Эллипс

.ллипсЭ́� (др.-греч. ἔλλειψις — недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) —

геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянна, то есть

| F1M | + | F2M | = 2a.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как

пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость

1 Связанные определения2 Свойства3 Соотношения между элементами эллипса4 Координатное представление

4.1 Каноническое уравнение4.2 Параметрическое уравнение4.3 Уравнение в полярных координатах

5 Длина дуги эллипса 5.1 Приближённые формулы для периметра

6 Площадь эллипса

Содержание

Связанные определения• Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении. • Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.• Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром. • Точка пересечения эллипса с осями называются его вершинами. • Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b. • Расстояния r1 и r2 от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.

• Расстояние называется фокальным расстоянием.

• Эксцентриситетом эллипса называется отношение .

Эксцентриситет (также обозначается ε) характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Связанные определения

• Фокальным параметром называется половина длины хорды, проходящей через фокус

и перпендикулярной большой оси эллипса.

• Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса

или эллиптичностью: . Величина, равная называется сжатием

эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и

эксцентриситет эллипса связаны соотношением

Свойства

• Фокальное свойство. Если F1 и F2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F1X) равен углу между этой касательной и прямой (F2X).

• Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.

• Эволютой эллипса является астроида.

Эллипс также можно описать как

• Фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование

• Ортогональную проекцию окружности на плоскости.

• Пересечение плоскости и кругового цилиндра

а- большая полуось;b- малая полуось;c- фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);p- фокальный параметр; - перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе); - апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

Соотношения между элементами Элипса

Соотношения между элементами Элипса

– фокальный параметр

– перифокусное расстояние

– апофокусное расстояние

– большая полуось

– малая полуось

– фокальное расстояние

Координатное представлениеКаноническое уравнениеДля любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Для определённости положим, что В этом случае величины a и b — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет:

Координаты фокусов эллипса:Эллипс имеет две директриссы, уравнения которых можно записать какФокальный параметр (т.е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равенУравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом k:Уравнение касательных, проходящих через точку Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент k::Уравнение нормали в точке

Координатное представление

Параметрическое уравнение

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

Где — параметр уравнения.

Длина дуги элипсаДлина дуги плоской линии определяется по формуле:

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

После замены выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллипическому интегралу второго рода .

В частности, периметр эллипса равен:

, где — полный эллиптический интеграл второго рода.

Длина дуги элипса

Приближённые формулы для периметра

YNOT: где Максимальная погрешность этой формулы ~0.3619 % при эксцентриситете эллипса ~0.979811 (соотношение осей ~1/5). Погрешность всегда положительная.

Очень приближенная формула

Площадь элипса

Площадь эллипса вычисляется по формуле Где и полуоси эллипса.

Инф.Источник:http://ru.wikipedia.org

Выполнил: Федоров Павел И1-08