Μιγαδικοί Αριθμοί - Επανάληψη

• Να διαβάσεις καλά όλους τους ορισμούς, τις αποδείξεις , τα σχόλια και τα πλαίσια που υπάρχουν στο σχολικό

βιβλίο. Κάποια από αυτά θα είναι το 1ο Θέμα του διαγωνίσματος!

• Σελ.86: Ορισμός (Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών) • Σελ.87: Ορισμοί (Ισότητα μιγαδικών αριθμών , Γεωμετρική παράσταση μιγαδικών) • Σελ.88-90: Πράξεις στο C. Προσέχω τις 2 προτάσεις στη σελ.89 με τα έντονα γράμματα • Σελ.90: Ορισμός (Δύναμη μιγαδικού)

Σελ.90: Απόδειξη (Δυνάμεις του i) • Σελ.91: Ιδιότητες συζυγών (Όλη τη σελίδα)

• Σελ.91: Απόδειξη: 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2 • Σελ.92: Απόδειξη (Επίλυση της αz2 + βz + γ = 0) • Σελ.93: Παρατήρηση • Σελ.97: Ορισμός (Μέτρο μιγαδικού) • Σελ.97: Τις ιδιότητες που βρίσκονται στο δεύτερο μπλε πλαίσιο • Σελ.98: όλα τα μπλε πλαίσια • Σελ.98: Απόδειξη: ( |z1 z2| = |z1| |z2| ) • Σελ.99: Οι εξισώσεις: |z – z0| = ρ , ρ > 0 και |z – z1| = |z – z2| • Σελ.124-5: τις ερωτήσεις κατανόησης

Η θεωρία στο σχολικό

Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Διαβάζω τις 2 εφαρμογές σελ.93-94 και τις 2 εφαρμογές σελ. 99-100 σχολικού

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ

Δυνάμεις 8Α/95, 3Β/96, 4Β/96, 7Β/96

Εξισώσεις- Τύποι Vieta 14A/96

z: πραγματικός z : φανταστικός 11Α/96, 6Β/96, 8Β/96

Ιδιότητες μέτρων 9Α/101, 1Β/101, 7Β/102, 10Β/102

Γεωμετρικοί τόποι Εύρεση γραμμής που κινούνται οι εικόνες μιγαδικού 12Α/96, 9Β/97, 4Α/101, 5Α/101, 6Α/101,

8Α/101, 2Β/101, 3Β/101, 4Β/102, 5Β/102, 6Β/102, 9Β/102, 1Γ/123, 6Γ/103

Μέγιστο – Ελάχιστο μέτρο 7Α/101, 8Β/102, 3Γ/123

Κατηγορίες ασκήσεων στο σχολικό


Δυνάμεις του i

*ρ

4ρ + υ 4ρν υ 4 υ υ , ν Ν , ν = 4ρ + υ με 0 υ < 4

1 , αν υ = 0

i , αν υ = 1i = i = i i = i i = i =

- 1 , αν υ = 2

- i , αν υ = 3

2015 = i

2 3 1996 ... = i i i i

Βρες τις δυνάμεις: i

1

Απαντήσεις


Υπολόγισε τα παρακάτω: Απαντήσεις

1 + 𝑖 2

1 − 𝑖 2

𝑎 + 𝑎𝑖 2

𝑎 − 𝑎𝑖 2

𝑎 3 + 𝑎𝑖3

𝑎 + 𝑎 3𝑖3

1 − 𝑖 20

2 3 + 2𝑖3

2i

2i

22α i

22α i

38a i

38a

102

64i

Δυνάμεις του α αi, α α 𝟑 i , α 𝟑 α i


z + 𝒛 , z - 𝒛

z+z=2Re(z) z-z=2Im(z)i

Συμπλήρωσε τα παρακάτω: Απάντηση

z w + z w

z w - z w

z zw w

z zw w

2Re(z w)

2Im(z w) i

2Rezw

2Im izw


• Αν z=z1+z2i με z1 , z2 C, τότε: 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2𝑖

• Είναι λάθος να πεις: 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2𝑖 , διότι ο z δεν είναι σε κανονική μορφή.

• Δεν ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς. (Δηλαδή δεν έχει νόημα η σχέση z1 < z2 με z1 , z2 C )

Προσέχω !


• Αν Δ < 0 τότε έχει δύο συζυγείς μιγαδικές λύσεις : 𝒛𝟏,𝟐 =−𝜷± −𝚫 𝒊

𝟐𝜶

• Πρόσεξε ότι για να χρησιμοποιήσεις τον παραπάνω τύπο πρέπει τα α, β, γ να είναι πραγματικοί αριθμοί!

• Οι λύσεις είναι συζυγείς μιγαδικοί, άρα: z1+ z2= 2Re(z1) και z1z2=|z1|2

• Ισχύουν και οι τύποι Vieta: 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 =−𝜷

𝜶 και 𝒛𝟏 𝒛𝟐 =

𝜸

𝜶

• Για εξάσκηση : • 1. άσκηση Α14 σελίδα 96 σχολικού. • 2. Να λυθεί η εξίσωση: z2 – i z + 2 = 0 , z C.

Προσέχω !

• Επίλυση της εξίσωσης : αz2 + βz + γ = 0 με α, β, γ R και α ≠ 0


• Αν η εξίσωση περιέχει μόνο τον μιγαδικό z και είναι δευτεροβάθμια με πραγματικούς συντελεστές , χρησιμοποιούμε τους τύπους της δευτεροβάθμιας ,ενώ αν είναι μεγαλύτερου βαθμού κάνουμε αν γίνεται παραγοντοποίηση.

• Αν η εξίσωση περιέχει τους z και 𝑧 ή και δυνάμεις τους ,τότε θέτουμε z = x + y i και βρίσκουμε τα x , y.

Μεθοδολογία

• Για την επίλυση εξισώσεων στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών


• Για να δείξουμε ότι ο z είναι πραγματικός : • τον γράφουμε στη μορφή z = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: β = 0

ή δείχνουμε ότι: 𝒛 = 𝒛 .

• Για να δείξουμε ότι ο z είναι φανταστικός : τον γράφουμε στη μορφή z = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: α = 0 ή δείχνουμε ότι: 𝒛 = - 𝒛 .

• Για εξάσκηση :

• Αν z , w μιγαδικοί με |z|=|w|= 3 , να δείξετε ότι ο z1= 𝑧 −𝑤

3+𝑧 𝑤 είναι

φανταστικός.



• Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών μπορεί να αληθεύει μια

ισότητα της μορφής: z1

2 + z22 = 0 και όταν z1≠ 0 και z2 ≠ 0 .

• Όταν δίνεται η σχέση z1

2 + z22 = 0, τότε μπορούμε να τη γράψουμε

ως εξής: • 𝑧1

2 + 𝑧22 = 0 𝑧1

2 - i2 𝑧22 = 0

• (z1 + iz2) (z1 – iz2) = 0 • z1 = -iz2 ή z1 = iz2

• Επίσης παρατήρησε ότι: –iz2= 𝑧2

𝑖

Προσοχή!


• Αντισυζυγής • Αν z = α + βi , α , β R τότε ως αντισυζυγής του z ορίζεται ο μιγαδικός:

w = β – αi (ή w = - β + αi ).

• Παρατηρούμε ότι: β – αi = -i(α + βi) δηλαδή w = -i z α + βi = i(β – αi) δηλαδή z = i w -β + αi = i(α + βi) δηλαδή -w = i z

• Για παράδειγμα: z 4κ+2 + w 4κ+2 = ( i w )4κ+2 + w 4κ+2 = - w 4κ+2 + w 4κ+2 = 0

• Για εξάσκηση: • Υπολόγισε την παράσταση: (3-i)2010 + (1+3i)2010

Θυμάμαι


• Μια ασκησούλα για εξάσκηση στις δυνάμεις μιγαδικών:

• Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 ≠ 0 με 𝑧1

𝑧2+

𝑧2

𝑧1 = 1.

• Να δείξετε ότι:

• α. 𝑧13= -𝑧2

3

• β . 𝑧1

𝑧2

2010+

𝑧2

𝑧1

2010= 2

Εξάσκηση στις δυνάμεις


• Μέτρο μιγαδικού

• αν z = α + β i , τότε: |z|= 𝜶𝟐 + 𝜷𝟐

• Ιδιότητες • |z|= |-z|=|𝒛| • |z|2 = z 𝒛 • |z1 z2|=|z1||z2|

•𝒛𝟏

𝒛𝟐=𝒛𝟏

𝒛𝟐 , z2≠0

• Πρόσεξε επίσης: |iz| = |i| |z| = |z|

• Και μια ασκησούλα στα μέτρα: • Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 , z3 με: z1 = 1, z2 = 3, z3 = 5

Να δείξετε ότι:|z1 + z2 + z3|=1

15 |z2z3+9z1z3+25z1z2|

Θυμάμαι


• Μέτρο αθροίσματος μιγαδικών

• ||z1|-|z2|| |z1 + z2| |z1|+|z2| • Χρησιμοποιείται κυρίως για απόδειξη ανισοτικών σχέσεων.

• Παράδειγμα

• Αν |z|=2 με z C και w = 3 – 4i , να δείξετε ότι: 3 |z+w| 7

Θυμάμαι


• Μέτρο διαφοράς μιγαδικών • Αν z1 , z2 είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί και Μ1 , Μ2 οι εικόνες τους στο

μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα , τότε |z1 – z2| = (M1M2) , δηλαδή το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους.

• Επίσης ισχύει: ||z1|-|z2|| |z1 - z2| |z1|+|z2|

• Παράδειγμα • Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z3 ισχύει: |z1|=|z2|=|z3|=1 και z1+z2+z3=1,

να δείξετε ότι :

• α) 𝟏

𝒛𝟏+

𝟏

𝒛𝟐+

𝟏

𝒛𝟑= 1

• β) |z1 – 2z2|2 9 • γ) Re(𝑧1𝑧2) -1

Θυμάμαι


• Η εξίσωση: |z – z0| = ρ , ρ > 0

• παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα Ρ(x0,y0) του z0 και ακτίνα ρ.

• Η εξίσωση: |z – z1|=|z – z2|

• παριστάνει τη μεσοκάθετο του Μ1Μ2 , όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα.


• Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών που κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών z και w, για τους οποίους ισχύει: |2z+3-2i|=2 και |w-2+i|=|w+2i| και να εξετάσετε αν υπάρχουν z και w ώστε z = w.

Βασικές εξισώσεις


• Η εξίσωση: |z – z1| + |z – z2| = 2α , α > 0

• Παριστάνει έλλειψη με εστίες Μ1 , Μ2 όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα και εστιακή απόσταση: 2γ=(Μ1Μ2)=|z1 – z2|<2α

• Η εξίσωση: ||z – z1| - |z – z2|| = 2α , α > 0

• Παριστάνει υπερβολή με εστίες Μ1 , Μ2 όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα και εστιακή απόσταση: 2γ=(Μ1Μ2)=|z1 – z2|>2α

Βασικές εξισώσεις


Βασικές σχέσεις

ΣΧΕΣΗ

ΠΑΡΙΣΤΑΝΕΙ

|z – z 0| = ρ , ρ > 0

Κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(x 0,y 0) και ακτίνα ρ

|z – z 0| ρ , ρ > 0

Κυκλικό δίσκο με κέντρο το σημείο Κ(x 0,y 0) και ακτίνα ρ

|z – z 0|< ρ , ρ > 0

Τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x 0,y 0) και ακτίνα ρ

|z – z 0|> ρ , ρ > 0

Τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x 0,y 0) και ακτίνα ρ

|z – z 0| ρ , ρ > 0 Τα σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x 0,y 0) και ακτίνα ρ και τα σημεία που βρίσκονται εξωτερικά αυτού του κύκλου


• Αν για τον μιγαδικό z ισχύει:|z – z0| = ρ , ρ > 0 ή έχεις δείξει ότι η εικόνα του z κινείται σε κύκλο και σου ζητούν να βρεις τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |z| , τότε:

• max|z| = (KO) + ρ

• min|z| = (KO) – ρ

• όπου Κ η εικόνα του z0 και ρ η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το Κ .

• Για να βρεις τους μιγαδικούς με το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο, λύνεις το σύστημα των εξισώσεων της ευθείας ΟΚ και του κύκλου


• Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού

Ο

Α

Β

Κ


• Αν η εικόνα του μιγαδικού z ξέρεις ότι κινείται σε ευθεία (ε), τότε ο z έχει μόνο ελάχιστο μέτρο.

• Για να βρεις το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο, φέρνεις κάθετη από την αρχή των αξόνων στην ευθεία (ε) και βρίσκεις το σημείο τομής των δύο ευθειών.

• min|z|= d(O,ε)

• Για εφαρμογή:

• εφαρμογή 2 σελ.99 , Α7 σελ.101 , Β8 σελ.102 , Γ3 σελ. 123 σχολικού


• Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού

Ο ε

ζ


• Αν ο μιγαδικός z με εικόνα Μ κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w με εικόνα Ν είναι σταθερός ,τότε:

• max |z – w|=(NB)=(NΚ)+ρ και • min |z – w|=(NA)=|(NK)-ρ|

• Αν η εικόνα του w ανήκει και αυτή στον κύκλο (Κ , ρ) τότε:

• max |z – w|=(NB)=2ρ και • min |z – w|=0


• Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών

O

K

y

x

N

B A


• Αν η εικόνα Μ του μιγαδικού z κινείται σε ευθεία (ε) και Ν είναι η εικόνα του w,τότε:

• max |z – w| δεν υπάρχει και • min |z – w|= d(N,ε)



O

y

x

N

ε


Θυμάμαι

Απόσταση σημείου από ευθεία

Αν Μ1(x1,y1) και ε:Αx+By+Γ = 0 τότε : d(M1 , ε) =

𝚨𝒙𝟏+𝚩𝒚𝟏+𝚪

𝚨𝟐+𝚩𝟐


Θυμάμαι

Κύκλος

Κέντρο κύκλου Εξίσωση κύκλου

O(0 , 0) C: x2 + y2 = ρ2

Κ(x0 , y0) C: (x – x0)2 + (y – y0)2 = ρ2

𝚱 −𝚨

𝟐 , −

𝚩

𝟐

C: x2 + y2 + Ax + By + Γ= 0 με Α2 + Β2 – 4Γ > 0

Ακτίνα : 𝝆 =𝚨𝟐+𝚩𝟐−𝟒𝚪

𝟐


• Αν οι εικόνες των μιγαδικών z , w κινούνται σε κύκλο (Κ,ρ), με z ≠ w, τότε:

• max |z – w|= ΜΝ = 2ρ. • min |z – w|δεν υπάρχει



O

K

y

x

Μ Ν


• Αν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και του w σε ευθεία (ε) ,τότε

• max |z – w|δεν υπάρχει • min |z – w|= |d(K , ε) – ρ|



O

K

y

x

ε


• Αν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε κύκλο (Κ , ρ) και του w σε κύκλο (Λ,R) και οι κύκλοι δεν έχουν κοινό σημείο (σχήμα 1), τότε

• max |z – w|= (ΚΛ) + ρ + R • min |z – w|= |(ΚΛ)– ρ - R| • Αν οι κύκλοι έχουν κοινό σημείο (σχήμα 2) τότε min|z – w|= 0.



O

K

y

x

Α Β Γ

Δ Λ

σχήμα 1 σχήμα 2

y

O

K Λ

x x

K

Λ

O

y


• Αν οι εικόνες των μιγαδικών z , w με z ≠ w κινούνται σε έλλειψη, τότε • max |z – w|= 2α , δηλαδή ο μεγάλος άξονας.

• Για εξάσκηση δες: Εφαρμογή 2 σελ.99 σχολικού, ασκήσεις Α7 σελ.101, Β8 σελ.102 και Γ3 σελ.123 σχολικού



O

y

x Α΄ Α


• δηλαδή αν μια παράσταση με μιγαδικούς είναι ίση με μηδέν ,τότε και η συζυγής

παράσταση αυτής είναι ίση με μηδέν.


• Αν z1 + z2 = z3 και οι εικόνες των μιγαδικών αυτών κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι : z2z3 + z1z3 = z1z2


• Αν 𝒇(𝒛 ,𝒘) = 0 τότε και 𝒇(𝒛 , 𝒘) = 0


• δηλαδή μια παράσταση μιγαδικών και η συζυγής της έχουν ίσα μέτρα.


• Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι:

𝑧1 + 2𝑧2 − 3𝑧3 = 12 𝑧2𝑧3 + 2𝑧1𝑧3 − 3𝑧1𝑧2


• |𝒇 𝒛 ,𝒘 | = |𝒇(𝒛 , 𝒘)|


• Μετά υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα |z|2 = 𝒛𝒛

• Για παράδειγμα:

• 1. Αν z , w C και z ν = w |z ν| = |w| |z|= |𝒘|𝝂

• 2. Αν z , w C και z ν = w ν |z| ν = |w| ν

• |z| = |w| |z| 2 = |w| 2 𝒛𝒛 = 𝒘𝒘

• 3. Γενικά [ f (z )] ν = [g(z )] ν | f (z )| ν = |g(z )| ν | f (z )|=|g(z)|

• |f(z )| 2 = |g(z )| 2 𝒇(𝒛)𝒇(𝒛) 𝒈(𝒛)𝒈(𝒛)


• Όταν έχουμε μια ισότητα μιγαδικών, σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούμε ότι και τα μέτρα των μιγαδικών είναι ίσα (χωρίς να ισχύει το αντίστροφο)


• 1. άσκηση Γ6 σελίδα 123 σχολικού βιβλίου

• 2. Αν (1 + i z ) ν = (1 – i z ) ν να δείξετε ότι z R .

• Σε τρίγωνο, αν Α ,Β,Γ ε ίναι οι ε ικόνες των μιγαδικών z , w , u , τότε: • α. ΑΒΓ ισόπλευρο ΑΒ = ΒΓ = ΓΑ |z -w|=|u-w|=|z-u| • β . ΑΒΓ ισοσκελές με βάση ΒΓ ΑΒ=ΑΓ |z -w|=|z-u| • γ . ΑΒΓ ορθογώνιο με 𝚨 =90 0 ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = ΒΓ 2

|z -w| 2 + |z -u| 2 = |w-u| 2

• Παράδειγμα: • Αν για τους μιγαδικούς z 1 , z 2 , z 3 ισχύουν οι σχέσεις:

z 1 + z 2 + z 3 = 0 και |z 1|=|z 2|=|z 3|=1 , να δείξετε ότι οι ε ικόνες των z 1 , z 2 , z 3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 1 .

Μιγαδικοί και τρίγωνο Παραδείγματα


Γεωμετρικοί τόποι

Σε ασκήσεις που μας ζητούν να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των ε ικόνων ενός μιγαδικού αριθμού z ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση ή συνδέεται με μια σχέση με ένα άλλο μιγαδικό w

1 . Προσπαθώ να καταλήξω σε μια σχέση της μορφής: |z-z 0|=ρ, ρ>0 ή |z -z 1|=|z-z 2| και επομένως γνωρίζω σε ποια γραμμή κινούνται οι ε ικόνες του z . Παράδειγμα

Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=(- 𝟑+i)iz , τότε να βρείτε το γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w. 2 . Αν δεν μπορεί να συμβεί το 1. τότε θέτουμε στη σχέση μας όπου z = x+yi το μιγαδικό του οποίου το γεωμετρικό τόπο των ε ικόνων θέλουμε να βρούμε και w= κ+λ i το μιγαδικό γ ια τον οποίο συνήθως γνωρίζουμε σε ποια γραμμή ανήκουν οι ε ικόνες του, άρα γνωρίζουμε μια σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ . Στόχος μας ε ίναι να εκφράσουμε τα κ , λ συναρτήσει των x και y και να τα αντικαταστήσουμε στη σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ .

Παράδειγμα

Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=2z+𝒛 , τότε να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.


• ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΣΕ ΟΛΕΣ ΚΑΙ ΟΛΟΥΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!! • ΝΑ ΔΙΑΒΑΣΕΤΕ ΞΑΝΑ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΝΑ «ΦΡΕΣΚΑΡΕΤΕ» ΤΡΟΠΟΥΣ ΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

• ΝΑ ΕΧΕΤΕ ΨΥΧΡΑΙΜΙΑ ΚΑΙ ΝΑ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΕ ΚΑΛΑ ΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ. • ΚΑΘΑΡΟ ΜΥΑΛΟ ΠΑΝΩ ΑΠ΄ ΟΛΑ!

Η επιπολαιότητα και η βιασύνη δεν σας ταιριάζει! • ΝΑ ΦΥΓΕΤΕ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ!

• Να έχετε εμπιστοσύνη στον εαυτό σας και στη διαίσθησή σας! • ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΝΑ ΒΓΕΙΤΕ «ΝΙΚΗΤΕΣ» ΚΑΙ ΑΠΟ ΑΥΤΗΝ ΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ!


Μιγαδικοί Αριθμοί - Επανάληψη

Education

Transcript of Μιγαδικοί Αριθμοί - Επανάληψη