24η ανάρτηση

___________________________________________________________________________ 24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17

Α) Αφού το 4 3 2P(x) x x α x x β έχει παράγοντα 2(x 1) , το P(x) έχει διπλή ρίζα το -1 .

Επομένως έχω (σχήμα HORNER)

Έτσι έχουμε:

3 2

α β 1 0 (1)

και

P(x) (x 1) x 2x (α 2)x α 1 (2)

Πρέπει και το πολυώνυμο 3 2Π(x) x 2x (α 2)x α 1 να έχει ρίζα το -1, άρα

(σχήμα HORNER)

Έτσι έχουμε:

(2)2 2 2

2α 6 0 α 3 και από την (1): β 2

και

P(x) (x 1) x 3x 2 (x 1) (x 1) (x 2)

B) Ακολουθεί πίνακας μεταβολής προσήμου του πολυωνύμου:

α) Άρα P(x) 0 όταν x 1,2 1 και 2P(1 x ) 0 όταν αντίστοιχα ισχύει:

2 2

2 2 2 2

1 x 1 x 2 x 2

ή

1 1 x 2 0 x 1 0 x 1 x 0 x 0

Λύνει ο Σπύρος Χαλικιόπουλος

Σχήμα Horner

1 -1 α 1 β -1

-1 2 -α-2 α+1

1 -2 α+2 -α-1 α+β+1

Σχήμα Horner

1 -2 α+2 -α-1 -1

-1 3 -α-5

1 -3 α+5 -2α-6

x -∞ -1 1 2 +∞

Ρ(x)

+ 0 + 0 - 0 +

http://lisari.blogspot.gr/


Δηλαδή τελικά x 0, 2 .

β) Αφού 1 συν2 1 (για την ακρίβεια είναι συν2 0 , επειδή π

2 π2

) και π

1 22

, από

τον πίνακα μεταβολής προσήμου του P(x) προκύπτει: π

P(συν2) 0 και P 02

με

συνέπεια να είναι

πP(συν2) P

2.

γ) Για κάθε x 1,2R / έχουμε:

2 2

2

x 1 x 1κ λ κ λ

P(x) x 1 x 2 x 1 x 2x 1 (x 1) (x 2)

1 κ λ 1 κ (x 2) λ(x 1) 1 (κ λ)x 2κ λ

(x 1) (x 2) x 1 x 2

και από την ισότητα των ανωτέρω πολυωνύμων προκύπτει το σύστημα

κ λ 0 λ κκ,λ 1,1

2κ λ 1 κ 1.



4 3 2 2

3 2

P(x) = x x +α x x+β . To (x+1) είναι παράγοντας του Ρ(x), άρα και το

(x+1) είναι παράγοντας του Ρ(x) υ = P(-1) = 0 α +β + 1 = 0 (1). Τότε P(x) = (x + 1)Π(x),

όπου Π(x) = x - 2x + (α + 2)x - α -1, όπως προκύπτει

Α)

από το σχήμα του Horner.

2

(1)

4 3 2 3 2

2

Το (x+1) είναι παράγοντας του P(x), άρα το x+1 είναι παράγοντας του

Π(x) Π( 1) 0 1 2 α 2 α 1 0 -2α - 6 = 0 α = -3 β = 2 .

P(x)=x x 3x x+2 P(x)=(x+1)(x 2x x+2)

P(x)=(x+1)[x (x-2)-(x-2)

Β)

2 2

2

(2)2 2 2 2

2 2

] P(x)=(x+1)(x-2)(x -1) P(x)=(x+1) (x-1)(x-2) .

P(x) 0 (x+1) (x-1)(x-2) 0 x=-1, ή (x-1)(x-2) 0 1 x 2 . (2)

P(1- x )£0 1- x = -1, ή 1 1- x 2 x = 2,

άρα x = 2 , ή 1 1- x 2 1 x

α)

2

0 x = 0.

(2) P(x)>0 x (- ,-1) (-1,1) (2, + ) .

π π Eίναι 0 < συν2 < 1, άρα P(συν2) > 0, και 1 < < 2, άρα P( ) < 0.

2 2π

Κατά συνέπεια είναι P(συν2) > P( ).2

(x+1) κ λ , για κάθε x -{1,-1,

P(x) x-1 x-2

β)

γ)

2}

1 κ λ , για κάθε x -{1,-1,2}

(x-1)(x-2) x-1 x-2

1 = κ(x - 2) + λ(x - 1), για καθε x -{1,-1,2}

1 = (κ + λ)x - 2κ - λ, για κάθε x -{1,-1,2}

( κ + λ = 0 και - 2κ - λ = 1) (κ = -1 και λ = 1).

Λύνει η Ντίνα Ψαθά

Σχήμα Horner

1 -1 α 1 β -1

-1 2 -α-2 α+1

1 -2 α+2 -α-1 α+β+1



Α)

(α τρόπος)

Εφόσον το πολυώνυμο 4 3 2P x x x αx x β έχει παράγοντα το 2

x 1 , η διαίρεση του

με το 2 2x 1 x 2x 1 θα αφήνει υπόλοιπο υ x 0 .(το μηδενικό πολυώνυμο)

Κάνοντας την Ευκλείδεια Διαίρεση των πολυωνύμων έχω:

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

x x αx x β

x 2x x

3x (α 1)x x β

3x 6x 3x

(α 5)x

2

2

2

x 2x 1

x 3x (α 5)

4x β

(α 5)x (2α 10)x (α 5)

( 2α 6)x β α 5

Άρα υ x 2α 6 x β α 5 το οποίο πρέπει και αρκεί να είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

Έτσι:

υ x 0 2α 6 x β α 5 0 2α 6 0 και β α 5 0

2α 6 και β α 5 α 3 και β 3 5

α 3 και β 3 5 α 3 και β 2

(β τρόπος)

Εφόσον το πολυώνυμο 4 3 2P x x x αx x β έχει παράγοντα το 2

x 1 x 1 x 1 , η

διαίρεση P x : x 1 θα δίνει πηλίκο 1π x και υπόλοιπο το μηδενικό πολυώνυμο.

Επιπλέον θα πρέπει και η διαίρεση του 1

π x : x 1 να δίνει επίσης υπόλοιπο το μηδενικό

πολυώνυμο.

Έτσι με χρήση του σχήματος Horner θα έχω:

Επομένως έχω: 3 2

1π x x 2x α 2 x α 1 και υπόλοιπο

1υ x α β 1 για το οποίο

πρέπει 1

υ x 0 α β 1 0 1 .

Ξανακάνω Horner για το 1π x και έχω:

1 -1 α 1 β -1

-1 2 -α-2 α+1

1 -2 α+2 -α-1 α+β+1

Λύνει ο Στράτος Μανιτάρου



Επομένως έχω 2

2π x x 3x α 2 και υπόλοιπο

2υ x 2α 6 για το οποίο πρέπει

2

υ x 0 2α 6 0 α 3 .

Έτσι η (1) γράφεται: α β 1 0 β 1 α β 2 .

Επομένως α 3 και β 2 είναι τα ζητούμενα. (Εύκολη η επαλήθευση)

(γ τρόπος – με ύλη Γ Λυκείου)

Για να είναι το 1 διπλή ρίζα του πολυωνύμου πρέπει και αρκεί P 1 0 και P 1 0 με

4 3 2 3 2P x x x αx x β 4x 3x 2αx 1. Έτσι έχω:

P 1 0 1 1 α 1 β 0 α β 1 β 2

4 3 2α 1 0 α 3 α 3P 1 0

Β) α)

Από την ταυτότητα της Διαίρεσης 2

P x : x 1 έχω 2 2P x x 1 x 3x 2 .

Επομένως:

2 2P x 0 x 1 x 3x 2 0

Η παραπάνω ανίσωση έχει σύνολο ορισμού όλο το .

Λύνω τις ανισώσεις:

2

x 1 0 x 1 και είναι θετικό για κάθε x 1

2x 3x 2 0 x 1,2

Και κατασκευάζω πίνακα προσήμων:

Άρα P x 0 x 1,2 1

1 -2 α+2 -α-1 -1

-1 3 -α-5

1 -3 α+2 -2α-6

x -∞ -1 1 2 +∞

(x+1)2 + 0 + + +

x2-3x+2 + + 0 - 0 +

P(x) + 0 + 0 - 0 +



Για την ανίσωση 2P 1 x 0 θέτω 21 x y και τότε η ανίσωση γράφεται:

22 2

2

22

2

1 1 xP y 0 y 1,2 1 1 x 1,2 1 ή 1 x 1

1 x 2

0 x x 0 ή x 2 ή x 2 x 0 ή x 2

x1 x

β)

Παρατηρώ από τον πίνακα προσήμων ότι συν2 1,1 P συν2 0 ενώ

π π1,2 P 0

2 2.

Άρα

πP 0 P συν2

2

γ)

Η σχέση που μας δίνεται για x 1, 1,2 και 2 2P x x 1 x 3x 2 γράφεται

ισοδύναμα:

2

2

x 1 κ λ ,για κάθε x 1, 1,2

x 1 x 2P x

x 1

2

x 1

2

κ λ ,για κάθε x 1, 1,2

x 1 x 2x 3x 2

1 κ λ ,για κάθε x 1, 1,2

x 1 x 2x 1 x 2

x 1 x 2

1

x 1 x 2 x 1

κx 2

x 1 x 1 x 2

λ

x 2

,για κάθε x 1, 1,2

1 x 2 κ x 1 λ ,για κάθε x 1, 1,2

(α τρόπος)

Η σχέση ισχύει για κάθε x 1, 1,2 , άρα και για x 0 αλλά και x 3 . Έτσι έχω:

Για x 0 : 1 2κ λ 2κ λ 1

Για x 3 : 1 κ 2λ κ 2λ 1

Λύνω το σύστημα των 2 εξισώσεων και έχω:

2κ λ 1 2κ λ 1 3λ 3 λ 1 λ 1

κ 2λ 1 2κ 4λ 2 κ 2λ 1 κ 1 2λ κ 1

(β τρόπος)



1 x 2 κ x 1 λ ,για κάθε x 1, 1,2

1 κx 2κ λx λ ,για κάθε x 1, 1,2

1 κx 2κ λx λ ,για κάθε x 1, 1,2

0 κ λ x 2κ λ 1 ,για κάθε x 1, 1,2

κ λ 0 κ λ κ λ κ 1

2κ λ 1 0 2λ λ 1 0 λ 1 λ 1



Α) Το πολυώνυμο P x γράφεται:

4 3 2 3 2 2

2 2 22

2 2

P x x 2x x 3x 6x 3x α 5 x 2 α 5 x α 5 2α 6 x β α 5

x x 1 3x x 1 α 5 x 1 2α 6 x β α 5

x 1 x 3x α 5 2α 6 x β α 5

Επομένως το 2

x 1 είναι παράγοντας του P x , αν και μόνο αν, το υπόλοιπο ισούται με

μηδέν, δηλαδή αν και μόνο αν:

2α 6 0 α 3

β α 5 0 β 2

Σχόλιο:

Το παραπάνω «σπάσιμο» στηρίχθηκε στην απαίτηση το 2x 2x 1 να είναι παράγοντας.

Ένα πιο απλό παράδειγμα για να κατανοηθεί η μέθοδος είναι το εξής:

Να λυθεί η εξίσωση:

3 2x 2x 3x 6 0

Λύση:

Εδώ ρίζα είναι το 2 άρα παράγοντας το x 2

3 2 3 2 2

2

2

x 3x 3x 2 0 x 2x x 2x x 2 0

x x 2 x x 2 x 2 0

x 2 x x 1 0

x 2

αφού

2

2 2 1 3 1 3 3x x 1 x x x 0

4 4 2 4 4

Λύνει ο Ανδρέας Πάτσης (λύση Α ερωτήματος)



Α)

Το πολυώνυμο P x έχει παράγοντα το 2

x 1

24 3 2 2P(x) x x αx x β x 1 κx λx μ , για κάποια κ,λ,μR

4 3 2 4 3 2x x αx x β κx λ 2κ x μ 2λ κ x 2μ λ x μ

κ 1κ 1

λ 3λ 2κ 1

μ 2μ 2λ κ α

2μ λ 1 β 2

μ β α 3

Λύνει ο Παύλος Τρύφων (λύση Α ερωτήματος)



Α)

Για να είναι το 2

x 1 παράγοντας πρέπει και αρκεί ο 1 να είναι ρίζα του Ρ(x) και του

πηλίκου της Ρ(x) : (x 1) . Με 2 Horner προκύπτει το σύστημα:

β α 1 0 α 3

6 2α 0 β 2

.

Β) α)

Η ζητούμενη 1η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται: 2 2x 1 x 3x 2 0 x 1 ή x 1,2

που προκύπτει εύκολα με πίνακα προσήμου.

Η 2η ανίσωση με χρήση του αποτελέσματος της 1ης ισοδύναμα γράφεται: 21 x 1 ή 2 21 1 x 2 x 2 ή 20 x 1 x 2 ή 20 x 1 x 2 ή x 0 .

β)

Είναι

πΡ(συν2) Ρ( )

2 γιατί ισχύει

ππ 2 1 1 συν2 0 Ρ(συν2) 0

2 και

πΡ( ) 0

2 .

γ)

Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

2

1 κ λ1 κ x 2 λ x 1 ... κ 1,λ 1

x 1 x 2x 3x 2

Λύνει ο Κώστας Δεββές



Α)

Το πολυώνυμο γράφεται 2

P x x 1 Π x x 1 Q x , όπου Q x x 1 Π x

Πρέπει να είναι : P 1 0 1 1 α 1 β 0 β 1 α (1)

Άρα 4 3 2 3 2P x x x αx x 1 α P x x x 1 α x 1 x 1

3 2P x x 1 x 1 α x 1

2 2P x x 1 x 1 x x 1 α x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 α x 1

3 2P x x 1 x 2x α 2 x α 1 .

Άρα 3 2Q x x 2x α 2 x α 1 και

Q 1 0 1 1 α 2 α 1 0 2α 6 α 3 και από την (1) : β 2 .

Β) (α) Είναι : 24 3 2 3 2P x x x 3x x 2 x 1 x 2x x 2 x 1 x 1 x 2 .

Με τη βοήθεια πίνακα προσήμων έχουμε :

P x 0 x 1 1,2 .

Για την ανίσωση : 2 2P 1 x 0 1 x 1 ή 21 1 x 2 x 2 ή x 0 .

(β) Επειδή π

1 συν2 12

είναι P συν2 0 και π

P 02

, άρα

πP P συν2

2

.

(γ) Για κάθε x 1,1,2 R :

2

x 1 κ λ 1 κ λκ x 1 λ x 2 1

x 1 x 2 x 1 x 2P x x 1 x 2

κ λ x κ 2λ 1 , άρα πρέπει κ λ 0 και κ 2λ 1 .

Το σύστημα δίνει τη λύση κ,λ 1, 1 .

Λύνει ο Αθανάσιος Μπεληγιάννης

x -∞ -1 1 2 +∞

(x+1)2 + 0 + + +

x2-3x+2 + + 0 - 0 +

P(x) + 0 + 0 - 0 +



Α) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner έχουμε: 4 3 2P(x) x x αx x β, με x,α,βR

3 2

1Π (x) x 2x (2 α)x 1 α,x R και U(x) 1 α β

1Π ( 1) 0 α 3 και U( 1) 0 β 2

Β) α) 4 3 2P(x) x x 3x x 2, x R . Θα παραγοντοποιήσουμε το P(x):

3 2

1Π (x) x 2x x 2,x R και 2

2Π (x) x 3x 2,x R

2

1 2P(x) 0 (x 1)Π (x) 0 (x 1) Π (x) 0

Κάνοντας πίνακα προσήμων προκύπτει

P(x) 0 x [1,2] { 1}

και 2 2 2P(1 x ) 0 (1 1 x 2) (1 x 1) x 0, 2

β) P(συν2) 0 διότι συν2 ( 1,1) και π

P 02

διότι

π(1,2)

2

άρα π

P(συν2) P2

γ) Για x { 1,1,2} R

2(x 1) k λ

P(x) x 1 x 2

2

2 2

(x 1) k λ(x 1)(x 2) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)

x 1 x 2(x 1) (x 3x 2)

k 1

1 (x 2)k λ(x 1)λ 1

Λύνει ο Πέτρος Τζίκας

Το υπόλοιπο είναι

ανεξάρτητο του x

οπότε μπορούμε να

το συμβολίσουμε

και με U

Σχήμα Horner

1 -1 α 1 β -1

-1 2 -α-2 α+1

1 -2 α+2 -α-1 α+β+1

Σχήμα Horner (δυο φορες)

1 -1 -3 1 2 -1

-1 2 1 -2

1 -2 -1 2 0

1 -2 -1 2 -1

-1 3 -2

1 -3 2 0

x -∞ -1 1 2 +∞

Ρ(x)

+ 0 + 0 - 0 +



Α) Εκτελούμε την διαίρεση P x : x 1 με σχήμα Horner:

Έχουμε: 3 2P x x 1 x 2x α 2 x α 1 α β 1 .

Έστω το πολυώνυμο π x x R με τύπο 3 2π x x 2x α 2 x α 1 .

Για να ισχύει: 2

x 1 P x πρέπει 4 3 2

P 1 0 1 1 α 1 1 β 0 α β 1

και 3 2

π 1 0 1 2 1 α 2 1 α 1 0 α 3 .

Οπότε β 2 .

Β) Για α = –3 και β = 2 :

4 3 2 4 3 2 2 3 2P x x x 3x x 2 x x x x 2x 2 x x 1 x x 1 2 x 1

3 2 2 2 2x 1 x x 2 x 1 x 1 x x 1 2 x 1 x 1 x x 1 2

22x 1 x 1 x x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 P x x 1 x 1 x 2 .

α) Είναι:

2

P x 0 x 1 x 1 x 2 0 x 1 x 2 0 και 2

x 1 0 , αφού 2

x 1 0, x R .

Άρα, x 1, 2 1

Είναι:

2u 1 x

2 2P 1 x 0 P u 0 u 1, 2 1 1 1 x 2

ή 21 x 1 .

‘Εχουμε:

2

2 22

2 2

1 x 1 x 2

x 0, 21 x 1 x 0 x 01 1 x 2 x 0

1 x 2 x 1 x

R

β) Ο πίνακας προσήμων του P x είναι:

Λύνει ο Νίκος Ελευθερίου

Σχήμα Horner

1 -1 α 1 β ρ = -1

-1 2 -α-2 α+1

1 -2 α+2 -α-1 α+β+1



Είναι: συν2 1, 1 , οπότε P συν2 0 .

Επιπλέον, είναι π

1, 22 , οπότε

πP 0

2

.

Άρα, π

P συν2 P2

.

γ) Είναι

2

2 x 1 1P x x 1 x 1 x 2 , x 1, 2

P x x 1 x 2

R .

Αναζητούμε λοιπόν πραγματικούς αριθμούς κ, λ τέτοιους, ώστε

1 κ λ1 κ x 2 λ x 1 κ λ x 2κ λ 1 0

x 1 x 2x 1 x 2

.

Οπότε, πρέπει κ λ 0 και 2κ λ 1 0 .

Επιλύοντας το σύστημα βρίσκουμε: κ 1 και λ 1 .

x -∞ -1 1 2 +∞

(x+1)2 + 0 + + +

x - 1 - - 0 +

0

+

x - 2 - - - 0 +

P(x) + 0 + 0 - 0 +


24η ανάρτηση

Education

Transcript of 24η ανάρτηση