μιγαδικοί θεωρία

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ορισµός του συνόλου

Στις προηγούµενες τάξεις του Λυκείου δεν µπορούσαµε να λύσουµε εξισώσεις δευτεροβάθµιες µε αρνητική διακρίνουσα στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών . Έτσι για παράδειγµα οι εξισώσεις x2+x+2=0 , x2+5=0 , x2=-1 είναι αδύνατες στο

Για να ξεπεράσουµε την αδυναµία αυτή “µεγαλώσαµε” το σύνολο των πραγµατικών

αριθµών σε ένα µεγαλύτερο σύνολο , το σύνολο των µιγαδικών αριθµών . Το σύνολο

των µιγαδικών αριθµών είναι ένα σύνολο επέκταση του συνόλου των πραγµατικών αριθµών ( ένα υπερσύνολο του ) που έχει ακριβώς τις ίδιες πράξεις µε το , τις ίδιες

ιδιότητες αλλά δεχόµαστε ότι η εξίσωση x2 = - 1 έχει λύση . Δηλαδή υπάρχει ένα στοιχείο i του συνόλου για το οποίο δεχόµαστε ότι : i2= - 1

Έτσι από εδώ και στο εξής κάθε αριθµό που είναι της µορφής α+βi µε α,β ∈ θα το λέµε

µιγαδικό αριθµό . Γίνεται φανερό ότι

๏ Μιγαδικοί αριθµοί είναι και όλοι οι πραγµατικοί αφού µπορούν να γραφτούν στη µορφή α+βi µε

β = 0 ( π .χ 4 = 4 + 0i , − 2

5= − 2

5+ 0 ⋅ i κ.o.κ )

๏ Μιγαδικοί αριθµοί είναι και οι αριθµοί της µορφής βi , β ∈ αφού µπορούν να

γραφτούν στη µορφή α+βi µε α = 0 ( π.χ 4i = 0 + 4i , -5i=0+(-5)i , κ.ο.κ) . Ειδικότερα οι

µιγαδικοί αριθµοί της µορφής βi , β ∈ ονοµάζονται φανταστικοί αριθµοί . Το σύνολο των

φανταστικών αριθµών συµβολίζεται µε I

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΥΛΟΣ 1

Έτσι σύµφωνα µε τα παραπάνω το σύνολο των µιγαδικών αριθµών είναι ένα υπερσύνολο του

συνόλου των πραγµατικών αριθµών , στο οποίο :

• Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού , έτσι ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο µε το 0 να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 να είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού

• Υπάρχει ένα στοιχείο i του συνόλου τέτοιο ώστε i2 = - 1

• Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά µοναδικό τρόπο µε τη µορφή z = α + βi , α, β ∈

Πραγµατικό και φανταστικό µέρος µιγαδικού αριθµού Έστω z = α + βi , α , β ∈

๏ Πραγµατικό µέρος του z ονοµάζεται ο αριθµός α και συµβολίζεται µε Re(z)๏ Φανταστικό µέρος του z ονοµάζεται ο αριθµός β και συµβολίζεται µε Im(z)

Ισότητα µιγαδικών

Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z1= α+βi , z2= γ+δi

๏ Θα λέµε ότι οι z1 , z2 είναι ίσοι αν και µόνο αν έχουν ίσα πραγµατικά και ίσα φανταστικά µέρη Δηλαδή

๏ Θα λέµε ότι ένας µιγαδικός αριθµός είναι ίσος µε το µηδέν αν και µόνο αν το πραγµατικό και το φανταστικό του µέρος είναι ίσο µε το µηδέν Δηλαδή

Υπάρχει διάταξη στο σύνολο των µιγαδικών ; Δεν υπάρχει ή έννοια της διάταξης στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών όπως στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών . Έτσι για παράδειγµα αν µας δώσουν δύο πραγµατικούς αριθµούς

α=3,1 , β= 174

, τότε µπορούµε να πούµε ότι α<β αλλά αν µας δώσουν δύο µιγαδικούς

αριθµούς

z1 = −2+3i , z2 = 1 +2i δεν είναι σωστό να γράψουµε ότι : z1 > z2 ή z1 < z2 . Γενικά για

δύο µιγαδικούς z1 , z2 το µόνο που µπορούµε να γράψουµε είναι ότι z1 = z2 ή ότι z1 ≠ z2 .

Έτσι σε µία άσκηση αν δοθεί ότι z1,z2 είναι δύο µιγαδικοί µε z1 > z2 τότε καταλαβαίνουµε ότι θα ισχύει :

Im z1( ) = Im z2( ) = 0 και Re z1( ) >Re z2( ) . Ανάλογα συµπεράσµατα προκύπτουν αν

δοθεί ότι : z1 ≥ z2 ή z1 > 0 ή z2 < 0 κ.ο.κ



α+βi = γ+δi ⇔ α = γ και β = δ

α+βi = 0 ⇔ α = 0 και β=0

Γεωµετρική παράσταση µιγαδικών

Έστω ο µιγαδικός z = α + βi . Τότε :

๏ Εικόνα του µιγαδικού z ονοµάζεται το σηµείο Μ(α,β) το οποίο το συµβολίζουµε και µε Μ(z)

๏ Μιγαδικό επίπεδο ονοµάζεται το καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σηµεία είναι εικόνες των µιγαδικών αριθµών

๏ Πραγµατικό άξονα λέµε τον άξονα x/x . Προφανώς πάνω σε αυτόν βρίσκονται οι εικόνες όλων των πραγµατικών αριθµών ๏ Φανταστικό άξονα λέµε τον άξονα y/y . Προφανώς πάνω σε αυτόν βρίσκονται οι εικόνες όλων των φανταστικών αριθµών ๏ Διανυσµατική ακτίνα του µιγαδικού z λέµε τη διανυσµατική ακτίνα του σηµείου Μ ,

δηλαδή το διάνυσµα ΟΜ

.Έτσι ένας µιγαδικός z=α+βi παριστάνεται και µε τη

διανυσµατική ακτίνα ΟΜ

του σηµείου Μ(α,β)

Πράξεις στο σύνολο των µιγαδικών Έστω οι µιγαδικοί α+βi , γ+δi .

๏ (α+βi) + (γ+δi)= (α+γ) + (β+δ)i

๏ (α+βi) - (γ+δi)= (α-γ) + (β-δ)i

Στα παρακάτω σχήµατα βλέπετε τη γεωµετρική ερµηνεία της πρόσθεσης και της αφαίρεσης δύο µιγαδικών αριθµών



๏ Για τον πολλαπλασιασµό των µιγαδικών α+βi και γ+δi έχουµε :

(α+βi)(γ+δi) = αγ+αδi+βγi+βδi2 = αγ+αδi+βγi-βδ=(αγ-βδ)+(αδ+βγ)i Ειδικότερα έχουµε (α+βi)(α-βi) = α2 - (βi)2 = α2-β2i2 = α2 +β2 O αριθµός α+βi ονοµάζεται συζυγής του α-βi

๏ Για τη διαίρεση των µιγαδικών α+βi και γ+δi , όπου γ+δi ≠ 0 πολλαπλασιάζουµε

αριθµητή και παρονοµαστή µε το συζυγή του παρονοµαστή και έχουµε :

α + βiγ + δi

=(α + βi)(γ − δi)(γ + δi)(γ − δi)

=αγ − αδi+ βγi+ βδ

γ2 + δ2 =αγ + βδγ2 + δ2 +

βγ − αδγ2 + δ2 i

Δυνάµεις µιγαδικών

Οι δυνάµεις των µιγαδικών ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγµατικούς .Άρα ορίζουµε : z1 =z , z2 =z . z , zν = zν-1 . z για κάθε θετικό ακέραιο ν > 1

Επίσης ισχύουν zo = 1 και z−ν =

1zv για κάθε θετικό ακέραιο ν>1 και z ≠ 0

Ειδικότερα αν έχουµε να υπολογίσουµε τις δυνάµεις του i πρέπει να γνωρίζουµε τα εξής : Έστω ν ένα φυσικός αριθµός και ν=4ρ+υ , υ=0,1,2,3 όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ν µε το 4 . Έχουµε :

iv = i4ρ+υ = i4ρ ⋅ iυ = i4( )ρ ⋅ iυ = 1ρ ⋅ iυ = iυ =

1, αν υ=0i, αν υ=1−1, αν υ=2−i αν υ=3

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Συζυγείς µιγαδικοί αριθµοί

Έστω ο µιγαδικός αριθµός z = α+βi . Ονοµάζεται συζυγής του z και συµβολίζεται µε z o

µιγαδικός α-βi . Επειδή είναι και α − βi = α + βi οι µιγαδικοί α+βi , α-βi λέγονται συζυγείς

µιγαδικοί



Ιδιότητες συζυγών

1)Οι εικόνες Μ(α,β) και Μ/ (α,-β) δύο συζυγών µιγαδικών

z=α+βi και z = α-βi είναι σηµεία συµµετρικά

ως προς τον πραγµατικό άξονα

2) Για το µιγαδικό αριθµό z=α+βi ισχύει :

z + z = 2 α και z − z = 2βi

3)Αν z1,z2 ∈ τότε z1 + z2 = z1 + z2

Απόδειξη

Έστω z1 = α + βi , z2 = γ + δi

Τότε : z1 + z2 = α + βi( ) + γ + δi( ) = α + γ( ) + β + δ( ) i = α + γ( ) − β + δ( ) i = (α − βi) + (γ − δi) = z1 + z2

• Προφανώς αντίστοιχη ιδιότητα ισχύει και για την αφαίρεση δύο µιγαδικών • H παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για περισσότερους από δύο µιγαδικούς . Δηλαδή είναι :

z1 + z2 + ...+ zv = z1 + z2 + ...+ zv

4) z1,z2 ∈ τότε : z1 ⋅z2 = z1 ⋅z2

5) z( )v

= zv( )

6) z1,z2 ∈ , z2 ≠ 0 τότε :

z1

z2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

z1

z2

Επίλυση της εξίσωσης αx2 + βx +γ = 0 µε α,β,γ ∈ και α ≠ 0

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 µε α≠ 0 µετασχηµατίζεται στη µορφή

x +β

2α⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

=Δ

4α2 όπου

Δ=β2 - 4αγ

Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής όταν Δ>0 ή Δ=0 είναι γνωστές από προηγούµενες τάξεις

Στην περίπτωση που Δ<0 η εξίσωση γράφεται

x +β

2α⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

=i −Δ2α

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

και οι λύσεις της



είναι :

x1,2 =−β ± i −Δ

2α=

−β

2α+

−Δ2α

i

−β

2α−

−Δ2α

i

δηλαδή οι λύσεις είναι συζυγείς µιγαδικοί

Και στην περίπτωση που Δ<0 ισχύουν οι σχέσεις : x1 + x2 = −

βα

, x1 ⋅ x2 =γα



Λυµένα παραδείγµατα - µεθοδεύσεις

Παρατηρήσεις

1.Το σύνολο των φανταστικών αριθµών συµβολίζεται µε Ι και είναι Ι= βi / β ∈{ }

2. Για τους µιγαδικούς z1 , z2 ισχύει ότι z1 ⋅z2 = 0 ⇔ z1 = 0 ή z2 = 0

3. Αν z = α+βi τότε z=0⇔ α=0 και β=0 . Ισχύει z ≠ 0 ⇔ α≠ 0 ή β ≠ 0

4.Αν z = α+βi τότε z ∈⇔β = 0 , z ∈I⇔α = 0

5. Είναι Re(z)= z + z

2 , οπότε

z ∈I⇔Re z( ) = 0 ⇔

z + z2

= 0 ⇔ z + z = 0 ⇔ z = −z

6.Είναι Im(z)= z − z

2i , οπότε

z ∈⇔ Im z( ) = 0 ⇔

z − z2i

= 0 ⇔ z − z = 0 ⇔ z = z

7. Re z1 + z2( ) = Re z1( ) +Re z2( ) , Ιm z 1 + z2( ) = Im z1( ) + Im z2( )

8. Αν ν , κ ∈ τότε ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναµίες

iv = 1 ⇔ v = 4κiv = i ⇔ v = 4κ + 1iv = −1 ⇔ v = 4κ +2iv = −i ⇔ v = 4κ +3

9. z + z = 2Re(z) , z-z = 2Im z( )i , z ⋅z = Re z( )( )2 + Im z( )( )2

10. Χρήσιµες αρκετές φορές είναι οι παρακάτω παραγοντοποιήσεις

z2 + α2 = z2 − i2α2 = z2 − αi( )2 = z − αi( ) z + αi( )z3 + α3i = z3 − α3i3 = z3 − αi( )3 = z − αi( ) z2 + αzi− α2( )



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1

Βρείτε τους x,y ∈ , ώστε : 2x − y( ) + 3x −2y( ) i = 1 −5i

Λύση

Είναι : 2x − y( ) + 3x −2y( ) i = 1 −5i ⇔ 2x − y = 1 και 3x-2y=-5

Από τη λύση του παραπάνω συστήµατος έχουµε : x = 7 και y = 13


Δίνεται ο µιγαδικός z = x2+xi-1+2i , x ∈ . Βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού x

ώστε : α) z ∈ β) z ∈I γ) z ∉ δ) z=0

Λύση

Είναι z = x2+xi-1+2i ⇔ z = x2 − 1 + x +2( ) iα)

z ∈⇔ Im z( ) = 0 ⇔ x +2 = 0 ⇔ x = −2

β) z ∈I⇔Re z( ) = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1

γ) z ∉⇔ Im z( ) ≠ 0 ⇔ x +2 ≠ 0 ⇔ x ≠ −2

δ) z = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 και x+2=0 ⇔ x= ±1 και x=-2

Οι δύο εξισώσεις δεν έχουν κοινή λύση άρα δεν υπάρχει τιµή του πραγµατικού αριθµού z ώστε z = 0


Να περιγράψετε γεωµετρικά το σύνολο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z που ικανοποιούν τις σχέσεις : α) Re(z) = 1 β) 2Re(z) - 3Im(z) = 0

Λύση α) Έστω z = x+yi . Τότε από τη σχέση Re(z)=1 έχουµε x=1 . Άρα οι εικόνες των µιγαδικών z βρίσκονται στην ευθεία ε µε εξίσωση x = 1



α + βi = γ + δi ⇔α = γ και β=δ

β) Έστω z = x+yi . Τότε από τη σχέση 2Re(z) - 3Im(z) = 0 έχουµε ότι 2x - 3y = 0 . Άρα οι εικόνες των z ανήκουν στην ευθεία ε µε εξίσωση 2x-3y=0


Να βρεθούν οι x, y ∈ αν ισχύει (x+i)2+(y-i)2 = 1

Λύση Έχουµε


Να βρεθούν οι x,y ∈ όταν :

x − 12−3i

+y −23−2i

=10

13(1 − i)

Λύση

x − 12−3i

+y −23−2i

=10

13(1 − i)⇔

x − 1( ) 2+3i( )2−3i( ) 2+3i( ) +

y −2( ) 3+2i( )3−2i( ) 3+2i( ) =

10 1 + i( )13 1 − i( ) 1 + i( ) ⇔

2x +3xi−2−3i22 +32 +

3y +2yi−6− 4i32 +22 =

10 + 10i13 12 + 12( ) ⇔

2x −2( ) + 3x −3( ) i13

+3y −6( ) + 2y − 4( ) i

13=

10 + 10i13 ⋅2

⇔

2x −2( ) + 3x −3( ) i+ 3y −6( ) + 2y − 4( ) i = 5 +5i ⇔

2x +3y − 8( ) + 3x +2y − 7( ) i = 5 +5i ⇔

2x +3y − 8 = 53x +2y − 7 = 5⎧⎨⎩

⇔2x +3y = 133x +2y = 12⎧⎨⎩

⇔ x = 2,y = 3




Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : Α=i53 +i-25 , B=i3v , v ∈

Λύση Έχουµε :

i53 = i4⋅13+1 = (i4)13 ⋅ i = i

i−25 =1i25 =

1i4⋅6+1 =

1i=

−i−i2

= −i

Άρα Α = i - i = 0

Για να υπολογίσουµε την παράσταση Β θα πρέπει να διακρίνουµε περιπτώσεις για το ν από την ευκλείδεια διαίρεση του ν µε το 4 Άρα έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις

ι) Αν ν = 4κ , κ ∈

Β=i12k=(i4)3k=13k =1

ιι) Αν ν = 4κ+1 , κ ∈

Β = i3 4k+1( ) = i12k+3 = i4( )3k⋅ i3 = −i

ιιι) Αν ν = 4κ+2 , κ ∈

Β = i3 4k+2( ) = i12k+6 = i4( )3k⋅ i6 = i4 ⋅ i2 = i2 = −1

ιν) Αν ν = 4κ+3 , κ ∈

Β = i3 4k+3( ) = i12k+9 = i4( )3k⋅ i9 = (i4)2 ⋅ i = i


Για δύο µιγαδικούς z1, z2 ισχύει ότι :

z1

z2

= i . Να βρείτε όλους του κ ∈ ώστε z1κ + z2

κ = 0

Λύση

Είναι

z1

z2

= i ⇔ z1 = iz2



• Σε ασκήσεις που θέλουμε να υπολογίσουμε δυνάμεις του i ή του -i , εκτελούμε τη διαίρεση του εκθέτη με το 4 , οπότε :

iv = i4ρ+υ = i4ρ ⋅ iυ = i4( )ρ ⋅ iυ = 1ρ ⋅ iυ = iυ =

1, αν υ=0i, αν υ=1−1, αν υ=2−i αν υ=3

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Αν έχουμε (-i)v=(-i)4κ+υ=(-i)4κ(-i)υ

• Σε ασκήσεις που θέλουμε να βρούμε τη μορφή του ν ώστε το iv να παίρνει μία από τις τιμές 1 , -1 , i , -i χρησιμοποιούμε τις ισοδυναμίες :

iv = 1 ⇔ v = 4κiv = i ⇔ v = 4κ + 1iv = −1 ⇔ v = 4κ +2iv = −i ⇔ v = 4κ +3

z1κ + z2

κ = 0 ⇔ iz2( )κ + z2κ = 0 ⇔ iκz2

κ + z2κ = 0 ⇔ z2

κ iκ + 1( ) = 0 ⇔z2 ≠0

iκ + 1 = 0 ⇔ iκ = −1 ⇔κ = 4ν +2 , ν ∈


Να υπολογίσετε τις παραστάσεις :

Α=(1-i)12 , B=(1+i)7 , Γ=(1-i 3 )9 , Δ=

(3−2i)11

2+3i( )12

ΛύσηΑ=(1-i)12 Είναι (1-i)2 = 1-2i+i2 = 1-2i-1= -2i

Άρα Α=(1-i)12 =

1 − i( )2( )6 = −2i( )6 = 26i6 = 26i4+2 =

=

B= (1+i)7

Εύκολα µπορούµε πάλι να βρούµε ότι (1+i)2 = 2iΟπότε Β = (1+i)7 = (1+i)6(1+i)=((1+i)2)3 (1+i) = (2i)3 (1+i) = 8i3 (1+i) = -8i(1+i) = -8i -8i2 = 8 - 8i

Γ=(1-i 3 )9

1 − i 3( )3 = 13 −3 ⋅12 ⋅ i 3 +3 ⋅1 ⋅ i 3( )2 − i 3( )3 = 1 −3 3 ⋅ i+3 −3( ) +3 3 ⋅ i = −8 =

Γ=(1-i 3 )9 =

1 − i 3( )3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

= −8( )3 = −512

Δ =(3−2i)11

2+3i( )12=

(3−2i)11

−2i2 +3i( )12=

(3−2i)11

i 3−2i( )( )12=

(3−2i)11

i12 3−2i( )12=

1

i4( )3 3−2i( )=

13−2i

=3+2i

3−2i( ) 3+2i( ) =



Σε ασκήσεις που θέλουμε να υπολογίσουμε δυνάμεις της μορφής (α+βi)v • Όταν ν = 2 , ν = 3 εκτελούμε τις ταυτότητες κανονικά

• Για μεγαλύτερες δυνάμεις ελέγχουμε μήπως υπάρχει κάποια δύναμη που μας δίνει κ ∈ ή κi , κ ∈ και κάνουμε κατάλληλο σπάσιμο της δύναμης

Πολλές φορές έχουμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ μιγαδικών της μορφήςα+βi , β+αi. Τότε γράφουμε : β+αi = -i2β+αi=i(α-βi)

Για εξοικονόμηση χρόνου σε ασκήσεις καλό είναι να θυμόμαστε ότι :(α+βi)(α-βi) = α2 + β2


Αν

w =z + i( )5 − z − i( )5z + i( )7 + z − i( )7

τότε να εξετάσετε αν ο w είναι πραγµατικός ή φανταστικός

Λύση

w =z + i( )5 − z − i( )5z + i( )7 + z − i( )7

Είναι :

w =z + i( )5 − z − i( )5z + i( )7 + z − i( )7

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

z + i( )5 − z − i( )5z + i( )7 + z − i( )7

=z + i( )5 − z − i( )5z + i( )7 + z − i( )7

=z + i( )5 − z − i( )5

z + i( )7 + z − i( )7=

z − i( )5 − z + i( )5

z − i( )7 + z + i( )7= −w

Οπότε w = −w ⇔ w + w = 0 ⇔ 2Re w( ) = 0 ⇔Re w( ) = 0 ⇔ w ∈I



★ Σε πολλές ασκήσεις θέλουμε να δείξουμε ότι ένας μιγαδικός z είναι τελικά πραγματικός Στις περιπτώσεις αυτές • Αν μπορούμε να φέρουμε τον z στη μορφή α+βi τότε θα πρέπει να δείξουμε ότι β = 0 • Αν δεν είναι εύκολο να φέρουμε το μιγαδικό στη μορφή α+βi τότε προσπαθούμε να δείξουμε ότι

z = z . Και αυτό γιατί Ιm(z) = z − z

2i. Οπότε όταν

z = z ⇔ Im z( ) = 0 ⇔ z ∈ . Καλό είναι κάθε

φορά που χρησιμοποιούμε την προηγούμενη μέθοδο να την αποδεικνύουμε γιατί δεν αποτελεί θεωρία στο σχολικό βιβλίο

★Σε πολλές ασκήσεις θέλουμε να δείξουμε ότι ένας μιγαδικός z είναι τελικά φανταστικός Στις περιπτώσεις αυτές • Αν μπορούμε να φέρουμε τον z στη μορφή α+βi τότε θα πρέπει να δείξουμε ότι α = 0 • Αν δεν είναι εύκολο να φέρουμε το μιγαδικό στη μορφή α+βi τότε προσπαθούμε να δείξουμε ότι z = −z . Και αυτό γιατί Re(z) = z + z . Οπότε όταν

z = −z ⇔Re z( ) = 0 ⇔ z ∈I. Καλό είναι

κάθε φορά που χρησιμοποιούμε την προηγούμενη μέθοδο να την αποδεικνύουμε γιατί δεν αποτελεί θεωρία στο σχολικό βιβλίο


Έστω z ∈* . Να αποδείξετε τις παρακάτω προτάσεις :

α) Αν ισχύει z =

1z

τότε ο µιγαδικός w= z +

1z∈

β) Αν w= z +

1z∈ και Im(z)≠ 0 τότε ο µιγαδικός

v =

z + 11 − z

∈I

Λύση

α)

w = z +1z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= z +

1z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= z +

1z=

1z+

11z

=1z+ z = w

Οπότε w = w ⇔ w − w = 0 ⇔ 2Im w( ) i = 0 ⇔ Im w( ) = 0 ⇔ w ∈

β)

w ∈⇔ w = w ⇔ z +1z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= z +

1z⇔ z +

1z= z +

1z⇔ zz

2+ z = z2z + z ⇔ zz

2+ z − z2z − z = 0 ⇔

zz z − z( ) − z − z( ) = 0 ⇔ z − z( ) zz − 1( ) = 0 ⇔ z = z ή z =1z

Και επειδή Im(z)≠ 0 , τότε z =

1z

Έχουµε

v =z + 11 − z

=

1z+ 1

1 − 1z

=

1 + zz

z − 1z

=1 + zz − 1

= −v

v = −v ⇔ v + v = 0 ⇔ 2Re v( ) = 0 ⇔Re v( ) = 0 ⇔ v ∈I




Να λυθούν οι εξισώσεις :

α) z2 + 4z + 8 = 0 β) z2 + 4 = 0 γ)z3 +3z2 + z −5 = 0

Λύση

α) Δ = −4( )2 − 4 ⋅1 ⋅13 = −36

Άρα z1,2 =

4 ± i 362

=4 ±6i

2=

2+3i2−3i

β) Η εξίσωση µπορεί να λυθεί όπως και στο ερώτηµα α) . Αλλά µπορεί να λυθεί και µε τον παρακάτω τρόπο :

z2 + 4 = 0 ⇔ z2 − 4i2 = 0 ⇔ z2 − 2i( )2 = 0 ⇔ z −2i( ) z +2i( ) = 0 ⇔ z = 2i ή z=-2i

γ) Η παράσταση z3+3z2+z-5=0 έχει ως πιθανές ακέραιες ρίζες τους διαιρέτες του -5 που είναι οι : ±1,±5

Εύκολα βλέπουµε ότι το 1 είναι µία ρίζα οπότε µε σχήµα Horner η εξίσωση γράφεται στη µορφή :

z − 1( ) z2 + 4z +5( ) = 0 ⇔ z − 1 = 0 ή z2 + 4z +5 = 0 ⇔ z = 1 ή z= −4 ± i 4

2=

−2+ i−2− i



Εξισώσεις στο σύνολο των μιγαδικών ✦Αν ο μοναδικός άγνωστος που περιέχει η εξίσωση είναι το z , τότε : • Σε περίπτωση που είναι πρώτου βαθμού τη λύνουμε κανονικά όπως και στο

• Αν είναι δευτέρου βαθμού δηλαδή της μορφής αz2 + βz + γ = 0 , α,β,γ ∈ µε α ≠ 0 τότε στην περίπτωση που η διακρίνουσα Δ είναι μη αρνητική τη λύνουμε όπως τη λύναμε και στο , στην περίπτωση όμως που είναι Δ<0 η εξίσωση έχει δύο ρίζες συζυγείς μιγαδικές

τις z1,2 =

−β ± i Δ2α

Υπενθυμίζεται ότι και εδώ ισχύουν οι τύποι

z1 + z2 = −βα

, z1 ⋅z2 =γα

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

•Αν είναι παραπάνω από δευτέρου βαθμού τότε προσπαθούμε να παραγοντοποιήσουμε το πρώτο μέλος σε γινόμενα παραγόντων της μορφής κz+λ με κ,λ ∈ και

αz2 + βz + γ , α,β,γ ∈

✦ Αν η εξίσωση περιέχει τους z και z , τότε θέτουμε z = x + iy και βρίσκουμε τους x , y


Να λυθεί η εξίσωση z2 − z +2 = 0

Λύση

Έστω z = x+iy .Τότε : z

2 − z +2 = 0 ⇔ x + iy( )2 − x − iy( ) +2 = 0 ⇔ x2 +2ixy − y2 − x + iy +2 = 0 ⇔

x2 − y2 − x +2( ) + i 2xy + y( ) = 0 ⇔

⇔x2 − y2 − x +2 = 0

y 2x + 1( ) = 0⇔

x2 − y2 − x +2 = 0 1( )y = 0 ή x=- 1

2Για y=0 1( )⇒ x2 − x +2 = 0 αδύνατη

Για x=- 12

1( )⇒ 14− y2 +

12+2 = 0 ⇔ y2 =

114

⇔ y = ±112

Άρα z = −

12+

112

i ή z = −12−

112

i


Να βρείτε τους µιγαδικούς z για τους οποίους ισχύει z = z3

Λύση

Έστω z = x+iy . Τότε : z = z3

⇔ x − yi = x + yi( )3 ⇔ x − yi = x3 + 3x2yi− 3xy2 − y3i ⇔

x = x3 − 3xy2

−y = 3x2y − y3⇔

x 1− x2 + 3y2( ) = 0

y 1+ 3x2 − y2( ) = 0⇔

x = 0 ή 1-x2 + 3y2 = 0y = 0 ή 1+3x2 − y2 = 0

Έχουµε τα συστήµατα :

Σ1( ) : x = 0

y = 0 Σ2( ) : x = 0

1+ 3x2 − y2 = 0⇔ x = 0

y = ±1 Σ3( ) :

1− x2 + 3y2 = 0y = 0

⇔ x = ±1y = 0

Σ4( ) :

1− x2 + 3y2 = 01+ 3x2 − y2 = 0

⇔x2 = 1+ 3y2

1+ 3 + 9y2 − y2 = 0 από όπου η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη

Άρα z=0 ή z=i ή z=-i ή z=1 ή z = - 1




Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z για τους οποίους ισχύει η

σχέση : Im z −

1z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2Re iz( )

Λύση Έστω z =x+iy . Οπότε πρέπει να βρούµε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(x,y)

Έχουµε : Im z −

1z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2Re iz( ) (1)

Αρχικά πρέπει z ≠ 0 οπότε δεν µπορεί η εικόνα του z να είναι το σηµείο Ο(0,0)

Είναι :

z −

1z= x + iy − 1

x + iy= x + iy − x − iy

x2 + y2 = x + iy − xx2 + y2 +

yx2 + y2 i = x −

xx2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ y + y

x2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i

iz = i x − yi( ) = xi+ y

Άρα : Im z −

1z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2Re iz( )

⇔ y + y

x2 + y2 = 2y ⇔y

x2 + y2 = y ⇔ y = x2 + y2( )y ⇔

y x2 + y2 −1( ) = 0 ⇔ y = 0 ή x2 + y2 = 1

Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο άξονας x/x (εκτός του σηµείου Ο(0,0) ) και ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1


Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού z όταν : α) z = λ+2 +(2λ-1)i , λ∈ β) z=1+συνθ +i(2-ηµθ) γ) z =(λ+i)2 +1 , λ∈

Λύση α) Έστω z =x+iy , τότε : x+iy= λ+2 +(2λ-1)i⇔

x = λ + 2y = 2λ −1

⇔λ = x − 2

y = 2 x − 2( ) −1⇔ λ = x − 2

y = 2x − 5



ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Αν θέλουμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίον ισχύει κάποια σχέση τότε θέτουμε z=x+iy με Μ((x,y) την εικόνα του και αντικαθιστούμε στη σχέση που δίνεται, όπου με ισοδυναμίες φτάνουμε σε μία εξίσωση ως προς x και y . H εξίσωση αυτή είναι και η εξίσωση του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου

Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία (ε) µε εξίσωση y = 2x - 5

β) Έστω z=x+iy . Τότε : x+iy=(1+συνθ)+i(2-ηµθ) , οπότε :

x = 1+ συνθy = 2 − ηµθ

⇔συνθ = (1− x)ηµθ = (2 − y)

και επειδή : συν2θ + ηµ2θ = 1⇔ 1− x( )2+ 2 − y( )2

= 1⇔ x −1( )2+ y − 2( )2

= 1

Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο (1,2) και ακτίνα ρ = 1

γ) z=(λ+i)2+1=λ2+2λi-1+1=λ2+2λi

Έστω z =x+iy . Τότε είναι : x+iy=λ2+2λi

⇔ x = λ2

y = 2λ⇔

x =y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

λ = y2

⇔y2 = 4x

λ = y2

Οπότε ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z είναι η παραβολή C : y2 = 4x


Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z και w = z +1z − 2i

. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων

των µιγαδικών z για τους οποίους w ∈I

Λύση

Αρχικά πρέπει z ≠ 2i

z=x+yi

⇔ x,y( ) ≠ 0,2( ) Είναι

w =x + yi+1x + yi− 2i

=x +1( ) + yi

x + y − 2( ) i =x +1( ) + yi⎡⎣ ⎤⎦ x − y − 2( ) i⎡⎣ ⎤⎦

x2 + y − 2( )2 =x +1( )x − x +1( ) y − 2( ) i+ xyi+ y y − 2( )

x2 + y − 2( )2 =

x2 + x + y2 − 2y − xyi+ 2xi− yi+ 2i+ xyi

x2 + y − 2( )2 =x2 + y2 + x − 2y

x2 + y − 2( )2 +2x − y + 2

x2 + y − 2( )2 i

Οπότε w ∈I⇔Re w( ) = 0 ⇔ x2 + y2 + x − 2y = 0 1( )



H τελευταία εξίσωση παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο −

12

,1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟και ακτίνα ρ=

5

2και

επειδή το σηµείο (0,2) ανήκει στον κύκλο αυτό , ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο παραπάνω κύκλος µε εξαίρεση το σηµείο (0,2)


Έστω ότι η εικόνα του µιγαδικού z = α-1 - 2βi , α,β ∈ , κινείται στην ευθεία ε: y=x-1

i) Να βρείτε που κινείται η εικόνα του w =

zi+1− i

ii) Αν α+β=0 , να βρείτε την ευθεία (η) που διέρχεται από το σηµείο Μ(z) , ώστε το σηµείο Μ(z) να είναι το πλησιέστερο σηµείο στο Ο(0,0) σηµείο της (η)

Λύση ι) Η εικόνα του µιγαδικού z είναι το σηµείο Μ(α-1, - 2β) . Επειδή το σηµείο Μ κινείται στην ευθεία ε τότε -2β = α-1-1⇔α=2-2β (1)

w =

zi+1− i = −iz +1− i = −i α −1+ 2βi( ) +1− i = −αi+ i+ 2β +1− i = 1+ 2β − αi

Άρα η εικόνα του w είναι το σηµείο Κ( 1+ 2β , - α ) Έστω Κ(x, y ) . Τότε :

x = 1+ 2βy = −α

⎧⎨⎩

⇔x = 1+ 2βy = −2 + 2β

⎧⎨⎩

⇔ x − y = 3

Εποµένως η εικόνα Κ του w κινείται στην ευθεία (ε1) : y = x - 3

ιι) Από το πρώτο ερώτηµα είναι α = 2 - 2β . Επειδή επιπλέον είναι α+β=0 τότε α=-2 , β=2 Άρα το σηµείο Μ(α-1, - 2β) γίνεται Μ(-3,-4) Αφού το σηµείο Μ είναι το πλησιέστερο σηµείο της ευθείας (η) στο Ο θα πρέπει η ευθεία (η)να είναι κάθετη στην ΟΜ

Επειδή λΟΜ =

43

οπότε λn = −34

Άρα η ευθεία (η) έχει εξίσωση :

y + 4 = −

34

x + 3( )⇔ 3x + 4y + 25 = 0




Έστω z µιγαδικός αριθµός α) Να περιγράψετε γεωµετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z που

ικανοποιούν τις σχέσεις z =

4z

και Im z( ) ≥ 0

β) Να αποδείξετε ότι αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού z κινείται στο σύνολο (Σ) , τότε η

εικόνα του µιγαδικού αριθµού w =

12

z +4z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

κινείται σε ευθύγραµµο τµήµα το οποίο

βρίσκεται στον άξονα x/x

Λύση

Έστω z = x+yi . Πρέπει z ≠ 0 ⇔

z=x+yi

x,y( ) ≠ 0,0( )

α) Είναι z =

4z⇔ z ⋅z = 4 ⇔ x + yi( ) x − yi( ) = 4 ⇔ x2 + y2 = 4

Επίσης επειδή είναι Ιm(z) ≥ 0 ⇔ y ≥ 0

Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι τα σηµεία του κύκλου µε κέντρο το σηµείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=2 , που έχουν µη αρνητικές τεταγµένες (πάνω ηµικύκλιο)

β) w =

12

z +4z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

12

x + yi+ 4x + yi

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

12

x + yi+4 x − yi( )x2 + y2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

12

x + yi+4 x − yi( )

4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

12

2x = x

Άρα ο w είναι πραγµατικός αφού η εικόνα του είναι το σηµείο (x,0) , οπότε κινείται στον άξονα x/x . Όµως επειδή x2+y2=4 τότε είναι : −2 ≤ x ≤ 2

Άρα η εικόνα του w κινείται στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µε Α(-2,0) και Β(2,0)



Μέτρο µιγαδικού αριθµού

Έστω z = α+βi . Ονοµάζουµε µέτρο του µιγαδικού z την απόσταση της εικόνας του από την αρχή των αξόνων . Οπότε επειδή Μ(α,β) είναι η εικόνα

του z τότε : z = OM( ) = α2 + β2

Ιδιότητες των µέτρων

1) z = z = −z

Η γεωµετρική δικαιολόγηση της παραπάνω ιδιότητας είναι ότι οι εικόνες των µιγαδικών

z , -z , z απέχουν εξίσου από την αρχή των

αξόνων

2) z

2= z ⋅z για οποιοδήποτε µιγαδικό z

3) Aν z1,z2 ∈ τότε z1z2 = z1 z2

Απόδειξη

z1z2 = z1 z2 ⇔ z1z2

2= z1 z2( )2

⇔ z1z2( ) z1z2( ) = z1

2z2

2⇔ z1z2z1z2 = z1z1z2z2

που ισχύει

Γενικότερα µπορεί να αποδειχτεί ότι : z1z2 ⋅... ⋅zv = z1 ⋅ z2 ⋅... ⋅ zv

οπότε και zv = z

v

4) Για δύο οποιουσδήποτε µιγαδικούς αριθµούς z1 , z2 ισχύει η τριγωνική ανισότητα :

z1 − z2 ≤ z1 + z2 ≤ z1 + z2



5) Αν z1,z2 ∈ µε z2 ≠ 0 τότε:

z1

z2

=z1

z2

Γεωµετρική ερµηνεία του µέτρου µιγαδικού - Γεωµετρικοί τόποι

• Έ σ τ ω δ ύ ο µ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ µ ο ί

z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i

µε εικόνες τα σηµεία Μ1( x1,y1) και Μ2 x2,y2( )

αντίστοιχα . Τότε είναι :

Μ1Μ2( ) = x1 − x2( )2

+ y1 − y2( )2= z1 − z2

Άρα προκύπτει ότι : Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους

• Έστω zo σταθερός µιγαδικός , ρ>0 και z µεταβλητός µιγαδικός . Τότε επειδή

το µέτρο z − zo παριστάνει την

απόσταση των εικόνων των z , zo

η εξίσωση z − zo = ρ παριστάνει

κύκλο µε κέντρο το σηµείο Κ(zo)και ακτίνα ρ

• Έστω z1,z2 δύο σταθεροί µιγαδικοί

και z είναι ένας µεταβλητός µιγαδικός

Τότε η εξίσωση z − z1 = z − z2

παριστάνει την µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία Α(z1) και Β(z2)



Λυµένα παραδείγµατα - µεθοδεύσεις


Να υπολογιστούν τα µέτρα των παρακάτω µιγαδικών

z = (2-3i) + (3+8i) , w =

5 2 − 4i1+ i

,

u=4 − i( ) 1+ 2i( )5 + 2i( ) 1− 6i( )

, α = 2 − 4ι( )200

Λύση

z = 2 − 3i( ) + 3 + 8i( ) = 5 + 5i

Άρα : z = 52 + 52 = 50 = 5 2

w =

5 2 − 4i1+ i

=5 2 − 4i

1+ i=

5 2( )2+ −4( )2

12 +12=

662

=662

= 33

u =4 − i( ) 1+ 2i( )5 + 2i( ) 1− 6i( )

=4 − i( ) 1+ 2i( )5 + 2i( ) 1− 6i( )

=4 − i 1+ 2i

5 + 2i 1− 6i=

17 53 37

α = 2 − 4i( )200

= 2 − 4i200

= 20200

= 20100


Έστω µιγαδικός z µε z − 8i = 2 2z − i

Να βρεθεί το µέτρο του z

Λύση

z − 8i = 2 2z − i ⇔ z − 8i( ) z + 8i( ) = 4 2z − i( ) 2z + i( )⇔zz + 8iz − 8iz + 64 = 16zz + 8zi− 8zi+ 4 ⇔

15zz = 60 ⇔ zz = 4 ⇔ z2= 4 ⇔

z ≥0

z = 2



Υπολογισμός μέτρου Αν ο μιγαδικός μπορεί να γραφτεί στη μορφή

z=α+βi τότε z = α2 + β2

Αν ο μιγαδικός z γράφεται με τη μορφή γινομένων , δυνάμεων , πηλίκων άλλων μιγαδικών είναι προτιμότερο να εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των μέτρων

Μία πολύ σπουδαία ιδιότητα που εφαρμόζεται πολύ συχνά είναι η ιδιότητα:

z

2= z ⋅z . Την χρησιμοποιούμε κάθε

φορά που θέλουμε να διώξουμε τα μέτρα Προσέξτε μην μπερδεύουμε την ιδιότητα αυτή με την ιδιότητα των απολύτων τιμών της Α Λυκείου ότι :

Αν α∈ τότε α

2= α2 ή με την

ιδιότητα των μέτρων των διανυσμάτων

της Β Λυκείου ότι : α 2

= α 2

Στους μιγαδικούς αυτό που ισχύει είναι

ότι : z

2= z ⋅z

Παρατήρηση : Η άσκηση θα µπορούσε να λυθεί και θέτοντας z= α+βi. προτιµούµε όµως σε ασκήσεις µιγαδικών πρώτα να εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των µέτρων και στο τέλος αν χρειαστεί να αντικαθιστούµε το z µε α+βi


Να λυθεί η εξίσωση z + i = 2z

Λύση

x + yi+ i = 2 x − yi( )⇔ x + y +1( ) i = 2x − 2yi ⇔ x2 + y +1( )2= 2x − 2yi ⇔

x2 + y +1( )2= 2x

2y = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔ x2 +1 = 2x

y = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔x≥0 x2 +1= 4x2

y = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪

3x2 = 1y = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔

x = ±3

3δεκτή µόνο x =

33

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

y = 0

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Αρα z =3

3

Ας δούµε λίγο πιο προσεχτικά τι µας δίνεται . Το πρώτο µέλος της εξίσωσης είναι ένας πραγµατικός και µη αρνητικός αριθµός . Άρα θα πρέπει και το δεύτερο µέλος να είναι το

ίδιο . Οπότε έστω z = x ∈ µε x ≥ 0 , οπότε και z = x . Η εξίσωση τότε γράφεται :

z + i = 2z ⇔ x + i = 2x ⇔ x2 +1 = 2x ⇔

x≥0

...⇔ x =3

3


Έστω ο µιγαδικός z τέτοιος ώστε z7 z11= 1

ι) Να βρεθεί το z

ιι) Να βρεθεί ο µιγαδικός z



Εξισώσεις με μέτρα μιγαδικών Σε εξισώσεις που υπάρχουν μέτρα μιγαδικών και θέλουμε να βρούμε τον άγνωστο μιγαδικό z συνήθως θέτουμε z = x+yi και προσπαθούμε να φτάσουμε σε ένα σύστημα με αγνώστους x και y Αρκετές φορές αν προσέξουμε και τα δύο μέλη της ισότητας μπορούμε να καταλάβουμε ότι ο z είναι πραγματικός ή φανταστικός οπότε να αντικαταστήσουμε κατάλληλα το z γλυτώνοντας έτσι χρόνο και πράξεις

Α τρόπος

Β τρόπος

Λύση ι) Από τη σχέση

z7 z

11= 1 έχω: z7 z

11= 1 ⇔ z7 ⋅ z

11= 1⇔ z

7z

11= 1⇔ z

7z

11= 1⇔ z

18= 1⇔ z = 1

ιι) Αφού z = 1⇔ z

2= 1⇔ z ⋅z = 1⇔ z =

1z

H εξίσωση τότε γράφεται :

z7 1z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

11

= 1⇔ z7

z11 = 1⇔ 1z4 = 1⇔ z4 = 1⇔ z4 −1= 0 ⇔ z2( )2

−1= 0 ⇔ z2 −1( ) z2 +1( ) = 0

⇔ z2 = 1 ή z2 = −1⇔ z = ±1 ή z= ± i


Δίνεται ο µιγαδικός z µε z ≠ λi , λ∈* . Να αποδειχτεί ότι ο µιγαδικός w= z + λiiz + λ

είναι

φανταστικός αν και µόνο αν και ο z είναι φανταστικός

Λύση Ουσιαστικά ή άσκηση θέλει να αποδείξουµε µία ισοδυναµία .Δηλαδή θέλει να αποδείξουµε ότι w ∈I⇔ z ∈I

w ∈I ⇔ Re(w) = 0 ⇔w + w

2= 0 ⇔ w = −w ⇔

z + λiiz + λ

= −z + λiiz + λ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⇔

z + λiiz + λ

= −z − λi−iz + λ

⇔

z + λi( ) −iz + λ( ) = − iz + λ( ) z − λi( )⇔ −izz + λz + λz + λ2i = −izz − λz − λz + λ2i ⇔

2λz + 2λz = 0 ⇔ 2λ z + z( ) = 0⇔λ≠0

z = −z ⇔ z + z = 0 ⇔ 2Re z( ) = 0 ⇔ Re z( ) = 0 ⇔ z ∈I


Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί α , β , w µε w =

α + βα − β

, α,β ≠ 0

Αποδείξτε ότι :



Όταν στα Μαθηματικά θέλουμε να δείξουμε μία ισοδυναμία Α⇔Β ανάμεσα σε δύο προτάσεις Α και Β συνήθως ξεκινάμε από την πρόταση Α και με ισοδυναμίες φτάνουμε στην πρόταση Β

ι) Αν α β ∈ , τότε w ∈

ιι) Αν α = β τότε w ∈I

Λύση

ι) αβ ∈ ⇔ αβ = αβ⇔ αβ = αβ⇔ α = αββ

1( )

w =α + βα − β

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=α + βα − β

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

α + βα − β

=1( )αββ

+ β

αββ

− β=

αβ + βββ

αβ − βββ

=αβ + ββαβ − ββ

=β α + β( )β α − β( )

=α + βα − β

= w

Αρα w ∈

ιι)

α = β ⇔ α2= β

2⇔ αα = ββ⇔ α = ββ

α(2)

w =α + βα − β

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=α + βα − β

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

α + βα − β

=2( )ββα

+ β

ββα

− β=

αβ + ββα

ββ − βαα

=αβ + ββββ − βα

=β α + β( )β β − α( )

= −α + βα − β

= −w


Έστω ο µιγαδικός z µε z ≠ 0 . Να αποδείξετε ότι ο µιγαδικός w = z +

1z

είναι πραγµατικός ,

αν και µόνο αν ο z είναι πραγµατικός ή z = 1

Λύση

Η άσκηση θέλει να αποδείξουµε ότι w ∈⇔ z ∈ ή z = 1

w ∈⇔ w = w ⇔ z +

1z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= z +

1z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⇔ z +

1z= z +

1z⇔ z2z + z = zz

2+ z ⇔

zz z − z( ) − z − z( ) = 0 ⇔ z − z( ) zz −1( ) = 0 ⇔ z = z ή zz = 1⇔ z = z ή z2= 1⇔

z = z ή z = 1⇔ z ∈ ή z = 1




Έστω z1,z2,z3 ∈ µε z1 = z2 = z3 = 3 . Να αποδειχθεί ότι :

z1 + z2 + z3 =

13

z1z2 + z2z3 + z3z1

Λύση

Είναι : z1 = 3⇔ z1

2= 32 ⇔ z1z1 = 9 ⇔ z1 =

9z1

Όµοια θα ισχύει :

Επειδή γενικά είναι z = z για οποιονδήποτε µιγαδικό z , θα έχουµε :

z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 =9z1

+9z2

+9z3

=9z2z3 + 9z1z3 + 9z1z2

z1z2z3

=

9z2z3 + z1z3 + z1z2

z1z2z3

= 9z2z3 + z1z3 + z1z2

z1 z2 z3

= 9z2z3 + z1z3 + z1z2

3 ⋅3 ⋅3=

13

z2z3 + z1z3 + z1z2


Αν z , w µιγαδικοί αριθµοί µε z = 1 , να αποδείξετε ότι

z − w1− zw

= 1

Λύση

Eίναι z = 1⇔ zz = 1⇔ z =

1z

z − w1− zw

=z − w1− zw

=z − w1− zw

=z − w1− zw

=

1z− w

1− 1z

w=

1− zwz

z − wz

=1− zwz − w



• Σε αρκετές ασκήσεις , ξέρουμε το μέτρο ενός μιγαδικού και χρειάζεται να εκφράσουμε το συζυγή ενός μιγαδικού συναρτήσει του ίδιου του μιγαδικού . Θα έχουμε τότε :

z = ρ⇔ zz = ρ2 ⇔ z =

ρ2

z• Δύο σπουδαίες ιδιότητες που χρησιμοποιούνται συχνά σε ασκήσεις με μέτρα είναι :

1) z = z ( Δηλαδή μπορούμε τον μιγαδικό μέσα στο μέτρο να τον αντικαταστήσουμε με τον

συζυγή του

2) Aν z=w τότε και z = w και αντίστροφα

Άρα αν ονοµάσουµε Α=

z − w1− zw

παραπάνω καταλήξαµε ότι : Α =

1Α

και αφού το Α είναι µη

αρνητικός αριθµός , τότε Α = 1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 28Αν οι εικόνες των µιγαδικών z1 , z2 ανήκουν στον µοναδιαίο κύκλο ,

ι) Να δείξετε ότι : z1 + z2 − z1z2 +1= 0 ⇔ z1 + z2 + z1z2 −1= 0

ιι) Να δείξετε ότι : z1 + z2 − z1z2 +1 = z1 + z2 + z1z2 −1

ιιι) Να βρείτε τους z1 ,z2 για τους οποίους ισχύει η σχέση : z1 + z2 − z1z2 +1= 0

Λύση

z1 = 1⇔ z1

2= 1⇔ z1 ⋅z1 = 1⇔ z1 =

1z1

. Όµοια : z2 =

1z2

ι) z1 + z2 − z1z2 +1= 0 ⇔ z1 + z2 − z1z2 +1= 0 ⇔ z1 + z2 − z1 ⋅z2 +1= 0 ⇔1z1

+1z2

−1z1

1z2

+1= 0 ⇔ z2 + z1 −1+ z1z2 = 0

ιι) z1 + z2 − z1z2 +1 = z1 + z2 − z1z2 +1 = z1 + z2 − z1z2 +1 =1z1

+1z2

−1z1

1z2

+1 =

=z2 + z1 −1+ z1z2

z1z2

=z2 + z1 −1+ z1z2

z1 z2

= z2 + z1 −1+ z1z2

ιιι) Από το πρώτο ερώτηµα έχουµε :

z1 + z2 − z1z2 +1= 0καιz1 + z2 + z1z2 −1= 0

Από τις παραπάνω σχέσεις µε πρόσθεση κατά µέλη έχουµε ότι: z1 + z2 = 0 (1) και µε

αφαίρεση κατά µέλη έχουµε ότι: z1z2 = 1 (2) Από το σύστηµα των (1) και (2) κατά µέλη

έχουµε ότι : z1 = i , z2 = −i ή z1 = −i , z2 = i




Έστω οι µιγαδικοί z1 , z2 , z3 µε z1+z2+z3 = 0 και z1z2 + z2z3 + z1z3 = 0 . Να δείξετε ότι :

ι) z1

2 + z22 + z3

2 = 0 ιι) z1 = z2 = z3

Λύση

ι) Είναι: z1 + z2 + z3 = 0 ⇔ z1 + z2 + z3( )2= 0 ⇔ z1

2 + z22 + z3

2 + 2z1z2 + 2z2z3 + 2z1z3 = 0 ⇔

z12 + z2

2 + z32 + 2 z1z2 + z2z3 + z1z3( ) = 0 ⇔ z1

2 + z22 + z3

2 + 2 ⋅0 = 0 ⇔ z12 + z2

2 + z32 = 0

ιι) z1z2 + z2z3 + z3z1 = 0 ⇔ z1 z2 + z3( ) + z2z3 = 0 ⇔ z1 −z1( ) + z2z3 = 0 ⇔ z12 = z2z3 ⇔

z13 = z1z2z3 . Οµοίως είναι :z2

3 = z1z2z3 και z33 = z1z2z3

Άρα : z13 = z2

3 = z33 οπότε: z1

3 = z23 = z3

3 ⇔ z1

3= z2

3= z3

3⇔ z1 = z2 = z3


Να βρείτε το φυσικό αριθµό ν όταν ισχύει : 2 + 2i( )v

= 64

Λύση

Είναι : 2 + 2i( )v

= 64 , οπότε και

2 + 2i( )v

= 64 ⇔ 2 + 2iv= 64 ⇔ 8

v= 64 ⇔

2

32

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

v

= 26 ⇔ 23v2 = 26 ⇔

3v2

= 6 ⇔ v = 4 ( Προσοχή απαιτείται επαλήθευση )


Έστω ο µιγαδικός z µε z − 2( )8 = z − 6( )8 . Nα αποδείξετε ότι η εικόνα του z κινείται στην

ευθεία µε εξίσωση x = 4

Λύση

z − 2( )8 = z − 6( )8 οπότε και z − 2( )8 = z − 6( )8 ⇔ z − 2

8= z − 6

8⇔ z − 2 = z − 6

Από την τελευταία ισότητα έχουµε ότι ο µιγαδικός z κινείται στη µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ µε Α(2,0) και Β(6,0) . Η ευθεία αυτή έχει εξίσωση: x = 4



Αν z , w μιγαδικοί αριθμοί με zv = w τότε

zν = w ⇔ z

v= w

Τριγωνική ανισότητα (Σχόλια - Διερεύνηση)

Ξέρουµε ότι για οποιουσδήποτε µιγαδικούς z1 , z2 ισχύει

z1 − z2 ≤ z1 + z2 ≤ z1 + z2 (1)

Στη σχέση (1) αν αντικαταστήσουµε στη θέση του z2 το -z2 θα έχουµε :

z1 − −z2 ≤ z1 − z2 ≤ z1 + −z2 οπότε η ( 1) παίρνει τη µορφή :

z1 − z2 ≤ z1 − z2 ≤ z1 + z2 (2)

Θα διερευνήσουµε την (1) Έστω Α η εικόνα του z1 , Β η εικόνα του z2 και Γ η εικόνα του z1 + z2 .

1η περίπτωσηΌταν τα σηµεία Α και Β δεν είναι συνευθειακά µε την αρχή Ο .

Τότε

z1 = ΟΑ( ), z2 = (ΟΒ) = (ΑΓ)

και z1 + z2 = (OΓ)

Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΟΑΓ

έχουµε : (ΟΑ) − (ΑΓ) < (ΟΓ) < (ΟΑ) + (ΑΓ) ⇔ z1 − z2 < z1 + z2 < z1 + z2

2η περίπτωση Όταν τα σηµεία Α και Β είναι στην ίδια ηµιευθεία µε αρχή το Ο

Τότε είναι : (ΟΓ) = (ΟΑ) + (ΟΒ) δηλαδή είναι :

z1 + z2 = z1 + z2

3η περίπτωση Όταν τα σηµεία Α και Β είναι σε αντικείµενες ηµιευθείες µε αρχή το Ο

Τότε είναι (ΟΓ) = (ΟΑ) - (ΟΒ) ή (ΟΓ) = (ΟΒ) - (ΟΑ)

Άρα σε κάθε περίπτωση είναι : ΟΓ( ) = ΟΑ( ) − ΟΒ( ) ⇔

z1 + z2 = z1 − z2




Στο διπλανό σχήµα έχουµε το σηµείο Α(3,4) πουείναι η εικόνα του µιγαδικού z1 και το σηµείο Β που είναι η εικόνα του µιγαδικού z2 .

Αν είναι z1 + z2 = 12 να βρείτε το

z2

Λύση Αρχικά από το σχήµα παρατηρούµε ότι οι εικόνες των µιγαδικών z1 , z2 είναι στην ίδια ηµιευθεία µε αρχή το Ο

Σύµφωνα µε τις παρατηρήσεις της προηγούµενης σελίδας είναι z1 + z2 = z1 + z2 ⇔

12 = 3 + 4i + z2 ⇔12 = 5 + z2 ⇔ z2 = 7


Αν για ένα µιγαδικό z ισχύει : z −1− i = 5 , τότε να αποδείξετε ότι :

10 ≤ z −10 −13i ≤ 20

Λύση

Είναι : z −10 −13i = z −1− i( ) + −9 −12i( )

Από την τριγωνική ανισότητα έχουµε :

z −1− i − −9 −12i ≤ z −1− i( ) + −9 −12i( ) ≤ z −1− i + −9 −12i ⇔

5 −15 ≤ z −1− i( ) + −9 −12i( ) ≤ 5 +15 ⇔

10 ≤ z −1− i( ) + −9 −12i( ) ≤ 20 ⇔

10 ≤ z −10 −13i ≤ 20



Γεωµετρικά θέµατα στους µιγαδικούς Οι µιγαδικοί αριθµοί βρίσκουν πολλές εφαρµογές σε γεωµετρικά θέµατα . Βασικές γνώσεις που πρέπει να έχουµε για την αντιµετώπιση τέτοιων θεµάτων είναι οι παρακάτω :

1. το µέτρο z παριστάνει την απόσταση της εικόνας του z από την αρχή των αξόνων

2. το µέτρο z1 − z2 παριστάνει την απόσταση των εικόνων των z1 , z2

3. Αν z µεταβλητός µιγαδικός και zo σταθερός µιγαδικός και α>0 τότε η εξίσωση

z − zo = α µας φανερώνει ότι η εικόνα του z κινείται σε κύκλο µε κέντρο την εικόνα του

zo και ακτίνα α ( Αν zo = xo + iyo , η καρτεσιανή εξίσωση αυτού του κύκλου είναι

x − xo( )2

+ y − yo( )2= α2 )

4. Αν z µεταβλητός και z1 , z2 είναι σταθεροί µιγαδικοί , τότε η εξίσωση z − z1 = z − z2 µας

φανερώνει ότι η εικόνα του z κινείται στη µεσοκάθετη του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ όπου Α και Β οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα .

Οι παραπάνω γεωµετρικοί τόποι βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο , οπότε είναι άµεσα αναγνωρίσιµοι . Αν σε µία άσκηση µας ζητούν να βρούµε το γεωµετρικό τόπο ενός µιγαδικού z που ικανοποιεί κάποια διαφορετική σχέση από τις σχέσεις της πρότασης 3 και της πρότασης 4 , θα θέτουµε z = x+iy , θα κάνουµε πράξεις στη σχέση που µας έχει δώσει η υπόθεση και θα προσπαθούµε να φτάνουµε στην εξίσωση του ζητούµενου γεωµετρικού τόπου .

Καλό είναι να ξέρουµε και τα παρακάτω :

1. Η σχέση z − zo > ρ , ρ>0 και zo σταθερός µιγαδικός

παριστάνει τα σηµεία που βρίσκονται στο εξωτερικόενός κύκλου µε κέντρο την εικόνα του zo και ακτίνα ρ

2. Η σχέση z − zo < ρ , ρ>0 και zo σταθερός µιγαδικός

παριστάνει τα σηµεία που βρίσκονται στο εσωτερικόενός κύκλου µε κέντρο την εικόνα του zo και ακτίνα ρ

3. Η σχέση ρ1 < z − zo < ρ2 , ρ1,ρ2 > 0 και zo σταθερός µιγαδικός

παριστάνει τα σηµεία που βρίσκονται στον κυκλικό δαχτύλιο που ορίζουν οι κύκλοι µε κέντρο την εικόνα του zo και ακτίνες



ρ1 , ρ2

4. Η σχέση z − z1 > z − z2 όπου z1 , z2 σταθεροί µιγαδικοί

αριθµοί , παριστάνει τα σηµεία που βρίσκονται στο ηµιεπίπεδοπου είναι πλησιέστερα στην εικόνα του z2 από ότι είναι στην εικόνα του z1

5. H ισότητα z − z1 + z − z2 = 2α µε z1 − z2 < 2α , όπου α

θετικός αριθµός και z1 , z2 γνωστοί µιγαδικοί παριστάνει έλλειψη µε εστίες τις εικόνες των z1 και z2

6. Η ισότητα z − z1 + z − z2 = 2α µε z1 − z2 = 2α όπου α

θετικός αριθµός και z1 , z2 γνωστοί µιγαδικοί παριστάνει το το ευθύγραµµο τµήµα που έχει άκρα τις εικόνες των z1 και z2

7. Η ισότητα z − z1 − z − z2 = 2α µε z1 − z2 > 2α όπου α

θετικός αριθµός και z1 , z2 γνωστοί µιγαδικοί παριστάνει υπερβολή µε εστίες τις εικόνες των z1 και z2

8. Η ισότητα z − z1 − z − z2 = 2α µε z1 − z2 > 2α όπου α

θετικός αριθµός και z1 , z2 γνωστοί µιγαδικοί παριστάνει τον ένα κλάδο υπερβολής µε εστίες τις εικόνες των z1 και z2 ( αυτόν που βρίσκεται πλησιέστερα στην εικόνα του z2 )



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 34Αν οι z1 ,z2 είναι µιγαδικοί διαφορετικοί από το 0 και τα σηµεία Α , Β , Γ είναι εικόνες των

µιγαδικών z1 + z2 , z1 − z2, z1 + i 3z2 , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο

Λύση

ΑΒ= z1 + z2 − (z1 − z2) = z1 + z2 − z1 + z2 = 2z2 = 2 z2

AΓ= z1 + z2 − (z1 + z2ι 3) = z1 + z2 − z1 − z2i 3 = z2 1− i 3( ) = z2 1− i 3 = 2 z2

BΓ= z1 − z2 − (z1 + z2ι 3) = z1 − z2 − z1 − z2i 3 = z2 −1− i 3( ) = z2 −1− i 3 = 2 z2

Άρα ΑΒ = ΑΓ = ΒΓ οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο


Έστω Α , Β οι εικόνες των µιγαδικών z και w αντίστοιχα µε z,w ≠ 0 . Αν zw+

wz= 1 να

αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΟΑΒ ( Ο η αρχή των αξόνων ) είναι ισόπλευρο

Λύση

zw+

wz= 1⇔ z2 + w2 = zw ⇔ z2 − zw + w2 = 0 ⇔ z + w( ) z2 − zw + w2( ) = 0 ⇔ z3 + w3 = 0 ⇔ z3 = −w3

Παίρνοντας µέτρα στην παραπάνω τελευταία ισότητα έχουµε :

z3 = −w3 ⇔ z

3= w

3⇔ z = w ⇔ OA = OB

Τώρα µένει να αποδείξουµε ότι ΟΑ = ΑΒ ή ότι :

z = z − w ⇔

zz

=z − w

z⇔1= 1− w

z

υπόθεση

⇔ 1= zw

⇔1=zw

⇔ z = w που ισχύει

Άρα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 36Να βρεθεί κάθε φορά ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του µιγαδικού z

i) z − 2 + 3i = 2

ii) z + 5 = 1

iii) z = 2

iν) 2z − 6 + 3i = 4

v) z + 3i = 1+ i

vi) z − 4 − 4i = −2



Λύση

i) z − 2 + 3i = 2 ⇔ z − 2 − 3i( ) = 2 , άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι

κύκλος µε κέντρο το σηµείο (2,-3) και ακτίνα ρ = 2

ii) z + 5 = 1⇔ z − −5 + 0i( ) = 1 , άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι κύκλος

µε κέντρο το σηµείο (-5,0) και ακτίνα ρ = 1

iii) z = 2 ⇔ z − 0 + 0i( ) = 2 άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι κύκλος µε

κέντρο το σηµείο (0,0) και ακτίνα ρ = 2

iv) 2z − 6 + 3i = 4 ⇔ 2 z − 3 +

32

i⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 4 ⇔ 2 z − 3 +

32

i = 4 ⇔ z − 3 −32

i⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2 , ά ρ α ο

γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο ( 3,− 3

2) και

ακτίνα ρ = 2

v) z + 3i = 1+ i ⇔ z − 0 − 3i( ) = 2 , άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι

κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ(0,-3) και ακτίνα ρ = 2

vi) Η σχέση αυτή είναι αδύνατη γιατί δεν µπορεί ένα µέτρο να είναι αρνητικός αριθµός

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 37Αν z ∈ να ερµηνεύσετε γεωµετρικά τις παρακάτω σχέσεις

i) z − 2 − 2i < 3 ii) z −1+ i ≥ 2 iii)2 < z −1+ 2i < 3

Λύση

Το z − 2 − 2i δηλαδή το

z − 2 + 2i( ) παριστάνει

την απόσταση της εικόνας του z από την εικόνατου 2+2i που είναι το σηµείο (2,2)Το ότι αυτή η απόσταση είναι µικρότερη του 3σηµαίνει ότι η εικόνα του z κινείται στο εσωτερικό του κύκλου µε κέντρο το σηµείο (2,2)και ακτίνα ρ = 3



!

ιι) Το z −1+ i = z − 1− i( ) παριστάνει

την απόσταση της εικόνας του µιγαδικού z από το σηµείο (1,-1) . Το ότι η απόσταση αυτή είναι µεγαλύτερη ή ίση του 2 σηµαίνειότι η εικόνα του z κινείται πάνω στο εξωτερικόκαι πάνω στη γραµµή ενός κύκλου µε κέντρο το σηµείο (1,-1) και ακτίνα ρ = 2

ιιι) Όπως και στα προηγούµενα παραδείγµαταη εικόνα του z θα κινείται στο εσωτερικό ενόςκυκλικού δαχτυλίου που ορίζουν οι κύκλοι µε κέντρο το σηµείο (1,-2) και ακτίνες 2 και 3


Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του z όταν : z − 3 + i = z +1− 2i

Λύση

Η σχέση z − 3 + i = z +1− 2i γράφεται :

z − 3 − i( ) = z − −1+ 2i( ) . Άρα ο γεωµετρικός τόπος

της εικόνας του z είναι η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ όπου Α(3,-1) και Β(-1,2) Η εύρεση της εξίσωσης της µεσοκαθέτου αυτής σε καρτεσιανή µορφή µπορεί να βρεθεί µε Μαθηµατικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης

λΑΒ =

2 +1−1− 3

= −34

και το µέσο Μ του τµήµατος

ΑΒ έχει συντεταγµένες Μ

3 −12

,−1+ 22

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1, 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Άρα η ε που είναι κάθετη στο ΑΒ έχει συντελεστή

διεύθυνσης λε =

43

οπότε η εξίσωση της είναι :

ε : y − 1

2=

43

x −1( )⇔ y =43

x −56



!

!


Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του µιγαδικού z όταν: z −1 < z

Λύση

Το z −1 παριστάνει την απόσταση της εικόνας

του z από το σηµείο Α(1,0)

Το z παριστάνει την απόσταση της εικόνας του

z από το σηµείο Ο(0,0)

Άρα η σχέση z −1 < z µας λέει ότι οι εικόνες του

z είναι πιο κοντά στο σηµείο Α παρά στο σηµείο ΟΆρα βρίσκονται στο δεξιό ηµιεπίπεδο της που ορίζειη µεσοκάθετη του τµήµατος ΟΑ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 40Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας Μ του µιγαδικού αριθµού z για τον οποίον

ισχύει η σχέση z −10 = 3 z − 2

Λύση

z −10 = 3 z − 2

⇔ z −10

2= 32 z − 2

2⇔ z −10( ) z −10( ) = 9 z − 2( ) z − 2( )⇔

z −10( ) z −10( ) = 9 z − 2( ) z − 2( )⇔ zz −10z −10z +100 = 9zz −18z −18z + 36 ⇔

8zz − 8z − 8z − 64 = 0 ⇔ zz − z − z − 8 = 0

Αν θεωρήσουµε z = x+yi , τότε θα έχουµε :

x + ψi( ) x − ψi( ) − x + ψi( ) − x − ψi( ) − 8 = 0 ⇔ x2 + ψ 2 − x − ψi − x + ψi − 8 = 0

x2 + ψ 2 − 2x − 8 = 0

Η παραπάνω σχέση είναι της µορφής x2 + y2 +Ax+By+Γ=0 µε Α2 + Β2 - 4Γ = 36 > 0 Άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ(1,0) και

ακτίνα ρ=

362

= 3



!

Παρατηρήστε ότι στο προηγούμενο παράδειγμα δεν αντικαταστήσαμε από την αρχή τον μιγαδικό z με x+yi . Πρώτα υψώσαμε στο τετράγωνο , απαλλαχτήκαμε από τα μέτρα και όταν δεν μπορούσαμε να κάνουμε κάτι άλλο , αντικαταστήσαμε το z


Έστω ένας µιγαδικός z για τον οποίον ισχύει η σχέση z = 2 . Να βρείτε που κινείται η

εικόνα του µιγαδικού w όταν ισχύει : w = 2z + 4

Λύση Θα λύσουµε τη σχέση w = 2z + 4 ως προς z για να εκµεταλλευτούµε την πληροφορία ότι

z = 2

Είναι w = 2z + 4 ⇔ w − 4 = 2z ⇔ z =

w − 42

Οπότε z = 2 ⇔

w − 42

= 2 ⇔w − 4

2= 2 ⇔

w − 42

= 2 ⇔ w − 4 = 4

H τελευταία σχέση µας λέει ότι η εικόνα του w κινείται σε κύκλο µε κέντρο το σηµείο Κ(4,0) και ακτίνα ρ = 4

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 42Έστω Α , Β οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z , w αντίστοιχα , οι οποίοι συνδέονται µε τη

σχέση w = z +

8z

. Αν το σηµείο Α κινείται σε κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και

ακτίνα ρ=2 , να βρείτε τη γραµµή που κινείται το σηµείο Β

ΛύσηΈστω z = α+βi και w=x+yiΑφού το σηµείο Α(α,β) που είναι η εικόνα του z κινείται σε κύκλο µε κέντρο (0,0) και

ακτίνα ρ= 2 τότε θα ισχύει : α2 + β2 = 4 (1)

Έχουµε :

w = z +

8z



Υπάρχουν αρκετές ασκήσεις µιγαδικών που µας δίνονται δύο µιγαδικοί z , w όπου θα συνδέονται µε κάποια σχέση και θα ξέρουµε σε ποια γραµµή C κινείται η εικόνα Α του z και θα µας ζητείται να βρούµε σε ποια γραµµή κινείται η εικόνα Β του w Στις ασκήσεις αυτές δουλεύουµε ως εξής :1. Θα θέτουµε z=α+βi , w=x+yi2. Θα εκµεταλλευόµαστε την πληροφορία ότι το σηµείο Α κινείται στη γραµµή C και θα αντικαθιστούµε τις συντεταγµένες του Α(α,β) στην εξίσωση της γραµµής

3. Από τη σχέση που συνδέει τους z , w θα βγάζουµε τις σχέσεις που συνδέουν τις συντεταγµένες Β(x,y) µε τις συντεταγµένες Α(α,β)

4. Με τη βοήθεια της εξίσωσης της γραµµής C θα προσπαθούµε να απαλείψουµε τα α , β οπότε θα φτάνουµε σε µία εξίσωση ως προς x και y . H εξίσωση αυτή θα είναι η εξίσωση της ζητούµενης γραµµής που κινείται η εικόνα Β του w

⇔ x + yi = α + βi+ 8α + βi

⇔

x + yi = α + βi+8 α − βi( )

(α + βi) α − βi( )⇔ x + yi = α + βi+

8 α − βi( )α2 + β2 ⇔

1( )

x + yi = α + βi+8 α − βi( )

4⇔ x + yi = α + βi+ 2 α − βi( )⇔ x + yi = 3α − βi ⇔ x = 3α

y = −β⎧⎨⎪

⎩⎪⇔ α =

x3

β = −y

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) έχουµε ότι x2

9+ y2 = 4 ⇔

x2

36+

y2

4= 1

Άρα η εικόνα του w κινείται σε έλλειψη µε α=6 και β=2 . Επειδή είναι γ2 = α2 - β2 τότε

γ = 32 = 4 2

Άρα η εικόνα του w κινείται σε έλλειψη µε εστίες

Ε/ −4 2,0( ) , Ε 4 2,0( ) και σταθερό άθροισα 2α=12

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 43Να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των µιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

1− i( )z − 2( )5 = 1− 3 7i1+ i

Λύση

Από τη σχέση

1− i( )z − 2( )5 = 1− 3 7i1+ i

έχουµε :

1− i( )z − 2( )5 =1− 3 7i

1+ i⇔ 1− i( )z − 2

5=

1− 3 7i

1+ i⇔ 1− i( )z − 2

5=

642

⇔

1− i( )z − 25= 32 ⇔ 1− i( )z − 2 = 325 ⇔ 1− i( ) z −

21− i

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2510 ⇔

1− i z −2 1+ i( )1+1

= 2 ⇔ 2 z − 1+ i( ) = 2 ⇔ z − 1+ i( ) = 1

Από την τελευταία σχέση γίνεται φανερό ότι η εικόνα του z κινείται σε κύκλο µε κέντρο το σηµείο Κ(1,1) και ακτίνα ρ=1



Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου

Σε αρκετές ασκήσεις έχουμε βρει ότι η εικόνα Μ ενός μιγαδικού z κινείται σε κάποια γραμμή C και θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη και μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το μέτρο του z ή το μέτρο κάποιου άλλου μιγαδικού . Στις περιπτώσεις αυτές αρχικά κάνουμε ένα σχήμα και ανάλογα με τη γραμμή C που θα κινείται ο μιγαδικός z έχουμε :

★Αν το σημείο Μ(z) κινείται σε ευθεία ε, τότε:

•

•

★Αν το σημείο Μ(z) κινείται σε ένα κύκλο με κέντρο Κ και ακτίνα ρ , τότε επειδή

z = ΟΜ( ) και z − z1 = M1M( )έχουμε :

•

•

•

•

★Αν το σημείο Μ(z) κινείται

σε έλλειψη

x2

α2 +y2

β2 = 1 , τότε

επειδή z = ΟΜ( ) , έχουμε :

•

•



min z = d(O,ε)

min z − z1 = d M1,ε( )

min z = OA( ) = OK( ) − ρ

max z = OB( ) = OK( ) + ρ

min z − z1 = M1A( ) = KM1( ) − ρ

max z − z1 = M1B( ) = KM1( ) + ρ

min z = OB/( ) = OB( ) = β

max z = OA/( ) = OA( ) = α

★Αν το σημεία Μ(z1) , Μ(z2) κινούνται σε κύκλο (Κ,ρ) , τότε επειδή

θα έχουμε :

•

•

★Αν το σημεία Μ(z1) , Μ(z2) κινούνται σε κύκλο (Κ,ρ) και μία ευθεία ε αντίστοιχα, τότε επειδή z1 − z2 = M1M2( ) θα έχουμε :

min z1 − z2 = ΑΓ( ) = d K,ε( ) − ρ

★Αν το σημεία Μ(z1) , Μ(z2) κινούνται σε κύκλο (Κ1,ρ1) και σε κύκλο (Κ2 , ρ2 ) τότε επειδή z1 − z2 = M1M2( ) θα έχουμε :

•

•



z1 − z2 = M1M2( )

min z1 − z2 = 0

max z1 − z2 = ΑΒ( ) = 2ρ

min z1 − z2 = ΒΓ( ) = (Κ1Κ2) − ρ1 − ρ2

max z1 − z2 = ΑΔ( ) = (Κ1Κ2) + ρ1 + ρ2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 44α) Να βρείτε τη γραμμή που κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών

z = 2λ −1( ) + λ − 3( ) i , λ∈β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του μέτρου του μιγαδικού z του α ερωτήματος . Ποιος είναι ο μιγαδικός αυτός που έχει το ελάχιστο μέτρο ;

Λύση

α) Οι εικόνες των µιγαδικών z = 2λ −1( ) + λ − 3( ) i , λ∈ είναι τα σηµεία Μ(2λ-1,λ-3)

Έστω Μ(x,y) , Τότε θα έχουµε :

χ = 2λ −1ψ = λ − 3

⇔χ = 2 ψ+ 3( ) −1

λ = ψ+ 3 οπότε προκύπτει ότι x-2y-5=0 . Άρα οι εικόνες του

µιγαδικού z κινούνται στην ευθεία ε µε εξίσωση x - 2y - 5 = 0

β) Επειδή µέτρο µιγαδικού είναι η απόστασή τουαπό την αρχή των αξόνων η µικρότερη τιµή του µέτρου θα είναι η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία ε . Άρα :

min z = d O,ε( ) = 0 − 2 ⋅0 − 5

12 + −2( )2=

55= 5

Για να βρούµε ποιος µιγαδικός είναι αυτός αρκεί να βρούµε το σηµείο Κ που είναι η προβολή του Ο στην ευθεία ε

Έχουµε λε = 12

οπότε λΟΚ = -2

Άρα ΟΚ: y=-2xΑπό το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών ε και ΟΚ έχουµε ότι Κ(1,-2) . Άρα ο µιγαδικός µε το ελάχιστο µέτρο είναι ο z = 1-2i


Αν z −12 −15i = 8 , να βρεθούν :

i) Η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή του z

ii) Η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή του z − 7 + 7i



Λύση Ο γεωµετρικός τόπος των εικόνωντων z είναι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείοΚ(12,15) και ακτίνα ρ=7

α) Ζητάµε τη µικρότερη και τη µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει η απόσταση ΟΝόπου Ο η αρχή των αξόνων και Ν ένα σηµείοτου κύκλου

min z = (OA) = (OK) − ρ = 369 − 8

max z = (OB) = (OK) + ρ = 369 + 8

β) Ζητάµε τη µικρότερη και τη µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει η απόσταση (ΜΝ)

όπου Μ η εικόνα του µιγαδικού z1 = 7 − 7i

και Ν ένα σηµείο του κύκλου

min z − 7 + 7i = MΓ( ) = (ΜΚ) − ρ = 509 − 8

max z − 7 + 7i = MΔ( ) = (ΜΚ) + ρ = 509 + 8


α) Να βρείτε τη γραµµή που κινούνται οι εικόνες των µιγαδικών z όταν ισχύει z − 3 + 2i = 1

β) Έστω δύο µιγαδικοί z1,z2 : z1 − 3 + 2i = z2 − 3 + 2i = 1 . Ποια η µικρότερη και ποια η

µεγαλύτερη τιµή του µέτρου z1 − z2

γ) Στην περίπτωση που το z1 − z2 παίρνει τη µέγιστη τιµή του να βρείτε την τιµή του

z1 + z2

Λύση

α) Είναι z − 3 + 2i = 1⇔ z − 3 − 2i( ) = 1 ,άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι

κύκλος µε κέντρο το σηµείο (3,-2) και ακτίνα ρ=1

β) Έστω Μ1(z1) , M2(z2) . Αφού ισχύει :

z1 − 3 + 2i = z2 − 3 + 2i = 1 τότε τα

σηµεία Μ1 , Μ2 ανήκουν στον κύκλο του α)

ερωτήµατος . Επειδή 0 ≤ Μ1Μ2( ) ≤ 2ρ



η µικρότερη τιµή του z1 − z2 είναι το 0 ενώ η µεγαλύτερη είναι η 2ρ=2

γ) Σύµφωνα µε το ερώτηµα βθα πρέπει τα σηµεία Μ1 , Μ2 ναείναι αντιδιαµετρικά στον κύκλο

για να µπορέσει το z1 − z2

να “πιάσει” τη µέγιστη τιµή του που είναι 2 Τότε όµως θα είναι :

z1 + z2 = OM1

+ OM2

= 2OK

=

= 2(OK) = 2 13


Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί w , z ώστε : z + 3 + 2i = 2 και w − 4 + 2i = 3

α) Να βρείτε τους γεωµετρικούς τόπους των εικόνων των µιγαδικών z , w β) Να βρείτε τη µικρότερη και τη µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει η παράσταση

Α =

1− zz

+1

γ) Να βρείτε τη µικρότερη και τη µεγαλύτερη τιµή του z − w

δ) Να βρείτε τους µιγαδικούς z , w για τους οποίους το z − w γίνεται :

ι) ελάχιστο και ιι) µέγιστο

Λύση α) Κατά τα γνωστά ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ(-3,-2) και ακτίνα ρ1 = 2 ενώ ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του w είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο Λ(4,-2) και ακτίνα ρ2 = 3

β)A=

1− zz

+1 =1− z + z

z=

1z

=1z

Όµως όπως φαίνεται και από το σχήµα :

ΟΑ ≤ z ≤ΟΒ⇔ΟΚ + ρ ≤ z ≤ΟΚ − ρ⇔

13 − 2 ≤ z ≤ 13 + 2



Άρα η µικρότερη τιµή του z είναι η 13 − 2 και η πιο µεγάλη είναι η 13 + 2

Άρα η πιο µικρή τιµή του Α=

1z

θα είναι η

113 + 2

και η πιο µεγάλη η

113 − 2

γ) Επειδή (ΚΛ) = ρ2 - ρ1 οι δύο κύκλοιεφάπτονται εσωτερικά .

Η µικρότερη τιµή του z − w είναι µηδέν

και η µεγαλύτερη τιµή του z − w είναι η

απόσταση ΓΔ=2ρ2 = 6

δ) Η εικόνα του z κινείται στον κύκλο (Κ,2)και η εικόνα του w στον κύκλο (Λ,3)

Η µικρότερη τιµή του z − w επιτυγχάνεται

όταν οι εικόνες των z , w είναι το σηµείο Γ δηλαδή όταν z = w = -1-2i

ενώ η µεγαλύτερη τιµή του z − w επιτυγχάνεται όταν η εικόνα του z είναι το σηµείο Γ

δηλαδή όταν z=-1-2i και η εικόνα του w είναι το σηµείο Δ όταν δηλαδή w = -7-2i

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 48ι) Να βρεθεί ο γεωµετρικός C1 τόπος της εικόνας του µιγαδικού z όταν :

z − 3i + z + 3i = 10

ιι) Να βρεθεί ο γεωµετρικός C2 τόπος της εικόνας του µιγαδικού z όταν :

z − 3i + z + 3i = 6

ιιι) Έστω z1 , z2 δύο µιγαδικοί που οι εικόνες τους ανήκουν στο C1 . Να βρεθεί η

µεγαλύτερη τιµή του z1 − z2

Λύση ι) Έστω Μ η εικόνα του µιγαδικού z ,E(0,3) και Ε/(0,-3) . Τότε από τη

σχέση z − 3i + z + 3i = 10 , έχουµε :

(ΜΕ)+(ΜΕ/) = 10 και (ΜΕ)+(ΜΕ/)>(ΕΕ/)γιατί (ΕΕ/) = 6 . Άρα η εικόνα του ανήκει σε έλλειψη µε σταθερό άθροισµα 2α=10 και εστίες τα σηµεία Ε/ και Ε



ιι) Έστω Μ η εικόνα του µιγαδικού z ,E(0,3) και Ε/(0,-3) . Τότε από τη

σχέση z − 3i + z + 3i = 6 , έχουµε :

(ΜΕ)+(ΜΕ/) = 6 . Δεν µπορούµε να πούµε ότι το σηµείο Μ ανήκει σε έλλειψη γιατί θα ’πρεπε να ισχύει (ΜΕ)+(ΜΕ/)>(ΕΕ/)αλλά τώρα ισχύει (ΜΕ)+(ΜΕ/)=(ΕΕ/) Για να βρούµε το γεωµετρικό τόπο του σηµείουΜ σκεφτόµαστε ως εξής

•Αν το σηµείο Μ δεν είναι σηµείο της ευθείας ΕΕ/ ,τότε από την τριγωνική ανισότητα θα ισχύει (ΜΕ)+(ΜΕ/)>6 που είναι άτοπο

•Αν το σηµείο Μ ανήκει στην ευθεία ΕΕ/ αλλά δεν είναι εσωτερικό του ευθυγράµµου τµήµατος ΕΕ/ , τότε πάλι θα ισχύει (ΜΕ)+(ΜΕ/)>6 που είναι άτοπο

•Αν όµως το σηµείο Μ κινείται στο ευθύγραµµο τµήµα ΕΕ/ , τότε θα ισχύει : (ΜΕ)+(ΜΕ/) = 6 Άρα ο γεωµετρικός τόπος C2 είναι το ευθύγραµµο τµήµα ΕΕ/

ιιι) Είναι z1 − z2 = M1M2( )

Και επειδή η µεγαλύτερη τιµή που µπορείνα πάρει η απόσταση (Μ1Μ2) είναι 2α=10

τότε max z1 − z2 = 10



μιγαδικοί θεωρία

Documents

Transcript of μιγαδικοί θεωρία