ΚΕΦΑΛΑΙΟ2o

T Ρ Ι Γ Ω Ν Ο Μ Ε Τ Ρ Ι Α

2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοίγωνίας ω με 0° � ω � 180°.

2.2 Τριγωνομετρικοί αριθμοίπαραπληρωματικών γωνιών.

2.3 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρι-κών αριθμών μιας γωνίας.

2.4 Νόμος ημιτόνωνΝόμος συνημιτόνων.

Γενικές ασκήσεις 2ου ΚεφαλαίουΕπανάληψη – Ανακεφαλαίωση

✔ Θυμάμαι πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείαςγωνίας ορθογωνίου τριγώνου.

✔ Γνωρίζω πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ωμε 0° � ω � 180°.

✔ Μαθαίνω να υπολογίζω τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιαςγωνίας με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων.

™Â ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ʤڷÌ ÙËÓËÌÈ¢ı›· √ª, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ì ÙÔÓ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x ÁˆÓ›· ˆ.

1. ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª ηÈÓ· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ √.

2. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË Ì¿ı·Ì Ҙ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÌÈ·˜ ÔÍ›·˜ÁˆÓ›·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ,Ì¿ı·Ì fiÙÈ:

Ë̈ = =

Û˘Óˆ = =

Âʈ = =

OÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÌÈ·˜ ÔÍ›·˜ ÁˆÓ›·˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Î·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ÔÚıÔη-ÓÔÓÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÍfiÓˆÓ.∞Ó Û’ ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy¿ÚÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(4, 3) Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ª∞ ⊥ x�x ηȪμ ⊥ y�y, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì √∞ = 4 Î·È √μ = ∞ª = 3.√È ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = x

∧

Oª˘ÔÏÔÁ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ √∞ª.∞fi ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi ÁÈ·ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ú = √ª ¤¯Ô˘Ì Ú2 = 42 + 32, ÔfiÙÂÚ = ��42 + 32 = ��25 = 5. ÕÚ·

Ë̈ = =

Û˘Óˆ = =

Âʈ = =ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ªÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ª

34

ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ª·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙÔ √

45

ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ª·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙÔ √

35

∞°∞μ

·¤Ó·ÓÙÈ Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ÚÔÛΛÌÂÓË Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿

∞μμ°

ÚÔÛΛÌÂÓË Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·

∞°μ°

·¤Ó·ÓÙÈ Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

232

ΔÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÁˆÓ›·˜ ˆ Ì 0Æ � ˆ � 180Æ2.1

√ 1 2 3 4 x

y

M

12

3

ˆ

√ 1 2 3 4 x

y

M(4, 3)

1

2

3

ˆ

∞μ

°

ˆ

B

A

Ú = 5

ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· fï˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔηÓÔÓÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÍfiÓˆÓÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÈ·˜ÁˆÓ›·˜ ˆ Î·È fiÙ·Ó ·˘Ù‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÍ›·.∞Ó ¤¯Ô˘Ì ̛· ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ˆ, ÙfiÙ ÙËÓ ÙÔÔıÂÙԇ̠ے ¤Ó·ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ӷ Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ·Ú¯‹ √, Ë Ì›· ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ ÌÂÙÔÓ ıÂÙÈÎfi ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x Î·È Ë ¿ÏÏË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿ Ó· ‚ÚÂı› ÛÙÔ2Ô ÙÂÙ·ÚÙËÌfiÚÈÔ. ∞Ó ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ¿ÚÔ˘Ì ¤Ó·ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ª(x, y), ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi ÙÔ √, ÙfiÙ ÁÈ·ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ú = √ª ÈÛ¯‡ÂÈ

OÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ ›ӷÈ:

Ë̈ = =

Û˘Óˆ = =

Âʈ = =

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ:ñ ∞Ó Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ÔÍ›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È x>0, y>0, Ú>0, ÔfiÙÂ: Ë̈>0, Û˘Óˆ>0, Âʈ>0.

ñ ∞Ó Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È x<0, y>0, Ú>0, ÔfiÙÂ: Ë̈>0, Û˘Óˆ<0, Âʈ<0.

√È ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔÈ Ù‡ÔÈ ÁÂÓÈ·ÔÓÙ·È Î·È fiÙ·Ó ˆ = 0Æ ‹ ˆ = 90Æ ‹ ˆ = 180Æ.ŒÙÛÈ, ÌÔÚԇ̠ÙÒÚ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓÁˆÓÈÒÓ 0Æ, 90Æ Î·È 180Æ.

AÓ ª ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x AÓ ª ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √y AÓ ª ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x�

.¯. ÙÔ ª(1,0), ÙfiÙÂ ˆ=x∧

√M=0Æ .¯. ÙÔ ª(0,1), ÙfiÙÂ ˆ=x∧

√M=90Æ .¯. ÙÔ ª(–1,0), ÙfiÙÂ ˆ=x∧

√M=180ÆÎ·È Ú=√ª=1. ÕÚ·: Î·È Ú=√ª=1. ÕÚ·: Î·È Ú=√ª=1. ÕÚ·:

ËÌ0Æ = = = 0 ËÌ90Æ = = = 1 ËÌ180Æ = = = 0

Û˘Ó0Æ = = = 1 Û˘Ó90Æ = = = 0 Û˘Ó180Æ= = = –1

ÂÊ0Æ = = = 0 ÂÊ90Æ ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÂÊ180Æ = = = 0(ÁÈ·Ù› x=0)

01

yx

01

yx

–11

xÚ

01

xÚ

11

xÚ

01

yÚ

11

yÚ

01

yÚ

yx

ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ªÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ª

xÚ

ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ª·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙÔ √

yÚ

ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ª·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙÔ √

Ú = ��x2 + y2

233

2.1 ΔÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÁˆÓ›·˜ ˆ Ì 0Æ � ˆ � 180Æ

√

Ú

M(x, y)

x

y

ˆ

ˆ

√ x

y

M(1, 0)

ˆ = 0Æ

√ x

y

M(0, 1)

ˆ = 90Æ

√ x

y

M(–1, 0)

ˆ = 180Æ

ˆ ˆ

ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈı-ÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ 30Æ, 45Æ Î·È 60Æ Ô˘ Ê·›ÓÔÓÙ·ÈÛÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î·.

™Â ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(–4, 3).¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = x

∧Oª.

Λύση°È· ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË √ª = Ú ¤¯Ô˘ÌÂ: Ú = ��x2 + y2 = ��(–4)2 + 32 = ��25 = 5.

ÕÚ·: Ë̈ = = , Û˘Óˆ = = = –

Î·È Âʈ = = = – .

™Â oÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ʤÚÔ˘ÌÂËÌÈ¢ı›· √z, ÒÛÙ x

∧Oz = 135Æ. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ √z

·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª Ì ÙÂÙÌË̤ÓË –1.¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ÁˆÓ›·˜ x

∧Oª = 135Æ.

Λύσηº¤ÚÓÔ˘Ì ªμ ⊥ x�x Î·È ª° ⊥ y�y. ∂Âȉ‹ x

∧

Oª = 135Æ Î·È x∧

Oy = 90Æ ı· ›ӷȰ

∧

Oª = 45Æ, ÔfiÙ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ √ª° Â›Ó·È Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.ÕÚ· √° = ª° = √μ = 1 Î·È Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª Â›Ó·È y = 1.

¢ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ì ª(–1, 1) Î·È Ú = ��x2 + y2 = ��(–1)2 + 12 = ��2.

ÕÚ· ËÌ135Æ= = = , Û˘Ó135Æ= = =– Î·È ÂÊ135Æ= = = –1.

°È· ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(5, 12) Â›Ó·È Ú = √ª = 13. ∞Ó ˆ = x∧

Oª Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜:Ë̈ = ....... Û˘Óˆ = ....... Âʈ = .......

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1–1

yx

��22

–1��2

xÚ

��22

1��2

yÚ

2

34

3–4

yx

45

–45

xÚ

35

yÚ

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

234

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

��31��3⎯3Âʈ

1⎯2��2⎯2

��3⎯2Û˘Óˆ

��3⎯2��2⎯2

1⎯2Ë̈

60Æ45Æ30ƈ

√–4 x

yM(–4, 3) 3

ˆ

Ú

√B(–1,0)

°

x

y

M

135ÆÚ

z

∞Ó Ë ÁˆÓ›· ˆ = x∧

Oª Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·, ÙfiÙ ӷ Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿ Ì ÙÔۇ̂ÔÏÔ > ‹ <.Ë̈ ... 0 Û˘Ó ... 0 Âʈ ... 0

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi·ÚÈıÌfi Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙÔÓ ›ÛÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌfi ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË μ.

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.·) °È· οı ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ –1 � Û˘Óˆ � 1.‚) ∞Ó Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·, ÙfiÙ Âʈ < 0.Á) ∞Ó ÁÈ· ÙË ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë̈ > 0, ÙfiÙÂ Ë ˆ Â›Ó·È ÔÍ›·.‰) ΔÔ ËÌ›ÙÔÓÔ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ÁˆÓ›·˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = x∧

Oª, fiÙ·Ó:·) ª(3, 4) ‚) ª(–5, 12) Á) ª(0, 3)

ªÈ· ¢ı›·  ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË y = –2x.·) N· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙËÓ Â˘ı›· Â Î·È Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙËÓ ÙÂÙ·Á̤ÓË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ

Ù˘ ª Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÌË̤ÓË –1.‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = x

∧

Oª.

ŒÓ· ÏÔ›Ô ¶ ·Ó·¯ÒÚËÛ ·fi ÙÔ ÏÈÌ¿ÓÈ √ Î·È ÎÈÓ‹ıË΂ÔÚÂÈÔ·Ó·ÙÔÏÈο ÚÔ˜ Ì›· ηÙ‡ı˘ÓÛË Ô˘ Û¯ËÌ¿ÙÈ˙ÂÌ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· √x ÁˆÓ›· 30Æ. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·-Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ ÌÂÙ¿ ·fi ‰È·‰ÚÔÌ‹ 10 ÌÈÏ›ˆÓ.

3

2

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

4

1. 0

2. –1

3. 1

·. ËÌ90Æ‚. Û˘Ó180ÆÁ. ÂÊ0Ɖ. Û˘Ó90ÆÂ. ËÌ0ÆÛÙ. ÂÊ180Æ˙. Û˘Ó0ÆË. ËÌ180Æ

™Ù‹ÏË μ™Ù‹ÏË ∞

3

2

235

2.1 ΔÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÁˆÓ›·˜ ˆ Ì 0Æ � ˆ � 180Æ

Ë˙ÛÙ‰Á‚·

y

O30Æ

x

¶

10 Ì›ÏÈ·

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ √μª Â›Ó·ÈÈÛfiÏ¢ÚÔ.¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂ:·) ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ª.‚) ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘

ÁˆÓ›·˜ 120Æ.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ √μª Â›Ó·ÈÈÛÔÛÎÂϤ˜.·) ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘

ª Â›Ó·È (–��3, 1).‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜

·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ 150Æ.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Âʈ = – . ∞Ó Ë

ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª Â›Ó·È –1, ÙfiÙ ӷ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂ:·) ÙËÓ ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª.‚) ÙÔ Ë̈ Î·È ÙÔ Û˘Óˆ.

ŒÓ· ˘ÚÔ‚fiÏÔ fiÏÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË √Î·È ¤¯ÂÈ ÛÙÚ¤„ÂÈ ÙËÓ Î¿ÓÓË ÛÙÔ ÛÙfi¯Ô ™1.∞Ó Ô ÛÙfi¯Ô˜ ™1 ÌÂÙ·ÎÈÓËı› ÛÙË ı¤ÛË ™2,ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ˜ ÌÔ›Ú˜ Ú¤ÂÈÓ· ÛÙÚ·Ê› Ë Î¿ÓÓË ÙÔ˘ ˘ÚÔ‚fiÏÔ˘ fiÏÔ˘ÁÈ· Ó· ÛËÌ·‰Â‡ÂÈ ÙÔ ÛÙfi¯Ô ÛÙË Ó¤· ÙÔ˘ı¤ÛË;(¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ›Ó·Î˜).

7

346

5

4

236

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

√

y

M

xB(–2, 0)

60Æ120Æ

O

M

B x

y

2

30Æ150Æ

0–1

M

x

y

ˆ

4 8 12 16 20 x

y

0

4

8

12

16

20™2

™1

�

237

Γνωρίζω ποια σχέση συνδέει:✔ Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς παραπληρωματικών γωνιών.✔ Τις γωνίες που έχουν το ίδιο ημίτονο.

™Â ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy Ó· ¿ÚÂÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(3, 4).1. ¶ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª�, Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ª ˆ˜ ÚÔ˜

ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y�y;2. N· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ x

∧

Oª = ˆ Î·È x∧

Oª� = Ê Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜.3. N· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ˆ Î·È Ê Î·È ÙË Û¯¤ÛË Ô˘

ÙÔ˘˜ Û˘Ó‰¤ÂÈ.

™Â ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(3, 4) Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔÛ˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ÛËÌÂ›Ô ª�(–3, 4) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y�y.AÓ ÔÓÔÌ¿ÛÔ˘Ì ˆ ÙË ÁˆÓ›· x

∧

Oª, ÙfiÙ ÏfiÁˆ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜Â›Ó·È x�

∧

Oª� = ˆ, ÔfiÙ ÁÈ· ÙË ÁˆÓ›· Ê = x∧

Oª� ÈÛ¯‡ÂÈÊ = 180Æ – ˆ, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ˆ Î·È Ê Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ·ÊÔ‡ ˆ + Ê = 180Æ.Œ¯Ô˘Ì ·ÎfiÌË fiÙÈ Ú = √ª = √ª� = ��9 + 16 = ��25 = 5, ÔfiÙÂ:

Ë̈ = , Û˘Óˆ = , Âʈ = ηÈ

ËÌÊ = , Û˘ÓÊ = – , ÂÊÊ = – .

¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ:√È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ˆ, Ê = 180Æ– ˆ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ËÌ›ÙÔÓÔ Î·È ·ÓÙ›ıÂÙÔ˘˜ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

°È· ‰‡Ô ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ˆ Î·È 180Æ – ˆ ÈÛ¯‡Ô˘Ó:ñ ËÌ(180Æ – ˆ) = Ë̈ ñ Û˘Ó(180Æ – ˆ) = –Û˘Óˆ ñ ÂÊ(180Æ – ˆ) = –Âʈ

ªÂ ÙÔ˘˜ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ·Ú·ÏË-ڈ̷ÙÈ΋˜ Ù˘.°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·,ËÌ150Æ = ËÌ(180Æ – 30Æ) = ËÌ30Æ =

Û˘Ó150Æ = Û˘Ó(180Æ – 30Æ) = –Û˘Ó30Æ = –

ÂÊ150Æ = ÂÊ(180Æ – 30Æ) = –ÂÊ30Æ = – ��33

��32

12

Γενικά

43

35

45

43

35

45

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

ΔÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ2.2

1 2 3 x

y

ª(3, 4)ª�(–3, 4)

x� –1–2–3

4

3

2

1

0

ÚÚ

ˆÊ

ˆ

30Æ150Æ

™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‚Ï¤Ô˘Ì fiÙÈ ÔÈ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ 150Æ Î·È 30Æ,·Ó Î·È ‰ÂÓ Â›Ó·È ›Û˜, ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ËÌ›ÙÔÓÔ. ∂Ô̤ӈ˜:

∞Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ËÌ›ÙÔÓÔ Î·È Â›Ó·È ·fi 0Æ Ì¤¯ÚÈ Î·È 180Æ, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û˜ ‹·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜.

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ËÌx = ËÌ35Æ Î·È 0 � x � 180Æ, ÙfiÙÂ Â›Ó·È x = 35Æ ‹ x = 180Æ – 35Æ,‰ËÏ·‰‹ x = 35Æ ‹ x = 145Æ.

N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ∞ = ËÌ140Æ + Û˘Ó170Æ – ËÌ40Æ + Û˘Ó10Æ.

Λύση√È ÁˆÓ›Â˜ 140Æ Î·È 40Æ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ÔfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ËÌ›ÙÔÓÔ,‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ËÌ140Æ = ËÌ40Æ.√È ÁˆÓ›Â˜ 170Æ Î·È 10Æ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ÔfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙ›ıÂÙ·Û˘ÓËÌ›ÙÔÓ·, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È Û˘Ó170Æ = –Û˘Ó10Æ. ÕÚ·:∞ = ËÌ140Æ + Û˘Ó170Æ – ËÌ40Æ + Û˘Ó10Æ = ËÌ40Æ – Û˘Ó10Æ – ËÌ40Æ + Û˘Ó10Æ = 0.

∞Ó ∧

∞, ∧

μ, ∧

° Â›Ó·È ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Ì ∧

∞ = 80Æ Î·È ∧

μ = 70Æ Ó· ·Ô‰Âȯı›fiÙÈ: ·) ËÌ(∞ + μ) = ËÌ° ‚) Û˘Ó(∞ + μ) = –Û˘Ó°

Λύση√È ÁˆÓ›Â˜

∧

∞, ∧

μ, ∧

° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 180Æ, ‰ËÏ·‰‹ ›ӷÈ: 80Æ + 70Æ +

∧

°= 180Æ, ÔfiÙÂ ∧

° = 30Æ. ÕÚ·:·) ËÌ(∞ + μ) = ËÌ(80Æ + 70Æ) = ËÌ150Æ = ËÌ(180Æ – 30Æ) = ËÌ30Æ = ËÌ°.‚) Û˘Ó(∞ + μ) = Û˘Ó(80Æ + 70Æ) = Û˘Ó150Æ = Û˘Ó(180Æ – 30Æ) = –Û˘Ó30Æ = –Û˘Ó°.

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó ›ӷÈÏ·Óı·Ṳ̂Ó˜:·) ËÌ150Æ = ËÌ30Æ ‚) Û˘Ó135Æ = Û˘Ó45Æ

Á) ÂÊ100Æ = ÂÊ80Æ ‰) ÂÊ75Æ = –ÂÊ105Æ

Â) Û˘Ó110Æ = –Û˘Ó70Æ ÛÙ) ËÌ140Æ = –ËÌ40Æ

∞Ó ÁÈ· ÙË ÁˆÓ›· x ÈÛ¯‡ÂÈ 0 � x � 180Æ, Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ:·) ∞Ó ËÌx = ËÌ60Æ, ÙfiÙ x = ...............‚) ∞Ó Û˘Óx = –Û˘Ó20Æ, ÙfiÙ x = ...............Á) ∞Ó ÂÊx = –ÂÊ30Æ, ÙfiÙ x = ...............

2

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

2

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

238

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi·ÚÈıÌfi Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙÔÓ ›ÛÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi ·ÚÈıÌfi ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË μ.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ:·) 120Æ ‚) 135Æ Á) 150Æ

¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ËÌ108Æ + Û˘Ó77Æ – ËÌ72Æ + Û˘Ó103Æ = 0‚) ÂÊ122Æ – ÂÊ58Æ � ÂÊ135Æ = 0

¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) Û˘Ó245Æ + Û˘Ó2135Æ = 1 ‚) ËÌ230Æ + ËÌ260Æ + ËÌ2120Æ + ËÌ2150Æ = 2

¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ËÌ(140Æ + x) = ËÌ(40Æ – x) Î·È Û˘Ó(158Æ – x) = –Û˘Ó(22Æ + x).

¡· ‚Ú›Ù ÙË ÁˆÓ›· x, fiÙ·Ó:

·) ËÌx = ‚) ËÌx = 1 – ËÌx Á) Û˘Óx =

‰) Û˘Óx = – Â) ÂÊx = –��3 ÛÙ) 2ÂÊx = 1 + ÂÊx

¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ËÌ›ÙÔÓÔ.πÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È ÁÈ· Ù· Û˘ÓËÌ›ÙÔÓ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘;

¢›ÓÂÙ·È ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ Ì ∧

μ = ∧

¢ = 90Æ. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ËÌ∞ + Û˘Ó∞ – ËÌ° + Û˘Ó° = 0 ‚) ÂÊ∞ + ÂÊ° = 0

™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ó· ˘Ô-ÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ˆ Î·È Ê.

¢›ÓÂÙ·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Ì ÏÂ˘Ú¿ 6 cm Î·È ÛËÌÂ›Ô ¢Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ μ° Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙÂ μ¢ = 2 cm. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ˆ Î·È Ê.

9

8

7

6

12

��32

��22

5

4

3

2

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1. ËÌ40Æ2. Û˘Ó40Æ3. ÂÊ40Æ4. –ËÌ40Æ5. –Û˘Ó40Æ6. –ÂÊ40Æ

·. ËÌ140Æ

‚. Û˘Ó140Æ

Á. ÂÊ140Æ

™Ù‹ÏË μ™Ù‹ÏË ∞

3

239

2.2 ΔÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ

Á‚·

∞B

°

6 cm

8 cm

Ê

∞

μ °¢

ˆÊ

2 cm

6 cm

ˆ

240

✔ Γνωρίζω ποιες είναι οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητεςκαι μαθαίνω πώς αποδεικνύονται.

✔ Χρησιμοποιώ τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες για τηναπόδειξη άλλων απλών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων.

™Â ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Ó· ¿ÚÂÙ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª ÛÙÔ 1Ô ‹ ÛÙÔ 2Ô ÙÂÙ·ÚÙË-ÌfiÚÈÔ Ì fiÔȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ı¤ÏÂÙÂ.1. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = x

∧

Oª.2. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË (Ë̈)2 + (Û˘Óˆ)2 Î·È Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·

Ô˘ ‚ڋηÙ Ì ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ‚Ú‹Î·Ó ÔÈ Û˘ÌÌ·ıËÙ¤˜ Û·˜.

3. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ Î·È Ó· ÙÔÓ Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙËÓ Âʈ.

™Â ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· Ì¿ı·Ì fiÙÈ ÁÈ· ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÚÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ª(x, y) ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ ÈÛ¯‡ÂÈ

Ú = ��x2 + y2 ‹ Ú2 = x2 + y2.

AÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ì ÙÔ Ú2, ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:

= + ‹ ( )2+ ( )2

= 1 (1).

EÂȉ‹ Ë̈ = Î·È Û˘Óˆ = , Ë ÈÛfiÙËÙ· (1) Á›ÓÂÙ·È

(Û˘Óˆ)2 + (Ë̈)2 = 1 ‹ Û˘ÓÙÔÌfiÙÂÚ· ËÌ2ˆ + Û˘Ó2ˆ = 1.

∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ

AÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ Ë̈ = Î·È Û˘Óˆ = , Ì ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛËfiÙÈ Û˘Óˆ � 0, ¤¯Ô˘ÌÂ:

= ‹ = ‹ = = Âʈ

Aԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÁˆÓ›· ˆ ÌÂ Û˘Óˆ � 0 ÈÛ¯‡ÂÈ

√È ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÈÛfiÙËÙ˜ ϤÁÔÓÙ·È ‚·ÛÈΤ˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈΤ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜, ÁÈ·Ù› Ì ÙË‚Ô‹ıÂÈ¿ ÙÔ˘˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ Î·È ¿ÏϘ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜·ÚÈıÌÔ‡˜.

Ë̈Âʈ = ⎯

Û˘Óˆ

yx

ËÌˆÛ˘Óˆ

yÚxÚ

ËÌˆÛ˘Óˆ

y⎯Úx⎯Ú

ËÌˆÛ˘Óˆ

xÚ

yÚ

ËÌ2ˆ + Û˘Ó2ˆ = 1

xÚ

yÚ

yÚ

xÚ

y2

Ú2

x2

Ú2

Ú2

Ú2

ËÌˆÛ˘Óˆ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

™¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜2.3

x

y

ª(x, y)

0

Ú

ˆ

∞Ó ÁÈ· ÙËÓ ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë̈ = , ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ¿ÏÏÔÈ ÙÚÈÁˆ-ÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

ΛύσηAfi ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· ËÌ2ˆ + Û˘Ó2ˆ = 1 ¤¯Ô˘ÌÂ

Û˘Ó2ˆ = 1 – ËÌ2ˆ ‹ Û˘Ó2ˆ = 1 – ( )2

Û˘Ó2ˆ = 1 – ‹ Û˘Ó2ˆ = ‹ Û˘Óˆ = ± .

∂Âȉ‹ Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ·Ì‚Ï›· ¤¯Ô˘ÌÂ Û˘Óˆ < 0, ÔfiÙÂ Û˘Óˆ = – .

∞fi ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Âʈ = ¤¯Ô˘Ì Âʈ = , ÔfiÙ Âʈ = – .

∞Ó ÁÈ· ÙËÓ ÔÍ›· ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Âʈ = 2, ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ¿ÏÏÔÈ ÙÚÈÁˆÓÔ-ÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

ΛύσηŒ¯Ô˘Ì Âʈ = 2 ‰ËÏ·‰‹ = 2, ÔfiÙ Ë̈ = 2Û˘Óˆ (1).

∞Ó ÛÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· ËÌ2ˆ + Û˘Ó2ˆ = 1 ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ Ë̈ Ì ÙÔ 2Û˘Óˆ ¤¯Ô˘ÌÂ

(2Û˘Óˆ)2 + Û˘Ó2ˆ = 1 ‹ 4Û˘Ó2ˆ + Û˘Ó2ˆ = 1 ‹ 5Û˘Ó2ˆ = 1 ‹ Û˘Ó2ˆ = ,

¿Ú· Û˘Óˆ = ± ‹ Û˘Óˆ = ± .

∂Âȉ‹ Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ÔÍ›· ¤¯Ô˘ÌÂ Û˘Óˆ > 0, ÔfiÙÂ Û˘Óˆ = .

∞fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (1) ¤¯Ô˘Ì Ë̈ = 2 � ‹ Ë̈ = .

N· ·Ô‰ÂȯıÔ‡Ó ÔÈ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜:·) (ËÌx – Û˘Óx)2 + 2ËÌxÛ˘Óx = 1 ‚) 1 + ÂÊ2ˆ =

Λύση·) Œ¯Ô˘ÌÂ

(ËÌx – Û˘Óx)2 + 2ËÌxÛ˘Óx = ËÌ2x – 2ËÌxÛ˘Óx + Û˘Ó2x + 2ËÌxÛ˘Óx = ËÌ2x + Û˘Ó2x = 1

‚) Œ¯Ô˘ÌÂ

1 + ÂÊ2ˆ = 1 + ( )2= 1 + = = 1

Û˘Ó2ˆÛ˘Ó2ˆ + ËÌ2ˆ

Û˘Ó2ˆËÌ2ˆÛ˘Ó2ˆ

ËÌˆÛ˘Óˆ

1Û˘Ó2ˆ

3

2��55

��55

��55

��55

1��5

15

ËÌˆÛ˘Óˆ

2

34

3⎯54– ⎯5

ËÌˆÛ˘Óˆ

45

45

1625

925

35

351

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

241

2.3 ™¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.

·) ∞Ó ËÌ2ˆ = , ÙfiÙÂ Û˘Ó2ˆ = .

‚) ∞Ó Û˘Óˆ = 0, ÙfiÙ ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë Âʈ.

Á) °È· οı ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ ËÌ2ˆ = Û˘Ó2ˆ – 1.

‰) ∞Ó Ë̈ = Î·È Û˘Óˆ = , ÙfiÙ Âʈ =

O ™Ù¤Ê·ÓÔ˜ ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÁˆÓ›· ˆ, Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙ Ë̈ = 0 Î·È Û˘Óˆ = 0.Œ¯ÂÈ ‰›ÎÈÔ; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ:

·) ∞Ó Ë̈ = 1, ÙfiÙÂ Û˘Óˆ = .............

‚) ∞Ó Ë̈ = 0, ÙfiÙÂ Û˘Óˆ = .............

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. ∞Ó Ë̈ = , ÙfiÙ ÙÔ Û˘Óˆ Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ:

·) ‚) Á) ‹ – ‰) ‹ –

∞Ó ÁÈ· ÙËÓ ÔÍ›· ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë̈ = , ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚÈ-

ÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

∞Ó ÁÈ· ÙËÓ ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Û˘Óˆ = – , ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜

ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

∞Ó ÁÈ· ÙËÓ ÔÍ›· ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Âʈ = , ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚÈ-

ÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

∞Ó ÁÈ· ÙËÓ ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë̈ = , ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË:

∞ = Ë̈ + Û˘Óˆ – Âʈ. 110

23

13

454

343

132

5131

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

45

45

25

25

45

25

354

3

2

512

1213

513

25

35

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

242

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ËÌ3ˆ + ËÌˆÛ˘Ó2ˆ = Ë̈ ‚) Û˘Ó2ˆ – Û˘Ó4ˆ = ËÌ2ˆÛ˘Ó2ˆ

∞Ó Â›Ó·È x = 3Û˘Óˆ Î·È y = 3Ë̈, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) xÛ˘Óˆ + yË̈ = 3 ‚) x2 + y2 = 9

N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) Û˘Ó2· – ËÌ2· = 2Û˘Ó2· – 1 ‚) ËÌ2·Û˘Ó2‚ + ËÌ2·ËÌ2‚ + Û˘Ó2· = 1

N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) (Ë̈ + Û˘Óˆ)2 + (Ë̈ – Û˘Óˆ)2 = 2‚) (·Ë̈ + ‚Û˘Óˆ)2 + (‚Ë̈ – ·Û˘Óˆ)2 = ·2 + ‚2

N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) Û˘Ó2x ÂÊ2x + Û˘Ó2x = 1 ‚) = Û˘Óx

N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:

·) = 1 – ËÌx ‚) ÂÊx + =

N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ:·) ËÌ50ÆËÌ130Æ – Û˘Ó50ÆÛ˘Ó130Æ‚) ËÌ214Æ + ËÌ2114Æ + Û˘Ó2166Æ + Û˘Ó266Æ

N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ÂÊ70ÆÛ˘Ó70Æ – ÂÊ110ÆÛ˘Ó110Æ = 0‚) ÂÊ240ÆÛ˘Ó240Æ + Û˘Ó2140Æ = 1

∞Ó Â›Ó·È · = 30Æ Î·È ‚ = 60Æ, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:

ËÌ2x ËÌ· ËÌ‚ + Û˘Ó2x Û˘Ó· Û˘Ó‚ =

∂›Ó·È ÁˆÓ›·, fi¯È ÔÍ›·,

ËÌ›ÙÔÓÔ ¤¯ÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ηÈ

Û˘ÓËÌ›ÙÔÓÔ ¤¯ÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi .

¶ÔÈ· ÁˆÓ›· ›ӷÈ;

ÏÏ + 2

Ï + 1Ï + 2

14

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Α Ι Ν Ι Γ Μ Α

��34

13

12

11

1Û˘Óx

Û˘Óx1 + ËÌx

Û˘Ó2x1 + ËÌx

10

ËÌx + Û˘Óx1 + ÂÊx

9

8

7

6

5

243

2.3 ™¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜

¡· ÙÔÌ·ÚÙ˘Ú‹Ûˆ;

244

✔ Γνωρίζω τους νόμους ημιτόνων και συνημιτόνων καιμαθαίνω να τους εφαρμόζω στη λύση προβλημάτων.

ŒÓ·˜ ÙÔÔÁÚ¿ÊÔ˜ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË °μ‰‡Ô ˘ÏÒÓˆÓ Ù˘ ¢∂∏, ÁÈ·Ù› ·Ó¿ÌÂÛ¿ ÙÔ˘˜ ·ÚÂÌ‚¿ÏÏÂÙ·ÈÌÈ· Ï›ÌÓË. °È’ ·˘Ùfi ÂÈϤÁÂÈ ÌÈ· ı¤ÛË ∞ Ô˘ ·¤¯ÂÈ 100 m ·fiÙÔÓ ˘ÏÒÓ· ° Î·È ·fi ÙËÓ ÔÔ›· Ê·›ÓÔÓÙ·È Î·È ÔÈ ‰‡Ô ˘ÏÒÓ˜.ªÂ ¤Ó· ÁˆÓÈfiÌÂÙÚÔ ÌÂÙÚ¿ÂÈ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜

∧

∞ = 45Æ Î·È ∧

B = 30Æ.

1. ªÔÚ›Ù ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË °μ, ·ÊÔ‡ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ‡„Ô˜ °¢ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘∞μ°; √ ÙÔÔÁÚ¿ÊÔ˜ fï˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË °μ ÈÔ ÁÚ‹ÁÔÚ·, ÁÈ·Ù› ÁÓÒÚÈ˙Â

fiÙÈ ÔÈ ÏfiÁÔÈ Î·È Â›Ó·È ›ÛÔÈ.

2. ªÂ ÙÔ˘˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ Ô˘ ÂÛ›˜ οӷÙÂ, ÌÔÚ›Ù ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÂÙ ·Ó Ú¿ÁÌ·ÙÈ ÔÈÏfiÁÔÈ ·˘ÙÔ› Â›Ó·È ›ÛÔÈ;

NfiÌÔ˜ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË Ì¿ı·Ì ӷ ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, fiÙ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ‹ ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÌÈ· ÔÍ›·ÁˆÓ›· ÙÔ˘. ¶Ò˜ fï˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ÙÚÈÁÒÓÔ˘ fiÙ·Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ;™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ¤Ó· Ô͢ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙÔ‡„Ô˜ °¢. ∞fi Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢° Î·È °¢μ ¤¯Ô˘ÌÂ:

ËÌ∞ = ‹ °¢ = ‚ËÌ∞ (1)

ËÌμ = ‹ °¢ = ·ËÌμ (2)

∞fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1), (2) ¤¯Ô˘Ì ‚ËÌ∞ = ·ËÌμ ‹ = .

√ÌÔ›ˆ˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ = .

∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Û οı Ô͢ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÈÛ¯‡ÂÈ:

· ‚ Á⎯ = ⎯ = ⎯ËÌ∞ ËÌμ ËÌ°

ÁËÌ°

‚ËÌμ

‚ËÌμ

·ËÌ∞

°¢·

°¢‚

∞

°AËÌ30Æ

°μËÌ45Æ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

NfiÌÔ˜ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ – ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ2.4

∞ B

°

°

∞ ¢45Æ

100

m

30Æμ

¢

·‚

Á

∏ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û¯¤ÛË ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È fiÙ·Ó ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ·Ì‚Ï˘-ÁÒÓÈÔ ‹ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÓfiÌÔ˜ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ.

√È Ï¢ڤ˜ οı ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ˜ ÚÔ˜ Ù· ËÌ›ÙÔÓ· ÙˆÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘.

ªÂ ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›·Ù˘ Î·È ÌÈ· ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿ ‹ ÁˆÓ›· ÙÔ˘, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ٷ ˘fiÏÔÈ·ÚˆÙ‡ÔÓÙ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ (Ï¢ڤ˜ – ÁˆÓ›Â˜).

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ÌÔÚԇ̠̠ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÁˆÓ›·

∧

°, ·ÊÔ‡

= ‹ = ‹ 8ËÌ° = 6ËÌ70Æ ‹

ËÌ° = ‹ ËÌ° = ‹ ËÌ° = 0,705.

∞fi ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ›Ó·Î˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ∧

° = 45Æ.

NfiÌÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ ™’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ‹ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ Î·È ÙËÓÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜, ÙfiÙ Ì ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘ÌÂÙ· ˘fiÏÔÈ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ·ÊÔ‡ ‰Â ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈÁˆÓ›· Ù˘.∞Ó ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È Ô͢ÁÒÓÈÔ Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙÔ ‡„Ô˜ °¢, ÙfiÙ·fi ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÛÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢μ°¤¯Ô˘ÌÂ: ·2 = ¢°2 + ¢μ2 (1).∂Âȉ‹ ¢μ = Á – ∞¢, Ë ÈÛfiÙËÙ· (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È:·2 = ¢°2 + (Á – ∞¢)2 ‹ ·2 = ¢°2 + Á2 + ∞¢2 – 2Á � ∞¢ (2).∞fi ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞¢° ¤¯Ô˘ÌÂ:

¢°2 + ∞¢2 = ‚2 Î·È Û˘Ó∞ = ‹ ∞¢ = ‚Û˘Ó∞.

ÕÚ· Ë ÈÛfiÙËÙ· (2) ÁÚ¿ÊÂÙ·È:

∏ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û¯¤ÛË ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È fiÙ·Ó ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ·Ì‚Ï˘-ÁÒÓÈÔ ‹ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÓfiÌÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ.√ÌÔ›ˆ˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Û οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÈÛ¯‡Ô˘Ó

‚2 = Á2 + ·2 – 2Á·Û˘ÓμÁ2 = ·2 + ‚2 – 2·‚Û˘Ó°

·2 = ‚2 + Á2 – 2‚ÁÛ˘Ó∞

∞¢‚

μ

6 � 0,948

6ËÌ70Æ8

6ËÌ°

8ËÌ70Æ

ÁËÌ°

·ËÌ∞

Γενικά

245

2.4 ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ – ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ

B °

A

Á =

6

· = 8

70Æ

∞ μ

°

¢ Á

‚ ·

ªÂ ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ, ·Ó Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ‹ ‰‡ÔÏ¢ڤ˜ Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ٷ ˘fiÏÔÈ·ÚˆÙ‡ÔÓÙ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘.

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È · = 9 cm,‚ = 7 cm Î·È Á = 6 cm, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔ-Á›ÛÔ˘Ì ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘.¶.¯. ÁÈ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙË ÁˆÓ›·

∧

μ ¤¯Ô˘ÌÂ:‚2 = Á2 + ·2 – 2Á·Û˘Óμ ‹ 72 = 62 + 92 – 2 � 6 � 9 � Û˘Óμ ‹ 49 = 36 + 81 – 108 � Û˘Óμ ‹ 108 Û˘Óμ = 68 ‹

Û˘Óμ = = 0,629. ∞fi ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ›Ó·Î˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ∧

μ = 51Æ.

™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ∧

∞ = 120Æ, ∧

μ = 45Æ Î·È · = 30 cm. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÁˆÓ›·∧

° Î·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ‚.

Λύση∞fi ÙË Û¯¤ÛË

∧

∞ + ∧

μ + ∧

° = 180Æ ¤¯Ô˘ÌÂ120Æ+ 45Æ+

∧

° = 180Æ ‹ ∧

° = 180Æ– 165Æ ‹ ∧

° = 15Æ.∞fi ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ ¤¯Ô˘ÌÂ

= ‹ = ‹ ‚ � ËÌ120Æ = 30 � ËÌ45Æ (1).

∂Âȉ‹ ËÌ120Æ = ËÌ(180Æ– 60Æ) = ËÌ60Æ= Î·È ËÌ45Æ= Ë ÈÛfiÙËÙ· (1)ÁÚ¿ÊÂÙ·È:

‚ � = 30 � ‹ ‚ = ‹ ‚ = ‹ ‚ = 10��6 cm.

¢‡Ô Ê¿ÚÔÈ º1, º2 ·¤¯Ô˘Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ 10 Ì›ÏÈ·.ŒÓ· ÏÔ›Ô ¶ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ÌÈ· ı¤ÛË, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔÛ¯‹Ì·. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ x, y ÙÔ˘ÏÔ›Ô˘ ·fi οı ʿÚÔ.

Λύση™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¶º1º2 ¤¯Ô˘Ì ˆ + 59Æ + 75Æ = 180Æ,ÔfiÙ ˆ = 46Æ. ∞fi ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ ¤¯Ô˘ÌÂ

= = . y

ËÌ59Æx

ËÌ75Æ10

ËÌ46Æ

2

30��63

30��2��3

��22

��32

��22

��32

‚ËÌ45Æ

30ËÌ120Æ

‚ËÌμ

·ËÌ∞

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

68108

246

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

B °

A

Á =

6 cm

· = 9 cm

‚ = 7 cm

∞

°· = 30 cm

120ÆÁ ‚

B 45Æ

¶

xy

º1

º2

1059Æ

75Æ

ˆ

∞fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· = ¤¯Ô˘Ì x= ‹ x= =13,44 Ì›ÏÈ·.

∞fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· = ¤¯Ô˘Ì y= ‹ y= =11,92 Ì›ÏÈ·.

∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ÏÔ›Ô ¶ ·¤¯ÂÈ ·fi ÙÔ Ê¿ÚÔ º1 13,44 Ì›ÏÈ· Î·È ·fi ÙÔ Ê¿ÚÔ º2 11,92 Ì›ÏÈ·.

™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ∧

∞ = 60Æ, ‚ = 4 cm Î·È Á = 2 cm. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÏÂ˘Ú¿· Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜

∧

μ, ∧

°.

Λύση∞fi ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ ¤¯Ô˘ÌÂ:

·2 = ‚2 + Á2 – 2‚ÁÛ˘Ó∞ ‹ ·2 = 42 + 22 – 2 � 4 � 2 � Û˘Ó60Æ

‹ ·2 = 16 + 4 – 16 � ‹ ·2 = 12.

ÕÚ· · = ��12 ‰ËÏ·‰‹ · = 2��3 cm.

√ÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ:

‚2 = Á2 + ·2 – 2Á·Û˘Óμ ‹ 42 = 22 + (2��3)2 – 2 � 2��3 � 2 � Û˘Óμ ‹

16 = 4 + 12 – 8��3 � Û˘Óμ ‹ 8��3 � Û˘Óμ = 0 ‹ Û˘Óμ = 0, ÔfiÙ ∧

μ = 90Æ.

∞ÊÔ‡ ∧

∞ + ∧

μ + ∧

° = 180Æ Î·È ∧

∞ = 60Æ, ∧

μ = 90Æ, ¤¯Ô˘Ì ∧

° = 30Æ.

¢‡Ô ‰˘Ó¿ÌÂȘ F1 = 4 N Î·È F2 = 3 N ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·È Û’ ¤Ó· ˘ÏÈÎfi ÛËÌÂ›Ô √ ηÈÛ¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÁˆÓ›· ˆ = 60Æ. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë Û˘ÓÈÛٷ̤ÓË ÙÔ˘˜ F.

ΛύσηH Û˘ÓÈÛٷ̤ÓË F ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ F1, F2,fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·, Â›Ó·È Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ √∞™μ. ∞fi ÙÔÓfiÌÔ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ √μ™ Î·ÈÂÂȉ‹ μ™ = F1, ¤¯Ô˘ÌÂ:F2 = F1

2 + F22 – 2F1F2Û˘Óˆ (1).

√È ÁˆÓ›Â˜ fï˜ ˆ Î·È 60Æ Â›Ó·È·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ÔfiÙÂ Û˘Óˆ = –Û˘Ó60ÆÎ·È Ô Ù‡Ô˜ (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È:

F2 = F12 + F2

2 + 2F1F2Û˘Ó60Æ ‹ F2 = 42 + 32 + 2 � 4 � 3 � ‹ F2 = 37, ÔfiÙÂ

F = ��37 N ‹ F = 6,08 N.

12

4

12

3

10 � 0,8570,719

10 � ËÌ59ÆËÌ46Æ

yËÌ59Æ

10ËÌ46Æ

10 � 0,9660,719

10 � ËÌ75ÆËÌ46Æ

xËÌ75Æ

10ËÌ46Æ

247

2.4 ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ – ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ

∞

B

°

Á=2

cm

‚=4 cm

·

60Æ

60Æ

O

B ™

∞F1

F1

FF2

ˆ

¡· ÁÚ¿„ÂÙ ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ˘

‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ – =– =–

¡· ÁÚ¿„ÂÙÂ ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ:

·) ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ¢ – =– =–

‚) ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞¢° – =– =–

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó ›ӷÈÏ·Óı·Ṳ̂Ó˜:·) ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÈÛ¯‡ÂÈ ·ËÌμ = ‚ËÌ∞.

‚) ∞Ó Û ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ∧

∞ = 60Æ, ∧

° = 100Æ, ÙfiÙÂ = .

Á) ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÈÛ¯‡ÂÈ 2‚ÁÛ˘Ó∞ = ‚2 + Á2 – ·2.‰) ∞Ó Û ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È

∧

∞ = 70Æ, ∧

° = 80Æ, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ‚2 = Á2 + ·2 – 2Á·Û˘Ó80Æ.

Â) ∞Ó Û ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ∧

° = 60Æ, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Á2 = ·2 + ‚2 – ·‚.

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ:x2 = .................. y2 = .................. ˆ2 = ..................

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ·) ∏ ÁˆÓ›· x ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ ..................

·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ..................

‚) ∏ ÏÂ˘Ú¿ x ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ ..................·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ..................

Á) ∏ ÁˆÓ›· x ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ ..................·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ..................

‰) ∏ ÏÂ˘Ú¿ x ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÓfiÌÔ ÙˆÓ ..................·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ..................

5

4

ÁËÌ20Æ

‚ËÌ100Æ

3

2

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

248

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

ˆ

x

y

30Æ

80Æ

30Æ20Æ

70Æ

∞

μ¢

°

12

x

5

4

10

75Æ

60Æ

yˆ

x

60Æ

x

550Æ

4 6

x

x 10

70Æ

60Æ

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:·) ‚) Á)

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:·) ‚) Á)

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ˘fiÏÔȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°, fiÙ·Ó:·) · = 2, ‚ = ��2 ηÈ

∧

μ = 30Æ ‚) ‚ = ��2 , Á = ��3 Î·È ∧

° = 60Æ.

∞Ó Û ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ∧

μ = 30Æ, ‚ = 10, · = 10��3, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ‹ ÈÛÔÛÎÂϤ˜.

N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ xÙÔ˘ ÂÓ·¤ÚÈÔ˘ ÛȉËÚÔ‰ÚfiÌÔ˘ ÛÙÔ ‰ÈÏ·ÓfiÛ¯‹Ì·. (¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂ-ÙÚÈÎÔ‡˜ ›Ó·Î˜).

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ·Â˘ı˘ÓfiÌÂÓÔ˜ ÛÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹ ÙÔ˘ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Â›Â:– ∫‡ÚÈÂ, Û ¤Ó· ‚È‚Ï›Ô ‚ڋη ÌÈ· ¿ÛÎËÛË ÛÙËÓ ÔÔ›· ¤‰ÈÓ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÌÂ

· = 12, ‚ = 6, ∧

μ = 60Æ Î·È ˙ËÙÔ‡Û ӷ ‚ÚÂıÔ‡Ó Ù· ˘fiÏÔÈ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘.¶Ò˜ χÓÂÙ·È;

√ ηıËÁËÙ‹˜ ·ÊÔ‡ ›‰Â ÙËÓ ¿ÛÎËÛË ÙÔ‡ ›Â:– ∫¿ÔÈÔ Ï¿ıÔ˜ ¤¯ÂȘ οÓÂÈ, ÁÈ·Ù› ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ù¤ÙÔÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ.¶Ò˜ ÙÔ Î·Ù¿Ï·‚Â Ô Î·ıËÁËÙ‹˜;

√È ‰˘Ó¿ÌÂȘ F1, F2 ¤¯Ô˘Ó Û˘ÓÈÛٷ̤ÓË F = 10 NÔ˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ì ÙËÓ F1 ÁˆÓ›· 28Æ Î·È Ì ÙËÓ F2

ÁˆÓ›· 35Æ. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ F1, F2.(¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ›Ó·Î˜).

7

6

5

4

3

2

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

249

2.4 ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ – ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ

200 m

130Æ 30Æ

Ã

4

8

x

30Æ

120Æ

5��3 x

6x

60Æ

x 415

45Æ 30Æ 120Æ

45Æ

x

x875Æ

45Æ

5

F1

O F2

F

28Æ35Æ

3��3

ŒÓ·˜ ÙÔÔÁÚ¿ÊÔ˜ ÁÈ· Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÙÔ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ „ËÏÔ‡ ÎÙÈÚ›Ô˘ ÙÔÔı¤ÙËÛ ÙÔÁˆÓÈfiÌÂÙÚfi ÙÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È ‚Ú‹ÎÂÙË ÁˆÓ›· E

∧

°Z = 46Æ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÌÂÙ·ÎÈ-Ó‹ıËΠηٿ 30 m, ÙÔÔı¤ÙËÛ ÙÔ ÁˆÓÈfi-ÌÂÙÚÔ ÛÙË ı¤ÛË μ Î·È ‚ڋΠÙË ÁˆÓ›·E

∧

¢° = 26Æ. ¶ÔÈÔ ‹Ù·Ó ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÎÙÈÚ›Ô˘,·Ó ÙÔ ÁˆÓÈfiÌÂÙÚÔ ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ 1,4 m.(¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜›Ó·Î˜).

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:·) ‚) Á) ‰)

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ‚, Á ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°, ·Ó ∧

∞ = 120Æ Î·È· = 3��3.

™Â ·ÎÏÔ Ì ·ÎÙ›Ó· R = 10 cm, Ë ¯ÔÚ‰‹ ∞μ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›Û ÙfiÍÔ 120Æ. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞μ°¢ Ì ∞μ=4, μ°=3 ηÈ∧

∞ = 120Æ.

ªÈ· Ù¯ÓÈ΋ ÂÙ·ÈÚ›· ı¤ÏÂÈ Ó· ηٷı¤ÛÂÈ ÌÈ· ÚÔÛÊÔ-Ú¿ ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÌÈ·˜ Û‹Ú·ÁÁ·˜ ∞μ. ŒÓ·˜Ì˯·ÓÈÎfi˜ Ù˘ ÂÙ·ÈÚ›·˜ Ì ÙÔ˘˜ Û˘ÓÂÚÁ¿Ù˜ ÙÔ˘¤ÛÙËÛ ¤Ó· ÁˆÓÈfiÌÂÙÚÔ ÛÙË ı¤ÛË ª Ô˘ Ë ·fiÛÙ·Û‹ÙÔ˘ ·fi ÙÔ ∞ ‹Ù·Ó 100 m Î·È ·fi ÙÔ μ ‹Ù·Ó 154 m.∞ÊÔ‡ ̤ÙÚËÛ ÙË ÁˆÓ›· ∞

∧

Mμ = 73Æ, ÈÛ¯˘Ú›ÛÙËΠfiÙÈ Ì·˘Ù¿ Ù· ÛÙÔȯ›· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜Ù˘ Û‹Ú·ÁÁ·˜. ∂›¯Â ‰›ÎÈÔ ‹ ¿‰ÈÎÔ; ¶fiÛÔ ‹Ù·Ó ÙÂÏÈο ÙÔÌ‹ÎÔ˜ Ù˘ Û‹Ú·ÁÁ·˜; (¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ›Ó·Î˜).

13

12

11

10

9

8

250

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

∂

∑°¢

μ ∞

∞

100 m73Æ 154 m

B

ª

26Æ 46Æ

30 m

1,40 m

10 cm√

∞ μ

7

7

45Æ

x3��22��3

x

x

4

5

3

30Æ

x 5

13

12

120Æ

ŒÓ·˜ ˘ÚÔÛ‚ÂÛÙ‹Ú·˜ ·˘ÙfiÌ·Ù˘ ηٿۂÂÛ˘ÚfiÎÂÈÙ·È Ó· ÛÙËÚȯÙ› ¿Óˆ ·fi ÙÔÓ Î·˘ÛÙ‹Ú·ÂÓfi˜ ηÏÔÚÈʤÚ. ŒÓ·˜ Ù¯ÓÈÎfi˜ ı¤ÏÂÈ Ó· ηٷ-Û΢¿ÛÂÈ ÙË ‚¿ÛË ÛÙ‹ÚÈÍ‹˜ ÙÔ˘ Î·È ‰È·ı¤ÙÂÈ ÙÚÂȘÌÂÙ·ÏÏÈΤ˜ ‚¤ÚÁ˜ ∞μ = 0,70 m, ∞° = 1,30 m ηÈμ° = 1,80 m. °È· Ó· ÎÔÏÏ‹ÛÂÈ fï˜ ηٿÏÏËÏ·ÙȘ ‚¤ÚÁ˜ ∞μ, ∞°, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·,Ú¤ÂÈ Ó· ÁÓˆÚ›˙ÂÈ ÙË ÁˆÓ›· ˆ. ªÔÚ›Ù ÂÛ›˜Ó· ÙËÓ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂ, ÒÛÙ ӷ ‚ÔËı‹ÛÂÙ ÙÔÓÙ¯ÓÈÎfi; (¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜›Ó·Î˜).

YÔÏÔÁÈÛÌfi˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ·ÚfiÛÈÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ.ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÂÓfi˜ „ËÏÔ‡ ÎÙÈÚ›Ô˘, ÂÓfi˜ ‚Ô˘ÓÔ‡, Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ‰‡Ô˘Ê¿ÏˆÓ, ‰‡Ô Ê¿ÚˆÓ Î.Ù.Ï.

¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) (1 – ËÌx + Û˘Óx)2 = 2(1 – ËÌx)(1 + Û˘Óx) ‚) + =

™Â ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ‰›ÓÂÙ·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(4, 0) Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ªÔ˘ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÌË̤ÓË –5 Î·È Ë ·fiÛÙ·Û‹ ÙÔ˘ ·fi ÙÔ √ Â›Ó·È 13. ∞Ó ˆ Â›Ó·È Ë ÁˆÓ›·∞

∧

Oª, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Û˘Óˆ Î·È ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ∞ª.

™Â ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È μ° = 30 cm, ∧

μ = 45Æ Î·È ∧

° = 75Æ. ¡· ¯·Ú¿ÍÂÙ ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ∞¢ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°, Ó· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ∞¢° Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ∞¢.

∞Ó ∞¢ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:

·) = ‚) = Á) = μ¢°¢

Á‚

Ë̈ËÌ∞2

‚°¢

ËÌÊËÌ∞1

Áμ¢

4

3

2

2ËÌx

ËÌx1 + Û˘Óx

1 + Û˘ÓxËÌx

1

°∂¡π∫∂™ ∞™∫∏™∂π™ 2Ô˘ ∫∂º∞§∞π√À

ΘΕΜΑ:

ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

14

251

2.4 ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ – ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ

A FireSTOP

B

°

1,30 m

1,80 mˆ

∞

μ °¢

Ê ˆ

‚Á

1 2

0,70

m

·) ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ÙÔ˘

‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ∂ = ‚Á ËÌ∞.

‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÁˆÓ›· ∧

∞ Î·È ÙÔÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ΋Ԣ ∞μ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

·) ∞Ó Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÈÛ¯‡ÂÈ ËÌ2∞ = ËÌ2μ + ËÌ2°, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰ÂÈÍÂÙ fiÙÈ ÙÔÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.

‚) ∞Ó Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÈÛ¯‡ÂÈ ËÌ(μ + °) + Û˘Ó(μ – °) = 2, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙÂfiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.

™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ·(ËÌμ – ËÌ°) + ‚(ËÌ° – ËÌ∞) + Á(ËÌ∞ – ËÌμ) = 0 ‚) · = ‚Û˘Ó° + ÁÛ˘Óμ

Á) ‚2 – Á2 = ·(‚Û˘Ó° – ÁÛ˘Óμ) ‰) + + =

¡· ‚Ú›Ù ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°, ·Ó Ù· Ì‹ÎË ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ› Ê˘ÛÈÎÔ›

·ÚÈıÌÔ›, Ë Á Â›Ó·È Ë ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ Î·È Û˘Ó° = .

¢‡Ô Ê›ÏÔÈ ÙÔÔı¤ÙËÛ·Ó Ù· ÁˆÓÈfiÌÂÙÚ¿ ÙÔ˘˜ÛÙȘ ı¤ÛÂȘ ∞, μ ÌÈ·˜ ·ÎÙ‹˜ Î·È ·Ú·Ù‹-ÚËÛ·Ó ‰‡Ô ‚Ú¿¯Ô˘˜ Ô˘ ÚÔÂÍ›¯·Ó ·fiÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ ı¿Ï·ÛÛ·˜. ∞Ó Ë ·fi-ÛÙ·ÛË ∞μ ‹Ù·Ó 30 m Î·È Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·ÙˆÓ ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ ÙÔ˘˜ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·ÓfiÛ¯‹Ì·, ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛËÙˆÓ ‰‡Ô ‚Ú¿¯ˆÓ. (¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÙÂÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ›Ó·Î˜).

9

34

8

·2 + ‚2 + Á2

2·‚ÁÛ˘Ó°

ÁÛ˘Óμ

‚Û˘Ó∞

·

7

6

12

5

252

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

∞

μ °28 m

12 m20 m

∞ 30 m B

°

¢

58Æ49Æ 52Æ

54Æ

∞

μ °

¢

·

‚Á

™Â ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy, ·Ó Â›Ó·È ˆ = x∧

Oz,Î·È ª(x, y) Â›Ó·È ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ √z,‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi ÙÔ √, ÙfiÙÂ:

Ú = √ª = ��x2 + y2 Î·È Ë̈ = , Û˘Óˆ = , Âʈ = .

¶.¯. ·Ó ª(1, 2), ÙfiÙÂ Ú = ��12 + 22 = ��5,

Ë̈ = = , Û˘Óˆ = = , Âʈ = = 2.

ñ Δ· ÚfiÛËÌ· ÙˆÓ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ˆ Ì 0Æ � ˆ � 180Æ Ê·›ÓÔÓÙ·ÈÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î·:

ñ √È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ËÌ›ÙÔÓÔ Î·È ·ÓÙ›ıÂÙÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ¢ËÏ·‰‹,

ËÌ(180Æ – ˆ) = Ë̈ Û˘Óˆ(180Æ – ˆ) = –Û˘Óˆ ÂÊ(180Æ – ˆ) = –Âʈ

¶.¯. ËÌ160Æ = ËÌ20Æ Û˘Ó160Æ = –Û˘Ó20Æ ÂÊ160Æ = –ÂÊ20Æ

ñ √È ‚·ÛÈΤ˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈΤ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ›ӷÈ:

ËÌ2ˆ + Û˘Ó2ˆ = 1 (πÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÁˆÓ›· ˆ).

Âʈ = (πÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÁˆÓ›· ˆ ÌÂ Û˘Óˆ � 0)

¶.¯. ËÌ235Æ + Û˘Ó235Æ = 1, ÂÊ35Æ =

ñ ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÈÛ¯‡Ô˘Ó

– ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ: = =

– ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ: ·2 = ‚2 + Á2 – 2‚Á Û˘Ó∞‚2 = Á2 + ·2 – 2Á· Û˘ÓμÁ2 = ·2 + ‚2 – 2·‚ Û˘Ó°

ÁËÌ°

‚ËÌμ

·ËÌ∞

ËÌ35ÆÛ˘Ó35Æ

ËÌˆÛ˘Óˆ

21

��55

1��5

2��55

2��5

yx

xÚ

yÚ

TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

E¶∞¡∞§∏æ∏ – ∞¡∞∫∂º∞§∞πø™∏ 2o˘ K∂º∞§∞π√À

253

2.4 ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ – ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ

ª(x, y)

y

z

xˆ

Ú

y

xO

+ –Âʈ+ –Û˘Óˆ+ +Ë̈

0Æ 90Æ 180ƈ