Métodos Numéricos MA-200 Capítulo 6

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Alberto Coronado Matutti

Facultad de Ingeniería MecánicaUniversidad Nacional de Ingeniería

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Ejemplo 1Calcular la matriz de transición de estado eAt

dado:

Primero

debemos encontrar los autovalores λ

de la matriz A:

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Ejemplo 1Seguidamente debemos calcular los coeficientes ai

. Como A es una matriz de 2x2, sólo necesitaremos de dos ecuaciones:

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Substituyendo en la ecuación:

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Ejemplo 2Calcular la matriz de transición de estado eAt

dado:

Nuevamente calculamos primero los autovalores λ

de la matriz A:

La expansión de la determinante será:

Usando la función roots

del Matlab para obtener las raíces:

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Ejemplo 2Debido a que A es una matriz de 3x3, debemos tomar:

Usando el comando sym

del Matlab:

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Ejemplo 2De donde obtendremos:

Substituyendo dichos valores en la matriz de transición de estado:

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AutovectoresConsiderando la ecuación:

Donde A es una matriz de nxn, X es un vector columna y λ

es un escalar.

La última ecuación tendrá solución no trivial si y sólo si

su determinante es cero.

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Autovectores

Las raíces λ

de la ecuación característica son los autovalores

de la matriz A, y correspondiendo a cada

λ

existe una solución no trivial del vector X

llamados autovectores.

Los autovectores

usualmente son expresados de manera normalizada, es decir teniendo longitud unitaria.

Dos vectores X e Y son ortogonales

si su producto escalar es cero. Un conjunto de autovectores constituye una base ortonormal.

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Ejemplo 1Calcular los autovalores

y los

autovectores

de la matriz A.

Los autovalores

fueron calculados anteriormente:

Calculando los autovectores:

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Ejemplo 1

Este sistema es indeterminado. Asumiendo

x2

=1 obtenemos:

De manera similar para λ=2 obtenemos x1

=x2

y x3

=2x2

Y para λ=3 x1

=-x2

y x3

=x2

.

Dividiendo

cada vector por su norma

obtenemos.