126

4. Simulation du tassement dun massif de sol lastoplastique

q

H

x

y

z

q

H

x

y

z

Figure 14

Une couche de sol horizontale dpaisseur H reposant sur un substratum indformable

(figure 14) est soumise laction dune surcharge qez applique au niveau de sa surface

(z=H). Le sol est homogne, pesant, de poids volumique ez. Son comportement est modlis par une loi de comportement lastique linaire (module dYoung E et coefficient de Poisson , ou coefficients de Lam et ), parfaitement plastique standard, le critre de plasticit tant celui de Tresca avec une cohsion gale C (sol argileux). On se propose dvaluer le tassement engendr par lapplication progressive de la surcharge p partir de la valeur nulle.

4.1. Dfinition de ltat initial (q=0) Dans ltat initial, cest--dire pralablement lapplication de la surcharge, mais en

prsence du poids volumique du sol, on dsigne par 0

le champ de contrainte rgnant dans

le massif. Un tel champ doit tre dune part statiquement admissible, cest--dire vrifier

0.et 0div )(

00== = zz ee Hz (4.72)

et plastiquement admissible, cest--dire vrifier le critre de Tresca en tout point :

02)( ,0,00 = Cf IIII (4.73)

le contact entre le sol et le substratum tant suppos adhrence totale (aucune condition sur

le vecteur contrainte). Considrant des champs tels que :

127

zzyyxx K ,00,0,0 == , autres 0,0 =ij (4.74)

o 0K est une constante (coefficient des terres au repos). lquation dquilibre associe

la condition aux limites en surface du massif (quations (4.72)) donne immdiatement :

)( , )( 0,0,0,0 HzKHz yyxxzz === (4.75)

et le critre du sol est vrifi en tout point du massif si et seulement si :

HzzCKzHCf zzxx == 0 ; , 021)(2)( 0,0,00 (4.76)

soit :

H

CK

H

C

2

12

1 0 + (4.77)

On supposera dsormais que 10 =K , de sorte que le champ de contrainte initial est

hydrostatique :

1 )(

0Hz = (4.78)

4.2. Tassement en phase lastique

La solution en dplacement est donne par :

zezq

2

+

= (4.79)

o 2+ est le module oedomtrique du sol, tandis que le champ de contrainte est donn par :

zz eeqqHz +

+=++=

221

2)( 21 )tr(

0 (4.80)

Le tassement en surface vaut donc :

128

2)(

+=== qHHzz (4.81)

Cette solution demeure valable tant que le sol nest pas plastifi :

022

22)( +

== CqCf zzxx (4.82)

do la limite dlasticit :

Cqq e 2

+=

(4.83)

et la valeur correspondante du tassement :

CHe = (4.84)

Cette limite dlasticit correspond la plastification simultane de tous les points du

massif.

4.3. Phase lastoplastique ( eqq )

Le chargement du massif tant poursuivi au-del de la limite dlasticit, on recherche le

champ de contrainte solution du problme dvolution sous la forme suivante :

[ ] )(21 )( yyxx eeeeCqHz ++= (4.85)

qui est bien statiquement et plastiquement admissible, le critre de plasticit tant atteint en

tout point, do en particulier :

)(21)tr(1 pp ddddq +== && (4.86)

La solution en dplacement tant par ailleurs recheche sous la forme

0)0( avec )( === zuezu z (4.87)

le champ des taux de dformation scrit :

129

zeezud zz d

d(.)(.)' avec )(' == & (4.88)

do en reportant dans lquation (4.86) et en tenant compte de lincompressibilt plastique

du sol (trdp=0) :

)'( 21'1 pzz deeuuq +== &&&&

En prenant la trace des deux membres de cette dernire quation, il vient :

23

3),('),(' 23

3'

+=

+=

ee

qqzquzqu

qu

&& (4.89)

do par intgration apr rapport z, en tenant compte de ce que 0)0,()0,( == eququ :

23

3),(),(

zqq

zquzque

e

+= (4.90)

et letassement en surface vaut finalement :

3/2

)(

Hqq

qe

e

++= (4.91)

3/2 +

2+

H/

q

/C

C )/2( + 3/2 +

2+

H/

q

/C

C )/2( +

Figure 15

130

La figure 15 reprsente la courbe bi-linaire donnant lvolution du tassement du massif en

fonction de la surcharge applique. Elle se compose dune partie lastique (segment de droite

de pente gale au module oedomtrique du sol +2 ), suivie dune demi-droite de pente infrieure, gale au module de compression isotrope +2/3 du sol, correspondant lvolution en rgime elastoplastique. Sous rserve que lon reste dans le domaine des petites

perturbations (

131

tandis que le champ de contrainte correspondant est daprs (4.85) :

[ ] )(21 )( yyxx eeeeCqHz ++= (4.97)

Faisant alors lhypothse de dcharge lastique et posant = qqq , on obtient (voir le

calcul en phase lastique) :

2+= qH et [ ]

2 yyxxzzeeeeqeeq +

+=

(4.98)

do lorsque la dcharge est totale ( = qq ) lexpression du champ des contraintes

rsiduelles :

{ )(

)/(

2

2)2/(1 21 )(

yyxx

e

r eeee

qq

CqCHz +

++=

44 344 21

(4.99)

Le critre de plasticit est vrifi tout au long de cette phase de dcharge si :

ee

rzz

rxx qqCq

qC 2 2 12

=

(4.100)

et dans ces conditions le tassement rsiduel du massif vaut daprs (96) :

+

+=

+=

2

1

3/2

1 )(

2HqqH

qer (4.101)

soit :

++=

)23)(2(

4 )( , 2

Hqqqqq eree (4.102)

4.5. Application numrique

Lpaisseur H de la couche est de 5m ; elle est constitue dun sol lastique linaire

(module dYoung E=10 MPa, coefficient de Poisson =0,25) de cohsion gale C=20 kPa. On obtient donc :

132

)21)(1(

+= E =4 MPa et

)1(2

+= E =4 MPa (4.103)

do :

cm 5,2 , kPa 60 == eeq (4.104)

Le chargement tant poursuivi jusqu kPa 1202* == eqq , on obtient alors :

cm 2 , cm 7 == r (4.105)

La courbe charge-tassement correspondante est trace sur la figure 16 ci-dessous.

q

kPa 60=eq

kPa 120* =q

cm 7* =cm 2=r

cm 2,5=e

q

kPa 60=eq

kPa 120* =q

cm 7* =cm 2=r

cm 2,5=e

Figure 16

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