86

4. CORTANTE

La falla por cortante es una falla sbita y frgil. Se tienen las siguientes hiptesis para vigas de seccin rectangular.

- Los esfuerzos cortantes son paralelos a la fuerza cortante - Los esfuerzos cortantes estn uniformemente distribuidas a travs del ancho de

la viga. - Los Esfuerzo cortante horizontales son iguales al esfuerzo cortante vertical.

Los esfuerzos cortantes en cualquier nivel de una viga de seccin prismtica para la viga elstica no agrietada se calculan segn la mecnica de materiales como:

IbVQ

=

Donde: V: Fuerza cortante en la seccin

= ydAQ Primer momento de rea o Momento esttico del rea transversal arriba del nivel en el cual se analiza el esfuerzo. I: Segundo momento de rea o Inrcia de rea b: ancho efectivo en el punto donde se calcula el esfuerzo.

Si se considera la siguiente viga simplemente apoyada, y se analizan los esfuerzos en una seccin de longitud infinitesimal x.

Los esfuerzos principales ocurren sobre planos inclinados.

(A) (B)

87

La Trayectoria de esfuerzos principales para vigas de seccin transversal rectangulares se presenta en la siguiente grfica.

Las Lneas slidas corresponden a los esfuerzos principales de tensin, y las lneas punteadas a los esfuerzos principales de compresin.

Las grietas inclinadas en los extremos de la viga, se producen cuando los esfuerzos de tensin exceden la resistencia a tensin del concreto o modulo de rotura cffr = 62.0 y

cf 8.3MPa La Trayectoria de esfuerzos principales de tensin y compresin son ortogonales y cortan el eje longitudinal a 45.

En el tramo x:

xVMjdCjdTM

M

===

=..

0

Igualando

xVTjd =

El esfuerzo cortante promedio es:

x

TjdV

=

Dividiendo por el rea efectiva el esfuerzo cortante es:

88

xbT

bjdV

vww

==

.

El NSR-10 aproxima el esfuerzo a:

dbV

vw

=

4.1 RESISTENCIA AL CORTANTE

C.11.1 Resistencia al cortante

Salvo para elementos diseados de acuerdo con el Apndice A, el diseo de secciones transversales sometidas a cortante debe estar basado en

Vn Vu (C.11-1)

donde Vu es la fuerza cortante mayorada en la seccin considerada y Vn es la resistencia nominal al cortante calculada mediante

Vn = Vc + Vs (C.11-2)

donde Vc es la resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto, calculada de acuerdo con C.11.2, C.11.3, o C.11.11 y Vs es la resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo de cortante calculada de acuerdo con C.11.4, C.11.9.9 o C.11.11.

El esfuerzo mayorado vu se calcula de acuerdo con la siguiente ecuacin:

dbVu

vuw

=

Donde:

Vu: Fuerza cortante mayorada bw: Ancho del elemento o el ancho del alma del elemento cuando no tiene seccin rectangular. d: Altura efectiva

Para diseo:

VsVcVnVu +=

Donde el coeficiente de reduccin de resistencia para cortante y torsin segn el C.9.3.2.3 es 75.0=

89

De acuerdo al NSR-10 se presenta lo que se debe tener en cuenta para la resistencia al cortante:

C.11.1.1.1 Al determinar Vn, debe considerarse el efecto de cualquier abertura en los elementos. C.11.1.1.2 Al determinar Vc, cuando sea aplicable, pueden incluirse los efectos de traccin axial debida al flujo plstico y retraccin en elementos restringidos y los efectos de la compresin inclinada por flexin en los elementos de altura variable. C.11.1.2 Los valores de cf

usados en este Captulo no deben exceder 8.3 MPa excepto en lo permitido en C.11.1.2.1. C.11.1.3 Se permite calcular el mximo Vu en los apoyos de acuerdo con C.11.1.3.1 u C.11.1.3.2 cuando se cumplan todas las condiciones (a), (b) y (c) siguientes:

(a) la reaccin en el apoyo en direccin del cortante aplicado introduce compresin en las zonas extremas del elemento,

(b) las cargas son aplicadas en o cerca de la cara superior del elemento,

(c) ninguna carga concentrada se aplica entre la cara del apoyo y la ubicacin de la seccin crtica definida en C.11.1.3.1 u C.11.1.3.2. C.11.1.3.1 Para elementos no preesforzados, se permite disear las secciones localizadas a una distancia menor a d medida desde la cara del apoyo para el Vu calculado a la distancia d C.11.1.4 Para elementos de gran altura, losas y zapatas, muros, mnsulas y cartelas, deben aplicarse las disposiciones especiales de C.11.7 a C.11.11.

CR11.1.3.1 El agrietamiento inclinado ms cercano al apoyo de la viga, en la figura CR11.1.3.1(a), se extiende hacia arriba desde la cara del apoyo y alcanza la zona de compresin a una distancia de aproximadamente d desde la cara del apoyo. Si se aplican cargas a la parte superior de esta viga, los estribos que atraviesan esta fisura son solicitados por las cargas que actan en el cuerpo libre de la parte inferior en la figura CR11.1.3.1(a) Las cargas aplicadas a la viga entre la cara de la columna y el punto a una distancia d medido desde la cara se transfieren directamente al apoyo por compresin en el alma en la zona localizada encima de la fisura.

En la figura CR11.1.3.1(b), se muestran las cargas que actan cerca de la cara inferior de la viga. En este caso, la seccin crtica se toma en la cara del apoyo. Las cargas que actan cerca del apoyo deben transferirse a travs de la fisura inclinada que se extiende hacia arriba desde la cara del apoyo. La fuerza de cortante que acta en la seccin crtica debe incluir todas las cargas aplicadas por debajo de la fisura inclinada potencial.

Las condiciones tpicas de apoyo donde se puede utilizar la fuerza cortante a una distancia d del apoyo, incluyen: (1) elementos apoyados sobre soportes en la base del elemento, tales como los que se muestran en la figura CR11.1.3.1(c) y (2) elementos unidos monolticamente con otros elementos, como se muestra en la figura CR11.1.3.1(d).

Las condiciones de apoyo en las cuales no se debe aplicar esta disposicin incluyen: (1) elementos continuos con un elemento de soporte en traccin, tales como los que se ilustran en la figura CR11.1.3.1(e). La seccin crtica para el cortante debe tomarse en este caso en la cara del soporte, tambin debe investigarse el cortante dentro del nudo y proporcionarse refuerzo especial en las esquinas. (2) Elementos en los cuales las cargas no estn aplicadas en o cerca de la cara superior de elemento. Esta es la condicin a la que hace referencia la figura CR11.1.3.1(b). Para tales casos, la seccin crtica se toma en la cara del apoyo. Las cargas que actan cerca del apoyo deben transferirse a travs de una fisura inclinada que se extiende hacia arriba desde la cara del apoyo. La fuerza de cortante que acta en la seccin crtica debe incluir todas las cargas aplicadas

90

debajo de la fisura inclinada potencial. (3) Elementos cargados de tal manera que el cortante en las secciones entre el apoyo y una distancia d difieren radicalmente del cortante a una distancia d . Esto se presenta comnmente en mnsulas y en vigas en las cuales se localiza una carga concentrada cerca del apoyo tal como se muestra en la figura CR11.1.3.1(f) o en zapatas apoyadas sobre pilotes. En este caso debe utilizarse el cortante en la cara del apoyo l

91

Nota: Se recomienda en la mayora de los casos calcular el cortante a una distancia d, de la cara del apoyo para la zona confinada, ya que las cargas aplicadas a la viga entre la cara de la columna y una distancia d, se transfieren directamente al apoyo por compresin en el alma de la zona localizada encima de la fisura. La zona confinada, va desde 5cm de la pared interna de la columna y se extiende hasta 2h, a partir de ah inicia la zona no confinada que va desde 2h hasta el centro de la viga (El procedimiento es exactamente el mismo para la otra mitad de la viga ya que son simtricas)

4.2 RESISTENCIA AL ESFUERZO CORTANTE DEL CONCRETO

La resistencia al esfuerzo cortante contribuida por el concreto Vc, debe calcularse de acuerdo a C.11.2.1.1 para elementos sometidos nicamente a cortante y flexin:

C.11.2.1.1. Vc = 0.17 fc bw.d .

[ ]MPadbwcfVc .6

= C.11-3

C.11.2.1.2 Para elementos sometidos a compresin axial:

[ ]MPadbwcfAg

NuVc .14

117.0

+=

C.11-4

AgNu

en MPa

Nu: Fuerza axial mayorada Ag: rea bruta

C.11.2.1.3 Para elementos sometidos a traccin axial significativa, Vc debe tomarse como cero a menos que se haga un anlisis ms detallado usando C.11.2.2.3

C.11.3.2.1, Para elementos solo sometido a flexin y cortante.

[ ]MPadbwcfdbwMu

dVucfVc w ..29.0.1.1716.0

+= C.11-5

Donde:

dbAsw

w = Cuanta de acero en la seccin.

bw: ancho del alma Mu: Momento flector mayorado en la seccin a disear. Vu: cortante en la seccin considerada.

92

Al calcular Vc por medio de la ecuacin (C.11-5), Vud Mu no debe tomarse mayor que 1.0, y Mu ocurre simultneamente con Vu en la seccin considerada.

C.11.2.2.2 Para elementos sometidos a compresin axial, se permite utilizar la ecuacin (C.11-5) para calcular Vc con Mm sustituyendo a Mu y Vu.d Mu no limitada a 1.0, donde

( )8

4 dhNuMuMm = Ec. C.11-6 del NSR-10

Pero [ ]MPaAg

NudbwcfVc 29.01..29.0 + C.11-7

La cantidad Nu/Ag debe expresarse en MPa. Cuando Mm calculado segn la ecuacin C.11-7 resulte negativo, debe calcularse Vc con la ecuacin C.11-7.

Para elementos sometidos a tensin:

[ ]MPaAg

NucfVc 029.016

+

= C.11.8

donde Nu es negativa para traccin. La cantidad Nu/Ag debe expresarse en MPa.

93

4.3 REFUERZO DE CORTANTE

C.11.4.1.1 Se permite refuerzo para cortante consistente en:

(a) Estribos perpendiculares al eje del elemento (b) Refuerzo electro soldado de alambre con alambres Localizados perpendicularmente al eje del elemento. (c) Espirales, estribos circulares y estribos cerrados de Confinamiento.

C.11.4.1.2 Para elementos no pre esforzados, se permite que el refuerzo para cortante tambin consista en: (a) Estribos que formen un ngulo de 45 o ms con el refuerzo longitudinal por traccin. (b) Refuerzo longitudinal con una parte doblada que forme un ngulo de 30 o ms con el refuerzo Longitudinal de traccin. (c) Combinaciones

C.11.4.2 Los valores de fy y fyt usados en el diseo del refuerzo para cortante no debe exceder 420 MPa excepto que el valor no debe exceder 550 MPa para refuerzo electrosoldado de alambre corrugado.

4.4 ESPACIAMIENTO PARA EL REFUERZO DE CORTANTE

El espaciamiento a cortante debe cumplir con el cdigo C.11.5.4 y c.11.4.5 y c21, el C.21.3 para estructuras con capacidad de disipacin de energa DES.

C.11.4.5.1 El espaciamiento del refuerzo de cortante colocado perpendicularmente al eje del elemento no debe exceder de d 2 en elementos de concreto no preesforzado, de 0.75h en elementos preesforzados, ni de 600 mm.

C.11.4.5.2 Los estribos inclinados y el refuerzo longitudinal doblado deben estar espaciados de manera tal que cada lnea a 45, que se extienda hacia la reaccin desde la mitad de la altura del elemento, d 2 , hasta el refuerzo longitudinal de traccin, debe estar cruzada por lo menos por una lnea de refuerzo de cortante.

C.11.4.5.3 Donde Vs sobrepase 0.33 fcbwd las separaciones mximas dadas en C.11.4.5.1 y C.11.4.5.2 se deben reducir a la mitad.

C.21.3.4.6 En ambos extremos del elemento, deben disponerse estribos cerrados de confinamiento al menos No. 3 (3/8) 10M (10 mm) por longitudes iguales a 2h , medidas desde la cara de elemento de apoyo hacia el centro de la luz. El primer estribo cerrado de confinamiento debe estar situado a no ms de 50 mm de la cara del elemento de apoyo. El espaciamiento de los estribos cerrados de confinamiento no debe exceder el menor de (a), (b), (c) y (d):

94

(a) d/ 4

(b) Ocho veces el dimetro de la barra longitudinal confinada ms pequea.

(c) 24 veces el dimetro de la barra del estribo cerrado de confinamiento.

(d) 300 mm.

C.21.3.4.7 Cuando se requieran estribos cerrados de confinamiento, las barras longitudinales del permetro deben tener soporte lateral conforme a C.7.10.5.3.

C.21.3.4.8 Deben colocarse estribos con ganchos ssmicos en ambos extremos espaciados a no ms de d/2 en toda la longitud del elemento.

4.5 REFUERZO MINIMO DE CORTANTE

CR11.4.6.1 El refuerzo para cortante restringe la formacin de agrietamiento inclinado y, por consiguiente, aumenta la ductilidad y advierte del peligro de falla. Por lo contrario, en un alma sin refuerzo, la formacin sbita del agrietamiento inclinado puede conducir directamente a una falla repentina sin advertencia.

Este refuerzo es muy importante si un elemento es sometido a una fuerza de traccin imprevista, o a una sobrecarga. Por lo tanto, siempre que Vu , sea mayor que 0.5Vc se requiere un rea mnima de refuerzo para cortante no menor que la especificada por las ecuaciones (C.11-13) (C.11-14). Se excluyen las losas macizas, las zapatas y las viguetas de losas nervadas, de este requisito mnimo, pues hay una posibilidad que la carga sea compartida entre zonas dbiles y fuertes. Sin embargo, las investigacionesC.11.21-C.11.23 han demostrado que las losas en una sola direccin, de gran altura y poco reforzadas, en especial las construidas con concreto de alta resistencia, o con concreto con agregados grueso de tamao pequeo, pueden fallar a cortante menores de Vc , calculados por medio de la ecuacin (C.11-3), especialmente si estn sometidas a cargas concentradas. Por esta razn, la exclusin para cierto tipo de vigas en C.11.4.6.1(e) est restringida para casos en que h no excede de 600 mm. Para vigas con fc mayor de 48 MPa, se deben tomar consideraciones para proporcionar el refuerzo mnimo a cortante cuando h es mayor de 450 mm y Vu es mayor de 0.5Vc .

Aun cuando Vu sea menor que 0.5Vc , es recomendable el empleo algn refuerzo en toda alma delgada de elementos preesforzdos postensados (nervaduras, losas reticulares, vigas y vigas T) como refuerzo contra fuerzas de traccin en el alma, resultantes de desviaciones locales en el perfil de diseo del tendn y para proporcionar medios para soportar los tendones durante la construccin. Cuando no se proporciona soporte suficiente, pueden resultar, durante la colocacin del concreto, desviaciones locales respecto al perfil uniforme parablico del tendn supuesto en el diseo. En estos casos, las desviaciones de los tendones tienden a enderezarse cuando se tensionan. Este proceso puede imponer grandes esfuerzos de traccin en el alma y puede desarrollarse un agrietamiento severo cuando no se proporciona refuerzo en el alma. La curvatura no intencional de los tendones y los esfuerzos de traccin resultantes en el alma, pueden minimizarse amarrando de manera firme los tendones a los estribos que estn rgidamente sostenidos en su sitio por otros elementos del refuerzo manteniendo su posicin en el encofrado. El espaciamiento mximo de los estribos utilizados para este fin no debe exceder de 1.5h 1.2 m (lo que sea menor). Cuando sea adecuado, las disposiciones para el refuerzo de cortante de C.11.4.5 y C.11.4.6 requieren espaciamientos menores de los estribos. Para cargas repetitivas en

95

elementos sometidos a flexin, debe tenerse en cuenta en el diseo la posibilidad de que se formen fisuras inclinadas debidas a la traccin diagonal, bajo esfuerzos mucho menores que bajo cargas estticas. En estos casos, es prudente utilizar por lo menos el refuerzo mnimo para cortante dado por las ecuaciones (C.11-13) (C.11-14), aun en el caso de que los ensayos y clculos basados en cargas estticas muestren que no se requiere refuerzo para cortante.

C.11.4.6.3 Cuando se requiera refuerzo para cortante, de acuerdo con C.11.4.6.1 o para resistencia y cuando C.11.5.1 permita que la torsin sea despreciada, Av ,min para elementos preesforzados (excepto en lo previsto por C.11.4.6.4) y no preesforzados se debe calcular mediante:

A vmin = 0.062

Pero no debe ser menor a (0.35bw s /fyt )

4.6 DISEO DEL REFUERZO A CORTANTE.

Cuando vsvcvu + , debe suministrarse refuerzo a cortante de tal forma que VcVuVs y que cumpla C.11.5.6.

4.6.1 Para refuerzo cortante perpendicular al eje del elemento

s

dAvfyVs t *=

Av : rea del refuerzo cortante s : Espaciamiento del refuerzo cortante

4.6.2 Para estribos inclinados

ds

CosSenAvfyVs *)( +=

: ngulo entre los estribos inclinados o barras longitudinales dobladas y el eje longitudinal del elemento

4.6.3 Para refuerzo a cortante que consista en una sola barra o grupo de barras paralelas, dobladas a la misma distancia del apoyo

dbcfSenAvfy

vs w **4

*)( =

4.6.4 La resistencia al cortante contribuida por el refuerzo es:

96

dbcfvs w*32

4.6.5 nicamente las 3/4 partes centrales de la porcin inclinada de cualquier barra longitudinal doblada pueden considerarse efectivas como refuerzo a cortante.

4.6.1 Estribos perpendiculares

En una viga de altura h y refuerzo As se forma una grieta.

La fuerza cortante en la seccin es.

nAvfyVcVn +=

Donde: Av: rea de la seccin transversal del estribo. Vu: Cortante de falla Vc: Resistencia al cortante del concreto n: Numero de estribos de rea As, igual a d/s que atraviesan la grieta s: Separacin de estribos. Debe garantizar que las grietas a 45 no pasen la altura efectiva.

Dividiendo por bwd y multiplicando por :

dbAvfy

s

ddb

Vcdb

Vuwww

+=

sbAvfy

vcvuw

+=

ww bvsAvfy

bvcvuAvfy

s

=

= )(

La separacin de estribos debe garantizar que las grietas a 45, no pasen de la mitad de la altura efectiva.

97

4.6.2 Refuerzo longitudinal doblado

Tanx =

Cot =

X=d cotg

Vs= Es perpendicular a la seccin transversal Vv = vs*Sen() Vv= nAv*fy* Sen()

El cortante de falla es:

nAvfySenVcVn +=

Donde:

Sen =

Vv =Vs* Sen

98

Vv =(n*Av*fy)* Sen Vu: Cortante de falla Vc: Resistencia al cortante del concreto n: numero de barras dobladas

s

Cotgds

dCotgdn

)1( +=

+=

Divido por bwd y multiplico por

dbAvfySen

s

Cotgddb

Vcdb

Vuwww

)1( ++=

)( CosSensb

Avfyvcvu

w

++=

)()(

CosSenfysbvcvuAv w

+

=

Para carga uniforme y diagrama de esfuerzos triangular:

)(**

)(*)(

CosSenfysbwvs

CosSenfysbvcvu

tAv

+=

+

=

Las grietas se forman aproximadamente a 045 y separados a una distancia d, se debe garantizar que el refuerzo a cortante cruce la grieta a una altura d/2 (C.11.5.4.2).

1. Problema: Una viga de luz libre interior de 10 m, tiene concreto de MPacf 21= , y acero de MPafy 420= , se encuentra reforzada con 16 = As y 13 = sA , la seccin transversal es de 30x50 cm. La viga soporta una carga muerta de 20 kN/m y una carga viva de 10 kN/m. Disear el refuerzo a cortante si la columna tiene una seccin de 50x50 cm (20db Ver C.21), y la zona de amenaza. ssmica es alta.

99

1. Cortante a una distancia d de la cara de la columna:

vn = vc + = vs

vn = +

0.5225

42.00.5=

dVu

kNVud 1.206=

kPacf

vc 8.5726

2175.06

==

= Se necesitan estribos.

2. Diagrama de esfuerzo cortante.

kPavsvcvuvs

9.10629.10628.5727.1635

=

===

kPadb

Vuv

w

dud 7.163542.0*30.0

1.206===

100

mx

x

82.1

65058.4

7.1635

=

=

3. Separacin de estribos; usando 8/3 de dos ramas

mbvcvu

Avfys

w

17.03.0*10*9.1062

10*420*2*10*71.0)( 3

64

==

=

3.1.1 Revisin de separacin mxima (C.11.5.4). Poner estribos hasta d = 0.42 m a partir de la cara del apoyo.

Si 3

cfvcvuvs

>= los espaciamientos se reducen a la mitad.

kPavs 4.129832185.09.1062 =

101

mmbAvfy

sw

4.596300

420*2*71*33===

3.2 Para estructuras con capacidad de disipacin de energa especial DES (C.21.3.3)

3.2.1 Deben ponerse estribos de confinamiento por una distancia igual a 2h desde la cara del apoyo

mh 0.12*5.02 ==

3.2.2 Separacin mxima ( ZONA CONFINADA)

mms

cmestribosdbscmdbs

cmmds

3009.22953.0*24)(24

3.2054.2*885.10105.04/42.04/

max

max

max

max

==

=====

3.3 Donde no se requieren estribos de confinamiento el espaciamiento mximo de los estribos es d/2 = 0.42/2=0.21 m con ganchos a 0135

3.4 Longitud donde se requiere refuerzo es L = 2.98 m

3.5 En la zona donde empieza la longitud no confinada, se revisa los espaciamientos. LNC = 5.0 - 0.84 = 4.16 m

( )

( ) akPv

kNV

Vu

h

h

h

57.142842.0*3.0

180180

5225

5

2

2

)2(

==

=

=

102

El Diagrama de esfuerzos cortantes queda:

md

ms 21.02

23.03.0*7.855

10*420*2*10*71.0max

64

=>==

Usar Estribos 8/3 : Zona confinada: 8/3 @10.5 cm Zona donde se necesita refuerzo: 8/3 @21 cm Zona no confinada : 8/3 @21 cm

2. Problema: Resolver el problema anterior usando la resistencia al concreto del C.11.3.2

cfMu

dVucfvc w

+

= 3.01.177

Mu: Momento mayorado en la seccin considerada Vu : Cortante mayorado en la seccin considerada

dbAsw

w = 02428.042*301.5*6

==

Pero 0.1Mu

dVu

Cortante y momento

1428.6-572.8= 1428.57

572.8

572.8

103

1.409225225

02251.4092

4545225

2

2

+=

=++

=

xxMu

xxMu

xVu

Se hace una tabla y se calcula smax en las 2 zonas ( zona confinada y zona no confinada) suponiendo estribos perpendiculares con

wbvcvuAvfy

s )(

=

Dist. Apoyo Mu (kN.m) Vu (kN) vu (kPa) Vu*d/Mu

vc (kPa)

vs (kPa) s (m) smaxZona confinada 0.42 -318.6 206.1 1635.7 0.272 460.5 1175.2 0.169 0.105Zona confinada 0.84 -236.0 187.2 1485.7 0.333 438.8 1046.9 0.190 0.1050Zona confinada 1 -206.6 180 1428.6 0.366 427.3 1001.3 0.199 0.20Zona no confinada 1.2 -171.5 171 1357.1 0.419 408.6 948.5 0.210 0.21Zona no confinada 1.4 -138.2 162 1285.7 0.492 382.7 903.0 0.220 0.21Zona no confinada 1.6 -106.7 153 1214.3 0.602 343.9 870.4 0.228 0.21Zona no confinada 1.8 -77.0 144 1142.9 0.785 279.2 863.7 0.230 0.21Zona no confinada 2 -49.1 135 1071.4 -1.155 148.8 922.6 0.215 0.21Zona no confinada 2.2 -23.0 126 1000.0 -2.301 1.4 998.6 0.199 0.20Zona no confinada 2.4 1.3 117 928.6 37.800 13899.6 -12971.0 -0.015 -0.02Zona no confinada 2.6 23.8 108 857.1 1.906 1229.2 -372.1 -0.534 -0.53Zona no confinada 2.8 44.5 99 785.7 0.934 886.3 -100.6 -1.977 -1.98Zona no confinada 3 63.4 90 714.3 0.596 766.9 -52.6 -3.777 -3.78Zona no confinada 3.18 78.9 81.9 650.0 0.436 710.4 -60.4 -3.291 -3.29

104

5. TORSION

El momento de torsin causa esfuerzos cortantes. La distribucin de esfuerzos sobre una seccin, se puede comparar usando la analoga de la pelcula o membrana de jabn. La pendiente mxima en cada punto de la membrana, es proporcional al esfuerzo cortante en el punto y este acta perpendicular a la lnea de mxima pendiente.

El torque es proporcional al volumen bajo la membrana.

Para una seccin circular

JTr

=max Mximo esfuerzo cortante

T: torque

32.

2.

44 drJ pipi == Momento polar de inercia

r: Radio

La distribucin de esfuerzos cortantes en la seccin se presenta en la figura del lado derecho.

Para una seccin rectangular elstica:

yxT

2max =

x : Dimensin ms corta del rectngulo y : Dimensin ms larga del rectngulo : Coeficiente que depende de la relacin x/y. Para una seccin cuadrada x/y = 1.0 y = 0.208 y para una losa plana muy larga x/y = y =1/3.

105

yx /8.131

+=

Para una seccin de rectngulos

yxT

2max

Para una seccin plstica, el esfuerzo cortante es constante en todos los puntos. En una seccin circular la membrana se reemplaza por un cono y para la seccin rectangular, es una pirmide. Esto se conoce como la analoga del montn de arena.

yxT

pp 2

=

Para secciones huecas el esfuerzo cortante es:

q=t

tAT

qAT

0

0

2

2

=

=

t: Espesor de la pared T: torque Ao: rea limitada por el flujo cortante

tq = Flujo cortante

3. Problema: Calcule el esfuerzo cortante producido por la torsin en los puntos (1) y (2) de un puente con seccin viga cajn bajo un torque T=2200 kN.m.

106

215.162

175.2*075.0*2175.2*35.7

mAo

Ao

=

+=

Seccin (1)

tAT

02=

kPa22.1365.0*15.16*2

2200==

Seccin (2) kPa6.194

35.0*15.16*22200

==

5.1 TORSIN PURA

Los Esfuerzos cortantes en la seccin se pueden esquematizar como. (Poner fotos)

107

Los Esfuerzos principales se presentan a 45 de los esfuerzos cortantes Max

Las Grietas producidas por la torsin son producidas en espiral como se muestra en la siguiente figura.

En el siguiente grfico se muestran los resultados de ensayos de vigas sin estribos, cargadas

con varias relaciones de torque TcuTc

y cortante VcuVc

.

Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor.

La envolvente inferior de los datos es un cuarto de elipse de la forma:

108

122

=

+

VcuVc

TcuTc

Donde:

dbcfVcuyxcfTcuw**68.2

**6.1 2

=

=

En unidades inglesas.

5.2 CARCTERSTICAS DEL DISEO A TORSIN

Existen dos teoras para explicar los esfuerzos en los elementos de concreto. La primera es la teora de la flexo torsin, desarrollada por Lessig, y fue la base de diseo hasta el cdigo ACI 1989. La segunda teora basada en tubos de pared delgada y en un modelo de armadura espacial plstico, presentado por Lampert, Thinlimann y Collins forman las bases del ACI2008 y NSR2010, se asume que cierta parte del cortante y torsin es resistido por el concreto y el resto por el refuerzo.

5.2.1 Tubo de pared delgada y Armadura espacial plstica

La Base del modelo del comportamiento mecnico considera que los elementos slidos y huecos son tubos, esto se debe a que cuando ocurre el agrietamiento por torsin, el concreto en el centro del elemento tiene poco efecto sobre los esfuerzos torsionales y se puede despreciar dando como resultado un elemento tubular.

El agrietamiento por torsin es resistido por el flujo de cortante q sobre el permetro, y el centro prcticamente no resiste esfuerzos torsionales. La viga se idealiza como un tubo de pared delgada, y despus del agrietamiento, el tubo se considera formado por estribos cerrados con barras longitudinales en las esquinas y diagonales de concreto a 045 que trabajan en compresin, separados a mitad de los estribos.

Tubo plstico

109

Armadura plstica espacial

5.2.2 Fundamentos del Diseo a torsin

Si no hay grietas de torsin, no se requiere refuerzo a cortante. Para torsin pura los esfuerzos principales 1 son iguales a los cortantes . En un elemento tubular se tiene:

tAT

01 2

==

En una seccin slida se define el espesor equivalente para el tubo de agrietamiento. Segn el cdigo canadiense:

PcpAcp

t43

=

Pcp: Permetro de la seccin de concreto Acp: rea encerrada por el permetro

:0A rea encerrada por las lneas centrales de las paredes del tubo de espesor t

32

0AcpA =

Reemplazando en tA

T0

1 2== :

110

21*

43

*3

2*2 Acp

PcpT

PcpAcpAcp

T===

El agrietamiento ocurre cuando los esfuerzos principales de tensin alcanzan la resistencia

del concreto en tensin igual 3

cffr = . Para torsin y compresin biaxial.

=

=

PcpAcp

cfT

AcpPcpT

cf

CR

CR

2

2

31

31

De la ecuacin de la elipse 122

=

+

VcuVc

TcuTc

, un torque de 0.25TCR , reduce el cortante

VCR en 3%. Los esfuerzos de torsin pueden despreciarse cuando el torque ultimo es:

PcpAcpcfTTu CR

2

1225.0

C.11.6.1 Ecuacin C.11 -20 del NSR98

TORSION MAYORADA

CR11.5.2 Clculo del momento torsional mayorado CR11.5.2.1 y CR11.5.2.2 En el diseo por torsin de estructuras de concreto reforzado se pueden identificar dos condiciones:C.11.34,C.11.35

(a) Los momentos torsionales no pueden ser reducidos por la redistribucin de fuerzas internas (C.11.5.2.1). Esto se identifica como torsin de equilibrio, dado que el momento torsional se requiere para el equilibrio de la estructura.

Para esta condicin, ilustrada en la figura CR11.5.2.1, el refuerzo por torsin diseado de acuerdo con C.11.5.3 a C.11.5.6 debe disponerse para tomar toda la torsin.

111

(b) El momento torsional puede ser reducido por la redistribucin de fuerzas internas despus del agrietamiento (C.11.5.2.2) si la torsin proviene del giro del elemento necesario para mantener la compatibilidad de NSR-10 Captulo C.11 Cortante y torsin

C.11.5.2 - CALCULO DE LA TORSION MAYORADA Tu - Si se requiere del momento torsional mayorado Tu en un elemento para mantener el equilibrio y su valor excede el mnimo dado en C.11.5.1, el elemento debe ser diseado para soportar Tu de acuerdo con C.11.5.3 a C.11.5.6.

(a) para elementos slidos no preesforzados, y estticamente indeterminadas

=

PcpAcp

cfTu2

33.0

Para elementos no preesforzados slidos, sometidos a una fuerza axial de traccin el torque es:

cfAgNu

PcpAcp

cfTu

+

33.03133.0

2

Nu: Fuerza axial mayorada, es negativa cuando esta en traccin Ag: rea bruta de la seccin.

112

En los casos (a), (b) (c), los momentos de flexin y las fuerzas cortantes redistribuidas a los elementos adyacentes deben usarse en el diseo de estos elementos. Para secciones huecas, Acp no debe ser reemplazado por Ag en C.11.5.2.2.

(b) Estticamente determinadas

=

PcpAcp

cfTu2

083.0

Para elementos no preesforzados slidos, sometidos a una fuerza axial de traccin el torque es:

cfAgNu

PcpAcp

cfTu

+

33.031083.0

2

Nu: Fuerza axial mayorada, es negativa cuando esta en traccin Ag: rea bruta de la seccin.

En elementos construidos monolticamente con una losa, el ancho sobresaliente del ala usado para calcular Acp y Pcp debe cumplir con C.13.2.4. Para una seccin hueca, se debe usar Ag en lugar de Acp en C.11.5.1 y en los lmites externos de la seccin deben cumplir con C.13.2.4.

C.11.5.2.3 A menos que se determine por medio de un anlisis ms exacto, se permite tomar las cargas torsionales de la losa como uniformemente distribuidas a lo largo del elemento.

C.11.5.2.4 En elementos no preesforzados, las secciones ubicadas a menos de una distancia d de la cara de un apoyo deben ser diseadas por lo menos para Tu calculada a una distancia d . Si se presenta un torque concentrado dentro de dicha distancia, la seccin crtica de diseo debe ser la cara del apoyo.

Si el torque ultimo es mayor que esta igualdad, se tiene en cuenta los diseos de torsin y se entra a complementar el diseo debido a los efectos de torsin (Refuerzo longitudinal y estribos por torsin)

En estos casos los correspondientes momentos y cortantes, obtenidos despus de la redistribucin a los elementos adjuntos, deben utilizarse en el diseo. Para elementos con secciones huecas, Tu debe multiplicarse por (Ag/Acp).

113

CR11.5.3.5 La resistencia torsional mayorada Tn debe ser igual o mayor que la torsin Tu debida a las cargas mayoradas. Para el clculo de Tn , se supone que todo el torque es resistido por los estribos y el acero longitudinal con Tc = 0 . Al mismo tiempo, la resistencia nominal a cortante del concreto Vc se supone que no cambia por la presencia de torsin. En vigas con Vu mayor que aproximadamente 0.8Vc , la cantidad de refuerzo combinado de torsin y cortante es esencialmente el mismo que el requerido por el Reglamento ACI 318 de 1989. Para mayores valores de Vu , se requiere ms refuerzo de cortante y torsin.

5.2.3 Torsin y cortante mximo

Un miembro cargado por torsin y cortante falla por fluencia en los estribos y el refuerzo longitudinal, o fractura en el concreto por la fuerza a compresin o tension diagonal D2

El esfuerzo cortante es:

dbVu

vw

u =

El esfuerzo cortante por torsin es:

114

tATu

vu02

=

Despus de la falla por torsin Ao = 0.85A0h y PhA

t h0=

200

07.1

*85.0*2 hhhu A

TuPh

phAA

Tuv ==

En una seccin hueca, se suman los dos esfuerzos en un lado

++ cf

dbwVc

ATuPh

dbVu

hw

66.0.7.1 20

En el lado (1) se suman los esfuerzos y en el (2) se restan

Si PhA

t h0< , el segundo trmino del lado izquierdo de la ecuacin se toma como:

tATu

h07.1

Para secciones slidas y siendo conservativos se saca la raz:

+

+

cf

dbwVc

ATuPh

dbVu

hw

66.0.7.1

2

20

2

C11.6.3.1

Cuando se reduzca la rigidez torsional en una viga que le sirva de apoyo a otra, el torque disminuye en la viga de apoyo, as como el momento de la viga apoyada, presentndose una redistribucin de momentos. Tu se puede reducir en:

=

PcpAcpcfTu

2

3

115

5.2.4 Refuerzo transversal

De la armadura plstica espacial, la fuerza por unidad de longitud o flujo cortante es:

02ATq = , donde tq =

La fuerza cortante por torsin a lo largo de la parte superior e inferior es:

tyV

tx

VAV

oo ..

===

tAT

.2 0=

La fuerza cortante por torsin en los lados verticales:

00

31 2x

ATVV ==

00

42 2y

ATVV ==

El par interno de momentos es:

0201 xVyVT +=

Reemplazo V1 y V2

000

0

0000

000

0 22

22

yxA

AyTx

xyATyx

ATT

=

=

+

=

Para un lado vertical, la grieta inclinada corta n estribos.

s

Cotgyn

0= , donde es la inclinacin de la grieta y s es el espaciamiento de los

estribos.

Asumiendo que todos los estribos fluyen, la fuerza en el estribo es:

116

Cotgs

yfyAtnfyAtV yt 02

..

==

At: rea transversal de un solo estribo fyv = Esfuerzo de fluencia en los estribos

Reemplazo 00

2 2y

ATV = en la ecuacin anterior se tiene:

Cotgs

AtfyAYoy

AT v0

00

)(2

=

Cotgs

AtfyATn t0

2= C11.6.3.6 ACI Ecuacin C.11 -21 NSR-10

Tn: capacidad nominal de torsin en la seccin.

A0 debe determinarse por anlisis, excepto que se permite tomar A0 como 0.85A0h, no debe tomarse menor que 30 ni mayor de 60. Se permite tomar como 45 en elementos no preesforzados,.

A0 = rea bruta definida por la trayectoria del flujo de cortante, expresada en mm. A0h = rea definida por el centro del refuerzo transversal para torsin que se encuentra ms afuera en la seccin de concreto, expresada en mm.

5.2.5 Refuerzo Longitudinal

Fig. CR11.5.3.7 Descomposicin de la fuerza de cortante Vi en una fuerza de compresin Di y una fuerza de traccin axial Ni en una de las paredes del tubo

117

La fuerza cortante se puede descomponer en:

SenVD 22 = Diagonal de compresin en concreto

CotgVN 22 = Fuerza longitudinal que resiste en las barras de la esquina

Para elementos rectangulares, usando el modelo de armadura espacial se tiene que la fuerza longitudinal total es:

CotgVNNNN

11

21 )(2=

+=

Reemplazo 00

1 2x

ATV = , 0

02 2

yATV = , CotgVN 11 = y CotgVN 22 = .

CotgyxA

TnN

CotgVCotgVN

)(22

)(2

000

21

+=

+=

)(2 00 yxPh += : Permetro del estribo

Asumiendo que el refuerzo longitudinal A fluye:

118

llfyAN =

fy: Esfuerzo fluencia A: rea de refuerzo longitudinal

CotgfyATnPh

fyNA

ll

l

02==

Reemplazando Tn:

CotgfyAPhCotg

s

AtfyAA vl

l

0

0

22

=

2Cotgfyfy

Phs

AtA v

=

l

l

(Ec. C.11.5.3.7 del NSR-10 Y EC 11-22 ACI 318) Refuerzo longitudinal adicional requerido por torsin.

As = rea del refuerzo no preesforzado que trabaja a traccin, expresada en mm. At = rea de una rama de estribo cerrado que resiste torsin dentro de una distancia s, expresada en mm.

C.11.5.3.7 El rea adicional de refuerzo longitudinal necesario para resistir torsin, Al , no debe ser menor que:

A= P( ! !)cot

donde debe tener el mismo valor usado en la ecuacin (C.11-21) y At/s debe tomarse como la cantidad calculada con la ecuacin (C.11-21) sin modificarla de acuerdo con C.11.5.5.2 C.11.5.5.3; fyt se refiere al refuerzo transversal cerrado para torsin y fy al refuerzo longitudinal de torsin.

5.3 REFUERZO POR TORSION

CR11.5.4.1 Se requiere tanto de refuerzo longitudinal como de estribos transversales cerrados para resistir los esfuerzos diagonales de traccin debidos a torsin. Los estribos deben ser cerrados, debido a que el agrietamiento inclinado causado por torsin puede producirse en todas las caras del elemento.

En el caso de secciones sometidas primordialmente a torsin, el recubrimiento de concreto sobre los estribos se descascara con torques altos.C.11.37 Esto vuelve a los estribos empalmados por traslapo inefectivos, conduciendo a una falla prematura por torsin.C.11.38 En tales casos, no deben usarse los estribos cerrados hechos con un par de estribos en U empalmados por traslapo.

119

CR11.5.4.2 Cuando una viga rectangular falla a torsin, las esquinas de la viga tienden a descascararse debido a los esfuerzos inclinados de compresin en las diagonales de concreto de la cercha espacial, las que cambian de direccin en la esquina como se muestra en la figura CR11.5.4.2(a). En ensayos,C.11.37 los estribos cerrados anclados con ganchos de 90 fallaron cuando esto ocurri. Por esta razn, son preferibles en todos los casos los ganchos estndar de 135 los ganchos ssmicos para estribos de torsin. En lugares donde este descascaramiento esta restringido por una losa o ala adyacente, C.11.5.4.2(b) relaja esto y permite ganchos de 90 (vase la figura CR11.5.4.2(b)). CR11.5.4.3 Si cerca del extremo de una viga acta una torsin alta, el refuerzo longitudinal para torsin debe estar adecuadamente anclado. Debe disponerse la suficiente longitud de desarrollo fuera de la cara interior del apoyo para desarrollar la fuerza de traccin necesaria en las barras o tendones. En el caso de barras esto puede requerir ganchos o barras U horizontales empalmadas por traslapo con el refuerzo longitudinal para torsin. CR11.5.4.4 Los estribos cerrados, dispuestos para torsin en una seccin hueca, deben estar ubicados en la mitad exterior del espesor de la pared efectivo para torsin, donde el espesor de la pared se puede tomar como Aoh/ph

REFUERZO MINIMO PARA TORSION (NSR-10)

CR11.5.5.1 y CR11.5.5.2 Si un elemento est sometido a un momento torsional mayorado Tu mayor que los valores especificados en C.11.5.1, la cantidad mnima de refuerzo transversal en el alma para la combinacin de cortante y torsin es 0.35bws f yt . Deben notarse las diferencias en la definicin de Av y del smbolo At ; Av es el rea de dos ramas de un estribo cerrado mientras que At es el rea de una sola rama de un estribo cerrado. C.11.5.5.2 Donde se requiera refuerzo para torsin de acuerdo con C.11.5.5.1, el rea mnima de estribos cerrados debe calcularse como:

120

( % +2%& )= 0.062( ) Pero no debe ser menor de (0.35bws/ fyt ) C.11.5.5.3 Donde se requiera refuerzo para torsin de acuerdo con C.11.5.5.1, el rea mnima total de refuerzo longitudinal para torsin, Al ,min, debe calcularse como:

%(,*+,=-./012

3 (0

)

56

donde At s no debe tomarse menor que 0.175bw fyt ; fyt se refiere al refuerzo transversal cerrado para torsin y fy al refuerzo longitudinal para torsin.

5.3.1 Cortante y Torsin Combinadas

Cuando actan cortante y torsin se presenta un diagrama de interaccin elptica.

Segn la analoga del armazn espacial, se asume que toda la torsin la toma el refuerzo Ts y el concreto no toma nada

TsTnVsVcVn

=

+=

No hay interaccin entre Vc y Tc

121

5.4 DISEO POR TORSIN

La ecuacin de diseo es:

TuTn

C.9.3.2.3 =0.75 Cortante y torsin

La seccin critica se localiza a una distancia d de la cara del apoyo (C.11.6.2.4)

Acp: rea encerrada por el permetro de la seccin transversal Pcp: Permetro de Acp Ao: permetro encerrado por el flujo de cortante, se puede tomar como 0.85Aoh Aoh: rea encerrada por la lnea central de los estribos.

Se presentan algunos ejemplos de A0h

5.4.1 Refuerzo por torsin

122

Estribos cerrados que cumplen con: Cotgs

AtfyATn v0

2=

Barras longitudinales que cumplen: 2Cotgfyfy

Phs

AtAl v

=

l

Para cortante y torsin combinada el rea mnima de estribos debe calcularse en terminos de la longitud de la viga s como:

s

Ats

Avs

A tv 2+=+

Av: rea del refuerzo cortante en una distancia s (rea de 2 ramas del estribo) At: rea de una rama de estribo cerrado que resiste torsin en una distancia s.

Cuando , el rea mnima de estribos debe calcularse como: (C11.6.5.2)

Ecuacin C.11-30

fyv: Resistencia nominal a la fluencia del refuerzo transversal

Para elementos en torsin pura, y de acuerdo a unas relaciones entre los estribos y refuerzo longitudinal y el volumen de concreto, se toma que la mnima relacin volumtrica esta alrededor de 1%.

: Esfuerzo a torsin v : Esfuerzo a cortante

(a) para elementos slidos no preesforzados, y estticamente indeterminadas

=

PcpAcpcfTu

2

3

(b) estticamente determinadas

=

PcpAcpcfTu

2

12

>

PcpAcpcfTu

2

12

fyvsbAtAv w

32 +

01.0min

+ sAcp

AtPhsAcpsAl

123

Despejando A, y multiplicando por un lmte prctico de 32)( =+ v para vigas, el rea mnima de refuerzo longitudinal para torsin se calcula como:

=

ll

l fyfy

Phs

AtAcpfycf

A v125

min C.11.6.5.3

Ecuacin C.11-31 (NSR10) y 11-24 ACI 318

Esta ecuacin fue derivada para torsin pura, cuando se combina con cortante, momento y torsin, no es clara la cantidad de rea de estribos incluidos en At/s.

Al,min no puede ser menor que cero y At/s debe corresponder a la cantidad calculada por medio de la ecuacin C.11-28 pero no menos que (1/6)bw/fyv.

5.5 ESPACIAMIENTO

Se debe cumplir con el espaciamiento de los requisitos en el C.11.6.6 del NSR98.

Refuerzo transversal 8/Phs <

mms 300<

Refuerzo longitudinal mms 300<

db: dimetro del estribo 8/3:min db

Debe haber una barra longitudinal en cada esquina.

El refuerzo de torsin longitudinal y transversal At + A, debe llevarse hasta una distancia mayor a (bt +d) ms all del punto donde no se requiera.

bt: Ancho de la seccin transversal del elemento que contiene los estribos cerrados que resisten la torsin.

Las barras longitudinales deben tener un dimetro de 0.042 veces el estribo, pero no menor a 8/3

C.11.5.6.1 El espaciamiento del refuerzo transversal para torsin no debe exceder el menor valor entre ph/8 y 300 mm. C.11.5.6.2 El refuerzo longitudinal requerido para torsin debe estar distribuido a lo largo del permetro del estribo cerrado con un espaciamiento mximo de 300 mm. Las barras longitudinales o tendones deben estar dentro de los estribos. Debe haber al menos

124

una barra longitudinal o tendn en cada esquina de los estribos. Las barras longitudinales deben tener un dimetro de al menos 0.042 veces el espaciamiento entre estribos, pero no menos de dimetro No. 3 (3/8) 10M (10 mm). C.11.5.6.3 El refuerzo para torsin debe disponerse en una distancia al menos (bt + d) ms all del punto en que se requiera por anlisis.

5.6 MTODOLOGA DE DISEO

1. Calcular Mu

2. Predimensionar b y h. Para evitar problemas de torsion; es mejor asumir una seccion rectangular

3. Incluir peso propio y recalcular Mu,Vu y Tu. Calcular el rea requerida por flexin.

4. Revisar

a)

=

==

=

+=

b

b fyfycf

Se aumenta la seccin a h = 45 cm y b = 30cm.

263.15013.0

cmAs ==

Se incluye el peso propio.

-200 2.0

2.2 2.0

M (Kn*m)

127

[ ]

"871"12

7.160139.0

/886.2108.10200/8.10

4.1*0.1*2*18.315.2*2.0*18.3/24.333.0*45.0*24

2

+

=

=

=+=

=

+=

=

Usar

cmAs

mkNMumkNMu

Mu

mkNw

T

pp

pp

pp

4. Revisar efectos de torsin

Vs= 21*1000>9-:.:;-.-./

-.343.678

Smax d/4=0.1 m Smax 8*b*l=0.2 m Smax 24*dbe=0.228 m Smax 300mm Smax (0.71*2)(420*106)

ms

mms

Av

578.0000245.0

100/)2*71.0(

/000245.010*420

10*678.3433.0

2

26

3

==

=

+=

KpakPavs 1.305521323.73760

40.0*3.0100

=

129

cms

mPhs

30

14.08142.1

8max

max

+

+=+v

wtv

fyb

s

AtAvs

A

410*38.2100

11.0> Bien

cms 1312.0

71.0*2max ==

9. Refuerzo longitudinal

cmmCotgA

Cotgfyfy

Phs

AtA v

92.410*92.445*420420

*142.1*10*31.4 2424

2

===

=

l

l

l

( ) 2244minmin

21.110*215.1420420

*142.1*10*31.4420*12

45.0*3.0*21512

5

cmmA

fylfyvPh

s

Atfyl

AgcfA

===

=

l

l

10. Refuerzo

10.1 Refuerzo transversal

Cortante 8/3 de dos ramas cada 10 cm durante 70cm. Torsin 8/3 de 2 ramas cada 14 cm durante toda la longitud. Combinado 8/3 de dos ramos cada 14 cm.

Usar 8/3 @10 hasta 80cm a partir de la cara del apoyo y despus 8/3 @14cm

Refuerzo longitudinal por torsin (Se le debe sumar al de flexin).

130

Usar "2/14 cms 22max < mms 300max <

4. Problema: Disee la viga mostrada, de luz interior, que sostiene una losa maciza en voladizo y un muro en mampostera ladrillo tolete, de espesor 0.12 m y altura libre 2.60 m. Usar fc = 21 MPa, fy = 420 MPa.

1. Predimensionamiento

Viga.

Se usa una seccin de 50x50 cm previendo los efectos de torsin.

Voladizo.

cmh 12.010

2.1==

2. Evaluacin de cargas.

Voladizo Peso Propio = 24*0.12= 2.88 >?@A

Alistado superior y inferior: = 23*0.07= 1.61 >?@A Tabln de gres = 0.7 >?@A Carga muerta D = 5.27 >?@A

131

Carga Viva L = 2.0 >?@A

Combinaciones 1.4D = 1.4*5.19 = 7.27 >?@A 1.2D + 1.6L = 1.2*5.19 + 1.6*2 = 9.43 >?@A

Viga. Peso Propio = 24*0.5*0.50 = 6 >?@ Alistado superior e inferior = 0.25*23*0.05 = 0.29 >?@ Muros = 18.50 >?@B*0.15*2.6 = 7.22

>?@

Baldosa = 0.7*C?@A*0.25 = 0.18 >?@

Carga muerta = 11.53 >?@

Combinaciones: 1.4D = 1.4*11.53 =16.14 >?@ 1.2D + 1.6L = 17.04 >?@

Carga total sobre la viga con voladizo.

1.4D = 7.27*1.45+17.75 = 28.3 >?@ 1.2D + 1.6L =14.23*1.45 + 15.22 = 35.85>?@

Carga total sobre la viga sin voladizo. 1.4D = 1.45*12.68 = 17.75 >?@

3. Calculo de Mu, Vu, Tu Se supone la viga doblemente empotrada, y utilizando el principio de superposicin se obtiene:

132

Voladizo Carga Muerta.

133

Wcm= 1.2*5.19 kN/m2*1.2 m = 7.47 kN/m

V(x)= -7.47x + 18.68 Tu(x)= V(x)*(0.6+0.25) Tu(X) -6.35 + 15.88

Voladizo Carga Viva.

Wcv= 5 kN/m *1.6 *1.2 = 9.6 kN/m V(x)=-9.6 x + 24 Tu(x)= V(x)*1.45 Tu(X) -13.92 + 34.8

Tu = -20.27x +50.68 kN.m

4. Refuerzo a flexin As y Cortante Av/t

=

fcfy

fybdMn 59.012

134

1 2 Mu (-) 138.2 138.2 Mu (+) 72.3

() 0,0038 0.0033 0.0038 (+) 0.0033 0.0033 0.0033 As(-) 8.5 7.5 8.5 As(+) 7.5 7.5 7.5

Ref. Sup. 3#6 2#6+1#5 3#6 Ref. Inf. 2#6+1#5 2#6+1#5 2#6+1#5

Vud 98.52 98.52 Vc 128.9 128.9 Vs -40.5 -40.5 s E#3@11 E#3@22.5 E#3@11

min= 0.0033 max= 0.014

dfyVs

s

AvVs

Avfyds

ds

Vs

VcVuVs

VsVcVu

.

1.0404.0

4

05.15

=

=

==

=

+=

+=

5. Torsin

5.1 Considerar Efectos de torsin

Tu H9 IHJAKHL

M

28.6kN m H9 IHJAKHL

M

( )( )

mKNmKN

mkN

*8.45*6.28

1000*4.04.0*2

4.*4.012

10*21*75.0.68.50

26

>

+

135

5.2 Seccin suficiente

32

7.1.

2

2

2 fcvc

AphTu

bwdVu

oh

+

+

xo = yo = 500-80-9.5=410.5mm Aoh=0.4105*0.4105 = 0.1685 m2 ph=2*(0.4105+0.4.105)=1.642 m

kPakPa 6.28754.2129102.0*7.1

28.1*6.2835.0*4.0

8.78 22

2

=

+

Cumple

5.3 rea de estribos de torsin.

cms

cm

cm

m

m

CotgfytAoTn

s

AtAo

mkNTuTn

Cotgs

fytAtAoTnTuTn

3.25053.0

71.*2

0564.0000564.010*420*1024.0*85.0*2

10*1.383...2

1685.04105.0*4105.0

.1.3875.0

6.28

*..2

22

6

3

==

====

==

===

=

Refuerzo combinado

fytsbw

cfAtAv .062.02 +

Pero no debe ser menor a fytsbw.35.0

mPhSS

AtAvs

tAv

20.08/642.18max

10*38.3000564.002 4

==

+=+=+

Refuerzo Longitudinal

136

22

2

22.90009228.01*1*642.1*000564.0

cot*

cmmAl

gFylFyvPh

s

AtAl

===

=

=

ll

l fyfy

Phs

AtAcpfycf

A v125

min

( ) 22 912.63619.0420420

*28.1*00054.0420*12

4.0*4.0*215min cmmAl