Γενικές ασκήσεις...

Click here to load reader

  • date post

    08-Jul-2020
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Γενικές ασκήσεις...

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2o

    T Ρ Ι Γ Ω Ν Ο Μ Ε Τ Ρ Ι Α

    2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0° � ω � 180°.

    2.2 Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών.

    2.3 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρι- κών αριθμών μιας γωνίας.

    2.4 Νόμος ημιτόνων Νόμος συνημιτόνων.

    Γενικές ασκήσεις 2ου Κεφαλαίου Επανάληψη – Ανακεφαλαίωση

  • ✔ Θυμάμαι πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου.

    ✔ Γνωρίζω πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0° � ω � 180°.

    ✔ Μαθαίνω να υπολογίζω τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων.

    ™Â ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ʤڷÌ ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· √ª, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ì ÙÔÓ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x ÁˆÓ›· ˆ.

    1. ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ √.

    2. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

    ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË Ì¿ı·Ì Ò˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÌÈ·˜ ÔÍ›·˜ ÁˆÓ›·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, Ì¿ı·Ì fiÙÈ:

    Ë̈ = =

    Û˘Óˆ = =

    Âʈ = =

    OÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÌÈ·˜ ÔÍ›·˜ ÁˆÓ›·˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Î·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ÔÚıÔη- ÓÔÓÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÍfiÓˆÓ. ∞Ó Û’ ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ¿ÚÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(4, 3) Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ª∞ ⊥ x�x Î·È ªμ ⊥ y�y, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì √∞ = 4 Î·È √μ = ∞ª = 3. √È ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = x

    Oª ˘ÔÏÔÁ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ √∞ª. ∞fi ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi ÁÈ· ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ú = √ª ¤¯Ô˘Ì Ú2 = 42 + 32, ÔfiÙÂ Ú = ��42 + 32 = ��25 = 5. ÕÚ·

    Ë̈ = =

    Û˘Óˆ = =

    Âʈ = = ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ª ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ª

    3 4

    ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ª ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙÔ √

    4 5

    ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ª ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙÔ √

    3 5

    ∞° ∞μ

    ·¤Ó·ÓÙÈ Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ÚÔÛΛÌÂÓË Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿

    ∞μ μ°

    ÚÔÛΛÌÂÓË Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·

    ∞° μ°

    ·¤Ó·ÓÙÈ Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·

    ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

    232

    ΔÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÁˆÓ›·˜ ˆ Ì 0Æ � ˆ � 180Æ2.1

    √ 1 2 3 4 x

    y

    M

    1 2

    3

    ˆ

    √ 1 2 3 4 x

    y

    M(4, 3)

    1

    2

    3

    ˆ

    ∞μ

    °

    ˆ

    B

    A

    Ú = 5

  • ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· fï˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔηÓÔÓÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÍfiÓˆÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ˆ Î·È fiÙ·Ó ·˘Ù‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÍ›·. ∞Ó ¤¯Ô˘Ì ̛· ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ˆ, ÙfiÙ ÙËÓ ÙÔÔıÂÙԇ̠ے ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ·Ú¯‹ √, Ë Ì›· ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙÔÓ ıÂÙÈÎfi ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x Î·È Ë ¿ÏÏË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿ Ó· ‚ÚÂı› ÛÙÔ 2Ô ÙÂÙ·ÚÙËÌfiÚÈÔ. ∞Ó ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ¿ÚÔ˘Ì ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ª(x, y), ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi ÙÔ √, ÙfiÙ ÁÈ· ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ú = √ª ÈÛ¯‡ÂÈ

    OÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ ›ӷÈ:

    Ë̈ = =

    Û˘Óˆ = =

    Âʈ = =

    ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: ñ ∞Ó Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ÔÍ›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È x>0, y>0, Ú>0, ÔfiÙÂ: Ë̈>0, Û˘Óˆ>0, Âʈ>0.

    ñ ∞Ó Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È x0, Ú>0, ÔfiÙÂ: Ë̈>0, Û˘Óˆ

  • ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈı- ÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ 30Æ, 45Æ Î·È 60Æ Ô˘ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î·.

    ™Â ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(–4, 3). ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = x

    ∧ Oª.

    Λύση °È· ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË √ª = Ú ¤¯Ô˘ÌÂ: Ú = ��x2 + y2 = ��(–4)2 + 32 = ��25 = 5.

    ÕÚ·: Ë̈ = = , Û˘Óˆ = = = –

    Î·È Âʈ = = = – .

    ™Â oÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ʤÚÔ˘Ì ËÌÈ¢ı›· √z, ÒÛÙ x

    ∧ Oz = 135Æ. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ √z

    ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª Ì ÙÂÙÌË̤ÓË –1. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ x

    ∧ Oª = 135Æ.

    Λύση º¤ÚÓÔ˘Ì ªμ ⊥ x�x Î·È ª° ⊥ y�y. ∂Âȉ‹ x

    Oª = 135Æ Î·È x ∧

    Oy = 90Æ ı· Â›Ó·È °

    Oª = 45Æ, ÔfiÙ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ √ª° Â›Ó·È Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. ÕÚ· √° = ª° = √μ = 1 Î·È Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª Â›Ó·È y = 1.

    ¢ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ì ª(–1, 1) Î·È Ú = ��x2 + y2 = ��(–1)2 + 12 = ��2.

    ÕÚ· ËÌ135Æ= = = , Û˘Ó135Æ= = =– Î·È ÂÊ135Æ= = = –1.

    °È· ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(5, 12) Â›Ó·È Ú = √ª = 13. ∞Ó ˆ = x ∧

    Oª Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜: Ë̈ = ....... Û˘Óˆ = ....... Âʈ = .......

    1

    EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

    1 –1

    y x

    ��2 2

    –1 ��2

    x Ú

    ��2 2

    1 ��2

    y Ú

    2

    3 4

    3 –4

    y x

    4 5

    –4 5

    x Ú

    3 5

    y Ú

    1

    ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

    234

    M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

    ��31��3⎯3Âʈ

    1⎯2 ��2⎯2

    ��3⎯2Û˘Óˆ

    ��3⎯2 ��2⎯2

    1⎯2Ë̈

    60Æ45Æ30ƈ

    √–4 x

    y M(–4, 3) 3

    ˆ

    Ú

    √B(–1,0)

    °

    x

    y

    M

    135Æ Ú

    z

  • ∞Ó Ë ÁˆÓ›· ˆ = x ∧

    Oª Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·, ÙfiÙ ӷ Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿ Ì ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ > ‹ 0, ÙfiÙÂ Ë ˆ Â›Ó·È ÔÍ›·. ‰) ΔÔ ËÌ›ÙÔÓÔ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ÁˆÓ›·˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.

    ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = x ∧

    Oª, fiÙ·Ó: ·) ª(3, 4) ‚) ª(–5, 12) Á) ª(0, 3)

    ªÈ· ¢ı›·  ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË y = –2x. ·) N· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙËÓ Â˘ı›· Â Î·È Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙËÓ ÙÂÙ·Á̤ÓË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ

    Ù˘ ª Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÌË̤ÓË –1. ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = x

    Oª.

    ŒÓ· ÏÔ›Ô ¶ ·Ó·¯ÒÚËÛ ·fi ÙÔ ÏÈÌ¿ÓÈ √ Î·È ÎÈÓ‹ıËΠ‚ÔÚÂÈÔ·Ó·ÙÔÏÈο ÚÔ˜ Ì›· ηÙ‡ı˘ÓÛË Ô˘ Û¯ËÌ¿ÙÈ˙ Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· √x ÁˆÓ›· 30Æ. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·- Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ ÌÂÙ¿ ·fi ‰È·‰ÚÔÌ‹ 10 ÌÈÏ›ˆÓ.

    3

    2

    1

    ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

    4

    1. 0

    2. –1

    3. 1

    ·. ËÌ90Æ ‚. Û˘Ó180Æ Á. ÂÊ0Æ ‰. Û˘Ó90Æ Â. ËÌ0Æ ÛÙ. ÂÊ180Æ ˙. Û˘Ó0Æ Ë. ËÌ180Æ

    ™Ù‹ÏË μ™Ù‹ÏË ∞

    3

    2

    235

    2.1 ΔÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÁˆÓ›·˜ ˆ Ì 0Æ � ˆ � 180Æ

    Ë˙