Teoría de Estructuras I

1.- Làminas, o Chapas:

Cada uno de los planos infinitamente delgados que representan las formaciones rígidas que se pueden definir

en un sistema estructural. La formación rígida elemental constituye una barra continua de cualquier forma y dimensión .El

símbolo βi es utilizado para identificar a la chapa i ((Figura 1).

2.- Grado de libertad

Número de parámetros independientes de un sistema estructural necesario para especificar la posición de

cualquiera de sus puntos en su configuración desplazada .Toda chapa aislada en el plano posee tres grados de libertad,

es decir , puede trasladarse respecto a dos ejes X e Y y rotar respecto a un centro . Si los grados de libertad se denotan

con la letra g. una chapa en completa libertad de movimiento tiene un g = 3. Para que la barra o chapa se encuentre en

equilibrio estático se deberá restringir o anular sus grados de libertada a través de vínculos o apoyos.

3.- Vínculos :

La vinculación externa de una chapa , se define como aquella que restringe posibilidades de movimiento absoluto

de los puntos de la chapa , entendiendo como movimientos absolutos aquellos referidos al sistema , la tierra ( βi) tomado

como fijo. Según el vínculo externo o absoluto , restrinja una, dos o las tres posibilidades de movimiento que posee la

chapa en libertad de movimiento , el vínculo será de primera , segunda o tercera especie respectivamente

Vinculo externo de 1ra especie : Este vínculo le restringe a la chapa la posibilidad de movimiento absoluto , en

la dirección de la barra rígida y le permite trasladarse en dirección perpendicular a la barra y rotar alrededor del

punto i, el cual, como se indica , restringe una posibilidad de movimiento absoluto y permite dos . Ver figura 2.

Nota: Se debe tener presente que un vínculo externo de 1ra especie no define el polo de rotación de la chapa ,

suministra una dirección para su ubicación .

Vínculo externo de 2da especie: Este vínculo restringe las dos traslaciones absolutas y le permite rotar en

forma absoluta alrededor de O , con respecto al sistema de referencia fijo βt. Este vínculo define el polo de

rotación de la chapa ( Figura 3).

Otro vínculo externo de 2da especie se presenta cuando las barras rígidas son paralelas .Esto impone desplazamientos

a los puntos i, j en dirección perpendicular a ellas. Ver figura 4.

Vínculo externo de 3ra especie : Este vínculo fija la chapa ya que restringe sus tres posibilidades de

movimientos. Ver figura 5. Algunas consideraciones a continuación :

Tres barras paralelas no fijan la chapa , le permiten la traslación en dirección perpendicular a las barras como se indica:

Es posible encontrar también la vinculación conocida como redundante , que se presenta a continuación en la figura :

Por lo analizado anteriormente , pueden plantearse las siguientes conclusiones relacionadas con la ubicación de los

polos de rotación de las chapas , a partir de la vinculación externa:

Para todo vinculo de 1ra especie , rodillo o biela , el polo de rotación se encuentra en la dirección de la barra que

lo define.

Todo empotramiento de 1er grado genera polos impropios .

Todo apoyo fijo es un polo de rotación .

Todo empotramiento deslizante , móvil o sobre rodillo , define un polo de rotación en el infinito, es decir, un polo

impropio , en dirección perpendicular al permitido, o lo que es equivalente , en la dirección de las barras que lo

definen .

Toda chapa empotrada está fija.

4.- Desplazamientos finitos de una chapa en su plano

Para estudiar , los desplazamientos que experimenta una chapa β en su plano , considere primero , la chapa

mostrada en la figura siguiente en su configuración inicial , donde se destacan los puntos i, j y en su configuración

desplazada , donde los puntos i, j han pasado a las posiciones i´, j´. Figura 8.

Una chapa puede experimentar otro tipo de desplazamiento , que se manifiesta cuando todos los puntos de ella

se desplazan la misma cantidad y en una misma dirección , es decir , experimentan desplazamientos paralelos e iguales

, como se indica en la figura siguiente:

En este caso el segmento i´ j´ es paralelo y se orienta en el mismo sentido que el segmento ij , entonces se tiene

que i i´= j j´. Trazando mediatrices a los puntos medios de esos segmentos, resultan rectas paralelas que se cortan en el

infinito. A este tipo de desplazamiento experimentado por la chapa se le conoce como traslación; es decir , movimiento

que a una rotación alrededor de un polo impropio en el infinito , en dirección perpendicular a la de traslación

Alternativamente , de ahora en adelante , cuando una chapa tenga su polo en el infinito, se dirá que ella se

traslada en dirección perpendicular al polo en el infinito y además , todos los puntos de la chapa que se traslada se

desplazan en dirección perpendicular a su polo en el infinito , la misma cantidad y en la misma dirección y sentido

5.- Rotación infinitesimal de una chapa

Para analizar la rotación infinitesimal de una chapa , supóngase una chapa que tiene un polo de rotación O,

alrededor del cual rota una cantidad infinitesimal α , como se aprecia en la figura siguiente.

Por efecto de la rotación α impuesta a la chapa β, un punto cualquiera i, separado de O a una distancia ρi , se

desplaza a lo largo de un arco de circunferencia de centro en O y radio ρi, pasando a la posición i´ . Cuando se

consideran desplazamientos infinitésimos la cuerda i i´, el arco i ≈ i´ y si la tangente ( normal al radio Oi ) i ≈ i¨ se

confunden por ser infinitésimos equivalentes , es decir , i ≈ i´= i i´=ii¨ .se considera entonces que :

“ Para rotaciones infinitesimales los desplazamientos que experimentan los puntos de una chapa se tomaran en dirección

normal a las rectas determinadas por los puntos y el polo de rotación o radios de giro y en el sentido de la rotación “,

como se muestra en la figura 11:

“ los de rotación absolutos ( solo gira ) y relativos ( gira y desplaza ) .Los desplazamientos son siempre perpendiculares

a la línea imaginaria que une el polo absoluto de la chapa con el punto que se desplaza.

6.- Desplazamiento relativos entre dos chapas :

Teorema 1: Los polos absolutos de dos chapas y el polo relativo entre ellas : Están alineados . Figura 12

Teorema 2: Si una chapa β1 esta fija , el polo relativo que la vincula con la chapa β2 pasa a ser el polo absoluto de

rotación de β2, Figura 13.

Teorema 3: Los polos relativos entre tres chapas están también están alineados .Figura 14

Teorema 4: Cualquier chapa en el plano que posea dos polos de rotación distintos esta fija

(indesplazable)

Teorema 5: Cualquier chapa que posea un polo absoluto y una dirección definida de otro polo adicional que no pase por

el anterior también está fija.

7.- Vinculación interna entre chapas

La vinculación interna entre dos chapas , se estudia a partir de las restricciones de movimiento relativo,

impuestas a los puntos de una de las chapas respecto a la otra, considerada fija.

Vinculo interno de 1ra especie: La rigidez de β1,le impide a la chapa β2 la traslación relativa en su

dirección y le permite moveré en dirección perpendicular a ella y rotar relativamente respecto a β1. Ver

figura 15.

Vinculo interno de 2da especie: Las chapas se vinculan internamente por dos barras rígidas que se

cortan en un lugar propio .Este vinculo permite a β2 respecto de β1, solo la rotación y restringe las dos

traslaciones. Figura 16.

Se nota que la intersección de esas barras puede ocurrir dentro o fuera del dominio de las chapas, asì como se indica en

la figura 17:

A este vinculo interno de 2da especie se le conoce como vinculo interno ficticio propio

Este tipo de vinculación interna se presenta también cuando las chapas se vinculan mediante una articulación interna

propia o articulación real , como se muestra en la figura 18.

Otro tipo de vinculación interna de 2da especie se presenta cuando las dos barras rígidas β1 y β2 son paralelas

.En este caso , β2 solo puede trasladarse relativamente con respecto a β1en dirección perpendicular a las barras rígidas,

quedándole impedidas la traslación en dirección de las barras rígidas y la rotación relativa .Figura 19.

Visto, que β2 solo se traslada con respecto a β1, puede afirmarse que el polo relativo de rotación entre las dos

chapas vinculadas por dos barras paralelas , se encuentran en el infinito, en dirección perpendicular a la traslación o lo

que es equivalente, en la dirección de las barras que definen este tipo de vinculación interna de 2da especie. A este

vinculo interno de 2da especie también se le conoce como vinculo ficticio impropio, o articulación ficticia impropia.

Vinculo interno de 3ra especie: se define cuando las dos chapas son vinculadas mediante tres barras

rígidas que no sean las tres ni paralelas ,ni concurrentes como se muestra en la figura 20.

Esta vinculación le restringe a β2 todas las posibilidades de movimientos relativo respecto a β1,es decir ,la fija. Por tal

razón; cuando dos i se vinculan internamente mediante tres barras rìgidas , que definen una vinculación interna de

tercera especie efectiva, se establece que ellas forman una sola chapa ,una sola formación rígida. Figura 21:

Cuando las tres barras rígidas son las tres concurrentes o paralelas , la chapa β2 no esta impedida de moverse

con respecto a β1quedando representada en este caso una vinculación interna aparente como se muestra en la figura

22.

Figura 22. Vinculación interna aparente.

8.- Clasificación de cadenas de chapas

Las cadenas de chapas ,según el contorno de las chapas , pueden clasificarse en :abiertas , cerradas y mixtas

.Se muestran a continuación en forma esquemática algunas cadenas abiertas y mixtas . Ver figura 23.

A partir de la definición de cadenas de chapas, se derivan algunos aspectos resaltantes, relacionados con la

identificación de las cadenas de chapas, en las cuales deben considerarse las chapas vinculadas por vínculos internos

de segunda especie. Así, una barra rígida, no cargada, que ha sido definida como vínculo interno de primera especie,

debe ser considerada como una chapa; tres barras no paralelas ni concurrentes, que definen un vínculo interno de

tercera especie entre dos formaciones rígidas forman con ellas una sola chapa.

Es importante tener presente , que una barra para ser considerada vinculo, debe ser rígida y no puede estar

cargada. La cadena cerrada más pequeña y simple ,es la de tres chapas , pero es necesario, aclarar que ese conjunto se

constituye en una sola chapa rígida , con un g=3 , siempre que las articulaciones entre ellas no estén en línea recta

(alineadas) ,como se muestra a continuación:

Lo expresado anteriormente se demuestra , aplicando el procedimiento cinemático indicado a continuación , en

vista de que estudio cinemático de la formación ,depende del movimiento independiente de cada chapa. Considérese

una de las tres chapas fijas , si a partir de esta consideración es posible fijar las restantes , encontrados dos polos por

chapa , entonces ,el sistema esta fijo y forma una sola chapa:

“ Tres chapas en cadena cerrada, cuyos polos relativos no estén alineados , forman una chapa rígida que tiene

tres grados de libertad “

Grados de libertad de una cadena de chapas: En secciones anteriores, se ha determinado y considerado el número de

grados de libertad que posee una chapa en completa libertad de movimientos, (g = 3). Interesa establecer el número de

grados de libertad g, que posee una cadena de chapas, formada por m chapas, bajo cualquier configuración y en

completa libertad de movimiento. Para ello, se propone determinar, una expresión general, que sea válida para cualquier

tipo de cadena. Se define:

( 2.15)

Donde:

g: número de grados de libertad de la cadena

m: número de chapas de la cadena

a: número de articulaciones de la cadena

mi: número de chapas que concurren a cada articulación

Para ilustrar su aplicación, se considera el siguiente ejemplo

Al aplicar la fórmula general de la ecuación (2.15) , para determinar así el número de grados de libertad que la

cadena mostrada posee , se tiene entonces:

m=9

a=8

mi= 2+2+2+3+2+2+2+2 = 17

g= 3*9+2*8-2 (17) = 9

Para cadenas abiertas g = m+2

Para cadenas cerradas g = m

9.- Determinación cinemática de un sistema

En la sección anterior , se estableció la manera de calcular los grados de libertad de cualquier cadena de chapas.

Ahora bien , esas cadenas de chapas , que se han considerado sin restricción de movimientos impuestas por

vinculación externa , en realidad están vinculadas externamente al sistema de referencia fijo la tierra , como se indica

esquemáticamente.:

Cada vinculo externo o apoyo , suministra un número de restricciones según sea su especie; al número total de

restricciones impuestas por la vinculación externa se le denota como “r” y su determinación se realiza por simple

conteo . Entonces , en un sistema definido por una chapa o una cadena de chapas cualquiera , conocidos sus grados de

libertad g y determinado r , por simple conteo de restricciones impuestas por la vinculación externa , puede evaluarse la

relación g-r , cuyo resultados puede ser mayor , igual o menor que cero , esto es :

Sistema cinemáticamente indeterminado : g. r ≥ 0

Sistema cinemáticamente determinado : g. r = 0

Sistema cinemáticamente sobre determinado : g . r < 0

“ Se necesitan como mínimo , tantas condiciones de vinculo externo para estabilizar el sistema, como grados de

libertad tenga , pero esto no implica necesariamente estabilidad , de allí que ésta sea considerada condición necesaria ,

pero no suficiente para la estabilidad del sistema.”

Esto permite establecer que sistemas con : g-r > 0 (inestables)

g-r ≤ 0 (aparentemente estables)

10. Estabilidad cinemática de un sistema

Los sistemas considerados se definen como cinemáticamente estables , cuando cumpliendo con la condición

necesaria , se encuentren fijos o estabilizados . Si el sistema está formado por una sola chapa, se considera fijo si tiene

dos polos de rotación .Por consiguiente , si se trata de una cadena de chapas , para que sea estable todas y cada una de

sus chapas , deben tener dos polos rotación , o sea, todas deben estar fijas . Esta representa la condición suficiente

para la condición suficiente para la estabilidad del sistema.

Todo lo expuesto hasta ahora , permite en forma general establecer algunos pasos que deben seguirse para determinar

la estabilidad cinemática de las estructuras :

Identificar el sistema ( chapa o cadena de chapas ) , tratando de configurar el menor número de chapas , y

clasificar el tipo de formación de acuerdo a esta configuración .

Determinar los grados de libertad g del sistema , haciendo uso de la ecuación .

Contar las restricciones impuestas por la vinculación externa y calcular la diferencia g-r

Clasificar cinemáticamente el sistema a la diferencia g-r.

10.1. Estabilidad cinemática de cadenas abiertas

En una cadena cinemática abierta aparentemente estable , se asegura su estabilidad estudiando los polos de

rotación :

Cadenas cinemáticas abiertas inestables : Cuando solo se puede conseguir un polo absoluto de rotación ,

para cada chapa de la cadena o no logran fijarse todas las chapas . Si al menos una chapa de la cadena está en

condición inestable , como lo postulado , no es aplicado solo a una parte de la estructura sino a toda ella en

conjunto, la estructura es inestable.

Cadenas cinemáticas abiertas estables : Cuando se consigue más de un polo para todas y cada una de las

chapas de la cadena

10.2 . Estabilidad cinemática de cadenas cerradas o mixta

Una cadena cinemática cerrada o mixta aparentemente estable como condición necesaria , pero no suficiente ,

será estable cuando se consiga más de un polo de rotación para todas sus chapas , en el caso contrario será inestable .

Alternativamente , la estabilidad de estos tipos de cadenas se puede estudiar buscando un solo polo de rotación para

cada chapa , cosa que no implica inestabilidad en la cadena, y comprobando compatibilidad de movimientos . Según esto

se tendrá :

Cadena cinemática cerrada o mixta inestable : Cuando es aparentemente estable, se consiga un polo de

rotación para cada chapa y la cadena tenga compatibilidad de movimientos ( dirección , sentido , magnitud).

Cadena cinemática cerrada o mixta estable : Cuando es aparentemente estable , se consiga un polo de

rotación para cada chapa y la cadena tenga incompatibilidad de movimientos.

Se insiste en el hecho que si una cadena cinemática cerrada o mixta , tiene más de un polo de rotación , para

cada chapa no es necesario el estudio de la compatibilidad de movimientos para decretarla estable , como se indicó

inicialmente.

Estudio de la compatibilidad del movimiento : Debido a que la estabilidad de las cadenas cerradas y mixtas ,

puede estudiarse como se ha indicado , buscando un polo por chapa y comprobando la compatibilidad de

movimientos , resulta inmediato aclarar el significado y procedimiento para realizar el chequeo de esa

compatibilidad de desplazamientos en la cadena:

Una vez hallado el polo de rotación para cada chapa , por ser una formación cerrada o mixta ( que tiene

parte cerrada ) puede hablarse de un punto de cierre P.C. , el cual es ubicado apropiadamente en un polo

relativo ; seguidamente se imprime una rotación infinitesimal , alrededor de su polo a una de las chapas de la

cadena vinculada al P.C.

Al observar como se desplaza el P.C. debido a esa rotación , inmediatamente ,se traslada el

desplazamiento a través de la cadena ,se distinguen especialmente los desplazamientos de los polos relativos ,

hasta llegar en formación cerrada al desplazamiento experimentado por el P.C., debido a la rotación de laotra

chapa vinculada con el.

Entonces podrá establecerse si en el P.C. se produce incompatibilidad o compatibilidad de

desplazamientos .Debe recordarse que cualquier tipo de incompatibilidad se traduce en estabilidad de la cadena

y la compatibilidad de desplazamientos se manifiesta en el P.C. ,en dirección, magnitud y sentido, indica que la

cadena tiene posibilidades de movimiento, luego es inestable desde el punto de vista cinemàtica.

Este procedimiento alternativo para cadenas cerradas o mixtas ,puede resumirse en los siguientes pasos:

Buscar un polo por chapa

Definir el punto de cierre

Dar rotación infinitesimal a una de las chapas vinculadas al P.C.,debido a esa rotación .

Trasladar los desplazamientos en formación cerrada y secuencia contraria a la chapa vinculada al P.C.

Indicar el desplazamiento producido por el P.C.debido a la rotación de laotra chapa vinculada a èl.

Observar los desplazamientos en el P.C., incompatibilidad de desplazamientos en dirección o sentido

→cadena estable . Compatibilidad de desplazamientos en dirección y sentido, no implican

necesariamente inestabilidad de la cadena ,deben chequearse las magnitudes.Si los desplazamientos en

elP.C.; resultan incompatibles, también en magnitud , entonces existe compatibilidad de desplazamientos

→Cadena inestable