Apuntes de electrodinámica clásica

Mario Snchez Snchez, 4 de Fsicas, 201112

ELECTRODINMICA CLSICA

1

Tema 1 FUNDAMENTOS DE ELECTRODINMICA CLSICA

1. 1. Ecuaciones de Maxwell en el vaco

La forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell en el vaco (expresadas en el Sistema Internacional de unidades) es la siguiente:

0

E = [1]

(ley de Gauss);

t

BE

= [2]

(ley de FaradayLenz);

0 = B [3] (ley de inexistencia del monopolo magntico), y

t

EJB

+= 000 [4]

(ley de AmpreMaxwell), donde las constantes reales 0 y 0 son, respectivamente, la permitividad

(elctrica) y la permeabilidad (magntica) del vaco ( 1120 m F 108.85

= ; 270 A N 104

= pi ).

En estas ecuaciones, asumimos que las partculas portadoras de carga elctrica conforman un

continuo cuya densidad de carga volumtrica viene dada por la funcin escalar ( )tr , , de manera que, llamando Q a la carga neta encerrada en el volumen V, se satisfar

=

VrQ

3d . [5]

Definimos la densidad de corriente ( )trJ , como la magnitud vectorial cuya direccin y sentido son los del flujo de cargas y cuyo mdulo es la corriente por unidad de rea a travs de una superficie

perpendicular al flujo. Si consideramos un flujo de partculas cargadas con velocidad v , la densidad de

corriente y la densidad de carga se relacionan segn vJ = , de modo que obtendremos la razn total I a

la que fluye la carga sobre la superficie S que limita el volumen V segn

== SS anvaJI d d r

. [6]

Si imponemos la conservacin de la carga neta i. e., que el ritmo de cambio con el que la carga

fluye hacia fuera a travs de la superficie limitante sea igual a la razn temporal con la que disminuye la

carga encerrada en el volumen, tQI dd= , llegamos a la ecuacin de continuidad:



2

0 =+

Jt

. [7]

La ecuacin [7] no es independiente de las cuatro ecuaciones de Maxwell; de hecho, tomando

divergencias a ambos lados de [4] (usando que la divergencia de un rotacional es siempre cero y asumiendo que se dan condiciones de regularidad para poder permutar derivadas temporales y espaciales),

00 =

+ Et

J ; [8]

llevando [1] a esta ltima expresin, es directo llegar a [7].

A diferencia de ( )tr , y ( )trJ , , las funciones vectoriales campo elctrico y campo magntico, ( )trE , y ( )trB , respectivamente, carecen de realidad material: son ms bien abstracciones

matemticas cuyos efectos pueden, no obstante, medirse en el laboratorio. En particular, consideremos

una carga de prueba de valor q en el seno de sendos campos E y B ; la dinmica de la interaccin entre la carga y los campos est dada por la fuerza de Lorentz:

( )BvEqF += 1. [9]

Consideremos un sistema fsico con los dos ingredientes ya descritos: las partculas materiales que soportan la carga y cuyo movimiento propicia la aparicin de corrientes, y la interaccin entre

aqullas caracterizada por los campos elctrico y magntico. En el caso ms general, las funciones y J

no estarn dadas, sino que debern determinarse, junto con las funciones E y B , a partir de las ecuaciones [1], [2], [3] y [4]. Teniendo en cuenta que, de stas, dos de ellas son ecuaciones escalares (la primera y la tercera) y las otras dos son vectoriales, tenemos en total 1 + 3 + 1 + 3 = 8 ecuaciones para la determinacin de 1 + 3 + 3 + 3 = 10 incgnitas. Intuitivamente, deseamos emparejar el nmero de ecuaciones independientes y el nmero de incgnitas de nuestro problema, de modo que es un inconveniente tener dos incgnitas ms que ecuaciones. Por tanto, en adelante supondremos siempre, a no ser que se indique lo contrario, que las distribuciones de carga y su flujo son datos conocidos, i. e., y

J son funciones dadas por el problema 2.

1.Las cuatro ecuaciones de Maxwell [1], [2], [3] y [4] pueden adoptar un aspecto totalmente

simtrico si introducimos una densidad de carga magntica m (por supuesto, hipottica) definida

por la expresin mB = (anloga a la ley de Gauss); dicha magnitud llevara aparejada una

densidad de corriente magntica mJ que modificara la ley de FaradayLenz dejndola en la forma

mJtBE = (anloga a la de la ley de AmpreMaxwell). Asimismo, habra que ampliar la expresin de la fuerza de Lorentz para incluir la fuerza sobre cargas magnticas, quedando ( ) ( )EvBqBvEqF m ++= 00 . Obviamente, estas expresiones se reducen a las ya dadas en el caso particular 0=m .

2.Aunque an no estamos en condiciones de comprender los motivos, anticiparemos que los lmites de validez de la hiptesis anterior guardan relacin con los propios lmites de validez de la Electrodinmica clsica. Pensemos, por ejemplo, en una partcula cargada en el seno de un campo electromagntico que, por accin de la fuerza de Lorentz, describe un movimiento circular uniforme; la teora prev que, por causa de su aceleracin normal no nula, la partcula emitir radiacin. Vemos as que la partcula acta sobre su propia dinmica (i. e., sufre una autofuerza), lo que supone amortiguamiento en su rapidez de giro y decaimiento en su rbita, fenmenos vinculados al hecho de que la densidad de carga no puede ser un dato conocido de antemano.



3

Con la hiptesis anterior, hemos pasado a tener ocho ecuaciones para seis incgnitas, de manera que ahora conviene explorar la posibilidad de que dos de las ocho ecuaciones de que disponemos sean en realidad redundantes. Pensemos en el problema de valores iniciales: conocemos, en un instante t0 dado,

las funciones ( )0,trB y ( )0,trE . Si estas funciones tienen realidad fsica, en dicho instante deben cumplir, respectivamente,

( ) 0, 0 = trB [10] y

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, 0000

00 == trEtr

trtrE . [11]

Ahora consideremos que, tomando divergencias en [2],

( ) ( )0,,0 trBtrBBt == , [12] que, comparado con [10], garantiza que [3] se satisfar para cada t>t0, i. e., dicha expresin no aporta ninguna informacin nueva a la ecuacin [2] y a la condicin inicial dada [10].

Igualmente, tomando divergencias en [4] obtenemos [8], que comparada con [7] arroja

( ) 000 == EtEtt , [13] i. e.,

( ) ( ) ( ) ( )0000 ,,,, trEtrtrEtr = , [14] lo que, igualado con [11], garantiza que [1] se satisfar para cada t>t0, i. e., dicha expresin no aporta ninguna informacin nueva a la ecuacin [4] y a la condicin inicial dada [11].

As, hemos obtenido que para el problema de valores iniciales tenemos efectivamente seis ecuaciones independientes para seis incgnitas.

No obstante, surge un nuevo inconveniente: habitualmente ningn problema de Electrodinmica ser de valores iniciales. Es decir, en general no partiremos del conocimiento de las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en un instante dado, sino de los valores de los campos en algn conjunto de puntos del espacio, dados por las correspondientes condiciones de contorno. Para salir del atolladero, recurriremos a los denominados potenciales electromagnticos.

1. 2. Potenciales electromagnticos. Invarianza de gauge

Para la introduccin de los potenciales electromagnticos, empezaremos considerando los siguientes resultados generales del Anlisis Matemtico:

dado B con 3 0 R= rB ( ) ( ) ( )trAtrBtrA ,,, = | ; [15]

dado F con 3 0 R= rF ( ) ( ) ( )trtrFtr ,,, = | . [16]



4

As pues, de [3] y [15] vemos que es posible introducir un potencial vector magntico A definido por la condicin

AB = . [17] Llevando [17] a [2],

0=

+

=

=

t

AEF

t

AA

tE , [18]

de manera que, por [16], podremos poner

t

AE

t

AE

==

+ . [19]

Con lo cual, [2] y [3] nos han permitido reducir el nmero de incgnitas de seis a cuatro ( xA ,

yA , zA y ). Las ecuaciones que deben satisfacer dichas magnitudes las obtendremos a partir de [1] y

[4]; as, llevando [17] y [19] a la ley de AmpreMaxwell, y usando la identidad vectorial

( ) ( ) AAA 2 , [20] resulta

( )

+=

+=2

2

0000002

t

A

t

J

t

A

tJAA ; [21]

reorganizando, queda la ecuacin vectorial

++=

t

AJA

t 0002

2

002 . [22]

Por otro lado, llevando [19] a la ley de Gauss:

0

t

A =

, [23]

i. e., queda la ecuacin escalar

At

= 0

2 . [24]

Podemos encontrar un aspecto ms simtrico (con respecto a [22]) para [24] si restamos a

ambos lados de dicha expresin la funcin 2200 t :

+

=

t

A

t

t 00

02

2

002 . [25]

[22] y [25] constituyen un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas, cuya principal

dificultad reside en que las ecuaciones no estn desacopladas. Podemos buscar alguna forma de desacoplarlas, pero para ello primero debemos estudiar la cuestin de si, para una pareja dada de



5

funciones E y B , los potenciales A y , definidos por las condiciones AB = y tAE = , estn o no unvocamente determinados.

La respuesta es que no; tomando por caso el potencial vector, existen infinitas soluciones para A

dado B . Ello se justifica porque, una vez encontrado un cierto A tal que AB = , siempre podemos tomar una funcin escalar arbitraria (diferenciable), sea ( )t rf , , y definir

fAA +=

, [26]

de manera que, usando que el rotacional de un gradiente es siempre cero, ( ) 0= f , tambin el nuevo potencial vector satisfar

= AB .

Ahora, llevando [26] a la condicin tAE = ,

t

A

t

f

t

f

t

AfA

tE

=

+

=

=

, [27]

de modo que, definiendo

t

f

= , [28]

vemos que tambin el nuevo potencial escalar satisfar tAE =

.

Al verificarse simultneamente las relaciones tAtAE ==

y

== AAB , decimos de los campos E y B que satisfacen la condicin de invarianza de gauge;

llamamos libertad de gauge a la ambigedad o no unicidad de los potenciales electromagnticos dada por las ecuaciones [26] y [28]. Dicha no unicidad es, por s misma, argumento suficiente para negar cualquier realidad fsica a los potenciales electromagnticos y considerarlos como herramientas

puramente matemticas; recordemos adems que, a diferencia de E y B , ni A ni aparecen en la

expresin de la fuerza de Lorentz 3.

Veamos si podemos aprovechar la libertad de gauge para encontrar A y tales que el trmino

entre llaves en las ecuaciones [22] y [25] se anule. Supongamos que hemos obtenido los potenciales 0A

y 0 verificando tAE = 00 , y buscamos ( )t rf , tal que los potenciales alternativos fAA += o y tf = 0 satisfagan

3.No obstante, el efecto AharonovBohm a grandes rasgos, el fenmeno mecanocuntico por el cual una partcula cargada puede sufrir los efectos de un campo electromagntico pese a estar confinada en una regin donde los campos elctrico y magntico son ambos nulos ilustra que, de hecho, los potenciales electromagnticos s poseen realidad fsica. Pero, al ser este efecto un fenmeno puramente no clsico, la afirmacin de que toda la realidad fsica reside en los campos elctrico y magntico sigue siendo exacta en Electrodinmica clsica.



6

000 =

+t

A , [29]

i. e.,

02

2

000

002

o =

+

++

t

f

t

fA , [30]

que, reorganizando y designando la funcin escalar supuesta conocida tAH += 000oo , se reescribe como

( ) ( )t rHt rft

,, 02

2

002

=

: [31]

la ecuacin de ondas inhomognea con trmino independiente 0H . La teora de ecuaciones en

derivadas parciales garantiza la existencia de f, que de hecho no es nica: si a una solucin particular ( )t rf ,P de [31] le sumamos una solucin ( )t rf ,H de la correspondiente ecuacin homognea, entonces la funcin resultante seguir siendo apta para nuestros propsitos.

En conclusin, resulta que los potenciales electromagnticos pueden escogerse de modo que las ecuaciones [22] y [25] adopten el aspecto

JAt

02

2

002

=

[32]

y

0

2

2

002

t

=

, [33]

donde [32] y [33] constituyen un sistema desacoplado de cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas. La

eleccin para A y que nos ha permitido llegar a este resultado se conoce como gauge de Lorenz (que

no Lorentz) y no es la nica posibilidad que nos permite desacoplar las ecuaciones [22] y [25] 4.

No debemos perder de vista que buscamos una solucin de la que podamos garantizar su unicidad. Por ello, necesariamente debemos imponer ciertas condiciones de contorno a nuestro problema; ahora bien, ya que hemos introducido los potenciales electromagnticos como meras construcciones matemticas carentes de significado fsico real, tendremos problemas a la hora de determinar o interpretar qu condiciones deben imponerse a stos en cada caso. En consecuencia,

volveremos a la formulacin del problema original con E y B como incgnitas.

4.Otra opcin, conocida como gauge de Coulomb, pasa por escoger A de modo que su divergencia sea nula, lo cual, teniendo en cuenta [24], conduce a la ecuacin de Poisson para el

potencial escalar, 02 = . (Esta expresin es tpicamente la ecuacin para el potencial

electrosttico, pero ello no debe confundirnos: hemos de tener presente que, en una situacin de

campos variables, el potencial escalar se relaciona con el campo elctrico segn tAE = y

no segn E = .) De la ecuacin de Poisson despejamos la solucin para , insertamos el resultado en el anlogo de la expresin [22] en el gauge de Coulomb, i. e.,

( ) tJAt += 00022002 , y resolvemos finalmente para A .



7

1. 3. Ondas electromagnticas en el vaco. Ondas planas

La teora de ecuaciones en derivadas parciales la introduccin garantiza la existencia de E y B satisfaciendo el sistema de ecuaciones dado por [1], [2], [3] y [4]. De hecho, la solucin no es nica, ya que siempre podremos admitir como tal la suma de una solucin particular y una solucin al correspondiente problema homogneo, siendo esta ltima no trivial (i. e., no constante) en general. En

efecto, consideremos el problema homogneo ( 0= y 0=J ):

0 = E ; [34]

t

BE

= ; [35]

0 = B , [36] y

t

EB

= 00 . [37]

Tomando rotacionales a ambos lados de [35], aplicando la identidad vectorial [20] para E y usando [34],

( )Btt

BE

=

=

2 ; [38]

insertando [37] en [38],

02

2

002

002

=

=

E

t

t

E

tE . [39]

Ahora, tomando rotacionales a ambos lados de [37], aplicando la identidad vectorial [20] para

B y usando [36],

( )Et

t

EB

=

=

0000

2 ; [40]

insertando [35] en [40],

02

2

002

002

=

=

B

t

t

B

tB . [41]

Comparando [39] y [41] con la ecuacin general de una onda ( )t rf , que se propaga con velocidad v,

2

2

22 1

t

f

vf

= , [42]



8

vemos que las ecuaciones de Maxwell implican que el espacio vaco soporta la propagacin de ondas electromagnticas que viajan a la velocidad

c

v == 18

00

s m 1031

, [43]

donde la constante c es la velocidad de la luz en el vaco.

En notacin compleja, escribimos como soluciones de [39] y [41] la forma general de sendas

ondas planas ( )trE , y ( )trB , :

( )( ) ( )

=

trk

B

E

trB

trE i

0

0e Re

,

,

, [44]

donde el vector de propagacin k y la frecuencia angular de onda deben satisfacer la restriccin

c

k k == 200

2 , [45]

que es la relacin de dispersin del vaco, y los vectores constantes 0E y 0B son las amplitudes respectivas de los campos elctrico y magntico. Como consecuencia de la homogeneidad de las ecuaciones [39] y [41], dichos vectores son arbitrarios para satisfacer dichas condiciones; no obstante, no lo son para verificar el sistema de ecuaciones dado por [34], [35], [36] y [37]. En efecto, puede demostrarse que es necesario imponer la condicin

000000 EnBnBEBEn === , [46]

siendo kkn , 000 EEE y 000 BBB

. (Es tpico situar los ejes cartesianos de modo que

tengamos xE =0 , yB

=0 y zn = .) En particular, se satisfar

001

En c

B = . [47]

Esta condicin es la denominada transversalidad de las ondas electromagnticas en el vaco.

As que la solucin particular de [1], [2], [3] y [4] a la que aadamos una onda plana con las caractersticas que acabamos de describir, seguir siendo solucin de dicho sistema de ecuaciones, lo que ilustra la riqueza de este conjunto de soluciones.

A continuacin, supongamos, por ejemplo, que hemos obtenido una solucin particular { }PP ,BE y que tomamos dos campos vectoriales constantes arbitrarios 1C y 2C para obtener la solucin

alternativa { }2P1P , CBCE ++ , que obviamente tambin verifica [1], [2], [3] y [4]. No obstante, fsicamente esta opcin carece de sentido si 1C y 2C no son ambas nulas, ya que para un instante de tiempo t fijo pero arbitrario hemos de imponer la condicin



9

( )( ) 0,,

r

trB

trE 5. [48]

Pero existen muchas posibilidades para la dependencia funcional de E y B con r tales que

[48] se satisface: decaen los campos como re , como 21r , como 1r , como 2r ? La opcin escogida

por la naturaleza en problemas de electrosttica y magnetosttica es una decadencia del tipo 2r , pero, como justificaremos en el futuro, las soluciones a problemas dinmicos nunca podrn exhibir este comportamiento.

La solucin [44] al problema homogneo tiene periodicidad espacial, y por tanto nunca puede satisfacer la condicin [48]. Aun as, podemos, superponiendo para distintos valores de la frecuencia

infinitas ondas planas (plane waves) deslocalizadas del tipo ( ) ( )( )trk tr = i0 W.P. e, donde la dependencia ( )k viene dada en [45], obtener un paquete de ondas (wave packet) localizado ( )tr ,P. W. :

( ) ( ) ( )= Atr d , W.P.P. W. , [49]

donde ( )A es una cierta funcin de peso de la frecuencia. En la integral anterior, hemos tomado r y t como parmetros, identificando ( ) ( )tr , W.P. W.P. . La nueva funcin dada por [49] s que satisface la condicin [48] y, en virtud de la linealidad del sistema dado por [34], [35], [36] y [37], es adems solucin del mismo. En conclusin, dicha condicin no basta para garantizar la unicidad del sistema dado por [1], [2], [3] y [4] 6.

1. 4. Energa y momento del campo electromagntico

Las leyes de conservacin de la energa y del momento electromagnticos son resultados de gran importancia. Abordaremos primero la conservacin de la energa, el llamado teorema de Poynting. Para

una carga aislada q, el ritmo de trabajo (o potencia) que sobre ella realizan los campos externos E y B

es Evq , siendo v la velocidad de la carga (el campo magntico no realiza trabajo, dado que la fuerza magntica es perpendicular a la velocidad). Si existe una distribucin continua de carga y de corriente,

usando la relacin conocida vJ = vemos que la potencia de los campos en una regin finita 0D es

=

DDrEJrEJ

3

3 d d 0

, [50]

5.No sucede as, por ejemplo, en el problema del campo elctrico creado por un plano infinito uniformemente cargado, o en el del campo magntico creado por un hilo indefinido de corriente si nos alejamos del origen en la direccin paralela al hilo. No obstante, estos problemas son idealizaciones que carecen, obviamente, de realidad fsica; en cualquier caso, nosotros estamos preocupados nicamente por situaciones en las que las cargas y corrientes permanecen confinadas en una regin acotada. 6.No es ste el caso del problema electrosttico. En efecto, aunando las ecuaciones bsicas de la

electrosttica, 0 E = y 0= E , con [48], puede llegarse a la ley de Coulomb (i. e., una

dependencia del campo electrosttico con la distancia de tipo 2r ) como nica solucin admisible.



10

donde D es otra regin arbitraria (fija en el tiempo) tal que DD 0 , y hemos supuesto que ( ) 0, =tr para cada 0Dr .

Esta potencia se asocia con la conversin de energa electromagntica en energa mecnica y

trmica, a la que llamaremos por simplicidad mecE , y por tanto identificaremos aqulla con la tasa de

variacin tE dd mec .

Podemos eliminar J de [50] a travs de la ley de AmpreMaxwell [4]:

=

=

DDD

rE

tr

EBrE

t

E

B

t

E

32

0

3

0

30

0

mec

d 2d

dd

d

d

d , [51]

donde hemos usado que

=

DDrE

t

ErE

t 3

32

d 2d d

d. [52]

Si ahora aplicamos la identidad vectorial

( ) ( ) ( )EBBEEB , [53] tendremos, empleando la ley de FaradayLenz [2],

( ) ( ) = DDD tBBr EBrEB 3 3 d d , [54]

que, haciendo uso de la relacin anloga a [52] para E en lugar de B , da

( ) ( )

=

DDDr

B

tr BErEB

3

2

3

3 d 2d

dd d , [55]

lo cual, llevado a [51], resulta

=

DDDrE

tr

B

tr

BE

t

E

32

0

3

0

2

3

0

mec

d 2d

dd

2d

dd

d

d . [56]

Definiendo ad hoc la densidad de energa electromagntica en el vaco,

+=+

22

20

0

22

0

222BcE

BE

u , [57]

de modo que m. e.E es la energa neta residente en el campo electromagntico en la regin D,

DruE

3m. e. d , [58]

podemos reescribir [55] en la forma



11

( ) == + DD aSnrSEEt 3m. e.mec d d

d

d

, [59]

donde hemos aplicado el teorema de la divergencia. El vector S , que representa el flujo de energa, es el denominado vector de Poynting,

0

BES

. [60]

El significado fsico de [59] es que el ritmo de cambio de la energa electromagntica en un

volumen dado ms el trabajo total realizado por los campos sobre las fuentes de stos (cargas y corrientes) contenidas en dicho volumen, es igual y de signo opuesto a la energa por unidad de tiempo que fluye hacia fuera a travs de la superficie que limita el volumen, lo cual constituye efectivamente un principio de conservacin de la energa.

Por otro lado, notemos que, ya que la regin D es arbitraria, aunando [50], [58] y [59] es inmediato llegar a la expresin diferencial del teorema de Poynting:

EJSt

u =+

. [61]

Abordaremos ahora la conservacin del momento lineal para este mismo sistema. Teniendo en

cuenta la expresin de la fuerza de Lorentz [9], y llamando mec

P al momento neto de las partculas en

0D , la segunda ley de Newton nos permite escribir

( ) ( ) ++ == DD rBJErBJEtP 3 3mec

d d d

d

0

. [62]

Usando la ley de Gauss [1] y la ley de AmpreMaxwell [4] para eliminar y J

respectivamente, podemos reescribir el integrando de [62]:

( ) ( ) ( )

=

=

++ B

t

EBBcE EB

t

E

BE EBJE 200

00 , [63]

que, por la derivada del producto y la ley de FaradayLenz [2],

( ) ( ) ( )EEBEt

Bt

E

t

BEB

t

EBE

t+

=

+

=

, [64]

da

( ) ( ) ( ) ( ) =+ BEtBBcEEE EBJE 20 . [65]

Si aadimos al miembro derecho de [65] el trmino ( )B Bc 2 , que es cero segn [3], entonces podemos escribir

( ) ( ) ( ) +=+ BEt BfcEfBJE 20 , [66]



12

donde hemos definido la funcin

( )AfAf

a

33: RR con ( ) ( ) ( )AAA AAf = . [67]

As, llevando [66] a [62],

( ) ( )[ ] ( ) += DD rBEtrBfcEftP 30 320mec

d d d

d, [68]

donde la ltima integral puede identificarse con la tasa de decrecimiento del momento electromagntico

neto correspondiente a la regin D, sea tP ddm. e.

, habiendo definido la densidad de momento

electromagntico g tal que

=

DrgP

3m. e.

d , [69]

i. e. usando que, por [60], es SBE 0= ,

20 c

SBEg == . [70]

Con ello, de [68] nos ha quedado:

( ) ( ) ( )[ ] ++ = D iiii rBfcEfPPt 320m. e.mec d dd , [71] donde el subndice i indica la componente isima del campo vectorial que corresponda.

Para que [71] alcance la categora de ley de conservacin del momento, debemos transformar el miembro derecho de esta expresin en una integral de superficie de algo que podamos interpretar como un flujo de momento. A tal efecto, consideremos que en virtud de [67] podemos escribir

( ) ( )l

mklmjijki

j

jkjijki

j

ji

x

AAA

x

AAAA

x

AAf

=

= 7, [72]

que, empleando las propiedades conocidas del smbolo de LeviCivita

jlimjmilklmkijklmijk == , [73]

puede ponerse como

( )l

mjjlim

l

mjjmili

j

ji

x

AA

x

AAA

x

AAf

+

= , [74]

siendo

7.Aunque en el futuro no lo haremos a no ser que explicitemos lo contrario, en la demostracin que sigue usaremos el convenio de Einstein de sumas sobre ndices repetidos.



13

i

jj

l

jjil

l

mjjmil

x

AA

x

AA

x

AA

=

=

y j

ij

j

mjim

l

mjjlim

x

AA

x

AA

x

AA

=

=

. [75]

En definitiva,

( ) ( ) ( )jji

jiji

jj

j

iji

j

ji AA

x AA

xx

AA

x

AAA

x

AAf

=

+

=

2

1, [76]

o bien, usando que ( ) ( ) jjjijijj xAAxAA = y que 232221 AAAAA jj ++= es por definicin el cuadrado de la norma del vector A ,

( )

=

2

2

1A AA

xAf ijji

ji . [77]

Entonces, por el teorema de la divergencia,

( ) == D jijjiD ijjijD i an A AArA AAxrAf 2

32

3 d 2

1d

2

1d

. [78]

Llevando este resultado a [71],

( ) an B BBcE EEPPt D

jijjiijjiii d 2

1

2

1

d

d

22

2

0m. e.mec

= ++ . [79]

Definiendo el tensor de Maxwell ijT segn

++ ijjijiij BcEBBc EET2

22

20 2

1, [80]

podemos poner en forma compacta

( ) anTPPt D

jijii d d

d

m. e.mec =+ . [81]

Si [81] es una formulacin de la conservacin del momento, 332211 nTnTnTnT iiijij ++= ha de

interpretarse evidentemente como la componente isima del flujo de momento por unidad de rea a travs de la superficie limitante del volumen D. En otras palabras, es la fuerza por unidad de rea que se transmite a travs de la superficie D y acta sobre el sistema compuesto de partculas y campos contenido en D.

* * *

Como ejercicio de aplicacin prctica de lo expuesto arriba, abordamos a continuacin el estudio de algunas propiedades de un caso particular muy especial de ondas electromagnticas, las ondas planas en el vaco.

Al igual que otras veces, denotamos por ( )tr , el vector de seis dimensiones que engloba la solucin para ( )trE , y ( )trB , , e imponemos en primer lugar una dependencia temporal armnica:



14

( ) [ ]trtr ie Re,

= , [82]

donde la nueva funcin

r dependiente de la posicin tomar en general valores complejos. De

acuerdo con [82], tendremos

( ) ( )

=

t

iix

r

x

tr ie Re,

y ( ) ( )[ ]trt

tr ie iRe,

= . [83]

Se obtiene que, en estas condiciones, el sistema de ecuaciones [1][4] es estrictamente

equivalente al dado por las ecuaciones de Maxwell armnicas independientes del tiempo:

( ) ( ) 0 rrE = ; [84]

( ) ( )rBrE i= ; [85]

( ) 0 = rB , [86] y

( ) ( ) ( )rErJrB 000 i= , [87]

donde las nuevas funciones ( )r y ( )rJ dependientes de la posicin, que toman valores complejos, son tales que ( ) ( )[ ]trtr ie Re, = y ( ) ( )[ ]trJtrJ ie Re, = . La solucin para ( )rE y ( )rB del problema homogneo ( ) 0=r y ( ) 0=rJ correspondiente a las ecuaciones [84][87] es

( )( ) rkB

E

rB

rE i

0

0e

=

, [88]

donde 0E y 0B son vectores constantes de componentes complejas. Llevando [88] a [82], recuperamos

[44] para la dependencia funcional de los campos (reales) ( )trE , y

trB , correspondientes a una onda

plana. Insistimos en que es necesario imponer las restricciones dadas por [45], [46] y [47].

Calculemos la densidad de energa electromagntica correspondiente a una onda armnica arbitraria haciendo uso de [57]:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

=

+

+

2ii

2

2ii

0

2

e e

2

e e

2,

tttt rBrBc

rErEtru , [89]

i. e.,

= ++

+

++

22

22i

2

2

22i

22

20 2e e 8

BcEBcEBcE

u tt . [90]



15

Si calculamos el promedio temporal en un ciclo ( [ ]Tt 0, con piT 2= ) del ritmo de cambio de la densidad de energa electromagntica, i. e.,

( ) ( )

T

uTut

t

u

Tt

u T 0d

1

0

= , [91]

vemos que en este caso concreto se anula por la periodicidad de las exponenciales imaginarias que aparecen en [90]:

0=t

u. [92]

Si [92] es vlida para cualquier onda electromagntica con dependencia temporal armnica,

tambin lo ser, en particular, para una onda plana.

Calculemos ahora el vector de Poynting asociado a una onda armnica arbitraria a travs de [60]:

( ) ( ) ( ) ( )

+

+

=

2

e e

2

e e 1

iiii

0

tttt rBrBrErE

S , [93]

i. e.,

+

+

+=

e e 4

1 2i2i

0

BEBEBEBE

S tt . [94]

Si calculamos el promedio temporal en un ciclo del vector de Poynting,

( ) ( ) T tt,rSTrS 0 d 1 , [95]

vemos que en este caso resulta

=

=

+

Re

2

1

4

1

00

BE

BEBE

S . [96]

El ltimo resultado es vlido para cualquier onda electromagntica con dependencia temporal

armnica. Si particularizamos para el caso de una onda plana hacendo uso de [88] y [47], entonces [96] se escribe

( )[ ] =

=

=

000

i0

i0

00

Re2

1ee Re

2

1 Re

2

1En E

cBE

BE

S rkrk . [97]

Empleando ahora la identidad de expulsin vlida para tres vectores cualesquiera 3 , , Rcba ,

( ) ( ) ( )cb abc acb a , [98]

y teniendo en cuenta que, por [46], los vectores 0E y n son ortogonales, podemos reexpresar [97] en la forma



16

( ) nEc

E n EnE Ec

S 2

00

00000 2

1 Re

2

1=

=

, [99]

de modo que hemos obtenido que, para una onda plana, el promedio temporal del vector de Poynting es

uniforme en el espacio, ( )rSS , y por tanto tomando divergencias en [99] resultar

0= S . [100]

Aunando [92] y [100], se satisfar evidentemente

0 =+

St

u , [101]

que es justamente la expresin que obtenemos tomando promedios temporales e imponiendo 0=J (como corresponde a una onda plana) en el teorema de Poynting [61].

1. 5. Ecuaciones de Maxwell macroscpicas

Las ecuaciones de Maxwell macroscpicas o para medios materiales son

D = ; [102]

0=

+t

BE ; [103]

0 = B , [104] y

Jt

DH =

, [105]

donde E y B son los campos elctrico y magntico macroscpicos, D y H son los correspondientes

campos derivados de E y B cuya expresin explcita daremos ms adelante, y y J son las densidades macroscpicas de carga y de corriente, respectivamente. Aunque estas ecuaciones nos son muy familiares, tenemos que presentar una derivacin rigurosa de las mismas desde un punto de partida microscpico, aspecto que a continuacin abordaremos. Esta derivacin se limitar a un marco de trabajo clsico pese a que los tomos deben ser descritos con un tratamiento mecanocuntico. Para justificar esta aparente incongruencia, diremos (aunque ello no sea riguroso) que la discusin mecanocuntica puede considerarse anloga a la discusin clsica, si sustituimos las magnitudes clsicas por los valores esperados mecanocunticos correspondientes.

Consideramos un mundo microscpico hecho de electrones y ncleos. Para tamaos grandes

frente a 1014 m, los ncleos y los electrones pueden tomarse, en muy buena aproximacin, como sistemas puntuales. Asumimos que las ecuaciones que gobiernan los fenmenos electromagnticos para estas cargas puntuales son las ecuaciones de Maxwell microscpicas (i. e., las ecuaciones de Maxwell en el vaco):



17

0

mic

e = ; [106]

0=

+t

be ; [107]

0 = b , [108] y

jt

E

cb 02

1=

, [109]

donde e y b son los campos elctrico y magntico microscpicos y mic y j son las densidades

microscpicas de carga y de corriente. Una cantidad macroscpica de materia en reposo contiene del orden de 10235 electrones y ncleos, todos en movimiento incesante debido a la agitacin trmica, la vibracin alrededor del punto de equilibrio o el movimiento orbital. Los campos electromagnticos microscpicos producidos por estas cargas varan de manera enormemente abrupta e imprevisible en el espacio y en el tiempo. Las variaciones espaciales ocurren para distancias del orden de 1010 m o menores; en cuanto a las fluctuaciones temporales, tienen perodos que van desde los 1013 s de las vibraciones nucleares hasta los 1017 s del movimiento orbital de los electrones. Pero las mediciones macroscpicas proporcionan en general promedios sobre intervalos espaciales y temporales mucho mayores que aqullos; por tanto, todas las fluctuaciones microscpicas son necesariamente promediadas, dando cantidades macroscpicas cuya variacin en el espacio y en el tiempo es relativamente suave y lenta, como las que aparecen en las ecuaciones macroscpicas de Maxwell.

Debemos tener alguna precaucin a la hora de responder a la cuestin de qu tipo de promedio es el ms apropiado. A primera vista uno podra creer que son necesarios tanto un promedio espacial como un promedio temporal, pero esto no es cierto: slo es necesario promediar en el espacio. (Incidentalmente, diremos que calcular nicamente el promedio temporal sera con certeza insuficiente, como puede verse considerando un cristal inico cuyos iones vibran ligeramente respecto del equilibrio en las celdas bien definidas y suficientemente separadas de una red.) A fin de acotar el rango en el que esperamos que funcione una descripcin macroscpica de los fenmenos electromagnticos, observemos que la reflexin y la refraccin de la luz visible vienen apropiadamente descritas por las ecuaciones de Maxwell con constante dielctrica continua, mientras que la difraccin de rayos X ilustra claramente la naturaleza discontinua de la materia (i. e., la existencia de los tomos): es razonable por tanto tomar la longitud L0 = 108 m = 102 como lmite inferior de longitudes macroscpicas; el perodo de oscilacin

de una luz con esta longitud de onda es L0/c = 3 1017 s. En un volumen de 3243

0 m 10

=L de materia

ordinaria hay todava del orden de 106 ncleos y electrones; en consecuencia, en cualquier regin de inters macroscpico (L >> L0) hay tantos ncleos y electrones que las fluctuaciones microscpicas sern completamente absorbidas por un promedio espacial. Pero, por otro lado, ya que la escala de tiempos asociada a L est de hecho en el rango de los movimientos moleculares, un promedio temporal no resultara apropiado. Una vez realizado el promedio espacial, no hay, sin embargo, evidencia de las fluctuaciones temporales microscpicas del medio; ello se explica porque en ausencia intervencin externa sobre el sistema las variaciones temporales de los campos microscpicos no estn correlacionadas para distancias del orden de L.

El promedio espacial de una funcin dada ( )trF , se define

( ) ( ) ( ) tsrF sf strF ,d, 3 , [110]



18

donde la integral anterior se extiende a todo el espacio, y ( )sf es una funcin test real, idnticamente nula salvo en un cierto entorno del origen de coordenadas denominado regin de promediado P 8, normalizada a la unidad en todo el espacio y a la que imponemos la condicin de isotropa (i. e., su valor

en un punto s slo puede depender de la distancia s al origen de coordenadas).

La posibilidad ms simple para ( )sf dentro de la regin de promediado es que sea constante (por normalizacin, igual a la inversa del volumen de promediado, 1P

V ), en cuyo caso [110] se escribir

sencillamente

( ) ( ) = P

3

P

,d1

, tsrFsV

trF . [111]

No obstante, este caso presenta el inconveniente de que en los puntos de la frontera de la regin

de promediado, P , existe una discontinuidad de salto para ( )sf , que pasa abruptamente de valer 1PV a anularse. Una posibilidad ms realista y ms conveniente es que la funcin test se mantenga en buena aproximacin constante para valores de s lo bastante cercanos a cero y decaiga suavemente hasta anularse a medida que el punto considerado se aleje del origen. Afortunadamente, no es necesario

conocer la forma exacta de ( )sf : basta con asumir que satisface las propiedades generales de regularidad que permitan que su expansin en serie de Taylor converja rpidamente en el rango de distancias moleculares.

FIG. 1. Grfica esquemtica de la funcin test f(s) empleada en el clculo del promedio espacial. Los tamaos respectivos de las regiones en que la funcin puede asumirse constante y en que decae hasta anularse son ambos mucho mayores que las dimensiones moleculares. Evidentemente, tenemos

( ) ( ) ( )iii x

tsrx

F sf strF

x

=

=F

,d, 3 [112]

y

( ) ( ) ( )t

tsrt

F sf strF

t

=

=F

,d, 3 . [113]

Entonces, usando que por definicin los campos electromagnticos macro y microscpicos se

relacionan segn

( ) ( ) tretrE ,, = y ( ) ( ) trbtrB ,, = , [114]

8.Desde un punto de vista prctico, el tamao de esta regin depender de las propiedades del instrumento de medida empleado por el experimentador, pero en cualquier caso ser mucho mayor que las dimensiones moleculares y mucho menor que el tamao total del sistema.



19

podemos obtener directamente las ecuaciones para medios materiales [103] y [104] a partir de sus expresiones anlogas en el vaco, a saber, las ecuaciones de Maxwell homogneas (las no dependientes explcitamente de las propiedades materiales del sistema) [107] y [108]:

0 0 == Bb ; [115]

0 0 =

+=

+t

BE

t

be . [116]

Por su parte, al promediar las ecuaciones de Maxwell inhomogneas [106] y [109], resulta

( ) 0mic , trE = ; [117]

( )trjt

E

cB ,

102

=

. [118]

Comparando [117] con [102] y [118] con [105], comprobamos el hecho conocido de que los

nuevos campos D y H se introducen debido a la aportacin de ciertas contribuciones, que pueden

identificarse con las propiedades materiales del medio, al cmputo neto de mic (distinta de la

densidad de carga macroscpica ) y de j (distinta de la densidad de corriente macroscpica J ).

Por definicin, el promedio espacial de la densidad de carga microscpica es

( ) ( ) = tsr sf s ,d mic3mic . [119]

Ahora, si consideramos que el sistema est formado por un conjunto discreto de cargas { }iq , cada una con densidad de carga

iqi y posicin ( ) ( )trtr iqi , podremos poner

( ) ( )=(cargas)

mic ,,i

i trtr . [120]

Llevando [120] a [119] y permutando integral y sumatorio,

( ) ( ) =(cargas)

3mic ,d

ii tsr sf s . [121]

Para evaluar esta ltima integral, consideremos que la funcin ( )tri , es por definicin idnticamente nula en casi todo el espacio salvo en un entorno minsculo de ( )tr

i, en el que la funcin

test, dada su regularidad, puede asumirse constante y por tanto sacarse de la integral. As pues,

( ) ( )( ) ( ) (cargas)

3mic ,d,

iii

tsr s trrftr , [122]

ya que ( ) 0, tsri slo para 0 irsr , i. e., para irrs . Por otro lado, usando que por definicin es



20

( ) = tsr sq ii ,d 3 , [123] ponemos finalmente

( ) ( )( ) =(cargas)

mic ,i

iitrrfq tr . [124]

Consideramos un medio cuyos ingredientes materiales son, por un lado, las molculas ligadas,

compuestas a su vez de electrones y ncleos, y por otro, las cargas libres no localizadas en los alrededores de ninguna molcula en concreto. As (obviando ya la dependencia temporal):

( ) ( ) =

+=+=

(mol.) 1

(libres)

mol.mic

libresmicmic

n

M

knn

j jj

n

kkrrfqrrfq , [125]

donde Mn es el nmero de cargas consideradas indivisibles de la molcula nsima; a la carga ksima de

esta molcula se la denota por kn

q y su vector de posicin es kn

r .

Podemos tomar el centro de masas de la molcula nsima, con vector de posicin n

r , y definir

la posicin relativa de kn

q con respecto a dicho punto, nnn

rrrkk

. As,

( )

=

kk nnnrrrfrrf . [126]

Ya que el mdulo del vector kn

r nunca exceder las dimensiones moleculares tpicas, podemos

hacer un desarrollo en serie de Taylor para [126] alrededor del punto n

rr :

( ) ( ) ( ) ( ) L +

+

=n

n

nnnnnrr

ss

frrrrfrrrf rrf

kkkk ,

2

2

1, [127]

donde, en este caso, la componente del vector que corresponda viene indicada por un subndice griego.

Con lo cual,

( ) ( )+= ==

(mol.)

1 (mol.)

1

mol.mic

n

M

knnn

n

M

knn

nn

rrfrqrrfqkkk

( ) L +

+ =

(mol.) 1 ,

2

2

1

n

M

k n

n

nn

n

rrss

frrq

kkk. [128]

As, si definimos los tres primeros momentos multipolares de la molcula nsima a saber,

=

=

nM

knn k

qq1

[129]

(carga molecular neta);



21

=

=

nM

knnn kk

rqp1

[130]

(momento dipolar molecular), y

=

=

nM

k

n

nnn

kkkrrqQ

1

3 [131]

(momento cuadrupolar molecular 9), podemos reescribir [128]:

( ) ( ) ( ) L +

+

=

(mol.) ,

2

(mol.)

(mol.)

mol.mic 6

1

n n

n

n nn

n nn

rrss

fQrrfprrfq . [132]

Llevando [132] a [125],

( ) ( ) L ++ =(mol.)

,

2

(mol.)

mic 6

1

n n

n

n nn

rrss

fQrrfp , [133]

donde hemos tomado la densidad de carga macroscpica,

( ) ( ) +(mol.)

(libres)

n nn

j jj rrfqrrfq , [134]

y vemos explcitamente dnde radica la diferencia entre mic y : en los momentos multipolares

segundo, tercero, etc., que existen por la propia estructura interna de las molculas.

Notemos que podemos escribir

( ) ( ) ( ) ( )

=

=

n n

n

n n

nn nn

rrs

fprr

s

fprrfp

(mol.)

(mol.)

(mol.)

, [135]

de donde, si definimos la polarizacin macroscpica P ,

( ) (mol.)

n nn

rrfpP , [136]

vemos que

9.De hecho, el momento cuadrupolar que se obtiene como tercer trmino del desarrollo multipolar

del potencial electrosttico tiene la forma ( ) ( ) ( ) = j jjjjn rrrqQ2

3 (de manera que

resulta un tensor de rango 2 con traza nula), pero este detalle no es relevante para el aspecto que ahora nos ocupa.



22

( ) Prrfpn

nn =

(mol.)

. [137]

Por otro lado,

( ) ( )

=

n n

n

n n

n rrss

fQ

rrss

fQ

,(mol.)

2

(mol.) ,

2

6

1

6

1, [138]

que, definiendo la densidad cuadrupolar macroscpica,

( ) ( ) (mol.)

6

1

n n n

rrfQQ , [139]

queda

( )

=

n n

n ss

Qrr

ss

fQ

,

2

(mol.) ,

2

6

1. [140]

Llevando [137] y [140] a [133],

L +

+ =

ss

QP

,

2

mic . [141]

Usando que, por [117], es E 0mic = , [141] se reexpresa:

s

QPE

sss

Q

s

P

s

E

=+

+

+

+

= LL 0

,

2

0 , [142]

de tal suerte que, definiendo la componente sima del vector desplazamiento elctrico macroscpico,

+

+

s

QPED L0 , [143]

nos ha quedado finalmente la ley de Gauss para medios materiales [102].

Los dos primeros sumandos del miembro derecho de [143] arrojan la expresin familiar

PED += 0 , [144]

mientras que los sumandos tercero y siguientes son, en la prctica y salvo casos excepcionales, despreciables.



23

Debemos abordar ahora el clculo de j . Por el propio carcter vectorial de esta variable y el

papel que juegan las velocidades, este cmputo es notablemente ms complicado que el de mic , si

bien la idea conceptual bsica no difiere. Por definicin, el promedio espacial de la densidad de corriente microscpica es

( ) ( ) = tsr j sf sj ,d 3 . [145]

Ahora, si consideramos que el sistema est formado por un conjunto discreto de cargas { }iq , cada una con densidad de carga

iqi , posicin iqi rr y velocidad iqi vv (con trv ii dd= ):

( ) ( ) ( )=(cargas)

, , ,i

iitrvtrtrj . [146]

Llevando [147] a [146] y permutando integral y sumatorio,

( ) ( ) ( ) =(cargas)

3 , ,di

ii tsrvtsr sf sj . [147]

Pero, al ser la funcin ( )tri , idnticamente nula en casi todo el espacio salvo en un entorno minsculo de ( )tr

i, en el que la funcin test y la velocidad pueden asumirse constantes y por tanto

sacarse de la integral, resulta

( ) ( ) ( )( ) (cargas)

,,i

iiiitrrftrvqtrj , [148]

ya que ( ) 0, tsri slo para irsr , i. e., para irrs , y hemos usado nuevamente [123].

Hacemos ahora la distincin entre corrientes libres y ligadas (originadas por el movimiento de las cargas deslocalizadas y de las cargas moleculares, respectivamente):

( ) ( ) =

+=+=

(mol.) 1

(libres)

mol.libres

n

M

knnn

j jjj

n

kkkrrfvqrrfvqjjj , [149]

donde la interpretacin de los sumatorios es anloga a la de la ecuacin [125].

Podemos considerar nuevamente el centro de masas de la molcula nsima, con vector de

posicin n

r , y la posicin relativa de kn

q con respecto a dicho punto, nnn

rrrkk

= . As, recuperamos

la aproximacin para ( )kn

rrf dada en [127]. Si asumimos adems la validez de la composicin de

velocidades no relativista (i. e., tomamos nnn

vvvkk

+= ) y expandimos, podemos reexpresar [150]

como la suma de seis sumatorios vectoriales:

VIVIVIIIIII SSSSSSj +++++= , [150]

siendo



24

( ) (libres)

j jjjI

rrfvqS ; [151]

( ) =

(mol.) 1 n

M

knnn

II

n

rrfvqSk

; [152]

( ) =

(mol.) 1 n

M

knnn

III

n

rrfvqSkk

; [153]

( ) =

(mol.) 1 n

M

knnnn

IV

n

rrfrvqSkk ; [154]

( ) =

(mol.) 1 n

M

knnnn

V

n

rrfrvqSkkk , [155]

y

( ) =

(mol.) 1 ,

2

2

1

n

M

k n

n

nnn

VI

n

rrss

frrvqS

kkk , [156]

donde hemos despreciado la contribucin del sumatorio

( ) =

(mol.) 1 ,

2

2

1

n

M

k n

n

nnn

n

rrss

frrvq

kkkk, [157]

por ser de orden superior al segundo en el desarrollo.

Teniendo en cuenta la definicin de la densidad de corriente macroscpica,

( ) ( ) +(mol.)

(libres)

n nnn

j jjj

rrfvqrrfvqJ , [158]

y usando [129], es inmediato identificar la aportacin de los dos primeros sumatorios:

JSS III =+ . [159] Ahora, recordando la definicin del momento dipolar elctrico de la molcula nsima dada en

[130], podemos reescribir la aportacin de los sumatorios tercero y cuarto:

( ) ( )[ ] =+(mol.)

(mol.)

d

d

n nnn

n n

nIVIII vrrfprrf

t

pSS . [160]

Si consideramos la identidad vectorial



25

( ) ( ) ( )nn

nnnn

v fpft

pfvpfp

t=+

d

d

d

d, [161]

donde hemos puesto ( )( )trrffn

por aligerar la notacin, podemos reescribir [159] en la forma

( )( ) ( )( ) In

nnnn

nnIVIIIF

t

Prrfvprrfp

tSS ++ ==+ d

d

d

d

(mol.)

(mol.)

, [162]

donde hemos usado la definicin de la polarizacin macroscpica P dada en [136], y hemos definido el

campo macroscpico IF como

( ) (mol.)

n nnnI

rrfvpF . [163]

Si tomamos ahora la identidad vectorial

( )[ ]=

fvtrfr

tvr f

nnnnn kkkk 2

1

d

d

2

1

2

1

( ) = + nnnnnn rrss frrvfrv kkkk ,2

2

1 10, [164]

donde la componente del vector t se define formalmente segn

n

n srrt

kk, [165]

podemos reescribir la aportacin de los sumatorios quinto y sexto:

( ) =

=+

(mol.) 1 2

1

n

M

knnnnVIV

n

kkrrfvrqSS

k

( )( ) ( ) ==

(mol.) 1

(mol.) 1

2

1

2

1

d

d

n

M

knnn

n

M

knnnn

nn

rrfvtqrrfrrqt kkkk

. [166]

Usando las definiciones del momento magntico molecular,

( )=

n

k

M

knnnn kk

vrqm1 2

1, [167]

10.La deduccin de las expresiones [161] y sobre todo [164] es bastante farragosa y no la

incluiremos. No obstante, apuntaremos que es til considerar que la funcin test ( )( )trrfn

depende del tiempo, no explcita pero s implcitamente. Por la regla de la cadena,

( ) ( )( ) ( )( )trrtrrtnnn

fvf = dd .



26

y de la magnetizacin macroscpica,

( ) (mol.)

n nn

rrfmM , [168]

podemos reescribir el primer trmino del miembro derecho de [166]:

( ) Mrrfvrqn

M

knnnn

n

kkk

=

=

(mol.) 1 2

1. [169]

En cuanto a la componente del vector dado por el segundo trmino:

( ) =

=

(mol.) 1 2

1

d

d

n

M

k n

n

nn

n

kkrr

s

frrq

t k

( )

=

=

n n

n s

Q

trr

s

fQ

t d

d

d

d

6

1

(mol.)

, [170]

donde hemos usado las definiciones del momento cuadrupolar molecular

nQ

que no depende de

punto y por tanto puede introducirse en la derivada parcial con respecto a s y de la densidad

cuadrupolar Q , [131] y [139] respectivamente.

Por su parte, el ltimo sumatorio en [166] se escribe

( ) ( ) IIn

M

knnn

Frrfvtqn

k =

=

(mol.) 1 2

1, [171]

donde, teniendo en cuenta [165] y usando nuevamente [131], la componente del campo macroscpico

IIF viene dada por

( ) ( ) ( ) =

=

n

n

n

n

n

M

k nII

vrrs

frrqF

kkk

n

(mol.) 1 ,2

1

( ) ( )

= nn

n

n

rrfvQs

(mol.) ,,6

1. [172]

Llevando [169], [170] y [171] a [166]:

( ) ( ) ( )II

VIV Fs

Q

tMSS

=+ d

d. [173]



27

Llevando [159], [162] y [173] a [150] y agrupando, nos queda esta expresin para el promedio espacial de la componente de la densidad de corriente microscpica:

( )[ ]III

FFMs

QP

tJj ++

+= , [174]

donde, como quiera que la polarizacin y la densidad cuadrupolar no dependen de ( )trn

(a diferencia de

la funcin test), hemos reemplazado la derivada temporal total por la derivada temporal parcial.

Igualando este resultado al que se obtiene de despejar el promedio espacial de la componente de la densidad de corriente microscpica de [118], i. e.,

( )

Et

Bj 0

0

= , [175]

reorganizando y recordando la definicin de la componente del vector desplazamiento elctrico dada en [143], obtendremos la forma definitiva de la ley de AmpreMaxwell macroscpica [105], donde el

nuevo campo H viene dado por

III

FFM

BH +=

0

. [176]

Los dos primeros trminos del miembro derecho de [176] dan la expresin familiar para H , mientras que los dos ltimos son generalmente muy pequeos frente a los anteriores, por dos razones: en

primer lugar, porque las velocidades moleculares n

v son pequeas; en segundo, porque dichas

velocidades fluctan y, en promedio, tienden a anularse macroscpicamente. La excepcin puede darse

cuando el medio viaja como un todo con velocidad v ; por sencillez, en este caso es razonable despreciar

cualquier otro movimiento de las molculas y poner vvn

= para cada n, en cuyo caso, usando [136],

[163] se simplifica en

( )

IIvPFvPF ==

,

, [177]

mientras que, por [139], [172] queda

( )

II

vs

QF

=

,,

. [178]

Aunando [177] y [178], y usando a continuacin [143],

( ) ( )

IIIvDEv

s

QPFF

=

+=+ 0

,,

, [179]

con lo cual, [176] adopta finalmente el aspecto:

( ) effM

BvEDM

BH = =

00

0

, [180]



28

donde ( ) vEDMM eff + 0 es la magnetizacin efectiva del medio, que depende de la velocidad a la que se desplaza. La ecuacin [180] representa el lmite no relativista de una de las ecuaciones de Minkowski de la electrodinmica de los medios continuos.

1. 6. Permitividad como funcin de la frecuencia

A primera vista, el sistema constituido por las ecuaciones de Maxwell macroscpicas [102][105] presenta el inconveniente de que contiene ms incgnitas (doce) que ecuaciones (seis). No obstante, en adelante restringiremos en todo caso nuestra discusin a los fenmenos de polarizacin elctrica, nunca

magntica, despreciando la magnetizacin M que pueda inducirse en cualquier medio que consideremos; adems, retendremos nicamente el trmino lineal de la respuesta al campo elctrico que acta sobre el medio. En la prctica, estas dos consideraciones suponen asumir la validez de las

expresiones 0BH = y PED += 0 repectivamente. Nuestro presente objetivo es, en consecuencia,

encontrar una relacin entre la densidad de momento dipolar P y el campo elctrico E que permita

expresar el campo D en trminos solamente de este ltimo. Recordemos que la polarizacin de un conjunto de tomos o molculas se da mediante dos

mecanismos posibles: por un lado, el campo elctrico aplicado puede distorsionar las distribuciones de carga, induciendo un momento dipolar en cada molcula; por otro, el campo puede alinear los momentos dipolares permanentes inicialmente orientados de manera aleatoria de las molculas.

Consideremos para empezar la posibilidad ms simple: imaginemos que colocamos un tomo

aislado en el seno de un campo elctrico externo constante y uniforme ( )trEE ,00 y queremos estudiar la polarizacin por distorsin inducida por el campo sobre el tomo desde una perspectiva que podramos llamar semiclsica. Por sencillez, tomaremos el tomo como un ncleo puntual de carga q situado en el centro de una nube electrnica esfrica de radio a y carga q uniformemente repartida: dada su simetra esfrica, el momento dipolar permanente del tomo ser necesariamente nulo. Al aplicar el campo, el ncleo se ve ligeramente desplazado en el mismo sentido, y la nube electrnica en sentido contrario; puesto que estos desplazamientos son extremadamente pequeos, es vlido asumir que la nube electrnica conserva su forma esfrica. Denotaremos por d la distancia que el campo ha desplazado al ncleo respecto de su posicin original.

FIG. 2. Representaciones de las situaciones del tomo en ausencia y en presencia de un campo elctrico polarizante, respectivamente. Consideremos que sobre el ncleo actan dos fuerzas de sentido opuesto: por un lado, la fuerza

asociada al campo 0E ; por otro, la fuerza restauradora debida al campo interno rE creado, de acuerdo con la ley de Gauss, por la porcin de carga de la nube electrnica encerrada por la esfera de radio d, i. e.,

( )30adq en valor absoluto. Por lo tanto, el mdulo del campo restaurador nos queda

3

0

3

20 4

1

4

1

api

p

a

dq

dpiEr ==

, [181]



29

donde hemos usado que, para un par de cargas de valores respectivos q y q separadas una distancia d, el

momento dipolar vale en mdulo p = qd. De tal suerte que, en el equilibrio ( 0EEr = ), tenemos

03

04 Eapip = . [182]

Si llamamos polarizabilidad atmica a la cantidad con unidades de volumen que liga p y 0E

segn

00 Ep = , [183]

vemos, comparando con [182], que para este caso concreto hemos obtenido

vpia 34 3 == , [184] donde v es el volumen del tomo. Pese a la tosquedad de este modelo primitivo, sus predicciones no son tan malas al contrastarlas con la experiencia: tienen una precisin de alrededor de un factor 4 para muchos tomos simples 11.

Si consideramos no un tomo aislado, sino una masa macroscpica con N tomos (o, en su caso, molculas) por unidad de volumen, la polarizacin macroscpica es por definicin

pNP = . [185]

No obstante, tengamos presente que sera absurdo pensar que el campo locE percibido

localmente por un tomo del conjunto fuera igual al campo externo aplicado 0E sobre el medio, pues hay que considerar, para el cmputo del primero, no slo el segundo sino tambin la aportacin del resto de tomos que son asimismo polarizados por el campo externo; con lo cual, en este caso tendremos que reemplazar [183] por la expresin anloga

locEp 0= . [186]

Pero, adems, asumiendo hiptesis de simetra de los centros polarizables, puede demostrarse

que el campo macroscpico E que aparece en las ecuaciones de Maxwell no es igual a locE , sino que est dado por

03

PEE loc = 12. [187]

Llevando [186] a [185] y despejando locE ,

11.De hecho, usando herramientas de la Mecnica Cuntica en concreto, la teora perturbativa estacionaria a orden primero, puede obtenerse, para el caso concreto del tomo de hidrgeno en el estado fundamental, que la polarizabilidad es 4.5 veces superior a la predicha por el argumento semiclsico (vide http://www.uco.es/hbarra/FisicaCuantica/apuntes/1005.pdf). 12.Puede parecer algo extrao que el campo local difiera del campo promedio. Este hecho puede justificarse de modo no del todo satisfactorio si consideramos que todos los dipolos del sistema

contribuyen a E , mientras que para la determinacin del campo local que ve una determinada carga hay que descontar el campo de dicha carga, habida cuenta de que excluimos la posibilidad de que una carga ejerza fuerza sobre s misma.



30

0

1

P

NE loc = , [188]

lo que llevado a [187] da

EN

NP

P

NE

313

110

0 ==

, [189]

lo que, comparado con la expresin genrica

EP e0= , [190]

donde la cantidad adimensional e es la susceptibilidad (elctrica) del medio, arroja la ecuacin de

ClausiusMossotti:

31 N

Ne

= . [191]

Para medios con densidad baja (tales que 13



31

Hasta ahora, en todo momento hemos considerado campos estacionarios, pero el propsito

principal de esta seccin es el de presentar un modelo simplificado que nos permita obtener la dependencia de la permitividad con la frecuencia del campo no esttico sentido por el tomo en que fijamos nuestra atencin. Por comodidad, asumiremos por el momento que la dependencia espacial del

campo sigue siendo uniforme, ( )rEE ; por sencillez, usaremos la aproximacin ( ) ( )tEtE loc , as que nuestro modelo slo se ajustar al comportamiento de sustancias relativamente poco densas no obstante, si as se desea, este inconveniente puede subsanarse fcilmente haciendo uso de la mejora de ClausiusMossotti. Adems, a fin de obviar el carcter vectorial del problema, consideraremos sin

prdida de generalidad que el campo es paralelo al eje x, ( ) ( )xtEtE = , y tomaremos una dependencia temporal armnica, ( ) ( )tEtE cos 0= . Con todo, tenemos la ecuacin de movimiento de un electrn de masa m y carga e ligado al ncleo por una fuerza recuperadora de tipo xmF 20= 13:

( ) ( ) ( ) ( )tEm

etxtxtx cos 0

20 =++ &&& , [197]

donde la constante fenomenolgica , que tiene dimensiones de frecuencia y es de ordinario mucho

menor que 0 , da cuenta de la fuerza de amortiguamiento sufrida por el electrn. [197] es ms

manejable si la identificamos con la parte real de la ecuacin compleja

( ) ( ) ( ) tEm

etxtxtx i0

20 e

=++ ~~~ &&& , [198]

cuya solucin estar dada por

( ) ( ) ( )txtxtx PH ~~~ += , [199]

donde ( )txH~ es la solucin al problema homogneo (campo nulo) y ( )txP~ es la solucin particular. Como quiera que ( )txH~ se desvanece en el lmite de tiempos largos, en el estado estacionario tomamos

( ) ( ) tP xtxtx i0e == ~~~ , [200]

donde obtenemos directamente la amplitud compleja 0x~ llevando [200] a [198] y despejando:

0220

0 iE

mex

=~ , [201]

con lo cual el momento dipolar es la parte real de

( ) ( ) tt pE

metxetp i0

i022

0

2

eei

=

==~~~ , [202]

donde

0220

2

0 iE

mep

~ [203]

13.Las fuerzas de ligadura reales entre el electrn y el ncleo pueden ser complicadas, pero a efectos prcticos slo nos importa saber que la fuerza restauradora siempre puede asumirse armnica haciendo un desarrollo de Taylor hasta el orden primero si los valores de x (desplazamiento respecto del equilibrio) son lo suficientemente pequeos, como efectivamente sucede.



32

es la amplitud compleja de momento dipolar. Comparando [203] con [183], vemos que hemos obtenido una polarizabilidad compleja dependiente de la frecuencia:

( ) ( )[ ] ( )[ ]

me

me i

i

1 220

12222

00

2

2200

2

++=

=

~ . [204]

El hecho de que para valores de no nulos tengamos 0 Im ~ nos dice que el

amortiguamiento induce un desfase entre el momento dipolar y el campo elctrico de ngulo

( )[ ]220 arctan , que se anula para 0 y se hace 2pi para 00 . Entonces, recordando que para materiales con densidad lo bastante baja la permitividad y la

polarizabilidad se relacionan segn ( )N += 10 , vemos que la permitividad compleja del medio depende de la frecuencia segn

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]m

Ne i220

12222

0

2

0 +++=

~ . [205]

El hecho de que generalmente sea 0 , tendremos respectivamente

0 Re >~ y 0 Re

0, el valor absoluto de la funcin de influencia decae con t y lo

hace tanto ms rpido cuanto mayor sea , lo que ilustra que el amortiguamiento introducido en nuestro modelo propicia que la influencia de instantes alejados del instante en que queremos conocer la polarizacin sea menor que la de otros instantes ms prximos.

17.Notemos que la ecuacin [235] no es, en efecto, local en el tiempo, pero s lo es en el espacio. Ello se explica porque implcitamente hemos asumido en todo momento que, aunque los campos aplicados puedan ser no uniformes en el espacio, sus variaciones son despreciables en la escala involucrada en la polarizacin de tomos y molculas. Para las cargas ligadas, dicha escala es del orden de las dimensiones atmicas o menor, de modo que podemos esperar que la permitividad siga siendo funcin exclusiva de para frecuencias situadas ms all del rango visible. No obstante, en el caso de los conductores, la presencia de cargas libres que siguen, en promedio, trayectorias libres macroscpicas invalida, para frecuencias mucho ms bajas que en el caso anterior, la asuncin de que la permitividad slo depende de . Este fenmeno se asocia a una dependencia de la susceptibilidad (luego de la funcin de influencia) no slo con la frecuencia, sino tambin con la longitud de onda; en tal caso, la integral en [235] debera extenderse no slo a cada instante, sino tambin a cada punto. Por otra parte, para medios no istropos la susceptibilidad no es un escalar, sino un tensor de rango 2 (matriz 33 ), y por tanto lo mismo le suceder a la funcin de influencia.



38

No obstante, la propiedad ms obvia de la funcin de influencia segn [237] es que se anula idnticamente para tiempos t



39

i. e., la funcin ( )z~ satisface las condiciones de CauchyRiemann, lo que garantiza su analiticidad en el semiplano superior. Podemos asegurar que ( )z~ es asimismo analtica sobre el eje de abscisas ( 0 Im =z ) apelando a un argumento razonable desde un punto de vista fsico: para tiempos muy

largos, la funcin de influencia ha de desvanecerse, ( ) 0 tG para t . Llamaremos D al dominio de analiticidad de ( )z~ :

{ }0Im z zD C . [247]

En estas condiciones, podemos aplicar la frmula integral de Cauchy para garantizar que el

valor de ( )z~ en un punto arbitrario Dz 0 queda dado por

( ) ( ) ( ) ( ) z zfpi

z z

zz

z

piz

C C d

i2

11d

i2

1

0

0

00 + =

=~~~~ , [248]

donde ( )zf~ es la funcin de variable compleja y valores complejos definida por

( ) ( )0

0 1

zz

zzf

~~, [249]

y C es cualquier contorno simple cerrado contenido en el semiplano superior, recorrido en sentido positivo. Podemos escoger que C sea la semicircunferencia positiva CR, de radio R y centrada en el origen,

si la cerramos por abajo con la porcin de recta real [ ]RR , . Pero, si situamos 0z sobre el eje de abscisas (i. e., si tomamos 000 xz = ), ( )zf~ presentar una singularidad sobre la trayectoria de integracin, lo que resulta problemtico. Solventamos este inconveniente aislando 0z con la

semicircunferencia C centrada en 0z de radio (con R < ).

FIG. 4. Empleamos CR, como circuito auxiliar para la obtencin de ( )0z~ . De esta forma, ( )zf~ es una funcin analtica sobre el circuito de integracin y en su interior.

Con lo cual, de acuerdo con el teorema de Cauchy, para cada par de R y positivos con R <

tendremos

( ) 0d ,

= zzfRC

~, [250]

pero, por otro lado,



40

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++= +

RR C

R

C

RC zzffzzffzzf d d d d d

0

0

,

~~~~~

, [251]

donde hemos tenido en cuenta que la semicircunferencia C se ha recorrido en sentido negativo y que

xz = para cada z sobre el eje real. Con lo cual,

( ) ( ) ( ) ( ) =+ +

R C C

R

Rzzfzzfff d d d d

0

0 ~~~~

. [252]

Definimos el valor principal de la integral de ( )f~ en [ ]RR , en la forma

( ) ( ) ( )

+

+

R

R

R

Rfff

~~~

0

0d d lmd VP 0 . [253]

Por otro lado, haciendo un cambio a coordenadas polares planas en la integral sobre C ,

( ) ( ) ( ) ( )

+

= =

1 ide ie1e

d1

d 0

00

0

ii

0i

0

0

0

pi

z

zz

zzzf

C

pi

C

~~~~

. [254]

Finalmente, en cuanto a la integral sobre CR notemos que

( ) 0d lm =RC

R zzf~

, [255]

ya que el denominador de ( )zf~ , 0z , crece en mdulo al mismo ritmo que la longitud de CR al hacer tender R a infinito, pero el numerador, ( ) 10 z~ , se desvanece para z muy grande en particular, para y muy grande, como vemos de [242].

Llevando [253], [254] y [255] a [252] y recordando [249], es claro que

( ) ( )

=

1 id 1

VP0

0

0

0

pi

~~

, [256]

o, equivalentemente,

( ) ( )

=

~~

pi d VP

i

0

00 , [257]

de donde

( ) ( ) ( ) ( )

=

++

~~~~

pi

pi d VP Im

1d VP Re

i Im i Re

0

0

0

00 , [258]

i. e.,

( ) ( )

=

+

~~

pi d

Im VP

1 Re

00 [259]

y



41

( ) ( )

=

~~

pi d

Re VP

1 Im

0

0 . [260]

Las ecuaciones [259] y [260] se conocen como relaciones de KramersKronig. En la prctica,

resulta ms interesante restringir a las frecuencias positivas el intervalo de integracin en dichas

expresiones, lo que resulta sencillo si tenemos en cuenta la hermiticidad de la funcin ( )~ ,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

=

=

=

, Im Im

Re Re

~~

~~ ~~ [261]

que se deduce inmediatamente de [241].

En efecto, multiplicando y dividiendo por 0 + el integrando en [259], podemos reescribir

( ) ( ) ( )

=

++

~~~

pi d

Imd

Im VP

1 Re

20

2020

20, [262]

pero, dada la imparidad de ( )~ Im , el primer integrando es una funcin par y el segundo es una funcin impar, con lo que

( ) ( )

=

+

~~

0 20

20d

Im VP

2 Re

pi , [263]

que es la primera expresin buscada.

Multiplicando y dividiendo por 0 + el integrando en [260],

( ) ( ) ( )

=

+

~~~

pi d d

Red d

Re VP

1 Im

20

20

20

2020

20

20

2,

[264]

pero, dada la paridad de ( )~ Re , el primer integrando es una funcin impar y el tercero es una funcin par, mientras que elementalmente el segundo es una funcin impar y el cuarto es una funcin par; as,

( ) ( )

=

~~

0 20

200 d

Re VP

2 Im

pi

, [265]

que es la segunda expresin buscada.

Las relaciones [263] y [265] tienen una validez general, ya que recordemos se han obtenido asumiendo poco ms que una relacin lineal y causal entre el campo elctrico y la polarizacin.

* * *

Como ya discutimos con anterioridad, la parte imaginaria de la permitividad de un medio a travs del cual se propaga una onda electromagntica ha de ser muy inferior a la parte real para que la propia propagacin pueda existir durante un tiempo apreciable. Consideremos pues la relacin de dispersin del tal medio previa asuncin de que el medio es transparente (no absorbente) en un cierto

rango de frecuencias I0 (i. e., para cada 0I la permitividad puede aproximarse a una funcin de

valores reales):



42

( ) k 022 = [266] relacin anloga a [223] para una permitividad compleja.

Definimos la velocidad de fase de la onda con longitud de onda segn

k

pi

v f = 2

. [267]

Comparando [266] y [267],

( )[ ] 210 = v f , [268]

que, considerando la expresin [43] para la velocidad de la luz en el vaco c, puede ponerse

( )nc

v f = , [269]

donde ( )n es el ndice de refraccin del medio:

( ) ( )0

n . [270]

Por tanto, para ( ) 0 < el ndice de refraccin ser inferior a la unidad y, en consecuencia, la velocidad de fase exceder la velocidad de la luz en el vaco, lo cual puede a primera vista parecernos contradictorio con alguna de nuestras convicciones derivadas de la relatividad especial. Pero recordemos que en la naturaleza no existen ondas planas, sino paquetes de ondas localizados cuya forma general puede ponerse (para el caso unidimensional):

( ) ( ) ( )( ) = k kApitxut kkx d e

2

1, i , [271]

donde la dependencia ( )k est contenida en [266], y la funcin de pesos ( )kA se calcula con la transformada de Fourier de la amplitud espacial ( )txu , evaluada en t=0:

( ) ( ) = k xupikAkx d e,0

2

1 i . [272]

As, para ( ) xk xu 0ie,0 = , tenemos ( ) ( )02 kk pikA = , que llevado a [271] arroja, conforme a lo esperado, una onda propagante monocromtica, ( ) ( )( )t kxktxu 00ie, = . Pero si ( ),0xu constituye un tren de ondas finito y su longitud es del orden de x, entonces ( )kA no es una delta de Dirac, sino una funcin nula salvo en un cierto entorno de 0k el nmero de onda dominante en la onda ( ),0xu y con anchura del orden de k. Identificando x y k con las respectivas desviaciones cuadrticas medias de

los valores medios de x y k definidos en trminos de ( ) 2,0xu y ( ) 2kA , es posible obtener la siguiente desigualdad general:

2

1 k x . [273]



43

De hecho, para la mayora de pulsos o paquetes de ondas razonables de variacin no demasiado abrupta, la desigualdad [273] es aproximadamente una igualdad, lo que refleja que los trenes de onda cortos bajo los que subyacen slo unas pocas longitudes de onda tienen una distribucin de nmeros de onda muy ancha, mientras que los trenes sinusoidales y extensos son prcticamente monocromticos.

FIG. 5. Representacin de un tren de onda armnico de extensin finita y de su espectro de Fourier en nmero de onda. A medida que el tiempo avanza, el pulso se mueve y sus diferentes frecuencias subyacentes se

desplazan con distintas velocidades de fase; en consecuencia, el pulso tiende a perder su coherencia inicial, distorsionndose: cabe pues preguntarse por la velocidad a la que se propagar. Para un pulso cuyo espectro en nmero de onda no sea demasiado ancho, o que se propague en un medio no altamente

dispersivo, podemos hacer un desarrollo de Taylor centrado en 0k para, truncando en el orden primero,

expresar de manera aproximada la frecuencia ( )k :

( ) ( )00 kkvk g + , [274]

donde hemos designado ( )00 k , y gv es la denominada velocidad de grupo:

( )0dd

kk

vg . [275]

Insertando [274] en [271]:

( )( )

( ) ( )

k kApi

txutvxk

t kvg

g

d e2

e,

ii 00

, [276]

que, comparado con [271], queda

( ) ( ) ( )0 ,e, 00i tvxu txu gt kvg , [277]

lo cual muestra que, obviando un factor de fase global, el pulso viaja como un todo con velocidad gv .



44

As, asociando una densidad de energa al mdulo al cuadrado de la magnitud de la onda, es claro que en esta aproximacin la velocidad a la que se transporta la energa es, precisamente, la velocidad de grupo. Vamos a demostrar que es esta velocidad no la velocidad de fase la que en ningn caso puede superar la velocidad de la luz en el vaco c.

En primer lugar, derivando con respecto a en [266], queda, para cada frecuencia contenida en

el rango de transparencia I0, la expresin

( )

+=

kk

d

d2

d

d2 20 , [278]

Analicemos el signo de la derivada dd . Recordando que para 0I la parte imaginaria de la

permitividad debe anularse, la relacin de KramersKronig [263] puede ponerse sencillamente

( ) ( ) +

+

=

0d

Im 2220 I

pi

\

~

R: [279]

como quiera que el integrando ya no diverge en ningn punto del rango de integracin considerado

( 0I \+R ), no es necesario considerar el valor principal de la integral. Ahora, derivando [279] con

respecto a ,

( )

( ) +

=

0d

Im 4

d

d2 22I

pi

\

~

R, [280]

estando garantizada la convergencia de la ltima integral. Ahora bien, como ya sabemos, en la naturaleza no se encuentran materiales con 0 Im



45

Hemos obtenido as un resultado importante, que la velocidad de grupo nunca puede rebasar la velocidad de fase. Si supiramos que la velocidad de fase nunca puede ser mayor que c, automticamente habramos alcanzado nuestro objetivo en ltima instancia i. e., habramos probado la

desigualdad cv g , pero ya hemos razonado ms arriba que la velocidad de fase muy bien puede ser mayor que c, con lo que tendremos que buscar otra va para nuestra demostracin.

As, llevando [279] y [280] a [278],

( ) ( )

( ) =

+

++

+=00

d Im 4

d Im 4

2d

d2

2 22

3

2200 II

pi

pi

kk

\ \

~~

RR

( ) ( )

+

+

+=0

d 1

Im 4

22 22

2

2200 I

pi

\

~ R

. [286]

El ltimo corchete en [286] vale ( )2 222 , con lo cual, usando una vez ms que 0 Im ~ en todo caso, vemos que el integrando es no negativo a lo largo de todo el rango de integracin,

de manera que inmediatamente nos ha quedado

kk d

d00 , [287]

de donde resulta efectivamente la desigualdad buscada:

cv g . [288] [288] se obtiene de [287] de manera exactamente anloga a como se obtuvo [285] de [281],

slo que en [281] apareca ( ) en lugar de 0 y, en consecuencia, en [285] apareca ( )0v f en lugar de c.

Remarcamos que todos los resultados obtenidos aqu estn restringidos a la regin de

transparencia 18, y que para poder introducir la nocin de velocidad de grupo es necesario que sea una funcin de variacin relativamente suave con k; de otro modo, el argumento de aproximacin dado en [274] perder su validez.

18.Fuera de sta, i. e., para frecuencias tales que se produce dispersin anmala, las ondas del grupo se atenan tan rpidamente que se pierde el sentido mismo de grupo, con lo que la velocidad de grupo queda despojada de su significado y su utilidad; no obstante, si aun as queremos calcularla, nos encontraremos con que puede llegar a hacerse mayor que c. En este sentido, notemos que, igualando las partes reales de ambos miembros de [223] y derivando con respecto a ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+==

k

kk

k kk ~~

~~~~~~~ Red

dRe2 Im

d

d 2Im Re

d

d 2ReRe Im Re 20

20

22,

y as vemos que la velocidad de grupo es mayor que la velocidad de fase i. e.,

( ) k

k ~~~

Re2 Red

d 2Re 0< para ( ) 0 Imd

d 2ImRe

d

d20



46

Tema 2 RADIACIN ELECTROMAGNTICA

2. 1. Algunos resultados matemticos tiles

Necesitamos introducir unas pocas nociones matemticas muy concretas como paso previo a la motivacin principal de este Tema 2: la bsqueda de la solucin de las ecuaciones de Maxwell.

TEORA DEL POTENCIAL

1. Consideremos la regin acotada del espacio 3RD y la funcin puntual ( ) RDr :r . Introducimos la funcin

( ) ( )

Dr

rx

rx

3d . [289]

La convergencia de la integral anterior est garantizada para cada 3Rx si ( )r r est acotada; adems, ( )x es continua y sus derivadas primeras lo son tambin [ ( ) ( )31 RCx ], pudiendo obtenerse stas por derivacin bajo el signo de la integral:

( ) ( ) = D ii rrxxrxx 31

d

. [290]

Existen dos posibilidades: para Dx , el integrando es analtico; para Dx , presenta una

singularidad en xr = . En el primer caso, se comprueba a partir de [290] que la funcin ( )x es armnica; en el segundo, si aadimos la hiptesis de que ( )r r sea derivable y de derivada continua [ ( ) ( )Dr 1Cr ], entonces ( )x tiene sus derivadas segundas continuas [ ( ) ( )Dx 2 C ] y satisface la ecuacin de Poisson. En sntesis:

( )

=. si 0

si 4

3

2

Dx

Dxxpix

\R

[291]

2. Sea la regin acotada del espacio 3RD y la funcin puntual ( ) RDr :r , acotada y tal que

( )



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con +Rk para k=0, recuperamos la definicin de ( )x dada en [289]. Tenemos garantizado que ( ) ( )31 RCxk , pudiendo obtenerse las derivadas primeras por derivacin bajo el signo de la integral:

( ) ( )

=

D

rxk

ii

k rrxx

rxx

3

i

d e

, [294]

donde la ltima integral podr ser impropia, pero nunca diverge.

Si adems imponemos la hiptesis ( ) ( )Dr 1Cr , entonces necesariamente ( ) ( )Dxk \32 RC , y se satisface la ecuacin de Helmholtz:

( ) ( ) ( ) ( )

=+

. si 0

si 4

3

22

DDx

Dxxpixkx kk

\R [295]

3. Sea la regin acotada del espacio 3RD y la funcin puntual ( ) RR Dtr :,r , acotada y con sus dos primeras derivadas parciales con respecto a la variable temporal acotadas. Introducimos la funcin

( )

Dr

rx

crxtrtx

3d ,

, , [296]

con +Rc ; es frecuente utilizar la notacin abreviada [ ]

crxtr , . Tenemos garantizado que

( ) ( )RR 31, Ctx , pudiendo obtenerse las derivadas primeras por derivacin bajo el signo de la integral:

( ) [ ]

( ) [ ]

=

=

D

D ii

rt

rxtxt

rrx

xtx

x

31

3

.d ,

d ,

[297]

Si adems imponemos las hiptesis ( ) ( )R Dr 1Cr y

( ) Mtrr t

i

,

2r

, [298]

con M algn real positivo, entonces necesariamente ( ) ( )( )RR Dtx \32, C y se cumple

( ) ( ) ( )

=

. si 0

si ,4,

1

32

2

22

DDx

Dxtxpitx

tc \R [299]



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COMPORTAMIENTO ASINTTICO Es de particular inters el compo

Apuntes de electrodinámica clásica

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