ε ε 2 1 o relativo de () 2 () 2 e kT partículas por estado...

FNC 0376 - Física Moderna 2 Aula 15

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Boltzmann como boa aproximação das distribuições quânticas Quando o no médio de partículas por estado quântico é muito menor do que 1, as distribuições quânticas se confundem com a clássica

( )( )

( )( )

kTegg

nn 12

1

2

1

2εε

εε

εε −

−=

Que fornece o no relativo de partículas por estado quântico a duas energias diferentes

Fator de Boltzmann:

Podemos usá-lo para determinar a razão de ocupação de estados em um sistema quântico, quando ε >> kT acima do estado fundamental.Exemplo: colisões térmicas de átomos em um gás à temperatura T os estados excitados são pouco populados ⇒ podemos usar o fator de Boltzmann para determinar as populações relativas e determinar as correspondentes intensidades de transição. Ou vice-versa, como discutimos no caso da determinação de temperatura de estrelas a partir da observação de espectros.Vamos usar o fator de Boltzmann para estudar o funcionamento do LASER.

Light Amplification by Stimulated Emission of RadiationAmplificação de Luz pela Emissão Estimulada de Radiação


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ExercícioO primeiro estado excitado do H, E2, está a 10,2 eV acima do estado

fundamental E1. Qual é a razão entre o no de átomos no primeiro estado excitado e o no de átomos no estado fundamentala) a temperatura ambiente T=300 K?b) à temperatura da superfície do sol T=5.800K?

O no de átomos em um estado de energia E é dado por:kTEeEAgEn /)()( −=

A razão entre o no de átomos no 10 estado excitado e o no de átomos no estado fundamental: kTEE

kTE

kTE

egg

eAgeAg

nn /)(

1

2/

1

/2

1

2 12

1

2−−

−

−

==

no estado fundamental g1 a degeneração levando em conta o spin é: 2 no estado excitado g2 a degeneração levando em conta l=0 é: 2 e l=1 é 6

ambos com dois estados de spin, tem um total de 8. Então g2/g1=8/2=4 e

kTEEenn /)(

1

2 124 −−=


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Vejamos as energiasa) T=300K kT~0.026eV

b) T=5800K kT~0.5eV

01044 171392026.0/)2,10(

1

2 ≈≈== −−− eenn

8194,205,0/)2,10(

1

2 1044 −−− ≈≈== eeenn

Conclusãoa) T=300K devido a grande diferença de energia entre os dois estados em comparação com a energia térmica kT, existem poucos átomos de H no 1º estado excitado. Explica porque o H na Tamb não emite nenhum tipo de radiação

b) T=5800K na superfície do sol, ~1015 átomos em cada mol de H atômico se encontra no estado excitado


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Processos para transição entre 2 estados atômicos na presença de um campo eletromagnético: fóton de v = (ε2 – ε1)/h

Vida média típica de um estado excitado atômico é 10 ns. Alguns estados, por conta do momento angular elevado, podem ter vidas médias da ordem de ms, sendo chamados de metaestáveis.

Suponhamos 1 conjunto de átomos, com n1 átomos no estado ε1 e n2 no estado ε2, com ε2 > ε1, em equilíbrio térmico com radiação eletromagnética de densidade de energia espectral ρ(v), a uma temperatura T. A probabilidade (por átomo e por unidade de tempo) de que um átomo no estado 1 faça uma transição para o 2 (absorção), deve ser proporcional a ρ(v) em v = (ε2 – ε1)/h. A taxa de emissão estimulada também é proporcional a ρ(v) em v = (ε2 – ε1)/h. Mas a emissão espontânea não. As taxas de transição também dependem das características dos estados, por causa dos elementos de matriz de dipolo elétrico, etc.

Processos de interação da radiação com o átomo. E como estes 3 processos estão relacionados quantitativamente?


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A probabilidade, por unidade de tempo, de haver uma transição do estado 1 para o 2, pode ser escrita como: , onde B12 é um coeficiente que inclui a dependência das funções de onda dos estados 1 e 2.

)(1221 vBR ρ=→

Já a probabilidade de que um átomo no estado 2 faça uma transição para o 1 é uma soma de 2 termos: a probabilidade de emissão espontânea, A21, e a de emissão estimulada, B21ρ(v). Assim: . )(212112 vBAR ρ+=→

[ ]1

)()()(

21

12

2

1

212121212121

−=⇒+=

BB

nn

BAvvBAnvBn ρρρ

Como o sistema está em equilíbrio térmico, as taxas de 1 → 2 e de 2 → 1 devem ser iguais: . Substituindo:122211 →→ = RnRn

Vamos usar o fator de Boltzmann, com hv = ε2 – ε1, para avaliar a razão n1/n2, considerando g(ε2) = g(ε1):

kThv

kT eenn

==− 12

2

1εε

Substituindo em ρ(v):1

)(

21

12

2121

−=

kThveBB

BAvρ

Mas essa expressão deve ser consistente com a obtida por Planck para a radiação de corpo negro:


6

11π8

1π8)( 3

3

3

2

−=

−= kThvkThvT ec

hve

hvcvvρ Planck

1)(

21

12

2121

−=

kThveBB

BAvρ

3

3

21

21 π8chv

BA

BA

==121

12 =BB

Esses são os coeficientes A e B de Einstein, que publicou trabalho sobre esse assunto em 1917. Só temos a razão entre eles, mas A pode ser calculado (MQ, como vimos em Moderna 1).O resultado de que B12 = B21 é muito interessante, pois mostra que os processos de emissão e absorção (estimulados) são iguais e só dependem das características físicas do átomo.

Vimos:

3

3

21

21 π8chv

BA

BA

==

quanto maior a diferença de energia entre 2 níveis, mais provável fica a emissão espontânea em relação à estimulada.

A razão entre o coeficiente de emissão espontânea (A21) e o coeficiente de emissão estimulada (B21) varia com ν3

No entanto:

Portanto:

e


7

1)(

21

12

2121

−=

kThveBB

BAvρBA

BA

=21

21

1)(21

21 −= kThvevB

Aρ

Como 1

21

12 =BB

ee

temos também que:

⇒ para átomos em equilíbrio térmico, emissão espontânea >> estimulada, se hv >> kT, que é a condição usual em átomos e moléculas. A emissão estimulada pode ser importante se hv ≈ kT, ou se hv << kT.

kThvenn

nn

vBA

vBnvBnAn

1

2

1

2

1

22

)(1

)()(

absorção de taxaemissão de taxa

=

+=

+=

ρρρ

espontânea estimulada

1

2

1

2

1

2 1absorção de taxaemissão de taxa

nn

kThv

nne

nn kThv ≈

+≅=Quando hv << kT, temos:


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Se o sistema está em equilíbrio térmico ⇒ Boltzmann ⇒ n2 << n1. Mas fora do equilíbrio vale tudo. Se invertermos a população, fazendo n2 > n1, teremos emissão > absorção, fazendo com que a radiação na freqüência v = (ε2 – ε1)/h, seja amplificada. Só que esse processo faz a população mudar. Para manter o processo énecessário manter a população invertida, por meio da injeção de energia no sistema.

Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation

Existem vários tipos de laser, mas todos têm algumas características comuns: 1) Uma fonte de energia (pulsada ou contínua) capaz de produzir inversão de

população entre níveis atômicos. No caso do laser de He-Ne essa fonte éuma descarga elétrica, que transfere energia aos átomos por meio de colisões atômicas. No caso de lasers que usam cristais, é usada iluminação intensa e de espectro largo, processo conhecido como bombeamento ótico.

2) Um material cujos átomos tenham pelo menos 3 níveis de energia: o estado fundamental; um estado intermediário com meia-vida, ts, relativamente longa (metaestável); e um terceiro estado, de energia mais alta, para bombeamento.


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Notem que um sistema de 2 níveis não é sujeito a inversão de população, pois, com bombeamento ótico intenso, poder-se-ia, no máximo, atingir uma situação em que as populações dos 2 níveis fossem iguais. Bombeamento mais intenso apenas aumentaria a taxa de transições tanto de 1 → 2 quanto de 2 → 1, pois as probabilidades de transição são iguais, como vimos. Para que possa haver inversão de população, a absorção de energia deve ser feita por uma transição diferente daquela que sofrerá a emissão estimulada. Daí a necessidade de 3 níveis, pelo menos.3) Um método que contenha os fótons emitidos inicialmente no meio, de forma

que eles possam estimular transições em outros átomos. Isso, em geral, éfeito por meio de espelhos nas extremidades do sistema, de forma que os fótons atravessem o meio muitas vezes. Dessa forma, o laser pode ser entendido como um ressoador ótico. a oscilação consiste de uma onda plana refletida entre os espelhos das extremidades. Essas ondas que caminham em direções opostas formam uma onda estacionária com nós nos espelhos. Para que luz de alta intensidade seja extraída, um dos espelhos é semi-transparente.

A realização física desse processo é representada na figura abaixo e requer a escolha de um elemento com níveis de energia com as propriedades adequadas.


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Diferença de energia E3-E1

~10-3seg

Transição rápida sem emissão de ≈~10-8seg

Em equilíbrio térmico a população dos estados é: n3<n2<n1Bombeamento ótico (iluminação intensa) com 5500A estimula-se a absorção dos fótons pelo átomo no estado fundamental, aumenta a população do nível de energia E3 e despopula o nível E1. Emissão espontânea, traz os átomos de E3 para E2, reforça a população deste estado com tempo de vida longoResulta: n2 > n1 inversão de populaçãoA emissão do fóton, n2 n1 de 6943A estimula novas transições, emissão estimulada >> absorção estimulada, 6943A será reforçado, feixe coerente intenso


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Na prática o laser é um bastão cilíndrico com extremidades oticamente planas paralelas e refletoras (uma delas parcialmente refletora) Os fótons emitidos que não se deslocam ao longo do eixo, escapam pelos lados antes de estimular emissões. Os fótons que se movem exatamente ao longo do eixo são refletidos várias vezes e são capazes de estimular emissões repetidamente. O no de fótons cresce rapidamente.

Lâmpada de bombeamento ótico


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Problemas: 1) quando 1 átomo emite um fóton, decaindo para o estado fundamental, o que acontece em seguida? Se tudo correr bem, o bombeamento ótico vai levá-lo de volta para o estado excitado e o processo continua. Mas isso pode demorar um pouco para ocorrer. Nesse caso, esse átomo pode absorver um fóton do laser, de forma a voltar para o estado ε2. Isso diminui a intensidade do laser, prejudicando o processo.2) Condição de início de oscilação (ou condição de laser). A emissão laser pode ser sustentada se o aumento do número de fótons, por passagem no laser, for maior que a redução provocada por perdas (emissão do laser, absorção no meio, espalhamento por impurezas, etc.) Vamos juntar todos os processos de perda em uma única constante de tempo:

p

tt

tI

dtdIeII p −=

⇒= −

perda0

Antes de calcularmos os ganhos, lembremos da taxa de transição induzida, que é proporcional ao coeficiente B de Einstein: Ri = ρ(v,T)B.

si thv

cTvAhv

cTvRchv

BA

3

3

3

3

3

3

π8),(

π8),(π8 ρρ

==⇒=

onde ts = A-1 é a meia-vida para emissão espontânea.


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O ganho em intensidade da cavidade, devido a transições estimuladas, vai ser dado pela diferença entre a emissão estimulada do nível 2 → 1 e a absorção do 1 → 2.

( ) ihvcRnndtdI

12ganho

−=

onde hvc é o que cada fóton contribui para a intensidade, Ri a taxa de transição induzida e n2 (n1) a densidade de população do nível 2 (1). Para que haja funcionamento sustentado do laser:

( )p

i tIhvcRnn

dtdI

dtdI

≥−⇒

≥

12perdaganho

J x m/s x (no átomos)/m3 = W/m2

Substituindo Ri e lembrando que I = cρ, temos:

VN

tctvnn c

p

s ∆==− 3

2

12π8 densidade de

população crítica

Essa expressão nos permite determinar a potência necessária para iniciar o funcionamento do laser. Mas, antes, devemos analisar os ...

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