Analisis Relativo Utilizando Algebra Compleja

MAURICIO BARRENO

19 de diciembre de 2013

La manivela AB esta girando en sentido horario a 2000rpm.

Realizar las Graficas:

r1vs23vs2

0.1. Posicion

~r1 = ~r2 + ~r3

Utilizando la notacion del Algebra Compleja.

r1ei1 = r2e

i2 + r3ei3

Pero: ei = cos() + isen()

Entonces:r1(cos(1) + isen(1)) = r2(cos(2) + isen(2)) + r3(cos(3) + isen(3))

pero : 1 = 0

r1 = r2(cos(2) + isen(2)) + r3(cos(3) + isen(3))

Igualando parte real e imaginaria:

Imaginaria:

0 = r2sen(2) + r3sen(3)

r3sen(3) = r2sen(2)

3 = sen1(r2

r3sen(2))

3(2) = sen1(r2

r3sen(2))

Real:

r1 = r2cos(2) + r3cos(3)

1

r1 = r2cos(2) + r3cos(sen1(r2

r3sen(2)))

r1 = r2cos(2) + r3cos(3(2))

0.2. Velocidad:

w2 = 209,74

2 = 0

dr1dt = Vp

r1ei1 = r2e

i2 + r3ei3

dr1dt e

i1 + r1ei1i1 =

dr2dt e

i2 + r2ei2i2 +

dr3dt e

i3 + r3ei3i3

Vp(cos 1 + i sin 1) = ir22(cos 2 + i sin 2) + ir33(cos 3 + i sin 3)

Vp = ir22 cos 2 r22 sin 2 + ir33 cos 3 r33 sin 3

Parte Real:

Vp = r22 sin 2 r33 sin 3

Parte Imaginaria:

0 = ir22 cos 2 + ir33 cos 3

3 = r22 cos 2r3 sin 3

3(2) = r22 cos 2r3 sin 3(3)

Reemplazando en la parte Real:

Vp = r22 sin 2 r3( r22 cos 2r3 sin 3(3)

) sin 3

Vp = r22[tan 3 cos 2 sin 2

Vp(2) = r22[tan 3(2) cos 2 sin 2]

2

0.3. Aceleracion

Desarrollo

vpej1 = r2e

j2jw2 + r3ej3jw3

Aplicando:d

dx(uvw) = uv

dw

dx+ uw

dv

dx+ vw

du

dx

Entonces tenemos:

apej1 = r2e

j2j2+r2ej2jw2(jw2)+e

j2jw2r2+r3e

j3j3+r3ej3jw3(jw3)+e

j3jw3r3

Sabemos que r2 = k r2 = 0 y r3 = k r3 = 0, entonces tenemos:

ap(cos1+jsen1) = j2r2(cos2+jsen2)r2w22(cos2+jsen2)+j3r3(cos3+jsen3)r3w23(cos3+jsen3)Sabemos que 1 = 0 y 2 = 0, entonces tenemos:

ap = r2w22cos2jr2w22sen2+jr33cos3r33sen3r3w23cos3jr3w23sen3Igualando parte real y parte imaginaria tenemos:

Parte imaginaria

0 = r2w22sen2 + r33cos3 r3w23sen3

3 =r2w

22sen2 + r3w

23sen3

r3cos3

3 =r2w

22sen2

r3cos3+r3w

23sen3

r3cos3

3 =r2w

22sen2

r3cos3+ w23tan3

Sabemos que sen3 = r2r3sen2, resolviendo esta ecuacion tenemos:

(

1 cos23)2 = (r2r3sen2)

2

1 cos23 = (r2r3sen2)

2

cos23 = 1 (r2r3sen2)

2

cos3 =

1 (r2

r3sen2)2

cos3 =

r23 (r2sen2)2

r3

tan3 =sen3cos3

tan3 =r2r3sen2

r23 (r2sen2)2r3

3

tan3 =r2sen2

r23 (r2sen2)2Ahora reemplazando en 3, tenemos:

3 =r2w

22sen2

r3

r23 (r2sen2)2

r3

+ w23r2sen2

r23 (r2sen2)2

3 =r2w

22sen2 w23r2sen2r23 (r2sen2)2

3 =(w22 w23)r2sen2r23 (r2sen2)2

Parte realap = r2w22cos2 r33sen3 r3w23cos3

ap = r2w22cos2r3((w22 w23)r2sen2r23 (r2sen2)2

)(r2r3sen2)r3w23(

r23 (r2sen2)2

r3)

ap = r2w22cos2 +(w22 w23)(r2sen2)2

r23 (r2sen2)2 w23

r23 (r2sen2)2

ap =r2w22cos2

r23 (r2sen2)2 + (w22 w23)(r2sen2)2 + w23(r2sen2)2 r23w23

r23 (r2sen2)2

ap =w22(r2sen2)

2 r2w22cos2r23 (r2sen2)2 r23w23

r23 (r2sen2)2

4