Probabilit es - univ- Chapitre 1 Espace de probabilit e Introduction Quelques jalons historiques...

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  • Fondements des Probabilités de (Ω,F ,P) aux conséquences de la LGN et du TCL

    L3/M1 Mathématiques

    Jean-Christophe Breton

    Université de Rennes 1

    Janvier-Avril 2014

    version du 10 avril 2014

    http://perso.univ-rennes1.fr/jean-christophe.breton/ http://www.univ-rennes1.fr/

  • Table des matières

    1 Espace de probabilité 1 1.1 Rappel de théorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 Espace de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Extension de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Vocabulaire probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Liminf et limsup d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2 Variables aléatoires 18 2.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Fonction quantile et simulation par inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Exemples de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.5.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.2 Variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.3 Lois de probabilité usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3 Espérance d’une variable aléatoire 49 3.1 Rappels d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.1.1 Théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.2 Espérance d’une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Convergences monotone et dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Moments des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.5 Variance, covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.6 Tableau comparatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4 Fonction caractéristique 73 4.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 Propriétés et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    i

  • Table des matières ii

    4.3 Régularité de la fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4 Autres transformées caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    4.4.1 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4.2 Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    5 Indépendance 86 5.1 Concept d’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.2 Critères et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.3 Non-corrélation et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.4 Évènements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5.4.1 Tribus du futur et tribu asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.4.2 Lemmes de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    6 Somme de deux variables aléatoires indépendantes 100 6.1 Convolution de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.2 Loi d’une somme de variables aléatoires à densité indépendantes . . . . . . 102 6.3 Variables aléatoire à densité indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.4 Cas de variables aléatoires discrètes indépendantes . . . . . . . . . . . . . . 105

    7 Convergences de variables aléatoires 106 7.1 Convergence presque sûre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.2 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.3 Convergence en norme p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    7.3.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.3.2 Uniforme intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    7.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.4.1 Convergence en loi et autres convergences . . . . . . . . . . . . . . 126 7.4.2 Liens entre les différents modes de convergence . . . . . . . . . . . . 129

    8 Théorèmes limite 130 8.1 Lois des grands nombres (LGN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    8.1.1 Version faible de la LGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.1.2 Version forte (presque sûre) de la LGN . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.1.3 Applications de la LGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    8.2 Théorème central limite (TCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.2.1 TCL classique et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    9 Vecteurs gaussiens 147 9.1 Variables aléatoires gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 9.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    9.3.1 TCL multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 9.3.2 Estimations : moyenne, variance empiriques . . . . . . . . . . . . . 157

  • Table des matières iii

    9.3.3 Décomposition de vecteurs gaussiens et test du χ2 . . . . . . . . . . 160

  • Introduction

    Ces notes sont un support (enrichi) d’un cours de probabilités de base. Elles sont rede- vables de plusieurs sources d’inspiration, parmi elles : [?] et [Gra]. Ce cours ne nécessite que des notions de théorie de la mesure et d’intégrale de Lebesgue. Des références classiques pour compléter un cours de probabilités de ce niveau sont [?], [?] (en français) et [Chung], [?], [Dur], [Kal] (en anglais). (La référence [Kal] est complète mais plus difficile d’accès.) D’autres références en ligne sont [?], [?].

    Le contenu de ces notes est le suivant : Dans le Chapitre 1, on donne quelques rappels de théorie de la mesure. On définit un espace de probabilité, une mesure de probabilité et on en rappelle les principales propriétés. La notion de variable aléatoire est définie dans le Chapitre 2. On y décrit la loi d’une variable aléatoire, sa fonction de répartition et on donne les exemples de lois classiques (discrètes et à densité). Dans le Chapitre 3, on présente les notions d’espérance, de variance et plus généralement de moments de variables aléatoires. La fonction caractéristique est un outil très utile qui caractérise la loi d’une variable aléa- toire. Cet outil est introduit au Chapitre 4 où on en étudie les principales propriétés. Le concept d’indépendance est fondamental en probabilités. Il est introduit au Chapitre 5 où on en donne aussi plusieurs caractérisations. Dans le Chapitre 6, on étudie la somme de variables aléatoires indépendantes et on en détermine la loi à l’aide de convolution. Il existe plusieurs modes de convergence en probabilités. Il sont présentés dans le Chapitre 7 où leurs propriétés et relations sont étudiées. Dans le Chapitre 8, on s’intéresse aux sommes de variables aléatoires indépendantes iden- tiquement distribuées et à leur comportement limite. On y présente les deux premiers résultats fondamentaux des probabilités : la loi des grands nombres (LGN) et le théorème central limite (TCL). On termine dans le Chapitre 9 avec la description de vecteurs aléatoires gaussiens pour lesquels beaucoup de calculs se ramènent à des calculs matriciels, on parle alors de calcul gaussien.

    iv

  • Chapitre 1

    Espace de probabilité

    Introduction

    Quelques jalons historiques formalisent le concept de probabilités. D’après l’article dédié de wikipedia :

    — La notion de probabilité remonte à Aristote (4ème siècle avant J.-C.), il ne s’agit pas alors de quantifier l’aléa, le terme probabilité désigne plutôt l’adhésion à une idée : ce qui est probable est ce qui est généralement admis comme vrai.

    — Au 16ème et 17ème siècles, la notion de probabilité est une notion morale. D’abord théologie morale catholique, le terme désignera par glissement sémantique le carac- tère vraisemblable d’une idée.

    — Le traitement mathématique des probabilités remonte à Blaise Pascal (17ème siècle) notamment avec sa correspondance avec Pierre de Fermat (1654). Avec ce traitement mathématique, la notion de probabilité ne concerne plus seulement les idées ou les opinions mais aussi les faits. Le concept de probabilité se rapproche alors de la notion de hasard.

    — Le calcul des probabilités se développe autour de questions liées à la théorie des jeux. Des contributions marquantes sont celles de Christian Huygens (espérance, 1657), Jacques Bernoulli (variable aléatoire, LGN, 1713 posthume), Abraham de