Ej2-C Mov Relativo

CIV 202 Mecnica Racional - UTFSM Cap 2 Ejemplos Cinemtica de la Partcula V 2013 E2C-1

======== cotvcosvv oy

==== evv

============sin

vvsinvvv oox

yoxo ecotvevv ++++====

r

2

rct er

veveaeaa ======== &

CINEMATICA DE LA PARTICULA PRINCIPIOS DE MOVIMIENTO RELATIVO

EJEMPLO 1

Una partcula P se mueve a lo largo de una semi-circunferencia de radio R, la que est fija a un bloque rgido horizontal, como se muestra en la figura. Suponiendo que la componente de la velocidad en la direccin del dimetro AB es vo constante, determine, en funcin de , cul debiera ser el movimiento de la base para que la velocidad absoluta de P sea v1 en direccin vertical.

CINPART19- Adaptado de Prob. 469 Wittenbauer C1-06-1

SOLUCION

a) Movimiento de P con respecto a la base

Se estudia el movimiento de la partcula con respecto a la base suponiendo que esta ltima permanece fija. Se considera un sistema de coordenadas cartesianas x-y fijo a la base como se muestra en la figura.

Con respecto a la base, la partcula P describe un movimiento circular, y su velocidad v tiene la direccin tangente a la curva definida por e:

Conocida la componente x de la velocidad (vo constante), su magnitud v queda dada por:

La componente y de la velocidad es:

La velocidad de P con respecto a la base es

La aceleracin de P en movimiento circular con respecto a la base se puede determinar en trminos de sus componentes normal y tangencial:

P

r

A B

P r

A B x

y e er


====

================

====

====

3

2

o

oo

2

oo

sinr

cosvv

sinr

vvsinrxcosrx

sin

cosvv

sin

vv

&

&&&

&

&

====

==== r2

2

o

3

2

o esinr

ve

sinr

cosva

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]](((( ))))

y3

2

o

y

2

x2

2

o

yx2

2

oyx3

2

o

yxryx

esinr

v

esinsin

cosecoscos

sinr

v

esinecossinr

vecosesin

sinr

cosva

esinecoseecosesine

====

====

++++

++++

====

====++++

++++

====

++++====++++====

(((( )))) (((( ))))

y3

2

oyxxr2

2

or3

2

oP

yoyxoxo

P

esinr

vAeAe

sinr

vAe

sinr

cosvAaAa

ecotvVevVesin

vVvVv

++++====

++++

++++====++++====

++++++++++++====

++++====++++====

Pero:

La aceleracin relativa a la base es entonces:

En trminos de componentes cartesianas la aceleracin relativa de P es:

Ntese que la componente x de la aceleracin resulta nula, lo cual est conforme con los datos (componente horizontal de la velocidad es constante).

b) Movimiento absoluto de P

Sean vP y aP la velocidad y aceleracin absolutas de P. Suponiendo que la base slo se desplaza (no hay rotacin), con velocidad V y aceleracin A, se tiene:


(((( )))) (((( ))))

========

========

========++++========++++====

3

2

oy3

2

oyxp

o1y1oyoxoxy1P

sinr

vA0

sinr

vA,0A0a

cotvvVvcotvV,vV0vVevv

Imponiendo las condiciones del problema:

Estas son las componentes de la velocidad y aceleracin del bloque para que se cumpla la condicin dada.


EJEMPLO 2 (Ver Ej. 4 Coordenadas Cartesianas)

Se estudiar el sistema de la figura, que consiste en una partcula P fija al extremo de una cuerda inextensible de longitud llll, la que tiene el otro extremo fijo a un punto A en el borde de un disco rgido de radio R, el que permanece en todo instante en el plano vertical, pivoteado en su centro a un punto fijo O. El sistema es tal que todos los elementos se encuentran en todo instante en un plano vertical nico, y la cuerda permanece siempre en tensin.

SOLUCION POR PRINCIPIOS DE MOVIMIENTO RELATIVO

a) Caso antes que la cuerda se enrolle en torno al disco

Se elige un sistema de coordenadas cartesianas x-y-z, con origen O coincidente con el centro del disco, y orientado en tal forma que el plano x-y coincide con el plano en que se encuentra el sistema, quedando el eje z normal al plano.

Se elige un sistema relativo x-y-z con origen O coincidiendo con A y orientado segn ngulo como se muestra en figura, de tal manera que z coincide con z.

Se utilizan los mismos ngulos y descritos anteriormente, as como los vectores unitarios adicionales mostrados en la misma figura.

La posicin en S es:

P describe un movimiento circular de radio l l l l en S con velocidad y aceleracin dadas por:

El origen de S describe un movimiento circular en torno a O, con radio r, con las siguientes velocidad y aceleracin:

La velocidad angular de S es:

Se tiene entonces:

O r

x

y

A

P llll

x

y

x

y

e

ellll

O R

A

P

llll

O R

x

A

P llll

l

&l&&l

&l

ee'a

e'v

2========

'y'x esinecose'r ++++======== lll l

'zz ee ======== &&

'x

2

'y

'y

ererA

erV

========

&&&

&

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))l

l

l

&&&l&l

&l&&l

l&&&l

esinrecosr

eecosesinre

eeere'rxV'vv 'z'y

++++++++++++========++++++++++++====

====++++++++====++++++++====


Transformando a coordenadas absolutas segn:

Se tiene:

b) Caso parte de la cuerda est enrollada en torno al disco

Sistema x-y con origen O coincidiendo con punto de despegue de la cuerda, orientado segn se muestra en la figura.

Se usarn los vectores unitarios mostrados en la misma figura.

La posicin en S es:

La velocidad relativa es:

La velocidad del origen de S es:


(((( ))))(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] yxy

x

y

x

yxyx

yx

yx

ecosrcosesinrsinv

esinsinrcoscosr

ecossinrsincosrsinv

esinsinrcoscosr

ecossinrsincosrv

esinecossinrecosesincosrv

ecosesine

esinecose

esinrecosrv

++++++++++++++++++++++++++++========++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++++++========++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++++++====++++++++++++++++++++++++++++++++++++====

++++++++++++====++++++++++++====

++++++++++++====

&&&l&&&l

&&&&l

&&&&l

&&&&l

&&&&l

&&&&l

&&&l&l

l

l

O r

x

y

A

P

x

y s

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) yx

yx

ecosesine

esinecose

++++++++++++====++++++++++++====

l

'y'y e)r(es'r ======== l

'y'y er'vrsperoes'v ============ &l&

'ye)(rV ++++==== &&

'ze)( ++++==== &&


La velocidad absoluta es:

Transformando a coordenadas absolutas segn:

Se tiene:

Se verifica que los resultados obtenidos de ambas formas son los mismos

(((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))

(((( )))) 'y'x'x'y

'y'z'y'y

ere)r(

e)r(e)(rr

e)r(e)(e)(rer

'rxV'vv

++++++++====++++++++++++====

++++++++++++++++========++++++++====

&l&&

l&&&&&

l&&&&&

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) yx'y

yx'x

ecosesine

esinecose

++++++++++++====++++++++++++====

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] yxyxyx

'y'x

ecosrsin)r(esinrcos)r(

ecosesinresinecos)r(v

ere)r(v

++++++++++++++++++++++++++++++++++++====++++++++++++++++++++++++++++++++====

++++++++====

&l&&&l&&

&l&&

&l&&


(((( )))) 'v2'r'r'aAa'r'vVv

++++++++++++++++====

++++++++====

&

e

e

P

= A 2 z

z-z

y

x

y

x

EJEMPLO 3 (Ver Ej. 2 Coordenadas Curvilneas)

Una partcula P est obligada a moverse en un plano vertical, siguiendo una trayectoria definida por la curva = A2 (A cte.), como se muestra en la figura. Suponiendo que el plano rota en torno a al eje vertical con velocidad angular constante , y que la componente vertical de la velocidad de P con respecto al plano es vo constante, determine la velocidad y aceleracin absolutas de P.

CINPART20 - C1-06-1


Considrese un sistema S fijo al plano, tal que z es coincidente con z, x es horizontal en el plano (coincide con e), e y es horizontal normal al plano (coincide con e)

La relacin entre el sistema S y las coordenadas cilndricas usadas anteriormente est dada por

Las ecuaciones generales para la velocidad y aceleracin son:

El origen de S no se mueve respecto a O:


El movimiento de P en el sistema mvil est definido por:

P

= = = = A 2222

z'z'y'x eeeeee ============

0A0V ========

0ee 'zz ============ &

'x3

2

o'z'x

'zo'xo

'z'x

'z'x'z'x

ezA4

veze'a

evezA2

veze'v

ezeA

Zeze'r

====++++====

++++====++++====

++++====++++====

&&&&

&&

3

2

o

32

2

o

2

ooo

o

2

zA4

v

A4

v

A2

v,

zA2

v

A2

v

ctevA2zAz

====

====

========

====

============&

&&&

&&


Reemplazando en las ecuaciones generales:

Velocidad

Aceleracin

Se aprecia claramente que se obtiene los mismos resultados por ambos mtodos.

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

'yo

'x2

3

2o

'yo

'zo'xo

'z

'x2

'y'z

ezA

ve

Az

zA4v

a

ezA

veve

zA2v

e2'v2

eAz

eAz

e'r

0'r'r'v2'r'aAa

++++

++++====

====

++++====

========

====

++++++++++++++++====

&

&

'zo'y'xo

'y'z'x'z

eveA

ze

zA2

vv

eA

zeze

A

ze'r

'r'vVv

++++++++====

====

++++====

====++++++++====



Suponiendo que la Tierra rota solo en torno a un eje que pasa por los polos con velocidad angular constante, se determinar la velocidad y aceleracin absolutas de un mvil P que se desplaza con rapidez constante vo de Oeste a Este, a lo largo de un paralelo a latitud sur.


En la figura se muestra un esquema del sistema, incluyendo los siguientes sistemas de coordenadas:

S(x-y-z) es un sistema fijo con origen en el centro de la Tierra. z es vertical y corresponde al eje de rotacin de la Tierra. es la velocidad angular de la Tierra en torno al mencionado eje.

S(x-y-z) es un sistema fijo a la Tierra, que rota con la velocidad angular de la Tierra, con origen O coincidente con O. z coincide con z, x-y estn en el plano horizontal.

es la latitud, medida del Ecuador al Sur.

define la posicin angular de x con respecto a x

define la posicin angular de la proyeccin horizontal del radio de la posicin del mvil P con respecto a x

En la siguiente figura, a la izquierda, se muestra una vista del meridiano (plano vertical) que contiene a P en un instante dado. Se muestra la coordenada esfrica y los vectores unitarios er y e del mismo sistema. e es el vector unitario del sistema cilndrico. Si R es el radio de la Tierra, la distancia de P al eje vertical es R cos .

En la misma figura, a la derecha, aparece un corte horizontal por el paralelo que contiene a P. Se aprecia la coordenada y el vector unitario e del sistema de coordenadas esfricas.

x

x

y

y

z z

vo

R

P

Ecuador

e

z z

R

R cos

er

e

x

y

y

z z

vo

x

r

e

e

Ecuador

P


(((( )))) 'v2'r'r'aAa'r'vVv

++++++++++++++++====

++++++++====

&





Evaluando los trminos, se tiene:

0A0V ========

0ee 'zz ============ &

'y

2

o'x

2

o

2

o

'yo'xoo

'z'y'x'zr

esinr

vecos

r

ve

r

v'a

ecosvesinvev'v

esinResinrecosresinRecosReR'r

========

++++========++++============

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))'yo

2

2

o'xo

2

2

oo

2

2

o

'yo'xoo

'yo'xoo

'y

2

'x

22

'y'x

esinv2rr

vecosv2r

r

vev2r

r

va

ecosrvesinrvervv

esinv2ecosv2ev2'v2

esinrecosrer'r

0'r

ecosresinrerecosResinR'r

++++++++

++++++++====

++++++++====

++++++++++++====++++============

============

++++================

&


x

y

2R

O

z

p

R

P


El sistema de la figura consiste en un disco rgido horizontal, de radio 2R, que rota en torno al eje vertical que pasa por su centro. Un segundo disco, vertical, de radio R, se ubica en una ranura del primer disco, y rota en torno a su centro, unido por un pasador al primer disco. Una partcula P desliza a lo largo de una ranura radial en el disco vertical. Suponiendo que el disco horizontal rota con velocidad angular constante, que el disco vertical rota con velocidad angular p constante, y que la partcula se desplaza con rapidez vo constante a lo largo de la ranura, determine la velocidad y aceleracin absolutas de la partcula.


En la figura se muestra la partcula y el sistema de referencia x-y-z absoluto. El sistema tiene tres grados de libertad: la rotacin del disco horizontal, la rotacin del disco vertical y el movimiento lineal de P a lo largo de la ranura. La descripcin completa de la geometra aparece en el Ej. 3 Coordenadas Curvilneas.

Dadas las condiciones del sistema, es conveniente escoger un sistema relativo x-y-z fijo al disco menor, de tal forma que el plano x-y coincide con el plano del disco, el origen O coincide con el centro del disco, y x coincide con la ranura a lo largo de la cual se mueve la partcula. z es perpendicular entonces al disco y est en el plano de la plataforma horizontal.

Ecuaciones generales:

O describe un movimiento circular de radio R en torno a O, con velocidad angular constante. Se tiene entonces:

e

e

y

x

x

y

2R

O

z

p

R

P

z

r

(((( )))) 'v2'r'r'aAa'r'vVv

'rRr

++++++++++++++++====

++++++++====

++++====

&

============ eRAeRVeRR2


La velocidad y la aceleracin angular de S son:


En trminos de los vectores unitarios de S:

Para la velocidad:

Para la aceleracin:

0'aev'ver'r 'xo'x ============

(((( )))) (((( )))) 'y'z'x'zz eprecosrerepe'r ++++====++++====

[ ] 'z'y'xo'y'z'xo'z'y'z'xo

ecosrReprev

eprecosreveReprecosreveR

'r'vVv

++=++=++=

++=

'y'xz'z'y'x ecosesineeeesinecose ++++============

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( ))))

(((( ))))[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]

(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] 'zo'y2o'x22'zo

'y2

o2

'x2222

'yo'zo

'z'y2

'x222

'z2

esinrp2cosv2esincosrRpv2ecoscosrRrp

ecosv2sinprsinrp

esinRpv2cossinrecosRcospr

epv2ecosv2

esinprecossinrecospresinrpeR

'v2'r'r'aAa

++++++++++++++++++++++++++++====

++++++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++++++++++++++====

====++++++++++++++++====

&

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

[[[[ ]]]](((( )))) (((( )))) 'yo'zo'xo'zz

'z'x

'z'y

2

'x

222

'z'y'x

2

'x

2

'x

2

'z

2

'y'z'zz

epv2ecosv2evepe2'v2

esinrperep'r

esinprecossinrecospr

esinpresinecoscosrerp

erpesinprecosreprecosrepe'r

++++====++++============

++++++++++++====

====++++====

====++++====++++++++====

&

[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]] ====++++============++++====

epeepepepep

epe

'z'zz'z'z

'zz

&&


++++++++++++====++++==== e)sin(ee)cos(ee rz &&

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

[[[[ ]]]]

++++++++++++====++++++++====++++++++====

====++++++++++++============++++========

====++++========++++====

e)cos(ee)sin(e)sin(e)cos(ee)sin(ee)cos(

ee)sin(ee)cos(e0e

dtdqueyaeee

dtd

edtd

epero

Sencteequeyaeeedtd

eedtd

r

rr

r

'S'SS

zSSz

&&&&&

&&

&

&&&&&&&


El sistema de la figura consiste en un tubo rgido, de forma semi-circular de radio R, pivoteado en uno de sus extremos a un punto fijo O. El tubo se mueve en forma tal que en cualquier instante, todos sus puntos se encuentran en un plano vertical nico, el cual rota en torno al eje z con una velocidad angular constante . Al interior del tubo circula una partcula con una rapidez vo constante respecto al tubo. Se determinar la velocidad y la aceleracin absolutas de la partcula.


En la figura siguiente se muestra el sistema, indicando las cordenadas a usar (Ver Ejemplo 5 en Coordenadas Curvilneas). El sistema realativo x-y-z tiene origen coincidente con el sistema fijo X-Y-Z. z est dirigido segn los extremos del anillo. x se define en el plano del anillo, normal a z. y resulta entonces coincidente con la direccin .

Las ecuaciones generales para la velocidad y aceleracin son las siguientes:



Derivando, se tiene:

e

b R

R vo

z

x

y O

x

z

e

b R

R

er

e

z

O

vo

(((( )))) 'v2'r'r'aAa'r'vVv

++++++++++++++++====

++++++++====

&

0A0V ========


[[[[ ]]]]

++++====

++++========

====

esinecosr

v'a

ecosvesinvev'v

ecosr2'r

r

2

o

oroo

r

La posicion y movimiento en el sistema relativo es:

Evaluando los trminos, considerando los vectores en componentes esfricas, se tiene:

Resultado idntico al obtenido anteriormente por coordenadas esfricas.

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

++++++++++++++++====++++++++++++++++====

++++++++========++++++++++++====

++++++++====

er2vcose)sin(cosr2esinv

ecosr2e)sin(cosr2ecosvesinvv

ecosr2e)sin(cosr2

ecosr2e)sin(ee)cos('r

'r'vVv

oro

oro

rr

&

&

&

&

(((( ))))

(((( )))) [[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

++++++++++++

++++++++++++++++

++++

++++++++++++++++====

++++++++++++========++++++++++++++++====

++++++++========++++++++++++====

++++++++++++++++++++++++====

====++++++++++++++++++++++++++++====

====++++++++++++++++++++====

++++++++++++++++====

esinv)sin()cos(cosrcosrsinr2

v2

e)2cos(v)cos(cosr22

ev2)(sinr2r2r

vcosa

esinv2e)sin(sin)cos(cosv2ecosv2

ecosvesinve)sin(ee)cos(2'v2

ecosr2e)cos(cosr2

ecosr2e)cos(ee)sin('r

e)sin()cos(cosr2

e)cos(cosr2e)(sincosr2

e)sin()cos(cosr2

e)cos(cosr2e)(sincosr2cosr2

ecosr2e)sin(cosr2e)sin(ee)cos('r

'v2'r'r'aAa

o

2

2

o

o

ro

222

2

o

ooro

oror

rr

2

r

222

2

r

222

r

&&&

&

&&

&&

&

&&&

&&&&&

&&

&&

&&

&


EJEMPLO 7

En el sistema de la figura, un disco rgido de radio R est conectado en su centro a una barra de longitud llll normal a su plano. Suponiendo que el disco puede rotar libremente en torno a su eje, y que la barra est sostenida por un pivote fijo que slo le permite rotar en un plano nico, determine la velocidad y aceleracin absolutas de una partcula que se desplaza con rapidez constante vo a lo largo de una ranura radial en el disco.


En la figura se muestra un esquema del sistema con un los siguientes sistemas de referencia y de coordenadas:

S(x-y-z) es un sistema referencia fijo con origen en el pivote O, tal que z es vertical, y el plano y-z corresponde al plano del movimiento de la barra

S(x-y-z) es un sistema relativo con origen en el centro del disco, tal que y coincide con el eje del disco, x-z estn en el plano del disco, y x es horizontal.

es el ngulo entre el eje x y la ranura

es el ngulo entre la barra y el eje z

r es la distancia desde el centro del disco a lo largo de la ranura

O

llll

R

P

y llll

z

O

R

P

z

x

x y


(((( )))) 'v2'r'r'aAa'r'vVv

++++++++++++++++====

++++++++====

&

En las siguientes figuras se muestra el plano y-z que contiene la barra y una vista del plano del disco en el plano x-z


O describe un movimiento circular en torno al punto O con:

El movimiento de rotacin de S est definido por:

La posicion y movimiento en el sistema relativo se evala utilizando las ecuaciones de movimiento en cooordenadas polares:

x

z

P

er e

r y

llll

z

O

z

y x

y

'y

2

'z'z eeAeV ======== &l&&l&l

'x'xx eeee ================ &&&&&&&

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) 'zo2'xo2or

2

r

2

'zo'xoro

'z'xr

ecosv2rsinresinv2rcosr

ev2rerer2rerr'a

ecosrsinvesinrcosverev'v

esinrecosrer'r

++++++++++++++++========++++++++====++++++++====++++++++====++++====

++++========

&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&

&&&


(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) 'zo'y'xo'z'zo'y'xo

'y'z'x'x

ecosrsinvesinresinrcosvv

eecosrsinvesinresinrcosvv

esinresinrecosre'r

'r'vVv

++++++++++++====

++++++++++++========++++====

++++++++====

&&l&&

&l&&&

&&

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]

(((( ))))[[[[ ]]]] 'z2o2'yo

2

'xo

2

'yo'zo'xo'x

'y'z'x'x

'z

2

'y'x

esinrcosv2rsinr

ecosrsinv2sinresinv2rcosra

ecosrsinv2ecosrsinvesinrcosve2'v2

esinresinrecosre'r

esinresinre'r

'v2'r'r'aAa

++++++++++++++++++++++++++++====

++++====++++++++========++++====

========

++++++++++++++++====

&&&&&&&l

&&&l&&&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&

&

Evaluando los trminos para la velocidad se tiene:

Para la aceleracin:


'z'z ee ======== &&&&

EJEMPLO 8 (Ver Ej 4 Coordenadas Curvilneas)

El sistema de la figura consiste en un tubo de forma sinusoidal en un plano, el que se encuentra fijo a lo largo de una barra rgida, la que a su vez est pivoteada en un punto fijo O. Suponiendo que la barra permanece siempre en el plano horizontal y el tubo en un plano vertical, se estudiar el movimiento de una partcula P que se desplaza a lo largo del tubo de forma tal que la componente de la velocidad en la direccin de la barra es vo constante.

CINPAR 23 Cert. 1 -07-1


En la figura se muestra los sistemas de coordenadas cartesianas absolutas y relativas. Se define este ltimo de la siguiente manera: x coincide con la direccin de la barra y es normal a x en el plano horizontal z es vertical coincidente con z

Se incluye adems las coordenadas cilndricas utilizadas en la solucin anterior.

El sistema tiene dos grados de libertad: el movimiento de rotacin de la barra horizontal en torno al eje vertical que pasa por O, y el desplazamiento a lo largo del tubo.

El origen de S no se mueve respecto a O, :


x

y O

z

R 2h

llll

P

x

y O

z-z

R 2h

llll

P

z

x

y

0A0V ========


(((( ))))'zo'y'xo

'y'z'x'z

e'x2

sinvh2

e'xevv

e'xe'x2

cos1he'xe'r

'r'vVv

pipipipipipipipi++++++++====

====

pipipipi++++====

++++++++====

ll

&

&

l

&

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] 'z2o2

'yo'x

2

'yo'zo'xo'z

'y'z'x'z

'x

2

'y'z

e'x2

cosvh2

ev2'xe'xa

ev2e'x2

sinvh2

eve2'v2

e'xe'x2

cos1he'xe'r

e'xe'xe'r

'v2'r'r'aAa

pipipipi

pipipipi++++++++++++====

====

pipipipipipipipi++++====

====

pipipipi++++====

========

++++++++++++++++====

ll

&&&&

&

ll

&

&&

l

&&&

&&&

&

Segn los datos, la componente de la velocidad en la direccin de la barra es vo constante:

La coordenada z se relaciona con x' a travs de la ecuacin de la curva del tubo:

La posicin y el movimiento relativo quedan dados por:

Evaluando los trminos para la velocidad se tiene:

Para la aceleracin:

pipipipi

pipipipi====

pipipipi

pipipipi====

pipipipipipipipi====

pipipipipipipipi====

pipipipi====

ll&

ll&&

ll&

ll&

l

'x2cosvh

2'x

'x2cosvh

2'z

'x2sinv

h2'x

'x2sin

h2'z

'x2cos1h'z

2

o

2

o

2

o

'z

2

o

2

'z'x

'zo'xo'z'x

'z'x'z'x

e'x2

cosvh2

e'ze'x'a

e'x2

sinvh2

eve'ze'x'v

e'x2

cos1he'xe'ze'x'r

pipipipi

pipipipi====++++====

pipipipipipipipi++++====++++====

pipipipi++++====++++====

ll&&&&

ll&&

l

0'xv'x o ================ &&&&&&


EJEMPLO 9 (Ver Ej 5 Mov. en Coordenadas Cartesianas)

La barra rgida AB de longitud a de la figura se mueve sobre un plano horizontal fijo, de manera tal que el extermo A desliza a lo largo de la recta x, mientras que el extremo B se mueve siguiendo la trayectoria sinusoidal que se muestra. Determine las expresiones para la velocidad y aceleracin absolutas de una partcula P que se mueve a lo largo de la barra.

CINPAR25 Cert. 1 -08-1

SOLUCION

a) General

El sistema, obligado a moverse en un plano nico, tiene dos grados de libertad: Conocida la posicin del punto A, la posicin de B queda definida por la condicin de barra rgida y la restriccin

de permanecer sobre la curva sinusoidal. Se usar la coordenada xA para definir la posicin de la barra.

El segundo GL corresponde a la posicin de P sobre la barra, la cual queda completamente definida por la distancia s medida desde el extremo A.

En la figura se muestra un sistema S fijo a la barra, con x en la direccin de la barra.

Ecuaciones generales movimiento relativo:

x

y

llll

P b

A

B

b

y

x

P

A

B

xA

llll

s

y

x

(((( )))) 'v2'r'r'aAa'r'vVv

'rRr

++++++++++++++++====

++++++++====

++++====

&


Identificando trminos:

Se aprecia que la solucin es la misma obtenida anteriormente.

zz

yx'x'x'x'x

xAxAxA

ee

esinecosees'aes'ves'r

exAexVexR

========++++================

============

&&&&

&&&

&&&

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] y2x2Ayxyx

2xA

'y'x2

xA

'y'x2

'y'xxA

'xz'yz'xz'xxA

yxA

yxyxxA

'yyxxA'xz'xxA

ecoss2ssinssesins2scosssxecosesins2sesinecosssex

es2sessexes2esesesex

ese2eseeseesexa

ecosssinsesinscossxecosesinsesinecossex

esesinecossexeseesexv

&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&

&&&

&&&&&&

++++++++++++++++++++====

====++++++++++++++++++++====

++++++++++++====

++++++++++++====

++++++++++++++++====

++++++++++++====

++++++++++++++++====

====++++++++++++====++++++++====

====

====


EJEMPLO 10 (Ver Ej 7 Mov. en Coordenadas Curvilineas)

El sistema de la figura consiste en una partcula P, fija al extremo de una barra rgida de longitud llll, la que a su vez esta pivoteada al centro de un disco rgido de radio R, de forma tal que la barra siempre permanece en el plano del disco.

Suponiendo que el disco permanece vertical en todo instante, rotando con velocidad angular constante en torno a su dimetro vertical, y que la barra pivotea en torno al centro con rapidez angular p constante, como se muestra en la figura, se determinar las expresiones para la velocidad y aceleracin absolutas de la partcula P.

CINPAR26 Cert. 1 -08-1

SOLUCION

Dadas las condiciones del sistema, es conveniente escoger un sistema relativo x-y-z fijo al disco, como se muestra en la figura. El plano x-z coincide con el plano del disco. x coincide con el dimetro horizontal. z coincide con z. y es perpendicular al disco y est en el plano horizontal.

De esta forma, es el ngulo entre (-x) y x. es el ngulo entre la barra y (x).

En la figura se muestra adems los vectores unitarios r y .

Ecuaciones generales movimiento relativo:

Identificando trminos:

x

y

z

P

p

llll

(((( )))) 'v2'r'r'aAa'r'vVv

'rRr

++++++++++++++++====

++++++++====

++++====

&

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))0ee

esinecospepe'a

ecosesinpepe'v

esinecose'r

0A0V0R

'zz

'z'x2

r2

r2

'z'x

'z'xr

============++++============

++++============++++========

============

&

ll&l

ll&l

ll

x

y

z-z

P

p

llll

er

e

yP

xP

x

y


Para la velocidad:

Para la aceleracin:

Transformando al sistema S segn:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) 'yr'zr'z ecoseeee'r ============ lll(((( ))))

'z'y'x

'y'z'x'y

ecospecosesinp

ecosecosesinpecosepv

++++========++++========

lll

llll

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

z'z

yxyx'y

yxyx'x

ee

ecosesinecosesine

esinecosesinecose

====

====pipipipi++++pipipipi========pipipipi++++pipipipi====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

(((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]]

(((( ))))[[[[ ]]]] z2y22x

22

'z

2

'y'x

22

zyx

esinpecossinp2sincosp

esinsinp2coscospa

esinpesinp2ecospa

ecospecoscossinsinpesincoscossinpv

++++++++++++++++====

++++++++====

++++++++++++++++====

ll

l

lll

lll

(((( ))))(((( )))) 'z2'y'x22

'y'x

2

'z'x

2

'y'x

2

r

2

esinpesinp2ecosp

esinp2ecosesinecosp

esinp2ecosepa

++++++++========++++++++++++====

++++++++========

lll

lll

lll

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) 'y'z

'x

2

'y'z

2

'y'z

esinp2epe2'v2

0'r

ecoseecosecose'r

============

============

ll

&

lll


EJEMPLO 11 (Ver Ej 9 Mov. en Coordenadas Curvilineas)

En la figura se muestra un anillo de radio R, que rota en torno al eje vertical que pasa por su centro. En el interior de ste, se encuentra un tubo de largo 2llll, cuyos extremos se mueven libremente a lo largo del anillo gracias a unos pasadores ubicados en sus extremos. En el interior del tubo circula una partcula P, la cual se desplaza con rapidez vo constante como se indica en la figura. Se determinar expresiones para la velocidad y aceleracin absolutas de P.

CINPAR22 - C1-06-2

SOLUCION

En la figura se muestra las vistas en elevacin y en planta del sistema, la partcula y el sistema de coordenadas cartesianas absoluto (x-y-z), con z vertical coincidente con el eje del anillo. Considrese un sistema S fijo al anillo, con z coincidente con z, x horizontal y coincidente con el plano del anillo, e y horizontal, normal al plano del anillo. Se muestra tambin las coordenadas esfricas r, , . El sistema tiene tres grados de libertad, como se describe a continuacin:

El movimiento de rotacin del anillo en torno al eje vertical z, definido por el ngulo entre el plano vertical del anillo y eje x El movimiento de la barra al interior del anillo, definido por el ngulo entre radio posicin del centro de la barra y el plano horizontal El desplazamiento de la partcula a lo largo de la barra, definido por la distancia s entre el centro de la barra y la posicin de la partcula.

En la figura se muestra las vistas en elevacin y en planta del sistema, la partcula y los sistemas de coordenadas cartesianas absoluto (x-y-z) y relativo (x-y-z).

vo P

R

2llll

y

O

vo

er

s

z-z

llll

e

O

r

llll

R

R

b

x

x

y

x


Velocidad

Aceleracin

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]](((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]

(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]] (((( ))))

(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]] z'esinscosbcosvy'esinscosbx'ecosssinbsinvvy'esinscosbz'ecosssinbx'esinscosbz'e'r

z'e

z'esinscosbcosvx'ecosssinbsinv'vvspero

z'esinscosbcossx'ecosssinbsinsdt

'rd'v

z'ecosssinbx'esinscosb'r

0V

'r'vVv

oo

ooo

'S

++++++++++++++++++++====

====++++++++========

++++++++++++++++========

++++++++++++++++====

====

++++++++========

++++++++====

&&

&&&

&&&&

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]] (((( ))))

[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]][[[[ ]]]](((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( )))) (((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]]

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] z'esinscosbcosssinbsinv2y'ecosssinbsinv2sinscosb

x'esinscosbcosssinbsinscosbcosv2a

y'ecosssinbsinv2

z'esinscosbcosvx'ecosssinbsinvz'e2'v2

y'esinscosbz'ecosssinbx'esinscosbz'e'r

x'esinscosby'esinscosbz'e'r

z'esinscosbcosssinbsinv2

x'ecosssinbsinscosbcosv2dt

'vd'a

0A

'v2'r'r'aAa

2

o

o

22

o

o

oo

2

2

o

2

o

'S

++++++++++++++++++++

++++++++====

++++++++========++++++++++++++++====

====++++++++============

++++++++++++

++++++++++++++++====

====

====

++++++++++++++++====

&&&&

&&

&&&&

&

&&

&&&

&&&&

&&&&

&


EJEMPLO 12 (Ver Ej 7 Coord. Cartesianas y Ej 11 Coord. Curvilneas)

El sistema de la figura consiste en una partcula P fija al extermo de una barra extensible. El extremo opuesto A de la barra rueda sobre la trayectoria sinusoidal que se muestra en la figura. Suponiendo que la barra permanece en el plano de la trayectoria en todo instante, y que puede rotar en dicho plano, se determinar la velocidad y aceleracin absolutas de la partcula en funcin del tiempo, considerando que la componente horizontal de la velocidad de A es vo constante, que la barra rota con rapidez angular p constante, y que la rapidez de cambio de la longitud de la barra es m constante.

C1-09-1

SOLUCION

a) General

El sistema, obligado a moverse en un plano nico, tiene tres grados de libertad:

El movimiento del punto A a lo largo de la sinusoide. Dada la ecuacin de la trayectoria (sinusoide), se usar la coordenada xA para definir este movimiento.

El movimiento angular de la barra en el plano, definido por .

El movimiento de P en la direccin de la barra, definido por la coordenada r que mide la longitud de la barra.

x

y

llll

b

P

A r


'aAa

'vVv

++++====

++++====

====++++========

============

sinrpcosmp2acosrpsinmvsinr'y

cosrpsinmp2asinrpcosmvcosr'x

2

'y'y

2

'x'x

======== sinr'ycosr'x

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] y2Ax2yAxo

esinrpcosmp2yecosrpsinmp2'aAa

ecosrpsinmyesinrpcosmv'vVv

++++++++++++====++++====

++++++++++++++++====++++====

&&

&

b) Solucin mediante Principio de Movimiento Relativo - Alternativa 1

En la figura se muestra un sistema S con origen coincidente con el punto A.

Las expresiones del movimiento relativo, considerando que el sistema relativo no tiene movimiento de rotacin, son:

El movimiento del origen de S, que corresponde al punto A, queda definido por:

La posicin en el sistema relativo es:

La velocidad y aceleracin relativas se obtienen derivando en S:

Reemplazando se tiene las expresiones para la velocidad y la aceleracin absolutas:

x

y

llll

b

P

A r

x

y

xA

yAyAxA

yAxoyAxA

eyeyexA

eyeveyexV

&&&&&&

&&&

====++++====

++++====++++====


[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] y2A2ox2yAoxo

esinrpcosmp2xsinbvecosrpsinmp2a

ecosrpsinmxcosbvesinrpcosmvv

++++++++++++====

++++++++++++++++====

Reemplazando segn la curva de la trayectoria de A:

Suponiendo que el movimiento se inicia con condiciones iniciales homogneas:

Alternativa 2

Se define el sistema S fijo a la barra, con el mismo origen A que en el caso anterior:

El movimiento de S queda definido:

Ntese que el movimiento de A es el mismo del caso anterior. Sin embargo, en este caso S adems rota.

zyAyAxo e,eyA,eyevV ========++++==== &&&&

x

y

llll

b

P

A r

x

y

xA

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]ptsinrpptcosmp2tvsinbveptcosrpptsinmp2aeptcosrpptsinmtvcosbveptsinrpptcosmvv

pt,mtr,tvx

2

o

2

ox2

yooxo

oA

++++++++++++====

++++++++++++++++====

============

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))A2oA

AoAAAAA

xsinbvy

2,xcosvbxxcosbyxsinby

====

pipipipi================

&&

l&&


0'a,em'v,er'r 'x'x ============

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] y2Ax2'y'x

2yA

yAxo

'y'xyAxo

'y'xz

'x2

'yz

'y'xz

ecosmp2sinrpyesinmp2cosrp

emp2erpeya

ecosrpsinmyesinrpcosmv

eremeyev'r'vVv

em2eme2'v2

0'r

erere'r

erere'r

'v2'r'r'aAa

'r'vVv

++++++++====++++====

++++++++++++++++====++++++++++++====++++++++====

============

================

++++++++++++++++====

++++++++====

&&

&&

&

&&

&&

&

&&&

&&

&

El movimiento relativo es:

La velocidad y aceleracin absolutas son:

Resultados que son idnticos a los obtenidos anteriormente.


c) Verificacin resultados son idnticos

Proyectando las componentes polares de la velocidad y de la aceleracin obtenidas en el Ej. 11 Coord. Curvilneas en las direcciones de los ejes coordenados se tiene:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] OKyyxyxyyxxyyxxy

1xxyyx

1yyyxx

1cosasinaa

OKxyxx

xyyxyyyxxx1y

xyyx1x

yyxx1

sinacosaa

OKyyxy

xxyxyxxyyy1

xyyxxxxyyy1x

xyyx1y

xxyy1

cosvsinvv

OKxyxx

xyyxyxxyxy1

xyyxyxxyyx1y

xyyx1x

yyxx1

sinvcosvv

22

2

2y

22

2

2x

22

2

22

2

2y

22

2

22

2

2x

&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&

&&

&&&&

&&&&&&&&

&&

&&&&

&&&&&&&&

====++++

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====++++++++

====

++++

++++

====++++====

====++++

====

====++++

====

++++

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====++++

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++++

++++

====++++====

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====++++++++

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====++++

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++++

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Ej2-C Mov Relativo

Documents

Transcript of Ej2-C Mov Relativo