Distributions d’échantillonnage Terminologie statistique€¦ · une estimation d’un...

1

Terminologie statistique Distribution de la moyenne: thorme central- limite

distribution Khi-deux (2)

distribution T de Student

distribution F de Fisher

rsum des distributions

Distributions dchantillonnage

Bernard CLMENT, PhD MTH2302 Probabilits et mthodes statistiques

hors programme : distribution de S / distribution de R

2

Constats et terminologie statistique

les populations statistiques sont modlises par des distributions de probabilits dont les paramtres sont toujours inconnus; le mieux que lon puisse faire: estimer les paramtres avec des

donnes chantillonnales (observations) provenant de la mme distribution

(population);

les donnes (Y1, Y2, ) sont transformes en statistique W par une fonctionW = h (Y1, Y2 ,. ) W est une variable alatoire

le choix de h dpend de lapplication envisage (ESTIMATION ou TEST)la loi de probabilit de W sappelle distribution dchantillonnage;

exemple : 2 chantillons de taille n provenant de la mme population

(Y1, Y2, , Yn) et (Y1, Y2 , .., Yn) auront une moyenne (xbar),diffrente, un cart type s diffrent, un histogramme diffrent : cest linfluence de la variabilit de lchantillonnage;


3

Constats et terminologie statistique

on dispose toujours que dun seul chantillon de taille n pour la mise en uvre dune procdure statistique:

ESTIMATION chapitre 10

TEST DHYPOTHSES chapitre 11

paramtre statistique :

quantit associe une distribution

exemples = moyenne distribution : exemple normale

= cart type distribution quelconque

= moyenne distribution Bernoulli ()

= (1- ) variance distribution Bernoulli ()

= xp p-ime percentile dune variable X


4

Terminologie statistique

chantillon alatoire (dfinition)

un ensemble de variables alatoires Y 1 , Y 2 , .., Y n telles que(a) les variables sont soumises une mme loi f(y) (b) les variables sont indpendantes

loi conjointe : g (Y1, Y2, , Yn) = f( Y1)* f(Y2) * * f(Yn)

Statistique : toute fonction alatoire tablie sur lchantillonW = h (Y1 , Y2 , ., Y n )

remarque : W est une variable alatoire

Estimateur : une statistique particulire conue de faon fournirune estimation dun paramtre dune loi de probabilit

Aplications: EstimationTest dhypothsesRgressionAnalyse de la variance

Bernard CLMENT, PhDMTH2302 Probabilits et mthodes statistiques

5

Rsultat 1 Soit Y 1 , Y 2,, .. , Y n des v. a. indpendantes telles que(rappel) E(Yi ) = i et Var (Yi ) = i

2 i = 1, 2, , nsoient a 1, a 2,, . , a n des constantes et

i=nsoit W = ai Yi une combinaison linaire des Yi

i=1

Alors E( W ) = W = ai i et Var ( W ) = w2 = ai2 i2remarque 1 : aucune hypothse est ncessaire sur les lois des Yiremarque 2 : si les Yi sont gaussiennes alors W est gaussienne

Rsultat 3 Si les Yi sont gaussiennes Yi ~ N ( , 2 )

alors Y est gaussienne N ( , 2 / n )

Rsultat 2 Soit ai = 1 / n E(Yi ) = Var( Yi ) = 2 alors

i=nW = Y = Ybar = (1/n ) Yi vrifie E(Y) = et Var(Y) = 2 / n

i=1


6

Distribution de la moyenne chantillonnale : Thorme central limite

Rsultat 4 : thorme central limite

Soit W = Yi avec E(Yi ) = i , Var (Yi ) = i2 i = 1, 2, , n

Si n est assez grand (au moins 30)Alors W suit approximativement une loi gaussienne N(W , W 2 )avec W = i et Y

2 = i2

remarque : il ny a aucune condition spcifique sur les lois des Yi

Rsultat 5 Si E( Yi) = , Var (Yi) = 2 i = 1, 2 , , n

alors Y suit approximativement loi gaussienne N ( , 2 / n)

remarque on peut crire le rsultat sous la forme quivalente

Y - _ suit approximativement une loi N (0, 1) / n


7

Histogram (chap06.sta 31v*30000c)

-1.7318-1.4547

-1.1776-0.9005

-0.6234-0.3462

-0.06910.2080

0.48510.7622

1.03931.3164

1.5935

uniforme

0

100

200

300

400

500

600

700

No of obs

Histogram (chap06.sta 21v*30000c)unif2 = 15000*0.0689*normal(x; 7.9327E-5; 0.706)

-1.7286-1.4530

-1.1773-0.9017

-0.6260-0.3504

-0.07470.2009

0.47650.7522

1.02781.3035

1.5791

unif2

0

100

200

300

400

500

600

700

No of obs


-1.4455-1.2165

-0.9876-0.7587

-0.5297-0.3008

-0.07190.1570

0.38600.6149

0.84381.0727

1.3017

unif5

0

50

100

150

200

250

300

350

No of obs

Distribution

de Y


-0.7560-0.6298

-0.5035-0.3772

-0.2510-0.1247

0.00160.1278

0.25410.3804

0.50660.6329

0.7592

unif15

0

20

40

60

80

100

120

No of obs


-0.6378-0.5380

-0.4382-0.3384

-0.2387-0.1389

-0.03910.0607

0.16050.2603

0.36010.4599

0.5597

unif30

0

10

20

30

40

50

60

70

No of obs

n = 1

n = 2

n = 5

n = 15

n = 30

uniformeHistogram (chap06.sta 31v*30000c)

-1.00000.0273

1.05462.0819

3.10924.1365

5.16386.1911

7.21848.2457

9.273010.3003

11.3276

exponentielle

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

No of obs

exponentielle

Histogram (chap06.sta 31v*30000c)

-0.9961-0.3735

0.24910.8717

1.49442.1170

2.73963.3622

3.98484.6074

5.23015.8527

6.4753

expo2

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

No of obs

Histogram (chap06.sta 31v*30000c)expo5 = 6000*0.0774*normal(x; 0.0031; 0.4455)

-0.9355-0.6259

-0.3162-0.0066

0.30300.6126

0.92221.2318

1.54141.8510

2.16062.4703

2.7799

expo5

0

100

200

300

400

500

600

No of obs


-0.6499-0.5023

-0.3548-0.2073

-0.05980.0878

0.23530.3828

0.53030.6778

0.82540.9729

1.1204

expo15

0

20

40

60

80

100

120

140

160

No of obs


-0.5145-0.4176

-0.3208-0.2239

-0.1270-0.0302

0.06670.1636

0.26040.3573

0.45420.5510

0.6479

expo30

0

10

20

30

40

50

60

No of obs

gaussienneP O P U L A T I O N

Histogram (chap06.sta 31v*30000c)gaussienne = 30000*0.1715*normal(x; -0.0018; 1.0078)

-3.9095-3.2235

-2.5375-1.8514

-1.1654-0.4794

0.20660.8926

1.57872.2647

2.95073.6367

4.3227

gaussienne

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

No of obs

Histogram (chap06.sta 31v*30000c)norm2 = 15000*0.1032*normal(x; -0.0018; 0.7139)

-2.6496-2.2367

-1.8237-1.4107

-0.9978-0.5848

-0.17190.2411

0.65411.0670

1.48001.8929

2.3059

norm2

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

No of obs


-1.6782-1.4096

-1.1409-0.8723

-0.6037-0.3350

-0.06640.2022

0.47090.7395

1.00811.2767

1.5454

norm5

0

50

100

150

200

250

300

350

400

No of obs


-1.0046-0.8604

-0.7161-0.5718

-0.4275-0.2832

-0.13890.0054

0.14970.2940

0.43820.5825

0.7268

norm15

0

20

40

60

80

100

120

140

No of obs


-0.6652-0.5701

-0.4750-0.3799

-0.2848-0.1897

-0.09460.0005

0.09560.1907

0.28580.3809

0.4760

norm30

0

10

20

30

40

50

60

No of obs

Bernard CLMENT, PhD 7

8

approximation de la distribution binomiale par une normalecas particulier de lapplication du thorme central limite.Y = nombre de succs dans une suite de n essais de Bernoulli indpendants

Posons Yi v. a. de Bernoulli associe a essai i i = 1, 2,, n

1 avec probabilit Yi =

0 avec probabilit 1 -

E ( Yi ) = 0 * (1 - ) + 1 * = Var ( Yi) = (1 )

Y = Yi est une v. a binomiale b(n, )

On applique le rsultat 5 : Y suit approximativement dist. N(n , n (1 - ))

Donc Y n = Y -

n ( 1- ) ( 1- ) / nsuit approximativement distribution N ( 0, 1)


9

Exemple la demande quotidienne dnergie lectrique ( KWh ) pour un logement estune variable de moyenne 200 et dcart type 20. Posons D = demande totale dnergie lectrique dans un

arrondissement de 500 logements.

Calculer une limite suprieure D0 pour D qui ne serait pas dpasseavec probabilit 0,99

solution D = Yi ou Yi est la demande du logement i = 1, 2, ., 500

D suit approximativement une loi gaussienne N( , 2)

= 500 * 200 = 100 000 et 2 = 500 * 202 = 200 000 = ( 447,2 )2

P (D D0 ) = 0,99 [(D0 - 100 000 ) / 447,2 )] = 0,99

D0 = 100 000 + z0.99 * 447,2 = 100 00 + 2.33 * 447,2 = 101 042


10Bernard CLMENT, PhD

Exemple : la dure de vie Y dun composant lectronique suit une loiexponentielle de moyenne 100 heures

(a) Quelle est la probabilit que la dure moyenne Y de 36 composants dpasse125 heures?

(b) Combien de composants (n) doit- on avoir fin que la diffrence entre Y et 100

nexcde pas 10 avec une probabilit de 0,95?

solution : si Y suit une loi exponentielle , lcart type de Y = moyenne de X = 100 alors Y suit approximativement une distribution N (100, 100 2 / 36 )

(a) P ( Y > 125 ) = 1 [ (125 100) / (100 / 6 )] = 1 - (1,5 ) = 1 - 0,933 = 0,067

(b) P ( Y - 100 < 10 ) = 0,95 alors P ( Y - 100 < 10 __ ) = 0,95

100 / n 100 / n

2 ( n / 10) - 1 = 0,95 donne ( n / 10) = 0,975

n / 10 = -1 (0,975) n = 384

MTH2302 Probabilits et mthodes statistiques

11

Distribution Khi-deuxUne variable alatoire 2 dont la densit de probabilit est dfinie par

f 2 ( u ) = c() u ( / 2) - 1 exp (- u / 2 ) 0 < u < s appelle une variable Khi-deux (2 ) avec degrs de libert (ddl

= 1, 2,3, , c( ) est une constante qui dpend de

Proprits E ( 2 ) = et Var ( 2 ) = 2

si Z ~ N( 0,1 ) alors Z 2 suit une loi Khi-deux avec 1 ddl

la somme de variables Khi-deux indpendantes est une Khi-deux

si Zi ~ N ( 0, 1 ) i = 1, 2, , n alors Zi2 ~ Khi-deux avec n ddl si Yi ~ N ( , 2 ) i = 1, 2, , n alors [ (Yi )/ ] 2 ~ Khi- deux avec n ddl

Bernard CLMENT, PhD

12

Table des quantiles dune Khi-deuxQuantileHMGB p. 478

Notation : 2 p, quantile dordre p

dune variable 2avec degr de libert

P ( 2 2p, ) = p

Exemple

P ( 25 9,24 ) = 0.90


13

Distribution Student Une variable alatoire T dont la densit de probabilit est dfinie par

f T ( t ) = c() ( 1 + t 2 / ) - ( + 1 ) / 2 - < t <

sappelle une variable de Student avec degrs de libert , = 1, 2, 3,., c() est une constante qui dpend de

Proprits densit symtrique p.r 0

E (T ) = 0

Var (T) = / ( - 2 ) ( > 2) si Z est une N(0,1) alors

T = Z / v2 / v suit loi T avec v ddl

si = la variable de Studentest une variable normale centre rduite

si > 30 la distribution Student est quasi

identique une loi normale centr-rduite

la lettre T est gnralement consacre pour reprsenter la variable de Student

14

HMGB p. 479

table des quantiles dune variable Student

t p , :quantile dordre p

variable Student T degrs de libert

P ( T t p , ) = p

Exemple

P ( T5 2.015 ) = 0.95

Bernard CLMENT, PhD

15

Rsultat 7 application importante de la Student

soit Y i i = 1, 2,, n un chantillon alatoire dune population N( , 2 )

Soit Y = Y i / n et S2 = ( Y i Y ) 2 / ( n - 1 )

Alors T = Y - _ s / n

suit une loi de Student avec = n 1 degrs de libert


Rsultat 6 application importante de la Khi-deux

soit Y i i = 1, 2,, n un chantillon alatoire dune population N( , 2 )

soit S 2 = 1 / ( n 1 ) ( Y i Y ) 2 la variance chantillonnale

alors (n-1) S 2 / 2 = ( Y i Y ) 2 / 2

suit une loi Khi-deux avec (n 1) ddl

16

distribution F de Fisher-SnedecorUne variable alatoire X dont la densit de probabilit f est dfinie par

f X ( x) = c(1,2) x ( 1 / 2 ) - 1 [ 1 + ( 1/v2 )x ] - ( v1 + v2 ) /2 0 < x <

est appele une variable alatoire distribue selon une loi de Fisher-Snedecor avecv1 ddl au numrateur et v2 ddl au dnominateur; c(v1,v2) est une constante

Proprits E ( F ) = v2 / ( v2 2 )

si Y1 suit une loi Khi-deux avec v1 ddlY2 suit une loi Khi-deux avec v2 ddlY1 et Y2 sont indpendantes alors

( Y1 / v1) / ( Y2 / v2) suit une loi F(v1,v2)

T2v = F (1, v) : le carr dune loi de Studentavec v ddl est une loi F(1,v)

Densit de probabilit de Fisher-Snedecor


17

Quantiles dune F de Fisher-Snedecor

HMGB p. 480-489

Notation

F p, v1, v2 :

quantile dordre p dunevariable de Fischer- SnedecorF v1 , v2 avec

v1 ddl au numrateurv2 ddl au dnominateur

Exemple

P ( F8 , 3 5.25 ) = 0.90

Bernard CLMENT, PhD

F0.90, 8 , 3 = 5.25

18

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

GAUS

S

Rsultat 8 ( SY2 / Y2 ) / (SZ2 / Z2) suit une loi F n1-1 , n2-1

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

U

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

GAUS

S

Y1, Y2 , , Yn1

Y ~ N ( Y, Y2)Z ~ N ( Z, Z

2)

Y Z

y Z

Z1, Z2 , , Zn2

distribution dchantillonnage du quotient de 2 variances

chantillonsindpendants

Y = Yi / n1 Z = Zi / n2moyennesSY2 = (1/( n1 1)) ( Yi Y )2 variances SZ2 = 1/( n2 1 ) ( Zi Z )2


19Bernard CLMENT, PhD MTH2302 Probabilits et mthodes statistiques

RSUM des DISTRIBUTIONS



DISTRIBUTIONS DCHANTILLONNAGE



APPROXIMATIONS



RSUM des DISTRIBUTIONSAPPLICATIONS

Y - _ suit approximativement une loi N (0, 1) / n

si Z ~ N( 0,1 ) alors Z 2 suit une loi Khi-deux avec 1 ddl

la somme de variables Khi-deux indpendantes est une Khi-deux

si Zi ~ N ( 0, 1 ) i = 1, 2, , n alors Zi2 ~ Khi-deux avec n ddl

si Yi ~ N ( , 2 ) i = 1, 2, , n alors [ (Yi )/ ] 2 ~ Khi- deux avec n ddl

(n-1) S 2 / 2 = ( Y i Y ) 2 / 2 suit une loi Khi-deux avec (n 1) ddl

Y1 suit une loi Khi-deux avec v1 ddlY2 suit une loi Khi-deux avec v2 ddlY1 et Y2 sont indpendantes alors

( Y1 / v1) / ( Y2 / v2) suit une loi F(v1,v2)

T = Y - _ suit une loi de Student avec = n 1 degrs de libert s / n




LIAISONS entre les distributions

Processus de POISSON et la distribution exponentielle

Distribution binomiale et distribution gomtrique

25

Distribution dchantillonnage de lcart type SRsultat : soit X i un chantillon de n observations dune population N ( , 2 )

S = [ (1 / ( n 1 )) ( Yi Y ) 2 ] 0.5 : lcart type chantillonnalalors E (S) = c4 et Var (S) = c52 2

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25c4 0.798 0.886 0.921 0.940 0.952 0.959 0.965 0.969 0.973 0.982 0.987 0.990c5 0.603 0.463 0.389 0.341 0.308 0.282 0.262 0.246 0.232 0.187 0.161 0.144

Rsultat : application - cartes de contrle de Shewhart

(a) = S / c 4 est une estimation sans biais de : E ( S /c 4 ) = (b) soit k groupes de n donnes, S j lcart type du groupe j = 1, 2,..., k

S = S j / k la moyenne des cart types

= S / c 4 est une estimation sans biais de

S

f S distribution dchantillonnage de S : n fix

0 E( S )

remarque : si n > = 10 c 4 1


HORS PROGRAMME

26

Distribution dchantillonnage de ltendue RRsultat : soit Y i un chantillon de n observations dune population N ( , 2 )

R = max ( Y i) - min (Yi) : tendue chantillonnalealors E ( R ) = d 2 et Var ( R ) = d 32 2

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25d 2 1.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970 3.078 3.472 3.735 3.931d 3 0.853 0.888 0.880 0.864 0.848 0.833 0.820 0.808 0.797 0.755 0.729 0.709

Rsultat : application - cartes de contrle de Shewhart

(a) = R / d 2 est une estimation sans biais de : E ( R / d 2 ) = (b) soit k groupes de n donnes, R j ltendue du groupe j = 1, 2,..., k

R = R j / k moyenne des tendues = R / d 2 est une estimation sans biais de

R

f R distribution dchantillonnage de R : n fix

0 E( R )

remarque: il nest pas recommand dutiliser R pour estimer avec n > 10

lcart type s est prfrable car il est plus prcis

Bernard CLMENT, PhD

HORS PROGRAMME

MTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesDiapositive numro 7MTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesDiapositive numro 11MTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesDiapositive numro 13Diapositive numro 14MTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesDiapositive numro 17MTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesMTH2302 Probabilits et mthodes statistiquesDiapositive numro 26

Distributions d’échantillonnage Terminologie statistique€¦ · une estimation d’un...

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