Aula 3 - Quant de Mov e Eq de Energia

5/10/2018 Aula 3 - Quant de Mov e Eq de Energia - slidepdf.com

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A EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE

MOVIMENTO LINEARA grandeza a ser diferenciada é a quantidade de movimento linear, m V.

Portanto nossa variável é B = m V, β = d B/ d m = V e a aplicação de TTR

fornece a relação de quantidade de movimento linear para um VCdeformável.

Aonde:

1. A grandeza V é a velocidade do fluido em relação a um referencial inercial(não acelerado).

2. O termo ΣF é a soma vetorial de todas as forças atuantes no VC material.



Para um VC fixo, a velocidade relativa Vr = V, é

*

Se o VC tem apenas entradas e saídas unidimensionais, a Eq. * se reduz á:

Esta Eq. estabelece que o vetor da força resultante sobre um VC fixo é igual àtaxa de variação da quantidade de movimento dentro do VC mais a soma

vetorial dos fluxos de quantidade de movimento de saída menos a somavetorial dos fluxos de entrada.



Força de pressão resultante sobre uma superfície de

controle fechada

Lembre-se que a força de pressão externa sobre uma superfície é

normal à superfície, no sentido para dentro. Sendo o vetor

unitário n definido no sentido para fora, uma maneira de escrever

a força de pressão é



Exemplo

Um jato de água a velocidade V j incide normalmente sobre uma placa plana que se

move para a direita à velocidade Vc, como mostra a Fig. Encontre a força necessária

para manter a placa movendo-se a uma velocidade constante, se a massa específica

da água é 1000 kg/m3, a área do jato é 3 cm2, e V j

e Vc

são 20 e 15 m/s,

respectivamente. Despreze o peso do jato e da placa, e admita o escoamento

permanente em relação à placa móvel, com o jato se dividindo em dois semijatos

iguais, um para cima e outro para baixo.



TEOREMA DA QUANTIDADE DEMOVIMENTO ANGULAR

O caso mais geral do teorema da quantidade de movimento angular ocorre

para um VC deformável associado a um sistema de coordenadas não

inercial.

Para um VC não deformável isto se reduz a:



Se há somente entradas e saídas unidimensionais, os termos do fluxo dequantidade de movimento angular sobre a superfície são dados por

Esta Eq. tem aplicação direta em muitos problemas importantes de

escoamento de fluidos envolvendo torques e momentos. Um caso

particularmente importante é a analise de dispositivos rotativos com

escoamento de fluidos, usualmente chamados de turbomaquinas.



A EQUAÇÃO DA ENERGIAVamos aplicar o TTR a primeira lei da termodinâmica. A variável B torna-se a

energia E, e a energia por unidade de massa é β = d E/ d m = e . A Eq. de

energia pode ser escrita para um VC como segue:

Q (+) = Calor adicionado ao sistema eW(+) = trabalho realizado pelo sistema

A energia do sistema por unidade de massa (e), pode ser de vários tipos:

e = einterna + ecinetica + epotencial + eoutras



Vamos considerar somente os três primeiros termos:

Dividiremos o termo trabalho em três partes:

O trabalho de eixo isola aquela porção de trabalho que é deliberadamente

realizada por uma maquina (rotor de uma bomba, pistão, etc). O trabalho de

pressão é igual ao produto da força de pressão sobre um elemento desuperfície d A pelo componente normal da velocidade entrando no VC.



O trabalho de cisalhamento devido as tensões viscosas, pode desaparecer ou

ser desprezível, de acordo com o tipo particular de superfície.

Em resumo o resultado do termo de taxa de trabalho consiste essencialmente em:

O termo de trabalho de pressão pode ser combinado com o termo de fluxode energia.



Como a entalpia h = u + pv. A forma geral final da equação da energia para

um VC fixo fica:

Termos de fluxo de energia unidimensional

Se o VC tem uma serie de entradas e saídas unidimensionais, a integral desuperfície na Eq. anterior, se reduz a uma soma de fluxos de saída menos

outra de fluxos de entrada:



Exemplo



A Equação de energia no escoamento permanente

Para escoamento permanente com uma entrada e uma saída

(unidimensionais), a equação de energia se reduz a uma celebre relação

usada em muitas análises de engenharia.

A partir da Eq. da continuidade podemos rearrumar:

Onde q = d Q/ d m é o calor transferido por unidade de massa, analogamente awe = d We/ d m e wv = dWv/dm.



A ultima Eq. estabelece que a entalpia de estagnação a montante, H1 =

(h+1/2V2+gz), se difere do correspondente valor a jusante, H2, se houver

transferência de calor e trabalho na passagem dos fluidos entre as seções 1

e 2.

Cada termo da Eq. tem dimensão de energia por unidade de massa, sendo

comumente utilizado por Eng. Mecânicos. Se dividirmos todo por “g”, cada termo

torna-se uma altura ou comprimento, preferida pelos Eng. Civis.



Perdas por atrito em escoamentos a baixa velocidade

Para escoamentos a baixas velocidade, sem trabalho de eixo e

trabalho viscoso desprezível, como ocorre em escoamentos de tubos,

a Eq. de energia pode ser escrito como:

O termo entre parênteses é chamado de altura útil ou altura disponível

ou altura total . O ultimo termo da direita é a diferença entre as alturasdisponíveis a montante e a jusante, representa a perda de altura ou

perda de carga .



Portanto o escoamento a baixas velocidade pode se escrevercomo:

Os termos de h são todos positivos, ou seja, a perda por atrito

é sempre positiva em escoamentos reais (viscosos), uma

bomba adiciona energia e uma turbina extrai energia do

escoamento.



Escoamento sem atrito: a equaEscoamento sem atrito: a equaçção de Bernoullião de Bernoulli

Existe uma relação entre pressão, velocidade e elevação para um

fluido sem atrito relacionado à equação de energia conhecida como

Eq. de Bernoulli, (1738).

Para usar corretamente esta equação devemos restringi-la aregiões de escoamento aproximadamente sem atrito. Deve-se

estar atento, já que todos os fluidos são viscosos e, portanto,

todos os escoamentos apresentam algum atrito.



Considera-se na Fig, um VC formado por um tubo de corrente

elementar, fixo, de área variável A (s) e comprimento d s, onde s é

uma coordenada natural na direção das linhas de corrente.



A conservação de massa para esse volume elementar conduz a:

Onde m = ρAV e dv = A ds. Logo a forma desejada para conservação de massa é:

Agora, a relação de quantidade de movimento linear na direção das linhas de

corrente:



Se desprezarmos a força cisalhante nas paredes (escoamento sem

atrito), as forças se devem a pressão e gravidade.



A força de pressão é mais facilmente visualizada na Fig.



Substituindo os dois termos de força na relação de quantidade de movimento:

O primeiro e ultimo termo da direita se cancelam , em virtude darelação de continuidade.

Dividindo se o que resta por ρA e rearrumando, obtêm-se a relação final

desejada:



Essa é a Eq. de Bernoulli para escoamento sem atrito, não

permanente, ao longo de uma linha de corrente.

Integrando sobre dois pontos:



Para avaliar as duas integrais restantes, devemos estimar o efeito não

permanente e a variação da massa especifica com a pressão. A esta

altura consideramos apenas o caso do escoamento permanente e

incompressível, para o qual a Eq. anterior fica:

Essa é a Eq. de Bernoulli para escoamento sem atrito, permanente,

incompressível ao longo de uma linha de corrente.



Relação entre a Eq. de Bernoulli e as Eqs. de energia para o

escoamento permanente.

A relação mais geral da Eq. de Bernoulli que leva em conta o atrito,

troca de calor, trabalho de eixo e trabalho viscoso é:

Se comparamos a Eq. de Bernoulli com a Eq. da Energia, vemos

que a Eq. de Bernoulli contem ainda mais restrições do que se

poderia imaginar no inicio:



1. Escoamento permanente – uma hipótese comum, aplicável a muitos

escoamentos.

2. Escoamento incompressível – aceitável, se o número de Mach do

escoamento for menor que 0,3.3. Escoamento sem atrito – muito restritiva, as paredes solidas introduzem

efeitos de atrito.

4. Escoamento ao longo de uma linha de corrente – linhas de corrente

diferentes podem ter diferentes “ constantes de Bernoulli” w0 = p/ ρ + V2/2 +

gz, dependendo das condições do escoamento.

5. Ausência de trabalho de eixo entre 1 e 2 – sem bombas ou turbinas sobre a

linha de corrente.

6. Ausência de troca de calor entre 1 e 2 – seja calor adicionado, seja calor

removido.



Portanto, tome cuidado com o uso incorreto da equação de Bernoulli.

Apenas certo conjunto limitado de escoamentos satisfaz a essas seis

hipóteses.

Algumas limitações praticas:

Para o testes do modelo emtúnel de vento. A Eq. de

Bernoulli é valida no núcleo,

mas não nas camadas limite das

paredes do túnel, da superfíciedo modelo e nem na esteira do

modelo.



O escoamento a traves do propulsor da Hélice. A equação é valida

tanto a montante como a jusante, mas com diferentes constantes

em virtude do trabalho transferido pelo propulsor. A equação não é

valida nas proximidades das pás do propulsor nem nos vórtices

helicoidais.



Para o escoamento na chaminé é valida antes e depois da fornalha,

mas com uma mudança na Eq. causado pela adição de calor. A Eq.

não é valida na zona de combustão, nem nas camadas limite das

parede das chaminé.



A moral da historia é aplicar a Eq. de

Bernoulli apenas quando todas as 6

restrições puderem ser satisfeitas .



Medidores de vazão e a Eq. de Bernoulli

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