Αντί προλόγου Τούτες οι σημειώσεις, που παρουσιάζονται ηλεκτρονικά, είναι προϊόν ενασχόλησης με τη συνολοθεωρία στον ελεύθερο χρόνο μου στο μεταξύ των ετών 2005 και 2008 διάστημα. Επέλεξα τη μη αυστηρή (αξιωματική) ή αλλιώς «αφελή» διαπραγμάτευση, έτσι ώστε το κείμενο να είναι πιο «ζωντανό» και προσιτό σε κάποιον που ασχολείται για πρώτη φορά. Ευχαριστώ τον Νίκο Μαυρογιάννη (πάντα πρόθυμο για προσφορά) για τις υποδείξεις του, που συνετέλεσαν στην καλυτέρευση του κειμένου και το περιορισμό των αβλεψιών. Με την ελπίδα ότι μπορεί να βοηθήσουν κάποιους στην περιπλάνηση στον «παράδεισο» που μας εισήγαγε ο Georg Cantor στέλνω τις σημειώσεις αυτές στον Νίκο Μαυρογιάννη να τις αναρτήσει στην ιστοσελίδα του. Ιωάννινα 20/4/2012 Σπύρος Καπελλίδης

1.1 Το σύνολο Τι είναι σύνολο; Θα υιοθετήσουμε προσωρινά τον ορισμό του Cantor έως ότου συναντήσουμε τις αντιφάσεις στις οποίες αυτός μας οδηγεί. Ο Cantor όρισε «Ως σύνολο εννοούμε μια συλλογή Μ σε όλον καθορισμένων και διακριτών αντικειμένων m της εποπτείας ή της σκέψης μας. Τα αντικείμενα αυτά καλούνται στοιχεία του Μ» Την πρόταση «το x είναι στοιχείο του Α » διατυπώνουμε και ως «το x ανήκει στο » και συμβολίζουμε Α x∈Α . Την δε πρόταση «το x δεν είναι στοιχείο του Α » και ως «το x δεν ανήκει στο Α » και συμβολίζουμε

. Προφανώς x∉Α ( )x x∉Α⇔ ¬ ∈Α Το ∈ προέρχεται από το αρχικό γράμμα της λέξης εστίν και χρησιμοποι-ήθηκε για πρώτη φορά από τον Ιταλό μαθηματικό G. Peano1

1 Ο Giuseppe Peano γεννήθηκε στο Guneo Piemonte της Ιταλίας στις 27 Αυγούστου του 1858. Ενεγράφη στο Πανεπιστήμιο του Τουρίνου το 1876, απ’όπου απεφοίτησε το 1860 και διορίστηκε βοηθός του Angelo Genocchi στη διδασκαλία του Απειροστικού Λογισμού. Το 1884 έγραψε το πρώτο του βιβλίο –ήταν πολυγραφότατος, αφού στη σταδι-οδρομία του συνέγραψε πάνω από 200 έργα, διδακτικά βιβλία, αλλά και πρωτότυπες εργα-σίες- που αφορούσε τον Απειροστικό Λογισμό, το οποίο όμως εξεδόθη στο όνομα του Genocchi. Το 1886 απέδειξε ότι αν η ( , )f x y είναι συνεχής, τότε η πρώτης τάξεως δια-

φορική εξίσωση ( , )dy f x ydx

= έχει λύση. Τον επόμενο χρόνο δημοσίευσε μια προσεγ-

γιστική μέθοδο για τη λύση συστήματος γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Το 1888 τύ-πωσε το βιβλίο του Geometrical Calculus, το οποίο αρχίζει με ένα κεφάλαιο Μαθηματι-κής Λογικής, που είναι και το πρώτο του γραπτό στον τομέα αυτόν. Αυτός πρώτος χρησι-μοποίησε τα σύμβολα που είναι σήμερα εν χρήσει για την ένωση, την τομή, το υποσύνολο και το ανήκει. Στο παραπάνω βιβλίο δίνεται για πρώτη φορά και μάλιστα με εξαιρετικά μοντέρνο τρόπο ο ορισμός του Διανυσματικού χώρου. Το 1889 δημοσίευσε τα περίφημα αξιώματά του, με τα οποία ορίζει αυστηρά το σύνολο των φυσικών αριθμών. Το 1890 κάνει την πολύ σημαντική ανακάλυψη της λεγόμενης «χωροπληρωτικής καμπύλης», δηλαδή μιας συνεχούς και επί απεικόνισης του [0 στο [0,1] ,1] [0,1]× . Ο F. Hausdorff στα 1914 χαρακτήριζε την καμπύλη του Peano ως «ένα από τα πιο αξιοπρόσεκτα αποτελέσματα της συνολοθεωρίας». Το τελευταίο του εγχείρημα στο χώρο των μαθηματικών ήταν η σύνταξη του “Formulario” , ενός βιβλίου 300 σελίδων στο οποίο προσπάθησε να συγκεντρώσει όλη τη μέχρι τότε Μαθηματική γνώση και να την παρουσιάσει σε αυστηρή τυπική γλώσσα. Η πέμπτη και τελευταία έκδοση του “Formulario” έγινε το 1908. Η απόπειρα του να εντάξει

2

Δεν είναι ανάγκη να αναφερθούμε σε πληθώρα παραδειγμάτων, προκειμένου να δείξουμε πόσο συχνά χρησιμοποιούμε την έννοια του συνόλου στα Μα-θηματικά. Λέμε για παράδειγμα: - Για τη σφαίρα με κέντρο το σημείο Κ και ακτίνα ρ: Το σύνολο των ση-μείων του χώρου που απέχουν από το Κ απόσταση ρ - Για το ανοικτό διάστημα ( , )α β : Το σύνολο των πραγματικών αριθμών που βρίσκονται ανάμεσα από τους αριθμούς α και β . - Αναφερόμαστε στο σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται στο διάστημα [ , ]α β και είναι συνεχείς ή είναι φραγμένες ή είναι παραγωγί-σιμες ή είναι ολοκληρώσιμες - Αναφερόμαστε στο σύνολο των αρτίων ακεραίων ή το σύνολο των θετικών ακεραίων που είναι πρώτοι κ.ο.κ. Ο απλούστερος τρόπος για να περιγράψουμε ένα σύνολο είναι αναγράφο-ντας τα στοιχεία του , όπως για παράδειγμα : . Όταν όμως έ-χουμε σύνολα με άπειρο πλήθος στοιχείων , ο παραπάνω τρόπος δεν έχει πάντα αποτέλεσμα. Στην περίπτωση αυτή περιγράφουμε την ιδιότητα ή τις ιδιότητες που καθορίζουν τα στοιχεία του συνόλου . Παράδειγμα το ανοι-κτό διάστημα (1 , δηλαδή το σύνολο των πραγματικών αριθμών που είναι μεταξύ των 1 και περιγράφουμε ως εξής

1, 2, 3A =

, 4)4

(1,4) / 1 4x x x= ∈ ∧ < < Ορισμός 1 Δύο σύνολα Α και Β θα λέμε ότι είναι ίσα (Α = Β )2 αν και μόνον αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία.

το “Formulario” στη διδασκαλία του Πανεπιστημίου του Τουρίνου, όπου δίδασκε, είχε ως αποτέλεσμα να ξεσηκώσει τους φοιτητές, οι οποίοι διαδήλωσαν στους δρόμους της πόλης. Πολύς λόγος έχει γίνει σχετικά με την ψυχική υγεία του G. Peano. Ο Απόστολος Δοξιά-δης (Από τη παράνοια στους Αλγόριθμους) εντάσσει την περίπτωση του, με κάποιες αμφι-βολίες γι’ αυτό, στην ομάδα των μεγάλων εκείνων ερευνητών της Συνολοθεωρίας και της Μαθηματικής Λογικής – Cantor, Russell, Frege, Gödel- που επλήγησαν από την κατάρα της ψυχικής νόσου. Παρ’ ότι αποκρούει, ως μη τεκμηριωμένη, την άποψη του Ιταλού Μα-θηματικού και Φιλοσόφου Gian Carlo Rota, πως ο Peano νοσηλεύθηκε σε ψυχιατρική κλινική, θεωρεί ως τουλάχιστον περίεργη τη συμπεριφορά του των τελευταίων χρόνων. Από το 1903 και μετά απορροφήθηκε από την εμμονή του για τη δημιουργία μια διεθνούς γλώσσας, την οποία δημιούργησε από την Λατινική με την αφαίρεση των πτώσεων (Latino sine flexione), απόπειρα που φυσικά δεν είχε ανταπόκριση. Πέθανε στο Τορίνο στις 20 Απριλίου του 1932. 2 Ή αλλιώς έχουν την ίδια έκταση

3 ( )x xΑ = Β⇔ ∈Α⇔ ∈Β Άρα δύο σύνολα και Α Β είναι άνισα (Α ≠ Β ) αν και μόνον αν υπάρχει στοιχείο του Α , το οποίο δεν είναι στοιχείο του Β ή υπάρχει στοιχείο του

, το οποίο δεν είναι στοιχείο του Β Α . ( ) ( )x x x xΑ ≠ Β⇔ ∃ ∈Α∧ ∉Β ∨ ∃ ∈Β∧ ∉Α Ορισμός 2 Κενό ονομάζουμε το σύνολο που δεν περιέχει στοιχεία. Ο συμβολισμός του κενού συνόλου είναι ∅ . Δηλαδή /x x x∅ = ≠ . 1.2 Ένωση συνόλων Ορισμός Αν και Α Β είναι δύο σύνολα , τότε ορίζουμε ως ένωση (Union) τους, το σύνολο Α που περιέχει τα στοιχεία του και του

και μόνον αυτά, δηλαδή αν και μόνον αν ή Β∪ Α

Β x ∈ Α Β∪ x ∈ Α x ∈ Β /x x xΑ∪Β = ∈Α∨ ∈Β . Παραδείγματα 1. (0 ,3) (2,5) (0,5)∪ =2. (0 ,3) [3,5) (0,5)∪ =3. (0 ,3] [3,5) (0,5)∪ =

4. (0,3) (3,5) / 0 5 3x x x x∪ = ∈ ∧ < < ∧ ≠ Πρόταση 1 Για τα σύνολα , ,Α Β Γ ισχύουν 1. Α Β = Β Α∪ ∪ (Αντιμεταθετική Ιδιότητα) 2. ( ) ( )Α Β Γ = Α Β Γ∪ ∪ ∪ ∪ (Προσεταιριστική Ιδιότητα) 3. Α∪∅ = Α 4. Α∪Α = Α 5. Αν , τότε Α∪Β =∅ Α = Β =∅

4

Απόδειξη3 1. x x x x x∈Α∪Β⇔ ∈Α∨ ∈Β⇔ ∈Β∨ ∈Α x⇔ ∈Β∪Α 2. ( )x x x∈Α∪ Β∪Γ ⇔ ∈Α∨ ∈Β∪Γ

( )( )

( )

x x xx x x

x xx

⇔ ∈Α∨ ∈Β∨ ∈Γ⇔ ∈Α∨ ∈Β ∨ ∈Γ⇔ ∈Α∪Β∨ ∈Γ⇔ ∈ Α∪Β ∪Γ

3. x x x∈Α∪∅⇔ ∈Α∨ ∈∅⇔ ∈Αx 4. Η απόδειξη προφανής. 5. Εύκολα αποδεικνύεται με απαγωγή σε άτοπο. 1.3 Τομή συνόλων Ορισμός Αν και είναι δύο σύνολα , τότε ορίζουμε ως τομή (Inter-section) τους ( ) το σύνολο που περιέχει τα κοινά τους στοιχεία και μόνον, δηλαδή αν και μόνον αν

Α ΒΑ Β∩x∈Α∩Β x∈Α και x∈Β , δηλαδή

/x x xΑ∩Β = ∈Α∧ ∈Β . Στην περίπτωση που τα σύνολα Α και Β δεν έχουν κοινά στοιχεία , τότε λέμε ότι είναι ξένα. Στη περίπτωση αυτή η τομή τους προφανώς θα είναι το κενό σύνολο. Παραδείγματα 1. (0,3) (2,5) (2,3)∩ = 2. (0,3) [3,5)∩ =∅ 3. (0,3] [3,5) 3∩ = 4. (0,3) (3,5)∩ =∅ Πρόταση 1 1. Α Α = Α∩

3 Για την απόδειξη των ιδιοτήτων της ένωσης καθώς και των άλλων πράξεων που ακολου-θούν χρειάζεται μόνον η γνώση των βασικών ταυτολογιών του προτασιακού λογισμού.

5

∩)

)

)

)

2. (Αντιμεταθετική Ιδιότητα) Α Β = Β Α∩ ∩ 3. (Προσεταιριστική Ιδιότητα) ( ) ( )Α ∩ Β Γ = Α Β Γ∩ ∩ 4. ( ) ( ) (Α Β Γ = Α Β Α Γ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ (Επιμεριστική Ιδιότητα της τομής ως προς τη ένωση) 5. ( ) ( ) (Α Β Γ = Α Β Α Γ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ (Επιμεριστική Ιδιότητα της ένωσης ως προς την τομή) Απόδειξη 1. Προφανής 2. x x x x x x∈Α∩Β⇔ ∈Α∧ ∈Β⇔ ∈Β∧ ∈Α⇔ ∈Β∩Α3. ( )x x x∈Α∩ Β∩Γ ⇔ ∈Α∧ ∈Β∩Γ

( )( )

( )

x x xx x x

x xx

⇔ ∈Α∧ ∈Β∧ ∈Γ⇔ ∈Α∧ ∈Β ∧ ∈Γ⇔ ∈Α∩Β∧ ∈Γ⇔ ∈ Α∩Β ∩Γ

4. ( )x x x∈Α∩ Β∪Γ ⇔ ∈Α∧ ∈Β∪Γ

( )( ) (

( ) ( )

x x xx x x x

x xx

⇔ ∈Α∧ ∈Β∨ ∈Γ⇔ ∈Α∧ ∈Β ∨ ∈Α∧ ∈Γ⇔ ∈Α∩Β∨ ∈Α∩Γ⇔ ∈ Α∩Β ∪ Α∩Γ

5. ( )x x x∈Α∪ Β∩Γ ⇔ ∈Α∨ ∈Β∩Γ

( )( ) (

( ) ( )

x x xx x x x

x xx

⇔ ∈Α∨ ∈Β∧ ∈Γ⇔ ∈Α∨ ∈Β ∧ ∈Α∨ ∈Γ⇔ ∈Α∪Β∧ ∈Α∪Γ⇔ ∈ Α∪Β ∩ Α∪Γ

1.4 Διαφορά συνόλων Ορισμός 1 Αν και είναι δύο σύνολα , τότε ορίζουμε ως διαφορά (difference) ( Α − ) το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία του , που δεν ανήκουν στο Β και μόνον αυτά.

Α ΒΒ Α

Πρόταση 1 1. Α −Α = ∅

6

))

))

)]]

)

)

2. Α −∅ = Α 3. ( ) ( ) (Α− Β Γ = Α−Β Α−Γ∪ ∩ 4. ( ) ( ) (Α− Β Γ = Α−Β Α−Γ∩ ∪ 5. Α−Β =∅⇔ Α⊆ Β 6. ( ) ( ) (Α∪Β −Γ = Α −Γ ∪ Β−Γ 7. ( ) ( ) (Α∩Β −Γ = Α −Γ ∩ Β−Γ Απόδειξη Οι 1,2 είναι εύκολες 3. ( )x x x∈Α− Β∪Γ ⇔ ∈Α∧ ∉Β∪Γ

( )

( ( ) ( ))[ ( )] [ (

x x xx x xx x x x

⇔ ∈Α∧¬ ∈Β∨ ∈Γ⇔ ∈Α∧ ¬ ∈Β ∧¬ ∈Γ⇔ ∈Α∧¬ ∈Β ∧ ∈Α∧¬ ∈Γ

[ ] [x x x x⇔ ∈Α∧ ∉Β ∧ ∈Α∧ ∉Γ

( ) (( ) ( )

x xx

⇔ ∈ Α−Β ∧ ∈ Α−Γ⇔ ∈ Α−Β ∩ Α−Γ

4. ( )x x x∈Α− Β∩Γ ⇔ ∈Α∧ ∉Β∩Γ

( )( )

[ ( ) ( )][ ( )] [( ( )]( ) ( )

x xx x xx x xx x x xx x x x

⇔ ∈Α∧¬ ∈Β∩Γ⇔ ∈Α∧¬ ∈Β∧ ∈Γ⇔ ∈Α∧ ¬ ∈Β ∨ ¬ ∈Γ⇔ ∈Α ∧ ¬ ∈Β ∨ ∈Α ∧¬ ∈Γ⇔ ∈Α ∧ ∉Β ∨ ∈Α∧ ∉Γ

( ) (( ) ( )

x xx

⇔ ∈ Α−Β ∨ ∈ Α−Γ⇔ ∈ Α−Β ∪ Α−Γ

5. ( ) Έστω ότι υπάρχει ⇒ x∈Α και x∉Β , τότε x∈Α−Β , άρα , άτοπο. Συνεπώς Α−Β ≠∅ x x∈Α⇒ ∈Β , άρα Α⊆ Β .

( ) Αν , τότε υπάρχει ⇐ Α−Β ≠∅ x∈Α και x∉Β , άρα δεν αληθεύει το , άτοπο. Α⊆ Β

7 6.

( )

( )( )

( )

( ) ( )

x x xx x xx x x x

x xx

∈ Α∪Β −Γ⇔ ∈Α∪Β∧ ∉Γ⇔ ∈Α∨ ∈Β ∧ ∉Γ

⇔ ∈Α∧ ∉Γ ∨ ∈Β∧ ∉Γ

⇔ ∈Α−Γ∨ ∈Β−Γ⇔ ∈ Α−Γ ∪ Β−Γ

7.

( )

( )( )

( )

( ) ( )

x x xx x xx x x x

x xx

∈ Α∩Β −Γ⇔ ∈Α∩Β∧ ∉Γ⇔ ∈Α∧ ∈Β ∧ ∉Γ

⇔ ∈Α∧ ∉Γ ∧ ∈Β∧ ∉Γ

⇔ ∈Α−Γ∧ ∈Β−Γ⇔ ∈ Α−Γ ∩ Β−Γ

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι πράξεις μεταξύ των υποσυνόλων ενός συνόλου U , το οποίο ονομάζεται χώρος ή σύμπαν. Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να ορίσουμε το συμπλήρωμα ( cΑ ) ενός συνόλου Α ως εξής : Ορισμός 2 Αν , τότε UΑ ⊆ c UΑ = −Α Πρόταση 2 1. ( )c cΑ = Α 2. ( )c cΑ∪Β = Α ∩Βc

c

3. ( )c cΑ∩Β = Α ∪Β 4. (Οι σχέσεις 3 και 4 είναι γνωστές ως νό-μοι του De Morgan

cΑ−Β = Α∩Β4)

4 Ο Augustus De Morgan, όπως και ο George Boole έζησαν την ίδια εποχή στην Αγ-γλία και υπήρξαν-ιδιαίτερα ο δεύτερος- οι εισηγητές της Άλγεβρας των συνόλων. Ο De Morgan γεννήθηκε στις 27 Ιουνίου του 1806 στις Ινδίες, όπου ο πατέρας του δού-λευε στην Ανατολική Εταιρεία των Ινδιών. Σπούδασε στο Κολέγιο του Trinity, απ’ όπου αποφοίτησε τέταρτος. Δεν μπόρεσε όμως να συνεχίσει τις σπουδές του στην Οξφόρδη ή στο Καίμπριτζ, γιατί αρνήθηκε να υποστεί τις καθιερωμένες Θεολογικές εξετάσεις. Σε όλη

8

)

)

Απόδειξη 1.

( ) (( ) ( ( ))

c c cx x x U x Ux x x

∈ Α ⇔ ∉Α ⇔ ∉ −Α⇔¬ ∈ −Α⇔¬ ∉Α ⇔¬ ¬ ∈Α ⇔ ∈Α

2.

( )( )( )

( ) (

c

c c

c c

x x

x x

x x

x x

x xx

∈ Α∪Β ⇔ ∉Α∪Β

⇔¬ ∈Α∪ ∈Β

⇔¬ ∈Α∨ ∈Β

⇔ ¬ ∈Α ∧ ¬ ∈Β

⇔ ∈Α ∧ ∈Β

⇔ ∈Α ∩Β

3.

του τη ζωή υπήρξε θερμός υποστηρικτής της θρησκευτικής ουδετερότητας και των ακα-δημαϊκών ελευθεριών. Διορίστηκε τελικά σε πολύ νεαρή ηλικία (22 ετών) καθηγητής Μα-θηματικών στο νεοϊδρυθέν Πανεπιστήμιο του Λονδίνου. Πολυγραφότατος συγγραφέας, βοήθησε στην ίδρυση του Βρετανικού Οργανισμού για την προώθηση της Επιστήμης (1831), ο οποίος και εξέδωσε ένα ογκώδες έργο του για τον Διαφορικό και τον Ολοκλη-ρωτικό Λογισμό, όπως επίσης έγραψε και πλειάδα άρθρων στην εγκυκλοπαίδεια που κυ-κλοφόρησε ο παραπάνω Οργανισμός. Πέθανε στις 18 Μαρτίου του 1871 στο Λονδίνο από νευρική παράλυση. Ο George Boole γεννήθηκε στις 2 Νοεμβρίου του 1815 στο Lincoln της Αγγλίας. Αντι-θέτως με τον De Morgan, πήρε μόνον τη βασική εκπαίδευση, λόγω των ισχών οικονομι-κών της οικογενείας του. Έμαθε μόνος του Ελληνικά, Λατινικά και Μαθηματικά, τα τελευ-ταία μελετώντας τα έργα των Laplace και Lagrange. Μετά τη γνωριμία του με τον De Morgan, έστρεψε το ενδιαφέρον του στη μελέτη της Λογικής. Το αποτέλεσμα των ερευνών του στη Λογική ήταν ένα μικρό βιβλίο «Η Μαθηματική Ανάλυση της Λογικής» , το οποίο εκδόθηκε ταυτόχρονα με το βιβλίο «Αυστηρή Λογική» του De Morgan (1847). Ακολού-θησε το έργο του «Οι νόμοι της σκέψης» (1854), ένα κλασσικό έργο, στο οποίο καθιερώ-θηκε η Μαθηματική Λογική και μια καινούργια Άλγεβρα, γνωστή ως Άλγεβρα του Boole ή Άλγεβρα των συνόλων ή Άλγεβρα της Λογικής. Ο Bertrand Russell θεώρησε τις ανακα-λύψεις που περιέχονται στο παραπάνω έργο ως τις μεγαλύτερες κατακτήσεις της Θεωρητι-κής σκέψης κατά το 19ο αιώνα. Η αναγνώριση του έργου του Boole ήρθε με τη αναγόρευ-σή του στη θέση του καθηγητή των Μαθηματικών στο νεοϊδρυθέν Κολέγιο Queens στο Cork. Δύο χρόνια πριν τον θάνατό του το Πανεπιστήμιο του Δουβλίνου του απένειμε τι-μητικό δίπλωμα, αναγνωρίζοντας το έργο του. Το περίεργο είναι πως ένας άλλος μεγάλος πρωτοπόρος της Επιστήμης τον 19ο αιώνα ο G. Cantor, απέρριψε την εργασία του Boole. Πέθανε μόλις 49 ετών στις 8 Δεκεμβρίου του 1864 από πνευμονία.

9

)

( )( )( )

( ) (

c

c c

c c

x x

x x

x x

x x

x xx

∈ Α∩Β ⇔ ∉Α∩Β

⇔¬ ∈Α∩ ∈Β

⇔¬ ∈Α∧ ∈Β

⇔ ¬ ∈Α ∨ ¬ ∈Β

⇔ ∈Α ∨ ∈Β

⇔ ∈Α ∪Β4.

c

c

x x xx xx

∈Α−Β⇔ ∈Α∧ ∉Β

⇔ ∈Α∧ ∈Β

⇔ ∈Α∩Β

1.5 Εγκλεισμός Ορισμός 1 Θα λέμε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β και θα το συμβολίζουμε Α ⊆ ή Β Β ⊇ Α , όταν όλα τα στοιχεία του είναι και στοιχεία του , δηλαδή

ΑΒ Α⊆ Β αν και μόνον αν x∈Α συνεπάγεται

x∈Β . Προφανώς αν και μόνον αν Α = Β Α⊆ Β και Β⊆ Α Ορισμός 2 Θα λέμε ότι το σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο του συνό-λου και θα το συμβολίζουμε ή Β Α ⊂ Β Β ⊃ Α όταν όλα τα στοιχεία του

είναι και στοιχεία του Α Β και επιπλέον το Β περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο, το οποίο δεν ανήκει στο Α δηλαδή αν και μόνον αν Α ⊂ Β Α⊆ Β και Α ≠ Β Πρόταση 1 1. ∅ ⊆ Α 2. Α ⊆ Α 3. Α ⊆ Α Β∪ 4. Α Β ⊆ Α∩ 5. Α−Β ⊆ Α 6. Α = Α∪Β⇔Β ⊆ Α 7. Α = Α∩Β⇔Α ⊆ Β

10

8. Α∩∅ =∅ 9. ∅−Α =∅ Απόδειξη 1. Η σχέση x x∈∅⇒ ∈Α είναι αληθής για κάθε x , άρα

5 ∅ ⊆ ΑΤα τρία επόμενα είναι εύκολα 5. , άρα x x x∈Α−Β⇒ ∈Α∧ ∉Β⇒ ∈Αx Α−Β ⊆ Α 6. Αν , τότε Α = Α∪Β x x∈Α∪Β⇒ ∈Α , άρα , άρα x x x∈Α∨ ∈Β⇒ ∈Α x x∈Β⇒ ∈Α , άρα . Αντιστρόφως Β⊆ Α Αν , τότε , άρα Β⊆ Α x x∈Β⇒ ∈Αx x x∈Α∪Β⇒ ∈Α∨ ∈Β⇒ ∈Αx , δηλαδή Α∪Β⊆ Α και επειδή

θα αληθεύει το Α ⊆ Α∪Β Α = Α∪Β . 7. Αν , τότε Α = Α∩Β x x∈Α∩Β⇒ ∈Α , άρα , άρα x x x∈Α ⇒ ∈Α∧ ∈Β x x∈Α⇒ ∈Β άρα . Αντιστρόφως Α⊆ Β Αν Α⊆ Β , τότε x x∈Α⇒ ∈Β , άρα , άρα x x x∈Α⇒ ∈Α∧ ∈Β Α ⊆ Α∩Β και επειδή Α∩Β⊆ Α θα αληθεύει το Α = Α∩Β .

8. και ∅⊆ , άρα Α∩∅ ⊆∅ Α∩∅ Α∩∅ =∅ . 9. ∅− και ∅⊆ , άρα Α⊆∅ ∅−Α ∅−Α =∅ . Ορισμός 3 Το σύνολο, το οποίο έχει ως στοιχεία όλα τα υποσύνολα του συνόλου Α ονομάζεται δυναμοσύνολο του Α και συμβολίζεται με . Προφανώς στοιχεία του

( )Ρ Α( )Ρ Α είναι το ∅ και το ίδιο το . Α

5 Είναι η μόνη περίπτωση στα Μαθηματικά, απ’ όσο γνωρίζω, μαζί με εκείνη της κενής τομής που θα συναντήσουμε στην παράγραφο 1.8 μετά τον ορισμό 21, που συναντάμε την περίπτωση όπου αληθεύει η συνεπαγωγή με την υπόθεση ψευδή και το συμπέρασμα αλη-θές.

11 1.6 Συμμετρική Διαφορά Ορισμός 1 Αν και είναι δύο σύνολα, τότε ορίζουμε ως συμμετρική διαφορά ( , Symmetric Difference) των

Α ΒΑ Β ,Α Β το σύνολο

( ) ( )Α Β = Α−Β ∪ Β−Α Πρόταση 1 1. Α Β =∅⇔ Α =Β 2. Α ∅ = Α 3. ( ) ( )Α∪Β = Α Β ∪ Α∩Β

4. ( ) ( )Α∩Β = Α∪Β − Α Β Απόδειξη 1.

( ) ( )Α Β =∅⇔ Α−Β ∪ Β−Α =∅

⇔ Α−Β =∅∧Β−Α =∅⇔ Α⊆ Β∧Β⊆ Α⇔ Α = Β

Οι αποδείξεις των 2,3,4 είναι εύκολες 1.7 Καρτεσιανό Γινόμενο Το σύνολο το οποίο έχει μόνο δύο στοιχεία λέγεται διμελές , x y . Ένα διμελές σύνολο, στο οποίο μας ενδιαφέρει η σειρά των στοιχείων του, δη-λαδή ποιο είναι πρώτο και ποιο δεύτερο, λέγεται διατεταγμένο ζεύγος και συμβολίζεται ( , )x y . Ένας αυστηρότερος ορισμός του διατεταγμένου ζεύ-γους, που οφείλεται στον Πολωνό μαθηματικό C. Kuratowski 6 είναι ο

6 Ο Kazimierz Kuratowski γεννήθηκε στη Βαρσοβία στις 2 Φεβρουαρίου 1896 και πέθανε στη Βαρσοβία στις 18 Ιουνίου του 1980. Ένας από τους κύριους εκπρόσωπους της μεγάλης Σχολής Μαθηματικών της Βαρσοβίας. Ολοκλήρωσε στη Βαρσοβία την βασική του εκπαίδευση και σπούδασε μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας απ’ όπου αναγορεύθηκε διδάκτορας το 1921. Στη διδακτο-ρική του διατριβή, επιβλέπων της οποίας ήταν ο Waslaw Sierpinski, θεμελίωσε την Τοπο-λογία πάνω στα περίφημα αξιώματα κλειστότητας. Το 1935 αναγορεύεται καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας, θέση την οποία διατηρεί έως και το 1952. Από το 1948 έως το 1967 είναι Διευθυντής του Ινστιτούτου Μαθηματικών της Πολωνικής Ακαδημίας Επι-

12

Ορισμός 1 ( , ) , , x y x x y= Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει άμεσα η Πρόταση 1 ( , ) ( , )x y z w x z== ⇔ ∧ y w= . Απόδειξη Το είναι προφανές. Για το έχουμε ότι ⇐ ⇒ , , , ,x x y z z w= , άρα , ,x z z w∈ , άρα x z= ή

,x z w= . Στη πρώτη περίπτωση έχουμε , , , ,x x y x x w= ,

οπότε θα πρέπει , , ,x y x x w∈ , άρα ,x y x= ή

, ,x y x w= . Από το πρώτο ενδεχόμενο προκύπτει x y z w= = = , άρα και το ζητούμενο. Από το δεύτερο y w= , άρα x z y w= ∧ = . Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε x z w= = , άρα , ,x x y x= , οπότε x y z w= = = , άρα και το ζητούμενο. Με την ίδια λογική μπορούμε να ορίσουμε διατεταγμένες τριάδες, τετράδες κ.λ.π. Ορισμός 2 ( , , ) ( , ( , ))x y z x y z= ( , , , ) ( , ( , , ))x y z w x y z w= και επαγωγικά

στημών και για μακρό χρονικό διάστημα πρόεδρος της Πολωνικής και της Διεθνούς Μα-θηματικής Εταιρείας. Διακεκριμένο μέλος της ομάδας κυρίως Πολωνών σημαντικών μα-θηματικών που στην περίοδο του μεσοπολέμου σύχναζαν στο περίφημο Scottish Cafe του Lvov, όπου τέθηκαν και λύθηκαν σημαντικά μαθηματικά προβλήματα, τα οποία είναι συ-γκεντωμένα στο περίφημο Scottish Book. Διετέλεσε Διευθυντής έκδοσης του περιοδικού Fundamenta Mathematica. Μερικές από τις πρωτότυπες συμβολές στα Μαθηματικά:

• Τα αξιώματα κλειστότητας στην Τοπολογία • Η απόδειξη του λήμματος Zorn-Kuratowski • Στη θεωρία γραφημάτων το γνωστό Θεώρημα Kuratowski • Ο ορισμός του διατεταγμένου ζεύγους • Η εισαγωγή του αλγορίθμου Tarki-Kuratowski • Το Τοπολογικό πρόβλημα κλειστότητας –συμπληρώματος • Το θεώρημα του ελευθέρου συνόλου • Η σύγκλιση υποσυνόλων μετρικών χώρων

Σημαντικά έργα του η δίτομη Τοπολογία του και η Θεωρία Συνόλων, την οποία έγραψε μαζί με τον μαθητή του Mostowski

13 1 2 1 1 2 3 1( , ,..., ) ( , ( , ,..., ))x x x x x x xν ν+ += Προφανώς Πρόταση 2 1. ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , , , ,x x x y y y x y x y x y= ⇔ = = = και

2. 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )x x x y y yν ν= ⇔

1 1 2 2, ,...,x y x y x yν ν= = = Ορισμός 3 Το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών με πρώτα στοιχεία από το και δεύτερα από το Α Β λέγεται καρτεσιανό γινόμενο των και

και συμβολίζεται με Α

Β Α×Β , δηλαδή ( , ) /x y x yΑ×Β = ∈Α∧ ∈Β Είναι προφανές πως Πρόταση 3 Αν Α = ή ∅ Β =∅ , τότε και μόνον τότε Α×Β =∅ , όπως επίσης αν ή ή,…, ή 1Α =∅ 2Α =∅ νΑ =∅ , τότε και μόνον τότε

1 2 νΑ ×Α × ×Α =∅ Πρόταση 4 1. ( ) ( ) (Α× Β Γ = Α×Β Α×Γ∪ ∪ )

)))

2. ( ) ( ) (Β Γ ×Α = Β×Α Γ×Α∪ ∪ 3. ( ) ( ) (Α× Β Γ = Α×Β Α×Γ∩ ∩ 4. ( ) ( ) (Β Γ ×Α = Β×Α Γ×Α∩ ∩ 5. Α⊆ Β⇒ Α×Γ ⊆ Β×Γ 6. Α⊂Β⇒Α×Γ ⊂ Β×Γ 7. Α⊆ Β⇒Γ×Α ⊆ Γ×Β 8. Α⊂Β⇒Γ×Α⊂ Γ×Β 9. Αν είναι μη κενά σύνολα και , , ,Α Β Χ ΨΑ×Β = Χ×Ψ , τότε Α = και Χ Β = Ψ

14

)

Απόδειξη 1. ( , ) ( )x y x y∈Α× Β∪Γ ⇔ ∈Α∧ ∈Β∪Γ

( )( ) (( , ) ( , )( , ) ( ) ( )

x y yx y x yx y x yx y

⇔ ∈Α∧ ∈Β∨ ∈Γ⇔ ∈Α∧ ∈Β ∨ ∈Α∧ ∈Γ⇔ ∈Α×Β∨ ∈Α×Γ⇔ ∈ Α×Β ∪ Α×Γ

Ομοίως αποδεικνύονται τα 2,3,4. 5. ( , )x y x y x y∈Α×Γ⇒ ∈Α∧ ∈Γ⇒ ∈Β∧ ∈Γ ( , )x y⇒ ∈Β×ΓΟμοίως αποδεικνύονται τα 6,7,8. 9. ( , ) ( , )x y x y∈Α×Β⇔ ∈Χ×Ψ , άρα και x x∈Α⇔ ∈Χ y y∈Β⇔ ∈Ψ , άρα Α = Χ και Β = Ψ Ορισμός 4 , ( )Α×Β×Γ = Α× Β×Γ

( )Α×Β×Γ×Δ = Α× Β×Γ×Δ

1 2 1 1 2 1( )ν ν ν ν+ +Α ×Α × ×Α ×Α = Α × Α × ×Α ×Α Παρατήρηση Το είναι λάθος, γιατί το ζεύγος ( ) (Α×Β ×Γ = Α× Β×Γ)(( , ), )α β γ είναι προφανώς διαφορετικό από το ( , ( , ))α β γ . 1.8 Σχέσεις-Απεικονίσεις Ορισμός 1 Διμελή σχέση μεταξύ των συνόλων Α και Β , ονομάζουμε κάθε υποσύνολο σ του καρτεσιανού γινομένου Α×Β . Αν ( , )x y σ∈ , γράφουμε x yσ ή ( )x yσ = και αν ( , )x y σ∉ γράφουμε xσ y . Αν , τότε θα λέμε ότι έχουμε μια διμελή σχέση Α = Β σ στο σύνολο και αυτό θα συμβολίζουμε με ( ,

Α)σΑ .

Αν σ είναι μία διμελής σχέση μεταξύ των συνόλων Α και Β , τότε πεδίο ορισμού της σ (συμβολικά ( )dom σ ) ονομάζουμε το σύνολο ( ) / ,dom x x y x yσ σ= ∈Α∧∃ ∈Β και πεδίο τιμών της σ (συμβολικά ( )rng σ ) το σύνολο

15 ( ) / ,rng y y x x yσ σ= ∈Β∧∃ ∈Α Ορισμός 2 Αν σ είναι μια διμελής σχέση μεταξύ των συνόλων και Β , τότε ορίζουμε τη σχέση

Α1σ − μεταξύ των συνόλων Β και Α ( )

ως

1σ − ⊆ Β×Α1( , ) ( , )y x x yσ σ−∈ ⇔ ∈

Την διμελή σχέση 1σ − ονομάζουμε αντίστροφη της σ Σχετικά με τις σχέσεις σ και 1σ − εύκολα αποδεικνύεται η παρακάτω Πρόταση 1 α. 1( ) ( )dom rngσ σ −=

β. 1( ) ( )rng domσ σ −=

γ. 1 1( )σ σ− − = Οι παρακάτω ορισμοί από 2 έως και 9 αφορούν διμελή σχέση στο σύνολο

Α Έστω σ μία σχέση στο σύνολο Α , τότε δίνουμε τους παρακάτω ορισμούς Ορισμός 3 Αν ισχύει ασ α , για κάθε α ∈Α , λέμε ότι η σχέση σ είναι ανακλαστική. Παράδειγμα Στο σύνολο των θετικών ακεραίων η σχέση ο α διαιρεί τον β (α β ) είναι μία διμελής σχέση, η οποία είναι ανακλαστική γιατί

,α α για κάθε α ∈ Ορισμός 4 Αν δεν υπάρχει α ∈Α , ώστε ασ α , λέμε ότι η σ είναι μη

ανακλαστική (αλλιώς γράφουμε α σ α , για κάθε α ∈Α ) Παράδειγμα Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η σχέση < είναι μια διμελής σχέση, η οποία είναι μη ανακλαστική γιατί δεν υπάρχει α ∈ ώστε α α< . Ορισμός 5 Αν για κάθε ,α β ∈Α η ταυτόχρονη αλήθεια των ασ β και β σ α συνεπάγεται α β= , λέμε ότι η σ είναι αντισυμμετρική.

16

Παράδειγμα Στο δυναμοσύνολο ( )Ρ Α ενός μη κενού συνόλου η σχέση είναι μια διμελής σχέση αντισυμμετρική γιατί

Α⊆ Α⊆ Β και Β⊆ Α συνε-πάγεται Α = Β . Ορισμός 6 Αν για κάθε ,α β ∈Α η ασ β συνεπάγεται την β σ α , λέμε ότι η σ είναι συμμετρική. Παράδειγμα Στο σύνολο Π των ευθειών του επιπέδου η σχέση η σχέση της παραλληλίας είναι μια διμελής σχέση συμμετρική γιατί ε δ δ⇒ ε . Ορισμός 7 Αν δεν υπάρχουν ,α β ∈Α ώστε να ισχύουν συγχρόνως ασ β και β σ α , λέμε ότι η σ είναι γνήσια αντισυμμετρική (ή αλλιώς για κάθε

,α β ∈Α ισχύει ασ β β σ⇔ α ) Παράδειγμα Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η σχέση < είναι μια διμελής σχέση, η οποία είναι γνήσια αντισυμμετρική γιατί δεν υπάρ-χουν ,α β ∈ ώστε α β< και β α< . Ορισμός 8 Αν για κάθε , ,α β γ ∈Α οι ασ β και β σ γ συνεπάγονται την ασ γ , λέμε ότι η σ είναι μεταβατική. Σε όλα τα παραπάνω παραδείγμα-τα οι διμελείς σχέσεις που περιγράφονται είναι μεταβατικές. Σχόλιο 1. Αν σ μία διμελής σχέση στο σύνολο Α και σ =∅ , θα λέμε ότι η σ είναι ασθενώς τετριμμένη. Αν επιπλέον ισχύει και Α =∅ , τότε θα λέμε ότι η σ είναι τετριμμένη. Είναι φανερό πως κάθε τετριμμένη σχέση είναι και ασθενώς τετριμμένη, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει απαραίτητα. Οι ασθενώς τετριμμένες σχέσεις είναι μεταβατικές, συμμετρικές, αντισυμμετρι-κές, ανακλαστικές και μη ανακλαστικές. 2. Αν μια σχέση σ είναι μη ανακλαστική και μεταβατική, τότε είναι και γνήσια αντισυμμετρική. Ορισμός 9 Μια διμελής σχέση σ στο Α , η οποία είναι ανακλαστική, συμ-μετρική και μεταβατική ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας. Παραδείγματα 1.Στο σύνολο των θετικών ακεραίων η σχέση

17

modα β≡ κ

n

, όπου ένας ακέραιος είναι σχέση ισοδυναμίας. Δη-λαδή οι θετικοί ακέραιοι είναι ισοδύναμοι, όταν στη διαίρεσή τους δια είναι ισουπόλοιποι.

κ 2≥κ

2. Έστω το σύνολο των Caushy ακολουθιών με όρους ρητούς αριθμούς. Στο ορίζουμε τη σχέση αν και μόνον αν

CC na b∼ lim( ) 0n nn

a b→∞

− = . Η

σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας. ∼3. Στο σύνολο ορίζουμε τη σχέση ως εξής : ∼ x y x y⇔ − ∈∼ . Η σχέση αυτή είναι προφανώς σχέση ισοδυναμίας. Για την ιστορία είναι η σχέση που χρησιμοποίησε ο Vitali 7, για να αποδείξει ύπαρξης μη μετρήσι-μου συνόλου. Ορισμός 10 Το σύνολο των στοιχείων β του Α , για τα οποία ισχύει ασ β , όπου α ∈Α , λέμε ότι αποτελούν μια κλάση ισοδυναμίας, την οποία συμβολίζουμε με [ ]α . Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας που ορίζονται στο σύνολο από τη σχέση ισοδυναμίας Α σ ονομάζεται σύνολο πηλίκο της σ και συμβολίζεται με [ / ]σΑ . Στο παραπάνω παράδειγμα 1, κλάσεις ισοδυναμίας στο σύνολο των ακεραί-ων είναι το σύνολο των αριθμών οι οποίοι δίνουν υπόλοιπο 0, το σύνολο των αριθμών οι οποίοι δίνουν υπόλοιπο 1, κ.ο.κ. έως και το σύνολο των αριθμών οι οποίοι δίνουν υπόλοιπο 1κ − , όταν διαιρεθούν δια του ακεραίου . κ

7 Ο Giuseppe Vitali, γεννήθηκε στη Ραβέννα της Ιταλίας στις 26 Φεβρουαρίου του 1875. Στο χρόνο που ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά, ειδικά τα τελευταία 4 χρόνια της ζωής του, γιατί για αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα τα εγκατέλειψε είτε για βιοποριστικούς λόγους, είτε για να ασχοληθεί με τη πολιτική, εργάστηκε σε διαφορετικούς κλάδους της Μαθηματικής Ανάλυσης . Έδωσε ένα παράδειγμα μη μετρήσιμου συνόλου πραγματικών. Το φερώνυμο θεώρημα της κάλυψης είναι ένα από τα θεμελιώδη θεωρήματα της Θεωρίας Μέτρου. Επίσης απέδειξε διάφορα θεωρήματα πάνω στη σύγκλιση ακολουθιών μετρησί-μων και ολομόρφων συναρτήσεων. Πέθανε στις 29 Φεβρουαρίου του 1932 στην Μπολόνι-α.

18

Ορισμός 11 Μια διμελής σχέση μεταξύ των συνόλων Α και Β θα ονομά-ζεται απεικόνιση του στο Α Β ή συνάρτηση8 από το Α στο και θα συμβολίζεται , αν ισχύει το εξής

Β:f Α → Β

Για κάθε υπάρχει ακριβώς ένα x∈Α y∈Β ώστε ( )f x y= ή για κάθε υπάρχει x∈Α y∈Β ώστε ( )f x y= και αν 1( ) ( )2f x f x≠ , τότε 1 2x x≠

για κάθε . 1 2,x x ∈ΑΑν λέμε ότι το είναι αντίστοιχο (ή αλλιώς εικόνα) του ( )y f x= y x μέ-σω της παραπάνω απεικόνισης. Το σύνολο των εικόνων ( )f x , για θα συμβολίζουμε με

x∈Α( )f Α . Το σύνολο Α ονομάζουμε πεδίο ορισμού της

απεικόνισης και συμβολίζουμε και με . :f Α → Β ( )D fΠαράδειγμα Η διμελής σχέση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, η οποία ορίζεται από τη σχέση σ για την οποία x y yσ x⇔ = δεν είναι

απεικόνιση του στο , ενώ η σχέση f για την οποία xfy y x⇔ = είναι απεικόνιση του στο Στο εξής θα χρησιμοποιούμε συχνότερα τον όρο απεικόνιση, που ταιριάζει περισσότερο στα θέματα που διαπραγματευόμαστε. Ορισμός 12 Αν και :f Α → Β :g Γ → Δ , τότε f g= αν και μόνον αν Α = Γ , Β = Δ και ( ) ( )f x g x= , για κάθε x∈Α

Το σύνολο των απεικονίσεων συμβολίζουμε με :f Α → ΒΑΒ .

Πρόταση 2 Αν , και Α Β Γ σύνολα με Α⊆ Β , τότε . Γ ΓΑ ⊆ ΒΑπόδειξη Εύκολη Ορισμός 13 Μία απεικόνιση , θα λέμε ότι είναι ένα προς ένα (1-1) , όταν ισχύει το :

:f Α → Β

Αν 1 2( ) ( )f x f x= τότε 1 2x x= , για κάθε 1 2,x x ∈Α

8 Η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται συστηματικά στα Μαθηματικά στο έργο Introductio in analysin infinitorum του Euler (1784). Ο σημερινός ορισμός, ο οποίος στηρίζεται στην έννοια του συνόλου, οφείλεται στον Peano. Μια πολύ κατατοπιστική αναφορά στην ιστορι-κή εξέλιξη της έννοιας ο ενδιαφερόμενος μπορεί να βρει στο: Νεγρεπόντης Σ., Γιωτόπου-λος Θ., Γιαννακούλιας Ε. Απειροστικός Λογισμός Ι, σελ.123-125.

19

2

ή το ισοδύναμο Αν 1x x≠ τότε 1( ) ( )2f x f x≠ , για κάθε 1 2,x x ∈Α Παράδειγμα Η απεικόνιση με :f → 3( )f x x= είναι (1-1), ενώ η

:f → με 2( )f x x= δεν είναι. Ορισμός 14 Μία απεικόνιση , θα λέμε ότι είναι επί, όταν για κάθε υπάρχει ώστε

:f Α → Βy ∈ Β x ∈ Α ( )f x = y ή αλλιώς ( )f Α = Β .

Παράδειγμα Η με :f → 2( )f x x= δεν είναι επί, ενώ η

: [0,f → +∞) με 2( )f x x= είναι επί. Ορισμός 15 Μία απεικόνιση , θα λέμε ότι είναι αμφιμονοσή-μαντη, όταν είναι ένα προς ένα και επί.

:f Α → Β

Παραδείγματα αμφιμονοσήμαντων απεικονίσεων είναι τα 1. με :f → 3( )f x x=

2. : ( , )2 2

g π π− → με ( )g x xε φ=

3. με : (0, )h +∞ → ( ) lnh x x= . Ορισμός 16 Έστω απεικόνιση και :f Α → Β 1Α ⊂ Α , τότε την απεικόνι-ση με 1:g Α →Β ( ) ( )g x f x= , για κάθε 1x∈Α ονομάζουμε περιορισμό της f στο , την δε 1Α f επέκταση της στο g Α . Πρόταση 3 Αν η απεικόνιση :f Α→Β είναι αμφιμονοσήμαντη , τότε

και μόνον τότε η αντίστροφη σχέση 1f − είναι συνάρτηση Απόδειξη Εύκολη Παράδειγμα Η αντίστροφη της αμφιμονοσήμαντης συνάρτησης

με : ( ,0) (0, )f −∞ → +∞ 2( )f x x= είναι η με 1 : (0, ) ( ,0)f − +∞ → −∞1( )f x x− = −

20

Ορισμός 17 Η απεικόνιση :iΑ Α→Α με ( )i x xΑ = , για κάθε ο-νομάζεται ταυτοτική από το

x∈ΑΑ στο Α

Ορισμός 18 Αν I και G είναι μη κενά σύνολα. Κάθε επί απεικόνιση

ονομάζουμε οικογένεια στο σύνολο G με δείκτες στο :a I G→ I . Στην περίπτωση αυτή αντί του θα γράφουμε , την δε απεικόνιση θα συμ-βολίζουμε .

( )a i ia,ia i I∈

Ιδιαίτερα όταν το σύνολο G έχει ως στοιχεία σύνολα, τότε έχει ιδιαίτερη σημασία η οικογένεια η οποία προκύπτει. Σ’ αυτή τη περίπτωση μπορούμε να δώσουμε γενικευμένους ορισμούς της ένωσης και της τομής ως εξής

Ορισμός 19 /j jj I

x j I x∈

Α = ∃ ∈ ∧ ∈Α∪ ή j I

x∈

∈ jΑ∪ αν και μόνον αν

υπάρχει ώστε j I∈ jx∈Α

Ορισμός 20 ή /( ) ( )j jj I j I

x x j I x∈ ∈

⎧ ⎫⎪ ⎪Α = ∈ Α ∧ ∈ ⇒ ∈Α⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∩ ∪ j

jj I

x∈

∈ Α∩ αν και μόνον αν jx∈Α για κάθε j I∈ .

Παραδείγματα

1. 1

1( ,1] (0,1]ν ν∈

=∪ , όπου 1 / 1ν ν ν= ∈ ∧ >

Πράγματι 1

1( ,1]xν ν∈

∈∪ , άρα υπάρχει φυσικός 1ν > ώστε 1( ,1]xν

∈ ,

άρα 1 1xν< ≤ , άρα 0 1x< ≤ , άρα (0,1]x∈ και αντιστρόφως.

(0,1]x∈ , άρα (επειδή 1lim 0ν ν→∞

= ) υπάρχει 1ν ∈ ώστε 1 1xν< ≤ , άρα

1

1( ,1]xν ν∈

∈∪

21

2. 1

1 1( 1 ,1 ) ( 1,1)ν ν ν∈

− + − = −∪

Πράγματι 1

1 1( 1 ,1 )xν ν ν∈

∈ − + −∪ , άρα υπάρχει 1ν > ώστε

1 1( 1 ,1 )xν ν

∈ − + − , άρα 1 11 1 1xν ν

1− < − + < < − < ,

άρα και αντιστρόφως ( 1,1)x∈ − ( 1,1)x∈ − , άρα 1 0x + > και 1 0

(επειδή δε

x− >1lim 0

ν ν→∞= ) θα υπάρχουν 1 2 1,ν ν ∈ ώστε

1

1 1xν

< + και

2

1 1 xν

< − Αν 0 1max , 2ν ν ν= , τότε 0

1 1xν

< + και 0

1 1 xν

< − , άρα

0 0

1 11 1xν ν

− + < < − , άρα 1

1 1( 1 ,1 )xν ν ν∈

∈ − + −∪ .

3.

*

( , )α

α α∈

− =∪Το είναι προφανές. Το αντίστροφο

*

( , )xα

α α∈

∈ − ⇒ ∈∪ x

x∈ , άρα x x x− ≤ ≤ , άρα 1 1x x xα α− = − − < < + =

Συνεπώς *

( , )xα

α α∈

∈ −∪

4. 1 1( , ) 0ν ν ν∈

− =∩

Πράγματι είναι προφανές πως 1 10 ( , )ν ν

∈ − για κάθε ν ∈

Επιπλέον 1 1( ,α )ν ν

∈ − , για κάθε ν ∈ , άρα 1 α 1ν ν

− < < , για κάθε

ν ∈ άρα 1 1lim( ) lim limν ν ν

αν ν→∞ →∞ →∞

− ≤ ≤ , άρα 0 0α≤ ≤ , άρα 0α = .

Γενικεύοντας 5.

*

( , ) 0α

α α∈

− =∩

22

)

)

)j

Πρόταση 4 1. ( ) (i i

i I i I∈ ∈

Α∩ Β = Α∩Β∪ ∪ 2. ( ) (i i

i I i I∈ ∈

Α∪ Β = Α∪Β∩ ∩ 3.

( , )

( ) ( ) (i j ii I j J i j I J∈ ∈ ∈ ×

Α ∪ Β = Α ∪Β∩ ∩ ∩

4. ( , )

( ) ( ) (i j ii I j J i j I J∈ ∈ ∈ ×

)jΑ ∩ Β = Α ∩Β∪ ∪ ∪

5. ( ) ( ) (i i ii I i I i I∈ ∈ ∈

)iΑ ∪ Β = Α ∪Β∪ ∪ ∪

6. ( ) ( ) (i i ii I i I i I∈ ∈ ∈

)iΑ ∩ Β = Α ∩Β∩ ∩ ∩

7. ( ) ( ) (i i i ii I i I i I∈ ∈

)∈

Α ∩Β ⊆ Α ∩ Β∪ ∪ ∪)i

8. ( ) ( ) (i i ii I i I i I∈ ∈ ∈

Α ∪ Β ⊆ Α ∪Β∩ ∩ ∩

Απόδειξη 1. ( )i ii I i I

x x x∈ ∈

∈Α∩ Β ⇔ ∈Α∧ ∈ Β∪ ∪ ( , ix i I x )⇔ ∈Α∧ ∃ ∈ ∈Β , ii I x⇔ ∃ ∈ ∈Α∩Β ( )i

i I

x∈

⇔ ∈ Α∩Β∪

2. ( ) (i ii I

x x i I∈

∈Α∪ Β ⇔ ∈Α∨ ∈ ⇒ ∈Β∩ )x

( )ii I x x⇔ ∈ ⇒ ∈Α∨ ∈Β ( )ii I x⇔ ∈ ⇒ ∈Α∪Β ( )i

i I

x∈

⇔ ∈ Α∪Β∩

3. ( ) ( )i j ii I j J i I j J

x x∈ ∈ ∈ ∈

∈ Α ∪ Β ⇔ ∈ Α ∨ ∈ Β∩ ∩ ∩ ∩ jx

) ( ) (i ji I x j J x⇔ ∈ ⇒ ∈Α ∨ ∈ ⇒ ∈Β

[( , ) ( )]i ji j I J x x⇔ ∈ × ⇒ ∈Α ∨ ∈Β

( , )

( )i ji j I J

x∈ ×

⇔ ∈ Α ∪Β∩

23

jx

)

4. ( ) ( )i j i

i I j J i I j J

x x∈ ∈ ∈ ∈

∈ Α ∩ Β ⇔ ∈ Α ∧ ∈ Β∪ ∪ ∪ ∪ ( , ) ( ,i ji I x j J x⇔ ∃ ∈ ∈Α ∧ ∃ ∈ ∈Β ( , ) , ( )i ji j I J x x⇔ ∃ ∈ × ∈Α ∧ ∈Β ( , ) , i ji j I J x⇔ ∃ ∈ × ∈Α ∩Β

( , )

( )i ji j I J

x∈ ×

⇔ ∈ Α ∩∪ Β

)

Οι αποδείξεις των 5, 6, 7, 8 αφήνονται ως ασκήσεις στον αναγνώστη. Πρόταση 5 1. ( )i i

i I i I∈ ∈

Α− Β = Α−Β∪ ∩ 2. ( )i i

i I i I∈ ∈

Α− Β = Α−Β∩ ∪Απόδειξη 1. ( )i i

i I i I

x x x∈ ∈

∈Α− Β ⇔ ∈Α∧¬ ∈ Β∪ ∪ ( , ix i I x⇔ ∈Α∧¬ ∃ ∈ ∈Β ( )ix i I x⇔ ∈Α∧ ∈ ⇒¬ ∈Β [ ( ii I x x )⇔ ∈ ⇒ ∈Α∧¬ ∈Β ( )i

i I

x∈

⇔ ∈ Α−Β∩

2. i ii I i I

x x x∈ ∈

∈Α− Β ⇔ ∈Α∧¬ ∈ Β∩ ∩ ( )ix i I x⇔ ∈Α∧¬ ∈ ⇒ ∈Β ( , ix i I x )⇔ ∈Α∧ ∃ ∈ ¬ ∈Β , ii I x x⇔ ∃ ∈ ∈Α∧¬ ∈Β , ii I x⇔∃ ∈ ∈Α−Β ( )i

i I

x∈

⇔ ∈ Α−Β∪

Πρόταση 6 1.

( , )

( ) ( ) (i j ii I j J i j I J∈ ∈ ∈ ×

Α × Β = Α ×Β∩ ∩ ∩ )j

)j 2. ( , )

( ) ( ) (i j ii I j J i j I J∈ ∈ ∈ ×

Α × Β = Α ×Β∪ ∪ ∪

24

)Β

Απόδειξη 1. ( , ) ( ) ( )i j

i I j J

x y∈ ∈

∈ Α × Β∩ ∩ i j

i I j J

x y∈ ∈

⇔ ∈ Α ∧ ∈ Β∩ ∩ ( ) (i ji I x j J y⇔ ∈ ⇒ ∈Α ∧ ∈ ⇒ ∈Β

( , ) ( , ) i ji j I J x y⇔ ∈ × ⇒ ∈Α ×

( , )

( , ) ( )i ji j I J

x y∈ ×

⇔ ∈ Α ×Β∩ 2. ( , ) ( ) ( )i j

i I j J

x y∈ ∈

∈ Α × Β∪ ∪ i j

i I j J

x y∈ ∈

⇔ ∈ Α ∧ ∈ Β∪ ∪ , ,i ji I x j J y⇔ ∃ ∈ ∈Α ∧∃ ∈ ∈Β

( , ) , ( , ) i ji j I J x y⇔ ∃ ∈ × ∈Α ×Β

( , )

( , ) ( )i ji j I J

x y∈ ×

⇔ ∈ Α ×Β∪ Πρόταση 7 (Γενίκευση των νόμων του De Morgan) Αν iΑ , είναι

οικογένεια υποσυνόλων του συνόλου U , τότε

i I∈c

ci i

i I i I∈ ∈

⎛ ⎞Α = Α⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ ∪ και

c

ci i

i I i I∈ ∈

⎛ ⎞Α = Α⎜ ⎟

⎝ ⎠∪ ∩

Απόδειξη Αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη. Σε αρκετές περιπτώσεις στα επόμενα θα συναντήσουμε τα και ,

όπου C είναι ένα σύνολο με στοιχεία σύνολα. Τα παραπάνω ορίζονται ως εξής :

A C

A∈∪

A C

A∈∩

Ορισμός 21 Αν A ένα μη κενό σύνολο με στοιχεία σύνολα, τότε

25

/ ,A C

A x A C x A∈

= ∃ ∈ ∈∪ και /A C

A x A C x A∈

= ∈ ⇒ ∈∩ 9

Σχόλιο Στα επόμενα θα μας είναι επίσης χρήσιμο να γράφουμε το Καρτε-σιανό Γινόμενο Α× , ως ένωση μιας οικογένειας συνόλων με τον εξής τρόπο

Β

ββ∈Β

Α×Β = Γ∪ , όπου ( , ) /β α β αΓ = ∈Α

2

Ορισμός 22 Το σύνολο λέμε ότι είναι μία διαμέριση του συνό-λου , αν και μόνον αν

( )C ⊆ Ρ ΑΑ

1. Αν , και 1 CΑ ∈ 2 CΑ ∈ 1Α ≠ Α , τότε 1 2Α ∩Α =∅ και 2.

B C

B∈

= Α∪

Για παράδειγμα αν σ είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο , τότε το σύνολο πηλίκο [ /

Α]σΑ αποτελεί διαμέριση του συνόλου Α

Πρόταση 8 Έστω f μια απεικόνιση με πεδίο ορισμού το σύνολο και

υποσύνολα του Α

1,Α Α2 Α , τότε 1 2 1 2( ) ( ) (f f )fΑ Α = Α Α∪ ∪ και γενι-

κότερα αν μία οικογένεια υποσυνόλων του ,i i IΑ ∈ Α , τότε

. ( ) (i ii I i I

f f∈ ∈

Α = Α∪ ∪ )

Απόδειξη Έστω ( ) , ( )i i

i I i I

y f x f x∈ ∈

∈ Α ⇒∃ ∈ Α =∪ ∪ y

))

, (ii I x f x y⇒∃ ∈ ∈Α ∧ =

, ( ) (i ii I

i I y f y f∈

⇒ ∃ ∈ ∈ Α ⇒ ∈ Α∪

9 Αν C , τότε είναι προφανές ότι =∅A C

A∈

= ∅∪ . Τι γίνεται στην περίπτωση αυτή με

την ; Είναι προφανές ότι για κάθε A C

A∈∩ x αληθεύει το

A C

x A∈

∈∩ . Το x όμως τίνος

συνόλου είναι στοιχείο ; Αν , τότε ( )C X⊆ ΡA C

A X∈

=∩ . Τα ίδια ακριβώς έχουμε

και στους ορισμούς 19 και 20, όταν I =∅ . Πολλοί μαθηματικοί δεν ορίζουν κενές το-μές συνόλων.

26

2

Αντιστρόφως ( ) , ( )i i

i I

y f i I y f∈

∈ Α ⇒∃ ∈ ∈ Α∪

, ( )

( )

( )

i

ii I

ii I

i I x f x y

x f x y

y f∈

∈

⇒∃ ∈ ∧ ∈Α =

⇒ ∈ Α ∧ =

⇒ ∈ Α

∪∪

Πρόταση 9 Αν υποσύνολα του 1,Α Α Α , τότε

1 2 1 2( ) ( ) (f fΑ Α ⊆ Α Α∩ ∩ )f και γενικότερα Αν ,i i IΑ ∈ μία

οικογένεια υποσυνόλων του Α , τότε ( ) (i ii I i I

f f∈ ∈

)Α ⊆ Α∩ ∩ .

Απόδειξη ( ) ( )i i

i I i I

y f f x y x∈ ∈

∈ Α ⇒ = ∧ ∈∩ ∩Α

) )

)

( (ii I x f x y⇒ ∈ ⇒ ∈Α ∧ =( ) ( ( ) ( ))

( )i

ii I

f x y i I f x f

y f∈

⇒ = ∧ ∈ ⇒ ∈ Α

⇒ ∈ Α∩

Σχόλιο Το = δεν ισχύει πάντα. Για παράδειγμα αν με : [0,f → +∞

2( )f x x= , και 1 ( ,0Α = −∞ ) 2 (0, )Α = +∞ , τότε 1 2Α ∩Α =∅ , άρα , ενώ ( )1 2f Α ∩Α =∅ ( ) ( )1 2 (0, )f fΑ ∩ Α = +∞

Σχόλιο Όπως βλέπουμε η 1f − είναι «πλουσιότερη» σε ιδιότητες από την f . Αυτό την καθιστά πολύ χρήσιμη στη Τοπολογία.

Πρόταση 10 Αν η απεικόνιση f είναι 1-1, τότε

1 2 1 2( ) ( ) (f fΑ Α = Α Α∩ ∩ )f

)

και γενικότερα :

. ( ) (i ii I i I

f f∈ ∈

Α = Α∩ ∩

27

∩i

Απόδειξη Λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα της πρότασης 6, αρκεί να αποδείξουμε ότι . Πράγματι ( ) ( )i i

i I i I

y f y f∈ ∈

∈ Α ⇒ ∈ Α∩( ) ( ( ))i i i

i I

y f i I x y f∈

∈ Α ⇒ ∈ ⇒ ∈Α ∧ =∩ x . Άρα όλα τα παραπάνω

( )if x είναι μεταξύ τους ίσα, κατά συνέπεια, επειδή η f είναι 1-1, θα είναι ίσα και τα ix μεταξύ τους. Συνεπώς θα υπάρχει i

i I

x∈

∈ Α∩ με ,

άρα

( )y f x=

( )f x = y

2

με . ( )i ii I i I

x y f∈ ∈

∈ Α ⇒ ∈ Α∩ ∩ Πρόταση 11 Αν υποσύνολα του 1,Α Α Α , τότε

1 2 1( ) ( ) ( )f f fΑ − Α ⊆ Α −Α2

Αν επιπλέον η απεικόνιση f είναι 1-1, τότε . 1 2 1 2( ) ( ) (f f fΑ −Α = Α − Α )

2

Απόδειξη , άρα υπάρχει 1( ) ( )y f f∈ Α − Α 1x A∈ με ( )f x = y . Αν

2x A∈ , τότε 2( ) ( )y f x f A= ∈ , άρα 1( ) ( )y f f 2∉ Α − Α , άτοπο. Συνε-πώς υπάρχει 1 2x A A∈ − ώστε 1 2( )y f A∈ Α − , συνεπώς το ζητούμενο α-ποδείχθηκε. Αν η f είναι επί πλέον 1-1, τότε θα αποδείξουμε ότι 1 2 1 2( ) ( ) (y f y f f∈ Α −Α ⇒ ∈ Α − Α )Πράγματι 1 2 1 2( ) , ( )y f x f∈ Α −Α ⇒∃ ∈Α −Α =x y 1 , ( )x f x y⇒∃ ∈Α = Αν 2 , ( )x f x y′ ′∃ ∈Α = , τότε 1 2( ) ( )f x f x x x x′ ′= ⇒ = ⇒ ∉Α −Α , άτοπο. Συνεπώς υπάρχει 1 2, ( ) ( )x f x y y f A∈Α = ∧ ∉ , άρα

. 1 2( ) ( )y f f∈ Α − Α Σχόλιο Αν η f δεν είναι 1-1 δεν ισχύει πάντα το =. Για παράδειγμα αν

με : [0,f → +∞) 2( )f x x= , 1 ( ,0]Α = −∞ και 2 [0, )Α = +∞ , τότε , ενώ ( )1 2 [0, )f Α −Α = +∞ ( ) ( )1 2f fΑ − Α =∅

28

Πρόταση 12 Έστω :f Α→Β μία απεικόνιση και ,i i IΑ ∈ μία οικογέ-νεια υποσυνόλων του Β , τότε ισχύουν 1. και 1 1( ) (i i

i I i I

f f− −

∈ ∈

Α = Α∪ ∪ )

) 2. 1 1( ) (i ii I i I

f f− −

∈ ∈

Α = Α∩ ∩ Απόδειξη 1.

( )

( )

1

1

1

, ( )

, , ( )

,

i ii I i I

i

i

ii I

y f x f x y

i I x f x y

i I y f

y f

−

∈ ∈

−

−

∈

⎛ ⎞∈ Α ⇔ ∃ ∈ Α =⎜ ⎟

⎝ ⎠⇔ ∃ ∈ ∈Α =

⇔ ∃ ∈ ∈ Α

⇔ ∈ Α

∪ ∪

∪ 2.

( )

1

1

, ( )

( ), ( ),( ), ( )

i ii I i I

i

i

ii I

y f x f x y

i I x f x yx i I x A y f x

y f

−

∈ ∈

−

∈

⎛ ⎞∈ Α ⇔ ∃ ∈ Α =⎜ ⎟

⎝ ⎠⇔ ∈ ⇒ ∈Α =⇔ ∃ ∈ ⇒ ∈ =

⇔ ∈ Α

∩ ∩

∩

Πρόταση 13 Έστω :f Α→Β μία απεικόνιση και ,Γ Δ υποσύνολα του

, τότε Β 1 1( ) ( ) (f f f− −Γ −Δ = Γ − Δ1 )−

Απόδειξη

( )( )

( ) ( )( ) ( )

1

1 1

1 1

, ( )

,

y f x f x y

x x f x

y f y f

y f f

−

− −

− −

∈ Γ −Δ ⇔ ∃ ∈Γ−Δ =

⇔ ∃ ∈Γ∧ ∉Δ =

⇔ ∈ Γ ∧ ∉ Δ

⇔ ∈ Γ − Δ

y

29 Ορισμός 23 Έστω :f Α→ Δ και :g Β→Γ απεικονίσεις με

( )f Α ∩Β ≠ ∅ , τότε ορίζουμε την απεικόνιση 1:g f Α →Γ με ( )( ) ( (g f x g f x= )) για κάθε 1x∈Α , όπου

1 / ( )x x f xΑ = ∈Α∧ ∈Β . Την απεικόνιση ονομάζουμε σύνθεση της g f f με τη g Εύκολα αποδεικνύονται οι Πρόταση 14 Αν , τότε i f:f Α→Β fΒ = και f i fΑ = Πρόταση 15 Αν , :f Α→Β :g Β→Γ και :h Γ→Δ , τότε

( ) ( )h g f h g f= Πρόταση 16 Αν η είναι αμφιμονοσήμαντη, τότε :f Α→Β 1f f i−

Α= και 1f f i−Β=

Πρόταση 17 Αν οι :f Α→Β και :g Β→Γ είναι αμφιμονοσήμαντες τότε η απεικόνιση : :g f Α→ Γ είναι επίσης αμφιμονοσήμαντη και

ισχύει 1 1( )g f f g− −= 1−

Απόδειξη Έστω 1 2,x x ∈Α , τότε

1 2 1

1 2 1 2

( )( ) ( )( ) ( ( )) ( (( ) ( )

g f x g f x g f x g f xf x f x x x

= ⇒ =⇒ = ⇒ =

2 ))

1

Άρα η είναι 1-1. Το επί είναι εύκολο. g f

11 1

1 1 12 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )

g f x y x g f y

f g x y g x f y x g f yg f y g f y y y

−

− − −

= ⇔ =

= ⇔ = ⇔ =⇒ = ⇒ =

δηλαδή : 1 1( )g f f g− −= 1−

Παρατήρηση Δεν ισχύει πάντα : f g g f= για παράδειγμα Αν με : [1,f → +∞) 2( ) 1f x x= +

30

:[0, ) [0, )g +∞ → +∞ με ( )g x x= , τότε

: [1,g f → +∞) με 2( )( )g f x x 1= +

:[0, ) [1, )f g +∞ → +∞ με ( )( ) 1f g x x= + . Προφανώς f g g f≠ Σε ορισμένες περιπτώσεις όμως ισχύει f g g f= . Για παράδειγμα αν

με : [0,f → +∞) ( ) | |f x x= και με , τότε : [0,g → +∞))

2( )g x x=: [0,f g → +∞ με ( ) 2( ) | | 2f g x x x= = και

: [0,g f → +∞) με ( ) 2 2( ) | |g f x x x= = Για να δώσουμε τον γενικευμένο ορισμό του γινομένου μιας οικογένειας συνόλων, καθώς και να αποδείξουμε αρκετές προτάσεις των επομένων κεφα-λαίων χρειάζεται να «νομιμοποιήσουμε» τη διαδικασία, σύμφωνα με την οποία μπορούμε από κάθε ένα μέλος μιας οικογένειας μη κενών και ξένων μεταξύ τους συνόλων να επιλέξουμε ένα ακριβώς στοιχείο. Η νομιμοποίηση αυτή είναι μια πρόταση που «φαίνεται» ως μία απολύτως φυσική διαδικασία και τη δεχόμαστε, χωρίς να απαιτούμε γι’ αυτήν απόδειξη. Αυτό είναι το περίφημο Αξίωμα της επιλογής, το οποίο θα αναλύσουμε διεξοδικά, στο τελευταίο κεφάλαιο. Αξίωμα της Επιλογής Αν ,i i IΧ ∈ είναι μία μη κενή οικογένεια μη κενών και ξένων ανά δύο συνόλων, τότε το αξίωμα επιλογής (Αγγλικά Axiom of choice, Γαλλικά axiome du choix) μας εξασφαλίζει την ύπαρξη συνόλου

τέτοιου ώστε η τομή Α iΑ∩Χ για κάθε i I∈ να είναι μονοσύνολο10. Κάθε τέτοιο σύνολο ονομάζουμε σύνολο επιλογής Α Πρόταση 18 (Γενική αρχή επιλογής) Το αξίωμα επιλογής είναι ισοδύναμο με την εξής πρόταση: Αν Χ ένα μη κενό σύνολο. Τότε υπάρχει απεικόνιση11 : ( )r Ρ Χ − ∅ →Χ με ( )r Α ∈Α Απόδειξη Από το αξίωμα επιλογής στο σύνολο Χ συνεπάγεται η Γενική 10 Δηλαδή σύνολο με ένα μόνον στοιχείο. 11 Η απεικόνιση ονομάζεται και συνάρτηση επιλογής. r

31 Αρχή Επιλογής. Για κάθε ( )Α∈Ρ Χ − ∅ ορίζουμε το σύνολο

( )F Α = ( , ) /α αΑ ∈Α .

Προφανώς αν , ( )Α Β∈Ρ Χ − ∅ και Α ≠ Β , τότε ( ) ( )F FΑ ∩ Β =∅ .

Άρα η οικογένεια ( ) / ( )G F= Α Α∈Ρ Χ −∅ είναι μια μη κενή οικογέ-νεια μη κενών και ξένων ανά δύο συνόλων συνεπώς σύμφωνα με το αξίωμα επιλογής θα υπάρχει σύνολο , ώστε η J ( )J F∩ Α να είναι μονοσύνολο για κάθε ( )Α∈Ρ Χ −∅ . Θεωρούμε την απεικόνιση

: ( )r Ρ Χ −∅→ Χ , ώστε αν ( ) ( , )J F α∩ Α = Α , τότε ( )r αΑ = , η ο-ποία είναι η ζητούμενη απεικόνιση (συνάρτηση επιλογής) Αντιστρόφως Αν είναι μία οικογένεια μη κενών και ξένων ανά δύο συνόλων, τότε

,i i IΧ ∈

( )i ii I∈

Χ ⊂ Ρ Χ − ∅∪ . Άρα υπάρχει απεικόνιση

: ( )i ii I i I

r∈ ∈

Ρ Χ − ∅ → Χ∪ ∪ ( )r με ∈Β , για κάθε ( )ii I∈

Β∈Ρ Χ − ∅∪ . Β

Το ( ),ir i IΑ = Χ ∈ είναι το ζητούμενο σύνολο επιλογής. Παρατήρηση Μία ειδική περίπτωση της Γενικής Αρχής της Επιλογής (αυ-τή χρησιμοποιούμε συχνότερα) είναι η: Αν είναι μία μη κενή οικογένεια μη κενών συνόλων, τότε υ-πάρχει συνάρτηση , ώστε

: ,i i IΘ Α ∈

: ii I

f∈

Θ→ Α∪ ( )if iΑ ∈Α , για κάθε i I . ∈

Είναι προφανές πως η f είναι ο περιορισμός της συνάρτησης επιλογής του συνόλου ( )i

i I∈

Χ = Ρ Α − ∅∪ στο σύνολο Θ , το οποίο είναι υποσύνολο

του . Την παραπάνω συνάρτηση ονομάζουμε συνάρτηση επιλογής για την οικογένεια

ΧΘ

Ορισμός 24 Ορίζουμε ως καρτεσιανό γινόμενο μιας οικογένειας συνόλων, το σύνολο όλων των απεικονίσεων του

,i i IΑ ∈

I στην ένωση , ώστε

κάθε από το

ii I∈

Α∪i I να απεικονίζεται σε ένα στοιχείο του iΑ ή πιο αυστηρά :

32

i

/ : ( )i ii I i I

a a I a i∈ ∈

⎧ ⎫Α = → Α ∧ ∈Α⎨ ⎬

⎩ ⎭Χ ∪

Επίσης μπορούμε να ορίσουμε το καρτεσιανό γινόμενο A S

A∈Χ , ενός

συνόλου S, του οποίου τα στοιχεία είναι επίσης σύνολα, ως το σύνολο των απεικονίσεων :

A S

f S A∈

→∪ ώστε ( )f A A∈ .

Επίσης αα

Α

∈ΑΒ = Χ Β και αΒ = Β

Παρατήρηση Είναι προφανές ότι αν I =∅ , τότε ii I∈Α = ∅Χ

Πρόταση 19 (Πολλαπλασιαστική αρχή) Το καρτεσιανό γινόμενο

ii I∈ΑΧ μίας οικογένειας συνόλων ,i i IΑ ∈ με I ≠∅ είναι κενό αν και

μόνον αν υπάρχει i I , ώστε ∈ iΑ =∅ . Απόδειξη Αν υπάρχει i I∈ με iΑ =∅ , τότε δεν υπάρχει απεικόνιση

: ii I

a I∈

→ Α∪ με , άρα ( ) ia i ∈Α ii I∈Α = ∅Χ

Αντιστρόφως αν για κάθε i I∈ έχουμε iΑ ≠ ∅ , τότε (Γενική Αρχή Επι-λογής) θα υπάρχει απεικόνιση : ( )i i

i I i I

r∈ ∈

Ρ Α − ∅ → Α∪ ∪ , ώστε

( )r Α ∈Α για κάθε ( )Α∈Ρ Χ − ∅ .

Θεωρούμε την απεικόνιση : ( )I∂ →Ρ Χ − ∅ με ( ) ii∂ = Α . Τότε

ii I

r ϑ∈

∈ ΑΧ , άρα ii I∈Α ≠ ∅Χ

Εύκολα αποδεικνύεται τώρα ότι Πρόταση 20 Το Αξίωμα της Επιλογής και η Πολλαπλασιαστική Αρχή είναι προτάσεις ισοδύναμες.

33 1.9 Ακολουθίες Συνόλων Ορισμός 1 Έστω μια ακολουθία συνόλων τότε ,n nΑ ∈

1. Ορίζουμε ως limsup nΑ το σύνολο Α για το οποίο α ∈Α αν και μό-νον αν το α ανήκει σε όλους τους όρους μιας υπακολουθίας 12της

ή αλλιώς ανήκει σε άπειρα στοιχεία της ακολουθίας . ,n nΑ ∈ ,n nΑ ∈ 2. Ορίζουμε ως liminf nΑ το σύνολο Α για το οποίο α ∈Α αν και μό-νον αν υπάρχει ώστε k∈ nα ∈Α για κάθε φυσικό αριθμό . n k≥Στην περίπτωση που Α = Α = Α λέμε ότι η ακολουθία ,n nΑ ∈ συγκλί-νει και σημειώνουμε lim nΑ = Α Πρόταση 1 Έστω ακολουθία συνόλων τότε ,n nΑ ∈

1. 1

liminf n nk n k

∞ ∞

= =

Α = Α = Α∪∩

2. 1

limsup n nk k n

∞ ∞

= =

Α = Α = Α∩∪

Απόδειξη 1. x∈Α , άρα υπάρχει k∈ ώστε nx∈Α , για κάθε ,

άρα , άρα

n k≥

nn k

x∞

=

∈ Α∩1

nk n k

x∞ ∞

= =

∈ Α∪∩

Αντιστρόφως , άρα υπάρχει k1

nk n k

x∞ ∞

= =

∈ Α∪∩ ∈ ώστε nn k

x∞

=

∈ Α∩ , άρα υ-

πάρχει k ώστε , για κάθε , άρα ∈ nx∈Α n k≥ x∈Α

2. x∈Α , άρα υπάρχει γνησίως αύξουσα ακολουθία δεικτών ώστε

, για κάθε . Και επειδή θα έχουμε

kn

knx∈Α k∈ kn k≥ nn k

x∞

=

∈ Α∪ , για

κάθε k∈ , συνεπώς 1

nk k n

x∞ ∞

= =

∈ Α∩∪ .

12 Οι έννοιες της ακολουθίας και της υπακολουθίας θεωρούνται γνωστές από τον Απειρο-στικό Λογισμό

34

Αντιστρόφως έστω , άρα για κάθε 1

nk k n

x∞ ∞

= =

∈ Α∩∪ k∈ έχουμε ,

άρα υπάρχει φυσικός , ώστε

nn k

x∞

=

∈ Α∪kn k≥

knx∈Α , συνεπώς x∈Α . Πρόταση 2 Για οποιαδήποτε ακολουθία συνόλων ,n nΑ ∈ έχουμε

liminf limsupn nΑ ⊆ ΑΑπόδειξη Άμεση συνέπεια του ορισμού Πρόταση 3 Για οποιαδήποτε ακολουθία συνόλων ,n nΑ ∈ του χώρου X έχουμε

1. και ( )limsup liminfc cn nΑ = Α

2. ( )liminf limsupc cn nΑ = Α

Απόδειξη

( )1 1 1

1. limsup liminfc c

c c cn n n n

k k n k n k k n k

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

= = = = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Α = Α = Α = Α = Α⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∩∪ ∪ ∪ ∪∩ n

n( )1 1 1

2. liminf limsupc c

c c cn n n n

k n k k n k k k n

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

= = = = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Α = Α = Α = Α = Α⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∪∩ ∩ ∩ ∩∪

Πρόταση 4 Για οποιαδήποτε ακολουθία συνόλων ,n nΑ ∈ υπάρχει

ακολουθία ξένων μεταξύ τους συνόλων, τέτοια ώστε ,n nΒ ∈

1 1

n nn n

∞ ∞

= =

Α = Β∪ ∪

Απόδειξη Θεωρούμε την ακολουθία ,nG n∈ με

. Η ζητούμενη ακολουθία

είναι η

1 1 2 1 21

, ,..., ,...n kk

G G G∞

=

= Α = Α ∪Α = Α∪,n nΒ ∈ 1,n n nG G n−Β = − ∈

35 Παραδείγματα

1. Αν , τότε 1 2Α ⊆ Α ⊆…1

lim n nn

∞

=

Α = Α∪

2. Αν , τότε 1 2Α ⊇ Α ⊇…1

lim n nn

∞

=

Α = Α∩

3. Αν μία ακολουθία ξένων μεταξύ τους συνόλων τότε

,n nΑ ∈lim nΑ =∅

4. Αν 11[0, ]2

Α = , 21[ ,1]2

Α = , 31[0, ]3

Α = , 41 2[ , ]3 3

Α = , 52[ ,1]3

Α = ,…,

τότε [0,1]Α = και Α =∅

36

i

Προβλήματα 1. Να αποδείξετε τις παρακάτω συνεπαγωγές 1. Α⊆ Β∧Γ ⊆ Δ⇒ Α∪Γ ⊆ Β∪Δ 2. Α⊆ Β∧Γ ⊆ Δ⇒ Α∩Γ ⊆ Β∩Δ 3. Α⊆ Β∧Γ ⊆ Δ⇒ Α−Δ ⊆ Β−Γ 4. Α×Β = Α×Γ∧Α ≠∅⇒Β = Γ 5. Α×Α = Β×Β⇒Α = Β 6. Αν για κάθε iiΑ ⊆ Β I∈ , τότε i i

i I i I∈ ∈

Α ⊆ ΒΧ Χ

2. Αν σύνολα να αποδείξετε ότι , , ,Α Β Γ Δ 1. ( )Α− Α∩Β = Α −Β 2. ( ) ( )Α∩ Β−Γ = Α∩Β −Γ 3. ( ) ( )Α− Β∪Γ = Α −Β −Γ 4. ( ) ( ) (Α− Β−Γ = Α −Β ∪ Α∩Γ)

) 5. ( ) ( ) (Α−Β ×Γ = Α×Γ − Β×Γ 3. Αν και ( ),A B ≠ ∅ ( )A B B A C C× ∪ × = × , να αποδειχθεί ότι A B C= = 4. Αν και ( ),A B ≠ ∅ ( ) ( ) ( )A B B A C D D C× ∪ × = × ∪ × , να αποδειχθεί ότι και A C= B D= ή A D= και B C= 5. Να αποδειχθεί ότι 1. ( ) (Α Β Γ = Α Β Γ)

) 2. ( ) ( ) (Α∩ Β Γ = Α∩Β Α∩Γ 3. Α Χ = Α Ψ⇒Χ =Ψ 4. Για οποιαδήποτε δύο σύνολα Α και Β υπάρχει ακριβώς ένα σύνολο Χ ώστε Α Χ = Β 5. ( )Α Α Β = Β 6. Αν Α Β = Γ τότε Β = Α Γ 7. ( )Α−Β = Α Α∩Β

37 6. Αν με , να αποδείξετε ότι ,i i IΑ ∈ I ≠∅

1. ( )i ii I i I∈ ∈

⎛ ⎞Α −Γ = Α −Γ⎜ ⎟

⎝ ⎠∪ ∪

2. ( )i ii I i I∈ ∈

⎛ ⎞Α −Γ = Α −Γ⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ ∩

7. Αν Γ ≠ , τότε να αποδείξετε τις συνεπαγωγές ∅ 1. και Α×Γ ⊆ Β×Γ⇒ Α⊆ Β 2. Γ× Α⊆ Γ×Β⇒ Α⊆ Β 8. Έστω Χ ένα μη κενό σύνολο και ( )Α∈Ρ Χ . Χαρακτηριστική συνάρτη- ση του συνόλου ονομάζουμε τη συνάρτηση: Α

: 0χΑ Χ→ ,1 με 1 ,

( )0 ,

xx

xχΑ

∈Α⎧= ⎨ ∈Χ−Α⎩

να αποδειχθούν τα: α. ( ) 0xχ∅ = για κάθε x∈Χ β. ( ) 1xχΧ = για κάθε x∈Χ γ. ( ) ( ) ( )x x xχ χ χΑ∩Β Α Β= ⋅ για κάθε x∈Χ δ. ( ) ( ) ( )x x xχ χ χΑ−Β Α Α∩Β= − για κάθε x∈Χ 9. Αν και Ψ είναι δύο μη κενά σύνολα να αποδειχθεί ότι: Χ ( ) ( ) ( ) (Χ×Ψ ∩ Ψ×Χ = Χ∩Ψ × Χ∩Ψ) 10. Αν είναι μια οικογένεια συνόλων με ,i i IΑ ∈ I ≠∅ , να αποδείξετε ότι: α. ( ) ( )i i

i I i I∈ ∈

Ρ Α = Ρ Α∩ ∩

β. ( ) ( )i ii I i I∈ ∈

Ρ Α ⊆ Ρ Α∪ ∪

11. Αν δύο μη κενά σύνολα και ,Χ Ψ

ΧΨΧ = Ψ να αποδείξετε ότι . Χ = Ψ

38

12. Έστω . Αν :f Χ→ Χ ν ένας θετικός ακέραιος τότε ορίζουμε 2f f f= και επαγωγικά 1f f fν ν+ = . Να αποδειχθεί ότι αν υπάρχει

θετικός ακέραιος ν ώστε f iνΧ= , τότε η f είναι αμφιμονοσήμαντη.

13. Αν , :f Α→Β :g Β→ Α και g f iΑ= Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και η επί. Αν επιπλέον ισχύει gf g iΒ= , τότε οι ,f g είναι αμφιμονοσήμαντες και 1f g− = .

14. Αν , τότε ,n n nΒ = Ε−Α ∈

( ) ( ) ( ) ( )liminf limsup limsup liminfn n nΕ = Α ∪ Β = Α ∪ Βn 15. Να αποδειχθεί ότι το αξίωμα επιλογής είναι ισοδύναμο με την παρακά-τω πρόταση: « Για κάθε σχέση R υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε ( ) ( )dom R dom f= 16. Να αποδείξετε ότι το σύνολο 1 2 nΑ Α … Α αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε περιττό αριθμό συνόλων iΑ 17. Αν σύνολα, τότε 1 2, ,..., nΑ Α Α

( ) ( )1

1 11 1

n n

k k nk k

−

+= =

Α −Α ∪ Α −Α ∪ Α∪ ∩ k

18. Αν και ,nX n∈ ,nY n∈ είναι ακολουθίες συνόλων. Να αποδείξετε ότι 1. ( )limsup limsup limsupn n nX Y X Y∪ = ∪ n

n

n

n

n

n

2. ( )liminf liminf liminfn n nX Y X Y∩ = ∩

3. ( )liminf liminf liminfn n nX Y X Y∪ ⊇ ∪

4. ( )limsup limsup limsupn n nX Y X Y∩ ⊆ ∩

5. ( )limsup limsup limsupn n nX Y X Y− = −

6. ( )liminf liminf liminfn n nX Y X Y− ⊇ −

39 19. Αν nf είναι μία ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων μιας πραγματι-κής μεταβλητής, η οποία συγκλίνει σημειακά στη συνάρτηση f , να δειχθεί ότι

1 1

1/ ( ) / ( )nm r n r

x x f x a x f x am

∞ ∞ ∞

= = =

⎧ ⎫∈ ∧ > = ≥ +⎨ ⎬⎩ ⎭

∪∪∩

40

2.1 Ισοδύναμα σύνολα. Η διαφορά μεταξύ του συνόλου 1,2,3 και εκείνου όλων των φυσικών είναι φα-νερή και σε κάποιον που ασχολείται πολύ λίγο με τα μαθηματικά. Το μεν πρώτο εμπειρικά ξέρουμε ότι έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων ενώ το δεύτερο έχει άπειρο πλήθος στοιχείων. Αυτό είναι μία πρώτη, εμπειρική προσέγγιση του πεπε-ρασμένου και του απείρου. Με οδηγό καταρχάς τη διαισθητική αυτή παρατήρηση και μόνον διακρίνουμε τα σύνολα σε απειροσύνολα και πεπερασμένα επιφυλασ-σόμενοι να δώσουμε αργότερα τον αυστηρό ορισμό του απειροσυνόλου και του πεπερασμένου συνόλου. Αν λοιπόν, ορίσουμε ως πλήθος στοιχείων ή ισχύ ενός πεπερασμένου και μη κενού συνόλου Α , το θετικό ακέραιο n για τον οποίο το Α και το σύνολο 1,2,3,...,n μπορούν να τεθούν σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία, να μπορούμε άραγε να μιλήσουμε και για πλήθος στοιχείων για ένα απειροσύνολο ; Κάτι τέτοιο θα έχει πρακτική αξία, μόνον εφόσον υπάρχουν δύο τουλάχιστον απειροσύνολα των οποίων τα στοιχεία μετρημένα με κάποιο τρόπο βρεθούν ότι δεν είναι ίδια, κάτι που θα διαπιστώσουμε ακολούθως ότι ισχύει. Με ποιο τρόπο όμως μπορούμε να μετρήσουμε τα στοιχεία ενός απειροσυνόλου, τρόπο που δεν θα καταργεί τη μέτρηση των στοιχείων των πεπερασμένων συνόλων; Πως κάποιος που δεν γνωρίζει αρίθμηση μπορεί να βεβαιωθεί ότι ο αριθμός των καλεσμένων σε μια δεξίωση είναι ακριβώς ίδιος με των αριθμό των θέσεων που αυτοί θα καταλάβουν ; Απλώς θα τους βάλει να καθίσουν και εφόσον δεν πε-ρισσεύσουν ούτε καθίσματα αλλά ούτε και άνθρωποι, τότε θα είναι βέβαιος πως το σύνολο των καλεσμένων και το σύνολο των θέσεων έχουν την ίδια ισχύ, δηλαδή το ίδιο πλήθος στοιχείων. Αυτός ο τρόπος λοιπόν, που ουσιαστικά είναι ο ίδιος με εκείνον της μέτρησης της ισχύος των πεπερασμένων συνόλων θα χρησιμοποιηθεί και για τη μέτρηση της ισχύος των απειροσυνόλων. Με τη διαφορά πως δεν ορί-ζουμε την ισχύ των απειροσυνόλων ως κάτι συγκεκριμένο, όπως για τα πεπερα-σμένα σύνολα είναι ένας φυσικός αριθμός, αλλά έμμεσα. Έχουμε λοιπόν τον πα-ρακάτω ορισμό Ορισμός 1 Για να έχουν δύο σύνολα Α , Β την ίδια ισχύ ή αλλιώς να είναι ισο-δύναμα πρέπει και αρκεί να υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση f του στο . Με άλλα λόγια, λέμε πως ισχύς ή πληθάριθμος είναι το κοινό χαρακτη-ριστικό των ισοδυνάμων συνόλων, το οποίο για τα πεπερασμένα μη κενά σύνολα είναι ο θετικός ακέραιος

ΑΒ

ν , για τον οποίο το σύνολο είναι ισοδύναμο με το 1,2,3,...,ν και για το κενό σύνολο είναι το 0.

41 Θα συμβολίζουμε την ισχύ του συνόλου Α με Α , και την ισοδυναμία των συ-νόλων και Α Β θα συμβολίζουμε με Α Β∼ . Το ότι τα σύνολα δεν είναι ισοδύ-ναμα θα συμβολίζουμε με . Α Β/∼Συνεπώς συμφωνούμε Α = Β ⇔ Α Β∼ .1 Πρόταση 1 1. Α Α∼ 2. Α Β⇔Β Α∼ ∼ 3. Αν και Α Β∼ Β Γ∼ , τότε Α Γ∼ Απόδειξη 1. Η ταυτοτική απεικόνιση :iΑ Α→ Α είναι αμφιμονοσήμαντη. 2. τότε και μόνον τότε υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση , άρα και αντιστρόφως η είναι αμφιμονοσήμαντη, το οποίο σημαίνει ότι

Α Β∼ :f Α→Β1 :f − Β→ Α

Β Α∼3. Επειδή θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση Α Β∼ :f Α→Β . Το ίδιο επειδή θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση Β Γ∼ :g Β→Γ . Η είναι ως γνωστόν αμφιμονοσήμαντη, άρα :g f Α→ Γ Α Γ∼ .

1 Αν και η έννοια της ισοδυναμίας των συνόλων ήταν γνωστή και στον Bolzano, ο Cantor είναι

εκείνος που πρώτα την χρησιμοποίησε συστηματικά (1878). Έχει όμως ξεχωριστό ενδιαφέρον να

δούμε πως ο Cantor έδωσε τον ορισμό της ισχύος ενός συνόλου (βλ Cantor [1895], σελ.118-119 )

: Με την ονομασία «ισχύς» ή «πληθάριθμος» του Μ θα αποκαλούμε εκείνη τη γενική έννοια,

η οποία ανακύπτει μέσω της ενεργού δραστηριότητας της σκέψης μας, από το σύνολο Μ, όταν

κάνουμε αφαίρεση της φύσης των διαφόρων στοιχείων του m και της διάταξης με την οποία

αυτά δίδονται.

Συμβολίζουμε το αποτέλεσμα αυτής της διπλής αφαιρετικής δράσης, τον πληθάριθμο ή την

ισχύ του Μ, με το Μ Μ Μ(Τώρα αντί του χρησιμοποιούμε το συμβολισμό )

Αφού κάθε εξατομικευμένο στοιχείο γίνεται «μονάδα», αν κάνουμε αφαίρεση της φύσης του, ο

πληθάριθμος Μ είναι καθορισμένο σύνολο που συντίθεται από μονάδες, ενώ αυτός ο αριθμός υπάρχει στη σκέψη μας ως μία νοητή εικόνα ή προβολή του δοθέντος συνόλου Μ.

42

Ορισμός 2 Απειροσύνολο είναι εκείνο το σύνολο, το οποίο είναι ισοδύναμο με ένα γνήσιο υποσύνολό του. Σχόλιο Ο παραπάνω ορισμός οφείλεται στον μεγάλο Γερμανό μαθηματικό R. Dedekind2 (βλ. στο βιβλίο του, που αναφέρεται στη βιβλιογραφία σελ.63) Πρόταση 2 Αν ένα υποσύνολο ενός συνόλου Α είναι απειροσύνολο, τότε και το είναι απειροσύνολο. Α Απόδειξη Έστω ένα υποσύνολο του Β Α , το οποίο είναι απειροσύνολο, τότε θα υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του Γ Β , έτσι ώστε Β Γ∼ . Άρα θα υπάρχει αμφιμο-νοσήμαντη απεικόνιση . Θεωρούμε το σύνολο :f Γ →Β ( )′Γ = Γ∪ Α−Β , το οποίο προφανώς είναι ένα γνήσιο υποσύνολο του Α . Η απεικόνιση

:g ′Γ → Α με ( ),

( ),

f x xg x

x x∈Γ⎧

= ⎨ ∈Α−Β⎩ εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι αμφι-

μονοσήμαντη, άρα , συνεπώς το ′Γ Α∼ Α είναι απειροσύνολο. Πρόταση 3 Δύο οποιαδήποτε ανοικτά διαστήματα ( , )α β και ( , )γ δ έχουν την ίδια ισχύ.

2 Ο Richard Dedekind, γεννήθηκε στο Μπράουνσβιγκ το 1831. Μετά τις εγκύκλιες σπουδές του εισήχθη στο πανεπιστήμιο της Γκέτιγκεν, όπου είχε δασκάλους τους Stern, Gauss και τον φυσικό Weber. Το 1852 πήρε από τον Gauss το διδακτορικό του, εκπονώντας διατριβή με θέμα τα ολοκληρώματα του Euler. Το 1854 έγινε λέκτορας στο Γκέτιγκεν, όπου στα μαθήματά του παρουσίασε, ίσως για πρώτη φορά σε πανεπιστημιακές παραδόσεις, τη θεωρία του Galois. Παρότι όμως ο R.Dedekind υπήρξε ένας από τους αναγνωρισμένους για τις εργασίες του μαθηματικούς η επαγγελματική του καριέρα υπήρξε εντελώς ασήμαντη. Τα περισσότερα χρόνια της ζωής του πέ-ρασε ως καθηγητής σε ένα Τεχνικό Λύκειο του Μπράουνσβιγκ. Το σημαντικότερο επίτευγμα του R.Dedekind ήταν ο ορισμός των αρρήτων αριθμών από τους ρητούς με τις περίφημες τομές του Dedekind. Ο B. Russell έγραφε γι’ αυτόν « Ο Ζήνων ασχολήθηκε με τρία προβλήματα…Πρόκειται για τα προβλήματα του απειροστού, του απείρου και της συνέχειας…Από την εποχή του ως τις μέρες μας, οι πιο ικανές διάνοιες κάθε γενιάς καταπιάστηκαν με τα προβλήματα αυτά, αλλά γενικά δεν πέτυχαν τίποτε…Οι Weirstrass, Dedekind και Cantor …έλυσαν ολοκληρωμένα τα προβλήματα αυτά. Οι λύσεις τους …είναι τόσο σαφείς που δεν αφήνουν πια την παραμικρή υποψία δυσκολίας. Το επίτευγμα είναι πιθανότατα το μεγα-λύτερο για το οποίο μπορεί να καυχηθεί η εποχή μας… Το πρόβλημα του απειροστού λύθηκε από τον Weir-strass, η λύση των άλλων δύο ξεκίνησε από τον Dedekind και ολοκληρώθηκε από τον Cantor.» (βλ. Bell σελ. 441) Ο R. Dedekind πέθανε το 1916 σε ηλικία 85 ετών, έχοντας ως τα τελευταία του απόλυτη διαύγεια πνεύματος.

43 Απόδειξη Η απεικόνιση ),(),(: δγβα →f με

γαβγδα

αβγδ

+−−

−−−

= xxf )( , είναι αμφιμονοσήμαντη.

Πρόταση 4 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών ( ) και το διάστημα

( ,2 2π π

− ) έχουν την ίδια ισχύ.

Απόδειξη Η απεικόνιση : ( , )2 2

f π π− → με f x( ) tan= x , είναι αμφιμονο-

σήμαντη. Πρόταση 5 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών έχει την ίδια με το διάστη-μα (0 ή οποιοδήποτε άλλο διάστημα ( ,,1) )α β Απόδειξη Είναι άμεση συνέπεια των δύο παραπάνω προτάσεων. Σχόλιο Η γεωμετρική σημασία της παραπάνω πρότασης είναι η : Κάθε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ χωρίς τα άκρα του ( ]ΑΒ[ ) έχει το ίδιο πλήθος σημείων με την ευθεία. Πράγματι

Ο

Ρ1 (c)

(ε) Β1 Κ1 Α Μ B

Σχ. 2

44

Στο παραπάνω σχήμα Μ είναι το μέσον του ΑΒ , C είναι το ημικύκλιο που εφά-

πτεται της ευθείας (ε) στο Μ και έχει ακτίνα 2ΑΒ . Για να δείξουμε την αμφιμονο-

σήμαντη αντιστοιχία μεταξύ του ]ΑΒ[ και της (ε) ακολουθούμε την εξής διαδικα-σία : Ένα οποιοδήποτε σημείο του ]ΑΒ[ το «προβάλλουμε» στο σημείο του ημικυκλίου. Η ημιευθεία τέμνει την ευθεία (ε) στο σημείο

1Κ 1Ρ

1ΟΡ 1Β . Η απεικόνιση των σημείων του ευθυγράμμου τμήματος στα σημεία της ευθείας με τρόπο ώστε το να απεικονίζεται στο είναι προφανώς αμφιμονοσήμαντη. 1Κ 1Β Πρόταση 6 Δύο οποιαδήποτε κλειστά διαστήματα έχουν την ίδια ισχύ. Απόδειξη Αποδεικνύεται με την απεικόνιση, η οποία έχει τον ίδιο τύπο με εκεί-νον της πρότασης 3 που αναφέραμε και έχει την εξής γεωμετρική σημασία : Δύο ευθύγραμμα τμήματα ανεξάρτητα από τα μήκη τους έχουν το ίδιο πλήθος σημείων Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 1, τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ τίθενται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με τα σημεία του ευθύγραμμου τμήμα-τος ΓΔ.

Κ

Α Β Ρ1 Ρ2

Δ

Σ2

Σ1 Γ

Σχ.1

45 Πρόταση 7 Τα διαστήματα και (0 έχουν την ίδια ισχύ. [0,1] ,1) Απόδειξη Θεωρούμε την απεικόνιση με :[0,1] (0,1)f →

1 , 02

1 1, ,( )2

,

x

x nf xn n

x x

⎧ =⎪⎪⎪ = ∈= ⎨ +⎪⎪⎪ ∈Α⎩

,

όπου 1 1(0,1) , ,...2 3

⎧ ⎫Α = − ⎨ ⎬⎩ ⎭

.

Έστω με 1 2, [0,x x ∈ 1] 21x x≠ . Τότε υπάρχουν τα εξής ενδεχόμενα

1. και 1 0x = 21 ,x nn

= ∈ , τότε 1n ≠ − , άρα 2 1n + ≠ , άρα 1 12n≠

+, άρα

2 1( ) ( )f x f x≠

2. και , τότε 1 0x = 2x ∈Α 2 21( ) ( )2 1f x x f x= ≠ =

3. 11 ,x nn

= ∈ και , άρα 2x ∈Α 2 21 1( ) , ,...3 4

f x x ⎧ ⎫= ∉⎨ ⎬⎩ ⎭

, άρα 1 2( ) ( )f x f x≠

Άρα η f είναι 1-1. Το επί της f είναι σχετικά εύκολο. Συνεπώς [0 ,1] (0,1)∼ Πρόταση 8 Τα διαστήματα και το (0 είναι ισοδύναμα. [0,1] ,1] Απόδειξη Η απεικόνιση με :[0,1] (0,1]f →

1 1, ,1

( )1, ,

x nn n

f x

x x nn

⎧ = ∈⎪ +⎪= ⎨⎪⎪ ≠ ∈⎩

, αποδεικνύεται, όπως στην προηγούμενη περί-

πτωση αμφιμονοσήμαντη.

46

Πρόταση 9 Τα διαστήματα και (0 είναι ισοδύναμα. [0, )a , ]a Απόδειξη Η απεικόνιση : [0, ) (0, ]f a a→ με ( )f x a x= − είναι αμφιμονοσή-μαντη. Πρόταση 10 Το διάστημα (0 είναι ισοδύναμο με το (0, )a , )+∞

Απόδειξη Η απεικόνιση με : (0, ) (0, )f a → +∞1( )f x

a x a1

= −−

είναι αμφι-

μονοσήμαντη. Ομοίως αποδεικνύονται Πρόταση 11 Το διάστημα [0 και το [0, )a , )+∞ είναι ισοδύναμα Πρόταση 12 Τα ζεύγη των διαστημάτων ( , , 0)a ( ,0)−∞ και , είναι ισοδύναμα, όπου .

( ,0]a ( ,0−∞ ]

)

0a < Άμεση συνέπεια των παραπάνω προτάσεων είναι η Πρόταση 13 Όλα τα διαστήματα είναι μεταξύ τους ισοδύναμα και το κάθε ένα από αυτά ισοδύναμο με το Προβλήματα 1 .Το σύνολο των ευθειών του επιπέδου είναι ισοδύναμο με το σύνολο των σημείων του επιπέδου Απόδειξη Ορίζουμε απεικόνιση από το σύνολο των σημείων του επιπέδου στο σύνολο των ευθειών του χώρου, ως εξής Το σημείο με απεικονίζουμε στην ευθεία ( ,a b 0a ≠ y ax b= +

Το σημείο με απεικονίζουμε στην ευθεία (0,b) 0b < ln( )y b= −

Το σημείο απεικονίζουμε στην ευθεία (0,0) 0x =

Το σημείο με 0 απεικονίζουμε στην ευθεία (0,b) 1b< < lnx b=

47

) Το σημείο με 1 απεικονίζουμε στην ευθεία (0,b b≤ x b= Η παραπάνω απεικόνιση είναι μία από τις ζητούμενες. 2 Αν Y και Y Y , τότε X⊆ Z∪∼ X X Z∪∼ Απόδειξη Έστω :f Y Z Y∪ → μία 1-1 και επί απεικόνιση. Επειδή

η με ( ) ( )( )X Z X Y Z Y Z∪ = − ∪ ∪ ∪ :g X Z X∪ → ( )g x x= , αν

( )x X Y Z∈ − ∪ και αν ( ) ( )g x f x= x Y Z∈ ∪ είναι 1-1 και επί, άρα το ζητούμε-νο αποδείχθηκε. 3.Αν να αποδειχθεί ότι Α −Β Β − Α∼ Α Β∼ ενώ το αντίστροφο δεν αληθεύει απαραίτητα Απόδειξη

Έχουμε ότι ( ) ( )A A B A B= − ∪ ∩ και ( ) ( )B B A A B= − ∪ ∩ . Έστω

:f A B B A− → − μία 1-1 και επί απεικόνιση. Τότε η με , αν :g A B→ ( )g x x=x A B∈ ∩ και , αν ( ) ( )g x f x= x A B∈ − είναι 1-1 και επί απεικόνιση, άρα το ζη-τούμενο αποδείχθηκε. Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο αν πάρουμε ως

και A = B , το σύνολο των αρτίων φυσικών. 4. Αν A B∼ και M N∼ να αποδειχθεί ότι δεν αληθεύει απαραίτητα το

A M B N∩ ∩∼Απόδειξη Αν , και (0,1)A = (1,2)M = B N= = , τότε A B∼ , M N∼ αλλά

ενώ . A M∩ =∅ B N∩ =

2.2 Πεπερασμένα σύνολα και απειροσύνολα. Ορισμός 1 Αν , τότε ονομάζουμε αρχικό τμήμα του , το οποίο αντι-στοιχεί στον φυσικό αριθμό ν, το σύνολο

n∈ ( ) 1,2,...,n nΤ =

Οι εξής προτάσεις είναι χρήσιμες για τη εργασία που θα ακολουθήσει πάνω στον ορισμό της ισχύος των πεπερασμένων συνόλων Λήμμα 1 Αν και , τότε το σύνολο 1n > ( )k n∈Τ

48 ( )n kΑ = Τ − είναι ισοδύναμο με το ( 1n )Τ − .

Απόδειξη Αν k n= , τότε η απεικόνιση

: ( 1f nΑ→ Τ − ( )) με f x x=

1f nΑ→ Τ −,

( ),

είναι προφανώς αμφιμονοσήμαντη. Αν , τότε η απεικόνιση k n<

x: ( ) με

x nf x

k x n≠⎧

= ⎨ =⎩ είναι αμφιμονοσήμαντη (αποδεικνύεται εύ-

κολα). Λήμμα 2 Αν n∈ , τότε δεν υπάρχει μη κενό γνήσιο υποσύνολο του , το οποίο είναι ισοδύναμο με το .

( )nΤ( )nΤ

Απόδειξη Θα αποδείξουμε την πρόταση επαγωγικά. Για 1n = , προφανώς ισχύει. Δε-χόμαστε ότι ισχύει για και δεν ισχύει για m n= 1m n= + . Δηλαδή υπάρχει με ( 1n∅ ≠ Α ⊂ Τ + ) )( 1nΑ Τ +∼ . Άρα υπάρχει αμφιμονοσήμα-ντη απεικόνιση . : ( 1)f nΤ + → ΑΥπάρχουν τα εξής δύο ενδεχόμενα 1ο ενδεχόμενο : , τότε το 1n + ∈Α 1nΒ = Α − + είναι γνήσιο υποσύνολο του

και η απεικόνιση ( )nΤ 1 : ( 1) (f n f n− Β → Τ + − +1 1)− είναι αμφιμονοσήμαντη.

Αλλά σύμφωνα με το προηγούμενο λήμμα 1( 1) ( 1) (n f n− )nΤ + − + Τ∼ , άρα

, το οποίο είναι άτοπο. ( )nΒ Τ∼2ο ενδεχόμενο : , τότε 1n + ∉Α ( ( 1) 1 ) ( ( 1))n n f nΤ + − + Α − +∼ , δηλαδή

. Αλλά το ( ) ( ( 1))n f nΤ Α − +∼ ( 1n )Α ⊂ Τ + και 1n + ∉Α , δηλαδή ότι , συνεπώς θα έχουμε και ( )nΑ ⊂ Τ ( ) ( ( 1))n f nΤ ⊃ Α − + , άτοπο.

Λήμμα 3 Αν Α είναι ένα μη κενό και γνήσιο υποσύνολο του ( )nΤ , , τότε υ-

πάρχει m με m n , τέτοιο ώστε,

1n >∈ < ( )mΑ Τ∼ .

Απόδειξη Η πρόταση ισχύει προφανώς για 2n = . Δεχόμαστε ότι ισχύει για

και θα δείξουμε ότι ισχύει για 2k n= > 1k n= + . Έστω Α ένα μη κενό και γνήσιο υποσύνολο του ( 1n )Τ + . Υπάρχουν δύο ενδεχόμενα 1ο ενδεχόμενο : , τότε 1n + ∉Α ( )nΑ ⊆ Τ Αν , τότε το ζητούμενο προκύπτει από την υπόθεση της επαγωγής. ( )nΑ ⊂ ΤΑν , τότε επειδή ( )nΑ = Τ ( )nΑ Τ∼ 1n n< + , το ζητούμενο πάλι ισχύει.

49

) 2ο ενδεχόμενο : , τότε επειδή 1n + ∈Α ( 1nΑ ⊂ Τ + θα υπάρχει l∈ με

, ώστε l . Θεωρούμε την απεικόνιση 1l n< + ∉Α

:f Α→ με , 1

( ), 1x x n

f xl x n

≠ +⎧= ⎨ = +⎩

, η οποία εύκολα αποδεικνύεται ότι

είναι 1-1 και επειδή και ( ) ( 1)f nΑ ⊂ Τ + 1 (n f )+ ∉ Α , άρα ( ) ( )f nΑ ⊆ Τ . Αν ( ) ( )f nΑ ⊂ Τ , τότε από την υπόθεση της επαγωγής θα υπάρχει m∈ , με ώστε

m n<( ) ( )f mΑ Τ∼ , άρα και , επειδή ( )mΑ Τ∼ ( )fΑ Α∼ .

Αν ( ) ( )f nΑ = Τ , τότε , άρα ( )fΑ Α∼ ( )nΑ Τ∼ και 1n n< + , άρα και σ’ αυτή την περίπτωση αποδείχθηκε το ζητούμενο. Λήμμα 4 Αν Α είναι ένα μη κενό υποσύνολο του ( )nΤ , , τότε υπάρχει m με m n , τέτοιο ώστε, .

1n > ∈≤ ( )mΑ Τ∼

Απόδειξη Αν είναι γνήσιο υποσύνολο του Α ( )nΤ , τότε, από την προηγούμενη πρότα-ση υπάρχει με , τέτοιο ώστε, m∈ m n< ( )mΑ Τ∼ . Αν ( )nΑ = Τ , τότε . m n= Λήμμα 5 Αν , τότε . ,m n∈ ( ) ( )n m nΤ Τ ⇔ =∼ m

n

Απόδειξη ( ) Έστω πως m . Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως

, άρα , άτοπο λόγω του λήμματος 2. ⇒ n≠

m n< ( ) ( )mΤ ⊂ Τ( ) Είναι προφανές. ⇐ Λήμμα 6 Αν , , , ,m n∈ ( )nΑ Τ∼ ( )mΒ Τ∼ και Α⊆ Β , τότε n m≤

Απόδειξη Έστω μία 1-1 και επί απεικόνιση. Αν : ( )f mΤ → Β 1( ) ( )f n−Γ = Α ⊆ Τ , τότε από το λήμμα 4 θα υπάρχει k∈ με k m≤ , τέτοιο ώστε, ( )kΓ Τ∼ . Αλλά

, συνεπώς , άρα Α Γ∼ n k= n m≤ . Ορισμός 2 Ένα σύνολο θα λέμε ότι είναι πεπερασμένο, αν και μόνον αν, είναι κενό ή υπάρχει ώστε,

Αn∈ ( )nΑ Τ∼ .

Πρόταση 1 Ο φυσικός αριθμός του παραπάνω ορισμού είναι μοναδικός. Απόδειξη Άμεση συνέπεια του λήμματος 4.

50

Ορισμός 3 Αν το σύνολο είναι πεπερασμένο, τότε ονομάζουμε ισχύ του τον αριθμό 0, αν

ΑΑ =∅ ή τον μοναδικό φυσικό ν για τον οποίο ισχύει ( )nΑ Τ∼ , σε

κάθε άλλη περίπτωση. Συνεπώς αν ένα μη κενό πεπερασμένο υποσύνολο, τότε υπάρχει θετικός ακέ-ραιος n , ώστε

Α 1 2, ,..., nα α αΑ =

Πρόταση 2 Αν Α είναι ένα μη κενό πεπερασμένο σύνολο, τότε δεν υπάρχει γνήσιο υποσύνολό του Β, τέτοιο ώστε Α Β∼ . Απόδειξη Έστω ένα γνήσιο υποσύνολο του Β ≠∅ Α με Α Β∼ . Αν nΑ = ∈ , τότε υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση

: ( )f nΑ→ Τ . Θα έχουμε , άρα Β ⊂ Α ( ) ( ) ( )f f nΒ ⊂ Α = Τ και επειδή ( )fΒ Β∼ , και θα έχουμε Α Β∼ ( )nΑ Τ∼ ( )nΒ Τ∼ , άρα

( ) ( )f nΒ Τ∼ . Δηλαδή το έχει γνήσιο μη κενό υποσύνολο, ισοδύναμο με αυτό, άτοπο.

( )nΤ

Πρόταση 3 Αν το Α είναι απειροσύνολο και Α ⊂ Β , τότε το Β είναι επίσης απειροσύνολο. Απόδειξη Έστω απειροσύνολο, τότε θα υπάρχει Α Γ ⊂ Α με Γ Α∼ , άρα υ-πάρχει αμφιμονοσήμαντη. :f Α→ΓΘεωρούμε την απεικόνιση : ( )g Β→ Β−Α ∪Γ , την οποία ορίζουμε ως εξής

( ),

( ),

f x xg x

x x∈Α⎧

= ⎨ ∈Β−Α⎩

Η g είναι αμφιμονοσήμαντη και ( )Β−Α ∪Γ ⊂ Β , άρα το Α είναι απειροσύνο-λο. Πρόταση 4 Αν πεπερασμένο με Α 1nΑ = > και Β ⊂ Α , τότε Β πεπερα-σμένο.

Απόδειξη Έστω ότι 1nΑ = > , τότε θα υπάρχει : ( )f nΑ→ Τ αμφιμονοσή-μαντη. Επειδή Β ⊂ Α θα έχουμε ( ) ( ) ( )f f nΒ ⊂ Α = Τ , άρα (Λήμμα 3) θα υ-πάρχει με ώστε m∈ m n< ( ) ( )f mΒ Τ∼ . Επειδή ( )fΒ Β∼ θα έχουμε

( )μΒ Τ∼ , άρα το Β πεπερασμένο.

51 Πρόταση 5 Το Α είναι απειροσύνολο αν και μόνον αν για κάθε υπάρ-χει υποσύνολο

n∈nΒ του Α , τέτοιο ώστε ( )n nΒ Τ∼

Απόδειξη (⇒ ) Ισχύει για . Πράγματι αν 1m = 1α ∈Α , τότε 1(1) αΤ ∼ . Έστω πως η πρόταση ισχύει για δηλαδή υπάρχει m n= Β ⊆ Α με ( )nΒ Τ∼ . Αν υπο-θέσουμε πως , τότε Α−Β =∅ ( )nΑ Τ∼ , άρα το Α δεν είναι απειροσύνολο γιατί (πρόταση 2) δεν υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του Α ισοδύναμο με το . Άρα , συνεπώς υπάρχει

ΑΑ−Β ≠∅ β ∈Α−Β .

Τότε ( 1nβΒ∪ Τ +∼ ) , συνεπώς η συνεπαγωγή αποδείχθηκε. (⇐ ) Θεωρούμε την ακολουθία 1Α , 2Α , …, nΑ ,…των υποσυνόλων του , για τα οποία ισχύει

Α( )n nΑ Τ∼ για κάθε n∈ . Επαγωγικά θα κατασκευάσουμε ακο-

λουθία γνησίων υποσυνόλων του 1 2, ,..., ,...nΒ Β Β Α , τέτοια ώστε ( )n nΒ Τ∼ και για κάθε . Θέτουμε 1n n+Β ⊂ Β n∈ 2 2 1 2,α αΒ = Α = και 1 1αΒ = . Ονο-

μάζουμε 2 2β α= . Υποθέτουμε ότι έχουμε κατασκευάσει τα σύνολα mΒ με τις παραπάνω ιδιότητες για κάθε φυσικό m n≤ και θα κατασκευάσουμε το σύνολο

. Επειδή το δεν είναι υποσύνολο του 1n+Β 1n+Α nΒ (λήμμα 4), τότε θα υπάρχει

1 1n nβ + +∈Α με 1n nβ + ∉Β . Τότε το σύνολο 1n n nβ+Β = Β ∪ 1+

) είναι ισοδύναμο

με το και . Άρα έχουμε ορίσει ακολουθία ( 1nΤ + 1n n+Β ⊂ Β ,n nΒ ∈ υποσυ-νόλων του με Α 1n n nβ+Β −Β = 1+ . Το σύνολο 2 3, ,..., ,...nβ β βΓ = είναι ένα υποσύνολο του Α , και επί πλέον είναι απειροσύνολο, γιατί είναι ισοδύναμο με το υποσύνολό του 4 6 8 2, , ,..., ,...nβ β β β′Γ = (Η απεικόνιση :f ′Γ → Γ με

2( ) ,n nf nβ β= ∈ είναι 1-1 και επί), άρα το Α είναι απειροσύνολο. Πρόταση 6 Αν το Α ≠ δεν είναι απειροσύνολο, τότε υπάρχει με

∅ n∈

( )nΑ Τ∼ Απόδειξη Επειδή το δεν είναι απειροσύνολο θα υπάρχει Α k∈ , ώστε για κάθε ( )Β∈Ρ Α − ∅ να ισχύει ( )kΒ Τ/∼ . Συνεπώς το σύνολο Κ των μη μηδε-νικών φυσικών οι οποίοι έχουν τη παραπάνω ιδιότητα θα είναι μη κενό, άρα θα έχει ελάχιστο στοιχείο, έστω το μ ∈ . Επειδή Α ≠∅ , θα υπάρχει 1α ∈Α ,

52 συνεπώς 1 ( )α ∈Ρ Α − ∅ , άρα 1 (1)α Τ∼ , άρα , άρα

και . 1m > 1m − ∈

1m − ∉ΚΣυνεπώς θα υπάρχει ( )Β∈Ρ Α − ∅ με ( 1m )Β Τ −∼ . Έστω ότι Α−Β ≠∅ ,

τότε θα υπάρχει β ∈Α −Β , συνεπώς ( )βΒ∪ ∈Ρ Α και ( )mβΒ∪ Τ∼ , άτοπο, άρα , δηλαδή Α−Β =∅ Α = Β , άρα ( 1m )Α Τ −∼ , άρα το ζητούμενο

υπάρχει (n 1n m= − ). Πρόταση 7 Οι παρακάτω προτάσεις (Ι) και (ΙΙ) είναι ισοδύναμες (Ι) Το σύνολο Α δεν είναι απειροσύνολο. (ΙΙ) Το σύνολο είναι πεπερασμένο. Α Απόδειξη Άμεση συνέπεια της πρότασης 6 Προβλήματα 1. Να αποδειχθούν τα α. Αν η : ( ) ( )f n nΤ → Τ είναι 1-1, τότε θα είναι και επί

β. Αν η : ( ) ( )f n nΤ → Τ είναι επί, τότε θα είναι και 1-1 Απόδειξη

α. Έστω ότι η f δεν είναι επί, τότε ( )( ) ( )f n nΤ ⊂ Τ , συνεπώς το ( )( )f nΤ είναι ένα

μη κενό, γνήσιο υποσύνολο του ( )nΤ ισοδύναμο με το ( )nΤ , άτοπο. β. Έστω ότι η f δεν είναι 1-1, συνεπώς, τότε αν Α είναι ένα σύνολο επιλογής της οικο-

γένειας ( )1 , ( )f k k n− ∈Τ , τότε ( )nΑ ⊂ Τ και ( )nΑ Τ∼ , άτοπο.

2. Το είναι απειροσύνολο αν και μόνον για κάθε Α 1 2, ,..., nα α α ∈Α το είναι

ισοδύναμο με το

Α

1 2, ,..., nα α αΑ −

Απόδειξη Το ικανό είναι προφανές. Για το αναγκαίο έχουμε Αν υποθέσουμε ότι το σύνολο Β είναι πεπερασμένο, επειδή είναι προφανώς μη κενό, θα υπάρχει θετικός φυσικός m ώστε 1≥ 1 2, ,..., mβ β βΒ = , άρα

1 2 1 2, ,..., , , ,...,n mα α α β β βΑ = , δηλαδή (m n)Α Τ +∼ , άτοπο.

53 3. Το είναι απειροσύνολο αν και μόνον για κάθε Α 1 2, ,..., nα α α ∈Α με

1 2, ,..., nα α α ∩Α =∅ , το είναι ισοδύναμο με το Α 1 2, ,..., nα α αΑ∪ .

Απόδειξη Άμεση συνέπεια του παραπάνω.

54

2.3 Αριθμήσιμα απειροσύνολα. Ορισμός 1 Αριθμήσιμο θα λέμε ένα σύνολο, όταν αυτό είναι ισοδύναμο με το σύνολο των θετικών ακεραίων. Παρατήρηση Αν το σύνολο είναι αριθμήσιμο, τότε θα υπάρχει μία αμφιμονο-σήμαντη απεικόνιση . Αν ονομάσουμε

Α:f →Α κα την εικόνα του φυσικού

μέσω της κ

f , τότε το σύνολο θα γράφεται Α 1 2 3, , ,..., ,...να α α αΑ = . Δηλαδή ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο αν και μόνον αν μπορεί να γραφεί ως σύνολο των όρων μιας ακολουθίας, της οποίας οι όροι είναι διακεκριμένοι. Πρόταση 1 Κάθε αριθμήσιμο σύνολο είναι απειροσύνολο. Απόδειξη Έστω ένα αριθμήσιμο σύνολο, δηλαδή Α 1 2, ,..., ,...να α αΑ = .

Θεωρούμε το υποσύνολο 2 4 2, ,..., ,...να α α′Α = του Α και την απεικόνιση με :f ′Α → Α 2( )f κ κα α= . Εύκολα αποδεικνύεται ότι η f είναι αμφιμονοσή-

μαντη, άρα , άρα το Α απειροσύνολο. ′Α Α∼ Πρόταση 2 Κάθε απειροσύνολο έχει αριθμήσιμο υποσύνολο Απόδειξη Βλέπε την απόδειξη της πρότασης 5 της παραγράφου 2.2 Πρόταση 3 Το σύνολο των ακεραίων είναι αριθμήσιμο Απόδειξη Αν κάθε αρνητικό ακέραιο κ απεικονίσουμε στον φυσικό , το

απεικονίσουμε στο 1 και κάθε θετικό ακέραιο 2κ− +1

0 λ στον 2λ , τότε έχουμε μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση του στο , συνεπώς το ζητούμενο αποδείχθηκε. Πρόταση 4 Το σύνολο των θετικών ρητών είναι αριθμήσιμο Σχόλιο Η διαίσθησή μας δεν μπορεί να κατανοήσει πως είναι δυνατόν να συμ-βαίνει κάτι τέτοιο, εξαιτίας του ότι ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς ακέραιους υπάρ-χουν άπειροι ρητοί. Φαίνεται όμως, πως το άπειρο έχει τη δική του «περίεργη» λογική. Η απόδειξη που ακολουθεί είναι του G. Cantor. Βέβαια δεν διεκδικεί

55 δάφνες αυστηρότητας, αλλά θα την παρουσιάσουμε από σεβασμό στην ιστορία, αλλά και γιατί ακόμη δεν είμαστε σε θέση να δώσουμε αυστηρή απόδειξη. Απόδειξη Θεωρούμε το διάγραμμα 1 2 3 4 . . .

12

22

32

42

. . .

13

23

33

43

. . .

όπου η πρώτη γραμμή περιλαμβάνει όλα τα θετικά κλάσματα με παρονομαστή 1, η δεύτερη γραμμή περιλαμβάνει όλα τα θετικά κλάσματα με παρονομαστή 2 κ.ο.κ Προφανώς το διάγραμμα περιλαμβάνει όλους τους θετικούς ρητούς, τους οποίους αν γράψουμε με την σειρά που δείχνουν τα βέλη, παραλείποντας όμως τους αριθ-μούς που έχουμε ήδη γράψει, παίρνουμε μια άπειρη ακολουθία αριθμών :

1 11, 2, , , 3,2 3

… στην οποία κάθε θετικός ρητός εμφανίζεται μόνον μία φορά. Άρα

το σύνολο των θετικών ρητών είναι αριθμήσιμο. Αν παραστήσουμε την ακολουθία αυτή με α α , τότε η ακολουθία αποτελεί το σύνο-λο των ρητών. Άρα και

1 2 3, , ,α … 1 1 2 20, , , , ,α α α α− − …

Πρόταση 5 Το σύνολο των ρητών είναι αριθμήσιμο. 2.4 Υπάρχουν σύνολα υπεραριθμήσιμα; Πρόταση 1 (Θεώρημα Cantor) Το σύνολο των αριθμών του διαστήματος (0,1) δεν είναι αριθμήσιμο

56 Απόδειξη 1 Κατ’ αρχήν είναι προφανές ότι το διάστημα (0,1) είναι απειροσύ-

νολο, αφού έχει ως υποσύνολο το αριθμήσιμο σύνολο 1 1, ,...2 3

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

. Υποθέτουμε ότι

το παραπάνω σύνολο είναι αριθμήσιμο, άρα μπορούμε να γράψουμε τα στοιχεία του με μορφή μιας ακολουθίας έστω Κάθε στοιχείο της ακολουθίας αυτής το γράφουμε ως απειροψήφιο δεκαδικό αριθμό (για παράδειγμα τον αριθμό

1 2 3, , ,α α α …

12δεν τον γράφουμε ως 0,5 αλλά ως 0,4999…) Γράφουμε λοιπόν την ακολουθία

ως εξής :

1 11 12 13

2 21 22 33

3 31 32 33

0, ,0, ,0, ,

α β β βα β β βα β β β

===

………

όπου είναι ένα από τα δέκα ψηφία του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης. κλβΘα πρέπει, σύμφωνα με την υπόθεση που κάναμε, κάθε αριθμός του διαστήματος

να είναι στοιχείο της ακολουθίας αυτής. Δεν συμβαίνει όμως αυτό, γιατί για παράδειγμα ο αριθμός με (0,1)

1 2 30, ,δ δ δ … 7κδ = , αν 3κκβ = και 3κδ = , αν 3κκβ ≠ δεν είναι ίσος με κανέναν από τους όρους της ακολουθίας, γιατί διαφέρει

με τον τουλάχιστον στο πρώτο δεκαδικό του ψηφίο, με τον τουλάχιστον στο δεύτερο κ.ο.κ. Άρα το δεν είναι ισοδύναμο με το

1α 2α(0,1)

Σχόλιο Η παραπάνω, εκπληκτικής φαντασίας απόδειξη, οφείλεται στον Cantor και είναι εφαρμογή της περίφημης διαγώνιας μεθόδου ή αλλιώς διαγώνιας διαδικα-σίας, η οποία, όπως λέει ο Σ. Νεγρεπόντης «βασίζει και διατρέχει ένα πολύ μεγά-λο (και το πιο κεντρικό) μέρος του μαθηματικού οικοδομήματος (Βλέπε τη διάλε-ξη του Σ. Νεγρεπόντη « Η διαγώνια διαδικασία στα Μαθηματικά») Η απόδειξη που ακολουθεί – και αυτή κομψή- στηρίζεται στο αξίωμα πληρότητας των πραγματικών αριθμών1 Απόδειξη 2 Αν υποθέσουμε πως το είναι αριθμήσιμο, τότε υπάρχει ακο-λουθία

(0,1)

1 2 3, , ,...α α α , ώστε κάθε αριθμός του να είναι στοιχείο της παραπά (0,1) 1 Κάθε σύνολο πραγματικών, το οποίο είναι άνω φραγμένο έχει supremum. Συνέπεια του προη-γουμένου είναι το ότι, κάθε σύνολο πραγματικών, το οποίο είναι φραγμένο κάτω έχει infimum.

57

νω ακολουθίας. Από το εξαιρούμε τους αριθμούς (0,1) 13

και 23

και έτσι προ-

κύπτουν τα τρία διαστήματα ( 0 , 13

) , ( 1 2,3 3

) , ( 2 ,13

). Από αυτά επιλέγουμε ένα,

το οποίο ονομάζουμε 0 0 )( ,γ δ , έτσι ώστε σ’ αυτό να μην ανήκει ο όρος 1α . Ας

προσέξουμε πως το κάθε ένα από τα διαστήματα αυτά έχει μήκος 13

. Για το

διάστημα που επιλέξαμε ακολουθούμε την ίδια διαδικασία και από τα τρία δια-

στήματα που προκύπτουν επιλέγουμε το 1 1( , )γ δ , το οποίο έχει μήκος 2

13

και

στο οποίο δεν ανήκει ο όρος 2α κ.ο.κ συνεχίζοντας τη διαδικασία κατ’ αυτό τον

τρόπο φτάνουμε στο διάστημα 1 1( ,ν ν )γ δ− − με μήκος 13ν

, στο οποίο δεν ανήκει ο

όρος να . Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται επ’ άπειρον. Σχηματίζεται κατ’ αυτόν τον τρόπο μία ακολουθία διαστημάτων 0 0 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , )ν νγ δ γ δ γ δ− −⊃ ⊃ ⊃ ⊃ με

1 113ν ν νδ γ− −− = και 1 1( ,ν ν ν )α γ δ− −∉ , για κάθε ν ∈ .

Έχουμε (1) lim( ) 0ν ννδ γ

∈− = . Η ακολουθία νγ , ως αύξουσα και φραγμένη άνω

θα συγκλίνει και sup , limν νρ γ ν γ= ∈ = . Η ακολουθία νδ , ως φθίνουσα και φραγμένη κάτω θα συγκλίνει και inf , limν νρ δ ν δ′ = ∈ =

Λόγω της (1) έχουμε lim( ) 0ν νρ ρ γ δ′− = − = , άρα ρ ρ′=

Από αυτό προκύπτει ότι ν νγ ρ δ≤ ≤ για κάθε ν ∈ , άρα ( , )ν νρ γ δ∈ , για κάθε ν ∈ . Άρα ( , )ν ν

ν

ρ γ δ∈

∈∩ .

Προφανώς νρ α≠ , για κάθε ν ∈ δηλαδή υπάρχει στοιχείο του διαστήματος , που δεν είναι όρος της ακολουθίας, άρα το δεν είναι αριθμήσιμο. (0,1) (0,1)

Παρατήρηση Όλα τα σύνολα, τα οποία είναι ισοδύναμα με το διάστημα λέμε ότι έχουν την ισχύ του συνεχούς. Εφεξής την ισχύ των αριθμησίμων συνό

(0,1)

58 λων θα συμβολίζουμε με ,0ℵ 2 και την ισχύ του συνεχούς με το Λατινικό

γράμμα (από τη Λατινική λέξη continuum). cΜέχρι στιγμής είδαμε ότι έχουμε δύο τουλάχιστον είδη απείρου. Όπως θα δούμε στα επόμενα τα είδη του απείρου είναι άπειρα. Άρα έχει νόημα η μελέτη των ι-σχύων των απειροσυνόλων. Προβλήματα

1. Το διάστημα [0,1]Ι = χωρίζουμε σε τρία διαστήματα με μήκος 13

το καθένα.

Από το αφαιρούμε τα στοιχεία του εσωτερικού του μεσαίου από τα τρία παραπάνω διαστήματα. Το καθένα από τα εναπομείναντα δύο διαστήματα χωρίζουμε σε τρία

διαστήματα μήκους

Ι

2

13

το καθένα και αφαιρούμε τα στοιχεία του εσωτερικού καθε-

νός μεσαίου από αυτά. Συνεχίζουμε τη διαδικασία αυτή επ’ άπειρον και έτσι προκύ-πτει το λεγόμενο σύνολο του Cantor, το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα . Δη-λαδή

C

1 2 1 2 7 8[0,1] [( , ) ( , ) ( , ) ]3 3 9 9 9 9

C = − ∪ ∪ ∪ ,τότε C c=

Απόδειξη Από τον τρόπο κατασκευής του συνόλου Cantor εύκολα προκύπτει ότι αν γράψουμε τα στοιχεία του ως απειροψήφιους αριθμούς στο τριαδικό σύστημα αρίθμησης, τότε τα μο-ναδικά ψηφία που θα περιέχουν θα είναι το 0 και το 2. Και αντιστρόφως αν ένας απειρο-ψήφιος τριαδικός του διαστήματος [0 έχει ως μοναδικά ψηφία το 0 και το 2, τότε θα είναι στοιχείο του . Αν έχουμε όλους τους αριθμούς του [0 γραμμένους στο δυαδι-κό σύστημα αρίθμησης, τότε κατασκευάζουμε την απεικόνιση ώστε

,1]C ,1]

: [0,f C → 1]

1 21 20, ... ... 0,

2 2 2f n

nx x xx x x x= ⎯⎯→ είναι προφανώς 1-1 και επί, συνεπώς το ζη-

τούμενο αποδείχθηκε. 2. Έστω μια αρίθμηση του συνόλου των ρητών του διαστήματος

και η απειροψήφια δεκαδική αναπαράσταση του ρητού 1 2, ,..., ,...nr r r (0,1)

1 20, ... ...j j jna a a jr , τότε ο

αριθμός είναι άρρητος. 11 22... ...nna a a a=

2 Το γράμμα άλεφ (ℵ ) είναι το πρώτο γράμμα της Εβραϊκής αλφαβήτου

59 Απόδειξη Η απόδειξη είναι μία χαρακτηριστική εφαρμογή της διαγώνιας διαδικασίας του Cantor Έστω ότι ο είναι ρητός, τότε a 1 2 1 2... ...ka c c c bb b= m Θεωρούμε τον ρητό αριθμό

1 2 1 2... ...k mr d d d e e e= με αν 1id = 1ic ≠ και 2id = αν 1ic = για κάθε 1

ενώ αν και αν

i k≤ ≤3ie = 3ib ≠ 4ie = 3ib = . Έστω πως nr r=

Υπάρχουν τα εξής ενδεχόμενα 1. 1 ή n k≤ ≤2. k n>Αν αληθεύει το πρώτο ενδεχόμενο, τότε για το n− οστό ψηφίο της δεκαδικής αναπαρά-στασης του θα έχουμε nna nn n na c d= = , άτοπο. Αν αληθεύει το δεύτερο, τότε για το n− οστό ψηφίο της δεκαδικής αναπαράστασης του

θα έχουμε , όπου το υπόλοιπο της διαίρεσης του nna nn l la b= = e l n k− δια του , αν και αν

m0 1l k< < − l m= |m n k− , το οποίο είναι επίσης άτοπο.

3. Να βρεθεί ένα σύνολο Μ, σημείων του χώρου με την ισχύ του συνεχούς, το οποίο έχει τις ιδιότητες α. Ανά τρία τα σημεία του Μ δεν είναι συνευθειακά β. Δύο οποιαδήποτε διαφορετικά ευθύγραμμα τμήματα με άκρα σημεία του Μ, αν έχουν κοινό σημείο, τότε αυτό είναι ένα από τα άκρα του. Απόδειξη

Θεωρούμε το σύνολο ( ) 2 3, , ,M ξ ξ ξ ξ= ∈ , το οποίο προφανώς έχει την ισχύ του

συνεχούς. Αν υπάρχουν τρία σημεία του M , τα ( )2 31 1 1, ,ξ ξ ξ , ( )2 3

2 2 2, ,ξ ξ ξ και

( 2 33 3 3, , )ξ ξ ξ , τα οποία είναι συνευθειακά, τότε για οποιαδήποτε 4 1 2 3, ,ξ ξ ξ ξ∉ τα

σημεία ( )2 31 1 1, ,ξ ξ ξ , ( )2 3

2 2 2, ,ξ ξ ξ , ( )2 33 3 3, ,ξ ξ ξ και ( )2 3

4 4 4, ,ξ ξ ξ θα ανήκουν στο ίδιο

επίπεδο. Ας είναι η εξίσωση του πιο πάνω επιπέδου. Τότε επει-δή

0Ax By Cz D+ + + =

( )( )( )( )( )( )

2 31 1 1

2 32 2 2

4 3 4 2 4 1 3 2 3 1 2 12 33 3 3

2 34 4 4

11

011

ξ ξ ξξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξξ ξ ξ

= − − − − − − − ≠

60 θα είναι , άτοπο. Συνεπώς δεν υπάρχουν τρία σημεία του 0A B C D= = = = M , τα

οποία είναι συνευθειακά. Έστω ,KL PR δύο ευθύγραμμα τμήματα με άκρα από το σύνολο M , τότε αν τέμνο-νται σε ένα σημείο εκτός από τα άκρα τους, τα διαφορετικά μεταξύ τους σημεία

, , ,K L P R θα ορίζουν ένα επίπεδο, το οποίο, όπως αποδείχθηκε είναι άτοπο. 4. Να βρείτε μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση για τα ισοδύναμα σύνολα και

, όπου φυσικοί

m

n ,n m

61 2.5 Σύγκριση των ισχύων- Θεώρημα των Cantor-Bernstein1 Για τα πεπερασμένα σύνολα το γεγονός ότι το Α είναι ισοδύναμο με ένα γνήσιο υποσύνολο του Β , μας αρκεί για να καταλήξουμε στο συμπέρασμα Α < Β . Κάτι αντίστοιχο δεν μπορούμε να συμπεράνουμε και για απειροσύνολα γιατί εξ’ ορισμού τα ίδια είναι ισοδύναμα με γνήσια υποσύνολά τους. Για να ορίσουμε λοι-πόν διάταξη μεταξύ των ισχύων συμπεριλαμβανομένων και αυτών των απειροσυ-νόλων, θα λέμε Ορισμός 1 Θα λέμε ότι το σύνολο Α έχει μικρότερη ισχύ από το σύνολο (

ΒΑ < Β ), όταν και μόνον όταν το Α είναι ισοδύναμο με ένα γνήσιο υποσύνολο του και το Β Β δεν είναι ισοδύναμο με το Α . Παρατηρήσεις 1. Άμεση συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι η συνεπαγωγή Α⊂ Β⇒ Α ≤ Β

2. Η σχέση Α ≤ Β είναι ισοδύναμη με τη πρόταση : υπάρχει 1-1 απεικόνιση . :f Α→Β

Πρόταση 1 (Θεώρημα των Cantor-Bernstein)2 Αν το σύνολο Α είναι ισοδύναμο με ένα υποσύνολο του συνόλου και το σύνολο Β είναι ισοδύναμο με ένα υποσύνολο του συνόλου

ΒΑ , τότε Α Β∼

Για την απόδειξη της πρότασης είναι απαραίτητο να αποδείξουμε το εξής Λήμμα Αν , και 2Α ⊆ Α 2Α Α∼ 2 1Α ⊆ Α ⊆ Α , τότε 1 Felix Bernstein (1878-1956) Γερμανός μαθηματικός, ο οποίος υπήρξε αρχικά μαθητής του Cantor στη Χάλλε και αργότερα του Hilbert και του Klein στη Γκέτιγκεν . Το 1934 για να απο-φύγει τις διώξεις των Χιτλερικών μετανάστευσε στην Αμερική και επανήλθε στη Γκέτιγκεν το 1948. Αν και το όνομά του είναι συνδεδεμένο με την απόδειξη του βασικού για τη συνολοθεωρία θεωρήματος Cantor-Bernstein, το οποίο και διαπραγματευόμαστε στο κυρίως κείμενο, η περαι-τέρω συμβολή του συνολοθεωρία είναι μόνον ένα άρθρο για τους υπερπεπερασμένους διατακτι-κούς αριθμούς. 2 Το Θεώρημα διατυπώθηκε από τον Cantor αλλά η απόδειξη που δόθηκε από αυτόν ήταν προ-βληματική. Το 1898 ο F. Bernstein στη διδακτορική του διατριβή έδωσε την απόδειξη του θεω-ρήματος και έκτοτε δόθηκαν και άλλες αποδείξεις, όπως αυτή (βλ. ασκήσεις) που στηρίζεται στο θεώρημα Banach, του σταθερού σημείου.

62

5

0 2

1Α Α∼ Απόδειξη Αφού θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση 2Α Α∼ . Θέτουμε και 2:f Α→Α 0Α = Α

0 2 1 3 2 4 3( ) , ( ) , ( ) , ( )f f f fΑ = Α Α = Α Α = Α Α = Α , κ.ο.κ.

Αφού θα έχουμε 1Α ⊆ Α 1 3 0( ) ( )f fΑ = Α ⊆ Α = Α και αφού 3 2Α ⊆ Α θα

έχουμε , κ.ο.κ. 3 5 2( ) ( )f fΑ = Α ⊆ Α = Α4

Έτσι κατασκευάζουμε μία αλυσίδα διαδοχικών εγκλεισμών : . 0 1 2 3 4Α ⊇ Α ⊇ Α ⊇ Α ⊇ Α ⊇

Θέτουμε : και έχουμε : 1

ii

∞

=

Γ = Α∩0 1 1 2 2 3( ) ( ) ( ) ...Α = Γ∪ Α −Α ∪ Α −Α ∪ Α −Α ∪ και

1 1 2 2 3 3 4 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ...Α = Γ∪ Α −Α ∪ Α −Α ∪ Α −Α ∪ Α −Α ∪ Καταρχήν όλα τα σύνολα που φτιάχνουν τόσο την πρώτη ένωση, όσο και εκείνα που φτιάχνουν τη δεύτερη είναι ξένα μεταξύ τους, γιατί : α ∈Γ συνεπάγεται κα ∈Α και 1κα +∈Α , άρα 1κ κα +∉Α −Α και

1κ κα +∈Α −Α συνεπάγεται 1κα +∉Α , άρα λα ∉Α με 1λ κ≥ + , άρα

1λ λα +∉Α −Α .

Για να δείξουμε την ισοδυναμία των συνόλων Α και 1Α , που είναι το ζητούμενο, κατα-

σκευάζουμε μια απεικόνιση από το g Α στο 1Α ως εξής : 1) Τα στοιχεία του τα απεικονίζουμε στον εαυτό τους. Γ2) Τα στοιχεία κάθε συνόλου της μορφής 2 1 2κ κ−Α −Α στον εαυτό τους επίσης και

3) Κάθε στοιχείο α του συνόλου 2 2κ κ 1+Α −Α το αντιστοιχούμε στο

( )f α 3, συνεπώς 2 2 1 2 2( ) ( ) (f f fκ κ κ κ 1)+ +Α − Α = Α − Α

2 2 2 3κ κ+ += Α −Α

Η παραπάνω αντιστοιχία είναι προφανώς μία 1-1 και επί απεικόνιση του Α στο , άρα

1Α

1Α Α∼

3 Διαγώνια μέθοδος

63

Γ

Γ 0 1Α −Α 1 2Α −Α

1 2Α −Α

2 3Α −Α …

… 2 3Α −Α

Σχ.1

Απόδειξη (του θεωρήματος) Άμεση συνέπεια του προηγούμενου. Υποθέτουμε πως και με 1Α ⊆ Α 1Β ⊆ Α 1Α Β∼ και 1Β Α∼ . Αφού 1Β Α∼ θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση 1:f Β→ Α . Τότε 1 2( )f 1Β = Α ⊆ Α Έχουμε και , άρα 2Α Β∼ 1 1Β Α∼ 2Α Α∼ και επειδή 2 1Α ⊆ Α ⊆ Α (από το λήμμα), θα έχουμε . Επίσης 1Α Α∼ 1Β Α∼ , άρα Β Α∼ . Απόδειξη του S. Banach4 στο Θεώρημα Cantor Λήμμα 1 Αν E ≠ ∅ , ( )M E= Ρ και απεικόνιση :f M M→ ώστε με

(αύξουσα απεικόνιση), τότε υπάρχει C M,A B M∈

( ) ( )A B f A f B⊆ ⇒ ⊆ ∈ , τέτοιο ώστε

( )f C C= .

4 Ο Stefan Banach, ο μεγάλος αυτοδίδακτος Πολωνός Μαθηματικός των χρόνων του μεσοπο-λέμου, γεννήθηκε στις 30 Μαρτίου του 1892 στην Κρακοβία. Μετά τις βασικές του σπουδές, η τύχη τον οδήγησε να συναντηθεί και να γνωριστεί με έναν σημαντικό Πολωνό μαθηματικό, τον Hugo Steinhaus. Ο Hugo Steinhaus εντυπωσιάστηκε από τον νεαρό αυτοδίδακτο μαθηματικό, τον βοήθησε να γνωριστεί με τους ακαδημαικούς Πολωνικούς κύκλους, μάλιστα δε παρέκαμψε την τυπική διαδικασία και του ανέθεσε την εκπόνηση διδακτορικής διατριβής, χωρίς να έχει πτυ-χίο Πανεπιστημιακής Εκπαίδευσης. Η διδακτορική εργασία του, η οποία αναφέρεται στις βασικές έννοιες της Συναρτησιακής Ανάλυσης, που αναπτύχθηκε από τον ίδιο στα επόμενα χρόνια, προ-κάλεσε μεγάλη αίσθηση στον επιστημονικό κόσμο και τον οδήγησε στη έδρα του Πολυτεχνίου του Lwow. Τα επόμενα χρόνια εργάστηκε πάνω στο θέμα των Γραμμικών Μετρικών Χώρων. Το βιβλίο του « Theory des opérations linéaires » υπήρξε το έργο που θεμελίωσε τη σύγχρονη συ-ναρτησιακή ανάλυση. Φέρουν το όνομα του : Χώροι Banach, Άλγεβρες Banach, Παράδοξο Ba-nach, Θεώρημα Hahn-Banach, Θεώρημα Banach-Steinhaus, Θεωρημα σταθερου σημείου Ba-nach, Θεώρημα Banach-Alaoglou, παιχνίδι Banach-Mazur. Πέθανε από καρκίνο στις 31 Αυγούστου 1945 στο Lwow, σε ηλικία μόλις 53 χρόνων.

64

Απόδειξη Θεωρούμε το σύνολο \ , ( )S A A M f A A= ∈ ⊆ . Το είναι προφανώς

μη κενό, γιατί . Θεωρούμε το σύνολο . Έχουμε

S

E S∈A S

Q∈

=∩ A

( ) ( )A S A S A S

f Q f A f A A∈ ∈ ∈

⎛ ⎞= ⊆ ⊆⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ ∩ ∩ Q= , άρα Q S∈ . Θέτουμε και

έχουμε

( )T f Q=

( ) ( )( ) ( )f T f f Q f Q T⊆ ⊆ = (1), άρα T S∈ , συνεπώς , άρα Q T⊆

( ) ( )T f Q f T= ⊆ (2). Από τις (1) και (2) έχουμε ( )f T T= . Λήμμα 2 Αν A και B είναι δύο μη κενά σύνολα 1M , 2M είναι τα σύνολα των υ-

ποσυνόλων τους αντιστοίχως, και είναι δύο αύξουσες

απεικονίσεις, τέτοιες ώστε και , τότε μπορούμε να ορίσουμε

διαμερίσεις των

1 1:g M M→ 2:h M M→ 2

( )g A B⊆ ( )h B A⊆A και B ( και 1 2A A A= ∪ 1 2B B B= ∪ ), οι οποίες ικανοποιούν

τις συνθήκες και 1 1( )g A B= 2 2( )h B A= . Απόδειξη

Θεωρούμε την απεικόνιση 1 1:f M M→ με ( ) ( )( )f E A h B g E= − − , η οποία είναι προφανώς αύξουσα. Συνέπεια του προηγούμενου λήμματος είναι το ότι υπάρχει

ώστε 1A M∈ 1 1( )1f A A= . Αν ( )( )2 1A A A h B g A= − = − 1 , τότε θέτουμε

( )1 1B g A= και 2 1B B B= − , οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε. Απόδειξη του Θεωρήματος Υπάρχει 1-1 απεικόνιση :g Α→Β , άρα

και 1-1 απεικόνιση ( )g Α ⊆ Β :h Β→Α , άρα υπάρχουν, όπως στο λήμμα 2,

διαμερίσεις και των 1,Α Α2 21,Β Β ,Α Β αντιστοίχως ώστε ( )1g 1Α = Β και

. Η απεικόνιση ( )2h Β = Α2 :f Α→Β με 1( ) ( ),f x g x x= ∈Α και

είναι 1-1 και επί, άρα το ζητούμενο αποδείχθηκε. 12( ) ( ),f x h x x−= ∈Α

Παρατήρηση Άμεση συνέπεια του Θεωρήματος Cantor-Bernstein είναι το ότι αν ισχύουν οι σχέσεις a και bb≤ a≤ για τις ισχύες a και b , τότε a b = Πρόταση 2 Αν ένα μη κενό σύνολο και , τότε Α 0,1Β =

( ) ΑΡ Α Β∼

65 Απόδειξη Αν Δ ⊆ Α θεωρούμε την απεικόνιση :fΔ Α→Βμε

, 1,

( )0 ,

xf x

xΔ

∈Δ⎧= ⎨ ∉Α−Δ⎩

(χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου Δ). Η απεικόνιση με , είναι 1-1 γιατί : ( )g ΑΡ Α → Β ( )g ΔΔ = f

Δ Δ ∈Ρ Α 1 2ΔΈστω με Δ ≠ , θα αποδείξουμε ότι 1 2, ( )1 2

f fΔ Δ≠ . Το σημαίνει ότι υπάρχει 1Δ ≠ Δ2 1x∈Δ με 2x∉Δ , δηλαδή 1x∈Δ και

, άρα και 2x∈Α−Δ1( ) 1f xΔ =

2( ) 0f xΔ = , άρα

1 2f fΔ Δ≠ , άρα

και 1 2( ) ( )g gΔ ≠ Δ

Η είναι επί γιατί gΣτη σταθερή απεικόνιση u Α∈Β με ( ) 1u x = για κάθε x∈Α , αντιστοιχούμε το σύνολο και στη σταθερή απεικόνιση Α w Α∈Β με

( ) 0w x = για κάθε αντιστοιχούμε το x∈Α ∅ σύνολο. Οποιαδήποτε άλλη απεικόνιση εκτός από τις παραπάνω είναι της μορφής f Α∈Β

1 ,( )

0 ,x

f xx∈Δ⎧

= ⎨ ∈Α−Δ⎩, με Δ ≠ , η οποία είναι εικόνα του συνόλου . Άρα

.

∅ Δ

( ) ΑΡ Α Β∼ Υπάρχουν όμως και άλλα υπεραριθμήσιμα σύνολα πέραν εκείνων με την ισχύ του συνεχούς; Τέλος υπάρχει σύνολο με τη μεγίστη ισχύ; Ο Cantor διατύπωσε και απέδειξε την εξής πρόταση, που είναι ίσως η σημαντικό-τερη της θεωρίας των απειροσυνόλων. Πρόταση 3 (Θεώρημα Cantor) Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου ( )Ρ Α Α δεν είναι ισοδύναμο με το Α Απόδειξη 15 Αν τα σύνολα και Α ( )Ρ Α είναι ισοδύναμα, τότε υπάρχει μια αμ-φιμονοσήμαντη απεικόνιση , άρα κάθε υποσύνολο του έχει την μορφή

: (f Α → Ρ Α) Α( )f a , όπου Έστω a ∈ Α : ( )x x f xΒ = ∈ Α ∉ . Επειδή

, θα υπάρχει ώστε, ( )Β∈Ρ Α a ∈ Α ( )f αΒ = , τότε

5 Διαγώνια μέθοδος

66

( )fα α α∈Β⇒ ∉ α⇒ ∉Β , το οποίο είναι άτοπο και ( )fα α α α∉ Β ⇒ ∉ ⇒ ∈ Β , το οποίο επίσης είναι άτοπο, συνεπώς τα σύνολα

και δεν είναι ισοδύναμα. Α ( )Ρ Α

Απόδειξη 2 Αποδείξαμε ότι ( ) 0,1 ΑΡ Α ∼ Το σύνολο 0,1 Α αποτελείται από όλες τις συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το Α και μοναδικές τιμές τους αριθμούς 0 και 1. Αν υποθέσουμε ότι , τότε θα έχουμε και ( )Α Ρ Α∼ 0,1 ΑΑ ∼ Συνεπώς θα

υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση φ του Α στο 0,1 Α . Συμβολίζουμε

( ) fαφ α = Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση : 0g Α→ ,1 με ( ) 1 ( )xg x f x= − .

Επειδή και η 0,1g Α∈ φ είναι επί, θα υπάρχει β ∈Α ώστε ( )g fβφ β= = , άρα για κάθε ( ) ( )g x f xβ= x∈Α , δηλαδή 1 ( ) (x )f x f xβ− = για κάθε . x∈Α

Άρα για x β= έχουμε 1 ( ) (f fβ β )β β− = , άρα 1( )2

fβ β = , το οποίο είναι άτο-

πο. Πρόταση 4 ( )Α < Ρ Α . Απόδειξη Συνεπώς τα σύνολα Α και ( )Ρ Α δεν είναι ισοδύναμα και επειδή το είναι ισοδύναμο με το υποσύνολο του

Α( )Ρ Α , που έχει στοιχεία τα μονοσύνολα

που προκύπτουν από όλα τα στοιχεία του Α , θα έχουμε ( )Α < Ρ Α . Παρατηρήσεις 1.Από τα παραπάνω φαίνεται πως μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ατέρμονη ακολουθία συνεχώς αυξανομένων ισχύων ( ) ( ( ))Α < Ρ Α < Ρ Ρ Α < Η ύπαρξη της ατέρμονης αυτής ακολουθίας δικαιολογεί την εισαγωγή της έννοιας της ισχύος στα απειροσύνολα, καθώς οι ισχύες δεν είναι μόνον δύο ( 0ℵ και ), αλλά άπειρες και φυσικά την εισαγωγή της αριθμητικής μεταξύ των ισχύων αυτών, που θα δούμε στη επόμενη παράγραφο

c

6.

6 Αυτή είναι μια πρώτη προσέγγιση της ατέρμονης ιεραρχίας των ισχύων. Μια διαφορετική προ-

σέγγιση στο θέμα θα δούμε στο τέλος του τετάρτου κεφαλαίου

67 Πρόταση 5 Αν πληθάριθμοι τότε οι , ,a b c a b< και b c< συνεπάγονται την a c . < Απόδειξη Έστω , ,a A b B c C= = = . Η σχέση a b< συνεπάγεται ότι υπάρχει

1B B⊂ με . Άρα θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση 1A B∼ 1:f A B→ . Η σχέση b συνεπάγεται ότι υπάρχει με c< 1C C⊂ 1B C∼ . Άρα θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση . 1:g B C→Έχουμε . Η απεικόνιση , είναι 1-1. Αν 1 1( )g B C C⊂ ⊂ 1:g f A C→

2( )( )g f A C C= ⊆ 1 , τότε η είναι 1-1 και επί, άρα , συνεπώς a . Αν είχαμε C , θα είχαμε και και επειδή

, τότε . Επειδή δε θα ισχύει

2:g f A C→ 2A C∼c≤ A∼ 2C C∼

2 1C C C⊆ ⊆ 1C C∼ 1C B∼ B C∼ άτοπο άρα το δεν είναι ισοδύναμο με το , συνεπώς C A a c< .

Πρόταση 6 Αν και A B C⊂ ⊂ A C= , τότε A B C= = Απόδειξη Άμεση συνέπεια του λήμματος για την απόδειξη του Θεωρήματος Cantor-Bernstein Σχόλιο Άμεση συνέπεια της παραπάνω πρότασης είναι το Κάθε άπειρο υποσύνολο ενός αριθμησίμου συνόλου είναι αριθμήσιμο. Με βάση αυτό θα δούμε μια πιο αυστηρή απόδειξη του ότι το σύνολο των θετικών ρητών είναι αριθμήσιμο.

Έχουμε * / , ( , ) 1μ μ ν μ νν+⎧ ⎫= ∈ ∧ =⎨ ⎬⎩ ⎭

. Θεωρούμε την

*:f + → με 2 3f μ νμν⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, η οποία εύκολα αποδεικνύεται 1-1 και το σύνο-

λο 2 3/A μ μ= ∈ είναι προφανώς αριθμήσιμο. Έχουμε *( )f +Α ⊂ ⊂ ,

και επειδή A = άρα * *( )f + += = Πρόταση 7 Αν :f A B→ , τότε ( )f A A≤

Απόδειξη Θεωρούμε την οικογένεια , (xQ x f A)∈ με , ( )xQ a A f a x= ∈ =

68

Προφανώς xQ ≠ ∅ για κάθε ( )x f A∈ και x yQ Q∩ =∅ αν x y≠ Αν B ένα σύνολο επιλογής της παραπάνω οικογένειας, τότε θεωρούμε την συνάρ-τηση ώστε : ( )g f A A→ ( ) xg x Q B= ∩ . Προφανώς η είναι αμφιμονοσήμα-ντη, άρα

g( )f A A≤ .

Προβλήματα 1. Να βρεθεί οικογένεια με τις εξής ιδιότητες ,iA i I∈

α. I c=

β. 0iA =ℵ , για κάθε i I∈

γ. 0ii I

A∈

=ℵ∪

δ. 0i jA A∩ <ℵ , για κάθε ,i j I∈ με i j≠

2. Αν ένα αριθμήσιμο σύνολο σημείων του επιπέδου. Να διαμεριστεί σε δύο σύ-νολα και , τέτοια ώστε κάθε κάθετη ευθεία να τέμνει το

ΑΒ Γ Α το πολύ σε πεπερα-

σμένο πλήθος σημείων και κάθε οριζόντια ευθεία να τέμνει το Β επίσης το πολύ σε πεπερασμένο πλήθος σημείων. 3. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των τοπικών ακροτάτων μιας πραγματικής συνάρτη-σης είναι το πολύ αριθμήσιμο

4. Έστω οικογένεια ξένων ανά δύο διαστημάτων του , τότε ,iA i I∈ 0I ≤ℵ

5. Αν το σύνολο είναι τέτοιο ώστε για κάθε Α⊆ α ∈Α να υπάρχει 0αε > τέ-

τοιο ώστε ένα τουλάχιστον από τα σύνολα ( , )αα α ε+ ∩Α ή ( , )αα ε α− ∩Α εί-

ναι κενό, τότε το είναι το πολύ αριθμήσιμο. Α 6. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και το σύνολο των ση-μείων ασυνέχειας της είναι άπειρο, τότε θα είναι αριθμήσιμο.

:f → Α

7. Το σύνολο A είναι πεπερασμένο αν και μόνον αν το ( )AΡ είναι πεπερασμένο.

69 2.6 Πράξεις με τις ισχύες των συνόλων Με την εισαγωγή της έννοιας της ισχύος στα απειροσύνολα μπορούμε να κατα-σκευάσουμε μία καινούργια, υπερπεπερασμένη αριθμητική, όπου οι ιδιότητες των πεπερασμένων ισχύων επεκτείνονται «σχεδόν» και στις άπειρες ισχύες. Πρόταση 1 Αν Α και Β με Χ∼ Ψ∼ Α∩Β =∅ και Χ∩Ψ =∅ , τότε Α Β Χ Ψ∪ ∼ ∪ . Απόδειξη Το Α σημαίνει ότι υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση Χ∼

:f Α→ Χ . Το σημαίνει ότι υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση . Η απεικόνιση με

Β Ψ∼:g Β → Ψ :h Α Β → Χ Ψ∪ ∪

( ) ,

( )( ) ,

f x xh x

g x x⎧ ∈ Α⎪⎪= ⎨⎪ ∈ Β⎪⎩

Έστω με 1 2,x x ∈Α∪Β 1 2x x≠ α) Αν , τότε 1 2,x x ∈Α 1 1( ) ( )h x f x= και 2( ) ( )h x f x2= και επειδή

1( ) ( )2f x f x≠ θα ισχύει 1 2( ) ( )h x h x≠ β) Αν , τότε 1 2,x x ∈Β 1 1( ) ( )h x g x= και 2( ) ( )h x g x2= και επειδή

1( ) ( )g x g x≠ 2 θα ισχύει 1 2( ) ( )h x h x≠ γ) Αν και , τότε 1x ∈Α 2x ∈Β 1 1( ) ( )h x f x= ∈Χ και 2 2( ) ( )h x g x= ∈Ψ επει-δή θα έχουμε Χ∩Ψ =∅ 1( ) ( )h x h x2≠ , άρα η είναι 1-1. hΈστω α ∈Χ∪Ψ , άρα α ∈Χ ή α ∈Ψ . Συνεπώς υπάρχει x∈Α , ώστε

( )f x α= ή ( )g x α= , άρα υπάρχει x∈Α∪Β , ώστε ( )h x α= , άρα η h είναι επί. Συνεπώς Α Β Χ Ψ∪ ∼ ∪ Αν ορίσουμε λοιπόν ως άθροισμα των ισχύων δύο ξένων συνόλων την ισχύ της ένωσης τους, τότε θα έχουμε αποτέλεσμα που θα εξαρτάται μόνον από τις ισχύες και όχι από αυτά τα ίδια τα σύνολα. Συνεπώς ορίζουμε

70

Ορισμός 1 ( 1 ) ( 2Α + Β = Α× ∪ Β× ) 1

Πρόταση 2 Αν 1 2, ,..., νΑ Α Α είναι ν ξένα μεταξύ τους σύνολα και

1 2, ,..., νΒ Β Β επίσης ν ξένα μεταξύ τους σύνολα τέτοια, ώστε κ κΑ Β∼ για

κάθε 1,2,...,κ ν∈ , τότε 1 2 ... νΑ ∪Α ∪ ∪Α ∼ 1 2 ... νΒ ∪Β ∪ ∪Β Απόδειξη Έστω είναι μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση μεταξύ των ισοδυνάμων συνόλων και

:fκ κΑ →Βκ

κΑ κΒ , για κάθε 1,2,...,κ ν∈ . Τότε η :f 1 2 ... νΑ ∪Α ∪ ∪Α → 1 2 ... νΒ ∪Β ∪ ∪Β με

1 1

2

( ) ,( ) ,

( )

( ) ,

f x xf x x

f x

f x xκ κ

∈Α⎧⎪ ∈Α⎪= ⎨⎪⎪ ∈Α⎩

2 είναι αμφιμονοσήμαντη (η απόδειξη όπως στη πρόταση

1), άρα 1 2 ... νΑ ∪Α ∪ ∪Α ∼ 1 2 ... νΒ ∪Β ∪ ∪Β Συνεπώς γενικεύοντας τον ορισμό 1 ορίζουμε

Ορισμός 2 1 1

( )νν

κ κκ κ

κ= =

Α = Α ×∑ ∪ 2

Πρόταση 3 Αν ( ) είναι μια οικογένεια ξένων ανά δύο και μη

κενών συνόλων και μία οικογένεια επίσης ξένων ανά δύο και μη κε

,i i IΑ ∈ I ≠ ∅,i i IΒ ∈

( 1Α× ) ( 2Β× )1 Τα σύνολα και είναι προφανώς ξένα, συνεπώς θα μπορούσαμε να ορί-

σουμε το άθροισμα των ισχύων και ως εξής: Αν τα σύνολα Α Β και είναι ξένα, τότε Α + Β = Α∪Β .

, 1, 2,...,κ κΑ ∈ ν2 Αν τα σύνολα είναι ξένα ανά δύο, τότε μπορούμε ισοδύναμα να ορίσου-

με 1 1

νν

κ κκ κ= =

Α = Α∑ ∪ .

71

i

νών συνόλων και για τις δύο αυτές οικογένειες ισχύει iΑ Β∼ , για κάθε i I ,

τότε

∈

i ii I i I∈ ∈

Α Β∼∪ ∪ Απόδειξη Έστω το σύνολο των αμφιμονοσήμαντων απεικονίσεων μεταξύ των ισοδυνάμων συνόλων και . Επειδή

iF

iΑ iΒ (i iF )i∅ ≠ ⊆ Ρ Α ×Β και τα στοιχεία του ( )i iΡ Α ×Β − ∅ , είναι ξένα μεταξύ τους σύνολα, το ίδιο θα είναι και τα σύνολα , i

i I∈

iF I∈ . Συνεπώς για την οικογένεια , iiF I∈ θα υπάρχει σύνολο επιλογής . Έστω S ,i iF S f i I∩ = ∈ . Θεωρούμε την απεικόνιση

: i ii I i I

f∈ ∈

Α → Β∪ ∪ με ( ) ( )if x f x= , αν ix∈Α .

Έστω με 1 2, ii I

x x∈

∈ Α∪ 1 2x x≠ , τότε υπάρχουν μοναδικά 1 2,i i I∈ με

και . Τότε και

11 ix ∈Α

22 ix ∈Α11( ) if x ∈Β

22( ) if x ∈Β Αν , τότε προφανώς 1i i≠ 2 21( ) ( )f x f x≠ , γιατί

1 2i iΒ ∩Β =∅ Αν , τότε 1 2i i= = i 1 1( ) ( )if x f x= και 2( ) ( )i 2f x f x= και επειδή

1( ) ( )i i 2f x f x≠ θα έχουμε 1( ) ( )2f x f x≠ , άρα η f είναι 1-1 Έστω , τότε υπάρχει μοναδικό i

i I

y∈

∈ Β∪ i I∈ με iy∈Β . Άρα υπάρχει

ώστε

ix∈Α

( )iy f x= , δηλαδή υπάρχει ii I

x∈

∈ Α∪ ώστε ( )y f x= , δηλαδή η f είναι

επί, άρα i ii I i I∈ ∈

Α Β∼∪ ∪ Συνεπώς ορίζουμε

Ορισμός 3 ( )i ii I i I

i∈ ∈

Α = Α ×∑ ∪ 3

,i i IΑ ∈3 Αν τα σύνολα είναι ξένα ανά δύο, τότε μπορούμε ισοδύναμα να ορίσουμε

i ii I i I∈ ∈

Α = Α∑ ∪ .

72

Παραδείγματα 1. 1 2,3 4,5,6 ...= ∪ ∪ ∪ άρα 01 2 3+ + + =ℵ

2. 1,2 3,4 5,6= ∪ ∪ ∪… , άρα 02 2 2+ + + =ℵΠαρόμοια μπορούμε να συμπεράνουμε 0ν ν ν+ + + =ℵ 3. 1 2,3 4,5,6,7,8,9= ∪ ∪ ∪… , άρα 01! 2! 3!+ + + =ℵ Πρόταση 4 Αν μη κενά σύνολα τέτοια ώστε Α και Β Ψ , τότε Α×Β .

, , ,Α Β Χ Ψ Χ∼ ∼Χ×Ψ∼

Απόδειξη Το Α σημαίνει ότι υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση Χ∼

:f Α→ Χ . Το σημαίνει ότι υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση . Η απεικόνιση με

Β Ψ∼:g Β → Ψ :h Α×Β → Χ×Ψ 1 2 1 2(( , )) ( ( ), ( ))h x x f x g x=

Έστω 1 2( , )x x ∈Α×Β και 3 4( , )x x ∈Α×Β με 1 2 3 4(( , )) (( , ))h x x h x x= , άρα

1 2 3 4( ( ), ( )) ( ( ), ( ))f x g x f x g x= , άρα 1 3( ) ( )f x f x= και 2 4( ) ( )g x g x= άρα

1 3x x= και 2 4x x= δηλαδή 1 2 3 4( , ) ( , )x x x x= . Έστω ( , )γ δ ∈Χ×Ψ , άρα υπάρχει α ∈Α , ώστε ( )f α γ= και υπάρχει β ∈Β , ώστε ( )g β δ= συνεπώς ( , )α β ∈Α×Β και (( , )) ( , )h α β γ δ= , άρα η

είναι επί. Συνεπώς . h Α×Β Χ×Ψ∼ Αν ορίσουμε λοιπόν ως γινόμενο των ισχύων δύο συνόλων την ισχύ του καρτεσια-νού γινομένου των συνόλων αυτών, τότε θα έχουμε αποτέλεσμα που θα εξαρτάται μόνον από τις ισχύες και όχι από αυτά τα ίδια τα σύνολα. Ορισμός 4 Ορίζουμε Α ⋅ Β = Α×Β Πρόταση 5 Αν 1 2, ,..., νΑ Α Α και 1 2, ,..., νΒ Β Β μη κενά σύνολα τέτοια, ώστε

για κάθε κ κΑ Β∼ 1,2,...,κ ν∈ , τότε 1 2 νΑ ×Α × ×Α ∼ 1 2 νΒ ×Β × ×Β

73

κ

Απόδειξη Έστω είναι μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση μεταξύ των ισοδυνάμων συνόλων και

:fκ κΑ →Β

κΑ κΒ , για κάθε 1,2,...,κ ν∈ . Τότε η απεικόνι-ση :f 1 2 νΑ ×Α × ×Α → 1 2 νΒ ×Β × ×Β με

1 2 1 1 2 2(( , ,..., )) ( ( ), ( ),..., ( ))f f fν fν να α α α α α= είναι αμφιμονοσήμαντη (η από-δειξη όπως στη προηγούμενη πρόταση), άρα 1 2 νΑ ×Α × ×Α ∼ 1 2 νΒ ×Β × ×Β Συνεπώς Ορισμός 5 Αν 1 2, ,..., νΑ Α Α μη κενά σύνολα, ορίζουμε 1 2 1 2ν νΑ ⋅ Α ⋅ ⋅ Α = Α ×Α × ×Α Πρόταση 6 Αν με ,i i IΑ ∈ I ≠∅ οικογένεια ξένων μεταξύ τους μη κενών

συνόλων και ,i i IΒ ∈ επίσης οικογένεια ξένων μεταξύ τους μη κενών συνό-

λων, ώστε , για κάθε i IiΑ Β∼ i ∈ , τότε i ii I i I∈ ∈

Α ΒΧ Χ∼

Απόδειξη Υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση : i

i I i I∈ ∈iΦ Α → Β∪ ∪ (βλέπε την

απόδειξη της πρότασης 3) Έστω και . Θεωρούμε την απεικόνιση i

i Ig

∈

∈ ΑΧ ii I

h∈

∈ ΒΧ : i ii I i I

f∈ ∈

Α → ΒΧ Χ

ώστε ( )f g = h αν και μόνον αν ( ( )) ( )g i h iΦ = , για κάθε i I∈ . Αν 1( ) ( )2f g f g= , τότε , τότε 1h h= 2 1 2( ) ( )h i h i= για κάθε i I∈ , τότε

για κάθε 1( ( )) ( ( ))g i g iΦ = Φ 2 i I∈ , τότε 1 2( ) ( )g i g i= για κάθε i I∈ , άρα , συνεπώς η 1g g= 2 f είναι 1-1.

Αν , τότε η ii I

g∈

∈ ΒΧ 1i

i Ig−

∈

Φ ∈ ΑΧ και ( )1( )( ) ( )g i g i−Φ Φ = για κάθε ,

άρα

i I∈

1( )f g−Φ = g , άρα f είναι επί

74

I r 1 rφ−

μμ∈Μ

Β∪ 1φ− μμ∈Μ

Α∪

Άρα . i ii I i I∈ ∈

Α ΒΧ Χ∼ Συνεπώς Ορισμός 6 Αν 0iΑ ≠ για κάθε i I∈ ( I ≠∅ ) ορίζουμε

( )i ii Ii I

i∈∈

Α = Α ×∏ Χ 4

Πρόταση 7 Αν , , και Β , τότε Α ≠∅ Β ≠∅ Α Χ∼ Ψ∼ . Α ΧΒ Ψ∼ Απόδειξη Το Α σημαίνει ότι υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση Χ∼f : Α → Χ . Το σημαίνει ότι υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση

. Η απεικόνιση με (βλέπε σχήμα 1) ε

Β Ψ∼

:g Β → Ψ :rΧΑΒ → Ψ 1( )r h g h f −=

Α h⎯⎯→ Β

1f − ↑ ↓ g Χ ( )r h⎯⎯⎯→ Ψ (σχ. 1)

4 Προφανώς αν τα είναι ξένα ανά δύο, τότε ,i i IΑ ∈

i ii Ii I ∈∈

Α = Α∏ Χ

75 Α h⎯⎯→ Β f ↓ ↑ 1g − Χ φ⎯⎯→ Ψ (σχ. 2) Έστω με , άρα 1 2,h h Α∈Β 1( ) ( )r h r h= 2

1 11 2g h f g h f− −= , άρα

για κάθε 1 11 2( ( ( )) ( ( ( ))g h f x g h f x− = − x X∈ , άρα ( )( ) ( )( )1 1

1 2h f x h f x− −=

για κάθε x X∈ . Έστω α ∈Α , τότε επειδή η 1f − είναι επί του Α θα έχουμε 1( )f xα −= . Άρα 1 2( ) ( )h hα α= για κάθε α ∈Α , άρα 1h h2= , άρα η είναι r

1-1. Έστω . Θεωρούμε την φ Χ∈Ψ 1g f hφ− Β= ∈Α (Βλέπε σχήμα 2 ) για την οποία ( )r h = 1g g f f 1φ φ− − = , άρα η είναι επί, δηλαδή . r Α ΧΒ Ψ∼ Αν ορίσουμε λοιπόν, ως δύναμη ΑΒ με 0Α ≠ και 0Β ≠ την ισχύ του συνό-

λου , τότε αυτή θα είναι μονοσήμαντα ορισμένη, γιατί θα εξαρτάται αποκλει-στικά από τις ισχύες των συνόλων και όχι από τα σύνολα καθ’ εαυτά.

ΑΒ

Συνεπώς Ορισμός 7 Αν 0Α ≠ και 0Β ≠ ορίζουμε Α ΑΒ = Β . Παρατήρηση Αν είναι μια οικογένεια ξένων ανά δύο συνόλων με ,i i IΑ ∈

i αΑ = = Α , τότε ii I

I∈

Α = Α ⋅∪ , γιατί

( )i ii I i I

i I∈ ∈

Α = Α × = Α× = Α∪ ∪ I

Για τις πράξεις με τις ισχύες ισχύουν τα εξής Πρόταση 8 Αν είναι ισχύες τότε ,a b a b b a+ = + (αντιμεταθετική ιδιότητα)

76

c

Απόδειξη Εύκολη Πρόταση 9 Αν είναι ισχύες τότε , ,a b c (προσεταιριστική ιδιότητα) ( ) ( )a b c a b+ + = + + Απόδειξη Εύκολη Πρόταση 10 Αν είναι ισχύες τότε ,a b ab ba= (αντιμεταθετική ιδιότητα) Απόδειξη Θεωρούμε ,aΑ = Β = b και την απεικόνιση με :f Α×Β→Β×Α ( , ) ( , )f x y y x= , όπου x∈Α και y∈Β , η οποία είναι προφανώς αμφιμονοσήμαντη. Άρα Α×Β Β×Α∼ , δηλαδή ab ba= . Πρόταση 11 Αν είναι ισχύες τότε ( ), ,a b c ( )ab c a bc= Απόδειξη Θεωρούμε πως , ,a bΑ = Β = Γ = c και την απεικόνιση

: ( ) ( )f Α× Β×Γ → Α×Β ×Γ με (( , ( , )) (( , ), )f x y z x y z= , όπου , x∈Α y∈Β και η οποία είναι προφανώς αμφιμονοσήμαντη. z∈ΓΆρα , δηλαδή ( )( ) ( )Α× Β×Γ Α×Β ×Γ∼ ( )ab c a bc= . Πρόταση 12 Αν είναι μη μηδενικές ισχύες τότε , ,a b c και ( )a b c ab ac+ = + ( )b c a ba ca+ = +

Απόδειξη Θεωρούμε πως , ,α βΑ = Β = Γ = γ και τα Β , Γ ξένα μεταξύ τους σύνολα. Έχουμε , άρα

, άρα και επειδή τα ( ) ( ) (Α× Β Γ = Α×Β Α×Γ∪ ∪ )

)( ) ( ) (Α× Β Γ Α×Β Α×Γ∪ ∼ ∪ Α×Β , Α×Γ είναι ξένα . Ομοίως αποδεικνύεται και το ( )a b c ab ac+ = +

( )b c a ba ca+ = + Γενικεύοντας έχουμε : Πρόταση 13 Αν , με ib i I∈ I ≠∅ οικογένεια μη μηδενικών ισχύων τότε

1. και i ii I i I

a b a∈ ∈

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ b

77

2. i ii I i I

b a b a∈ ∈

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑

Απόδειξη Αποδεικνύεται όπως η προηγούμενη, αρκεί να θεωρήσουμε μία οικογέ-νεια ξένων μεταξύ τους συνόλων, ώστε ,i i IΒ ∈ ,i ib i IΒ = ∈ . Η απόδειξη είναι

εύκολη, αν λάβουμε υπ’ όψιν ότι ( )i ii I i I∈ ∈

Α× Β = Α×Β∪ ∪ και

(μία μερική περίπτωση της πρότασης 6.2 της παραγρά-

φου 1.7 του πρώτου κεφαλαίου)

(i ii I i I∈ ∈

Β × Α = Β ×Α∪ ∪ )

c

Πρόταση 14 Αν μη μηδενικές ισχύες τότε , ,a b c 1. ( )a c acb b= 2. b c b ca a a += 3. ( )c cab a b=

Απόδειξη 1. Θεωρούμε aΑ = , bΒ = , cΓ = .

Για να αποδείξουμε την ισοδυναμία των συνόλων και ΓΑΒ )( Γ×ΑΒ , που αυτή απο-δεικνύει το ζητούμενο, αρκεί να βρούμε μία απεικόνιση Η : , η οποία να είναι αμφιμονοσήμαντη.

ΓΑΒ )( → Γ×ΑΒ

Έστω , δηλαδή ( )f Α Γ∈ Β f fγγ Α∈Γ⎯⎯→ ∈Β τότε τη ζητούμενη απεικόνιση ορίζουμε ως εξής: Η ( ) ( , ) ( )f r r fγα γΗ = ⇔ = α , για κάθε ( , )α γ ∈Α×Γ

(1) (2)( ) ( )f fΗ = Η , άρα , άρα 1r r= 2 1 2( , ) ( , )r rα γ α γ= για κάθε ( , )α γ ∈Α×Γ , άρα (1) (2)( ) ( )f fγ γα α= για κάθε α ∈Α και για κάθε γ ∈Γ , άρα (1) (2)f fγ γ= για

κάθε γ ∈Γ , άρα (1) (2)f f= , συνεπώς η Η είναι 1-1. Έστω με r Α×Γ∈Β (( , ))r α γ = β . Θεωρούμε τη συνάρτηση fγ

Α∈Β , με

( )fγ α β= και ακολούθως τη συνάρτηση ( )f Α Γ∈ Β με ( )f fγγ = , τότε προφα-νώς ( )f rΗ = , συνεπώς η είναι επί, δηλαδή το ζητούμενη απεδείχθη. Η 2. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι τα Β και είναι ξένα με

ΓβΒ = και γΓ = . Για να δείξουμε την ισοδυναμία των συνόλων Β ΓΑ ×Α

78

Γ

και , αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση .

Β∪ΓΑ: Β Γ Β∪Η Α ×Α → Α

Αν και , τότε θεωρούμε την f Β∈Α g Γ∈Α

( , )f g φΗ = με ( ),

( )( ),

f x xx

g x xφ

∈Β⎧= ⎨ ∈Γ⎩

1 1 2 2( , ) ( , )H f g H f g= , άρα 1 2ϕ ϕ= , άρα 1 2( ) ( )x xϕ ϕ= για κάθε x∈Β∪Γ , άρα 1 2( ) ( )f x f x= για κάθε 1x∈Β και 1 2( ) ( )g x g x= για κάθε x∈Γ , άρα

1 2f f= και 1 2g g= , άρα 1 1 2 2( , ) ( , )f g f g= , συνεπώς η Η είναι 1-1. Έστω , τότε θεωρούμε τις απεικονίσεις :Φ Β∪Γ→Α :f Β→ Α , με

:g Γ → Α( ) ( )f x = Φ x για κάθε x∈Β και ( ) ( )g x x= Φ για κάθε x∈Γ . Προφανώς

, άρα η είναι επί. Συνεπώς το ζητούμενο απεδείχθη. ( , )f gΗ = Φ Η 3. Αν :φ Γ→ Α×Β με ( ) ( , )xφ α β= , για κάθε x∈Γ Θεωρούμε την απεικόνιση : ( )Γ Γ ΓΗ Α×Β → Α ×Β με ( ) ( , )f gφΗ = , ώστε αν

, δηλαδή (φ Γ∈ Α×Β) ( ) ( , )xφ α β= , όπου x∈Γ , α ∈Α και β ∈Β , τότε με f Γ∈Α ( )f x α= και g Γ∈Β με ( )g x β=

Έχουμε 1( ) ( )2φ φΗ = Η , άρα 1 2( ) ( )x xφ φ= για κάθε x∈Γ , άρα

1 1 2 2( , ) ( , )α β α β= , άρα 1 2α α= και 1 2β β= , άρα 1 2( ) ( )f x f x= και για κάθε 1 2( ) ( )g x g x= x∈Γ , άρα

1 1 2 2( , ) ( , )f g f g= , συνεπώς η Η είναι 1-1. Έστω ( , με )f g Γ∈Α ×ΒΓ ( )f x k= και ( )g x l= . Θεωρούμε την απεικόνιση

ώστε . Προφανώς :h Γ→Α×Β ( ) ( , ) ( ( ), ( ))h x k l f x g x= = ( ) ( , )h f gΗ = , άρα η είναι επί. Συνεπώς ( )Η Γ ΓΑ×Β Α ×Β∼ Γ , άρα το ζητούμενο απεδείχθη. Γενικεύσεις των πιο πάνω προτάσεων είναι οι παρακάτω προτάσεις Πρόταση 15 (Γενικευμένη αντιμεταθετική ιδιότητα) Αν ,ia i I∈ είναι μία οι-κογένεια ισχύων και : I Iφ → μία αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση5, τότε

( )i ii I i I

a aφ∈ ∈

=∏ ∏ 5 Κάθε τέτοια απεικόνιση λέγεται μετάθεση στο I

79 Απόδειξη Η απόδειξη είναι άμεση συνέπεια του παρακάτω λήμματος Λήμμα Αν μία οικογένεια συνόλων και ,i i IΑ ∈ : I Iφ → μία αμφιμονοσήμαντη

απεικόνιση, τότε ( )i ii I i I

φ∈ ∈

Α ΑΧ Χ∼ Απόδειξη Έστω . Θεωρούμε την απεικόνιση i

i If

∈

∈ ΑΧ( ): i i

i I i Iφ

∈ ∈

Η Α → ΑΧ Χ με ( )f f φΗ = . Θα δείξουμε ότι η Η είναι αμφιμονοσήμα-

ντη. Για το 1-1 Έστω με 1 2, i

i If f

∈

∈ ΑΧ 1 2f f≠ , τότε θα υπάρχει i I∈ με

1 2( ) ( )f i f i≠ . Αλλά υπάρχει , τέτοιο ώστε j I∈ ( )i jφ= , άρα

1 2( ( )) ( ( ))f j f jφ φ≠ , άρα 1 2( ) ( )f fΗ ≠ Η

Για το επί Αν ( )ii I

g φ∈

∈ ΑΧ , τότε θεωρούμε την 1f g φ−= . Έχουμε

1( ) ( )f f φ φ−Η = = g , άρα η Η είναι επί, συνεπώς το ζητούμενο απεδείχθη. Πρόταση 16 Αν a μη μηδενική ισχύς και ,ib i I∈ ( I ≠∅ ) οικογένεια μη μη-

δενικών ισχύων, τότε i

i i I

bb

i I

a a ∈

∈

∑=∏ (Γενίκευση της πρότασης 14.2)

Απόδειξη Θεωρούμε την οικογένεια των μη κενών και ξένων μεταξύ τους συνό-λων για τα οποία ισχύει ,i i IΒ ∈ i biΒ = , για κάθε i I∈ και την απεικόνιση

:i

i i I

i If ∈

ΒΒ

∈

Α → ΑΧ∪

με ( )f r h= ώστε ( ) ( ) ( )i i ih k r k k r r i= ⇔ ∈Β ∧ =

Αν (1) (2)( ) ( )f r f r= , τότε , τότε για κάθε i και για κάθε , άρα , συνεπώς η

(1) (2)h h= (1) (2)( ) ( )h k h k= I∈

ik ∈Β (1) (2)i ir r= f είναι 1-1.

80

Έστω , τότε ονομάζουμε το στοιχείο του i

i Ih ∈

Β

∈Α∪

ih iΒΑ για το οποίο για κάθε . Αν ( ) ( )ih k h k= ik ∈Β i

i Ir Β

∈

∈ ΑΧ με ( ) ir i r hi= = για κάθε i I ,

τότε

∈

( )f r = h ,συνεπώς η f είναι επί. Άρα i

i i I

i I

∈

ΒΒ

∈

Α ΑΧ∪

∼ .

Πρόταση 17 Αν a μη μηδενική ισχύς και ,ib i I∈ ( I ≠∅ ) οικογένεια μη μη-

δενικών ισχύων, τότε (Γενίκευση της πρότασης 14.3) a

ii I i I

bα

∈ ∈

⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠

∏ ∏ ib ⎟

Απόδειξη Έστω οικογένεια ξένων ανά δύο συνόλων με ,i i IΒ ∈ i biΒ = για

κάθε και i I∈ Α σύνολο με aΑ = . Αν ii I

fΑ

∈

⎛∈ Β⎜⎝ ⎠Χ ⎞

⎟

iΒ

, τότε

και επίσης αν fk i

i Ik A g

∈

∈ ⎯⎯→ ∈ ΒΧ ( )kgki I g i∈ ⎯⎯→ ∈ i

i Ih Α

∈

∈ ΒΧ , τότε

και . Θεωρούμε απεικόνιση

με

hii I h Α∈ ⎯⎯→ ∈Βi h k( )ih

ik∈Α⎯⎯→

: i ii I i I

ΑΑ

∈ ∈

⎛ ⎞Η Β → Β⎜ ⎟⎝ ⎠Χ Χ ( ) ( ) ( )i kf h h k g iΗ = ⇔ = για κάθε i I∈ και για

κάθε k∈ΑΑν (1) (2)( ) ( )f fΗ = Η , τότε , τότε για κάθε , τότε για κάθε i

(1) (2)h h= (1) (2)( ) ( )h i h i= i I∈(1) (2)( ) ( )i ih k h k= I∈ και για κάθε k∈Α , τότε

για κάθε i και για κάθε

(1) (2)( ) ( )k kg i g i=

I∈ k∈Α , τότε (1) (2)( ) ( )f k f k= για κάθε , τότε k∈Α(1) (2)f f= , άρα η Η είναι 1-1

Αν , τότε θεωρούμε την ii I

h Α

∈

∈ ΒΧ ii I

fΑ

∈

⎛∈ Β⎜⎝ ⎠Χ ⎞

⎟ ώστε ( ) ( )i kh k f i= για κάθε

και για κάθε . Προφανώς i I∈ k∈Α ( )f hΗ = , άρα η Η είναι επί. Συνεπώς

, άρα το ζητούμενο απεδείχθη. ii I i I

ΑΑ

∈ ∈

⎛ ⎞Β⎜ ⎟⎝ ⎠Χ Χ∼ iΒ

Πρόταση 18 (Γενίκευση της προσεταιριστικής ιδιότητας)

81 Αν είναι μία οικογένεια ισχύων και ,ia i I∈ ,jK j J∈ είναι μια διαμέριση

του I ( ), τότε I ≠∅j

i ii I j I i K

a a∈ ∈ ∈

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∏ ∏ ∏

Απόδειξη Είναι άμεση συνέπεια του παρακάτω λήμματος Λήμμα Αν είναι μια οικογένεια συνόλων (,i i IΑ ∈ I ≠∅ ) και ,jK j J∈ μια δια-

μέριση του I , τότε ( )j

i ii I j J i K∈ ∈ ∈

Α ΑΧ Χ Χ∼

Απόδειξη Θέτουμε

j

ii K

jB∈

Α =Χ . Δηλαδή το jB είναι το σύνολο των απεικονίσεων g

του jK στο j

ii K∈

Α∪ με . Το ( ) ig i ∈Α jj J

B∈Χ είναι το σύνολο των απεικονίσεων φ από

το στο J jj J

B∈∪ με ( ) jj Bφ ∈ . Το ( )jφ θα συμβολίζουμε εφεξής με jφ .

Αν , τότε θα υπάρχει ένα μοναδικό i I∈ j J∈ ώστε ji K∈ . Ορίζουμε την απεικόνιση

με : ii I

f I∈

→ Α∪ ( ) ( )jf i iφ= και την

: ( )j

i ij J i K i I∈ ∈ ∈

Η Α →Χ Χ ΧΑ με ( )j fφΗ = . Η Η είναι προφανώς επί.

Για το 1-1 Έστω (1) (2), ( )j

j j ij J i K

φ φ∈ ∈

∈ ΑΧ Χ (1) (2)( ) ( )j j με φ φΗΗ = , άρα

(1) (2)f f= , άρα (1) (2)( ) ( )f i f i= για κάθε i I∈ , άρα (1) (2)j Jφ φ= , δηλαδή η είναι

1-1, οπότε απεδείχθη το ζητούμενο. Η

Πρόταση 19 ( ) 2 ΑΡ Α =

Απόδειξη Άμεση συνέπεια της πρότασης 4 της προηγούμενης παραγράφου. Πρόταση 20 Το δυναμοσύνολο ενός αριθμήσιμου συνόλου έχει την ισχύ του

συνεχούς, δηλαδή : 02 cℵ =

82 Απόδειξη Από την προηγούμενη πρόταση προκύπτει ότι η ισχύς του δυναμο-

συνόλου του αριθμησίμου συνόλου Α είναι 02 2Α ℵ= . Εξ’ άλλου το σύνολο 1,2,3,...0,1 αποτελείται από όλες τις ακολουθίες, που οι όροι τους είναι 0 ή 1. Είναι φανερό λοιπόν, ότι μπορούν τα στοιχεία του να τεθούν σε 1-1 και επί αντι-στοιχία με τους αριθμούς του ανοικτού διαστήματος (0,1), εφόσον αυτοί είναι

γραμμένοι στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης, άρα ισχύει 1,2,3,...0,1 (0,1)= ,

δηλαδή 02 Cℵ = Πρόταση 21 Αν ισχύες τότε , ,a b c α. Αν a b< τότε a c b c+ < + β. Αν a b< και c τότε d< a c b d+ ≤ + Απόδειξη Θεωρούμε πως , , ,a b cΑ = Β = Γ = Δ = d α. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε πως το Γ είναι ξένο με τα και

. Αφού a θα υπάρχει 1-1 απεικόνιση Α

Β b< :f Α→Β . Η απεικόνιση με :g Α∪Γ→ Β∪Γ ( ) ( )g x f x= για x∈Α και ( )g x x= για x∈Γ είναι

προφανώς 1-1, άρα Α∪Γ ≤ Β∪Γ , συνεπώς a c b d+ ≤ + . β. Θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι τα Α και Γ , όπως και τα Β και

είναι ξένα μεταξύ τους. , άρα υπάρχει 1-1 απεικόνιση Δ a b< :f Α→Β και , άρα υπάρχει 1-1 απεικόνιση c d< :g Γ → Δ

Η με :h Α∪Γ→Β∪Δ( ) ,

( )( ) ,

f x xh x

g x x∈Α⎧

= ⎨ ∈Γ⎩ είναι προφανώς 1-1, άρα

Α∪Γ ≤ Β∪Δ , συνεπώς a c b d+ ≤ + . Πρόταση 22 Αν και με i Iia ib ∈ ( I ≠∅ ) είναι δύο οικογένειες μη μηδενι-

κών ισχύων με , για κάθε i Iia b< i ∈ , τότε i ii I i I

a b∈ ∈

≤∑ ∑

Απόδειξη Θεωρούμε την οικογένεια ,i i IΑ ∈ ξένων ανά δύο συνόλων με

83 i aΑ = i για κάθε i και την οικογένεια I∈ ,i i IΒ ∈ , επίσης ξένων ανά δύο

συνόλων με i bΒ = i για κάθε i I∈ . Αφού ia bi< θα υπάρχει 1-1 απεικόνιση , για κάθε . Το σύνολο των απεικονίσεων :i if Α →Βi i I∈ if ονομάζουμε . iF

Έχουμε ( )i i iF ⊆ Ρ Α ×Β − ∅ . Επειδή τα σύνολα ( )i iΡ Α ×Β − ∅ και

( )j jΡ Α ×Β − ∅ είναι ξένα όταν ,i j I∈ και i j≠ , θα είναι ξένα και τα και iF

jF , άρα η ,iF i I∈ είναι οικογένεια μη κενών και ξένων μεταξύ τους συνόλων,

συνεπώς θα υπάρχει σύνολο επιλογής , ώστε S iS F f∩ = i , για κάθε . i I∈ Η συνάρτηση με : i i

i I i I

f∈ ∈

Α → Β∪ ∪ ( ) ( )if x f x= για κάθε ix∈Α είναι προφα-

νώς 1-1, άρα i ii I i I∈ ∈

Α ≤ Β∪ ∪ , άρα i ii I i I

a b∈ ∈

≤∑ ∑ .

Πρόταση 23 Αν ισχύες τότε , , ,a b c d α. Αν a b< τότε ac bc≤ β. Αν a b< και c τότε d< ac bd≤ Απόδειξη Θεωρούμε πως , , ,a b cΑ = Β = Γ = Δ = d α. , άρα υπάρχει 1-1 απεικόνιση a b< :f Α→Β . Η απεικόνιση με 1 :f Α×Γ→Β×Γ 1(( , )) ( ( ), )f x y f x y= είναι επίσης 1-1, άρα Α×Γ ≤ Β×Γ , συνεπώς ac bd≤

β. a b και , άρα ac bd< ⇒ ≤ c d bc bd< ⇒ ≤ ac bd≤ . Πρόταση 24 Αν και με iia ib I∈ είναι δύο οικογένειες ισχύων με ,

για κάθε i I , τότε i ia b<

∈ i ii I i I

a b∈ ∈

≤∏ ∏ Απόδειξη Ακολουθούμε τη ίδια διαδικασία με την απόδειξη της πρότασης 20 και καταλήγουμε στον ορισμό μιας συνάρτησης f , όπως ακριβώς κάναμε και στην απόδειξη αυτή. Ακολούθως ορίζουμε συνάρτηση

84 : i i

i I i I

g∈ ∈

Α → Β∏ ∏ με ( )g r f r= , η οποία εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι

1-1. Πρόταση 25 Αν μη μηδενικές ισχύες τότε , ,a b c α. Αν τότε a b< c ca b≤ β. Αν τότε a b< a bc c≤

Απόδειξη Έστω , σύνολα με Α Β ,a bΑ = Β = και a b< , άρα υπάρχει 1-1 απεικόνιση :f Α→Β . α. Έχουμε , άρα ( )f Α ⊆ Β ( )f Γ ΓΑ ⊆ Β , άρα ( )f Γ ΓΑ ≤ Β , συνε-

πώς . c ca b≤ β. Έστω μια απεικόνιση : ( )g f Α → Γ . Από αυτή δημιουργούμε την απεικόνιση :h Β→Γ ως εξής

( ) , ( )( )

, (g x x f

h xx fρ

∈ Α⎧= ⎨ )∈Β− Α⎩

, όπου ρ ∈Γ , δηλαδή η h είναι μια επέκταση της g

στο . Κατασκευάζουμε έπειτα το σύνολο Β ′Α των απεικονίσεων, που δημιουρ-γούνται με το παραπάνω τρόπο, από κάθε απεικόνιση : ( )g f Α → Γ . Προφανώς

Β′Α ⊆ Γ και , άρα ( )f Α′Α Γ∼ ( )f Α ΒΓ ≤ Γ , άρα α βγ γ≤ . Πρόταση 26 (Θεώρημα Köning6)

i

Αν και οικογένειες μη μηδενικών πληθαρίθμων με ,ia i I∈ ,ib i I∈

ia b< για κάθε i I , τότε ∈ i ii I i I

a b∈ ∈

<∑ ∏

Απόδειξη Θεωρούμε μια οικογένεια ξένων ανά δύο συνόλων τέτοιων ώστε

,i i IΒ ∈

i bΒ = i για κάθε i και I∈ ,i i IΑ ∈ μια οικογένεια επίσης ξένων ανά δύο

συνόλων για τα οποία i aΑ = i για κάθε i I∈ .

6 Julius Köning (1849-1913) Ούγγρος μαθηματικός, ο οποίος εργάστηκε σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, όπως η Άλγεβρα, η Θεωρία Αριθμών, η Γεωμετρία και η Ανάλυση. Στα τελευ-ταία οκτώ χρόνια της ζωής του το ενδιαφέρον του περιστράφηκε στη θεωρία συνόλων και ιδιαίτε-ρα στην υπόθεση του συνεχούς.

85 iΑφού για κάθε i θα υπάρχει για κάθε iia b< I∈ I∈ μία 1-1 απεικόνιση . Έστω το σύνολο των απεικονίσεων αυτών για κάθε i . Επει-

δή :i if Α →Βi iF I∈

( )i i iF ⊆ Ρ Α ×Β − ∅ και τα σύνολα ( )i iΡ Α ×Β − ∅ , i I∈ είναι ξένα με-ταξύ τους, το ίδιο θα είναι και τα υποσύνολα τους ,iF i I∈ . Συνεπώς υπάρχει σύ-νολο επιλογής με S iS F f∩ = i , για κάθε i I∈ . Θεωρούμε τα σύνολα

, τα οποία είναι μη κενά, γιατί ( )i i i ifΓ = Β − Α i iα β< . Άρα από την πολλαπλα-σιαστική αρχή . Έστω i

i I∈Γ ≠ ∅Χ i

i Ic

∈

∈ ΓΧ και ii I

x∈

∈ Α∪ , τότε ορίζουμε την

x ii I

f∈

∈ ΒΧ ως εξής: Το να αντιστοιχεί μέσω της i I∈ xf στο , αν ( )i if x ∈Β

ix∈Α και στο αν . Έπειτα θεωρούμε την απεικόνιση ( )c i ix∉Α

: i ii Ii I

g∈∈

Α → ΒΧ∪ ώστε ( ) xg x f=

Η είναι 1-1 γιατί gΈστω με , i

i I

x y∈

∈ Α∪ x y≠ . Αν τα ,x y είναι στοιχεία του ιδίου συνόλου ,

τότε

iΑ

( ) xg x f= και ( ) yg y f= και θα έχουμε ( ) ( ) ( )x i if i f x f y= ≠ ( )yf i= , άρα ( ) ( )g x g y≠ Αν ix∈Α και jy∈Α με

, τότε i ≠ j ( ) xg x f= και ( ) yg y f= με ( ) ( ) ( )x i if i f x f i= ∈ Α και ( ) ( )y i i if i c f= ∉ Α , άρα x yf f≠ , άρα ( ) ( )g x g y≠

Εφόσον η είναι 1-1 θα έχουμε g i ii Ii I ∈∈

Α ≤ ΒΧ∪

Με απαγωγή σε άτοπο θα δείξουμε ότι δεν ισχύει το = Αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση : i i

i Ii I

g∈∈

Α → ΒΧ∪ , τότε

( )i ii I i I

g∈ ∈

Β = ΑΧ ∪ και τα είναι ξένα μεταξύ τους. ( ),ig iΑ ∈ I

Αν , τότε το ονομάζουμε i -διαγώνιο στοιχείο του ( )ih g∈ Α ( )h i iΒ . Το σύνο-λο όλων των i -διαγωνίων στοιχείων του iΒ ονομάζουμε . Έχουμε iD

86 iiD ⊂ Β για κάθε επειδή , i I∈ i iD ⊆ Β iD i≤ Α και i iΑ < Β για κάθε

. Συνεπώς τα σύνολα είναι όλα μη κενά, άρα i I∈ i i DΕ = Β − i ii I∈Ε ≠ ∅Χ . Έστω

, τότε , άρα υπάρχει ii I

c∈

∈ ΕΧ ii I

c∈

∈ ΒΧ ( )ih g∈ Α , για κάποιο i I∈ , ώστε

, άρα . Αλλά c h= ( ) ( )c i h i= ( ) ic i ∈Ε και ( ) ih i D∈ , άρα i iDΕ ∩ ≠∅ , άτοπο.

86

2.7 H Αριθμητική των πληθαρίθμων και 0ℵ c

Πρόταση 1 Αν ν φυσικός αριθμός, τότε : 0 0ν+ℵ =ℵ Απόδειξη Το σύνολο 1, 2,ν ν ν= + + … είναι ισοδύναμο με το σύνολο Το αποδεικνύει η συνάρτηση :f ν→ με , η οποία είναι αμφιμο-νοσήμαντη. Τα σύνολα και είναι ξένα και επί πλέον

, άρα .

( )f x x ν= +1, 2, νΑ= … ν

νΑ =∪ 0 0ν+ℵ =ℵ Πρόταση 2 0 0ℵ + ℵ = ℵ 0

Απόδειξη Τα σύνολα ,α π (σύνολα θετικών αρτίων και περιττών) είναι ξένα μεταξύ τους και επιπλέον , άρα . α π∪ = 0

0

0 0ℵ +ℵ =ℵ Πρόταση 3 , όπου ν θετικός ακέραιος. 0ν ⋅ ℵ = ℵ Απόδειξη Με επαγωγή από την προηγούμενη.

Πρόταση 4 20 0ℵ = ℵ

Απόδειξη 1 ν

ν∈

= Α∪ , όπου

0 1,3,5,7,...Α =

1 2,6,10,14,...Α =

2 4,12,20,28,...Α =

3 8,24,40,56,...Α = . . .

2 ,3 2 ,5 2 ,7 2 ,...κ κ κ κκΑ = ⋅ ⋅ ⋅

87 . .

Άρα 20 0kAκ

κ∈

ℵ = = Α = =ℵ ⋅ℵ =ℵ∪ 0 0 .

Απόδειξη 2 Θεωρούμε το σύνολο 2 3 / ,m nA m n= ∈ και την απεικόνιση

:f A× → με η οποία είναι προφανώς αμφιμονοσήμαντη. Το σύνολο

(( , )) 2 3m nf m n =

2 3 / ,m nA m n= ∈ είναι υποσύνολο του . Άρα το είναι ισοδύναμο με υποσύνολο του . Αφετέρου το είναι ισοδύναμο με το υποσύ-νολο Β του

×

× , όπου (1, ) /B n n= ∈ . Άρα (Θεώρημα Cantor-Bernstein) × ∼ , το οποίο είναι και το ζητούμενο. Πρόταση 5 , όπου ν φυσικός αριθμός. 0

νℵ = ℵ 0

0

Απόδειξη Με επαγωγή από την προηγούμενη. Σχόλιο 2 3

0 0 0 0 0 0 0 0ℵ +ℵ +ℵ + =ℵ +ℵ +ℵ + =ℵℵ =ℵΔηλαδή το σύνολο που σχηματίζεται από τους θετικούς ακεραίους, τα διατεταγ-μένα ζεύγη των θετικών ακεραίων, τις διατεταγμένες τριάδες των θετικών ακεραί-ων κ.ο.κ., είναι αριθμήσιμο.

Πρόταση 6 cc =+1 Απόδειξη και (0 . Έχουμε ότι 1Α= ,1) (0,1]Α=Β=∪ c=Β . Άρα

1c c+ = . Πρόταση 7 cc =+ν , όπου ν ένας φυσικός αριθμός. Απόδειξη Θεωρούμε τα σύνολα

1 20,1,2,..., 1 , (0,1), (1,2),..., ( 1, )nA n A A A n= − = = = − n

A∪

. Τότε

, άρα το ζητούμενο απεδείχθη. 1

[0, )n

kk

n A=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∪

88

Πρόταση 8 cc =+ℵ0

Απόδειξη Θεωρούμε το σύνολο 1

( , 1)i

i i∞

=

Α = +∪ , για το οποίο ισχύει

(1, 2) ⊂ Α ⊂ , άρα (1,2) ≤ Α ≤ , άρα c c≤ Α ≤ , άρα cΑ = Έχουμε ότι και [1, )Α∪ = +∞ Α =∅∩ , άρα

0 [1, )c c+ℵ = Α + = Α∪ = +∞ = . Πρόταση 9 ccc =+ Απόδειξη Θεωρούμε τα σύνολα (0,1)Α = και [1, 2)Β = . Έχουμε και , άρα Α∩Β =∅ (1, 2)Α∪Β = Α + Β = Α∪Β , άρα c c c+ = . Πρόταση 10 , όπου n ακέραιος nc c= 2≥ Απόδειξη Ισχύει για . Έστω πως ισχύει για 2n = n k= . Έχουμε

( 1)k c kc c c c+ = + = + = c

Πρόταση 11 cc =ℵ 0 Απόδειξη Θεωρούμε την απεικόνιση : (0,1) (1,f )× → +∞ με (( , ))f ν α ν= +α . Προφανώς η f είναι αμφιμονοσήμαντη, άρα

(0,1) (1, )× +∼ ∞ , άρα (0,1) (1, )× = +∞ , άρα 0c cℵ = .

Πρόταση 12 (Θεώρημα Cantor) cccc == 2 1 Σχόλιο Αναζητώντας ένα σύνολο με περισσότερα στοιχεία από αυτά των συνόλων με την ισχύ του συνεχούς ο Cantor προσπάθησε να αποδείξει κάτι για το οποίο δεν είχε καμιά αμφιβολία: Το πλήθος των σημείων του τετραγώνου είναι μεγαλύ- 1 Σημαίνει πως το πλήθος των σημείων ενός τετραγώνου είναι το ίδιο με το πλήθος των σημείων μιας πλευράς του. Ή αλλιώς το πλήθος των σημείων του επιπέδου και το πλήθος των σημείων μιας ευθείας είναι το ίδιο.

89 τερο από το πλήθος των σημείων της πλευράς του. Επί τρία συνεχόμενα χρόνια από το 1871 έως το 1874 επιχειρούσε να δείξει το αδύνατο της ισοδυναμίας των παραπάνω συνόλων και τέλος κατέληξε στο εντελώς απροσδόκητο και περίεργο συμπέρασμα. Κατόρθωσε να ορίσει την 1-1 και επί απεικόνιση των στοιχείων του ενός συνόλου στο άλλο. Έγραφε γεμάτος έκπληξη στο φίλο του R.Dedekind : «Το βλέπω, αλλά δεν μπορώ να το πιστέψω». Η ιδιοφυέστατη κατασκευαστική απόδειξη που ακολουθεί , οφείλεται στον G.Cantor. Απόδειξη 1 Αρκεί να αποδείξουμε ότι το καρτεσιανό γινόμενο είναι ισοδύναμο με το . Παριστάνουμε όλους τους αριθμούς του παραπάνω δια-στήματος ως απειροψήφιους δεκαδικούς. Έτσι για παράδειγμα τον αριθμό

το γράφουμε Για κάθε έναν από τους παραπάνω αριθμούς, θεω-ρούμε μία ακολουθία αριθμητικών συμπλεγμάτων ως εξής.

)1,0()1,0( ×)1,0(

23,0 ...22999,0

Ο πρώτος όρος (το πρώτο σύμπλεγμα), αποτελείται από όσα μηδενικά –τυχόν- ακολουθούν την υποδιαστολή και το πρώτο μη μηδενικό ψηφίο. Το δεύτερο σύ-μπλεγμα αποτελείται από όλα τα μηδενικά που ακολουθούν το παραπάνω μη μη-δενικό ψηφίο και το επόμενο μη μηδενικό ψηφίο, κ.ο.κ. Παράδειγμα ο αριθμός

,ορίζει την παρακάτω ακολουθία συμπλεγμάτων ...50800579,0=x ,...9,7,005,08,5 54321 ===== σσσσσ και ο αριθμός ...50430070100,0=y

ως η ακολουθία 1 2 3 4 504, 3, 007, 01, 005,...σ σ σ σ σ′ ′ ′ ′ ′= = = = =Μετά από αυτό κάθε στοιχείο του )1,0()1,0( × , δηλαδή κάθε ζεύγος αριθμών

αντιστοιχούμε στον αριθμό του διαστήματος , που κατασκευάζουμε με τον εξής τρόπο: μετά την υποδιαστολή τοποθετούμε το πρώτο σύμπλεγμα του

),( yx z )1,0(

x , έπειτα το πρώτο σύμπλεγμα του , μετά το δεύτερο σύμπλεγμα του y x , μετά το δεύτερο σύμπλεγμα του κ.ο.κ. Δηλαδή από το ζεύγος του παραπάνω παραδείγματος προκύπτει ο αριθμός

y ),( yx...0770190055040830050,0=z

Με αυτόν τον τρόπο προκύπτει από κάθε ζεύγος ένας και μόνον αριθμός και αντιστρόφως από κάθε αριθμό , ένα και μοναδικό ζεύγος . Η παραπά-νω αντιστοιχία του στο (0,1) είναι προφανώς 1-1 και επί, άρα

, δηλαδή

),( yx zz ),( yx

)1,0()1,0( ×(0,1) (0,1) (0,1)× ∼ ccc = 2

2 Η απόδειξη αυτή δεν έγινε αποδεκτή από πολλούς μαθηματικούς, μεταξύ των οποίων και ο Βέλ-γος Du Bois -Reymond

90

Απόδειξη 2 (Hausdorff) Αρκεί να αποδείξουμε την ισοδυναμία των συνόλων και . Κάθε αριθμός (0,1] (0,1]× (0,1] x του διαστήματος γράφεται με μο-

ναδικό τρόπο με τη μορφή

(0,1]1 1 2 1 21 1 1

2 2 2

nx x x x x x

x+ + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, όπου

nx ακολουθία μη αρνητικών ακεραίων. Συνεπώς σε κάθε αριθμό του (0 αντι-στοιχεί μια και μόνον ακολουθία μη αρνητικών ακεραίων. Αν

,1]

nx είναι η ακολου-θία που αντιστοιχεί στον x του (0 και ,1] ny η ακολουθία που αντιστοιχεί στον αριθμό του διαστήματος , τότε ορίζουμε μία απεικόνιση του (0 στο ώστε το ζεύγος

y (0,1] ,1] (0,1]×(0,1] ( , )x y να αντιστοιχεί στον αριθμό

1 1 1 1 2 1 1 2 21 1 1 12 2 2 2

x x y x y x x y x y

z+ + + + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. Εύκολα αποδεικνύεται

ότι η απεικόνιση αυτή είναι αμφιμονοσήμαντη κάτι που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Απόδειξη 3 ccc ==== ℵℵ+ℵℵℵ 00000 2222

Πρόταση 13 cc =ν 3 Απόδειξη Με επαγωγή από την παραπάνω πρόταση.

Πρόταση 14 cc =ℵ 0

Απόδειξη 20 0 0 00(2 ) 2 2c c

ℵ ℵ ℵ ℵℵ= = = = Πρόταση 15 Αν 2,3,..., ,...n n∈ , τότε 0n cℵ =

Απόδειξη , άρα 0 02 n cℵ ℵ ℵ≤ ≤ 0 ( ) 00 0 02 2n

ℵℵ ℵ ℵ≤ ≤ , άρα 02 2c cnℵ≤ ≤ , άρα

0n cℵ = Παρατηρήσεις 1. Παραμένει ανοικτό το πρόβλημα του αν είναι συγκρίσιμες δύο οποιεσδήποτε υπερπεπερασμένες ισχύες. Σε αυτό το βασικό ερώτημα απαντά η εισαγωγή διάταξης στα σύνολα, την οποία θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο.

3 Όσα σημεία έχει ο ν-διάστατος χώρος, τόσα ακριβώς έχει και η ευθεία.

91 2. Μετά τα αποτελέσματα των πράξεων με τις ισχύες 0ℵ και c , μπορούμε να εξηγήσουμε γιατί στις ισχύες δεν μεταφέρονται οι ιδιότητες : 1. a b a d b d< ⇒ + < + 2. Αν θετικός τότε d a b ad bd< ⇒ < 3. Αν θετικοί με a , τότε a b< b< da bd< και a bd d< . Έχουμε ενώ , όπως επίσης 2 3< 02 3+ℵ = +ℵ0

0ℵ

ενώ 2 3< 0 02 3⋅ℵ = ⋅ℵ

ενώ καθώς και 2 3< 02 3ℵ = 2 30 0ℵ =ℵ

3. Οφείλουμε μια πιο αυστηρή απόδειξη της ισοδυναμίας του συνόλου των θετι-κών ρητών ( *

+ ) και του από εκείνη του Cantor, που είδαμε σε προηγούμενη

παράγραφο, έχουμε * / , ( , ) 1μ μ ν μ νν+⎧ ⎫= ∈ ∧⎨ ⎬⎩ ⎭

= . Θεωρούμε την

*:f + → με 2 3f μ νμν⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, η οποία εύκολα αποδεικνύεται 1-1 και το σύνο-

λο 2 3 /μ μΑ = ∈ . Έχουμε *( )f +Α ⊂ ⊂ , άρα *( )f +Α ≤ ≤ , δηλαδή *

0 0( )f +ℵ ≤ ≤ℵ , άρα * *

0( )f+ += =ℵ Πρόταση 16 Αν A σύνολο με A c= και 1 2, ,..., ,...nB B B μια διαμέριση του

A , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας φυσικός ώστε k kB c= Απόδειξη Επειδή για κάθε n∈ έχουμε nB A⊆ θα είναι nB c≤ . Αν σε κα-μία από τις πιο πάνω ανισότητες δεν ισχύει το = , τότε (Θεώρημα Köning)

0

1 11k k

k kk

c B B A c∞ ∞∞

ℵ

= ==

= = < =∑ ∏∪ c= , άτοπο.

Ας δούμε όμως και μια άλλη απόδειξη. Με απαγωγή σε άτοπο. Έστω πως

nB < c , για κάθε . Αντί του n∈ A μπορούμε να πάρουμε ένα οποιοδήποτε

σύνολο με την ισχύ του συνεχούς και ένα τέτοιο είναι το , δηλαδή το σύνολο όλων των ακολουθιών με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς ( 0c cℵ= = )

92 npr είναι μία απεικόνιση από το στο , ώστε ( )npr a να είναι ο ο-

στός όρος της ακολουθίας . Επειδή (αλλιώς n −

a ( )n npr B ⊂ ( )n npr B c= ) υ-

πάρχει . Προφανώς (διαγώνια μέθο-

δος), άτοπο.

* ( )n na pr∈ − nB n* * *1 2

1

( , ,..., ,...)nn

a a a B∞

=

∉∪

Προβλήματα 1. Αν το είναι ένα υπεραριθμήσιμο σύνολο πραγματικών αριθμών, τότε υπάρχει

ώστε κάθε ένα από τα σύνολα Α

a∈Α ( , )a−∞ ∩Α και ( , )aΑ∩ +∞ να είναι υπε-ραριθμήσιμο. 2. Αν το είναι αριθμήσιμο, τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε ( ) .

Α ⊂ aa + Α ∩Α =∅

3. Να αποδειχθεί ότι η ισχύς του συνόλου των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων μίας πραγματικής μεταβλητής είναι ίση με αυτή του συνεχούς.

4. Να αποδειχθεί ότι 02 3 4C C C CC = = = = =ℵC

5. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο Κ των ακολουθιών με όρους θετικούς ακέραιους έχει την ισχύ του συνεχούς. 6. Θεωρούμε το υποσύνολο Μ του συνόλου της άσκησης 14, το οποίο ορίζεται από την ακόλουθη σχέση

, lim 0νν ν ν

ν

αα α ββ

∈Μ ⇔ ∈Κ ∧∃ ∈Κ =

7. Να αποδειχθεί ότι το είναι υπεραριθμήσιμο. Μ 8. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο όλων των πεπερασμένων υποσυνόλων του συνόλου των θετικών ακεραίων είναι αριθμήσιμο.

9. Να αποδειχθεί ότι [ , 1)ν ν

ν

+

∈Χ ∼

93 10. Να αποδειχθεί ότι η ισχύς του συνόλου των υποσυνόλων του , τα οποία έχουν ν στοιχεία το κάθε ένα, είναι ίση με c . 11. Με τη βοήθεια του Θεωρήματος Köning να αποδειχθεί η ανισότητα Cantor,

δηλαδή για οποιοδήποτε μη κενό σύνολο Α ισχύει ( )Α < Ρ Α

12. Αν 0Α =ℵ , να αποδειχθεί ότι το σύνολο των πεπερασμένων υποσυνόλων του

είναι αριθμήσιμοΑ 4

4 Άρα το σύνολο των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές είναι αριθμήσιμο.

94

2.8 Υπερβατικοί Αριθμοί Πρόταση 1 Αν Α απειροσύνολο και Β ένα αριθμήσιμο υποσύνολο του ώστε το

να είναι επίσης απειροσύνολο, τότε Α

Α−Β Α Α−Β∼ . Απόδειξη Αφού το Α−Β είναι απειροσύνολο θα υπάρχει αριθμήσιμο υποσύνολο του

. Θέτουμε . Τα σύνολα 1Β

Α−Β 2 1( )Β = Α−Β −Β Β , 1Β και 2Β είναι ξένα μεταξύ τους και επιπλέον . Το σύνολο 1Α = Β∪Β ∪Β2 1Β∪Β είναι αριθμήσιμο ( 0 0 0ℵ +ℵ =ℵ ), άρα υ-πάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση 1 1:f Β∪Β →Β . Θεωρούμε την με :g Α→ Α−Β

1

2

( ) ,( )

,f x x

g xx x

∈Β∪Β⎧= ⎨ ∈Β⎩

, η οποία είναι προφανώς αμφιμονοσήμαντη, άρα . Α Α−Β∼

Πρόταση 2 Το σύνολο των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές είναι αριθμήσιμο. Απόδειξη 11 Έστω ,01

11)( axaxaxaxf n

nn

n ++++= −− n∈ ένα πολυώνυμο με ακέ-

ραιους συντελεστές. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως . Ονομάζουμε «ύψος» του πολυωνύμου τον ακέραιο αριθμό

0>na

01 aaanh nn ++++= − . Το πλήθος των πολυωνύμων με συγκεκριμένο ύψος είναι προφανώς πεπερασμένο. Για παράδειγμα τα μονα-δικά πολυώνυμα ύψους 2 είναι τα , 2, 2x − . Πολυώνυμα ύψους 3 είναι τα

. Πολυώνυμα ύψους 4 είναι τα 2 , 2 , 1, 1,3, 3x x x x+ − − 3 2 2 2, 2 , 1, 1, 2, 2,x x x x x x+ − − + 2 1, 2 1, 4, 4x x− + − κ.ο.κ. Έτσι προκύπτει ότι το σύνολο των πολυωνύμων είναι αριθμήσιμο, αφού μπορούν να γραφούν ως όροι μιας ακολουθίας. Απόδειξη 2 Έστω μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία. Έτσι οι συντελεστές

του πολυωνύμου ας πούμε πως αντι-στοιχούν μέσω της

:f →

0 1, ,..., na a a 011

1)( axaxaxaxf nn

nn ++++= −

−

f στους ακέραιους του συνόλου . Μετά από αυτό το πολυώ-νυμο το αντιστοιχούμε στον αριθμό , όπου

1,..., nb b1 22 3 ... nbb b

np np ο n-οστός κατά σειρά μεγέθους πρώτος. Κάθε πολυώνυμο λοιπόν, αντιστοιχεί σε έναν και μόνο ακέραιο >1 και κάθε ακέ-ραιος >1 , επειδή αναλύεται με μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, αντιστοι-χεί σε ένα και μόνον πολυώνυμο. Παράδειγμα το πολυώνυμο 2 3x x− + αντιστοιχεί στον αριθμό , το πολυώνυμο 6 0 22 3 5 1600⋅ ⋅ = 3 1x x− + στον αριθμό

κ.ο.κ Από την άλλη τον αριθμό 2 αντιστοιχούμε στο πολυώνυμο 2 0 1 62 3 5 7 2352980⋅ ⋅ ⋅ =x− , τον αριθμό 3 στο πολυώνυμο 2 1x− − κ.ο.κ. Έτσι φαίνεται ότι το σύνολο των πολυωνύ-

μων με ακέραιους συντελεστές είναι αριθμήσιμο, αφού αριθμήσιμο είναι το σύνολο 2,3,4,...Α = 2

Απόδειξη 3 Επειδή κάθε πολυώνυμο βαθμού με ακέραιους συντελεστές χαρακτηρίζεται από την διατεταγμένη n άδα των συντελεστών του, το σύνολο των πολυωνύμων βαθμού

n− n

1 Η απόδειξη αυτή οφείλεται στον Cantor. 2 Αποδεικνύεται με την απεικόνιση με :f →Α ( ) 1f x x= +

95

με ακέραιους συντελεστές είναι ισοδύναμο με το σύνολο των διατεταγμένων άδων ακε-ραίων, δηλαδή το . Αν ονομάσουμε

n −n A το σύνολο όλων των πολυωνύμων με ακέραιους

συντελεστές και το σύνολο των nnA − βαθμίων πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές, τότε

0 0 011

n n

nn

A∞ ∞

==

= = =ℵℵ =∑∪ ℵ

Πρόταση 3 Το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο. (Αλγεβρικός λέγεται ένας πραγματικός αριθμός, όταν είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσω-σης με ακέραιους συντελεστές.) Απόδειξη Έστω το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών. Επειδή όλοι οι ρητοί αριθμοί είναι αλγεβρικοί, έχουμε

Α

0ℵ = ≤ Α (1). Αφ’ ετέρου επειδή από κάθε πολυώνυμο βαθμού με ακέραιους συντελεστές παίρνουμε το πολύ ρίζες, τότε για το σύνολο των αλγεβρι-κών που δίνουν τα

n −n nΑ

n − βάθμια πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές έχουμε

0n nΑ ≤ ℵ =ℵ0 , άρα 0 0 011

n nnn

∞ ∞

==

Α = Α = Α ≤ℵℵ =ℵ∑∪ (2). Από τις (1) και (2) προκύ-

πτει το ζητούμενο. Πρόταση 4 Υπάρχουν μη αλγεβρικοί πραγματικοί αριθμοί. Απόδειξη Αν όλοι οι πραγματικοί ήταν αλγεβρικοί, τότε, επειδή το σύνολο των αλγεβρικών είναι αριθμήσιμο θα έπρεπε και το σύνολο των πραγματικών να είναι επίσης αριθμήσιμο, άτοπο. Σχόλιο Το παραπάνω αποτελεί μία μη κατασκευαστική απόδειξη της ύπαρξης μη αλγεβρι-κών αριθμών. Οι μη αλγεβρικοί πραγματικοί ονομάζονται υπερβατικοί, ονομασία που ο-φείλεται στον μεγάλο Euler, επειδή «υπερβαίνουν τη δύναμη των αλγεβρικών μεθόδων». Και ενώ, όπως είδαμε, συνολοθεωρητικά αποδεικνύεται σχετικά εύκολα η ύπαρξη υπερβατι-κών αριθμών, η απόδειξη του ότι ένας αριθμός είναι ή όχι υπερβατικός είναι αρκετά δύσκο-λη. Η τεκμηριωμένη ανακάλυψη ενός τέτοιου αριθμού έγινε μόλις το 1844 από τον Liou-ville3, ο οποίος ψάχνοντας να αποδείξει την υπερβατικότητα του π (χωρίς αποτέλεσμα)

απέδειξε ότι ο αριθμός !1

1 0,110001...10κ

κ

∞

=

=∑ , γνωστός ως αριθμός του Liouville

είναι υπερβατικός. Αργότερα (1873) ο Hermite4 απέδειξε την υπερβατικότητα του e και το 1882 ο Lindemann5 την υπερβατικότητα του π . Το ερώτημα αν οι αριθμοί της μορφής βα , όπου α θετικός αλγεβρικός 0 και του 1 και ≠β άρρητος, είναι υπερβατικοί, ετέθη από τον Hilbert στο 2ο Μαθηματικό Συνέδριο του

3 Joseph Liouville (1809-1822) Γάλλος μαθηματικός με σημαντική επιστημονική προσφορά σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών. Εκτός των μελετών του στους υπερβατικούς αριθμούς ασχολήθηκε με τη Μιγαδική Ανάλυση (Θεώρημα Liouville), τη Διαφορική Γεωμετρία, τη Μαθηματική Φυσική και την Αστρονομία. Ση-μαντική συνεισφορά στην επιστήμη είναι και η δημοσίευση στο περιοδικό που ο ίδιος εξέδιδε (Journal des Mathématiques), των λίγων σελίδων σημειώσεων που άφησε παρακαταθήκη λίγο πριν σκοτωθεί σε μονομαχία ο τραγικός μεγαλοφυής Evariste Galois (1812-1832), οι οποίες έμελλε να γίνουν τα θεμέλια της σύγχρονης Άλγεβρας. 4 Charles Hermite (1822-1901) Γάλλος μαθηματικός, ο οποίος ασχολήθηκε με την αριθμοθεωρία, την ανά-λυση και την άλγεβρα. 5 Ferdinand von Lindemann (1852-1939) Γερμανός μαθηματικός

96

Παρισιού (το 7ο από τα 23 σημαντικά άλυτα προβλήματα του καιρού) και απαντήθηκε κα-ταφατικά το 1934 από τον Gelfond6. Πρόταση 5 Το σύνολο των υπερβατικών αριθμών έχει την ισχύ του συνεχούς7 Απόδειξη Άμεση συνέπεια της πρότασης 1 Σχόλιο Οι υπερβατικοί αριθμοί, οι λιγότερο γνωστοί, είναι οι «περισσότεροι» Πρόταση 6 Αν Α απειροσύνολο και Β αριθμήσιμο με Α∩Β =∅ , τότε Α∪ Β Α∼ Απόδειξη Εύκολη Πρόταση 7 Αν Α απειροσύνολο και Β πεπερασμένο με Α∩Β =∅ , τότε Α∪ Β Α∼ Απόδειξη Εύκολη

6 Alexander Gelfond (1906-1968) Ρώσος μαθηματικός καθηγητής από το 1931 ως τις τελευταίες μέρες της ζωής του στο Πανεπιστήμιο της Μόσχας. Το 1939 εξελέγη μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της ΕΣΣΔ. Α-σχολήθηκε εκτός των υπερβατικών αριθμών με τις αναλυτικές συναρτήσεις, τις ολοκληρωτικές εξισώσεις και την Ιστορία των Μαθηματικών. 7 Όπως και το σύνολο των αρρήτων αριθμών έχει την ισχύ του συνεχούς.

97 3.1 Διατεταγμένα σύνολα

Ορισμός 1 Έστω ένα σύνολο Α και ρ μια διμελής σχέση στο . Αν η σχέση

Αρ είναι μη-ανακλαστική και μεταβατική, τότε ονομάζεται μερική

διάταξη (partial order) στο Α και το σύνολο Α μερικώς διατεταγμένο (partially ordered set ή συγκοπτόμενο poset) με τη σχέση ρ . Ορισμός 2 Αν ρ μία μερική διάταξη στο σύνολο Α και για τα στοιχεία

,x y του Α ισχύει x yρ , θα λέμε ότι το x προηγείται του ή το έπε-ται του

y yx .

Ορισμός 3 Στην περίπτωση που για τα στοιχεία , ,x y z του Α ισχύει x yρ και y zρ , θα λέμε ότι το y είναι μεταξύ των x και zΌταν επιπλέον για κάθε ,x y∈Α με x y≠ ισχύει ή x yρ ή y xρ (δη-λαδή όταν δύο οποιαδήποτε στοιχεία του Α είναι συγκρίσιμα), τότε ή σχέ-ση ονομάζεται ολική διάταξη (total order) ή γραμμική διάταξη και το σύνολο Α ολικώς διατεταγμένο (totally ordered) ή αλυσίδα (chain) ή γραμμικώς διατεταγμένο.1 1 Ο K. Kuratowski προτείνει (Fundamenta Mathematica 2-1921, σελ 161-170) τον εξής τρόπο για την εισαγωγή μιας σχέσης, η οποία είναι ολική διάταξη σε ένα σύνολο : ΧΜία οικογένεια Μ υποσυνόλων του Χ θα λέμε ότι είναι μονοτονική αν για κάθε

θα ισχύει ή ,Α Β∈Χ Α ⊆ Β Β⊆ Α . Έστω επιπλέον ότι η Μ έχει την ιδιότητα να μην περιέχεται γνήσια σε κάποια άλλη μονοτονική οικογένεια ′Μ υποσυνόλων του . ΧΤότε αν ,x y∈Χ ορίζουμε x r y αν και μόνον αν υπάρχει Α∈Μ ώστε και

. Η σχέση r είναι σχέση ολικής διάταξης. Πράγματι x∉Α

y∈Α• Η σχέση r δεν είναι ανακλαστική. Έστω ότι υπάρχει x∈Χ με x r x , τότε

θα υπάρχει Α∈Μ με x∉Α και x∈Α , άτοπο. • Η σχέση r είναι μεταβατική. Έστω x r y και y r z , άρα υπάρχουν

,Α Β∈Μ με x∉Α και y∈Α και y∉Β και z∈Β . Υπάρχουν δύο ενδεχόμενα Α ⊆ Β ή Β ⊆ Α . Αν Α ⊆ Β , τότε y∈Β , άτοπο, άρα Β⊆ Α . Τότε από τη z∈Β συμπεραίνουμε ότι z∈Α , άρα έχουμε x∉Α και z∈Α , δηλαδή x r z .

• Η σχέση r είναι σχέση ολικής διάταξης. Πράγματι αν δεχθούμε πως υπάρχουν ,x y∈Χ , μη συγκρίσιμα, δηλαδή να μην αληθεύει ούτε το x r y , ούτε το

y r x , τότε θα πρέπει για κάθε Α∈Μ να ισχύει ή x∈Α και y∈Α , ή

98

Παραδείγματα 1. ένα μη κενό σύνολο και Χ ( )Ρ Χ το δυναμοσύνολο του Χ . Το ( ( ), )Ρ Χ ⊂ είναι μερικώς διατεταγμένο γιατί

1. Δεν υπάρχει ώστε ( )Α∈Ρ Χ Α ⊂ Α και 2. Αν Α ⊂ Β και Β⊂ , τότε ΓΑ ⊂ Γ . Το δεν είναι ολικώς διατεταγμένο παρά μόνο στην πε-ρίπτωση που το είναι μονοσύνολο, γιατί αν

( ( ), )Ρ Χ ⊂Χ ,x y∈ Χ με x y≠ δεν ι-

σχύει καμία από τις x y⊂ , ή y x⊂ . 2. Το σύνολο εφοδιάζουμε με τη σχέση × ρ ως εξής : ( , ) ( , )x y z w x z y wρ ⇔ < ∧ < προφανώς 1. Δεν υπάρχει x∈ ώστε ( , ) ( , )x x x xρ και 2. Αν 1 1 2 2( , ) ( , )x y x yρ και 2 2 3 3( , ) ( , )x y x yρ τότε

1 1 3 3( , ) ( , )x y x yρ . Το σύνολο ( × , ρ ) είναι μερικώς αλλά όχι ολικώς διατεταγμένο, γιατί ούτε (1,3) ρ (3,1) ούτε (3,1) ρ (1,3). 3. Το σύνολο , μπορούμε να το εφοδιάσουμε και με μια διαφορετική σχέση, τη λεγόμενη λεξικογραφική διάταξη ≺ :

×

( , ) ( , ) ( )x y z w x z x z y w⇔ < ∨ = ∧ <≺ Εύκολα αποδεικνύεται ότι το ( × , ≺ ) είναι ολικώς διατεταγμένο. 4. Το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων με μία πραγματική μεταβλητή ( ) όταν είναι εφοδιασμένο με τη σχέση

( ): lim( )x

f xf gg x

ρ ρ→+∞

0⇔ =

είναι μερικώς διατεταγμένο, αλλά όχι ολικώς. Επίσης στο ίδιο σύνολο η σχέση ρ′ με : ( ) ( )f g f x g xρ ρ′ ′ ⇔ < για κάθε

είναι σχέση μερικής αλλά όχι ολικής διάταξης στο x∈5. Το σύνολο των ακολουθιών με στοιχεία φυσικούς αριθμούς όταν είναι εφοδιασμένο με τη σχέση ως εξής ( )≺ ( )ν νφ ψ≺ αν και μόνον αν για

x∉Α και y∉Α . Στη πρώτη περίπτωση η οικογένεια x′ =Μ Μ∪ θα

είναι μία μονοτονική οικογένεια, η οποία θα περιέχει γνησίως την Μ , άτοπο.

′′ΜΣτη δεύτερη περίπτωση η οικογένεια = Μ∪ Χ θα είναι μία μονοτονική οι-

κογένεια, η οποία θα περιέχει γνησίως την Μ , επίσης άτοπο.

99 τον μικρότερο φυσικό αριθμό λ για τον οποίον ισχύει λ λφ ψ≠ θα έχουμε

λ λφ ψ< , είναι ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο. 6. Το σύνολο όταν εφοδιάζεται με τη σχέση ως εξής × ≺

( , ) ( , )α β γ δ≺ αν και μόνον αν 2 1 22 2β δ

1α γ+ +<

είναι ολικώς διατεταγμένο. 7. Στο σύνολο των φυσικών αριθμών ορίζουμε τη σχέση ρ ως εξής α ρ β αν και μόνον αν το α είναι γνήσιος διαιρέτης του β . Η σχέση ρ είναι σχέση μερικής διάταξης στο , αλλά όχι ολικής, γιατί 3 5ρ και 5 3ρ 8. Στο ορθογώνιο σύστημα δίνεται το σχήμα 1. Oxy

Α(0,β) Β(α,β)

Γ(α,0) Σχήμα 1 Ο(0,0)

100

Για το σύνολο Μ των σημείων του ορθογωνίου ΟΑΒΓ ορίζουμε διμελή σχέση ρ ως εξής : ( , ) ( , )x y z wρΚ Λ αν και μόνον αν x z< και . Το σύνολο Μ γίνεται έτσι μερικώς διατεταγμένο. Στο παραπάνω σύνολο

y w<

ικανή συνθήκη για να είναι ένα υποσύνολο του, με περισσότερα από δύο στοιχεία, αλυσίδα είναι τα σημεία, τα οποία το αποτελούν να ανήκουν σε ευθεία y xλ β= + , με λ>0.

Διάγραμμα Hasse Αν το ( , Α ρ ) είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο και Β ⊆ Α , τότε δίνουμε τους εξής ορισμούς Ορισμός 4 Αν ,α β ∈Α με α β≠ και ισχύει μία από τις σχέσεις ή α ρ β ή β ρα , τότε τα ,α β λέγονται συγκρίσιμα (comparable). Σε αντίθετη περίπτωση τα ,α β λέγονται μη συγκρίσιμα (incomparable)

101 Ορισμός 5 Αν και οποιαδήποτε δύο στοιχεία του Β ⊆ Α Β είναι μη συ-γκρίσιμα, τότε το ονομάζεται αντιαλυσίδα (antichain) στο Β Α Ορισμός 6 Το α ∈Β θα ονομάζεται ελαχιστικό στοιχείο του , όταν δεν υπάρχει

Βx∈Β με xρα , δηλαδή δεν υπάρχει στοιχείο του Β , το οποίο

προηγείται του α . Ορισμός 7 Το β ∈Β θα ονομάζεται μεγιστικό στοιχείο του Β , όταν δεν υπάρχει x∈Β με xβ ρ , δηλαδή δεν υπάρχει στοιχείο του Β , το οποίο έπεται του β . Ορισμός 8 Το α ∈Β θα ονομάζεται πρώτο ή ελάχιστο στοιχείο του Β , όταν για κάθε x α∈Β− ισχύει xα ρ , δηλαδή όλα τα στοιχεία του , εκτός του ίδιου, έπονται του

Βα .

Ορισμός 9 Το β ∈Β θα ονομάζεται τελευταίο ή μέγιστο στοιχείο του Β , όταν για κάθε x β∈Β− ισχύει x ρ β , δηλαδή όλα τα στοιχεία του , εκτός του ίδιου προηγούνται του

Ββ .

Σχόλιο Αν β ∈Α , τότε το β είναι το πρώτο και το τελευταίο στοιχείο του β . Πρόταση 1 Αν το ( , Α ρ ) είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο και

, τότε αν το Β έχει πρώτο (αντ. τελευταίο) στοιχείο, αυτό θα είναι μοναδικό. Β ⊆ Α

Απόδειξη Εύκολη. Τα παρακάτω παραδείγματα δείχνουν τη διαφορά μεταξύ πρώτου στοιχείου (ελαχίστου) και ελαχιστικού, όπως και μεταξύ τελευταίου στοιχείου (μεγί-στου) και μεγιστικού. 1. Έστω Α ένα σύνολο, το οποίο περιέχει δύο τουλάχιστον στοιχεία και Β το υποσύνολο του , το οποίο προκύπτει αν εξαιρεθούν το κενό και το ίδιο το . Τότε, ως προς τη μερική διάταξη που εισάγει η σχέση , κάθε

( )Ρ ΑΑ ⊂

102

μονοσύνολο του είναι ελαχιστικό για το Α Β και κάθε σύνολο της μορφής xΑ− , είναι μεγιστικό για το x∈Α Β . Αλλά το Β δεν έχει ούτε ελάχι-

στο (πρώτο), ούτε μέγιστο (τελευταίο) στοιχείο. 2. Έστω 1A⊆ − με τη διάταξη του παραδείγματος 7. Τότε α. Το A έχει ελάχιστο στοιχείο το k αν και μόνον αν ,m A m kr r∈ ⇔ = ∈ β. Το A έχει μέγιστο στοιχείο το αν και μόνον αν k ,m A k mr r∈ ⇔ = ∈ Στην περίπτωση αυτή είναι προφανές πως 0| |A <ℵ και το είναι το μεγα-λύτερο, με τη φυσική διάταξη στοιχείο του

kA

γ. Το A έχει ελαχιστικά στοιχεία, όλα τα στοιχεία του, που δεν έχουν στο A γνήσιους διαιρέτες. δ. Το A έχει μεγιστικά στοιχεία, όλα τα στοιχεία του, που δεν έχουν στο A γνήσια πολλαπλάσια. 3. Θεωρούμε τα σύνολα 1 2 ,3 2 ,5 2 ,...k k k

kA = ⋅ ⋅ ⋅ , όπου 0,1, 2,...k = , το

σύνολο

0

( )kk

A A∞

=∪ κα= Ρ ι το ( ) ,B = Ρ το παραπάνω σύνολο

η σχέση ⊂ ε αι μια μερική διάταξη. Ελαχιστικό στοιχείο του

A A− ∅ . Σ

ίν B ε αι κά-θε σύνολο της μορφής

ίν2 νώ μεγιστικά στοιχεία του , 0,1,2,...k k = , ε B

αι όλα τα σύνολα ,kAείν k 0,1,2,...= Το B δεν έχει ούτε ελάχιστο, ούτε μέγιστο στοιχείο. Ορισμός 10 Το πρώτο και το τελευταίο στοιχείο ενός μερικώς διατεταγμέ-νου συνόλου – αν υπάρχουν - έχουν την κοινή ονομασία συνοριακά στοιχεία του .

ΒΒ

Ορισμός 11 Το β ∈Α θα ονομάζεται άνω φράγμα του Β , αν x ρ β για κάθε x β∈Β− . Αν υπάρχει άνω φράγμα του συνόλου Β , τότε αυτό θα ονομάζεται άνω φραγμένο.

103 ρισμός 12 Το α ∈Α θα ονομάζεται κάτω φράγμα του ΒΟ , αν xα ρ

για κάθε x α∈Β− Αν υπάρχει κάτω φράγμα του συνόλου . Β , υτό θα ονομάζετ τω φραγμένο.

τότε ααι κά

13 Το σύνολο Β Ορισμός θα ονομάζεται φραγμένο, αν είναι και άνω και

14 Υποθέτουμε ότι

κάτω φραγμένο.

| | 2Β ≥ . Αν το Β Ορισμός είναι κάτω φραγμένο και φραγμά′Β είναι το σύνολο των κάτω των του Β . Αν το ′Β έχει τελευταίο

ιχείο ( το οποίο προφανώς, λόγω της πρότασης 1 θα ε αι μοναδικό ), τότε αυτό ονομάζεται μεγαλύτερο κάτω φράγμα (infimum) του Β και συμβολίζεται με inf Β . Αν

στο ίν

xΒ = , τότε ορίζουμε inf xΒ = Ορισμός 15 Υποθέτουμε ότι | | 2Β ≥ . Αν το Β είναι άνω φραγμένο και

μάτων ′Β

είναι το σύνολο των άνω φραγ του Β . Αν το ′Β έχει πρώτο στοιχε (το οποίο προφανώς, λόγω της πρότασης 1 θα είναι ναδικό), τότε αυτό ονομάζεται μικρότερο άνω φράγμα (supremum) του

ίομο

Β και συμβολίζετμε supΒ . Αν

αι xΒ = , τότε ορίζουμε sup xΒ =

Παρατηρήσεις 1. Είναι προφανές πως αν β είναι το πρώτο (αντ. τελευταί-ο) στοιχείο του Β, τότε inf βΒ = (αντ. sup βΒ = ) 2. Δεν είναι απαραίτητο Β του Ακάθε υποσύνολο , το οποίο είναι άνω

.

remum,

φραγμένο να έχει supremum, ούτε κάθε κάτω φραγμένο να έχει infimumΓια παράδειγμα αν θεωρήσουμε το σύνολο των ρητών εφοδιασμένο με τη σχέση < (φυσική διάταξη), τότε παρατηρούμε ότι το ύνολο

2 / 2x x xΑ = ∈ ∧ < είναι άνω φραγμένο, αλλά δεν έχει sup σ

όπως επίσης το 2 3x x∈ ∧ > είναι κάτω φραγμένο αλλά δεν έχinfimum.

/xΒ = ει

2 Αν το (Α , ρΠρόταση ) είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο και ∅ ≠ Β⊂ Α με ( ) ρ σΒ×Β ∩ = ≠ ∅ , τότε το (Β , σ ) είναι επίσης με-

1. Αν ρικώς διατεταγμένο με

ασ β τότε α ρ β και 2. Αν ,α β ∈Β και α ρ β , τότε ασ β .

104 πόδειξη Εύκολη

16 Το σύνολο των στοιχείων του

Α

Α Ορισμός που προηγούνται του α ονομάζεται αρχικό τμήμα του Α , το οποίο ρίζεται από το ο α και βολίζεται με ( )

συμ-σ α .

, που έπονται του α Ορισμός 17 Το σύνολο των στοιχείων του Α και το

ίδιο το α ονομάζεται υπόλοιπο τμήμα πο ορίζει το υ α και συμβολίζε-ται με )(υ α . Είναι π νές (Α , ρροφα πως αν το ) είναι ολικώς διατεταγμένο, τότε τα σύ-νολα ( )σ α και ( )υ α αποτε ού μία διαμέριση του λ ν Α , δηλαδή

( ) )(σ α υ α ι ( ) ( )∩ =∅ κα σ α υ α∪ = Α . ρισμός 18 Το ονομάζεται πυκνό, όταν για κάθε ζεύγος στοιχείων Ο Α ,α β ∈Α με α ρ β υπάρχει γ ∈Α ώστε α ρ γ και γ ρ β , δηλαδή υ-

τουλάχιστον στοιχεπάρχει ένα ίο γ ∈Α , με ων ταξύ τ α και β . Ορισμός 19 Το λέγεται πυκνώς διατεταγμένο στο Β Α ή απλώς πυκνό υποσύνολο του , όταν και μόνον όταν για κάθε ,Α α β ∈Α με α ρ β υπάρχει γ ∈Β , τ οποίο βρίσκεται μεταξύ των ο α και β . Για παράδειγμα τα σύνολα των ρητών και των αρρήτων είναι πυκνά υποσύ-

ρισμός 20 Όταν σε ένα μη- πυκνό σύνολο

νολα των πραγματικών.

(Α , ρΟ ) για τα στοιχεία ,α β ∈Α με α ρ β δεν υπάρχει γ ∈Α ώστε α ρ γ και γ ρ β , τότε το

α ονομάζουμ ως προηγούμ ου ε αμέσ ενο τ β και το β α ς επόμενου

μέσω το α . Ορισμός 21 Το λέγεται ομοτελικό (cofinal) του Β ⊂ Α Α αν και μό-νον αν για κάθε α ∈Α υπάρχει β ∈Β ώστε α ρ β ια παράδειγμα το σύνολο είναι ομοτελικό του συνόλου . Γ

105 ρισμός 22 Έστω ( , )ρΧ Ο ένα διατεταγμένο σύνολο και ,Α Β ⊆ Χ .

Τα Α και Β λέγοντ τελικά αν και μόνον αν για κάθαι ομο ε α ∈Α υπάρχει

-β ∈Β ώστε α ρ β και για κάθε β ∈Β υπάρχει α ∈Α ώστε β ρα .

Για παράδειγμα τα τών κ ήτων ω τη συνηθι-

ρισμός 23 Όταν σε ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο

σύνολα των ρη αι των αρρ ς προςσμένη διάταξη είναι ομοτελικά.

Α , Ο κάθε μη κενό υποσύνολο του έχει πρώτο στοιχείο, τότε το Α ονομάζουμε καλώς διατε-ταγμένο. Οι εξής πρόταση αποδεικνύεται εύκολα

3 Αν το

( , )ρΑ Πρόταση είναι καλώς διατεταγμένο, τότε είναι ολικώς

4 Αν το

διατεταγμένο

( , )ρΑ πυκνό, τότε το Α Πρόταση είναι απειροσύνολο. Α ς εύκο (μπόδειξη Κατ’ αρχά λα αποδεικνύεται ε επαγωγή) ότι αν

1 2, ,..., nα α αΒ = είναι ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο, τότε έχ

ίο. Έστω ότι το

ει πρώτο

και τελευταίο στοιχε 1 2, ,..., nα α αΑ = ένα πυκνό και πεπερασμένο σύνολο και Β είναι το σύνολο ν του Α που είναι μεταξύ των

1,

kn n

των στοιχείω -α α αν ποθέσουμε ότι

1 kn n υ α ρα . Προφανώ,

ς

1 kn nα α ∉Β . Ε πειδή το Α είναι πυκνό και Β ⊂ Α , το Β είναι ολ και αφού το

ικώς διατεταγμένο Β είναι ολικώς διατεταγμένο, τε, σύμφωνα μετην παραπάνω παρατήρηση το

τό , Β θα έχει πρώτο στοιχείο, ας πούμε το

kα . Αλλά επειδή το Α είναι πυκ , θα υπάρχει mνό α μεταξύ των 1nα και

kα . Προφανώς το mα θα είναι μεταξύ των ,1 kn nα α , άρα mα ∈Β τοπο,

τί το πρώτο στοιχείο του , ά

για Β υποθέσαμε ότι το είναι kα .

ρόβλημα

A. Tarski2 έδωσε τον παρακάτω ορισμό για τα πεπερασμένα σύνολα:

Π O

2 Ο Alfred Tarski γεννήθηκε στη Βαρσοβία από Εβραίους, το θρήσκευμα γονείς το 1902. Σπούδασε Μαθηματικά στο πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας, στο οποίο τότε δίδασκε

921 πλειάδα σπουδαίων Μαθηματικών (Lukasiewicz, Sierpinski, Mazurkiewicz, κ.α). Το 1σε ηλικία μόλις 19 ετών δημοσίευσε την πρώτη του εργασία πάνω σε μερικά ερωτήματα της συνολοθεωρίας. Το 1923 άλλαξε το όνομά του (το πατρικό του όνομα ήταν

106

Ένα σύνολο A λέγεται πεπερασμένο αν και μόνον αν κάθε οικογένεια υποσυ-νόλων του έχει ψευδοελάχιστο στοιχείο ως προς τη διάταξη ⊂ . Να αποδείξετε ότι ο παραπάνω ορισμός είναι ισοδύναμος με τον ορισμό του προηγουμένου κεφαλαίου. Απόδειξη Για το αναγκαίο Έστω A ένα πεπερασμένο σύνολο και U μία οικογένεια υποσυνόλων του. Επειδή το A είναι πεπερασμένο θα έχουμε ,B A n n≤ = ∈ , για κάθε , συ-

νεπώς θα υπάρχει

B U∈

0B U∈ ώστε 0 min /B B B U= ∈ . Το 0B είναι το ζη-

τούμενο ελαχιστικό στοιχείο της U . Για το ικανό Έστω ότι το A δεν είναι πεπερασμένο, άρα 1 2, ,..., ,...nA a a a= , τότε η ακο-

λουθία , όπου ,nA n∈ 1 2, ,...,n nA A a a a= − είναι μία οικογένεια υποσυνό-

λων του A , χωρίς ελαχιστικό στοιχείο, άτοπο. Στο εξής τις ολικές διατάξεις θα συμβολίζουμε με το σύμβολο ή το ίδιο σύμβολο με δείκτες ή τόνους, όταν δεν χρησιμοποιούμε κάποιο άλλο σύμ-βολο, το οποίο θα δηλώνεται ρητώς.

≺

Όταν ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο παρουσιάζεται με αναγραφή των στοιχείων του, τότε αντί των αγκίστρων χρησιμοποιούμε παρενθέσεις και γράφουμε το στοιχείο που προηγείται στη διάταξη πριν από το στοιχείο

Tietelbaum) και το θρήσκευμα του (έγινε Ρωμαιοκαθολικός), πιθανόν γιατί αλλιώς θα ήταν αδύνατον, στις συνθήκες ακραίου εθνικισμού και αντισημιτισμού που επικρατούσαν τότε στην Πολωνία, να πραγματοποιήσει ακαδημαϊκή καριέρα. Το 1924 δημοσίευσε, μαζί με τον S. Banach το περίφημο παράδοξο, που φέρει το όνομά τους (Sur la décomposition des ensembles de points en parties resrpectivement congruente-Fundamenta Mathematica 4, 244-277). Στάθηκε τυχερός και τον Αύγουστο του 1939, λίγες ώρες πριν την εισβολή των Χιτλερικών στρατευμάτων στην Πολωνία, ταξίδευε στη Αμερική, για ένα συνέδριο. Ο πατέρας του, η μητέρα του και ο αδερφός του έπεσαν θύματα της ναζιστικής θηριωδίας. Συναντήθηκε με τη γυναίκα του και τα δύο παιδία του, που κρύβονταν μετά επτά χρόνια. Στην Αμερική, όπου παρέμεινε ως το θάνατό του (1983), τα περισσότερα χρόνια δίδαξε στο Πανεπιστή-μιο του Berkeley. Εκτός από τα κλασσικά βιβλία που έγραψε για τη Μαθηματική Λογική και τη Θεωρία των συνόλων, πολλά από τα σημαντικά αποτελέσματα των Μεταμαθηματι-κών οφείλονται σ’ αυτόν.

107 ου έπεται. Παράδειγμα το σύνολο 1 2 3, , ,α α αΑ = … π ολικώς διατε-ταγμένο με τη σχέση ≺ ώστε κ λα α κ λ⇔ <≺ ο γράφουμε

( ), , ,α α α … , θα τ

Ένα σύνολο αριθμών, όταν διατάσσεται έτσι ώστε τα στοιχεία του να μπαί-

αραδείγματα

. Το σύνολο των θετικών ακεραίων διατεταγμένο με τη φυσική διάταξη:

2. Το σύνο σική διάταξη:

3. Το σύνολο τω αύξουσα

ο. 4. Το σύνολο των θετ

ων θετικών ακερα ς

6. Το ίδιο σύν ι ως εξής πλάσια

,5 2 ,...)⋅ . Το σύνολο έχει πρώτο στοιχείο, αλλά δεν έχει τελευταίο.

τούς αριθμούς

τοί με τον τρόπο πο

1 2 3

νουν σε σειρά αύξοντος μεγέθους θα λέμε πως διατάσσεται με τη φυσική διάταξη. Π 1

( )1,2,3,… , έχει πρώτο στοιχείο, αλλά δεν έχει τελευταίο. λο των αρνητικών ακεραίων διατεταγμένο με τη φυ

( ), 3, 2, 1− − −… , έχει τελευταίο στοιχείο, αλλά δεν έχει πρώτο. ν θετικών ακεραίων με πρώτους τους άρτιους σε

σειρά και έπειτα τους περιττούς επίσης σε αύξουσα σειρά δηλαδή ( )2,4,6, ,1,3,5,… … , έχει πρώτο στοιχείο, αλλά δεν έχει τελευταί

ικών ακεραίων με πρώτους τους άρτιους αριθμούςτους σε αύξουσα σειρά και έπειτα τους περιττούς αριθμούς σε φθίνουσα σειρά δηλαδή ( )2,4,6, ,5,3,1… , έχει και πρώτο και τελευταίο στοιχείο. 5. Το σύνολο τ ίων αν βάλουμε όλους τους αριθμούς εκτότου 1 σε αύξουσα σειρά και το 1 να έπεται όλων των άλλων, δηλαδή ( )2,4,6, ,1… , έχει και πρώτο και τελευταίο στοιχείο.

ολο των θετικών ακεραίων διατάσσεται καΠροηγούνται οι περιττοί με σειρά αύξουσα, μετά τα περιττά πολλατου 2 επίσης με αύξουσα σειρά, μετά τα περιττά πολλαπλάσια του 22 με αύξουσα σειρά κ.ο.κ. δηλαδή :

2(1,3,5,..., 2,3 2,5 2,..., 2 ,3 2⋅ ⋅ ⋅ 2 2

7. Το σύνολο των θετικών ακεραίων με πρώτους τους περιτσε σειρά φθίνουσα σειρά και έπειτα τους άρτιους αριθμούς σε αύξουσα σειρά δηλαδή : (...,5,3,1, 2, 4,6,...) , είναι μη φραγμένο. 8. Οι θετικοί ρη υ φαίνεται παρακάτω:

108 1 3 5 1 2 4 1 3 51, 2,3, , , , , , , , , , , , ,2 2 2 3 3 3 4 4 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

… … … … είναι ένα ολικώς δια-

τεταγμένο σύνολο με πρώτο στοιχείο, αλλά όχι τελευταίο.

ε όλα τα παραπάνω παραδείγματα έχουμε μη-πυκνά σύνολα γμένο με

ία πραγματικούς αριθ-

Σ9.Το σύνολο των ρητών αριθμών του διαστήματος (0,1), διατετατη φυσική διάταξη είναι πυκνό και μη- φραγμένο. 10. Το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών με στοιχεμούς, δηλαδή το σύνολο × , εφοδιασμένο με τη λεγόμενη λεξικογρα φική διάταξη, δηλαδή το ς ( , )ζεύγο α β να προηγείται του ζεύγους ( , )γ δ , εφόσον α β< ή εφόσον α β= και γ δ< , είναι πυκνό και μη-φραγ Από όλα οηγούμενα νεται φανερό πως το διατεταγ-

μένο. τα πρ παραδείγματα γί

.2 Σύνδεσμοι

ρισμός 1 Το μερικώς διατεταγμένο σύνολο

μένο σύνολο δεν εξαρτάται μόνον από τα στοιχεία του αλλά και από τον τρόπο τοποθέτησής τους. 3

( , )Α ≺ Ο θα λέγεται σύνδε-σμος (lattice) αν και μόνον αν για κάθε ,α β ∈Α υπάρχουν στο Α τα

sup ,α β και inf ,α β . Το μεν α συμβολίζουμε πρώτο θ με α β∨ και το δεύτερο με α β∧ 3. Πρόταση 1 Αν ένας σύνδεσμος, τότε ισχύουν τα

.

Α 1 x x x∧ = , για κάθε x∈Α 2. x x x∨ = , για κάθε x∈Α 3. x y y x∧ , για κ∧ = άθε ,x y∈Α 4. x y y x∨ = ∨ , για κάθε ,x y∈Α 5. )x ( ) (y z∧ ∧ = , για κάθεx y z∧ ∧ , ,x y z∈Α 6. ( ) ( )x y z x y z∨ ∨ = ∨ ∨ , για κάθε , ,x y z∈Α 7. ( )x x y x∧ ∨ = , για κάθε ,x y∈Α 8. ( )x x y x∨ ∧ = , για κάθε ,x y∈Α

3 Αν x y= , τότε sup , inf ,x y x y x= =

109

πόδειξη Εύκολη

2 Αν ένα μη κενό σύνολο

Α

Α Πρόταση εφοδιασμένο με τις πράξειςε

∧ και ∨ έχει τις ιδιότητες από 1 έως και 8 της πρότασης 1, τότε υπάρχ ι μία ναδική σχέση μερικής διάταξης ≺ στο σύνολο μο Α , ώστε sup ,x y x y∨ = και inf ,x y x y= ∧

Α υμεπόδειξη Ορίζο x y≺ αν και ν αν x y≠ και su x y y= 4 p ,μόνοΠροφανώς x x≺ , για x κάθε ∈Α και αν x y≺ κ τότε αι y z≺ ,

sup ,y x= y και sup ,z y z= άρα , ( ) ( )x z x y z y∨ = ∨x y z z z∨ = ∨ = ∨ ∨ = . Αν z x= , τότε

sup ,y z= y και sup ,z y z= , πώς x z≺ . άρα y z= . Συνε αραδείγματα 1. Αν είναι μη κενό σύνολο, τότε το Α ( )Ρ Α Π με τη σχέση

του γνήσιου εγκλεισμού )⊂ είναι σύνδεσμος. 2. Αν Α είναι μη κενό σύνολο και

(M ένα μη κενό υποσύνολο του ( )Ρ Α

με την ιότητα αν ,ιδ B C M∈ , τότε C M∪ ∈ και B C MB ∩ ∈ , τότε ο τ M , διατεταγμένο μ η ⊂ εί ς.

ο σύνολο με τη σχέση το παραδείγματος 7 είναιε τη σχέσ ναι σύνδεσμο

3. Τ υ σύνδεσμος. 4. Αν 1 2, ,..., np p p είναι πρώτοι, τότε το σύνολο

1 21 2 0... / , ,...,A p m m m= ∈ εφοδιασ

. Στα παραδείγματα 3 και 4 έχουμε

nmm mnp p μένο με τη μερική διάτα-

ξη του παραδείγματος 7 είναι σύνδεσμος[ , ]x y∨ = x y , δηλαδή το ελάχιστο κοι-

νό πολλαπλάσιο των ,x y και ( , )x y x y∧ = , δηλαδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των ,x y .

4 Επειδή x y y x y x∨ = ⇔ ∧ = μπορούμε να εισάγουμε τη διάταξη και με το ισο-

δύναμο τρόπο x y≺ αν και μόνον αν x y≠ και inf ,x y x=

110 .3 Ολικώς διατεταγμένα σύνολα.

ρισμός 1 Αν τα και είναι δύο ολικώς διατεταγμένα σύνολα με τις α οί

3 Ο Α Β σχέσεις ′≺ και ′′≺ ντιστ χως και υπάρχει απεικόνιση :f Α → Β , η ο-ποία είνα πί κα ιατηρεί τη διάταξη του Α στο Βι ε ι δ 5, δηλ ε

,α β ∈ Α ισχύει αδή για κάθ

f f( ) ( )α β α β′ ′′ ⇔ ≺ ≺ , τότε λέμε πως τα σύνολα Αι όμοια ικό τύπο και το συμβολίζουμ

Α ≈ Β .

ε

ηλαδή διατακτικός τύπος είναι το κοινό χαρακτηριστικό των ομοίων

και Β είνα ή έχουν τον ίδιο διατακτ

Δσυνόλων. Η παραπάνω απεικόνιση :f Α → Β ονομάζεται απεικόνιση ομοιότητας των Α και Β . Οι διατακτικοί τύποι των ολικώς διατεταγμένων συνόλων συμβολίζονται με

ρισμός 2 Αν ένα σύνολο

τα μικρά γράμματα της Ελληνικής αλβαβήτου.

Α Ο είναι ολικώς διατεταγμένο με τη διάταξη ≺ , τότε η αντίστροφη διάταξη 1 −≺ στο ίδιο σύνολο είναι εκείνη για την οποία για κάθε ,α β ∈Α με α β≠ ισχύει 1α β β α≺ ≺ .

ς ενός ολικώς διατεταγμένου με τη διάταξη συνό-

−⇔Αν ο διατακτικός τύπο ≺λου Α είναι ο μ , τότε ο διατακτικός τύπος του ίδιου συνόλου εφοδιασμέ-νου όμως με τη ιάταξη 1 δ −≺ , δηλαδή την αντίστροφη, θα συμβολίζεται *μ .

ρισμός 3 Αν το σύνολο

Α Ο είναι ολικώς διατεταγμένο με τη διάταξη ≺ και ,α β ∈Α με α β≺ , τ τε το υποσύνολο ό Β του Α που έχει την ιδ -τητα

ιό γ ∈Β αν κα αν το ι μόνον γ είναι μεταξύ ων τ α και β , ονομάζεται

ανοικ στημα στο τό διά Α με άκρα τα α και β .

Α Ορισμός 4 Ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο λέμε ότι ικανοποιεί την αριθμήσιμη συνθήκη αλυσίδας (countable chain condition ή σύντομα

c.c.c.), όταν και μόνον όταν κάθε απειροσύνολο το οποίο έχει ως στοιχεία ανοικτά διαστήματα στο Α , τα οποία είναι ξένα ανά δύο, είναι αριθμήσιμο.

5 Σέβεται τη διάταξη

111 ρισμός 5 Έστω ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο και Α 1 2,Α Α Ο δύο

μη κενά και ξένα υποσύνολα του Α με 1 2Α ∪Α = Α . Αν γ ε 1ια κάθ α ∈Ακαι για κάθε 2

β ∈Α , έχουμε α β≺ το ζεύγος (Α

τομή (cut) σ λο , , )Α ονομάζουμε 1 2

το σύνο Α και μβολίζουμε το συ [ ]1 2,Α Α Ορισμός 6 Αν [ ]1 2,Α Α είναι μία τομή στο ολικώς διατεταγμένο σύνολο

το έΑ , τέτοια ώστε χει τελευταίο στοιχείο και το 1Α 2Α έχει πρώτο στοιο, τότε λέμε ότι η ομή δίνει στο

- τχεί Α ένα άλμα (jum

p)

1 Αν ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο, τότε οι εξής προ-Πρόταση Α τάσεις είναι ισοδύναμες (1) Το Α είναι πυκνό (2) Δεν άλμα υπάρχει στο Α Α

ρισμός 7 Αν

πόδειξη Εύκολη

[ ]1 2,Α Α Ο είναι μία τομή στο ολικώς διατεταγμένο σύνολο το δΑ , τέτοια ώστε εν έχει τελευταίο στοιχείο και το 2 1Α Α δεν έχει

ώτο στοιχείο, τότ έμε ότι η τομή δίνει στο πρ ε λ Α ένα χάσ (gap)

μα

Ορισμός 8 Ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο, το οποίο δεν έχει ούτε άλ-

αρατηρήσεις 1. Το

ματα, ούτε χάσματα, λέγεται συνεχές (continuum)

∅ Π σύνολο είναι ολικώς διατεταγμένο σύνολο με την

νομελές σύνολο είναι ολικώς διατεταγμένο με την ασθενώς τε-

α πεπερασμένο σύνολο με ισχύ

ισχυρώς τετριμμένη διμελή σχέση και ως διατακτικό του τύπο ορίζουμε τον αριθμό 0. 2. Κάθε μοτριμμένη διμελή σχέση. Ως διατακτικό τύπο του συνόλου αυτού ορίζουμετον αριθμό 1. 3. Έστω Α έν 2ν ≥ και

: 1,2,..f ν →Α μία αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση. Θ., εωρούμε στο

τη σχέση η οποί

Α

≺ , α ορίζεται ως εξής 1 1( ) ( )f fα β α β− −⇔ <≺ . Η σχέση ≺ είναι σχέση ολικής διάταξη υ Ας και ως διατακτικό τύπο το ορίζουμε τ ν φυσικό αριθμό ο ν .

112 . Τον διατακτικό τύπο του συνόλου των θετικών ακεραίων διαταγμέ-4

νων με τη φυσική διάταξη, δηλαδή του συνόλου (1,2,3,…) θα συμβολίζουμε με το γράμμα ω , ενώ με *ω θα συμβολίζουμε τον αντίστροφο διατακτικό τύπο, δηλαδή του συνόλου (…,3,2,1) ή του συνόλου των αρνητικών ακεραίων με τη φυσική διάταξη. Οι αποδείξεις των παρακάτω προτάσεων είναι εύκολες Πρόταση 2 Αν και Α Β είναι δύο ολικώς διατεταγμένα σύνολα με τις σχέσεις ≺ και αντιστοίχως και η ′≺ :f Α → Β είναι μια απεικόνιση επί για την οποία για κάθε 1 2,x x ∈Α ισχύει 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x′⇒≺ ≺ . Τότε η f είναι απεικόνιση ομοιότητας. Πρόταση 3 Αν είναι ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο, τότε Α Α ≈ Α Πρόταση 4 Έστω Α , Β δύο πεπερασμένα σύνολα με ν στοιχεία ( 2ν ≥ ), τα οποία είναι ολικώς διατεταγμένα με τις σχέσεις και αντιστοίχως τότε τα και

≺ ′≺Α Β είναι όμοια.

Απόδειξη Έστω 1 2( , ) ( , ,..., )να α αΑ =≺ και 1 2( , ) ( , ,..., )νβ β β′Β =≺

Θεωρούμε την απεικόνιση :f Α→Β με ( )f κ κα β= για κάθε

1,2,...,κ ∈ ν . Η f είναι προφανώς επί και επιπλέον ισχύει κ λα α≺ , άρα , άρα κ λ< κ λβ β′≺ , άρα ( ) ( )f fκ λα α′≺ , άρα η f είναι απεικό-νιση ομοιότητας, συνεπώς Α ≈ Β . Πρόταση 5 Αν και Α Β είναι δύο όμοια ολικώς διατεταγμένα σύνολα με τις σχέσεις ≺ , και η ′≺ :f Α → Β είναι μία απεικόνιση ομοιότη-

τας, τότε η f είναι αμφιμονοσήμαντη και η 1 :f − Β→ Α , είναι επίσης απεικόνιση ομοιότητας. Απόδειξη Η f είναι ως απεικόνιση ομοιότητας επί, άρα για να ορίζεται η

1f − , αρκεί η f να είναι 1-1. Έστω 1 2,x x ∈Α με 1 2x x≠ τότε 1 2x x≺ ή

2 1x x≺ . Αν 1 2x x≺ , τότε 1 2( ) ( )f x f x≺ . Αν 2 1x x≺ , τότε 2( ) ( )1f x f x≺ , άρα

1( ) ( )2f x f x≠ , δηλαδή η f είναι 1-1.

113 Έστω τώρα πως υπάρχουν 1 2,x x ∈Β με 1 2x x′≺ και 1 1

2 1( ) ( )f x f x− −≺ , τότε 1

2 1( ( )) ( ( ))1f f x f f x− −≺ , δηλαδή 2 1x x≺ , άτοπο, άρα για κάθε αν 1 2,x x ∈Β 1 2x x′≺ , τότε 1 1

1( ) ( )2f x f x− −≺ , δηλαδή η 1f − είναι επί-σης απεικόνιση ομοιότητας. Πρόταση 6 Αν και Α Β είναι δύο όμοια ολικώς διατεταγμένα σύνολα, τότε Α Β∼ Απόδειξη Άμεση συνέπεια της πρότασης 4 Πρόταση 7 Αν είναι ολικώς διατεταγμένα σύνολα και

, είναι δύο απεικονίσεις ομοιότητας, τότε η , ,Α Β Γ

:f Α→Β :g Β→Γ:g f Α→ Γ είναι επίσης απεικόνιση ομοιότητας.

Απόδειξη Εύκολη. Πρόταση 8 Αν ( , ) , ( , ) , ( , )′ ′′Α Β Γ≺ ≺ ≺ είναι ολικώς διατεταγμένα σύνο-λα με Α ≈ και Β ≈ . τότε Β Γ Α ≈ Γ . Απόδειξη Άμεση συνέπεια της πρότασης 6 Πρόταση 9 Αν ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο και ( , )Α ≺ ,α β ∈Α , τότε ( ) ( )α β σ α σ β⇔ ⊂≺ Απόδειξη ( Έστω )⇒ α β≺ , τότε ( )x σ α∈ , άρα x α≺ και αφού α β≺ θα έχουμε x β≺ , άρα ( )x σ β∈ , συνεπώς ( ) ( )σ α σ β⊆ . Επι-πλέον ( )α σ α∉ και ( )α σ β∈ γιατί α β≺ , άρα ( ) ( )σ α σ β⊂ . ( )⇐ Έστω ( ) ( )σ α σ β⊂ . Αν α β= , τότε ( ) ( )σ α σ β= , άτοπο. Αν β α≺ , τότε από το προηγούμενο συμπεραίνουμε ότι ( ) ( )σ β σ α⊂ , άτο-πο. Άρα α β≺ . Πρόταση 10 Έστω ( , και ( ,)Α ≺ )′Β ≺ είναι δύο όμοια ολικώς διατε-ταγμένα σύνολα και :f Α → Β είναι μία απεικόνιση ομοιότητας , τότε αν α είναι το πρώτο (αντ. τελευταίο) στοιχείο του Α το ( )f α θα είναι το πρώτο (αντ. τελευταίο) στοιχείο του Β.

114

Απόδειξη Έστω πως το α είναι το πρώτο στοιχείο του Α και το ( )f α δεν είναι το πρώτο στοιχείο του Β, άρα υπάρχει β ∈Β , που προηγείται του ( )f α , δηλαδή ( )fβ α′≺ . Επειδή η f είναι επί θα υπάρχει γ ∈Α ώστε ( )fβ γ= . Τότε ( ) ( )f fγ α′≺ , άρα γ α≺ , άτοπο γιατί το α είναι το πρώτο στοιχείο του Α. Όμοια αποδεικνύεται και η περίπτωση που το α είναι τελευταίο στοιχείο του Α. Άμεση συνέπεια της παραπάνω πρότασης είναι η Πρόταση 11 Αν ( , και ( ,)Α ≺ )′Β ≺ είναι δύο ολικώς διατεταγμένα σύ-νολα και το Α έχει πρώτο (αντ. τελευταίο) στοιχείο, ενώ το Β δεν έχει, τότε τα Α και Β δεν είναι όμοια. Για παράδειγμα τα σύνολα (2,4,6,…) και (…,5,3,1) δεν είναι όμοια, όπως και τα (2,4,6,…) και (…,5,3,1,2,4,6,…) Πρόταση 12 Αν και ( ,( , )Α ≺ )′Β ≺ δύο όμοια ολικώς διατεταγμένα σύνολα, ( )σ α ένα αρχικό τμήμα του Α και :f Α→Β μια απεικόνιση ομοιότητας, τότε ( ( )) ( ( ))f fσ α σ α= Απόδειξη Αν ( ( ))y f σ α∈ , τότε υπάρχει ( )x σ α∈ , ώστε . ( )y f x=Αφού x α≺ , τότε ( ) ( )f x f α′≺ , άρα ( ( ))y fσ α∈ Αντιστρόφως αν ( ( ))y fσ α∈ , τότε ( )y f α′≺ . Έστω x∈Α με

, άρα ( )y f x= ( ) ( )f x f α′≺ , άρα x α≺ , άρα ( )x σ α∈ , συνεπώς ( ( ))y f σ α∈ . Άρα ( ( )) ( ( ))f fσ α σ α= .

Πρόταση 13 Αν και ( ,( , )Α ≺ )′Β ≺ δύο όμοια ολικώς διατεταγμένα

σύνολα, τότε για κάθε α ∈Α ισχύει ( ) ( ( ))fσ α σ α= , όπου f μία

απεικόνιση ομοιότητας του Α στο Β . Απόδειξη Αφού η f είναι αμφιμονοσήμαντη θα έχουμε

( ) ( ( ))fσ α σ α= και λόγω της προηγούμενης πρότασης

( ( )) ( ( ))f fσ α σ α= , άρα ( ) ( ( ))fσ α σ α=

115 Άμεση συνέπεια της παραπάνω είναι η Πρόταση 14 Αν ( , και ( ,)Α ≺ )′Β ≺ δύο ολικώς διατεταγμένα σύνολα

και υπάρχει α ∈Α ώστε ( ) ( )σ α σ β≠ για κάθε β ∈Β , τότε τα και δεν είναι όμοια.

ΑΒ

Πρόταση 15 Αν και ( ,( , )Α ≺ )′Β ≺ δύο όμοια ολικώς διατεταγμένα σύνολα, ( )υ α ένα υπόλοιπο τμήμα του Α και :f Α→Β μια απεικό-νιση ομοιότητας, τότε ( ( )) ( ( ))f fυ α υ α= Απόδειξη Όμοια με την απόδειξη της πρότασης 11. Πρόταση 16 Αν και ( ,( , )Α ≺ )′Β ≺ δύο ολικώς διατεταγμένα σύνολα,

τότε για κάθε α ∈Α ισχύει ( ) ( ( ))fυ α υ α= , όπου f μία απεικόνιση

ομοιότητας του στο Α Β . Απόδειξη Όμοια με εκείνη της πρότασης 12 Άμεση συνέπεια της παραπάνω είναι η Πρόταση 17 Αν ( , και ( ,)Α ≺ )′Β ≺ δύο ολικώς διατεταγμένα σύνολα ,

και υπάρχει α ∈Α ώστε ( ) ( )υ α υ β≠ για κάθε β ∈Β , τότε τα και δεν είναι όμοια.

ΑΒ Πρόταση 18 Αν και ( ,( , )Α ≺ )′Β ≺ δύο όμοια ολικώς διατεταγμένα σύνολα και ( , )α β ένα διάστημα του Α και :f Α→Β μια απεικόνιση

ομοιότητας, τότε ( , ) ( ( ), ( ))f fα β α β=

f ⇔

Απόδειξη

1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ), ( ))

x x f f xf x f f

α β α β α βα β

∈ ⇔ ⇔∈

≺ ≺ ≺ ≺

Συνεπώς ο περιορισμός της f στο ( , )α β είναι επί του ( ( ), ( ))f fα β . Το 1-1 είναι συνέπεια του ότι η f διατηρεί τη διάταξη, συνεπώς το ζητούμενο απεδείχθη.

116

Παρατηρήσεις 1. Τα ισοδύναμα ολικώς διατεταγμένα σύνολα δεν είναι απαραιτήτως όμοια. Μπορεί δηλαδή να έχουμε δύο ισοδύναμα για παρά-δειγμα το σύνολο (2,4,6,…) με το σύνολο (…6,4,2), ενώ είναι ισοδύναμα γιατί είναι ίσα δεν είναι όμοια γιατί το ένα έχει πρώτο στοιχείο ενώ το άλλο δεν έχει. 2. Στην ομοιότητα δεν ισχύει πρόταση ανάλογη με εκείνη των Cantor-Bernstein για την ισοδυναμία των συνόλων Δηλαδή αν για τα σύνολα , το ένα είναι όμοιο με ένα γνήσιο υποσύνολο του άλλου, τότε τα δεν είναι απαραιτήτως όμοια. Για παράδειγμα τα σύνολα των ρητών του δια-στήματος [0 και του διαστήματος [0 με τη φυσική διάταξη δεν είναι όμοια, γιατί το πρώτο έχει τελευταίο στοιχείο, ενώ το δεύτερο δεν έχει. Αλλά το σύνολο των ρητών του [0 είναι ισοδύναμο με το σύνολο των

,Α Β,Α Β

,1] ,1)

,1]

ρητών του 1[0, ]2

( ( )2xf x = ) και το σύνολο των ρητών του [0 είναι

προφανώς όμοιο με τον εαυτό του.

,1)

Πρόταση 19 Ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο A είναι τύπου ω αν και μόνον αν είναι απειροσύνολο και κάθε αρχικό τμήμα του είναι πε-περασμένο. Απόδειξη Το αναγκαίο είναι εύκολο. Για το ικανό Είναι προφανές ότι για κάθε k∈ υπάρχει μοναδικό a A∈ , ώστε | ( ) |a kσ = . Θεωρούμε την :f A→ ώστε ( ) | ( ) |f k a a kσ= ⇔ = , η οποία, εύκολα αποδεικνύεται, ότι είναι επί και διατηρεί τη διάταξη, άρα (1,2,3,...) A≈ . Πρόταση 20 Ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο Α είναι τύπου ω αν και μόνον αν δεν έχει τελευταίο στοιχείο και κάθε αρχικό τμήμα του είναι πεπερασμένο. Απόδειξη Όπως η 18

117 3.4 Πυκνά σύνολα Πρόταση 1 Αν το ολικώς διατεταγμένο σύνολο Α είναι πυκνό, τότε κάθε όμοιο με το ολικώς διατεταγμένο σύνολο Α Β είναι και αυτό πυ-κνό. Απόδειξη Εύκολη. Πρόταση 2 Δύο οποιαδήποτε ολικώς διατεταγμένα, αριθμήσιμα, πυκνά και μη φραγμένα σύνολα είναι όμοια. Απόδειξη Έστω 1 2, ,..., ,...να α αΑ = και 1 2, ,..., ,...νβ β βΒ = δύο σύνολα που ικανοποιούν τις συνθήκες της πρότασης. Θεωρούμε την απει-κόνιση , η οποία κατασκευάζεται ως εξής Το :f Α→Β 1α αντιστοιχούμε στο 1β , το οποίο εφεξής θα συμβολίζουμε (1)β , δηλαδή (1)

1( )f α β= . Το

2α είτε θα προηγείται είτε θα έπεται του 1α στη διάταξη του . Στο σύ-νολο Β , επειδή είναι μη φραγμένο, θα υπάρχουν στοιχεία του , τα οποία προηγούνται και στοιχεία που θα έπονται του

ΑΒ

(1)β . Αν το 2α προηγείται του 1α , τότε ορίζουμε ως 2( )f α εκείνο από τα στοιχεία του που προηγείται του Β (1)β και έχει το μικρότερο δείκτη. Αν το 2α έπεται του 1α , τότε ως 2( )f α ορίζουμε εκείνο από τα στοιχεία του

που έπεται του Β (1)β και έχει τον μικρότερο δείκτη. Σε κάθε περίπτωση συμβολίζουμε (2)

2( )f α β= . Το 3α είτε θα προηγείται είτε θα έπεται των 1α και 2α , είτε θα βρίσκεται μεταξύ τους στη διάταξη του Α . Στη πρώτη περίπτωση θα το αντιστοι-χούμε σε εκείνο το στοιχείο του Β που προηγείται των (1)β και (2)β και έχει τον μικρότερο δείκτη. Στη δεύτερη περίπτωση θα το αντιστοιχούμε σε εκείνο το στοιχείο του Β που έπεται των (1)β και (2)β και έχει τον μικρό-τερο δείκτη. Στη τρίτη περίπτωση αντιστοιχούμε το 3α σε εκείνο το στοι-χείο του Β που βρίσκεται μεταξύ των (1)β και (2)β και έχει το μικρότερο δείκτη (υπάρχουν στοιχεία του Β με τη παραπάνω ιδιότητα, γιατί το είναι πυκνό). Σε κάθε περίπτωση συμβολίζουμε

Β(3)

3( )f α β= . Με αυτή τη

118

διαδικασία υποθέτουμε πως, με την ολοκλήρωση του ν-οστού βήματος, τα στοιχεία 1 2, ,..., να α α του Α αντιστοιχίζονται στα στοιχεία

(1) (2) ( ), ,..., νβ β β του Β . Θα δείξουμε, για να ολοκληρωθεί έτσι η επαγω-γική απόδειξη, πως με τον ίδιο τρόπο αντιστοιχίζεται το 1να + του στο

του . Για το Α

( 1)νβ + Β 1να + θα ισχύει ένα εκ των τριών ενδεχομένων ή θα προηγείται όλων των 1 2, ,..., να α α ή θα έπεται όλων των 1 2, ,..., να α α ή θα βρίσκεται μεταξύ δύο διαδοχικών από τα παραπάνω να , έστω των λα και

μα . Στη πρώτη περίπτωση θα αντιστοιχούμε το 1να + σε εκείνο από τα

στοιχεία του που προηγείται των στοιχείων Β (1) (2) ( ), ,..., νβ β β και έχει τον μικρότερο δείκτη. Στη δεύτερη περίπτωση αντιστοιχούμε το 1να + σε εκείνο από τα στοιχεία του Β που έπεται των στοιχείων (1) (2) ( ), ,..., νβ β β και έχει τον μικρότερο δείκτη. Στη τρίτη περίπτωση θα αντιστοιχούμε το

1να + σε εκείνο από τα στοιχεία του Β που βρίσκεται μεταξύ των ( )λβ και ( )μβ και έχει τον μικρότερο δείκτη. Η ύπαρξη στοιχείων του με τις πα Β

ραπάνω ιδιότητες εξασφαλίζεται εξ αιτίας του ότι το Β είναι μη φραγμένο και πυκνό. Άρα επαγωγικά προκύπτει ότι για κάθε *ν ∈ ισχύει

( )( )f ννα β= .

Στο επόμενο βήμα θα δείξουμε ότι κάθε κβ ∈Β είναι αντίστοιχο ενός

λα ∈Α , μέσω της παραπάνω απεικόνισης f . Ισχύει (1)1 1( )fβ β α= = .

Δεχόμαστε ότι τα στοιχεία του συνόλου 1 2, ,...,S νβ β β= είναι όλα α-ντίστοιχα κάποιων στοιχείων του Α , μέσω της f και ότι για να «φτάσου-με» μέσω της παραπάνω διαδικασίας να «πάρουμε» όλα τα στοιχεία του ως αντίστοιχα κάποιων στοιχείων του

SΑ απαιτούνται λ βήματα. Προφα-

νώς λ ν≥ . Θα δείξουμε, για την ολοκλήρωση της επαγωγικής απόδειξης, ότι και το 1νβ + προκύπτει, μέσω της παραπάνω διαδικασίας, ως αντίστοιχο κάποιου στοιχείο του . ΑΑν (1) (2) ( )

1 , ,...,S λνβ β β+ ′∈ = β , τότε το ζητούμενο ήδη αποδείχθηκε.

Αν (1) (2) ( )1 , ,...,S λ

νβ β β+ ′∉ = β , τότε θα ισχύει ένα από τα παρακάτω τρία ενδεχόμενα

119 1. Το 1νβ + προηγείται όλων των στοιχείων του S ′ 2. Το 1νβ + έπεται όλων των στοιχείων του S ′ 3. Το 1νβ + βρίσκεται μεταξύ δύο διαδοχικών, στη διάταξη του Β , στοι-χείων του . Στη πρώτη περίπτωση έστω S ′ 1 2, ,...,S α λα′′ = α και ξα το στοιχείο του με το μικρότερο δείκτη που προηγείται όλων των στοιχεί-ων του

ΑS′′ . Είναι προφανές ότι ξ λ> . Το ξα θα προηγείται και των στοι-

χείων του 1 2 1, ,..., ξα α α − κάτι που είναι προφανές για την περίπτωση που 1ξ λ− = , αλλά και στη περίπτωση που 1ξ λ− > δεν μπορεί να υπάρχει

δείκτης ρ με λ ρ ξ< < τέτοιος ώστε το ρα να προηγείται του ξα , γιατί τότε το ρα θα προηγούνταν και όλων των στοιχείων του S′′ και θα έχει δείκτη ρ μικρότερο του ξ , το οποίο είναι άτοπο. Ισχυριζόμαστε πως υ-πάρχει ρ με λ ρ ξ< < τέτοιο ώστε το ( )ρβ να προηγείται όλων των στοιχείων . Τότε το S ′ ρα θα προηγούταν όλων των στοιχείων του και S′′ρ ξ< , άτοπο. Άρα για κάθε ρ με λ ρ ξ< < υπάρχει τ με 1 τ λ≤ ≤ ώστε το ( )ρβ να έπεται του ( )τβ , άρα το 1νβ + ως προηγούμενο του ( )τβ προηγείται και όλων των στοιχείων του συνόλου (1) (2) ( ) ( 1), ,..., ,...,λ ξβ β β β − και συνεπώς το 1νβ + είναι το στοιχείο του

με τον μικρότερο δείκτη που προηγείται των στοιχείων του Β

(1) (2) ( ) ( 1), ,..., ,...,λ ξβ β β β − , δηλαδή ( )1 ( )f ξ

ν ξβ α β+ = = , άρα το ζη-τούμενο απεδείχθη. Ομοίως αποδεικνύεται το ζητούμενο για τις περιπτώ-σεις 2 και 3. Παρατήρηση Με η θα παριστάνουμε τον διατακτικό τύπο των αριθμησί-μων, πυκνών και μη-φραγμένων συνόλων. Το χαρακτηριστικότερο αριθμή-σιμο, πυκνό και μη φραγμένο σύνολο είναι το σύνολο των ρητών αριθμών ( ) διατεταγμένο με τη φυσική διάταξη. Διατακτικό τύπο η έχουν επίσης όλα τα σύνολα των ρητών που περιέχονται σε οποιουδήποτε ανοικτό διά-στημα και διατάσσονται με τη φυσική διάταξη. Ορισμός 1 Ένα ολικώς διατεταγμένο και πυκνό σύνολο Α θα ονομάζεται διατακτικώς πλήρες, όταν κάθε φραγμένο άνω υποσύνολο του , έχει supremum.

Α

120

Παρατήρηση Χρησιμοποιούμε τον όρο διατακτικώς για να διακρίνουμε την έννοια της πληρότητας με εκείνη που συναντούμε στους μετρικούς χώ-ρους και την οποία θα εξετάσουμε αργότερα. Εύκολα αποδεικνύεται η Πρόταση 3 Αν το Β είναι πυκνό στο Α , τότε θα είναι πυκνό. Οι ομοιότητες και οι διαφορές στη διατακτική δομή ανάμεσα στο σύνολο των ρητών, διατεταγμένων με τη φυσική διάταξη και εκείνου των πραγματι-κών επίσης διατεταγμένων με τη φυσική διάταξη φαίνονται στις ακόλουθες προτάσεις, η απόδειξη των οποίων ξεφεύγει από τους σκοπούς του παρό-ντος και γι’ αυτό παραλείπεται. 1. Το σύνολο των πραγματικών είναι πυκνό, μη φραγμένο και πλήρες. 2. Το σύνολο των ρητών είναι πυκνό, μη φραγμένο και μη πλήρες. 3. Το σύνολο των ρητών είναι πυκνό μέσα στο σύνολο των πραγματικών. 4. α ∈ − (άρρητος) αν και μόνον αν υπάρχουν σύνολα Α , ρητών αριθμών με

Βx α< για κάθε x∈Α και xα < για κάθε x∈Β και

supα = Α = inf Β Τον διατακτικό τύπο του συνόλου των πραγματικών εφοδιασμένου με τη φυσική διάταξη θα συμβολίζουμε λ . Με αντίστοιχο τρόπο με αυτόν που αποδείξαμε την ισοδυναμία των ανοικτών διαστημάτων και του στην παράγραφο 5 του 2ου κεφαλαίου, αποδεικνύουμε ότι τον ίδιο διατακτικό τύπο έχουν όλα τα ανοικτά διαστήματα, επίσης εφοδιασμένα με την φυσική διάταξη. Πρόταση 4 Αν και 1( , )Α ≺ 2( , )Β≺ είναι δύο όμοια ολικώς διατεταγμέ-να σύνολα, μια απεικόνιση ομοιότητας, :f Α→Β γ ∈Α και Γ ⊆ , τότε 1.

Αsup ( ) sup ( )f fγ γ= Γ⇒ = Γ

2. inf ( ) inf ( )f fγ γ= Γ⇒ = Γ Απόδειξη Παραλείπεται ως εύκολη

121 Πρόταση 5 Αν ( , ολικώς διατεταγμένο σύνολο τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες

)Α ≺

(1) Κάθε άνω φραγμένο άνω υποσύνολο του Α έχει supremum (2) Κάθε κάτω φραγμένο κάτω υποσύνολο του Α έχει infimum Απόδειξη (1) (2) Έστω ⇒ Β ένα φραγμένο κάτω υποσύνολο του και

το σύνολο των κάτω φραγμάτων του Α

′Α Β . Είναι προφανές πως κάθε στοι-χείο του Β είναι ένα άνω φράγμα του ′Α . Το ′Α , από την υπόθεση, έχει supremum, έστω α . Θα δείξουμε ότι το α είναι ένα κάτω φράγμα του Β . Έστω πως δεν είναι, άρα θα υπάρχει β ∈Β , ώστε β α≺ , άτοπο γιατί το β θα είναι ένα άνω φράγμα του ′Α , το οποίο προηγείται του supremum. Άρα το α είναι ένα κάτω φράγμα του Β , το οποίο έπεται όλων των κάτω φραγμάτων του , δηλαδή Β infα = Β . (2)⇒ (1) Ομοίως Πρόταση 6 α) Αν ένα ολικώς διατεταγμένο είναι πυκνό και μη πλήρες, τότε κάθε όμοιο με αυτό είναι επίσης μη πλήρες. β) Αν ένα ολικώς διατεταγμένο είναι πυκνό και πλήρες, τότε κάθε όμοιο με αυτό είναι επίσης πλήρες. Απόδειξη Παραλείπεται ως εύκολη Πρόταση 7 Δεν υπάρχει αριθμήσιμο, πυκνό και μη φραγμένο σύνολο, το οποίο να είναι πλήρες. Απόδειξη Έστω πως υπάρχει ένα τέτοιο σύνολο, το Α . Λόγω της πρότα-σης 2 το θα είναι όμοιο με το σύνολο των ρητών, όταν αυτό εφοδιά-ζεται με τη φυσική διάταξη. Λόγω της πρότασης 6, αφού το

ΑΑ είναι πλή-

ρες, το ίδιο θα είναι και το , το οποίο είναι άτοπο. Πρόταση 9 Αν ( , ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο, το οποίο είναι μη φραγμένο, πυκνό, πλήρες και επί πλέον υπάρχει αριθμήσιμο υποσύ-νολο του , το οποίο είναι πυκνό στο

)Α ≺

Β Α Α , τότε το Α είναι τύπου λ . Απόδειξη Αν υπάρχει α ∈Β τέτοιο ώστε xα ≺ για κάθε x α∈Β− , τότε επειδή το είναι μη φραγμένο κάτω θα υπάρχει Α y∈Α με y α≺ ,

122

αλλά επειδή το Β είναι πυκνό στο Α θα υπάρχει 1α ∈Β με 1y α α≺ ≺ , άτοπο. Συνεπώς το Β είναι μη φραγμένο κάτω. Ομοίως αποδεικνύεται πως το Β είναι μη φραγμένο άνω και εφόσον είναι και πυκνό (γιατί είναι πυκνό στο ) θα είναι τύπου Α η . Συνεπώς θα υπάρχει απεικόνιση ομοιότητας

. Έστω :f →Β α ∈ − . Θεωρούμε το σύνολο /x x x αΓ = ∈ ∧ < . Προφανώς sup αΓ = και επειδή αφενός το

είναι πλήρες και αφετέρου το Α

( )f Γ είναι άνω φραγμένο (έστω με y∈yα < , τότε x y< για κάθε x∈Γ , άρα ( ) ( )f x f y≺ , για κάθε

( ) ( )f x f∈ Γ , δηλαδή το ( )f y είναι ένα άνω φράγμα του ( )f Γ ), θα υ-πάρχει μοναδικό α′∈Α ώστε sup ( )fα′ = Γ . Θα είναι α′∈Α−Β γιατί αν α′∈Β , τότε 1( )f α− ′ = 1sup ( ( ))f f− Γ , δηλαδή 1( ) supf α− ′ = Γ , δη-λαδή 1( )f α α− ′ = , άρα α ∈ , άτοπο. Συνεπώς για κάθε α ∈ − υ-πάρχει μοναδικό α′∈Α−Β , το οποίο ορίζεται με τον παραπάνω τρόπο. Ορίζουμε απεικόνιση ως εξής :g → Α ( ) ( )g fα α= , για κάθε α ∈ και ( )g α α′= , για κάθε α ∈ − , όπου α′ είναι το μοναδικό στοιχείο του που ορίσαμε πιο πάνω. Α−ΒΗ g είναι επί Αν α ∈Β τότε θα υπάρχει β ∈ ώστε ( )f β α= άρα και ( )g β α= . Αν α ∈Α−Β τότε θεωρούμε το σύνολο

/x x x αΔ = ∈Β∧ ≺ . Θα έχουμε sup αΔ = , γιατί αν sup γ αΔ = ≠ , τότε θα είχαμε x γ α≺ ≺ , για κάθε

, αλλά επειδή το είναι πυκνό στο x∈Δ Β Α θα υπάρχει y∈Β ώστε yγ α≺ ≺ , άρα από τον ορισμό του Δ , y∈Δ και yγ ≺ άτοπο.

Έχουμε και επιπλέον το 1( )f − Δ ⊆ 1( )f − Δ είναι άνω φραγμένο γιατί υπάρχει β ∈Β ώστε α β≺ συνεπώς x β≺ για κάθε x∈Δ , άρα

1 1( ) ( )f x f β− −< , για κάθε x∈Δ , δηλαδή το 1( )f β− είναι ένα άνω φράγμα του . Συνεπώς το 1( )f − Δ 1( )f − Δ έχει supremum, έστω

1sup ( )f α− ′Δ = . Αν α′∈ , τότε supΔ ( )f α′= ∈Β , άτοπο. Άρα α′∈ − και από τον ορισμό της g θα έχουμε ( )g α α′ = . Η διατηρεί τη διάταξη του στο g Α Ι. Αν ,τότε η ,x y∈ x y< συνεπάγεται την ( ) ( )f x f y≺ , άρα και την

. ( ) ( )g x g y≺

123 ΙΙ. Αν y∈ , α ∈ − και y α< θα δείξουμε ότι ( ) ( )g y g α≺ . Από τον ορισμό της έχουμε g ( ) sup ( )g fα = Γ , όπου

/x x x αΓ = ∈ ∧ < . Αλλά y∈Γ , άρα ( ) ( )f y f∈ Γ , άρα ( ) ( )f y g α≺ , άρα ( ) ( )g y g α≺

ΙΙΙ. Αν ,α β ∈ − με α β< , τότε θα υπάρχει x∈ ώστε xα β< < , άρα ( ) ( )g g xα ≺ και ( ) ( )g x g β≺ (από τη ΙΙ), άρα

( ) ( )g gα β≺ . Συνεπώς το Α είναι όμοιο με το σύνολο των πραγματικών όταν αυτό εφοδιάζεται με τη φυσική διάταξη, δηλαδή είναι τύπου λ . Ομοίως αποδεικνύεται και η Πρόταση 10 Αν είναι ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο, τότε οι πα-ρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες

Α

(1) Το Α είναι τύπου λ (2) Το Α δεν έχει πρώτο και τελευταίο στοιχείο, έχει πυκνό και αριθ-μήσιμο υποσύνολο και είναι συνεχές Πρόταση 11 Αν είναι ένα ολικώς διατεταγμένο είναι τύπου Α λ , τότε ικανοποιεί την αριθμήσιμη συνθήκη αλυσίδας. Απόδειξη Έστω ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο του Β Α και ℘ ένα απειροσύνολο ανοικτών και ξένων ανά δύο διαστημάτων στο Α . Επειδή το

είναι πυκνό στο θα έχουμε Β Α Β∩Δ ≠∅ , για κάθε Δ∈℘. Κατα-σκευάζουμε την οικογένεια ,ΔΒ = Β∩Δ Δ∈℘. Αν 1℘ ένα σύνολο επιλο-γής της οικογένειας, τότε έχουμε 1℘ =℘ και 1℘ ⊆ Β , άρα

1℘ ≤ℵ0 . Επειδή 0℘≥ℵ , θα έχουμε 0℘ =ℵ . Παρατήρηση Το 1920 στο 1ο τεύχος του Πολωνικού περιοδικού Funda-menta Mathematica ο νεαρός Ρώσος Μαθηματικός M. Souslin έθεσε το παρακάτω πρόβλημα: Ένα σύνολο Α ολικώς διατεταγμένο, μη φραγμένο, πυκνό και πλήρες στο οποίο επιπλέον κάθε σύνολο διαστημάτων του ανοικτών και ξένων ανά δύο είναι το πολύ αριθμήσιμο έχει διατακτικό τύπο

Α

λ ; Η θετική απάντηση στο παραπάνω ερώτημα σημαίνει πως η μη ύπαρξη υπεραριθμήσιμης οικογένειας ανοικτών και ξένων ανά δύο διαστημάτων του

124

συνόλου Α είναι ισοδύναμη με την ύπαρξη αριθμήσιμου και πυκνού στο υποσυνόλου . Η αρνητική απάντηση στο ερώτημα Souslin

ΑΒ 6 σημαίνει ότι

υπάρχει ολικώς διατεταγμένο σύνολο, μη φραγμένο, πυκνό και πλήρες, το οποίο δεν είναι όμοιο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Το σύνολο αυτό είναι γνωστό ως ευθεία Souslin. Προβλήματα 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ολικώς διατεταγμένο, πυκνό και μη φραγμένο σύ-νολο έχει ένα τουλάχιστον υποσύνολο τύπου η . 2. Αν ( )αΤ είναι το σύνολο όλων των διατακτικών τύπων, οι οποίοι έχουν

ισχύ α , τότε ( ) 2ααΤ ≤

3. Να αποδειχθεί ότι κάθε αριθμήσιμο ολικώς διατεταγμένο είναι όμοιο με ένα υποσύνολο του 4. Να αποδειχθεί το ακόλουθο : Αν Ρ είναι ένα ολικώς διατεταγμένο πυκνό και μη φραγμένο σύνολο, τότε υπάρχει ένα πλήρες σύνολο Χ με τις εξής ιδιότητες : 1. Ρ ⊆ Χ 2. Ο περιορισμός της διάταξης του Χ στο Ρ ταυτίζεται με τη διάταξη του Ρ

Ρ είναι πυκνό στο Χ 3. Το και 4. Αν ′Χ ένα σύνολο με τις ιδιότητες 1 έως 3, τότε υπάρχει απεικόνιση ο-μοιότητ :h ′Χ→Χ με ( )h p pας = για κάθε p∈Ρ . 5. Ποια είναι η ισχύς του συνόλου των απεικονίσεων ομοιότητας από το

U στο

6 Mikhail Yakovlevich Suslin (1894-1919) Ρώσος μαθηματικός, ο οποίος έκανε στο σύντομο διάστημα της ζωής του σημαντικές ανακαλύψεις και έθεσε επίσης μεγάλης σημα-σίας προβλήματα, όπως αυτό που αναφέρεται στο κυρίως κείμενο, στη γενική τοπολογία και την περιγραφική θεωρία συνόλων.

125 ύση Κατ’ αρχάς εύκολα αποδεικνύεται ότι αν είναι απεικόνιση Λ :f → που διατηρεί τη διάταξη, τότε η f είναι συνεχή σύνολο των συνεχών

συναρτήσεων από το στο είναι c θα έχουμε

ς. Επειδή το

U c≤ (1). Αλλά και κάθε

συνάρτηση :f μ ( )a → ε a f x x a= + είνα τηση ομοιότητας, άρα ι συνάρ

U c≥ (2 ) και ι ). Από τις (1 (2) πάγετασυνε U c= . Ποια είναι η ισχύς του συνόλου των απεικονίσεων ομοιότητας από το

Τ σύνολο των απεικονίσεων από το στο είναι

6 V

στο .

Λύση ο 00 cℵℵ = , άρα

V c≤ (1)

xΈστω ένας πραγματικός αριθμός του διαστήματος και η (0,1) 1 20, ... ...na a a

απειροψήφια δυαδική αναπαράσταση του x ορίζουμε τη άρτη συν ση xf ως εξής

1. ( )f r r= , αν 1r ≤

2. ( )xf r r= , αν και1r > [ ] 0ra =

τότε ( )2x

r kf r += 3. Αν

1 ,2

k x k k≤ < + ∈ και 1ka = , και

4. Αν τότε 3 1( )2 2x

kf r r += −

1 1,2

k x k k+ ≤ < + ∈ και 1ka = ,

xf Εύκολα αποδεικνύεται ότι η είναι απεικόνιση ομοιότητας από το στο

nb ρά

.

Αν (0,1),y y x∈ ≠ και 0, ... ...b b η απειροψήφια δυαδική αναπα σταση1 2

του y . Εφ’ όσον y x≠ θα σικός αριθμός k ώστε a b υπάρχει φυ k k= . Χωρίς

βλάβ της γενικότη ποθέτουμε 0, 1a bη τας υ k k= = . Αν 1k r k< < τότε εύκο

λα συμπεραίνουμε ότι ( ) (

+ , -

)x yf r f r≠ . Συνεπώς (0,1)V c (2). ) ≥ = Από τις (1

και (2) έχουμε V c= . Αν και είναι δύο αριθμήσιμα και πυκνά σύνολα, τα οποία δεν έχουν

κ

7 Α Β

πρώτο αι τελευταίο στοιχείο. Αν ,′ ′′Α Α και ,′ ′′Β Β είναι διαμερίσεις

των ,Α Β αντιστοίχως, τέτοιες ώστε τα ′Α και ′′Α είναι πυκνά στο Α και

′Β κ

τα

αι ′′Β είναι πυκνά στο Β . Να αποδειχθεί ότι υπάρχει απεικόνιση ομοιό-ας f →Β ώστε ( )f

τητ :Α ′ ′Α = Β και ( )f ′′ ′′Α = Β

126 . Να βρεθεί μια διαμέριση του με μία ακολουθία αριθμήσιμων και

ρ

Α των σε αύξουσα σειρά, τότε

θέτουμε

8

πυκνών στο υποσυνόλων ως π ος τη φυσική διάταξη

Λύση ν 1 2, ,..., ,...np p p είναι η διάταξη των πρώ

/ ,n kn

lA lp

⎧( , ) 1l p= ∈ =⎨ ⎬

⎩ ⎭ και

⎫ 0

1n

n

A A∞

=

= −∪ . Τότε η ακολουθία

είναι η ζητούμενη ακολουθία . Να διαμεριστεί το σύνολο των ρητών από μία οικογένεια

0 1 2, , ,..., ,...nA A A A

02ℵ9 συνόλων, ι το -

κατασκευή. Μπορούμε να ορίσουμε στο σύ-

σχεδόν ξένων μεταξύ τους (δηλαδή η τομή τους ανά δύο έχε πολύ πεπερασμένο πλήθος στοιχείων) Λύση Αρχίζουμε με μία βοηθητικήνολο μία οικογένεια 02ℵ συνόλων σχεδόν ξένων, η ένωση των οποίων είναι το

, ω ξής ωρούμε τα

Θε σύνολας ε

[ ] 12 (2 1) /nxA nx n−= + ∈ , (0, )x∈ +∞ (προφανώς

αν n m≠ , τότε [ ] [ ]2 (2 1) 2 (2 1)n mnx mx+ ≠ + )

Αν x y≠ , τότε θα δείξουμε ότι 0x yA A∩ <ℵ

Έχουμε με [ ] [ ]2 (2 1) 2 (2 1)p qpx qx+ = + , 0x y− > . Έστω ,p q∈

άρα 1p

x y<

−. και [ ] [ ]px qx= , άρα 1px qy− < , τότε προφανώς p q=

είναι το πολύ 1

x y⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦, Άρα τα κοινά στοιχεία των ,x yA A άρα το ζητούμενο

απεδείχθη. τώρα στο πρόβλημα

Θεωρούμε το σύνολο

Ερχόμαστε

2( ) / ,( , ) 1,nn

lQ n l l p l pp

⎧n

⎫= ∈ = <⎨ ⎬⎩ ⎭

. Τα ζητούμενα

σύνολα είναι ∪ και [ ]1

1

(2 (2 1)), (0, )nx

n

B Q nx x∞

−

=

= + ∈ +∞ 00

xx

B B>

= −∪

0. Αν «απομακρύνουμε» από το σύνολο των αρρήτων ένα σύνολο πεπερα-

πόδειξη Με τρόπο όμοιο με την απόδειξη της πρότασης 9 αποδεικνύεται ότι

1σμένο ή αριθμήσιμο, τότε προκύπτει ένα σύνολο όμοιο ως προς τη φυσική διάταξη με το αρχικό Α

127 Αν ,A B είναι δύο σύνολα τύπου λ και 1 1,A B είναι αριθμήσιμα και πυκνά υποσύνολά τους αντιστοίχως, τότε χε νιση ομοιότητας : υπάρ ι απεικό f A B→ με 1 1( )f A B= . Έστω ότι απομακρύνουμε από το − το σύνολο D , το οπ λύ

Τοίο είναι το πο

αριθμήσιμο. α και ιθμήσιμα και κνά υποσύνολα τουιότητα

D∪ είναι αρ πυ . Έστω :f → απεικόνιση ομο ς ώστε ( ) ( )f f D= ∪ . Τότε

( ) ( ( ) ( ( )))f f f D f D− = ∪ = − ∪ .

ό

− = −

11. Τα αριστερά άκρα των διαστημάτων που απομακρύνονται απ το για α προκύψει το σύνολο Cantor συνιστά ένα σύνολο τύπου

[0,1] η ν ως προς τη φυσι-

ειχθεί ότι το σύνολο

κή διάταξη.

12. Να αποδ / | | 1 0x x > ∪ διατεταγμένο με τη φυ-

σική διάταξη είναι τύπου λ 13. Να αποδειχθεί ότι κάθ ανοικτόε διάστημα στο με τη φυσική διάταξη ίναι τύπου

ε λ . 14. Να δοθε μίαί διάταξη στο ως προς την οποία κάθε πραγματικός αριθ-ός να έχει αμέσως προηγούμενον και αμέσως επόμενο

, μ

Λύση Ορίζουμε x y≺ αν και μ νον αν ό x y< ή αν x y= και

[ ] [ ]x y< . Τότε ως προηγούμενοςο αμέσ του x είναι ο 1x − και ο ε-αμέσως

1πόμενος ο x +

15. Ποια εί

ναι εκείνα τα ολικώς διατεταγμένα απειροσύνολα Α , στα οποία άθε υποσύνολό τους με άπειρα στοιχεία είναι όμοια με τοκ Α

16. Ένα ολικώς διατεταγμένο απειροσύνολο είναι όμοιο με σύνολοτο των α-εραίων αν και μόνον αν δεν έχει πρώτο και τελευταίο στοιχείο και κάθε ανοι-κκτό διάστημα σ’ αυτό είναι κενό ή έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. 17. Αν ,Α Β είναι δύο όμοια, ως προς τη φυσική διάταξη, υποσύνολα του ,

τότε τα ,c cΑ Β είναι απαραίτητα όμοια

128 8. Κάθε αριθμήσιμο ολικώς διατεταγμένο σύνολο είναι όμοιο με ένα υ-1

ποσύνολο του (0,1)∩ (Το τελευταίο είναι διατεταγμένο με τη φυσική διά-ταξη) 19. Το σύνολο με τη λεξικογραφική διάταξη είναι όμοιο με το σύνολο

Cantor με τη φυσική διάταξη. 0,1

20. Το σύνολο με τη λεξικογραφική διάταξη είναι όμοιο με το σύνολο

με τη φυσική διάταξη. [0,1) 21. Δεν υπάρχει υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του , το οποίο είναι καλώς διατεταγμένο με τη φυσική διάταξη Απόδειξη Λήμμα 1 Αν και για κάθε A ⊆ a A∈ υπάρχει 0aδ > ώστε

( , )aA a a δ∩ + = ∅ , τότε 0A ≤ℵ Απόδειξη Θεωρούμε το σύνολο ( , ) / , 0,( , )a a aU a a a A a a Aδ δ δ= + ∈ > + ∩ =∅ (Εννοείται πως για κάθε

επιλέγουμε ένα μοναδικό a A∈ aδ με τις παραπάνω ιδιότητες)

Τα στοιχεία του U είναι ξένα μεταξύ τους διαστήματα, άρα 0U ≤ℵ .

Θεωρούμε την απεικόνιση :f U A→ με ( )( , )af a a aδ+ = . Η απεικόνιση είναι

προφανώς επί, άρα 0( )A f U U= ≤ ≤ℵ

Λήμμα 2 Αν με A ⊆ 0A >ℵ , τότε υπάρχει a A∈ και γνησίως φθίνουσα ακο-

λουθία στοιχείων του na A ώστε na a→Απόδειξη Από το προηγούμενο λήμμα προκύπτει ότι υπάρχει a A∈ ώστε για κάθε

, το διάστημα ( , να περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του b a> )a b A . Έστω

με , 1a A∈ 1 1a a a< < + 2a A∈ με 2 1 11min ,2

a a a aδ ⎧ ⎫< < = +⎨ ⎬⎩ ⎭

. Υποθέ-

τουμε πως έχουμε ορίσει 1 2, ,..., na a a A∈ με 1 2n na a a a− 1< < < < και

1 , 1,2,...,ka a a k nk

< < + = και ορίζουμε 1na A+ ∈ με

11min ,

1n n na a a an

δ+⎧ ⎫< < = +⎨ ⎬

+⎩ ⎭. Τότε η ακολουθία που ορίζεται με τον

παραπάνω τρόπο είναι γνησίως φθίνουσα και .

na

na a→

129 Το ότι το A δεν είναι καλώς διατεταγμένο είναι συνέπεια του ότι το υποσύνολό του 1 2, ,..., ,...na a a δεν έχει ελάχιστο στοιχείο. Η πιο σύντομη απόδειξη που έδωσε ο Δημήτρης Χριστοφίδης στο Forum www.mahematica.gr Έστω x A∈ και το σύνολο /y A y x∈ > . Αν x′ το ελάχιστο στοιχείο του παρα-

πάνω συνόλου, τότε τα διαστήματα ( , )x x′ , x A∈ είναι ξένα μεταξύ τους, άρα το πλή-θος τους είναι το πολύ αριθμήσιμο. Αφ’ ετέρου τα διαστήματα αυτά είναι τόσα όσα τα στοιχεία του A , συνεπώς το ζητούμενο απεδείχθη.

130

3.5 Πράξεις με τους διατακτικούς τύπους. Ορισμός 1 Αν τα και Α Β είναι ξένα ολικώς διατεταγμένα σύνολα με τις σχέσεις και αντιστοίχως, τότε διατάσουμε το σύνολο ′≺ ′′≺ Α Β∪ με τη σχέση ≺ , ως εξής α β≺ αν και μόνον αν ,α β ∈Α και α β′≺ ή

,α β ∈Β και α β′′≺ ή α ∈Α και β ∈Β . Το σύνολο Α Β∪ , διατεταγ-μένο με την σχέση ≺ ονομάζουμε διατακτικό άθροισμα των συνόλων και και συμβολίζουμε με

ΑΒ Α+Β .

Πρόταση 1 Αν Α , δύο ολικώς διατεταγμένα σύνολα ξένα μεταξύ τους και , επίσης δύο ολικώς διατεταγμένα σύνολα ξένα μεταξύ τους με

ΒΧ ΨΑ ≈ Χ και , τότε Β ≈ Ψ Α+Β ≈ Χ +Ψ .

Απόδειξη Ας πούμε 1 2 1 2, , ,′ ′≺ ≺ ≺ ≺ τις σχέσεις ολικής διάταξης των

αντιστοίχως. Έχουμε , , ,Α Β Χ Υ Α ≈ Χ , άρα υπάρχει :f Α→ Χ επί με

1 1, , ( ) ( )x y x y f x f y′∈Α ⇒≺ ≺ . Επίσης έχουμε Β ≈ Υ , άρα υπάρχει επί με :g Β→Υ 2 2, , ( ) ( )x y x y g x g y′∈Β ⇒≺ ≺ .

Θεωρούμε την με :h Α∪Β→Χ∪Υ ( ) ( )h x f x= , αν x∈Α και , αν ( ) ( )h x g x= x∈Β . Εύκολα αποδεικνύεται ότι η είναι απεικόνιση

ομοιότητας των και h

Α + Β Χ + Υ . Ορισμός 2 Αν και Β δύο ολικώς διατεταγμένα και ξένα σύνολα με δια-τακτικούς τύπους

Αμ και ν αντιστοίχως, τότε ορίζουμε ως άθροισμα μ ν+

τον διατακτικό τύπο του διατακτικού αθροίσματος Α+Β . Προφανώς, όπως φαίνεται από την αμέσως προηγούμενη πρόταση το δια-τακτικό άθροισμα μ ν+ εξαρτάται μόνον από τους διατακτικούς τύπους μ και ν και όχι από τα διατεταγμένα σύνολα Α και Β , που έχουν τους διατακτικούς αυτούς τύπους. Άμεση συνέπεια των παραπάνω ορισμών είναι η Πρόταση 2 Το άθροισμα διατακτικών τύπων δύο πεπερασμένων συνό-λων έχει την αντιμεταθετική ιδιότητα.

131 Η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει απαραίτητα, όταν ένας τουλάχιστον διατακτικός τύπος αντιστοιχεί σε μη πεπερασμένο σύνολο. Πράγματι 1. 1 ω+ είναι ο διατακτικός τύπος του συνόλου ( , το οποίο έχει πρώτο στοιχείο, αλλά δεν έχει τελευταίο και

0,1,2,...)1ω + είναι ο διατακτικός τύ-

πος του συνόλου ( , το οποίο έχει πρώτο και τελευταίο στοιχείο, άρα 1 1

1,2,...,0)ω ω+ ≠ + .

2. *ω ω+ είναι ο διατακτικός τύπος του συνόλου (1, 2,3, , 3, 2, 1)− − −… , το οποίο έχει πρώτο και τελευταίο στοιχείο, ενώ *ω ω+ είναι ο διατακτι-κός τύπος του συνόλου ( , 3, 2, 1,1, 2,3, )− − −… … , το οποίο δεν έχει ούτε πρώτο ούτε τελευταίο στοιχείο, άρα * *ω ω ω ω+ ≠ + Πρόταση 3 Αν ,α β είναι οι διατακτικοί τύποι των ολικώς διατεταγμέ-

νων συνόλων , αντιστοίχως, τότε Α Β * *( ) *α β β α+ = + . Απόδειξη Ας πούμε ότι ,α β είναι οι διατακτικοί τύποι των ολικώς διατε-ταγμένων και ξένων συνόλων ,Α Β με διατάξεις αντιστοίχως. Ας πούμε επίσης ότι ≺ είναι η διάταξη του συνόλου

1,≺ ≺ 2

Α∪Β ως προς την ο-ποία έχει διατακτικό τύπο α β+ και ′≺ η διάταξη του ίδιου συνόλου, ως προς την οποία έχει διατακτικό τύπο * *β α+ . Τότε ορίζουμε

με :f Α∪Β→ Α∪Β ( )f x x= , η οποία προφανώς είναι επί και με με ,x y∈Α∪Β ,x y x y′ ⇒ ∈≺ Β 2y x≺ ή ,x y∈Α με 1y x≺ ή

x∈Β και 1 1( ) ( )y y x x y f x f y− −∈Α⇒ ⇒ ⇒≺ ≺ ≺ , άρα το ζητούμε-νο απεδείχθη. Πρόταση 4 ν ω ω+ = Απόδειξη Καταρχήν θα δείξουμε ότι το σύνολο διατεταγμένο με τη φυσική διάταξη είναι όμοιο με το σύνολο ( 1, 2,...)ν ν+ + . Αυτό το απο-δεικνύει η απεικόνιση : ( 1, 2, 3,...)f ν ν ν→ + + + με ( )f x x ν= + , η οποία είναι απεικόνιση ομοιότητας. Μετά είναι προφανές ότι (1, 2,3,...) (1, 2,3,..., ) ( 1, 2, 3,...)ν ν ν ν= + + + + , άρα ν ω ω+ =

132

Πρόταση 5 Οι διατακτικοί τύποι ω κ+ και ω λ+ , όπου ,κ λ θετικοί ακέραιοι με , είναι διαφορετικοί μεταξύ τους.. κ λ< Απόδειξη Πράγματι αν Α ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο με διατακτικό τύπο ω κ+ και ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο με διατακτικό τύπο Βω λ+ , τότε το Β έχει υπόλοιπο με πλήθος στοιχείων λ , ενώ στο όλα τα πεπερασμένα υπόλοιπα έχουν το πολύ

Ακ στοιχεία, άρα (σύμφωνα με

την πρόταση 16 της 3.2) τα σύνολα Α και Β δεν είναι όμοια, συνεπώς ω κ+ ≠ ω λ+ Παράδειγμα ενός αριθμοσυνόλου με διατακτικό τύπο ω κ+ και διατεταγ-

μένου με τη φυσική διάταξη είναι το 11, 2,..., 1 , 1κ κ κκ

⎧ ⎫∪ − ∈ ∧ >⎨ ⎬⎩ ⎭

Πρόταση 6 Ο διατακτικός τύπος *ζ ω ω= + είναι ο διατακτικός τύπος του συνόλου των ακεραίων διατεταγμένων με τη φυσική διάταξη. Απόδειξη Πράγματι : (…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…)= (…,-3,-2,-1)+(0,1,2,3,…), άρα *ζ ω ω= + Γενικεύοντας τον ορισμό του αθροίσματος δύο διατακτικών τύπων έχουμε Ορισμός 3 Αν μΑ είναι μία οικογένεια ολικώς διατεταγμένων και μη κε-νών συνόλων με τη σχέση μ≺ και το σύνολο των δεικτών μ της παραπάνω οικογένειας είναι το είναι επίσης ολικώς διατεταγμένο με τη σχέση , τότε ορίζουμε ως διατακτικό άθροισμα της παραπάνω οικογένειας, το ο-

ποίο συμβολίζουμε με

Μ ′≺

μμ∈Μ

Α∑ το σύνολο μμ∈Μ

Α∪ εφοδιασμένο με τη διά-

ταξη ≺ , η οποία ορίζεται με τον ακόλουθο τρόπο , μα β ∈Α τότε

μα β α β⇔≺ ≺ μα ∈Α , ρβ ∈Α και μ ρ≠ , τότε α β μ ′⇔≺ ≺ ρ . Γενίκευση της πρότασης 1 είναι η Πρόταση 7 Αν ,μ μΑ ∈Μ και ,μ μ′Α ∈Μ είναι δύο οικογένειες ολικώς

διατεταγμένων μη κενών και ξένων μεταξύ τους συνόλων και το Μ ≠ ∅

133 είναι επίσης ολικώς διατεταγμένο, τότε αν ισχύει μΑ ≈ μ′Α θα ισχύει

και μ μμ μ∈Μ ∈Μ

′Α ≈ Α∑ ∑

Απόδειξη Έχουμε μ μ ′Α ≈ Α , άρα υπάρχει :fμ μ μ′Α → Α επί, ώστε

,x y μ∈Α και ( ) ( )x y f x f yμ μ ′⇒≺ ≺ , όπου μ≺ και μ ′≺ είναι οι δια-

τάξεις των μΑ και μ ′Α αντιστοίχως. Ορίζουμε :f μ μμ μ

′′ ′∈Μ ∈Μ

Α → Α∪ ∪ με

( ) ( )f x f x xμ μ= ⇔ ∈Α

Εύκολα αποδεικνύεται ότι η f είναι απεικόνιση ομοιότητας των μμ∈Μ

Α∑

και μμ

′′ ′∈Μ

Α∑

Συνεπώς το διατακτικό άθροισμα μιας οικογένειας ολικώς διατεταγμένων και ξένων μεταξύ τους συνόλων δεν εξαρτάται από αυτά τα ίδια τα σύνολα αλλά από τους διατακτικούς τους τύπους και μόνον. Η διαπίστωση αυτή μας δίνει τη δυνατότητα να δώσουμε τον παρακάτω ορισμό Ορισμός 4 Αν είναι ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο και Μ ≠∅

,μα μ ∈Μ είναι μια οικογένεια διατακτικών τύπων των ολικώς διατεταγμέ-

νων μη κενών και ξένων μεταξύ τους συνόλων ,μ μΑ ∈Μ , τότε ως μμ

α∈Μ∑

ορίζουμε τον διατακτικό τύπο του διατακτικού αθροίσματος μμ∈Μ

Α∑

Παράδειγμα (1, 2,3,...) (1) (2,3) (4,5,6)= + + + , άρα

1 2 3ν

ω ν∈

= + + + = ∑

134

Παρατήρηση Έστω πως μα είναι ο διατακτικός τύπος του μΑ , για κάθε μ∈Μ . Αν μα α= , για κάθε μ∈Μ , τότε τον διατακτικό τύπο του δια-

τακτικού αθροίσματος των συνόλων μΑ θα γράφουμε μ

α∈Μ∑

Εύκολα αποδεικνύεται η πρόταση Πρόταση 8 Το άθροισμα των διατακτικών τύπων έχει την προσεταιρι-στική ιδιότητα, δηλαδή ( ) ( )α β γ α β γ+ + = + + , όπου , ,α β γ δια-τακτικοί τύποι. Παρατηρήσεις 1. Τα σύνολα *

+ και *− έχουν διατακτικό τύπο η , επει-

δή είναι πυκνά, αριθμήσιμα, χωρίς μέγιστο και ελάχιστο, συνεπώς 1η η η+ + = , επειδή * *(0)− += + +

2. Το σύνολο είναι πυκνό, αριθμήσιμο, χωρίς μέγιστο και ελάχι-στο, άρα

*− ∪

*+

η η η+ = 3. Τα διαστήματα και καθώς και το με τη φυσική διάταξη έχουν τον διατακτικό τύπο

(0,1) (1,2) (0,2)λ του συνεχούς. Επειδή

θα έχουμε (0,2) (0,1) (1) (1,2)= + + 1λ λ λ= + + 4. Τα διαστήματα (0, 2) και ( 2,2) με τη φυσική διάταξη έχουν διατα-κτικό τύπο λ , αλλά το (0, 2) ( 2,2)+ δεν έχει διατακτικό τύπο λ , για-τί δεν είναι διατακτικώς πλήρες (Το (0, 2) είναι φραγμένο άνω, αλλά λεί-πει το supremum του 2 ή αλλιώς παρουσιάζει χάσμα ), άρα λ λ λ+ ≠ . 5. Ο διατακτικός τύπος 1 1 1 1λ λ λ λ+ + + + + + + + είναι ο διατακτι-κός τύπος του διατακτικού αθροίσματος 1 2 3(1) (2) (3)I I I+ + + + + + , όπου nI είναι το διάστημα ( 1,n n)− , διατεταγμένο με τη φυσική διάταξη, το οποίο έχει διατακτικό τύπο λ , γιατί είναι το (0, )+∞ με τη φυσική διά-ταξη, άρα 1 1 1 1λ λ λ λ+ + + + + + + + = λ 6. Αν ονομάσουμε ξ τον διατακτικό τύπο του συνόλου των αρρήτων ( ) διατεταγμένου με τη φυσική διάταξη, τότε τον ίδιο διατακτικό −

135 τύπο θα έχει και το σύνολο (0,1) − αν διαταχθεί με τη φυσική διάταξη. Το αποδεικνύει η απεικόνιση7 : (0,1)f − → − με

1 , 02 2( )1 , 02 2

x xx xf xx x

x x

⎧ + >⎪⎪ += ⎨⎪ + <⎪ −⎩

Επίσης διατακτικό τύπο ξ έχουν τα σύνολα (1,2) − και (0 (Το αποδεικνύουν οι απεικονίσεις (

,2) −: (0,1) (1,2) , ( ) 1g g x x− → − = + και

: (0,1) (0,2), ( ) 2h h x x− → = ) και επειδή , άρα [(0,1) ] [(1,2) ] [(0,2) ]− + − = − ξ ξ ξ+ = .

Προβλήματα 1. Να δειχθεί ότι αν για κάποιον διατακτικό αριθμό α ισχύει 1 α α+ = , τότε και μόνον τότε υπάρχει διατακτικός τύπος ξ ώστε α ω ξ= + 2. Αν ξ είναι ο διατακτικός τύπος των αρρήτων διατεταγμένων με τη φυσική

διάταξη, να δειχθεί ότι 1ξ ξ ξ= + + Ορισμός 5 Αν τα και Α Β είναι διατεταγμένα σύνολα με τις σχέσεις και αντιστοίχως, τότε διατάσουμε το σύνολο

′≺′′≺ Α×Β με τη σχέση ≺ ,

ώστε ( , ) ( , )α β γ δ α γ′⇔≺ ≺ ή (α γ= και )β δ′′≺ . Αυτή είναι η λε-γόμενη λεξικογραφική διάταξη ή αλλιώς διάταξη με την αρχή της πρώ-της διαφοράς (first difference principle). Το σύνολο Α×Β , διατεταγ-μένο με την σχέση ≺ ονομάζουμε διατακτικό γινόμενο των συνόλων και και συμβολίζουμε με

ΑΒ Α⋅Β

Το διατακτικό γινόμενο Α⋅Β , εύκολα αποδεικνύεται ότι, είναι όμοιο με το

διατακτικό άθροισμα α

α∈Α

×Β∑ , όπου κάθε παράγοντας α ×Β είναι

διατεταγμένος με τη λεξικογραφική διάταξη 7 Δες B. K. Gelbaum : Problems in Real and Complex Analysis p. 159)

136

Πρόταση 9 Αν , δύο διατεταγμένα σύνολα και Α Β Χ , Ψ επίσης άλλα δύο διατεταγμένα σύνολα με Α ≈ Χ και Β ≈ Ψ , τότε

Α⋅Β ≈ Χ ⋅Ψ Απόδειξη Ονομάζουμε 1 2 1 2, , ,′ ′≺ ≺ ≺ ≺ τις σχέσεις διάταξης των συνόλων

αντιστοίχως. Ας πούμε , , ,Α Β Χ Ψ , ′≺ ≺ τις λεξικογραφικές διατάξεις των αντιστοίχως. Έστω ,Α ⋅Β Χ ⋅Ψ :f Α→ Χ και :g Β→ Ψ απεικονίσεις

ομοιότητας. Θεωρούμε την :h Α×Β→Χ×Ψ ώστε . Η είναι προφανώς επί και επιπλέον

, άρα ή (( , )) ( ( ), ( ))h a b f a g b= h

1 1 2 2( , ) ( , )a b a b≺ 1 1 2a a≺ 1a a2= και , τότε 1 2 2b b≺

1 2( ) ( )f a f a′≺ ή 1 2( ) ( )f a f a= και 1 2 2( ) ( )g b g b′≺ , άρα

1 1 2 2( ( ), ( )) ( ( ), ( ))f a g b f a g b′≺ , άρα 1 1 2 2(( , )) (( , ))h a b h a b′≺ , συνεπώς Α⋅Β ≈ Χ ⋅Ψ

Ορισμός 6 Αν και Β δύο μη κενά διατεταγμένα σύνολα με διατακτι-κούς τύπους

Αα και β αντιστοίχως, τότε ορίζουμε ως γινόμενο α β⋅ τον

διατακτικό τύπο του διατακτικού γινομένου Β ⋅Α 8 Παρατηρήσεις 1. Προφανώς εξαιτίας της αμέσως προηγούμενης πρότασης το α β⋅ είναι μονοσήμαντα ορισμένο, γιατί αποδείχθηκε ότι το γινόμενο των διατακτικών τύπων δεν εξαρτάται από τους ίδιους τους παράγοντες αλ-λά μόνο από τους διατακτικούς τους τύπους. 2. Άμεση συνέπεια του ορισμού του γινομένου διατακτικών τύπων είναι το

1 1α α α⋅ = ⋅ = , όπου α είναι ο διατακτικός τύπος οποιουδήποτε μη κε-νού ολικώς διατεταγμένου συνόλου. Πρόταση 10 Το γινόμενο διατακτικών τύπων πεπερασμένων συνόλων έχει την αντιμεταθετική ιδιότητα.

8 Πολλοί Μαθηματικοί, μεταξύ των οποίων και οι Sierpinski και Kuratowski διατάσσουν το καρτεσιανό γινόμενο με την λεγόμενη αντιλεξικογραφική διάταξη ή με την αρχή της τελευταίας διαφοράς (last difference principle), δηλαδή

Α×Β

( , ) ( , )α β γ δ β δ′′⇔≺ ≺ ή β δ= και α γ′≺ . Από την άποψη της επιρροής στους διατακτικούς τύπους δεν υπάρχει διαφορά, γιατί και οι δύο ορισμοί παράγουν τα ίδια αποτελέσματα.

137 Απόδειξη Παραλείπεται ως εύκολη Παρατηρήσεις 1. Για οποιονδήποτε διατακτικό αριθμό α ισχύει

1 1α α α⋅ = ⋅ = . 2. Η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει απαραίτητα, όταν ένας τουλάχι-στον διατακτικός τύπος αντιστοιχεί σε μη πεπερασμένο σύνολο. Πράγματι Ι. Παίρνουμε τα διατεταγμένα σύνολα (1, 2,3, )= … και ( , )α βΑ = . Το διατακτικό γινόμενο ⋅Α είναι ( )(1, ), (1, ), (2, ), (2, ),α β α β … , ενώ το διατακτικό γινόμενο Α⋅ είναι . ( )( ,1), ( , 2), , ( ,1), ( , 2),α α β β… …Το δεν είναι όμοιο με το Α⋅ ⋅Α , γιατί το οποιοδήποτε στοιχείο του πρώτου συνόλου ορίζει αρχικό τμήμα με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, ενώ στο δεύτερο σύνολο υπάρχουν στοιχεία, όπως για παράδειγμα το ( ,1)β , τα οποία ορίζουν αρχικό τμήμα με άπειρο πλήθος στοιχείων. Άρα

2 2ω ω⋅ ≠ ⋅ ΙΙ. Το σύνολο με διατακτικό τύπο *ω ω⋅ δεν έχει πρώτο στοιχείο, ενώ το σύνολο με διατακτικό τύπο *ω ω⋅ , έχει. Άρα * *ω ω ω ω⋅ ≠ ⋅ Όταν όμως ο ένας από τους δύο παράγοντες είναι ο διατακτικός αριθμός

, τότε ισχύει η αντιμετάθεση, γιατί (εύκολα αποδεικνύεται) 1 1 1α α⋅ = ⋅ , για κάθε διατακτικό αριθμό α . Πρόταση 11 ( )* * *α β α β⋅ = ⋅ Απόδειξη Ας είναι και Α Β δύο διατεταγμένα σύνολα με διατάξεις

αντιστοίχως και διατακτικούς τύπους 1,≺ ≺ 2 ,α β . Αν υποθέσουμε ότι το

με τη διάταξη Β×Α 1−≺ έχει διατακτικό τύπο ( )*α β⋅ και με τη διάταξη

έχει διατακτικό τύπο *≺ * *α β⋅ , τότε θεωρούμε την απεικόνιση με 1 *: ( , ) ( , )f −Β×Α → Β×Α≺ ≺ ( )( , ) ( , )f b a b a= . Η f είναι προφα-

νώς επί και , άρα , άρα ή και , άρα

12 2 1 1( , ) ( , )b a b a−≺ 1 1 2 2( , ) ( , )b a b a≺ 1 2 2b b≺

1b b= 2 1 1 2a a≺ _12 2 1( ) ( )f b f≺ b ή 2 1( ) ( )f b f b= και

12 1 1( ) ( )f a f−≺ a , άρα *

2 2 1 1(( , )) (( , ))f b a f b a≺ και το ζητούμενο απεδεί-χθη.

138

Πρόταση 12 Αν α ένας διατακτικός τύπος και ρ ο διατακτικός τύπος

του ολικώς διατεταγμένου συνόλου Μ , τότε μ

α α ρ∈Μ

= ⋅∑ .

Απόδειξη Έστω ,μ μΑ ∈Μ οικογένεια ολικώς διατεταγμένων συνόλων και ξένων μεταξύ τους, κάθε μέλος της οποίας έχει διατακτικό τύπο α . Αν

ένα σύνολο με τον ίδιο διατακτικό τύπο και Α :fμ μΑ→ Α μία απεικό-νιση ομοιότητας για κάθε μ∈Μ , τότε η απεικόνιση

:f μμ∈Μ

Α →Μ×Α∑ , ώστε ( ) ( , ( ))f fμα μ α= αν και μόνον αν μα ∈Α

είναι απεικόνιση ομοιότητας (η απόδειξη είναι εύκολη), άρα

, από όπου μμ∈Μ

Α ≈Μ×Α∑μ

α α ρ∈Μ

= ⋅∑ .

Παρατήρηση Με τη παραπάνω πρόταση έχουμε τροπή του αθροίσματος ίσων διατακτικών τύπων σε γινόμενο διατακτικών τύπων για παράδειγμα αν

1 2( , )α αΑ = και τότε (1, 2,3, )Β = …

( )1 1 1 2 2 3( ,1), ( , 2), ( ,3), , ( ,1), ( ,2), ( ,3),α α α α α αΑ×Β = … …

( ) ( )1 1 1 2 2 2( ,1), ( , 2), ( ,3), ( ,1), ( , 2), ( ,3),α α α α α α= +… … , άρα 2ω ω ω⋅ = + Ομοίως 3ω ω ω ω⋅ = + + , ω ω ω ω ν+ + + = ⋅ (ν προσθετέοι) και ω ω ω ω ω+ + + = ⋅ (το πλήθος των προσθετέων είναι αριθμήσιμο) Ενώ

ή ή έαριθμ σιμοπλ θος προσθετ ωνκ ω κ κ⋅ = + +

Πρόταση 13 Αν , ,α β γ διατακτικοί τύποι, τότε ( )α β γ α β α γ⋅ + = ⋅ + ⋅ . Απόδειξη Έστω α ο διατακτικός τύπος του ολικώς διατεταγμένου συνό-λου και Α ,β γ οι διατακτικοί τύποι των ολικώς διατεταγμένων και ξένων συνόλων Β και αντιστοίχως, τότε η απεικόνιση Γ

: ( ) ( ) ( )i Β∪Γ ×Α→ Β×Α ∪ Γ×Α με ( , ) ( , )i y yα α= είναι μία απεικό-νιση ομοιότητας. Παρατήρηση Το ( )β γ α β α γ α+ ⋅ = ⋅ + ⋅ δεν ισχύει. Παράδειγμα

139

2 ( 1) 2 1 1 1 2 1 2ω ω ω ω ω ω ω+ ⋅ = + + + = + + = ⋅ + ≠ ⋅ + 9 Πρόταση 14 ν ω ω⋅ = , για κάθε φυσικό 2ν ≥

Απόδειξη Έστω 1 2, ,..., να α αΑ = , τότε

( )1 2 1 2(1, ), (1, ),..., (1, ), (2, ), (2, ),..., (2, ),...ν να α α α α α⋅Α = Θεωρούμε την απεικόνιση :f ⋅ Α → με

(( , )) ( 1)if iκ α κ ν= − + , η οποία είναι επί γιατί Αν ρ ∈ με ρ ν≤ , τότε (1, )f ρρ α= . Αν ρ ∈ με ρ ν> , τότε υ-πάρχει μοναδικό ζεύγος θετικών ακεραίων λ και i με i ν< και

iρ λν= + , συνεπώς ( 1, )f iρ λ= + . Και διατηρεί τη διάταξη του στο γιατί: αν ( , , τότε ή

⋅Α) ( , )iκ α λ α≺ j κ λ< ή κ λ= και i . Και

στις δύο περιπτώσεις θα έχουμε j<

( 1) ( 1)i jκ ν λ ν− + < − + , άρα (( , )) (( , ))i jf fκ α λ α<

Παρατηρήσεις 1. Έχουμε 2η η η η⋅ = + = , ενώ 2 η η⋅ ≠ , γιατί αν

,A a b= , τότε ο 2 η⋅ είναι ο διατακτικός τύπος του συνόλου A× με τη λεξικογραφική διάταξη, το οποίο είναι μη πυκνό, γιατί τα ζεύγη

είναι διαδοχικά. ( , ), ( , )r a r b2. Γενικεύοντας το 2η η⋅ = , έχουμε ότι nη η⋅ = , για κάθε φυσικό αριθμό

n3. Έστω A ένα ολικώς διατεταγμένο, αριθμήσιμο σύνολο με διατακτικό τύπο α . Κατασκευάζουμε τα σύνολα ( , ) /x x r r= ∈ , για κάθε x A∈ (αντίτυπα του ), τα οποία με τη λεξικογραφική διάταξη έχουν δια-τακτικό τύπο η . Το A ⋅ , μπορεί να μετατραπεί σε διατακτικό άθροισμα

xx A∈∑ , απ’ όπου εύκολα φαίνεται ότι είναι αριθμήσιμο, χωρίς πρώτο και

τελευταίο στοιχείο και πυκνό, άρα η α η⋅ = .

9 Εδώ χρησιμοποιήσαμε το 1 ω ω+ = , το οποίο προκύπτει από την ομοιότητα των συνόλων και ( . (1, 2,...) 0,1, 2,...)

140

4. Έχουμε 1λ λ λ+ + = , άρα 2 2( 1 ) 2λ λ λ λ λ λ λ= ⋅ + + = + + . Ο δια-τακτικός τύπος 2λ δεν έχει τελευταίο στοιχείο και ο διατακτικός τύπος

2λ λ+ δεν έχει πρώτο στοιχείο, άρα ο διατακτικός τύπος 2 2 2λ λ λ λ= + + , έχει χάσμα, συνεπώς 2λ λ≠ .

Ένας άλλος τρόπος απόδειξης είναι ο εξής Αν υποθέσουμε ότι 2λ λ= , τότε θα υπάρχει απεικόνιση ομοιότητας

(το είναι διατεταγμένο με τη λεξικογραφική διάταξη). Έ-στω

2:f → 2

( )( , ) xf x a a= και ( )( , ) xf x b b= . Αν a b< και x y< , τότε

x x ya b a b< < < y , άρα ( , ) ( , )x x y ya b a b∩ =∅ , συνεπώς υπάρχει μία 1-1 απεικόνιση , όπου :g A→ A το σύνολο των ξένων ανά δύο πεπερασμέ-νων διαστημάτων του , άτοπο. 5. Αν είναι ένας φυσικός αριθμός , τότε κατασκευάζουμε τα σύνολα n 2≥

( , ) /n n x x= ∈ (αντίτυπα του , τα οποία με τη λεξικογραφική διά-

ταξη έχουν διατακτικό τύπο

)

λ . Αν 1,2,...,A n= , τότε το A ⋅ , το ο-ποίο έχει διατακτικό τύπο nλ ⋅ , μπορούμε να το μετατρέψουμε σε διατα-

κτικό άθροισμα . Έτσι φαίνεται ότι παρουσιάζει nn A∈∑ 1n − χάσματα. Εξ’

αυτού συμπεραίνουμε ότι αν φυσικοί με ,n m n m≠ , τότε m nλ λ⋅ ≠ ⋅ . Γενικεύοντας έχουμε ότι ο διατακτικός τύπος λ ω⋅ παρουσιάζει αριθμήσι-μο πλήθος χασμάτων, ενώ ο λ η⋅ , αριθμήσιμο και πυκνό πλήθος χασμά-των. 6. Ο διατακτικός τύπος η λ⋅ είναι διαφορετικός από τον λ η⋅ γιατί αν η λ λ η⋅ = ⋅ , τότε υπάρχει απεικόνιση ομοιότητας :f × → × . Αν και , τότε το διάστημα a∈ 1 2 1 2, ,r r r r∈ < 1 2( , )x x στο , ό-που

×

1 1( , )x a r= και 2 ( , )2x a r= , είναι αριθμήσιμο, ενώ το διάστημα

1 2( ( ), ( ))f x f x στο είναι υπεραριθμήσιμο, άτοπο. × Έχουμε τη δυνατότητα να ορίσουμε γινόμενα με περισσότερους από δύο διατακτικούς τύπους ως εξής Ορισμός 7 Αν , 1 1( , )Α ≺ 2 2( , )Α ≺ ,…, ( , )ν νΑ ≺ είναι ν ολικώς διατεταγ-μένα σύνολα, τότε στο καρτεσιανό γινόμενο 1 2 νΑ ×Α × ×Α ορίζουμε τη

141 σχέση ≺ ως εξής 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )ν να α α β β β≺ αν και μόνον αν είναι ο μικρότερος αριθμός του συνόλου

κ

1,2,...,ν για τον οποίο ισχύει

κ κα β≠ , τότε κ κ κα β≺ 10. Το σύνολο 1 2 νΑ ×Α × ×Α εφοδιασμένο με τη σχέση, όπως ορίστηκε παραπάνω ονομάζουμε διατακτικό γινόμενο των 1 2, ,..., νΑ Α Α και συμ-βολίζουμε 1 2 νΑ ⋅Α ⋅ ⋅Α Πρόταση 14 Αν τα ολικώς διατεταγμένα σύνολα

1 1( , )Α ≺ , ,…,2 2( , )Α ≺ ( , )ν νΑ ≺ είναι όμοια με τα ολικώς διατεταγμένα

σύνολα ,1 2( , )′Β ≺ 2 2( , )′Β ≺ ,…, ( , )ν ν′Β ≺ αντιστοίχως, τότε το διατακτικό

γινόμενο 1 2 νΑ ⋅Α ⋅ ⋅Α είναι όμοιο με το διατακτικό γινόμενο

1 2 νΒ ⋅Β ⋅ ⋅Β Απόδειξη Τα σύνολα 1 2 νΑ ⋅Α ⋅ ⋅Α και 1 2 νΒ ⋅Β ⋅ ⋅Β είναι εφοδιασμέ-να με τις λεξικογραφικές διατάξεις και ≺ ′≺ αντιστοίχως. Αφού για κάθε

κ κΑ ≈ Β

1,2,...,κ ν∈ θα υπάρχει απεικόνιση ομοιότητας

, για κάθε :fκ κΑ →Βκ 1,2,...,κ ν∈ . Θεωρούμε την απεικόνιση

1 2 1 2:f ν νΑ ×Α × ×Α →Β ×Β × ×Β , ώστε 1 2 1 2( , ,..., ) ( ( ), ( ),..., ( ))f f fν νfα α α α α α= Το ότι η f είναι επί αποδεικνύεται εύκολα. Έστω πως 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )ν να α α β β β≺ , τότε για τον μικρότερο από τους

κ

1,2,...,ν για τον οποίο ισχύει κ κα β≠ θα έχουμε κ κ κα β≺ , άρα ( ) ( )f fκ κ κ κ κα β′≺ . Δηλαδή ( ) ( )f fρ ρ ρ ρα β= , για κάθε ρ κ< και ( ) ( )f fκ κ κ κ κα β′≺

10 Είναι προφανές ότι η παραπάνω σχέση είναι ολική διάταξη.

142

Συνεπώς 1 1 2 2 1 1 2 2( ( ), ( ),..., ( )) ( ( ), ( ),..., ( ))f f f f f fν ν ν να α α β β β′≺ , δηλα-δή 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )f fν να α α β β β′≺ , συνεπώς η f είναι απεικόνιση ομοιότητας, δηλαδή 1 2 νΑ ⋅Α ⋅ ⋅Α ≈ 1 2 νΒ ⋅Β ⋅ ⋅Β . Άρα το διατακτικό γινόμενο εξαρτάται από τους διατακτικούς τύπους των ολικώς διατεταγμένων συνόλων και όχι από τα ίδια τα σύνολα. Κατά συνέ-πεια μπορούμε να δώσουμε τον παρακάτω ορισμό Ορισμός 8 Αν τα ολικώς διατεταγμένα σύνολα 1 2, ,..., νΑ Α Α έχουν δια-τακτικούς τύπους 1 2, ,..., να α α αντιστοίχως τότε ορίζουμε ως

1 2 να α α⋅ ⋅ τον διατακτικό τύπο του 1 1ν ν −Α ⋅Α ⋅ ⋅Α . Παρατηρήσεις 1. Εύκολα αποδεικνύεται πως αν , ,α β γ είναι διατακτικοί τύποι, τότε ( ) ( )α β γ α β γ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . 2. Ο ορισμός 9 είναι προδήλως γενίκευση του ορισμού 7 για περισσότερα από δύο σύνολα. Οι παράγοντες όμως είναι πεπερασμένοι. Γενίκευση με άπειρο πλήθος παραγόντων, σε αντίθεση με το άθροισμα, δεν μπορεί να γίνει. Για να γίνει αντιληπτό το γιατί, θα επιχειρήσουμε να ορίσουμε το γι-νόμενο μιας ακολουθίας μη μηδενικών διατακτικών τύπων 1 2, ,...α α , οι οποίοι ας υποθέσουμε πως είναι διατακτικοί τύποι των ολικώς διατεταγμέ-νων και μη κενών συνόλων 1 2, ,...Α Α αντιστοίχως. Μια εύλογη γενίκευση του ορισμού 9 είναι να διατάξουμε λεξικογραφικά το γινόμενο

2ν×Α × ×Α ×Α1 . Επειδή όμως ορισμό ενός τέτοιου καρτεσιανού γι-νομένου δεν δώσαμε, θα επιχειρήσουμε να το ορίσουμε με τον πλησιέστε-ρο στη διαίσθησή μας τρόπο. Αυτός είναι να ορίσουμε το παραπάνω καρ-τεσιανό γινόμενο ως το σύνολο των συμπλεγμάτων της μορφής

2 1(..., ,..., , )να α α με 1 1α ∈Α , 2 2α ∈Α ,…και να εφοδιάσουμε το σύνολο με μια διάταξη οιονεί λεξικογραφική, δηλαδή το σύμπλεγμα

2 1(..., ,..., , )να α α να προηγείται του συμπλέγματος 2 1(..., ,..., , )νβ β β ό-ταν και μόνον όταν για τον μεγαλύτερο δείκτη κ που ισχύει κ κα β≠ το

κα προηγείται του κβ στη διάταξη του κΑ . Τότε όμως θα υπάρχουν συ-μπλέγματα μη συγκρίσιμα, όπως για παράδειγμα εκείνα για τα οποία

ν να β≠ για κάθε ν ∈ . Έτσι αφού δεν μπορούμε να γενικεύσουμε τη

143

1

λεξικογραφική διάταξη για αριθμήσιμο πλήθος ολικώς διατεταγμένων συ-νόλων κατά μείζονα λόγο δεν μπορούμε να το κάνουμε στην περίπτωση που έχουμε να κάνουμε με τυχαία οικογένεια ολικώς διατεταγμένων συνό-λων. Για το λόγο αυτό παραιτούμαστε από μια τέτοια γενίκευση. Θα δούμε μια άλλου είδους γενίκευση στο επόμενο κεφάλαιο για ένα είδος διατακτι-κών τύπων. Είναι όμως δυνατόν να ορίσουμε το γινόμενο 2να α α⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ως τον διατακτικό τύπο του συνόλου 1 2Α ×Α × εφοδιασμένου με τη λεξικο-γραφική διάταξη. Δηλαδή με τη βοήθεια της λεξικογραφικής διάταξης δεν μπορούμε να ορίσουμε δυνάμεις ωω , ενώ αντιθέτως μπορούμε να ορίσου-με δυνάμεις

*ωω . Ορισμός 9 Αν α είναι ο διατακτικός τύπος του ολικώς διατεταγμένου συνόλου Α, τότε ορίζουμε ως ισχύ του διατακτικού τύπου α , την οποία συμβολίζουμε με α την ισχύ του συνόλου Α δηλαδή α = Α . Είναι προφανές ότι η ισχύς του α ορίζεται μονοσήμαντα γιατί αν Α ≈ Β , τότε Β = Α .

Άμεση συνέπεια των ορισμών των πράξεων των διατακτικών τύπων είναι οι προτάσεις Πρόταση 15 Αν ,α β είναι διατακτικοί τύποι τότε

α β β α α β⋅ = ⋅ = ⋅ Πρόταση 16 Αν 1 2, ,..., να α α είναι διατακτικοί τύποι τότε

1 2 1 1 1 2ν ν ν να α α α α α α α α−⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Πρόταση 17 Αν ,i i Iα ∈ είναι μια οικογένεια μη μηδενικών διατακτι-κών τύπων και το σύνολο I ≠ ∅ είναι ολικώς διατεταγμένο, τότε

i ii I i I

α α∈ ∈

=∑ ∑ .

144

Προβλήματα

1. Να αποδείξετε ότι *ω ω≠ , *η η= και *λ λ= 2. Το σύνολο των θετικών ακεραίων διατάσσουμε με τον εξής τρόπο ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]α β ρ α ρ β ρ α ρ β α β⇔ < ∨ = ∧ <≺ , όπου

( )ρ α είναι το πλήθος των διακεκριμένων πρώτων διαιρετών του α αν 1α >

και (1) 1ρ = . Να αποδείξετε ότι το σύνολο των θετικών ακεραίων είναι ολι-κώς διατεταγμένο με την παραπάνω σχέση και ο διατακτικός του τύπος είναι

2ω . 3. Να αποδείξετε ότι το σύνολο που έχει ως στοιχεία του τον αριθμό 1 και

όλους τους αριθμούς της μορφής 11ν

− με ν ∈ και είναι ολικώς διατεταγ-

μένο με τη φυσική διάταξη και έχει διατακτικό τύπο 1ω + 4. Αν 1 1 2 2A B A B+ ≈ + 1 2,A A, πεπερασμένα και τα 1 2,B B χωρίς πρώτο

στοιχείο, να αποδειχθεί ότι 1 2A A=

Απόδειξη Έστω 1 1 2: 2f A B A B+ → + , μία απεικόνιση ομοιότητας. Αν υπο-

θέσουμε ότι υπάρχει με 1a A∈ 2( )f a B∈ , τότε το ( )aσ θα έχει πεπερασμένο

πλήθος στοιχείων, ενώ το ( )( )f aσ θα έχει άπειρο πλήθος στοιχείων, αδύνατο.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι είναι αδύνατο να υπάρχει 1b B∈ με 2( )f b A∈ , άρα

1( ) 2f A A= , άρα 1 2A A= . 5. Αν 1 1 2 2B A B A+ ≈ + 1 2,A A, πεπερασμένα και τα 1 2,B B χωρίς τελευταίο

στοιχείο, να αποδειχθεί ότι 1 2A A=

Απόδειξη Όπως η προηγούμενη. 6. Αν και είναι δύο ακολουθίες πεπερασμέ-

νων συνόλων και , να αποδει-

χθεί ότι

1 2, ,..., ,...n

A A A 1 2, ,..., ,...nB B B

1 2 1 2A A B B+ + + + ≈ + + + +

n nA B= για κάθε n∈

Απόδειξη Από τις δύο προηγούμενες με επαγωγή.

145 7. Αν και είναι δύο διαφορετικά στοιχεία

του , να αποδειχθεί ότι

1 2( , ,..., ,...)kn n n 1 2( , ,..., ,...)km m m

1 2 1 2n n m mζ ζ ζ ζ+ + + + ≠ + + + + ,

όπου *ζ ω ω= + . Απόδειξη Άμεση συνέπεια της προηγούμενης.

8. Το πλήθος των ολικών διατάξεων ενός αριθμησίμου συνόλου A είναι ή

αλλιώς το πλήθος των αριθμήσιμων διατακτικών τύπων είναι

02ℵ

02ℵ Απόδειξη Το πλήθος των ολικών διατάξεων δεν μπορεί να υπερβαίνει το πλή-θος όλων των διμελών σχέσεων που μπορούν να ορισθούν στο

rA , συνεπώς

202 2Ar ℵ≤ = (1)

Αφ’ ετέρου κάθε στοιχείο του , σύμφωνα με το προηγούμενο πρόβλημα, «δί-νει» έναν και μόνον αριθμήσιμο διατακτικό τύπο, άρα 02r ℵ≥ = (2) Από τις (1) και (2) προκύπτει το ζητούμενο. 9. Το πλήθος των ολικών διατάξεων ενός συνόλου με την ισχύ του συνεχούς

είναι . 2c

Απόδειξη Το πλήθος r των ολικών διατάξεων που μπορούμε να ορίσουμε στο δεν μπορεί να υπερβαίνει το πλήθος των διμελών σχέσεων που μπορούν να

ορισθούν στο , συνεπώς 2

2 cr 2≤ = (1). Έστω ℘ το δυναμοσύνολο του , τότε σε κάθε με A∈℘ ,A ≠ ∅ ορίζουμε τη φυσική διάταξη, ενώ στο συ-μπληρωματικό του B ορίζουμε την αντίστροφη της φυσικής διάταξης. Συνεπώς έχουμε στο , τουλάχιστον τόσους διατακτικούς τύπους, όσα είναι τα διατακτικά αθροίσματα A B+ , δηλαδή (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει το ζητού-μενο.

2cr ≥

10. Να αποδείξετε ότι ω η ω η ω⋅ ≠ ⋅ + .

Απόδειξη Ο ω η⋅ είναι ο διατακτικός τύπος του συνόλου [(0,1) ]A = ∩ × , όταν αυτό διαταχθεί μ

)ε τη λεξικογραφική διάταξη και ο

( 1ω η ω ω η⋅ + = ⋅ + είναι ο διατακτικός τύπος του συνόλου , επίσης με τη λεξικογραφική διάταξη. Έστω μία γνησί-

ως αύξουσα ακολουθία στοιχείων του (0 με

[(0,1] ]B = ∩ × na,1) lim 1na = . Το

( ,1) /nC a n= ∈ είναι υποσύνολο τόσο του A όσο και του B . Το μεν A

περιέχει το supremum του (1 , ενώ το ,1) B δεν το περιέχει, απ’ όπου προκύπτει το ζητούμενο.

146

11. Να αποδείξετε ότι ( )22( )ω η ω η ω⋅ = ⋅ + .

12. Να αποδείξετε ότι ( )2ω ω ω ω ω+ = + ⋅

13. Ένα στοιχείο α ενός ολικώς διατεταγμένου συνόλου Α ονομάζεται στα-θερό σημείο (fixed point) αν και μόνον αν σε κάθε απεικόνιση ομοιότητας του στον εαυτό του, το Α α απεικονίζεται επίσης στον εαυτό του. Να απο-δειχθεί ότι

α. Κάθε στοιχείο ενός συνόλου τύπου *ω ν ω+ + , όπου ν ∈ είναι σταθερό σημείο του συνόλου.

-

β. Κάθε σύνολο τύπου * *ω ω ν ω ω+ + + + έχει ν σταθερά σημεία.

γ. Κάθε σύνολο του τύπου *ω ω+ δεν έχει σταθερά σημεία. 14. Αν τα ξένα ολικώς διατεταγμένα σύνολα Α και Β έχουν σταθερά σημεία

0α και 0β αντιστοίχως, τότε αυτά είναι επίσης σταθερά σημεία του διατακτι-

κού αθροίσματος . Α+Β

16. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των ακολουθιών με στοιχεία φυσικούς, διατεταγμένο με τη λεξικογραφική διάταξη έχει διατακτικό τύπο 1 λ+ .

Απόδειξη Είναι γιατί το με τη λεξικογραφική διάταξη είναι όμοιο με το με τη φυσική διάταξη. Το αποδεικνύει η απεικόνιση με [0,1) : [0f → ,1)

( )( ) 1 21 1 21 2 3, , ,..., ,... 1 2 2 2 kn n nn n n

kf n n n n − − − −− − −= − − − − − , η οποία

είναι επί και διατηρεί τη διάταξη. ( ( )( )0 1,1,...,1,...f= )

16. Να αποδειχθεί ότι *

1ωω λ= + Απόδειξη Η ίδια με την προηγούμενη

17. Έστω A είναι το υποσύνολο του , το οποίο αποτελείται από την

μηδενική ακολουθία και όλες τις ακολουθίες που έχουν πεπερασμένο πλήθος 1. Αν το

0,1

A διατάξουμε με την λεξικογραφική διάταξη, να αποδειχθεί ότι έχει διατακτικό τύπο η , ενώ με την αντιλεξικογραφική διάταξη έχει διατακτικό τύπο ω . Απόδειξη Κατ’ αρχάς εύκολα αποδεικνύεται ότι το A είναι αριθμήσιμο. Με τη λεξικογραφική διάταξη, προφανώς, δεν έχει πρώτο και τελευταίο στοιχείο. Για να αποδείξουμε ότι ο διατακτικός τύπος του είναι η , αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι

147 πυκνό. Έστω ( ) ( )1 2 1 2, ,..., ,... , , ,..., ,...n nx x x x y y y y= = δύο στοιχεία του A

με x y≺ και k ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο 0k kx y= = . Για

να ισχύει το x y≺ θα πρέπει 1 1ky + = και 1 0kx + = . Θεωρούμε , το ο-ποίο έχει τα πρώτα στοιχεία του ίσα με 0 και στα επόμενα το 1 εμφανίζε-ται μία τουλάχιστον φορά περισσότερη από ότι εμφανίζεται στο

z A∈1k +

x , τότε θα έχου-με x z y≺ ≺ , άρα η πυκνότητα αποδείχθηκε. Για το δεύτερο έχουμε ότι αν πάρουμε ένα x A∈ , το οποίο εμφανίζει το 1 για τελευταία φορά στην θέση, και προτελευταία στη θέση ( mk m k< ), τότε οι προηγούμενοι του x είναι εκείνοι, οι οποίοι έχουν 1 στην k θέση για τελευταία φορά, και 0 σε όλες τις θέσεις από έως και km 1− , άρα το πλήθος τους είναι

, δηλαδή πεπερασμένο, συνεπώς ο διατακτικός τύπος του συνόλου είναι 12m− ω . 18. Ποιος είναι ο διατακτικός τύπος του συνόλου

1 21 2

1 1 1 / , ,...,n nn

A k kk k k

⎧ ⎫= + + + ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

k με τη φυσική διάταξη;

Λύση Θεωρούμε το σύνολο 1 21 2

1 1 1 / , ,...,n nn

A k kk k k

k⎧ ⎫

′ = − − − − ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

, το

οποίο είναι όμοιο με το , αν το τελευταίο διαταχθεί με την λεξικογραφική διά-ταξη. Συνεπώς το έχει διατακτικό τύπο

n

nA′ nω και το θ α έχει διατακτικό

τύπο nA

*( )nω

148

4.1 Καλώς διατεταγμένα σύνολα Στο προηγούμενο κεφάλαιο δώσαμε τον ορισμό του καλώς διατεταγμένου συνόλου. Επειδή κάθε καλώς διατεταγμένο σύνολο είναι και ολικώς διατε-ταγμένο έχει για αυτό νόημα η έννοια του διατακτικού τύπου. Ορισμός 1 Διατακτικούς αριθμούς ονομάζουμε τους διατακτικούς τύπους των καλώς διατεταγμένων συνόλων. Τον διατακτικό αριθμό του καλώς δια-τεταγμένου συνόλου θα συμβολίζουμε με Α Α . Παρατήρηση Το κενό σύνολο είναι καλώς διατεταγμένο με διατακτικό αριθμό . 0 Παραδείγματα 1. Το σύνολο των θετικών ακεραίων διατεταγμένο με τη φυσική διάταξη είναι καλώς διατεταγμένο κατά συνέπεια ο διατακτικός τύπος ω είναι δια-τακτικός αριθμός. 2. Το σύνολο (2,4,6,…,1)είναι καλώς διατεταγμένο κατά συνέπεια ο διατα-κτικός τύπος 1ω + είναι διατακτικός αριθμός. 3. Το σύνολο (2,4,6,…,1,3,5,…) είναι καλώς διατεταγμένο κατά συνέπεια ο διατακτικός τύπος ω ω+ είναι διατακτικός αριθμός. 4. Το σύνολο , 2 2 2(1,3,5,..., 2, 2 3,2 5,..., 2 ,3 2 ,5 2 ,...)⋅ ⋅ ⋅ ⋅είναι καλώς διατεταγμένο κατά συνέπεια ο διατακτικός τύπος ω ω⋅ είναι διατακτικός αριθμός. 5. Το σύνολο των αρνητικών ακεραίων διατεταγμένο με τη φυσική διάταξη δεν είναι καλώς διατεταγμένο άρα ο διατακτικός τύπος *ω δεν είναι διατα-κτικός αριθμός. 6. Το σύνολο των ακεραίων διατεταγμένο με τη φυσική διάταξη δεν είναι καλώς διατεταγμένο άρα ο διατακτικός τύπος *ω ω ζ+ = δεν είναι διατα-κτικός αριθμός. 7. Το σύνολο των ρητών διατεταγμένο με τη φυσική διάταξη δεν είναι κα-λώς διατεταγμένο άρα ο διατακτικός τύπος η δεν είναι διατακτικός αριθ-μός. 8. Το σύνολο των πραγματικών διατεταγμένο με τη φυσική διάταξη δεν είναι καλώς διατεταγμένο άρα ο διατακτικός τύπος λ δεν είναι διατακτικός αριθμός.

149 Πρόταση 1 Αν το σύνολο Α είναι καλώς διατεταγμένο με τη διάταξη

, τότε και όλα τα υποσύνολά του είναι επίσης καλώς διατεταγμένα με την ίδια διάταξη. ≺

Απόδειξη Εύκολη. Πρόταση 2 Αν το σύνολο Α είναι καλώς διατεταγμένο και είναι όμοιο με το διατεταγμένο σύνολο Β , τότε και το Β είναι επίσης καλώς διατε-ταγμένο. Απόδειξη Εύκολη. Πρόταση 3 Το ολικώς διατεταγμένο σύνολο Α δεν είναι καλώς διατε-ταγμένο αν και μόνον αν υπάρχει υποσύνολό του με διατακτικό τύπο

*ω Απόδειξη Είναι προφανές πως αν το υποσύνολο Β του Α έχει διατακτικό τύπο *ω , τότε το δεν έχει πρώτο στοιχείο, άρα το Β Α δεν είναι καλώς διατεταγμένο. Αντιστρόφως Αν το δεν είναι καλώς διατεταγμένο, τότε υπάρχει Α Ρ με ∅ ≠ Ρ ⊆ Α , το οποίο δεν έχει πρώτο στοιχείο. Άρα για κάθε x∈Ρ υπάρχει ένα μη κενό σύνολο xQ y y x= ∈Ρ∧ ≺ . Έστω x

xf Q

∈Ρ

∈Χ (πολλαπλασιαστική αρχή) και 1p ∈Ρ . Θεωρούμε την

ακολουθία, η οποία ορίζεται ως εξής 1a p1= και 1 ( )na f a+ n= . Προφανώς για κάθε , άρα το σύνολο 1na + ≺ na n∈ ,na n∈ είναι ένα τύπου *ω

υποσύνολο του . Α Πρόταση 4 (Θεώρημα Zermelo). Αν ( , ) είναι ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο και Α ≺ :f Α→ Α είναι μια απεικόνιση, η οποία διατηρεί τη διάταξη, τότε για κάθε α ∈Α θα ισχύει ή ( )fα α≺ ή ( )fα α= . Δηλαδή αποκλείεται να ισχύει

( )f α α≺ .

150

Απόδειξη Έστω πως για κάποιο α ∈Α ισχύει ( )f α α≺ . Άρα το σύνολο 1 / ( )fα α αΑ = ∈Α ≺ είναι μη κενό, συνεπώς έχει πρώτο στοιχείο, έ-

στω το 0α . Για το 0α έχουμε 0( )f 0α α≺ άρα (επειδή η f διατηρεί τη διάταξη) θα ισχύει και 0( ( )) ( )f f f 0α α≺ , συνεπώς το 0( )f α είναι ένα στοιχείο του , το οποίο προηγείται του 1Α 0α , το οποίο είναι άτοπο1. Πρόταση 5 Δεν υπάρχει καλώς διατεταγμένο σύνολο, το οποίο να εί-ναι όμοιο με ένα αρχικό τμήμα του. Απόδειξη Έστω πως είναι ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο με τη διάτα-ξη , το οποίο είναι όμοιο με το αρχικό τμήμα του

Α≺ ( )σ α , όπου α ∈Α .

Αν ονομάσουμε : (f )σ αΑ→ την απεικόνιση ομοιότητας των και Α( )σ α , τότε α ∈Α συνεπάγεται ( ) ( )f α σ α∈ , άρα ( )f α α≺ , άτοπο.

Ορισμός 2 Αν μ , ν είναι οι διατακτικοί αριθμοί των καλώς διατεταγμέ-νων συνόλων και αντιστοίχως, τότε θα λέμε Α Β μ ν< όταν και μόνον όταν το Α είναι όμοιο με ένα αρχικό τμήμα του Β . Πρόταση 6 Δεν υπάρχει διατακτικός αριθμός ν για τον οποίο ισχύει ν ν< . Απόδειξη Άμεση συνέπεια της πρότασης 5. Πρόταση 7 Αν είναι ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο και

μία απεικόνιση ομοιότητας, τότε Α

:f Α→ Α f iΑ= Απόδειξη Έστω πως για κάποιο α ∈Α ισχύει ( )fα α≠ , τότε (Θ. Zermelo)

( )fα α≺ .Επειδή και η 1f − είναι επίσης μία απεικόνιση ομοιότητας θα έχουμε 1 1( ) ( ( ))f f fα α− −≺ , άρα 1( )f α α− ≺ , άτοπο.

1 Λεπτομέρειες σχετικές με τη βιογραφία του Zermelo θα δούμε στο μεθεπόμενο κεφά-λαιο

151 Πρόταση 8 Αν , Α Β είναι δύο καλώς διατεταγμένα όμοια σύνολα, τότε υπάρχει μία και μοναδική απεικόνιση ομοιότητας :f Α→Β Απόδειξη Έστω και :f Α→Β :g Α→Β δύο απεικονίσεις ομοιότητας, τότε και η είναι απεικόνιση ομοιότητας, άρα και η 1 :g − Β→ Α

1 :g f− Α→ Α θα είναι επίσης απεικόνιση ομοιότητας. Από την προη-γούμενη πρόταση έχουμε ότι 1g f i−

Α= , άρα , άρα , άρα

1( )g g f g i−Α=

1( )g g f g− = i f gΑ = , άρα f g= . Πρόταση 9 Αν ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο και Α α ένα στοιχείο του, το οποίο δεν είναι τελευταίο, τότε το α έχει αμέσως επόμενο. Απόδειξη Αφού το α δεν είναι τελευταίο, τότε το σύνολο των στοι-χείων του , που έπονται του

ΒΑ α θα έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο. Έστω

β το πρώτο στοιχείο του Β . Προφανώς το β έπεται του α και επί πλέον δεν υπάρχει γ ∈Α με α γ β≺ ≺ , γιατί αν υπήρχε, τότε το γ θα ήταν στοιχείο του , το οποίο θα προηγούταν του Β β , το οποίο είναι άτοπο, άρα το β είναι το αμέσως επόμενο του α . Πρόταση 10 Κάθε καλώς διατεταγμένο σύνολο είναι μη-πυκνό. Απόδειξη Έστω ότι το Α είναι ένα καλώς διατεταγμένο και πυκνό σύνολο και α ένα στοιχείο του Α διαφορετικό από το πρώτο. Θεωρούμε το σύ-νολο /x x xαΒ = ∈Α∧ ≺ . Έστω γ το πρώτο στοιχείο του , τότε, λόγω της πυκνότητας του

ΒΑ θα υπάρχει δ ∈Α με α δ≺ και δ γ≺ , άρα

δ ∈Β και δ γ≺ , άτοπο. Πρόταση 11 Αν , ,μ ν κ διατακτικοί αριθμοί με μ ν< και ν κ< , τότε μ κ< Απόδειξη Θεωρούμε , ,Α Β Γ τρία καλώς διατεταγμένα σύνολα με διατα-κτικούς αριθμούς ,μ ν και κ αντιστοίχως. Αφού μ ν< , θα υπάρχει αρχι-κό τμήμα ( )σ β του ώστε Β ( )σ βΑ ≈ . Αφού ν κ< , θα υπάρχει αρχικό τμήμα ( )σ γ του Γ με ( )σ γΒ ≈ . Έστω g μία απεικόνιση ομοιότητας

152

του στο Β ( )σ γ . Το ( ( )) ( )g σ β σ δ= είναι ένα αρχικό τμήμα του ( )σ γ , άρα και αρχικό τμήμα του Γ . Έχουμε : ( )σ βΑ ≈ και ( ) ( )σ β σ δ≈ , άρα ( )σ δΑ ≈ , άρα μ κ<

Πρόταση 12 Αν ,μ ν τέτοιοι ώστε μ ν≤ και ν μ≤ , τότε μ ν= Απόδειξη Έστω μ ν≠ , τότε θα έχουμε μ ν< και ν μ< , άρα μ μ< , άτοπο. Πρόταση 13 Κάθε καλώς διατεταγμένο απειροσύνολο έχει διατακτικό αριθμό ω≥ . Απόδειξη Έστω ένα καλώς διατεταγμένο απειροσύνολο. Αν ( , )Α ≺ 1α είναι το πρώτο στοιχείο του Α , 2α το πρώτο στοιχείο του υποσυνόλου

1αΑ− = Α1 , το οποίο είναι προφανώς το αμέσως επόμενο του 1α . Υπο-θέτουμε ότι έχουμε ορίσει 1 2 1, ,..., ,ν να α α α− ώστε το 1κα + είναι το αμέσως επόμενο του κα , για κάθε 1,2,..., 1κ ν= − . Τότε το 1κα + είναι το πρώτο στοιχείο του μη κενού συνόλου 1 1 2, ,...,ν να α α+Α = Α − , άρα επαγωγικά έχουμε ορίσει το διατεταγμένο σύνολο

1 2( , ,..., ,...)κα α α , το οποίο είναι ένα αρχικό τμήμα του Α , συνεπώς

1 2( , ,..., ,...)να α α ≤ Α , δηλαδή ωΑ ≥ . 4.2 Συγκρισιμότητα των διατακτικών αριθμούς - Πράξεις με τους δια-τακτικούς αριθμούς Πρόταση 1 Αν και Α Β είναι δύο καλώς διατεταγμένα σύνολα, τότε το διατακτικό άθροισμα Α+Β καθώς και το διατακτικό άθροισμα είναι επίσης καλώς διατεταγμένα σύνολα.

Β+ Α

Απόδειξη Έστω ένα μη κενό υποσύνολο του Γ Α+Β και Γ∩Α = Δ . Αν

, τότε , άρα το Δ =∅ Γ ⊆ Β Γ έχει πρώτο στοιχείο. Αν Δ ≠∅ , τότε, ως

153 μη κενό υποσύνολο του Α θα έχει πρώτο στοιχείο, έστω δ . Το δ θα προηγείται και όλων των στοιχείων του Β , άρα θα είναι και πρώτο στοιχείο του , άρα το ζητούμενο αποδείχθηκε. Ομοίως α-ποδεικνύεται και η καλή διάταξη του

( ) (Γ = Γ∩Α ∪ Γ∩Β)Β+ Α

Πρόταση 2 Αν ,α β είναι δύο διατακτικοί αριθμοί, τότε οι διατακτικοί τύποι α β+ , β α+ είναι επίσης διατακτικοί αριθμοί. Γενίκευση της πρότασης 1 είναι η Πρόταση 3 Αν το σύνολο Μ ≠∅ είναι καλώς διατεταγμένο με τη διά-ταξη και τα σύνολα ≺ μΑ είναι καλώς διατεταγμένα για κάθε μ∈Μ ,

τότε το διατακτικό άθροισμα μμ∈Μ

Α∑ είναι καλώς διατεταγμένο σύνολο.

Απόδειξη Έστω ένα μη κενό υποσύνολο του Α μμ∈Μ

Α∪ . Θεωρούμε το

σύνολο , μμΚ = ∈Μ Α ∩Α ≠ ∅ . Επειδή, προφανώς, Κ ≠ ∅ , το

έχει πρώτο στοιχείο, έστω

Κ

0μ . Αν α είναι το πρώτο στοιχείο του 0μ

Α ,

τότε το α είναι και πρώτο στοιχείο του Α , συνεπώς το μμ∈Μ

Α∑ είναι καλώς

διατεταγμένο. Άμεση συνέπεια της παραπάνω πρότασης είναι η Πρόταση 4 Αν το σύνολο Μ ≠∅ είναι καλώς διατεταγμένο με τη διά-ταξη οι ≺ μα είναι διατακτικοί αριθμοί για κάθε μ∈Μ , τότε ο διατα-

κτικός τύπος μμ

α∈Μ∑ , είναι επίσης διατακτικός αριθμός.

Πρόταση 5 Αν και Α Β είναι δύο καλώς διατεταγμένα σύνολα, τότε το διατακτικό γινόμενο Α⋅Β καθώς και το διατακτικό γινόμενο είναι επίσης καλώς διατεταγμένα σύνολα.

Β⋅Α

154

Απόδειξη Έστω ένα μη κενό υποσύνολο του Γ Α ⋅Β . Θεωρούμε το υπο-σύνολο 1Γ του το οποίο ορίζεται ως εξής Α 1α ∈Γ αν και μόνον αν ( , )α β ∈Γ . Το είναι ένα μη κενό υποσύνολο του 1Γ Α , αφού το είναι Γμη κενό. Έστω 0α το πρώτο στοιχείο του 1Γ . Ακολούθως θεωρούμε το υποσύνολο του ώστε 2Γ Β 2β ∈Γ αν και μόνον αν 0( , )α β ∈Γ . Για τον ίδιο λόγο το είναι μη κενό υποσύνολο του 2Γ Β , άρα έχει πρώτο στοιχείο, έστω το 0β . Το 0 0( , )α β είναι προφανώς το πρώτο στοιχείο του , συνε-πώς το

ΓΑ ⋅Β είναι καλώς διατεταγμένο. Ομοίως αποδεικνύεται η καλή διά-

ταξη του . Β ⋅ Α Άμεση συνέπεια των παραπάνω προτάσεων είναι η εξής Πρόταση 6 Αν ,α β είναι δύο διατακτικοί αριθμοί, τότε οι διατακτικοί τύποι α β⋅ , β α⋅ είναι επίσης διατακτικοί αριθμοί. Πρόταση 7 Αν τα σύνολα 1 2, ,..., νΑ Α Α είναι καλώς διατεταγμένα, τότε

το διατακτικό γινόμενο 1 2 νΑ ⋅ Α ⋅ ⋅ ⋅ Α είναι καλώς διατεταγμένο σύνολο Απόδειξη Με Μαθηματική Επαγωγή Άμεση συνέπεια είναι η Πρόταση 8 Αν 1 2, ,..., να α α είναι διατακτικοί αριθμοί, τότε το διατακτι-

κό γινόμενο 1 2 να α α⋅ ⋅ ⋅ ⋅ είναι διατακτικός αριθμός. Παρατηρήσεις 1. Αν α ένας θετικός διατακτικός αριθμός και 0ν ∈ , τότε ορίζουμε τη δύναμη να επαγωγικά 0 1α = , 1α α= και υποθέτοντας ότι έχουμε ορίσει τη δύναμη να , ορίζουμε 1ν να α α+ = ⋅ . 2. Το γινόμενο απείρου πλήθους διατακτικών αριθμών θα διαπραγματευ-θούμε στην παράγραφο 4.4 Σχετικά με τις πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμός διατακτικών αριθ-μών ισχύουν τα εξής

155 Πρόταση 9 Αν ,μ ν είναι διατακτικοί αριθμοί με μ ν< , τότε και μό-νον τότε υπάρχει διατακτικός αριθμός 0ζ > ώστε ν μ ζ= + Απόδειξη Έστω μΑ = , νΒ = . Η σχέση μ ν< σημαίνει πως υπάρχει αρχικό τμήμα ( )σ α του Β με ( )σ αΑ ≈ . Θα έχουμε ( )υ α ≠ ∅ , άρα

( ) 0υ α > . Επίσης ( ) ( )σ α υ αΒ = + , άρα

( ) ( )σ α υ α μ ζΒ = + = + .

Αντιστρόφως Έστω ν μ ζ= + , με 0ζ > και νΑ = , μΒ = ,

ζΓ = , όπου ( , , )Α ≺ ( )1,Β ≺ , ( )2,Γ ≺ καλώς διατεταγμένα σύνολα με Α = Β+Γ . Αν γ είναι το πρώτο στοιχείο του συνόλου Γ , τότε β γ≺ αν και μόνον αν β ∈Β , άρα ( )σ γΒ = , συνεπώς ( )σ γΒ ≈ , όπου ( )σ γ ένα αρχικό τμήμα του Α, άρα μ ν< Ορισμός 1 Αν α είναι ένας διατακτικός αριθμός, τότε το σύνολο των δια-τακτικών, που είναι μικρότεροι του α συμβολίζουμε με ( )W α Δηλαδή

, (0)W = ∅ (1) 0W = , (2) 0,1W = ,…,

( ) 0,1,2,..., 1W ν ν= − ,…, ( ) 0,1,2,...W ω = Πρόταση 10 Το ( )W α είναι καλώς διατεταγμένο με τη σχέση < και

( )W α α= .

Απόδειξη Έστω ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο με ( , )Α ≺ αΑ = . Θε-ωρούμε την απεικόνιση : ( )f W αΑ→ με ( ) ( )f μ σ μ= . Θα δείξουμε με τη σειρά για την f : Ι. Είναι καλώς ορισμένη Έστω μ ∈Α και ( )σ μ το αρχικό τμήμα του Α που αντιστοιχεί στο μ , τότε ( ) μσ μ δ= <α , άρα ( ) ( )Wσ μ α∈ . ΙΙ. Είναι επί

156

Αν ( )Wβ α∈ και ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο με Β βΒ = , τότε β α< , συνεπώς υπάρχει ένα αρχικό τμήμα του Α , ( )σ μ , ώστε

( )σ μΒ ≈ , δηλαδή ( )σ μ β= , δηλαδή υπάρχει μ ∈Α ώστε ( )f μ β= . Συνεπώς η f είναι επί.

ΙΙΙ. Διατηρεί τη διάταξη Για να αποδείξουμε ότι είναι απεικόνιση ομοιότητας αρκεί να αποδείξουμε ότι διατηρεί τη διάταξη, δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι α β≺ ⇒ ( ) (f fα β< . Αν α β≺ τότε ( ) ( )σ α σ β⊂ , άρα το ( )σ α είναι αρχικό τμήμα του ( )σ β , άρα ( ) ( )σ α σ β< , άρα ( ) ( )f fα β< , συνεπώς το ζητούμενο απεδείχθη. Παρατήρηση Η πρακτική σημασία της παραπάνω πρότασης είναι ότι μπορούμε να αντικαθιστούμε το καλώς διατεταγμένο σύνολο , που έχει διατακτικό αριθμό

Αα με το σύνολο ( )W α

Εύκολα αποδεικνύεται η Πρόταση 11 Αν α και β δύο διατακτικοί τότε ( ) ( )W Wα β α< ⇔ ⊂ β και ( ) ( )W Wα β α β= ⇔ = Πρόταση 12 (Θεώρημα συγκρισιμότητας των διατακτικών) Αν α , β δύο διατακτικοί αριθμοί, τότε ισχύει ακριβώς μία από τις σχέσεις α β< ή β α< ή α β= Απόδειξη Έστω ,α β δύο διατακτικοί αριθμοί. Θεωρούμε το σύνολο

( ) ( )W Wα βΔ = ∩ και τα σύνολα 1 ( )W αΓ = −Δ και 2 ( )W αΓ = −Δ . Θα δείξουμε ότι δεν μπορεί να ισχύει 1Γ ≠ ∅ και 2Γ ≠ ∅ . Έστω πως ι-σχύει. Τότε το , ως μη κενό υποσύνολο του καλώς διατεταγμένου συνό-λου

1Γ( )W α έχει πρώτο στοιχείο, έστω 1γ . Θα δείξουμε ότι 1( )W γ = Δ .

Έστω γ διατακτικός αριθμός με 1γ γ< , τότε επειδή 1γ α< θα ισχύει και γ α< , άρα ( )Wγ α∈ . Συνεπώς ή γ ∈Δ ή 1γ ∈Γ . Το δεύτερο αποκλείε-ται γιατί το 1γ είναι το πρώτο στοιχείο του 1Γ , άρα γ ∈Δ , δηλαδή

1( )W γ ⊆ Δ (1)

157 Έστω γ ∈Δ . Επειδή ( )Wγ α∈ και 1 ( )Wγ α∈ και τα στοιχεία του

( )W α είναι συγκρίσιμα θα ισχύει 1γ γ≤ ή 1γ γ< . Το πρώτο αποκλείεται γιατί 1γ γ≤ και γ β< συνεπάγεται 1γ β< , άρα 1 ( )Wγ β∈ , δηλαδή

1 ( ) ( )W Wγ α β∈ ∩ = Δ , άτοπο. Άρα αναγκαστικά θα ισχύει 1γ γ< , άρα

1( )Wγ γ∈ , δηλαδή 1( )W γΔ ⊆ (2). Από τις (1) και (2) συνεπάγεται

1( )W γ = Δ . Ομοίως αποδεικνύουμε ότι 2( )W γ = Δ , άρα 1 2( ) ( )W Wγ γ= , άρα 1 2γ γ δ= = , άρα ( )Wδ α∈ και ( )Wδ β∈ , άρα δ ∈Δ , άτοπο. Συ-νεπώς θα ισχύει ένα τουλάχιστον από τα 1Γ =∅ ή 2Γ =∅ . Αν ισχύει το πρώτο, τότε ( )W α = Δ , άρα ( ) ( )W Wα β⊆ , άρα α β≤ . Αν ισχύει το δεύτερο με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε στο συμπέρασμα β α≤ . Θα αποδείξουμε ότι δεν είναι δυνατόν να ισχύουν ταυτόχρονα δύο από τις παραπάνω σχέσεις. Έστω ότι ισχύει α β= και α β< , τότε θα έχουμε α α< , άτοπο. Αν ισχύει β α< και α β< , τότε θα έχουμε β β< επί-σης άτοπο. Άρα το θεώρημα απεδείχθη. Σχόλιο Το παραπάνω θεώρημα είναι μεγάλης σημασίας, γιατί δικαιολογεί το χαρακτηρισμό των διατακτικών τύπων των καλώς διατεταγμένων συνό-λων, ως «αριθμών», με δεδομένο ότι το χαρακτηριστικό γνώρισμα των α-ριθμών είναι η συγκρισιμότητα. Αυτό που κάνουμε με τα καλώς διατεταγ-μένα σύνολα δεν μπορούμε να το κάνουμε με δύο οποιαδήποτε ολικώς δια-τεταγμένα σύνολα, γιατί οι διατακτικοί τους τύποι δεν έχουμε τρόπο να συ-γκρίνουμε τους διατακτικούς τύπους των μη καλώς διατεταγμένων συνόλων. Πρόταση 13 Αν και Α Β δύο καλώς διατεταγμένα σύνολα με , τότε

Α⊆ ΒΑ ≤ Β

Απόδειξη Έστω πως Β < Α , τότε θα υπάρχει αρχικό τμήμα ( )σ β του ώστε Α ( )σ β ≈ Β . Άρα θα υπάρχει απεικόνιση ομοιότητας

: (f )σ βΒ→ . Έστω β ∈Β , άρα ( ) ( )f β σ β∈ , δηλαδή το ( )f β προ-ηγείται του β , άτοπο. Πρόταση 14 Κάθε απειροσύνολο, υποσύνολο του καλώς διατεταγμένου με τη φυσική διάταξη συνόλου , έχει διατακτικό αριθμό ω .

158

Απόδειξη Έστω Α ένα τέτοιο απειροσύνολο. Από την πρόταση 13 της 4.1 έχουμε ωΑ ≥ . Επειδή Α⊂ , θα έχουμε ωΑ ≤ , άρα ωΑ = .

Παράδειγμα Αν , τότε (2, 4,8,..., 2 ,...)νΑ = ωΑ = Πρόταση 15 Αν , ,μ ν ρ διατακτικοί αριθμοί με μ ν< , τότε 1) νρμρ +<+ 2) ρνρμ +≤+ 3) μ ρ ν ρ⋅ ≤ ⋅ , αν 0ρ > 4) ρ μ ρ ν⋅ < ⋅ , αν 0ρ > Απόδειξη 1. Αφού νμ < τότε θα υπάρχει διατακτικός 0ζ > ώστε ν μ ζ= + , άρα ( )ρ ν ρ μ+ = + +ζ , άρα νρμρ +<+ 2. Έστω καλώς διατεταγμένα σύνολα με , ,Α Β Ρ

, ,μ νΑ = Β = Ρ = ρ , και το Ρ ξένο με τα Α και Β . Αφού νμ < θα υπάρχει αρχικό τμήμα ( )σ α του Β ώστε ( )σ α ≈ Α , άρα

( )σ α + Ρ ≈ Α + Ρ , άρα ( )σ α +Ρ = Α+Ρ

Αλλά ( )σ α + Ρ ⊆ Β+ Ρ , άρα ( )σ α +Ρ ≤ Β+Ρ , άρα

Α+Ρ ≤ Β+Ρ , άρα Α + Ρ ≤ Β + Ρ , άρα μ ρ ν ρ+ ≤ + . 3. Έστω , Α Β , Ρ καλώς διατεταγμένα σύνολα με , ,μ ν ρΑ = Β = Ρ = Αφού νμ < θα υπάρχει αρχικό τμήμα ( )σ α του Β ώστε

( )σ αΑ ≈ , άρα ( )σ αΡ× ≈ Ρ×Α , άρα ( )σ αΡ× = Ρ×Α

Αλλά ( )σ αΡ× ⊆ Ρ×Β , άρα ( )σ αΡ× ≤ Ρ×Β , άρα

Ρ×Α ≤ Ρ×Β , άρα Α ⋅ Ρ ≤ Β ⋅ Ρ , άρα μ ρ ν ρ⋅ ≤ ⋅ . 4. Αν νμ < , τότε θα υπάρχει διατακτικός 0ζ > ώστε ν μ ζ= + , άρα ρ ν⋅ =

( )ρ μ ζ ρ μ ρ ζ⋅ + = ⋅ + ⋅ , άρα ρ μ ρ ν⋅ < ⋅ Πρόταση 16 Αν , ,μ ν ρ διατακτικοί αριθμοί με μ ν< και

σρ < , τότε σνρμ +<+

159 Απόδειξη Έχουμε μ ν< , άρα μ ρ ν ρ+ ≤ + (1) και ρ σ< , άρα ν ρ ν σ+ < + (2). Από τις (1) και (2) έχουμε ότι

σνρμ +<+ (μεταβατική ιδιότητα ) Πρόταση 17 Αν , ,μ ν ρ διατακτικοί αριθμοί με 0 < μ ν< και 0 < ρ σ< , τότε μ ρ ν σ⋅ < ⋅ Απόδειξη Έχουμε μ ν< , άρα μ ρ ν ρ⋅ ≤ ⋅ (1) και ρ σ< , άρα ν ρ ν σ⋅ < ⋅ (2). Από τις (1) και (2) έχουμε ότι μ ρ ν σ⋅ < ⋅ (μεταβατική ιδιότητα ) Πρόταση 18 Αν , ,μ ν ρ διατακτικοί αριθμοί τότε Α. νμνρμρ <⇒+<+ και Β. νμρνρμ <⇒+<+ Απόδειξη Α. Έστω πως ν μ≤ , τότε ρ ν ρ μ+ ≤ + , άτοπο. Β. Έστω πως ν μ≤ , τότε ν ρ μ ρ+ ≤ + , άτοπο. Πρόταση 19 Αν , ,μ ν ρ διατακτικοί αριθμοί και 0ρ > τότε Α. ρ μ ρ ν μ ν⋅ < ⋅ ⇒ < και Β. μ ρ ν ρ μ ν⋅ < ⋅ ⇒ < Απόδειξη Α. Έστω πως ν μ≤ , τότε ρ ν ρ μ⋅ ≤ ⋅ , άτοπο. Β. Έστω πως ν μ≤ , τότε ν ρ μ ρ⋅ ≤ ⋅ , άτοπο. Πρόταση 20 Αν , ,μ ν ρ διατακτικοί αριθμοί τότε: νμνρμρ =⇒+=+ Απόδειξη Έστω πως μ ν< , τότε ρ μ ρ ν+ < + , άτοπο. Ομοίως καταλή-γουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι ν μ< , άρα μ ν= . Πρόταση 21 Αν , ,μ ν ρ διατακτικοί αριθμοί και 0ρ ≠ τότε ρ μ ρ ν μ ν⋅ = ⋅ ⇒ =

160

Απόδειξη Έστω πως μ ν< , τότε ρ μ ρ ν⋅ < ⋅ , άτοπο. Ομοίως καταλή-γουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι ν μ< , άρα μ ν= . Παρατήρηση Διαγραφή κοινών προσθετέων ή παραγόντων, όταν αυτοί βρίσκονται δεξιά δεν επιτρέπεται. Παράδειγμα έχουμε 2 3ω ω ω+ = + = , αλλά 2 3≠ ή 3 4ω ω ω⋅ = ⋅ = , αλλά 3 4≠ . Πρόταση 22 (Θεώρημα διαίρεσης στους διατακτικούς αριθμούς) Αν α , μ είναι δύο διατακτικοί αριθμοί με 1 α μ< < , τότε υπάρχει μοναδικό ζεύγος διατακτικών αριθμών ξη, , όπου 0η > και ( )Wξ α∈ , ώστε

ξαημ += . Απόδειξη 1. Ύπαρξη των αριθμών η, ξ Θεωρούμε τον αριθμό 1β μ= + . Επειδή 1 α< θα ισχύει β α β≤ ⋅ , άρα 1μ α β+ ≤ ⋅ , άρα μ α β< ⋅ . Έχουμε ( ) ( )W Wα β β α⋅ = ⋅ Εφ’ όσον μ α β< ⋅ υπάρχει ένα αρχικό

τμήμα 1R του R ( ) ( )W Wβ α= ⋅ ώστε 1R μ= . Το 1R θα αποτελείται από όλα τα ζεύγη , τα οποία λεξικογραφικώς προηγούνται ενός κά-ποιου ζεύγους ( ,

( , )y x)η ξ . Δηλαδή το 1R είναι η ένωση των συνόλων

1 ( , ) / , ( ) / ( )Q y x y x W y y Wη α η= < ∈ = < × α και

2 ( , ) / ,Q y x y xη ξ= = < . Επειδή 1 2Q Q =∅∩ , το 1R είναι το διατα-

κτικό άθροισμα , άρα 1Q Q+ 2 1 1 2R Q Q α η ξ= + = ⋅ + , συνεπώς μ α η ξ= ⋅ + . Το ξ α< , είναι προφανές , επειδή ( )Wξ α∈ . 2. Μοναδικότητα των η και ξ : Έστω 1 1 2 2αη ξ αη ξ+ = + Αν 1 2η η= προφα-νώς θα ισχύει και 1 2ξ ξ= . Θα δείξουμε ότι το ενδεχόμενο 1 2η η≠ είναι αδύνατο. Αν 1 2η η< , τότε 1 21η η+ ≤ , άρα 1 2α η α α η⋅ + ≤ ⋅ , άρα

1 2 2α η α α η ξ⋅ + ≤ ⋅ + , άρα 1 1 1α η α α η ξ⋅ + ≤ ⋅ + , άρα 1α ξ≤ άτοπο, γιατί 1ξ α< .Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο υποθέτοντας ότι 2 1η η< .

161 4.3 Οριακοί και μεμονωμένοι διατακτικοί αριθμοί Ορισμός 1 Αν το σύνολο )(αW έχει τελευταίο στοιχείο, τότε ο διατακτι-κός αριθμός α ονομάζεται μεμονωμένος αριθμός. Αν ο α είναι μεμονωμένος αριθμός, τότε το τελευταίο στοιχείοβ του

)(αW είναι ο αμέσως προηγούμενος αριθμός του α στη διάταξη των δια-τακτικών. Ο β συμβολίζεται 1−α Ορισμός 2 Αν το σύνολο )(αW δεν έχει τελευταίο στοιχείο, τότε ο δια-τακτικός αριθμός α ονομάζεται οριακός αριθμός. Στην περίπτωση αυτή θα γράφουμε lim

ρ αα ρ

<=

Πρόταση 1 Αν α είναι ένας οριακός διατακτικός αριθμός ω> τότε και μόνον τότε υπάρχει διατακτικός αριθμός β 2≥ ώστε α ω β= ⋅ . Απόδειξη Σύμφωνα με το θεώρημα Διαίρεσης θα υπάρχει μοναδικό ζεύγος διατακτικών αριθμών ( , )β ξ ώστε α ω β ξ= ⋅ + με ξ ω< , άρα 0ξ ∈ . Αν 0ξ > , τότε ο αριθμός α θα είναι μεμονωμένος, γιατί είναι ο επόμενος του 1ω β ξ⋅ + − , άτοπο. Άρα α ω β= ⋅ . Αντιστρόφως, έστω πως α ω β= ⋅ , όπου β διατακτικός . Αν ο 2≥ α είναι μεμονωμένος, τότε υπάρχει διατακτικός γ με 1α γ= + . Αλλά 1γ ω β κ= ⋅ + , όπου , συνεπώς

0κ ∈

1 1α ω β κ= ⋅ + + , δηλαδή 1α ω β λ= ⋅ + , όπου λ∈ , άτοπο. Παραδείγματα μεμονωμένων διατακτικών αριθμών είναι οι φυσικοί αριθ-μοί, οι αριθμοί 1, 2,ω ω ω+ + +… ν , οι αριθμοί 2 1, 2 2, , 2ω ω ω⋅ + ⋅ + ⋅ +… ν , κ.ο.κ.

Παραδείγματα οριακών διατακτικών είναι οι ω , ω ν⋅ , νω , ωω , ωωω ,…

με ν ∈ Άμεση συνέπεια της πρότασης 1 και του θεωρήματος της διαίρεσης είναι η παρακάτω πρόταση

162

Πρόταση 2 Κάθε διατακτικός αριθμός μπορεί να γραφεί με τη μορφή α ν+ , όπου α ένας οριακός διατακτικός και 0ν ∈ Πρόταση 3 Αν ο α είναι οριακός αριθμός, τότε δεν έχει αμέσως προ-ηγούμενο, δηλαδή αν β διατακτικός αριθμός με αβ < , τότε θα υ-πάρχει διατακτικός αριθμός γ ώστε, αγβ << Απόδειξη Εύκολη Πρόταση 4 Κάθε σύνολο διατακτικών αριθμών είναι καλώς διατεταγ-μένο με τη σχέση < Απόδειξη Έστω ένα σύνολο διατακτικών αριθμών. Το ότι είναι ολικώς διατεταγμένο με τη σχέση

Α< είναι άμεση συνέπεια της πρότασης 9 της 4.2.

Άρα μένει να αποδείξουμε ότι το Α είναι καλώς διατεταγμένο. Έστω ένα μη κενό υποσύνολο του

ΒΑ και μ ένα τυχαίο στοιχείο του . Αν το Β

μ είναι το πρώτο στοιχείο του Β , τότε το ζητούμενο απεδείχθη. Αν το μ δεν είναι το πρώτο στοιχείο του Β , τότε υπάρχει ν ∈Β με ν μ< , άρα το σύνολο ( )W μΓ = Β∩ , είναι μη κενό υποσύνολο του καλώς διατεταγμέ-νου συνόλου ( )W μ , άρα θα έχει πρώτο στοιχείο. Ονομάζουμε το στοιχείο αυτό ρ . Το ρ είναι προφανώς πρώτο στοιχείο και για το Β , συνεπώς το

είναι καλώς διατεταγμένο. Α Πρόταση 5 Για κάθε μη κενό σύνολο διατακτικών αριθμών υπάρχει διατακτικός αριθμός, ο οποίος είναι μεγαλύτερος από όλα τα στοιχεία του συνόλου. Απόδειξη Έστω ένα μη κενό σύνολο διατακτικών αριθμών. Θεωρούμε

το σύνολο

Α

1 1/α αΑ = + ∈Α και τον αριθμό 1β

ρ β∈Α

= ∑ . Έχουμε

β ρ≤ για κάθε 1β ∈Α , άρα 1α ρ+ ≤ για κάθε α ∈Α , άρα α ρ< για κάθε α ∈Α , αφού 1α α< + , δηλαδή ο ρ είναι ο ζητούμενος διατακτικός αριθμός.

163 Πρόταση 6 Αν ένα σύνολο διατακτικών αριθμών, το οποίο έχει την ιδιότητα μαζί με κάθε διατακτικό που ανήκει σε αυτό, ανήκουν και όλοι οι διατακτικοί που είναι μικρότεροι από αυτόν, τότε υπάρχει διατακτι-κός

Α

γ , τέτοιος ώστε ( )W γΑ = Απόδειξη Έστω α διατακτικός αριθμός τέτοιος ώστε β α< , για κάθε β ∈Α . Έχουμε ( )W αΑ ⊆ , εξ’ ορισμού του α . Αν ( )W α = Α , τότε το ζητούμενο απεδείχθη. Αν ( )W α − Α ≠ ∅ , τότε έστω γ το πρώτο στοιχείο του ( )W α − Α . Θα έχουμε ( )W γ = Α , γιατί

( )Wδ γ∈ , άρα ( )Wδ α∈ . Αν δ ∉Α , τότε ( )Wδ α∈ − Α και δ γ< , άτοπο, συνεπώς δ ∈Α , άρα ( )W γ ⊆ Α . Αν δ ∈Α και ( )Wδ γ∉ , τότε γ δ α< < , άρα ( )Wδ α∈ − Α , άτοπο. Συνεπώς ( )Wδ γ∈ , άρα ( )W γΑ ⊆ , οπότε το ζητούμενο απεδείχθη. Η πρόταση θα μπορούσε να διατυπωθεί και ως εξής Αν ,i i Iγ ∈ είναι μία οικογένεια διατακτικών αριθμών, τότε υπάρχει δια-

τακτικός αριθμός γ , ώστε ( ) ( )ii I

W Wγ γ∈

=∪ .

Πρόταση 7 Δεν υπάρχει το σύνολο όλων των διατακτικών αριθμών. Απόδειξη Έστω το σύνολο όλων των διατακτικών αριθμών. Τότε από το προηγούμενο θα υπάρχει διατακτικός

Αα που θα είναι μεγαλύτερος από

όλα τα στοιχεία του , άρα και Α α α< , το οποίο είναι άτοπο. Το 1897 ο Ιταλός Μαθηματικός Cesare Burali-Forti (1861-1931) δημο-σίευσε πρώτος την φερώνυμη αντινομία του «συνόλου όλων των διατακτι-κών»2, την οποία πριν από αυτόν εντόπισε ο ίδιος ο Cantor, όπως φαίνεται από την αλληλογραφία του με τον Hilbert. Έτσι αρχίζει η περιπέτεια της συνολοθεωρίας, η οποία καλείται να ξεπεράσει τις αντιφάσεις της. Την πε-ριπέτεια αυτή θα δούμε πιο αναλυτικά στο μεθεπόμενο κεφάλαιο. Ορισμός 3 Έστω ένα σύνολο διατακτικών αριθμών. Θεωρούμε ένα διατακτικό

Αβ με α β< για κάθε α ∈Α .

2 Una questione sui numeri transfinite, Rendiconti del circolo Mathematico di Palermo, Vol. 11, Number 1, σελ. 154-164.

164

Το σύνολο / ( ) ( )x x W xβ α αΒ = ∈ ∧ ∈Α⇒ < είναι μη κενό, αφού θα περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο, όπως αποδείχθηκε στη πρόταση 5. Το πρώτο στοιχείο σ του Β , ονομάζουμε αμέσως επόμενο του συνόλου Υπάρχουν δύο ενδεχόμενα

Α

Το πρώτο ενδεχόμενο είναι ο σ να είναι μεμονωμένος διατακτικός αριθ-μός, οπότε ο 1σ − (αμέσως προηγούμενος) θα είναι το τελευταίο στοιχείο του ΑΤο δεύτερο ενδεχόμενο είναι ο σ να είναι οριακός αριθμός, οπότε σ’ αυ-τή τη περίπτωση το Α δεν θα έχει τελευταίο στοιχείο, γιατί αν είχε, τότε αυτό θα ήταν ο αμέσως προηγούμενος του σ , πράγμα που είναι άτοπο. Για το δεύτερο ενδεχόμενο γράφουμε lim σΑ = ή sup σΑ = .

Παραδείγματα 1. lim(1, 2,3,4,...) ω=

2. lim(2,4,8,16, ) ω=…

3. 2lim( 1, 2,..., ,...)nω ω ω⋅ ⋅ ⋅ = ω Πρόταση 8 Αν κω είναι ένας οριακός διατακτικός αριθμός και α ένας

οποιοσδήποτε διατακτικός, τότε ο κα ω+ είναι οριακός και

lim( )κ

κρ ωα ρ α ω

<+ = +

Απόδειξη Έστω πως ο κα ω+ δεν είναι οριακός αριθμός, άρα το

(W )κα ω+ , έχει τελευταίο στοιχείο. Έστω μ το τελευταίο αυτό στοιχείο. Επειδή (W )κα λ α ω+ ∈ + για κάθε κλ ω< , θα έχουμε

κα λ μ α ω+ ≤ < + για κάθε κλ ω< , άρα α μ< . Επειδή α μ< θα ι-σχύει μ α ρ= + , όπου ρ διατακτικός αριθμός , συνεπώς 0>

κα λ μ α ω+ ≤ < + για κάθε κλ ω< , άρα κλ ρ ω≤ < για κάθε κλ ω< , άρα το ( )W κω έχει τελευταίο στοιχείο, άτοπο. Όσον αφορά το δεύτερο έχουμε Έστω / κα ρ ρ ωΑ = + < , αφού κρ ω< , τότε κα ρ α ω+ < + . Αν σ διατακτικός με α ρ σ+ < για κάθε κρ ω< , τότε α σ< , άρα σ α μ= + , όπου μ διατακτικός , δηλαδή 0> ρ μ< για κάθε κρ ω< .

165 Άρα α ρ α μ+ < + για κάθε κρ ω< και επειδή lim

κκ ρ ω

ω ρ<

= , τότε

κω μ≤ , άρα κα ω α+ ≤ + μ , δηλαδή κα ω σ+ ≤ , άρα lim( ) lim

κ κρ ω ρ ωα ρ α

< <ρ+ = + .

Πρόταση 9 Αν κω είναι ένας οριακός διατακτικός αριθμός και α ένας

οποιοσδήποτε διατακτικός ≥ 1, τότε ο κα ω⋅ είναι οριακός και

lim( )κ

κρ ωα ρ α ω

<⋅ = ⋅

Απόδειξη Η περίπτωση όπου 1α = είναι τετριμμένη, γιατί τότε κ κα ω ω⋅ = , άρα εξετάζουμε την περίπτωση όπου 1α > .

Έστω πως ο κα ω⋅ δεν είναι οριακός αριθμός, άρα το (W κ )α ω⋅ έχει τε-λευταίο στοιχείο, ας πούμε το β , δηλαδή

κα μ β α ω⋅ ≤ < ⋅ για κάθε κμ ω< . Προφανώς 1 α β< < , άρα θα υπάρ-χουν διατακτικοί αριθμοί η και ρ , ώστε β α η ρ= ⋅ + και ( )Wρ α∈ . Αν 0η = , τότε β ρ= άρα α μ α⋅ < , για κάθε μμ ω< , άτοπο. Εξάλλου δεν είναι δυνατό να ισχύει 0ρ = , γιατί τότε η κα μ α η α ω⋅ ≤ ⋅ < ⋅ για κάθε κμ ω< , συνεπάγεται κμ η ω≤ < για κάθε κμ ω< , άρα ο κω είναι μεμονωμένος διατακτικός αριθμός, άτοπο. Συνεπώς β α η ρ α η α= ⋅ + < ⋅ + , όπου 0ρ > , άρα ( 1)α μ α η⋅ < ⋅ + για κάθε κμ ω< , άρα 1μ η< + για κάθε κμ ω< , άρα 1κω η≤ + . Επει-δή ο κω είναι οριακός αριθμός δεν μπορεί να ισχύει το =, άρα 1κω η< + , δηλαδή κω η≤ , άρα κα ω α η⋅ ≤ ⋅ και επειδή κβ α ω< ⋅ , θα έχουμε β α η< ⋅ και επειδή α η α η ρ β⋅ < ⋅ + = , άρα β β< , άτοπο. Όσον αφορά το δεύτερο έχουμε

/ κα ρ ρ ωΑ = ⋅ < . Ισχύει κρ ω< , άρα κα ρ α ω⋅ < ⋅ . Έστω α ρ σ⋅ < για κάθε κρ ω< . Επειδή 1 α σ< < θα υπάρχουν διατακτικοί αριθμοί η και β με σ α η β= ⋅ + και ( )Wβ α∈ , άρα α ρ α η β α η α⋅ < ⋅ + < ⋅ + , δηλαδή ( 1)α ρ α η⋅ < ⋅ + , άρα 1ρ η< + για κάθε κρ ω< άρα

1κω η≤ + . Το = δεν μπορεί να ισχύει, επειδή το κω είναι οι οριακός α

166

ριθμός, άρα 1κω η< + , άρα κω η≤ , άρα κα ω α η⋅ ≤ ⋅ , άρα κα ω σ⋅ ≤ , συνεπώς lim( ) lim

κ κρ ω ρ ωα ρ α

< <⋅ = ⋅ ρ

4.4 Υπερπεπερασμένη επαγωγή Πρόταση 1 Έστω ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο και ένα σύνολο με τις εξής ιδιότητες

( , )Α ≺ Β

1. Το πρώτο στοιχείο 0α του Α ανήκει στο Β . 2. Αν στο , όταν ανήκουν όλα τα προηγούμενα του Β x∈Α στοιχεία, τότε x∈Β . Τότε Α ⊆ Β Απόδειξη Έστω ότι Α ⊆ Β , τότε ∅ ≠ Α −Β ⊆ Α , συνεπώς το

έχει πρώτο στοιχείο, έστω Α − Β 1α . Έχουμε 1 0α α≠ , γιατί 0α ∈Β , άρα αν α ∈Ακαι 1α α≺ , τότε α ∈Β , αλλιώς το 1α δεν είναι πρώτο στοιχείο του , άρα, από τη (2), Α − Β 1α ∈Β , άτοπο. Πρόταση 2 Αν ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο με πρώτο στοι-χείο

( , )Α ≺

0α και για κάθε σύνολο Β , το οποίο έχει τις ιδιότητες 1 και 2 της προηγούμενης πρότασης αληθεύει το Α ⊆ Β , τότε το Α είναι καλώς διατεταγμένο. Απόδειξη Έστω ότι το Α δεν είναι καλώς διατεταγμένο, άρα υπάρχει μη κενό υποσύνολό του, το οποίο δεν έχει πρώτο στοιχείο. Ας πούμε το σύνολο των στοιχείων του

1ΑΒ

Α , τα οποία προηγούνται όλων των στοιχείων του . Προφανώς 1Α 0α ∈Β . Έστω x∈Α , τέτοιο ώστε όλα τα προηγούμε-να στοιχεία του x στο σύνολο Α , να ανήκουν στο Β . Αν υποθέσουμε ότι x∉Β , τότε θα υπάρχει 1α ∈Αμε 1 xα = ή 1 xα ≺ , τότε το α είναι το πρώτο στοιχείο του , αδύνατο, συνεπώς 1Α x∈Β . Δηλαδή το έχει τις ιδιότητες 1 και 2 της προηγούμενης πρότασης, άρα

ΒΑ ⊆ Β . Συνεπώς αν

, τότε 1x∈Α x∈Β , άρα x x≺ , άτοπο.

167 Πρόταση 3 Έστω ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο και ένα κατηγόρημα, τότε το αληθεύει για όλα τα στοιχεία του , εφόσον αληθεύει για το πρώτο στοιχείο του

( , )Α ≺ ( )p x( )p x Α

Α και η αλήθεια του για το οποιοδήποτε 0x του Α προκύπτει από την αλήθεια του για όλα

τα στοιχεία του Α που προηγούνται του

( )p x

0x . Απόδειξη Έστω ένα κατηγόρημα που αναφέρεται στα στοιχεία του

και για το οποίο ισχύουν τα δεδομένα της πρότασης. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει για το οποίο η πρόταση

( )p xΑ

1x ∈Α 1( )p x είναι ψευδής, τότε το σύνολο 1Α των x του Α για τα οποία η είναι ψευδής δεν είναι κενό, άρα το

( )p x

1Α έχει πρώτο στοιχείο. Το πρώτο στοιχείο του 1Α ονομάζουμε

0x . Προφανώς το 0x δεν είναι το πρώτο στοιχείο του Α , άρα υπάρχουν στοιχεία του , τα οποία προηγούνται του Α 0x . Τα στοιχεία αυτά, αφού δεν ανήκουν στο θα επαληθεύουν το κατηγόρημα , άρα, σύμφωνα με την υπόθεση της πρότασης, θα αληθεύει και η πρόταση

1Α ( )p x

0( )p x , άτοπο. Συ-νεπώς το αληθεύει για κάθε ( )p x x∈Α . Πρόταση 4 (Αρχή της Υπερπεπερασμένης Επαγωγής) Έστω ένα κατηγόρημα. Αν η πρόταση

( )p x( )p κ αληθεύει για κάποιο διατακτικό α-

ριθμό και επιπλέον η αλήθεια της πρότασης ( )p β ( β διατακτικός ) συνεπάγεται από την αλήθεια των προτάσεων κ> ( )p μ , όπου μ ο

οποιοσδήποτε διατακτικός μεταξύ των κ και β , τότε το κατηγόρημα αληθεύει για όλους τους διατακτικούς τους κ≥ . Απόδειξη Έστω ένας διατακτικός αριθμός β με β κ> . Θεωρούμε το σύνολο Α , το οποίο αποτελείται από τους διατακτικούς που είναι του και του

≥ κ< β . Προφανώς το Α είναι καλώς διατεταγμένο. Αν είναι το

υποσύνολο του , που αποτελείται από τα στοιχεία του Β

Α Α για τα οποία το δεν αληθεύει, τότε αυτό ή θα είναι κενό ή θα έχει πρώτο στοιχείο,

έστω ( )p x

γ . Το δεύτερο αποκλείεται γιατί σύμφωνα με την υπόθεση, αφού η πρόταση ισχύει για όλους τους διατακτικούς μεταξύ κ και γ θα ισχύει και για το γ , άτοπο. Άρα αφού το Β είναι κενό η πρόταση θα ισχύει για όλους τους διατακτικούς μεταξύ κ και β , άρα θα ισχύει και η ( )p β

168

Παρατηρήσεις Το παραπάνω θεώρημα είναι επέκταση του γνωστού από την αριθμητική θεωρήματος της Μαθηματικής Επαγωγής, το οποίο ισχύει για το σύνολο των φυσικών αριθμών ή τα σύνολα της μορφής

/κ ν ν ν= ∈ ∧ >κ , όπου 0κ ∈ , δηλαδή το κατηγόρημα αληθεύει για κάθε

( )p x

0 ,x x κ∈ ≥ , εφόσον αληθεύει για x κ= και η αλή-θεια του οποιουδήποτε ( 1p )ν + συνάγεται από την αλήθεια του ( )p ν . Στο εξής τη Μαθηματική επαγωγή θα ονομάζουμε πεπερασμένη επαγωγή, για να μπορούμε να τη διακρίνουμε από την υπερπεπερασμένη επαγωγή, που μόλις ορίσαμε. Με τη βοήθεια της πεπερασμένης επαγωγής μπορούμε να ορίσουμε Μα-θηματικά αντικείμενα της μορφής , όπου ( )a n n∈ . Ένα απλό παρά-δειγμα είναι αυτό της δύναμης ,na n∈ . Ορίζουμε 1a a= και με την υ-πόθεση ότι έχουμε ορίσει το , ορίζουμε . na 1n na a+ = aΗ πρόταση 1 μας δίνει τη δυνατότητα να ορίσουμε αντικείμενα της μορφής

( )a ρ , για κάθε διατακτικό αριθμό ρ ω≥ , αρκεί να ορίσουμε το αντικεί-μενο για μία πεπερασμένη τιμή και με την προϋπόθεση ότι έχει ορισθεί για όλους τους διατακτικούς τους μικρότερους από

nnα ≥ , ορίζεται και για

τον διατακτικό αριθμό α . Έτσι Ορισμός 1 Αν α είναι διατακτικός ω≥ και αμ ,α ∈ )(αW οικογένεια διατακτικών, τότε ορίζουμε το γενικευμένο γινόμενο ρ

ρ α

μ<∏

με την βοήθεια της υπερπεπερασμένης επαγωγής ως εξής 1) Έχουμε ορίσει το 1 2 nμ μ μ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , για κάθε n∈ 2) Υποθέτοντες ότι έχουμε ορίσει το ρ

ρ β

μ<∏ για κάθε διατακτικό α-

ριθμό β α< , ορίζουμε το ρρ α

μ<∏

- Αν μεν ο α είναι μεμονωμένος αριθμός 1

1ρ ρ

ρ α ρ ααμ μ μ −

< < −

= ⋅∏ ∏

- Αν ο α είναι οριακός αριθμός

limρ ρβ αρ α ρ β

μ μ<

< <

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∏ ∏

169 Παράδειγμα lim ! lim(2,6,24,...)

ν ων ω

ν ν ω<

<

= = =∏

Στην ειδική περίπτωση που οι παράγοντες είναι ίσοι με τον διατακτικό μ , τότε έχουμε τον ορισμό της γενικευμένης δύναμης αμ Ορισμός 2 Αν μ μη μηδενικός διατακτικός αριθμός και α ω≥ , τότε ορίζουμε το αμ ως εξής Έχουμε ήδη ορίσει το nμ , αν n∈ . Υποθέτουμε ότι ορίσαμε το βμ για κάθε διατακτικό αριθμό β α< και ορίζουμε το αμ Αν ο α είναι μεμονωμένος, τότε 1α αμ μ μ−= ⋅

Αν ο α είναι οριακός, τότε lim

limξ αξα ξ

ξ αμ μ μ<

<= =

Παραδείγματα

1. ωνω === ),,,lim(lim …84222 Έτσι προκύπτει ωωωω ==== 432 2. 3 ),,,lim(lim …32 ωωωωω νω == Πρόταση 3 Αν μ διατακτικός και τα 1> ,α β διατακτικοί αριθμοί τό-

τε α β αμ μ μ +⋅ = β Απόδειξη Μπορούμε να θεωρήσουμε το α σταθερό και θα αποδείξουμε τη σχέση για κάθε διατακτικό β . Προφανώς ισχύει για 0β = . Έστω ότι η πρόταση ισχύει για κάθε διατακτικό μικρότερο του β . Αν ο β είναι μεμονωμένος, τότε 1β βμ μ μ−= ⋅ . Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε 1 1α β α βμ μ μ− + −⋅ = , άρα

1 1 1( ) ( )α β α β α β α β αμ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ− − + −⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = β+ Αν ο β είναι οριακός, τότε limβ ν

ν βμ μ

<= , άρα

lim( )lim lim( ) lim ν β

α να β α ν α ν α ν

ν β ν β ν βμ μ μ μ μ μ μ μ <

++

< < <⋅ = ⋅ = ⋅ = =

3 Με υπερπεπερασμένη επαγωγή στο α εύκολα αποδεικνύεται ότι 1 1α =

170

limν β

α ν α βμ μ<+

+= = Συνεπώς η πρόταση ισχύει για τον διατακτικό β , άρα σύμφωνα με την υ-περπεπερασμένη επαγωγή θα ισχύει για όλους τους διατακτικούς. Πρόταση 4 Αν μ διατακτικός και 1> ,α β διατακτικοί τότε

( )α β α βμ μ ⋅= Απόδειξη Μπορούμε να θεωρήσουμε το α σταθερό και θα αποδείξουμε τη σχέση για κάθε διατακτικό β . Προφανώς ισχύει για 0β = Έστω ότι η πρόταση ισχύει για κάθε διατακτικό μικρότερο του β . Αν ο β είναι μεμονωμένος, τότε δεχθήκαμε ότι ισχύει , άρα

1 (( )α β α βμ μ− ⋅= 1)−

1 ( 1) ( 1)( ) ( )α β α β α α β α α β α α βμ μ μ μ μ μ μ− ⋅ − − += ⋅ = ⋅ = = ⋅ Αν ο β είναι οριακός και ( )α ν α νμ μ ⋅= , για κάθε ν β< . Άρα

lim( ) lim( ) lim( ) lim ν β ν β

α ν α να β α ν α ν

ν β ν β

α βμ μ μ μ μ< <⋅ ⋅

μ⋅ ⋅

< <= = = = =

Συνεπώς η πρόταση ισχύει για τον διατακτικό β , άρα σύμφωνα με τη πρό-ταση 2 θα ισχύει για όλους τους διατακτικούς. Πρόταση 5 Αν ο α είναι διατακτικός και 1> δ διατακτικός τότε 0> 1δα >Απόδειξη Αν ο δ είναι μεμονωμένος και η πρόταση ισχύει για κάθε δια-τακτικό < του δ , τότε θα ισχύει η , άρα 1 1δα − > 1 1δα α− α⋅ ≥ ⋅ , άρα

δα α≥ και επειδή 1α > θα έχουμε το ζητούμενο. Αν ο δ είναι οριακός και ισχύει , για κάθε 1κα > κ δ< , τότε επειδή limδ κ

κ δα α

<= θα ισχύει

δ κα α≥ για κάθε , άρα . Συνεπώς από τη πρόταση 2 συμπε-ραίνουμε ότι ισχύει το ζητούμενο.

κ δ< 1δα >

Πρόταση 6 Αν 1α > , τότε για κάθε διατακτικό αριθμό γ ισχύει

γα γ≥ . Απόδειξη Εύκολη, με υπερπεπερασμένη επαγωγή στον γ . Πρόταση 7 Αν α διατακτικός και 1> ,β γ διατακτικοί τότε

β γβ γ α α> ⇔ >

171 Απόδειξη ( Αφού )⇒ β γ> , τότε β γ δ= + με 0δ >

1β γ γ δ γ γ δ γ δα α α α α α α α+> ⇔ > ⇔ ⋅ > ⋅ ⇔ >1 , το οποίο ισχύει. ( )⇐ Αν β γ= , τότε β γα α= , άτοπο. Αν β γ< , τότε β γα α< , επίσης άτοπο. Παρατηρήσεις 1. Επειδή ο πολλαπλασιασμός των διατακτικών αριθμών δεν είναι αντιμεταθετικός δεν έχουμε ανάλογη ιδιότητα με εκείνη ( )γ γ γα β α β⋅ = ⋅ που ισχύει στην αριθμητική, η οποία όπως είδαμε επε-κτείνεται και στις ισχύες. Για παράδειγμα:

2 2 2 22 ( 2) (2 ) 2 2ω ω ω ω ω⋅ ≠ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 2. Αν ,α β διατακτικοί αριθμοί δεν ισχύει γενικά 1>

ββα α= . Παράδειγμα:

2 lim 2 lim(2, 4,8,...)ω ν

ν ωω

<= = = , συνεπώς 02ω ω= =ℵ ενώ

02 2 cω ℵ= = 3. Ο Cantor ονόμασε τους διατακτικούς αριθμούς, οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση , έψιλον αριθμούς (ω∈ =∈ ∈−mumbers) Ένας έψιλον αριθμός είναι ο

, γιατί 0 lim(1, , , , ,...)ωω ωω ω ωω ω ω ω∈ =

00lim( , , ,...)

ωω ωω ω ω ω∈ = =∈

4. Σχετικά με τις ισχύες των δυνάμεων του διατακτικού ω έχουμε τα εξής : Ι. 2

0 0ω ω ω ω ω= ⋅ = ⋅ =ℵ ⋅ℵ =ℵ0 ΙΙ. Για τον οποιοδήποτε ακέραιο 2ν ≥

0 0ν νω ω ω ω ω ω ω= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =ℵ =ℵ

Στα επόμενα θα αποδείξουμε ότι 0ωω =ℵ

172

Προβλήματα 1. Αν 0α και 1α είναι δύο μη μηδενικοί διατακτικοί αριθμοί, τότε υπάρχουν

διατακτικοί 2 3 1 2, ,..., , , ,...,n nα α α β β β , τέτοιοι ώστε

1 2n n 1α α α−< < < <α

n

και

0 1 1 2 1 2 2 3 1, ,..., n nα α β α α α β α α α β−= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ (Ο Ευκλείδειος αλγό-

ριθμος στους διατακτικούς)

2. Αν γ διατακτικός αριθμός και 11> ξα γ≤ < , όπου ξ ένας διατακτικός

αριθμός , τότε υπάρχουν 1≥ α. Ένας μονοσήμαντα ορισμένος φυσικός n

β. Μία μονοσήμαντα ορισμένη ακολουθία διατακτικών 1 2, ,..., nξ ξ ξ με

1 2 nξ ξ ξ ξ> > > > και

γ. Μία μονοσήμαντα ορισμένη ακολουθία διατακτικών 1 2, ,..., nβ β β με

0 iβ γ≤ < για κάθε ώστε 1,2,...,i n=

1 21 2

nn

ξξ ξα γ β γ β γ β= ⋅ + ⋅ + + ⋅ .

(Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση, που γ ω= , οπότε έχουμε την λεγόμενη κανονική αναπαράσταση του α ) 3. Να βρεθούν οι διατακτικοί αριθμοί ,ξ ζ σε κάθε μία από τις περιπτώσεις

1) ω ξ ω+ = 2) ξ ω ω+ = 3) ξ ω ω⋅ = 4) ω ξ ω⋅ = 5) ξ ζ ω+ =

6) ξ ζ ω⋅ = 4. Αν 0 1, , ,..., nn α α α είναι φυσικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι

11 0

n nnω ω α ω α α+ > ⋅ + + ⋅ + .

5. Αν α διατακτικός αριθμός, να αποδειχθούν οι παρακάτω ισοδυναμίες α) 1 1α α α ω+ = + ⇔ < β) ,n nα ω ω α α ω+ = + ⇔ = ⋅ ∈

γ) ,n nα ω ω α α ω⋅ = ⋅ ⇔ = ∈

6. Αν φυσικός αριθμός, να αποδειχθεί ότι κ ( ) 2ω κ ω ω+ ⋅ =

173 7. Αν n φυσικός αριθμός και α οριακός διατακτικός, να αποδειχθεί ότι

( ),

,n έ

nό

α β β μεμονωμ νοςα β

α β β οριακ ς⋅ +⎧

+ ⋅ = ⎨ ⋅⎩

8. Αν φυσικοί αριθμοί και ,nκ α οριακός διατακτικός, να αποδειχθεί ότι

( )n nκ κα α⋅ = ⋅

9. Αν n φυσικός αριθμός, να αποδειχθεί ότι 2 1

n

n

ξ ω

ξ ω −

<

=∑ .

10. Αν ,n κ φυσικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι

( ) 1 2n n nκ κ κ κω ω ω ω ω− −+ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +n n

11. Αν α ένας οριακός διατακτικός, να αποδείξετε ότι 1 2 3α α α+ =

12. Αν α ένας διατακτικός με 0α ≥ℵ , να αποδειχθεί ότι 2α α= .

13. Αν ,α β και γ διατακτικοί αριθμοί με 1α β γ+ = + , να αποδειχθεί ότι

οι ,β γ είναι μεμονωμένοι.

14. Αν ,β γ διατακτικοί με βγ ω< , να αποδειχθεί ότι β βγ ω ω+ = 15. Αν ,ξ ϑ και α διατακτικοί, να αποδειχθεί ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες α) ξ α< και ϑ α ξ ϑ< ⇒ ⋅ <α

β) 1 ξ α ξ α≤ < ⇒ ⋅ =α

γ) βωα ω= , για κάποιον διατακτικό β .

16. Να αποδειχθεί ότι για κάθε διατακτικό υπάρχει ένας μεγαλύτερος ε − α-ριθμός και για κάθε αριθμήσιμο διατακτικό υπάρχει αριθμήσιμος ε − αριθμός μεγαλύτερος. 17. Αν α είναι ένας ε − αριθμός, να αποδείξετε ότι α) ξ α α+ = , αν ξ α< .

174 β) ξ α α⋅ = , αν 1 ξ α≤ < .

γ) αξ α= , αν 2 ξ α≤ < .

18. Αν β ω≥ και αβ α= , να αποδειχθεί ότι ο α είναι ένας ε − αριθμός. 19. Αν β α ω> ≥ , να αποδειχθεί ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύνα-μες

α) β αα β=

β) Ο α είναι οριακός και β γ α= ⋅ , όπου γ ένας ε − αριθμός α> .

20. Γράφουμε 1

( )ξ α

α ξ≤ <

Γ = ∏ . Να υπολογιστούν τα

2( ), ( 1), ( 2), ( )ω ω ωΓ Γ + Γ ⋅ Γ ω

4.5 Ακολουθίες διατακτικών Ορισμός 1 Αν α και λ είναι διατακτικοί αριθμοί με α λ≤ , τότε κάθε απεικόνιση : ( ) ( )W Wφ α → λ , για την οποία ισχύει

( ) ( )β γ α φ β φ γ< < ⇒ < ονομάζεται α-ακολουθία. Παραδείγματα ω - ακολουθιών. 1. 2

1 : ( ) ( )W Wφ ω ω→ 1( )n nφ ω= ⋅ , ( )n W ω∈ είναι μία ω -ακολουθία 2. 2 : ( ) ( 2)W Wφ ω ω→ ⋅ 2 ( )n nφ ω= + , ( )n W ω∈ είναι μία ω -ακολουθία Οι παρακάτω πρόταση έχει σχετικά εύκολη απόδειξη, οι οποία αφήνεται ως άσκηση στους αναγνώστες. Πρόταση 1 Αν φ είναι μια λ − ακολουθία, όπου λ ένας οριακός δια-τακτικός, τότε ο αριθμός ( )lim

γ λξ φ γ

<

= είναι επίσης οριακός.

Ορισμός 2 Αν ,α λ είναι δύο οριακοί διατακτικοί αριθμοί με α λ< , τό-τε ο αριθμός λ ονομάζεται ομοτελικός (cofinal) του α αν και μόνον αν υπάρχει μία α −ακολουθία φ , τέτοια ώστε ( )lim

ξ αλ φ ξ

<

= .

175 Παραδείγματα 1. Ο 2ω είναι ομοτελικός του ω . Γιατί η ( ) ,n n nφ ω ω= ⋅ < είναι μια ω − ακολουθία με 2( )lim

nn

ωφ ω

<

=

2. Ο κω , ακέραιος είναι ομοτελικός του κ 2> ω . Γιατί η 1( ) ,n n nκφ ω −= ⋅ <ω είναι μια ω − ακολουθία με

( )limn

n κ

ωφ ω

<

=

3. Ο ωω είναι ομοτελικός του ω . Γιατί η ( ) ,nn nφ ω ω= < είναι μια ω − ακολουθία με ( )lim

nn ω

ωφ ω

<

=

Πρόταση 2 Αν ,α λ οριακοί διατακτικοί με λ α> , τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες 1. Ο λ είναι ομοτελικός του α 2. Υπάρχει ( )W λΑ ⊂ με αΑ = και το Α είναι ομοτελικό του

( )W λ . Για την απόδειξη της πρότασης χρειάζεται το παρακάτω Λήμμα Αν ένα σύνολο διατακτικών αριθμών με Α αΑ = και

: ( )Wφ α → Α μία απεικόνιση ομοιότητας, τότε για κάθε ξ α< ισχύει ( )φ ξ ξ≥ . Απόδειξη Βλέπε παράγραφο 4.1, πρόταση 4 (Θεώρημα Zermelo) Απόδειξη ( ) Έστω ⇐ : ( )Wφ α → Α μία απεικόνιση ομοιότητας. Αφού το είναι ομοτελικό του Α ( )W λ για κάθε n λ< υπάρχει ξ ώστε n ξ λ< < , άρα ( )ξ φ ξ λ≤ < , άρα ( )lim

ξ αφ ξ λ

<

= .

(⇒ ) Αν ( )limξ α

φ ξ<

= λ , τότε το σύνολο ( ),φ ξ ξ αΑ = < είναι ομοτελι-

κό του ( )W λ , γιατί αν δεν ήταν θα υπήρχε 1λ διατακτικός με 1λ λ< ώστε

1( )φ ξ λ≤ για κάθε ξ α< .

176

Άρα 1( )limξ α

φ ξ λ<

≤ < λ , άτοπο.

Πρόταση 3 Αν γ ομοτελικός του β και β ομοτελικός του α , τότε γ ομοτελικός του α Απόδειξη Άμεση συνέπεια της προηγούμενης. Πρόβλημα Δίνουμε τον παρακάτω ορισμό : Μία α −ακολουθία φ λέγεται συνεχής, όταν

και μόνον όταν για κάθε οριακό διατακτικό λ α< ισχύει ( ) ( )limξ λ

φ ξ φ λ<

= .

Αν φ είναι μία συνεχής α −ακολουθία γ α< , 1γ γ= , 1 ( )n nγ φ γ+ = και

, τότε lim nn

γω

κ γ<

= ( )γ γκ φ κ= .

177 4.6 Το Λήμμα του Zorn Στα Μαθηματικά υπάρχουν κάποιες προτάσεις που αν και η απόδειξη τους είναι δύσκολη, ωστόσο με τη διαίσθηση αντιλαμβανόμαστε την αλήθεια τους, δηλαδή το γεγονός ότι δεν μπορεί τα πράγματα να έχουν παρά μόνον έτσι όπως αυτές ορίζουν. Μία τέτοια πρόταση στη θεωρία των πραγματικών συναρτήσεων μίας πραγματικής μεταβλητής είναι το Θεώρημα Bolzano-Weirstrass, το οποίο εφαρμοζόταν πολύ πριν την αυστηρή αναλυτική του απόδειξη. Στη Συνολοθεωρία παράδειγμα μιας τέτοιας πρότασης από αυ-τές που προηγήθηκαν είναι το Θεώρημα Cantor-Bernstein. Το λήμμα του Zorn4 αντιθέτως είναι μία πρόταση που ούτε η απόδειξη της είναι εύκολη αλλά ούτε συμβαίνει το λιγότερο, να είναι δηλαδή διαισθητικά προφανής. Είναι μία πολύπλοκη πρόταση, η οποία εντούτοις είναι ένα σημαντικό ερ-γαλείο, τόσο για τη συνολοθεωρία, όσο και για πολλούς άλλους κλάδους των Μαθηματικών. Την πρόταση παρουσίασε το 1935 ο Αμερικανός Max Zorn, αλλά προηγουμένως ο Kuratowski (1922)5 είχε αποδείξει μία ασθε-νέστερη πρόταση, η οποία αφορούσε σύνολα διατεταγμένα με τη σχέση του περιέχεσθαι και στα οποία οι αλυσίδες τους είναι κλειστές ως προς την πρά-ξη της ένωσης. Για τον λόγο αυτό σε πολλά βιβλία παρουσιάζεται ως Λήμ-μα Zorn-Kuratowski. Πρόταση 1 (Λήμμα Zorn) Αν και Ρ ≠ ∅ ρ μια σχέση μερικής διάταξης στο Ρ , με ρ ≠ ∅ , έτσι ώστε κάθε ολικώς διατεταγμένο υποσύνολό του Ρ να είναι άνω φραγμέ-νο, τότε το Ρ έχει ένα τουλάχιστον μεγιστικό στοιχείο. Απόδειξη Στο σύνολο Ρ κάθε απεικόνιση :f Ρ → Ρ για την οποία ισχύει

( )x f xρ ή ( )x f x= για κάθε x∈Ρ και f iΡ≠ , θα ονομάζουμε επεκτα-τική απεικόνιση . 4 Max Zorn (1906-1993) Αμερικανός μαθηματικός που γεννήθηκε στη Γερμανία. Ασχολήθηκε με την Άλγεβρα, τη Θεωρία Ομάδων και την Αριθμητική Ανάλυση. Έγινε διάσημος από το φερώνυμο λήμμα. Υπήρξε καθηγητής του Πανεπιστημίου της Ινδιάνα από το 1941 μέχρι το θάνατό του.

5 Casimir kuratovski, Une méthode d’élimimation des nombres tsanfinis des raisonnements mathé-matiques, Fumdamenta Mathematica 3(1922), σελ. 76-108.

178

Ισχυρισμός 1 Το ( , )ρΡ έχει ένα τουλάχιστον καλώς διατεταγμένο υποσύνο-λο. Αληθεύει γιατί: Αφού ρ ≠ ∅ 6, θα υπάρχουν ,x y∈Ρ με x yρ . Άρα το ,x y είναι καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του Ρ . Ισχυρισμός 2 Στο μερικώς διατεταγμένο σύνολο ( , )ρΡ , υπάρχει μια τουλά-χιστον επεκτατική απεικόνιση . Αληθεύει γιατί: Αν είναι ένα καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του , ορί-ζουμε την απεικόνιση

Α Ρ:f Ρ → Ρ ως εξής ( )f x x= , αν x∈Ρ−Α ή αν x

είναι το τελευταίο στοιχείο του Α ( σε περίπτωση ασφαλώς που υπάρχει τέτοιο ) και ( )f x να είναι το αμέσως επόμενο του x σε κάθε άλλη περί-πτωση. Έστω μια επεκτατική απεικόνιση και :f Ρ → Ρ Α ένα καλώς διατεταγμέ-νο υποσύνολο του τέτοιο ώστε για κάθε Ρ x∈Α το ( )f x να είναι το α-μέσως επόμενο στοιχείο του x , αν το x έχει αμέσως επόμενο, τότε το λέμε ότι είναι συμβιβαστό με την

Αf . Είναι προφανές πως για κάθε επεκτα-

τική απεικόνιση υπάρχει ένα τουλάχιστον μη κενό υποσύνολο του

:f Ρ → ΡΑ Ρ συμβιβαστό με την f . Αν είναι το πρώτο στοιχείο του , τότε ένα στοιχείο του

p Αr Ρ που έπεται του θα λέμε ότι ορίζει ένα

σύνολο p C

Β , το οποίο θα συμβολίζουμε rCΒ = αν (α) Το Β είναι καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του Ρ με πρώτο στοιχείο το και τελευταίο στοιχείο το . p r(β) Το αμέσως επόμενο ενός οποιουδήποτε στοιχείου x του rΒ− είναι το ( )f x . Ορίζουμε ως το σύνολο που έχει ως στοιχεία του το ( )W p p και κάθε

το οποίο ορίζει ένα C σύνολο. r∈ΡΠροφανώς αληθεύει ο (Η απόδειξη του αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώ-στη) Ισχυρισμός 3 Υπάρχει ένα τουλάχιστον σύνολο ( )W pΙσχυρισμός 4 Αν ry C∈ και y p≠ , τότε το σύνολο

/ rx x C x y yρΒ = ∈ ∧ ∪ είναι ένα σύνολο. C

6 Το λήμμα είναι προφανές όταν ρ =∅

179 Η απόδειξή της είναι εύκολη και αφήνεται στον αναγνώστη. Ισχυρισμός 5 ( )rC W p⊆Αληθεύει γιατί: rx C∈ σημαίνει ότι ή x p= ή (λόγω του Ισχυρισμού 4) το x ορίζει C σύνολο, άρα σε κάθε περίπτωση ( )x W p∈ Ισχυρισμός 6 Αν ( )x W p∈ , τότε ( ) ( )f x W p∈ Αληθεύει γιατί: Αν x p= , τότε το ( )f p είναι το αμέσως επόμενο του p , άρα το , ( )p f p είναι ένα σύνολο, άρα C ( ) ( )f p W p∈ .Αν το x έπε-ται του , τότε το p x ορίζει σύνολο. Αν C ( )f x x= , τότε προφανώς

( ) ( )f x W p∈ . Αν το ( )f x είναι το αμέσως επόμενο του x , τότε εύκολα αποδεικνύεται πως το ( , ) ( )C p x f xΒ = ∪ ικανοποιεί τις συνθήκες ενός

συνόλου, άρα C ( ) ( )f x W p∈ . Ισχυρισμός 7 Αν με r, (r s W p∈ ) s≠ , τότε r sρ ή rs C∈ . Αληθεύει γιατί: Έστω πως δεν ισχύει η σχέση r sρ . Τότε θεωρούμε το

( , ) ( , )S C p r C p s= ∩ . Έχουμε S ≠∅ , γιατί p S∈ . Επίσης ( , )S C p r∅ ≠ ⊆ , άρα το έχει τελευταίο στοιχείο, έστω το S x . Η σχέση

δεν μπορεί να αληθεύει γιατί επειδή r x= ( , )x C p s∈ θα έχουμε ή x sρ ή x s= . Αν υποθέσουμε πως r x= , τότε r sρ ή r s= , τα οποία είναι αδύνατα. Άρα . Έστω πως ισχύει και r x≠ s x≠ . Τότε θα ισχύει συγχρό-νως rx C r∈ − και sx C s∈ − , άρα ( ) rf x C∈ και ( ) sf x C∈ , άρα

( )f x S∈ , και ( )x f xρ , άτοπο γιατί το x είναι το τελευταίο στοιχείο του . Συνεπώς , άρα επειδή S s x= x S∈ , θα έχουμε rs C∈

Ισχυρισμός 8 Αν , τότε ( )r W p∈

/ ( ) rC x x W p x r rρ= ∈ ∧ ∪

Αληθεύει γιατί: Έστω / ( )x x W p x r rρΑ = ∈ ∧ ∪ . Προφανώς ( , )x C p r x∈ ⇒ ∈Α . Έστω x∈Α , τότε αν x r= θα ισχύει ( , )x C p r∈ .

Αν x r≠ και επειδή ισχύει x rρ , από τον ισχυρισμό 7 θα έχουμε πως ( , )x C p r∈ .

Ισχυρισμός 9 Το είναι καλώς διατεταγμένο. ( )W pΑληθεύει γιατί: Έστω Η ένα μη κενό υποσύνολο του και . Το σύνολο

( )W p r∈Η

rCΑ = ∩Η είναι μη κενό υποσύνολο του , αφού έχει ως στοι-χείο το r , άρα θα έχει πρώτο στοιχείο, έστω το

rCα . Θα δείξουμε ότι το α

180

προηγείται και των στοιχείων του συνόλου Η − Α . Αν η ∈Η − Α , τότε προφανώς rCη∉ , τότε (ισχυρισμός 7) r ρ η , άρα α ρη , συνεπώς το Η έχει πρώτο στοιχείο, άρα το είναι καλώς διατεταγμένο. ( )W pΙσχυρισμός 10 Αν υποθέσουμε πως το έχει , και , τότε το είναι το τελευταίο στοιχείο του

( )W p sup sup ( )W p m=m ( )W p

Αληθεύει γιατί: Το συμπέρασμα είναι προφανές αν το έχει τελευταίο στοιχείο. Αρκεί, λοιπόν, να δείξουμε ότι το έχει τελευταίο στοιχείο. Έστω πως το δεν έχει τελευταίο στοιχείο. Τότε θεωρούμε το σύνο-λο

( )W p( )W p

( )W p ( )V W p m= ∪ και θα δείξουμε ότι το ικανοποιεί τις συνθήκες

ενός C συνόλου. V

(α) Το είναι προφανώς καλώς διατεταγμένο με πρώτο στοιχείο το V p και τελευταίο το . m(β) Έστω z V∈ με , άρα z m≠ ( )z W p∈ , τότε επειδή το δεν έχει ( )W pτελευταίο στοιχείο το θα έχει αμέσως επόμενο, έστω z ( )r W p∈ , συνε-πώς και ( , )z C p r∈ z r≠ , άρα ( )f z r= . Άρα ( , )V C p m= , άρα

, άτοπο. ( )m W p∈Ισχυρισμός 11 Αν sup ( )W p m= , τότε ( ) mW p C= Αληθεύει γιατί: Από τον ισχυρισμό 5 έχουμε (1) Αφετέρου αν

( )mC W p⊆( )x W p∈ , τότε x m= ή x pρ , άρα (ισχυρισμός 8) mx C∈ , άρα

(2). Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε πως . ( ) mW p C⊆ ( ) mW p C=Ισχυρισμός 12 Αν ( , )ρΡ ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο, στο οποίο κάθε καλώς διατεταγμένο υποσύνολο έχει supremum, τότε για κάθε επεκτατική απεικόνιση υπάρχει :f Ρ → Ρ m∈Ρ , ώστε ( )f m m= . Αληθεύει γιατί: Για την απεικόνιση f , ορίζουμε το σύνολο , όπως στα προηγούμενα και έστω το τελευταίο στοιχείο του . Τότε θα έχουμε

( )W pm ( )W p

( ) ( )f m W p∈ και επειδή αποκλείεται το ενδεχόμενο να ισχύει ( )m f mρ , θα έχουμε ( )m f m= .

Λήμμα 1 Αν ( , )ρΡ ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο με και Ρ ≠∅ρ ≠ ∅ , στο οποίο κάθε καλώς διατεταγμένο υποσύνολό του έχει sup , τότε το Ρ έχει ένα τουλάχιστον μεγιστικό στοιχείο. Αληθεύει γιατί : Έστω πως το Ρ δεν έχει μεγιστικό στοιχείο, άρα για κάθε α ∈Ρ υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Ρ, το οποίο έπεται του α .

181 Με ( )S α , συμβολίζουμε το σύνολο των στοιχείων του Ρ, τα οποία έπονται του α . Θεωρούμε το σύνολο ( ),U S α α= ∈Ρ και μία συνάρτηση επι-

λογής : (r U Sα

)α∈Ρ

→∪ με ( ( )) ( )r S s Sαα α= ∈ και την απεικόνιση

με :f Ρ → Ρ ( )f sαα = , η οποία είναι προφανώς μια επεκτατική απεικό-νιση, συνεπώς (ισχυρισμός 12) θα υπάρχει m∈Ρ , ώστε ( ) mf m m s= = , άτοπο. Άρα το έχει ένα τουλάχιστον μεγιστικό στοιχείο. ΡΈστω ( , )ρΡ ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο. Υποθέτουμε πως το περιέ-χει δύο τουλάχιστον καλώς διατεταγμένα υποσύνολα Α και Β συγκρίσιμα, δηλαδή ή το είναι αρχικό τμήμα του Α Β ή το Β είναι αρχικό τμήμα του . Τότε στο σύνολο των καλώς διατεταγμένων υποσυνόλων του ορίζουμε την μη κενή διμελή σχέση ως εξής : Αν

Α Q Ρ, QΑ Β∈ θα έχουμε

αν και μόνον αν το Α Β Α είναι αρχικό τμήμα του Β . Εύκολα αποδεικνύεται ότι Ισχυρισμός 1α Το σύνολο είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο. ( , )QΙσχυρισμός 2α Αν είναι μια αλυσίδα στο ( , , τότε το είναι

ένα καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του

S )Qu S

W∈

=∪u

( , )ρΡ Αληθεύει γιατί έστω ένα μη κενό υποσύνολο του , άρα υπάρχει

με . Αν Α W

u S∈ uΑ∩ ≠∅ α το πρώτο στοιχείο του uΑ∩ θα δείξουμε ότι είναι το πρώτο στοιχείο του Α . Έστω πως υπάρχει β ∈Α , ώστε το β να προηγείται του α . Θα υπάρχει v S∈ ώστε Vβ ∈ . Θα έχουμε ή .

u vv u

Αν τότε v u uβ ∈ , άρα uβ ∈Α∩ , άτοπο γιατί το α είναι το πρώτο στοιχείο του . uΑ∩Αν , τότε αν u v uβ ∉ το β θα έπεται όλων των στοιχείων του , άρα και του

uα , άτοπο. Αν uβ ∈ τότε uβ ∈Α∩ , το οποίο είναι επίσης άτο-

πο για το λόγο πιο πάνω, άρα το α είναι το πρώτο στοιχείο του . Συνε-πώς το W είναι καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του

ΑΡ

Ισχυρισμός 3α Για τα W και του ισχυρισμού 2α ισχύει S supW S= . Αληθεύει γιατί προφανώς για κάθε u w u S∈ . Αν είναι ένα καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του Ρ με για κάθε u

1w

1u w S∈ . Τότε επειδή

182

1u w , για κάθε θα έχουμε , για κάθε , άρα , δηλαδή , άρα ή

u S∈ 1u w⊆ u S∈

1u S

u w∈

⊆∪ 1W w⊆ 1W w= ή . 1W w⊂

Στη δεύτερη περίπτωση θα υπάρχει 1wα ∈ με Wα ∉ , άρα uα ∉ , για κάθε u S∈ και επειδή για κάθε 1u w u S∈ θα έχουμε ( )u σ α , άρα (εύκολα αποδεικνύεται) ότι

u S

u W∈

=∪ είναι ένα αρχικό τμήμα του , δη-

λαδή

1w

1W w= ή , άρα σε κάθε περίπτωση 1W w supW S= Ισχυρισμός 4α (Αρχή του ψευδομεγίστου του Hausdorff : Αρχή Ψευδομεγίστου του Hausdorff7 : Το σύνολο των αλυσίδων ενός μερικώς διατεταγμένου συνόλου έχει μεγιστικό στοιχείο (ως προς τη σχέση ) ⊆ Το ( , έχει ένα τουλάχιστον μεγιστικό στοιχείο. )QΑληθεύει γιατί αφού, σύμφωνα με τους ισχυρισμούς 2α και 3α κάθε αλυσίδα του έχει , κατά μείζονα λόγο και κάθε καλώς διατεταγμένο υ-ποσύνολο του θα έχει , οπότε σύμφωνα με το λήμμα 1 θα έχει ένα τουλάχιστον μεγιστικό στοιχείο.

( , )Q sup( , )Q sup

Λήμμα 2 Αν το ( , )ρΡ είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο, στο οποίο υπάρχουν δύο τουλάχιστον καλώς διατεταγμένα υποσύνολα συ-γκρίσιμα και επιπλέον κάθε καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του Ρ έχει άνω φράγμα τότε το Ρ έχει ένα τουλάχιστον μεγιστικό στοιχείο. Αληθεύει γιατί έστω το μεγιστικό στοιχείο του ισχυρισμού 17 και ένα άνω φράγμα του . Αν

w aw a w∉ , τότε το σύνολο v w a= ∪ θα ανήκει στο

και θα ισχύει , άτοπο. Άρα ( , )Q w v a w∈ , συνεπώς . Το θα είναι μεγιστικό στοιχείο του

supa w=a Ρ , γιατί αν υπήρχε b∈Ρ , το οποίο έπε-ται του , τότε (γιατί αν a b w∈ b w∉ , τότε το 1v w b= ∪ θα ήταν ένα στοιχείο του Q με , το οποίο είναι άτοπο, ως αντικείμενο στην υπό-θεση) το οποίο είναι άτοπο, γιατί

1w vsupa W= .

Απόδειξη του Λήμματος Zorn Θα εξετάσουμε δύο δυνατά ενδεχόμενα : 1ο Το έχει δύο τουλάχιστον καλώς διατεταγμένα υποσύνολα συγκρίσιμα. Τότε αφού κάθε ολικώς διατεταγμένο υποσύνολο του

ΡΡ έχει άνω φράγμα,

τότε και κάθε καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του Ρ θα έχει άνω φράγμα, συνεπώς σύμφωνα με τον λήμμα 2 θα έχει μεγιστικό στοιχείο. 7 Αποδείχθηκε από τον F. Hausdorff το 1914

183 2ο Στο Ρ δεν υπάρχουν συγκρίσιμα καλώς διατεταγμένα υποσύνολα. Τότε επειδή υπάρχουν στο δύο τουλάχιστον στοιχεία Ρ ,x y του Ρ , τέτοια ώστε το ,x y να είναι καλώς διατεταγμένο με πρώτο στοιχείο, ας πούμε το x .

Αν υπάρχει , το οποίο να έπεται του , τότε το z∈Ρ y , ,x y z είναι καλώς

διατεταγμένο με , , ,x y x y z , το οποίο αντίκειται στην υπόθεση που κάναμε. Ορισμός 1 Μία οικογένεια συνόλων ονομάζεται πεπερασμένου χαρα-κτήρα (finite character), όταν και μόνον όταν αληθεύει η παρακάτω ισο-δυναμία

F

A F∈ αν και μόνον αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του A ανήκει στην F

Παραδείγματα 1. ( )F P=2. Αν A είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο, τότε το σύνολο των αλυ-σίδων του A είναι μία οικογένεια πεπερασμένου χαρακτήρα. Πρόταση 2 Αν είναι μια οικογένεια πεπερασμένου χαρακτήρα και FB μια αλυσίδα στη (με τη σχέση του περιέχεσθαι ), τότε

.

F ⊆

B

Fβ

β∈

∈∪Απόδειξη Έστω 1 2, ,..., n

B

x x xβ

β∈

⊆ ∪ , άρα υπάρχουν 1 2, ,..., nB B B ∈B

n

,

τέτοια ώστε 1 1 2 2, ,..., nx B x B x B∈ ∈ ∈ . Επειδή το B είναι αλυσίδα θα υπάρχει iB με 1,2,...,i n∈ , ώστε k iB B⊆ για κάθε 1,2,...,n , άρα

1 2, ,..., n ix x x ⊆ B , άρα 1 2, ,..., nx x x F∈ , συνεπώς B

Fβ

β∈

∈∪ .

Πρόταση 3 (Λήμμα Tukey) Κάθε οικογένεια πεπερασμένου χαρακτή-ρα έχει μεγιστικό στοιχείο ως προς τη σχέση ⊂ . Απόδειξη Έστω μία οικογένεια πεπερασμένου χαρακτήρα. Τότε αν F B είναι μία αλυσίδα στην το F

Bβ

β∈∪ είναι ένα στοιχείο της F

184

(πρόταση 2) και ένα άνω φράγμα για τη B , δηλαδή κάθε αλυσίδα στην έχει άνω φράγμα, άρα (Λήμμα Zorn) η έχει μεγιστικό στοιχείο.

FF 8

Πρόταση 4 Η αρχή ψευδομεγίστου του Hausdorff είναι συνέπεια του λήμματος Tukey. Απόδειξη Άμεση συνέπεια του λήμματος Tukey, αφού το σύνολο των αλυ-σίδων ενός μερικώς διατεταγμένου συνόλου είναι οικογένεια πεπερασμένου χαρακτήρα. Πρόταση 5 Το Λήμμα του Zorn συνεπάγεται το αξίωμα της επιλογής. Απόδειξη Αντί του αξιώματος επιλογής θα αποδείξουμε την Γενική Αρχή Επιλογής. Η προαναφερθείσα αρχή εύκολα αποδεικνύεται, ανεξάρτητα από το Λήμμα, για μη κενά και πεπερασμένα σύνολα. Έστω X ένα απειροσύ-νολο και το σύνολο των απεικονίσεων, οι οποίες ορίζονται σε ένα υπο-σύνολο του

F *( ) ( )X XΡ = Ρ − ∅ και οι εικόνες τους ανήκουν στο X , με

( )f A A∈ , αν f F∈ και ( )A D f∈ . Στο ορίζουμε μια διμελή σχέση ως εξής : F

( ) ( )f g D f D g⇔ ⊂ και ( ) ( )f A g A= για κάθε ( )A D f∈ . Η σχέ-ση αυτή είναι μερική διάταξη στο και το σύνολο είναι μερικώς διατεταγμένο με και η σχέση είναι μη κενή (η απόδειξη αφήνε-ται στον αναγνώστη)

F ( , )FF ≠ ∅

Κάθε αλυσίδα G του ( , έχει άνω φράγμα. Πράγματι αν )F ,iG g i I= ∈ μια αλυσίδα στο , τότε ορίζουμε F g F∈ με

( ) ( )ii I

D g D g∈

=∪ και ( ) ( )ig A g A= , αν ( )iA D g∈ . Προφανώς

ig g για κάθε . ig G∈Άρα το έχει μεγιστικό στοιχείο, έστω F f . Αν δεν αληθεύει το αξίωμα της επιλογής τότε για κάθε Fφ ∈ θα υπάρχει με *( )A X∈Ρ

( )A D φ∉ . Άρα έστω *1 ( )A X∈Ρ , τέτοιο ώστε 1 ( )A D f∉ . Ορίζουμε τη

συνάρτηση 1f F∈ , ώστε 1( ) ( )f B f B= για κάθε ( )B D f∈ και

8 John Wilder Tukey (1915-2000) Αμερικανός Μαθηματικός, ο οποίος εργάστηκε κυρίως στη Στατιστική

185

1

1 1( )f A a A= ∈ . Θα έχουμε 1f f , άτοπο.

Συνοψίζοντας έχουμε την παρακάτω ακολουθία συνεπαγωγών Αξίωμα επιλογής ⇒Λήμμα Zorn ⇒ Αξίωμα επιλογής και Λήμμα Zorn ⇒ Λήμμα Tukey Αρχή Ψευδομεγίστου του Haus-dorff

⇒

Πρόταση 6 (Θεώρημα Cantor- Zermelo9 για την καλή διάταξη των συνόλων) Κάθε σύνολο μπορεί να διαταχθεί καλώς Απόδειξη Έστω το σύνολο που θέλουμε να διατάξουμε καλώς (προφα-νώς λόγος γίνεται αν το

ΑΑ είναι απειροσύνολο, γιατί κάθε πεπερασμένο

διατάσσεται καλώς) και β ένας υπερπεπερασμένος διατακτικός. Θεωρώ την παρακάτω απεικόνιση, η οποία έχει πεδίο ορισμού ένα υποσύ-νολο του ( )W β , έχει τις εικόνες της στο Α και ορίζεται επαγωγικά ως εξής , (0) ( )f rβ = Α (1) ( (0))f r fβ β= Α − και αν ορίζεται το ( )fβ ρ για κάθε ρ ξ< , τότε ( ) ( ( ( )))f r f Wβ βξ ξ= Α − , όπου μία συνάρτηση επι-λογής στο

rΑ

Η απεικόνιση fβ είναι 1-1 γιατί αν ξ ξ′ ≠ , υποθέτουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι ξ ξ′ < , άρα ( ) ( ( ))f f Wβ βξ ξ′ ∈ . Όμως

( ) ( ( ))f f Wβ βξ ξ∈Α− , άρα ( ) ( )f fβ βξ ξ′ ≠ . Υπάρχουν τα εξής δύο ενδεχόμενα 9 Ονομάζουμε το Θεώρημα ως Θεώρημα Cantor-Zermelo, γιατί ο μεν Cantor πρώτος το εισήγαγε αλλά μόνον ως εικασία, γιατί ποτέ δεν κατόρθωσε να το αποδείξει, ο δε Zermelo έδωσε το 1904 (Βλέπε Zermelo [1904]) την πρώτη απόδειξη η οποία απαιτεί, όπως άλλωστε και όλες που ακολούθησαν, το αξίωμα της επιλογής. Η πρώτη απόδειξη του Zermelo, η οποία έγινε και με τη σημαντική συμβολή του Γερμανού μαθηματικού E. Schmidt, έχει ενδιαφέρον όχι μόνον ιστορικό. Ακολούθησε μια δεύτερη απόδειξη το 1908 από τον ίδιο τον Zermelo (Βλέπε [1908] Zermelo)

186

1ο Ενδεχόμενο : Υπάρχει ( )Wξ β∈ , ώστε ( ( ))f Wβ ξ = Α , τότε το διατάχθηκε καλώς, γιατί η σχέση στο

Α≺ Α , η οποία ορίζεται με τον ακό-

λουθο τρόπο : 1 2( ) ( )f fβ β 1 2ξ γ δ ξ ξ ξ= = ⇔ <≺ , είναι μία σχέση ολικής διάταξης στο

, η οποία το καθιστά όμοιο με το καλώς διατεταγμένο σύνολο Α ( )W β (η fβ είναι μία απεικόνιση ομοιότητας).

2ο Ενδεχόμενο : Για κάθε ( )Wξ β∈ , έχουμε ( ( ))f Wβ ξ ⊂ Α , τότε ( ( ))f Wβ β β= Γ ⊆ Α .

Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν πάλι δύο ενδεχόμενα : 2α Ενδεχόμενο : Υπάρχει υπερπεπερασμένος διατακτικός β , ώστε το σύ-νολο βΓ , όπως ορίστηκε παραπάνω να είναι ίσο με το Α και 2β Ενδεχόμενο : Για κάθε υπερπεπερασμένο διατακτικό β , το σύνολο βΓ είναι γνήσιο υποσύνολο του Α . Στην περίπτωση 2α, το ζητούμενο απεδείχθη, γιατί τότε το σύνολο είναι καλώς διατεταγμένο ως όμοιο με το

Α( )W β .

Θα δείξουμε ότι το δεύτερο ενδεχόμενο δεν μπορεί να ισχύει. Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι ισχύει, τότε θεωρούμε τα στοιχεία του συνόλου

( )′Ρ = Ρ Α − Α , τα οποία προκύπτουν από διατακτικούς αριθμούς με τη διαδικασία από την οποία προέκυψε παραπάνω το βΓ από τον διατακτικό β . Στα επόμενα όταν γράφουμε δΓ , θα εννοούμε το υποσύνολο του , Ατο οποίο προκύπτει, όπως παραπάνω από τον διατακτικό δ . Μεταξύ των παραπάνω συνόλων βΓ και μόνον αυτών ορίζουμε τη σχέση , ως εξής :

γ β γ βΓ Γ ⇔ < . Το ( , )′Ρ είναι προφανώς μερικώς διατεταγμένο, μη κενό και η σχέση είναι μη κενή, στο οποίο κάθε αλυσίδα έχει άνω φράγ-μα (Πράγματι έστω , μία αλυσίδα του ,

ii IαΜ = Γ ∈ ′Ρ και σ ένας δια-

τακτικός για τον οποίο ισχύει iα σ< για κάθε i I∈ τότε το σΓ είναι ένα άνω φράγμα του .), άρα, από το λήμμα Zorn το Μ ′Ρ έχει μεγιστικό στοι-χείο, έστω δΓ . Αλλά όμως 1δ δ +Γ Γ , άτοπο. Πρόταση 7 Το θεώρημα καλής διάταξης των συνόλων συνεπάγεται το αξίωμα της επιλογής.

187 Απόδειξη Έστω ένα μη κενό σύνολο Χ . Θεωρούμε μία απεικόνιση

: ( )f Ρ Χ −∅→ Χ , η οποία απεικονίζει κάθε μονοσύνολο x στο x και κάθε μη κενό σύνολο στο πρώτο στοιχείο του συνόλου, το οποίο υπάρχει, αν θεωρήσουμε ότι το Χ έχει διαταχθεί καλώς. Άρα υπάρχει συνάρτηση επιλογής στο , δηλαδή ισχύει η Γενική Αρχή Επιλογής, η ισχύς της ο-ποίας συνεπάγεται το αξίωμα επιλογής.

Χ

Πρόβλημα Έστω A ένα μη κενό σύνολο και μία μερική διάταξη στο r A , τότε η

μπορεί να επεκταθεί σε ολική διάταξη. Δηλαδή υπάρχει ολική διάταξη με

.

r*r

*r r⊆Απόδειξη Θεωρούμε το σύνολο U όλων των μερικών διατάξεων στο A , που πε-ριέχουν την . Το r A είναι μερικώς διατεταγμένο με τη σχέση του γνησίως περιέχεσθαι και ικανοποιεί και τη συνθήκη της αλυσίδας, δηλαδή κάθε αλυσίδα από στοιχεία του U , έχει άνω φράγμα στο

⊂

A . Πράγματι, αν V είναι μία αλυσίδα στο U , τότε, εύκολα αποδεικνύεται, ότι το

r V

r′∈

′∪ , το οποίο είναι άνω φράγμα της

είναι επίσης στοιχείο του U . Συνεπώς από το Λήμμα Zorn, το U θα έχει μεγιστικό στοιχείο, έστω *r α αποδείξουμε ότι το *r ναι ολική διάταξη. Έστω ότι δεν είναι, άρα θα υπάρχουν

V -ί. Θ ε

,a b A∈ , τέτοια ώστε *( , )a b r∉ και

. Θεωρούμε τη σχέση *( , )b a ∉ r

* *

*

( , ( , ) / ( , )

( , ) / , )

R r a a x x A b x r

b x x A x r

= ∪ ∪ ∈ ∧ ∈ ∪

∈ ∧ ∈

)

(

b

a.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι η R είναι σχέση μερικής διάταξης και , άτοπο. *r ⊂ R Ορισμός 2 Ένα μη κενό υποσύνολο A του ονομάζεται ρητώς ανεξάρ-τητο (Rationally independent) αν και μόνον αν για κάθε 1 2, ,..., nx x x ∈ A και για κάθε 1 2, ,..., nr r r ∈ η σχέση 1 1 2 2 0n nr x r x r x+ + + = συνεπάγε-

ται την . Για παράδειγμα το σύνολο 1 2 0nr r r= = = = 1, 2 , όπως και

το σύνολο 1, 2, 3 είναι ρητώς ανεξάρτητα.

188

Ορισμός 3 Ένα μη κενό υποσύνολο A του ονομάζεται βάση του Hamel (Hamel10 bases), αν και μόνον αν κάθε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός x γράφεται με μοναδικό τρόπο ως 1 1 2 2 n nx r x r x r x= + + + , όπου 1 2, ,..., nx x x ∈ A και 1 2, ,..., nr r r ∈ . Πρόταση 8 Υπάρχει μία τουλάχιστον βάση11 του Hamel Απόδειξη Έστω το σύνολο των ρητώς ανεξαρτήτων υποσυνόλων του . Επειδή

ℜ

1, 2 ∈ℜ θα είναι ℜ ≠∅ . Στο σύνολο ℜ ορίζουμε μερική διάταξη που εισάγεται από τη σχέση , του γνησίως περιέχεσθαι. Η σχέση της αλυσίδας ικανοποιείται, γιατί αν

⊂,iU i I∈ είναι μία αλυσίδα στο ℜ ,

τότε ii I

U U∈

= ∈ℜ∪ (Αν 1 2, ,..., nx x x U∈ , τότε θα υπάρχει i I∈ ώστε

1 2, ,..., n ix x x U∈ , άρα για κάθε 1 2, ,..., nr r r ∈ η σχέση

1 1 2 2 0n nr x r x r x+ + + = θα συνεπάγεται την 1 2 0nr r r= = = = ), το ο-ποίο είναι άνω φράγμα της αλυσίδας. Συνεπώς από το Λήμμα Zorn συμπε-ραίνουμε ότι το ℜ έχει μεγιστικό στοιχείο, έστω V . Αν , τότε θα πρέπει να υπάρχουν

*x∈1 2, ,..., nx x x V∈ και 1 2, ,..., nrr r ∈ , ώστε

1 1 2 2 n nx r x r x r x= + + + , γιατί σε αντίθετη περίπτωση V x∪ ∈ℜ , αδύ-νατο. Θα αποδείξουμε ότι η πιο πάνω γραφή του x είναι μοναδική. Έστω ότι 1 1 2 2 n nx r x r x r x′ ′ ′= + + + , τότε

10 Ο Georg Hamel γεννήθηκε το 1877 στο Düren της Γερμανίας και παρακολούθησε μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Βερολίνου με δασκάλους τους Schwarz, Fuchs, Frobenius και Planck. Το 1900 μετακόμισε στο Göttingen, όπου παρακολούθησε σεμινάρια του F. Klein και εκπόνησε τη διατριβή του υπό την εποπτεία του D. Hilbert. Έγινε καθηγητής της Μηχανικής στο Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο του Brün το 1905. Συντάχθηκε με το Γερμανικό Εθνικοσοσσιαλιστικό Κόμμα, θεωρώντας μάλλιστα ότι υπάρχει μία πνευματική σχέση μεταξύ Μαθηματικών και τρίτου Ράιχ. Το 1935 διορίσθηκε πρόεδρος της Γερμανι-κής Μαθηματικής Εταιρείας. Παρ’ ότι είναι γνωστός για τη Βάση Hamel, δημοσίευσε πολλές εργασίες πάνω στα Θεμέλια των Μαθηματικών, τη θεωρία των συναρτήσεων, τις Διαφορικές εξιώσεις και την Μηχανική. Πέθανε το 1954 στην Landhut της Γερμανίας. 11 Το πλήθος των βάσεων Hamel θα εξετάσουμε στο επόμενο κεφάλαιο.

189

n

1 1 1 2 2 20 ( ) ( ) ( )n nr r x r r x r r x′ ′ ′= − + − + + − , άρα

. Συνεπώς το ζητούμενο αποδείχθηκε. 1 1 2 2, ,..., n nr r r r r r′′= = = ′

Πρόταση 9 Αν B είναι ένα μη κενό ρητώς ανεξάρτητο υποσύνολο των πραγματικών, τότε υπάρχει μία βάση Hamel A που το περιέχει. Απόδειξη Αν κάθε μη μηδενικός πραγματικός γράφεται ως ρητός συνδυα-σμός στοιχείων του B , τότε το B είναι η ζητούμενη βάση Hamel. Σε α-ντίθετη περίπτωση θεωρούμε το σύνολο U των υποσυνόλων του , τα ο-ποία περιέχουν το B και δουλεύουμε όπως στην προηγούμενη πρόταση. Προβλήματα 1. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειρες ασυνεχείς συναρτήσεις ,

τέτοιες ώστε

:f →( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + , για κάθε ,x y∈

Απόδειξη Έστω μία βάση Hamel και ,iu i I∈ ia u= . Θεωρούμε τη συνάρτηση

:af → , ώστε αν j jj J

x r u∈

=∑ , όπου και iJ I⊂ J∉ , τότε και

αν

( ) 0f x =

j jj J

x r u∈

=∑ , όπου και J ⊂ I i J∈ , τότε ( ) if x r= . Η af προφανώς ικα-

νοποιεί τη ζητούμενη σχέση προσθετικότητας και είναι ασυνεχής γιατί είναι μη σταθερή και . Επειδή κάθε βάση Hamel έχει άπειρο πλήθος στοι-

χείων (Αν για κάποια βάση

( )af ⊆

B , είχαμε B n= ∈ , τότε *

0B n= = ℵ = 0ℵ , άτοπο), άρα το πλήθος των συναρτήσεων af είναι άπειρο. 2. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειρες ασυνεχείς συναρτήσεις ,

τέτοιες ώστε

:f →( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = , για κάθε ,x y∈ .

190

Απόδειξη Αν για κάποιο 0x ∈ , 0( ) 0f x = , τότε ( ) 0f x = , για κάθε

, άρα θα πρέπει x∈ ( ) 0f x ≠ , για κάθε x∈ . Τότε 2( ) 02xf x f ⎛ ⎞= >⎜ ⎟

⎝ ⎠,

για κάθε . Από το προηγούμενο πρόβλημα έχουμε ότι υπάρχουν άπειρες ασυνεχείς συναρτήσεις, τέτοιες ώστε

x∈( ) ( ) (g x y g x g y)+ = + , για κάθε .

Μία από τις ζητούμενες είναι η

x∈( )( ) g xf x e=

3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ,f x x x= ∈ , γράφεται ως άθροισμα δύο περιοδικών συναρτήσεων. Απόδειξη Αν είναι δύο διαφορετικοί άρρητοι, τότε θα υπάρχει βάση Hamel,

η οποία τους περιέχει. Αν ,a b

,iu i I∈ ia u= , τότε ορίζουμε τις συναρτήσεις

ως εξής , αν

,g h

( ) , ( )i i j j

j J i

g x r x h x r x∈ −

= = ∑ j jj J

x r u∈

=∑ , όπου και

και , αν

J I⊂

i J∈ ( ) 0, ( )g x h x x= = j jj J

x r u∈

=∑ , όπου και i . Τότε

προφανώς

J ⊂ I J∉

( ) ( ) ( ), ( ) ( )f x g x h x g x b g x= + + = και ( ) (h x a h x)+ = , για κάθε x∈ 4. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο των θετικών πραγματικών μπορεί να διαμερι-σθεί σε δύο σύνολα, τα οποία είναι κλειστά ως προς την πρόσθεση. Απόδειξη Έστω U μία βάση Hamel. Αν και 0x > 1 1 2 2 n nx r x r x r x= + + + , όπου 1 2, ,..., nx x x ∈U και , θεωρούμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι

*1 2, ,..., nr r r ∈

1 1 2min , ,..., nx x x x= . Η ζητούμενη διαμέριση έχει ως A το σύνολο των θετικών x , για τους οποίους και ως 1 0r > B το σύνολο των θετικών x , για τους οποίους 1 0r < .

191 5.1 Οι άπειροι πληθάριθμοι και οι πράξεις μεταξύ τους Από τα προηγούμενα μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε τα ακόλουθα για δύο διατακτικούς αριθμούς α και β .1 Α. α β α= ⇒ = β

Β. α β α β< ⇒ ≤

(Παράδειγμα 2ω ω< ⋅ και 02ω ω= ⋅ =ℵ )

Γ. α β α β< ⇒ <

Δ. Από τη σχέση α β= δεν μπορούμε να βγάλουμε κανένα συμπέρα-σμα για τη σχέση των διατακτικών α και β . Επειδή, λοιπόν, υπάρχουν περισσότεροι του ενός διατακτικοί αριθμοί με τον ίδιο πληθικό αριθμό, όταν αυτός είναι άπειρος, έχει νόημα να δώσουμε για τον παρακάτω ορισμό Ορισμός 1 Το σύνολο των διατακτικών αριθμών με ισχύ m, όπου , ονομάζουμε αριθμητική κλάση

0m ≥ℵ( )mΖ .

Παρατήρηση Για τους πεπερασμένους πληθικούς αριθμούς η έννοια της αριθμητικής κλάσης είναι εύκολα κατανοητή, αφού κάθε τέτοια αριθμητική κλάση περιέχει ένα μόνο στοιχείο. Ο Cantor ήταν ο πρώτος που εισήγαγε την έννοια και τον όρο αριθμητική κλάση. Το σύμβολο Ζ προέρχεται από το πρώτο γράμμα της Γερμανικής λέξης Zahl=αριθμός. Όλους τους δια-τακτικούς αριθμούς των πεπερασμένων συνόλων ο Cantor ονόμασε πρώτη αριθμητική κλάση. Η δεύτερη αριθμητική κλάση, όπως χαρακτηρίστηκε από τον Cantor και επεκράτησε έτσι εντεύθεν, αποτελείται από τους διατα-κτικούς αριθμούς των αριθμησίμων συνόλων ( 0( )Ζ ℵ )

2 20( ) , 1, 2,..., 2,..., 3,..., , 1,...ω ω ω ω ω ω ωΖ ℵ = + + ⋅ ⋅ +

Μια αριθμητική κλάση μπορεί να δοθεί και με αναφορά σε έναν τυχαίο διατακτικό αριθμό που περιέχεται σ’ αυτή. Στην περίπτωση αυτή θα συμ-βολίζεται με ( )α′Ζ . Δηλαδή ( ) ( )m mα α′Ζ = Ζ ⇔ = .

1 Από τον ορισμό 9 της παραγράφου 3.5 προκύπτει ότι ( )Wα α=

192

Πρόταση 1 Αν ,α β διατακτικοί αριθμοί τότε: α β α β< ⇒ < Απόδειξη Εύκολη με απαγωγή σε άτοπο. Πρόταση 2 Αν , ( )uΖ ( )vΖ δύο αριθμητικές κλάσεις τότε ( ) ( ) ( ) ( )u v u vΖ ≠ Ζ ⇔ Ζ ∩Ζ =∅ Απόδειξη ( ) Έστω πως ⇒ ( ) ( )u vΖ ∩Ζ ≠ ∅ . Τότε θα υπάρχει διατακτι-κός αριθμός α με ( )uα ∈Ζ και ( )vα ∈Ζ , άρα uα = και vα = , άρα

, άρα , άτοπο. u v= ( ) ( )uΖ = Ζ vv(⇐ ) Έστω πως , τότε ( ) ( )uΖ = Ζ ( ) ( ) ( )u v uΖ ∩Ζ = Ζ ≠ ∅ , άτοπο.

Η αριθμητική κλάση είναι ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο με τη σχέση < , συνεπώς έχει πρώτο στοιχείο.

( )mΖ

Ορισμός 2 Το πρώτο στοιχείο της αριθμητικής κλάσης ( )mΖ , ονομάζου-με αρχικό αριθμό της κλάσης. Πρόταση 3 Ο αρχικός αριθμός της αριθμητικής κλάσης μιας υπερπε-περασμένης ισχύος είναι οριακός διατακτικός αριθμός. m Απόδειξη Έστω ότι ο αρχικός αριθμός της κλάσης ( )mΖ είναι ο α , ο οποίος δεν είναι οριακός, άρα έχει αμέσως προηγούμενο έστω τον β , δη-λαδή 1β α+ = , άρα 1β α+ = , άρα 1β α+ = . Συνεπώς ο πληθάριθ-

μος β είναι μη πεπερασμένος, οπότε 1β β+ = , άρα β α= , άρα ( )mβ ∈Ζ με β α< , άτοπο γιατί το α είναι το πρώτο στοιχείο του

( )mΖ . Πρόταση 4 Αν α και β είναι οι αρχικοί αριθμοί των υπερπεπερασμέ-νων κλάσεων αντιστοίχως, τότε ( ) ( )m καιΖ Ζ n m n α β> ⇔ > Απόδειξη Έστω πως και Α Β δύο καλώς διατεταγμένα σύνολα με

, , ,m nα βΑ = Β = Α = Β =

193 ( )⇒ Προφανώς α β≠ , γιατί αν α β= , τότε και α β= , δηλαδή

, άτοπο. Έστω πως m n= α β< , τότε θα υπάρχει αρχικό τμήμα σ του Β , ώστε σ ≈ Α , άρα σ Α∼ , άρα Α ≤ Β , άρα m n≤ , άτοπο. ( )⇐ β α< , άρα υπάρχει αρχικό τμήμα σ του Α, ώστε σ ≈ Β , άρα σ Β∼ , άρα Β ≤ Α , άρα n m≤ . Το = δεν μπορεί να ισχύει γιατί τότε η αριθμητική κλάση θα είχε δύο διαφορετικούς αρχικούς αριθμούς, το οποίο είναι άτοπο.

( )mΖ

Πρόταση 5 Κάθε μη κενό σύνολο πληθικών αριθμών είναι καλώς διατε-ταγμένο με τη φυσική διάταξη. Απόδειξη Έστω ένα μη κενό σύνολο πληθικών αριθμών και ένα μη κενό υποσύνολό του. Θα δείξουμε ότι το

Ρ ΑΑ έχει πρώτο στοιχείο. Προφα-

νώς αν το περιέχει και πεπερασμένους πληθάριθμους, το πρώτο στοι-χείο του θα είναι ο μικρότερος από αυτούς. Αν το

ΑΑ δεν περιέχει πεπερα-

σμένους πληθάριθμους, τότε κατασκευάζουμε το σύνολο ′Α των αρχικών αριθμών των αριθμητικών κλάσεων που ορίζουν τα στοιχεία του . Επειδή το είναι σύνολο διατακτικών αριθμών θα έχει πρώτο στοιχείο έστω το

Α′Α

α′ , τότε ο α′ θα είναι, λόγω της αμέσως προηγούμενης πρότασης το πρώτο στοιχείο του , άρα το Α Ρ είναι καλώς διατεταγμένο. Πρόταση 6 Αν και Α Β είναι δύο υπεραριθμήσιμα σύνολα, ισοδύναμα και ξένα μεταξύ τους τότε Α∪Β Β∼ Απόδειξη Αφού θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση

. Θεωρούμε το σύνολο των τριάδων όπου , και

Α Β∼:g Α→Β S ( , , )V W f

V ⊂ Α ( )W g V= f μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση του W V στο . Το είναι μη κενό γιατί περιέχει το

∪V S 1 1 1( , , )gΑ Β , όπου ένα

αριθμήσιμο υποσύνολο του 1Α

Α και 1 ( )g 1Β = Α είναι ένα αριθμήσιμο υποσύνολο του και είναι μία αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση του

στο , η οποία υπάρχει γιατί είναι και τα δύο σύνολα αριθμήσι-μα, άρα ισοδύναμα. Στο ορίζουμε τη διμελή σχέση ως εξής

, αν και μόνον αν , και

Β 1g

1Α ∪Β1

2

1ΑS

1 1 1 2 2 2( , , ) ( , , )V W f V W f 1 2V V⊂ 1W W⊂

194

2 1( ) ( )f x f x= για κάθε 1 1x V W∈ ∪ . Εύκολα αποδεικνύεται ότι το σύνολο είναι μερικώς διατεταγμένο και μάλιστα η σχέση είναι μη κενή,

γιατί αν ( , )S

2 1 aΑ = Α ∪ , 2 1( ) ( )g gΒ = Α ∪ a με 1a∈Α−Α

2

,

1( )g a ∈Β−Β και μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση του στο , (η οποία υπάρχει γιατί τα δύο σύνολα είναι αριθμήσιμα, άρα ισοδύνα-

μα), είναι προφανές ότι

2g 2Α ∪Β

2Α

1 1 1 2 2 2( , , ) ( , , )g gΑ Β Α Β . Έστω 1 ( , , ),i i iS V W f i I= ∈ ένα καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του .

Θέτουμε

S

ii I

M V∈

=∪ , , τότε ii I

N∈

=∪W M N∪ ( )i ii I

V W∈

= ∪∪ .

Η συνάρτηση με :h M N M∪ → ( ) ( )ih x f x= αν i ix V W∈ ∪ είναι κα-λώς ορισμένη γιατί αν j jx V W∈ ∪ , τότε θα ισχύει ή ( , , ) ( , , )i i i j j jV W f V W f ή ( , , ) ( , , )j j j i i iV W f V W f . Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας υποθέσουμε ότι ισχύει το πρώτο τότε i ix V W∈ ∪ , άρα

( ) ( )i jf x f x= . Εύκολα αποδεικνύεται ότι η είναι αμφιμονοσήμαντη, έχουμε δε h( , , ) ( , , )k k kV W f M N h για κάθε k I∈ , δηλαδή το έχει άνω φράγμα, το ( ,

1S, )M N h . Άρα, Λήμμα Zorn, το θα έχει μεγιστικό στοιχείο,

έστω το ( , )S

( , , )φΚ Λ . Θα δείξουμε ότι Α Κ∼ . Έστω πως τα Α και Κ δεν είναι ισοδύναμα. Το δεν μπορεί να είναι πεπερασμένο γιατί αν ήταν τότε (επειδή ), άτοπο. Άρα το

Α−ΚΑ Κ∼ (Α = Κ ∪ Α−Κ) Α−Κ είναι α-

πειροσύνολο, συνεπώς θα υπάρχει αριθμήσιμο 1Κ ⊆ Α−Κ . Το είναι επίσης αριθμήσιμο υποσύνολο του 1( )g Κ = Λ1 Β−Λ . Το

είναι επίσης αριθμήσιμο, άρα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση 1 1Κ ∪Λ

11 1 1:φ Κ ∪Λ →Κ . Θεωρούμε 2 1Κ = Κ∪Κ , 2 1Λ = Λ∪Λ και με 2 2:t Κ ∪Λ →Κ 2 ( ) ( ),t x x xφ= ∈Κ και 1( ) ( )t x xφ= , . Η t

είναι αμφιμονοσήμαντη, άρα1x∈Κ

2 2 2( , , ) ( , , )φ φΚ Λ Κ Λ , το οποίο είναι άτο-πο, γιατί το ( , , )φΚ Λ είναι μεγιστικό στοιχείο του , άρα S Α Κ∼ . Και επειδή Κ Λ∼ και , τότε Α Β∼ Λ Β∼ . Και επειδή Α∩Β =∅ ,

και , θα έχουμε Κ∩Λ =∅ Κ ∪Λ Κ∼ Α∪Β Α∼ .

195 Πρόταση 7 Αν α ένας υπερπεπερασμένος πληθικός αριθμός, τότε α α α+ = Απόδειξη Η πρόταση αποδείχθηκε (κεφάλαιο 2) για τον μικρότερο από τους υπερπεπερασμένους αριθμούς, τον 0ℵ και σύμφωνα με την προηγού-μενη πρόταση θα έχουμε α α α+ = και για κάθε πληθικό αριθμό

0α >ℵ , άρα θα ισχύει για όλους τους υπερπεπερασμένους πληθικούς. Πρόταση 8 Αν ,α β πληθικοί αριθμοί, ο β υπερπεπερασμένος με α β< , τότε α β β+ = . Απόδειξη Έχουμε α β< , άρα α β β β+ < + , άρα β α β β β β≤ + ≤ + = , άρα α β β+ = . Πρόταση 9 Η αριθμητική κλάση ( )mΖ έχει πληθάριθμο και αν m+ φ

είναι ο αρχικός αριθμός της αριθμητικής κλάσης (m )+Ζ , τότε

( )m φΖ = Απόδειξη Αν ρ είναι ο αρχικός αριθμός της αριθμητικής κλάσης , τότε ισχύει

( )mΖ

( ) ( ) ( )W m Wρ φ+ Ζ = , άρα ( )mρ φ+ Ζ = , άρα

( )m m φ+ Ζ = , άρα max , ( )m mφ = Ζ Ο διατακτικός αριθμός του συνόλου ( )mΖ , ο φ , ανήκει στην αριθμητική κλάση , της οποίας είναι και πρώτο στοιχείο, άρα ο αρχικός αριθ-μός της κλάσης.

(m+Ζ )

Πρόταση 10 Για κάθε μη κενό σύνολο πληθικών αριθμών υπάρχει ένας πληθικός που είναι μεγαλύτερος από κάθε στοιχείο του συνόλου. Απόδειξη Έστω ένα μη κενό σύνολο πληθικών αριθμών. Αν το απο-τελείται μόνον από πεπερασμένους πληθάριθμους, τότε θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. Η πρώτη περίπτωση είναι εκείνη όπου το πλήθος τους είναι πεπερασμένο και τότε ο μεγαλύτερος από αυτούς είναι ο ζητούμενος. Η δεύτερη είναι αυτή όπου το πλήθος τους είναι άπειρο και τότε ο ζητούμενος είναι ο μικρότερος υπερπεπερασμένος πληθικός δηλαδή ο

Α Α

0ℵ . Αν στο Α

196

περιέχονται και υπερπεπερασμένοι πληθικοί, τότε προφανώς αγνοούμε τους πεπερασμένους και κατασκευάζουμε το σύνολο ′Α των αρχικών αριθμών των αριθμητικών κλάσεων των υπερπεπερασμένων στοιχείων του . Αν Α α′ είναι ένας διατακτικός μεγαλύτερος από τα στοιχεία του ′Α , τότε ο α′ θα είναι πληθικός μεγαλύτερος ή ίσος από τα στοιχεία του Α . Αν ισχύει το μεγαλύτερος, τότε ο ζητούμενος πληθικός αριθμός είναι ο α′ . Αν κάπου

ισχύει το , τότε ο ζητούμενος πληθικός αριθμός είναι ο = α +′ . Άμεση συνέπεια της πρότασης 10 είναι η Πρόταση 11 Δεν υπάρχει σύνολο όλων των πληθικών αριθμών. Ορισμός 3 Αν πληθάριθμος με τότε ορίζουμε : m 0m ≥ℵ

1. ( )m ό mα διατακτικ ς με αΦ = < και

2. ( )m ό mα διατακτικ ς με α′Φ = ≤ Δηλαδή ( ) ( ) ( ) ( )m m m m+′Φ = Φ ∪Ζ = Φ Λήμμα 1 (1) Ο ( )mΦ είναι αρχικός διατακτικός

(2) Ο ( )m′Φ είναι αρχικός διατακτικός Απόδειξη (1) Έστω ( )mξ ∈Φ και γ διατακτικός με γ ξ< , τότε

mγ ξ≤ < , άρα ( )mγ ∈Φ . Συνεπώς υπάρχει διατακτικός αριθμός φ ,

τέτοιος ώστε ( ) ( )m W φΦ = , οπότε ( ) ( )m W φ φΦ = = . Αρκεί να δεί-

ξουμε ότι ο φ είναι αρχικός. Αν 1φ φ< , τότε 1φ φ≤ . Αν ισχύει το , τότε, επειδή

=

1 ( )mφ ∈Φ , άρα και ( )mφ ∈Φ , δηλαδή ( )Wφ φ∈ , άτοπο, άρα 1φ φ< , δηλαδή ο φ είναι αρχικός.

(2) Ομοίως επειδή ( ) ( )m m+′Φ = Φ Λήμμα 2 Αν ( )m φΦ = , τότε mφ = .

197 Απόδειξη Το mφ < αποκλείεται γιατί συνεπάγεται ( )mφ ∈Φ , άρα

( )Wφ φ∈ , άτοπο. Το mφ > αποκλείεται γιατί αν 1φ διατακτικός με 1 mφ = , τότε 1φ φ< ,

άρα 1φ φ< , άρα 1 ( ) ( )W mφ φ∈ = Φ , άρα 1 mφ < , άρα m m< , άτοπο.

Συνεπώς mφ = . Λήμμα 3 Αν είναι μια οικογένεια απείρων πληθαρίθμων, τότε

ο διατακτικός

,im i I∈

( )ii I

m∈

Φ∪ είναι αρχικός διατακτικός

Απόδειξη Έστω και sup i

i Im m

∈= ( )mα ∈Φ , τότε mα < , άρα υπάρχει

με i I∈ imα < , συνεπώς ( )imα ∈Φ , συνεπώς (1) ( ) ( )ii I

m m∈

Φ ⊆ Φ∪Αφ’ ετέρου για κάθε i( ) ( )imΦ ⊆ Φ m I∈ , άρα (2). ( ) ( )i

i I

m m∈

Φ ⊆ Φ∪Από τις (1) και (2) προκύπτει , συνεπώς το ζητούμενο

απεδείχθη.

( ) ( )ii I

m∈

Φ = Φ∪ m

Ορισμός 4 Έστω φ ένας αρχικός διατακτικός και ( ) ό όφ ψ αρχικ ς διατακτικ ς με ψ φΡ = < ,

τότε ονομάζουμε δείκτη (index) του φ τον αριθμό ( )φΡ . Συμβολίζου-με τον δείκτη του φ με ( )i φ και τον αριθμό φ με αω , αν ( )i φ α= . Για παράδειγμα ( ) 0i ω = , άρα 0ω ω= . Πρόταση 12 Αν 1 2,φ φ είναι αρχικοί διατακτικοί, τότε 1 2φ φ< αν και

μόνον αν 1 2( ) ( )i iφ φ< . Απόδειξη (Το αναγκαίο) Το 1( )φΡ είναι αρχικό τμήμα του 2( )φΡ .

198

2

(Το ικανό) Έστω πως 1φ φ≥ , τότε 1 2( ) ( )i iφ φ≥ . Πρόταση 13 Κάθε μεμονωμένος διατακτικός αριθμός είναι δείκτης κά-ποιου αρχικού Απόδειξη Έστω α ο μικρότερος μεμονωμένος διατακτικός που δεν είναι δείκτης κάποιου αρχικού, τότε 1α β= + και ο β είναι δείκτης κάποιου αρχικού ψ , δηλαδή ( )i ψ β= . Ο ( )φ ψ′= Φ είναι ένας αρχικός διατα-

κτικός Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( )W φ ψ ψ′= Φ = Φ ∪Ζ ψ , άρα

( ) ( )φ ψ ψΡ = Ρ ∪ , άρα ( ) 1φ β αΡ = + = , άρα ο α είναι δείκτης, άτο-πο. Πρόταση 14 Κάθε οριακός διατακτικός αριθμός είναι δείκτης κάποιου αρχικού Απόδειξη Με υπερπεπερασμένη επαγωγή : Θα δείξουμε αρχικά ότι ο ω είναι δείκτης κάποιου αρχικού διατακτικού. Ο nω είναι αρχικός, για κάθε n ω< , όπως προκύπτει από την πρόταση 13. Θεωρούμε την οικογένεια

,n nω ω< και το σύνολο ( ) (nn

mω

ω<

Φ = Φ∪ ) , όπου sup nn

mωω

<= . Είναι

γνωστό (Λήμμα 1) ότι ( ) ( )m W φΦ = , όπου φ ένας αρχικός αριθμός. Έχουμε nω φ< , για κάθε n ω< . Αν 1φ είναι αρχικός διατακτικός με

1φ φ< , τότε 1 ( )mφ ∈Φ , άρα υπάρχει n ω< ώστε 1 ( n )φ ω∈Φ , δηλαδή

11 nφ ω= , όπου 1n n ω≤ < . Άρα 0( ) ,n nφ ωΡ = ∈ , άρα ( )i φ ω= . Δεχόμαστε ότι ο κάθε οριακός διατακτικός ρ μικρότερος του οριακού διατακτικού Ω είναι δείκτης και θα δείξουμε ότι ο Ω είναι δείκτης. Ο ρω είναι αρχικός για κάθε ρ < Ω . Θεωρούμε την οικογένεια

,ρω ρ < Ω και το σύνολο ( ) (mρρ

ω<Ω

)′Φ = Φ∪ , όπου supm ρρ

ω<Ω

′ = .

Έχουμε ( ) ( )m W φ′ ′Φ = , όπου φ′ αρχικός και αποδεικνύεται όπως παρα

199 πάνω ότι ( )i φ′ = Ω .2Δηλαδή αν α είναι οριακός, τότε

sup ,α λω ω λ α= < Άμεση συνέπεια των παραπάνω προτάσεων είναι η Πρόταση 15 Ο διατακτικός αριθμός φ είναι αρχικός, αν και μόνον αν υπάρχει διατακτικός ξ ώστε ξφ ω= . Πρόταση 16 αω α≥ Απόδειξη Επειδή ( ) ( )Wα αω ωΡ ⊆ , άρα ( ) ( )Wα αω ωΡ ≤ , άρα

αα ω≤ . Ορισμός 5 Αν δεν υπάρχει αρχικός διατακτικός μικρότερος του ξω , ο ο-ποίος είναι ομοτελικός του ξω , τότε ορίζουμε ως ομοτελικότητα του ξω τον ίδιο και συμβολίζουμε ( )cf ξ ξω ω= . Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός

ξω ονομάζεται κανονικός (regular). Αν υπάρχει αρχικός διατακτικός μικρότερος του ξω , ο οποίος είναι ομοτε-λικός του ξω , τότε ορίζουμε ως ομοτελικότητα του ξω τον μικρότερο από τους αρχικούς αω , οι οποίοι είναι ομοτελικοί με τον ξω . Συμβολίζουμε δε

( )cf ξ αω ω= . Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός ξω ονομάζεται ιδιόρρυθ-μος (sigular). Παραδείγματα 1. ( )cf ω ω= 2. ( )cf ωω ω= , γιατί lim nn ωω

ω ω<

=

3. 2( )cfω

ω ω= , γιατί 2lim nn ω ωωω ω⋅<

=

2 Δηλαδή αν α οριακός, τότε supα λ

λ αω ω

<=

200 4. ( )cf ωω

ω ω= , γιατί lim n

n

ω

ωω ω

<=

Πρόταση 17 ( ( )) ( )cf cf cfξ ξω ω= Απόδειξη Συνέπεια της πρότασης 3 της παραγράφου 4.5 Ορισμός 6 Αν είναι ένας άπειρος πληθάριθμος, τότε θα ορίζουμε mm α=ℵ , αν και μόνον αν ο αρχικός της αριθμητικής κλάσης ( )mΖ είναι ο

αω . Από τα προηγούμενα εύκολα προκύπτει ότι Πρόταση 18 Αν α και β διατακτικοί τότε ισχύει η ισοδυναμία α βα β< ⇔ℵ <ℵ Πρόταση 19 Αν είναι μία οικογένεια πληθαρίθμων, τότε υ-

πάρχει το sup , που είναι ένας πληθάριθμος για τον οποίο ισχύει

,i i Iκ ∈

ii I

κ∈

sup i ii Ii I

κ κ∈∈

≤∑ Απόδειξη Εύκολη. Ορισμός 7 Αύξουσα θα λέμε μια ακολουθία διατακτικών ,να ν ∈ , όταν για κάθε ν ∈ ισχύει 1ν να α +< . Πρόταση 20 Έστω ,να ν ∈ ένα σύνολο διατακτικών αριθμών της

πρώτης αριθμητικής κλάσης με την ιδιότητα 1ν να α+ > για κάθε ν ∈ ,

τότε sup να ω= Απόδειξη Μια αύξουσα ακολουθία διατακτικών αριθμών της πρώτης α-ριθμητικής κλάσης, δηλαδή μια ακολουθία φυσικών αριθμών, ικανοποιεί τη σχέση νν α≤ για κάθε ν ∈ . Έχουμε να ω< για κάθε ν ∈ . Αν

ωΜ < , τότε Μ∈ , άρα θα υπάρχει κ ∈ ώστε καΜ ≤ , συνεπώς

201 lim νν

α ω∈

= .

Πρόταση 21 Έστω ,να ν ∈ ένα σύνολο διατακτικών αριθμών της

δεύτερης αριθμητικής κλάσης, τότε sup να α= , όπου α ένας διατακτι-κός αριθμός της δεύτερης αριθμητικής κλάσης.

Απόδειξη Έστω να μια τέτοια ακολουθία. Αφού ισχύει ν νν

α α∈

< ∑ για

κάθε ν ∈ θα έχουμε limκ νν ννα α

∈∈

< < α∑ , άρα

limκ νν ννα α

∈∈

≤ ≤ ∑α , άρα 0 0lim νν ν

α∈

∈

ℵ ≤ ≤ ℵ∑ , άρα

20 0 0lim νν

α∈

ℵ ≤ ≤ℵ =ℵ , άρα 0lim ννα

∈=ℵ , συνεπώς 0lim ( )νν

α∈

∈Ζ ℵ .

Παρατήρηση Το 0ωω =ℵ , που αναφέρθηκε στα προηγούμενα, προκύ-

πτει ως συνέπεια της παραπάνω πρότασης αφού ο ωω είναι όριο της ακο-

λουθίας των αριθμών νω οι οποίοι είναι αριθμήσιμοι. Επίσης 2

0ωω =ℵ ,

επειδή ο αριθμός 2ωω είναι όριο της ακολουθίας των αριθμών ( )ω νω οι

οποίοι εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι αριθμήσιμοι. Ομοίως αριθμήσιμοι είναι οι αριθμοί της μορφής

νωω , άρα αριθμήσιμος θα είναι και ο αριθμός ωωω ως όριο της αύξουσας ακολουθίας των αριθμών αυτών. Επαγωγικά

αποδεικνύεται πως οι όροι της ακολουθίας ωω , ωωω ,

ωωωω ,…είναι αριθ-μήσιμοι, άρα αριθμήσιμος είναι και ο αριθμός 0ε , ως όριο της παραπάνω ακολουθίας. Πρόταση 22 Αν ,α β διατακτικοί με α β< , τότε α β βℵ +ℵ =ℵ Απόδειξη Άμεση συνέπεια της πρότασης 7. Γενίκευση της παραπάνω πρότασης είναι η

202

Πρόταση 23 Αν 1 2, ,..., να α α είναι διατακτικοί αριθμοί, τότε

1 2 1 2max , , ,

ν να α α α α αℵ +ℵ + +ℵ = ℵ ℵ ℵ

Πρόταση 24 Ι. Αν ο σ είναι μεμονωμένος διατακτικός τότε

ξ σξ σ≤

ℵ =ℵ∑

ΙΙ. Αν σ οριακός διατακτικός τότε ξ σξ σ<

ℵ =ℵ∑ 3

Απόδειξη Έστω σω ο αρχικός της αριθμητικής κλάσης ( )σΖ ℵ , τότε θα έχουμε και επειδή τα σύνολα που αποτελούν

την ένωση είναι ανά δύο ξένα θα έχουμε

( ) ( ( ))W σξ σ

ω<

= ∪ Ζ ℵ∪ ξ

0( ) ( )Wσ σ σ ξ ξξ σξ σ

ω ω 1+<<

ℵ = = = + Ζ ℵ =ℵ + ℵ∑∪ και επειδή

0 1ℵ +ℵ =ℵ1 θα έχουμε τελικά 1σ ξξ σ

+<

ℵ = ℵ∑ (1)

Αν ο σ είναι μεμονωμένος τότε η (1) γράφεται σ ξξ σ≤

ℵ = ℵ∑ .

Αν ο σ είναι οριακός τότε η (1) γράφεται σ ξξ σ<

ℵ = ℵ∑ , γιατί

1ξ ξξ σ ξ σ

+< <

ℵ = ℵ∑ ∑

Παρατήρηση Η σχέση 0 1 2 ν ωℵ +ℵ +ℵ + +ℵ + =ℵ είναι συνέπεια της πρότασης 24

3 Το ξξ σ<

ℵ∑ σημαίνει ( )W

ξξ σ∈

ℵ∑

203 Λήμμα Αν Α απειροσύνολο, Β ⊂ Α και τα Α , Β δεν είναι ισοδύναμα, τότε υπάρχει ένα υποσύνολο Γ του Α−Β , τέτοιο ώστε Β Γ∼ . Απόδειξη - Αν Β πεπερασμένο, τότε Α−Β απειροσύνολο, οπότε το συμπέρασμα είναι προφανές. - Αν απειροσύνολο, τότε αρκεί να δείξω ότι Β Β ≤ Α−Β . Έστω πως

Α−Β < Β , τότε ( )Α = Α−Β ∪Β⇒ Α = Α−Β + Β = Β , άτοπο.

Άρα υπάρχει με Γ ⊆ Α−Β Β Γ∼ . Πρόταση 25 Αν υπεραριθμήσιμο, τότε Α Α×Α Α∼ . Απόδειξη Θεωρούμε το σύνολο V των ζευγών ( , )gΒ , όπου υποσύνο-λο του

ΒΑ , τουλάχιστον αριθμήσιμο και g μια αμφιμονοσήμαντη απεικό-

νιση του Β× στο . Το V είναι μη κενό γιατί το Β Β Α ως υπεραριθμή-σιμο θα έχει ένα αριθμήσιμο υποσύνολο, έστω Β . Το Β×Β είναι επίσης αριθμήσιμο ( ), άρα θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση

, συνεπώς ( ,0 0ℵ ⋅ℵ =ℵ0

V:g Β×Β→Β )gΒ ∈ . Στο V ορίζουμε τη διμελή σχέση με , όταν και μόνον όταν 1 1 2 2( , ) ( , )gΒ Β g 21Β ⊂ Β και για κάθε . Το είναι προφανώς μερικώς διατεταγμένο με τη σχέση . Επιπλέον αν

2 1( ) ( )xg x g=

11x∈Β ×Β ( , )V

1Β ένα αριθμήσιμο σύνολο με 1Β ⊂ Β ⊂ Α και αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση, τότε ορίζουμε 1 1 1Β 1:g Β × →Β

12 1 1:g Β ×Β →Β ως εξής 2 (( , )) (( , ))g gα β α β= αν ( , )α β ∈Β×Β και

2 1(( , )) (( , ))g gα β α= β αν α ∉Β ή β ∉Β . Η εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι αμφιμονοσήμαντη, άρα

2g

1 2( , )g VΒ ∈ και επιπλέον

1 2( , ) ( , )gΒ Β g , άρα η σχέση είναι μη κενή. Αν ( , ) /i iS g i= Δ ∈ I είναι ένα ολικώς διατεταγμένο υποσύνολο

του ( , και τότε ορίζουμε την απεικόνιση )V ii I∈

Δ = Δ∪:g Δ×Δ → Δ , με

α ) Αν με, τότε , ia b∈Δ (( , )) (( , ))ig a b g a b= .

204 β ) Αν και ia∈Δ jb∈Δ με i j≠ , τότε αν i jΔ ⊂ Δ να έχουμε

(( , )) (( , ))jg a b g a b= καθώς και (( , )) (( , ))jg b a g b a= .

Το ( , είναι στοιχείο του ( , και προφανώς άνω φράγμα του . )gΔ )V SΆρα το V θα έχει (Λήμμα Zorn) μεγιστικό στοιχείο, έστω το . ( , )hΜΑρκεί να δείξουμε πως Μ Α∼ . Έστω πως τα σύνολα Μ και δεν είναι ισοδύναμα. Άρα, σύμφωνα με την αμέσως προηγούμενη πρόταση θα υπάρ-χει , ώστε

Α

Ν ⊂ Α−Μ Μ Ν∼ . Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Μ∪Ν × Μ∪Ν = Μ×Μ ∪ Μ×Ν ∪ Ν×Μ ∪ Ν×Ν) . Επίσης Μ×Ν Μ×Μ∼ , ομοίως και Ν×Μ Μ×Μ∼Ν×Ν Μ×Μ∼ , άρα ( ) ( ) ( ) ( )Μ×Μ ∪ Μ×Ν ∪ Ν×Μ ∪ Ν×Ν Μ×Μ∼ . Αλλά , οπότε Μ Μ∪Ν∼ ( ) ( )Μ∪Ν × Μ∪Ν Μ∪Ν∼ , συνεπώς θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση : ( ) ( )r Μ∪Ν × Μ∪Ν →Μ∪Ν . Επίσης θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη. :t Ν×Ν → ΝΘεωρώ την : ( ) ( )φ Μ∪Ν × Μ∪Ν →Μ∪Ν , ώστε (( , )) (( , ))a b h a bφ = αν ,a b∈Μ (( , )) (( , ))a b r a bφ = αν ( , )a b ∈Μ×Ν ή ( , )a b ∈Ν×Μ και (( , )) ( , )a b t a bφ = αν ( , )a b ∈Ν×Ν Η φ είναι αμφιμονοσήμαντη, οπότε ( , ) VφΜ∪Ν ∈ και ( , ) ( , )h φΜ Μ∪Ν , άτοπο, γιατί το ( , )hΜ είναι μεγιστικό στοιχείο. Άρα . Α×Α Α∼ Πρόταση 26 Για κάθε υπερπεπερασμένο πληθικό αριθμό α ισχύει α α α⋅ = Απόδειξη Όμοια με την α α α+ = . Πρόταση 27 Αν ,α β διατακτικοί με α β< , τότε α β βℵ ⋅ℵ =ℵ

Απόδειξη Έχουμε 1 α β<ℵ <ℵ , άρα 2β α β β βℵ ≤ℵ ⋅ℵ ≤ℵ =ℵ , άρα

α β βℵ ⋅ℵ =ℵ . Πρόταση 28 Για κάθε οικογένεια απείρων πληθαρίθμων ,i i Iκ ∈ , όπου το σύνολο δεικτών I είναι μη κενό, αληθεύει ο τύπος

205

max ,sup /i ii I

I i Iκ κ∈

= ∈∑

Απόδειξη Έχουμε , άρα supi ii I

κ κ∈

≤ supi ii I i I i I

κ κ∈ ∈ ∈

≤∑ ∑ , δηλαδή

supi ii I i I

Iκ κ∈ ∈

≤ ⋅∑ (1)

α. Έστω πως sup ii I

Iκ∈

≤ , τότε από τη (1) παίρνουμε ii I

Iκ∈

≤∑ (2). Αλλά

1iκ ≥ , για κάθε i , άρα I∈ 1ii I i I

κ∈ ∈

≥∑ ∑ , δηλαδή

ii I

Iκ∈

≥∑ (3). Από τις (2) και (3) παίρνουμε το ζητούμενο.

β. Έστω πως sup ii I

I κ∈

< , τότε από την (1) παίρνουμε

supii I i I

κ∈ ∈

≤∑ iκ i (4). Επειδή ii Iκ κ

∈

≥∑ , για κάθε i I∈ θα έχουμε

supii I i I

κ∈ ∈

≥∑ iκ (5). Από τις (4) και (5) παίρνουμε το ζητούμενο.

Πρόταση 29 Για κάθε οικογένεια απείρων πληθαρίθμων ,i i Iκ ∈ και

για κάθε άπειρο πληθάριθμο κ με I κ≤ ισχύει. Αν iκ κ≤ για κάθε

, τότε i I∈ ii Iκ κ

∈

≤∑

Απόδειξη Αφού για κάθε iκ κ≤ i I∈ , τότε ii I

Iκ κ κ∈

≤ ⋅ =∑

Πρόταση 30 Αν α διατακτικός, τότε 1 1( )cf α αω ω+ += . Απόδειξη Έστω 1( )cf α βω ω+ = με 1β αω ω +< , δηλαδή β αω ω≤ . Άρα θα υπάρχει μία βω − ακολουθία φ ώστε για κάθε 1αξ ω +< να υπάρχει

206 βζ ω< με 1( ) αξ φ ζ ω +< < και για κάθε βζ ω< να ισχύει

1( ) αφ ζ ω +< , συνεπώς 1( ) ( (W Wβ

αζ ω

))ω φ ζ+<

⊆ ∪ (1)

Έχουμε 1( ) αφ ζ ω +< , δηλαδή 1( ( ))W αφ ζ +<ℵ , άρα ( ( ))W αφ ζ ≤ℵ .

Από την (1) συμπεραίνουμε ότι 1( ) ( ( )W Wβ

αζ ω

)ω φ ζ+<

≤ ∪ , άρα

1 ( ( )) max , sup ( ( ) max ,W Wββ

α β βζ ωζ ω

φ ζ ω φ ζ+<<

⎧ ⎫ℵ ≤ = ≤ ℵ ℵ =ℵ⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ α α ,

άτοπο. Παρατήρηση Κάθε πληθάριθμος της μορφής αℵ , όπου ο αω είναι κανο-νικός και ο α οριακός λέγεται ασθενώς απρόσιτοι (weakly inaccessible) Απρόσιτοι (inaccessible) λέγονται οι ασθενώς απρόσιτοι πληθάριθμοι

αℵ για τους οποίους ισχύει η συνεπαγωγή

2 ββ α α

ℵℵ <ℵ ⇒ <ℵ . Το πρόβλημα της μελέτης των απρόσιτων πληθαρίθμων είναι ένα από τα προβλήματα της προχωρημένης συνολοθεωρίας. Πρόταση 31 Αν λ ένας άπειρος πληθάριθμος και ,i i Iκ ∈ μία οικογέ-

νεια μη μηδενικών πληθαρίθμων τέτοια ώστε I λ= και επιπλέον

sup ii I

κ κ∈

= , τότε ii I

λκ κ∈

=∏

Απόδειξη Από τη σχέση iκ κ≤ , η οποία ισχύει για κάθε i I∈ παίρνουμε την , άρα i

i I i I

κ∈ ∈

≤∏ ∏κ ii I

λκ κ∈

≤∏ (1). Επειδή I I I× ∼ θα υπάρχει αμ-

φιμονοσήμαντη απεικόνιση :f I I I× → . Θεωρούμε ( ),j f I j jΑ = × ∈ I . Τότε η οικογένεια ,j j IΑ ∈ αποτελεί μία διαμέρι-

ση του I με j λΑ = , για κάθε j I∈ , άρα (γενίκευση προσεταιριστικής

ιδιότητας) , αλλά (j

i ii I j I i

κ κ∈ ∈ ∈Α

=∏ ∏ ∏ )jj

i iii

κ κ κ∈Α∈Α

≥ ≥∑∏ , άρα

207 ( )

j

ij I i j I

λκ κ κ∈ ∈Α ∈

≥ =∏ ∏ ∏ (2). Από τις (1) και (2) παίρνουμε το ζητούμε-

νο. Πρόταση 32 Αν α είναι ένας μεμονωμένος διατακτικός αριθμός και I ένα μη κενό σύνολο διατακτικών τέτοιο ώστε i αℵ <ℵ για κάθε i I , τότε ισχύει η παρακάτω ισοδυναμία

∈

ii I

Iα α∈

ℵ =ℵ ⇔ =ℵ∑

Απόδειξη Η ( ) είναι άμεση συνέπεια της πρότασης 28 ⇐Για την απόδειξη της συνεπαγωγής ( ) έχουμε : ⇒Έστω β ένας διατακτικός για τον οποίο ισχύει 1β α+ = , τότε θα έχουμε

i βℵ ≤ℵ για κάθε , άρα i I∈ sup ii I

β α∈ℵ ≤ℵ <ℵ . Από την πρόταση 31

έχουμε max ,supi ii Ii I

I α∈∈

ℵ = ℵ =ℵ∑

Πρόταση 33 Αν α είναι ένας οριακός διατακτικός με

( )cf α β αω ω ω= < , τότε υπάρχει ένα μη κενό σύνολο διατακτικών I

τέτοιο ώστε i αℵ <ℵ για κάθε i I∈ , I β=ℵ και ii I

α∈

ℵ =ℵ∑ .

Απόδειξη Η σχέση ( )cf α β αω ω ω= < συνεπάγεται ότι υπάρχει μία

βω − ακολουθία φ διατακτικών τέτοια ώστε lim ( )β

αξ ωφ ξ ω

<= , άρα

( )supβ

φ ξ αξ ω<

ℵ =ℵ .

Θεωρούμε το σύνολο ( ),I βφ ξ ξ ω= < . Από την πρόταση 31 έχουμε

max ,supi ii Ii I

I α∈∈

ℵ = ℵ =ℵ∑ .

208 Πρόταση 34 Αν α ένας οριακός διατακτικός και β ο μικρότερος

διατακτικός, ώστε β α< και ξ αξ β<

ℵ =ℵ∑ , τότε ( )cf α βω ω= .

Απόδειξη Αν ( )cf α αω ω= και β α< , τότε οποιαδήποτε βω − ακολουθία

έχει supremum α< , άρα ( )W αβ <ℵ , συνεπώς

max ( ) ,supW ξ ξ αξ β

β<

ℵ = ℵ <ℵ∑ , άτοπο.

Αν ( )cf α γω ω= με β γ α< < , τότε 1γ β≥ + , άρα γ ξℵ >ℵ , για κάθε

ξ β< , άρα β β ξ αξ β

ω<

ℵ > ℵ =ℵ∑ , άρα β αℵ >ℵ , άτοπο. Δηλαδή το

ζητούμενο αποδείχθηκε. Συνεπώς μπορούμε να δώσουμε έναν ισοδύναμο ορισμό της ομοτελικότη-τας για τους πληθαρίθμους Ομοτελικότητα ενός πληθαρίθμου αℵ ονομάζουμε τον μικρότερο πλη-θάριθμο βℵ για τον οποίο υπάρχει οικογένεια πληθαρίθμων ,i i Iℵ ∈ με

I β=ℵ , i αℵ <ℵ για κάθε i I∈ και ii I

α∈

ℵ =ℵ∑ .

Προβλήματα 1. Αν , ,α β γ μη μηδενικοί πληθάριθμοι και 1α > τότε να αποδειχθεί ότι

α. γ γα β α< ⇒ < β

209 β. β γα α β< ⇒ < γ 2. Αν ,α β διατακτικοί αριθμοί με α β≤ να αποδείξετε ότι

2β βαℵ ℵℵ =

Απόδειξη 2 2 αα

ℵ<ℵ < , άρα ( )2 2 ββ β αα

ℵℵ ℵ ℵ≤ℵ ≤ , άρα

( )2 2 2β 2β β α βαα

ℵℵ ℵ ℵ ⋅ℵ ℵℵ≤ℵ ≤ = = 2β , άρα β βαℵ ℵℵ = .

3. Να αποδειχθεί ότι αν α και β διατακτικοί τότε

1. (Επαγωγικός τύπος του Hausdorff ) 1β β

α αℵ ℵ+ℵ =ℵ ⋅ℵ 1α+

β βα αℵ ℵ+ ℵ ⋅ℵ

2. ℵ = , nn nα+ ∈ (Γενικευμένος επαγωγικός τύπος του

Hausdorff)

Απόδειξη 1η περίπτωση: 1α β+ ≤ . Τότε 1 2β β βα αℵ ℵ ℵ+ℵ = =ℵ (προηγούμενο

πρόβλημα) και 1 2 βα β

ℵ+ℵ ≤ℵ < , άρα

1 12 2 2 2 12β β β β β β β βα α α α αℵ ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ+ + +ℵ = =ℵ ≤ℵ ⋅ℵ = ⋅ℵ ≤ ⋅ = =ℵ β

α +

2η περίπτωση: 1β α< + . Τότε 11 1 1 1

b ba a 1

β βα α α αℵ ℵℵ ℵ +

+ + + + +ℵ ⋅ℵ ≤ℵ ⋅ℵ =ℵ =ℵ (1)

Αλλά ( )( )1 1 1( ) ( ) WWW W ββ βωω

α αω ω ℵ+ += = ( )

1( )WWα +ℵ . Το βωαω +Α = είναι

το σύνολο όλων των βω − ακολουθιών, των οποίων οι τιμές είναι μικρότερες του

1αω + . Επειδή 1 1cf α αω ω+ += , αν φ ∈Α , υπάρχει 1αλ ω +< , ώστε lim ( )

βξ ωφ ξ

<= λ , συνεπώς , άρα

1

( )( )WW β

α

ω

ξ ω

ξ+<

Α ⊆ ∪

11

( ) ( )1 1( ) ( )W WW Wβ β β

αα

ω ωα α α

ξ ωξ ω

ξ ξ++

ℵ ℵ+ +

<<

ℵ = Α ≤ ≤ ≤ℵ ⋅ℵ∑∪ β (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει το ζητούμενο. Ο γενικευμένος επαγωγικός τύπος προκύπτει με πεπερασμένη επαγωγή στον προ-ηγούμενο.

4. Αν n∈ , να αποδειχθεί ότι 2nβ βℵ ℵ

nℵ = ⋅ℵ (Επαγωγικός τύπος του

Bernstein). Απόδειξη Από τον γενικευμένο τύπο του Hausdorff, για 0α = .

210

5. Έστω A ένα μη κενό σύνολο, τότε ονομάζουμε μετάθεση του A κάθε αμ-φιμονοσήμαντη απεικόνιση :f A → A . Να αποδειχθεί ότι το πλήθος των

μεταθέσεων του A είναι 2 A . Απόδειξη Θα αποδείξουμε πρώτα την εξής βοηθητική πρόταση: Αν A ένα σύνολο με 1A > , τότε υπάρχει μετάθεση f του A , τέτοια ώστε

( )f x ≠ x , για κάθε x A∈ .

- Αν το A είναι πεπερασμένο, 1 2, ,..., nA a a a= , τότε μία ζητούμενη μετάθεση

είναι η 1( )k kf a a += , για 1,2,..., 1k n= − και 1( )nf a a= .

- Αν το A είναι αριθμήσιμο, 1 2, ,..., ,...nA a a a= , τότε μία ζητούμενη μετά-

θεση είναι η 2 1 2( ) (k k )f a f a− = και 2 2( ) ( )kf a f a +1k= , για κάθε . k∈- Αν το A είναι υπεραριθμήσιμο, τότε θεωρούμε δύο σύνολα ,B C ισοδύναμα του A και ξένα μεταξύ τους. Προφανώς το είναι ισοδύναμο του B C∪ A , άρα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση . Ονομάζουμε :g B C A∪ →

1 ( )B g B= και . Προφανώς τα 1 ( )C g C= 1 1,B C είναι ξένα. Επειδή 1 1B C∼

υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση . Η ζητούμενη απεικόνιση είναι η

1:h B C→ 1

1

11

( ),( )

( ),

h x x Bf x

h x x C−

⎧ ∈⎪= ⎨⎪ ∈⎩

Ερχόμαστε τώρα στην απόδειξη της πρότασης Αν ονομάσουμε B το σύνολο των μεταθέσεων του A , τότε

AB A⊆ , άρα ( ) 2

2 2AA A AB A≤ ≤ = = 2 A (1)

Έστω ( )P A′ το σύνολο των υποσυνόλων του A με περισσότερα από ένα στοιχεί-α. Αν ( )E P A′⊆ και Ef μία μετάθεση στο E με ( )Ef x x≠ , για κάθε

x E∈ . Θεωρούμε τη συνάρτηση του Eg A με

( ),( )

,

E

E

f x x Eg x

x x A E

∈⎧⎪= ⎨⎪ ∈ −⎩

211 )Είναι προφανές ότι αν 1 2, (E E P A′∈ και 1E E2≠ , τότε

1 2E Eg g≠ . Άρα

η : ( )F P A B′ → με ( ) EF E g= είναι 1-1, συνεπώς 2 ( )A P A B′= ≤ (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει το ζητούμενο.

6. Αν και απειροσύνολα με Α Β Β ⊂ Α , τότε

α. Αν Α−Β ≤ Β , τότε Α Β∼

β. Αν Α−Β > Β , τότε Α Α−Β∼

7. Αν για τα σύνολα , Α Β , Γ , Δ ισχύει Α∩Β = Γ∩Δ =∅ , ,

και να αποδειχθεί ότι Α Β∼

Γ Δ∼ Α∪Β Γ∪Δ∼ Α Γ∼ . 8. Αν για τα σύνολα , Α Β , Γ , Δ ισχύει Β ⊂ Δ , Γ ⊂ Α και Α∪Β Β∼ να αποδειχθεί ότι Γ∪Δ Δ∼ 9. Αν , Α Β , Γ , Δ , Ε και Ζ σύνολα τέτοια ώστε Β⊂ Γ , Δ ⊂ Ε , ,

, Ζ ⊂ Α

Α Β∼ Γ Δ∼ , να αποδείξετε ότι Ε Ζ∼ Α Ε∼ και Α Γ∼ . 10. Αν για τα σύνολα , Α Β , Γ , Δ Α∩Γ =∅ , Β∩Δ =∅ , Α Γ∼ , και να αποδειχθεί ότι

Β Δ∼Α∪Γ Β∪Δ∼ Α Β∼ .

11. Αν , ,α β γ πληθάριθμοι με α β α γ+ = + να αποδειχθεί ότι β α≤ ή

γ α≤ 12. Αν , ,α β γ άπειροι πληθάριθμοι με α γ β γ⋅ = ⋅ και β γ≠ να αποδει-

χθεί ότι α β< 13. Αν ,α β πληθάριθμοι με 2 α α β⋅ < + να αποδειχθεί ότι α β< 14. Να αποδειχθεί ότι

Ι. 0 0 002 3 cℵ ℵ ℵ= = =ℵ =

ΙΙ. 02 3c c c c c= = =ℵ =ℵ = c

15. Αν ένα σύνολο με την ισχύ του συνεχούς είναι αριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο συνόλων να αποδειχθεί ότι ένα τουλάχιστον από αυτά έχει την ισχύ του συνεχούς.

212

16. Να αποδειχθεί ότι

00 1 2 ω

ℵℵ ⋅ℵ ⋅ℵ ⋅ =ℵ 17. Να αποδειχθούν οι σχέσεις

Ι. (01 2 3ν ν ν+ + + =ℵ ν ∈ )

ΙΙ. 1 2 3ν ν ν⋅ ⋅ ⋅ =ℵ ΙΙΙ. 1 2 3

0ν ν ν+ + + =ℵ

ΙV. 1 2 3ν ν ν⋅ ⋅ ⋅ =ℵ (ν ακέραιος ) 1> 18. Αν α πληθάριθμος με 2 κ

κα ℵ⋅ℵ = να αποδειχθεί ότι . 2 κα ℵ= 19. Αν είναι υπερπεπερασμένοι πληθάριθμοι, τότε να αποδείξετε ότι

, , ,m n p q

1. Αν m n< και , τότε p q< m p n q+ < + 2. Αν m n< και p q< , τότε m p n q⋅ < ⋅ 3. Αν , τότε m p n q+ < + m n< και p q< 4. Αν , τότε m p n q⋅ < ⋅ m n< και p q< 20. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο όλων των πεπερασμένων υποσυνόλων ενός απειροσυνόλου έχει την ισχύ του ίδιου του απειροσυνόλου. 21. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο όλων των ακολουθιών με στοιχεία πραγματι-κούς αριθμούς έχει την ισχύ του συνεχούς. 22. Έστω ένα σύνολο με Χ νΧ =ℵ , ν ∈ . Να αποδειχθεί ότι το σύνολο

των ακολουθιών με στοιχεία από το Χ , έχει πληθάριθμο 0ωℵℵ

23. Αν α και β διατακτικοί αριθμοί με 2 2β β

αℵ ℵℵ ⋅ = , να αποδειχθεί ότι

α β= 24. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο των διμελών υποσυνόλων ενός συνόλου με ισχύ 0α ≥ℵ έχει ισχύ α .

25. Αν ακολουθία πληθικών αριθμών και πληθικός τέτοιος ώστε nc c

213

1 2 nc c c c≥ + + + για κάθε n∈ , να δειχθεί ότι 1

nn

c c∞

=

≥ ∑

26. Να αποδειχθεί, χωρίς χρήση του αξιώματος επιλογής, ότι η ισχύς του συ-νόλου των αρρήτων έχει την ισχύ του συνεχούς. 27. Αν Μ ένα σύνολο με 0mΜ = ≥ℵ και n m≤ , να αποδειχθεί ότι το σύ-

νολο

( ) ,n nΡ Μ = Χ ⊆Μ Χ = έχει πληθάριθμο nm 28. Να αποδειχθεί ότι ο πληθάριθμος μιας οποιασδήποτε βάσης Hamel είναι

c

29. Το πλήθος των βάσεων Hamel είναι 2c

214

6.1 Georg Cantor Ο Cantor δεν είναι απλώς ο δημιουργός της συνολοθεωρίας, χωρίς την οποία κανένας κλάδος των σύγχρονων μαθηματικών δεν θα υπήρχε, είναι αυτός που μας εισήγαγε στον συναρπαστικό κόσμο των άλεφ και της υπερ-πεπερασμένης αριθμητικής. Μπορούμε, χωρίς καμιά δόση υπερβολής, να υποστηρίξουμε πως υπήρξε η αιτία για τη γέννηση των κινήσεων που είχαν στόχο τη θεμελίωση της Μαθηματικής Επιστήμης και διήρκεσαν πάνω από πενήντα χρόνια. Η συνολοθεωρία του είναι η απαρχή της δημιουργίας της φιλοσοφίας των μαθηματικών και της δημιουργικής έκρηξης που σημειώ-θηκε τον προηγούμενο αιώνα στην επιστήμη της Μαθηματικής Λογικής με τα μεγάλα επιτεύγματα των Frege, Russell και ιδιαίτερα του Gödel. O Cantor προήγαγε τα μαθηματικά από επιστήμη του αριθμού και του σχή-ματος σε επιστήμη του απείρου. Τα μαθηματικά πριν τον Cantor είναι άλ-λα από τα μαθηματικά μετά από αυτόν. Ο Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor γεννήθηκε στην Αγία Πετρούπολη στις 3 Μαρτίου του 1845. Ο πατέρας του, Georg Waltermar, ήταν Δανικής καταγωγής, Εβραίος στο θρήσκευμα, που προσχώρησε στον προτεσταντισμό. Με τις προτεσταντικές αρχές ανατράφηκε και ο Cantor, αν και η μητέρα του ήταν Καθολική. Μέχρι τα έντεκά του έζησε στην Αγία Πετρούπολη και έπειτα η οικογένεια του μετακόμισε στη Γερμανία, όπου ολοκλήρωσε τις βασικές του σπουδές. Ήδη από τη βασική του φοίτηση έδειξε την εξαιρετική επιδεξιότητά του στα Μαθηματικά. Το 1862 μετά από επιθυμία του πατέρα του εισήχθη στο Πολυτεχνείο της Ζυρίχης για να σπουδάσει μηχανολόγος. Ωστόσο, ο ζήλος του για τα Μαθηματικά ήταν τέτοιος, ώστε τελικά εγκατέλειψε τους αρχικούς του προσανατολισμούς και αφοσιώθηκε στη σπουδή των μαθηματικών. Ο Cantor παρακολούθησε μα-θήματα στο Βερολίνο κοντά στους K. Weierstrass (1815-1879), E. Κummer (1810-1893) και L. Kronecker (1823-1891). Μετά από ένα μι-κρό διάλειμμα στο Πανεπιστήμιο της Γκέτιγκεν το καλοκαίρι του 1866 επέστρεψε στο Βερολίνο και ολοκλήρωσε τη διατριβή1 του το 1867. Για ένα διάστημα δίδαξε σε ένα παρθεναγωγείο στο Βερολίνο και το 1869 διορίστηκε λέκτορας στο Πανεπιστήμιο της Χάλλε. Στο Πανεπιστήμιο της Χάλλε υπό την επιρροή του E. Heine (1821-1881), έστρεψε το ενδιαφέρον του από την άλγεβρα στην ανάλυση και με την παρότρυνση του Heine ασχολήθηκε με το άλυτο μέχρι τότε πρόβλημα

1 Η διδακτορική του διατριβή είχε ως θέμα ένα πρόβλημα που έθεσε ο Gauss σχετικά με τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 2 2 2 0ax by cz+ + = , όπου οι a,b,c είναι ακέραιοι.

215 της μοναδικότητας της αναπαράστασης των συναρτήσεων με τριγωνομετρι-κές σειρές, η λύση του οποίου είχε απασχολήσει ανεπιτυχώς και τους L. Dilichlet (1805-1895) και B. Riemann (1826-1866), το οποίο και έλυσε το 1869. Μεταξύ των ετών 1870 και 1872 δημοσίευσε αρκετές εργασίες πάνω στις τριγωνομετρικές σειρές, όπως επίσης και την σπουδαία εργασία του, στην οποία όριζε τους άρρητους αριθμούς ως όρια ακολουθιών ρητών αριθμών. Ίσως οι μελέτες του αυτές ήταν οι αφορμές για την ενασχόλησή του με το ζήτημα του ενεστωτικού απείρου. Ποιες ήταν όμως οι αντιλήψεις των επιστημόνων μέχρι τότε για το ενε-στωτικό άπειρο; Η πρώτη γραπτή μαρτυρία για το άπειρο υπάρχει στα Φυσικά του Αρι-στοτέλους, όπου αναφέρονται και τα γνωστά παράδοξα του Ζήνωνος . Στον Αριστοτέλη συναντάμε για πρώτη φορά τη διάκριση του απείρου σε δυνα-μικό άπειρο και ενεστωτικό άπειρο. Ο Αριστοτέλης δεχόταν τον χωρό-χρονο ως «δυνάμει άπειρο», με την έννοια ότι μπορεί να υποδιαιρεθεί συνε-χώς ή να αυξηθεί συνεχώς. Με άλλα λόγια, ξεκινώντας από μια ποσότητα με την αθροιστική διαδικασία δημιουργούμε την ποσότητα

Α2Α και από

εκεί την ποσότητα κ.ο.κ., την ποσότητα 3Α νΑ , χωρίς αυτή η διαδικασία να έχει τέλος. Επίσης με τη διαιρετική διαδικασία από την ποσότητα

παίρνουμε την ποσότητα

Α12Α και από εκεί την 1

3Α κ.ο.κ. την ποσότητα

1νΑ , χωρίς αυτή η διαδικασία να έχει τέλος. Αυτές οι δυναμικές διαδικασί-

ες ήταν αποδεκτές για τον Αριστοτέλη. Η ύπαρξη όμως του συνόλου

, 2 ,3 ,...Α Α Α ή του συνόλου 1 1, , ,...2 3

⎧ ⎫Α Α Α⎨ ⎬⎩ ⎭

ως αυτοτελών οντοτήτων

(Ενεστωτικό άπειρο) ήταν μη αποδεκτή. Επειδή είναι δύσκολος ένας ευθύς ορισμός του ενεστωτικού και του δυ-ναμικού απείρου παραθέτουμε την άποψη του Cantor, προκειμένου να βοη-θήσουμε τον αναγνώστη στην καλύτερη κατανόηση των εννοιών αυτών. Ο Cantor γράφει: «Το δυνάμει άπειρο συναντάται κυρίως όταν έχουμε μια απροσδιό-ριστη, μεταβαλλόμενη πεπερασμένη ποσότητα. Πιο γενικά, μιλώ για το δυνάμει ά-πειρο όταν πρόκειται για απροσδιόριστη ποσότητα η οποία είναι σε θέση να λάβει οποιοδήποτε προσδιορισμό. Με ενεργεία άπειρο νοείται μια ποσότητα η οποία από τη μια δεν μεταβάλλεται, είναι σταθερή και προσδιορισμένη από κάθε άποψη- μια γνήσια

216

σταθερά- και από την άλλη, υπερβαίνει κάθε πεπερασμένη ποσότητα του ίδιου είδους με αυτή».2 Ο Γαλιλαίος (1564 -1642) στη τελευταία επιστημονική του μελέτη «Δύο νέες επιστήμες» επισήμανε πρώτος τις «περίεργες» συμπεριφορές του εν-στωτικού απείρου, διαπιστώνοντας ότι οι θετικοί ακέραιοι είναι τόσοι, όσα και τα τετράγωνά τους. Αλλά κατέληξε στο συμπέρασμα πως δεν είναι δυ-νατόν με το πεπερασμένο μας μυαλό να συλλάβουμε το άπειρο και πως είναι παράλογο να μεταφέρουμε στο άπειρο τις ιδιότητες του πεπερασμέ-νου και οριοθετημένου. Υποστήριξε πως τα χαρακτηριστικά «ίσος», «μεγα-λύτερος» και «μικρότερος» έχουν εφαρμογή μόνο για πεπερασμένες ποσό-τητες και όχι για το άπειρο. Ο Gauss (1777- 1855) όπως και ο Cauchy (1789-1857) διακατέχονταν από έναν horror infiniti (φόβο απείρου). Ο Gauss το 1831 έγραφε : « Διαμαρτύρομαι για την χρήση μιας άπειρης ποσότητας ως μιας αυτοτελούς και ενιαίας οντότητας. Αυτό δεν επιτρέπεται ποτέ στα μαθηματικά. Το άπειρο δεν είναι παρά ένας τρόπος εκφράσεως, όπου ομιλούμε για όρια ορισμένων πηλίκων τα οποία (όρια) μπορούν τα πηλίκα να τα πλησιάσουν όσο θέλουμε ενώ άλλα πηλίκα μπορούν να καταστούν απεριορίστως μεγάλα »3 . Μετά τον Γαλιλαίο ο Τσέχος μαθηματικός Bolzano4 προχώρησε πολύ περισσότερο στη μελέτη των απειροσυνόλων τις οποίες και κα

2 Βλ. Ρουσόπουλος σελ. 172 3 Βλ. Αρτεμιάδης [2000]σελ 508. 4 Ο Bernard Bolzano γεννήθηκε το 1781 στην Πράγα. Εισήχθη το 1796 στο πανεπιστή-μιο της Πράγας, όπου σπούδασε μαθηματικά, φιλοσοφία και φυσική. Το 1800 άρχισε τις σπουδές του στη Θεολογία. Το 1805 χειροτονήθηκε ιερέας και αναγορεύτηκε διδάκτορας και το 1806 έγινε τακτικός καθηγητής της Ρωμαιοκαθολικής Θεολογίας στη Φιλοσοφική Σχολή. Ο Bolzano ήταν υπέρμαχος μιας ολοκληρωτικής μεταρρύθμισης του κοινωνικού συστήματος. Οι σοσιαλιστικές του απόψεις τον έφεραν σε σύγκρουση με το κατεστημένο της εποχής, με αποτέλεσμα να απολυθεί από το πανεπιστήμιο το 1819 και να χαρακτηρι-στεί «αιρετικός». Το συγγραφικό του έργο περιλήφθηκε στον κατάλογο των απαγορευμέ-νων βιβλίων. Οι φιλοσοφικές και λογικές του έρευνες και απόψεις περιλαμβάνονται στο έργο του Θεωρία της επιστήμης. Εξαιτίας του ότι ήταν απαγορευμένος αναγκαζόταν να δη-μοσιεύει τις εργασίες του ανώνυμα και σε «περιθωριακές» εκδόσεις. Αυτό είχε ως συνέπεια την μικρή παρέμβαση στο φιλοσοφικό και επιστημονικό γίγνεσθαι της εποχής. Σε αυτόν οφείλεται ο αυστηρός ε-δ ορισμός του ορίου, καθώς και η πρώτη αναλυτική α-πόδειξη του γνωστού ως θεωρήματος Bolzano για τις συνεχείς συναρτήσεις. Έδωσε παρά-δειγμα συνάρτησης παντού συνεχούς και πουθενά παραγωγίσιμης πολύ πριν τον Weirstrass. Οι συμβολές του αυτές ήταν άγνωστες ωσότου το 1881 τα έφερε στο φως ο Otto Stolz. Πέθανε το 1848.

217 τέγραψε στο σύγγραμμά του Paradoxien des Unendrlichen, που εκδό-θηκε τρία χρόνια μετά το θάνατό του. Είδε για παράδειγμα πως η συνάρ- τηση ( ) 2f x = x

καθορίζει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των συνόλων [0 και [0 , οπότε έχουμε άλλο ένα παράδειγμα ενός συνό-λου που έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με ένα γνήσιο υποσύνολό του. Ίσως ο δαιμόνιος Βοημός να γνώριζε και τη διαφορετική φύση του απείρου των φυσικών αριθμών και εκείνου των πραγματικών.

, 2] ,1]

Ο Cantor είναι ουσιαστικά αυτός που αποδέχθηκε την έννοια του ενε-στωτικού απείρου και αποφάσισε να «αναμετρηθεί» μαζί της. Ο ίδιος γράφει «Όταν σκέπτομαι και μελετώ το άπειρο …ακολουθεί μια γνήσια ηδονή στην οποία υποκύπτω ευχαρίστως, καθώς βλέπω πως η έννοια του ακέραιου αριθμού, που για την πεπερασμένη περίπτωση στηρίζεται μόνον στην αρίθμηση, δια-χωρίζεται σε δύο έννοιες, όταν ανεβαίνουμε στο άπειρο. Η μία είναι η έννοια της ισχύος, που είναι ανεξάρτητη από τη διάταξη των στοιχείων του συνόλου, και η άλλη είναι η έννοια της αρίθμησης που είναι αναγκαστικά συνδεδεμένη με μια συγκεκρι-μένη διάταξη του συνόλου…Και αν ξανακατέβω από το άπειρο στο πεπερασμένο, βλέπω πόσο καθαρά και όμορφα οι δύο έννοιες ενώνονται ξανά, αποτελώντας ένα ιδιαίτερο όλο, για να σχηματίσουν την έννοια του πεπερασμένου ακέραιου αριθμού»5 Η εργασία του με τίτλο « Πάνω σε μία χαρακτηριστική ιδιότητα των αλγεβρικών πραγματικών αριθμών», που δημοσιεύτηκε το 1874 στο Crelle’s Journal ήταν η γενέθλια της συνολοθεωρίας. Στα έτη 1873 και 1874 ο Cantor εξήγαγε δύο σημαντικότατα συμπεράσματα από τη μελέτη του απείρου. Απέδειξε ότι το σύνολο των ρητών αριθμών όπως και εκείνο των αλγεβρικών είναι αριθμήσιμα, αλλά δεν είναι αριθμήσιμο το σύνολο των πραγματικών, συνεπώς κατά τεκμήριον υπάρχουν δύο διαφορετικά είδη απείρου, εκείνο των φυσικών και εκείνο των πραγματικών. Μετά την ανακά-λυψη αυτή έχουμε μια νέα ανεξάρτητη (υπαρκτική και όχι κατασκευαστική) απόδειξη της ύπαρξης υπερβατικών αριθμών και λέμε νέα και ανεξάρτητη, γιατί ήδη από το 1851 ο Liouville είχε αποδείξει, όπως είδαμε στα προη-γούμενα την ύπαρξη υπερβατικών αριθμών. Ο Cantor έδειξε πως οι πραγ-ματικοί αριθμοί αποτελούν υπεραριθμήσιμο σύνολο, οι αλγεβρικοί αριθμοί που είναι υποσύνολο των πραγματικών είναι σύνολο αριθμήσιμο, άρα άμεση συνέπεια του παραπάνω είναι ότι υπάρχει ένα υπόλοιπο αριθμών υπεραριθ-μήσιμο. Οι αριθμοί αυτοί, δηλαδή οι υπερβατικοί, είναι οι περισσότεροι. Ο Cantor λοιπόν έκανε πρώτος την επαναστατική διαπίστωση πως «σχεδόν όλοι» οι αριθμοί είναι υπερβατικοί.

5 Αναπολιτάνος σελ.196

218

Στο χρονικό διάστημα 1874-1877 άρχισε να ψάχνει την ύπαρξη «πολυ-πληθέστερων» συνόλων από εκείνο του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Αναζητώντας ένα σύνολο με περισσότερα στοιχεία από αυτά των συνόλων με την ισχύ του συνεχούς ο Cantor προσπάθησε να αποδείξει κάτι για το οποίο δεν είχε καμιά αμφιβολία: Το πλήθος των σημείων του τετραγώνου είναι μεγαλύτερο από το πλήθος των σημείων της πλευράς του. Επί τρία συνεχόμενα χρόνια από το 1871 έως το 1874 επιχειρούσε να δείξει το αδύ-νατο της ισοδυναμίας των παραπάνω συνόλων. Την προσπάθεια του αυτή την έκανε γνωστή μέσω αλληλογραφίας στον φίλο του Dedekind. Σε μια επιστολή του στις 5 Ιανουαρίου 1874 στον Dedekind γράφει : Είναι δυνατό μια επιφάνεια (ας πούμε ένα τετράγωνο που περιλαμβάνει τις πλευρές του) να αντιστοιχιστεί σε μία ευθεία ( ας πούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα που περικλεί-ει τα άκρα του ) ώστε κάθε σημείο της επιφάνειας να αντιστοιχεί σε ένα και μόνο σημείο της γραμμής και αντιστρόφως κάθε σημείο της γραμμής σε ένα και μόνο ση-μείο της επιφάνειας; Πιστεύω πως η απάντηση στο ερώτημα αυτό δεν είναι εύκολη δουλειά, παρά το γεγονός πως η απάντηση είναι τόσο καθαρά όχι, που η απόδειξη φαίνεται σχεδόν περιττή.6 Όταν τέλος κατάληξε στο αντίθετο αποτέλεσμα, στο ότι δηλαδή υπάρχει η αμφιμονοσήμαντη αυτή αντιστοιχία γράφει πάλι στον Dedekind. Το βλέπω, αλλά δεν το πιστεύω7 Μια σχετική με τα παραπάνω εργασία υποβλήθηκε για δημοσίευση στο Crelle’s Journal στα 1877 και δημοσιεύτηκε μετά από παρέμβαση του Dedekind, που κατόρθωσε να κάμψει τις έντονες αντιδράσεις του Kronecker. Το 1884 ο Cantor υπέστη την πρώτη σοβαρή κρίση κατάθλιψης και έ-γραφε στον φίλο του Σουηδό μαθηματικό G. Mittag-Lefller (1846-1927) στο τέλος του Ιουνίου : «Δεν ξέρω πότε θα επανέλθω στη συνέχεια του επιστημο-νικού μου έργου. Προς το παρόν δεν μπορώ να κάνω τίποτε γι’ αυτό. Τα όρια μου φτάνουν να κάνω τα απαραίτητα, προκειμένου να ανταποκριθώ στα διδακτικά μου καθήκοντα. Πόσο ευτυχισμένος θα ήμουν αν μπορούσα να ήμουν επιστημονικά ενερ-γός. Aρκεί να είχα την απαραίτητη καθαρότητα του μυαλού…»8

6 Βλ στο “The Mac Tutor History of Mathematics το σχετικό άρθρο για τον G. Cantor 7 Βλ όπου παραπάνω 8 Βλ όπου παραπάνω

219

Το 1891 επανήλθε στην ενεργό δράση και δημοσίευσε σε μια εργασία του την απόδειξη για το ότι « η ισχύς του δυναμοσυνόλου είναι μεγαλύτερη της ισχύος του συνόλου», γνωστού ως θεωρήματος του Cantor. Αυτή η επί-σης πολύ μεγάλης αξίας ανακάλυψη θεμελιώνει την ύπαρξη πολλών ειδών απεί-ρου (υπάρχει απέραντη αύξουσα αλυσίδα πληθαρίθμων). Μετά από ένα διάλειμμα το 1894, που καταβλήθηκε πάλι από την κατά-θλιψη που τον ταλαιπωρούσε χρόνια, επανήλθε και στο διάστημα από το 1895 έως και το 1897 δημοσίευσε στο Mathematische Annalen τις τε-λευταίες του εξαιρετικές εργασίες πάνω στη υπερπεπερασμένη αριθμητική. Το αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα που μεσολάβησε ανάμεσα από τη δημοσίευση δύο διαδοχικών εργασιών οφείλεται στο γεγονός ότι, αν και τελείωσε το γράψιμο του δευτέρου μέρους έξη μήνες μετά τη δημοσίευση του πρώτου, ήλπιζε στο μεταξύ διάστημα να κατορθώσει να αποδείξει την υπόθεση του συνεχούς και να τη παρουσιάσει στο δεύτερο μέρος. Ωστόσο δεν το κατόρθωσε και περιέλαβε σ’ αυτό τη θεωρία του για τους διατακτι-κούς αριθμούς. Κατά τη διάρκεια της εργασίας του αυτής ανακάλυψε ο ίδιος το πρώτο παράδοξο της θεωρίας των συνόλων (Το σύνολο όλων των διατακτικών α-ριθμών), το οποίο και γνωστοποίησε στον D.Hilbert9 (1862-1943) μέσω

9 Ο David Hilbert γεννήθηκε το 1862 στην Καινιξβέργκ και πέθανε στη Γκέτιγκεν το 1943 Τα πρώτα βήματα της σταδιοδρομίας του έκανε στο πανεπιστήμιο της Καινιξβέργκ, όπου εκπόνησε και τη διδακτορική του διατριβή. Το 1895 κατέλαβε μία καθηγητική έδρα Μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Γκέτιγκεν, στο οποίο παράμεινε ως το τέλος της ζωής του. Οι εργασίες του καλύπτουν ένα μεγάλο εύρος των Μαθηματικών, από τη συναρτησια-κή ανάλυση, τη γεωμετρία, τη θεωρία αριθμών, τη μαθηματική φυσική και τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Σπουδαία είναι η εργασία του στη μαθηματική θεμελίωση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας. Ιδιαίτερης όμως μνείας αξίζουν, η ηγετική παρουσία του στη κίνηση των φορμαλιστών, η αναγνώριση της μεγάλης σημασίας της θεωρίας των συνόλων και η στήριξη που προσέφερε στον Cantor. Είναι κλασική πλέον η φράση του, « κανείς δεν μπορεί να μας διώξει από τον παράδεισο που ο Cantor δημιούργησε για μας» και το διά-σημο βιβλίο του Τα θεμέλια της Γεωμετρίας, που έκανε πάρα πολλές εκδόσεις και αποτέλεσε σταθμό για την εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Το 1900 παρουσίασε στο 2ο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο, το οποίο έγινε στο Παρίσι, κατάλογο με τα 23 διάσημα προβλήματα που ήταν άλυτα την εποχή εκείνη. Στο τέλος της ζωής του δυστύχησε να δει την εκκαθάριση του πανεπιστημίου της Γκέτιγκεν από τους Ναζί. Σημαντικοί επιστήμονες και συνεργάτες του, όπως οι Hermann Weyl, Emmy No-ether, Edmund Landau, Paul Bernays εκδιώχθηκαν. Λέγεται πως σε μια συνάντηση μαζί του ο υπουργός παιδείας των Ναζί τον ρώτησε : «Πως πάνε τα μαθηματικά στο Γκέτιγκεν μετά την απομάκρυνση της Εβραϊκής επιρροής;» και εκείνος απάντησε «Μαθηματικά στο Γκέτιγκεν; Δεν υπάρχει κάτι τέτοιο!!»

220

αλληλογραφίας. Το 1897 ανακάλυψε το ίδιο παράδοξο, εντελώς ανε-ξάρτητα και ο Ιταλός μαθηματικός C.Burali-Forti, ο οποίος και το δημο-σίευσε και είναι πλέον γνωστό με το όνομά του. Το 1897 o Cantor παρακολούθησε το 1ο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο στη Ζυρίχη, στις εργασίες του οποίου ο W.Hurwitz(1904-1956) απερί-φραστα εξέφρασε τον θαυμασμό του για τον Cantor, καθώς και την άποψη πως η θεωρία των Συνόλων έθεσε σε νέες βάσεις τη μελέτη των συναρτήσε-ων. Ο J. Hadamard (1865-1963) στο ίδιο συνέδριο αποκάλεσε τη θεωρία συνόλων σημαντικότατο εργαλείο για την ανάλυση. Στο ίδιο επίσης συνέ-δριο ο πολύς H. Poincare (1854-1912) απένειμε εύσημα στον Cantor, αναγνωρίζοντας τις εργασίες του στα σύνολα, ασχέτως αν μετά από κάποια χρόνια τις αναθεμάτισε, λέγοντας πως η συνολοθεωρία «είναι μια αρρώστια από την οποία σίγουρα θα απαλλαγούν οι επόμενες γενιές.» Ο θάνατος του μικρότερου γιου του, στις 16 Δεκεμβρίου 1899 επιδείνωσε την ψυχική του κατάσταση του Cantor. Από τη χρονιά αυτή και μέχρι το τέλος της ζωής του υπέφερε συνεχώς από τις κρίσεις της ψυχικής του νόσου και η μαθηματική του παραγωγή σταμάτησε. Τα τελευταία χρόνια της τα-ραχώδους ζωής του έπαψε να ασχολείται με τα μαθηματικά και εργαζόταν αποκλειστικά με την τεκμηρίωση της εμμονής του, ότι το έργο του Σαίξπηρ είναι στην πραγματικότητα έργο του Βάκωνα. Στις 6 Ιανουαρίου του 1918 άφησε την τελευταία του πνοή σε κάποιο σα-νατόριο της Γερμανίας. Υπήρξε ο δημιουργός της θεωρίας που κατά τον Hilbert «αποτελεί μια εξαιρετική παραγωγή μαθηματικής ιδιοφυΐας και ένα από τα ανώτατα επιτεύγματα της καθαρά διανοητικής ανθρώπινης δραστηριότητας…» , ίσως ο πιο ριζοσπάστης δημιουργός στην ιστορία των μαθηματικών, ο οποίος δεν «χρεώνεται» μόνον τις επαναστατικές του ανα-καλύψεις, αλλά και την εξαιρετική πρωτοτυπία και την μοναδική φαντασία που έχουν οι μέθοδοί του. Η περίφημη διαγώνια μέθοδος, η οποία είναι δική του επινόηση «βασίζει και διατρέχει ένα πολύ μεγάλο (και το πιο κεντρικό) μέρος του μαθηματικού οικοδομήματος»10 Ο Cantor και η θεωρία του είχαν την τύχη που έχουν συνήθως οι μεγάλοι δημιουργοί και οι πρωτότυπες ιδέες τους. Οι περισσότεροι μαθηματικοί της εποχής του, εκτός ελάχιστων εξαιρέσεων, ιδίως στα πρώτα του βήματα, α-ντιμετώπισαν τις απόψεις του από αδιάφορα έως εχθρικά. Ιδιαίτερη όμως μνεία χρήζει η εχθρική στάση του δασκάλου του Kronekcer11. Βέβαια ο

10 Νεγρεπόντης Σ. [1979] σελ.11

11 Ο Leopold Κronecker (1823-1891), γόνος οικογένειας πλουσίων Εβραίων εμπόρων, έμπορος και ο ίδιος για μεγάλο χρονικό διάστημα, μέχρι που απόκτησε οικονομική ανε-

221

Cantor δεν ήταν ο μόνος που επέσεισε την μήνιν του Kronecker. Και με τον Weirstrass ο Kronecker είχε διαρκή αντιπαράθεση, επειδή δεν α-ποδεχόταν την ανάλυση, διακηρύσσοντας ότι όλοι εκείνοι που πασχίζουν να θεμελιώσουν τις συναρτήσεις είναι αμαρτωλοί ενώπιον του Θεού. Ο Cantor όμως ήταν στόχος μιας ιδιαίτερα σφοδρής και πολλές φορές ανάρμοστης επίθεσης του Kronecker, ο οποίος τον χαρακτήριζε στο πανεπιστημιακό κοινό με επίθετα όπως «τσαρλατάνος», «αρνησίθρησκος» και «διαφθορέας της νεολαίας». Αυτός ήταν και ένας από τους λόγους της επιδείνωσης της ψυχικής νόσου του Cantor, που εξαιτίας της συστολής του έγινε εύκολο θύ-μα της αχρείας επίθεσης του Kronecker . Από τη θέση του καθηγητή του Πανεπιστημίου του Βερολίνου, εμπόδισε επιτυχώς τον Cantor να πραγμα-τοποιήσει τη φιλοδοξία του, να διδάξει στο φημισμένο αυτό Πανεπιστήμιο. Έτσι ο Cantor είχε τύχη όμοια με εκείνη του άλλου μεγάλου Γερμανού δημιουργού και φίλου του Dedekind. Παρόλο το τεράστιο επιστημονικό μέγεθός τους και οι δύο πέρασαν τη ζωή τους διδάσκοντας σε μάλλον άση-μες σχολές. 6.2 Οι αντιφάσεις της Καντοριανής θεωρίας. Η θεωρία του Cantor, παρά τις αντιφάσεις που εμφανίστηκαν σ’ αυτήν, άρχισε στις αρχές του προηγούμενου αιώνα να αναγνωρίζεται ευρέως. Η αναγκαιότητα μιας αυστηρής θεμελίωσης της ανάλυσης, καθώς και το ότι η συνολοθεωρία κατέστη απαραίτητο εργαλείο για την ανάπτυξη των σύγχρο-νων Μαθηματικών, είχαν ως συνέπεια οι μαθηματικοί της εποχής να δίνουν ελάχιστη σημασία στις αντιφάσεις της συνολοθεωρίας.

ξαρτησία, ασχολήθηκε με τα μαθηματικά κυρίως με την αριθμοθεωρία και τις ελλειπτικές συναρτήσεις. Υπήρξε μεγάλος αλγεβριστής και ίσως ο μοναδικός μαθηματικός που στην εποχή του (1840-50) είχε κατανοήσει σε βάθος τη θεωρία του Galois. Για χρόνια ήταν άμισθος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, πράγμα που δεν τον ενοχλούσε εξαιτίας της οικονομικής του ανεξαρτησίας. Κατέλαβε έμμισθη έδρα μόνον μετά την κένω-σή της, εξαιτίας της οικειοθελούς αποχώρησης του δασκάλου του, Kummer. Ο Kronek-cer υπήρξε αρχικά δάσκαλος του Cantor και μετά σφοδρός πολέμιος του ίδιου και των ιδεών του. Είναι ο πρόδρομος της σχολής των διαισθητικών (Brower), η οποία δεν αποδέ-χεται τις μη-κατασκευαστικές αποδείξεις ύπαρξης. Υπαρκτό για τους διαισθητικούς είναι ό,τι μπορεί να κατασκευαστεί ενώ όλα τα υπόλοιπα δεν υπάρχουν. Η αντίθεση του Kronecker στηρίζονταν στη στέρεα πεποίθησή του πως οι μόνοι υπαρκτοί αριθμοί είναι οι ακέραιοι και όσοι μπορούν να προκύψουν από αυτούς με πεπερασμένο πλήθος βημάτων. Υποστήριζε πως «Ο καλός Θεός δημιούργησε μόνο τους ακέραιους και όλοι οι άλλοι είναι δημιουρ-γήματα των ανθρώπων»

222 Παρ’ όλα αυτά όμως η εμφάνισή των αντιφάσεων δημιούργησε ένα

κλίμα δημιουργικής δυσφορίας, κάτι σαν την αγωνία της αναμονής ενός σημαντικού τοκετού. Ο D.Hilbert έγραψε χαρακτηριστικά: «Ο Cantor, τώρα, ακολουθώντας αυτές τις σκέψεις, ανέπτυξε τη θεωρία των υπερπεπερασμένων αριθ-μών με τον πιο επιτυχημένο τρόπο και δημιούργησε γι αυτούς έναν πλήρη λογισμό. Έτσι, τελικά, με τη γιγαντιαία συνεργασία των Frege, Dedekind και Cantor το άπει-ρο ενθρονίστηκε και απήλαυσε την περίοδο του μέγιστου θριάμβου του. Αποτολμώ-ντας να πετάει, το άπειρο έφτασε στην ιλιγγιώδη κορυφή της επιτυχίας…Οι αντι-δράσεις, που δεν άργησαν να κάνουν την εμφάνισή τους, πήραν δραματική μορφή. Τα γεγονότα πήραν την ίδια σχεδόν τροπή όπως και με την ανάπτυξη του απειροστι-κού λογισμού. Οι μαθηματικοί, μέσα στη χαρά τους για τα νέα και πλούσια αποτελέ-σματα, δεν είχαν εξετάσει αρκετά κριτικά αν οι τρόποι συμπερασμού που χρησιμοποι-ούσαν ήταν έγκυροι. Διότι με τους τρόπους με τους οποίους σχηματίζονταν οι έννοι-ες και χρησιμοποιούνταν οι τρόποι συμπερασμού προέκυψαν αντιφάσεις, αρχικά α-ραιά, κατόπιν πιο οδυνηρά και απειλητικά. Ήταν τα παράδοξα, όπως ονομάστηκαν, της Θεωρίας των Συνόλων.»12 Ποιες είναι οι βασικές αντιφάσεις της αφελούς (δηλαδή μη αξιωματικο-ποιημένης) συνολοθεωρίας ; 1) Η αντίφαση του Burali-Forti, που αφορά το σύνολο όλων των διατακτι-κών. Είναι σαφές ότι η παραδοχή της ύπαρξης του συνόλου αυτού μας οδη-γεί σε αντίφαση. 2) Η αντίφαση του συνόλου όλων των πληθικών αριθμών. Η παραδοχή της ύπαρξης του συνόλου αυτού μας οδηγεί σε αντίφαση. 3) Η αντίφαση του Cantor, η οποία αφορά το σύνολο όλων των συνόλων. Το σύνολο αυτό Α περιέχει ως στοιχεία τα υποσύνολά του, άρα το δυναμο-σύνολό του Ρ(Α) είναι υποσύνολο του Α, συνεπώς ( )Ρ Α ≤ Α , πράγμα που είναι άτοπο. Και 4) Η αντίφαση του B.Russell,13 η οποία αφορά το σύνολο των συνόλων που δεν έχουν ως στοιχείο τον εαυτό τους. Ο Russell ανακάλυψε την αντί-

12 D. Hilbert σελ 375 13 Ο Bertrand Russell είναι ίσως ο μαθηματικός των νεότερων χρόνων με την πιο πολυ-σχιδή πνευματική και κοινωνική δραστηριότητα. Γεννήθηκε τις 18 Μάιου 1872 στο Τρέ-λεκ του Μόνμαστερ της Αγγλίας από ευγενείς γονείς. Μετά από σπουδές στα Μαθηματικά, τη Φιλοσοφία, την Οικονομία και την Κοινωνιολογία ανέπτυξε σημαντική δραστηριότητα διδακτική ερευνητική και συγγραφική σε παρά πολλούς τομείς της επιστήμης και της φιλο-σοφίας, καθώς επίσης και έντονη κοινωνική δράση. Είναι πολύ δύσκολο να αναφέρει κα-νείς έστω, στο πλαίσιο αυτής της υποσημείωσης, τα έργα του Russell. Λέγεται πως είχε την

223 φαση το 1901, κατά τη διάρκεια των εργασιών στο βιβλίο του Principles of Mathematics, το οποίο εκδόθηκε το 1903. Η αντίφαση εντοπίζεται στο ότι αν ονομάσουμε το σύνολο αυτό Α, τότε

, συνεπάγεται πως το Α έχει ως στοιχείο το εαυτό του άρα , το οποίο είναι αντίφαση. Αν πάλι Α∈Α Α∉Α

Α∉Α , τότε το Α δεν έχει ως στοιχείο τον εαυτό του συνεπώς , το οποίο είναι επίσης αντίφαση. Α∈Α Η αντίφαση του Russell, η τόσο απλή στη διατύπωση της, ήταν εκείνη που περισσότερο από όλες τις υπόλοιπες προκάλεσε μία σοβαρότατη κρίση αξιοπιστίας της θεωρίας συνόλων, η οποία επεκτάθηκε στο σύνολο των μα-θηματικών και διήρκησε σχεδόν μισό αιώνα. Και τούτο γιατί η διαφορά της από τις άλλες είναι ποιοτική. Αναφέρεται στα θεμέλια της συνολοθεωρίας (έννοιες συνόλου και στοιχείου ), ενώ οι υπόλοιπες έχουν σχέση με το εποι-κοδόμημα. Για το λόγο αυτό, οι άλλες αντιφάσεις, αν και προγενέστερες δεν προκάλεσαν την αίσθηση και τον θόρυβο της αντίφασης Russell, γιατί υ-πήρχε στο βάθος η ελπίδα πως θα ξεπεραστούν, ως οφειλόμενες ίσως, σε κάποιο λανθασμένο μαθηματικό χειρισμό, ενώ η αντίφαση Russell είναι καθαρά λογική αντίφαση, αντίφαση θεμελιώδης. Η αντίφαση του Russell έχει και μια εξαιρετικά ενδιαφέρουσα ιστορία. Στα 1902, όταν ο Frege 14 ήταν έτοιμος να δώσει στη δημοσιότητα τον εκπληκτική διανοητική ικανότητα να γράφει με ρυθμό 3000 λέξεων την ημέρα χωρίς τα κείμενά του να χρειάζονται διόρθωση. Ένα από τα σημαντικότερα, που αφορούν και το αντικείμενό μας , είναι αυτό που έγραψε μαζί με τον Alfred North Whitehead ανάμεσα στα 1910 με 1913, το περίφημο Principia Mathematica. Αξίζει να αναφέρουμε στο σύντο-μο αυτό σημείωμα το βραβείο Nobel λογοτεχνίας που του απονεμήθηκε το 1950. Πέθανε στις 2 Φεβρουαρίου του 1970. 14 Ο Γερμανός Gottlob Frege, μεγάλη μορφή της Μαθηματικής Λογικής, γεννήθηκε το 1848 στο Μεκλεμβούργο και πέθανε το 1925 στο Μπάντ-Κλάινεν. Θεωρείται ο θεμελιω-τής της σύγχρονης λογικής. Επινόησε και αξιωματοποίησε την κατηγορηματική λογική και εισήγαγε τους ποσοδείκτες (ποσοτικές μεταβλητές). Εργάστηκε στα σύνορα των μαθηματικών και της φιλοσοφίας, άλλωστε γνωστή είναι η ρήση του : « κάθε καλός μαθηματικός είναι κατά το ήμισυ τουλάχιστον φιλόσοφος και κάθε φιλόσοφος κατά το ήμισυ τουλάχιστον μαθηματικός ». Άρχισε τις σπουδές του στο Πανεπιστήμιο της Ιέννας το 1869 και μετά μετακινήθηκε στη Γκέτιγκεν, όπου πήρε τον τίτλο Ph.D.στα μαθηματικά, το 1873. Επέστρεψε στη Ιέννα το 1875 ως λέκτορας, και το 1896 έγινε τακτικός καθηγητής. Το έργο του, αν και ο ίδιος είχε επίγνωση της μεγαλοφυΐας του και του πρωτοτύπου των ιδεών του, ελάχιστα αναγνωρίστηκε από τους συγχρόνους του, ωστόσο επηρέασε τους Russell και Peano. Τα έργα του « Εννοιογραφία», « Τα Θεμέλια της αριθμητικής » και « Οι βασικοί νόμοι της Αριθμητικής », αποτελούν και σήμερα σημεία αναφοράς των φιλο-σοφικομαθηματικών ερευνών.

224

δεύτερο τόμο του πολύ σημαντικού έργου του “Grundgesetze der Arit-metik», πήρε μια επιστολή από τον νεαρό τότε Bertand Russell, ο οποίος σχολιάζοντας τον πρώτο τόμο του παραπάνω έργου έθεσε υπόψη στον Frege τη γνωστή αντίφαση15. Απαντώντας στην παραπάνω επιστολή ο Frege εκφράζει την έκπληξη και τον τρόμο που του προξένησε η ανακάλυψη της αντίφασης γιατί όπως έγραψε «κλονίζει τις βάσεις στις οποίες σκόπευα να οικοδομήσω την αριθμητική», υποσχόμενος στον Russell στον δεύτερο τόμο του έργου του να αφιερώσει ένα παράρτημα, όπου θα δημοσίευε την ανακάλυψή του. Τελειώνοντας δε την επιστολή του έγραφε : « Μακάρι να ήξερα πώς να ερμηνεύσω αυτό το ζήτημα »16 Μετά από αυτό ο Frege σχο-λίασε στην έκδοση του δευτέρου τόμου του βιβλίου του «Δεν υπάρχει μεγαλύτερη ατυχία, που μπορεί να συμβεί σε έναν συγγραφέα επι-στημονικού συγγράμματος, απ’ αυτήν του να δει κάποιο από τα θεμέλια του οικοδο-μήματος του να τρέμει, μετά το τέλος της οικοδόμησης. Αυτή ήταν η θέση στην οποία περιήλθα μετά από ένα γράμμα του κ. Russell, ακριβώς τη στιγμή που το τύ-πωμα αυτού του τόμου ήταν κοντά στο τέλος του. Σχετίζεται με το αξίωμα μου (V). Ποτέ δεν έκρυψα από τον εαυτό μου την έλλειψη προφάνειάς του17, κάτι που ανήκει στα υπόλοιπα και που πρέπει καθαρά να απαιτείται από κάθε νόμο της λογικής..». Οι παραπάνω αντιφάσεις έχουν όλες κοινή βάση τη λεγόμενη γενική αρ-χή της συμπερίληψης, σύμφωνα με την οποία η οποιαδήποτε ιδιότητα μπο-ρεί να συγκροτήσει σύνολο, το οποίο θα αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία και μόνον που επαληθεύουν την ιδιότητα αυτή. Η αρχή της συμπερίληψης διατυπώθηκε πρώτη φορά από τον Frege, αλλά είναι και άμεση συνέπεια του Καντοριανού ορισμού του συνόλου. Η εμφάνιση των αντιφάσεων συνοδεύτηκε από μία κρίση που συγκλόνισε τα θεμέλια των μαθηματικών. Το κλίμα της κρίσης ήταν ιδιαίτερα δυσάρε-στο αλλά και εξαιρετικά γόνιμο. Η «εμφάνιση» των αντιφάσεων έγινε η αιτία για την αρχή μιας γνήσιας φιλοσοφικής συζήτησης γύρω από τα θεμέλια και τις μεθόδους της μαθηματικής επιστήμης. Έγραφε ο Hilbert: «Ειδικά, μία αντινομία που ανακαλύφθηκε από τους Zermelo και Russell, γινόμενη γνωστή, είχε εντελώς καταστροφική συνέπεια στον κόσμο των Μαθηματικών. Ε-νώπιον των παραδόξων αυτών, οι Dedekind και Frege στην πραγματικότητα εγκα-

15 Russell B. [1902] σελ.124-125 16 Frege G. [1902] σελ. 127-128 17 Το αξίωμα (V) στο οποίο αναφέρεται ο Frege και εκφράζει την ανεπιφύλακτη αποδοχή της αλήθειας του είναι η Γενική Αρχή της Συμπερίληψης.

225

τέλειψαν την άποψή τους και έφυγαν από το πεδίο. Ο Dedekind για μεγάλο χρονικό διάστημα είχε αναστολές για τη νέα έκδοση της πραγματείας του που άφησε εποχή και ο Frege, επίσης, υποχρεώθηκε να αναγνωρίσει ότι το βιβλίο του ήταν σε λανθασμένη κατεύθυνση, όπως παραδέχεται σε ένα παράρτημα. Από τα πιο διαφο-ρετικά σημεία, κατευθύνθηκαν σφοδρές επιθέσεις κατά της ίδιας της θεωρίας του Cantor. Η αντίδραση αυτή ήταν τόσο βίαιη, ώστε απειλήθηκαν οι πιο κοινές και πιο γόνιμες έννοιες, οι απλούστερες και σημαντικότερες μέθοδοι συμπερασμού των μα-θηματικών, και η χρήση τους κόντεψε να κηρυχθεί παράνομη.» Προέκυψαν έτσι τρεις φιλοσοφικές σχολές θεώρησης των μαθηματικών. Η διαισθητική ή ενορατική σχολή με ηγέτη τον Brower, οι λογικιστές με εκπρόσωπους τους Frege και Russell και η φορμαλιστική σχολή με βασικό εκπρόσωπο τον Hilbert. Δεν είναι βέβαια θέμα του παρόντος η ανάλυση των απόψεων των φιλο-σοφικών τάσεων στα μαθηματικά, αλλά τις αναφέρω για να δείξω το ρόλο που έπαιξαν οι αντιφάσεις της συνολοθεωρίας. Εκείνο που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον κυρίως είναι η αφύπνιση του μαθηματικού δυναμικού και η κί-νησή του προς την κατεύθυνση της θεμελίωσης της συνολοθεωρίας ώστε να ξεπεραστούν οι αντιφάσεις. 6.3 Η αξιωματική θεμελίωση της συνολοθεωρίας. Η πρώτη απόπειρα για το ξεπέρασμα της κρίσης ήταν αυτή που έκανε ο B. Russell και ο A. Whiteheand18 στο μνημειώδες έργο τους Principia Mathematica. Η σημαντικότερη όμως απόπειρα άρσης των αντιφάσεων, η οποία είναι το συχνότερο σημείο αναφοράς των μαθηματικών μέχρι και σήμερα, είναι αυτή που επιχείρησε ο E. Zermelo19 Σχεδόν συγχρόνως με τον Russell ο

18 Alfred North Whitehead (1861-1947). Άγγλος μαθηματικός, ο οποίος εργάστηκε στην Άλγεβρα, τη Λογική, τα θεμέλια των Μαθηματικών, τη φιλοσοφία της επιστήμης, τη Φυσική, τη Μεταφυσική και την εκπαίδευση. 19 Ernst Zermelo (1871-1953). Γερμανός μαθηματικός, του οποίου η επιστημονική έ-ρευνα περιστράφηκε σχεδόν αποκλειστικά στη θεωρία συνόλων. Είναι ίσως μετά τον Can-tor ο μαθηματικός με τη μεγαλύτερη συμβολή στην ανάπτυξη της θεωρίας των συνόλων. Σπούδασε μαθηματικά, φυσική και φιλοσοφία στα πανεπιστήμια του Βερολίνου, του Φρά-ιμπουργκ και της Χάλε. Αν και αρχικά το ενδιαφέρον του ήταν η φυσική (διετέλεσε βοη-θός του Max Planck στο πανεπιστήμιο του Βερολίνου), σύντομα άλλαξε προσανατολισμό και απορροφήθηκε από τη γοητεία της συνολοθεωρίας. Δημοσίευσε το 1902 το πρώτο του έργο που αναφερόταν στο άθροισμα των υπερπεπερασμένων πληθαρίθμων. Η εργασία που τον έκανε διάσημο ήταν η περίφημη απόδειξη του της πρότασης, ότι κάθε σύνολο μπορεί

226

E. Zermelo εισήγαγε το 1908 ένα σύστημα αξιωμάτων πάνω στο οποίο θεμελίωνε τη θεωρία των συνόλων, ακολουθώντας μετά από 2000 χρόνια τα βήματα του Ευκλείδη, του οποίου η αξιωματοποίηση της Γεωμετρίας ήταν το πρότυπο μιας «ακλόνητα» εδραιωμένης μαθηματικής θεωρίας. Η αξιω-ματική θεμελίωση του Zermelo αποτελεί μια εξαιρετικά ιδιοφυή σύλληψη γιατί εκφράζει με αυστηρά μαθηματικό τρόπο τις διαισθητικές μας αντιλή-ψεις για τις ιδιότητες των συνόλων. Αυτός είναι και ο λόγος που επέδειξε αυτή την ανθεκτικότητα στο χρόνο, αν λάβουμε υπόψη μας ότι διατηρείται αναλλοίωτη από τότε που εμφανίστηκε μέχρι και σήμερα με την εξαίρεση δύο αξιωμάτων που προστέθηκαν αργότερα20 και ο λόγος που είναι συχνό-τερα χρησιμοποιούμενη από τις άλλες αξιωματικές θεμελιώσεις21. Ο Zer-melo αντελήφθη πως αιτία των αντιφάσεων είναι η Γενική Αρχή της Συ-μπερίληψης. Ο ίδιος έγραφε22 « Η θεωρία των συνόλων είναι εκείνος ο κλάδος των μαθηματικών, του οποίου έργο είναι να ερευνήσει με μαθηματικό τρόπο τις θεμελιώδεις έννοιες του «αριθ-μού», της «διάταξης» και της «συνάρτησης», λαμβάνοντας αυτές με την αρχική απλή τους μορφή, για να στηρίξει έπειτα σ’ αυτές τη λογική θεμελίωση όλης της αριθμητι-κής και της ανάλυσης, γι’ αυτό είναι αναγκαία συνιστώσα της μαθηματικής επιστή-μης. Σήμερα όμως φαίνεται πως απειλείται η ίδια η ύπαρξη του κλάδου από ορισμέ-νες αντιφάσεις, «αντινομίες», οι οποίες μπορούν να συναχθούν από τις αρχές του- αρχές που αναγκαστικά, έτσι φαίνεται, διέπουν τη σκέψη μας και για τις οποίες δεν έχει βρεθεί ακόμη μια ικανοποιητική λύση. Ειδικά στο φως της αντίφασης του Rus-sell για το σύνολο όλων των συνόλων που δεν περιέχουν ως στοιχείο τον εαυτό τους, φαίνεται πως σήμερα πια κανείς δεν μπορεί να θεωρεί ως σύνολο την έκταση μιας οποιασδήποτε λογικώς οριζόμενης έννοιας. Επομένως ο ορισμός του Cantor, σύμ-φωνα με τον οποίο « σύνολο είναι μια συλλογή σε όλον αντικειμένων της σκέψης ή της διαίσθησής μας, τα οποία είναι εντελώς διακριτά μεταξύ τους », πρέπει να περι-οριστεί. Ωστόσο δεν βρέθηκε άλλος ορισμός, ο οποίος να τον αντικαθιστά με επιτυ-

να διαταχθεί καλώς, η οποία είδε το φως της δημοσιότητας το 1904. Το 1905 άρχισε την εργασία του πάνω στην αξιωματική θεμελίωση της συνολοθεωρίας, την οποία ολοκλήρωσε το 1908. Αργότερα (1922) ο Adolf Fraenkel και ο Thoralf Skölem εντελώς ανεξάρτητα συμπλήρωσαν το αξιωματικό σύστημα του Zermelo και έτσι προέκυψε το αξιωματικό σύ-στημα Zermelo-Fraenkel (ZF). 20 Το αξίωμα της αντικατάστασης προστέθηκε το 1920 από τον A. Fraenkel και το αξίωμα της κανονικότητας εισήχθη το 1925 από τον von Neumann. 21 Άλλα αξιωματικά συστήματα είναι εκείνα των Von Neumann-Bernays-Gödel, Kripke –Platek, Morse-Kelley και η εντελώς ιδιαίτερη προσέγγιση του Willard van Orman Quine γνωστή με την ονομασία New Foundations, η οποία αποτελεί εξέλιξη της Θεωρίας των τύπων του B.Russell. 22 E. Zermelo, [1908] σελ 200.

227 χία και να είναι το ίδιο απλός χωρίς να απαιτεί τέτοιους περιορισμούς. Γι’ αυτό όπως έχουν τα πράγματα δεν γίνεται παρά να προχωρήσουμε στην αντίθετη κατεύ-θυνση και, ξεκινώντας από τη θεωρία συνόλων όπως αυτή έχει εξελιχθεί ιστορικά, να αναζητήσουμε αυτούς τους κανόνες που είναι απαραίτητοι για την εδραίωση των θεμελίων αυτού του κλάδου των μαθηματικών. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα πρέπει από τη μια μεριά, να περιορίσουμε αυτούς τους κανόνες αρκετά ώστε να α-ποκλείσουμε όλες τις αντιφάσεις και, από την άλλη μεριά, πρέπει να τους δεχθούμε αρκετά ισχυρούς ώστε να διατηρήσουμε ό,τι είναι πολύτιμο σ’ αυτή τη θεωρία» Tο Αξιωματικό σύστημα Zermelo-Fraenkel, θεμελιώνεται στην αποδοχή των εννοιών του συνόλου, του στοιχείου και της έννοιας του ανήκει ως αρ-χικών. Τα αξιώματα του συστήματος έχουν ως εξής 1. Αξίωμα της έκτασης . Ορίζει την έννοια της ισότητας συνόλων. Δύο σύνολα είναι ίσα, όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. ( , ), (( )( )A B z z A z B A∀ ∀ ∈ ⇔ ∈ ⇒ = B ή αλλιώς ένα σύνολο καθορίζεται πλήρως από τα στοιχεία του και μόνον. (εξ’ου και η έκφραση έκταση) 2. Αξίωμα του κενού συνόλου Εξασφαλίζει την ύπαρξη κενού συνόλου. Υπάρχει σύνολο χωρίς στοιχεία και μόνον. ( )( )( )A y y A∃ ∀ ¬ ∈ 3. Αξίωμα ζεύγους Δοθέντων δύο συνόλων, μπορούμε να κατασκευάσουμε το σύνολο το οποίο θα έχει ως στοιχεία του τα σύνολα αυτά και μόνον. ( , )( )(( )( ))x y z w w z w x w y∀ ∃ ∀ ∈ ⇔ = ∨ = 4. Αξίωμα της ένωσης Αν ένα σύνολο έχει ως στοιχεία σύνολα Α Β , τότε επιτρέπεται να κατα-σκευάσουμε το σύνολο, το οποίο θα έχει στοιχεία τα στοιχεία των Β και μόνον αυτά. ( )( )(( )( ( )( ))A B x x B C x C C A∀ ∃ ∀ ∈ ⇔ ∃ ∈ ∧ ∈ 5. Αξίωμα του απείρου

228 Υπάρχει σύνολο x , το οποίο περιέχει τα σύνολα y της μορφής , , , ,...∅ ∅ ∅ ∅ , τα οποία είναι διαφορετικά μεταξύ τους και για κάθε

σύνολο , ανήκει στο y x∈ x και το «επόμενό» του y y∪ , συνεπώς το x είναι απειροσύνολο. ( )( ( )( ))A A B B A B B A∃ ∅∈ ∧ ∀ ∈ ⇒ ∪ ∈ « Η κοινή αντίληψη φιλοσόφων και μαθηματικών του 19ου αιώνα ήταν ότι η ύ-παρξη απείρων συνόλων μπορεί να αποδειχθεί, και ειδικότερα, ότι είναι εφικτό να «κατασκευάσουμε» το σύνολο των φυσικών αριθμών από το τίποτα, «μόνο με τη Λογική». Όλες οι αποδείξεις που είχαν προταθεί στηριζόταν στη Γενική Αρχή Συ-μπερίληψης και οδηγούσαν σε αντιφάσεις. Σήμερα καταλαβαίνουμε τα πράγματα κάπως καλύτερα : η Λογική μπορεί να ταξινομήσει τους ορθούς τρόπους του «σκέ-πτεσθαι», αλλά (από τη φύση της) δεν μπορεί να αποδείξει την ύπαρξη ουδενός, πόσο μάλλον απείρων συνόλων. Με τη σωστή και σαφή αντιμετώπιση αυτού του θέματος στη διατύπωση ξέχωρου Αξιώματος Απείρου, ο Zermelo έκανε μια ιδιαίτερα σημαντική προσφορά στη διαδικασία αποβολής από τη Λογι-κή οντολογικών απαιτήσεων. »23 6. Αξίωμα του δυναμοσυνόλου Δοθέντος ενός συνόλου Α, υπάρχει το σύνολο που αποτελείται από όλα τα υποσύνολα του Α. ( )( )( )( )A Y Z Z Y Z A∀ ∃ ∀ ∈ ⇔ ⊆ 7. Αξίωμα της θεμελίωσης ή κανονικότητας Κάθε μη κενό σύνολο X περιέχει ένα στοιχείο Y , τέτοιο ώστε

X Y∩ =∅( ) ( )( ) (X a a X y y X z z y z X⎡ ⎤∀ ∃ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∧¬∃ ∈ ∧ ∈⎣ ⎦ Με το αξίωμα αυτό αποκλείεται η ύπαρξη του συνόλου Russell και συνακό-λουθα αίρεται και η αντίφαση που αυτό δημιούργησε. 8. Αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης Έστω τύπος της θεωρίας των συνόλων, ο οποίος ορίζει απεικόνιση, δηλαδή για κάθε

( , )P x yx υπάρχει ακριβώς ένα , τέτοιο ώστε ο να είναι

αληθής. Τότε για κάθε σύνολο y ( , )P x y

A υπάρχει ακριβώς ένα σύνολο B , του ο-

23 Γ. Μοσχοβάκης σελ 30. Οι υπογραμμίσεις δικές μου

229 ποίου τα στοιχεία είναι τα y και μόνον αυτά που για κάποιο x A∈ ε-παληθεύουν τον τύπο . ( , )P x y

( )( )( )( , )A B y y B x A P x y∀ ∃ ∀ ∈ ⇔ ∃ ∈ Ως ειδική περίπτωση του αξιωματικού της αντικατάστασης προκύπτει το σχήμα της εξειδίκευσης ή διαχωρισμού, σύμφωνα με το οποίο Δοθέντος ενός τύπου της θεωρίας των συνόλων και ενός συνόλου P A , υπάρχει ακριβώς ένα σύνολο B , στο οποίο ανήκουν τα στοιχεία του A , που ικανοποιούν τον και μόνον αυτά. P 9. Αξίωμα της επιλογής Αν είναι μία μη κενή οικογένεια μη κενών και ξένων ανά δύο συ-νόλων, τότε υπάρχει σύνολο

,i i IΧ ∈Α τέτοιο ώστε η τομή iΑ∩Χ για κάθε

να είναι μονοσύνολο. Συντομογραφικά το Αξίωμα της Επιλογής θα γράφουμε AC. Έναν λεπτομερέστερο σχολιασμό του αξιώματος της επιλο-γής θα κάνουμε στην επόμενη παράγραφο.

i I∈

Στην αρχική πρόταση του ο Zermelo συμπεριλάμβανε και το αξίωμα του διαχωρισμού, το οποίο ισχυρίζεται Με το σύνολο των Αξιωμάτων της θεμελίωσης Zermelo-Fraenkel εκτός του Αξιώματος της επιλογής «οικοδομείται» η λεγόμενη Περιορισμένη Θεωρία Συνόλων, την οποία συντομογραφικά συμβολίζουμε με ZF. Τα παραπάνω αξιώματα μαζί με το αξίωμα τα επιλογής «οικοδομούν» την Κα-ντοριανή Θεωρία Συνόλων (ZF+AC ή ZFC). Ας δούμε πως με τη βοήθεια της ZF θεμελιώνεται η ύπαρξη κάποιων συ-νόλων Ι. Δοθέντων δύο συνόλων Α και Β υπάρχει το σύνολο Α∩Β Η ύπαρξη δικαιολογείται από την αρχή του διαχωρισμού επειδή το αποτελείται από τα στοιχεία του Α, τα οποία ανήκουν στο

Α∩ΒΒ

ΙΙ. Δοθέντων δύο συνόλων Α και Β υπάρχει το σύνολο Α×Β Κατ’ αρχήν πρέπει να δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό του μονοσυνόλου: Το σύνολο θα λέμε ότι είναι μονοσύνολο αν και μόνον αν

Α

Β⊂ Α⇒Β =∅

230 Δοθέντος ενός συνόλου Α και ενός x∈Α , το ότι υπάρχει το σύνολο

x είναι συνέπεια της αρχής του διαχωρισμού. Άρα αν x∈Α και ,

υπάρχουν τα σύνολα y∈Α

x και y , κατά συνέπεια (Αξίωμα Ζεύγους) θα

υπάρχει το σύνολο ,x y , άρα (Αξίωμα ένωσης) θα υπάρχει και το

σύνολο ,x y x y= ∪ (μη διατεταγμένο ζεύγος) και το

, , ,x x y x x y= ∪ (διατεταγμένο ζεύγος). Αν x∈Α και y∈Β ,

τότε ,x y ⊂ Α∪Β , άρα , (x y )∈Ρ Α∪Β και

( , ) , , ( ( ))x y x x y= ∈Ρ Ρ Α∪Β . Συνεπώς η ύπαρξη του συνόλου είναι συνέπεια της αρχής του διαχωρισμού, γιατί αποτελείται από τα

στοιχεία του που είναι διατεταγμένα ζεύγη ( ,Α×Β

( ( ))Ρ Ρ Α∪Β )x y με και

x∈Αy∈Β .

ΙΙΙ. Δοθέντων δύο μη κενών συνόλων Α και Β υπάρχει το σύνολο ΑΒΗ ύπαρξη του συνόλου ΑΒ είναι συνέπεια της αρχής του διαχωρισμού, γιατί αποτελείται από τα στοιχεία του ( )Ρ Α×Β , τα οποία είναι συναρτή-σεις από το στο . Α Β ΙV. Δοθείσης μιας οικογένειας συνόλων ,i i IΑ ∈ υπάρχει το σύνολο

ii I∈ΑΧ

Η ύπαρξη του συνόλου ii I∈ΑΧ είναι συνέπεια της αρχής του διαχωρισμού,

γιατί αποτελείται από τα στοιχεία του , τα οποία έχουν την ιδιό-

τητα Η ύπαρξη του συνόλου

I

ii I∈

⎛Α⎜

⎝ ⎠∪ ⎞

⎟

( ) if i ∈Α ii I∈ΑΧ δεν πρέπει να συγχέεται με

το ότι αν για κάθε iii I∈ΑΧ ≠∅ iΑ ≠ ∅ I∈ . Το δεύτερο είναι συνέπεια

του αξιώματος επιλογής ή πολλαπλασιαστικής αρχής, όπως είδαμε στα προηγούμενα.

231 Για να θεμελιωθεί αυστηρά η έννοια του διατακτικού τύπου24, είναι α-παραίτητη η εισαγωγή ενός ακόμη αξιώματος. Συγκεκριμένα, αν είναι ένα σύνολο εφοδιασμένο με τη διμελή σχέση

ΑR , τότε το ζεύγος ( , )RΑ

ονομάζουμε σχεσιακό σύστημα. Τα σχεσιακά συστήματα ( , )RΑ και θα λέμε ότι είναι ισόμορφα ή όμοια (συμβολικά ( ,( , )SΒ ) ( , )R SΑ ≈ Β ),

όταν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση f από το Α στο τέτοια ώστε

Β( ) ( )xRy f x Sf y⇔ .

Η έννοια του τύπου25 ενός σχεσιακού συστήματος R, το οποίο συμβολί-ζουμε με TR (Type Relational) είναι αρχική έννοια Ο α είναι τύπος του σχεσιακού συστήματ )ος ( , RΑ (Το συμβολίζου )Rμε A ( ,TRα ) και έχου-με το

υστημσιακό σύστη

10. Αξίωμα των σχεσιακών σ άτων Για κάθε σχε μα ( , )RΑ υπάρχει ένα ακριβώς αντικείμενο α τέτοιο ώστε ( , R)TRα Α για ε δύο συστήματα . Ε οποιαδήποτπιπλέον( , )RΑ και ( , )SΒ με ( , )TR Rα Α ( , )TR Sβ Β και ισχύει η παρακάτω οδυναμία ( , ) ( , )R Sα β= ⇔ Α ≈ Β ισ

V. Δοθέντος ενός διατακτικού αριθμού α υπάρχει το σύνολο ( )W α όλων των διατακτικών, οι οποίοι είναι μικρότερο του ι α . Το σύνολο Σ(Α) όλων των α ών τμημάτων του ρχικ Α υπάρχει γιατί αποτε-λείται από τα στοιχεία του ( )Ρ Α , τα οποία είναι τμήματα του

χή ΔιαΤο W

αρχικά Α (Αρ χωρισμού)

) (α είναι εικόνα του Σ(Α) μέσω του διμελούς κατηγορήματος ( , )P x y : ο y είναι διατακτικός αριθμός του x , άρα είναι σύνολο (Αξίωμα

παραπάνω ορισμός του διατακτικού αριθμού, ως συνόλου και όχι ως χαρα-

Αντικατάστασης) Στον J.V.Neumann26 (1928) οφείλεται και ένας διαφορετικός από τον

24 Γιατί ο ορισμός που δώσαμε στη παράγραφο 2.1, ως το κοινό χαρακτηριστικό των ο-μοίων ολικώς διατεταγμένων συνόλων είναι προφανώς ένας ορισμός ανάγκης ή καλύτερα δεν μπορεί να θεωρηθεί τίποτε πέραν μιας πρώτης διαισθητικής και μόνον προσέγγισης

ν ωση των διατακτικών τύπων. Η γενική έννοια οφείλεται στους Russell και

hitehead

της έννοιας. Η εισαγωγή του αξιώματος αυτού οφείλεται στον Kutatowski. 25 Η έννοια του τύπου εισήχθη το πρώτον από τον Cantor, ο οποίος ασχολήθηκε με τηειδική περίπτW 26 John von Neumann (1903-1957) Ουγγρικής καταγωγής, μετανάστευσε στις Ηνωμένες Πολιτείες, όπου εργάστηκε ως το θάνατό του. Παρήγαγε σημαντικό έργο σε πολλούς κλά-

232 κτηριστικό συνόλου. Ο ορισμός αυτός, ο οποίος είναι και ο ευρύτερα

χρησιμοποιούμενος, έχει ως εξής : Ένα σύνολο λέγεται μεταβατικό, αν και μόνον αν τα στοιχεία των στοι-χείων του είναι επίσης στοιχεία του

ΑΑ Α , δηλαδή

. Ένα παράδειγμα μεταβατικού συνόλου είναι το x y y x∈ ∧ ∈Α⇒ ∈Α

, , , , , ,...∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

Ο J.V.Neumann ονόμασε διατακτικό αριθμό κάθε μεταβατικό σύνολο, το οποίο είναι καλώς διατεταγμένο με τη σχέση ∈ . Έτσι ορίζεται ως πληθικός αριθμός ενός συνόλου A ο αρχικός διατακτικός της αριθμητικής κλάσης των ισοδυνάμων με το A συνόλων. Το 1908 ο Zermelo στο άρθρο του, όπου θεμελίωνε αξιωματικά τη θεωρία συνόλων27έγραφε: «Δεν κατάφερα ακόμα να αποδείξω με αυ-στηρό τρόπο ότι τα αξιώματα μου συμβιβάζονται μεταξύ τους, αν και τούτο είναι βέβαια ουσιαστικό˙ γι’ αυτό αναγκάστηκα να περιοριστώ στην επισήμανση ότι όλες ανεξάρτητα οι αντινομίες που έχουν ανα-καλυφθεί μέχρι σήμερα εξαλείφονται, αν ως βάση υιοθετήσουμε τις αρχές που προτείνω. Ελπίζω πως η δουλειά μου να έχει κάποια χρη-σιμότητα για τις παραπέρα έρευνες αυτών των βαθύτερων προβλημά-των» Αλλά οι ελπίδες του Zermelo χάθηκαν μετά τη δημοσίευση των αποτε-λεσμάτων της εργασίας του Kurt Gödel το 1931 και μέχρι σήμερα αρκού-μαστε με το ότι δεν έχουν «φανεί» αντινομίες από τη χρήση του αξιωματι-κού συστήματος ZF. Ο εικοσιπεντάχρονος τότε Αυστριακός μαθηματικός Kurt Gödel28,

αι την ιστορία των μαθηματικών και έδωσε σε λα τα παραπάνω σημαντικές εργασίες.

δους των μαθηματικών (συναρτησιακή ανάλυση, θεωρία συνόλων, τοπολογία, αριθμητικήανάλυση, στατιστική), της φυσικής (κβαντική φυσική, υδροδυναμική) στην επιστήμη των υπολογιστών, την οικονομική επιστήμη κό 27 Βλ. Zermelo [1908], σελ. 200-201 28 Ο Kurt Gödel γεννήθηκε στο σημερινό Μπρνό της Τσεχοσλοβακίας, το οποίο τότε (1906) ανήκε στην ενωμένη Αυτοκρατορία της Αυστροουγγαρίας. Μετά τις βασικές σπου-δές του σε γερμανόφωνο σχολείο ακολούθησε τον μεγαλύτερο αδερφό του και ήρθε στη Βιέννη για πανεπιστημιακές σπουδές. Το αρχικό του ενδιαφέρον για τη Θεωρητική Φυσι-κή μεταστράφηκε σύντομα και άρχισε να ασχολείται με τα μαθηματικά και τη φιλοσοφία. Αν και από τότε κατασταλαγμένος Πλατωνιστής, μπήκε στον λεγόμενο κύκλο της Βιέννης,

233

στον οποίο μεταξύ άλλων συμμετείχαν και οι M.Shlick, H.Hahn και R.Carnap. Παράλλη-λα με τη μελέτη της Αριθμοθεωρίας, παρακολούθησε τις αναλύσεις του M.Shlick στο βι-βλίο του B.Russell, Introduction to mathematical Philosophy, και άρχισε εκδηλώνει εν-διαφέρον για τη Μαθηματική Λογική. Το 1929 ολοκλήρωσε τη διδακτορική του διατριβή υπό την καθοδήγηση του H.Hahn, όπου απέδειξε την πληρότητα του πρωτοβάθμιου κα-τηγορηματικού λογισμού (γνωστό ως θεώρημα πληρότητας του Gödel) Η διδακτορική του διατριβή εκδόθηκε από την Ακαδημία επιστημών της Βιέννης. Το 1931 ο Gödel δημοσίευσε το περίφημο Θεώρημα της μη- Πληρότητας, μία από σημαντικότερες και ανατρεπτικότερες ανακαλύψεις στην Ιστορία των Μαθηματικών. Το 1932 έγινε Λέκτορας στο πανεπιστήμιο της Βιέννης. Η άνοδος στην εξουσία του Χίτλερ δεν επηρέασε τον Gödel, γιατί δεν είχε κανένα ενδιαφέρον για την πολιτική. Η δολοφονία όμως του δασκάλου του M.Shlick από έναν Εθνικοσοσιαλιστή φοιτητή τον συγκλόνισε και ήταν η αιτία της πρώτης του νευρικής κρίσης. Το 1933 ταξίδεψε για πρώτη φορά στις Η.Π.Α. στα πλαίσια του ετήσιου συνεδρίου της Αμερικάνικης Μαθηματικής Εταιρείας, όπου γνώρισε τον Αϊνστάιν και άρχισε να συνδέε-ται με στενή φιλία μαζί του. Το 1934 παραδίδει σειρά μαθημάτων στο Ινστιτούτο προχω-ρημένων σπουδών του Πρίνστον. Το 1935 έπαθε δεύτερη νευρική κρίση από υπερκόπωση. Επανήλθε στη διδασκαλία το 1937. Κατά το έτος αυτό άρχισε να εργάζεται στη απόδειξη της ανεξαρτησίας της υπόθεσης του συνεχούς και του αξιώματος της επιλογής από τα υπό-λοιπα αξιώματα της συνολοθεωρίας. Μετά την προσάρτηση της Αυστρίας στη Ναζιστική Γερμανία, φοβούμενος τη στράτευ-σή του, «δραπέτευσε» στην Αμερική μαζί με τη σύζυγό του. Εγκαταστάθηκε στο Πρίνστον και εργάστηκε στο Ινστιτούτο προχωρημένων σπουδών. Το 1940 δημοσίευσε το κλασικό πλέον για τα Μαθηματικά έργο : « Consistency of the axiom of choice and of the gener-alized continuum hypothesis with the axioms of set theory » . Στο έργο αυτό ο Gödel έφτιαξε ένα πρότυπο της συνολοθεωρίας από τα λεγόμενα «κατασκευάσιμα» σύνολα, με το οποίο στηριζόμενοι στα αξιώματα της θεωρίας συνόλων πλην εκείνου της επιλογής ( αξιώ-ματα περιορισμένης θεωρίας) η εικασία του συνεχούς, όπως και το αξίωμα της επιλογής αποδεικνύονται ως θεωρήματα. Το 1946 έγινε μόνιμο μέλος του Ινστιτούτου. Το 1948 πολιτογραφήθηκε Αμερικανός πολίτης και το 1953 έγινε τακτικός καθηγητής. Στα εβδο-μήντα του, ο Kurt Gödel, ο οποίος ήταν βαθύτατα θρησκευόμενος, παρουσίασε μεταξύ των φίλων του μια επεξεργασμένη οντολογική απόδειξη του Gottfied Leibniz για την ύ-παρξη του Θεού, η οποία έγινε αργότερα γνωστή ως η «οντολογική απόδειξη του Kurt Gödel» Ο Kurt Gödel ήταν ένα άτομο ντροπαλό, συνεσταλμένο, εσωστρεφές και εκκεντρικό. Στα τελευταία του κατελήφθη από παρανοϊκή σχιζοφρένεια. Ντυνόταν με χειμωνιάτικα ρούχα το καλοκαίρι και το χειμώνα άφηνε ανοικτά τα παράθυρα, γιατί φοβόταν μήπως τον δηλητηριάσουν με αέρια. Από το φόβο μιας επικείμενης δηλητηρίασης δεν έτρωγε κανένα φαγητό εκτός από εκείνα που μαγείρευε η γυναίκα του και όταν εκείνη αναγκάστηκε να εισαχθεί στο νοσοκομείο εξαιτίας ασθένειας της, πέθανε από ασιτία τον Ιανουάριο του 1978. Προς τιμή του το 1987 ιδρύθηκε διεθνής οργανισμός για την προώθηση της έρευ-νας στους τομείς της Λογικής, της Φιλοσοφίας και της ιστορίας των Μαθηματικών η Kurt Gödel’s Society. Δικαίως θεωρείται ως ο σύγχρονος Αριστοτέλης.

234

-

λήρης αξιωματική θεμελίωση για όλους τους

-

ε

κύπτουν από αυτά τα δύο προσαυξημένα με ένα πεπερασμένο

δημοσιεύει στο περιοδικό Monatshefte für Mathematik und Physik την εργασία με τίτλο Über formal unetscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Επί των τυπικά μη επιδεκτικών αποδείξεως προτάσεων του Principia Mathematica και άλλων συναφών συ-στημάτων)29 Στην εργασία του αυτή, που λίγα χρόνια αργότερα θα θεωρη-θεί από τις σημαντικότερες ανακαλύψεις της Μαθηματικής Λογικής, αν όχι η σημαντικότερη, ο Gödel αποδεικνύει ότι σε κάθε λογικώς οικοδομημένηΜαθηματική Θεωρία, στην οποία περιλαμβάνεται το σύστημα των φυσικών αριθμών, θα υπάρξουν αληθείς προτάσεις, των οποίων η αλήθεια είναι αδύνατον να αποδειχθεί εντός της θεωρίας, αλλά και η απόδειξη της συνέπειας της ίδιας της θεωρίας, δηλαδή της μη ύπαρξης αντιφατικών συμπερασμά-των είναι αδύνατον να γίνει εντός αυτής. Διαψεύστηκε, έτσι, η κρυφή πίστηπως μπορεί να βρεθεί μία πκλάδους των Μαθηματικών και το περίφημο «πρόγραμμα» του Hilbert30 για μια τέτοια θεμελίωση κατέρρευσε. Επιπλέον αποδείχθηκε ότι δεν έχει νόημα η έρευνα για την απόδειξη της συνέπειας ενός αξιωματικού συστήματος. Γράφει ο Gödel31«Το πιο περιεκτικό τυπικό σύστημα που κατασκευάστηκε ως τώρα είναι το σύστημα των Principia Mathematica από τη μια, και το αξιωματικό σύστημα της συνολοθεωρίας των Zermelo-Fraenkel (όπως επεκτάθηκε αργότερα από τον J. von Neumann) από την άλλη. Αυτά τα δύο συστήματα είναι τόσο περιεκτικά που σ’ αυτά όλες οι μέθοδοι απόδειξης που χρησιμοποιούνται σήμερα στα μα-θηματικά τυποποιούνται εκεί, δηλαδή ανάγονται σε μερικά αξιώματα και κανόνες συμπερασμού. Θα διατύπωνε κανείς την υπόθεση λοιπόν ότι αυτά τα αξιώματα καιοι κανόνες επαρκούν για να αποφασίσουμε την αλήθεια οποιασδήποτε μαθηματικής πρότασης που μπορεί να εκφραστεί τυπικά σε αυτά τα συστήματα. Θα δείξουμε πα-ρακάτω ότι αυτό δεν είναι δυνατό, ότι αντίθετα στα δύο συστήματα που αναφέραμυπάρχουν σχετικά απλά προβλήματα στη θεωρία των ακεραίων που δεν μπορεί να αποφασιστεί η τιμή αλήθειας τους στη βάση των αξιωμάτων. Αυτό καθόλου δεν συμβαίνει εξαιτίας της ειδικής φύσης των συστημάτων που συζητούμε, αλλά ισχύει για μια ευρεία τάξη τυπικών συστημάτων· ιδιαίτερα, ανάμεσα τους περιέχονται όλα τα συστήματα που προπλήθος αξιωμάτων, με την προϋπόθεση βέβαια ότι δεν προκύπτουν ψευδείς προτά-σεις εξ’ αιτίας τους.»

29 Βλ. [11] : σελ. 596- 617. 30 Στον Hilbert άρεσε να λέει ότι, πρέπει να μάθουμε και θα μάθουμε. Στα μαθηματικά δεν υπάρχει ingorabimus (αγνοούμε) 31 Βλ. Gödel [1931] σελ. 596-597)

235 αι εισα-

ωγή της σχετικής αβεβαιότητας. Γράφει γι’ αυτό ο E.T.Bell «…η οριστικό- έχει γίνει ιδιαίτερο χαρακτηριστικό γνώρισμα μόνο των φονταμενταλιστών

οχή αμφιβολίας και ταπεινοφροσύνης»32

Το μεγαλύτερο, λοιπόν επίτευγμα του Cantor, από μια άποψη, είνπως στην επιστήμη της απόλυτης σιγουριάς άνοιξε το δρόμο για την γτητα…Μπαίνουμε σε μια νέα εποχή, επ 6.4 Η υπόθεση του συνεχούς. Ποια είναι η υπόθεση του συνεχούς; Στο διάστημα ανάμεσα στα έτη 1894 και 1897 ο Cantor διετύπωσε την εικασία ότι δεν υπάρχει πληθικός αριθμός μεταξύ των πληθικών αριθμών 0ℵ και c . Η εικασία αυτή φυσικά, δεν αποδείχθηκε από τον Cantor και το 1900 στο Δεύτερο Διεθνές Μαθη-

α φημισμένα προβλήματα: η λύση του απαιτεί νέους τρόπους, αφού

να με η του σ συντομογραφ ύναμη -

ματικό Συνέδριο, που έγινε στο Παρίσι, ετέθη από τον Hilbert ως το πρώ-το από τα σημαντικότερα μέχρι τότε άλυτα μαθηματικά προβλήματα, πουεν’ συνόλω ήταν 23. «Το πρόβλημα του συνεχούς διακρίνεται για την πρωτοτυπία και την εσωτερικήομορφιά του. Χαρακτηρίζεται, επιπλέον, από δύο στοιχεία που το αναδεικνύουν α-νώτερο από άλλοι παλιές μέθοδοι αποτυγχάνουν στην περίπτωση του και επιπλέον, αυτή η λύση είναι αφ’ εαυτής τεράστιου ενδιαφέροντος ως προς το αποτέλεσμα που πρόκειται νακαθοριστεί»33 Το πρόβλημα έκτοτε εί ι γνωστό το όνομα Υπόθεσ υνεχούς(Continuum Hypothesis, ικά CH). Μια ισοδ διατύπω

0ℵ =ℵσή του είναι η 12 , εφ’ όσον είναι γνωστό ότι στη διατακτική ιεραρχία των άλεφ ο επόμενος του 0ℵ είναι ο 1ℵ ως επίσης και το 02 cℵ = , ή το σύνολο των αριθμήσιμων διατακτικών έχει την ισχύ του συνεχούς. Από το 1900 και έως το 1939 που ο Gödel δημοσίευσε την εργασία του:

nsistency proof for the generalized continuum hypothesis (Proc. Nat.

ν ο

του συνεχούς είναι μεγαλύτερη από

CoAcad. Sci. U.S.A. 25(1939), 220-224), έγιναν πολλές προσπάθειες για την επίλυση του προβλήματος, εκ τω ποίων αξίζει να αναφέρουμε 1. Το αποτέλεσμα του Köning, ο οποίος απέδειξε ότι η ομοτελικότητα

0ℵ , χωρίς όμως να απαντήσει στο (αναπά-ντητο ακόμα) ερώτημα ποια είναι η ομοτελικότητα του συνεχούς.

32 Βλ. Bell, σελ 441-442 33 D. Hilbert. σελ.384

236

ι τέλος

2. Τις κομψές και ενδιαφέρουσες ισοδύναμες προτάσεις του Sierpin-ski34 , οι οποίες όμως δεν άνοιξαν δρόμο για την επίλυση του προβλήμα-τος35 κα3. Την αποτυχημένη απόπειρα λύσης του Hilbert (Über das Unedliche, Math. Annalen 95 (1926), 161-192), η οποία όμως έχει κάποια ασθενή συ-νάφεια με την απόδειξη του Gödel. Στην εργασία που αναφέραμε του 1939 ο Gödel απέδειξε πως τα αξιώμα-τα της ZF δεν μπορούν να μας οδηγήσουν στη άρνηση της CH. Το 1947 ο Gödel είκασε πως τα αξιώματα της ZF δεν μπορούν να οδηγήσουν ούτε στην κατάφαση της CH. Την εικασία του Gödel απέδειξε το 1963 ο Cohen36(P. J. Cohen, The independence of the continuum hypothesis, Parts I, II, Proc. Math. Acad. Sci. U.S.A. 50(1963), 1143-1148, 51(1964), 105-110) Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως η υπόθεση του συνεχούς είναι μη αποκρίσιμη στο πλαίσιο της ZF, δηλαδή θα μπορούσε τόσο αυτή, όσο και η άρνησή της να προστεθούν ως αξιώματα στα ήδη γνωστά αξιώματα της ZF και να αποτελέσουν έτσι ένα συνεπές αξιωματικό σύστημα, εφόσον η ZF είναι συνεπής. Είναι όμως σαφές ότι η CH δεν έχει το βασικό γνώρισμα ενός αξιώματος, γιατί το αξίωμα είναι μια θεμελιώδης πρόταση με άμεση

34 Ο Πολωνός Waslaw Sierpinski (1882-1969), ήταν ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ου αιώνα. Είναι γνωστός ιδιαίτερα για τη συνεισφορά του στα θέματα της συνολοθεωρίας, της θεωρίας των συναρτήσεων και της τοπολογίας. Μια άλλη επίσης σημαντική συνεισφορά του ήταν η ίδρυση του περιοδικού Fundamenta Mathematica, μαζί με τους Zygmunt Janiszewski και Stefan Mazurkiewicz, το οποίο δημοσίευσε και συνεχί-σει να δημοσιεύει δεκάδες σημαντικές εργασίες πάνω στη συνολοθεωρία, τη λογική και την τοπολογία. Ο ίδιος δημοσίευσε σε επιστημονικά περιοδικά 724 πρωτότυπες εργασίες και έγραψε 50 βιβλία. 35 Βλ. Sierpinski [1934] 36 Ο Paul Cohen γεννήθηκε στο New Jersey το 1934 από γονείς Πολωνοεβραίους μετα-νάστες. Από μικρή ηλικία έδειξε τις ικανότητες του στα Μαθηματικά, μελετώντας αντικεί-μενα, τα οποία ήταν πολύ προχωρημένα σε σχέση με την ηλικία του και πετυχαίνοντας συνεχείς διακρίσεις στους σχολικούς Μαθηματικούς διαγωνισμούς. Από τα φοιτητικά του χρόνια ζητούσε από τους καθηγητές του να τον πληροφορήσουν για τα άλυτα προβλήματα των Μαθηματικών και μόνον με αυτά θεωρούσε ότι πρέπει να ασχολείται. Τελικά κατάφε-ρε να πετύχει το αποτέλεσμα που τον έκανε διάσημο. Το 1963, όντας ήδη καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Stanford και χωρίς να έχει ιδιαίτερες σπουδές στη Μαθηματική Λογι-κή, επινόησε τη λογική μέθοδο του εξαναγκασμού (Forcing), μέσω της οποίας απέδειξε ότι η άρνηση του Αξιώματος Επιλογής και η Γενικευμένη Υπόθεση του Συνεχούς είναι συμβιβαστές με το σύνολο των αξιωμάτων της ZF, αν αυτό δεν δίνει αντιφάσεις. Η μέθο-δος αυτή άνοιξε νέους ορίζοντες στην ανάπτυξη της συνολοθεωρίας, αναθέρμανε το ενδια-φέρον της έρευνας περί αυτήν και απέφερε για τον δημιουργό της το Fields Metal το 1966. Ο Cohen πέθανε στη Καλιφόρνια το 2007.

237 διαισθητική προφάνεια. Έτσι πάνω από 100 χρόνια είμαστε στην ανα-μονή να προτείνει κάποιος εμπνευσμένος εκείνη την πρόταση, την διαισθη-τικώς προφανή, η οποία προστιθέμενη στα υπόλοιπα αξιώματα θα μας οδη-γούσε στην αποδοχή ή την απόρριψη της CH. Γενίκευση της υπόθεσης του συνεχούς είναι η Γενικευμένη Υπόθεση του Συνεχούς (General Continuum Hypothesis-GCH) ( 12 α

αℵ

+=ℵ ) ή αλ-λιώς δεν υπάρχει πληθάριθμος μεταξύ των αℵ και 1α +ℵ , για τον οποιονδή-ποτε διατακτικό α . Προβλήματα πάνω στην Υπόθεση του Συνεχούς 1. Η παρακάτω ανισότητα είναι ισοδύναμη με την υπόθεση του συνεχούς

0 02 1ℵ ℵℵ >ℵ

2. Η εικασία του συνεχούς είναι ισοδύναμη με την παρακάτω πρόταση Το σύνολο Π των σημείων του επιπέδου διαμερίζεται σε δύο σύνολα και

( και ) τέτοια ώστε το σύνολο Α

Β Π = Α∪Β Α∩Β =∅ Α να έχει με την οποιαδήποτε παράλληλη στον άξονα των ψ ευθεία το πολύ αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων και το με την οποιαδήποτε παράλληλη στον άξονα χ επίσης το πολύ αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων. (Θεώρημα Sierpinski)

Β

3. Η υπόθεση του συνεχούς είναι ισοδύναμη με τη σχέση 01 1ℵℵ =ℵ .

4. Από τη γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς συνάγεται η συνεπαγωγή:

2 2α βα β< ⇒ < . 5. Από τη γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς συνάγεται η ισοδυναμία:

2 2α βα β= ⇔ = . 6. Αν υποθέσουμε ότι αληθεύει η Γενικευμένη Υπόθεση του Συνεχούς τότε

1

1

, ( ), ( )

,

cfcfβ

α β α

α α α β α

β β α

ℵ+

+

⎧ℵ ℵ < ℵ⎪

ℵ = ℵ ℵ ≤ℵ <ℵ⎨⎪ℵ ℵ ≥ℵ⎩

7. Αν αληθεύει η GCH, τότε κάθε ασθενώς απρόσιτος πληθάριθμος θα είναι απρόσιτος

238

6.5 Σχόλια πάνω στο αξίωμα της επιλογής Η θεμελιώδης πρόταση της Γραμμικής Άλγεβρας «Κάθε διανυσματικός χώρος έχει μία βάση», αποδείχθηκε ισοδύναμη με το Αξίωμα Επιλογής (Blass, 1984). Η πρόταση «Κάθε αντιμεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο έχει μεγιστικό ιδεώδες», αποδείχθηκε ισοδύναμη με το Αξίωμα Επιλογής (Hodges, 1979). Η πρόταση «Κάθε επιμεριστικός σύνδεσμος έχει μεγιστι-κό ιδεώδες», αποδείχθηκε ισοδύναμη με το Αξίωμα Επιλογής (Klimovsky, 1958). Η πρόταση «Κάθε ελεύθερη αβελιανή ομάδα είναι προβολική», α-ποδείχθηκε ισοδύναμη με το Αξίωμα Επιλογής. Μία από τις σημαντικότε-ρες προτάσεις της Τοπολογίας, αν όχι η σημαντικότερη, το θεώρημα Tychonoff, αποδείχθηκε ισοδύναμο με το Αξίωμα επιλογής(Kelley, 1950). Το θεώρημα Krein-Milman, αποδείχθηκε ισοδύναμο με το Αξίωμα Επιλο-γής(Bell-Fremlin, 1972). Το θεώρημα Löwenheim-Skolem-Tarski, απο-δείχθηκε από τον Tarski ισοδύναμο με το Αξίωμα Επιλογής. Δεν θα ήταν, κατά συνέπεια, υπερβολικό να ισχυριστεί κάποιος ότι το Αξίωμα Επιλογής, στηρίζει ένα μεγάλο μέρος των συγχρόνων Μαθηματικών και δικαιολογεί απόλυτα που αφιερώνουμε λίγες αράδες σ’ αυτό. Το Αξίωμα Επιλογής είναι η πιο συζητημένη και αμφισβητούμενη πρότα-ση των Μαθηματικών τους τελευταίους δύο αιώνες. Αμιλλάται, ως σημείο αντιλογίας, μια άλλη πρόταση που έχει ιστορία πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια, το αίτημα των παραλλήλων του Ευκλείδη. Και οι δύο έχουν ένα κοινό σημείο που τις κάνει στόχο συγκέντρωσης των πυρών αμφισβήτησης. Αναφέρονται σε μια έννοια για την οποία ο ανθρώπινος νους δεν έχει άμεση εποπτική αντίληψη, την έννοια του απείρου. Η πρώτη διατύπωση και πα-ρουσίαση του αξιώματος επιλογής ως μιας Μαθηματικής Αρχής έγινε το 1904 από τον Zermelo και χρησιμοποιήθηκε στην πρώτη του απόδειξη του καλώς διατάξιμου των συνόλων. Αλλά και πριν τον Zermelo τόσο ο Cantor στη συνολοθεωρία του, όσο και άλλοι μαθηματικοί σε ανεξάρτητες από τη συνολοθεωρία μαθηματικές έρευνες χρησιμοποίησαν το αξίωμα ως μία α-πολύτως λογική και αναγκαία διαδικασία, όπως είναι οι βασικοί νόμοι του συλλογισμού, χωρίς να αισθάνονται την ανάγκη να το διατυπώσουν επισή-μως ως αξίωμα. Βέβαια ίσως να γινόταν έως τις μέρες μας μια τέτοιου εί-δους διαισθητική χρήση του αξιώματος, χωρίς να εγερθεί κανένας θόρυβος, αν τα αποτελέσματα που παρήγαγε η χρήση του, όπως θα δούμε παρακά-τω, δεν είναι τόσο «περίεργα» για τη έτσι και αλλιώς περιορισμένη εποπτική μας αντίληψη.

239

Στα προηγούμενα είδαμε πως το Αξίωμα της Επιλογής, το Λήμμα του Zorn, το Θεώρημα Καλής Διάταξης, είναι προτάσεις μεταξύ τους ισο-δύναμες. Επίσης είδαμε πως η κομβικής σημασίας για την Καντοριανή συ-νολοθεωρία αρχή της συγκρισιμότητας των πληθαρίθμων είναι συνέπεια του Λήμματος Zorn ή του Θεωρήματος Καλής Διάταξης, που και οι δύο είναι ισοδύναμες με το Αξίωμα Επιλογής. Υπάρχει όμως άλλη οδός που μπορεί να μας οδηγήσει στο θεώρημα συγκρισιμότητας των πληθαρίθμων πέραν αυτής, όπου αποδεχόμαστε το Αξίωμα Επιλογής; Η απάντηση είναι πως όχι, γιατί από την υπόθεση της συγκρισιμότητας των πληθαρίθμων, στηρι-ζόμενοι στα αξιώματα της ZF, συμπεραίνουμε την υπόθεση της καλής διά-ταξης των συνόλων, η οποία, όπως είδαμε είναι ισοδύναμη με το Αξίωμα Επιλογής.37 Το αξίωμα της επιλογής γίνεται θεώρημα στην περίπτωση που η κατα-σκευή του συνόλου επιλογής ή της συνάρτησης επιλογής είναι δεδομένη. Για παράδειγμα όταν η οικογένεια των συνόλων έχει ως στοιχεία καλώς διατεταγμένα σύνολα, τότε η συνάρτηση επιλογής μπορεί να οριστεί έτσι ώστε σε κάθε σύνολο της οικογένειας να αντιστοιχεί το πρώτο στοιχείο του. Έχουμε όμως και ασθενέστερες εκδοχές του αξιώματος, όπως 1. Η αρχή της απαριθμητής επιλογής (AC ) Κάθε ακολουθία μη κενών συνόλων έχει μια συνάρτηση επιλογής και

37 Πως αποδεικνύεται: Πρόταση Από την υπόθεση συγκρισιμότητας των πληθαρίθμων συνεπάγεται η υπόθε-ση της καλής διάταξης των συνόλων. Απόδειξη Αν είναι απειροσύνολο, τότε το σύνολο που έχει στοιχεία τους διατακτικούς οι οποίοι έχουν ισχύ μικρότερη ή ίση της ισχύος του

ΑΑ (κυριαρχούνται από το ) υ-

πάρχει. Το υποσύνολο του Α

Β Α×Α , το οποίο αποτελείται από τις σχέσεις r , οι οποίες είναι καλές διατάξεις στο υπάρχει (αρχή διαχωρισμού). ( )dom r Έστω ένα απειροσύνολο και Α Γ το σύνολο των διατακτικών αριθμών των πιο πάνω καλώς διατεταγμένων συνόλων. Υπάρχει διατακτικός αριθμός γ , ο οποίος δεν ανήκει στο

, άρα Γ γΑ < . Αν ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο για το οποίο ( , )Γ ≺ γΓ =

θα έχουμε Α < Γ , άρα θα υπάρχει :f Α→Γ αμφιμονοσήμαντη. Στο σύνολο

θεωρούμε τη διμελή σχέση

Α′≺ , την οποία ορίζουμε ως εξής:

1 2 1 2( ) ( )f fα α α′ ⇔≺ ≺ α . Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ′≺ είναι σχέση καλής

διάταξης, άρα το είναι καλώς διατεταγμένο. Α

240 2. Αρχή των Εξαρτημένων Επιλογών (Depedent Choices-DC): Αν

ένα μη κενό σύνολο και Α ρ μία διμελής σχέση στο Α , ώστε για κάθε α ∈Α υπάρχει β ∈Α με α ρ β , τότε υπάρχει ακολουθία

1 2, ,..., ,...να α α τέτοια ώστε 1ν να ρα + για κάθε ν ∈ 38. Είπαμε ότι τα αποτελέσματα που παράγει το Αξίωμα Επιλογής είναι αι-τία της έντονης αμφισβήτησης της νομιμότητας χρήσης του. Για το ότι κά-θε σύνολο μπορεί να διαταχθεί καλώς ο Cantor ήταν απόλυτα πεπεισμένος, αλλά δεν μπόρεσε, όπως είπαμε, να δώσει μια αυστηρή απόδειξη γι’ αυτό. Το 1904 στο 3ο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο που έγινε στη Χαιδεμβέργη ο J.König ισχυρίστηκε πως βρήκε την απόδειξη για το ότι το συνεχές δεν μπορεί να διαταχθεί καλώς, αλλά λίγες εβδομάδες αργότερα την απέσυρε ύστερα από υπόδειξη του Hausdorff ,39ο οποίος εντόπισε λάθος στην από-δειξή του. Λίγες εβδομάδες αργότερα ο Zermelo40 απέδειξε το καλώς δια-τάξιμο όλων των συνόλων με μια απλή και σύντομη απόδειξη, που περιέχε-ται σε ένα γράμμα του με ημερομηνία 14 Σεπτεμβρίου 1904 στον D. Hil-bert. Ο Zermelo στήριξε την απόδειξη του στο αξίωμα επιλογής. Από τη στιγμή που το αξίωμα έδωσε τέτοια θεαματικά αποτελέσματα, επανήλθε στο κέντρο του ενδιαφέροντος και έγινε αντικείμενο σφοδρότατης διαμάχης μεταξύ των μαθηματικών για το αν είναι ή όχι νόμιμη η χρήση του.

38 Το ότι η αρχή των εξαρτημένων επιλογών είναι συνέπεια του αξιώματος Επιλογής απο-δεικνύεται ως εξής Για κάθε το σύνολο x∈Α /xS y x yρ= ∈Α είναι μη κενό, άρα το σύνολο

xx

S∈Α∏ είναι μη κενό. Έστω x

x

f S∈Α

∈∏ μία συνάρτηση επιλογής και , τότε

η ακολουθία της εν’ λόγω αρχής ορίζεται ως εξής

0x ∈Α

1 0xα = και 1 ( )fν να α+ = . 39 Ο Felix Hausdorff γεννήθηκε το 1868 στη Γερμανία. Ονομαστός για τις έρευνες του στα σύνολα , όρισε και μελέτησε τα μερικώς διατεταγμένα σύνολα και διατύπωσε την αρχή του μεγίστου, γνωστή με το όνομά του, η οποία είναι ισοδύναμη με το Λήμμα Zorn, όπως και με το αξίωμα της επιλογής. Από τους θεμελιωτές της σύγχρονης τοπολογίας (Χώρος Hausdorff), ασχολήθηκε επίσης και με τη λογοτεχνία, τη φιλοσοφία και δημοσίευσε έργα με το ψευδώνυμο Paul Mongré. Διετέλεσε καθηγητής στα πανεπιστήμια της Λειψίας και της Βόννης. Όταν ανήλθε ο Χίτλερ στην εξουσία, πίστεψε πως οι ναζί θα σεβαστούν το επιστημονικό του κύρος και δεν θα διωχθεί εξαιτίας του Εβραϊκού του θρησκεύματος. Αλλά δυστυχώς διαψεύστηκε. Οι ναζί τον έδιωξαν από το πανεπιστήμιο και αποκήρυξαν τα αφηρημένα μαθηματικά του ως εβραϊκά και αντιγερμανικά. Το 1942, πριν από επικείμενη σύλληψή του και της εκτόπισή του σε στρατόπεδο συγκέντρωσης, αυτοκτόνησε μαζί με την γυναίκα του και την κουνιάδα του. 40 Βλ. Zermelo [1904]

241

Το αξίωμα της επιλογής μπορεί να δώσει αποδείξεις καθ'ολοκληρίαν μη κατασκευαστικές41, «καθαρές αποδείξεις ύπαρξης», οι οποίες πολλές φο-ρές οδηγούν σε αποτελέσματα που δύσκολα γίνονται αποδεκτά από τη διαίσθησή μας. Η ύπαρξη καλής διάταξης στο σύνολο των πραγματικών είναι ένα τέτοιο περίεργο συμπέρασμα. Στα περίεργα αυτά έρχεται το 1924 να προστεθεί η δημοσίευση42 των Banach-Tarski, από την οποία ως συνέ-πεια της αποδοχής του αξιώματος της επιλογής προκύπτει ότι μπορούμε μια σφαίρα να τη χωρίσουμε σε κομμάτια (Παράδοξο Banach-Tarski)43, τα οποία έπειτα μετακινώντας τα με χρήση στροφών και μεταφορών να φτιάξουμε δύο σφαίρες ίσων ακτίνων με την αρχική. Αυτό είναι ένα παρά-δοξο εξαιρετικά πιο τρανταχτό από το προηγούμενο της ύπαρξης καλής διάταξης στο σύνολο των πραγματικών. Τα παράδοξα όμως δεν είναι αντι-φάσεις και τη διαφορά αυτή μεταξύ αντιφάσεων και παραδόξων πρέπει να διευκρινίσουμε. Ενώ παράδοξο είναι ένα συμπέρασμα που δεν συμβιβάζε-ται με τη διαισθητική μας αντίληψη, αλλά δεν υπάρχει απόδειξη ότι είναι λογικό λάθος, αντίφαση είναι η εξαγωγή συμπεράσματος, το οποίο συμπε-ριλαμβάνει μια πρόταση με την αντίθετή της. Πρέπει όμως να μας ενοχλεί η γέννηση συμπερασμάτων όχι αντιφατικών αλλά αντιτιθέμενων στη διαί-σθησή μας ; Πόσο σίγουροι είμαστε για τις διαισθητικές μας βεβαιότητες ή πόσο βέ-βαιοι πως ένα σημερινό διαισθητικό δεδομένο δεν θα ανατραπεί αύριο; Παράδοξο ήταν για την εποχή του η ανακάλυψη από τους Πυθαγόρειους των αρρήτων αριθμών με τις γνωστές συνέπειες του στο σύστημα αξιών της

41 Ο Bell εύστοχα παρατηρεί «Οι δύο αυτοί τρόποι ομιλίας διαίρεσαν τους μαθηματικούς σε δύο τύπους: Οι άνθρωποι του «μπορούμε να βρούμε» πιστεύουν (πιθανό υποσυνείδητα)ότι τα μαθηματικά είναι καθαρά ανθρώπινη ανακάλυψη. Οι άνθρωποι του «υπάρχει» πιστεύουν ότι τα μαθηματικά έχουν μια ύπαρξη από μόνα τους, πέρα από τον άνθρωπο, και ότι εμείς απλώς ανακαλύπτουμε τις αιώνιες αλήθειες των μαθηματικών στη διαδρομή μας από τη ζωή, με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που ένας διαβά-της, καθώς διασχίζει μια πόλη, περνά από δρόμους με την κατασκευή των οποίων δεν έχει καμιά σχέση» ( βλ.Bell, σελ. 466). Ο μέγας Νεύτων έγραφε: «Neque enim leges intellectui aut rebus ad arbitrium nostrum, sed tanquam scribae fideles ab ipsius naturae voce et prolatas excipimus et describimus» «Veniet tempus, quo ista quae nunc latent, in lucem dies extrahat et longioris aevi diligentia » ( I. Newton- Principia ) [« Διότι τους νόμους της νόησης και της πράξης δεν τους επινοούμε εμείς αυθαίρετα, αλλά σαν πιστοί αντιγραφείς ακούμε τη φωνή τους και τους καταγράφουμε » « Θα’ ρθει ο καιρός που όσα τώρα είναι άγνωστα ο χρόνος και ο ανθρώπινος μόχθος θα τα φέρουν σε φως »] 42 Βλ. [4] 43 Banach St. – Tarski A. Sur la décomposition des ensembles de points en parties resr-pectivement congruente-Fundamenta Mathematica 4-1924, 244-277.

242

σχολής τους. Σήμερα όμως δεν εξακολουθεί να είναι παράδοξο, αφού και οι τελευταίες αντιρρήσεις για την ύπαρξη αρρήτων έπαψαν να υπάρχουν. Γράφει ο Gauss44 αναφερόμενος στις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες: «Η υπό-θεση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180° οδηγεί σε μια παράξενη γεωμετρία εντελώς διαφορετική από τη δική μας (την Ευκλείδεια) αλλά καθ’ όλα συνεπή, την οποία ανέπτυξα προς πλήρη ικανοποίησή μου. Τα θεω-ρήματα αυτής της γεωμετρίας φαίνονται παράδοξα και παράλογα στον αμύ-ητο· αλλά η σταθερή και απρόσκοπτη προσήλωση σ’ αυτή δείχνει ότι δεν περιέχουν κάτι το αδύνατο». Εδώ άλλωστε πρέπει να τονίσουμε πως αδικούμε τα Μα-θηματικά, αν δεν αναγνωρίσουμε το γεγονός ότι πολλές φορές βρέθηκαν μπροστά από τα αποτελέσματα των ερευνών του φυσικού κόσμου και βοή-θησαν σημαντικά στην επεξεργασία τους.

44 Βλ. Ρουσόπουλος, σελ.42. Οι υπογραμμίσεις δικές μου.

253 Βιβλιογραφία Α) Έλληνες Μαθηματικοί Αναπολιτάνος Δ. [1985] Εισαγωγή στη φιλοσοφία των Μαθηματικών. Νεφέλη –Αθήνα . Αρτεμιάδης Ν. [2000] Ιστορία των Μαθηματικών από της σκοπιάς του Μαθηματικού Έκδοση της Ακαδημίας Αθηνών- Αθήνα 2000. Βασιλείου Φ. [1] Μαθηματικαί Αντινομίαι, Σύγχρονος Εγκυκλοπαίδεια Ελευθερουδάκη, 9, 978-980. [2] Αξιωματική, Σύγχρονος Εγκυκλοπαίδεια Ελευθερουδάκη, 2, 271-274. [3] Συνόλων Θεωρία, Σύγχρονος Εγκυκλοπαίδεια Ελευθερουδάκη, 9, 936-938. Δοξιάδης Απ. [2006] Από την παράνοια στους Αλγόριθμούς- Εκδόσεις Ίκαρος. Κάλφα Κ. [1990] Αξιωματική Θεωρία συνόλων – Εκδόσεις Ζήτη- Θεσ/νικη . Μοσχοβάκης Γ. [1993] Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία, Εκδόσεις Νεφέλη- Αθήνα. Νεγρεπόντης Σ. [1979] Η διαγώνια διαδικασία στα μαθηματικά, Θεμέλια των επιστημών, Επιμέλεια Γιάννης Καράς, Εκδόσεις Gutenberg. Νεγρεπόντης Σ., Γιωτόπουλος Σ., Γιαννακούλιας Ε. [1987] Απειροστικός Λογισμός Ι, εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα. Νεγρεπόντης Σ., Ζαχαριάδης Θ., Καλαμίδας Ν., Φαρμάκη Β. [1997] Γενική Τοπολογία και Συναρτησιακή Ανάλυση, εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα.

254

Ξενικάκης Π. [1999] Πραγματική Ανάλυση, Β έκδοση Ζήτης Θεσ/νικη. Πανάς Ε [1969] Καντοριανή θεωρία συνόλων –Αθήνα. Ρουσόπουλος Γ. [1991] Επιστημολογία των Μαθηματικών(Αναλυτικο-Αναφορικότητα και νομι-μοποίηση στα νεώτερα Μαθηματικά)- Εκδόσεις Gutenberg- Αθήνα . Σκανδάλης Κ. Θεωρία Συνόλων, Σημειώσεις (Στην ιστοσελίδα: www.math.uoc.gr) Τζουβάρας Αθ. [1999] Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής, Εκδόσεις Ζήτη , Θεσ/νίκη . Τσαμάτος Π. [1998] Εισαγωγή στη Μαθηματική Ανάλυση (Θεμελιώδεις έννοιες), Έκδοση του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. Χριστοδουλίδης Π. [1980] Η Φιλοσοφία των Μαθηματικών, Εκδόσεις Εγνατία, Αθήνα. Β) Ξένοι Μαθηματικοί 1 Abian A. [1965] The theory of sets and transfinite arithmetic, W.B.Saunders Company- Philadelphia and London. Bell E.T. [1] Οι Μαθηματικοί –Τόμος ΙΙ Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 1997

1 Τα άρθρα του περιοδικού Fundamenta Mathematica μπορούν να τα βρουν, όσοι ενδια-φέρονται στην ιστοσελίδα: matwbn.icm.edu.pl

255 Cantor G. [1889] Letter to Dedekind, Jean Van Heijenoort: From Frege to Gödel , σελ.111-117. [1895-1897] Beiträge zur Begrüng der transfiniten Mengenlehre, Ελληνική μετάφραση: Συμβολές στη θεμελίωση της θεωρίας των υπερπεπερασμένων αριθ-μών- Εκδόσεις Τροχαλία 1998. Ciesielski Kr. [1997] Set Theory for the Working Methematician, London Mathematical Society Student Texts 39- Cambridge University Press. Cohen P.- Hersh R. [1965] Μη Καντοριανή θεωρία συνόλων, Μετάφραση του Γιάννη Στρατή από άρθρο που δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Scientific American, 1965, 104-114 (Η μετάφραση δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Μαθηματική Επι-θεώρηση τεύχος 11, 21-50) Dedekind R. [1901] “Stetinkeit und irratioale Zahlen„ και “Was sind und was sollen die Zahlen”, 1901, μεταφρασμένα στα Αγγλικά και εκδοθέντα από τον εκδοτικό οίκο Dover Publications, Inc. New York, 1963, με τον τίτλο: “ Essays on the Theory of Numbers” Drake F. [1974] Set Theory. An introduction to large cardinals, 1974, North-Holland, Amsterdam. Fraenkel A. [1966] Abstract Set Theory, 1966, third, revised edition, North- Holland Publishing Company. [1922] The notion “definite” and the independence of the axiom of choice, Jean Van Heijenoort: From Frege to Gödel , 284 – 289. Fraenkel A – Y.Bar- Hiller [1958] Foundations of Set theory, North- Holland Publishing Company.

256

Frege G. [1902] Letter to Russell, Jean Van Heijenoort: From Frege to Gödel , 126-127. Gödel K [1930] Some Metamathematical results on completeness and consis-tency, Jean Van Heijenoort: From Frege to Gödel , 595-596. [1931] On formally Undecidable propositions of Principia Mathe-matica and related systems I, Jean Van Heijenoort: From Frege to Gödel , 596-616. (Υπάρχει και σε ξεχωριστό βιβλίο από τις εκδόσεις Dover, 1992) [1931a] On completeness and consistency, Jean Van Heijenoort: From Frege to Gödel , 616-617. [1947] Ποιο είναι το πρόβλημα του συνεχούς του Cantor; Δημοσιεύτηκε το 1947 στο American Mathematical Monthly 54, 515-525 και η μετάφρασή του από το Γιάννη Στρατή δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Μαθηματική Επι-θεώρηση τ.11, 51-75. Zermelo E. [1904] Proof that every Set can be well ordered, Jean Van Heijenoort: From Frege to Gödel , 139-141. [1908] A new proof of possibility of a weel ordering, Jean Van Hei-jenoort: From Frege to Gödel , 183-198 [1908] Investigations on the Set Theory, Jean Van Heijenoort: From Frege to Gödel , 199-215. Halmos P. [1] Αφελής Συνολοθεωρία-Εκδόσεις Σφαίρα-Εκκρεμές. Hilbert D. [1925] On the infinite, Jean Van Heijenoort: From Frege to Gödel , 367-392 Hausdorff F. [1962] Set Theory- Chelsea Publishing Company . Herrlich H. [2000] Axiom of Choice-Springer Lecture Notes in Mathematics

257 Hewitt E., Stromberg K. [1975] Real and Abstract Analysis- Springer Jech T. [1978] Set Theory- Academic Press- N. York, S. Francisco, London. Kamke E. [1950] Theory of sets- Dover Publications. (Είχε εκδοθεί από τις εκδόσεις Καραβία το 1962 σε μετάφραση Δη-μητρίου Γκιόκα) Kuratowski Κ. [1972] Introduction to Set Theory and Topology. Pergamon Press 1972. Kuratowski K.-Mostowski A. [1976] Set Theory (With an Introduction to Descriptive Set Theory)- N-Holland Publ. Comp. Amsterdam. New York. Oxford. Levy A. [2002] Basic Set Theory- Dover Publications, Inc Loria G. Ιστορία των Μαθηματικών – Εκδόσεις της Ελληνικής Μαθηματικής Εται-ρείας. Martin D. [1976] Το πρώτο πρόβλημα του Hilbert: Η υπόθεση του συνεχούς, Δη-μοσιεύτηκε στο Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 28 (1976), 81-92 και η μετάφρασή του από το Γιάννη Στρατή δημοσιεύτηκε στο πε-ριοδικό Μαθηματική Επιθεώρηση τ.11, 76-93. Rudin M-E [1969] Η εικασία του Suslin, Δημοσιεύτηκε στο American Mathematical Monthly, 10(1969), 1113-1118 και η μετάφρασή του από το Γιάννη Στρα-τή δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Μαθηματική Επιθεώρηση τ.11, 94-107. Russell B.

258 [1902] Letter to Frege, Jean Van Heijenoort: From Frege to Gödel ,

124-125. Sierpinski W. [1922a] Les examples effectifs et l’axiom du choix, Fundamenta Mathe-matica 2, 112-118. [1924] Sur l’hypothèse du continu, Fundamenta Mathematica 5, 177-187. [1924a] Sur une propriété des functions de M.Hamel, Fundamenta Ma-thematica 5, 334-336. [1934] Hypothése du continu, 1934, Warsawa/Lwów- Biblioteka Witualua Nauki. [1947] L’hypothèse généralisée du continu et l’axiome du choix, Fun-damenta Mathematica, 34, 1-5. [1951] Algébre des ensemble, Warsawa-Wroslaw - Biblioteka Wituala Nauki Hypothése du continu-Warsawa/Lwów 1934- Biblioteka Witualua Nauki. [1965] Cardinal and Ordinal numbers, PWN-Polish Scientific Publishers, Second edition revised. [2000] General Topology-Dover Publications, Inc Sigler L.E. [1966] Exercises in Set Theory, Van Nostrand Company. Struik D. [1] Συνοπτική ιστορία μαθηματικών – Εκδόσεις Ι.Ζαχαρόπουλος 1982. Tarski A. [1924] Sur quelques théorèmes qui équivalent à l’ axiome du choix, Fundamenta Mathematica 5, σελ.147-154. Uspenski V. A. Για το Θεώρημα μη-πληρότητας του Gödel (Μετάφραση: Θά-νος Χριστακόπουλος), Εκδόσεις Τροχαλία 1998. Vaidyanathaswamy R. [1999] Set Topology- Dover Publications, Inc

259 Vilenkin N.Ya. [1997] Αναζητώντας το άπειρο, Εκδόσεις κάτοπτρο, Αθήνα. Γ) Εγκυκλοπαίδειες The Mac Tutor History of Mathematics Archive. Ιστοσελίδα www-history.mcs.st- andrews.ac.uk/history/index. Wikipedia Ηλεκτρονική Εγκυκλοπαίδεια. Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος-Λαρούς -Μπριτάνικα. Εγκυκλοπαίδεια Ελευθερουδάκη