Probleme de zicaEmilPetrescuViorelPaunOctober6,2004Cuprins4 TERMODINAMICA 7272Capitolul4TERMODINAMICAPROBLEMA4.1 a) Sa se demonstreze ca n cazul unui proces adi-abaticaplicatunuigazidealesteadevaratarelat ia:pV= const (4.1)b) Sa se calculeze lucrul mecanic efectuat n cursul unui astfel de proces,candgazul trecedinstareacaracterizataprinparametri p1, V1, T1nstareacaracterizataprinparametrip2,V2,T2.SOLUTIEa)SeutilizeazaprincipiulIaltermodinamicii:dU= QpdV (4.2)ncaredU= CVdTsiQ = 0deoareceprocesulesteadiabatic.Atuncirelat ia4.2devine:CVdT= pdV (4.3)Cumpentrugazul ideal ecuat iatermicadestareestepV =RT,undeestenumaruldekmoli,relat ia4.3devine:CVdT= RT dVV(4.4)Prinintegrareaacesteirelat iiseobt ine:73CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 74CVRln T= ln V+a (4.5)undeaesteoconstant a. Cumrelat iaRobert-Mayerpentrugazul idealesteCp= CV+R si= Cp/CVrezulta:CV=R 1(4.6)Astfeldinrelat ia4.5seobt ine:TV1= const (4.7)Substituindpdinecuat iatermicadestarerezulta:pV= const (4.8)b)L =V2_V1pdV (4.9)undep = const/V. Atunci:L =V2_V1constdVV= constV+12V+11 1(4.10)Deoarecep1V1= p2V2= const,seobt ineL = p2V2p1V1 1(4.11)PROBLEMA4.2 Ungazideal trecedinstareacaracterizatadeparametri p1, V1 nstareacaracterizatadeparametri p2, V2printr-unprocesdescrisdeecuat iap = a bV (4.12)undea sibsuntconstantepozitive.CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 75a) Sasecalculezelucrul mecanicefectuat degazncursul acestuiproces.b)Sasestabileascadependent atemperaturiidepresiune.SOLUTIEa)AvemL =V2_V1pdV=V2_V1(a bV ) dVL = a(V2V1) b(V22 V21 )2(4.13)b)SeeliminaV dinecuat iatermicadestare(pV= RT)siecuat iaprocesuluiconsiderat(p = a bV ). Rezulta:T=(ap p2)Rp=a pR(4.14)PROBLEMA4.3 Sa se determine o expresie pentru lucrul mecanicefectuatdemediul externasupraunui corpsolidatunci candpresiuneacreste de la valoarea p1 la valoarea p2, iar temperatura ramane constant a.CoeficientuldecompresibilitateizotermKT= _1V__Vp_T(4.15)seconsideraconstant.SOLUTIEL= pdV deoarecelucrul mecanicesteefectuatdemediul externasuprasistemului. DeoareceV= V (p, T)dV=_VT_pdT+_Vp_Tdp (4.16)CompresiaindizotermadT= 0 sirelat ia4.16devine:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 76q +q -dxxEHOFigura4.1: Dipol ncampelectricdV=_Vp_Tdp = V KTdp (4.17)Atunci:L = V KTpdp (4.18)Dacaseneglijeazavariat iavolumului ncursultransformarii:L = V KTp2_p1pdp = KTVp22p212(4.19)PROBLEMA4.4 Sa se determine lucrul mecanic elementar de po-larizareaunitat iidevolumaunuidielectricdaca:a) Sistemul este adus de la infinit n campul generat de o sarcina fixa.b) Daca se aplica o diferent a de potent ial pe placile unui condensatorplanav andcadielectricsubstant aconsiderata.SOLUTIEa)Dacasenoteazacunconcentrat iadedipolicumomentuldipolar p, densitateadepolarizareeste

P=n p. Considerandundipol ntr-uncampelectricorientatca nFig. 4.1fort aceact ioneazaasupraacestuiapedirect iaOxeste:fx= qEx(x) +qEx(x +dx) (4.20)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 77Dezvoltand nseriecelde-aldoileatermendin4.20seobt ine:fx= qEx (x) +q_Ex (x) +dExdxdx_= qdExdxdxfx= px_dExdx_(4.21)deoarececampulelectricesteorientatde-alungulaxeiOx.Seconsideradipolii orientat i pedirect iaaxei Oxsi campul orientatdupaaceiasi direct ie. Fort atotalace vaact ionaasupradipolilor dinunitateadevolumeste:Fx= np_dEdx_= P dEdx(4.22)Lucrul mecanicefectuatcandsistemul dedipoli estedeplasatcudxncampulelectriceste:L = Fxdx =

Pd

E (4.23)semnul minus interveninddeoarecemediul externefectueazaunlucrumecanicasuprasistemului.b) Incazul consideratdielectricul esteplasat ntreplacileunui con-densator plan cu aria armaturilor egala cu S si distant a dintre ele egala cuh. Se presupune ca dielectricul umple complet spat iul dintre armaturi iarcondensatorul este suficient de mare pentru a neglija efectele de margine.Candseaplicaodiferent adepotent ial, latrecereasarcinii dqdepeoarmatura pe alta se efectueaza un lucru mecanic din exterior L = Udqunde U= Eh iar dq= dS= SdD (Eeste intensitatea campului electriciar= D,undeDesteinduct iaelectrica). Atunci:L = EhSdD = V EdD (4.24)undeV= Sh. Generalizandputemscrieca:L = V

Ed

D (4.25)Cum

D = 0

E +

P,4.25devine:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 78L = V

E(0d

E +d

P) = V d_0

E22_V

Ed

P (4.26)Peunitateadevolum:LV= d_0

E22_

Ed

P (4.27)Primul termenreprezint alucrul mecanic necesar pentrugenerareacampului electriccarear existasinabsent adielectricului iar cel de-al doileatermenreprezint alucrul mecanicefectuat pentrupolarizareaunitat iidevolumalunuidielectricizotrop.PROBLEMA4.5 Sasedeterminelucrul mecanicelementarefec-tuat de o sursa de tensiune electromotoare pentru a realiza magnetizareaunitat ii de volumaunei substant e dincare este realizat miezul uneibobine. Se presupune ca intensitatea campului magnetic Hsi densitateademagnetizareMsuntuniforme,iarcorpulnusedeformeaza ntimpulmagnetizariisale.SOLUTIEIntensitatea campului magnetic creat n interiorul unei bobine cu ariasect iuniiSsiculungimeadsuficientdemareeste:H=NId(4.28)undeNestenumarul despireiarIesteintensitateacurentului electriccetreceprinbobina.Fluxulinduct ieimagneticeprinbobinaeste: = NSB (4.29)CandIcreste,crescdeasemeneaHsiM sidecisiB.Aceastaducelaaparit iauneitensiunielectromotoareautoinduse:e = ddt= SNdBdt(4.30)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 79Energiafurnizatadesursa ncircuit nacestcazeste:dW= Iedt = SNIdB (4.31)Atuncilucrulmecanicefectuatdesursaeste:L = SNIdB= (Sd)_NId_dB= V HdB (4.32)Semnul minusaparedeoarecelucrul mecaniccalculatesteunlucrumecanicefectuatdemediulexteriorasuprasistemuluiconsiderat.CumB= 0(H +M)relat ia4.32devineL = V H (0dH +0dM) = V d_0H22_0V HdM (4.33)silucrulmecanicnecesarmagnetizariiunitat iidevolumeste:LV= d_0H22_0HdM (4.34)Primul termen din relat ia 4.34 reprezint a lucrul mecanic necesar pen-truacreacampul Hindependent deexistent acorpului magnetic. Aldoileatermenestelucrulmecanicefectuatpentruamagnetizaunitateadevolumasubstant eidate.PROBLEMA4.6 Pentruungazidealsasedetermine:a)Coeficientuldedilatareizobar =1V_VT_pb)Coeficientuldevariat ieapresiuniicutemperatura=1p_pT_Vc)CoeficientuldecompresibilitateizotermaKT= 1V_Vp_TCAPITOLUL4. TERMODINAMICA 80SOLUTIESe utilizeaza ecuat ia termica de stare a gazului ideal pV= RT. Dinaceastarezulta:_VT_p=Rp(4.35)Atunci: =1V_VT_p=RpV=1T(4.36)Deoarece:_Vp_T= RTp2(4.37)Atunci:KT= 1V_Vp_T=1p(4.38)Deoarece:_pT_V=RV(4.39)Atunci:=1p_pT_V=1T(4.40)PROBLEMA4.7 Sa se demonstreze urmatoarea relat ie ntre coefi-cientuldecompresibilitateadiabaticasicoeficientuldecompresibilitateizoterm:KS= _CVCp_KT(4.41)(formulaluiReech)Coeficient ii de compresibilitate adiabatica KS, respectiv izoterma KTsuntdat ideexpresiile:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 81KS= 1V_Vp_S(4.42)KT= 1V_Vp_T(4.43)SOLUTIEIncazulunuiprocesadiabaticQ = 0 siatunci:dU+pdV= 0 (4.44)SeconsideraU=U(p,V) siatunci:dU=_Up_Vdp +_UV_pdV (4.45)Relat ia4.44devine:_Up_Vdp +__UV_p+p_dV= 0 (4.46)si_pV_S= _p +_UV_p__Up_V(4.47)Sepunsuboaltaformaexpresiilecareaparlanumitor,respectivlanum ar atorulrelat iei4.47:_Up_V=_UT_V_Tp_V= CV_Tp_V(4.48)undeCV=_UT_V(4.49)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 82estecapacitateacaloricaasistemuluilavolumconstant._UV_p=_UT_p_TV_p(4.50)T inand cont de relat ia 4.50 num aratorul expresiei 4.47 se poate scrie:p +_UV_p= p_VT_p_TV_p+_UT_p_TV_p(4.51)saup +_UV_p=__UT_p+p_VT_p__TV_p(4.52)DinQ = dU+pdV rezulta:Cp=_QdT_p=_UT_p+p_VT_p(4.53)Atuncirelat ia4.52devine:p +_UV_p= Cp_TV_p(4.54)Seutilizeazarelat iile4.48 si4.54 siatuncirelat ia4.47devine:_pV_S= CpCV_TV_p_Tp_V=CpCV_pV_T(4.55)astfelca:1V_Vp_S=CVCp_1V_Vp_T_(4.56)Introducand n4.56relat iile4.42 si4.43seobt ine:KS=CVCpKT(4.57)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 83PROBLEMA4.8Incazul unei substant eacarei ecuat ietermicadestareestedeformap = p (V, T),sasearatecap=KT(4.58)undeestecoeficientul devariat ieal presiunii cutemperatura, estecoeficientul de dilatare liniar iar KTeste coeficientul de compresibilitateizoterm.SOLUTIEDinrelat iap=p(V,T)rezulta:dp =_pT_VdT+_pV_TdV (4.59)iardin4.40_pT_V= p (4.60)precum si_pV_T= 1V KT(4.61)Substituind4.60 si4.61 n4.59rezulta:dp = pdT 1KTdVV(4.62)Candp =const,dp=0 sirelat ia4.62devine:pdT 1KTdVV= 0 (4.63)deunde: =1V_VT_p= pKT(4.64)Deaicirezultaimediatrelat iaceruta:p=KT(4.65)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 84PROBLEMA4.9 Sasedemonstrezeidentitatea_pV_T_VT_p_Tp_V= 1 (4.66)folosindproprietat ilejacobienilor.SOLUTIEDerivatelepart ialesepotscrie_pV_T=[p, T][V, T](4.67)_VT_p=[V, p][T, p](4.68)_Tp_V=[T, V ][p, V ](4.69)Atunci:_pV_T_VT_p_Tp_V=[p, T][V, T][V, p][T, p][T, V ][p, V ](4.70)si_pV_T_VT_p_Tp_V= [p, T][V, T][p, V ][p, T][T, V ][p, V ]= 1 (4.71)PROBLEMA4.10 Dintr-unvasizolattermicsepompeazaaerulrealizandu-seunvid naintat. Vasuleste ncontacttermiccuatmosferaunde presiunea este p0 si temperatura T0. La un moment dat robinetul deevacuaresedeschide siarelocumplereavasuluicuaer. Cetemperaturavaaveagazuldininteriorulvasuluidupaumplereaacestuia?CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 85

6

F

8Figura4.2: Recipientvidat ncarepatrundeaerSOLUTIEPrindeschiderearobinetului,unvolumV0deaerdinatmosferaintran recipient mpins de restul atmosferei care efectueaza un lucru mecanicL = p0V0( Fig. 4.2).In figura a fost delimitat formal volumul de aerV0carevaintra nvasprindeschiderearobinetului.Procesul suferit de volumul V0 de aer este un proces adiabatic: schim-bul decalduranuareloc. Seaplicaprincipiul Ial termodinamicii.InacestprocesU=Q L. CumQ=0iarlucrulmecanicareexpresiacalculatamaisusseobt ine:U= p0V0(4.72)FieTtemperaturaaeruluiceaintrat nrecipient. Atunci:U= CVT CVT0(4.73)Dinrelat iile4.72 si4.73seobt ine:CV (T T0) = p0V0(4.74)care t in and cont de ecuat ia de stare a gazului idealp0V0= RT0devine:CV (T T0) = RT0(4.75)Deaicirezulta:T=CV+RCVT0=CpCVT0= T0(4.76)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 86PROBLEMA4.11 Sa se determine ecuat ia termica de starencazul unei substant epentrucaresecunosccoeficientul termical pre-siunii=1p_pT_V= f(T) (4.77)sicoeficientuldecompresibilitateizotermKT= 1V_Vp_T=1p(4.78)SOLUTIESepornestedelarelat iastabilita nproblema3.8: = pKT(4.79)Seexprima-coeficientuldedilatareizobarsubforma: =1V_VT_p=_Tln V_p(4.80)siset inecontca1/p = KT. Relat ia4.79devine:_Tln V_p= = f (T) (4.81)Porninddeladefinit iacoeficientuluidecompresibilitateizoterm:KT= 1V_Vp_T= _p ln V_T(4.82)atunci:_Tln V_T= 1p(4.83)Deoareced (ln V ) =_Tln V_pdT+_p ln V_Tdp (4.84)rezulta:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 87d (ln V ) = f (T) dT 1pdp (4.85)iarprinintegrareseobt ine:ln V=_f (T) dT ln p + const (4.86)PROBLEMA4.12 Sasededucaecuat iatermicadestareauneisubstant epentrucarecoeficientuldedilatarevolumic asicoeficientuldecompresibilitateizotermKTsuntdat ideexpresiile: =1V_VT_P=(V a)V T(4.87)KT= 1V_Vp_T=3(V a)4pV(4.88)undeaesteunvolumconstant.SOLUTIESeconsideraV= V (T, p) siprindiferent iereseobt ine:dV=_VT_pdT+_Vp_Tdp (4.89)T inandcontdedefinit iilelui siKTrezulta:dV= V dT KTV dp (4.90)Introducandexpresiilelui si KTdate nenunt ulproblemei relat ia4.90devine:dV= (V a) dTT3 (V a) dpp(4.91)sau:dVV a=dTT3dpp(4.92)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 88Prinintegrareseobt ine:p3/4_V aT_= const (4.93)PROBLEMA4.13 Sasegaseascarelat iadintreCpsi CV(relat iaRobert - Mayer) pentru un sistem termodinamic ce poate fi caracterizatde parametri p, V , T (dintre care doi sunt independent i) iar U =U(T, V )SOLUTIESe utilizeaza primul principiu al termodinamicii sub forma diferent ial a:dU= QpdV (4.94)CumdU=_UT_VdT+_UV_TdV (4.95)Dinrelat iile4.94 si4.95seobt ine:Q =_UT_VdT+__UV_T+p_dV (4.96)SeconsideraV=const(dV=0) siatuncirelat ia4.96devine:Q =_UT_VdT (4.97)deunderezulta:CV=_QdT_V=_UT_V(4.98)CumV= V (p, T)dV=_Vp_Tdp +_VT_pdT (4.99)T inandcontderelat iile4.98 si4.99relat ia4.96devine:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 89Q = CVdT+__UV_T+p___VT_pdT+_Vp_Tdp_(4.100)Seconsiderap =const. Atuncidp=0iarrelat ia4.100devine:Q = CVdT+__UV_T+p_ _VT_pdT (4.101)Din4.101seobt ine:Cp=_QdT_p= CV+__UV_T+p_ _VT_p(4.102)PROBLEMA4.14 Sasedemonstrezeidentitatea_UT_p+p_VT_p= Cp(4.103)SOLUTIESe aplica primul principiu al termodinamicii dU= QpdV ; rezulta:_UT_p=_QdT_pp_VT_p(4.104)CumCp=_QdT_p(4.105)seobt ine:Cp=_UT_p+p_VT_p(4.106)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 90PROBLEMA4.15 Pentruungazsasedemonstrezerelat ia_Hp_TV=_Up_T+p_Vp_T(4.107)SOLUTIEPentruungazH= U+pV (4.108)dH= dU+pdV+V dp (4.109)deunde:_Hp_T=_Up_T+p_Vp_T+V (4.110)_Hp_TV=_Up_T+p_Vp_T(4.111)PROBLEMA4.16 Sasedemonstrezerelat ia(CpCV )_2TpV_+_Cpp_V_TV_p_CVV_p_Tp_V= 1(4.112)SOLUTIEDinrelat iaRobert-Mayer(problema3.13)rezulta:(CpCV )_TV_p=_UV_T+p (4.113)Se deriveaza aceasta relat ien raport cu pcand V= const si se obt ine:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 91(CpCV )_2TV p_+_Cpp_V_TV_p_CVp_V_TV_p==_p_UV_T_V+ 1 (4.114)dar:_CVp_V=_CVT_V_Tp_V(4.115)si:p_UV_T=_2UTV__Tp_V=_CVV_T_Tp_V(4.116)T inandcontderelat iile4.115 si4.116,relat ia4.114devine:(CpCV )2TpV+_Cpp_V_TV_p__CVT_V_TV_p+_CVV_T__Tp_V= 1SeconsideraCV= CV(T, V ). Atunci:dCV=_CVV_TdV+_CVT_VdTRezulta:_CVV_p=_CVV_p+_CVT_V_TV_p(4.117)astfelca(CpCV )_2TpV_+_Cpp_V_TV_p_CVV_p_Tp_V= 1(4.118)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 92( )S dz z p +( )Sgdz z r( )S z pzdz z +Figura4.3: Cilindrudeaerla nalt imeazPROBLEMA4.17 Sepresupunecaatuncicandaerul(consideratgaz ideal) se ridicasuferaunproces de destindere adiabatica. Sasedeterminevariat iatemperaturii cucrestereaaltitudinii. Saseevaluezeratavariat ieitemperaturiicualtitudineadT/dzconsiderand=1,41,=28,9g/mol sig=9,8m/s2.SOLUTIEConsideramaerul dintr-unvolumcilindricde n alt imedzsi bazaS(Fig.4.3).Condit iadeechilibrupentruaceastaport iunedegazeste:p(z)S p(z +dz)S (z)Sgdz= 0 (4.119)deunderezulta:dp(z) = (z)gdz (4.120)sau:dp (z)dz= (z) g (4.121)Cum ncazulunuigazideal: =pRT(4.122)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 93undeestemasamolaraagazului,relat ia4.121devine:dp (z)dz= pgRT(4.123)sau:dpp= gRT dz (4.124)Cumtransformarealacareestesupusgazulesteadiabatica:p1T= const (4.125)Prindiferent iereaacesteirelat iiseobt ine:(1 ) pTdp +p1T1dT= 0(1 ) Tdp +pdT= 0 (4.126)adica:dpp= 1dTT(4.127)Dinrelat iile4.124 si4.127rezulta: 1dT= R dz (4.128)deunde:dTdz= 1gR(4.129)Aceastanseamna ca odata cu cresterea altitudinii temperatura scade.Dinrelat iademaisusseobt inepentruratascaderiitemperaturiicual-titudinea o valoare de aproximativ 100C/km. Totusi scaderea reala estedoarde60C/km,neconcordant adatorandu-sealtorfenomene.PROBLEMA4.18 Propagareasunetului naerarelocadiabaticcuvitezaCAPITOLUL4. TERMODINAMICA 94vs=dpd(4.130)(undeestedensitateaaerului)a)Sasedeterminerelat iacareexista ntreexponentuladiabaticsivitezasunetuluivs.b)Sasedeterminevariat ialui vs nfunct iedetemperaturasi saseevaluezevitezasunetuluila00Clapresiuneade1atm.SOLUTIEDinecuat iatransformariiadiabaticepentrugazulidealpV=constscrisa nvariabilelep,V,seobt ineprindiferent iere:Vdp +V1dV= 0 (4.131)dpp+dVV= 0 (4.132)Cum = m/V rezulta:d = mdVV2= dVV(4.133)saud= dVV(4.134)Dinrelat iile4.132 si4.134rezulta:dppd= 0 (4.135)deunde:dpd= p(4.136)Atunci:vs=_p(4.137)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 95Astfel prin masurarea vitezei sunetului prin metode uzuale n condit iicunoscutesepoatedeterminaexponentuladiabatic.b)Dinecuat iatermicadestareagazuluiidealpV=mRT(4.138)seobt ine:p=RT(4.139)siatunciutilizandrelat ia4.130 si4.136seobt ine:vs=RT(4.140)Incazul aerului =1,41, T=273K, R=8310J/Kmol K. Seobt ine:vs= 332m/sPROBLEMA4.19 Admit and ca proprietat ile radiat iei termice suntsimilareunuigazsasedetermineecuat iatransformariiadiabatice stiindcadensitateaenergieiinterneeste:u = T4(4.141)iarpresiuneap =u3(4.142)SOLUTIEEnergiainternaaradiat ieitermicedintr-unvolumV este:U= uV= V T4(4.143)Inplus:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 96p =u3=T43(4.144)Utilizandexpresiaprimului principiual termodinamicii subformadiferent ial aQ = dU+pdV precum sirelat iile4.143 si4.144seobt ine:Q = d(V T4) +pdV (4.145)sauQ = T4dV+ 4V T3dT+T43dV (4.146)Q =4T4dV3+ 4T3V dT (4.147)IncazultransformariiadiabaticeQ = 0 siconsiderandrelat ia4.147seobt ine:dVV+ 3dTT= 0 (4.148)Prinintegrarerezulta:ln V+ 3 ln T= const (4.149)Seobt ineastfelecuat iatransformariiadiabatice:V T3= const (4.150)PROBLEMA4.20 Sa se calculeze lucrul mecanic si caldura schim-batecumediulexterndecatreradiat iatermicacaresedestindeizotermvolumulvariinddelaV1lavolumulV2SOLUTIELucrulmecaniceste:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 97L =V2_V1pdV=V2_V1T43dV=T43(V2V1) (4.151)(Incalcululdemaisusamt inutcontderelat ia4.142)Cum:Q = U+L (4.152)rezultacapentrudeterminarealuiQestenecesaracunoasterealuiU.DarU= T4(V2V1) (4.153)T inandcontderelat iile4.151,4.152 si4.153rezulta:Q =43T4(V2V1) (4.154)PROBLEMA4.21 Care este temperaturafinalaaunui mol degaz care se destinde adiabaticnvidde lavolumul V1lavolumul V2considerandca:a)gazulesteidealiarexpresiaenergieiinterneestedeformaU=3RT2(4.155)b)gazulesterealiarexpresiaenergieiinterneestedeformaU=3RT2aV(4.156)undeaesteoconstantaSOLUTIEIncazul destinderii adiabaticenvidQ=0, L=0, deoareceocupareadecatregazanouluivolumsefacedatoritaagitat ieitermice.RezultaU= 0adicaU=const siU1= U2.a) ncazulgazuluiideal:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 983RT22=3RT12(4.157)deunde:T1= T2Pentrugazulreal:3RT22aV2=3RT12aV1(4.158)deundeT2= T1 +2a3R_1V21V1_(4.159)CumV2> V1rezultacaT2< T1Pentrugazulrealdestindereaareloccuscadereatemperaturiisale.PROBLEMA4.22Incursul unui procesJoule- Thomsongazulaflat lapresiuneap1este lasat satreacaprintr-undopporosntr-uncompartiment ncarepresiuneaestep2. Candgazul dinvolumul V1sedestinde nvolumul V2sasearateca ncursul acestui procesentalpiaH=U+pV se conserva. Se presupune caperet ii exteriori izoleazaadiabaticsistemul.SOLUTIEProcesul esteilustratat nFig. 4.4. Pereteledinstangaeste mpinsusor astfelnc at volumul compartimentului dinstangasascadadelavaloareaV1lavaloarea0iarvolumul compartimentului dindreaptasacreascadelavaloarea0lavaloareaV2.Lucrulmecanicefectuatdesistemeste:L =0_V 1p1dV+V2_0p2dV= p1V1 +p2V2(4.160)Se aplica primul principiu al termodinamicii acestui proces si se obt ine:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 99Perete porosPiston Piston

F

FFigura4.4: ProcesulJoule-ThomsonU2U1= L = p1V1p2V2(4.161)deunde:U2 +p2V2= U1 +p1V1(4.162)adica:H1= H2(4.163)PROBLEMA4.23 Sa se arate ca variat ia de temperatura n cursulunui proces Joule-Thomsonpentruungaz oarecare se poate exprimaastfel:T= 1Cp_HV_T_Vp_Tp (4.164)SOLUTIEIntr-unprocesJoule-ThomsonH=0. Pentruunastfel deprocesseconsideraentalpiafunct iedeparametrip,T siatunci:H=_HT_pT+_Hp_Tp = 0 (4.165)deundeseobt ine:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 100T= _Hp_T_HT_pp (4.166)Deoarece:H= U+pV (4.167)dH= Q+V dp (4.168)Candp =constrezultacadH= Q siCp=_QdT_p=_HT_pAtunciT= 1Cp_Hp_Tp (4.169)PentruH= H(p, V )dH=_HT_pdT+_Hp_Tdp (4.170)Darcump = p (V, T)dp =_pT_VdT+_pV_TdVAstfelrelat ia4.170devine:dH=__HT_p+_Hp_T_pT_V_dT+_Hp_T_pV_TdV(4.171)PentruH= H(V, T)dH=_HV_TdV+_HT_VdT (4.172)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 101Comparandrelat iile4.171cu4.172obt inem:_HV_T=_Hp_T_pV_TDeaicirezulta:_Hp_T=_HV_T_Vp_T(4.173)Astfelrelat ia4.169devine:T= 1Cp_HV_T_Vp_Tp (4.174)Deoarececrestereapresiuniiconducelamicsorareavolumului_Vp_T< 0sepottrageurmatoareleconcluzii:Daca_HV_T> 0atunciTsipauacelasisemnDaca_HV_T< 0atunciTsipausemnecontrareDaca_HV_T= 0atunciT= 0PROBLEMA4.24 Asupraunei bare realizatadintr-unmaterialelastic de lungime L1, avandsect iuneaS1, aflatalatemperaturaT1,act ioneaz aofort aF1. DacasecunoastecoeficientuldedilatareliniarCAPITOLUL4. TERMODINAMICA 102 =_1L__LT_F(4.175)precum simodululluiYoungE=_LS__FL_T(4.176)sasedeterminelungimeaL2candtemperaturacrestelavaloareaT2,iarfort adevineegalacuF2.SOLUTIEConsiderandL = L(T, F)seobt ine:dL =_LT_FdT+_LF_TdFsiintroducand4.175 si4.176:dL = LdT+LESdF (4.177)deunde:L2_L1dLL= T2_T1dT+1SEF2_F1dFRezulta:ln_L2L1_= (T2T1) +F2F1SE(4.178)Observat ii:a)F=constln_L2L1_= (T2T1) (4.179)L2= L1 exp [(T2T1)]CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 103Pentru variat ii mici de temperatura se poate dezvoltan serie exponent ialaret in andprimiitermeni sirezulta:L2= L1[1 +(T2T1)]b)T=constln L2L1=F2F1SEL2= L1 exp_F2F1SE_(4.180)Incazul ncareF1= 0,iarF2ES 1relat ia4.180sepoatescrie:L2= L1_1 +F2ES_siseobt ine:L = L2L1= L1F2ESadicaoexpresiecareconstituielegealuiHooke.PROBLEMA4.25 Sa se arate ca pentru un metal elastic sub formadesarmaculungimeaLlatemperaturaTsi asupracaruiaact ioneazafort aFestesatisfacut arelat ia_FT_L= ES (4.181)undeEestemodulul lui Youngiarestecoeficientul dedilatareliniar(semnificat iile marimilor care apar n problema au fost date n problemaprecedent a)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 104SOLUTIE_FT_L= _LT_F_LF_T=1L_LT_FSL_LF_TS= ESPROBLEMA4.26 Sa se arate ca pentruungaz ideal este sa-tisfacutarelat ia_Up_T= 0 (4.182)SOLUTIEPentruU= U(T, V )seobt ine:dU=_UT_VdT+_UV_TdV (4.183)PentruotransformareizotermadT= 0, si:dU=_UV_TdV (4.184)Atunci_Up_T=_UV_T_Vp_T(4.185)Deoarece n cazul unui gaz ideal energia intern a depinde doar de tem-peratura_UV_T= 0iardinrelat ia4.185rezulta:_Up_T= 0CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 105PROBLEMA4.27 Sasearateca ncazul unui procesadiabaticntr-unsistemacaruienergieintern adepindedeTsiparelocrelat ia:Cp_Tp_S= __Up_T+p_Vp_T_(4.186)SOLUTIEConsiderandU= U(p, T)dU=_UT_pdT+_Up_Tdp (4.187)Dar:dV=_VT_pdT+_Vp_Tdp (4.188)AtuncidinprimulprincipiualtermodinamiciiQ = dU+L = dU+pdVsidinrelat iile4.187 si4.188rezulta:Q =__UT_p+p_VT_p_dT+__Up_T+p_Vp_T_dp (4.189)Deoarece:Cp=_QdT_p=_UT_p+p_VT_p(4.190)relat ia4.189devinepentruunprocesadiabaticCpdT+__Up_T+p_Vp_T_dp = 0 (4.191)deunde:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 106Cp_Tp_S= __Up_T+p_Vp_T_PROBLEMA4.28 Sa se studieze forma izotermelor pentru un gazrealcaresatisfaceecuat iaVan-der-Waals:_p +2aV2_(V b) = RT (4.192)undeestenumarul dekmoli iarasi bsuntconstantepozitive. Sasedeterminepresiuneacriticapc,volumulcriticVcprecum sitemperaturacriticaTc.SOLUTIEDacasenoteazacuv= V/volumulmolarecuat iadestaredevine:_p +av2_(v b) = RTsau:p =RTv b av2(4.193)deunde:_pv_T= RT(v b)2+2av3_pv_T=2a(v b)2_(v b)2v3RT2a_(4.194)Pentruastudiasemnulacesteiderivateseconsiderafunct ia:f (v) =(v b)2v3(4.195)definitapentruv> bSe studiaza variat ia acestei funct ii. Pentru aceasta se considera derivatasa nfunct iedev:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 107> 27 / 4) (L BL> 3 >Figura4.5: Funct iaf(v)dfdv=v bv4(3b v) (4.196)Candv< 3bfunct iaestecrescatoaredeoareceprimaeiderivataestepozitiva.Candv >3b funct iaeste descrescatoare deoarece derivataei estenegativa. Candv= 3bseobt inevaloareamaximaaluif(v) sianume:f (3b) =427bMent ionamcadaca: v b f (v) 0iardaca: v f (v) 0Graficulacesteifunct iiestereprezentat nFig.4.5.Daca:427b8a27RbDaca:427b>RT2aadicaT 3bCandv (b, v1),(v b)2v3RT2a< 0si:_pv_T< 0Candv (v1, v2)(v b)2v3RT2a> 0si:_pv_T> 0Candv> v2(v b)2v3RT2a< 0si:_pv_T< 0CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 109VBA

v

vpOFigura4.6: IzotermaVan-der-WallsCandv1= v2= vv=8a27RbAlurauneiizotermeesteceaprezentat a nFig.4.6.Seobservaca npunctul v1, presiuneaareunminimiarcandvolu-mulesteegal cuv2, presiuneaareunmaxim. Candtemperaturacrestev1 3b , v2 3badicapuncteledeextremseapropiedince ncemai multpanaajungsacoincida. AcestlucruareloclaotemperaturacriticaTc. CandTFFigura4.7: Cicluformatdindouaadiabate siob) Din formularea Thomson a principiului al II-lea rezulta ca sistemulnupoateefectualucrumecanicasupramediului. Atunci:L 0 (4.216)DacaL < 0 nseamn acamediulexternefectueazaunlucrumecanicasuprasistemului.Seconsideraacelasi procesciclicizotermparcurs nsensinvers.Incursulacestuiproceslucrulmecanicefectuatdemediueste-L.Atunci:L 0 (4.217)Dinrelat iile4.216 si4.217rezultacaL=0.PROBLEMA4.32 Sasearatecapentruaceeasicantitatedesub-stant adouaadiabatenusepotintersecta.SOLUTIEFie doua transformari adiabatice a si b precumsi transformarea izoter-maA1A2reprezentate nFig.4.7. A3estepunctuldeintersect ie alcelordouaadiabate.Se considera ciclul A1A2A3parcurs n sensul acelor de ceasornic. Sis-temulpreiacaldur adoar ncursultransformariiA1A2si, nplus,L > 0.CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 115VpV1+V2V1p1p2p1V1V2Figura4.8: Destindereadiabatica nvidAceastanseamna ca sistemul ia caldur a de la o singura sursasipoate efectualucrumecanic asupramediului extern, ns aacest lucruesteinterzisdeprincipiul IIal termodinamiciisi ipotezafacutanuesteadevarata. (Se observa si faptul ca daca A1A2nu este izoterma, nu avemosingurasursadecaldur a)Rezultacadouaadiabatealeaceleiasi cantitat i desubstant anusepotintersecta.PROBLEMA4.33 Sa se arate ca procesul de destindere adiabaticaaunuigazidealdintr-oincintacuvolumul V1sitemperaturaT1, ntr-oincint avidatacuvolumulV2esteireversibil. Sasecalculezevariat iadeentropie ncursulacestuiproces.SOLUTIEDeoarecedestindereaesteadiabaticasi s-arealizat nvidQ=0siL=0. RezultacaU=0si cumpentruungazideal U=CV TrezultacaT=0, adicatemperaturafinalaesteegalacuceainit ial a.Procesulestereprezentat nFig.4.8.Procesul ar fi reversibil dacasistemul si mediul ar puteareveni lastareainit ial aprinaceleasistariintermediare,lucrucarenuesteposibildeoarecegazul artrebui satreacadelasine nincintacuvolumV1nincintacuvolumul V2raman andvid. Procesul este ireversibil si esteasociatcucresteredeentropie.CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 116Calculul variat iei deentropieserealizeazaporninddelafaptul caaceasta este o funct ie de stare si exista posibilitatea evalu arii ei n cursulunui proces reversibil ntre cele doua stari.In aceasta situat ie se consideraotransformareizotermareversibila ntreceledouastari.Atunci:dS=QT(4.218)Cumtransformareaesteizotermaiarpentrugazulideal:dU= QL = 0seobt ine:Q = L = pdV (4.219)Seutilizeazaecuat iatermicadestareagazuluiidealpV= RTsirezulta:pT=RV(4.220)T inandcontde4.219 si4.220relat ia4.218devine:dS= RdVVIntegrand:S= RV1+V2_V1dVV= Rln (V1 +V2)V1> 0PROBLEMA4.34 Douacantit at ideapademasaMsegasesclatemperaturile T1si T2(T1> T2). Cele doua cantitat i de apa se introducntr-uncalorimetrucareleconferaoizolareadiabatica. Sasecalculezevariat iadeentropie nprocesuldeatingereaechilibruluitermic.CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 117SOLUTIEDeoarece ncursul procesului deatingereastarii deechilibru, can-titat ii de apacutemperaturamai micai se transmite ocantitate decalduradelaapacutemperaturamai mare, pentrucaprocesul safiereversibil caldura cedata ar trebui sa treaca napoi de la sine. Din formu-larea lui Clausius a principiului II rezulta ca acest lucru nu este posibil; nconsecint aprocesulnupoatefidecatunulireversibil. Ca si nproblemaprecedent a, pentrucalculul variat iei deentropieseconsideraunprocesreversibil ntreceledouastari.Seutilizeazaecuat iacalorimetrica:Mc (TeT2) = Mc (T1Te)Pentrutemperaturadeechilibrurezulta:Te=T1 +T22(4.221)Se considera ca are loc un proces de racire reversibil pentru cantitateadeapadelatemperaturaT1latemperaturaTe(T1>Te). Variat iadeentropieeste:S1=Te_T1QT=Te_T1McdTT= Mc ln TeT1(4.222)InmodanalogpentrucantitateadeapaaflatalatemperaturaT2seconsideraunprocesreversibilde nc alzirelatemperaturaTeS2=Te_T2QT=Te_T2McdTT= Mc ln TeT2(4.223)Din4.222 si4.223rezulta:S= S1 + S2= Mc_ln TeT1+ ln TeT1_siconsiderand4.221seobt ine:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 118S= Mc lnT2eT1T2= Mc ln (T1 +T2)24T1T2> 0 (4.224)PROBLEMA4.35 Sasearateca ncazul unei substant eacareiecuat ietermicadestareareformap = p (V, T),esteadevaratarelat ia_UV_T= T_pT_Vp (4.225)SOLUTIEIncazulunuiprocesreversibil:dS=dU+pdVT(4.226)DacaU= U(T, V )dU=_UV_TdV+_UT_VdT (4.227)relat ia4.226devine:dS=_1T_UV_T+pT_dV+1T_UT_VdT (4.228)Cumentropiapoatefi consideratacafunct iedeVsi Tsi cumdSesteodiferent ialatotalaexacta2STV=2SV Tseobt ine:T_1T_UV_T+pT_V=V_1T_UT_V_Tdeunderezulta:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 1191T2_UV_T+1T2UTV pT2+1T_pT_V=1T2UV T(4.229)Ufiind sieaodiferent ialatotalaexacta2UTV=2UV Tsidin4.229rezultarelat iaceruta:_UV_T= T_pT_VpPROBLEMA4.36 Sa se arate ca energia intern a a unei substant epentrucareecuat iadestareareformap = Tf(V )esteindependent adevolum.SOLUTIEInproblemaprecedent as-adedusca:_UV_T= T_pT_Vp (4.230)Cum:_pT_V= f (V ) (4.231)atunci:_UV_T= 0adicaenergiaintern anudepindedevolum.CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 120PROBLEMA4.37 Sasedemonstrezepentruunfluidrelat ia:CpCV= T_pT_V_VT_p= TV2KT(4.232)undeestecoeficientul dedilatareizobar iar KTestecoeficientul decompresibilitateizoterm.SOLUTIESet inecontderelat ialuiRobert-MayerCpCV=_p +_UV_T_ _VT_p(4.233)siderelat ia_UV_T= T_pT_Vp (4.234)Seobt ine:CpCv= T_pT_V_VT_p(4.235)dar:_pT_V= _VT_p_Vp_T(4.236)Atunci4.235devine:CpCV= T_VT_2p_Vp_T(4.237)Cum:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 121_VT_p= V_Vp_T= KTVseobt ine:CpCV= TV2KTPROBLEMA4.38 Sa se determine energia interna a unui gaz pen-trucareecuat iatermicadestareestep =u3(4.238)unde ueste energia unitat ii de volum care depinde doar de temperatura.SOLUTIEPentru un gaz care ocupa volumul Vla temperatura Tenergia intern aeste:U= V u(T) (4.239)Cum:p =u (T)3(4.240)folosindrelat ia:_UV_T= T_pT_Vp (4.241)densitateadeenergieintern adevine:u(T) =13T du(T)dTu(T)3(4.242)Deaicirezulta:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 122du(T)u(T)=4dTT(4.243)Integrandseobt ine:ln u(T) = 4 ln T+ constu(T) = constT4PROBLEMA4.39 Utilizand relat ia lui Stefan-Boltzmann care pen-tru sistemul radiat ie termica leaga densitatea de energie de temperaturau=T4(esteoconstant a)precumsi relat iaceleagadensitateadeenergiedepresiunep=u/3, sasedetermineentropiasi ecuat iatrans-formariiadiabaticepentruacestsistem.SOLUTIEEnergiainternaaunuivolumV ocupatderadiat iatermicaeste:U= V udeunde:dU= udV+V du (4.244)Atuncidiferent ialaentropieidS=QT=dU+pdVTdevinet in andcontderelat ia4.244dS=udV+V du +pdVT(4.245)Cumexpresiadensitat ideenergieeste:u = T4iarpresiuneaeste p =u4=T44CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 123relat ia4.245devine:dS= 4V T2dT+43T3dV (4.246)Prinintegrareseobt ine:S=43T3V (4.247)Ecuat iaadiabateiseobt inepunandS=const.T3V= constPROBLEMA4.40 Sa se determine expresia entropiei unui gazidealalcatuitdinkmoli,cunoscandu-seCVcalduramolaralavolumconstant siCpcalduramolaralapresiuneconstant a.SOLUTIEUtilizamecuat iafundamentalapentruprocesereversibile:TdS= dU+pdV (4.248)ncaredU= CVdTiarp =RTVAtunci:dS= CVdTT+RdVV(4.249)Integrandrezulta:S(T, V ) = CVln T+Rln V+ const (4.250)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 124Pentruaobt ineexpresiaentropiei nfunct iedeparametripsiT senlocuieste n relat ia 4.250 volumul obt inut din ecuat ia termica de stare:V=RTp(4.251)Rezulta:S (T, p) = CVln T+Rln_RTp_+ constS (T, p) = Cp ln T Rln p + const (4.252)Pentru a obt ine expresia entropiei n coordonate p si Vse nlocuiestetemperaturaTdinecuat iadestare:T=pVRnecuat ia4.250. Seobt ine:S (p, V ) = CVln_pVR_+Rln V+ constS (p, V ) = CVln p +Cp ln V+ constPROBLEMA4.41 Fieungazreal caresatisfaceecuat iadestareVan-der-Waals:_p +2aV2_(V b) = RT (4.253)Considerandconstant acalduramolaralavolumconstant CVsasestabileasca:a)expresiaenergieiinterneb)expresiaentropieic)ecuat iatransformariiadiabatice.CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 125SOLUTIEa)Seconsideraenergiafunct iedevolum sitemperatura:U= U(V, T)Atunci:dU=_UV_TdV+_UT_VdT (4.254)Inaceastarelat ie:_UT_V= CV(4.255)undeCVestecalduramolaralavolumconstant.Inplus_UV_T= T_pT_Vp (4.256)Dinecuat iadestareagazuluirealrezulta:p =RTV b 2aV2(4.257)Atunci:_pT_V=RV b(4.258)T inandcontderelat iile4.257 si4.258relat ia4.256devine:_UV_T=2aV2(4.259)Considerand4.255 si4.259relat ia4.254devine:dU= CVdT+2adVV2(4.260)Prinintegrareseobt ine:U= CVT 2aV+ const (4.261)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 126Se observa can cazul gazului real n afara termenului CVT n expre-siaenergiei interneintr asi termenul 2a/V careexprimacontribut iaenergiilorpotent ialedeinteract iedintremoleculelegazului.b)Dinrelat iafundamentalapentruproceselereversibilerezulta:dS=QT=dU+pdVT(4.262)Considerandrelat iile4.257 si4.260,relat ia4.262devine:dS=CVdTT+RdVV b(4.263)Seintegreazaaceastarelat ie siseobt ine:S= CVln T+Rln (V b) +S0(4.264)c)Incazul unui proces adiabaticS=const. Dinrelat ia4.264seobt ineecuat iaprocesuluiadiabatic.TCVR(V b) = constPROBLEMA4.42 Sa se demonstreze relat iile lui Maxwell n cazulunor procese reversibile pentru un fluid oarecare caracterizat de parametrip,V ,T._TV_S= _pS_V(4.265)_Tp_S=_VS_p(4.266)_pT_V=_SV_T(4.267)_Sp_T= _VT_p(4.268)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 127SOLUTIEDemostrat iilese fac pornindde lafaptul caU, F, G, H suntfunct ii de stare. Atunci dU, dF, dG, dH sunt diferent iale totaleexacte. Aceastaimplicafaptulcadacaformadiferent ialadF= Xdx +Y dyesteodiferent ialaexactaestevalabil arelat ia:Xy=Yxa)dU= TdS pdV_TV_S= _pS_V(4.269)b)H= U+pVdH= dU+V dp +pdV= TdS pdV+V dp +pdV= TdS +V dp_Tp_S=_VS_p(4.270)c)F= U TSdF= dU SdT TdS= TdS pdV SdT TdS= pdV SdT_pT_V=_SV_T(4.271)d)G = U TS pVCAPITOLUL4. TERMODINAMICA 128dG = SdT+V dp_Sp_T= _VT_p(4.272)PROBLEMA4.43 Sa se determine variat ia marimilor T, V, UsiH ncazuluneicomprimariadiabatice.SOLUTIEVariabileleindependente pecareleconsideram nacestcazsuntSsip. Acesta nseamn acaT= T (S, p) siatunci:dT=_TS_pdS +_Tp_SdpDar cumdS= 0pentruotransformareadiabatica, pentruvariat iatemperaturiiseobt ine:dT=_Tp_SdpConformrelat iei4.270:_Tp_S=_VS_pastfelcarelat iademaisusdevine:dT=_VS_pdp =_VT_p_TS_pdp (4.273)T inandcontdeexpresiacoeficientuluidedilatareizobar: =1V_VT_prezulta:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 129_VT_p= V (4.274)Din:Cp=_QdT_p= T_ST_prezulta:_TS_p=TCp(4.275)T inandcontderelat iile4.274 si4.275,relat ia4.273devine:dT=V TCpdp (4.276)Dinexpresiacoeficientuluidecompresieadiabatic:KS= 1V_Vp_Srezulta:_Vp_S= KSVsivariat iavolumuluieste:dV=_Vp_Sdp = KSV dp (4.277)Variat iaenergieiinternesescrie:dU=_Up_Sdp =_UV_S_Vp_Sdp (4.278)Dinrelat ia:dU= TdS pdVrezulta:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 130_UV_S= pInplus:_Vp_S= KSVAstfelrelat ia4.278devine:dU= pV KSdp (4.279)Variat iaentalpieieste:dH=_Hp_Sdp (4.280)Cum:dH= TdS +V dpatunci:_Hp_S= VAstfelrelat ia4.280devine:dH= V dpPROBLEMA4.44 Sa se determine variat ia entropiei S, volumuluiV , energiei interne U, si a entalpiei H n cazul unei comprimari izoterme.SOLUTIEVariabileleindependentesuntTsi p.Incazul unui procesizotermvariat iaentropieieste:dS=_Sp_Tdp (4.281)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 131Darconformrelat iei4.270:_Sp_T= _VT_p= V Atuncirelat ia4.281devine:dS= V dp (4.282)Variat iavolumuluieste:dV=_Vp_Tdp = V KTdp (4.283)Pentru a exprima variat ia energiei interne se considera S= S(T, p) siV= V (T, p).Atunci:dS=_Sp_Tdp +_ST_pdT (4.284)dV=_Vp_Tdp +_VT_pdT (4.285)CumdU= TdS pdV (4.286)dacaseconsiderarelat iile4.284 si4.285relat ia4.286devine:dU= T__Sp_Tdp +_ST_pdT_p__Vp_Tdp +_VT_pdT_dU=_T_Sp_Tp_Vp_T_dp +_T_ST_pp_VT_p_dT(4.287)Atunci:_Up_T= T_Sp_Tp_Vp_T(4.288)Cum:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 132_Sp_T= _VT_p= V (4.289)_Vp_T= V KT(4.290)relat ia4.288devine:_Up_T= V T+pV KT(4.291)Astfel ntr-unprocesizoterm:dU=_Up_Tdp = V(T+pKT) dp (4.292)Variat iaentalpieieste:dH=TdS+Vdpiarcuajutorulrelat iei4.284seobt ine:dH= T__Sp_Tdp +_ST_pdT_+V dpdH=_T_Sp_T+V_dp +T_ST_pdTDeoarece Heste o diferent ial a totala exacta, folosind relat ia 4.289 seobt ine:_Hp_T= T_Sp_T+V= T_VT_p+V= TV +VAstfel ntr-unprocesizoterm:dH= V(1 T) dpCAPITOLUL4. TERMODINAMICA 133PROBLEMA4.45 Sa se determine variat ia energiei interne U, en-tropieiSsiatemperaturiiTncazuldilatariiizobare.SOLUTIEIn acest caz variabilele independente sunt presiunea si volumul. CumS(p, V )seobt ine:dS=_Sp_Vdp +_SV_pdV (4.293)DeoarecedU= TdS pdV (4.294)considerandrelat ia4.293seobt ine:dU= T_Sp_Vdp +_T_SV_pp_dV (4.295)Cumpresiuneaesteconstanta:dU=_T_SV_pp_dV (4.296)si_SV_p=_ST_p_TV_p=CpT1V(4.297)iarCp=_QdT_p= T_ST_pAtuncirelat ia4.296devine:dU=_CpTV p_dV (4.298)Variat iaentropieidS=_SV_pdVCAPITOLUL4. TERMODINAMICA 134sepoatepunesubforma:dS=CpTV dVdacaseconsiderarelat ia4.297.Variat iatemperaturii sepoateexprima nfunct iedecoeficientul dedilatareizobar:dT=_TV_pdV=1VdVPROBLEMA4.46 SasedetermineQ=TdSnfunct iedevari-abilele(p, V ),(p, T),(V, T)considerandcunoscut icoeficient iicaloricisitermiciaisistemului.SOLUTIEa) InvariabileleV,Tdiferent ialaentropieieste:dS=_SV_TdV+_ST_VdT (4.299)Utilizamrelat ia4.271:_SV_T=_pT_V= _VT_p_Vp_T=KT(4.300)undes-at inutcontdedefinit iilelui siKT.Inplus:_ST_V=CVT(4.301)Relat iaestejustificatadeoarece:CV=_QdT_V= T_ST_VCAPITOLUL4. TERMODINAMICA 135Atunci4.299devine:dS=CVTdT+KTdV (4.302)siQ = CVdT+TKTdVb) IncoordonatepsiT diferent ialaentropieieste:dS=_Sp_Tdp +_ST_pdT (4.303)Seutilizeazarelat ia4.272 siseobt ine:_Sp_T= _VT_p= V (4.304)precum sirelat ia_ST_p=CpT(4.305)demonstratainproblemaprecedentaAtunci4.303devine:dS=CpTdT V Tdp (4.306)si:Q = CpdT V dp (4.307)c) IncoordonateV,p diferent ialaentropieieste:dS=_Sp_Vdp +_SV_pdV (4.308)Seutilizeazarelat ia4.272 siseobt ine:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 136_Sp_V= _VT_S=_ST_V_SV_T(4.309)unde:_ST_V=CVT(4.310)iar:_SV_T=_pT_V= _VT_p_Vp_T=KT(4.311)In4.311s-at inutcontdedefinit iilelui si KT(date nproblema3.6).Atunci4.309devine:_Sp_V=CVTKT(4.312)Deoarece:_SV_p=_pT_S= _ST_p_Sp_T(4.313)si:_ST_p=CpT_Sp_T= _VT_p= V (4.314)atuncirelat ia4.313devine:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 137_SV_p=CpTV(4.315)Considerandrelat iile4.312 si4.313expresia4.308devine:dS=CVKTTdp +CpV TdV (4.316)deunderezulta:Q = TdS=CVKTdp +CpV dV (4.317)PROBLEMA4.47 SasearatecaciclulCarnotireversibilareran-damentul cel mai mare ncomparat iecuoricealtciclucefunct ioneazantredouatemperaturiextremedate.SOLUTIEDininegalitateapentruproceseireversibile:dS QT(4.318)seobt inepentruunciclu:_dS>_QT(4.319)Cumentropiaesteofunct iedestare_dS= 0 (4.320)atuncidin4.319seobt ine:_QT 0 (4.321)Senoteazacu:Q1=_pQ > 0 (4.322)calduraprimita ncursulciclului.CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 138Senoteazacu:|Q2| = _CQ > 0 (4.323)calduracedata ncursulciclului.Atunci dacaset inecontderelat iile4.322si 4.323, relat ia4.321sepoatescrie:_QT=_pQT+_CQT 0 (4.324)sau:_pQT _CQT(4.325)Se noteaza cu TMtemperatura maxima atinsan cursul ciclului. Atunci_pQT_pQTM=Q1TM(4.326)sau:Q1TM_pQT(4.327)Se noteaza cu Tm temperatura minima atinsan cursul ciclului. Atunci:_cQT _cQTm= |Q2|Tm(4.328)Dinrelat iile4.325,4.327,4.328obt inem:Q1TM |Q2|Tm(4.329)TmTM |Q2|Q11 TmTM 1 |Q2|Q1adica randamentul ciclului Carnot este randamentul cel mai mare pentruciclurilecaresedesfasoara ntredouatemperaturidate.CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 139PROBLEMA4.48Incazul unei masini termicecelucreazadupauncicluCarnotexistaposibilitateacadiferent aT1T2dintretempera-turilesurseicalde sirecisafiemaritacuTprin nc alzireasurseicaldesi prinracireasursei reci. Cumtrebuiedistribuitavariat iaTpeceledouasursepentrucarandamentulsafiemaxim?SOLUTIESeconsidera:T= T1 + T2(4.330)unde T1reprezint acrestereade temperaturaasursei calde iar T2reprezint ascaderea ntemperaturaasurseireci.Inacestecondit iirandamentuldevine:= 1 T2T2T1 + T1(4.331)Dinrelat ia4.330seobt ine:T2= T T1astfelcarelat ia4.331devine:= 1 T2T+ T1T1 + T1=T1 + T T2T1 + T1(4.332)Randamentul este maxim cand numitorul este minim, adica T1= 0.Aceasta nseamn a ca este mai eficient sa se scada temperatura surseirecipentruamarirandamentulmasiniitermice.PROBLEMA4.49 Sa se determine randamentul ciclului Otto for-mat din doua adiabate si doua izocore ( Fig. 4.9) avand ca substant a delucruungazideal. SecunoscV1/V2= si= Cp/CV .SOLUTIECaldurileschimbatedesistempentrufiecaretransformare npartesunt:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 140

!"8FFigura4.9: CiclulOttoQ12= 0Q23= Cp (T3T2)Q34= 0Q41= Cp (T1T4)Atunci:= 1 |Q41|Q12= 1 T4T1T3T2= 1 T1T2_T4T11__T3T11_ (4.333)Dintransformarea1-2seobt ine:T1T2=_V1V2_1=11(4.334)Sescriutransformarile1-2,3-4 ncoordonatep, TT1V11= T2V12(4.335)T4V11= T3V12(4.336)Dinacesteultimedouarelat iiprin mpart ireseobt ine:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 141!"

F8

Figura4.10: CiclulDieselT4T1=T3T2(4.337)T inandcontderelat iile4.334 si4.57relat ia4.333devine:= 1 1PROBLEMA4.50 Sa se determine randamentul ciclului Dieselformat dindouaadiabate, oizobarasi oizocora(Fig.4.10) avandcasubstant adelucruungazideal. Secunosc=Cp/CV , V1/V2=siV3/V2= .SOLUTIESecalculeazacaldurileschimbatedesistempentrufiecaretransfor-mare npartecorespunzatoarecicluluireprezentat nFig. 4.10.Rezulta:Q12= 0Q23= Cp (T3T2) > 0Q34= 0Q41= CV(T1T4) < 0CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 142Randamentuleste:= 1 |Q41|Q23= 1 1T1T2____T4T11T3T21____(4.338)Dintransformarea1-2rezulta:T1T2=_V2V1_1=11(4.339)iardintransformarea2-3:T3T2=V3V2= (4.340)PentruacalcularaportulT4/T1acestavafiexprimatsubforma:T4T1=_T4T3__T3T2__T2T1_(4.341)Dintransformareaadiabatica3-4rezulta:T4T3=_V3V1_1=_V3V2V2V1_1=__1(4.342)T inandcontderelat iile4.339 si4.340relat ia4.341devine:T4T1= (4.343)Atuncirandamentuleste:= 1 1(1)1( 1)PROBLEMA4.51 Sasecalculezerandamentul unei masini ter-micecelucreazadupaunciclul Joulecareestecompusdindouaadia-bate si din doua izobare (p1, p2), substant a de lucru fiind un gaz ideal cuexponentuladiabatic. Secunoasteraportul = p2/p1,(p2> p1).CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 143 ! "

F

FF8Figura4.11: CiclulJouleSOLUTIEReprezentareaciclului ncoordonate(p, V )estedata nFig. 4.11Caldurileschimbatedesistemcumediulexternsunt:Q12= Cp (T2T1) > 0Q23= 0Q34= CV(T4T3) < 0Q41= 0Atuncirandamentuleste:= 1 |Q34|Q12= 1 T3T4T2T1= 1 T3T2_1 T4T3__1 T1T2_ (4.344)Dintransformarile1-4,2-3seobt ine:T2p11= T3p12(4.345)T1p11= T4p12(4.346)deundeprin mpart irerezulta:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 144T2T1=T3T4(4.347)T inandcontderelat iile4.345,4.346 si4.347,relat ia4.341devine:= 1 _p1p2_1= 1 _1_1PROBLEMA4.52 Sasedemonstrezerelat ia:_Hp_T= T_VT_p+V (4.348)SOLUTIESepornestedelaexpresiaentalpiei:H= U+pV (4.349)Prindiferent iereobt inem:dH= TdS +V dp (4.350)dS=dH V dpT(4.351)dar:dH=_HT_pdT+_Hp_Tdp (4.352)astfel nc at:dS=_1T_Hp_TVT_dp +1T_HT_pdT (4.353)CumdSesteodiferent ialatotalaexacta:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 145T_1T_Hp_TVT_p=p_1T_HT_p_T(4.354)deunderezulta:1T2HTp 1T2_Hp_T+VT2 1T_VT_p=1T2HpTAtunci:_Hp_T= T_VT_p+VPROBLEMA4.53 Sasegaseascaexpresiadiferent ial apentruen-tropiaunuigazpentrucare: =1V_VT_p= const (4.355)Cp= const (4.356)SOLUTIECum:H= U+pV (4.357)dH= TdS +V dp (4.358)Atunci:dS=dHTVT dp (4.359)ConsiderandH= H(T, p):dH=_HT_pdT+_Hp_Tdp = CpdT+_Hp_Tdp (4.360)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 146Asacums-ademonstrat nproblema3.52:_Hp_T= T_VT_p+V (4.361)Atuncirelat ia4.360devine:dH= CpdT+_T_VT_p+V_dp (4.362)T inandcontde4.362,4.359devine:dS=CpTdT _VT_pdp (4.363)Utilizandexpresiacoeficientuluidedilatareizoterm =1V_VT_p(4.364)relat ia4.363devine:dS=CpTdT V dp (4.365)PROBLEMA4.54 SasedemonstrezecaS=1V_VT_S(4.366)coeficientuldedilatareadiabaticpoatefiexprimat sisubforma:S= CVV T_Tp_V(4.367)SOLUTIESeconsideraS=S(T,V):dS=_ST_VdT+_SV_TdV (4.368)Rezulta:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 147_VT_S= _ST_V_SV_T(4.369)Dar:_ST_V=CVT(4.370)sicum:_SV_T=_pT_V(4.371)relat ia4.368devine:_VT_S= CVT_Tp_V(4.372)Atunci:S= CVV T_Tp_VPROBLEMA4.55 Sasedemonstrezerelat iile:_CVV_T= T_2pT2_V(4.373)_Cpp_T= T_2VT2_p(4.374)SOLUTIECum:CV= T_ST_V(4.375)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 148seobt ine:_CVV_T=V_T_ST_V_T= TT__SV_T_V(4.376)Cum:_SV_T=_pT_V(4.377)dinrelat ia4.376seobt ine:_CVV_T= T_2pT2_V(4.378)Deoarece:Cp= T_ST_p(4.379)seobt ine:_Cpp_T=p_T_ST_p_T= TT__Sp_T_p(4.380)Cum:_Sp_T= _VT_p(4.381)seobt ine:_Cpp_T= T_2VT2_VPROBLEMA4.56 La o substant a paramagnetica susceptibilitateavariazacutemperaturadupaolegedeforma=C/TundeCesteoconstant apozitiva. SasedeterminecalduraschimbatadeunitateadeCAPITOLUL4. TERMODINAMICA 149volumasubstant ei cumediul externcandtemperaturaestement inutalavaloareaT1iarintensitateacampului magneticcrestedela0laH1.Variat iavolumuluisevaconsideraneglijabila.SOLUTIESeutilizeazaformaprimuluiprincipiualtermodinamiciipentrusub-stant e magnetice (marimile se considera raportate la unitatea de volum)du = q pdv +0HdM (4.382)Lucrulmecaniclamagnetizareafostcalculat nproblema3.4.CumT=const,v=constrezultadu=0astfelcadinrelat ia4.382rezulta:q= 0HdM (4.383)Dar:M= H=CHT(4.384)Atunci:dM=CdHT(4.385)CumT= T1dinrelat iile4.383 si4.385rezulta:q= 0CHT1dH (4.386)Seintegreaza siseobt ine:q= H1_00CHT1dH= 0C2T1H21PROBLEMA4.57 Pentruosubstant as-agasitcadensitateademagnetizare este funct ie de raportul H/T. Sa se arate ca energia intern aaunitat iidevolumesteindependentadeMsisasedetermineexpresiaentropiei(sevaneglijavariat iavolumului).CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 150SOLUTIEAplicandprimul principiual termodinamicii pentrusubstant emag-netice:du = Tds 0HdMrezulta:ds =du +0HdMT(4.387)undes,usereferalaentropia sienergiaunitat iidevolum.Seconsiderau = u(T, M) sisearataca_uM_T= 0Intr-adevar:du =_uT_MdT+_uM_TdM (4.388)sirelat ia4.387devine:ds =1T_uT_MdT+1T__uM_T0H_dM (4.389)Deoarece dseste o diferent ial a totala exacta, din relat ia 4.390 rezulta:M_1T_uT_M_T=T_1T__uM_T0H__Msau:1T2uMT= 1T2_uM_T+1T2uTM 0T_HT_Mdeunde:_uM_T= 0T2T_HT_M(4.390)CumM= f (H/T) siM=constrezultacaH/T=const si:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 151_uM_T= 0 (4.391)Aceastarelat iearatacaenergiainternaaunitat ii devolumestein-dependent ademagnetizare.Deoarece:dM= f

_HT_d_HT_(4.392)relat ia4.387devine:ds =du (T)T0HTf

_HT_d_HT_(4.393)Pentrux = H/Tseobt ine:s =_du(T)T0H/T_0xf

(x) dxIntegrandprinpart icelde-aldoileatermenobt inem:s =_du(T)T0HTf_HT_+0H/T_0f (x) dxPROBLEMA4.58Incazul unei substant eparamagneticeidealedensitateademagnetizarevariaz acutemperaturadupalegeaCurie:M=CHT(4.394)undeCesteoconstanta.Sasearateca ncondit iile ncarecampul magneticvariaz aiarsis-temulesteizolatadiabatic:dT= 0_CHcHT_dH (4.395)undecHestecapacitateacaloricaaunitat iidevolum.CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 152SOLUTIESe considera u , senergia intern a si entropia unitat ii de volum depen-dentedoardeTsi H(deoarecevariat iadevolumpoatefi considerataneglijabila)q= Tds = T_sT_HdT+T_sH_TdH (4.396)rezulta:cH=_qdT_H= T_sT_H(4.397)Seexprimadiferent ialaentropiei:ds =_sT_HdT+_sH_TdH (4.398)Set inecontderelat ia4.397 siseobt ine:ds =cHTdT+_sH_TdH (4.399)Cum ntr-otransformareadiabaticads=0dinrelat ia4.399rezulta:dT= TcH_sH_TdH (4.400)Pentruaexprimaultimaderivatapart ialaseconsideradiferent ialadensitat iidemagnetizare.dM=_MT_HdT+_MH_TdH (4.401)T inandcontderelat iile4.398 si4.401,diferent ialaenergieiinternedu = Tds +0HdM (4.402)sepoateexprimaastfel:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 153du =_T_sT_H+oH_MT_H_dT++_T_sH_T+0H_MH_T_dH (4.403)Cumduesteodiferent ialatotalaexactarezultaca:H_T_sT_H+0H_MT_H_T=T_T_sH_T+0H_MH_T_H(4.404)Seobt ine:0_MT_H=_sH_T(4.405)Atuncirelat ia4.400devine:dT= 0TcH_MT_HdH (4.406)DeoareceM= CH/T_MT_H= CHT2(4.407)astfel4.406devine:dT= 0CHcHT dH (4.408)PROBLEMA4.59 Sasedemonstrezerelat ia_VH_T,p= 0_Mp_T,H(4.409)undeCAPITOLUL4. TERMODINAMICA 154_VH_T,p(4.410)senumestecoeficientdemagnetizareiar0_Mp_T,H(4.411)senumestecoeficientparamagnetic(Mestemagnetizareatotala).SOLUTIEForma diferent iala a primului principiu al termodinamicii n acest cazeste:dU= TdS pdV+0HdM (4.412)Latemperaturaconstanta:dS=_Sp_Hdp +_SH_pdH (4.413)dV=_Vp_Hdp +_VH_pdH (4.414)dM=_Mp_Hdp +_MH_pdH (4.415)Atuncirelat ia4.412devine:dU= T__Sp_Hdp +_SH_pdH_p__Vp_Hdp +_VH_pdH_++0H__Mp_Hdp +_MH_pdH_saudU=_T_Sp_Hp_Vp_H+0H_Mp_H_dpCAPITOLUL4. TERMODINAMICA 155_T_SH_pp_VH_p+0H_MH_p_dHCumdUesteodiferent ialatotalaexacta:H_T_Sp_Hp_Vp_H+0H_Mp_H_=p_T_SH_pp_VH_p+0H_MH_p_Rezulta:0_Mp_T,H= _VH_T,pPROBLEMA4.60 Sa se arate ca atunci cand campul magnetic estevariatizotermdelavaloarea0laH,variat iavolumului(V V0)estedataderelat ia:V= 0V0_H22__ _p_T_(4.416)unde= _1V__Vp_H,T(4.417)si =MV H(4.418)Se va presupune ca n interiorul probei campul este uniform iar si nudepind de intensitatea campului magnetic (M- este magnetizarea totala,-susceptibilitatea,-coecientuldecompresibilitate).SOLUTIEDeoarece:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 156M= V H (4.419)t in andcontderezultatulobt inutlaproblemaprecedent a:_VH_T,p= 0_Mp_T,H= 0H__Vp_T,H+V_p_T,H_sau_VH_T,p= 0H_V +V_p_T_= 0V H_ _p_T_(4.420)Senoteazapentrusimplificare:k = _p_Tsi4.420devine:_VH_T,p= k0HV (4.421)sau:dVV= koHdH (4.422)Prinintegrareseobt ine:V_V0dVV= koH_0HdHRezulta:lnVV0= 0kH22(4.423)CumV= V0 + VsiV V0lnVV0= ln (V0 + V )V0= ln_1 +VV0_=VV0(4.424)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 157Deci:VV0= 0H22k = 0H22_ _p_T_PROBLEMA4.61 Sasearatecaenergiaintern asi entropiapeunitatea de volum a unei substant e feromagnetice, a carei susceptibilitatenfazaparamagneticasatisfacelegeaCurieWeiss: =CT T0(4.425)undeCsiT0suntconstante,potfiscriseastfel:u =T_0cMdT 0T0M22C+ const (4.426)s =T_0cMdTT0M22+ const (4.427)undecMestecalduraspecificaaunitat iidevolumladensitatedemag-netizareconstant a.SOLUTIEConformrelat iei4.390:_uM_T= 0T2T_HT_M(4.428)Cum:M= H si =CT T0rezulta:H=M (T T0)C(4.429)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 158Atunci:HT=MC(T T0)T(4.430)Sederiveazarelat ia4.430 siseobt ine:T_HT_=MCT_T T0T_=MCT0T2Atuncirelat ia4.428devine:_uM_T= 0MT0C(4.431)Considerands=s(T,M)du = Tds +0HdM= T_sT_MdT+_T_sM_T+0H_dM(4.432)Cumduesteodiferent ialatotalaexacta:M_T_sT_M_T=T_T_sM_T+0H_MsauT2sMT=_sM_T+T2sTM+0_HT_Mrezulta:_sM_T= 0_HT_M(4.433)Cum:cM= T_sT_Matunci:_cMM_T= TM_sT_M= T2sMT= TT_sM_TCAPITOLUL4. TERMODINAMICA 159saut in andcontde4.433:_cMM_T= T02HT2T inandcontderelat ia4.429rezulta:2HT2= 0si_cMM_T= 0adicacMesteindependentdeM.Atunci:du =_uT_MdT+_uM_TdM= cMdT 0T0MCdMsi:u =_T0cMdT 0T0C_M0MdM+ constu =_T0cMdT 0T0CM22+ const (4.434)Pentrucalcululentropieisepornestedeladiferent ialaacesteia:ds =du 0HdMT= cMdTT0MdMC(4.435)Prinintegrareseobt ine:s =_cMdTT0M22C+ constPROBLEMA4.62 Sasestabileascaformula:VV= _E22__p_(4.436)caredavariat iarelativaavolumului unui corpdielectricsupusact iuniiunuicampelectric(-estediferent adepotent ial).CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 160SOLUTIEElectrostrict iunea reprezinta fenomenul de deformare a unui dielectricsubact iuneacampului electric. ConsiderandundielectricceumpleuncondensatorcuariaarmaturilorSsi distant adintrearmaturi d, lucrulmecanicfurnizatsistemuluipentruavariavolumulcudVsiamodificasarcinacudqeste:L = pdV+dqundeestediferent adepotent ialdintrearmaturilecondensatorului.Atunci:dU= TdS +L = TdS pdV+dq (4.437)Seintroducefunct iacaracteristicanumit aentalpielibera:G = U TS +pV q (4.438)Sediferent iaz arelat ia4.438 sit inandcontderelat ia4.437seobt ine:dG = SdT+V dp qd (4.439)Considerand un proces izotermdT= 0, deoarece dGeste o diferent ial atotalaexacta:_V_p= _qp_(4.440)Ment ionamca:q= C = Sd = SE (4.441)unde C este capacitatea iar E intensitatea campului electric. Cum = Ed, si dfiindconstanterezultacasi Eesteconstant. Atuncit in andcontderelat ia4.441rezulta:_qp_= ES_p_(4.442)Seutilizeazarelat ia4.442 sirelat ia4.440devine:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 161_V_p= ES_p_= EVd_p_Ment ionamcaV=Sd. RezultadV= EVd_p_d (4.443)Cum = Ed , d = d (dE),relat ia4.443sepoatescrie:dVV= _p_EdE (4.444)Seintegreazaaceastarelat ie siset inecontca_p_esteuncoeficientcarenudepindedeintensitateacampuluielectric. Seobt ine:lnVV0= _p_E22(4.445)Se noteazaV= V0 + V si t inandcont caV V0(variat iile devolumsuntmici ncazulacestuifenomen)seobt ine:ln_VV0_= ln_V+V0V0_= ln_1 +VV0_=VV0(4.446)Din4.445 si4.446rezulta:VV0= _p_E22PROBLEMA4.63 Sa se calculeze efectul termic care apare datoritapolarizarii unitat ii de volum a unui dielectric. Se va neglija variat ia volu-mului la temperatura constant a. Se considera ca densitatea de polarizareCAPITOLUL4. TERMODINAMICA 162estedataderelat ia

P= 0

Eunde=r(T) 1Sevaparticularizarezultatulpentrucazul ncarer= 1 +constT(4.447)SOLUTIESenoteazacuuenergiaunitat iidevolum,iarcus entropiaunitat iidevolum. Utilizandexpresialucrului mecanicdepolarizare, evaluat nproblema(3.4),variat iaenergieiinterneeste:du = Tds +EdP (4.448)Se considera un proces izoterm care are loc ca urmare a aplicarii unuicampelectriccevariaz adelavaloarea0lavaloareaE.Atunci:ds =_sE_TdEastfel nc at:q= T_sE_TdE (4.449)Pentruaexprimaderivata_sE_Tseintroduceentalpialiberaaunitat iidevolum:g= u Ts EP (4.450)Prindiferent ierealuig,t in andcontderelat ia4.448seobt ine:dg= sdT PdE (4.451)Cumdgesteodiferent ialatotalaexacta:_sE_T=_PT_E=_ (0E)T_E= 0E_T_E= 0E_rT_E(4.452)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 163Atunci:q= Tds = 0T_rT_EEdE (4.453)Prinintegrareaaceasteirelat iirezulta:Q =E_oT0_rT_EEdE=12T0drdT E2(4.454)Admit andcazulparticular:r= 1 +constTsievalu andderivata:drdT= constT2(4.455)relat ia4.454devine:Q = 12E20constT< 0De aici rezulta ca dielectricul cedeaza caldur an cursul polarizarii sale.PROBLEMA4.64 Sa se demonstreze ca n procesele reversibile ncare Tsi Vsunt constante variat ia energiei libere F= U TS, cu semnschimbat, esteegalaculucrul mecanicefectuat defort elegeneralizatealteledecatpresiunea.SOLUTIECum:dF= dU TdS SdT (4.456)iarconformprincipiuluiIaltermodinamiciidU= TdS L (4.457)Vomexprimalucrulmecanicsubforma:CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 164L = pdV+L (4.458)undeLreprezintalucrul mecanical fort elor generalizatealteledecatpresiunea. Atuncirelat ia4.456devine:dF= SdT pdV L (4.459)PentruT=const siV=constrezultadF= LPROBLEMA4.65 Sa se demonstreze ca n procesele reversibile ncareSsi psuntconstante, variat iacusemnschimbataentalpiei H=U+ pV esteegalaculucrulmecanicalfort elorgeneralizatealteledecatpresiunea.SOLUTIEDeoarece:dH= dU+pdV+V dp (4.460)sidU= TdS L (4.461)undeL = pdV+L (4.462)Lestelucrulmecanicalfort elorgeneralizatealteledecatpresiunea. Seobt ine:dH= TdS +V dp L (4.463)Candp =const siT=constrezulta:dH= LPROBLEMA4.66 Sasearateca nproceselereversibilevariat iacusemnschimbataentalpieilibereG = U TS + pV candp siTsuntconstante este egala cu lucrul mecanic al fort elor generalizate altele decatpresiunea.CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 165SOLUTIEPorninddelaexpresiaentalpieilibere:G = U TS +pV (4.464)seobt ine:dG = dU TdS SdT+pdV+V dp (4.465)Cum:dU= TdS pdV L (4.466)unde L este lucrul mecanic al fort elor generalizate altele decat presiuneaseobt ine:dG = V dp SdT L (4.467)Candp =const siT=constdG = LPROBLEMA4.67 Sasedemonstrezeca ntr-unprocesireversibilrealizat de un sistem n contact cu un termostat aflat la temperaturaT,variat iaenergiei liberereprezint alucrul maximcepoatefi efectuatdesistem.SOLUTIEIncazulproceselorireversibile:QirevT< dS (4.468)si:f_iQirevT< Sf Si(4.469)undeindiciii sifsereferalastareainit ial a,respectivstareafinala.CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 166In relat ia de mai sus Treprezinta temperatura termostatului cu caresistemul este n contact. Tnu este temperatura sistemului deoarece pen-trueventualelestari deneechilibruprincaretrecesistemul aceastanicinupoatefidefinita. Rezulta:1Tf_iQirev< Sf Si(4.470)adica:Qirev< TSf TSi(4.471)Cum:Qirev= U+Lirev= Uf Ui +Lirev(4.472)atunci:Uf Ui +Lirev< TSf TSi+Lirev< (UiTSi) (Uf TSf)+Lirev< FiFf= (Ff Fi)Rezultatul aratacasistemul nupoate efectuaasupramediului unlucrumecaniccaresadepaseasc aovaloaremaxima. DinacestmotivFa primit denumirea de energie libera deoarece variat ia ei (si nu a energieiinterne)determinavaloareamaximaalucruluimecanicpecaresistemullpoatefurniza nexterior.PROBLEMA4.68 Sa se arate ca pentru un sistem care nu efectueazalucrumecanicsi careeste ncontactcuuntermostat, energiasaliberanupoatecreste.SOLUTIESet inecontderezultatulobt inut nproblemaprecedent a:Lirev< FiFf(4.473)CAPITOLUL4. TERMODINAMICA 167cumLirev= 0rezultaca:Ff< Fi(4.474)sau:F< 0 (4.475)Intr-oastfel de situat ie stareade echilibruse atinge candenergialiberaesteminima.