Asignatura: Resistencia de materiales

CAPTULO I ESFUERZO Y DEFORMACIN AXIAL

I.1. Tipos de esfuerzosLa fuerza por unidad de rea o intensidad de las fuerzas distribuidas sobre la seccin dada, se conoce como esfuerzo.

a) Carga axial y esfuerzo normalSe dice que una barra est sometida a carga axial si la fuerza acta sobre el centroide de la seccin normal, el esfuerzo correspondiente se denomina esfuerzo normal, definido por:A

F

I.1

b) Fuerza y esfuerzo cortanteUn elemento est sujeto a fuerza cortante cuando la carga acta paralela a la seccin transversal, se define por:

(I.2)

I.2. Deformacin normalSea una barra BC de longitud L y seccin transversal a, que est suspendida en B si se aplica una fuerza F en el extremo C, la barra se alarga.

Dividiendo entre L I.3Donde: : Deformacin normal, adimensional.: Deformacin, unidades (L)L: longitud original, L Se defina como alargamiento/unidad de longitudElaborando a la misma altura una grafica carga-deformacin se tiene:

1.3 Diagrama de esfuerzo-deformacinAl dividir F entre A se obtiene un esfuerzo, que puede graficarse contra la deformacin normal

Diagrama esfuerzo-deformacin

Los diagramas de esfuerzo-deformacin varan para cada tipo de material. Existen dos tipos de materiales dctiles y frgiles. En el primer tipo, como el acero estructural se tiene capacidad para fluir.y: esfuerzo de fluenciau: esfuerzo ltimo

Grfica esfuerzo-deformacin del acero

Un material se define como dctil si

Ley de Hooke y mdulo de elasticidadLas estructuras se disean para sufrir pequeas deformaciones, que garanticen un comportamiento lineal. Considerado la parte de comportamiento lineal en la grafica esfuerzo-deformacin del acero.

I.4Donde: E modulo elstico o modulo de YoungLa ecuacin 4 se conoce como la ley de Hooke, expresada como el esfuerzo es proporcional a la deformacin. De la ecuacin 4 se tiene:E=/I.5La ecuacin 1.5 representa la pendiente de la curva.

Grfica de la tangente esfuerzo-deformacin

Para una barra sujeta a carga axial la deformacin es:

Despejando de I.4 se tiene:=/EI.6Sustituyendo I.7 en I.6:

I.7

I.8

I.4. Relacin de Poisson

El alargamiento producido por una fuerza P de tensin, est acompaado por una contraccin en cualquier direccin transversal, bajo el supuesto que se tiene un material isotrpico, es decir, que las propiedades son iguales en cada direccin debe ser igual en direccin. El valor absoluto de la relacin entre la deformacin lateral y axial es el mdulo de Poisson.

I.9

I.5. Cambio de temperatura Los cuerpos se dilatan por el aumenta de temperatura. (por efecto de la temperatura): Coeficiente de expansin trmica: Incremento de temperaturaL: longitud original

Considerando un elemento empotrado.Permitiendo el alargamiento en un extremo resulta:Por efecto de temperatura se tiene:I.10si ahora se comprime con una fuerza PI.11Igualando I.10 Y I.11

I.12Esfuerzo causado por la variacin de temperatura.

I.6 Unidades

LongitudreaFuerzaEsfuerzo

1cm=0.393pulg.1pulg=2.54cm

1pulg=0.0833ft1ft=12.0pulg

1cm=0.0328ft1ft=30.48cm1pulg=6.45cm21cm2=0.155pulg2

1m2=1550.38pulg21pulg2=6.45x10-4m2

1pound=0.454kg1kg=2.20pound

1kips=0.454ton1ton=2.20kips

1kn=0.101kg1kg=9.81n

1kn=.101ton1ton=9.81kn1psi=0.0703kg/cm21kg/cm2=14.21psi

1ksi=70.37kg/cm21 kg/cm2=0.014ksi

1kg/cm2=0.0981mpa1mpa=10.19kg/cm2

1ton/m2=0.981mpa1mpa=1.019ton/m2

1psi=6.903kpa1kpa=0.144psi1ksi=6.90mpa1mpa=0.144ksi

I.7 PROBLEMAS

Problema No.1. Hallar el acortamiento o alargamiento de la barra de acero mostrada en la figura, bajo las cargas dadas E = 29x106 psi

Objetivo: obtener el acortamiento o alargamiento de la barra Herramientas: ecuacin de equilibrio, diagrama de cuerpo libre, ley de HookeSOLUCION:Fuerzas actuantes por tramo 1

Tramo 1

P1= 30kips

Tramo 2

P2 - 45 30 = 0P2 = 15kipsTramo 3

-P3+75-45+30 = 0-P3+105-45 = 0P3 = 60kips

2.-Acortamiento por tramo

TramoFuerzaKips LPulg APulg 2Pulg ESFUERZO

360120.90.027T

215120.9-0.007C

130160.30.055T

Suma=0.0758

Se utiliza la ecuacin para cada tramo

Problema 2. La barra rgida BDE se apoya en dos conectores AB y CD. El conector AB es de aluminio (E=70Gpa) y tiene una seccin transversal de 500mm2. El conector CD tiene una seccin transversal de 600mm2y mdulo elstico igual a 200 Gpa. Hallar la deformacin en B, D y E, si se aplica una fuerza de 30 KN en E.NO VA

Objetivo: encontrar los desplazamientos en B, D, y E.Herramientas: diagrama de cuerpo libre, ecuaciones de equilibrio, ley de Hooke, posicin deformada

Solucin 1 Fuerzas en las barras

Analizando la barra BDE

Sustituyendo el valor de FCD, resulta:

FAB = 90KN - 30KN = 60KN

La barra AB esta a compresin, la barra CD esta a tensin

2 Desplazamiento en B y D

Los desplazamientos en B y D son iguales al acortamiento de la barra AB y al alargamiento de la barra CD, respectivamente.Aplicando la ley de Hooke resulta:

3 Desplazamiento del punto E

La posicin deformada se obtiene por tringulos semejantes

Problema 3. La barra CE de dimetro =1/2 y la barra DF de dimetro estn unidas a la barra rgida ABCD. Ambas barras son de aluminio E = 10.1x106 psi. Hallar: La fuerza en cada barra y la deflexin en A.

Objetivo: encontrar la fuerza en cada barra y la deflexin en AHerramientas: Ecuaciones de equilibrio, diagramas de cuerpo libre, ley de Hooke, posicin deformada.

Solucin:Fuerzas en las barras

CE + 1.67 DF =15 kips 1

2. Posicin deformada

2De la ley de Hooke se tiene:3

Sustituyendo datos en 2 resulta

4

Sustituyendo la ecuacin 4 en 21.26x10-5CE (pulg)=0.60 (6.75x10-6DF)(pulg)

CE=0.320DF 5

Sustituyendo 5 en 1 0.320DF + 1.67 DF= 15kipsDF = 7.55 KipsCE=2.41 Kips

3. Alargamiento en las barras Aplicando el valor de las fuerzas en la ecuacin 2 se tiene:

Para el punto A se tiene

Problema 4. Encontrar el valor de P en la parte inferior.

Herramientas Ecuacin de equilibrio, diagrama de cuerpo libre, ley de Hooke

Solucin 1 Desplazamiento Para el punto D

La fuerza en el apoyo D sustituyendo la ley de Hooke

Tramo B-CPara los siguientes datos se tiene.P1=1361Kg a= 10cmP2=2722Kg b=20cm c=30cm

P = 1587.80 kg

Problema 5. Obtener la deformacin de la barra mostrada, espesor t=0.025m, E=200Gpa.Herramientas Ley de Hooke, lgebra, calculo integral

Solucin:Ecuacin del ancho y rea de la placa

(1)Aplicacin de la Ley de Hooke

(2)Sustituyendo la ecuacin 1 en 2

La ecuacin es del tipo:

*(3)Con

Para comparar el resultado se puede considerar un ancho promedio de la seccin:

Problema 6. La barra AC es totalmente rgida, est articulada en A y unida a las DB y CE. El peso de AC es de 5,000 kg y el de las otras barras es despreciable. Si la temperatura de las barras DB y CE aumenta 40 C, hallar las tensiones producidas en esas barras. DB es de cobre, para la cual E=1.05 x 106 kg/cm2, = 17.7 x 10-6/C y la seccin 12 cm2, mientras que la CE es de acero, para la cual E=2.1 x 106 kg/cm2, = 11 x 10-6/C y la seccin 6 cm2. Despreciar el pandeo lateral de las barras.

Solucin:

Herramientas: ley de Hooke, ecuaciones de equilibrio, diagrama de cuerpo libre, teorema de tringulos semejantes y ecuacin sobre efectos de temperatura y principio de superposicin.

Para este problema se utilizar el principio de superposicin aceptando que el sistema se comporta linealmente:

1 Considerando en un primer estado que solo acta la carga de 5000 kg. a) Se considera una posicin deformada asociada al estado de cargas mostrado en el diagrama de cuerpo libre. Las dos barras se encuentran en tensin.

+1

2De la posicin deformada y utilizando el teorema de tringulos semejantes se obtiene la ecuacin 3

3Utilizando la ecuacin I.8 en ambos lados se tiene:

4Igualando las ecuaciones 2 y 4 y despejando Cy se tiene:

5Ambas barras estn en tensin.

2 Para el segundo caso se tiene el aumento de temperatura en las dos barras. Bajo estas condiciones y suponiendo que ambas barras estuvieran libres, el alargamiento puede ser calculado con la ecuacin I.10

I.10Sustituyendo los valores para las dos barras se tiene:

De acuerdo a los valores obtenidos, la posicin deformada sera de la siguiente manera:

Sin embargo, la barra AC es totalmente rgida, de tal forma que la posicin deformada debe ser una solucin intermedia donde B < 0.63 mm y C > 0.39 mm. As los desplazamientos en B y C se definen en la figura siguiente:

Los desplazamientos reales en los puntos B y C se expresan con la ecuacin

6

7En las ecuaciones 6 y 7 los segundos trminos son las fuerzas en las barras generadas por el cambio de temperatura, en el primer caso se tiene una carga de compresin y en el segundo caso se tiene una carga de tensin. El sentido de estas cargas est mostrada en la siguiente figura

Las ecuaciones 7 y 8 se obtienen con las ecuaciones de equilibrio y de la posicin deformada:

+

8Sustituyendo las ecuaciones 6 y 7 en 8 resulta:

9

Despejando Cy y sustituyendo las variables resulta:

10Igualando las ecuaciones 10 y la 7 se obtiene la fuerza By. Utilizando la ecuacin 7 se obtiene Cy

113 Aplicando la superposicin de las ecuaciones 11 y 5 se obtiene la fuerza en las barras

La barra BD est en compresin y la barra CE est en tensin.Finalmente los esfuerzos son:

Apuntes de resistencia de materiales. Unidad Acadmica de IngenieraDr Sulpicio Snchez Tizapa

22

CAPITULO II. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE

II.1 Esfuerzos de flexinPara la figura mostrada y haciendo un corte en la seccin E entre BC, para que el segmento ABE est en equilibrio se requiere un momento interno en E.

Figura II.2

Reacciones

Diagrama de cuerpo libre para el segmento ABE (Figura II.2)M. Momento interno, necesario para mantener el equilibrio en el segmento BE.

Analizando la seccin E en forma tridimensional se tiene.

M

Figura II.3

La presencia del momento generan a su vez fuerzas internas actuando sobre el rea de la seccin E.

La razn df / dA es un esfuerzo generado para el efecto de flexin, presentado por:d = dF / dAPara la componente x y por equilibrio

F=II.1No existe momento con respecto a Y

II.2 Existe momento con respecto al eje z

II.3

Aceptando para la figura II.2 una posicin deformada como la propuesta.

Resulta claro que la seccin A se deforma, pasando a la seccin A A el punto A se contrae y el punto A se alarga; sin embargo, existe un punto situado a la mitad donde no existe deformacin, uniendo estos puntos en toda la longitud de la viga se tiene el eje neutro.

La longitud original de la viga es L, que se mantiene sobre el eje neutro.L = II.4

La longitud del arco JK resulta:L = ( - y) II.5As la deformacin del arco JK respecto a la distancia original es: = L L II.6

Sustituyendo III.4 y III.5 en III.6 = - y - = - y II.7

La deformacin normal en la direccin x resulta (ecuacin I.3)X = /L = y / = -y / II.8

Dibujando la seccin deformada A A, por geometra se puede demostrar que =

De la ecuacin II.8 si:y = 0 x = 0;y = C x = xmax; y = -C x = xmax

Es decir existe variacin lineal de la deformacin normal.Para y = C se tiene:

II.9

II.10

Sustituyendo II.10 en II.8

II.11

Aceptando un comportamiento lineal, entonces se puede aplica la Ley de Hooke entre esfuerzos y deformaciones.

I.4

II.12

Sustituyendo II.12 en II.11

II.13Sustituyendo II.13 en II.1

II.14

m: valor mximo absoluto del esfuerzo.Para que exista solucin distinta de la trivial:

II.15

Esto implica que el eje neutro pasa por el centroide de la seccin. De la ecuacin II.3 y II.13

II.16Si entonces

II.17Sustituyendo II.13 en II.17

II.18La ecuacin II.18 se le denomina formula de la flexin o ley de la escudara y relaciona los esfuerzos de flexin respecto al momento flexionante.

II.2 Fuerza y esfuerzo cortante

Sea la viga mostrada con una distribucin de carga cualquiera.

Seccionando el tramo abcd

Los diagramas de esfuerzos normales para esta seccin resultan:

Aislando la parte inferior del elemento m m, b c

Por equilibrio para la seccin m-m b-c se tiene: Fx = 0 +

II.27

II.28

Sustituyendo II.28 en II.27

II.29Aceptando que:

II.30

Sustituyendo la ecuacin II.30 en II.29

II.31Por definicin de esttica:

II.32Q: Momento esttico de rea.

II.33En realidad importa el esfuerzo cortante en el plano xy.

Para un elemento plano

II.34El esfuerzo cortante es proporcional al cortante (V) y al momento esttico Q con respecto al eje neutro del rea comprendida entre la posicin del elemento diferencial (Y1) y la fibra ms alejada.

Para la seccin rectangular.

II.35Sustituyendo la ecuacin II.35 en II.34

II.36En la ecuacin II.36

y1 = + - h/2 ; ; si y1 = 0

II.37

Para II.38Sustituyendo II. 38 en II. 37

II.39El esfuerzo cortante es mximo en el eje neutro

II.3 Diagramas de cortante y momento

Existen dos para su obtencin Mtodo analticoMtodo grficoDefinicin: los diagramas de cortante y momentos son graficas que muestran como varan estos elementos mecnicos en la longitud de la viga

II.4 Relacin entre carga, fuerza cortante, y momento flexionante

Relacin entre carga y cortanteAnalizando el segmento C-C

II.40

Si se integra dV entre dos puntos

II.41VD - V C = - (rea bajo la curva de carga entre C y D)

Si existe una carga puntual en el tramo C-C

Por equilibrio

V V dV P = 0

II.42

Relacin entre fuerza contante y momento flexionantePara el segmento CC se tiene:

Despreciando el trmino dM +Vdx = 0

II.43Considerando la integral en los puntos D y C dM = Vdx

II.44

La diferencia de momentos entre dos puntos es igual al rea bajo la curva de cortante entre estos puntos.

II.5 Problemas resueltos

Problema 1. Determinar el momento de inercia con respecto al eje centroidal de cada una de las secciones ilustradas. Acotaciones en milmetros

Herramienta:Teorema de los ejes paralelos o de Steiner IT = Ic +Ad2

Solucin: Se procede a dividir la figura en otras ms sencillas No.rea yrea yIcd2IT

I1000025250000208333315722159309854

II75001259375001406250064418892500

III145002503625000120833339922155954538

Suma 320004812500334156892mm4

Acotaciones en milmetros Y = AY/A = 150.4 mm

Problema 2. Determinar el momento flexionante admisible de una viga rectangular de madera que tiene una seccin transversal acabada de 50mmx100mm, para un esfuerzo admisible de 8.4 Mpa. A) si la flexin es con respecto al eje neutro paralelo al lado de 50mm, B) si se flexiona respecto a un eje neutro paralelo al lado de 100mm.

Herramientas:Formula de la flexin

Solucin:De la ecuacin II.17

II.17A Flexin respecto al EN paralelo al lado de 50 mm

Despejando M y si y = C

C = 0.050m, I = 0.05x0.13 /12

I = 4.16x10-6m4

Sustituyendo

B Flexin respecto al EN paralelo al lado de 100 mm

C = 0.025, I = 1.041x10-6m4

Problema 3. Una viga de seccin rectangular maciza con las dimensiones que se indican se somete a un momento flexionante positivo (+) de 1600kg-m que acta con respecto al eje horizontal. A) encontrar la fuerza de compresin que se ejerce en el rea con rayado simple de la seccin producida por los esfuerzos debidos a la flexin. B) determinar la fuerza de tensin que acta sobre el rea con rayado cruzado de la seccin transversal.

Acotaciones en cm

Solucin: A) Para la seccin debe evaluarse el volumen del bloque de esfuerzos.De la ecuacin II.18

rea del trapecio A = (B+b)(h/2)=(426.7+142.2)(5/2)A = 1422.16kg/cmVolumen del bloqueV=1422.16kg/cm(10cm)V=14221.6kgF=14.22tonFuerza de compresin

B)

rea del tringuloA=142.2kg/cm2(2.5cm/2)A=177.8kg/cmV= 177.8kg/cmx5.0cmV = 888.9kg

F=0.88ton Fuerza de tensin

Problema 4. Dibujar los diagramas de cortante y momento para la viga simplemente apoyada.

Herramientas: Diagrama de cuerpo libre, ecuaciones de equilibrio.Solucin:1 Calculo de reacciones

Diagrama de cuerpo libre.

-PL/2+RBL=0RB = P/2

2) Mtodo analtico evaluar el cortante y momento

Para:

1

; 2

Para

+P/2- P - V = 0-P/2 - V = 0V= -P/23

-(P/2)X + P(X-L/2)+M = 0-PX/2 + PX PL/2 + M = 0 P/2 (X-L)+M = 0M= (L-X)P/24

Graficas de cortante y momento

Problema 5. Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento para la viga AB.

Herramientas:Diagrama de cuerpo libre, ecuaciones de equilibrio, sistema equivalente.Solucin:1.- Sistema equivalente

2.-Reacciones

-70(4) + 280lb.pulg - 50(12)+200-70(20) + 280 + RB(24) = 0RB = +63.33lb

+R A-70lb-50lb-70lb+RB=0R A=126.67lb

3.-Elaboracin de diagramas de momento por el mtodo grafico.En el tramo A-C y de la ecuacin II.4 dv/dx=0, si no existe carga la grafica de cortante se mantiene horizontal. Si existen cargas se tiene dv = -P (ecuacin II.42).En el diagrama de momento, por las condiciones de apoyo, MA = 0 de la ecuacin II.41.

; MA = 0;MC =506.68lb.pulg.Mc =506.68 lb.pulg. -280lb.pulg = 226.68lb.pulg.

=453.36MD = 453.36+Mc= 680.04 lb.pulg.

MD=680.04-200=480.04lb.pulg. ME = 53.36lb.pulg + 480.04 lb.pulg = 533.40 lb.pulg.ME=533.40lb.pulg. 280lb.pulg.=253.40lb.pulg.

Problema 6. Obtener los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada utilizando el mtodo grafico.

Herramientas:Diagrama de C.L ecuacin de equilibrio.Solucin:1.-Reacciones de los apoyos.

+3ton(2.5m) + 3ton(1.5m) - 5.5RA = 0RA = 2.18ton.

+ RA-6+ RB = 0RB = 3.81ton.

2.-Diagramas de cortante y momento.

Para el tramo AC no existe carga La grafica de cortante es:

De las condiciones de apoyo MA=0

Problema 7. Calcular el diagrama de cortante y momento para la viga mostrada utilizando el mtodo analtico.

Herramientas:Ecuaciones de equilibrio, diagramas de cuerpo libre.Solucin:1.-Para el tramo A-B se tiene

Para el cortante

- V 120(x/5)(x/2) = 0- V - (120/10)x2 = 0V = -12x2Momento

+12x2(x/3) + M = 0M = -4x3Otra forma de obtener M es:

Para

Para la suma de momentos se integra la ecuacin de V

Problema 8. Para la viga mostrada hallar el ancho b de la viga y la distancia para la cual el esfuerzo normal y el cortante mximo son simultneamente iguales a adm=1600psi y =110psi

Herramientas:Diagrama de cuerpo libre, ecuaciones de equilibrio, formula de esfuerzo cortante, formula de esfuerzo a la flexin, diagrama de cortante y momento. 1 psi= lb/pulg2

Solucin: 1.-Esfuerzo normal y cortante (Ecuaciones II.18 y II.39)

, para una seccin rectangular:

Sustituyendo datos:

1Para el cortante

2V est expresado en libras.

2.- Diagramas de cortante y momento.

Se dibujo invertido el sistema original.VB - V C = - (rea bajo la curva de carga entre C y B), para la zona BA dV/dx = 0

Para cualquier distancia x V= 1200lb. 3Sustituyendo 3 en 2 se encuentra el ancho de la vigab=2.29pulg 4Sustituyendo 4 en 1para encontrar el valor mximo del momento en el empotre

M=13066.7 x 2.29= 29934.6 lb.pulg.5

3.- Distancia x MB = 1200*24/12 = 14, 400 lb pulg

M=14400 + 1200x6Sustituyendo 5 en 629934.61 = 14400 + 1200xx=12.99pulg.

Finalmente con b= 2.2 pulg y x = 12.99 pulg se garantizan esfuerzos simultneos de adm=1600psi y =110psi

Problema 9. Para la viga T determinar:a) El valor del esfuerzo constante mximo y el punto donde ocurreb) La distribucin de esfuerzos cortantes en la seccin m-n a la izquierda de la carga P.

Herramientas:Ecuaciones de equilibrio, diagrama de cortante, ecuacin de esfuerzo cortante.Solucin:

A El esfuerzo mximo ocurre donde se tiene el mximo cortante, para lo cual se requiere calcular el diagrama de cortante.

+-750kg/m(4m)(2m)-1800kg(1.0m)+RB(4m)=0RB=1950kg.

-1800kg-750kg/m(4m)+1950kg+RA=0RA=2850kg

Vmax = 2850kg en A

II.34Se requiere calcular el centroide que es donde el esfuerzo cortante es mximo. Tambin debe calcularse Q e I

No.AyAyId2IT

1143.54957.165.76137.8

2168.01285.334.4175.9

suma30177213.7cm4

Y = 177/30 = 5.9 cm

B Distribucin de esfuerzos cortantes en la seccin m-n V m-n = 2100kg

PuntoAncho, bQxy

A2 cm00

B2 cm34.8170.7

C2 cm33.6165.0

D8 cm33.641.3

E8 cm00

Q es el momento esttico del rea en estudio y se obtiene al multiplicar el rea por la distancia que resulta de la diferencia entre el centroide de la figura respecto al centroide de la seccin estudiada

Problema 10. Dibujar los diagramas de cortante y momento flexionante.

Herramientas:Diagrama de cuerpo libre, ecuaciones de equilibrio.Solucin:1.-Reacciones

+20KN(2.5m)-40KN(3.0m)+RD(5.0m)=050KN.m-120KN.m+5.0 RD=0RD=70/5=14KN

-20KN+By-40KN+RD=0-60KN+14KN+By=0-46KN+By=0By=46KN

2.-Calculo de V y M por el mtodo analtico.

Tramo A-B 0x2.5m

-20KN-V=0V=-20KN.

+20KN(x)+M=0M=-20x(KN)

Tramo BC 2.5x5.5

-20KN+46KN-V=0V=26KN

+20KN(x)-46(x-2.5)+M=020xKN-46xKN+115KN+M=0M=26xKN-115KN.m

Tramo CD 5.5x7.5m

-20KN+46KN-40KN-V=0V=-14KN

+20KN(x)-46KN(x-2.5)+40KN(x-5.5)+M=0+14xKN-105KN.m+M=0M=-14xKN+105KN.m.

Problema 11. Obtener el diagrama de V y M utilizando el mtodo grfico

Herramientas:Diagrama de cuerpo libre, ecuaciones de equilibrio, formula de reas.

Solucin:1.-Reacciones.Por la simetra de cargas.Ay=By1

Ay-wL+By=02Ay-wL=0Ay=wL/2; By=wL/2

2 Diagramas de cortante y momento.Se definirn tres puntos de control x1 = L/4, x2 = L/2, x3 = 3L/4Recordando que:

II.41

II.44

CortantesTramo

ViVi+1

A x1-wL/4wL/2wL/4

x1 - x2-wL/4wL/40.0

x2 x3-wL/40.0-wL/4

x3 - B-wL/4-wL/4-wL/2

Tramo

MiMi+1

A x13wL2/3203wL2/32

x1 - x2wL2/323wL2/32wL2/8

x2 x3-wL2/32wL2/83wL2/32

x3 - B-3wL2/323wL2/320

CAPITULO III DEFORMACION EN VIGAS

III.1 Relacin entre curvatura, deformacin y momento flexionante

De la ecuacin II.10 se tiene:

De la ecuacin I.6 para el rango elstico

I.6

Adems I.17Sustituyendo I.17 en I.6

III.1

III.2Del clculo diferencial se tiene:

III.3Despejando el trmino del denominador y considerando

III.4 Relacin entre curvatura y deformacin

Sustituyendo III.4 en III.2

III.5Ecuacin diferencial de la curva elstica que relaciona la deformacin con el momento flexionante

III.2 Ecuacin de la posicin deformada

La ecuacin III.5 se transforma en:

III.6

III.7

Si La pendiente de la posicin deformada resulta:

III.7

Integrando la ecuacin III.7

III.8 Ecuacin de la posicin deformada

En la ecuacin III.8 y es la posicin deformada del eje neutro, EI=Rigidez a flexin y Ci son las constantes de integracin

III.3 Condiciones de fronteraLas constantes C1 y C2 dependen de las condiciones de frontera del elemento. As, las vigas mostradas tienen las siguientes condiciones de frontera:

III.4 Clculo de deflexin por doble integracin Considerando las expresiones presentadas en el capitulo anterior

II.43

II.40Derivando la ecuacin II.43

III.9Sustituyendo III.9 en II.40

III.10Derivando dos veces la ecuacin III.6

III.11Sustituyendo III.10 en III.11

III.12Si se integra la ecuacin III.12 cuatro veces

Se requieren 4 condiciones de frontera para evaluar las constantes C1, C2, C3 y C4 en una viga con una carga repartida w

Relacin entre una funcin y su derivada

Para los puntos de inflexin dy/dx = 0 se tienen los valores mximos o mnimos de la funcin.

III.5 Deflexin por el mtodo de la viga conjugada

A Teoremas de MohrSea la viga cargada como se muestra de la cual se agranda el tramo 1-2, entonces se tiene:

De la ecuacin III.5

III.13Integrando entre 1 y 2

III.14La ecuacin III.14 expresa el primer teorema de Mohr.El ngulo que forman las tangentes entre dos puntos de la elstica es igual al rea del diagrama M/EI entre los dos puntos

De la figura anterior se tiene:

III.15Sustituyendo III.13 en III.15

Integrando entre 1 y 2

III.16El segundo teorema de Mohr, ecuacin III.16, expresa:

La diferencia de un punto 2 de la elstica a la tangente en otro punto 1 de la elstica, es igual al momento elstico del rea del diagrama M/EI entre estos dos puntos con respecto al punto 2. La distancia se mide sobre la perpendicular a la posicin de la viga original.

De las ecuaciones II.40 y II.43 se obtienen las dos siguientes ecuaciones:

III.17

III.18De manera similar pensemos en una viga ficticia denominada conjugada con la misma longitud que la viga real pero cargada con una carga elstica M/EI obtenida a partir de la carga real. Para esta viga conjugada el cortante y momento se obtiene con las expresiones siguientes:

III.19

III.20Los segundos trminos de las ecuaciones III.19 y III.20 son idnticos a las ecuaciones III.14 y III.16, respectivamente. Por lo tanto, la pendiente y la deflexin de la viga real son iguales al cortante y momento de la viga conjugada, respectivamente.

III.21

III.22

Para garantizar lo anterior se requiere que las condiciones de apoyo de la viga conjugada correspondan con la pendiente y la deflexin de la viga real. Ver tabla siguiente:

III. 6 Problemas resueltos

PROBLEMA 1 Obtener la ecuacin de la curva elstica para la viga mostrada.

Solucin:1.- Reacciones en los apoyos

+-Pa + ByL = 0; By = Pa/L

2.- Ecuacin de momento

Tramo A-C

+

; 1

Tramo C-B

+

2Integrando la ecuacin 1

3

4Ahora se integra la ecuacin 2

5

6

3.- Constantes de integracin

Por la continuidad de deformacin las pendientes son iguales cuando X= a, por lo tanto se puede igualar las ecuaciones 3 y 5.

de donde:7Por continuidad de deformacin para X = a se iguala las ecuaciones 4 y 6

8Sustituyendo en la ecuacin 4 las condiciones de frontera X=0, y=0 C2= 0 y C4 = 0

Sustituyendo en la ecuacin 6 las condiciones de frontera X = L, Y = 0

Sustituyendo valores de las constantes en 4 y 6

En la ecuacin 6

Problema # 2.- Obtener la ecuacin de la elstica y el valor mximo de la deflexin.

Herramientas:Ecuacin diferencial de la curva elstica, ecuaciones de equilibrio, D.C.L.Solucin:1.- Posicin deformada y reacciones

+ByL - M1 = 0, By = M1/L

Ay + M1/L = 0, Ay = -M1/L

2.- Ecuacin de momento

+

M - M1 + (M1/L)x = 0M = - (M1/L)x + M1M = M1(1- x/L)

3.- Integracin de ecuacin III.5

1

2

3

Para X = 0, Y = 0

C2 = 0Para x = L, Y = 0

Sustituyendo en la ecuacin 3

4

4.- El valor mximo de y

Para

La ecuacin 2 resulta

,

Se tiene una ecuacin de 2do gradoAx2 + Bx + C = 0

Sustituyendo el valor de X1 en 4

Problema #3.- Obtener la ecuacin de la curva elstica y la mxima deflexin para la viga mostrada.

Herramientas.Ecuacin de la curva elstica, ecuaciones de equilibrio y D.C.L.Solucin:Ay=wL/2

2.- Ecuacin de momento.

+

3.- Integracin de ecuacin.

1

2

3

Condiciones de frontera:Para x = 0 ; y = 0 , C2 = 0Para X = L; y = 0

Sustituyendo en la ecuacin 2 y 3

5

6

El valor mximo de y se tiene si dy/dx =0

Las races son:

Para la primera raz se tiene:

Problema # 4 Una viga en voladizo, prismtica, AB, soporta una carga concentrada P en su extremo libre A como representa la figura. Hallar la ecuacin de la elstica, la pendiente y deflexin en A.

Herramientas: Diagramas de cuerpo libre, ecuaciones de equilibrio, calculo integral.Solucin:1.-Ecuacin de momento.

Para

++Px + M = 0; M = -Px1De la ecuacin III.5

3Integrando dos veces la ecuacin 3

4

52.- Constante de integracin.La posicin deformada resulta

Para x= LSustituyendo las condiciones de frontera en 4 y 5 resulta.

Sustituyendo los valores de C1 y C2, resulta en 4 y 5

6

7

3.-Deflexin y pendiente en A

Sustituyendo x=0 en ecuaciones 6 y 7

Problema #5 Obtener la ecuacin de la elstica para la viga mostrada.

Herramientas:Diagramas de cuerpo libre, ecuaciones de equilibrio, calculo integral.1.-Ecuacin de momento.

Para

++wxx/2+M=0, M=-wx2/21As

2Integrando dos veces

3

42.- Constantes de integracin.La posicin deformada resulta:

Para x=LSustituyendo las condiciones de frontera en 3 y 4

Sustituyendo los valores de C1 y C2 en 3 y 4 resulta.

III.7.- Mtodo de la viga conjugadaPara una viga real con una carga actuante, se construye otra con la misma longitud que tiene como carga el diagrama M/EI y con los apoyos modificados.Por ejemplo:

El cortante en la viga conjugada son los giros de la viga real. Los momentos de la viga conjugada son los desplazamientos de la viga real.

Problema 1. Encontrar los giros y los desplazamientos de los puntos 1, 2, 3, indicados en la viga en voladizo, suponiendo EI constante.

Herramientas:Diagrama de cortante, diagramas de momento

1 Diagramas de cortante y momento

2 Viga conjugada.Se construye utilizando el diagrama de momento, que se divide entre EI. De acuerdo a la tabla mostrada, en el punto 3 debe colocarse un empotre y en el punto 1 se tiene un apoyo libre.

Para el giro debe evaluarse el cortante en las secciones

Para el desplazamiento debe evaluarse el momentoEn la seccin 1 el momento vale cero

El momento en la seccin 2 se obtiene multiplicando el rea del trapecio por su brazo de palanca.

El momento en la seccin 3 se obtiene multiplicando el rea del trapecio por su brazo de palanca mas el rea del triangulo por su brazo de palanca.

Problema 2. Determinar los giros y los desplazamientos en los puntos 1, 2 y 3 de la viga simplemente apoyada, si EI es constante.

Herramientas:Diagramas de cortante y momento

1 Diagramas de cortante y momentoSe aplica la suma de momentos y suma de fuerzas verticales para obtener las reacciones.

2. La viga conjugada se muestra en la figura siguiente

La reaccin R1 se calcula con la condicin.

Para el punto 2 debe evaluarse la reaccin que es el cortante de la viga conjugada.

En el punto 3 se evala el cortante expresado como la suma algebraica de la reaccin en 1 y la carga actuante entre 1 y 3

Problema 3. Valuar los desplazamientos y los giros en los puntos 1, 2 y 3 suponiendo EI constante.

1 Reaccin en apoyo izquierdo

Usando la condicin:

2 Viga conjugada

Para el desplazamiento se tiene

Por la simetra de geometra y de cargas de la estructura, solo es necesario considerar la mitad de la estructura, simplificndose el clculo de giros y desplazamientos.

Problema 4.Calcular el desplazamiento de la viga indicada suponiendo EI constante.

El desplazamiento mximo ocurre en el punto 2 por lo que se calcula el momento en este punto en la viga conjugada.

Viga conjugada

CAPITULO IV.- VIGAS HIPERESTATICAS

I.1 Grado de hiperestaticidad

Una viga es hiperesttica cuando el nmero de reacciones es mayor que el nmero de ecuaciones de equilibrio disponibles para el sistema. En este caso deben proponerse ecuaciones adicionales basadas en la compatibilidad de deformaciones, equilibrio.

GH = # reacciones - # ecuaciones de equilibrio. Donde GH = Grado de hiperestaticidad

Para este trabajo donde se analizan estructuras simples en el plano XY, el nmero de ecuaciones de equilibrio son tres. Fx=0, Fy= 0 y M = 0.

I.2 Mtodos para resolver vigas hiperestticasEste curso es una introduccin a temas ms especficos que se estudian en semestres avanzados en la carrera de Ingeniera Civil. De esta manera, este captulo es una introduccin al anlisis estructural que se estudiar en semestres posteriores. En dicha materia se presenta un sinnmero de diferentes mtodos para resolver estructuras hiperestticas: mtodo de pendiente deflexin, mtodos aproximados, mtodos energticos y mtodos matriciales, de flexibilidad o de rigidez.En este caso y considerando que deben colocarse las bases del anlisis estructural se eligi utilizar el mtodo de las deformaciones compatibles, en el cual se colocan fuerzas unitarias virtuales que generan deformaciones, las cuales deben cumplir con las restricciones del problema. De esta forma y considerando que se aplican fuerzas, es tambin la introduccin al mtodo de las fuerzas o flexibilidades. Para un sistema hiperesttico, el mtodo superpone los efectos de varios sistemas isostticos por lo cual se puede tambin referenciar como mtodo de superposicin.

Debe comentase que en la bibliografa se presenta otros mtodos ms conocidos, normalmente definido como mtodo de los tres momentos.

I.3 Alcance del anlisis de vigas hiperestticasEn funcin de la bibliografa sobre resistencia de materiales se propone analizar vigas hiperestticas de hasta tres claros o con grado de hiperestaticidad menor o igual a dos.

I.4 Mtodo de deformaciones compatibles, de fuerzas o de superposicin

Se analizar la siguiente viga en la cual se tiene:

# reacciones = 4, # ecuaciones = 3Grado de hiperstaticidad = 4 3 = 1

Propuesta de solucin1. Se define una estructura isosttica o primaria, en la cual las reacciones pueden ser calculadas mediante las ecuaciones de equilibrio

El desplazamiento en el extremo se evala con la expresin obtenida anteriormente

2. Se propone una segunda estructura donde se coloca la fuerza que no se consider anteriormente

El desplazamiento en el extremo se evala con la expresin obtenida anteriormente

Por condiciones de geometra el desplazamiento en el apoyo B es igual a cero, entonces la suma de los dos desplazamientos calculados debe ser igual a cero

Regresando al sistema original se calculan las reacciones en el empotre mediante la suma de fuerzas y momento:

Ejemplo 1 Obtener el diagrama de cortante y momento para la viga mostrada

Solucin1 La posicin deformada se muestra en la Figura siguiente, donde se observa que el desplazamiento en C y B son iguales a cero

2 Grado de hiperestaticidad # reacciones = 5, # ecuaciones = 3Grado de hiperestaticidad = 5 3 = 2Por lo tanto se tiene una estructura primaria y dos secundarias, en stas actuaran las reacciones en C y B

3 Desplazamiento generado en los tres sistemas isostticosSe utilizan las ecuaciones de la elstica obtenidas en el capitulo anterior. Para el primer caso se tiene:

Sustituyendo los valores para x= 2.5 m x =5m

Para a