4INTEGRACIÓN COMPLEJA · Este resultado lo podemos interpretar de la siguiente forma. Si una...

Tema 4 Integración compleja. Curso 2019/20

4 INTEGRACIÓN COMPLEJA

En este Tema, estudiaremos el concepto de integral compleja.

4.1 Curvas y caminos.

De�nición 4.1. Una curva (o camino) en el plano complejo es una aplicación continua de una única

variable γ : [a, b] ⊂ R→ C dada por γ(t) = x(t)+ iy(t). A los valores γ(a) y γ(b) se les llama extremos

de la curva. Si γ(a) = γ(b), se dice que la curva es cerrada.

Fig. 1: Ejemplo de curva en C.

A medida que el parámetro t recorre el intervalo desde a hasta b, su imagen se va recorriendo la

curva de un extremo a otro. Este sentido de recorrido se llama orientación de la curva.

Habitualmente, se llama curva o camino a la imagen de la aplicación γ, es decir, al conjunto

C = γ([a, b]). En este caso, se dice que la curva C tiene como parametrización z = γ(t) (t ∈ [a, b]).

De�nición 4.2. Una curva C, no cerrada, se dice suave o regular, si existe su derivada γ′(t) y es

continua. Si la curva C es cerrada, además, hay que exigir que γ′(a) = γ′(b).

Una curva C es regular a trozos, si puede descomponerse en una cantidad �nita de curvas regulares.

Fig. 2: Ejemplo de curva en C regular a trozos.

Una curva C es simple cuando, a lo más, se corta a sí misma en los extremos.

Departamento de Análisis Matemático �1� Asignatura: Métodos Matemáticos I


Teorema 4.3. Si C es una curva simple regular de parametrización z = γ(t) = x(t)+ iy(t) (t ∈ [a, b]),

entonces la longitud de la curva C es

Long(C) =

∫ b

a

∣∣γ′(t)∣∣ dt =

∫ b

a

√x′(t)2 + y′(t)2 dt.

Este resultado coincide con el conocido para el caso de la longitud de un arco de una curva dada

en forma explícita por una función. En efecto, si f : [a, b]→ R, entonces la longitud del arco de curva

es ∫ b

a

√1 + f ′(x)2 dx,

pues dada una curva y = f(x), basta considerar su ecuación paramétrica de la forma γ(t) = (t, f(t)) =

t+ if(t).

Si la curva viene dada en coordenadas polares, r = f(t), con t ∈ (α, β), podemos considerar que la

ecuación paramétrica es γ(t) = (r(t) cos t, r(t) sen t) = r(t) cos t︸︷︷︸x(t)

+i r(t) sen t︸︷︷︸y(t)

, y teniendo en cuenta que

x′(t) = r′(t) cos t− r(t) sen t e y′(r) = r′(t) sen t+ r(t) cos t, tenemos que x′(t)2 + y′(t)2 = r(t)2 + r′(t)2,

por lo que la longitud del arco de curva en coordenadas polares viene dada por la integral

∫ β

α

√r(t)2 + r′(t)2 dt.

Una curva puede admitir diferentes parametrizaciones. Esto quiere decir que diferentes funciones

γ1, γ2 pueden tener la misma imagen y parametrizar la misma curva.

De�nición 4.4. Un arco γ2 : [c, d]→ C es una reparametrización de otro arco γ1 : [a, b]→ C cuando

exista una aplicación h : [c, d]→ [a, b] biyectiva y continua tal que γ2 = γ1 ◦ h.

Si h es creciente, entonces lleva el intervalo [c, d] en [a, b], es decir, mantiene la orientación de C

y ambas parametrizaciones recorren la curva en el mismo sentido. Por contra, si h es decreciente,

entonces lleva [c, d] en [b, a] y cambia la forma en la que se recorre C , es decir, invierte la orientación.

Por tanto, cada parametrización induce una orientación o sentido de recorrido sobre la curva

de forma natural (dada por el sentido del vector tangente). Para cada curva existen dos posibles

orientaciones. Siempre que hagamos referencia a una curva estaremos suponiendo que sobre ella se ha

elegido una orientación que hay que especi�car de alguna forma, así hablaremos de la circunferencia

de centro 0 y radio r recorrida en sentido antihorario, el segmento que va del punto P al punto P ′, etc.



246 Chapter 5 Integration in the Complex Plane

Curves Revisited Suppose the continuous real-valued functionsx = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b, are parametric equations of a curve C inthe complex plane. If we use these equations as the real and imaginary partsin z = x+ iy, we saw in Section 2.2 that we can describe the points z on C bymeans of a complex-valued function of a real variable t called a parametriza-tion of C:

z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b. (1)

For example, the parametric equations x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π,describe a unit circle centered at the origin. A parametrization of this circleis z(t) = cos t+ i sin t, or z(t) = eit, 0 ≤ t ≤ 2π. See (6)–(10) in Section 2.2.

The point z(a) = x(a) + iy(a) or A = (x(a), y(a)) is called the initialpoint of C and z(b) = x(b)+ iy(b) or B = (x(b), y(b)) is its terminal point.We also saw in Section 2.7 that z(t) = x(t) + iy(t) could also be interpretedas a two-dimensional vector function. Consequently, z(a) and z(b) can beinterpreted as position vectors. As t varies from t = a to t = b we canenvision the curve C being traced out by the moving arrowhead of z(t). SeeFigure 5.15.

y

z(a)

z(t)

z(b)

C

A

B

x

Figure 5.15 z(t) = x(t) + iy(t) as a

position vector

Contours The notions of curves in the complex plane that are smooth,piecewise smooth, simple, closed, and simple closed are easily formulated interms of the vector function (1). Suppose the derivative of (1) is z′(t) =x′(t) + iy′(t). We say a curve C in the complex plane is smooth if z′(t)is continuous and never zero in the interval a ≤ t ≤ b. As shown Figure5.16, since the vector z′(t) is not zero at any point P on C, the vector z′(t) istangent to C at P . In other words, a smooth curve has a continuously turningtangent; put yet another way, a smooth curve can have no sharp corners orcusps. See Figure 5.17. A piecewise smooth curve C has a continuouslyturning tangent, except possibly at the points where the component smoothcurves C1, C2, . . . , Cn are joined together. A curve C in the complex planeis said to be a simple if z(t1) �= z(t2) for t1 �= t2, except possibly for t = aand t = b. C is a closed curve if z(a) = z(b). C is a simple closed curveif z(t1) �= z(t2) for t1 �= t2 and z(a) = z(b). In complex analysis, a piecewisesmooth curve C is called a contour or path.

y

z′(t)

z(t) C

PTangent

x

Figure 5.16 z′(t) = x′(t) + iy′(t) as a

tangent vector

z(b)z(a)

C

Figure 5.17 Curve C is not smooth

since it has a cusp.

C

C

(a) Positive direction

(b) Positive direction

Figure 5.18 Interior of each curve is to

the left.

Just as we did in the preceding section, we define the positive directionon a contour C to be the direction on the curve corresponding to increasingvalues of the parameter t. It is also said that the curve C has positiveorientation. In the case of a simple closed curve C, the positive directionroughly corresponds to the counterclockwise direction or the direction thata person must walk on C in order to keep the interior of C to the left. Forexample, the circle z(t) = eit, 0 ≤ t ≤ 2π, has positive orientation. See Figure5.18. The negative direction on a contour C is the direction opposite thepositive direction. If C has an orientation, the opposite curve, that is, acurve with opposite orientation, is denoted by −C. On a simple closed curve,the negative direction corresponds to the clockwise direction.

Complex Integral An integral of a function f of a complex variable zthat is defined on a contour C is denoted by

∫Cf(z) dz and is called a complex

246 Chapter 5 Integration in the Complex Plane

Curves Revisited Suppose the continuous real-valued functionsx = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b, are parametric equations of a curve C inthe complex plane. If we use these equations as the real and imaginary partsin z = x+ iy, we saw in Section 2.2 that we can describe the points z on C bymeans of a complex-valued function of a real variable t called a parametriza-tion of C:

z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b. (1)

For example, the parametric equations x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π,describe a unit circle centered at the origin. A parametrization of this circleis z(t) = cos t+ i sin t, or z(t) = eit, 0 ≤ t ≤ 2π. See (6)–(10) in Section 2.2.

The point z(a) = x(a) + iy(a) or A = (x(a), y(a)) is called the initialpoint of C and z(b) = x(b)+ iy(b) or B = (x(b), y(b)) is its terminal point.We also saw in Section 2.7 that z(t) = x(t) + iy(t) could also be interpretedas a two-dimensional vector function. Consequently, z(a) and z(b) can beinterpreted as position vectors. As t varies from t = a to t = b we canenvision the curve C being traced out by the moving arrowhead of z(t). SeeFigure 5.15.

y

z(a)

z(t)

z(b)

C

A

B

x

Figure 5.15 z(t) = x(t) + iy(t) as a

position vector

Contours The notions of curves in the complex plane that are smooth,piecewise smooth, simple, closed, and simple closed are easily formulated interms of the vector function (1). Suppose the derivative of (1) is z′(t) =x′(t) + iy′(t). We say a curve C in the complex plane is smooth if z′(t)is continuous and never zero in the interval a ≤ t ≤ b. As shown Figure5.16, since the vector z′(t) is not zero at any point P on C, the vector z′(t) istangent to C at P . In other words, a smooth curve has a continuously turningtangent; put yet another way, a smooth curve can have no sharp corners orcusps. See Figure 5.17. A piecewise smooth curve C has a continuouslyturning tangent, except possibly at the points where the component smoothcurves C1, C2, . . . , Cn are joined together. A curve C in the complex planeis said to be a simple if z(t1) �= z(t2) for t1 �= t2, except possibly for t = aand t = b. C is a closed curve if z(a) = z(b). C is a simple closed curveif z(t1) �= z(t2) for t1 �= t2 and z(a) = z(b). In complex analysis, a piecewisesmooth curve C is called a contour or path.

y

z′(t)

z(t) C

PTangent

x

Figure 5.16 z′(t) = x′(t) + iy′(t) as a

tangent vector

z(b)z(a)

C

Figure 5.17 Curve C is not smooth

since it has a cusp.

C

C

(a) Positive direction

(b) Positive direction

Figure 5.18 Interior of each curve is to

the left.

Just as we did in the preceding section, we define the positive directionon a contour C to be the direction on the curve corresponding to increasingvalues of the parameter t. It is also said that the curve C has positiveorientation. In the case of a simple closed curve C, the positive directionroughly corresponds to the counterclockwise direction or the direction thata person must walk on C in order to keep the interior of C to the left. Forexample, the circle z(t) = eit, 0 ≤ t ≤ 2π, has positive orientation. See Figure5.18. The negative direction on a contour C is the direction opposite thepositive direction. If C has an orientation, the opposite curve, that is, acurve with opposite orientation, is denoted by −C. On a simple closed curve,the negative direction corresponds to the clockwise direction.

Complex Integral An integral of a function f of a complex variable zthat is defined on a contour C is denoted by

∫Cf(z) dz and is called a complex

Fig. 3: Ejemplo de una curva y su orientación.

Ejemplos 4.5.

1. Un arco de circunferencia centrado en el origen, de radio r y ángulos α y β es una curva regular

que se parametriza en sentido antihorario por γ(t) = reit, α ≤ t ≤ β.

2. Una circunferencia de centro z0 ∈ C y radio r es una curva cerrada que viene descrita (en sentido

antihorario) por las ecuaciones γ(t) = z0 + reit, 0 ≤ θ ≤ 2π (o −π ≤ t ≤ π).

3. Si z1, z2 ∈ C el segmento que va de z1 a z2 se parametriza por γ(t) = tz2+(1−t)z1 = z1+t(z2−z1),

0 ≤ t ≤ 1.

4. Las ecuaciones γ(t) =

t 0 ≤ t ≤ 1

1 + (t− 1)i 1 ≤ t ≤ 2

3− t+ i 2 ≤ t ≤ 3

(4− t)i 3 ≤ t ≤ 4,

de�nen el cuadrado unidad (recorrido en

sentido antihorario), que es una curva cerrada regular a trozos.

4.2 Integral de una función compleja

De�nición 4.6. Sea f(z) = u(z) + iv(z) una función de variable compleja continua de�nida sobre

un conjunto abierto D ⊂ C que contiene a la curva regular C parametrizada por γ(t) = x(t) + iy(t)

a ≤ t ≤ b.



La integral de f a lo largo de la curva C (parametrizada por γ) se de�ne como

∫

γf(z) dz =

∫ b

af(γ(t))γ′(t) dt

=

∫ b

a(u(γ(t)) + iv(γ(t)))(x′(t) + iy′(t)) dt

=

∫ b

a

(u(γ(t))x′(t)− v(γ(t))y′(t)

)dt+ i

∫ b

a

(u(γ(t))y′(t) + v(γ(t))x′(t)

)dt.

Por motivos que se verán más adelante, en muchas ocasiones escribiremos∫

Cf(z)dz.

Si la curva C es regular a trozos, entonces se pude descomponer en una cantidad �nita de curvas

regulares concatenadas, es decir, existe una partición del intervalo [a, b], {a = t0 < t1 < · · · < tN = b}tal que γ es derivable y continua en cada subintervalo [ti, ti+1], por lo que la de�nición anterior debe

entenderse como ∫

γf(z)dz =

N∑

j=1

∫ tj

tj−1

f(γ(t))γ′(t)dt.

Propiedades 4.7 (Propiedades de la integral compleja).

(a) La integral es lineal, es decir, para cada α, β ∈ C se tiene que∫

γ(αf(z) + βg(z))dz = α

∫

γf(z)dz + β

∫

γg(z)dz.

(b) Si L = long(γ) y m = maxz∈C |f(z)|, entonces∣∣∣∣∫

γf(z)dz

∣∣∣∣ ≤ m · L.

(c) Si γ1 y γ2 son dos parametrizaciones de una curva C, se tiene que

(i) Si conservan la orientación, entonces

∫

γ1

f(z)dz =

∫

γ2

f(z)dz.

(ii) Si invierten la orientación, entonces

∫

γ1

f(z)dz = −∫

γ2

f(z)dz.

Si C es una curva orientada, usualmente escribiremos −C para notar la misma curva pero orientada

en sentido contrario. La ultima propiedad nos dice que tiene sentido la notación∫C f(z)dz y que,

además,∫

Cf(z) dz = −

∫

−Cf(z) dz para toda función compleja continua de�nida en C.

Asimismo, si la curva C es cerrada, se usará el símbolo∮

Cf(z)dz para referirse a la integral.



4.2.1 Integrales en caminos

En muchas ocasiones, no tendremos una única curva regular (a trozos), sino una concatenación de

varias curvas. Es lo que vamos a denominar camino.

De�nición 4.8. Un camino Γ es una sucesión �nita de curvas orientadas γ1, γ2, . . . , γn de modo que el

punto �nal de una coincide con el punto inicial de la siguiente. Y denotaremos Γ = γ1 + γ2 + · · ·+ γn.

Así, por ejemplo, si Γ = γ1 + γ2 con γ1 : [a, b] → C y γ2 : [c, d] → C, una parametrización de Γ

sería la siguiente

Γ : [a, b+ d− c]→ C, Γ(t) =

γ1(t), si a ≤ t ≤ b.

γ2(t+ c− b), si b ≤ t ≤ b+ d+ c.

Podemos entender que un camino, en realidad, es una única curva regular a trozos. Pero en muchas

ocasiones (sobre todo en problemas) este acercamiento permite mayor versatilidad.

De�nición 4.9. Se de�ne la integral de una función f sobre el camino Γ como

∫

Γf(z) dz =

n∑

k=1

∫

γk

f(z) dz.

Como antes, si Ck es el la imagen de γk y C es la unión de las curvas, es decir, C = C1 ∪ · · · ∪Cn,también escribiremos ∫

Cf(z) dz =

n∑

k=1

∫

Ck

f(z) dz

para representar la integral de f sobre el camino Γ.

4.3 El Teorema de la primitiva

En esta sección veremos algunas condiciones equivalentes para que una función compleja posea primi-

tiva.

Lema 4.10. Sea γ : [a, b] → C una función derivable (es decir, Re(γ), Im(γ) : R → R derivables) y

f : C→ C derivable en γ(t). Entonces f ◦ γ : [a, b]→ C es derivable y, además,

(f ◦ γ)′(t) = f ′(γ(t))γ′(t).



Teorema 4.11 (Teorema Fundamental del Cálculo). Sea f : D ⊂ C → C una función holomorfa en

el abierto D (y con derivada continua en D). Sea C una curva regular a trozos con C ⊂ D orientada

de forma que va desde el punto za hasta zb. Entonces

∫

Cf ′(z)dz = f(zb)− f(za).

En particular, si C es un curva cerrada, entonces

∮

Cf ′(z)dz = 0.

Este resultado lo podemos interpretar de la siguiente forma. Si una función compleja posee primi-

tiva, entonces la integral no depende del camino, sino tan solo de sus extremos. El hecho de poseer

primitiva es fundamental y, de hecho, la independencia del camino caracteriza la existencia de primitiva.

Teorema 4.12 (Teorema de la Primitiva). Sea f : D → C continua sobre un dominio D ⊂ C. Son

equivalentes:

(a) f tiene primitiva en D.

(b) La integral de f entre dos puntos es independiente del camino.

(c) La integral a lo largo de cualquier curva cerrada contenida en D es nula.

4.4 El teorema de Cauchy

Sea ~F = ~F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) un campo de vectores planos de�nido sobre un abierto y conexo

D. Las componentes P = P (x, y) y Q = Q(x, y) se supondrán funciones continuas en la región D. Si

C es una curva orientada parametrizada por γ y contenida en D, la integral de línea del campo ~F a lo

largo de C, denotada por ∫

C

~F · ~τds =

∫

CP dx+Qdy

se de�ne por la fórmula∫

CP dx+Qdy =

∫ b

a(P (x(t), y(t))x′(t) +Q(x(t), y(t))y′(t)) dt.

Esta integral suele interpretarse como el trabajo realizado por el campo ~F para desplazar una partícula

a lo largo de la curva C.



Podemos expresar la integral de funciones de variable compleja que vimos en la De�nición 4.6 como

indicamos en el siguiente resultado, que nos será de utilidad para probar el Teorema de Cauchy.

Lema 4.13. Si f(z) = u(z) + iv(z) es una función compleja continua sobre un dominio D y C es una

curva contenida en D, entonces:

∫

Cf(z) dz =

∫

C(u dx− v dy) + i

∫

C(v dx+ u dy).

Observemos que en el lema anterior, la primera integral es una integral compleja, mientras que

las dos integrales del miembro derecho son integrales de línea de campos vectoriales de dos variables

reales.

Recordemos que, tal y como vimos en el Tema 1, un dominio D ⊂ C se dice simplemente conexo

cuando su complementario es conexo. Equivalentemente, si dada cualquier curva cerrada y simple

contenida en D, su interior (es decir, el subconjunto del plano al que rodea) queda completamente

contenido en D. Intuitivamente, un dominio es simplemente conexo si no tiene agujeros.

Antes de enunciar el Teorema de Cauchy, es necesario recordar un teorema de varias variables reales

que se usará en su demostración.

Teorema 4.14 (Teorema de Green). Sea A ⊂ R2 una abierto simplemente conexo con frontera C

regular a trozos y orientada en sentido antihorario (es decir, C se recorre de forma que la región A

queda siempre a la izquierda). Sean P,Q : A→ R de clase C1. Entonces

∫∫

A(Qx(x, y)− Py(x, y)) dxdy =

∮

CP (x, y)dx+Q(x, y)dy.

Ya estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Cauchy.

Teorema 4.15 (Teorema de Cauchy original). Sea f(z) una función analítica y con derivada continua

en un dominio D simplemente conexo y sea C una curva cerrada, simple, regular a trozos y contenida

en D. Entonces ∮

Cf(z) dz = 0.

Esta es la versión original del Teorema de Cauchy. Posteriormente Goursat consiguió eliminar

la hipótesis de la continuidad de la derivada partiendo de un triángulo, pasando a una poligonal y

�nalizando con una curva cerrada, simple y regular a trozos cualquiera.



Teorema 4.16 (Teorema de Cauchy-Goursat). Sea f(z) una función analítica en un dominio D

simplemente conexo y sea C una curva cerrada, simple regular a trozos contenida en D. Entonces∮

Cf(z) dz = 0.

Como consecuencia inmediata de este resultado la integral de cualquier función entera a lo largo

de cualquier curva cerrada, simple y regular a trozos es siempre nula. En particular,∮

{|z|=R}f(z)dz = 0

para todo R > 0 y toda función f ∈ H(C).

4.4.1 El principio de deformación

El Teorema de Cauchy que acabamos de ver es válido únicamente en dominios simplmente conexos.

Si f es una función analítica en un dominio que no es simplemente conexo (con algún agujero) D, no

podemos concluir que∮C f(z) dz = 0 para todo curva simple cerrada C contenida en D.

Sin embargo, sí que podemos tener fácilmente el siguiente resultado. Antes recordemos que un

dominio que no es simplemente conexo se denomina múltiplemente conexo. Como el complementario

de dicho dominio no es conexo, a cada componente conexa y acotada se la llama agujero del dominio.

Teorema 4.17 (Teorema de Cauchy-Goursat generalizado). Sea f(z) una función analítica en un

dominio D cualquiera (posiblemente múltimplemente conexo) y sea C una curva cerrada, simple regular

a trozos contenida en D homotópicamente equivalente a un punto, es decir, de forma que no rodee

ningún agujero de D. Entonces ∮

Cf(z) dz = 0.

Luego si la curva que elegimos no rodea a los agujeros de nuestro dominio, podemos seguir tra-

bajando como en el caso simplemente conexo. El problema viene cuando queremos integrar alrededor

de una curva que rodea a uno (o varios) de los posibles agujeros del dominio. En este caso, podemos

acudir a lo que se denomina Principio de deformación.

Supongamos que tenemos un recinto D que no es simplemente conexo como el de la �gura, f(z)

una función analítica en D y C una curva que rodea al agujero (ver Fig. 4). Sea C1 otra curva cerrada

simple y regular a trozos tal que C puede deformarse en C1 sin salirse del dominio D



Fig. 4: Dominio múltiplemente conexo y curvas rodeando a un agujero.

Damos el corte AB indicado en la �gura y consideramos el dominio (ahora simplemente conexo)

interior a C, exterior a C1 y cortado por el segmento [A,B]. El borde de dicho dominio es, precisamente

la curva Γ = C+AB−C1−AB. Por tanto por el Teorema de Cauchy se tiene que∮

Γ f(z)dz = 0. Pero

por la construcción de Γ, tenemos que∮

Γ f(z)dz =∮C f(z)dz +

∫ BA f(z)dz −

∮C1f(z)dz −

∫ BA f(z)dz y

se tiene que∮C f(z)dz =

∮C1f(z)dz.

En el caso general de una curva rodeando más de un agujero, el procedimiento anterior repetido

las veces necesarias, nos permitirá demostrar el siguiente resultado.

Teorema 4.18 (Teorema de Cauchy para recintos multiplemente conexos). Sea D un dominio simple-

mente conexo y f(z) una función analítica en D. Sean C, C1, . . . , Cn curvas cerradas simples regulares

a trozos con orientación positiva tales que para cada i = 1, . . . , n, la curva Ci es interior a C y rodea

un único agujero de D.

Supongamos, además, que los interiores de las curvas Ci son disjuntos entre sí. Entonces

∮

Cf(z) dz =

n∑

i=1

∮

Ci

f(z) dz.



Ejemplo 4.19. Sea z0 ∈ C, N ∈ Z y C una curva cualquiera que rodee a z0. Por el principio

de deformación, se tiene que∮

C(z − z0)N dz =

∮

Cr

(z − z0)N dz, donde Cr = {|z − z0| = r} es la

circunferencia de centro z0 y radio r. Ahora podemos parametrizar Cr por z = γ(t) = z0 + reit para

t ∈ [0, 2π], por lo tanto,

∮

C(z − z0)N dz =

∮

Cr

(z − z0)N dz =

∫ 2π

0

(reit)N · rieitdt =

∫ 2π

0i · rN+1ei(N+1)t︸︷︷︸

gN (t)

dt.

Ahora bien, si N = −1, entonces g−1(t) = 1, luego∫ 2π

0ig−1(t)dt =

∫ 2π

0idt = 2πi.

Por otro lado, si N 6= −1, entonces gN (t) = rN+1 (cos(Nt) + i sen(Nt)) y, entonces,

∫ 2π

0i · gN (t)dt = irN+1

(∫ 2π

0cos(Nt)dt+ i

∫ 2π

0sen(Nt)dt

)= 0.

En resumen,∮

C(z − z0)Ndz =

2πi si N = −1

0 si N 6= −1.

4.5 La Fórmula de la Integral de Cauchy

En esta sección veremos el resultado central del tema y que establece que una función analítica en

un dominio simplemente conexo, posee derivadas de todos los órdenes. Será una consecuencia de la

conocida como Fórmula de la Integral de Cauchy y que permite recuperar el valor de una función

analítica en un punto a través de la integral a lo largo de una curva cerrada que lo rodee.

Teorema 4.20 (Fórmula de la Integral de Cauchy). Sea f(z) una función analítica en un dominio

D simplemente conexo y sea C una curva cerrada, simple, regular a trozos y orientada en sentido

antihorario contenida en D. Si z0 es un punto en el interior de la curva C, entonces

f(z0) =1

2πi

∮

C

f(z)

z − z0dz.

Corolario 4.21 (Teorema de la Media Integral). Sea f(z) una función holomorfa en un domino D y

sea z0 ∈ D y r > 0 de forma que B(z0, r) ⊂ D. Entonces

f(z0) =1

2π

∫ 2π

0f(z0 + reit)dt.



Ejemplo 4.22. Vamos a calcular∮

C

z

z2 + 9dz, donde C es el círculo |z − 2i| = 4 positivamente

recorrido.

Es claro que z = ±3i son las raíces del denominador. Además, z = 3i es la única de ellas que está

en el interior de la circunferencia alrededor de la que vamos a integrar. Así pues, podemos escribir

z

z2 + 9=

zz+3i

z − 3i=

f(z)

z − 3i,

y concluimos que ∮

C

z

z2 + 9dz =

∮

C

f(z)

z − 3i= 2πif(3i) = πi.

Teorema 4.23 (Fórmula de la Integral de Cauchy para derivadas). Sea f(z) una función analítica en

un dominio D simplemente conexo y sea C una curva cerrada, simple, regular a trozos y orientada en

sentido antihorario contenida en D. Si z0 es un punto en el interior de la curva C y n ∈ N, entonces

existe la derivada n-ésima de f en z0 y, además, se cumple que

f (n)(z0) =n!

2πi

∮

C

f(z)

(z − z0)n+1dz.

Como corolario de este teorema obtenemos, posiblemente, el resultado más importante del tema.

Corolario 4.24. Sea f(z) una función holomorfa en un dominio simplemente conexo D. Entonces

f posee derivadas de todos los órdenes en todo punto z ∈ D y las derivadas f ′, f ′′, . . . son funciones

holomorfas en D.

4.5.1 Consecuencias del Teorema de Cauchy

En esta sección agruparemos algunas de las consecuencias más importantes (por diferentes motivos)

del Teorema de Cauchy y de las Fórmulas de la Integral de Cauchy.

Teorema 4.25 (Desigualdades de Cauchy). Sea f(z) una función analítica en un dominio D. Sea

z0 ∈ D y r > 0 de forma que B(z0, r) ⊂ D. Si M(r) = max{|f(z)| : |z − z0| = r}, entonces

|f (n)(z0)| ≤ n! ·M(r)

rn.

Teorema 4.26 (Teorema de Liouville). Toda función entera y acotada debe ser constante. Equivalen-

temente, si f ∈ H(C) y no es constante, entonces f no puede estar acotada.



Corolario 4.27 (Teorema Fundamental del Álgebra). Si p(z) es un polinomio no constante, entonces

existe z0 ∈ C tal que p(z0) = 0.

Finalizamos el tema con un resultado que puede entenderse como el recíproco del Teorema de

Cauchy, aunque no es preciso suponer la conexión simple de la región.

Teorema 4.28 (Teorema de Morera). Sea f(z) una función continua en un dominio D de forma que

∮

Cf(z) dz = 0

para toda curva cerrada y simple cuyo interior (y ella misma) esté contenido en D. Entonces f(z) es

analítica en D.


4INTEGRACIÓN COMPLEJA · Este resultado lo podemos interpretar de la siguiente forma. Si una...

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