4η ανάρτηση

___________________________________________________________________________ 4η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17

α) Γνωρίζουμε ότι

ημx x ,για κάθε x R

(με την ισότητα να ισχύει μόνο για x 0 )

Δηλαδή

ημx x ,για κάθε x 0

Οπότε για x 0έχουμε:

g x 0 ,αν x 0ημx x ,αν x 0x ημx x

x ημx , αν x 0 g x 0 , αν x 0

0

g x x ημx

β) Η g είναι γνησίως μονότονη στο R και

g 0 0 , g π π g 0 g π

Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ) Το πεδίο ορισμού της f g είναι το

α)

g fA x A : g x A x : g x 0 0,R

Ο τύπος της συνάρτησης f g είναι

f g x f g x f x ημx x ημx, x 0

δ) Η g είναι αντιστρέψιμη , ως γνησίως αύξουσα , άρα ορίζεται η 1g

Επίσης η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, , άρα ορίζεται η 1f

Το πεδίο ορισμού της 1g είναι το σύνολο τιμών της g , δηλαδή το

x x

g lim g x , lim g x ,R R

διότι

x x x

ημxlim g x lim x ημx lim x 1 1 0

x

καθώς

ημx 1

x x , για κάθε x 0 άρα

ημx1 1

xx x , για κάθε x 0

Λύνει ο Αλέξανδρος Σαρρής

http://lisari.blogspot.gr/


και

x

1lim 0

x

Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής

x

ημxlim 0

x

Το πεδίο ορισμού της 1f είναι το σύνολο τιμών της f , δηλαδή το

xf 0, f 0 , lim f x 0,

Επίσης, θέτοντας y f x παίρνουμε 2y x x y

Άρα

1 2f x x , x 0

Οπότε το πεδίο ορισμού της 1 1g f είναι το

1 1

1 2

f gB x A : f x A x 0 : x 0,R

Το πεδίο ορισμού της 1

f g είναι το σύνολο τιμών της f g

Η συνάρτηση f g είναι γνησίως αύξουσα στο 0,

[ Πράγματι, αν 1 2

x ,x 0 με

g f

1 2 1 2 1 2 1 2x x g x g x f g x f g x f g x f g x

< <

]

Άρα ορίζεται η συνάρτηση 1

f g

Το πεδίο ορισμού της 1

f g είναι το σύνολο τιμών της f g , δηλαδή το

xf g 0, f g 0 , lim f g x 0, ,

διότι

x x x

ημxlim f g x lim x ημx lim x 1

x

x

ημxlim x 1 1 0

x

Άρα οι συναρτήσεις 1

f g , 1 1g f έχουν κοινό πεδίο ορισμού το 0,

ε) Είναι f g π π ημπ π

Άρα

1

f g π π

Επίσης



g π π ημπ π άρα 1g π π

Οπότε

x π x π

x π

x π

x π

1

1x π

2 2

f g x f g π x ημx πx ημx πlim

x πx g π x π

x ημx π

x π x ημx π

x ημx π

x π x ημx π

ημx1

x ημx π x π x ημx π

1 1 1,

2 π 2 π

x ημx π

π

π

x ημxlim lim

lim

lim

lim

διότι

x π x π x 0

u π xημ π xημx ημu1

x π π x ulim lim lim



α) Έχουμε:

g(x) 0 x ημx 0 ημx x x 0

Η g είναι συνεχής ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων 1 2

g x x και g x ημx,

οπότε διατηρεί πρόσημο σε καθένα απ’τα διαστήματα ,0 και 0, .

‘Εχουμε

ΔΙΑΣΤΗΜΑ ,0 0,

ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ : 0

x -π π

0g x - π + ημ(-π) = - π < 0 π + ημπ = π > 0

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ g - +

β) Ισχύει

- π < π και f(-π) < g(π)

και αφού η g είναι γνησίως μονότονη στο , θα είναι γνησίως αύξουσα στο .

γ) Πρέπει

g

f

x D x

g x D x ημx 0 ημx x x 0

Οπότε

f gD 0,

Έχουμε:

f g x f g x g x . Άρα f g x x ημx, x 0

δ) Για κάθε 1 2

x , x με 1 2

x x , ισχύει: 1 2 1 2

x x f x f x .

Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα.

Για κάθε 1 2x , x 0, με

1 2x x , επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα ισχύει:

f:

1 2 1 2g x g x f g x f g x , οπότε η f g είναι γνησίως αύξουσα, επομένως 1-1.

Άρα, η 1

f g ορίζεται.

Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, είναι και 1-1, οπότε ορίζεται η 1f .

Ισχύει x 0 , δηλαδή η f έχει σύνολο τιμών το 0, , επομένως 1f

D 0, .

Έστω

Λύνει ο Νίκος Ελευθερίου



2f x y x y x y , y 0 .

Είναι 1 1 2x f y f y y . Άρα, 1 2f x x , x 0 .

Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα, είναι και 1-1, οπότε ορίζεται η 1g .

Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής έχει πεδίο ορισμού

x x

g lim g x , lim g x .

Έχουμε:

1 ημx 1 1 ημx 1 x 1 x ημx x 1.

Έχουμε,

x xlim x 1 lim x 1 , οπότε, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής,

παίρνουμε

xlim x ημx .

Ακόμη, έχουμε ότι:

x xlim x 1 lim x 1 , οπότε, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, παίρνουμε

xlim x ημx .

Επομένως, η g έχει σύνολο τιμών το g , , οπότε 1gD .

Πρέπει:

1

1

f

1 2

g

x D x 0

f x D x x

Επομένως, ισχύει 1 1g f

D 0, . Αφού 1 1g fD η 1 1g f ορίζεται.

Είναι x ημx x ημx 0 , οπότε η f g έχει σύνολο τιμών το 0, , επομένως

1f g

D 0, . Άρα, παρατηρούμε ότι

1 1 1g ff g

D D 0, .

ε) Είναι f g π π ημπ π , οπότε

1

f g π π .

Ακόμη g π π ημπ π , οπότε 1g π π .

Είναι:

1

1x π x π x π

2 2

x π x π

f g x f g π f g x π x ημx πlim lim lim

x π x πx g π

x ημx π x ημx π lim lim

x π x ημx π x π x ημx π

.

Θέτουμε u x π .

Είναι: x π x π u 0 .

Οπότε, το προηγούμενο όριο με αυτή την αντικατάσταση γράφεται:



u 0

u ημ u πlim

u u π ημ u π π.

Όμως, ισχύει: ημ u π ημu .

Έτσι, το τελευταίο όρο γίνεται:

u 0 u 0 u 0

1

1x π

ημu ημuu1u ημu u u ulim lim lim

u π ημu πu u π ημu π u u π ημu π

u1 1 2

0 π 0 π 2 π

f g x f g π πlim

πx g π



α) Για κάθε x έχουμε:

g x 0 x ημx 0 ημx x

Όμως για κάθε x ισχύει: ημx x 1 . Η ισότητα ισχύει μόνο όταν x = 0.

Άρα η εξίσωση g(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα την x = 0.

Από την (1) για κάθε xϵ(-∞,0)U(0,+∞) έχουμε:

ημx x x ημx x 2

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

αν x < 0 τότε από την (2) έχουμε:

x ημx x x ημx x x ημx 0 g x 0, για κάθε x 0

αν x>0 τότε από την (2) έχουμε:

x ημx x x ημx 0 g x 0, για κάθε x 0

Επομένως για το πρόσημο της g έχουμε τον παρακάτω πίνακα

0

g x

β) Υποθέτω ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο

Τότε έχουμε:

g

0 π g 0 g π 0 π ημπ 0 π, που είναι άτοπο

Άρα η g δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο . Όμως από υπόθεση η g είναι γνησίως

μονότονη στο . Επομένως η g θα είναι γνησίως αύξουσα στο .

γ) Η συνάρτηση f g ορίζεται στο σύνολο: f g g f

D x D / g x D

Έχουμε

g

f

x D x x

g x 0 g x g 0g x D

g xx 0

x 0

Άρα f gD 0,

Για κάθε x 0, έχουμε:

Λύνει ο Στέλιος Στεργιόπουλος



f g x f g x f g x f x ημx f g x x ημx

δ) Μονοτονία της f:


1 2x x έχουμε:

1 2 1 2 1 2

x x x x (αφού η x f f, x x0<

Άρα η f έιναι γνησίως αύξουσα στο 0, , οπότε είναι και 1-1. Άρα η f αντιστρέφεται.

Μονοτονία της f g :


1 2x x , έχουμε

αφού η g είναι γνησίως αύξουσα ισχύει:

1 2 1 2 1 2

x x g x g x (αφού η g ) f g x f g x<

Άρα η f g είναι γνησίως αύξουσα στο 0, , οπότε είναι και 1-1.

Άρα η f g αντιστρέφεται.

Σύνολο τιμών της f g :

fog 0 0 ημ0 0

x x x x

ημx ημxlim fog x lim x ημx lim x (1 ) lim x 1

x x

Είναι:

xlim x

Κοντά στο έχουμε:

ημx 1 1 1 1

ημx ημx 1x x x xx

δηλαδή έχουμε:

ημx ημx1 1 1

x x x x x

Είναι:

x

1lim( ) 0

x και

x

1lim 0

x αφου

x x

1 1lim( ) lim 0

x x

τότε από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι και

x

ημxlim 0

x

Άρα

x

ημxlim 1 1 0 1

x

επομένως:

xlim f g x 1



Η fog είναι συνεχής στο 0, ως σύνθεση της συνεχούς συνάρτησης g με την συνεχή

συνάρτηση f. Η g είναι συνεχής στο ως διαφορά των συνεχών συναρτήσεων x και ημx.

Η συνάρτηση x είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Επίσης η συνάρτηση fog είναι γνησίως

αύξουσα στο 0, . Επομένως το σύνολο τιμών της f g είναι το διάστημα:

Α

x f g 0 , lim f g x 0,

όμως το πεδίο ορισμού της 1

f g είναι το σύνολο τιμών της f g .

Άρα

1

f gD A 0,

Από β) ερώτημα έχουμε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο , άρα είναι και 1-1.

Επομένως η g αντιστρέφεται.

Σύνολο τιμών της g:

x x x

ημxlim g x lim x ημx lim x (1 )

x

Είναι:

xlim x

Κοντά στο έχουμε:

ημx 1 1 1 1

ημx ημx 1x x x xx

δηλαδή έχουμε:

ημx ημx1 1 1

x x x x x

Είναι:

x x

1 1lim lim( ) 0

x x, οπότε από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι και

x

ημxlim 0

x

Άρα,

x

ημxlim(1 ) 1 0 1

x

οπότε,

xlim g x 1

x x x

ημxlim g x lim(x ημx) lim x (1 ) 1 0

x

Η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο , άρα το σύνολο τιμών της είναι το

διάστημα:

Β

x xlim g x , lim g x ,

Όμως το πεδίο ορισμού της g-1 είναι το σύνολο τιμών της g. Άρα Dg-1= Β =

Σύνολο τιμών της f:



f 0 0 0

x xlim f x lim x

Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο 0, , άρα το σύνολο τιμών της είναι το

διάστημα:

Γ

xf 0 , lim f x 0,

όμως το πεδίο ορισμού της f-1 είναι το σύνολο τιμών της f. Άρα Df-1= Γ = 0,

Η συνάρτηση 1 1g f ορίζεται στο σύνολο:

1 1 1 1

1

g f f gf/D x D x D

Για να βρω την αντίστροφη της f θέτω f(x) = y και λύνω ως προς x.

Έχουμε:

y 0 2

2 2f x y x y x y x y

Άρα

1 2 1 2f y y , y 0 ή f x x , x 0

Έχουμε:

1

11 1 2

x 0x Df x 0x 0

f xf x Dg x , πουι σχύει

Άρα 1 1g f

D 0,

Επομένως

1 1 1g ff g

D D 0,

ε) Είναι:

1

f g π π ημπ f g π π f g π π

Επίσης:

1g π π ημπ g π π g π π

Άρα:

1

1x π x π x π

f g x f g π f g x π x ημx πlim lim lim

x π x πx g π

x π

x ημx π x ημx πlim

x π x ημx π



x π

x π

x ημx πlim

x π x ημx π

ημxx πlim[ ]

x π x ημx π x π x ημx π

x π

ημx1 1lim

x πx ημx π x ημx π

x π

1 1 1lim

x ημx π π ημπ π 2 π

x π x π x π

ημ π x ημ π xημxlim lim lim

x π x π π x

Θέτω u π x, τότε

x π x πlimu lim π x π π 0 , άρα όταν x π τότε u 0

οπότε:

x π u 0

ημ π x ημulim lim 1

uπ x

Άρα και

x π

ημxlim 1

x π

Επομένως:

1

1x π

f g x fog π 1 1 2 1lim 1

x g π 2 π 2 π 2 π π



α) Ισχύει ημx x στο με την ισότητα μόνο στο 0.

Άρα με x 0είναι x ημx x .

Αν x 0 έχω x ημx x x ημx 0 g(x) 0 .

Αν x 0 έχω x ημx x x ημx 0 g(x) 0 και g(0) 0 .

β) i) Επειδή π

02

και π π

g( ) 1 0 g(0) g2 2

στο .

ii)

(1)

f g (2)D x / x ημx 0 0,

Για κάθε x 0 είναι

f g (x) x ημx .

iii) Eύκολα δείχνω ότι f στο 0, άρα 1-1 με σύνολο τιμών το 0, δηλαδή ορίζεται η

1f με πεδίο ορισμού το 0, και τύπο 1 2f (x) x .

(Η εξίσωση y x έχει για κάθε y 0 μοναδική λύση 2x y ).

Αν 1 2

x ,x με 1 2

x x θα ισχύει

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 2 1

x x x x x xημχ ημx 2 ημ συν 2 x x x x

2 2 2

Επειδή

1 2

x xσυν 1

2 και ημx x στο * .

Άρα

1 2 1 2

x x ημx ημx 1 1 2 2 1 2

x ημx x ημx g x g(x ) .

Άρα η g στο δηλαδή 1-1 και αντιστρέφεται.

Επίσης ισχύει

χ χ

ημxlim x ημx lim x 1

x

Αφού

χ

ημxlim 0

xκαθώς

ημχ 1

x xγια x 0

ημx1 1

x x xκαι

χ

1lim( ) 0

χ.

Όμοια

xlim(x ημx) .

Άρα το σύνολο τιμών της g καθώς και το πεδίο ορισμού της 1g είναι το .

Λύνει ο Κώστας Δεββές



Η f g είναι στο 0, ως σύνθεση 2 γνήσια αυξουσών, με σύνολο τιμών το 0, αφού

είναι

xlim f g (x) και f g (0) 0 .

Άρα

1f g

D 0, .

Επίσης

1 1

2

g fD x 0, / x 0, .

iv) H g είναι 1-1 και g(π) π άρα 1g (π) π . Όμοια η f g 1-1 και f(g(π)) π άρα

1

f g ( π) π .

Το ζητούμενο όριο γράφεται

x π x π x π

f(g(x)) π f(g(x)) f(g(π)) f(g(x)) f(g(π)) g(x) g(π)lim lim lim( )

χ π x π g(x) g(π) x π

Η g είναι παρ/μη στο π άρα

χ π

g(χ) g(π)lim g (π) 2

χ πκαι θέτοντας u g(χ)(g συνεχής στο π)

έχω

χ π u π

f(g(x)) f(g(π)) f(u) f(π) 1lim lim f (π)

g(x) g(π) u π 2 π

αφού f παρ/μη στο π.

Άρα το ζητούμενο όριο ισούται με 1 π

ππ.


4η ανάρτηση

Education

Transcript of 4η ανάρτηση