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    Solucionario

    7 Fenmenos ondulatorios EJERCICIOS PROPUESTOS

    7.1 Las ecuaciones de dos ondas armnicas son: 1 = 0,001 sen 2 (5t 2x) y 2 = 0,001 sen 2 (5t 6x), donde las longitudes estn en metros y los tiempos en segundos. Halla la funcin de onda resultante.

    )x6t5(2sen001,0)x2t5(2sen001,021 +=+=

    Haciendo uso de la expresin: 2

    cos2

    sen2sensen +=+ , se tiene:

    2)x6t5(2)x2t5(2cos

    2)x6t5(2)x2t5(2sen2001,0 +=

    x4cos)x4t5(2sen002,0 =

    7.2 Dos ondas armnicas tienen idntica funcin de onda. Cul sera la ecuacin de onda resultante de la interferencia de ambas ondas armnicas? Qu caracterstica de la onda resultante es diferente de las caractersticas de cada onda individualmente considerada?

    )kxt(sen2)kxt(sen)kxt(sen 00021 =+=+=

    La onda resultante tendra amplitud doble a la de cada onda individualmente considerada.

    7.3 Deduce la expresin del valor de la diferencia de fase entre dos ondas armnicas que tienen frecuencias iguales y que inciden en un mismo punto.

    La diferencia de fase entre dos ondas armnicas que inciden en un mismo punto es:

    )xx(kt)()kxt()kxt( 12121122 ==

    Si las frecuencias son iguales )( 21 = : )xx(k 21 =

    7.4 El punto P equidista de dos focos emisores de ondas armnicas de distinta frecuencia. Deduce el valor de la diferencia de fase entre ambas ondas en dicho punto.

    La diferencia de fase entre dos ondas armnicas que inciden en un mismo punto es:

    )xx(kt)()kxt()kxt( 12121122 ==

    Si las distancias a los focos son iguales )xx( 21 = : t)( 21 =

    7.5 Dos ondas armnicas que tienen la misma frecuencia y la misma velocidad de propagacin inciden en un punto P. Cul es el valor mximo de la amplitud resultante en ese punto? Y el mnimo?

    La amplitud resultante viene expresada por: ++= cosAA2AAA 2122

    21

    El valor mximo tiene lugar para 212

    212122

    21 AA)AA(AA2AAA:1cos +=+=++==

    Y el mnimo para 212

    212122

    21 AA)AA(AA2AAA:1cos ==+==

    100

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    7.6 Por qu se afirma que el trmino de interferencia no depende del tiempo?

    El trmino de interferencia es )xx(k 21 = que no depende del tiempo.

    7.7 Calcula la frecuencia de batido en un punto en el que inciden dos ondas de la misma amplitud de frecuencias 14,2 kHz y 14,4 kHz respectivamente.

    Hz40014;Hz20014 21 ==

    La frecuencia de batido es: Hz1002

    2002

    12 ===

    7.8 Puede obtenerse una onda de frecuencia modulada a partir de dos ondas de la misma frecuencia y de la misma amplitud? Por qu?

    No; la frecuencia de batido sera nula: 022

    12 ===

    7.9 En una cuerda de 1,2 m de longitud, fija por sus extremos, se propagan las ondas transversales con una velocidad de 96 m s-1. Calcula su frecuencia fundamental y la frecuencia del segundo armnico.

    Frecuencia fundamental: Hz402,12

    96L2v =

    ==

    La frecuencia del segundo armnico es: Hz804022 12 ===

    7.10 Un tubo de rgano de 60 cm de longitud est abierto por un extremo. Calcula la frecuencia fundamental y los dos siguientes armnicos de las ondas sonoras estacionarias en el tubo. (Velocidad del sonido: 340 m s1.)

    Frecuencia fundamental: Hz14060,04

    340L4v =

    ==

    La frecuencia del segundo armnico es: Hz43040,2

    34033 12 ===

    Y la del tercero: Hz71040,2

    34055 13 ===

    7.11 Busca informacin sobre la vida y la obra de Huygens en internet:

    www.e-sm.net/f2bach71

    Despus, resume las principales aportaciones de Huygens a la ptica.

    Las principales aportaciones fueron: construccin de lentes de grandes longitudes focales, invencin del ocular acromtico para telescopios, elaboracin de la teora ondulatoria de la luz, explicacin a partir de su teora de fenmenos ondulatorios como la reflexin, la refraccin y la doble refraccin.

    7.12 Calcula qu tamao debe tener un obstculo para que pueda observarse el fenmeno de la difraccin con ondas sonoras de 10 kHz de frecuencia. (Velocidad del sonido en el aire: 340 m s1.)

    cm4,3m034,01010

    340v3 ===

    =

    101

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    7.13 Pon un ejemplo de movimiento ondulatorio que pase de un medio a otro con un ngulo de incidencia de 0. En este caso, cul es el valor del ngulo de refraccin?

    El caso de la luz que incide perpendicularmente sobre un vidrio o el sonido cuando incide desde el aire hasta el agua.

    0rsen0isen ==

    El movimiento ondulatorio cambia de medio sin desviarse.

    7.14 Calcula el ngulo de refraccin con que emerge una onda sonora que pasa del aire al agua con un ngulo de incidencia de 10.

    50r1500

    rsen340

    10senv

    rsenv

    isen

    21===

    7.15 Calcula qu frecuencia mide un observador estacionario que oye el sonido de 300 Hz emitido por una locomotora que se acerca hacia l a una velocidad de 120 km h1.

    11 sm3,33hkm120v ==

    Para un foco emisor que se acerca a un observador fijo:

    Hz329340

    3,331300vv1' F =

    +=

    +=

    7.16 Dos automviles, ambos a 100 km h1, se mueven en la misma direccin alejndose el uno del otro. Si la bocina de uno de ellos emite un sonido de 400 Hz, qu frecuencia percibe el conductor del otro automvil?

    11 sm8,27hkm100v ==

    Para un foco emisor que se aleja de un observador en movimiento:

    Hz3408,273408,27340400

    vvvv'

    F

    O =+=

    +=

    7.17 El contador electrnico de un radar mide un intervalo de 30 s entre la emisin de la seal y la recepcin de su eco. Calcula a qu distancia se encuentra el objeto en el que se ha reflejado.

    Entre la emisin y la recepcin, la onda recorre dos veces la distancia entre el radar y el objeto a la velocidad de la luz:

    km5,4m4500dm90001030103tcd2 68 =====

    7.18 Seala cules son las principales semejanzas y diferencias entre:

    a) Una ecografa y una radiografa.

    b) Un radar y un snar.

    a) La ecografa y la radiografa utilizan las ondas para obtener imgenes de los cuerpos. La ecografa utiliza ultrasonidos de baja intensidad que no daan el organismo; la radiografa utiliza rayos X, que son muy energticos y pueden daar los tejidos.

    b) El radar y el sonar utilizan ondas para medir distancias aprovechando el eco en los fenmenos de reflexin ondulatoria. El radar utiliza ondas electromagnticas; el sonar, ultrasonidos. El radar es ms eficaz en el aire, mientras que el sonar lo es en el agua.

    102

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    EJERCICIOS Y PROBLEMAS

    INTERFERENCIA DE ONDAS

    7.19 Las ecuaciones correspondientes a dos ondas armnicas son:

    )x5t8(sen02,0);x5t8(sen03,0 21 ==

    donde las longitudes estn expresadas en metros y los tiempos, en segundos. Ambas ecuaciones coinciden en un punto del espacio. Halla para la onda resultante:

    a) La funcin de onda.

    b) La amplitud.

    c) El perodo y la frecuencia.

    d) La longitud de onda y el nmero de onda.

    a) )x5t8(sen05,0)x5t8(sen02,0)x5t8(sen03,021 =+=+=

    b) Comparando con )kxt(senA = se tiene: A = 0,05 m

    c) Hz4282 === ; s25,0T 1 ==

    d) m4,052

    k2m5k 1 =

    ===

    7.20 Las ecuaciones correspondientes a dos ondas armnicas son:

    )x5t4(2sen05,0y);xt4(2sen05,0y 21 ==

    Calcula la amplitud de la onda resultante en el punto x = 1 m.

    a) La ecuacin suma es: )x5t4(2sen05,0)xt4(2sen05,0yyy 21 +=+=

    Haciendo uso de la expresin: 2

    cos2

    sen2sensen +=+ , se tiene:

    2)x5t4(2)xt4(2cos

    2)x5t4(2)xt4(2sen205,0y +=

    x4cos)x3t4(2sen1,0y = b) Para x = 1 m: )3t4(2sen1,04cos)3t4(2sen1,014cos)13t4(2sen1,0y ===

    La amplitud en este punto es A = 0,1 m.

    7.21 Las ecuaciones correspondientes a dos ondas armnicas son:

    )x11t3(2sen03,0);x3t3(2sen03,0 21 ==

    donde las longitudes estn expresadas en metros y los tiempos, en segundos. Halla:

    a) La funcin de onda resultante.

    b) El valor de esta funcin en el punto x = 1 m.

    a) )x11t3(2sen03,0)x3t3(2sen03,021 +=+=

    Haciendo uso de la expresin: 2

    cos2

    sen2sensen +=+ , se tiene:

    x8cos)x7t3(2sen06,02

    )x11t3(2)x3t3(2cos2

    )x11t3(2)x3t3(2sen203,0 =+=

    b) Para x = 1 m: )7t3(2sen06,08cos)7t3(2sen06,018cos)17t3(2sen06,0 ===

    103

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    Solucionario

    7.22 Dos altavoces coherentes emiten ondas sonoras de 100 Hz de frecuencia y 2 107 m de amplitud. Calcula la amplitud de la onda resultante en un punto P que dista 6,0 m del primero y 9,4 m del segundo.

    La amplitud resultante viene expresada por: ++= cosAA2AAA 2122

    21

    El valor de es )xx(2)xx(k 2121 ==

    Longitud de onda: m4,3100340v ==

    =

    1cos2)0,64,9(4,3

    2)xx(2 21 ===

    =

    m104102102AAAA2AAcosAA2AAA 777212122

    2121

    22

    21

    =+=+=++=++=

    7.23 En un punto coinciden dos ondas armnicas de ecuaciones:

    )2,0t2(2sen02,0y);4,0t2(2sen01,0y 21 ==

    donde las longitudes estn en metros y los tiempos, en segundos. Determina la amplitud de la onda resultante en dicho punto.

    La amplitud resultante viene expresada por: ++= cosAA2AAA 2122

    21

    El valor de es === 4,0)4,0t2(2)2,0t2(212

    m025,04,0cos02,001,0202,001,0cosAA2AAA 222122

    21 =++=++=

    7.24 En un punto (x = 20 cm) coinciden dos ondas armnicas de ecuaciones:

    )x5t3(sen4y);x6t2(sen3y 21 ==

    donde las longitudes estn en centmetros y los tiempos, en segundos. Calcula la amplitud de la onda resultante en ese punto en el instante t = 2 s