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Universidad de Concepcin Facultad de Ingeniera Depto. de Ingeniera Elctrica Apuntes Sistemas Lineales Dinmicos - 543 214 v Pfs1 fe u h2 generadorestanquecanal h1 11ava edicin Prof. Jos R. Espinoza C. Daniel G. Sbrbaro H. Febrero 2011 Apuntes: 543 214ii Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. Tabla de contenidos PRLOGO................................................................................................................................................. IV NOMENCLATURA ....................................................................................................................................... V ABREVIACIONES ..................................................................................................................................... VIII 1INTRODUCCIN..................................................................................................................................1 1.1Proceso y Sistema ...................................................................................................................1 1.2Modelo ....................................................................................................................................3 1.3Clasificacin de Sistemas y Modelos ......................................................................................5 1.4Principios Bsicos de Modelacin de Sistemas....................................................................10 1.5Transformaciones de Similitud en Ecuaciones de Estado ....................................................13 1.6Linealizacin.........................................................................................................................14 1.7Alcances del Curso 543 214..................................................................................................17 1.8Ejercicios Propuestos. ..........................................................................................................17 2SEALES EN SISTEMAS ....................................................................................................................20 2.1Introduccin..........................................................................................................................20 2.2Seales de Prueba.................................................................................................................22 2.3Transformaciones sobre Seales ..........................................................................................25 2.4Seales de Prueba Discretas.................................................................................................32 2.5Convolucin continua y discreta...........................................................................................34 2.6Ejercicios Propuestos. ..........................................................................................................37 3TRANSFORMACIONES.......................................................................................................................42 3.1Introduccin..........................................................................................................................42 3.2Transformada de Laplace .....................................................................................................43 3.3Transformada de Fourier......................................................................................................49 3.4Transformada de Fourier de Frecuencia Discreta...............................................................54 3.5Transformada Z ....................................................................................................................57 3.6Transformada de Fourier de Tiempo Discreto.....................................................................61 3.7Transformada de Fourier Discreta.......................................................................................63 3.8Ejercicios Propuestos. ..........................................................................................................66 4CARACTERIZACIN MATEMTICA...................................................................................................69 4.1Introduccin..........................................................................................................................69 4.2Solucin de Ecuaciones Diferenciales..................................................................................70 4.3Solucin de Ecuaciones de Diferencias ................................................................................75 4.4Solucin de Ecuaciones de Estados ......................................................................................78 4.5Solucin de Ecuaciones de Diferencias de Estado ...............................................................83 4.6Ejercicios Propuestos. ..........................................................................................................86 5FUNCIONES DE TRANSFERENCIA......................................................................................................89 5.1Introduccin..........................................................................................................................89 5.2En el Plano Continuo............................................................................................................89 5.3En el Plano Discreto.............................................................................................................93 5.4Modelo en Espacio de Estados a partir de una F. de T. .......................................................96 Apuntes: 543 214iii Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. 5.5Sistemas de Primer y Segundo Orden.................................................................................103 5.6Sistemas Equivalentes Discretos - Continuos.....................................................................105 5.7Ejercicios Propuestos. ........................................................................................................109 6ANLISIS EN FRECUENCIA.............................................................................................................112 6.1Introduccin........................................................................................................................112 6.2Diagrama de Bode ..............................................................................................................113 6.3Diagrama de Bode Asinttico.............................................................................................118 6.4Sistemas con Retardo..........................................................................................................120 6.5Sistemas de Fase No-Mnima..............................................................................................121 6.6Diagrama de Bode de Sistemas Tiempo Discreto...............................................................124 6.7Ejercicios Propuestos. ........................................................................................................126 7ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES...........................................................................................129 7.1Introduccin........................................................................................................................129 7.2Estabilidad de Sistemas Continuos en Ecuaciones de Estado............................................129 7.3Estabilidad Entrada-Salida en Sistemas Tiempo Continuo................................................130 7.4Estabilidad de Sistemas Discretos en Ecuaciones de Estado.............................................137 7.5Estabilidad Entrada-Salida en Sistemas Tiempo Discreto.................................................139 7.6Ejercicios Propuestos. ........................................................................................................141 AANEXO: MODELACIN DE SISTEMAS.............................................................................................144 A.1Modelo y Simulacin...........................................................................................................144 A.2Analogas de Sistemas.........................................................................................................158 A.3Ejercicios Propuestos. ........................................................................................................159 BIBLIOGRAFA.........................................................................................................................................163 NDICE ALFABTICO................................................................................................................................164 Apuntes: 543 214iv Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. Prlogo. Elcurso"SistemasLinealesDinmicos"esobligatorioparaalumnosdepre-gradodelascarrerasde Ingeniera Civil Elctrica y Electrnica de la Universidad de Concepcin. Este ramo es la base para el anlisis desde una perspectiva matemtica de los sistemas encontrados en las variadas disciplinas de la ingeniera; en particular, en la Ingeniera Elctrica y Electrnica. Especficamente, en esta asignatura se entregan herramientas para el estudio de sistemas lineales continuos y discretos tipo SISO y MIMO. Los tpicos revisados en este texto permiten abordar sistemas que se caracterizan por tener estructuras lineales y que normalmente corresponden a una simplificacin de la realidad. Se asume que se conoce o se puede obtener el modelo de stos en forma fenomenolgica y/o emprica. En particular, se tratan temasdeseales,transformaciones,discretizacin,FuncindeTransferencia,DiagramadeBodey estabilidad. EllectordebetenerdominiodelostemasentregadosenloscursosdeModelacindeSistemasy EcuacionesDiferencialesparaavanzarfluidamenteenlostpicosdeestedocumento.Adems,un holgado manejo de programas de simulacin es definitivamente necesario para seguir los ejemplos. Se recomienda,MatLab TM,MathCad TMyPSimTM;sinembargo,laprogramacinenotroslenguajesde alto nivel (por ejemplo, C) es tambin altamente recomendada. EldocumentofuedigitadoenteramenteenWordforWindowsdeMicroSoftTMylosejemplosy ejercicios fueron desarrollados en MatLab TM, MathCad TM, y/o PSimTM. Dr. Daniel G. Sbrbaro H. Profesor Titular Depto. de Ingeniera Elctrica, of. 240 Facultad de Ingeniera Universidad de Concepcin Casilla 160-C, Correo 3 Concepcin, CHILE Tel: +56 41 2204981 Fax: +56 41 2246999 [email protected] http://www.udec.cl/~dsbarbar/ Dr. Jos R. Espinoza C. Profesor Titular Depto. de Ingeniera Elctrica, of. 220 Facultad de Ingeniera Universidad de Concepcin Casilla 160-C, Correo 3 Concepcin, CHILE Tel:+56 41 2203512 Fax:+56 41 [email protected] http://www.udec.cl/jose.espinoza/ Apuntes: 543 214v Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. Nomenclatura Matrices A: matriz de parmetros de dimensin nn. B: matriz de parmetros de dimensin np. C: matriz de parmetros de dimensin qn. D: matriz de parmetros de dimensin qp. E: matriz de parmetros de dimensin nm. F: matriz de parmetros de dimensin qm. T: matriz de transformacin de dimensin de nn. AT: matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin nn. AT = TAT-1 BT: matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin np. BT = TB CT: matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin qn. CT = CT-1 DT: matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin qp. DT = D ET: matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin nm. ET = TE FT: matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin qm. FT = F Tabc-0: matriz de transformacin de ejes abc a 0, dimensin 33. T0-abc: matriz de transformacin de ejes 0 a abc, dimensin 33. T0-dq0: matriz de transformacin de ejes 0 a dq0, dimensin 33. Tdq0-0: matriz de transformacin de ejes dq0 a 0, dimensin 33. Tabc-dq0 : matriz de transformacin de ejes abc a dq0, dimensin 33. Tdq0-abc : matriz de transformacin de ejes dq0 a abc, dimensin 33. H(s): matriz de transferencia. H(s) = C(sI - A)-1B + D. ) (s H : matriz de transferencia inversa.) (s H= H-1(s). H(s)H: matriz conjugada transpuesta de H(s). H(s)H = (H(s)*)T. C: matriz de controlabilidad. O: matriz de observabilidad. L(s): matriz de transferencia en L.D. (t): matriz de transicin. Adj{P}: matriz adjunta de la matriz P. diag{x1,}: matriz diagonal compuesta por los valores x1, x2, . e{X}: matriz parte real de la matriz X. m{X}: matriz parte imaginaria de la matriz X. X,: matriz compuesta por elementos j ix,, que son fasores. Vectores x: vector de n variables de estados, x = [x1 x2 xn]T u: vector de p variables de entrada, u = [u1 u2 up]T y: vector de q variables de salida, y = [y1 y2 yq]T p: vector de m perturbaciones, p = [p1 p2 pm]T x : vector de n variables de estados,x= [1 x2 x nx ]T (estimacin de x). y : vector de q variables de estados,y= [1 y2 y qy ]T (estimacin de y). x~: vector de n variables de estados,x~ = [1~x2~x nx~]T (error de estimacin dex~= x -x ). xabc: vector de tres variables de estados, xabc = [xa xb xc]T (ejes estacionarios abc). x0: vector de tres variables de estados, x0 = [x x x0]T (ejes estacionarios 0). Apuntes: 543 214vi Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. xdq0: vector de tres variables de estados, xdq0 = [xd xq x0]T (ejes rotatorios dq0). x0: condicin inicial del vector de estados, x0 = [x10 x20 xn0]T xo: vector de estados en el punto de operacin, xo = [x1o x2o xno]T uo: vector de entradas en el punto de operacin, uo = [u1o u2o upo]T yo: vector de salidas en el punto de operacin, yo = [y1o y2o yqo]T yd: vector deseado (referencia) de q variables de salida, yd = [y1d y2d yqd]T po: vector de perturbaciones en el punto de operacin, po = [p1o p2o pqo]T x: variacin del vector de estados x en torno a xo, x = [x1 x2 xn]T u: variacin del vector de entradas u en torno a uo, u = [u1 u2 up]T y: variacin del vector de salidas y en torno a yo, y = [y1 y2 yq]T p: variacin del vector de perturbaciones p en torno a po, p = [p1 p2 pm]T x(s): Laplace de x, x(s) = [x1(s) x2(s) xn(s)]T u(s): Laplace de u, u(s) = [u1(s) u2(s) up(s)]T y(s): Laplace de y, y(s) = [y1(s) y2(s) yp(s)]T p(s): Laplace de p, p(s) = [p1(s) p2(s) pm(s)]T vk: k-simo vector propio de A. wk: k-simo vector propio de AT. vk*: conjugado del k-simo vector propio de A. xec: vector de estados para entrada cero. xci: vector de estados para c.i. nulas. yec: vector de salidas para entrada cero. yci: vector de salidas para c.i. nulas. ck: k-sima fila de la matriz C. bk: k-sima columna de la matriz B. V(x): gradiente de la funcin V(x). V(x) = V(x)/x. x,: vector de fasores,x, = [1x, 2x, nx,]T. Escalares xk: k-sima variable de estado. dxk/dt = kx` : derivada de la k-sima variable de estado. ak: k-simo coeficiente del polinomio caracterstico de A. k: k-simo valor propio de A. k*: conjugado del k-simo valor propio de A. ij: ganancia relativa entre la entrada i-sima y la salida j-sima. l(s): funcin de transferencia en L.D. dij: elemento ij de la matriz D. hij(s): elemento ij de la matriz H(s). ) (s hij: elemento ij de la matriz) (s H= H-1(s). rango{P(s)}: rango de la matriz P(s). det{P(s)}: determinante de la matriz P(s). arg{x}: ngulo del nmero complejo x. tr{P(s)}: traza de la matriz P(s). maxij{wij}l: mximo elemento de la matriz Wl. max{}: mximo valor. min{}: mnimo valor. log{}: logaritmo en base 10. u(t): entrada escaln. Apuntes: 543 214vii Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. r(t): entrada rampa. || e ||: norma del elemento e. l(A): l-simo valor singular de A. (A): mximo valor singular de A. (A): mnimo valor singular de A. (A): radio espectral de A. (A): nmero de condicin de A. V(x): funcin de Lyapunov. : vecindad en el espacio de estados de x. G: conjunto invariante. R: conjunto invariante subconjunto de G. ess: vector de error en estado estacionario. : banda de asentamiento. ts : tiempo de asentamiento. V: valor medio (RMS) de la seal continua (alterna) v(t). f(t): funcin en el tiempo continuo. f(k): funcin en el tiempo discreto (tambin escrita f(kT), con T el tiempo de muestreo). f(s): funcin en el plano de Laplace. f(): funcin en frecuencia continua de tiempo continuo. f(): funcin en frecuencia continua de tiempo discreta. f(n): funcin en frecuencia discreta de tiempo continuo. f(m): funcin en frecuencia discreta de tiempo discreta. x,: fasor. Apuntes: 543 214viii Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. Abreviaciones. Maysculas L.A.: lazo abierto. L.C.: lazo cerrado. L.D.: lazo directo. L.I.T.: lineal invariante en el tiempo. S.P.I.: semi-plano izquierdo. S.P.D.: semi-plano derecho. F. de T.: funcin de transferencia. F.D.: funcin descriptora. M. de T.: matriz de transferencia. B.W.: ancho de banda. E.S.: entrada/salida. S.S.: estado estacionario. SISO: sistema de una entrada y una salida (single input single output). MIMO : sistema de varias entradas y varias salidas (multiple inputs multiple outputs). L.G.R. : lugar geomtrico de las races. P.I.D.: controlador proporcional integral derivativo. S.P.: sobrepaso. M.G.: margen de ganancia. M.F.: margen de fase. FCD: forma cannica diagonal. FCC: forma cannica controlable. FCO: forma cannica observable. FCJ: forma cannica de Jordan. T.L.: Transformada de Laplace. T.F.: Transformada de Fourier. T.F.F.D.: Transformada de Fourier de Frecuencia Discreta. T.Z.: Transformada Z. T.F.T.D.: Transformada de Fourier de Tiempo Discreta. T.F.D. : Transformada de Fourier Discreta. D. de B.: Diagrama de Bode Minsculas c.i.: condiciones iniciales. l.i.: linealmente independiente. l.d.: linealmente dependiente. c.c.: corriente continua (en ingls es d.c.). c.a.: corriente alterna (en ingls es a.c.). a.c.a.: abscisa de convergencia absoluta. Apuntes: 543 2141 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. 1Introduccin Enestecaptuloseintroducenformalmentelosconceptosdeproceso,sistemay modelo,comotambinlarelacinentreellos.Especialimportanciasedaala identificacin de las cantidades asociadas a un sistema y a la clasificacin de stas en variablesdeestado,entradas,salidas,perturbacionesyparmetros.Adems,se proponenvariasclasificacionesdesistemasdeacuerdoasusprincipales caractersticas.Lostpicossonilustradosconejemplosextradosdelasvariadas disciplinas de la ingeniera. 1.1Proceso y Sistema Def.:Porprocesoseentenderunarealidadfsicacualquieraqueconlleva,enalgnintervalode tiempo, un cambio de estado que exhiben sus componentes esenciales. Elanlisisdeprocesostieneporfinalidadconocerelcomportamientoqueexhibeunciertoaspecto asociadoaunproceso.Esteaspectoyelestudioarealizarquedandeterminadosporlosobjetivosde anlisis que se hayan establecidos. Def.:Unsistemaesunaabstraccindeunarealidadfsicadeacuerdoalosobjetivosdeestudio planteados. Deestemodo,aunmismoprocesopuedenasociarsevariadossistemas.Laasociacindependede cules sean los objetivos de anlisis considerados. Ejemplo1.1.ConsidereelsistemadegeneracinhidroelctricoquesemuestraenlaFig.1.1.Losposiblesobjetivosde estudio asociado a este proceso podran ser: Prdidas de fluido en las caeras. Rendimiento del generador. Aumento de la temperatura del agua. Generacin de tensin constante. Como era de esperar, dependiendo de la perspectiva, los objetivos pueden ser muy distintos. Esasentonces,quecadaobjetivoharnecesarioextraerunaspectorestringidodelarealidadfsica concreta, tendiente a focalizar y por tanto simplificar el anlisis a realizar. A .Cantidades en sistemas Lossistemassecaracterizandeacuerdoacmoestnconstituidosycomointeractanconelmedio, para ello se definen los siguientes conceptos: Apuntes: 543 2142 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. Def.:Lasvariablesdeentradasonaquellasmediantelascualesseactadesdeelexteriorsobreel procesoyatotalvoluntad.staspermitendeterminarlasprincipalescaractersticasde comportamiento del proceso. Def.: Lasvariablesdesalidaconstituyenelmedioquepermiteefectuarelanlisisdelproceso, mediante la evaluacin directa de los objetivos de estudio. Def.: Lasperturbacionessonvariablesquetambinactandesdeelexteriorperoquenoson manejablesavoluntadycuyoefectosobreelprocesosiempreesconocido.Introducenuna componente de incertidumbre en el estudio. Def.: Las variables de estado son aquellas variables que definen totalmente la condicin del sistema, desde el punto de vista de los objetivos de estudio, en cuanto a la informacin contenida en ste y a su evolucin frente a una accin del medio. Def.: Losparmetrossoncantidadesquefijanciertascaractersticasdelproceso,estableciendoun marcoalcualestarcondicionadosucomportamiento;seconsideranfijoscuandoelrestoest sujeto a variaciones. Ejemplo1.2.ConsidereelsistemadegeneracinhidroelctricodelaFig.1.1.Paraestecasosepuedeidentificarlas siguientes cantidades: u :Porcentaje de apertura de la vlvula de escape. fe :Flujo de alimentacin del estanque. fs1 :Flujo de vaciado no alterable. fs2 :Flujo de vaciado manipulable. h1 :Altura de la columna de agua del estanque. v :Voltaje en los terminales del generador. u fe fs1 fs2 h1 h2 v, P sol 2 1 cel vc v1 v2 vout Fig. 1.1 Sistema de generacin hidroelctrica.Fig. 1.2 Sistema de generacin solar. Apuntes: 543 2143 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. :Velocidad de giro del generador. P :Potencia consumida por la red. h2 :Altura del canal de alimentacin. ... Ejemplo 1.3. Considere el sistema de posicionamiento de un generador solar presentado en la Fig. 1.2.Los objetivos de estudio que se pueden plantear son: vout v/s ngulo del sol. Regulacin de tensin. Generacin de tensin mxima. Generacin de tensin constante. ... Adems, podemos identificar las siguientes cantidades: 1 :ngulo del sensor 1. 2 :ngulo del sensor 2. sol : ngulo del sol. cel : ngulo de la celda mayor. v1 :Voltaje del sensor 1. v2 :Voltaje del sensor 2. vout : Voltaje de celda mayor. vc :Voltaje de alimentacin del motor posicionador. ... 1.2Modelo Unmodeloesunarepresentacindeunsistema.Cabedestacarqueparaefectuarunanlisisdeun proceso es necesario conocerlo. En general, se desea llegar a conocer factores (internos y externos) que condicionan el comportamiento del mismo, tales como interrelaciones entre variables, el efecto de las perturbaciones,rangosdeestabilidad,elefectodelavariacindeparmetros,etc.Elmayor conocimientodelprocesoseobtienemediantelaexperimentacin,lacualgeneralmentenosepuede desarrollarconprofundidadenplantasindustriales,debidoaestasituacinsedeberecurriramedios alternativostalescomolasimulacindelosexperimentosenmodelosdelprocesocompletooen modelos parciales de los fenmenos de inters. Dentrodelosfactoresquenormalmentelimitanlaexperimentacinenplantasindustrialessepueden citar los siguientes: Factibilidad tecnolgica, que dice relacin con los medios disponibles para realizar los experimentos: instrumentacin,posibilidaddeaccesoatodoslospuntosdevariablesquerequieramedir,precisin exigida, etc.Proceso Objetivo 1Objetivo 2 Objetivo n Sistema 1 Sistema 2 Sistema n Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 : : Fig. 1.3 Relacin entre proceso-objetivo-sistema-modelo. Apuntes: 543 2144 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. Costosasociadosalaexperimentacintantoenrecursoshumanos,usodeequipos,materiales, alteraciones del proceso o su operacin, tiempo de experimentacin, etc. Tiempodeexperimentacinquepermiteobtenerinformacintilalospropsitosdelestudioen particular, adecuado para detectar variaciones en el medio. Caractersticas de los medios y herramientas existentes para la experimentacin. La importancia de los modelos reside, principalmente, en que proporcionan un medio ms simple para conocer el comportamiento del proceso. Es decir, son sustitutos del proceso para el anlisis, en relacin tantoalosefectosqueelmedioejerzasobreste,comotambindeaquellosderivadosdelas modificacionesdesuscaractersticasinternas.Enotraspalabras,elmodeloesunaherramientausada para el anlisis de procesos, a travs del anlisis de sistemas. En la Fig. 1.3 se presenta la relacin entre proceso y modelos. Dependiendo de la naturaleza de los modelos se pueden clasificar en: Conceptualesdescribealsistemaenformaglobal,permitenlatransferenciadeideasoconceptosen forma clara y precisa, generalmente los modelos conceptuales toman la forma de diagramas. Matemticos los cuales a su vez se podran clasificar en: Analticos los cuales representan un conjunto deecuacionesasociadasaladescripcindeunsistema,yNumricosquerepresentanunconjuntode algoritmos que no tiene necesariamente un equivalente analtico. Lingsticos que son un conjunto de reglas que describen a un sistema. Ejemplo 1.4. En la Fig. 1.4 se muestra un sistema compuesto por una fuente, un interruptor y una lmpara conformando un circuito elctrico Fig. 1.4(a), tambin se muestra elmodelo conceptual Fig. 1.4(b), el modelomatemtico Fig. 1.4(c), y el modelo lingstico Fig. 1.4(d) asociado a este sistema. Existen consideraciones generales en la prctica que deben tenerse en cuenta al modelar un sistema:Complejidad versus representabilidad. La complejidad del modelo muchas veces est asociada a los objetivosdeestudio,yconllevaalusodeherramientassosticadasdeanlisis.Esporeso,quees siempre deseable tener modelos lo ms simple posible, pero que representen el fenmeno que se quiere estudiar.Lamentablemente,muchosfenmenosquesepresentanenlosprocesosindustrialesson complejos,yassernecesariotenerunmodeloqueseaunbalanceentrecomplejidady representabilidad. Simplificaciones. Para reducir la complejidad de los modelos se puede recurrir a simplificaciones tales 220 V Sw 1 2 interruptor + v - i a) circuito elctrico Lmpara Fuente alterna b) modelo conceptual Sw = 1=> v= Ri Sw = 2=> i= 0 c) modelo matemtico Si Swest en 1 entonces la lmpara se enciende Si Sw est en 2 entonces la lmpara se apaga d) modelo lingstico Fig. 1.4 Circuito elctrico y los diferentes modelos asociados. Apuntes: 543 2145 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. como:Reduccindeorden:enestecasoseeliminanalgunosparmetrosoecuacionesquetienenpoca influencia en la variable que se esta modelando. Concentracindeparmetros:ensistemasconparmetrosdistribuidossepuederesumir(concentrar) los efectos en tan solo un punto. Linealizacin:seconsideraelsistemaoperandoenunrangopequeodevariaciones,dondeuna aproximacinenseriedeprimerordendaunamuybuenaaproximacin.Cabedestacarqueesta simplificacin sustenta gran parte de este curso. RangodevalidezElrangodevalidezdeterminalazonadondeelmodeloesvlido;esdecir,donde concuerda con el comportamiento del proceso. Dentro de los factores que podemos citar y que afectan el rango de validez estn las suposiciones simplificatorias. Ejemplo1.5.EnlaFig.1.5semuestraeldiagramadebloquesasociadoalsistemadegeneracinhidroelctricadel Ejemplo 1.2. En este caso no se conoce cmo est relacionada la salida y entrada de cada bloque. Se espera que las leyes fsicas nos permitan obtener tales expresiones. Esta alternativa es conocida como modelacin fenomenolgica. Por ltimo, se puede utilizar la experimentacin para obtener el modelo de aquellos sistemas en donde no es posible escribir ecuaciones fsicas,metodologaconocidacomomodelacinemprica.Esteeselcasodelapresinarterialy/oelritmocardiacodel cuerpo humano en funcin de variables de entrada como puede ser la aplicacin de algn medicamento. 1.3Clasificacin de Sistemas y Modelos Lossistemasascomolosmodelossepuedenclasificardeacuerdoalascaractersticasdelos elementos que los componen. A .Lineal y no-lineal Los sistemas y modelos lineales cumplen con el principio de superposicin y homogeneidad. Es decir, si y1(t) e y2(t) son las respuestas del sistema H a las entradas u1(t) y u2(t), respectivamente; entonces, el sistema ser lineal si y slo si se cumplen las siguientes igualdades: 1 2 1 2( ( ) ( )) ( ) ( ) Hu t u t y t y t + = + y1 1( ( )) ( ) H u t y t = , donde, y1(t) = H(u1(t)), y2(t) = H(u2(t)) y es un nmero real. Estas representaciones pueden tomar la formadeexpresionesalgebraicas,ecuacionesdediferencias,ecuacionesdiferencialesordinariaso ecuaciones diferenciales parciales. Ejemplo1.6.ConsidereelcircuitoelctricodelaFig.1.6(a),elmodeloobtenidoconsiderandolascantidadesRyL constantes (parmetros) es,( )d de Ri Li Ri L idt dt= + = + , el cual corresponde a un modelo lineal; sin embargo, si se considera el efecto de la corriente sobre la inductancia L = L(i), el modelo obtenido es, ( )d di dLe Ri Li Ri L idt dt dt= + = + + , resultandounmodelono-lineal.Esteeselcasodeinductoresqueoperanconcorrientesmuyelevadasyquenohansido diseados para operar a tales niveles, este fenmeno es conocido como saturacin. Apuntes: 543 2146 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. B .Continuos y discretos Hay procesos cuyas variables son discretas por naturaleza como por ejemplo el valor de la U.F. la cual tiene un valor cada da (variable discreta en el tiempo), a diferencia por ejemplo de una planta papelera donde se puede saber a cada instante la cantidad de papel producida (variable continua en el tiempo). En este curso se utilizarn los trminos continuos y discretos para referirse a la calidad de la variable independientequeeseltiempo.Asenunsistemadeevolucincontinualasvariablesdeinters asumenalgnvalorencadainstante,mientrasqueensistemasdiscretoslosvaloresdelasvariables, cambian tan slo en ciertos instantes. Ejemplo 1.7. Para un depsito P(0) se tiene que al cabo de un mes la cantidad es P(T) = (1 + I)P(0), donde I es el inters mensual y T es un mes. As, la cantidad de dinero al cabo de un mes arbitrario kT denotada por P(kT + T) esta dada por P(kT + T) = (1 + I)P(kT) o equivalentemente, P(kT + T) - (1 + I)P(kT) = 0. Esta expresin corresponde al modelo del proceso y es claramente discreto, pues slo hay valores para los instantes kT, que enestecasocorrespondenameses.SesabequelasolucindeestaecuacinesP(kT)=(1+I)kP(0).Enestecursose revisarn tcnicas matemticas para resolver ecuaciones como las anteriores. Ejemplo 1.8. Hay un par inicial (macho y hembra) de conejos, Fig. 1.7. Suponer que los conejos nunca mueren y que cada hembra gesta una pareja cada mes a partir del segundo mes de nacida. Cuntos pares de conejos hay en un mes arbitrario k ?. R.: Al escribir la cantidad para los meses iniciales se puede determinar que si y(kT) es los pares de conejos que hay en un mes arbitrario k, con T = 1 mes; entonces, y(kT) = y(kT-T) + y(kT-2T) o equivalentemente, y(kT + 2T) - y(kT+T) - y(kT) = 0, con y(0) = y(T) = 1. La expresin analtica para y(kT) se determinar con las herramientas a estudiar en este curso. Lasecuacionesdiscretasnosondominioexclusivodelossistemasfinancierosodepoblacin.Porel contrario, cualesquier realidad fsica abordada mediante un sistema digital queda mejor representada porecuacionesdiscretas;enparticularyeningeniera,lossistemaselctricosyelectrnicosqueson operados mediante computadoras (microprocesadores en general). v Pfs1 fe u h2 generadorestanquecanal h1 Fig. 1.5 Modelo de la mini-central de la Fig. 1.1. + - R e(t) i(t) L +-Le(t) i(t) C +-vc(t)R a) circuito RLb) circuito RLC Fig. 1.6 Clasificacin de modelos; a) lineales y no-lineales, b) dinmicos y estticos. Apuntes: 543 2147 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. C .Estticos y Dinmicos Esta clasificacin es consecuencia de los objetivos de anlisis que se hayan planteado. As por ejemplo, si el objetivo de anlisis es conocer los valores que toman las diferentes variables de un proceso cuando las entradas son fijas, el modelo deber ser esttico, por cuanto no interesa el comportamiento temporaldelasvariables.Sinembargo,sielobjetivodeanlisisesconocerloquesucedealasvariablesdel proceso luego de provocarse un cambio en las condiciones de operacin (entradas y/o perturbaciones), se deber considerar un modelo dinmico. Un proceso est normalmente en evolucin, por lo tanto, no puede hablarse de un proceso esttico, pero s puede decirse respecto de su modelo. El anlisis mediante modelos estticos es realmente til en la prctica, puesto que resulta conveniente para simplificar el anlisis y el empleo de tcnicas de solucin de modelos. Losmodelosestticosgeneralmenteserepresentanmedianteecuacionesalgebraicaslinealesy/ono lineales,yenderivadasparciales(respectoalaubicacinespacial).Porotrolado,losmodelos dinmicossonrepresentadosmatemticamentemedianteecuacionesdiferencialesordinarias(respecto del tiempo) o parciales (respecto del tiempo y ubicacin espacial). Ejemplo 1.9. En la Fig. 1.6(b) se muestra un circuito elctrico RLC. El modelo dinmico de este circuito esta dado por: cdie L vdt= + c cdv vi Cdt R= + , y el modelo esttico asociado ser tan slo ce v = cviR= . Es posible notar que la diferencia entre el modelo dinmico y el esttico es que en este ltimo no se consideran variaciones en las variables. Ntese que se obtiene haciendo las derivadas nulas o bien abriendo los capacitores y cortocircuitando los inductores del circuito. D .Causales y no-causales Unsistemacausalesaquelcuyasalidaesunaconsecuenciadelvaloractualypasadodelasealde entrada.Lossistemasnocausalesgeneralmentesurgendealgoritmosmatemticosyson representaciones abstractas, el ejemplo ms simple es el filtro promediador revisado a continuacin. Ejemplo1.10.ConsidereelconjuntodepuntosquesemuestranenlaFig.1.8(a).Sisequisierapromediartresdatos Fig. 1.7 Clasificacin de modelos. Sistema discreto: poblacin de pares de conejos, Ejemplo 1.8.Apuntes: 543 2148 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. adyacentes se tendra entre otras las siguientes opciones: 1( ) ( 1) ( 2)( )3medy k y k y ky k+ + = , 2( 1) ( ) ( 1)( )3medy k y k y ky k + + += . Laprimerarepresentaunsistemacausal,Fig.1.8(b),encambio,elsegundofiltro,Fig.1.8(c),esnocausalpuestoquela sealdesalidadependedelosvaloresfuturosdelasealdeentrada.Estoimpidesuimplementacinentiempo-real;sin embargo, no es difcil aceptar que el caso no-causal no introduce retardo entre la seal de salida y la seal de entrada. Esta es una caracterstica muy deseada en sistemas de filtrado. E .Tiempo invariantes y variantes Todoprocesoreal,conmayoromenorrapidez,sufremodificacionesensuscaractersticas,en particularensusparmetros.Sinembargo,siestoscambiossonsuficientementelentosrespectoalas caractersticasquesedeseaestudiarmedianteelanlisis,losparmetrospuedenserconsiderados constantesconelfindeobtenerunmodelodeesteproceso.Estosmodelos,cuyosparmetrosnoson dependientesdeltiemposonllamadosinvarianteseneltiempo.Siporelcontrario,elmodelo desarrolladoconsideraenformaexplcitaladependenciatemporaldelosparmetros,selesllama 0 24 68 10 12 14 16 18 202 0 2 k y(k) a) 0 24 68 10 12 14 16 18 202 0 2 k ymed1(k) b) 0 24 68 10 12 14 16 18 202 0 2 k ymed2(k) c) Fig. 1.8 Promediador; a) seal de entrada, y(k), b) salida del promediador causal, ymed1(k), c) salida del promediador no-causal, ymed2(k). Apuntes: 543 2149 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. variantes en el tiempo. Ejemplo 1.11. En un estudio del movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza, la masa de ste puede ser considerada un parmetro. Si el cuerpo es, por ejemplo, el trasbordador espacial, Fig. 1.9(a), su masa estar variando constantemente a causa del combustible consumido; por este hecho, es un sistema cuyo modelo deber considerar la variacin de la masa en forma explcita en funcin del tiempo. F .Parmetros concentrados y distribuidos Unmodelodeparmetrosconcentradosconsideraquelaspropiedadesenunprocesoasumenvalores quesonindependientesdesuubicacinespacial,yaseaporqueseconsiderahomogneaoporquese defineunacaractersticarepresentativadeella.Porelcontrario,unmodelodistribuidoponeen evidenciaexplcitaladependenciaespacialdeestaspropiedades.Losprimerosserigen,yaseapor ecuaciones algebraicas o diferenciales ordinarias; los segundos por ecuaciones diferenciales parciales.La solucin de modelos de parmetros concentrados es bastante ms simple que aquellas usadas en la solucin de modelos de parmetros distribuidos. En algunos casos, la solucin de stos se logra luego de resolver un conjunto de aproximaciones a modelos de parmetros concentrados. Ejemplo1.12.ConsidereunintercambiadordecalorcomosemuestraenlaFig.1.9(b).Enestecasolaecuacinque describeelcomportamientodelsistemaenfuncindelalongituddelintercambiadorestadadaporlasiguienteecuacin diferencial en derivadas parciales, ( )p p stT TcA cvA DUT Tt z + = , donde v es la velocidad media del fluido, U es el coeficiente de transferencia entre el vapor y el lquido en el tubo, Tst es la temperatura del vapor saturado, D dimetro interno del intercambiador, A es el rea transversal del intercambiador, cp calor especficodellquidoysudensidad.Enelcasodeparmetrosconcentradosestdescritaporlasiguienteecuacin diferencial: 21 2 1( ) ( )p st pdTcA DUT T cvA T Tdt = , donde se considera que la temperatura de salida T2 es la misma temperatura dentro del reactor. a) transbordador espacial z z Vapor Vapor Vapor Vapor Lquido Lquido T2T1 b) intercambiador de calor Fig. 1.9 Clasificacin de modelos; a) tiempo variante e invariante, b) parmetros concentrados y distribuidos. Apuntes: 543 21410 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. 1.4Principios Bsicos de Modelacin de Sistemas Laexperimentacineslaherramientaprincipalparaobtenermodelosdeprocesos,peroeste conocimientoobtenidodelosfenmenosquerigenelcomportamientodemuchosprocesoshasido formalizadomedianteexpresionesmatemticas.Lasexpresionesmatemticasobtenidaspuedenser usadas,asuvez,paraelpropsitodemodelacin.Esascomosedistinguenlosmodelos fenomenolgicos y los empricos. Modelosfenomenolgicos,seobtienenmediantelaaplicacindeleyesquerigenlosfenmenosde intersenelproceso.Esdecir,seaplicalaexperienciaacumuladarespectoadeterminadofenmeno, traducida a leyes que sintetizan un comportamiento en particular. Modelos empricos, son los que se determinan de la observacin directa de los resultados de excitar un proceso con entradas conocidas, y posterior correlacin de la informacin obtenida. En estos casos se hacetotalabstraccindelospatronesdecomportamientointernosalproceso.Lametodologausada para obtener modelos empricos se le denomina identificacin de sistemas. El uso de la modelacin fenomenolgica requiere del conocimiento de los fenmenos que ocurren en el proceso,ydelasleyesquerigensucomportamiento.Esporelloqueunmodelodeestetipo, desarrollado para un proceso en particular, puede ser representativo de otro proceso equivalente, luego de un ajuste apropiado de sus parmetros.Dadoqueestamodelacinpuederealizarseconociendolanaturalezadelosfenmenos,esposible desarrollarmodelosenausenciadelproceso.Laobtencindemodelosfenomenolgicossebasa principalmente,enlaaplicacindelasleyesdeconservacin(balance)ydelprincipiodemnima accin. A .Ecuaciones de balance En procesos industriales, los balances de materia y energa son de particular inters. La forma general que tienen los balances de una propiedad P(t) en el sistema en un intervalo de tiempo es: [ ]cantidad decantidad de flujo deflujo deacumulacin degenerada consumida=que entra que sale perodo de tiempo perodo de tiempo perodo de tiempoP PP P P + . Haciendoelperododetiempomuypequeo,t 0,bajolossupuestosdecontinuidaddelas funciones involucradas se obtiene: ( )( ) ( ) ( ) ( )e s g cdP tFt Ft C t C tdt= + . Existendosmanerasdeaplicarlasecuacionesdebalanceconelfindedeterminarlaestructuradel modelo: Balancemacroscpico.Elprocesoencuestinsecaracterizaporpropiedadesglobalesqueno representanvariacionesespaciales.AsFe(t),Fs(t),Cg(t)yCc(t)sonslofuncindeltiempoyla ecuacinanterioresslounaecuacindiferencialordinariadeprimerorden.Elmodeloobtenido corresponde a un sistema de parmetros concentrados. Balancemicroscpico.Enestecasoelbalancedescritoporlaecuacinanteriorserealizaenun Apuntes: 543 21411 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. elemento de volumen dV, resultando la dependencia espacial de F y C. Estos balances dan lugar a un conjuntodeecuacionesdiferencialesparcialestantocondependenciaespacialcomotemporal.Tales modelos corresponden a un sistema con parmetros distribuidos. B .Principio de Mnima Accin Segnesteprincipio,quenaciconlamecnicaclsica,todoprocesoestacaracterizadoporuna funcin de energa L{x(t)} cuya evolucin entre dos instantes de tiempo t1 y t2 es tal que su integral, 21{ ( )}ttJ L t dt =x , tiende el valor mnimo posible. El vector x(t) representa el vector de variables de estado del sistema. La funcin L en sistemas mecnicos se le llama Lagrangiano, el cual corresponde a la diferencia entre la energa cintica y potencial. La condicin necesaria de mnimo para la funcin J es, 1,...,ii id L LQ i ndt x x = = `, donde los Qi representan las seales externas (fuerzas o torques) asociadas a la variable de estado xi. C .Ecuacin Diferencial y Ecuaciones de Estado Laecuacindiferencialcorrespondealarepresentacindeunsistemaatravsdeunaecuacin diferencial de orden n y sobre una variable de estado, 1 1' ' ' ' ' ' '1 1 0 1 1 0 1 1n n m mn n m m n n m md y d y dy d u d u dua a a ay b b b b udt dt dt dt dt dt + + + + = + + + + , donde y es la variable de estado. Es normal considerar que se divide por 'na , lo que resulta en, 1 11 1 0 1 1 0 1 1n n m mn m m n n m md y d y dy d u d u dua a ay b b b b udt dt dt dt dt dt + + + + = + + + + , o en forma resumida como 0 0i i n mi i i ii idy d ua bdt dt= == , donde an = 1. Ejemplo1.13.EscribaunaecuacindiferencialquedescribaelcircuitodelaFig.1.10.R.:Enestecasosetieneque ( )( ) ( ) ( )cdi te t Ri t L v tdt= + + yademsque ( )( )cdv ti t Cdt= .Porlotanto, 22( ) ( )( ) ( )c ccdv t dv te t RC LC v tdt dt= + + ,loquese puede escribir ordenadamente como, 22( ) ( ) 1 1( ) ( )c ccdv t dv t Rv t e tL dt LC LC dt+ + = , por lo que n = 2, m = 0, a1 = R/L, a0 = 1/(LC) y b0 = 1/(LC). Enelcasodelasecuacionesdeestado,elsistemaserepresentaporunconjuntodenecuaciones diferencialesdeprimerorden.Parailustrarelconceptodeestadodeunsistemaconsideremosel circuito mostrado en la Fig. 1.10 y deniendo, -variables de estado: x1(t) = vc(t), x2(t) = i(t), -entrada: u(t) = e(t), -salida: y(t) = i(t), Apuntes: 543 21412 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. el modelo se puede escribir como, 1 1 12 2 2( ) ( ) ( ) 0 1/ 0( ), ( ) [0 1]( ) ( ) ( ) 1/ / 1/x t x t x t Cu t y tx t x t x t L R L L = + = ``. De esta forma se puede ver que cualquier variable de salida que se quiera denir estar determinada por estas variables de estado. El nmero de variables de estado es el orden del sistema y est ntimamente ligado con el nmero de acumuladores de energa que son l.i.. En forma general la ecuacin de estado de un sistema queda representada por, ) , , ( ), , , ( p u x h y p u x f x = = ` , o en sus componentes, 1 1 1 1( , , ) ( , , ),( , , ) ( , , )n n q qx f y hx f y h = = x u p x u px u p x u p`. . . .`. en donde, x = [x1 ... xn]T es el vector de variables de estado, u = [u1 ... up]T es el vector de entradas, y = [y1 ... yq]T es el vector de salidas, p = [p1 ... pm]T es el vector de perturbaciones. La segunda ecuacin siempre representa las medicionesque podemos realizar, ya sea ficticias o reales. En el caso lineal se puede escribir, x` = Ax + Bu + Ep, y = Cx + Du + Fp, donde A, B, C, D, E, y F son matrices de parmetros con dimensiones apropiadas. Si hay n variables Ci +-eR L+-vc Fig. 1.10 Circuito serie RLC. + C+ AB Dxx` yu E Fp Fig. 1.11 Diagrama en bloques de las ecuaciones lineales dinmicas generalizadas. Apuntes: 543 21413 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. de estados, entonces siempre se cumple que las dimensiones de cada componente son; x: n, u: p, p: m, y: q, A: nn, B: np, C: qn, D: qp, E: nm, y F: qm, respectivamente. Una representacin en diagrama de bloques se muestra en la Fig. 1.11. 1.5Transformaciones de Similitud en Ecuaciones de Estado Las transformaciones de similitud representan un cambio de coordenadas de las variables de estado, y estnexpresadasporunamatrizinvertibledemaneraquez=Tx,dondexeselvectordeestados original y z es el nuevo vector de estados, por lo tanto, x = T-1z y por ende dx/dt = T-1dz/dtcon lo que la representacin originalx` = Ax + Bu + Ep, y = Cx + Du + Fp, queda,T-1z` = AT-1z + Bu + Ep, y = CT-1z + Du + Fp, multiplicando la primera ecuacin - por la izquierda - por T, se obtiene finalmente,z` = TAT-1z + TBu + TEp, y = CT-1z + Du + Fp, Normalmenteseacostumbradefinirnuevasmatricesdeparmetros.Esdecir,AT=TAT-1,BT=TB, CT = CT-1, DT = D, ET = TE, FT = F. Por lo que la representacin alternativa quedara,z` = ATz + BTu + ETp, y = CTz + DTu + FTp, Es importante destacar que los vectores de entrada u, perturbaciones p y la saliday no son alterados, tan slo las matrices de parmetros y las variables de estado originales han sido modificadas. Un caso particular interesante y til es la transformacin de similitud que trasforma la matriz Aenunamatriz diagonal = diag{1, 2, , n}, as debemos encontrar T tal que, TAT-1 = o bien AT-1 = T-1. Sea, T-1 = [v1, v2, , vn], por lo tanto, A[v1, v2, , vn] = [v1, v2, , vn]diag{1, 2, , n}, lo que resulta en[Av1,Av2,,Avn]=[1v1,2v2,,nvn],porlotanto,losviquecomponenT-1sonlosque cumplen con, Avi = ivi,i = 1, 2,, n es decir, las columnas de T-1 son los vectores propios de A. Ejemplo 1.14. El sistema de la Fig. 1.12 tiene el modelo dado por, A = 0 0 1/ /0 / 1/ 00 0/ 0 0 /m m ml l lmJ k Jd J Jk kk L R L , 0001/ L = b , y 01/00lJ = e(ver anexo), considerando a x1 = m, x2 = l, x3 = tt, x4 = ia, u = va, p = tl. Si por el contrario, las variables de + va - ifia m, m Jm, te l, l Jl, tl 1/ k mquina cc carga - vf +dl Fig. 1.12 Accionamiento en c.c. con eje flexible. Apuntes: 543 21414 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. estado requeridas son z1 = l, z2 = m - l, z3 = tt, z4 = ia, entonces, T es, 0 1 0 01 1 0 00 0 1 00 0 0 1 = Ty por lo tanto las matrices de la nueva representacin son, / 0 1/ 0/ 0 1/ 1/ /0 0 0/ / 0 /l l ll l m l m mm md J Jd J J J k Jkk L k L R L = TA , 0001/ L = Tb , y 1/1/00llJJ = Te . 1.6Linealizacin Como se mencion en el captulo anterior la linealizacin es una tcnica para simplificar un modelo y tieneporobjetivoenparticularlaobtencindeunmodelolineal.Laventajadelosmodeloslineales reside en la abundante cantidad de herramientas para el anlisis de stos y la posibilidad de obtener una solucin en forma analtica de su comportamiento. Analicemos el caso de un sistema monovariable descrito por la siguiente ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, ( )dxx f xdt= = ` , yconsideremosunpuntocualquieraxoenlatrayectoriadex.AsdesarrollandoenseriedeTaylorla parte derecha de la ecuacin se obtiene: 2221 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )0! 1! 2!oooo ox xx xx xdf x d f xf x f x x x x xdx dx==== + + +, considerando tan slo el trmino de primer orden, tenemos, 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0! 1!oo oo o ox xx x x xdf x df xx f x f x x x f x x xdx dx== == = + = + ` . Si se define la variable desviacin x = x - xo como la diferencia entre la variable x y el punto donde se hizo la linealizacin xo. En particular, si se supone que el punto de linealizacin corresponde a un punto de equilibrio del sistema, es decir ( ) ( ) 0o ooox xxdxx f x f xdt= = = = ` , entonces, al derivar la expresin x = x - xo se tiene, ox x x = ` ` `( )of x =( )( )( )( )ooox xx xodf xx xdxdf xxdxax x==+ = = , Apuntes: 543 21415 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. el cual corresponde a un modelo lineal en x. En general, si consideramos un sistema no-lineal MIMO como, ) , , ( ), , , ( p u x h y p u x f x = = ` , o en sus componentes, ==) , , () , , ( ,) , , () , , ( 1 1 1 1p u xp u xp u xp u xq q n nhhyyffxx. . .`.`, una representacin lineal en torno a un punto de operacin dado por uo, xo, po, yo es, , = + + = + + x A x B u E p y C x D u F p ` , donde, ooop pu ux xxp u x fA====) , , (, ooop pu ux xup u x fB====) , , (, ( , , )====ooox xu up ph x u pCx, ooop pu ux xup u x hD====) , , (, ooop pu ux xpp u x fE====) , , (, ooop pu ux xpp u x hF====) , , (;yx,u,p,yy,sonvariacionesdex,u,pey, respectivamente, en torno al punto de operacin dado por uo, xo, po, yo. Ntese que en el caso no-lineal uo, xo, y po satisfacen, 0 = f(xo, uo, po). En general, al tener un valor para las entradas uo y po, se encuentran los valores de xo que satisfacen la expresin anterior, los valores de yo se determinan de, yo = h(xo, uo, po). Ejemplo1.15.ConsidereelestanquepiramidalinvertidodelaFig.1.13(a),cuyomodelodinmicoestadadopor, 12xx = x``` = 2 21 1 12 31 2 1 2 1( ) /3 ( ( ) ) /va p u k gx xa p p p ux x + + = 12( , , )( , , )ff x u px u p, donde x1 es la altura de la columna de agua en el estanque h, x2 es la concentracin de producto cs, u es el flujo de entrada del lquido sin producto fa, p1 es el flujo de entrada de lquido con producto fm y p2 es la concentracin del producto en este ltimo cm. Este modelo es claramente no lineal, para linealizarlo encontramos sus derivadas con respecto a las variables de estado, entrada y perturbaciones para obtener el modelo, 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 12 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2, , , , , ,/ / / / // / / / /x f x f x x f u f p f p pux f x f x x f u f p f p p = + + o o o o o o o o ou p x u p x u p x``, cuyo resultado es, 2 2 21 1 1 13 2 21 1 2 1 1 1 12 2 22 21 1 2 1 2 13 4 31 2, , 1 1 12 ( )0 02 23 ( ) 9 ( ( ) ) 3 ( )0v o o v o vo o o o oo o o o o o o o oo o oagk a p u k gx agk f fx x x x gx x gxf fa p u a p p p u x a p ux xx x x + = = = + + + o o ou p xA , Apuntes: 543 21416 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. 21212223, ,13oooafxufaxux = = o o ou p xb , 21 121 1 22 22 22 2 13 31 2, , 1 103 ( ) 3oo o oo of f ax p pf fa p x app px x = = o o ou p xE . Ntesequeelmodeloresultante,u = + + x A x b E p ` ,tienematricesA,byEdependientesdelpuntodeoperacin. Resultados de la simulacin del sistema semuestran en el Fig. 1.13(b). La linealizacin corresponde a una entrada uo = 1 lt/s. Claramente, el sistema lineal indica otro punto de operacin y otra dinmica al alterar la entrada del sistema. Esto era esperable dado que la linealizacin es un mtodo aproximado, que es ms exacto en la medida que se est cerca del punto de operacin. Ejemplo 1.16. Linealizar y simular el circuito elevador ilustrado en la Fig. 1.14(a). R.: El circuito de la Fig. 1.14(a) tiene por modelo promedio a(1 )die L v ddt= + e(1 )dv vi d Cdt R = +(parmetros en el anexo). Al linealizarlo se encuentra que, 1 110oodRC CdL = A , ooiCvL = b , 01L = e . Ntesequeelmodeloresultante,u = + + x A x b e p ` ,tienematricesAybdependientesdelpuntodeoperacin.Los cualesestndadospor(1 )o o oe v d = e(1 )oo ovi dR = ,porloquedadoseoydo(entradas)sepuedeencontrarvoeio. fs, cs fa fm, cm CT CT : sensor de concentracin h x y y = 2ax a) 05 10 15 200123flujo de agua [lt/s] vs tiempo [hrs]05 10 15 200510altura [m] vs tiempo [hrs]ho2ho305 10 15 2001020conc. de salida [pmil] vs tiempo [hrs]cso21000cso31000 b) Fig. 1.13Estanque piramidal invertido; a) estanque, b) simulacin del sistema original (lnea continua) y del sistema linealizado (lnea segmentada).Apuntes: 543 21417 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. Resultados de lasimulacin seencuentran tambinenla Fig. 1.14(b)y (c).Ntese quelalinealizacinentregaresultados equivocados tanto dinmica como estticamente; sin embargo, ante cambios de la perturbacin (seal e), es exacta, lo que se debe al efecto lineal que tiene la perturbacin sobre el sistema real. 1.7Alcances del Curso 543 214 En este curso se estudiarn sistemas lineales del tipo continuo y discreto. Ser de especial importancia la modelacin de stos mediante el anlisis fenomenolgico, para lo cual se revisarn las leyes fsicas bsicasdelaingeniera.Lossistemasmecnicos,hidrulicos,electromecnicosytrmicossern revisados acuciosamente. La modelacin de sistemas elctricos se asume conocida. Las seales sern analizadas formalmente en este curso para dar paso al estudio de las transformaciones destas,comenzandoporlaTransformadadeLaplaceparasealescontinuas.Lassealesdiscretas sern analizadas como el resultado de una transformacin de seales continuas. Para el estudio de stas seutilizarlaTransformadaZ.LaTransformadadeFourierdesealescontinuasydiscretasser introducida sobre la base de la necesidad de un operador de uso fcil para seales peridicas. Los modelos de sistemas estarn basados en ecuaciones diferenciales de orden n o en n ecuaciones de estado.Serevisarndistintosmtodosdesolucindeestasecuacionesconelnimodeintroducir algunosconceptosnuevoscomoloeslaMatrizdeTransicindesistemasysuspropiedades.Los resultados anteriores darn paso al concepto de Funcin de Transferencia uno de los ms importantes ensistemasyconellolosconceptosdepolosyceros,parafinalmentepresentarunaalternativade representacin grfica de la Funcin de Transferencia conocido como Diagrama de Bode. Finalmente, se revisarn los conceptos de estabilidad de acuerdo al tipo de representacin del sistema. Con esto nace el concepto de estabilidad de entrada/salida relacionado con los polos del sistema y eldeestabilidadinterna,esteltimorelacionadoconlosvalorespropiosdelarepresentacinen variables de estado. 1.8Ejercicios Propuestos. Resuelva los problemas siguientes. Anote todo su trabajo. +-Le(t) i(t) C+-v(t) RSw(t)a) v(t) realb) 00.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.1 5 10 15 20 promediolinealizado i(t) realc) promediolinealizado00.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.1 1 0 1 2 3 4 Fig. 1.14 Convertidor dc/dc elevador; a) circuito, b) comparacin de voltajes, c) comparacin de corrientes.Apuntes: 543 21418 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. A .Nivel bsico. 1.-Indique por lo menos tres objetivos de estudio en las realidades fsicas ilustradas en la Fig. 1.15. 2.-Identifiqueparalasrealidadesfsicasanteriorestodaslascantidadesposiblesasociadasacada uno de los objetivos de estudio propuestos. 3.-Clasificar las cantidades anteriores para cada objetivo en variables de estado x = [x1, x2, ...]T, salidas y = [y1, y2, ...]T, entradas u = [u1, u2, ...]T, perturbaciones p = [p1, p2, ...]T y parmetros. 4.-Clasifiquelossistemasanterioresenlineal/no-lineal,continuo/discreto,esttico/dinmico, causal/no-causal, variante/invariante, concentrado/distribuido. B .Nivel intermedio. 1.-Cmo se identifica matemticamente un sistema variante/invariante. 2.-Cmo se identifica matemticamente un sistema de parmetros concentrados/distribuidos. 3.-Cmo se identifica en trminos prcticos un sistema variante/invariante. 4.-Cmo se identifica en trminos prcticos un sistema de parmetros concentrados/distribuidos. C .Nivel avanzado. 1.-Detalle lo ms posible cinco sistemas de parmetros distribuidos que se pueden encontrar en las variadas disciplinas de la ingeniera. 2.-Detalle o ms posible cinco sistemas que sean intrnsecamente discretos o que contengan alguna componente discreta importante. 3.-Discuta si un computador personal es un sistema de parmetros concentrados o distribuidos. 4.-Discuta si una tarjeta de red es variante o invariante en el tiempo. Apuntes: 543 21419 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. a)

b) c) F3 F1 F2F4 F5LT1 LT2 A1 A2A3h3h2 h1 LT: sensor de nivel d)yr(t)M k1 dk2 u m x2(t)x1(t) e) sol 2 1 cel vc v1 v2 vout f) fas, casfc, cc faehyxy = 1 + 0.25x2 g)

+ - L e(t) i(t) C + - v(t) RSw(t) h)

+ va -ifiam, m, Jm, Tm 1, 1 2, 2, Jl, tl n : 1 k mquina cc carga - vf + Fig. 1.15 Sistemas para ejercitar; a) tren, b) pala elctrica, c) estanques, d) amortiguacin de un automvil, e) generacin solar, f) estanque diluidor, g) circuito reducidor de tensin, h) motor de cc con eje flexible. Apuntes: 543 21420 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. 2Seales en Sistemas Lasvariablesensistemassonsealesqueevolucionandeacuerdoalasdeentrada. Para caracterizar los sistemas se introducen seales estndar que son revisadas en este captulo. Se destaca las seales escaln, rampa y sinusoidal. Se introduce la seal delta tantocontinuacomodiscretacomounanecesidadmatemticaparaelanlisisde sistemas. Se revisa la transformacin ms recurrida en el anlisis de seales como son la Transformada de Laplace y se introduce y revisa en profundidad la Transformada Z para sistemas discretos. 2.1Introduccin En este captulo se introduce formalmente el concepto de seal y se definen las seales normalizadas. Apartirdeoperatoriassobresealescontinuasseintroducenlassealesdiscretasypordualidadse definen las seales discretas normalizadas. A .Conceptos Entre los conceptos ms importantes est el de seal y el de soporte de sta. Def.:Seal es una funcin matemticamente definida que representa la evolucin de una magnitud de un proceso, Fig. 2.1, Fig. 2.2. Def.:El soporte de una seal corresponde al rango de la variable independiente en el cual la seal no es idnticamente nula. As, D es el soporte de f(t) si: 0( )0t Df tt D= . Def.:Unasealsediceconsoportepositivosinoesequivalentementenulaparatodovalorreal positivo de la variable independiente. Proceso Objetivo 1 Objetivo 2 Objetivo n Sistema 1 Sistema 2 Sistema n Modelo 1Modelo 2 Modelo 3 : : Magnitudes altura voltaje flujo Fig. 2.1 Asociacin de magnitudes a un sistema.Apuntes: 543 21421 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. Def.:Unasealsediceconsoportenegativosinoesequivalentementenulaparatodovalorreal negativo de la variable independiente. Def.:Unasealsediceconsoportecompactosinoesequivalentementenulaenunrango determinado de valores de la variable independiente. Ejemplo 2.1. En la Fig. 2.3 se muestran las seales denidas por, 1sin(2 ) 0( )0 0A ft tf tt = = 1 2|| ( ) || || ( ) || cos( ) 0 x t x t = . C .ndices de Seales Sonvaloresnumricosquetratandedescribirunacaractersticadelaseal.Entrelosmsutilizados estn: EsperanzaMedia: 1( )bavgaf f t dtb a=Momento estadstico 1ero VarianzaMomento estadstico 2doEnerga PotenciaEntropaRMS: 21( )brmsaf f t dtb a= 2.2Seales de Prueba Las seales de prueba se utilizan para caracterizar los sistemas. La seal se aplica a la entrada de stos paraestudiarlarespuestaenelplanodeltiempocomoeneldelafrecuencia.Acontinuacinse introducirn las seales ms utilizadas en las distintas disciplinas de la ingeniera. A .Impulso Elimpulso(t)esunafuncincontinuainventadaparaapoyarelanlisisdesistemaslineales.Hay tres formas de definirla. Estas son, Def.:El impulso (t) es una funcin de valor no nulo en t = 0 y de rea unitaria; matemticamente, f1f2t t202 2 0 2100100 2 4 Fig. 2.4 Seal par x2 e impar x3.Apuntes: 543 21423 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. ( ) 0 0( ) 1t tt dt = =. Def.:El impulso (t) es una funcin definida en funcin de la funcin auxiliar T(t) - ver Fig. 2.5(b) - como, 0( ) lim ( )TTt t = . Def.:El impulso (t) es una funcin definida en funcin de sus valores instantneos como, 0 0( )0ttt = =. Notar que,( ) ( ) (0) (0) (0) (0) (0) t f t dt f dt f dt f = = = . B .Escaln El escaln u(t) es una funcin continua cuya definicin se ajusta a la percepcin intuitiva de sta. Hay tambin tres formas de definirla; stas son, Def.:El escaln u(t) se puede definir mediante una integral como( ) ( )tt d= u . t2020 2 (t)

Tt2 0 202 1/TT(t) a)b) Fig. 2.5 Seales de prueba; a) impulso, b) funcin auxiliar T(t). t202 0 1 u(t)

t2 0 201uT(t)T1/T t2 02 01r(t)1 2 a) b) c) Fig. 2.6 Seales de prueba; a) escaln, b) funcin auxiliar, c) rampa. Apuntes: 543 21424 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. Def.:El escaln u(t) se puede definir mediante una funcin auxiliar como 0( ) lim ( )TTt t= u u , Fig. 2.6(b). Def.:El escaln u(t) se puede definir por partes como 0 0( )1 0ttt< = u , Fig. 2.6(a). C .Rampa Larampar(t)esunafuncincontinuaqueseobtieneintegrandoelescaln.Sinembargo,otras definiciones tambin son vlidas. Estas son, Def.:La rampa r(t) se puede definir mediante una integral como,( ) ( )tt d= r u . Def.:La rampa r(t) se puede definir por partes como 0 0( )0ttt t< = r , Fig. 2.6(c). Def.:La rampa r(t) se puede definir alternativamente como( ) ( ) t t t = r u . Notar que, ( )( )d ttdtr= u , ( )( )d ttdtu= ,( ) ( )tt d r = u , y que( ) ( )tt d u = . D .Exponencial La funcin exponencial se expresa como, ( )( )a jbtf t e += , con j2 = -1. Dependiendo del valor que posea el parmetro b es posible tener, Con b = 0exponencial real,( )atf t e= , Fig. 2.7. a > 0 exponencial decreciente. a < 0 exponencial creciente. Con b 0exponencial compleja, ( )( ) (cos sin )a jbt at jbt atf t e e e e bt j bt + = = = + , Fig. 2.8, donde el mdulo es e-at y la fase es bt. E .Sinusoidal Lafuncinsinusoidalseexpresacomo( ) sin( ) sin(2 ) f t A t A ft = + = + yesmostradaenlaFig. 2.9; donde, A: amplitud, : frecuencia angular con = 2f = 2/T, : fase. F .Seales en sistemasEnestaseccinseanalizalarespuestaquepresentaunsistemaanteunaentradadeprueba.Enun primercasoanalizamoselsistemamecnicolinealmasa-resorte-amortiguador,alcualseleaplicaen formaconsecutivaaproximacionesdelafuncinimpulso.Estasaproximacionessonunpulsocuya Apuntes: 543 21425 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. duracin disminuye mientras su amplitud aumenta manteniendo siempre el rea unitaria. Los resultados sonmostradosenlaFig.2.10,dondeseapreciaquelarespuestadadaporelsistemaconvergeauna oscilacin de segundo orden.Ahoraseaplicaunaentradaqueesunafuncinsinusoidaldeamplitudconstanteperofrecuencia variable.EnlaFig.2.11puedeversequelarespuestadelsistemaestambinunasinusoidaldeigual frecuencia a la de entrada pero su amplitud depende de la frecuencia de entrada como se puede apreciar en la Fig. 2.11(b).Finalmente se analiza el estanque cncavo no lineal. A este sistema se le aplica una funcin de prueba sinusoidal de dos frecuencias distintas, y es posible apreciar que la respuesta del sistema ya no es una sinusoidalcomosemuestraenlaFig.2.12,estoimplicaqueenlasalidaexistenfrecuenciasqueno estn en la entrada. Adems es posible apreciar que al aplicar la misma funcin de entrada pero en dos puntos de operacin distintos la respuesta del sistema es diferente, lo que no ocurre en sistemas lineales. 2.3Transformaciones sobre Seales Lastransformacionesseaplicansobreunaomssealesparadarorigenaotraseal.Entrelasms conocidasestnlanormalizacin,discretizacinyconvolucin.Lastransformacionessedividenen simplescomolasaplicadassobreunasealylascomplejas(enelsentidodecomplicadas)comolas aplicadas sobre dos seales. t0 2 4 6 202 t02462 0 2 a)b) Fig. 2.7 Exponencial real, b = 0; a) decreciente (a > 0), b) creciente (a < 0). 101 0

1010 5 0 5505 50 55 0 5 a)b) c)d) Fig. 2.8 Exponencial compleja,; a) a = 0, b > 0), b) a = 0, b < 0; c) a < 0, b > 0), b) a < 0, b < 0. 00.5 1 1.5 22 0 2 t Fig. 2.9 Sinusoidal, A = 1.5, T = 0.5, = 90.Apuntes: 543 21426 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. A .Transformaciones SimplesUna funcin cualquiera puede ser modificada utilizando,( ) ( ) ( ) f t gt f at b = + +, con , , a, y b como parmetros de la transformacin. Transformacionessobrelavariabledependiente,Fig.2.13.Correspondenaa=1,b=0,porlo tanto, ( ) ( ) ( ) f t gt f t = + || > 1: Amplificacin. || < 1: Atenuacin. = 0 :Anulacin. < 0 :Inversin, reflexin c/r eje g(t) = . k d F(t) m x(t)

t05 10 15 20 25 3035 400 2 4 Posicin y fuerza normalizada Fig. 2.10 Respuesta aproximada a impulso en F(t); a) masa-resorte-amortiguador, b) respuesta. k d F(t) m x(t) t05 10 15 20 25 3035 402 0 2 4 Posicin y fuerza normalizada Fig. 2.11 Respuesta a entrada sinusoidal del sistema masa-resorte-amortiguador para varias frecuencias. fs fe h y x y = 1 + k(x - H/2)2 t02 4 6 8 10 12 14 16182022 245 10 15 20 25 flujo de ent. lt/s - altura m02 4 6 8 10 12 16 182022 240 5 10 15 20 flujo de ent. lt/s - altura mt14 Fig. 2.12 Respuesta a entrada sinusoidal del sistema no-lineal (estanque) para dos puntos de operacin.Apuntes: 543 21427 Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C. - Prof. Daniel G. Sbrbaro H. > 0 :Corrimiento hacia arriba. < 0 :Corrimiento hacia abajo. Ejemplo2.2.Normalizacin.Seaf0elmnimodef(t)yf1elmximodef(t),entonces,lasealg(t)=f(t)+es normalizada entre sus mximos si 01 0 1 01,ff f f f = = , quedando sus valores en el rango 0-1. Lo anterior es debido a que, 0 10 1 001 00 01 0 1 0 1 0( ) [ , ]( ) [0, ]( )[0,1]( ) 1( )f t f ff t f f ff t ff ff t f ff tf f f f f f = + . Lo anterior demuestra que la seal resultante es normalizada, pues su rango queda entre 0 y 1, Fig. 2.14. La normalizacin en muchos casos no se realiza entre el mnimo y el mximo, en cambio se realiza entre 0 y un valor nominal. Transformacionessobrelavariableindependiente,Fig.2.15.Correspondena=1,=0,porlo tanto, ( ) ( ) ( ) f t gt f at b = +|a| < 1:Dilatacin. |a| > 1:Compresin. a < 0 :Reflexin c/r eje t = b. b > 0 :Desplazamiento a la izquierda (derecha) con a > ( (