Übungsblatt 4 – Musterlösung · Matrix resultiert: A2 = c c c c c c c c c ∈R 9× Die rechte...

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MSE Mathe 4 SoSe 2019 Übungsblatt 4 – Musterlösung Aufgabe 1 (Diskretisierung von Advektions-Diffusionsgleichungen) Randwertprobleme der Form ǫu ′′ + βu =0, 0 <x< 1, u(0) = 0, u(1) = 1, β,ǫ> 0. (1) werden verwendet, um Prozesse der Diffusion und Advektion einer bestimmten Konzen- tration, die mit u identifiziert wird, zu beschreiben. Der Term ǫu ′′ ist verantwortlich für Diffusion, βu für die Advektion (oder Transport). Die analytische Lösung der Gleichung (1) lautet u(x)= exp β ε x 1 exp β ε 1 . (2) Wir definieren die globale Pécletzahl als: Pe gl = β 2ǫ . a) Diskutieren Sie das Verhalten der analytischen Lösung (2) für sehr kleine (Pe gl 1) und sehr große globale Pécletzahlen (Pe gl 1). b) Diskretisieren Sie das obige Randwertproblem mit dem Finite Differenzen-Verfahren und stellen Sie zu einer Gitterweite h =1/(n + 1) (n Anzahl innerer Knoten) das zugehörige Gleichungssystem für den Vektor u =(u 0 ,...,u n+1 ) T auf. Mit u i beze- ichnen wir die numerische Approximation am Gitterpunkt x i = h · i. Verwenden Sie zur Approximation der ersten Ableitung den symmetrischen Differenzenquotienten. c) Zeigen Sie, dass sich die numerische Approximation u i am Gitterpunkt x i darstellen lässt als u i = 1 1+Pe 1Pe i 1 1+Pe 1Pe n+1 ,i =0,...,n +1, wobei Pe = βh 2ǫ die lokale Pécletzahl bezeichnet. Hinweis: Verwenden Sie den Ansatz u i = A 1 ρ i 1 + A 2 ρ i 2 . Bestimmen Sie die Konstanten A 1 und A 2 aus den Randbedingungen. Diskutieren Sie das Verhalten der Lösung für verschiedene lokale Pécletzahlen, d.h. wenn Pe< 1 und Pe> 1. d) Wiederholen Sie Teilaufgabe b). Approximieren Sie die erste Ableitung nun aber durch einen geeigneten einseitigen Differenzenquotienten. Implementieren Sie die 1

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MSE Mathe 4SoSe 2019

Übungsblatt 4 – Musterlösung

Aufgabe 1 (Diskretisierung von Advektions-Diffusionsgleichungen)

Randwertprobleme der Form

−ǫu′′ + βu′ = 0, 0 < x < 1,

u(0) = 0, u(1) = 1, β, ǫ > 0.(1)

werden verwendet, um Prozesse der Diffusion und Advektion einer bestimmten Konzen-tration, die mit u identifiziert wird, zu beschreiben. Der Term −ǫu′′ ist verantwortlich fürDiffusion, βu′ für die Advektion (oder Transport). Die analytische Lösung der Gleichung(1) lautet

u(x) =exp

(

β

εx)

− 1

exp(

β

ε

)

− 1. (2)

Wir definieren die globale Pécletzahl als: Pegl = β

2ǫ.

a) Diskutieren Sie das Verhalten der analytischen Lösung (2) für sehr kleine (Pegl ≪ 1)und sehr große globale Pécletzahlen (Pegl ≫ 1).

b) Diskretisieren Sie das obige Randwertproblem mit dem Finite Differenzen-Verfahrenund stellen Sie zu einer Gitterweite h = 1/(n + 1) (n Anzahl innerer Knoten) daszugehörige Gleichungssystem für den Vektor u = (u0, . . . , un+1)

T auf. Mit ui beze-ichnen wir die numerische Approximation am Gitterpunkt xi = h · i. Verwenden Siezur Approximation der ersten Ableitung den symmetrischen Differenzenquotienten.

c) Zeigen Sie, dass sich die numerische Approximation ui am Gitterpunkt xi darstellenlässt als

ui =1−

(

1+Pe1−Pe

)i

1−(

1+Pe1−Pe

)n+1 , i = 0, . . . , n + 1,

wobei Pe = βh

2ǫdie lokale Pécletzahl bezeichnet.

Hinweis: Verwenden Sie den Ansatz

ui = A1ρi1 + A2ρ

i2.

Bestimmen Sie die Konstanten A1 und A2 aus den Randbedingungen. DiskutierenSie das Verhalten der Lösung für verschiedene lokale Pécletzahlen, d.h. wenn Pe < 1und Pe > 1.

d) Wiederholen Sie Teilaufgabe b). Approximieren Sie die erste Ableitung nun aberdurch einen geeigneten einseitigen Differenzenquotienten. Implementieren Sie die

1

Approximationsverfahren aus b) und c) in Matlab. Verwenden Sie die Parameterǫ = 8.0 · 10−4, β = 1 und plotten Sie die numerischen Lösungen für

h ∈

1

200,

1

400,

1

600,

1

800,

1

1000

.

Was beobachten Sie?Hinweis: Verwenden Sie die Matlab-Dateien, welche auf der Vorlesungshomepagezur Verfügung gestellt wurden und vervollständigen Sie diese.

Lösung 1 (Diskretisierung von Advektions-Diffusionsgleichungen)

a) Bekannt ist die Definition der Exponentialfunktion als Potenzreihe ex :=∑

n=0xn

n!.

Ist β

ǫ≪ 1, so können wir die Exponentialfunktionen um 0 bis zur ersten Ordnung

entwickeln und erhalten

u(x) =1 + β

ǫx + . . .− 1

1 + β

ǫ+ . . .− 1

≈β

ǫx

β

ǫ

= x.

Folglich ist die Lösung nahe der Lösung des Grenzproblems −ǫu′′ = 0, also dieGerade die die Randbedingungen interpoliert.Für große globale Pécletzahlen d.h. β

ǫ≫ 1, ist die Exponentialfunktion im Vergleich

zur 1 so groß, dass die folgende Näherung gilt:

u(x) ≈exp

(

β

ǫx)

exp(

β

ǫ

) = exp

[

−β

ǫ(1− x)

]

.

Die Lösung u ist fast überall gleich Null, mit Ausnahme einer kleinen Nachbarschaftdes Punktes x = 1, wo der Term 1− x sehr klein wird und die Lösung sich der Einsexponentiell nähert. Die Länge dieses Intervalls ist von der Größenordnung ǫ/β undist damit in diesem Falle sehr klein. Das folgende Bild zeigt die exakte Lösungfür ǫ = 0.1 und β ∈ 0.1, 1.1, 2.1, 3.1, 4.1. Wie erwartet nähert sich der Graphder Lösung u für größer werdendes β einer Exponentialfunktion mit einer großenSteigung in der Nähe von x = 1 an.

b) Diskretisiert man an einem inneren Gitterpunkt xi die erste Ableitung mit einemzentralen Differenzenquotienten und die zweite Ableitung mit dem üblichen Dif-ferenzenquotienten, so ergibt sich für die i-te Zeile des Gleichungssystems:

ǫ(−ui−1 + 2ui − ui+1

h2

)

+ β(

ui+1 − ui−1

2h

)

= 0, i = 1, . . . , n. (3)

Multiplikation von (3) mit h2/ǫ ergibt:

(Pe− 1) ui+1 + 2ui − (Pe + 1) ui−1 = 0, i = 1, . . . , n, (4)

wobei Pe = βh

2ǫ. Die (erweiterte) Matrix A sieht somit wie folgt aus:

A =

1 0 · · · · · · 0−(Pe + 1) 2 Pe− 1

. . . . . . . . .−(Pe + 1) 2 Pe− 1

0 · · · · · · 0 1

←1. Zeile

n Zeilen

←(n + 2). Zeile

(5)

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

u

Exakte Loesung

Abbildung 1: Exakte Lösung für ǫ = 0.1 und β ∈ 0.1, 1.1, 2.1, 3.1, 4.1.

Für die rechte Seite f = (f0, . . . , fn+1)⊤ des erweiterten linearen GleichungssystemsAu = f gilt

fi = 0, 0 ≤ i ≤ n, und fn+1 = 1.

c) Die Gleichung (4) entspricht einer Differenzengleichung. Setzt man den vorgegebe-nen Ansatz in diese Gleichung ein, so erhält man für die inneren Gitterpunkte:

A1

(

(Pe− 1) ρ21 + 2ρ1 − (Pe + 1)

)

ρi−11 + A2

(

(Pe− 1) ρ22 + 2ρ2 − (Pe + 1)

)

ρi−12 = 0.

Diese Gleichung ist erfüllt, falls ρ1 und ρ2 die charakteristische Gleichung

(Pe− 1) ρ2 + 2ρ− (Pe + 1) = 0

erfüllen. Es folgt:

ρ1,2 =−1±

√1 + Pe2 − 1

Pe− 1⇒

ρ1 = 1,

ρ2 = 1+Pe1−Pe

.

Aus den Randbedingungen ergibt sich für die Konstanten A1 und A2:

0 = u0 = A1ρ01 + A2ρ

02 ⇒ A2 = −A1

1 = un+1 = A1ρn+11 + A2ρ

n+12 ⇒ A1 =

1

1−(

1+Pe1−Pe

)n+1 ,

so dass sich die numerische Lösung an einem inneren Gitterpunkt xi wie folgt berech-nen lässt:

ui =

1−(

1 + Pe

1− Pe

)i

/

1−(

1 + Pe

1− Pe

)n+1

Für Pe > 1 ergeben sich in der numerischen Lösung Potenzen mit negativer Basis,die zu einer oszillierenden Lösung führen (siehe Abbildung 4). Das einfachste Mittelzur Unterdrückung der Oszillationen besteht darin, die Schrittweite h so klein zuwählen, dass Pe < 1 gilt. Dies ist in bestimmten Situationen nicht praktikabel,wenn z.B. β = 1 und ǫ = 5 · 10−5 gilt, müsste man h < 10−4 wählen. Dies ist vorallem für mehrdimensionale Probleme ineffizient.

3

Abbildung 2: Numerische Lösung für ǫ = 0.01, β = 1 und N = 31, 41, 49, 51, 61.

d) Diskretisiert man an einem inneren Gitterpunkt xi die erste Ableitung mit einemVorwärts-Differenzenquotienten und die zweite Ableitung mit dem üblichen Dif-ferenzenquotienten, so ergibt sich für die i-te Zeile des Gleichungssystems:

ǫ

h(−ui−1 + 2ui − ui+1) + β (ui+1 − ui) = 0, i = 1, . . . , n.

Benutzt man den Rückwärts-Differenzenquotienten für die erste Ableitung so erhältman:

ǫ

h(−ui−1 + 2ui − ui+1) + β (ui − ui−1) = 0, i = 1, . . . , n.

Für die rechte Seite f = (f0, . . . , fn+1)⊤ des erweiterten linearen GleichungssystemsAu = f gilt in beiden Fällen:

fi = 0, 0 ≤ i ≤ n, und fn+1 = 1

mit

A(0, i) =

1 für i = 0

0 für i 6= 0,und A(n + 1, i) =

1 für i = n + 1

0 für i 6= n + 1.

Mögliche Implementierungen in Matlab können wie folgt aussehen:

Listing 1: ZDQ_sol.m

1 function [ u ] = ZDQ(N,epsilon,beta)

2

3 A = zeros(N+2,N+2);

4 b = zeros(N+2,1);

5 h = 1/N;

6

7 P = beta*h/(2*epsilon);

8

9 for i=2:N+1

10 A(i,i) = 2;

11 A(i,i+1) = P-1;

4

12 A(i,i-1) = -(P+1);

13 end

14

15 A(1,:) = 0; A(1,1) = 1;

16 A(N+2,:) = 0; A(N+2,N+2) = 1;

17 b(N+2) = 1;

18

19 u = A\b;

20

21 end

Listing 2: VDQ_sol.m

1 function [ u ] = VDQ(N,epsilon,beta)

2

3 A = zeros(N+2,N+2);

4 b = zeros(N+2,1);

5 h = 1/N;

6

7 P = beta*h/epsilon;

8

9 for i=2:N+1

10 A(i,i) = 2-P;

11 A(i,i-1) = -1;

12 A(i,i+1) = P-1;

13 end

14

15 A(1,:) = 0; A(1,1) = 1;

16 A(N+2,:) = 0; A(N+2,N+2) = 1;

17 b(N+2) = 1;

18

19 u = A\b;

20

21 end

Listing 3: RDQ_sol.m

1 function [ u ] = RDQ(N,epsilon,beta)

2

3 A = zeros(N+2,N+2);

4 b = zeros(N+2,1);

5 h = 1/N;

6

7 P = beta*h/epsilon;

8

9 for i=2:N+1

10 A(i,i) = 2+P;

11 A(i,i+1) = -1;

12 A(i,i-1) = -(1+P);

13 end

14

5

15 A(1,:) = 0; A(1,1) = 1;

16 A(N+2,:) = 0; A(N+2,N+2) = 1;

17 b(N+2) = 1;

18

19 u = A\b;

20

21 end

Bei der numerischen Umsetzung der einseitigen Differenzen und der symmetrischenDifferenzen aus c) ergeben sich für ǫ = 8.0 · 10−4, β = 1 , die folgenden Beobach-tungen: Die Rückwärts-Differenzen liefern auf allen Gittern qualitativ sinnvolleApproximationen, während die zentralen oder symmetrischen Differenzen für h ∈

1200

, 1400

, 1600

Oszillationen aufweisen, da auf diesen Gittern die Stabilitätsbedin-gung aus c) nicht erfüllt ist. Die Vorwärts-Differenzen weisen auf allen GitternOszillationen auf und kehren teilweise außerdem die Transportrichtung um, da siefür die Approximation der ersten Ableitung stets Information aus der falschen Rich-tung nehmen.

Aufgabe 2 (Helmholtz-Reaktionsgleichung und Rechenzeit)

Wir betrachten in 2D die folgende partielle Differentialgleichung:

−∆u + cu = f in Ω = [0, 1]2,

u = 0 auf ∂Ω.

wobei c ∈ R ein Reaktionsparameter ist. Benutzen Sie im Folgenden für die Diskretisierungdes Laplace-Operators den 5-Punkte-Stern des Finite Differenzen–Verfahrens (siehe SkriptS. 59).

a) Stellen Sie für n = 3 innere Knoten pro Raumrichtung das lineare GleichungssystemAu = f explizit auf und geben Sie die Dimensionen von A, u und f an.

b) Stellen Sie das lineare Gleichungssystem für eine allgemeine Anzahl n innerer Knotenpro Raumrichtung und einem allgemeinen Reaktionsparameter c in Matlab auf.

c) Lösen Sie für f(x, y) ≡ 1 und c = 2 das System in Matlab mit dem Backslash-Operator für eine jeweils verschiedene Anzahl von Knoten n ∈ 101, 102, 103, 2 ·103, 3 · 103, 4 · 103, 5 · 103. Messen Sie zusätzlich die Rechenzeiten, visualisierenSie diese in einem logarithmischen Plot und folgern Sie daraus eine Aussage für dieOrdnung der Rechenzeit bzgl. der Anzahl der Knoten n.

Hinweis: Achten Sie darauf die Matrizen im sparse-Format anzulegen um zu verhindern,dass der Arbeitsspeicher voll läuft. Und selbst dann sollten Sie mit 8 GB RAM maximalbis zu 2 · 103 und mit 16 GB RAM maximal bis zu 3 · 103 gehen, um ein “Aufhängen” desPCs zu verhindern. Speichern Sie Ihre Arbeit sicherheitshalber dennoch davor!

Lösung 2 (Helmholtz-Reaktionsgleichung)

6

Abbildung 3: Numerische Lösung durch Vorwärts-Differenzen, Rückwärts-Differenzen undzentrale Differenzen (rechts) für h = 1/200.

a) Mit n = 3 inneren Knoten und dem 5-Punkte-Stern lautet die Diskretisierungsma-trix A1 von −∆u wie folgt:

A1 =1

1/42·

4 −1 −1−1 4 −1 −1

−1 4 −1−1 4 −1 −1

−1 −1 4 −1 −1−1 −1 4 −1

−1 4 −1−1 −1 4 −1

−1 −1 4

∈ R9×9

Die Diskretisierung des Reaktionsterms cu ist trivial, da u selbst und keine Ableitungvon u vorkommt. Man “approximiert” also direkt u(xi, yj) = uij was in der folgenden

7

Matrix resultiert:

A2 =

cc

cc

cc

cc

c

∈ R9×9

Die rechte Seite lautet wie gewohnt

R9 ∋ f = (f(zk))9

k=1,

wobei zk die lexikographische Nummerierung der Knoten darstellt.

Mit A = A1 + A2 erhält man also insgesamt das Gleichungssystem

Au = f

für u = (u1, . . . , u9)⊤ ∈ R9.

b) Siehe Matlab-Code.

c) Siehe Matlab-Code. Die Laufzeit des Programms verhält sich wie folgt:

10 1 10 2 10 310 -3

10 -2

10 -1

10 0

10 1

10 2

10 3Rechenzeit für Helmholtz-Reaktionsgleichung

Steigung 2

Rechenzeiten

Die Ordnung ist somit quadratisch, d.h., dass der Aufwand mit der Anzahl derKnoten quadratisch wächst.

8

Aufgabe 3 (Schachbrettordnung)

In dieser Aufgabe werden wir den Einfluss der Nummerierung der Punkte in der Diskreti-sierung des Gebiets analysieren. Betrachten Sie die Laplace-Gleichung auf dem Einheits-quadrat Ω = (0, 1)2 mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen

−∆u = 1 in Ω,

u(x, y) = 0 auf ∂Ω.(6)

Für die Diskretisierung des Gebiets verwenden wir ein uniformes Gitter mit Gitterweiteh = 1/(N + 1), wobei N die Anzahl innerer Knoten pro Raumrichtung bezeichnet. ZurApproximation des Laplace-Operators benutzen wir den 5-Punkte-Stern:

∆T (xi, yj) ≈T (xi+1, yj) + T (xi, yj+1)− 4T (xi, yj) + T (xi−1, yj) + T (xi, yj−1)

h2.

Man erhält somit ein lineares Gleichungssystem mit N2 Unbekannten. Die entsprechendeMatrix A ∈ R

N2×N2

ist dünn besetzt und ihre Struktur hängt von der Nummerierung derUnbekannten ab. Betrachten Sie nun anstatt der lexikographischen Anordnung, die wirbisher benutzt haben, die sogenannte Schachbrettordnung (vgl. Skript S. 61), siehe Bildunten.

Abbildung 4: Schachbrett-Anordnung für ein 5× 5 Gitter.

Diese Nummerierung ist wichtig, denn jeder Nebenpunkt eines roten Knotens ist ein blauerPunkt und umgekehrt. Das führt zu einer Matrix mit der Struktur

1

h2

(

D HHT D

)(

urot

ublau

)

=

(

frot

fblau

)

,

wobei D = 4I eine Diagonalmatrix der Dimension ⌈N2/2⌉ × ⌈N2/2⌉ und H eine Band-Matrix der gleichen Dimension mit 4 nicht-null Diagonalen ist. Bei Matrizen solcher Artsind direkte Löser schneller, da die Löser eine solche Struktur für einen Geschwindigkeits-vorteil nutzen können.

9

a) Erzeugen Sie in Matlab mit Hilfe des Befehls A = gallery(’poisson’,N) die klas-sische Poisson-Matrix A ∈ R

N2×N2

. Finden Sie einen Index-Vektor idxschach, derdie Zahlen von 1 bis N2 in einer für die Schachbrettordnung geeigneten Reihenfolgeenthält, so dass

C = A(idxschach, idxschach)

der Matrix zur Diskretisierung von (6) mit Schachbrett-Nummerierung entspricht.Überprüfen Sie das Ergebnis für N = 5 anhand von Abbildung 4 mittels des Befehlsfull.

b) Erstellen Sie mittels randperm einen Vektor idxrand der Länge N2, der die Zahlenvon 1 bis N2 in einer zufälligen Reihenfolge enthält. Damit entspricht

D = A(idxrand, idxrand)

einer zufälligen Nummerierung der Knoten. Geben Sie A und D für N = 5 mittelsfull aus.

c) Berechnen Sie mit Hilfe des Matlab-Befehls lu die LU -Zerlegung der MatrizenA = LAUA, C = LCUC und D = LDUD für N = 21. Plotten Sie mit spy dieBesetzungsstruktur der Originalmatrizen und der jeweiligen unteren Dreiecksma-trizen.Hinweis: Verwenden Sie für diese Matrizen kein full mehr!

d) Ermitteln Sie für jedes N = 3 + 4k, k = 0, . . . , 15, mit Hilfe von nnz die Anzahl derNicht-Null-Elemente von LA, LC und LD. Erstellen Sie einen Plot, der die Anzahlder Nicht-Null-Elemente jeweils in Abhängigkeit von N zeigt.

Lösung 3 (Schachbrettordnung)

Ein Skript für alle Aufgaben a)-d) kann auf der Webseite gefunden werden.

Die jeweiligen LU -Zerlegungen der obigen Matrizen haben die folgenden Strukturen:

10

0 5 10 15 20 25

nz = 105

0

5

10

15

20

25

Poisson-Matrix (lexikographische Ordnung)

0 5 10 15 20 25

nz = 105

0

5

10

15

20

25

Systemmatrix in Schachbrettordnung

0 5 10 15 20 25

nz = 105

0

5

10

15

20

25

Systemmatrix in Zufallsordnung

0 5 10 15 20 25

nz = 129

0

5

10

15

20

25

Untere Dreiecksmatrix der LU-Zerlegung von A

0 5 10 15 20 25

nz = 109

0

5

10

15

20

25

Untere Dreiecksmatrix der LU-Zerlegung von C

0 5 10 15 20 25

nz = 160

0

5

10

15

20

25

Untere Dreiecksmatrix der LU-Zerlegung von D

Die LU -Zerlegung der Matrizen A und C behält die dünnbesetzte Struktur der ur-sprünglichen Matrizen, wohingegen die LU -Zerlegung der Matrix D ihre Dünnbesetzt-heit verliert, was sich in einer höheren Laufzeit widerspiegelt. Insbesondere liefert dieSchachbrettnummerierung eine Matrix, deren LU -Zerlegung dünner besetzt ist als die derMatrix A. Dieser Effekt vergrößert sich mit steigendem N wie folgendes Bild zeigt:

10 1 10 2

Anzahl Knoten N 2

10 1

10 2

10 3

10 4

10 5

10 6

10 7Anzahl der Nicht-Null-Einträge der unteren Dreiecksmatrix aus der LU-Zerlegung

lexikographische Ord.

Schachbrettord.

Zufallsord.

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Aufgabe 4 (Shortley-Weller)

Um auf einem beliebigen Gebiet Ω ⊂ R2 die Randwertaufgabe

−∆u = f in Ω, u|∂Ω= g

mit dem Finite Differenzen–Verfahren zu diskretisieren, verwendet man Gitterpunktmen-gen der Form Ωh = (x, y) ∈ Ω |x/h, y/h ∈ Z. Die Randgitterpunktmenge ∂Ωh ist dieVereinigung von

∂Ωlh = (x− slh, y) ∈ ∂Ω | (x, y) ∈ Ωh, sl = sup s ∈]0, 1] | (x− sh, y) ∈ Ω ,

∂Ωrh = (x + srh, y) ∈ ∂Ω | (x, y) ∈ Ωh, sr = sup s ∈]0, 1] | (x + sh, y) ∈ Ω ,

∂Ωuh = (x, y − suh) ∈ ∂Ω | (x, y) ∈ Ωh, su = sup s ∈]0, 1] | (x, y − sh) ∈ Ω und

∂Ωoh = (x, y + soh) ∈ ∂Ω | (x, y) ∈ Ωh, so = sup s ∈]0, 1] | (x, y + sh) ∈ Ω .

Für die finiten Differenzen werden (x− slh, y), (x + srh, y), (x, y − suh) und (x, y + soh)als Nachbarpunkte von (x, y) verwendet. Leiten Sie damit das Differenzenschema von

Shortley und Weller (vgl. Skript S. 98/99, Thema der 8. Vorlesung) für −∆hu(x, y) her,welches für sl = sr = so = su = 1 mit dem Fünf–Punkte–Stern übereinstimmt.

Abbildung 5: Beispiel eines Gebiets mit krummem Rand.

Lösung 4 (Shortley-Weller)

Wir gehen zunächst von nur einer Dimension aus und betrachten die Nachbarn x − slh,x + srh des Punkts x. Es werden zuerst die ersten Ableitungen an den Zwischenstellenund mittels dieser dann die zweite Ableitung approximiert:

u(x+srh)−u(x)srh

− u(x)−u(x−slh)slh

12

(sl + sr) h=

2u(x + srh)

h2sr(sl + sr)+

2u(x− slh)

h2sl(sl + sr)− 2u(x)

h2slsr

In zwei Dimensionen erhalten wir an den randnahen Gitterpunkten (x, y) folglich dasDifferenzenschema

−∆hu(x, y) =1

h2

[ (

2

slsr

+2

sosu

)

u(x, y)− 2

sr(sl + sr)u(x + srh, y)

− 2

sl(sl + sr)u(x− slh, y)− 2

su(su + so)u(x, y − suh)

− 2

so(su + so)u(x, y + soh)

]

.

12

Im Fall sl = sr = so = su = 1 stimmt dieses Schema nun tatsächlich mit dem Fünf-Punkte-Stern überein. Falls der Differenzenstern am Rande des Gebiets stark verzerrt ist(d.h. si << 1, i ∈ o, u, l, r) droht am Rande des Gebiets ein Ordnungsverlust, d.h., derEinsatz des Finite Differenzen-Verfahrens ist für allgemeine Gebiete mit gekrümmten Rän-dern nicht empfehlenswert. Finite Elemente sind für derartige Probleme besser geeignet.

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