21

1212st ⋅⋅=

⋅+

⋅⋅

=⋅⋅

+⋅⋅

=Δ+Δ= −ll

- S-au utilizat ariile A1 şi A2:

222

1 mmπ587.14dπ

4DπA ⋅=

⋅−

⋅= şi 2

21

2 mmπ600.14dπA ⋅=

⋅=

- Secţiunea periculoasă este oricare de pe porţiunea cu diametrul d1, (A2

< A1). Ca urmare tensiunea normală statică maximă este:

π600.1Q

AQσ

2maxst, ⋅

==

Înlocuind valorile calculate pentru σst,max şi δst, în condiţia de rezistenţă s calculează sarcina maxim admisă Q:

( ) kN6,258N6.258,42502

150π1.600100,551Q

σAQ

100,551h2σ

AQ

δh2

225

a2

-5a2st

≈=⋅

⋅⋅⋅⋅=⇒

⇒=⋅⋅⋅

⋅⇔=⋅

⋅

−

Q

- Multiplicatorul de impact are valoarea:

121,4186.258,4100,551

250211δ

H211Ψ 5st

=⋅⋅

⋅++=

⋅++= −

249


5. SOLICITĂRI VARIABILE

5.1 CICLURI ALE SOLICITĂRILOR VARIABILE

Variaţia forţelor dacă se produce de un număr mare de ori are o influenţă defavorabilă asupra caracteristicilor mecanice ale materialelor. Solicitări cu forţe variabile în timp se întâlnesc frecvent în construcţia de maşini: mişcarea de rotaţie şi cea de du-te-vino a diferitelor piese etc. Solicitările variabile se pot clasifica după mai multe criterii: După modul cum variază în timp pot fi:

periodice, atunci când se reproduc după intervale de timp regulate aleatoare, atunci când nu există o regulă de variaţie

La rândul lor, solicitările periodice pot fi: staţionare, când tensiunile variază între o limită superioară σmax şi una inferioară σmin

nestaţionare, când tensiunile îşi modifică amplitudinea în decursul unei perioade

În cazul solicitărilor staţionare, variaţia tensiunii pornind de la o valoare oarecare şi până atinge din nou aceeaşi valoare şi semn, formează un ciclu al solicitării variabile. Într-un ciclu, tensiunea trece o singură dată prin valoarea maximă σmax (numită şi limita superioară a tensiunii) şi prin valoarea minimă σmin (numită şi limita inferioară a tensiunii). La fel se întâmplă într-un ciclu şi cu tensiunile tangenţiale, forţele sau cuplurile. Se definesc:

tensiunea medie a ciclului σm, raportul:

2minmax

mσ+σ

=σ 5.1-1

amplitudinea ciclului σam , raportul:

mminmmaxminmax

am 2σ−σ=σ−σ=

σ−σ=σ 5.1-2

de unde rezultă: ammminammmax şi σ−σ=σσ+σ=σ 5.1-3

coeficientul de asimetrie R al ciclului:

250


max

minRσσ

= 5.1-4

perioada ciclului este intervalul de timp scurs între atingerea aceleiaşi

valori a tensiunii şi de acelaşi semn După mărimea coeficientului de asimetrie, ciclurile de solicitare pot fi:

cicluri simetrice, pentru care:

1R,,0, maxammminmax −=σ=σ=σσ−=σ 5.1-5a

cicluri asimetrice, R ≠ -1 După semnul algebric al tensiunii, ciclurile sunt:

alternante (tensiunile limită au semne contrare), R < 0 cicluri oscilante (tensiunea are un singur semn)

Ciclurile oscilante la rândul lor, pot fi: pozitive (ambele tensiuni limită sunt pozitive), 0 <R <+1 negative, (ambele tensiuni limită sunt negative), +1< R <+∞ pulsante, (una din tensiunile limită este nulă), R = 0

Dacă amplitudinea ciclului este mică şi se poate neglija, solicitarea este una statică (σmax = σmin = σm , σam = 0, R = +1). În Fig.5.1-1 se prezintă elementele unui ciclu de solicitare (unul alternant pozitiv. Celelalte cicluri rezultă uşor din acesta pe baza considerentelor prezentate la clasificarea lor.

t

Perioadă (T)

Perioadă (T)

σmax

σmin

σm

σam

σamO

Fig.5.1-1

σ

251


5.2 OBOSEALA MATERIALELOR. RUPEREA PRIN OBOSEALĂ Comparativ cu solicitările statice, solicitările variabile repetate de un număr mare de ori, au un efect nefavorabil asupra capacităţii de rezistenţă a materialului din care sunt confecţionate elementele de rezistenţă. Aşa au apărut ruperi neaşteptate la multe organe de maşini cum ar fi: arbori cotiţi, roţi dinţate, bolţuri de piston, arcuri de supapă etc, cu toate că din punct de vedere al rezistenţei materialelor au fost calculate corect. Ruperile au avut loc la valori mult mai mici ale tensiunii corespunzătoare stărilor limită pentru solicitarea statică. Acest fenomen de rupere prematură, la tensiuni sub cele limită, este cunoscut sub numele de oboseala materialelor. Cercetările experimentale efectuate timp îndelungat au scos în evidenţă că un organ de maşină care suportă static foarte bine o tensiune σmax, dacă este solicitată variabil repetat, cedează după un timp la o tensiune mai mică decât cea maximă de la solicitarea statică (σ < σmax). Un caz clasic de astfel de organ de maşină este osia vagoanelor de cale ferată. Acestea rotindu-se în timpul mersului, o fibră în timpul unei rotaţii complete trece de la o valoare maximă a tensiunii normale la una minimă. În decursul timpului, se efectuează un număr foarte mare de cicluri şi cu amplitudine diferită (vagonul nu este totdeauna la fel de încărcat). Cu cât tensiunea maximă din piesă este mai mare, cu atât ruperea prin oboseală are loc la un număr mai mic de cicluri. Dacă tensiunea are valori mici, nu se mai produce ruperea prin oboseală oricât de multe cicluri de solicitare ar exista în piesă. Ruperile prin oboseală conferă secţiunii de rupere un aspect specific (Fig.5.2-1). Într-o secţiune ruptă prin oboseală se disting două zone: una lucioasă şi una grăunţoasă, cu cristale ascuţite rezultată în urma unei ruperi casante.

Zona lucioasă

Zona grăunţoasă

Fig.5.2-1

Iniţierea ruperii prin oboseală are loc în zona tensiunilor mari, unde anumiţi factori, cum ar fi concentratorii de tensiune, sunt prezenţi şi care iniţiază microfisura. Apoi aceasta se măreşte şi ca urmare a frecărilor dintre suprafeţele separate, apare zona lucioasă. Când secţiunea a slăbit suficient de mult, are loc separarea bruscă a suprafeţelor, formându-se astfel cea de-a doua zonă, zona

252


grăunţoasă. În Fig.5.2-2 se prezintă suprafaţa de rupere prin oboseală a unei osii de vagon de cale ferată, iar în Tabelul 5.2-1 se prezentă schematizat aspectul secţiunilor de rupere prin oboseală la tensiuni normale σ în cazul epruvetelor fără crestătură, respectiv cu crestătură inelară.

Fig.5.2-2

Tabelul 5.2-1 Epruvete netede Epruvete cu

crestătură inelară

Solicitarea Solicitare mică Solicitare mare Solicitare mică

Încovoiere

rotativă

Încovoiere plană

Întindere -

Compresiune

Calculul de rezistenţă are în vedere la solicitările statice, ipoteza mediului continuu omogen şi izotrop. Ori este bine cunoscut faptul că în structura materialului există o serie de pori, incluziuni, microfisuri, orientări diferite ale cristalelor etc., care constituie concentratori puternici de tensiuni, deosebit de periculoşi în cazul solicitărilor variabile. Pe baza acestor observaţii, pentru alculul la oboseală s-au stabilit metode de calcul specifice. c

253


5.3 REZISTENŢA LA OBOSEALĂ. CURBA LUI WŐHLER

licitarea rotativă, iar în Fig.5.3-2a shema unei stalaţii folosită la încercări.

La solicitarea variabilă caracteristica mecanică limită a materialului este rezistenţa la oboseală. Determinarea rezistenţei la oboseală este standardizată utilizându-se diferite tipuri de epruvete, cu forme şi dimensiuni specifice. În Fig.5.3-1 se prezintă forma unei epruvete utilizată pentru determinarea rezistenţei la oboseală la soin

Fig.5.3-1

Fig.5.3-2

a) 1- ax 2 – bucşă 3 – roată curea 4 – ax flexibil 5 – contor

rotaţii 6 – sarcina de încărcare 7 - rulment E - epruvetă

ω

y

d

Bϕ

b)

7

254


Epruveta E este fixată în extremitatea axei 1 prin intermediul bucşei 2. Axele 1 sunt acţionate de către un motor electric prin intermediul roţii de curea 3. Epruveta este solicitată prin intermediul unei sarcini (greutăţi) 6 fixată cu ajutorul unui rulment 7 pe capătul liber al epruvetei. Contorul (înregistratorul) de rotaţii 5 este antrenat prin intermediul unui ax flexibil 4. Contorul de rotaţii se opr

ptul unui punct

poziţie oarecare după un mp t, determină în punctul B, unghiul ϕ (Fig.5.3-2b):

eşte numai în momentul în care epruveta se rupe. În timpul rotirii epruvetei tensiunea normală din dre

oarecare îşi modifică valoarea după un ciclu alternant simetric. Viteza unghiulară ω constantă a epruvetei, într-oti

t⋅ω=ϕ 5.3-1

r ordonata punctului B este:

ia

tsin2dsin

2dy ω⋅=ϕ⋅= 5.3-2

În punctul B, tensiunea normală se calculează cu relaţia:

tsind

xQ32yIM

3z

i ω⋅⋅π⋅

=⋅=σ 5.3-3

transversală a epruvetei tensiunea variază inusoidal, între valorile extreme:

ceea ce arată că în secţiunea s

0d

xQ32

m

3minmax,

=σ⇒⋅π⋅

±=σ 5.3-4

entru care epruveta nu se mai pe indiferent de numărul de cicluri de solicitare.

Epruveta se încearcă până la rupere şi se notează numărul de cicluri. Pentru determinarea rezistenţei la oboseală, se încearcă mai multe epruvete la diferite forţe de încărcare. Epruvetele încercate cu forţe (tensiuni) mai mari se rup la un număr mai mic de cicluri. La o tensiune σ1 aplicată, numărul de cicluri până la rupere este N1, la tensiunea σ2 corespunde N2, la σ3 corespunde N3 etc. Tensiunea şi numărul de cicluri se înregistrează într-o diagramă, diagrama σmax = f(N). Această diagramă este cunoscută sub numele de curba Wőhler (Fig.5.3-3). Curba se apropie asimptotic de tensiunea σ0b, pru

255


Valoarea σ0 = σ0b a tensiunii se numeşte rezistenţă la oboseală. Altfel spus, rezistenţa la oboseală este acea valoare maximă a tensiunii la care epruveta nu se mai rupe nici după un număr foarte mare de cicluri. De obicei, numărul maxim de cicluri se limitează la

σmax

σ1

σ2

N1 N2 O

N [rotaţii]

σ0b

Număr cicluri

Fig.5.3-3

107 cicluri (2-3 zile de funcţionare

coeficientul de asimetrie R şi ea se determină pe cale

reprezintă tocmai valoarea coeficientului de asimetrie al

τ-1 – rezistenţa la oboseală la torsiune pentru un ciclu alternant simetric, R=-1

Pentru : voiere

iclu pulsant

τ0 ≈ (1,8 – 2) τ-1 pentru oţel solicitat la torsiune, ciclu pulsant.

5.3-1 se prezintă valorile rezistenţei la oboseală pentru câteva mă ţe

continuă a instalaţiei cu n = 3000 rot/min). Rezistenţa la oboseală depinde de mai mulţi factori, în special de natura solicitării, prin experimentală. Rezistenţa la oboseală se notează cu simbolul tensiunii produse la care se adaugă un indice careciclului de solicitare:

σ0,3 – rezistenţa la oboseală pentru un ciclu cu R = 0,3 σ-1 - rezistenţa la oboseală pentru un ciclu alternant simetric, R = -1

rezistenţa la oboseală se pot utiliza şi relaţii aproximative

σ-1 ≈ (0,4 … 0,5) σr pentru oţel solicitat la înco σ-1 ≈ (0,25 … 0,5) σr pentru metale neferoase σ-1t ≈ (0,7 … 0,8) σ-1 la tracţiune-compresiune σ0 ≈ (1,5 … 1,6) σ-1 pentru oţel solicitat la c τ-1 ≈ 0,6 σ-1 pentru oţel solicitat la torsiune

În Tabelul rci de o l.

256


Tabelul 5.3-1

presiuÎncovoiere Răsucire Tracţine -

com ne M

oţel [MPa] [MPa]

[MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa]

arcă σc σc

σ0t σ-1t σ0 σ-1 τ0 τ-1

OL34 180-200 340-420 190 120 220 170 120 95 OL37 210-240 370-450 220 135 250 185 140 105 OL42 230-260 420-500 240 145 290 200 150 115 OL50 270-290 500-620 270 179 320 240 170 140 OL60 300-320 600-720 300 200 360 280 190 160 OL70 34 0 m 0 0-36 in.70 350 230 420 330 220 190

OLC25 280 460 250 140-160 300 190-240 160 10 00-12OLC35 320 540 310 180-190 370 230-280 190 140 OLC45 360 620 360 200-220 430 280-320 220 160-170OLC60 420 230-250 500 320-360 230 190-200410 710 OT40 200 390 105 160 90 OT45 240 440 115 180 100 OT50 270 490 130 200 110 OT55 310 540 145 220 120 OT60 340 590 155 240 135

Pentru a cunoaţte cât mai real modul de comportare al materialelor la solicitări variabile, încercările experimentale se pot efectua şi pe elemente de construcţii

aritmice σmax – log N, zultă o diagramă liniară ca cea prezentată în Fig.5.3-3.

sau direct pe piese, nu numai pe epruvete. Dacă curba Wőhler se reprezintă în coordonate semilogre

σmax

σ0

logN log107

Fig.5.3-3

257


5.4 DIAGRAMELE REZISTENŢELOR LA OBOSEALĂ

oboseală. Se

te σm - σam un ciclu poate fi reprezentat rintr-un singur punct M (Fig.5.4-1).

asimetrie al ciclului reprezentat e punctul M, se poate scrie următoarea relaţie:

S-a constatat că rezistenţa la oboseală depinde foarte mult de coeficientul de asimetrie R al ciclului de solicitare. Rezistenţa la oboseală este minimă pentru R = -1 (ciclu alternant simetric) şi creşte dacă R variază de la –1 la +1. Rezultă de aici, că orice material prezintă o infinitate de rezistenţe la oboseală. Deoarece un material poate avea o infinitate de rezistenţe la oboseală este necesar să se cunoască dacă este posibil, întreaga infinitate de valori şi pentru fiecare tip de solicitare. Este de mare ajutor dacă infinitatea rezistenţelor la oboseală pentru o anumită solicitare, poate fi redată de o singură diagramă. Acest tip de diagrame reprezintă diagramele de rezistenţă la cunosc mai multe tipuri de diagrame ale rezistenţelor la oboseală. Faţă de un sistem de coordonap σam

σamL

σam

σmLσm

σm

L

M

O

Fig.5.4-1

ϕ

Între panta dreptei OM şi coeficientul de

d

.cttg1tg1R

R1R1

2

2tgminmax

minmax

m

am

=ϕ+ϕ−

=⇒

+−

=σ+σ

σ−σ

=σσ

=ϕ

5.4-2

Relaţia 5.4-2 arată că toate ciclurile reprezentate de punctele situate pe dreapta OML au acelaşi coeficient de asimetrie. Punctul L reprezintă un ciclu limită, adică un ciclu la care tensiunea maximă este egală cu rezistenţa la oboseală

258


pentru ciclul cu respectivul coeficient de asimetrie. Locul geometric al punctelor L, reprezintă diagrama rezistenţelor la oboseală sau curba ciclurilor limită,

umită şi diagrama Haigh (Fig.5.4-2).

le particulare A,B,C ale diagramei Haigh, reprezintă trei cicluri particu r

B (situat pe bisectoare) cu σm = σam = σ0/2 reprezintă un ciclu

punctul C cu σm = σr , σam = 0 reprezintă o solicitare statică.

nctul L sau alt punct situat în afara diagramei,

reună cu caracteristicile

ă este diagrama Smith,

n

σam

σm σ0/2

σ0/2

A B

L

M

C450

σ-1

Fig.5.4-2

σr

Puncte

la e: punctul A, cu σm = 0, σam = σ-1 corespunde unui ciclu alternant simetric

punctul pulsant

Orice punct din interiorul diagramei (punctul M) reprezintă un ciclu nepericulos la oboseală pe când puconduce la ruperea prin oboseală. Trasarea diagramei rezistenţelor la oboseală de tip Haigh, necesită cunoaşterea multor valori experimentale. De obicei se determină rezistenţele la oboseală pentru cicluri alternate, pulsante, care împmecanice conduc la aşa zisele diagrame schematizate. Alt tip de diagramă a rezistenţelor la obosealreprezentată în coordonate σm - σmax , σmin (Fig.5.4-3). În diagrama Smith, un ciclu de solicitare este reprezentat de două puncte. Punctele A – A1 reprezintă un ciclu alternant simetric, punctele B – B1 un ciclu pulsant, iar punctul C solicitarea statică. Ciclurile reprezentate prin puncte situate în interiorul diagramei (punctele M – M1) sunt cicluri nepericuloase, iar cele care au cel puţin un punct pe diagramă sau în exteriorul acesteia sunt cicluri care conduc la ruperi prin oboseală. Trasarea acestor diagrame necesită foarte multe încercări experimentale. Din acest motiv obţinerea diagramei Smith se

259


face prin determinarea unui număr redus de rezistenţe la oboseală, ceea ce onduce la diagrame schematizate.

tru care în vederea trasării lor trebuie eterminate mai puţine mărimi. Astfel sunt cunoscute următoarele schematizări

Schematizarea Gerber. Diagrama rezistenţelor la oboseală este parabola ABC (Fig.5.5.1-1), de ecuaţie:

c

σmax,min

σm

σr

σ0 σ-1

σ-1

σ0/2

450

A1

A

B1

B

C

M

M1

Fig.5.4-3

σmin

σmax

5.5 SCEMATIZAREA DIAGRAMELOR REZISTENŢELOR

LA OBOSEALĂ După cum s-a mai spus, obţinerea diagramelor rezistenţelor la oboseală necesită foarte multe încercări experimentale care conduc la un efort mare şi un timp îndelungat. În practică se utilizează diagrame schematizate (simplificate) ale rezistenţelor la oboseală, diagrame pendale diagramelor rezistenţelor la oboseală:

5.5.1 Schematizări ale diagramei Haigh

⎥⎥

⎢⎢ ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ σ

−⋅σ=σ −r

m1am 1 5.

⎦

⎤

⎣

⎡ ⎞⎛ σ2

5.1-1

260


Pentru ob lor fragile, este

reprezentată de dreapta AC (fig.5.5.1-1), de ecuaţie:

ţinerea acestei diagrame este necesar să se determine σ-1 şi σr. Schematizarea Goodman recomandată materiale

⎟⎟⎠⎝ σ r

⎞⎜⎜⎛ σ−⋅σ=σ −

m1am 1 5.5.1-2

Pentru le care au limită de curgere,

este dreapta AD (Fig.5.5.1-1) de ecuaţie:

această diagramă sunt necesare σ-1 şi σr. Schematizarea Soderberg, pentru materia

⎟⎟⎠⎝ σ−

c1am

⎞⎜⎜⎛ σ−⋅σ=σ m1 5.5.1-3

r pentru trasarea ei este necesar σ-1 şi σc.

n care diagrama Haigh este

cuită cu o elipsă a cărei ecuaţie este:

ia

σam

σm

σ-1

σc

σr

A B

CD

Fig.5.5.1-1

Gerber

Goodman

Soderberg

Buzdugan

Bagci

Schematizarea Buzdugan (Fig.5.5.1-1) îînlo

am m

r

σ σσ σ

2 2

1

1−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5.5.1-4a

e unde,

d

/

mam

r

σσ σσ

1 22

1 1−

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

5.5.1-4b

Trebuie cunoscute σ-1 şi σr.

261


Schematizarea Bagci (Fig.5.5.1-1) care ia în considerare limita de curgere:

am m

c

σ σσ σ

4

1

1−

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

5.5.1-5a

de unde,

mam

r

σ σσ1 1−

⎡ σ4 ⎤⎛ ⎞

⎢ ⎥= ⋅ − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

5.5.1-5b

Se mai întâlneşte şi schematizarea Kececioghu, Chester şi Dodge, prin care diagrama haigh este înlocuită cu o curbă a cărei ecuaţie este de forma:

,

am m

r

σ σσ σ

2 6 2

1

1−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5.5.1-6a

de unde, / ,

mamσ

rσσσ

1 2 62

1 1−

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⋅ − ⎜ ⎟=⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Această curbă nu este reprezentată în Fig.5.5.1-1. Scematizarea Goodman

şi Soderberg se abat destul de mult de la diagrama reală, ceea ce duce la valori ale coeficienţilor de

5.5.1-6

siguranţă mai mici decât cei reali. Din acest motiv aceste schem zcalculul l

, σc şi σr Schematizarea Serensen (Fig.5.5.1-2b) impune cunoaşterea lui σ-1, σ0 şi σ .

ati ări (mai ales schematizarea Goodman) se utilizează mai puţin pentru a oboseală.

Schematizarea Ujik (Fig.5.5.1-2a) necesită pentru trasare cunoaşterea lui σ-1

c

B(σ0/2; σ0/2

σam σam

σ-1

σc σr

σm450

σ-1

0/2σ

σ450 m

σr σc σ0/2

b)a) Fig.5.5.1-2

262


Schematizarea Ujik se abate mult de la forma diagramei reale, motiv pentru care este utilizată mai puţin. Cele mai utilizate schematizări pentru calculele la oboseală sunt schematizarea Soderberg datorită mai ales simplităţii de obţinere şi chematizarea Serensen, care este simplă şi mai apropiată de diagrama reală iagrama Haigh).

mult utilizată în calculele de rezistenţă. Din aceste diagrame

Forma diagramei Smith, schematizate pe baza celor afirmate mai înainte, ste prezentată în Fig.5.5.2-1.

În Fig.5.5.2-2 se prezintă diagrama Smith pentru oţelul OL37 pentru olicitările variabile: tracţiune – compresiune, încovoiere, respectiv răsucire.

s(d 5.5.2 Schematizarea diagramei Smith Schematizarea diagramei Smith constă în limitarea ei superioară (a tensiunii maxime) la nivelul limitei de curgere σc. La acest tip de diagramă, pentru trasarea ei sunt necesare: rezistenţa la oboseală pentru ciclu alternant simetric σ-1, limita de curgere σc şi rezistenţa la oboseală pentru ciclul pulsant σ0. Toate aceste caracteristici de material necesare trasării diagramei Smith sunt destul de uşor de obţinut, ceea ce face ca diagrama Smith să fie foartese utilizează în calcule, în mod special, cele trei caracteristici de material amintite anterior. e σmax,min

σm

σr

σ0 σ-1

σ-1

σ0/2

450

A1

A

B1

B

C

σc

Fig.5.5.2-1

s

263


ată cu creşterea

de σm. În Fig.5.5.2-3 ... Fig.5.5.2-5 se prezint

iferite mărci de o

σci

σct

σ max

, σm

in, τ

max

, τm

in [

MPa

]

τc

OL37

σm, τm [MPa]

Analizând cele două diagrame ale rezistenţelor la oboseală se observă că

pentru aceeaşi solicitare amplitudinea tensiunii σam scade od

Fig.5.5.2-2

tensiunii medii σm. Pentru calculul la oboseală al elementelor de rezistenţă este foarte important a se cunoaşte variaţia lui σam în funcţie ă diagramele de tip Smith pentru d ţel (marcate după norme europene).

MPa MPa 210

τ-1

MPa

- σ

-1

σ-1

MPa

- τ

-1

Răsucire

Tracţiune-compresiune

Fig.5.5.2-3 Fig.5.5.2-4

264


NŢEAZĂ REZISTENŢA LA OBOSEALĂ

e o epruvetă debitată paralel cu direcţia

e maşin ulţi factori. Factorii care influenţ fi clasificaţi în mai multe categorii:

Fae tensiune

510

MPa

σ

-1

MPa

- σ

-1

Încovoiere

Fig.5.5.2-5

5.6 FACTORII CARE INFLUE

Calitatea materialului

Rezistenţa la oboseală, σR, depimnde în primul rând de rezistenţa la rupere a acelui material. Materialele cu o rezistenţă la rupere mare au şi o rezistenţă la oboseală mare, şi invers. Rezistenţa la oboseală depinde mult de modul de elaborare al materialului, (laminare, forjare, turnare, etc.). Incluziunile, porozităţile, neomogenităţile structurale de orice fel micşorează considerabil rezistenţa la oboseală. Procesele de laminare, forjare, trefilare, modifică rezistenţa la oboseală: σR determinată pde laminare este cu 10-30 % mai mare decât σR a unei epruvete debitate perpendicular pe direcţia de laminare.

Materialele cu structură fină vor avea, în general, o rezistenţă la oboseală mai mare decât cele cu structură grosieră.

Rezistenţa la oboseală a diferitelor elemente de rezistenţă sau organe di supuse solicitărilor variabile, depinde de foarte m

ează rezistenţa la oboseală pot ctori constructivi:

concentratorii d mărimea piesei

265


Fa

re a semifabricatului nte

Faenţii corozivi etc.)

simetrie al ciclului de solicitare

cele ce urmează, se prezintă doar cei mai importanţi factori de influenţă şi de c

ent teoretic de concentrare, ca fiind raportul dintre tensiunea maximă din concentrator şi tensiunea nominală (calculată neglijând existenţa concentratorului):

ctori tehnologici: calitatea suprafeţei piesei structura materialului tehnologia de elabora tensiunile remane tratamentele termice

ctori de exploatare: mediul de lucru (ag coeficientul de a temperatura piesei tipul solicitării frecvenţa ciclului de solicitare

Înare se ţine seama în mod direct în calculele de oboseală. Concentratorii de tensiune. Este cunoscut faptul că în locurile unde

secţiunea transversală variază brusc (găuri, gâtuiri, renuri etc.) şi la contactul dintre corpuri apar concentrări puternice de tensiuni. Tensiunile sunt cu atât mai mari cu cât variaţia secţiunii este mai mare şi raza de racordare mai mică. În cazul solicitărilor statice se defineşte un coefici

σ

n

k σmax=α

lizări a tensiunilor prin variaţia solicitării. În calculul solicitărilor variabile se utilizează coeficientul efectiv de concentrare Kσ, respectiv Kτ , definit prin relaţia:

5.6-1

Coeficientul teoretic de concentrare nu poate fi neglijat în cazul materialelor fragile. La materialele tenace, concentratorii de tensiune nu sunt prea periculoşi. La solicitările variabile coeficientul de concentrare are o valoare mai mică decât în cazul solicitărilor statice şi aceasta datorită unei uşoare ega

1K

1K

K1τ1

K1

1

>τ

=

>σσ

=

−

−

−σ

5.6-2

nde

K, τ-1K – rezistenţa la oboseală a epruvetei cu concentrator, la care aria cţiu

−τ

u σ-1, τ-1 – rezistenţa la oboseală a epruvetei standardizate σ-1se nii minime în zona concentratorului este egală cu aria secţiunii epruvetei netede.

266


Pentru o piesă cu diametrul d, coeficientul efectiv de concentrare a tensiunilor se defineşte ca:

dσ d

,K d(σ )1−

(σ )) 1−= 5.6-3

le. Din acest motiv, este necesar să se evite pe cât

e prezintă coeficientul efectiv de concentrare l tensiuni e ind supuse la solicitări variabile.

(K

În literatura de specialitate pentru coeficientul efectiv de concentrare al tensiunilor se mai utilizează şi notaţia Kt.

Coeficientul efectiv de concentrare se determină pe cale experimentală şi el se găseşte în literatura de specialitate sub forma unor diagrame pentru diferite tipuri şi mărimi de concentratori. Concentratorii de tensiune reduc rezistenţa pieselor supuse solicitărilor variabi

posibil variaţiile bruşte ale secţiunilor transversale ale pieselor, mai ales în zona existenţei tensiunilor mari.

În diagramele care urmează sa lor Kσ, Kτ (Kt) pentru piese cu diferite forme de concentratori, pieselfi

Kt

Kt

267


2,2

Kσ, α k

2,0

1,8

1,6

1,4

1,2

1,0 0,20,1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

σr = 400 MPaσr = 800 MPa

αk

σr = 1200 MPa

r / d

Kσ

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

200 400 600 800 1000 1200 1400σr [MPa]

Kσ

268


Kσ

r / d

Kσ

r / d

4

0,1 0,2 0,3 0,40,25

0,5

0,75

1,0

1,0 1,25 1,50

1

2

3

Kσ

1. 2. Ră

Încovoiere sucire

1

2

ξ

ξ – coeficient de corecţie

0 1,75 σr = 400 MPa

σr = 600 MPa σr = 800 MPa

σr = 1000 MPa

σr = 1200 MPa ÎNCOVOIERE

r / d D / d

D/d=2

pentru D/d≠2

269


r dD2,75 Mi Mi 2,50 ÎNCOVOIERE

1,001,25

1,50

1,75

2,25 Kσ 2,00

0,20 0,30 r / d

0 0,05 0,15 0,10 0,25

Pentru arbori din oţel cu σr = 400 ... 500 MPa

1,00

r

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50 2,75 dD

Mi MiKσ ÎNCOVOIERE

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

Pentru arbori din oţel cu σr = 600 MPa (OL 60, OLC 45) r / d

1,00

1,25

1,50

1,75 2,00

2,25 2,50 2,75

3,00

3,25

Kσ

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ÎNCOVOIEREMi Mi

d

r

D

r / dPentru arbori din oţel cu σr = 700 MPa (OL 70, OLC 60)

270


3,25

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25 2,50

2,75

3,00

Kσ

ÎNCOVOIERE

0,30 0 0,05 0,1 0,15 0,20 0,25r / d

Pentru arbori cu σr = 800 MPa (OLC 60 îmbunătăţit)

1,00

1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50

3,75 4,00

Kσ

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 r / d

ÎNCOVOIEREMi Mi

Pentru arbori din oţel cu σr = 1200 .... 1400 MPa (oţeluri aliate)

Mt

(aprox.) Kτ

Kτ, B

Kτ, A

Mt

RĂSUCIRE

271


Mt Mt

RĂSUCIRE Kτ

1,0

1,5

2,0

2,5

Kτ

RĂSUCIRE D/d = 2 σr = 1.200 MPa Mt Mt D/d = 1,43 σr = 1.000 MPa

D/d = 1,43 σr = 400 - 600 MPa 0 0,1 0,2 0,3

r / d

1,00

1,25 1,50

1,75 2,00

2,25

2,50

2,75 3,00

Kτ RĂSUCIRE

Mt

Mt

D d

r

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

r / d Pentru arbori din oţel cu σr = 500 ... 800 MPa

272


3,00 2,75 Mt

entratori interni de tensiune. În calculele la oboseală, mărimea piesei se ia în considerare printr-un factor dimensional εσ, respectiv ετ definit de raportul:

Dimensiunile piesei influenţează semnificativ rezistenţa la oboseală. Cu

cât dimensiunile piesei sunt mai mari cu atât rezistenţa la oboseală este mai mică. Piesele de dimensiuni mici au o rezistenţă mai mare la oboseală. Aceasta se poate explica prin aceea că piesele mari au un volum şi o suprafaţă mai mare care conţine mai multe incluziuni nemetalice, pori, cristale orientate diferit şi care constituie puternici conc

1

1

1τd1

1

d1

<τ

=ε

<σσ

=ε

−τ

−

−σ

5.6-4

a oarecare d. actorul dimensional se găseşte în literatura de specialitate sub formă de iagrame pentru diferite materiale şi solicitări (Vezi figura).

−

unde σ-1d, τ-1d – rezistenţa la oboseală a piesei cu dimensiuneFd

Pentru arbori din oţel cu σr = 1.000 ... 1.200 MPa

RĂSUCIRE

r / d 0,05

1,75

0,1 0,2 0,3

1,5

1,25

1,00

2,00

2,5 Kτ

2,.25

0,15 0,

D dMt

25

1,0 Factorul dimensional pentru: 1 – Piese din oţel carbon solicitate la încovoiere 2 - Piese din oţel solicitate la răsucire 3 - Piese din oţel aliat supuse la î i0

0,2

0,4

0,6

0,8 εσ,τ

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 d [mm]

273


Starea suprafeţei piesei este un alt factor care influenţează rezistenţa la oboseală. Piesele cu suprafaţa prelucrată fin au rezistenţa la oboseală mult mai mare decât piesele cu suprafaţa prelucrată grosolan sau cu suprafaţa corodată. Influenţa stării suprafeţei este mult mai pronunţată la solicitarea de răsucire şi încovoiere, la care tensiunile maxime apar la suprafaţa exterioară a piesei. Zgârieturile, asperităţile de la suprafaţa piesei constituie concentratori de tensiuni adică centre de amorsare a fisurilor. Cu cât suprafaţa piesei este mai fin

Starea de prelucrare a suprafeţei se ia în considerare în calculul la

prelucrată cu atât prezenţa concentratorilor de tensiune este mai puţin posibilă şi rezistenţa la oboseală este mai mare.

oboseală prin coeficientul de calitate al suprafeţei γ1 definit prin raportul: γσ

γ σ 1−

unde

111 1−= < 5.6-5

e coeficientului de calitate al suprafeţei se găseşte în literatura de pe

σ-1γ1 - rezistenţa la oboseală a piesei cu un anumit grad de prelucrare a suprafeţei. Valorils cialitate sub formă de diagrame (Vezi figura).

σr [MPa]

γ1 a 1,0

b

c 0,9

d

Factorul de calitate al suprafeţei γ1 cu următoarea semnifica

0,8 ţie a

curbelor: a) Epruvete fin polizate b) Epruvete cu polizaj mijlociu c) Epruvete fin şlefuite d) Epruvete şlefuite mijlociu sau finisate la strung e) Epruvete eboşate f

e

0,7

0,6

) Epruvete laminate 0,5

f 0,4

0,3 400 600 800 1000 1200 1400

274


Cei trei factori de influenţă ai rezistenţei la oboseală pot fi grupaţi într-un factor global de influenţă a rezistenţei la oboseală:

σσD

σ

ττD

τ

KKε γKKε γ

1

1

1

1

= >⋅

= >⋅

5.6-6

De ceilalţi factori de influenţă, în calculul la oboseală se ţine seama la

pe o epruvetă debitată

de laminare.

r medii corozive sau a temperaturilor diferite faţă de cele ale

oeficientul Kd se defineşte ca

umed etc. Toţi aceşti factori reduc considerabil rezistenţa la oboseală. Ruperea

rezultatul final, printr-o ajustare corespunzătoare.

Alţi factori de influenţă ai rezistenţei la oboseală sunt: Calitatea materialului. Rezistenţa la oboseală, σR, depimnde în primul

rând de rezistenţa la rupere a acelui material. Materialele cu o rezistenţă la rupere mare au şi o rezistenţă la oboseală mare, şi invers. Rezistenţa la oboseală depinde mult de modul de elaborare al materialului, (laminare, forjare, turnare, etc.). Incluziunile, porozităţile, neomogenităţile structurale de orice fel micşorează considerabil rezistenţa la oboseală. Procesele de laminare, forjare, trefilare, modifică rezistenţa la oboseală: σR determinatăparalel cu direcţia de laminare este cu 10-30 % mai mare decât σR a unei epruvete debitate perpendicular pe direcţia Materialele cu structură fină vor avea, în general, o rezistenţă la oboseală mai mare decât cele cu structură grosieră. Frecvenţa ciclurilor de solicitare. Rezistenţa la oboseală nu este influenţată semnificativ dacă încercările experimentale se desfăşoară în aer. Prezenţa unomediului ambiant influenţează mult rezistenţa la oboseală, micşorează rezistenţa la oboseală. Temperatura de lucru. S-a constatat că în domeniul unor numere mari de cicluri de solicitare, variaţia rezistenţei la oboseală în funcţie de temperatură este la fel cu variaţia caracteristicilor mecanice obişnuite la încercările de tracţine statică. Influenţa temperaturii asupra rezistenţei la oboseală poate fi făcută printr-un coeficient Kd, propus de Forest. Craportul dintre rezistenţa la oboseală la temperatura T şi rezistenţa la oboseală în aceleaşi condiţii dar la temperatura ambiantă. Mediul de lucru are o mare influenţă asupra rezistenţei la oboseală, mai ales dacă piesa lucrează în medii corozive. Un mediu coroziv este acel mediu care prin acţiunea chimică sau electrochimică produce o distrugere a suprafeţei piesei. Ca medii corozive se pot aminti: vaporii de apă, apa sărată, acizii, aerul

275


pieselor sub acţiunea acestor factori este cunoscută sub denumirea de ruperea prin oboseală la coroziune. Pentru rezistenţa la oboseală se introduce noţiunea

rez

uri N dar în

uncţie de rezistenţa la oţeluri, lucrând în diferite medii corozive.

ală la fel ca şi tensiunea

de solicitare reprezentat de punctu

a rezultat o creştere a rezistenţei la oboseală la soli

role, ecruisarea suprafeţei prin jet de alice etc.), tratamente termochimice şi

de istenţă la oboseală prin coroziune (σNC). În calculele de rezistenă acţiunea mediului coroziv se ia în considerare prin coeficientul γ3. Acest coeficient se defineşte ca fiind raportul dintre rezistenţa la oboseală pentru un anumit număr de cicluri N în mediul coroziv şi rezistenţa la oboseală în aceleaşi condiţii şi la acelaşi număr de ciclaer uscat. Pentru aer uscat γ3 = 1, iar pentru celelalte condiţii γ3 ≤ 1. În următoare se prezintă variaţia coeficientului γ3 înfrupere pentru

σr [MPa]

0

0,2

0,3

0,4

γ3

400 600 800 12001000 1400

Coeficientul γ3 cu semnificaţia curbelor:

1 – pentru apă dulce la piese cu concentratori de tensiune 2 - pentru apă dulce la piese fără concentratori de tensiune 3 – apă de mare la piese fără concentratori de tensiune.

Tensiunile reziduale (remanente) rezultate în urma realizării unei piese sau a executării unor procese tehnologice pot conduce la o micşorare a rezistenţei la oboseală. Într-o primă situaţie se poate considera că tensiunile reziduale (remanente) influenţează rezistenţa la obosemedie sau ca şi componenta statică a tensiunii ciclice. Să considerăm o diagramă de tip Haigh la care ciclul de solicitare M1 este un ciclu nepericulos (Fig.5.6-1). Dacă se măresşte tensiunea medie aplicată prin adăugarea tensiunii remanente σrem ajungem la ciclul

l M, care este un ciclu limită (ciclu periculos). Studiile experimentale efectuate au arătat existenţa tensiunilor remanente

în stratul superficial al pieselor are ccitarea de încovoiere rotativă. Introducerea voită a tensiunilor remanente la o piesă solicitată la

încovoiere rotativă cu scopul măririi rezistenţei la oboseală se poate face prin aplicarea unor tratamente mecanice la suprafaţa exterioară a piesei (presarea cu

276


termice (cementarea, cianurarea, nitrurare, călire prin curenţi de înaltă frecvenţă CIF sau superficială cu flacără).

MM’’

σ-1

σ’m σr σm

σam

σm

σ’’m

σrem

M’

Fig.5.6-1

Aceste tratamente influenţează rezistenţa la oboseală prin coeficientul γ2, ale căror valori se găsesc în literatura de specialitate. În Tabelul 5.6-1 sunt indicate valorile coeficientului γ2 pentru câteva piese supuse unor tratamente. Tabelul 5.6-1

Tratamente Piese Valori medii ale lui γ2

Piese netede 1,2 ... 1,4 Rulare Piese cu concentrator 1,6 ... 1,8 Piese netede 1,1 ... 1,3

Mecanice

Ecruisare cu jet de alice Piese cu concentrator 1,7 ... 2,2 Cementare 1,3 ... 1,5 Cianurare 1,8 ... 2,0

Termochimice

Nitrurare 1,4 ... 1,8 Căliri

superficiale CIF sau flacără Piese netede

Piese cu concentrator 1,25 ... 1,5 1,7 ... 2,8

277


5.7 CALCULUL LA OBOSEALĂ. CALCULUL COEFICIENTULUI

DE SIGURANŢĂ Calculul de dimensionare la oboseală este dificil deoarece apar mai multe necunoscute. Din acest motiv, dimensionarea la oboseală se efectuează cu ajutorul metodelor clasice de rezistenţă, stabilite pentru solicitările statice însă cu tensiuni admisibile mai mici. În literatura de specialitate se găsesc valorile admisibile recomandate pentru calculul la solicitări variabile. În lipsa acestor date, între tensiunile admisibile pentru diferite valori ale lui R, se poate accepta următoarea relaţie:

1Ra0Ra1Ra 32−==+=

σ⋅=σ⋅=σ 5.7-1

Calculul la oboseală este un calcul de verificare care se efectuează după calculul clasic de rezistenţă la solicitări statice. Verificarea la solicitarea variabilă presupune determinarea coeficientului de siguranţă în secţiunile periculoase, susceptibile la oboseală. Pentru ca piesa să satisfacă condiţia de rezistenţă la oboseală este necesar ca valoarea coeficientului de siguranţă la oboseală să fie mai mare decât o valoare admisă (coeficient de siguranţă admis). Coeficienţii de siguranţă admişi au valori în general mici. Coeficientul de siguranţă la oboseală se defineşte ca fiind raportul:

max

Rpiesă

max

Rpiesă crespectivcτ

τ=

σ

σ= τσ 5.7-2

unde σRpiesă, τRpiesă – rezistenţa la oboseală a piesei la solicitarea variabilă σmax, τmax – tensiunea maximă produsă în piesă calculată cu relaţiile cunoscute de la solicitările statice. În Tabelul 5.7-1 se prezintă valorile coeficienţilor de siguranţă pentru câteva piese.

Tabelul 5.7-1 F e l u l p i e s e l o r Coeficientul de

siguranţă Piese de maşini din oţel 1,5 … 1,7 Piese uşoare de maşini, din oţel 1,3 … 1,4 Piese din oţel turnat 1,4 … 2 Piese din fontă 2 … 3 Piese din aliaje de cupru 2 … 2,7 Piese din aliaje uşoare 2 … 2,5

278


După cum s-a mai afirmat, rezistenţa la oboseală se realizează pe epruvete

după norme bine precizate (standarde). Rezistenţa la oboseală a piesei diferă de cea a epruvetei, deoarece piesa poate avea concentratori de tensiune, o anumită mărime diferită de a epruvetei, o stare de prelucrare a suprafeţei, aplicate tratamente mecanice sau termice etc. Există situaţii când rezistenţa la oboseală poate fi determinată direct prin încercări pe piesa reală.

Prin urmare, rezistenţa la oboseală a piesei supusă unei solicitări variabile cu coeficientul de asimetrie R poate fi exprimată în funcţie de cea a epruvetei, pe baza factorilor de influenţă. Astfel, rezistenţa la oboseală σ’-1 a unei piese supusă la un ciclu simetric de solicitare poate fi calculată cu relaţia:

'

df f

d

σ σσ ε γ γ γ KK Kε γ γ γ K

1 11 1

1 2 3

− −− = = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 3⋅ ⋅ 5.7-3a

unde: σ-1 - rezistenţa la oboseală a epruvetei Kf – coeficientul efectiv de concentrare al tensiunilor ε – factorul dimensional γ1 – coeficientul de calitate al suprafeţei piesei γ2 – coeficientul care ţine seama de tratamentele aplicate γ3 – coeficientul care ţine seama de inflenţa mediului de lucru

Kd – coeficientul care ţine seama de influenţa temperaturii. Relaţia 5.7-3a poate fi explicitată atât pentru tensiunile noemale σ cât şi pentru cele tangenţiale τ.

Dacă se au în vedere numai factorii cei mai influenţi şi pentru un coeficient de asimetrie oarecare R al ciclului de solicitare, rezultă relaţiile:

σRRpiesă R

σ σ

σ

τRRpiesă R

τ τ

τ

ε γσσ σK Kε γ

ε γττ K Kε γ

1

1

1

1

τ

⋅= = ⋅

⋅⋅

= = ⋅

⋅

5.7-3b

iar coeficientul de siguranţă la oboseală are expresia:

279


σ Rσ

σ max

τ Rτ

τ max

ε γ σcK σ

ε γ τcK τ

1

1

⋅= ⋅

⋅= ⋅

5.7-4

unde σR , τR – rezistenţa la oboseală determinată pe epruvete solicitate cu un ciclu cu coeficientul de asimetrie R. Expresia coeficientului de siguranţă are forme diferite, dependente de natura solicitării:

Pentru ciclul alternant-simetric. În acest caz, relaţiile 5.7-4 capătă următoarea formă:

σσ

σ max

ττ

τ max

ε γ σcK σ

ε γ τcK τ

1 1

1 1

−

−

⋅= ⋅

⋅= ⋅

5.7-5

Pentru cicluri cu coeficient de asimetrie oarecare. Pentru o solicitare

variabilă oarecare, coeficientul de siguranţă depinde de: schematizarea diagramelor rezistenţelor la oboseală criteriul ales pentru calculul la oboseală.

Fie diagrama de tip Haigh a rezistenţelor la oboseală şi un ciclu oarecare

de solicitare reprezentat de punctul M (Fig.5.7-1).

σam

σm

LL1

L2 L3

L4M

450

OFig.5.7-1

280


De la punctul M la un ciclu limită se poate ajunge parcurgând mai multe trasee:

dreapta M –L care reprezintă un criteriul R = oarecare dreapta M –L1 care reprezintă criteriul R = const. dreapta M –L2 care reprezintă criteriul σm = const. dreapta M –L3 care reprezintă criteriul σmin = const. dreapta M –L4 care reprezintă criteriul σam = const.

Cel mai utilizat criteriu pentru calculul coeficientului de siguranţă este criteriul R = const.

Coeficientul de siguranţă poate fi definit şi pe baza stărilor limită, preluate din diagrama rezistenţelor la oboseală, cunoscându-se faptul că punctele L, L1, L2, L3, L4 reprezintă cicluri limită:

am

amL

am

amL

max

Lmax

max

Lmax

c;c

c;c

ττ

=σσ

=

ττ

=σσ

=

τσ

τσ

5.7-6

m

mL

m

mL c;cττ

=σσ

= τσ

Cu relaţiile 5.7-5 se poate stabili uşor şi expresia rezistenţei admisibile la

ciclul simetric, considerând σmax = σa, respectiv τmax = τa:

σσ

σ a

ττ

τ a

ε γ σcK σ

ε γ τcK τ

1 1

1 1

−

−

⋅= ⋅

⋅= ⋅

5.7-7

de unde rezultă:

σa

σ σ

τa

τ τ

ε γ σσK c

ε γ ττK c

1 1

1 1

−

−

⋅= ⋅

⋅= ⋅

Calculul coeficientului de siguranţă la oboseală se va face în cele ce

urmează pe baza criteriului R = const., pentru două schematizări ale diagramelor rezistenţelor la oboseală: schematizarea Soderberg, respectiv schematizarea Serensen.

281


5.7.1 Calculul coeficientului de siguranţă, schematizarea Soderberg,

criteriul R = const. Fie un ciclu asimetric reprezentat de punctul N din schematizarea Soderberg (Fig.5.7.1-1). Ciclul limită corespunzător ciclului N pentru criteriul R = const. este ciclul reprezentat de punctul L.

Q’

σam

σ-1

σam

σamL

σ-1/cσ

σm

σmL

σc/cσ σc

σm

Q

LN

M S P’ PO

ϕ

Fig.5.7.1-1

Din asemănarea triunghiurilor ONM şi OLS se poate constata că

ONOLc =σ 5.7.1-1

de unde rezultă că toate ciclurile de pe segmentul Q’P’ paralel cu segmentul QP au acelaşi coeficient de siguranţă faţă de ciclurile limită, pentru criteriul R = const. De asemenea, din asemănarea triunghiurilor NMP’ şi Q’OP’ se poate scrie:

m

c

am

c

1

cc

c'MP

NM'OP'OQ

σ−σσ

=σ

σ

⇒=

σσ

σ

−

5.7.1-2

282


Din relaţia 5.7.1-2 rezultă expresia coeficientului de siguranţă pentru epruvetă:

c

m

1

am

1c

σσ

+σσ

=

−

σ 5.7.1-3

Dacă se are în vedere că rezistenţa la oboseală a piesei are expresia (cunoscută deja):

piesăσ

σ

σσ Kε γ

11

1

−− =

⋅ 5.7.1-4

coeficientul de siguranţă pentru piesă devine:

σpiesă σσ am m

σ c

c c K σ σε γ σ σ1 1

1

−

= =⋅ +

⋅ 5.7.1-5

Pentru solicitarea de torsiune variabilă, coeficientul de siguranţă are expresia:

τpiesă ττ am m

τ c

c c K τ τε γ τ τ1 1

1

−

= =⋅ +

⋅ 5.7.1-6

Relaţiile 5.7.1-5, respectiv 5.7.1-6 permit calculul coeficientului de siguranţă în cazul pieselor solicitate la încovoiere variabilă, respectiv r[sucire variabilă.

5.7.2 Calculul coeficientului de siguranţă, schematizarea Serensen, criteriul R = const. Toate ciclurile situate pe segmentul M’B’ paralel cu segmentul AB au acelaşi coeficient de siguranţă cσ (Fig.5.7.2-1). Din asemănarea triunghiurilor MB’D’ şi ABD se poate scrie următoarea relaţie:

283


2

2

c2

c2BDAD

'D'B'MD

0

01

m0

0am

σ

σ−σ

=σ−

⋅σ

⋅σ

−σ⇒=

−

σ

σ 5.7.2-1

σam

σ-1

σ0/2 σ-1/cσ

σam

σm

σ0/2cσσ0/2

σc

σm

O

A

D BMM’

D’ B’

450 450

Fig.5.7.2-1

σ0/2cσ

Din relaţia 5.7.2-1 se obţine o primă formă pentru expresia coeficientului de siguranţă al epruvetei:

m

0

01am

1

2c

σ⋅σ

σ−σ⋅+σ

σ=

−

−σ 5.7.2-2

Notând în relaţia 5.7.2-2 cu:

0

012σ

σ−σ⋅=ψ −

σ 5.7.2-3

relaţia 5.7.2-2 capătă forma:

mam

1cσ⋅ψ+σ

σ=

σ

−σ 5.7.2-4

284


Dacă se are în vedere expresia rezistenţei la oboseală a piesei (relaţia 5.7.1-4), rezultă expresia coeficientului de siguranţă la oboseală a piesei solicitată la încovoiere:

σσ

am σ mσ

σc K σ ψ σε γ

1

1

−=⋅ + ⋅

⋅ 5.7.2-5

Asemănător se poate arăta că la solicitarea de r[sucire variabilă, pentru schematizarea Serensen, expresia coeficientului de siguranţă are expresia:

ττ

am τ mτ

τc K τ ψ τε γ

1

1−=⋅ + ⋅

⋅ 5.7.2-6

unde s-a notat:

0

012τ

τ−τ⋅=ψ −

τ 5.7.2-7

În concluzie, pentru solicitarea de încovoiere respectiv răsucire, coeficientul de siguranţă la oboseală, pentru schematizarea Serensen, se calculează cu relaţiile 5.7.2-5 şi 5.7.2-3, respectiv 5.7.2-6 şi 5.7.2-7. 5.7.3 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile compuse Pentru solicitările variabile compuse de încovoiere cu torsiune, cicluri alternant simetrice în fază, coeficientul de siguranţă global cg se poate determina pornind de la expresia tensiunii echivalente, de exemplu, corespunzătoare teoriei a III-a de rezistenţă:

2

1

2

1

2

1

echIII222echIII

22echIII

44

4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛στ

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⇒τ+σ=σ⇒

τ+σ=σ

−−−

285


21

21

2

echIII

1

1411

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛τσ

⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛σσ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⇒−−−

5.7.3-1

Dacă se are în vedere că:

111

1 22 −−−

− τ⋅=σ⇒σ

=τ 5.7.3-2

atunci relaţia 5.7.3-1 conduce la:

2

12

12

echIII

1

21

21

2

echIII

1

111

21411

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ττ

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛σσ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ττ⋅

⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛σσ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

−−−

−−−

5.7.3-3

Se observă că numitorii relaţiei 5.7.3-3 reprezintă tocmai coeficienţii de siguranţă global, respectiv la încovoiere şi răsucire. Rezultă astfel următoarea expresie:

222g c

1c1

c1

τσ

+= 5.7.3-4

de unde se obţine expresia coeficientului de siguranţă global pentru solicitarea compusă de încovoiere şi răsucire variabile:

σ τ

g σ

σ τ

c ccc c2 2 τc ;c⋅

= <+ 5.7.3-5

Aşadar, cunoscându-se coeficienţii de siguranţă la solicitarea de

încovoiere şi torsiune variabile, cu relaţia 5.7.3-5 se determină coeficientul de siguranţă global la solicitarea compusă de încovoiere cu răsucire.

286


5.8 CALCULUL LA DURABILITATE LIMITATĂ

Curba Wőhler reprezentată în coordonate semilogaritmice (vezi Fig.5.3-3) se

prezintă ca în Fig.5.8-1.

σL

σmax

σN

σ-1

O

σF

AL1

L2

M B C

F

N NL N0 NF logN [cicluri]

Fig.5.8-1

LF

Dacă într-o piesă se realizează o solicitare variabilă cu tensiunea σmax = σF produsă de un număr mare de ori NF > N0 (numărul de cicluri corespunzător rezistenţei la oboseală), la starea limită se ajunge pe verticala FLF . Oriunde se află punctul LF pe porţiunea BC, starea limită este tocmai rezistenţa la oboseală σ-1. Punctul M reprezintă o stare care s-a aplicat de un număr N de ori, cu N < N0. În acest caz, tensiunea σN din piesă poate fi mai mare decât rezistenţa la oboseală σ-1, fără ca aceasta să cedeze prin oboseală. De la punctul M se poate ajunge la starea limită pe două direcţii:

pe verticala ML1 unde tensiunea limită este σL şi reprezintă rezistenţa de durată, corespunzătoare la N cicluri de solicitare

pe orizontala ML2 corespunzătoare tensiunii σN şi numărului limită de cicluri NL, numit durata de viaţă a piesei.

Porţiunea AB reprezintă curba de durabilitate limitată din diagrama Wőhler. De multe ori în practică, piesele trebuie să funcţioneze un anumit timp (durată limitată) mai mic decât cel care ar duce la atingerea rezistenţei la oboseală, după care se scot din funcţionare. Pentru aceste piese nu se mai calculează coeficientul de siguranţă la oboseală, ci se face calculul la durabilitate limitată. Pentru starea reală din piesă definită de punctul M(σN, N), se pot defini atunci doi coeficienţi de siguranţă:

coeficient de siguranţă faţă de rezistenţa de durată limitată:

287


N

Lcσσ

=σ 5.8-1

coeficient de siguranţă la durabilitate:

NNc L

N = 5.8-2

Acest calcul este recomandat atunci când piesa are o durată de funcţionare mai mică decât cea corespunzătoare atingerii rezistenţei la oboseală. Problema durabilităţii limitate poate fi studiată şi pe cale analitică, dacă se acceptă că ecuaţia curbei Wőhler este de forma:

m

10m

m1

0

NNNN

−− σ⋅=σ⋅⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛σσ

= 5.8-3

unde N, σ - coordonatele unui punct curent de pe linia de durabilitate limitată N0, σ-1 – coordonatele punctului B (numărul de cicluri corespunzător rezistenţei la oboseală, respectiv rezistenţa la oboseală) m – un coeficient. Pentru oţeluri se poate considera N0 = 106 … 5⋅106 cicluri . Coeficientul m are o dispersie mare (m = 2 … 9), dar pentru oţeluri el poate fi egal cu 9 sau 6, (m = 9, m = 6). Pentru un punct oarecare situat pe porţiunea descendentă a curbei Wőhler, expresia tensiunii σ se poate determina cu relaţia:

Lm 0

1 NN

σ=⋅σ=σ − 5.8-4

Prin urmare, pentru un număr de cicluri dat N, la o solicitare cu amplitudinea ciclului σN, coeficientul de siguranţă faţă de rezistenţa de durată limitată este:

m 0

N

1

N

L

NN

c ⋅σσ

=σσ

= −σ 5.8-5

288


5.9 APLICAŢII

A1. Să se verifice arborele unei maşini supus unei solicitări de încovoiere cu răsucire. Se cunosc: d = 40 mm, ca = 2, Mimax = 50 KN cm, Mimin = 14 KN cm, Mtmax = 37 KN cm, Mtmin = 9 KN cm, σ0 = 350 MPa, σ-1 = 230 MPa, τ0 = 200 MPa, τ-1 = 140 MPa, Kσ = 1,6, Kτ = 1,3, εσ = ετ = 0,78, γ1 = 0,91. Rezolvare Calculul coeficientului de siguranţă la încovoiere

Se utilizează relaţia stabilită pentru schematizarea Serensen:

σσ

am σ mσ

σc K σ ψ σε γ

1

1

−=⋅ + ⋅

⋅

unde

314,0350

35023022

0

01 =−⋅

=σ

σ−σ=ψσ

MPa57,79

32d

MW

M3

maxi

z

maximax =

⋅π==σ

MPa28,22

32d

MW

M3

mini

z

minimin =

⋅π==σ

MPa92,502

minmaxm =

σ+σ=σ

MPa645,282

minmaxam =

σ−σ=σ

85,292,50314,0645,28

91,078,06,1

230c =⋅+⋅

⋅

=σ

289


Calculul coeficientului de siguranţă la răsucire Coeficientul de siguranţă la solicitarea de răsucire se calculează cu relaţia:

ττ

am τ mτ

τc K τ ψ τε γ

1

1

−=⋅ + ⋅

⋅

unde

4,0200

20014022

0

01 =−⋅

=τ

τ−τ⋅=ψ −

τ

MPa44,29

16d

MW

M3

maxt

p

maxmax =

⋅π==τ

MPa16,7

16d

MW

M3

mint

p

minmin =

⋅π==τ

MPa3,182

minmaxm =

τ+τ=τ

MPa17,112

minmaxam =

τ−τ=τ

04,53,184,017,11

91,078,03,1

140=

⋅+⋅⋅

=τc

Coeficientul de siguranţă global este:

σ τ

g a

σ τ

c c , ,c ,c c , ,2 2 2 2

2 85 5 04 2 48 22 85 5 04

⋅ c⋅= = = >

+ +=

Coeficientul de siguranţă global este mai mare decât cel minim admis,

ceea ce înseamnă că arborele nu se va distruge prin rupere la oboseală. Se poate constata că şi tensiunile maxime normale sau tangenţiale la solicitarea statică au valori sub cele admisibile.

290


A.2 Ansamblul prezentat în Fig.A2-1 este confecţionat din OL50. Forţa F0 = 16 daN şi este statică, iar forţa F variază după un ciclu alternant simetric de la Fmax la Fmin cu Fmax = -Fmin. Se cere să se determine forţa Fmax pentru ca = 2, dacă D = 80 mm, d = 40 mm, r = 2 mm, l = 400 mm, a = 100 mm. Piesa are suprafaţa cu un polizaj mijlociu, lucrează în aer şi nu a suferit nici un tratament termic superficial.

dr

la

F0

F

Fig.A2-1

Rezolvare Rezistenţele la oboseală pentru OL50 sunt:

2,0MPa150MPa200143,0MPa240MPa420

10

10

=ψ=τ=τ=ψ=σ=σ

τ−

σ−

iar factorii de influenţă au valorile:

σ σ

τ τ

K , ε , γ ,K , ε ,

12 04 0 84 0 971 5 0 78

= = == =

Pentru coeficientul de siguranţă la încovoiere:

( )

maxz

max0max F625,010

WlFF

⋅+=⋅+

=σ

( )

maxz

max0min F625,010

WlFF

⋅−=⋅−

=σ

maxam F625,0 ⋅=σ MPa10m =σ

291


43,1F56,1240cmax +⋅

=σ

Pentru coeficientul de siguranţă la torsiune (ciclul este alternant simetric):

maxp

maxmax F784,0

WaF

⋅=⋅

=τ

maxp

maxmin F784,0

WaF

⋅−=⋅

−=τ

0F784,0

m

maxam

=τ⋅=τ

Coeficientul de siguranţă la răsucire, ciclu alternant simetric, este:

ττ max

amτ

τc K , Fσε γ

1

1

1500 015

−= =⋅⋅

⋅

Relaţia de verificare a rezistenţei la oboseală este:

a2

max

2

max

maxmax

22g c

F015,0150

43,1F56,1240

F015,0150

43,1F56,1240

cc

ccc =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⋅⋅

+⋅=

+

⋅=

τσ

τσ

Din relaţia anterioară se obţine valoarea maximă admisă pentru forţa F: N760Fmax ≈

292


6. CALCULUL PLĂCILOR PLANE IZOTROPE


Plăcile sunt elemente care au două dimensiuni (lungimea şi lăţimea)

relativ mari în comparaţie cu cea de-a treia (grosimea). În practică se întâlnesc multe elemente care intră în categoria plăcilor: cilindrii motoarelor, diferite rezervoare, supapele, pistoanele, conductele, planşeele, acoperişuri etc. Studiul plăcilor este mult mai dificil decât cel al barelor şi acesta se face pe baza teoriei elasticităţii. Elementele geometrice ale unei plăci sunt:

forma şi dimensiunile suprafeţei mediane grosimea h (Fig.6.1-1).

Suprafaţa mediană este locul geometric al punctelor egal depărtate de suprafeţele exterioare ale plăcii. După forma suprafeţei mediane, plăcile pot fi.

plăci plane plăci curbe învelitori.

h h/2

h/2

Suprafaţa mediană

Fig.6.1-1

L

Grosimea plăcii (h) reprezintă distanţa dintre două puncte ale suprafeţelor exterioare, măsurată perpendicular pe suprafaţa mediană.

293


În funcţie de mărimea grosimii h a plăcii şi de dimensiunea L cea mai mică a conturului, plăcile pot fi:

membrane, plăci cu grosime foarte mică, h ≤ L/80. Aceste plăci au o rigiditate neglijabilă la încovoiere şi preiau numai eforturi axiale,

plăci groase, plăci cu grosime relativ mare, h > L/5. Calculul acestor plăci se face cu teoria spaţială a elasticităţii, care este destul de dificilă.

După forma suprafeţei mediane, plăcile plane pot fi: circulare dreptunghiulare eliptice de alte forme.

Calculul plăcilor curbe este mult mai complicat decât cel al plăcilor plane şi acesta interesează mai mult specialistul din construcţii. Inginerul mecanic este interesat în special de plăcile plane şi învelitori, mai ales aceia care au preocupări în domeniul rezervoarelor de diferite tipuri. Din punct de vedere mecanic, se consideră că plăcile rezistă oricăror sarcini. Plăcile, faţă de bare, prezintă anumite particularităţi cu privire la sarcini şi eforturi. Astfel, sarcinile aplicate plăcilor pot fi:

concentrate [N] distribuite liniar [N/mm] distribuite pe o suprafaţă [N/mm2].

Deoarece secţiunea unei plăci este mare, eforturile N, T, Mi , Mt , variază în lungul secţiunii. Din acest motiv, eforturile se calculează pe unitatea de lungime a secţiunii, şi au următoarele unităţi de măsură:

efortul axial şi tăietor în [N/mm] momentul încovoietor şi de răsucire în [Nmm/mm] = [N].

Se consideră că în calculul plăcilor este valabilă ipoteza materialului izotrop şi legea lui Hooke. Plăcile plane care sunt simetrice din punct de vedere al formei, pot fi rezemate şi încărcate simetric, ceea ce simplifică mult calculele. De asemenea ele pot fi încărcate şi nesimetric. Pentru plăcile plane sistemul de referinţă xyz are axele x şi y în planul suprafeţei mediane, iar axa z perpendiculară pe acest plan.

294


6.2 CALCULUL LA ÎNCOVOIERE AL PLĂCILOR CIRCULARE ÎNCĂRCATE SIMETRIC

6.2.1 Relaţii între tensiuni şi deformaţii specifice

În urma acţiunii sarcinilor, placa se deformează, iar suprafaţa mediană devine o suprafaţă curbă numită suprafaţă mediană deformată. Deplasările w ale suprafeţei mediane sunt mici în comparaţie cu grosimea plăcii. Ipotezei lui Bernoulli de la bare îi corespunde plăcilor ipoteza lui Kirchhof care precizează că toate punctele aflate, înainte de deformaţie, pe o normală la planul median se găsesc după deformaţie pe o normală la suprafaţa mediană deformată. Această ipoteză permite ca în studiul deformaţiei plăcilor să se abordeze numai deformaţiile suprafeţei mediane. În Fig.6.2.1-1 se consideră suprafaţa mediană a unei plăci circulare.

R

r

r

x

y

t

θ

Fig.6.2.1-1

P

În locul coordonatelor carteziene x, y se pot considera coordonatele polare r, θ. În acest mod, orice mărime este independentă de θ, fiind funcţie numai de r. Într-un punct curent al plăcii P, trebuie considerate două axe ortogonale: axa radială Pr şi axa circumferenţială Pt. Dacă se face o secţiune diametrală prin placa deformată se obţine o curbă, care reprezintă intersecţia suprafeţei mediane deformate cu planul secţiunii (Fig.6.2.1-2). Într-un punct situat la distanţa r de centrul plăcii, curba are săgeata w şi unghiul (rotirea) ϕ:

drdw

−=ϕ 6.2.1-1

Semnul ( - ) apare deoarece r şi w sunt pozitive, iar ϕ este negativ.

295


x

z

TrO w ϕ

Fig.6.2.1-2

Când r creşte, creşte şi ϕ, iar w scade, ceea ce impune semnul minus în relaţia 6.2.1-1.

Fig.6.2.1-3 reprezintă o secţiune diametrală prin placă atât în stare nedeformată cât şi deformată. AB şi CD sunt două normale la placă situate la distanţa r de Oz, respectiv la distanţa r+dr. Fiind acceptată ipoteza lui Kirchhof, acestea devin normale şi pe suprafaţa mediană deformată A’B’, C’D’.

Se consideră acum o fibră MN de lungime dr, situată la distanţa z de suprafaţa mediană care după deformaţie ajunge în poziţia M’’N’’. Normala AB s-a rotit cu unghiul ϕ, iar CD cu unghiul

drdrd

⋅ϕ

+ϕ

Fibra MN care acum a ajuns în poziţia M’’N’’ s-a lungit cu o mărime

egală cu diferenţa deplasărilor extremităţilor sale:

( ) φ φφ φd ddr N'N'' M'M'' z dr z z drdr dr

⎛ ⎞Δ = − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

6.2.1-2

Lungirea specifică a fibrei în direcţie radială este:

( )

r

dr dφε zdr dr

Δ= = ⋅ 6.2.1-3

Cercul de rază TM = r are înainte de deformaţie lungimea: s π r2= ⋅ ⋅ iar după deformaţie raza cercului devine: T 'M '' r z φ= + ⋅

296


astfel încât lungimea sa este:

( )s s π r z φ2+ Δ = ⋅ ⋅ + ⋅

O

z

r

r dr

hz

w

A

B

RM

C

SN

D

ϕϕ+(dϕ/dr)⋅dr

w0

O’

T

T’

z

z

A’C’

R’ S’

M’

N’M’’ N’’

B’D’

Fig.6.2.1-3

Lungirea specifică în direcţia circumferenţială este acum:

( )

t

s s s π r π z φ π r φε zs π r r

2 2 22

+ Δ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅⋅ 6.2.1-4

Din teoria elasticităţii (legea lui Hooke generalizată) sunt cunoscute relaţiile dintre tensiuni şi deformaţiile specifice:

( )

( )xy2y

yx2x

1E

1E

ε⋅ν+ε⋅ν−

=σ

ε⋅ν+ε⋅ν−

=σ

care transpuse pentru cazul plăcii circulare capătă forma:

297


( )

( )rt2t

tr2r

1E

1E

ε⋅ν+ε⋅ν−

=σ

ε⋅ν+ε⋅ν−

=σ

6.2.1-5

Dacă se ţine seama de expresiile deformaţiilor specifice stabilite în cazul plăcii circulare, relaţiile 6.2.1-5 devin:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ

⋅ν+ϕ

⋅ν−⋅

=σ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ

⋅ν+ϕ

⋅ν−⋅

=σ

drd

r1zE

rdrd

1zE

2t

2r

6.2.1-6

Relaţiile 6.2.1-6 permit calculul tensiunilor radiale şi circumferenţiale dintr-un punct situat la distanţa z de planul median. Dar, pentru aceasta, trebuie cunoscută funcţia ϕ(r). Se poate constata că în planul median unde z = 0, atât tensiunea radială cât şi cea circumferenţială sunt nule. 6.2.2 Echilibrul elementului de placă Din placa circulară se detaşează un element de volum, cu ajutorul a două suprafeţe cilindrice, concentrice cu placa, de raze r şi r+dr şi două plane diametrale normale pe placă, care fac între ele un unghi dθ (Fig.6.2.2-1). Pe cele două suprafeţe plane normale la direcţia circumferenţială acţionează tensiunile circumferenţiale σt , iar pe suprafeţele cilindrice, tensiunile radiale σr . Tensiunile circumferenţiale sunt egale pe cele două suprafeţe, iar tensiunea radială are valoarea σr la raza r şi valoarea σr + (dσr / dr)⋅ dr pe suprafaţa de rază r + dr. În Fig.6.2.2-1 tensiunile au fost reprezentate pe suprafaţa situată la distanţa z de suprafaţa mediană N1N2N3N4. Pe cele patru suprafeţe (două plane şi două cilindrice) iau naştere eforturile N, T, Mi, Mt.

Dacă placa se încarcă numai cu sarcini normale pe planul ei, atunci asupra elementului acţionează numai efortul tăietor T şi momentul încovoietor Mi = M (Fig.6.2.2-2). Pe suprafeţele plane acţionează momente încovoietoare radiale distribuite Mr care se măsoară pe unitatea de lungime a razei. Pe întreaga faţă a elementului momentul încovoietor radial este Mr ⋅ dr, care este acelaşi pe fiecare faţă plană (din considerente de simetrie).

298


h

rdr

z

dz N2

N3

N1

N4

σt

σtσr

σt+(dσr/dr)⋅dr z

Fig.6.2.2-1

dθ

h T⋅r⋅dθ

z

Fig.6.2.2-2

p⋅dr⋅r⋅dθ

Mt⋅r⋅dθMr⋅dr

Mr⋅dr[T+(dT/dr)dr](r+dr)d

[Mt+(dMt/dr)dr](r+dr)dθ

Pe aceste feţe nu există efort tăietor. Pe suprafaţa cilindrică interioară acţionează momentul încovoietor circumferenţial Mt⋅r⋅dθ, iar pe suprafaţa cilindrică exterioară, momentul circumferenţial:

( ) θ⋅+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+ ddrrdr

drdM

M tt

Pe aceste suprafeţe există şi forţe tăietoare. Pe suprafaţa superioară a elementului se aplică o sarcină normală egală cu p⋅dr⋅r⋅dθ. Momentele forţelor elementare faţă de suprafaţa mediană sunt egale cu momentele încovoietoare din secţiune. Astfel, pe suprafaţa cilindrică interioară de rază r, se poate scrie:

h h

t rh h

E z dφ φM r dθ σ dA z ν r dθ dz zν dr r

2 2

2

2 21

− −

⋅ ⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫ ∫

299


unde s-a ţinut seama de expresia lui σr şi de dA=r dθ dz. Rezolvând relaţia anterioară se obţine:

( )

h

th

E dφ φ E h dφ φM r dθ ν r dθ z dz ν r dθν dr r dr rν

322

2 2

21 12 1−

⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

Expresia:

( )E hD

ν

3

212 1⋅

=⋅ − 6.2.2-1

se numeşte rigiditatea la încovoiere a plăcii. Rezultă atunci că expresia momentului încovoietor circumferenţial este:

tdφ φM D νdr r

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜⎝

⎟⎠

6.2.2-2

Asemănător, dacă se scrie relaţia de echivalenţă în secţiunea radială, se obţine:

h h

r rh h

E z φ dφM dr σ dA z ν dr dz zν r dr

2 2

2

2 21

− −

⋅ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫ ∫

de unde după efectuarea calculelor rezultă expresia momentului încovoietor radial:

rφ dφM D νr dr

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜⎝

⎟⎠

6.2.2-3

S-au obţinut astfel relaţiile momentelor încovoietoare circumferenţiale,

respectiv radiale, în funcţie de funcţia ϕ. Din expresiile tensiunilor (relaţiile 6.2.1-6) şi a momentelor (relaţiile 6.2.2-2 şi 6.2.2-3) rezultă că acestea sunt funcţii de funcţia necunoscută ϕ(r). Eliminând funcţia ϕ între aceste mărimi, se obţin relaţiile dintre tensiuni (radiale, respectiv circumferenţiale) şi momentele încovoietoare:

300


tr

rt

ME zσν D

ME zσν D

2

2

1

1

⋅= ⋅

−⋅

= ⋅−

6.2.2-4

sau dacă se ţine seama de expresia lui D (relaţia 6.2.2-1) rezultă:

tr

rt

Mσ zh

Mσ zh

3

3

12

12

⋅= ⋅

⋅= ⋅

6.2.2-5

Relaţiile 6.2.2-5 arată că tensiunea variază liniar cu grosimea plăcii, obţinându-se aceeaşi concluzie că în suprafaţa mediană (z = 0) ambele tensiuni sunt nule. Valorile maxime se ating în fibrele extreme unde z = zmax =h/2:

WM

6hM

WM

6hM

r2

rt

t2

tmaxr

==σ

==σ

6.2.2-6

Se poate constata că relaţiile 6.2.2-6 sunt asemănătoare cu cele de la solicitarea de încovoiere, cu observaţia că momentele încovoietoare se exprimă în [N] iar modulul W în [mm2]. Pentru determinarea funcţiei ϕ(r) se pune condiţia ca elementul de placă (Fig.6.2.2-2) să fie în echilibru sub acţiunea eforturilor care acţionează asupra lor. Pentru aceasta, se va reprezenta elementul de volum prin două proiecţii (Fig.6.2.2-3). În prima proiecţie (Fig.6.2.2-3a) se reprezintă momentele încovoietoare şi forţele tăietoare aplicate, considerând în mod simplificat că forţele tăietoare sunt constante pe cele două suprafeţe opuse. În proiecţia din Fig.6.2.2-3b, se reprezintă toate momentele încovoietoare prin vectori, inclusiv cuplul T⋅r dθ ⋅ dr al celor două forţe tăietoare. Condiţia de echilibru se scrie ca o sumă de forţe pe tangenta la conturul cilindric al elementului:

( )tt t

r

dMM dr r dr dθ M r dθ T r dθ drdr

dθ drM dr p r dθ dr2 02 2

⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

−

301


Mt r dθ

Mr dr

Mr dr

T r dθ T r dθ

[Mt (dMt/dr)dr](r+dr)dθ

[Mt (dMt/dr)dr](r+dr)dθ

Mt r dθ

Mr dr

Mr dr

T r dθ dr r O

O

z

dθ

h

Fig.6.2.2-3

a)

b)

În relaţia de mai sus, s-a considerat că

2d

drdsin θ

≈θ

După efectuarea calculelor se ajunge la relaţia:

0dr

drdM

dar

0MrTdrdr

dMr

drdM

M

t

rtt

t

≈⋅

=−+⋅+⋅+

de unde rezultă:

t

tdMM r T r Mdr

0+ ⋅ + ⋅ − =r 6.2.2-7

Dacă se înlocuiesc valorile momentelor încovoietoare (relaţiile 6.2.2-2 respectiv 6.2.2-3), relaţia 6.2.2-7 se poate scrie:

302


dφ φ d dφ φ φ dφD ν r D ν T r D νdr r dr dr r r dr

0⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Efectuând calculele rezultă:

dφr φdφ φ d φ φ dφ T rdrν r ν νdr r dr r r dr D

2

2 2

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟ ⋅+ ⋅ + ⋅ + ⋅ − − ⋅ = −⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

care în final conduc la:

d φ dφ Tφdr r dr r D

2

2 21 1

+ ⋅ − ⋅ = − 6.2.2-8

Pentru plăcile circulare, forţa tăietoare pe o secţiune cilindrică de rază r este egală cu suma proiecţiilor pe normala la suprafaţa mediană a forţelor din interiorul cercului de rază r. Fie acum o placă circulară încărcată simetric printr-o forţă F aplicată în centru şi o sarcină uniform distribuită p. Pentru această placă, se poate scrie:

π r T F π r pF p rTπ r

22

2 2

⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅⋅

⇒ = +⋅ ⋅

iar ecuaţia diferenţială 6.2.2-8 devine:

d φ dφ F p rφdr r dr r D π r

2

2 21 1 1

2 2⎛ ⎞⋅

+ ⋅ − ⋅ = − ⋅ +⎜ ⋅ ⋅⎝ ⎠⎟ 6.2.2-9

Membrul întâi al expresiei de mai sus este tocmai derivata expresiei

dφφ r

r d1 ⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠r

Ecuaţia diferenţială 6.2.2-9 poate fi scrisă acum sub forma:

303


d dφ F p rφ rdr r dr D π r

1 12 2

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⋅⎛ ⎞⋅ + ⋅ = − ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⋅ ⋅⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

care integrată conduce la:

dφ F p rφ r ln r

r dr D π

21 12 4

⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠A

iar după înmulţire cu r

dφ F p rφ r r ln rdr D π

312 4

⎛ ⎞⋅+ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

A r

Se integrează din nou, observându-se că membrul întâi este derivata lui ϕ r , iar integrala ∫r lnr dr se face prin părţi:

r r dr rr ln r dr ln r ln r

r

2 2 2

2 2 2⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ −∫ ∫

r2

4

F r F r p r rφ r ln r A

D π π

2 2 412 2 2 4 16 2

⎛ ⎞⋅⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + + ⋅ +⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

B2

După împărţire cu r se obţine expresia funcţiei ϕ:

( )p r F r rφ ln r AD π D r

3

2 116 8 2⋅ ⋅

= − − ⋅ ⋅ − + ⋅ +⋅ ⋅ ⋅

B 6.2.2-10

Dacă se mai integrează o dată ecuaţia 6.2.2-10 şi ţinând seama de relaţia 6.2.1-1 după ce i s-a schimbat semnul se obţine expresia deplasării pe direcţia z:

( )p r F rw r ln r dr AD π D

4 2

2 164 8 4⋅

= + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ∫ B ln r C 6.2.2-11

Dar cum integrala este:

304


( ) ( )r rr ln r r dr r ln r r ln r2 2

2 22 12 2

⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − − = ⋅ −∫

ecuaţia 6.2.2-11 devine:

( )p r F r rw ln r AD π D

4 2 2

164 8 4⋅ ⋅

= + ⋅ − − ⋅ + ⋅ +⋅ ⋅ ⋅

B ln r C 6.2.2-12

Cu ajutorul relaţiilor 6.2.2-10 şi 6.2.2-12 se pot calcula plăcile circulare

încărcate cu o forţă concentrată în centru şi cu sarcină distribuită pe toată suprafaţa. Constantele de integrare A, B, C care intervin în aceste relaţii, se determină pentru fiecare caz în parte, punând condiţiile la limită.

6.2.3 Calculul plăcii circulare încărcată cu o sarcină uniform

distribuită şi încastrată pe contur Pentru placa circulară încastrată pe contur şi încărcată cu o sarcină

distribuită pe toată suprafaţa sa (Fig.6.2.3-1), în relaţiile 6.2.2-10 şi 6.2.2.12 se ia F = 0, iar forma lor devine:

p r r Bφ A

D

3

16 2⋅

= − + ⋅ +⋅ r 6.2.3-1

p r rw A B ln

D

4 2

64 4⋅

= − ⋅ + ⋅ +⋅

r C 6.2.3-2

p

R z

x O

Fig.6.2.3-1

Constantele A,B şi C se determină punând condiţiile la limită:

pe contur, la r = R avem ϕ = 0 şi w = 0

305


în centrul plăcii, la r = 0 avem ϕ = 0. Dacă se înlocuiesc aceste condiţii în relaţiile 6.2.3-1 şi 6.2.3-2, se obţin constantele de integrare: B = 0

p R R p RA A

D D

3 2

016 2 8⋅ ⋅

= − + ⋅ ⇒ =⋅ ⋅

p R p R R p RC C

D D

4 2 2

064 8 4 64 D

4⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ + ⇒ =

⋅ ⋅ ⋅

Cu valorile constantelor de integrare, relaţiile deplasării w şi a rotirii ϕ (relaţiile 6.2.3-2 şi 6.2.3-1) devin:

( )

( )

pw RD

p rφ R rD

2 2

2 2

64

16

= ⋅ −⋅⋅

= ⋅ −⋅

r

6.2.3-3

Relaţiile 6.2.3-3 permit calculul deformaţiilor în orice punct situat la distanţa r de centrul plăcii. Săgeata maximă se obţine în centrul plăcii, acolo unde r = 0:

maxp Rw

D

4

64⋅

=⋅ 6.2.3-4

Săgeata w a plăcii (relaţia 6.2.3-3) poate fi exprimată funcţie de săgeata maximă wmax:

maxp R r r rw w

D R R R

24 4 2 2

4 2 21 2 164

⎛ ⎞ ⎛⋅= ⋅ + − ⋅ = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜⋅ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

6.2.3-5

Dacă se cunosc expresiile deformaţiilor w şi ϕ se pot determina momentele din secţiunile plăcii (relaţiile 6.2.2-2 şi 6.2.2-3):

306


( )

( )

φ p R rr Ddφ p R rdr D

2 2

2 2

16

316

= ⋅ −⋅

= ⋅ − ⋅⋅

( ) ( )

( ) ( )

rp pM R r ν R r

p R ν r ν

2 2 3 2

2 2

316 16

1 1 316

⇒ = ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅⎣ ⎦

=

6.2.3-6a

respectiv,

( ) ( )

( ) ( )

tp pM R r ν R r

p R ν r ν

2 2 3 2

2 2

316 16

1 316

⇒ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ −

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + − ⋅ +⎣ ⎦

=

6.2.3-6b

Dacă se consideră ν = 0,3 ecuaţiile momentelor încovoietoare (relaţiile 6.2.3-6) au forma:

( )

( )

r

t

pM , R ,

pM , R ,

2 2

2

1 3 1 916

1 3 3 316

= ⋅ ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅

r

r2 6.2.3-7

Relaţiile 6.2.3-7 arată că momentele încovoietoare (radial, respectiv circumferenţoial) variază parabolic cu raza r. Astfel:

Momentul radial Mr În centrul plăcii are valoarea la r = 0

'r

,M p R , p2 21 3 0 081216

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅R

Pe contur la r = R

''r

,M p R , p2 20 6 0 037516

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅R

307


Se poate observa că există o distanţă de la centru pentru care acest moment se anulează. Din condiţia ca Mr = 0 se obţine distanţa r la care momentul Mr este nul: . R , r r , R2 21 3 1 9 0 0 827⋅ − ⋅ = ⇒ = ⋅

Momentul circumferenţial Mt În centrul plăcii are valoarea

' 't r

,M M p R , p R2 21 3 0 081216

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Pe conturul plăcii

''tM p R , p2 21 0 125

8= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅R

3 3 0 0 628⋅ − ⋅ = ⇒ = ⋅

Acest moment se anulează când 1 3 . R , r r , R2

Diagramele momentelor încovoietoare pentru această placă sunt prezentate în Fig.6.2.3-2. p

R R

0,827 R

0,628 R

-0,0375 pR2-0,0375 pR2

0,0812 pR2-0,125 pR2-0,125 pR2

0,0812 pR2

Fig.6.2.3-2

Mr

Mt

Dacă se cunosc acum momentele încovoietoare, cu ajutorul relaţiilor 6.2.2-6 se pot determina tensiunile normale din placă:

În centrul plăcii:

308


r t tp Rσ σ M .

h

2

26 0 487

h2⋅

= = ⋅ = ⋅ 6.2.3-8

Pe conturul plăcii:

r t

t r

p R p Rσ M .h h

p Rσ M .h h

2 2

2 2

2

2 2

6 36 0 1254

6 0 225

h2⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

⋅= ⋅ = ⋅

6.2.3-9

Cea mai mare tensiune este tensiunea radială σr şi se atinge pe conturul plăcii. Dacă se face un calcul de dimensionare după teoria I de rezistenţă, în cazul plăcii studiate se obţine pentru grosimea acesteia:

aa a

p R p pσ h R , Rh σ

2

23 3 0 8664 4

⋅ ⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ ≈ ⋅ ⋅

⋅ σ 6.2.3-10

309


6.2.4 Calculul plăcii circulare încărcată cu o sarcină uniform distribuită şi simplu rezemată pe contur Pentru acest tip de placă raţionamentul este acelaşi, numai condiţiile la limită sunt altele. Se porneşte de la relaţiile 6.2.3-1 şi 6.2.3-2:

p r rw A B ln

D

4 2

64 4⋅

= − ⋅ + ⋅ +⋅

r C 6.2.4-1a

p r r Bφ A

D

3

16 2⋅

= − + ⋅ +⋅ r 6.2.4-1b

Pentru determinarea constantelor din relaţiile de mai sus, în cazul acestei plăci, condiţiile la limită sunt: În centrul plăcii:

00rPentru =ϕ⇒=

Pe conturul plăcii:

0wRrPentru =⇒=

Se poate constata că cele două relaţii nu sunt suficiente pentru determinarea celor trei necunoscute. Ca urmare, mai este necesară încă o relaţie. Pentru găsirea celei de-a treia relaţie, din placă se izolează o fâşie mică de lăţime Δ (Fig.6.2.4-1), care poate fi asemuită cu o grindă simplu rezemată la capete.

zr

z

O

A BΔ

R R

Fig.6.2.4-1

Aceasta prezintă pe reazeme, în direcţie radială, tensiune nulă σr = 0.

310


După cum se ştie, tensiunea radială este produsă de către momentul circumferenţial Mt, ceea ce înseamnă că pe contur momentul Mt = 0. Dacă se înlocuiesc primele condiţii în relaţiile 6.2.4-1, se obţine:

p R RB ; A

D

4 2

0 064 4⋅

= = − ⋅⋅

C− 6.2.4-2

Pentru a obţine ecuaţia suplimentară necesară, se scrie expresia momentului circumferenţial Mt având în vedere că B = 0. Cunoscând:

p r rφ AD

φ p r Ar Ddφ p r Adr D

3

2

2

16 2

16 2316 2

⋅= − + ⋅

⋅

⋅= − +

⋅

⋅ ⋅= − +

⋅

6.2.4-3

ecuaţia momentului circumferenţial are forma:

tdφ φ p r p r A D A DM D ν νdr r

2 2316 16 2 2

ν⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = − − ⋅ + + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅

Punând condiţia ca la r = 0 să fie Mt = 0 , se obţine o relaţie în constanta A şi care ataşată relaţiilor 6.2.4-2 conduce la determinarea constantelor de integrare:

( )p R p R A Dν ν2 230 1

16 16 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − − ⋅ + ⋅ +

p R ν p R νA ; C

D ν D ν

2 43 58 1 64 1⋅ + ⋅ +

⇒ = ⋅ = ⋅⋅ + ⋅ + 6.2.4-4

Dacă se înlocuiesc acum constantele de integrare, se obţin pentru deformaţiile plăcii, următoarele expresii:

p R ν r ν rw

D ν R ν R

4 2

25 2 3

64 1 1⎛ ⎞⋅ + ⋅ +

= ⋅ − ⋅ +⎜⋅ + +⎝ ⎠

4

4 ⎟ 6.2.4-5a

311


dφ p r R νφdr D r ν

3 2

23 1

16 1⎛ ⎞⋅ +

= − = ⋅ ⋅ −⎜⋅ +⎝ ⎠⎟ 6.2.4-5b

Săgeata maximă are loc în centrul plăcii unde r = 0. Pentru oţeluri cu ν = 0,3, săgeata maximă este:

maxp R ν p Rw

D,

ν D

4 45 4 0764 1 64⋅ + ⋅⎛ ⎞= ⋅ = ⋅⎜ ⎟⋅ + ⋅⎝ ⎠

6.2.4-6

La o analiză atentă se poate constata că săgeata maximă la placa simplu rezemată, este de patru ori mai mare decât la aceeaşi placă dar încastrată pe contur. Rotirea este maximă pe conturul plăcii, acolo unde r = R:

maxp R ν p Rφ ,

D ν D

3 33 1 1 5416 1 16⋅ + ⋅⎛ ⎞= ⋅ − = ⋅⎜ ⎟⋅ + ⋅⎝ ⎠

6.2.4-7

Cunoscând expresiile deformaţiilor se poate trece acum la determinarea momentelor din secţiunile transversale ale plăcii. Înainte se calculează expresiile:

φ p r p R νr D D νdφ p r p R νdr D D ν

2 2

2 2

316 16 1

3 316 16 1

⋅ ⋅ += − + ⋅

⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ += − + ⋅

⋅ ⋅ +

care permit determinarea momentelor încovoietoare:

( ) (rφ dφ pM D )ν R ν r νr dr

2 23 1 316

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ 6.2.4-8

( ) (tdφ φ pM D )ν ν R rdr r

2 2316

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

6.2.4-9

Momentele, după cum se poate constata şi pentru această placă, au o variaţie parabolică cu raza. Valorile lor extreme este următoarele:

Momentul Mr

312


În centrul plăcii, la r = 0 şi pentru ν = 0,3

'r

νM p R , p2 23 0 20616+

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅R

Pe contur, unde r = R

( )''r

p RM ν ν , p2

23 1 3 0 087516⋅

= ⋅ + − − = ⋅ ⋅R

Momentul Mt

În centru, unde r = 0

' 't rM M , p R20 206= = ⋅ ⋅

Pe conturul plăcii, la r = R

0M ''

t = Diagramele momentelor Mr , Mt sunt prezentate în Fig.6.2.4-2. p

R R

0,0875 pR2 0,0875 pR2

0,206 pR2

0,206 pR2

Fig.6.2.4-2

Mr

Mt

Tensiunea maximă se produce în centrul plăcii unde momentele sunt egale şi au valori maxime:

313


max maxν p Rσ M p R ,

h h

22

2 26 6 3 1 237

16 h2+ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 6.2.4-10

Dimensionarea plăcii făcută pe baza teoriei I de rezistenţă, conduce la:

a a

, ph R , Rσ

1 237 111⋅= ⋅ = ⋅ ⋅

pσ 6.2.4-11

Făcând o comparaţie cu dimensiunea stabilită pentru aceeaşi placă dar încastrată pe contur, se constată că placa simplu rezemată are o grosime mai mare. 6.2.5 Calculul plăcii circulare încărcată cu o forţă concentrată în centru şi înţepenită pe contur Şi în acest studiu se porneşte de la aceleaşi relaţii ale deformaţiilor plăcilor circulare (relaţiile 6.2.3-1, respectiv 6.2.3-2), în care de data aceasta se face p = 0:

( )

( )

F r rw ln r A B lnπ DF r r Bφ ln r Aπ D r

2 2

18 4

2 18 2

⋅= ⋅ − − ⋅ − ⋅

⋅ ⋅⋅

= − ⋅ ⋅ − + ⋅ +⋅ ⋅

r C+

6.2.5-1

Pentru determinarea constantelor de integrare se pun condiţiile la limită:

În centru, la r = 0

0w =

Pe contur, la r = R

w ; φ0 0= = Se înlocuiesc acum condiţiile la limită în ecuaţia lui ϕ având în vedere că: ( )r

r ln r0

0=

⋅ =

( )F R R Bln R Aπ D R

0 2 18 2

⋅= − ⋅ − + ⋅ + ⋅

⋅ ⋅

314


( )FB şi A ln Rπ D

0 24

⇒ = = ⋅ ⋅ −⋅ ⋅

1

Făcând substituţiile şi în deformaţia w, se obţine:

( ) ( )F r F rw ln r lnRπD π D

F r rln Cπ D R

2 2

2

1 2 18 16

18 2

⋅ ⋅= ⋅ − − ⋅ ⋅ − + =

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⎛ ⎞= ⋅ − +⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠

C

Punând condiţia ca la r = R, să avem w = 0, rezultă:

F R F RC Cπ D π D

2 210 08 2 16⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ − + ⇒ =⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

Cu valorile găsite pentru constantele de integrare, relaţiile deformaţiilor capătă forma:

( )F r r Fw ln Rπ D R π D

F r R F r Rφ ln lnπ D r π D r

22 2

2

8 16

28 4

⋅= ⋅ + ⋅ −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

r

6.2.5-2

Săgeata maximă se produce în centrul plăcii, la r = 0:

maxF Rwπ D

2

16⋅

=⋅ ⋅ 6.2.5-3

Pentru calculul momentelor încovoietoare, ca la exemplele precedente se ţine seama de expresia lui ϕ, a lui ϕ/r şi se calculează

dφ F Rlndr π D r

14

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠

de unde apoi se obţine:

315


( )

( )

r

t

F RM ν ln νπ r

F RM ν lnπ r

14

1 14

⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ −⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ −⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦

6.2.5-4

Pe contur, la r = R, momentele încovoietoare au valorile:

r tF ν FM ; Mπ4⋅

= − = −⋅ π4 ⋅ 6.2.5-5

Cu valorile momentelor încovoietoare găsite, se calculează acum tensiunile normale pe contur:

r t

t t

F Fσ M ,h π h h

F ν Fσ M ,h π h h

2 2

2 2

6 3 0 4782

6 3 0 1442

2

2

⋅= ⋅ = = ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅

= ⋅ = = ⋅⋅ ⋅

6.2.5-6

În centrul plăcii, datorită aplicării locale a forţei F, tensiunile au valoare

infinită. Totuşi, un calcul aproximativ al tensiunii în punctul central de pe suprafaţa opusă aplicării forţei, conduce la valoarea tensiunii maxime:

( )maxF Rσ ν , ln ,h h

2

21 0 485 0⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

52 6.2.5-7

Se face acum ipoteza că placa este solicitată de o forţă concentrată egală cu rezultanta sarcinii uniform distribuite:

F π R p2= ⋅ ⋅ Cu această valoare pentru forţa F, se obţin tensiunile pe contur:

r

t

π R p p Rσ , ,h h

π R p p Rσ , ,h h

2 2

2 2

2

2 2

0 478 1 5

0 144 0 45

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅

2⋅ ⋅= ⋅ = ⋅

⋅ 6.2.5-8

316


Comparând aceste valori cu cele de la placa încastrată pe contur încărcată cu sarcina uniform distribuită p:

r ,p

t ,p

p Rσ ,hp Rσ ,

h

2

2

2

2

0 75

0 225

⋅= ⋅

⋅= ⋅

6.2.5-9

se constată că la placa încărcată cu aceeaşi sarcină rezultantă dar aplicată concentrat în centrul plăcii, tensiunile sunt de două ori mai mari. Rezultă de aici că pentru o placă circulară este mai convenabil să se încarce cu o sarcină distribuită pe toată suprafaţa decât cu o sarcină echivalentă aplicată concentrat în centrul plăcii.

6.3 CALCULUL LA ÎNCOVOIERE AL PLĂCILOR DREPTUNGHIULARE

La calculul plăcilor dreptunghiulare se consideră că momentele încovoietoare sunt distribuite în lungul axelor x şi y. Dacă pentru un punct oarecare al suprafeţei mediane deformate se definesc două raze de curbură principale, ρx şi ρy, atunci momentele încovoietoare se pot scrie funcţie de aceste raze de curbură:

xy x

yx y

w wM D ν D νρ ρ y x

wM D ν D νρ ρ x y

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1

1 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

w ⎞ 6.3-1

Ecuaţia generală a încovoierii plăcilor plane a fost stabilită de către Sophie Germain şi ea are următoarea formă:

w w w

x x y y

4 4 4

4 2 2 42∂ ∂ ∂ pD

+ ⋅ +∂ ∂ ⋅∂ ∂

= 6.3-2

Cu ajutorul operatorului nabla

2

2

2

22

yx ∂∂

+∂∂

=∇ 6.3-3

317


ecuaţia Sophie Germain devine de forma:

( )Dpw22 =∇∇ 6.3-4

Ecuaţia 6.3-4 este foarte asemănătoare cu ecuaţia deplasării grinzilor:

d w pdx E I

4

4 =⋅ 6.3-5

Deosebirea dintre cele două relaţii constă în aceea că rigiditatea EI de la grinzi, pentru plăci se înlocuieşte cu rigiditatea D, iar derivarea în cazul plăcilor se face în raport cu ambele variabile independente, x şi y. Condiţiile pe contur rezultă dintr-o varietate de moduri de rezemare a plăcii dreptunghiulare: simplu rezemate, înţepenite, laturi nerezemate. Astfel:

Pe o latură încastrată, săgeata w şi rotirea φ sunt nule. Pentru placa dreptunghiulară din Fig.6.3-1, raportată la sistemul xOy se poate scrie:

O x

y

a

b

Fig.6.3-1

Pentru laturile paralele cu axa Oy, având x = 0 şi x =a, avem:

0xw;0w =∂∂

= 6.3-6

Pentru laturile paralele cu axa Ox, având y = 0 şi y = b, avem:

0xw;0w =∂∂

= 6.3-7

318


Pe o latură simplu rezemată, săgeata şi momentul încovoietor sunt nule.

Pe laturile paralele cu axa Oy, unde x = 0 şi x = a, pe baza relaţiilor 6.3-1, rezultă:

y

w

w wM D νx y

2 2

2 2

0

0

=

⎛ ∂ ∂= − ⋅ + ⋅ =⎜ ∂ ∂⎝ ⎠

⎞⎟ 6.3-8

Deoarece în lungul unei laturi paralele cu axa Oy, săgeata w = 0, rezultă că şi

0x

w2

2

=∂∂

rămânând pentru latura simplu rezemată următoarele condiţii:

0xw

0w

2

2

=∂∂

=

6.3-9

În mod analog, pentru laturile paralele cu axa Ox, la y = 0 şi y = b, rezultă următoarele condiţii:

0yw

0w

2

2

=∂∂

=

6.3-10

În continuare, calculul plăcilor dreptunghiulare urmează drumul prezentat la calculul plăcilor circulare. În literatura de specialitate se găsesc relaţiile necesare calculului plăcilor sub diferite încărcări şi moduri de rezemare.

6.4 CALCULUL LA ŞOC AL PLĂCILOR PLANE Dacă pe o placă plană cade o greutate Q de la înălţimea H, atunci placa este solicitată dinamic, la şoc. Pentru calculul la şoc al plăcilor plane, se poate utiliza metoda prezentată în Capitolul 4 al acestei lucrări, metodă bazată pe cunoaşterea multiplicatorului de şoc.

319


Se consideră că o greutate Q cade de la înălţimea H pe mijlocul unei plăci circulare de rază R şi grosime h (Fig.6.4-1). Se pune problema determinării forţei dinamice Fd care apare în momentul şocului în mijlocul plăcii. Q

H

R R

h

Fig.6.4-1

Multiplicatorul de şoc are expresia cunoscută:

st st

H Hψδ δ

2 21 1 ⋅ ⋅= + + ≈ 6.4-1

unde δst – deplasarea statică a secţiunii de impact (săgeata statică a centrului plăcii sub acţiunea greutăţii Q). De la calculul plăcii circulare înţepenită pe contur şi încărcată în centru cu o forţă concentrată, se cunoaşte săgeata maximă din centrul plăcii (relaţia 6.2.5-3):

( )st max

Q R Q R Q Rδ w ,E hπ D Eπ

ν

2 2

3 3

2

0 21716 16

12 1

⋅ ⋅= = = ≈ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ −

h

2⋅ 6.4-2

Expresia multiplicatorului de şoc, are acum forma:

H , H Eψ

, Q R Q RE h

3

2 2

3

2 9 20 217

⋅ ⋅≈ =

⋅ ⋅ ⋅⋅

h⋅ ⋅ 6.4-3

iar forţa dinamică din momentul şocului este:

dF ψ Q , Q H ER

31 9 2= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅h 6.4-4

Analog, pot fi tratate şi celelalte tipuri de plăci solicitate prin şoc.

320


6.5 CALCULUL APROXIMATIV AL PLĂCILOR PLANE

Dacă nu se dispune de relaţiile necesare calculului unei plăci, atunci se pot utiliza metode aproximative de calcul. Aceste metode aproximative, se bazează în special pe relaţiile de calcul stabilite la barele drepte. Metoda aproximativă de calcul a plăcilor plane, este cunoscută sub numele de metoda lui Bach. Metoda propusă de Bach, utilizează relaţia lui Navier de la încovoierea barelor drepte:

iz

maxz

MσW

= 6.5-1

Metoda aproximativă de calcul se va prezenta pentru plăcile simetrice încărcate simetric. Această metodă este recomandată plăcilor simplu rezemate. Valoarea tensiunilor obţinute prin metoda Bach, este una aproximativă şi mai mică decât tensiunea maximă calculată cu relaţiile exacte. Din acest motiv, pentru un rezultat acoperitor, tensiunea admisibilă utilizată în calculul aproximativ, se micşorează cu 20 … 30 % faţă de cea obişnuită. 6.5.1 Calculul aproximativ al plăcii circulare simplu rezemată pe contur şi încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe o suprafaţă circulară în jurul centrului plăcii

Fie o placă circulară de rază R şi grosime h simplu rezemată pe contur şi încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe o suprafaţă circulară centrală de rază r (Fig.6.5.1-1a).

ph

2r R R

R

4r/3π

4r/3π

2R/π

2R/π

F=pπr2

F/2=pπr2/2

F/2=pπr2/2

G1G2

G1

G2

Secţiunea de rupere

a)

b)

Fig.6.5.1-1

321


Cercetările experimentale au scos în evidenţă faptul că o astfel de placă se rupe totdeauna după un diametru. Atunci se poate considera pentru calcule o jumătate de placă încastrată în dreptul secţiunii de rupere (a unui diametru, Fig.6.5.1-1b). Forţa distribuită totală F = pπr2 se repartizează jumătăţii de placă în valoare de F/2 şi se consideră redusă în centrul de greutate G1 al suprafeţei semicirculare de rază r situat la distanţa 4r/3π de la încastrare. Reacţiunea sarcinii de pe jumătate de placă este tot F/2 şi redusă acţionează în centrul de greutate G2 al conturului semicircular de rază R. Momentul încovoietor în încastrare dat de cele două forţe (sarcina aplicată şi reacţiunea, Fig.6.5.1-1b) este:

iF R F r F R rM

π π π R2 4 21

2 2 3 3⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅⎜⋅ ⎝

⎟⎠

6.5.1-1

iar modulul de rezistenţă al secţiunii periculoase (diametrale) este:

zR h R hW

2 226

⋅ ⋅ ⋅= =

3 6.5.1-2

Pe baza relaţiei 6.5-1, tensiunea normală maximă din placă este:

imax

z

M F r p rσW π h R h

2

2 23 2 3 21

3⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rR

13 6.5.1-3

Dacă sarcina este distribuită acum pe toată suprafaţa plăcii (r = R), tensiunea maximă este:

maxF p Rσ

π h h

2

2 2⋅

= =⋅ 6.5.1-4

iar dacă forţa F este concentrată toată în centrul plăcii (r → 0) tensiunea maximă din placă este:

maxF p Rσ

π h h

2

23 3 2⋅ ⋅

= = ⋅⋅ 6.5.1-5

Se poate uşor constata că atunci când sarcina este aplicată concentrat în centrul plăcii, tensiunea normală maximă din placă este de trei ori mai mare decât în

322


cazul în care aceeaşi sarcină se aplică uniform pe toată suprafaţa plăcii. Concluzie asemănătoare a rezultat şi în urma calculului exact efectuat asupra plăcii circulare.

6.5.2 Calculul aproximativ al plăcii dreptunghiulare simplu rezemată pe contur şi încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe toată suprafaţa şi cu o forţă concentrată în centrul plăcii

Fie o placă dreptunghiulară de grosime h simplu rezemată pe contur şi solicitată atât de o forţă concentrată centrală F cât şi de sarcină uniform distribuită p pe toată suprafaţa sa (Fig.6.5.2-1a). Cercetările experimentale au arătat că o astfel de placă se rupe totdeauna după o diagonală. Se poate atunci considera o jumătate de placă înţepenită de-a lungul secţiunii diagonale şi încărcată ca în Fig.6.5.2-1b. Forţele rezultante aplicate cât şi cele de legătură s-au redus în centrele de greutate ale suprafeţelor asupra cărora ele acţionează (Fig.6.5.2-1b). Diagonala împarte suprafaţa dreptunghiulară în două triunghiuri a căror înălţime este:

22 babac+

⋅= 6.5.2-1

F

p

b

a c

(a2+b2)1/2

900

pab/2

(F+pab)/2

c/3

c/2

c

G1

a) b)

Fig.6.5.2-1

h Forţa uniform distribuită de pe o jumătate de placă se reduce la rezultanta ei, pab/2 în centrul de greutate G1 al triunghiului (a jumătăţii de dreptunghi). Rezultanta reacţiunii, (F+pab)/2 de pe două laturi vecine se reduce în centrul de

323


greutate G2 al conturului de sprijin. Centrul G2 este la distanţa c/2 de diagonală, iar centrul G1 la distanţa c/3 de diagonală (Fig.6.5.2-1b). Momentul încovoietor din secţiunea periculoasă (secţiunea diagonală) este:

( ) ( )i

F p a b a bc cM F p a b p a ba b2 2

31 12 2 2 3 12

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ + 6.5.2-2

iar modulul de rezistenţă al secţiunii este:

22

2

z ba6

hW +⋅= 6.5.2-3

Tensiunea normală maximă se determină cu relaţia lui Navier şi este:

( )

( )i

maxz

F p a b a bMσW h a b2 2 2

32⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅ + 6.5.2-4

Pentru o placă patrată, unde a = b, tensiunea maximă este:

maxF p aσ

h

2

23

4⋅ + ⋅

=⋅ 6.5.2-5

Şi pentru această placă, pot fi studiate cazurile:

Placa încărcată numai cu sarcină uniform distribuită Placa încărcată cu o forţă concentrată în centrul plăcii, egală cu sarcina

uniform distribuită pe toată suprafaţa plăcii.

324


7. VASE DE REVOLUŢIE CU PEREŢI SUBŢIRI


Vasele de revoluţie (de rotaţie) fac parte din categoria plăcilor curbe cu

grosime mică. Astfel de elemente sunt des întâlnite în practică: în construcţii (cupole), în aviaţie, rezervoare etc. După cum este cunoscut, forma plăcii curbe este definită de suprafaţa sa mediană. De cele mai multe ori, grosimea acestor plăci este constantă.

Pentru vasele de revoluţie, suprafeţele mediane sunt suprafeţe de rotaţie, generate de drepte sau curbe care se rotesc în jurul unei axe. Astfel, o dreaptă care se roteşte în jurul unei axe paralelă cu ea, generează un cilindru, o dreaptă care se roteşte şi întâlneşte axa de rotaţie generează un con, o dreaptă care se roteşte în jurul unei axe şi nu o întâlneşte generează un hiperboloid de rotaţie, iar cupola sferică este generată de un arc de cerc.

Fie un vas de revoluţie oarecare reprezentat numai prin suprafaţa mediană şi un punct B de pe suprafaţa sa (Fig.7.1-1).

O’

O

B Cerc paralel

Om

Op

ρp=BOp

ρm=BOm

r

MeridianNormală

Fig.7.1-1

Axa derotaţie

Prin rotirea punctului B în jurul axei OO’ se obţine un cerc paralel. Meridianul este o curbă care prin rotirea ei generează suprafaţa de rotaţie. Pe tangenta la planul normal al suprafeţei mediane se găsesc centrele de curbură principale. Curbura suprafeţei se caracterizează prin razele principale de curbură ρp şi ρm orientate perpendicular pe paralelă, respectiv meridian. Centrul de curbură Op corespunzător paralelei este situat pe axa de rotaţie, iar cel al meridianului Om poate fi situat oriunde pe normală. Razele de curbură ρp şi ρm determină forma şi dimensiunile vasului de revoluţie.

325


7.2 CALCULUL VASELOR DE REVOLUŢIE CU PEREŢI SUBŢIRI

În Fig.7.2-1 se consideră un vas de revoluţie cu perete subţire de grosime h supus la o presiune interioară p. Presiunea interioară poate fi creată fie de un lichid, fie de acţiunea unui agent gazos. În acest caz, starea de solicitare este simetrică în raport cu axa de rotaţie OO’.

OmOp

O

O’

p

ρm ρp

σm

σm

σpσp

Fig.7.2-1

h În cazul gazelor, presiunea acestuia este de obicei uniformă pe suprafaţa interioară, iar cea a lichidelor este proporţională cu adâncimea. La un plan paralel, presiunea se consideră constantă. Presiunea din interior supune vasul la diferite solicitări. Dacă peretele vasului este subţire, acesta prezintă o rezistenţă bună la întindere şi mai puţin la compresiune sau încovoiere. Ca urmare, pentru astfel de situaţii s-a dezvoltat teoria de membrană a vaselor de revoluţie cu pereţi subţiri, prin care se consideră că în peretele vasului apar tensiuni de întindere, uniform repartizate pe grosimea peretelui. În realitate, vasul nefiind chiar atât de subţire, prezintă şi o anumită rezistenţă la compresiune sau încovoiere. Se izolează acum un element mic din peretele vasului, delimitat de două meridiane şi două paralele (Fig.2.7-2). Presiunea de pe acest element, se echilibrează cu tensiunile normale din peretele vasului. Datorită stării simetrice de solicitare în peretele vasului nu apar tensiuni tangenţiale. Absenţa tensiunilor tangenţiale, face ca direcţiile principale de solicitare să fie orientate de-a lungul meridianului şi paralelei, iar tensiunile σm şi σp orientate după aceste direcţii, să fie tensiuni principale. De asemenea, tensiunea normală de pe suprafaţa vasului este mică şi se neglijează. Pentru determinarea celor două tensiuni principale, se pune condiţia de echilibru pentru elementul izolat din peretele vasului.

326


Om

Op

Om

Om

h

p

p

p

pρm

ρm

ρp ρp

σm

σm

σm

σm

σp

σp

σp σp

dsm

dsp

dαm

dαm

dαp

dαp

a)

b)

c)

Fig.7.2-2

Această condiţie se scrie ca o ecuaţie de proiecţii de forţe pe direcţia normalei la elementul considerat:

p m

p m m p m

dα dασ h ds sin σ h ds sin p ds ds2 22 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ p 7.2-1

Dacă se ţine seama de faptul că:

m m m p p pdα dαds ρ dα ; ds ρ dα ; sin2 2

= ⋅ = ⋅ ≈

şi după efectuarea calculelor, relaţia 7.2-1 devine de forma:

hp

m

m

p

p =ρσ

+ρ

σ 7.2-2

Relaţia 7.2-2 care exprimă legătura dintre tensiunile principale, razele de curbură principale şi presiunea interioară este cunoscută sub denumirea de ecuaţia lui Laplace. După cum se poate constata, ecuaţia lui Laplace conţine două necunoscute: tensiunile normale principale (σp şi σm). Pentru a determina cele două tensiuni normale mai este necesară încă o relaţie. În acest scop, vasul se secţionează în lungul unei paralele ce trece prin punctul în care se doreşte a se determina tensiunile normale (Fig.7.2-3). Asupra părţii izolate acţionează forţa Q, dată de proiecţia pe axa de simetrie a presiunilor interioare şi reacţiunea RV,

327


dacă vasul se sprijină, în punctul O. Echilibrul este îndeplinit de tensiunile σm care sunt repartizate uniform în lungul paralelei.

ϕ

ψ

O

RV

O’

σm

ds

ϕ

r

ρp

Q

H

y

x

x

b)

ds

ψ dx

ψ

p

dx

a)

Fig.7.2-3 Punând condiţia de echilibru: 7.2-3 mσ π r h sin φ Q R2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − V

se obţine tensiunea normală principală:

V

mQ Rσπ r h sin φ2

−=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 7.2-4

unde ϕ - unghiul format de raza de curbură ρp cu axa de rotaţie OO’. Dacă se înlocuieşte relaţia 7.2-4 în ecuaţia lui Laplace (relaţia 7.2-2) se obţine cealaltă tensiune normală principală:

p V

pm

p ρ Q Rσh π h ρ sin φ2⋅ −

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 7.2-5

328


Prin procedeul prezentat, compresiunea şi încovoierea din zona de acţiune a reacţiunii RV au fost neglijate. Dacă vasul este suspendat (nu este sprijinit), reacţiunea RV = 0 (nu există). Calculul tensiunilor normale principale, după cum rezultă din relaţiile 7.2-4, respectiv 7.2-5, impune cunoaşterea sarcinii Q. Pentru determinarea acestei sarcini se izolează un element din vas, corespunzător unei paralele oarecare de rază x (Fig.7.2-3a). Elementul izolat are lungimea ds şi formează cu planul paralelei unghiul ψ. Presiunea p pe care o exercită lichidul din vas asupra elementului izolat (Fig.7.2-3b), dă o rezultantă normală elementară, a cărei proiecţii pe axa de rotaţie este: 7.2-6 dQ p π x ds cosψ π x p dx2 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ unde s-a considerat ds cos ψ dx⋅ ≅ Dacă se însumează forţele elementare dQ pentru toate elementele inelare din care este alcătuită porţiunea detaşată a vasului, rezultă forţa:

r

Q π p x dx0

2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ 7.2-7

Sarcina Q se determină pentru fiecare caz de vas în parte. Astfel, pentru:

Vasul în poziţie verticală umplut cu un lichid de înălţime H şi greutate specifică γ.

Presiunea pe care o exercită lichidul asupra unui element situat la distanţa y de punctul O (Fig.7.2-3a) este: ( )yHp −⋅γ= iar sarcina Q (relaţia 7.2-7):

( )r r

Q π γ H y x dx π γ r H π γ x y dx2

0 02 2= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ 7.2-8

În expresia 7.2-8, valoarea integralei este funcţie de variabila y, care la rândul său depinde de forma vasului.

Vasul umplut cu un gaz (p = const.) Din relaţia 7.2-7, pentru acest caz, rezultă:

329


Q π r p2= ⋅ ⋅ 7.2-9 Dacă reacţiunea RV = 0, tensiunile principale au expresiile:

pm

pp

m

p ρσ

hp ρ

σh ρ

2

112

pρ

⋅=

⋅

⋅ ⎛= ⋅ − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎞ 7.2-10

Calculul de rezistenţă se efectuează pe baza teoriilor de rezistenţă, vasul

aflându-se într-o stare plană de solicitare. Cum de cele mai multe ori, tensiunile principale sunt de acelaşi semn, se recomandă satisfacerea relaţiei amax σ≤σ Acolo unde vasul prezintă o variaţie discontinuă a curburilor peretelui, de exemplu în dreptul colţurilor, relaţia lui Laplace conduce la rezultate eronate. Spre exemplu acolo unde ρm ≅ 0, rezultă:

∞−→σ⇒=σ

+ρ

σp

m

p

p

hp

0

Teoria de membrană prezentată are marele dezavantaj că nu poate exprima starea de tensiune din locurile cu discontinuităţi ale curburilor, acolo unde de obicei apar forţe tăietoare şi momente încovoietoare.

Vasul sferic cu perete subţire umplut cu un gaz (Fig.7.2-4a) h

p

RRp

σmσm

σp

σp

a) b)

Fig.7.2-4

Pentru vasul sferic razele de curbură sunt egale:

330


Rpm =ρ=ρ şi din relaţiile tensiunilor normale principale (relaţiile 7.2-10) rezultă că şi acestea sunt egale:

p mp Rσ σ

h2⋅

= =⋅ 7.2-11

Vasul cilindric de grosime mică umplut cu un gaz (Fig.7.2-4b)

În cazul vasului cilindric meridianul este o linie, rezultând că ρm = ∞. În această situaţie, pentru tensiunile normale principale rezultă următoarele relaţii:

p

m

p Rσh

p Rσh2

⋅=

⋅=

⋅

7.2-12

Se constată că tensiunea σp (circumferenţială) este de două ori tensiunea normală σm (axială), ceea ce face ca un astfel de vas să se fisureze în lungul său, adică pe generatoare. În comparaţie cu vasul sferic, se constată că tensiunea maximă din vasul cilindric este de două ori mai mare decât în cazul vasului sferic, ceea ce face ca vasul sferic să fie mai economic decât cel cilindric. Cu toate acestea, datorită modului de rezemare şi realizare practică, vasul sferic este mai puţin utilizat.

Vasul conic vertical, de unghi 2α, înălţime H, umplut cu un lichid de greutate specifică γ (Fig.7.2-5)

r

yH

B

O

2α

α

α

ρmσmσm

Fig.7.2-5

A

331


La înălţimea y de la fundul vasului se realizează o secţiune, iar raza de curbură circumferenţială ρp este:

pAB tgαρ OA y

cosα cosα= = = ⋅ 7.2-13

La nivelul secţiunii făcute, presiunea este egală cu greutatea coloanei de lichid de deasupra acesteia: ( )yHp −⋅γ= Având în vedere că ρm = ∞ şi înlocuind presiunea p şi ρm în relaţia 7.2-10 se determină tensiunea circumferenţială

( ) ( )p

p

σ cosα γ H y γ tgασ y H yy tgα h h cosα⋅ ⋅ − ⋅

= ⇒ = ⋅ ⋅⋅ ⋅

− 7.2-14

În expresia lui σp intră factorii y şi (H – y) a căror sumă este o constantă, egală cu H. Valoarea maximă a lui σp se produce când aceşti factori sunt egali y = H – y = H / 2:

p maxγ tgα Hσ

h cosα

2

4⋅

= ⋅⋅ 7.2-15

Pentru tensiunea principală σm se va ţine seama atât de presiune cât şi de greutatea lichidului. Pentru aceasta se scrie relaţia de echilibru ca o sumă de forţe pe verticală:

myσ π y tgα h cosα γ π y tg α H y2 223

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

După efectuarea calculelor, se obţine expresia:

mγ tgασ y H yh cosα

22

⋅ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ −⎜⋅ ⋅ ⎝ 3⋅ ⎟⎠

7.2-16

Valoarea maximă a acestei tensiuni se determină anulând derivata de ordinul întâi:

332


mdσ C H y y y H

dy2 2 303 3 4

⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇒ = ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

p ,maxγ H tgασ

h cos α

2316⋅ ⋅ ⋅

⇒ =⋅ ⋅ 7.2-17

333


8. TUBURI CU PEREŢI GROŞI


Tuburile cu pereţi groşi au o mare răspândire în practică. Astfel de

elemente, solicitate la presiune interioară sau exterioară uniformă, sunt utilizate ca ţevi, cilindri, cazane etc. Sub acţiunea presiunii, în tuburi se creează tensiuni care pot duce la distrugerea lor. Prezenţa câmpului de temperatură simetric faţă de axa tubului dar variabil pe direcţia razei, produce în peretele acestuia tensiuni termice, care suprapuse peste cele create de presiune, pot conduce la valori mari ale tensiunilor şi implicit la scoaterea lor din funcţionare. La calculul vaselor de revoluţie cu pereţi subţiri, s-a considerat că tensiunea este constantă pe grosimea peretelui vasului. Cu cât peretele vasului este mai gros, cu atât metoda prezentată la vasele cu pereţi subţiri, conduce la erori mai mari. Calculul tuburilor cu pereţi groşi consideră că tensiunile din peretele tubului nu mai sunt constante pe direcţie radială. Starea de tensiune şi deformaţie într-un punct depinde numai de distanţa de la axa tubului la punctul considerat. Punctele situate la aceeaşi rază r prezintă aceeaşi tensiune şi deformaţie. Starea de tensiune punctuală depinde atunci şi de variabila x, în lungul tubului. Dacă aceste mărimi nu variază cu x, atunci tensiunea în lungul cilindrului σx este constantă în toate punctele. În această situaţie rămân ca necunoscute celelalte tensiuni: σr (tensiunea radială) şi σt (tensiunea circumferenţială). Se ajunge astfel la o stare plană de tensiune.

Calculul tuburilor cu pereţi groşi se abordează cu teoria elasticităţii în coordonate polare, care din cauza simetriei geometrice şi a solicitării tubului, nu este greu de aplicat. În modul de abordare, se consideră că tubul are secţiune constantă şi este de lungime infinită. Calculul tuburilor cu pereţi groşi se atribuie lui G. Lamé.

8.2 TUBUL CILINDRIC CU PERETE GROS SUPUS LA PRESIUNE INTERIOARĂ ŞI EXTERIOARĂ

Fie un tub cilindric închis la capete, cu pereţi groşi de raze Ri şi Re şi secţiune constantă, supus unei presiuni interioare pi şi uneia exterioare pe (Fig.8.2-1a). Se pune probleme determinării tensiunilor din peretele tubului astfel solicitat. Se consideră că materialul tubului satisface legea lui Hooke şi se neglijează efectul de încovoiere al capacelor de la capetele tubului.

334


În lungul tubului, presiunea interioară pi produce o forţă de întindere, iar presiunea pe una de compresiune.

Re

Ri

pe

pi

r

dr

dϕ

A

B C

D σt

σtσr

σt dr

σt dr

σr r dϕ

σr r dϕ +[d(σr r dϕ) dr] dr

a)

b)

Fig.8.2-1

Cele două forţe, dau naştere în peretele tubului la o tensiune normală axială:

( )

( )( )i i e e i i i e e

xe ie i

p π R p π R R R p p R pσ

R Rπ R R

2 2 2 2 2

2 22 2

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −e⋅ + − ⋅

= =−⋅ − 8.2-1

care este repartizată uniform pe secţiunea transversală a tubului. Dacă tubul se consideră ca având lungime mare, atunci tensiunea normală axială (longitudinală) nu produce alungiri şi ea se poate neglija. Rămâne a se considera mai departe, tubul într-o stare plană de tensiune. Din cauza simetriei geometrice şi a încărcării, se consideră ca singura variabilă independentă pentru tensiuni şi deformaţii, dimensiunea radială r (raza). Cu ajutorul a două plane care fac între ele unghiul dϕ se detaşează din peretele tubului un element de raze r şi r+dr (grosime dr) aşa cum este prezentat în Fig.8.2-2b. Pe feţele elementului nu există tensiuni tangenţiale şi ca urmare tensiunile de pe cele patru feţe sunt tensiuni normale principale (radiale σr, respectiv circumferenţiale σt). Din considerente de simetrie, pe feţele AC şi BD tensiunea σt este aceeaşi, iar tensiunea σr variază de la faţa CD la faţa AB.

335


Pentru elementul izolat de grosime unitară (pe desen sunt reprezentate direct forţele de pe feţele de grosime unitară) se pune condiţia de echilibru, ca o sumă de forţe pe bisectoarea unghiului dϕ:

( )r r r td dφσ r dφ σ r dφ dr σ r dφ σ dr sindr

2 02

⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

Aproximând

dφ dφsin2 2

≅

şi înlocuind în relaţia anterioară, după efectuarea calculelor, se obţine:

( )

0dr

dr

0rdrd

trr

tr

=σ−σ+σ

⋅⇒

=σ−⋅σ

8.2-2

Ecuaţia 8.2.2 conţine două necunoscute, tensiunile σr şi σt. Pentru a determina cele două tensiuni mai este necesară încă o relaţie. În acest scop, se va căuta o relaţie bazată pe deplasarea radială u a unui punct oarecare al tubului (Fig.8.2-2a).

Or

dr

u+du

u

dϕ

Starea deformată

a)

O

rdϕ

Fig.8.2-2

b)

σr

σr

σt

σt

Un punct situat la distanţa r de centru are deplasarea radială u, iar cel situat la distanţa u+ du are deplasarea u + (du/dr)⋅dr. Lungirea segmentului dr este dată de diferenţa dintre cele două deplasări:

336


( ) du dudr u dr u drdr dr

Δ = + ⋅ − = ⋅ 8.2-3

iar lungirea specifică în direcţie radială este:

( )

r

dr duεdr dr

Δ= = 8.2-4

Ca urmare a deplasării u, raza r a unui cerc devine r + u, ceea ce face ca lungirea specifică circumferenţială să devină:

( )

t

π r u π r uεπ r

2 22

⋅ + − ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ r= 8.2-5

Relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice (legea lui Hooke generalizată) pentru acest caz se scriu sub forma:

( )

( )

r r

t t

Eσ ε νν

Eσ ε νν

2

2

1

1

= ⋅ + ⋅−

= ⋅ + ⋅−

t

r

ε

ε

sau ţinând seama de relaţiile 8.2-4 şi 8.2-5:

r

t

E du uσ νν dr r

E u duσ νν r dr

2

2

1

1

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎛= ⋅ + ⋅⎜ ⎟− ⎝ ⎠

⎞ 8.2-6

Relaţiile 8.2-6 se introduc în ecuaţia diferenţială 8.2-2, obţinându-se expresia:

d E du u E du u E u dur ν ν νdr ν dr r ν dr r ν r dr2 2 2 0

1 1 1⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

care după simplificări devine:

337


0ur1

drdu

r1

drud

22

2

=⋅−⋅+ 8.2-7

Relaţia 8.2-7 este o ecuaţie diferenţială de tip Euler, care admite o soluţie de forma:

rBrAu +⋅= 8.2-8

Se calculează la început

2

2

rBA

drdu

rBA

ru

−=

+=

care introduse în expresiile tensiunilor (relaţiile 8.2-6) conduc la:

( ) ( ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν−⋅−ν+⋅

ν−=σ 1

rB1A

1E

22r ) 8.2-9a

( ) ( ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν−⋅+ν+⋅

ν−=σ 1

rB1A

1E

22t ) 8.2-9b

Constantele A şi B din relaţiile 8.2-9 se determină din condiţiile la limită, pe contur. Presiunile pi şi pe de la suprafeţele tubului produc tensiuni radiale de compresiune:

ere

iri

pRrLapRrLa

−=σ⇒=−=σ⇒=

Se înlocuiesc aceste condiţii în ecuaţia 8.2-9a şi rezultă:

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν−⋅−ν+⋅

ν−=− 1

rB1A

1Ep 22i 8.2-10a

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν−⋅−ν+⋅

ν−=− 1

rB1A

1Ep 22e 8.2-10b

Rezolvând sistemul de ecuaţii 8.2-10, rezultă valoarea constantelor:

338


i i e e

e i

R p R pνAE R R

2 2

2 21 ⋅ + ⋅−

= ⋅− 8.2-11a

i e i e

e i

R R (p p )νBE R R

2 2

2 21 ⋅ −+

= ⋅− 8.2-11b

Cu aceste valori pentru constantele A, B, rezultă pentru tensiuni, expresiile:

( )i e i ei i e e

re i e i

p p R RR p R pσR R R R r

2 22 2

2 2 2 21− ⋅ ⋅⋅ − ⋅

= −− − 2⋅ 8.2-12a

( )i e i ei i e e

re i e i

p p R RR p R pσR R R R r

2 22 2

2 2 2 21− ⋅ ⋅⋅ − ⋅

= +− − 2⋅ 8.2-12b

Se poate constata că tensiunile normale (radiale şi circumferenţiale) variază după o hiperbolă de gradul doi în raport cu r, iar suma lor este o constantă. Procedând asemănător, se obţine expresia deplasării radiale a unui punct al tubului:

( )i e i ei i e e

e i e i

R R p pR p R pν νu rE R R E R R

2 22 2

2 2 2 21 1 ⋅ ⋅ −⋅ − ⋅− +

= ⋅ ⋅ + ⋅− − 8.2-13

Se pot studia acum diferite cazuri particulare de solicitare ale tubului cu perete gros. 8.2.1 Tubul cilindric supus numai la presiune interioară Dacă tubul este supus numai la presiune interioară (pe = 0), relaţiile pentru calculul tensiunilor normale (vezi relaţiile 8.2-12) sunt:

ei i

re i

RR pσR R r

22

2 2 21⎛ ⎞⋅

= ⋅ −⎜− ⎝ ⎠⎟ 8.2.1-1a

ei i

te i

RR pσR R r

22

2 2 21⎛ ⎞⋅

= ⋅ +⎜− ⎝ ⎠⎟ 8.2.1-1b

339


Este de mare utilitate practică să se cunoască variaţia acestor tensiuni pe grosimea peretelui tubului.

Tensiunea normală radială σr La suprafaţa interioară, unde r = Ri:

σri = - pi

La suprafaţa exterioară, unde r = Re:

σre = 0

Tensiunea normală circumferenţială σt La suprafaţa interioară, unde r = Ri:

( )

2i

2e

i2e

2i

maxtti RRpRR

−⋅+

=σ=σ


i ite t min

e i

R pσ σR R

2

2 22⋅ ⋅

= =−

Variaţia tensiunilor normale pe grosimea peretelui tubului este prezentată în Fig.8.2.1-1.

Re

Ri pi

σri = - pi

σti

σte

Fig.8.2.1-1

Cea mai mare valoare se obţine pentru tensiunea circumferenţială σt de la suprafaţa interioară a tubului. Calculul de rezistenţă al tubului cu perete gros, după teoria I de rezistenţă, impune satisfacerea condiţiei:

340


( )

a2i

2e

i2e

2i

maxt RRpRR

σ≤−

⋅+=σ 8.2.1-2a

a

e ia i

σ pR Rσ p

i+⇒ = ⋅

− 8.2.1-2b

Relaţia 8.2.1-2b are soluţie numai dacă pi < σa . Raportul dintre valorile extreme ale tensiunii normale circumferenţiale este:

ti i e

te i

σ R Rσ R

2 2

22+

=⋅ 8.2.1-3

şi el creşte o dată cu creşterea diferenţei dintre pătratele razelor. Dacă R2 se apropie de R1, grosimea tubului scade foarte mult. În acest caz, relaţiile 8.2.1-1 arată că tensiunea radială devine nulă pe toată grosimea peretelui, iar relaţia 8.2.1-3 arată că raportul tensiunilor circumferenţiale extreme devine egal cu unitatea, adică această tensiune este constantă. Această situaţie s-a întâlnit de fapt la vasele de revoluţie cilindrice cu pereţi subţiri. Dacă se face un calcul de rezistenţă după teoria a III-a de rezistenţă, condiţia care se impune este:

t max ri e i

max ae i

σ σ R pτ σR R

2

2 22− ⋅

= =−

≤ 8.2.1-4

Pentru deplasări, interesează în mod deosebit deplasarea unui punct de pe suprafaţa interioară. În acest caz, în relaţia 8.2-13 se ia pe = 0 şi r = Ri. Se obţine:

i

i e i ir R

e i

R R R pu νR R E

2 2

2 2=

⎛ ⎞+ ⋅= + ⋅⎜ ⎟−⎝ ⎠

8.2.1-5

341


APLICAŢII A1. O conductă de abur viu dintr-o centrală termoelectrică este supusă unei presiuni interioare pi = 14 MPa. Cunoscând dimensiunile conductei Ri = 300 mm, Re = 250 mm şi E = 2 ·105 MPa, să se calculeze şi reprezinte tensiunile normale din peretele conductei. Rezolvare Conducta fiind supusă la o presiune interioară (pe = 0) se utilizează relaţiile:

pentru tensiunea normală σr: - la interiorul conductei

ri iσ p M14 Pa= − = −

- la exteriorul conductei

reσ 0= pentru tensiunea normală σt:

- la suprafaţa interioară

i e

ti ie i

R Rσ p ,R R

2 2 2 2

2 2 2 2250 300 14 76 64300 250

+ += ⋅ = ⋅ =

− −M P a

- la suprafaţa esterioară

ite i

e i

Rσ p ,R R

2 2

2 2 2 22 2 250 14 63 64

300 250⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ =− −

MPa

Variaţia tensiunilor normale este prezentată în Fig.A8.1-1

σr

σt

Ri

Re-14 MPa

63,64 MPa

76,64 MPa

Fig.A8.1-1

342


A2. Un tub cu diametrul interior di = 100 mm este supus unei presiuni interioare pi = 50 MPa. Să se determine diametru exterior al tubului (de = ?) dacă tensiunea maximă admisă din peretele tubului este σa = 200 MPa. Rezolvare Se aplică relaţia 8.2.1-2b:

a ie i

a i

σ pR Rσ p

+= ⋅

−

a iie

a i

σ pdR ,σ p

100 200 50 50 1 29 64 52 2 200 50

+ += ⋅ = ⋅ = ⋅ =

− −, mm

de unde se obţine pentru diametrul exterior valoarea: de = 2·Re = 129 mm 8.2.2 Tubul cilindric supus numai la presiune exterioară Pentru acest caz de tub, în expresiile tensiunilor normale (relaţiile 8.2-12) se consideră pi = 0 şi rezultă:

e e i

re i

R p RσR R r

2 2

2 2 21⎛ ⎞⋅

= − ⋅ −⎜− ⎝ ⎠⎟ 8.2.2-1

e e e

te i

R p RσR R r

2 2

2 2 21⎛ ⎞⋅

= − ⋅ +⎜− ⎝ ⎠⎟ 8.2.2-2

Se constată că ambele tensiuni sunt de compresiune, valori mai mari atingând tensiunea normală circumferenţială.

Tensiunea normală radială σr La suprafaţa interioară, unde r = Ri:

σri = 0


343


σre = - pe

Tensiunea normală circumferenţială σt La suprafaţa interioară, unde r = Ri:

e eti t max

e i

R pσ σR R

2

2 2

2⋅ ⋅= = −

−


e2i

2e

2e

2i

mintte pRRRR

⋅−+

−=σ=σ

Variaţia tensiunilor normale pentru tubul cilindric supus numai la presiune exterioară este prezentată în Fig.8.2.2-1. În ceea ce priveşte deplasările, pentru tubul cilindric supus numai la presiune exterioară, interesează deplasarea unui punct de pe suprafaţa exterioară. Pentru aceasta, în relaţia 8.2-13 se consideră pi = 0 şi r = Re:

e

i e er R

e i

R R R pu νR R E

2 2

2 2=

⎛ ⎞ e+ ⋅= − − ⋅⎜ ⎟−⎝ ⎠

8.2.2-3

σte

σti

σre = -pe

Fig.8.2.2-1

pe

344


Aplicaţie. Un tub cu diametrul interior di = 100 mm şi de este supus unei presiuni interioare pi = 50 MPa. Să se determine tensiunile maxime din peretele tubului.

Rezolvare Tensiunea radială are valori maxime la exteriorul tubului: r,max r,r i eσ σ p M50= Pa= = − = − iar cea circumferenţiala la interiorul tubului şi se calculează cu relaţia:

e eti t max

e i

R pσ σR R

2

2 2

2⋅ ⋅= = −

−

t ,max ti,σ σ , MP

,

2

2 22 64 5 50 250 5864 5 50⋅ ⋅

= = − = −−

a

Obs. S-a supus la presiune exterioară acelaşi tub care în exemplul precedent a fost supus la aceeaşi presiune interioară. Se constată că pentru acelaşi tub supus la aceeaşi valoare a presiunii, starea mai periculoasă este cea în care este supus acţiunii presiunii exterioare.

8.3 TUBURI CILINDRICE FRETATE

La studiul tubului supus numai la presiune interioară s-a văzut că pentru dimensionarea tubului presiunea interioară nu poate depăşi tensiunea normală admisibilă. Asta însemnă că pentru tensiuni interioare mari, materialul din care este confecţionat tubul trebuie să aibă tensiuni admisibile mari. O mărire a rezistenţei tubului se poate realiza cu ajutorul fretajului. Fretajul este procedeul de comprimare radială a unui tub solicitat la presiune interioară cu scopul micşorării tensiunii circumferenţiale maxime. În general, el se realizează prin introducerea unor tuburi cilindrice unul în celălalt, concentric şi cu strângere (Fig.8.3-1). Deoarece diametrul interior al tubului exterior este mai mic decât diametrul exterior al tubului interior, tubul exterior trebuie încălzit, iar cel interior eventual răcit.

345


R1

R2

R3

δ

1. Cilindrul interior

2.Cilindru exterior

Fig.8.3-1

R1e

R2i

Fretajul poate fi realizat şi prin înfăşurarea prin strângere, pe suprafaţa exterioară a tubului, a unui cablu în spirală sau prin introducerea cu joc a tubului într-un cilindru în care se realizează o presiune hidraulică. Fie un tub fretat, format din două tuburi cilindrice, introduse unul în celălalt cu strângere. Temperatura tuburilor este aceeaşi. Diferenţa dintre raza exterioară a tubului interior şi raza interioară a tubului exterior înainte de montare, se numeşte seraj: δ = R1e – R2i 8.3-1 După îmbinare, între cele două tuburi se realizează o presiune de fretaj pf. Prin fretaj, raza exterioară a tubului interior s-a micşorat cu u1, iar cea interioară a tubului exterior s-a mărit cu u2. Se ajunge astfel la o rază R2 comună de contact între tuburi:

21

2i21e12

uuuRuRR

+=δ⇒

+=−= 8.3-2

Se adună relaţiile 8.2.1-5 şi 8.2.2-3 făcând pi = pe = p, iar în relaţia 8.2.1-5 se înlocuieşte R1 prin R2 şi R2 prin R3, rezultând:

f R Rp R R R ν νE R R R R

2 22 21 32 1 2

2 2 2 22 1 3 2

⎛ ⎞+⋅ +⋅ − + +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

δ=

de unde se obţine valoarea presiunii de fretaj:

346


( ) ( )

( )f

R R R R E δp

R R R

2 2 2 22 1 3 2

3 2 22 3 12

− ⋅ − ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ − 8.3-3

Presiunea de fretaj, este o presiune exterioară pentru tubul interior şi interioară pentru tubul exterior. Cele două tuburi se pot studia separat, funcţie de presiunea de fretaj la care sunt supuse fiecare.

Pentru tubul interior, unde se utilizează relaţiile 8.2.2-1, cu notaţia pe = pf

Pe suprafaţa exterioară unde r = R2 se obţine:

f21

22

22

21

t

fr

pRRRR

p

⋅−+

−=σ

−=σ

8.3-4

Pe suprafaţa interioară unde r = R1

r

t t max

σ

Rσ σ pR R

22

2 22 1

0

2

=

= = − ⋅ ⋅− f

8.3-5

Pentru tubul exterior, unde se utilizează relaţiile 8.2.1-1, cu notaţia pi

= pf Pe suprafaţa interioară unde r = R2

f22

23

23

22

maxtt

fr

pRRRR

p

⋅−+

=σ=σ

−=σ

8.3-6

Pe suprafaţa exterioară unde r = R3

r

t f

σ

Rσ pR R

22

2 23 1

0

2

=

= ⋅−

⋅ 8.3-7

347


După cum se poate constata, cele mai mari sunt tensiunile de pe faţa interioară a tubului exterior, tensiuni care trebuie să fie luate în consideraţie la calculul de rezistenţă (dimensionare). Studiul prezentat a luat în calcul numai presiunea de fretaj pf dintre tuburi. În general, tubul interior este supus şi unei presiuni interioare pi. La nivelul celor trei raze R1, R2, R3 presiunea interioară pi produce următoarele tensiuni:

la suprafaţa interioară, unde r = R1

i21

23

23

21

t

ir

pRRRR

p

⋅−+

=σ

−=σ

8.3-8

la suprafaţa de separaţie, unde r = R2

( )( ) i2

123

22

22

23

21

r pRRRRRR

⋅−⋅−⋅

−=σ 8.3-9a

( )( ) i2

123

22

23

22

21

t pRRRRRR

⋅−⋅+⋅

=σ 8.3-9b

la suprafaţa exterioară, unde r = R3

i21

23

21

t

r

p2RR

R0

⋅−

=σ

=σ

8.3-10

Dacă se adună la nivelul razelor R1, R2, R3 tensiunile datorate presiunii de fretaj pf şi a celei interioare pi, se obţin tensiunile rezultante din cele două tuburi. În Fig.8.3-2 se prezintă diagramele tensiunilor produse de presiunea de fretaj pf (Fig.8.3-2a), de presiunea interioară pi (Fig.8.3-2b) şi cea rezultantă (Fig.8.3-2c). Pentru tensiunea normală radială σr fretajul nu are efect favorabil, tensiunile maxime rămânând aceleaşi. În schimb, asupra tensiunii normale circumferenţiale σt, fretajul are un mare efect, micşorând valoarea maximă a acestei tensiuni, ceea ce permite creşterea presiunii interioare din tub.

348


σr

σr σr

σtσt

σt

a) b) c)

Fig.8.3-2

Valorilor vârfurilor pentru tensiunile rezultante prezentate în Fig.8.3-2 se pot obţine relativ uşor, motiv pentru care nu au mai fost trecute în diagramă. Ele de altfel au fost calculate separat în cadrul acestui capitol. Pentru un calcul de rezistenţă după teoria a III-a de rezistenţă, rezultă că tensiunea tangenţială maximă de pe suprafaţa interioară a cilindrului exterior (acolo unde tensiunea este maximă), este:

f22

23

23f

22

23

23

22rt

max pRR

R2p

1RRRR

2⋅

−=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

=σ−σ

=τ 8.3-11

sau după înlocuirea presiunii de fretaj pf:

( )( )max

δ E R R Rτ

R R R

2 2 23 2 1

3 2 22 3 12

⋅ ⋅ ⋅ −=

⋅ ⋅ − 8.3-12

Pentru un inel fretat pe un arbore plin (R1 = 0), tensiunea tangenţială maximă are expresia:

maxδ Eτ

R22⋅

=⋅ 8.3-13

Pe baza celor prezentate, se pot studia acum o serie de montaje fretate

între diferite organe de maşini. Dacă cele două tuburi fretate sunt realizate din materiale diferite, serajul

δ, respectiv presiunea de fretaj pf se calculează cu relaţiile:

349


fR RR Rδ p R ν ν

E R R E R R

2 22 23 22 1

2 12 2 2 21 2 1 2 3 2

1 1⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ++= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 8.3-14a

fδp

R R RR R ν νE R R E R R

2 22 22 3 22 1

1 22 2 2 21 2 1 2 3 2

11 1

= ⋅⎛⎛ ⎞ ++

⋅ − + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞ 8.3-14b

În cazul montării prin fretaj a unui butuc pe un arbore (fretajul a

două tuburi de lungimi diferite) presiunea de fretaj variază în lungul contactului dintre piese (Fig.8.3-3).

R1R2

pf

L

R3

Fig.8.3-3

Arbore Butuc

Printr-un calcul simplificat pentru acest caz se calculează valoarea medie a presiunii de fretaj cu relaţia:

fδp

R R RR Rβ νE R R E R R

2 22 22 3 22 1

1 22 2 2 21 2 1 2 3 2

11 1

= ⋅⎛ ⎞⎛ ⎞ ++

⋅ ⋅ − + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ν

8.3-15

unde β este un coeficient subunitar (β < 1) care ţine seama de faptul că arborele nu este presat pe toată lungimea sa. Din această cauză deformaţia este mai mică. Valoarea coeficientului β, funcţie de raportul dintre lungimea de presare L şi diametrul 2R2 pentru diferite valori ale raportului R1/R2 este dată sub forma unei diagrame (Fig.8.3-4). Fig.8.3-4

L / 2 · R2

350


Aplicaţie. Pentru tuburile fretate din Fig.A1 cunoscând serajul δ = 0,05 mm, presiunea interioară pi = 100 MPa, E = 2·105 MPa, R1 = 60 mm, R2 = 100 mm, R3 = 150 mm, să se calculeze şi să se reprezinte tensiunile pe peretele tuburilor.

R1

R2

R3

pi

Fig.A1

Rezolvare Presiunea de fretaj este:

( ) ( )( )f

R R R Rδ EpR R R

2 2 2 22 1 3 2

3 2 22 3 12

− ⋅ −⋅= ⋅

⋅ −

( ) ( )( )f

,p , MP2 2 2 25

3 2 2

100 60 150 1000 05 2 10 21162 100 150 60

− ⋅ −⋅ ⋅= ⋅ =

⋅ −a

Presiunea de fretaj, este o presiune exterioară pentru tubul interior şi interioară pentru tubul exterior. Cele două tuburi se pot studia separat, funcţie de presiunea de fretaj la care sunt supuse fiecare.

Pentru tubul interior Pe suprafaţa exterioară:

( )( )

σ

σ

r f22 2

1 2t f2 2 2

2 1

p 21,16 MPa

10 36 100R Rp 21,16 44,96 MPa

R R 10 100 36

= − = −

⋅ ++= − ⋅ = − ⋅ = −

− ⋅ −

351


Pe suprafaţa interioară:

r

t t max f

σ

Rσ σ p ,R R

2 22

2 2 2 22 1

01002 2 21 16 66 13

100 60

=

= = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −− −

, M Pa

Pentru tubul exterior Pe suprafaţa interioară:

σ

σ σ

r f2 2 2 22 3

t tmax f2 2 2 23 2

p 21,16 MPa

R R 100 150p 21,16 55 MPa

R R 150 100

= − = −

+ += = ⋅ = ⋅ =

− −

Pe suprafaţa exterioară:

r

t f

σ

Rσ p , ,R R

2 22

2 2 2 23 1

01002 2 21 16 22 39

150 60

=

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =− −

MPa

După cum se poate constata, cele mai mari sunt tensiunile de pe faţa interioară a tubului exterior, tensiuni care trebuie să fie luate în consideraţie la calculul de rezistenţă (dimensionare). Studiul prezentat a luat în calcul numai presiunea de fretaj pf dintre tuburi. În general, tubul interior este supus şi unei presiuni interioare pi. La nivelul celor trei raze R1, R2, R3 presiunea interioară pi produce următoarele tensiuni:

la suprafaţa interioară:

σ

σ

r i2 2 2 21 3

t i2 2 2 23 1

p 100 a

R R 60 150p 100 138

R R 150 60

= − = −

+ += ⋅ = ⋅ =

− −MPa

la suprafaţa de separaţie:

( )( )

( )( )

σ2 2 2 2 2 21 3 2

r i2 2 2 2 2 22 3 1

R R R 60 150 100p 100

R R R 100 150 60

⋅ − ⋅ −= − ⋅ = − ⋅ = −

⋅ − ⋅ −23,81 MPa

352


( )( )

( )( )

σ2 2 2 2 2 21 2 3

t i2 2 2 2 2 22 3 1 1

R R R 60 100 150p 100 61,9 MPa

R R R 100 150 60

⋅ + ⋅ += ⋅ = ⋅ =

⋅ − ⋅ −

la suprafaţa exterioară:

σ

σ

r2 21

t i2 2 2 23 1

0

R 602 p 2 100 38,1 MPa

R R 150 60

=

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =− −

Dacă se adună la nivelul razelor R1, R2, R3 tensiunile datorate presiunii de fretaj pf şi a celei interioare pi, se obţin tensiunile rezultante din cele două tuburi. În Fig.A1-2 se prezintă diagramele tensiunilor produse de presiunea de fretaj pf (Fig.A1–2a,b), de presiunea interioară pi (Fig.A1–2c) şi cea rezultantă (Fig.A1– 2d).

-22,39

-44,96

-21,16 σr [MPa]

pi

-21,16

-100

σt [MPa]

38,1

61,9

-23,81

-100

138,11 -66,13 71,97

5597,86

60,49

16,94

a) b) c) d)

Fig.A1-2

-66,13

353


8.4 TENSIUNI TERMICE ÎN TUBUL CU PERETE GROS

În practică, mai ales în centralele termoelectrice există tuburi (conductele de abur) cu perete gros, care sunt supuse, pe lângă presiunea interioară, la un câmp termic axial simetric cu temperatură constantă în lungul tubului, dar variabilă pe grosimea peretelui. Datorită temperaturii neuniforme, în peretele tubului apar tensiuni, care se suprapun peste cele create de presiunea interioară. Pentru astfel de elemente, se poate considera că secţiunile transversale aflate la distanţe mari de capetele tubului rămân plane, iar lungirea specifică în lungul tubului εx este constantă. Relaţiile care exprimă tensiunile se deduc asemănător ca în cazul tuburilor solicitate de către presiunea interioară sau exterioară. Lungirile specifice (radiale, respectiv circumferenţiale) se exprimă atunci prin relaţiile cunoscute:

rudrdu

t

r

=ε

=ε

8.4-1

iar ecuaţia de echilibru este:

( )rd r σ σdr t⋅ = 8.4-2

Dacă se ia în considerare şi tensiunea produsă de variaţia temperaturii, legea lui Hooke se completează cu termenul corespunzător acestei tensiuni. Dacă se notează cu θ creşterea de temperatură faţă de starea iniţială într-un element situat la distanţa r, cu α coeficientul de dilatare termică liniară a materialului, cu σx tensiunea normală axială, expresiile lungirilor specifice principale sunt:

( )r r x tε σ ν σ σ αE1

⎡= ⋅ − ⋅ + + ⋅⎣ θ⎤⎦ 8.4-3a

( )t t x rε σ ν σ σ αE1

⎡= ⋅ − ⋅ + + ⋅⎣ θ⎤⎦ 8.4-3b

354


( )x x r tε σ ν σ σ α θ const.E1

⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ + + ⋅ =⎣ ⎦ 8.4-3c

Din relaţiile 8.4-3 se obţin expresiile tensiunilor normale principale funcţie de lungirile specifice principale:

( ) ( ) ( ) ( )r r t xEσ ν ε ν ε ν ε

ν ν1 1

1 1 2⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − +⎣ ⎦+ ⋅ − ⋅

ν α θ⋅ ⋅ 8.4-4a

( ) ( ) ( ) ( )t t x rEσ ν ε ν ε ν ε

ν ν1 1

1 1 2⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅⎣ ⎦+ ⋅ − ⋅

ν α θ 8.4-4b

( ) ( ) ( ) ( )x x r tEσ ν ε ν ε ν ε

ν ν1

1 1 2⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − +⎣ ⎦+ ⋅ − ⋅

ν α θ1 ⋅ ⋅ 8.4-4c

În cele ce urmează, se va admite ipoteza că modulul de elasticitate E al

materialului tubului nu variază cu temperatura. Ecuaţia diferenţială de echilibru (forma ei este cunoscută de la tuburile cu pereţi groşi) pentru situaţia când se ia în considerare şi temperatura este de forma:

drd

11

ru

drdu

r1

dxud2

2 θ⋅α⋅

ν−ν+

=−⋅+ 8.4-5

care poate fi scrisă sub formă integrabilă:

( )d d ν dθu r αdr r dr ν dr

1 11+⎡ ⎤⋅ = ⋅ ⋅⎢ ⎥ −⎣ ⎦

8.4-6

Integrând acum ecuaţia 8.4-6 se obţine expresia deplasării radiale u:

i

r

R

ν Bu α θ r dr A rν r r

1 11+

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +− ∫ 8.4-7

unde A, B – constante de integrare. Constantele de integrare se determină din condiţiile la limită. Astfel pentru

355


0RrşiRr rei =σ⇒== 8.4-8 Înlocuind relaţia 8.4-7 în 8.4-4a, expresia tensiunii radiale în funcţie şi de constantele de integrare A şi B, este de forma:

i

r

r xR

E ν A B νσ α θ r dr εν ν r ν r ν2 2

1 11 1 1 2 1 2

⎡ ⎤+= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − + ⋅⎢ ⎥+ − − − ⋅⎣ ⎦

∫ 8.4-9

Punând condiţiile 8.4-8 în relaţia 8.4-9 şi făcând calculele, se obţin cele două constante de integrare:

e

i

R

xRe i

ν νA α θ r dr ν εν R R2 2

1 1 21+ −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅− − ∫ 8.4-10a

e

i

Ri

Re i

RνB α θ r drν R R

2

2 211+

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− − ∫ 8.4-10b

Aceste valori ale constantelor de integrare se introduc în relaţia 8.4-7, apoi se calculează relaţiile 8.4-1, după care acestea se introduc în relaţiile 8.4-4 de unde se obţin expresiile tensiunilor normale principale:

e

i i

R ri

rR Re i

r REσ α θ r dr α θ r drν r R R

2 2

2 2 21

1⎡ ⎤−

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥− −⎣ ⎦∫ ∫ 8.4-11a

e

i i

R ri

tR Re i

r REσ α θ r dr α θ r dr α θ rν r R R

2 22

2 2 21

1⎡ ⎤+

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎢ ⎥− −⎣ ⎦∫ ∫ 8.4-11b

( )e

i

R

x xRe i

E νσ α θ r dr ν ε α θν R R2 2

2 11

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅⎢ ⎥− −⎣ ⎦

∫ 8.4-11c

După cum se observă, în expresia tensiunii normale axiale σx apare deformaţia specifică εx, care este necunoscută. Pentru determinarea acesteia, dilatarea longitudinală a tubului fiind liberă, se consideră că efortul axial din secţiunea transversală este nul:

356


8.4-12 e e

i i

R Rπ

x xR R

N σ r dφ dr σ r dr2

00= ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ 0

Ţinând seamă de relaţia 8.4-12, din 8.4-11c rezultă expresia lungirii specifice

e

i

R

xRe i

ε drR R2 2

2= ⋅ ⋅

− ∫ α θ ⋅ 8.4-13

care conduce la tensiunea normală axială:

e

i

R

xRe i

Eσ α θ r dr α θν R R2 2

21

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟− −⎝ ⎠

∫ 8.4-14

După cum se constată, pentru calculul tensiunilor normale principale şi a deplasării radiale trebuie cunoscută legea de distribuţie a temperaturii θ(r) pe grosimea peretelui tubului. Se cunosc mai multe legi de distribuţie a temperaturii pe grosimea peretelui. Cea mai simplă este distribuţia liniară:

( ) θΔ⋅−−

=θie

e

RRrR

r 8.4-15

unde ei θ−θ=θΔ şi reprezintă diferenţa dintre temperatura la suprafaţa interioară şi cea exterioară a tubului. Acceptând această distribuţie a temperaturii şi după efectuarea integrărilor din relaţiile 8.4-11a,b şi 8.4-14, tensiunile normale principale capătă forma finală:

( ) ( )e i i e

re i e i i e

R R R RE α θσ rν R R R R R R r

3 3 2 2

2 2 21

3 1⎡ ⎤− ⋅⋅ ⋅Δ

= ⋅ − + ⋅⎢ ⎥⋅ − ⋅ − − +⎣ ⎦ 8.4-16a

( ) ( )e i i e

te i e i i e

R R R RE α θσ rν R R R R R R r

3 3 2 2

2 2 212

3 1⎡ ⎤− ⋅⋅ ⋅Δ

= ⋅ ⋅ − + ⋅⎢ ⎥⋅ − ⋅ − − +⎣ ⎦ 8.4.16b

357


( ) ( )e i

xe i e i

R RE α θσ rν R R R R

3 3

2 23 23 1

⎡ ⎤−⋅ ⋅Δ= ⋅ ⋅ − ⋅⎢ ⎥⋅ − ⋅ − −⎣ ⎦

8.4-16c

Pe cele două suprafeţe ale tubului rezultă tensiunile:

pe suprafaţa interioară, unde r = Ri:

( )

r

i i et

e i

σ

R R R RE α θσν R R

2 2

2 2

02

3 1

=

e+ ⋅ − ⋅⋅ ⋅Δ= ⋅

⋅ − − 8.4-17

pe suprafaţa exterioară, unde r = Re:

( )

r

e i et

e i

σ


2 2

2 2

02

3 1

=

i+ ⋅ − ⋅⋅ ⋅Δ= ⋅

⋅ − − 8.4-18

Dacă se anulează derivata tensiunii normale radiale σr, se obţine distanţa r la care tensiunea normală radială are valoare maximă:

i e

i e

R RrR R

2 2

32 ⋅ ⋅

=+ 8.4-19

În Fig.8.4-1 se prezintă variaţia tensiunilor normale radiale, respectiv circumferenţiale, pentru situaţia în care Re = 2 Ri , ν = 0,3 şi θi > θe (adică Δθ > 0).

Re = 2 Ri

1,39 Ri

Ri

O

-0,12Eα⋅Δθ

0,635Eα⋅Δθ

-0,793Eα⋅Δθ

σr

σt

σx

Fig.8.4-1

358


În acest caz, tensiunea normală circumferenţială maximă este de compresiune şi apare tot pe suprafaţa interioară a tubului.

APLICAŢIE A1. O conductă de abur viu dintr-o centrală termoelectrică cu Ri = 120 mm, Re = 160 mm, în timpul funcţionării normale are la interior temperatura θi = 5400 C şi la exterior θe = 4000 C. Considerând E = 2⋅105 MPa, ν = 0, 3, α =12⋅10-6 şi acceptând o distribuţie liniară a temperaturii pe grosimea peretelui conductei, să se calculeze tensiunile termice circumferenţiale extreme. Rezolvare Diferenţa de temperatură pe grosimea peretelui conductei este: Δθ = 540 –400 = 1400 C La suprafaţa interioară, tensiunea normală circumferenţială este:

( )

( )

i i e eti

e i


MPa,

2 2

2 2

5 6 2 2

2 2

23 1

2 10 12 10 140 120 120 160 2 160 2403 1 0 3 160 120

−

+ − ⋅⋅ ⋅Δ= ⋅ =

⋅ − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅= ⋅ = −

⋅ − −

iar la suprafaţa exterioară:

( )

( )

e i e ite

e i


, MP,

2 2

2 2

5 6 2 2

2 2

23 1

2 10 12 10 140 160 120 160 2 120 228 573 1 0 3 160 120

−

+ ⋅ − ⋅⋅ ⋅Δ= ⋅ =

⋅ − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅= ⋅ =

⋅ − −a

Tensiunile produse ca urmare a variaţiei temperaturii în peretele conductei au valori relativ mari. Suprapuse peste cele produse de presiunea interioară a aburului, pot conduce la avarierea conductei, lucru deosebit de periculos într-o centrală termoelectrică. Se poate constata uşor, că o izolare exterioară bună a conductei conduce la micşorarea diferenţei de temperatură între suprafaţa interioară şi cea exterioară, cu efect asupra micşorării tensiunilor termice din conductă. Ca urmare, izolarea exterioară a conductelor de abur nu este un moft ci o necesitate obiectivă şi trebuie să i se acorde mare importanţă. Nici o zonă a suprafeţei

359


exterioare de la conductele de abur din centralele termoelectrice, nu trebuie să fie neizolată.

8.5 VASE SFERICE CU PEREŢI GROŞI Fie un vas sferic cu perete gros cu raza interioară Ri şi cea exterioară Re, realizat dintr-un material omogen şi izotrop şi care se supune legii lui Hooke (Fig.8.5-1a). Vasul este solicitat atât de o presiune interioară pi cât şi de una exterioară pe. Într-un astfel de vas nu există tensiune normală σx. Din vasul sferic se izolează un element, pe feţele căruia acţionează tensiunile normale radiale σr şi cele circumferenţiale σt (Fig.8.5-1b). Deoarece vasul este simetric după toate direcţiile, tensiunile normale care apar sunt tensiuni principale, iar elementul se deplasează, păstrându-şi forma sferică şi după deformare. Deplasării radiale u îi corespunde o lungire specifică radială εr şi una circumferenţială εt:

ruşi

drdu

tr =ε=ε 8.5-1

O

O

r

drRi

Re

pi

pe

σr

σr+dσr

σt

σt

dϕ

Fig.8.5-1

a) b)

σtσt

dϕ

Se pune condiţia de echilibru pentru elementul izolat, ca o sumă de proiecţii de forţe pe bisectoarea unghiului dϕ (Fig.8.5-1b):

( ) ( )r r r tdφσ dσ r dr dφ σ r dφ σ dr r dφ sin2 2 2 2 4 02

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 8.5-2

360


După efectuarea calculelor şi neglijarea infiniţilor mici de ordin superior, se obţine ecuaţia diferenţială:

( )rr t

dσr σ σdr

2⋅ + ⋅ − = 0 8.5-3

Aplicând legea lui Hooke generalizată, deformaţiile specifice principale sunt:

( )

( )

r r t

t t

ε σ ν σE

ε ν σ νE

1 2

1 1

= ⋅ − ⋅ ⋅

rσ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ − ⋅⎣ ⎦ 8.5-4

cu ajutorul cărora, tensiunile normale principale au expresiile:

( ) ( )r t rE Eσ ν ε ν ε ν

ν ν ν ν r2 22 1 2 11 2 1 2

u duνdr

⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + −⎣ ⎦ ⋅⎢ ⎥− − ⋅ − − ⋅ ⎣ ⎦ 8.5-5a

( )t t rE Eσ ε ν ε

ν ν ν ν r dr2 21 2 1 2⎛= ⋅ + ⋅ = ⋅ +⎜− − ⋅ − − ⋅ ⎝ ⎠

u duν ⎞⋅ ⎟ 8.5-5b

Înlocuind relaţiile 8.5-5 în 8.5-2, se obţine ecuaţia diferenţială a deplasării radiale:

0ru2

drdu

r2

drud

22

2

=⋅−⋅+ 8.5-6

care poate fi restrânsă la forma integrabilă:

0ru2

drdu

drd

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

d dur u rdr r dr

221 2 0⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )d d u rdr r dr

221 0⎡ ⎤⋅ ⋅ =⎢⎣ ⎥⎦

8.5-7

361


Integrând ecuaţia 8.5-7, rezultă:

( )d u r A const.r dr

221 3⋅ ⋅ = =

de unde se obţine:

Bu A rr2= ⋅ + 8.5-8

unde A, B – constante de integrare, care se determină punând condiţiile la limită. În funcţie de constantele de integrare, tensiunile normale principale au acum expresiile:

( ) (rE Bσ A ν

ν ν r2 321 1

1 2⋅ )ν2⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅⎢ ⎥− − ⋅ ⎣ ⎦

8.5-9a

( ) (rE Bσ A ν

ν ν r2 321 1

1 2⋅ )ν2⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅⎢ ⎥− − ⋅ ⎣ ⎦

8.5-9b

Condiţiile la limită pentru determinarea constantelor de integrare care se pun, sunt:

ere

iri

pRrPentrupRrPentru

−=σ⇒=−=σ⇒=

Cu aceste înlocuiri pentru tensiunea normală radială, rezultă:

( ) ( )ir R i

E Bσ A ν ν pν ν r2 3

21 1 21 2=

⋅⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ = −⎢ ⎥− − ⋅ ⎣ ⎦

( ) ( )er R e

E Bσ A ν ν pν ν r2 3

21 1 21 2=

⋅⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + − ⋅ − = −⎢ ⎥− − ⋅ ⎣ ⎦

de unde se obţin expresiile pentru cele două constante de integrare:

( )i i e e

e i

R p R pν νAν E R R

3 32

3 31 2

1⋅ − ⋅− − ⋅

= ⋅+ ⋅ −

362


( )( )i e i e

e i

R R p pν νBν E R R

3 32

3 3

1 22 1 2

⋅ ⋅ −− − ⋅= ⋅

⋅ − ⋅ −

Expresia deplasării radiale este acum de forma:

( ) ( )i i e e i e i e

e i

R p R p p p R Rν νu rν ν rR R E

3 3 32

33 3

1 21 2 1 2

⎡ ⎤⋅ − ⋅ − ⋅− − ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥+ ⋅ −− ⋅ ⎣ ⎦

3

8.5-10

iar cea a tensiunilor normale principale de forma:

( )i e i ei i e e

re i e i

R R p pR p R pσR R R R r

3 33 3

3 3 3 31⋅ ⋅ −⋅ − ⋅

= −− − 3⋅ 8.5-11a

( )i e i ei i e e

te i e i

R R p pR p R pσR R R R r

3 33 3

3 3 3 31

2⋅ ⋅ −⋅ − ⋅

= +− − 3⋅

⋅ 8.5-11b

Se constată că în cazul vasului sferic cu perete gros, tensiunile normale principale, radiale respectiv circumferenţiale, variază pe grosimea peretelui după o hiperbolă de gradul trei. Se pot studia acum câteva cazuri particulare, care prezintă interes în activitatea productivă:

vasul supus numai la presiune interioară (pe = 0) Tensiunile normale principale au expresiile:

ei ir

e i

ei it

e i

RR pσR R r

RR pσR R r

33

3 3

33

3 3

1 0

1 0

⎛ ⎞⋅= ⋅ −⎜ ⎟− ⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅= ⋅ +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

<

> 8.5-12

La suprafaţa interioară, unde r = Ri

ri i

i eti i

e i

σ p

R Rσ p(R R )

3 3

3 3

22

= −

⋅ +=

⋅ −⋅ 8.5-13

363


La suprafaţa exterioară, unde r = Re

re

ite i

e i

σ

Rσ p(R R )

3

3 3

03

2

=

⋅=

⋅ −⋅ 8.5-14

La suprafaţa interioară unde tensiunile au valorile cele mai mari, se realizează o stare spaţială de tensiune, iar calculul de rezistenţă trebuie făcut după una din teoriile de rezistenţă. Astfel, după teoria a III-a de rezistenţă, trebuie satisfăcută condiţia:

( )t r i e a

max i ie i

σ σ R R στ p pR R

3 3

3 3

212 2 22

⎡ ⎤− ⋅ +⎢ ⎥= = ⋅ ⋅ + ≤⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

8.5-15

de unde pentru calculul de dimensionare, rezultă mărimea razei exterioare (se consideră că raza interioară se impune datorită necesităţilor):

a

e ia i

σR Rσ p

32

2 3⋅

= ⋅⋅ − 8.5-16

Din 8.5-16 rezultă că expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă, ceea ce conduce la condiţia impusă pentru dimensionare:

aiia 32p0p32 σ<⇒>−σ 8.5-17

vasul solicitat numai la presiune exterioară (pi = 0)

Expresiile tensiunilor normale principale sunt:

e e ir

e i

e e it

e i

R p RσR R r

R p RσR R r

3 3

3 3

3 3

3 3

1

1

⎛ ⎞⋅= − ⋅ −⎜ ⎟− ⎝ ⎠

⎛⋅= − ⋅ +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

⎞ 8.5-18

cu

rt σ>σ

364


La suprafaţa interioară, unde r = Ri

( )

ri

e eti

e i

σ

R pσR R

3

3 3

03

2

=

⋅= −

⋅ − 8.5-19

La suprafaţa exterioară, unde r = Re

( )

re e

i ete e

e i

σ p

R Rσ pR R

3 3

3 3

22

= −

+ ⋅= − ⋅

⋅ − 8.5-20

Şi pentru vasul sferic solicitat numai la presiune exterioară, tensiunea maximă se produce tot la suprafaţa interioară. Pentru acest caz, condiţia de rezistenţă după teoria a III-a, este de forma:

( )e e a

a e ia ee i

R p σσ R Rσ pR R

3

33 3

3 22 32

⋅ ⋅≤ ⇒ = ⋅

−⋅ − 8.5-21

În cazul bilei pline (Ri = 0) , se obţine pentru toate punctele

etr p−=σ=σ 8.5-22 iar dacă Ri → 0 la r = Ri datorită efectului de concentrare, se obţine:

et p5,1−=σ 8.5-23

365


9. SOLICITĂRI PESTE LIMITA DE ELASTICITATE


Diagrama caracteristică la întindere a unui material, caracterizează proprietăţile acelui material la solicitarea de întindere. Această curbă este însă una convenţională. Dacă pentru încărcări mici aria secţiunii transversale a epruvetei rămâne practic constantă, la atingerea limitei de curgere, micşorarea acestei arii devine sensibilă. La început, contracţia transversală este uniformă pe întreaga lungime a epruvetei, iar după ce rezistenţa la rupere este depăşită, contracţia transversală este accentuată şi capătă un caracter local. De aici rezultă că după atingerea limitei de curgere, ordonatele diagramei caracteristice sunt mărimi convenţionale, deoarece forţa din timpul solicitării s-a raportat la aria iniţială a secţiunii A0 şi nu la cea reală. Atâta timp cât tensiunea nu depăşeşte rezistenţa la rupere, alungirea materialului depinde exclusiv da natura acestuia. Dar, după producerea gâtuirii, alungirea depinde şi de raportul dintre dimensiunile epruvetei (lungime şi diametru) şi astfel alungirea nu mai constituie o caracteristică numai de material. Din aceste considerente, pentru obţinerea unei reprezentări grafice care să caracterizeze mai fidel proprietăţile materialului, se trasează aşa numita diagramă caracteristică reală la întindere. Aceasta ilustrează relaţia dintre tensiune şi deformaţiile din secţiunea epruvetei în care se produce ruperea. Pentru trasarea diagramei reale la întindere, este necesar să se noteze la diferite momente ale solicitării, valoarea forţei care întinde epruveta şi în acelaşi timp să se măsoare dimensiunile transversale ale epruvetei în porţiunea cea mai îngustă. Cu aceste dimensiuni se calculează aria secţiunii reale a epruvetei pentru fiecare moment în care se fac măsurătorile. Coordonatele unui punct al diagramei reale se determină cu relaţiile: - pentru abscisă:

0

t0t A

AA −=ψ 9.1-1

- pentru ordonată:

t

treal A

F=σ 9.1-2

unde:

366


A0 - aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei At - aria minimă a secţiunii transversale a epruvetei în acel moment Ft - valoarea forţei de întindere din momentul considerat. În Fig.9.1-1 se prezintă forma diagramei reale la întindere pentru o epruvetă realizată din oţel pentru şinele de cale ferată.

σreal[MPa]

Ψt 0,2 0,4

200400600

B

Fig.9.1-1

800

După cum se poate constata, în momentul ruperii, tensiunea calculată pe baza ariei reale a secţiunii, este mai mare decât cea calculată prin procedeul obişnuit. Punctul B, corespunde atingerii sarcinii maxime din timpul încercării. Deoarece sarcina maximă la care rezistă epruveta nu corespunde momentului ruperii ci unui moment anterior, în calcule se utilizează tensiunea corespunzătoare sarcinii maxime şi nu tensiunea reală maximă, care de fapt corespunde momentului ruperii epruvetei. Diagrama caracteristică reală, permite stabilirea unor caracteristici mecanice noi pentru materialul respectiv. Ordonatele diagramei caracteristice reale, caracterizează proprietăţile materialului de a rezista la deformaţia plastică. Pentru a mări deformaţia plastică (permanentă, remanentă), materialul trebuie supus la tensiuni tot mai mari. Pe măsură ce deformaţia plastică creşte, materialul opune o rezistenţă din ce în ce mai mare. Acest fenomen poartă numele de consolidare, ecruisare sau întărire. Proprietatea materialului de a se ecruisa este caracterizată prin panta diagramei reale. Tensiunea pentru punctul B, (Fig.9.1-1), corespunzător atingerii sarcinii maxime, se numeşte rezistenţă reală de rupere, iar tensiunea punctului de la extremitatea curbei reale, se numeşte rezistenţa în momentul ruperii. Abscisele diagramei reale caracterizează proprietatea materialului de a se deforma plastic, exprimând aceasta în funcţie de contracţia specifică. Această contracţie până în punctul B, poate fi considerată uniformă pe întreaga lungime a epruvetei, numindu-se contracţie uniformă şi caracterizează proprietatea materialului de a se deforma în ansamblu. Diferenţa dintre contracţia totală şi cea uniformă se numeşte contracţie locală şi caracterizează proprietatea materialului de a suferi deformaţii locale (gâtuiri). Diagramele caracteristice reale au totuşi unele

367


dezavantaje. Spre exemplu, în cazul deformaţiilor mari, la calculul lungirii sau contracţiei transversale specifice a epruvetei, nu mai poate fi neglijat faptul că dimensiunile iniţiale ale epruvetei la care se raportează de obicei creşterea lungimii sau variaţia secţiunii, au variat considerabil în timpul deformării. Din acest motiv, drept caracteristici ale deformaţiilor plastice mari se introduc aşa numitele contracţii transversale şi alungiri reale. Alungirea reală A şi contracţia transversală reală Ψ raportate la lungirea şi la aria reală a secţiunii epruvetei corespunzătoare unui moment dat al încercării, pot fi calculate cu ajutorul relaţiilor:

∫ ==t

0

l

l 0

t

ll

lnldlA 9.1-3

∫ ==Ψ0

t

A

A t

0

AA

lnA

dA 9.1-4

Deoarece în cazul deformaţiei plastice a corpului, volumul acestuia poate fi considerat constant, V = ct., rezultă: 0dlAdAldV =⋅+⋅= 9.1-5 de unde:

ψ−=⇒= AA

dAl

dl 9.1-6

ceea ce înseamnă că cele două caracteristici diferite ale deformaţiei, (alungirea reală şi contracţia transversală reală) sunt egale între ele, dar de sens opus. Forma diagramei caracteristice reale depinde de:

natura materialului temperatura de încercare viteza de deformare starea de tensiune.

Natura materialului (oţel, aluminiu, cupru), are influenţă asupra valorii

absolute a ordonatelor diagramei şi asupra pantei acesteia, adică tocmai asupra capacităţii de ecruisare a materialului. Temperatura de încercare a epruvetei are o mare influenţă asupra valorii rezistenţei la deformare plastică. Cu creşterea temperaturii, această rezistenţă scade.

368


Creşterea vitezei de deformare, măreşte rezistenţa la deformaţii plastice. Diagramele caracteristice la întindere au panta cu atât mai mare cu cât creşte viteza de deformaţie. Toate stările de tensiune în care tensiunile tangenţiale sunt mici, corespund unor valori ridicate ale rezistenţei la deformare plastică. Astfel, întinderea şi compresiunea uniformă după toate direcţiile, atât teoretic cât şi experimental, exclud posibilitatea producerii unor astfel de deformaţii. La stări de tensiune apropiate de întindere-compresiune uniformă după toate direcţiile, deformaţiile plastice se produc numai atunci când valorile tensiunilor principale sunt foarte mari. Trecerile bruşte de la o secţiune la alta (crestăturile, variaţia formei piesei, etc.) creează un câmp de tensiune caracterizat de obicei prin trei tensiuni normale principale de acelaşi semn. Un astfel de câmp de tensiune poate mări într-o măsură foarte mare rezistenţa materialului la deformaţiile plastice din jurul acestora. Rezistenţa la deformare plastică, studiată pe baza rezultatelor încercărilor la întindere este cea mai răspândită. Totuşi, datele privitoare la rezistenţa la deformare plastică, obţinute pe această cale, sunt insuficient de exacte, chiar din momentul producerii gâtuirii. Distribuţia deformaţiilor şi a tensiunilor în gâtuitură devine foarte neuniformă, motiv pentru care orice caracteristică a deformaţiei poate fi considerată numai convenţional drept caracteristică obţinută într-o stare monoaxială de tensiune. Aceasta reduce considerabil valoarea rezultatelor încercărilor la întindere simplă. Deoarece în cazul încercărilor la răsucire, deformaţia unor materiale chiar foarte plastice, rămâne îndeajuns de uniformă pe întreaga lungime a epruvetei (fără a se produce gâtuirea) până în momentul ruperii, se fac încercări la răsucire pentru obţinerea diagramelor reale la deformaţie plastică. Aceste diagrame reale se construiesc în raport cu următoarele coordonate (Fig.9.1-2):

τmax

τ

γγmax

Fig.9.1-2

γ

τ

369


- ordonată: tensiunea tangenţială reală maximă

2minmax

maxσ−σ

=τ 9.1-7

- abscisă: lunecarea maximă minmaxmax ε−ε=γ 9.1-8 Şi acest procedeu de obţinere a diagramelor caracteristice reale are unele dezavantaje. Astfel, la răsucirea epruvetelor de secţiune plină este greu să se ţină seama de influenţa zonei centrale a barei care se deformează elastic iar la răsucirea epruvetelor tubulare, rezultatele încercărilor pot fi modificate datorită pierderii stabilităţii.

9.2 SCHEMATIZAREA DIAGRAMELOR CARACTERISTICE Pentru calculele peste limita de elasticitate (în domeniul elasto-plastic), este necesar ca diagramele caracteristice să fie schematizate, adică aduse la forme care să fie cât mai apropiate de cele reale şi care să permită un calcul cât mai simplu. În acest sens, mai întâi se trasează diagrama caracteristică convenţională la întindere a materialului, după care se adoptă o curbă caracteristică schematizată care are pe toate porţiunile expresii analitice cât mai simple. Pe baza diagramelor schematizate, calculul de rezistenţă se poate face prin: metode analitice, grafo-analitice sau grafice. Schematizarea diagramelor caracteristice poate fi făcută prin:

linii drepte linii curbe continue.

În cazul materialelor care în domeniul elastic satisfac legea lui Hooke (diagrama caracteristică prezintă o porţiune rectilinie) se utilizează schematizarea prin linii drepte. Pentru un calcul mai simplu se consideră că limita de proporţionalitate a materialului coincide cu limita de curgere. Schematizarea printr-o linie curbă se utilizează în cazul materialelor care nu se supun legii lui Hooke.

370


În Fig.9.2-1 se prezintă o schematizare prin linii drepte a diagramei caracteristice. Pentru materialele care satisfac legea lui Hooke, în zona deformaţiilor liniar elastice, se consideră că tensiunea normală creşte proporţional cu alungirea. În zona deformaţiilor plastice, schematizarea depinde de forma diagramei reale şi de mărimea porţiunii care trebuie schematizată.

σ

σc

σ = E ε

σ = σc+Ep⋅(ε - εc)

β0

β1

εεc

Fig.9.2-1

De cele mai multe ori, diagrama caracteristică se schematizează prin două drepte a căror ecuaţii sunt: c0pentruE ε<ε<ε⋅=σ 9.2-1 ( ) ccpc pentruE ε>εε−ε⋅+σ=σ 9.2-2 unde: εc - alungirea corespunzătoare limitei de curgere Ep = tgβ1 - modul de plasticitate, egal cu panta dreptei adoptate E = tgβ0 - modul de elasticitate longitudinal iniţial. Se poate constata că Ep < E. Ţinând seama că: cc E ε⋅=σ 9.2-3 relaţia pentru schematizarea zonei plastice devine:

ε⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅σ=σ p

pc E

EE

1 9.2-4

371


Modul de schematizare prezentat, se utilizează pentru materiale care nu au limită de curgere pronunţată sau prezintă un palier de curgere scurt. Materialele a căror diagramă caracteristică poate fi schematizată ca în Fig.9.2-1 se numesc materiale elasto - plastice. Din diagrama prezentată în Fig.9.2-1, rezultă cazuri particulare de schematizare ale diagramelor caracteristice. Astfel:

a) Dacă deformaţiile elastice sunt neglijabile în comparaţie cu cele plastice, curba caracteristică poate fi schematizată printr-o singură linie dreaptă înclinată (Fig.9.2-2), de ecuaţie: ε⋅+σ=σ pc E 9.2-5 Un astfel de material este considerat rigid până la limita de curgere, iar apoi plastic. Aceste materiale sunt numite rigido-plastice. b) Dacă palierul de curgere are lungime mare, zona deformaţiilor plastice poate fi schematizată printr-o linie orizontală (Ep = 0), de ecuaţie (Fig.9.2-3): cσ=σ 9.2-6 Această diagramă este de tip Prandtl şi este destul de exactă în cazul oţelurilor cu un conţinut mic de carbon şi al aluminiului.

σc σc

σ σ

σ = σc

σ = E⋅ε

εεεc

β1

β0

σ = σc +Ep ⋅ ε

Fig.9.2-2 Fig.9.2-3

Diagrama de tip Prandtl contribuie la o mare simplificare a calculelor în acest domeniu. Diagrama corespunde materialelor care nu se ecruisează după depăşirea limitei de curgere, iar pentru calcule lungimea dreptei orizontale nu este limitată. Materialele care corespund unei astfel de schematizări sunt materiale ideal elasto - plastice. c) Sunt situaţii când deformaţiile elastice pot fi neglijate faţă de cele plastice. În acest caz diagrama caracteristică se poate schematiza printr-o

372


singură dreaptă orizontală (Fig.9.2-4), ce corespunde limitei de curgere. Un astfel de material este ideal plastic. După cum s-a mai afirmat, există materiale a căror comportare nu satisfac legea lui Hooke şi a căror curbă caracteristică este o curbă continuă începută încă din originea sistemului de coordonate, (Fig.9.2-5). Aceasta poate fi asimilată cu aproximaţie, cu o curbă continuă de ecuaţie:

n

n nσε σ ε E σ ε EE 0 0

0

= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ 9.2-7

unde: n şi E0 - constante care se determină astfel ca funcţia adoptată să reprezinte o curbă cât mai apropiată de cea reală, determinată experimental.

σ σ

σc σ = σc

σ1

σ2

ε1 ε2ε ε

Fig.9.2-4 Fig.9.2-5

Introducând în relaţia 9.2-7 perechile de valori (ε1, σ1) şi (ε2, σ2) rezultă valorile constantelor n şi E0:

1

2

1

2

log

logn

σσεε

= 9.2-8

1

n1

0Eεσ

= 9.2-9

373


Aceste relaţii, cu referire la starea liniară de tensiune, între tensiunea normală şi alungire sunt valabile şi pentru starea de forfecare pură, adică între tensiunea tangenţială şi lunecarea specifică.

9.3 CALCULUL ÎN DOMENIUL ELASTO - PLASTIC Calculele de rezistenţa materialelor presupun că materialul elementului calculat satisface în întregime legea lui Hooke, adică tensiunile sunt proporţionale cu deformaţiile specifice produse. De asemenea deformaţiile sunt considerate elastice şi tensiunile mai mici decât tensiunea corespunzătoare limitei de elasticitate a materialului. În practică se întâlnesc destule cazuri la care legea lui Hooke nu mai este valabilă, fie datorită depăşirii limitei de proporţionalitate a materialului prin solicitarea produsă, fie necomportării liniar elastice a acestuia. Din prima categorie fac parte unele procese tehnologice care produc deformaţii permanente mari, ca: forjarea, ambutisarea, laminarea, matriţarea etc. În aceste cazuri, deformaţiile plastice fiind mari în comparaţie cu cele elastice şi ruperea producându-se mult după depăşirea limitei de curgere, materialul trebuie să prezinte proprietăţi plastice foarte bune. Din cea de a doua categorie, fac parte acele materiale a căror curbă caracteristică la tracţiune, nu prezintă nici o porţiune rectilinie. La materialele cu comportare neliniară, principiul suprapunerii efectelor, valabil în domeniul elastic, nu mai poate fi aplicat odată cu depăşirea limitei de elasticitate. În cazul deformaţiilor plastice, atunci când limita de elasticitate este depăşită, starea finală de solicitare depinde de ordinea aplicării sarcinilor. La operaţiile tehnologice de laminare, forjare, matriţare etc., deformaţiile corpului sunt mari în comparaţie cu dimensiunile iniţiale ale acestuia şi ca urmare, nu mai poate fi aplicată nici ipoteza micilor deformaţii, atât de utilă în domeniul comportării liniar elastice. Şi în domeniul nevalabilităţii legii lui Hooke, se pot stabili relaţii de calcul pentru corpurile solicitate. Să presupunem că pentru un material dat, se cunoaşte diagrama tensiunilor reale obţinută pe cale experimentală în urma solicitării de întindere (Fig.9.3-1). Pentru ε > εc relaţia dintre tensiuni şi deformaţii specifice este complicată şi neliniară. Sub forma ei generală, această legătură poate fi exprimată printr-o relaţie de forma: ( )εΦ=σ 9.3-1 sau

374


ε⋅=σ 1E 9.3-2 unde β= tgE1 9.3-3 Coeficientul E1 numit modul de elasticitate echivalent are pentru fiecare punct al curbei caracteristice, o altă valoare.

B

DO

C

σ

σi

ε

εi

α β

Fig.9.3-1

Din Fig.9.3-1 rezultă că:

i

itgεσ

=β 9.3-4

de unde

( ) ( )εΨ=εεΦ

=1E 9.3-5

adică, E1 este o funcţie de deformaţie cunoscută, deoarece curba caracteristică este cunoscută. Astfel, pentru deformaţii mai mari decât cele corespunzătoare limitei de elasticitate, legea deformaţiilor poate fi exprimată prin relaţia: ε⋅=σ 1i E 9.3-6

375


Acceptând o analogie cu comportarea elastică a materialului peste limita de elasticitate, relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice pot fi scrise sub forma:

( mx1

mx 1E

ε−ε⋅ )ν+

=σ−σ 9.3-7a

( my1

my 1E

ε−ε⋅ )ν+

=σ−σ 9.3-7b

( mz1

mz 1E

ε−ε⋅ν+

=σ−σ ) 9.3-7c

zx1zxyz1yzxy1xy G;G;G γ⋅=τγ⋅=τγ⋅=τ 9.3-7d unde:

( )ν+⋅=

12E

G 11 - modul de elasticitate transversal echivalent 9.3-8

3zyx

m

σ+σ+σ=σ - tensiune medie 9.3-9

3zyx

m

ε+ε+ε=ε - alungire medie 9.3-10

iar

mm 21E

ε⋅ν−

=σ 9.3-11

Deoarece în domeniul deformaţiilor plastice, volumul materialului nu se modifică (V = ct.), se poate considera coeficientul lui Poisson, ν = 0,5, de unde:

3E

G 11 = 9.3-12

sau ţinând seama de relaţia (9.3-6), relaţia (9.3-12) devine:

376


i

i1 3

Gε⋅

σ= 9.3-13

Înlocuind relaţia (9.3-13) în relaţiile (9.3-7), rezultă următoarea formă a relaţiilor dintre tensiuni şi deformaţii specifice în domeniul deformaţiilor plastice:

( mxi

imx 3

2ε−ε⋅

ε⋅)σ⋅

=σ−σ 9.3-14a

( myi

imy 3

2ε−ε⋅

ε⋅)σ⋅

=σ−σ 9.3-14b

( )mzi

imz 3

2ε−ε⋅

ε⋅σ⋅

=σ−σ 9.3-14c

zxi

izxyz

i

iyzxy

i

ixy 3

;3

;3

γ⋅ε⋅

σ=τγ⋅

ε⋅σ

=τγ⋅ε⋅

σ=τ 9.3-14d

unde:

( ) ( ) ( ) ( )2zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yxi 6

22

τ+τ+τ⋅+σ−σ+σ−σ+σ−σ⋅=σ

( ) ( ) ( ) ( )2zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yxi 6

22

γ+γ+γ⋅+ε−ε+ε−ε+ε−ε⋅=ε

Dacă în Fig.9.3-1 porţiunea dreaptă iniţială a diagramei caracteristice se prelungeşte până la intersecţia cu verticala care trece prin punctul în care tensiunea este σi se poate scrie: 9.3-15 i iσ ε tgα BC= ⋅ − Segmentul BC depinde de εi şi în general creşte cu creşterea acestei deformaţii. Să presupunem că relaţia dintre segmentul BC şi εi nu este cunoscută: ( )iBC φ ε= 9.3-16

377


În acest caz, ştiind că E = tg α relaţia 9.3-15 poate fi scrisă astfel: ( )iii E εϕ−ε⋅=σ 9.3-17a sau,

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ε⋅εϕ

−⋅ε⋅=σi

iii E

1E 9.3-17b

Notând

( ) ( )i

i

i

Eεω=

ε⋅εϕ

relaţia 9.3-17b se poate scrie sub forma: ( )[ ]iii 1E εω−⋅ε⋅=σ 9.3-17c unde funcţia ω(εi) este definită astfel:

( )

( ) ( )ei

i

ii

eii

pentruE

pentru0

ε>εε⋅εϕ

=εω

ε<ε=εω

Comparând relaţia 9.3-17c cu relaţia 9.3-6, rezultă expresia pentru modulul de elasticitate echivalent:

( )[ ]( ω−⋅=⇒ )εω−⋅=

1EE1EE

1

i1 9.3-17d

La fel se poate deduce relaţia pentru modulul de elasticitate transversal echivalent G1: ( )ω−⋅= 1GG 1 9.3-17e Dacă curba caracteristică la tracţiune (Fig.9.3-1) se aproximează prin două linii drepte oblice (Fig.9.3-2), pentru εi > εe = εc rezultă: ( )i i cBC BD CM MD E ε ε ε tgβ E ε= − − = ⋅ − − ⋅ − ⋅ c 9.3-18

378


σi

σc

εi

εe

α

β

B

C

M

D

Fig.9.3-2

Notând E1 = tgβ (modul de întărire) şi λ = (E - E1 ) / E (parametrul întăririi), rezultă:

( )ci

i

εBC λ E ε φ εε

1⎛ ⎞

= ⋅ − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

i 9.3-19

sau ţinând seama de expresia lui ω(εi), rezultă:

( ) ci

i i

εBCω ε λE ε

1⎛ ⎞

= = ⋅ −⎜⋅ ⎝ ⎠ε ⎟ 9.3-20

Pentru cazul diagramei din Fig.9.3-2, relaţia 9.3-17a care exprimă valoarea tensiunii σi la o deformaţie momentană εi devine:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

−⋅λ−⋅ε⋅=σi

cii 11E 9.3-21

În acest caz funcţia ω(εi ), (relaţia 9.3-20) se defineşte astfel:

( )

( ) cii

ci

cii

pentru1

pentru0

ε>ε⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

−⋅λ=εω

ε<ε=εω

379


Pentru anumite materiale, funcţia Φ(εi) poate fi aproximată uneori cu ajutorul unei relaţii de forma:

m

c

ici ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

⋅σ=σ 9.3-22

unde,

0 < m < 1.

O curbă caracteristică exprimată prin relaţia 9.3-22 arată ca cea din Figura 9.3-3. Pentru m = 1, materialul are o comportare ideal elastică (valabilă legea lui Hooke) iar pentru m = 0, materialul are o comportare ideal plastică. Din cercetarea experimentală rezultă şi alte variante de diagrame caracteristice, exprimate prin alte forme ale funcţiei Φ(εi). Astfel, dacă în diagrama caracteristică se ţine seama de trecerea lină (curbilinie) de la prima porţiune rectilinie (elastică) la porţiunea a treia (rectilinie-porţiunea corespunzătoare întăririi), făcând racordarea porţiunilor amintite după o parabolă de gradul n (Fig.9.3-4), rezultă: σ σ

σc σc

σp

α

α1 α2

εp

εc

ε

Fig.9.3-3

ε

Fig.9.3-4

( ) ( ) ( )( )

nc i

i c c i n

c p

ε εσ σ E ε ε E E

ε ε1 2 1 1−

−= − ⋅ − − − ⋅

− 9.3-23

unde

380


12

12211 EE

EEn;tgE;tgE;tgE

−−

=α=α=α= 9.3-24

9.4 CRITERII DE PLASTICITATE Un criteriu de plasticitate exprimă o ipoteză cu privire la limita comportării elastice a unui element de rezistenţă sub orice combinaţie posibilă de tensiuni. S-a constatat că o presiune hidrostatică σm nu modifică starea unui corp în ceea ce priveşte comportarea sa plastică. Într-un punct sau într-un anumit domeniu, starea de tensiune este caracterizată prin tensiunile principale σ1 , σ2, σ3, care conduc la acelaşi comportament plastic. Rezultă atunci că un criteriu de plasticitate trebuie să fie exprimat printr-o funcţie de forma: ( 0,,f 133221 =σ−σσ−σσ−σ ) 9.4-1 Această funcţie rămâne invariabilă şi dacă tensiunile normale principale se înlocuiesc cu: m3m2m1 ;; σ+σσ+σσ+σ 9.4-2 Dacă σ1 > σ2 > σ3, funcţia 9.4-1 în forma ei cea mai simplă este: .ct31 =σ−σ 9.4-3 Criteriul de plasticitate, definit prin relaţia 9.4-3 este cunoscut sub numele de criteriul Tresca. După cum se observă, acest criteriu face abstracţie de tensiunea principală σ2. Huber şi von Mises, propun pentru criteriul de plasticitate o relaţie în care intervine şi tensiunea normală principală σ2, relaţie de forma: ( ) ( ) ( ) .ct2

132

322

21 =σ−σ+σ−σ+σ−σ 9.4-4 Pentru a se putea aplica relaţiile 9.4-3 şi 9.4-4, trebuie determinate constantele care intervin în aceste relaţii. În cazul solicitării simple de întindere,

381


când σ1 = σc ; σ2 = σ3 = 0 , rezultă că cele două constante sunt egale cu σc, respectiv 2σc

2.

Pentru solicitarea de răsucire, când σ1 = τc; σ2 = 0; σ3 = -τc constantele sunt egale cu 2τc , respectiv 6 τc

2 .

Rezultă că cele două criterii de plasticitate pot fi scrise sub forma: cc31 2 τ=σ=σ−σ 9.4-5a ( ) ( ) ( ) 2

c2c

213

232

221 62 τ=σ=σ−σ+σ−σ+σ−σ 9.4-5b

După cum se poate observa, între σc şi τc pentru cele două criterii se stabilesc următoarele relaţii:

criteriul Tresca

CCc 5,021

σ⋅=σ⋅=τ 9.4-6a

criteriul von Mises

CCc 577,033

σ⋅=σ⋅=τ 9.4-6b

Aceste relaţii nu conduc la acelaşi rezultat, între ele existând o mică diferenţă. Cercetările experimentale au arătat că în general, la metale, criteriul von Mises este mai apropiat de realitate.

9.5. SOLICITĂRI SIMPLE ÎN DOMENIUL ELASTO - PLASTIC

9.5.1 Tracţiunea sau compresiunea în domeniul elasto – plastic Fie o bară dreaptă de lungime L şi aria secţiunii transversale constantă A, solicitată de o forţă axială N. Tensiunea normală din secţiunea barei, este dată de relaţia cunoscută:

AN

=σ 9.5.1-1

382


Această valoare este valabilă chiar şi în domeniul elasto - plastic, deoarece este valabilă ipoteza lui Bernoulli. Alungirea ε se obţine din diagrama caracteristică a materialului pentru tensiunea normală σ, iar lungirea totală este Δ L = ε · L. Dacă se foloseşte o schematizare a curbei caracteristice prin două drepte (Fig.9.2-1), lungirea peste limita de curgere calculată cu relaţia 9.2-4, devine:

c cc c

p p

σ σ σ L N LL ε L σE E A

⎛ ⎞− ⋅ ⎛ ⎞Δ = + ⋅ = + − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ E 9.5.1-2

Dacă se neglijează deformaţia elastică (E → ∞), conform Fig.9.2-2, se obţine:

cp

N LL σA

⎛ ⎞E

Δ = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

9.5.1-3

iar dacă se neglijează modulul de elasticitate, (Ep → 0), conform Fig.9.2-4, lungirea plastică devine nedefinită, adică ea creşte dacă forţa aplicată ce corespunde limitei de curgere σc se menţine constantă. În cazul schematizării printr-o curbă continuă de ecuaţie 9.2-7, conform Fig.9.2-5, lungirea totală este:

n

no

N LlA E

⋅Δ =

⋅ 9.5.1-4

9.5.2 Încovoierea barelor drepte în domeniul elasto - plastic Se consideră o porţiune dintr-o bară dreaptă solicitată la încovoiere plană pură (Fig.9.5.2-1). Pentru simplificarea raţionamentului s-a ales o bară de secţiune dreptunghiulară, iar materialul barei admite o curbă caracteristică de compresiune identică cu cea de la tracţiune. Momentul încovoietor Mi aplicat barei are o valoare suficient de mare (Mi >σc ⋅ Wz ) pentru a produce în secţiune şi deformaţii plastice.

Şi în domeniul deformaţiilor plastice, fiind valabilă ipoteza lui Bernoulli, alungirea în lungul unei fibre situată la distanţa y de axa neutră, poate fi exprimată în funcţie de raza de curbură ρ a fibrei medii deformate:

383


MiMi

dϕ ρ

y

dA

ydy

A1

A2

dx ε dx

σ dAσ dA

Fig.9.5.2-1

ρ=ε

y 9.5.2-1

Acestor alungiri le corespund tensiuni normale orientate perpendicular pe secţiune. Relaţia dintre alungire şi tensiunea normală este impusă de curba caracteristică a materialului. Ţinând seama de relaţia 9.5.2-1, se obţine:

( )yf1⋅

ρ=σ 9.5.2-2

Relaţia 9.5.2-2, arată că tensiunile normale produse la încovoiere sunt repartizate faţă de axa neutră pe înălţimea secţiunii după o lege asemănătoare cu cea exprimată de curba caracteristică a materialului. Poziţia axei neutre se poate obţine din relaţia de echivalenţă a proiecţiilor efortului axial pe axa longitudinală a barei :

9.5.2-3 ∫ =⋅σ=A

0dAN

De asemenea, se poate scrie:

9.5.2-4 ∫ ⋅⋅σ=A

iz dAyM

384


Dacă se cunoaşte curba caracteristică a materialului şi forma secţiunii transversale a barei, integrala din relaţiile 9.5.2-3 şi 9.5.2-4 se poate calcula relativ uşor. Să considerăm acum că materialul barei este ideal elasto - plastic, adică un material a cărui diagramă caracteristică este ca cea din Fig.9.2-3 . Pentru σ < σc, materialul are o comportare elastică, iar când σ = σc materialul are proprietăţi ideal plastice. Se pot distinge mai multe stadii: Stadiul elastic se caracterizează printr-o variaţie liniară a tensiunilor normale

pe secţiune (Fig.9.5.2-2a). Tensiunea maximă se poate calcula cu relaţia:

z

izmax W

M=σ 9.5.2-5

b

y1

y1

Zonă solicitată elastic

Zonă solicitată plastic

yc

yc

y

σc σc σc

-σc -σc -σc

σ

-σmax

σmax

a) b) c) d)

Fig.9.5.2-2

Mi

h h1

y1

Stadiul elastic la limită, când tensiunea normală maximă atinge valoarea tensiunii de curgere σc (Fig.9.5.2-2b). Relaţia pentru tensiunea maximă, rămâne valabilă dar egală cu tensiunea de curgere (σmax = σc). În acest stadiu, momentul încovoietor capabil al secţiunii, este:

czic WM σ⋅= 9.5.2-6 Stadiul elasto - plastic, când secţiunea prezintă o zonă deformată elastic

(sâmbure elastic) în care tensiunea normală variază liniar şi două zone plastice în care tensiunea normală este constantă şi egală cu tensiunea de

385


curgere σc şi cu -σc în zona comprimată (Fig.9.5.2-2c). Relaţia lui Navier nu mai poate fi aplicată, iar axa neutră nu trece prin centrul de greutate, decât dacă ea este şi axă de simetrie a secţiunii. Zona plastică apare mai întâi în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră a secţiunii şi ea se deplasează spre axa neutră odată cu creşterea momentului încovoietor. Pentru o valoare a momentului încovoietor ML, toată secţiunea este deformată plastic (Fig.9.5.2-2d).

În stadiul elasto - plastic, când M ic< M i < ML, pe baza relaţiilor 9.2-1; 9.2-2; 9.2-3; 9.5.2-1, tensiunile normale se pot exprima astfel :

pentru zona elastică:

ccy

yyEσ⋅=

ρ⋅

=σ 9.5.2-7a

pentru zona plastică:

cσ=σ 9.5.2-7b

la separarea zonei elastice de cea plastică:

ρ⋅

=σ=σ cc

yE 9.5.2-8

de unde rezultă raza de curbură a fibrei medii deformate:

c

cyEσ⋅

=ρ 9.5.2-9

Ţinând seama de relaţiile 9.5.2-7a şi 9.5.2-7b, relaţia 9.5.2-3 se poate scrie astfel:

c c

c c

y y y

c c cy y yc

yσ dA σ dA σ dAy

1

1

0−

− −

− ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫ 9.5.2-10

sau:

c c

c c

y y yc

c cy y yc

σσ dA y dA σ dAy

1

1

0−

− −

− + ⋅ ⋅ + =∫ ∫ ∫

386


c c

c c

y yy

y y yc

dA dA y dAy

1

1

1 0− −

+ + ⋅∫ ∫ ∫ =

sp ip ec

A A Sy1 0− + + ⋅ =

9.5.2-11 ( )c sp ip ey A A S 0⋅ − + + = unde: Asp - aria suprafeţei superioare deformată plastic Aip - aria suprafeţei inferioare deformată plastic Se - momentul static faţă de axa neutră al zonei centrale deformată elastic. Dacă secţiunea este solicitată numai plastic (Se = 0), rezultă:

sp ipA A= 9.5.2-12 adică, aria suprafeţei întinse prin încovoiere este egală cu aria suprafeţei comprimate. Procedând analog, relaţia 9.5.2-4 devine:

c c

c c

y y y

i c c cy y yc

yM σ y dA σ y dA σ y dAy

1

1

0−

− −

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ≠∫ ∫ ∫ 9.5.2-13a

sau:

( )peci SWM +⋅σ= 9.5.2-13b unde:

c

c

y

eyc

W yy

21−

= ⋅ ⋅∫ dA

dA

- modulul de rezistenţă al zonei elastice, calculat

faţă de axa neutră

- suma valorilor absolute ale momentelor

statice ale zonelor plastice, calculate faţă de axa neutră.

c

c

y y

py y

S y dA y1

1

−

−

= − ⋅ + ⋅∫ ∫

387


Stadiul plastic, când întreaga secţiune se află deformată plastic. În acest caz, în zona întinsă, tensiunea normală σ este egală cu σc iar în zona comprimată, σ = -σc (Fig.9.5.2-2d).

Din relaţia 9.5.2-13, punând condiţia ca We = 0, rezultă: pcL SM ⋅σ= 9.5.2-14 În acest stadiu, secţiunea nu mai poate prelua nici o creştere de moment încovoietor, ea epuizându-şi întreaga sa capacitate de rezistenţă. Secţiunea lucrează ca o articulaţie (articulaţie plastică).

Aplicaţie. Să considerăm cazul barei drepte din figura de mai jos, de secţiune dreptunghiulară cu dimensiunile h şi b, solicitată la încovoiere.

h1 h

b

Zonă solicitată elastic

Zonă solicitată plastic

Rezolvare

Rezultă :

z eb hb hW ; W

221

6 6⋅⋅

= = 9.5.2-15a

( )

p c

b h hS ; h

2 21

1 24

⋅ −= y= ⋅ 9.5.2-15b

În cele trei stadii, momentele încovoietoare sunt:

stadiul elastic la limită:

388


ic max cb h b hM σ

2 2

6 6⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅σ 9.5.2-16

stadiul elasto-plastic:

( )i c

b h hb hM σ2 22

11

6 4

⎡ ⎤⋅ −⋅⎢ ⎥= ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

9.5.2-17

stadiul plastic:

Lb hM σ

2

4⋅

= ⋅ c 9.5.2-18

Se poate constata uşor că:

c

L

icc

b h σM ,b hM σ

2

264 1 54

6

⋅ ⋅= =

⋅⋅

= 9.5.2-19

sau, icL M5,1M ⋅= 9.5.2-20 adică, în cazul articulaţiei plastice se obţine un spor de capacitate de 50% faţă de cazul când tensiunea maximă este egală cu cea de curgere (σmax = σc ). 9.5.3 Tensiuni şi deformaţii remanente la încovoiere în domeniul elasto – plastic Se consideră stadiul elasto - plastic pentru o secţiune solicitată la încovoiere simplă (Fig.9.5.3-1a). Dacă se presupune că momentul încovoietor dat de relaţia 9.5.2-17 încetează să mai acţioneze asupra secţiunii, tensiunile nu vor mai tinde către zero. Din cauza depăşirii limitei de curgere a materialului, vor rămâne pe secţiune, tensiuni şi deformaţii diferite de zero. Aceste tensiuni şi deformaţii, se numesc tensiuni remanente respectiv, deformaţii remanente (sau permanente).

389


Este cunoscut faptul, că descărcarea unei epruvete solicitată la tracţiune peste limita de elasticitate, se realizează liniar cu un modul de elasticitate longitudinal E, egal cu cel de la încărcare, iar epruveta prezintă după descărcare o alungire remanentă ε0. Analiza fenomenului de încărcare şi descărcare, permite determinarea tensiunilor şi deformaţiilor remanente. La încărcarea grinzii peste limita de curgere este necesar un moment încovoietor Mi (Fig.9.5.3-1a): ( )peci SWM +⋅σ= 9.5.3-1 Peste această stare se aplică pentru descărcare, un moment egal şi de sens contrar, sub acţiunea căruia grinda se comportă elastic, producându-se tensiunea maximă σ0 (Fig.9.5.3-1b): z0i WM ⋅σ= 9.5.3-2

h h1

σ

σ

σ0

σ0

σc

σc σ1

σ1

σ2

σ2

yc=h1/2

yc=h1/2

a) b) c)

Fig.9.5.3-1

Egalând relaţiile 9.5.3-1 şi 9.5.3-2, rezultă: ( ) z0pec WSW σ=+⋅σ 9.5.3-3a de unde:

e p

c cz

W Sσ σ

W0 σ+

= ⋅ > 9.5.3-3b

390


Tensiunile remanente rezultă ca diferenţa dintre tensiunea produsă la încărcare şi cea produsă la descărcare. Astfel:

cz

pe0c1 W

SW1 σ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=σ−σ=σ 9.5.3-4a

e pc c

c cz

W Sy yσ σ σ σ σ σh h W2 0

2 21+⎛ ⎞⋅ ⋅

= − = − ⋅ = − ⋅ ⋅⎜⎝ ⎠

c⎟ 9.5.3-4b

Procedând asemănător şi utilizând relaţia 9.5.2-4 se poate determina şi raza de curbură remanentă. Raza de curbură pentru starea elasto - plastică este:

c

pc

E yρσ⋅

= 9.5.3-5

iar pentru starea elastică:

z

eiz

E IρM⋅

= 9.5.3-6

unde: EIz - rigiditatea grinzii la încovoiere în domeniul elastic. Raza de curbură remanentă se obţine prin diferenţa:

c z

r p ec i

E y E Iρ ρ ρσ M z

⋅ ⋅= − = − 9.5.3-7

Aplicaţie. Să se determine tensiunile remanente pentru cazul unei bare drepte de secţiune dreptunghiulară cu dimensiunile h şi b, solicitată la încovoiere peste limita de curgere. Înălţimea zonei solicitată elastic este h1 (vezi aplicaţia anterioară). Rezolvare Se determină:

391


( )

e p

b h hb hb hW ; W ; S ; h2 222

111 2

6 6 4⋅ −⋅⋅

= = = = cy⋅

Relaţia 9.5.3-4, conduce la:

c

211

2 hh

21

hh

231 σ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⋅−=σ

( )c

c

b h hb hσhσ σ

b h h

2 2211 2

11 2

6 41 12

6

⎡ ⎤⋅ −⋅⎢ ⎥+ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⋅ = − ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⋅ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

9.5.4 Răsucirea barelor drepte circulare în domeniul elasto - plastic Se consideră o bară dreaptă de secţiune circulară cu raza R, solicitată la răsucire, de momentul de torsiune Mt (Fig.9.5.4-1). Secţiunea transversală are o zonă solicitată elastic de rază a şi o zonă plastică de formă inelară de grosime R - a. În acest caz, distribuţia tensiunilor este prezentată în Fig.9.5.4-1a. În domeniul elastic tensiunea este liniară, iar în cel plastic, constantă, egală cu tensiunea de curgere, τc.

a a

R Rττc

r

Mt

τ1’

τ2’

Zona solicitată elastic

Zona solicitată plastic

a) b)

Fig.9.5.4-1

În zona elastică la distanţa r, tensiunea tangenţială τ se determină uşor:

392


cc

ar

arτ⋅=τ⇒

τ=

τ 9.5.4-1

În zona plastică:

cτ=τ 9.5.4-2 Această stare de solicitare este cauzată de acţiunea momentului de răsucire:

a R

t cA a

rM r τ dA r τ dA r τ dAa0

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ c 9.5.4-3

a

a R Rc

t c ca a

r dAτM r dA τ r dA τ r dAa a

2

2 0

0

⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫ ∫ ∫ 9.5.4-4a

unde:

a

p

r dAW

a

2

0⋅

=∫

- modulul de rezistenţă polar al zonei solicitată elastic

- momentul de inerţie polar al zonei solicitată elastic a

pr dA I2

0⋅ =∫

iar,

(R R R

a a a

πr dA r πr dr π r dr R a2 322 23⋅

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ −∫ ∫ ∫ )3 9.5.4-4b

Ţinând seama de relaţiile de mai sus, relaţia 9.5.4-4a devine:

( ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

π+⋅τ= 33

pct aR3

2WM ) 9.5.4-5a

sau:

( ) (ct c

π τπ a πM τ R a R a3

3 3 3 32 42 3 6

⎡ ⎤ ⋅⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ − = ⋅ −⎢ ⎥

⎣ ⎦) 9.5.4-5b

393


Când a = R (toată secţiunea este solicitată elastic), din relaţia 9.5.4-5b se obţine expresia momentului de răsucire pentru stadiul elastic la limită:

c

3

t 2RM τ⋅⋅π

= 9.5.4-6

iar pentru a = 0 (articulaţie plastică) se obţine:

c

3

tL 3R2M τ⋅⋅π

= 9.5.4-7

Făcând raportul MtL / Mt rezultă:

c

tL

tc

π R τM ,π RM τ

3

3

243 1 333

2

⋅⋅

= = =⋅

⋅ 9.5.4-8a

sau: ttL M33,1M ⋅= 9.5.4-8b Din relaţia 9.5.4-8b reiese că, la răsucire în domeniul plastic, capacitatea de rezistenţă a secţiunii circulare este cu 33% mai mare decât cea dată de metoda rezistenţelor admisibile.

9.5.5 Tensiuni remanente în cazul răsucirii barei drepte circulare în domeniul elasto - plastic

După încetarea acţiunii momentului de torsiune Mt (relaţia 9.5.4-5b) apar tensiuni tangenţiale remanente. Acestea se determină ca şi la solicitarea de încovoiere în domeniul elasto - plastic, având în vedere că descărcarea elastică este liniară. La distanţa r de centrul secţiunii, tensiunea tangenţială τ1 se determină cu relaţia cunoscută:

( )c

t c

p

π τ R aM τ a rτ r rπ RI R

3 3 3

1 4

46 4

32

⋅⋅ −

R⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

9.5.5-1

394


Tensiunea remanentă τre se obţine scăzând din tensiunea τ dată de relaţia 9.5.4-1, tensiunea τ1 dată de relaţia 9.5.5-1. Se obţine astfel:

în zona elastică (r < a):

c

4

1re ar

Ra

31

Ra

341 τ⋅⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⋅−=τ−τ=τ 9.5.5-2

în zona plastică (r > a):

c

43c

cre ar

Ra

31

Ra

341

Rr

Ra4

3τ⋅

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⋅−=⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

τ−τ=τ 9.5.5-3

Se poate constata că pe secţiune, tensiunea tangenţială remanentă variază

liniar (Fig.9.5.4-1b). Tensiunile tangenţiale remanente maxime, în valoare absolută sunt:

pentru r = R (la suprafaţa exterioară):

3Ra1 c

3'1

τ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=τ 9.5.5-4a

pentru r = a (la nivelul de separare a zonei elastice de cea plastică):

c

4'2 R

a31

Ra

341 τ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=τ 9.5.5-4b

9.5.6 Răsucirea simplă a unei bare drepte de secţiune transversală oarecare, în domeniul elasto - plastic

Din teoria răsucirii elastice a unei bare drepte de secţiune transversală oarecare, se ştie că singurele tensiuni diferite de zero sunt τxy şi τzx . Aceste tensiuni pot fi determinate astfel:

xy xzF Fτ ; τz y

∂ ∂= =∂ ∂ 9.5.6-1

395


unde: F - o funcţie constantă pe contur. În cazul secţiunilor dublu conexe, F = 0. Ţinând seama că:

2xz

2xy τ+τ=τ 9.5.6-2

condiţia de plasticitate τ = τc , devine:

cF F τz y

222⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9.5.6-3

Momentul de răsucire, pentru o secţiune transversală simplu conexă aflată într-o stare plastică, este:

( )t xy xzD D

F FM τ z τ y dz dy z y dy dzz y

⎛ ⎞∂ ∂= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫∫ ∫∫ =

( ) ( )D

z F y F F dy dzz y

2⎡ ⎤∂ ∂= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∫∫ =

( ) ( )

Dz dy y dz F F z, y dz dy2

Γ

= − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =∫ ∫∫

( ) ( )D

F z dy y dz F z, y dz dy2Γ

= − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫∫

( )tD

M F z, y dz2⇒ = ⋅ ⋅ ⋅∫∫ dy 9.5.6-4

La determinarea relaţiei 9.5.6-4 s-a considerat F = ct. = 0. Aşadar, din relaţia 9.5.6-4, rezultă că determinarea momentului de răsucire în cazul unei bare drepte de secţiune transversală simplu conexă, se reduce la determinarea dublului volumului cuprins între planul xOy şi suprafaţa z = F(z,y), unde funcţia F(z,y) satisface următoarele condiţii:

este nulă pe conturul secţiunii

396


suprafaţa x = F(z,y) are pantă constantă şi egală cu τc în raport cu planul zOy.

În practică se utilizează o altă funcţie Φ(z,y) nulă pe contur, în care suprafaţa x = Φ(z,y) are panta constantă, egală cu unitatea (generatoarele ei fac unghiuri de 450 cu planul zOy). În acest caz, momentul de răsucire corespunzător cazului când întreaga secţiune se află în stare plastică, se determină cu relaţia: V2M ct ⋅τ⋅= 9.5.6-5 unde: τc - limita de curgere V - domeniul cuprins între suprafaţa x = Φ(z,y) şi planul zOy. Cazuri particulare:

Cazul secţiunii dreptunghiulare (Fig.9.5.6-1a) Suprafaţa x = Φ(z,y) este dată de planele înclinate la 450 faţă de planul

zOy, având forma unui acoperiş. Muchiile de discontinuitate sunt în plan, drepte, egal distanţate de laturi: AE egal distanţată de AB şi AD ; DE egal distanţată de DA şi DC şi EF egal distanţată de AB şi CD. Volumul închis de această suprafaţă se poate descompune în volumul unei piramide cu baza un pătrat de latură b şi înălţime b/2 şi volumul unei prisme cu baza un triunghi isoscel cu baza b şi înălţimea b/2, înălţimea prismei fiind a - b. Rezultă atunci că:

( ) ( )12

ba3bba2bb

21

2bb

31V

22 −⋅

=−⋅⋅⋅−⋅⋅= 9.5.6-7

Momentul de torsiune capabil, determinat pe baza relaţiei 9.5.6-5 este:

( )

c

2

td 12ba3bM τ⋅

−⋅= 9.5.6-8

a a

ab R

A AB B

C CDD

E F E O

a) b) c)

Fig.9.5.6-1

397


Cazul când a = b (secţiune pătrată), Fig.9.5.6-1b, rezultă:

c

3

tp 3aM τ⋅= 9.5.6-9

Secţiune circulară (Fig.9.5.6-1c) Suprafaţa x = Φ(z,y) este un con cu baza un cerc de rază R şi înălţime R.

Rezultă:

3RRR

31V

32 ⋅π

=⋅π⋅= 9.5.6-10

iar:

tc c cM τ V π R τ3223

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ 9.5.6-11

După cum se poate constata, s-a regăsit relaţia 9.5.4-7.

9.6 Tubul cu perete gros supus la presiune interioară, în domeniul elasto - plastic Se consideră un tub cu pereţi groşi (Fig.9.6-1), supus la presiune interioară pi şi una exterioară pe cu pi > pe. Pentru Ri < r <R, materialul este solicitat plastic, iar pentru R < r < Re, materialul este solicitat elastic. Cele două zone sunt delimitate de dimensiunea R. Tubul fiind suficient de lung, se află într-o stare plană de deformaţie.

pe

pi

Re

Ri

R

Zona solicitată elastic

Zona solicitată plastic

Fig.9.6-1

398


Între deformaţiile specifice şi deplasări, există relaţiile cunoscute:

0;ru;

drdu

ztr =ε=ε=ε 9.6-1

Ecuaţia de echilibru a unui element detaşat din peretele tubului proiectată pe direcţie radială, este:

0rr

trr =σ−σ

+∂σ∂

9.6-2

Relaţiile 9.6-1 şi 9.6-2, sunt valabile atât în zona elastică, cât şi în cea plastică. În zona elastică, tensiunile normale sunt cele cunoscute:

( t1r21

1r 1

Eεν−ε⋅

ν−=σ ) 9.6-3a

( )r1t21

1t 1

Eεν−ε⋅

ν−=σ 9.6-3b

(z rν Eσ ε

ν1

11⋅

= ⋅ −−

)tε 9.6-3c

unde:

ν−

ν=ν

ν−=

1;

1EE 121 9.6-4

Înlocuind în 9.6-3 pe εr şi εt din relaţia 9.6-1, rezultă:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ν+⋅

ν−=σ

ru

drdu

1E

121

1r 9.6-5a

tE u duσ νν r d1

1211⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜− ⎝ r ⎟⎠

9.6-5b

zν E du uσ

ν dr r1

11⋅ ⎛ ⎞= ⋅ +⎜− ⎝

⎟⎠

9.6-5c

399


Înlocuind relaţiile 9.6-5 în 9.6-2, rezultă ecuaţia diferenţială de tip Euler:

0ur1

drdu

r1

drud

22

2

=⋅−⋅+ 9.6-6

care admite soluţia generală de forma:

rBrAu +⋅= 9.6-7

iar εr şi εt devin:

2r rBA

drdu

−==ε 9.6-8a

2t rBA

ru

+==ε 9.6-8b

unde, A şi B sunt constante de integrare. Constantele de integrare se determină punând condiţiile la limită. După determinarea constantelor de integrare (a se vedea tuburile cu pereţi groşi), expresiile tensiunilor normale sunt:

i i e e i e i er

e i e i

p R p R R R p pσR R R R r

2 2 2 2

2 2 2 2 2

⋅ − ⋅ ⋅ −= − ⋅

− − 9.6-9a

i i e e i e i et

e i e i

p R p R R R p pσR R R R r

2 2 2 2

2 2 2 2 2

⋅ − ⋅ ⋅ −= + ⋅

− − 9.6-10b

i i e e

ze i

p R p Rσ νR R

2 2

2 22 ⋅ − ⋅= ⋅

− 9.6-10c

Utilizând criteriul de plasticitate al lui Tresca, pentru σr şi σt (σz se neglijează, fiind mic) crt σ=σ−σ 9.6-11 relaţia 9.6-2, devine:

400


0rdr

d cr =σ

−σ

9.6-12

de unde după integrare se obţine: Crlncr +⋅σ=σ 9.6-13 Constanta de integrare C se determină punând condiţia:

pentru r = Ri, σr = - pi. Deci:

ii c i c i i c

Rp σ ln r p σ ln R p σ lnr

⎛ ⎞− = ⋅ − − ⋅ = − + ⋅⎜⎝

⎟⎠

9.6-14a

şi:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅σ+−=σ

rRln1p i

cit 9.6-14b

Pentru r = R trebuie ca σr = - pi , de unde rezultă condiţia:

i

i cRp p σ lnR

= + ⋅ 9.6-15

Ecuaţia 9.6-15 are două necunoscute: p şi R. Relaţia suplimentară rezultă din condiţia că, la limita dintre zona elastică şi cea plastică (r = R), tensiunile σr şi σt satisfac şi ele condiţia de plasticitate (relaţia 9.6-11). Înlocuind atunci în relaţia 9.6-11 pe r cu R şi apoi expresiile obţinute pentru σt şi σr în relaţia 9.6-11, rezultă:

( ) cei2i

2e

2e ppRR

R2 σ=−⋅

−⋅ 9.6-16

Din relaţiile 9.6-15 şi 9.6-16 se pot determina p şi R. Astfel, eliminând presiunea p, rezultă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅⋅σ=−

21

RR

21

RRlnpp 2

e

2

icei 9.1-17

401


de unde se determină R (cea care stabileşte mărimea zonei plastice). Odată determinat R, din relaţia 9.6-15 se determină presiunea la limita dintre zona elastică şi cea plastică. Având determinate p şi R, se pot determina tensiunile normale din cele două zone (relaţiile 9.6-10). Pe baza acestui caz general, se pot studia cazurile mai simple:

Tub supus numai la presiune interioară (pe = 0) Se obţin ecuaţiile:

i

i cRp p σ lnR

= + ⋅ 9.6-18a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−⋅σ=

i2e

2

ci RRln

RR

21

21p 9.6-18b

Tub supus numai la presiune exterioară (pi = 0) În acest caz, rezultă relaţiile:

i

cRp σ lnR

= ⋅ 9.6-19a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−⋅σ=−

i2e

2

ce RRln

RR

21

21p 9.6-19b

Când R = Re, întreaga secţiune este solicitată plastic. În acest caz, relaţiile 9.6-18 şi 9.6-19, devin:

Tub supus numai la presiune interioară:

ii c

e

Rp p σ lnR

= + ⋅ 9.6-20a

e

i ci

Rp σ lnR

= ⋅ 9.6-20b

Tub supus numai la presiune exterioară:

402


ic

e

Rp σ lnR

= ⋅ 9.6-21a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−⋅σ=−

i

e2e

2

ce RR

lnRR

21

21p 9.6-21b

Când R = Ri, întreaga secţiune este solicitată elastic. În acest caz, se regăsesc relaţiile cunoscute din calculul tuburilor cu pereţi groşi, în domeniul elastic. 9.7 Cedarea sistemelor alcătuite din bare drepte, solicitate la încovoiere Studiul va fi făcut pentru solicitarea de încovoiere. Când într-un sistem static determinat, momentul încovoietor atinge valoarea ML (relaţia 9.5.2-14), sistemul şi-a epuizat capacitatea de rezistenţă. În acest moment s-a format prima articulaţie plastică. Din cauza deformaţiilor foarte mari ale sistemului static determinat, epuizarea capacităţii de rezistenţă apare la o valoare Mic < ML. Pentru o grindă simplu rezemată (Fig.9.7-1) în starea elastică de solicitare, momentul încovoietor maxim este în dreptul sarcinii concentrate F şi are valoarea: F

L/2 L/2

F· L / 4

F

Mc

a)

b)

Fig.9.7-1

imaxF LM4⋅

=

403


Când acest moment atinge valoarea Mic grinda cedează, ea transformându-se într-un mecanism. Sarcina F la care are loc cedarea, rezultă din egalitatea: icmaxi MM = adică:

icF LM4⋅

= 9.7-1

de unde rezultă:

icMF

L4 ⋅

= 9.7-2

iar sarcina admisă este:

cFFa = 9.7-3

unde: c - coeficient de siguranţă.

Sistemele static nedeterminate, nu-şi epuizează capacitatea de rezistenţă în momentul în care s-a format prima articulaţie plastică, ci când se formează atâtea articulaţii plastice, încât sistemul să devină un mecanism. Astfel, pentru sistemul din Fig.9.7-2a (pentru o deschidere de margine) sunt necesare două articulaţii plastice, iar pentru cazul din Fig.9.7-2b (deschidere centrală), sunt necesare trei articulaţii plastice, pentru ca sistemul să se transforme în mecanism. F1

F2

a)

b)

Fig.9.7-2

404


Aplicaţie. Să considerăm acum un sistem static nedeterminat, alcătuit dintr-o grindă continuă cu două deschideri egale, solicitată de o forţă concentrată F (Fig.9.7-3a).

F

0 1 2 3

L/2 L/2 L

Mi1=13 F L / 64

Mi2= -3 F L / 32

ΔF

ΔMi2= - ΔF·L / 2

a)

b)

Fig.9.7-3

După ridicarea nedeterminării statice, în secţiunile 1 şi 2 acţionează momentele încovoietoare:

i iF L F LM ; M1 2

13 364 32⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = 9.7-4

cu

2i1i MM > Rezultă de aici, că prima articulaţie plastică se va forma în secţiunea 1. Forţa F care produce această articulaţie plastică se determină din relaţia cunoscută: ic1i MM = 9.7-5 Deci:

405


icF LM 13

64⋅ ⋅

= 9.7-6

de unde:

icMFL

6413⋅

=⋅ 9.7-7

La această valoare a sarcinii F, momentul încovoietor din secţiunea 2 este:

ici i

MLM ML2

643 632 13 13 c

⋅⋅= − ⋅ = − ⋅

⋅ 9.7-8

Considerând că forţa F creşte cu ΔF şi ţinând seama că secţiunea 1 şi-a epuizat capacitatea de rezistenţă, sistemul static nedeterminat sub acţiunea sarcinii suplimentare ΔF nu se va comporta ca o grindă continuă, ci ca o grindă cu o articulaţie plastică în dreptul secţiunii 1. Diagrama de momente pe noul sistem, este prezentată în Fig.9.7-2b. În acest caz, în secţiunea 2, apare evident un moment încovoietor suplimentar:

iF LM 2 2

Δ ⋅Δ = − 9.7-9

Situaţia aceasta se menţine până când în secţiunea 2 va apare o articulaţie plastică, adică până când Mi2 (relaţia 9.7-8) împreună cu ΔMi2 (relaţia 9.7-9) egalează în valoare absolută pe Mic, adică: ic2i2i MMM =Δ+ 9.7-10a sau:

ic icF LM6

13 2Δ ⋅

⋅ + = M 9.7-10b

Din relaţia 9.7-10b, rezultă:

icFL

1413

MΔ = ⋅⋅ 9.7-11

406


Se poate determina acum sarcina care solicită sistemul:

icr ic ic

MF F F M ML L

64 14 613 13

= +Δ = ⋅ + ⋅ = ⋅⋅ ⋅ L 9.7-12

Pe baza forţei Fr (relaţia 9.7-12) se determină forţa capabilă (admisă) pentru sistemul static nedeterminat:

icra

MFFc c L

6 ⋅= =

⋅ 9.7-13

unde: c - coeficient de siguranţă.

407

B I B L I O G R A F I E

1. BABEU T: Rezistenţa Materilelor, Lito. I.P. “T. V.” Timişoara, 1980 2. BEJAN M: Rezistenţa materialelor, Vol. 2, Ed. AGIR, Bucureşti, 2006 3. BELEAEV N. M: Rezistenţa Materialelor Vol. I-II, Ed. Tehnică, Bucureşti. 1956 4. BIA C, ILLE V, SOARE M,V: Rezistenţa Materialelor şi Teoria Elasticităţii, Ed.

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983 5. BUZDUGAN G: Rezistenţa Materialelor, Ed. Academiei R.S.R., Bucureşti, 1986 6. DEUTSCH I: Rezistenţa Materialelor, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979 7. DEUTSCH I, GOIA I, CURTU I, NEAMŢU T, SPERCHEZ F: Probleme de Rezistenţa

Materialelor, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983 8. DOBRE I: Curs de Rezistenţa Materialelor, Vol. 2, Lito I. P. “T. V”. Timişoara, 1980 9. DOBRE I, CRISTUINEA C: Tabele şi diagrame pentru calcule de rezistenţă. Lito I. P.

„T. V.” Timişoara, 1985 10. DUMITRU I, NEGUŢ N: Curs de Rezistenţa Materialelor, Lito I.P. “T.V.” Timişoara,

1984 11. DUMITRU I, FAUR N: Elemente de calcul şi aplicaţii în Rezistenţa materialelor, Ed.

POLITEHNICA, Timişoara, 1999 12. HAJDU I: Rezistenţa Materialelor, Lito I.P. “T.V.”, Timişoara, 1983 13. MOCANU D.R: Rezistenţa Materialelor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1980 14. ROSS C. T. F.: Advanced Applied Stress Analysis, Ed. Ellis Horwood Limited,

Chichester, England, 1987 15. TRIPA P: Etape şi modele de rezolvare a problemelor de rezistenţa materialelor, Vol. I,

Ed. MIRTON, Timişoara, 1998 16. TRIPA P: Etape şi modele de rezolvare a problemelor de rezistenţa materialelor, Vol II,

Ed. MIRTON, Timişoara, 1999 17. TRIPA P: Rezistenţa Materialelor, Vol. I, Editura MIRTON, Timişoara, 1999 18. TRIPA P., HLUŞCU M: Rezistenţa materialelor. Noţiuni fundamentale şi aplicaţii, Vol.

I, Ed. MIRTON, Timişoara, 2006 19. TRIPA P., HLUŞCU M: Rezistenţa materialelor. Noţiuni fundamentale şi aplicaţii, Vol.

II, Ed. MIRTON, Timişoara, 2007 20. VOINEA R, VOICULESCU D, SIMION F.P: Introducere în mecanica solidului cu

aplicaţii în inginerie, Ed. Academiei R.S.R., Bucureşti, 1989.

408

f = 1 δ F δki i - mec.upt.ro · inginer mecanic: solicitările compuse, calculul deplasrilor şi...

Documents

Transcript of f = 1 δ F δki i - mec.upt.ro · inginer mecanic: solicitările compuse, calculul deplasrilor şi...