3ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 99

Α2. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 128

Α3. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 95

Α4. α) Λάθος

β) Λάθος

γ) Σωστό

δ) Σωστό

ε) Λάθος

ΘΕΜΑ Β

Β1. Για x < 0 η f συνεχής ως πολυωνυµική.

Για x > 0 η f συνεχής ως πολυωνυµική.

Για x = 0 είναι:

2

x 0 x 0

x 0 x 0

im f(x) im( x 1) 1

im f(x) im( x 1) 1

− −

+ +

→ →

→ →

= − + =

= − + =

ℓ ℓ

ℓ ℓ οπότε ( )

x 0 x 0imf(x) imf(x) f 0 1

− +→ →= = =ℓ ℓ

άρα η f συνεχής στο x0 = 1,

οπότε η f συνεχής στο R .

Β2. Η f είναι συνεχής στο [ ]1, 1− από το Β1. ερώτηµα

Για x < 0, η f παραγωγίσιµη ως πολυωνυµική µε ( )f x 2x′ = −

Για x > 0, η f παραγωγίσιµη ως πολυωνυµική µε ( )f x 1′ = − .

Για x = 0 είναι: ( )

2 2

x 0 x 0 x 0 x 0

x 0 x 0 x 0

f(x) f(0) x 1 1 xim im im im x 0

x 0 x x

f(x) f(0) x 1 1 xim im im 1

x 0 x x

− − − −

+ + +

→ → → →

→ → →

− − + − −= = = − = −

− − + − − = = = −

−

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ

Επειδή x 0 x 0

f(x) f(0) f(x) f(0)im im

x 0 x 0+ −→ →

− −≠

− −ℓ ℓ άρα η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0 = 0,

οπότε η f δεν παραγωγίσιµη στο (–1, 1).

Οπότε δεν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [–1, 1].

Β3. Έστω ( )( )0 0B x , f x το σηµείο επαφής, µε 0x 0≠ γιατί η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0.

Τότε, η εξίσωση εφαπτόµενης είναι: ( ) ( )( )0 0 0y f x f x x x′− = −

• Για 0x 0< , είναι: ( ) ( ) ( )2 2

0 0 0 0 0y x 1 2x x x y 2x x x 1− − + = − − ⇔ = − ⋅ + +

Η εφαπτόµενη διέρχεται από το 5

A 0,4

οπότε είναι:

2 2

0 0 0

5 12x 0 x 1 x

4 4= − ⋅ + + ⇔ =

και επειδή 0x 0< , είναι 0

1x

2= −

Οπότε, η εξίσωση της εφαπτόµενης που διέρχεται από το Α είναι η ευθεία:

( ) = +5

ε : y x4

• Για 0x 0> , είναι: ( ) ( )0 0y x 1 x x y x 1− − + = − − ⇔ = − +

Η εφαπτόµενη δεν διέρχεται από το 5

A 0,4

οπότε η περίπτωση αυτή απορρίπτεται.

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Είναι: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f x x f x 1 4x f x x f x x 4x′′+ + = ⇔ + + =

( )( ) ( )( )2 f x x f x x 8x′⇔ + + =

( )( ) ( )2 2f x x 4x′ ′ ⇔ + =

Οι συναρτήσεις ( )( )2f x x+ , 24x είναι συνεχείς στο R οπότε υπάρχει σταθερά c∈R τέτοια

ώστε: ( )( )2 2f x x 4x c+ = + για κάθε x∈R

Για x = 0, είναι: ( )( )2f 0 c c 1= ⇔ =

Οπότε, ( )( )2 2f x x 4x 1+ = + για κάθε x∈R

Αλλά, 24x 1 0+ ≠ για κάθε x∈R οπότε και ( )( )2f x x 0+ ≠ για κάθε x∈R ,

άρα ( )f x x 0+ ≠ για κάθε x∈R

Η f είναι συνεχής, οπότε διατηρεί σταθερό πρόσηµο.

Επειδή ( )f 0 1 0= > , άρα ( )f x x 0+ > για κάθε x∈R

Οπότε ( ) ( )2 2f x x 4x 1 f x 4x 1 x+ = + ⇔ = + − για κάθε x∈R

Γ2. Είναι: ( ) ( ) 2 2f x 1 x 4x 1 x x x 4x 1 x− λ − = + − − λ + = + − λ

Οπότε: ( ) ( )2 22x x x

1im 4x 1 x im 4x 1 x im x 4 x

x→+∞ →+∞ →+∞

+ − λ = + − λ = + − λ

ℓ ℓ ℓ

x

2 2x x x x

1 1im x 4 x im x 4

x x

→+∞

= →+∞ →+∞

= + − λ = + − λ ℓ ℓ

∆ιακρίνουµε τις περιπτώσεις:

• Αν 2 0 2− λ < ⇔ λ > τότε ( ) ( )( )x

im f x 1 x→+∞

− λ − = −∞ℓ

• Αν 2 0 2− λ > ⇔ λ < τότε ( ) ( )( )x

im f x 1 x→+∞

− λ − = +∞ℓ

• Αν 2 0 2− λ = ⇔ λ = τότε

2 2 x

x x x x x

2 2 2

4x 1 4x 1 1im im im 0

1 1 1x 4 2x x 4 2x x 4 2x x x

→+∞

→+∞ = →+∞ →+∞

+ −= = = =

+ + + + + +

ℓ ℓ ℓ

γιατί 2x x

1 1im im 0

x x→+∞ →+∞= =ℓ ℓ

Γ3. Έστω ( )( )0 0A x , f x το σηµείο επαφής.

Η εξίσωση εφαπτόµενης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σχηµατίζει γωνία

3

4

πω = , οπότε είναι: ( )′ = = −0

3πf x εφ 1

4

Αλλά, ( ) ( )2

2 2

1 4xf x 4x 1 1 1

2 4x 1 4x 1

′′ = ⋅ + − = −+ +

Οπότε: 0 00 02 2

0 0

4x 4x1 1 0 4x 0 x 0

4x 1 4x 1− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

+ +

Άρα, ( ) ( )( )y f 0 f 0 x 0′− = − οπότε y 1 x y x 1− = − ⇔ = − +

Γ4. Α΄ τρόος

Θεωρούµε συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( )3 4g x 4x f x 16f x x f x′ ′= − +

Η g είναι στο [ ]2, 2− συνεχής, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.

Είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4g 2 4 2 f 2 16f 2 2 f 2′ ′− = − − − − + − −

( ) ( ) ( )24f 2 16f 2 16f 2′ ′= − − − − + −

( )24 17 2 0= − + <

( ) ( ) ( ) ( )3 4g 2 4 2 f 2 16f 2 2 f 2′ ′= ⋅ − +

( ) ( ) ( )24f 2 16f 2 16f 2′ ′= − +

( )24 17 2 0= + >

Οπότε ( ) ( )g 2 g 2 0− ⋅ <

Άρα, από θεώρηµα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x 2, 2∈ − τέτοιο ώστε:

( ) ( ) ( ) ( )3 40 0 0 0 0 0g x 0 4x f x 16f x x f x 0′ ′= ⇔ − + =

( ) ( ) ( )3 40 0 0 0 04x f x 16f x x f x′ ′⇔ − = −

Β΄ τρόος

Θεωρούµε συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4g x x f x 16f x x 16 f x= − = −

Η g είναι συνεχής στο [ ]2, 2− , ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.

Η g είναι παραγωγίσιµη στο ( )2, 2− , ως πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε

. ( ) ( ) ( ) ( )3 4g x 4x f x x f x 16f x′ ′ ′= + −

Είναι: ( ) ( )( ) ( )4g 2 2 16 f 2 0′− = − − − =

( ) ( ) ( )4g 2 2 16 f 2 0′= − =

Οπότε ( ) ( )g 2 g 2 0− = =

Άρα, από θεώρηµα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x 2, 2∈ − τέτοιο ώστε:

( ) ( ) ( ) ( )3 40 0 0 0 0 0g x 0 4x f x 16f x x f x 0′ ′ ′= ⇔ − + =

( ) ( ) ( )3 40 0 0 0 04x f x 16f x x f x′ ′⇔ − = −

ΘΕΜΑ ∆

∆1. Είναι: ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )2x x x

2

f x 1f x e f x e e

f xf x

−′′′ ′′′ ′= ⇔ = ⇔ − = ′′

Οι συναρτήσεις ( )1

f x−′

, xe είναι συνεχείς στο R οπότε υπάρχει σταθερά c∈R τέτοια

ώστε: ( )

− = +′

x1e c

f x για κάθε x∈R

Για x = 0, είναι: ( )

− = + ⇔ = + ⇔ =′

01e c 2 1 c c 1

f 0

Άρα, ( )

( ) ( )′ ′− = + ⇔ = − ⇔ + = −′ + +

x

x x

1 1 1e 1 f x f x 1 1

f x e 1 e 1

( ) ( )+ −′ ′⇔ + = ⇔ + =

+ +

x x

x x

e 1 1 ef x 1 f x 1

e 1 e 1

∆2. Η f ′ είναι παραγωγίσιµη στο R µε ( )( ) ( ) ( )

( )

′ ′′ + − + ′′ = + = + +

x x x xx

2x x

e e 1 e e 1ef x 1

e 1 e 1

( )( ) ( )+ − ⋅ ⋅ + − ⋅

= =+ +

x x x x x x x x x

2 2x x

e e 1 e e e e e e e

e 1 e 1

( )

= >+

x

2x

e0

e 1

Άρα η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο R

Η f είναι συνεχής στο R άρα και στο [ ]x 2, x 1− +

Η f είναι παραγωγίσιµη στο R άρα και στο ( )x 2, x 1− +

Άρα από θεώρηµα µέσης τιµής υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )1 x 2, x 1ξ ∈ − + τέτοιο ώστε

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1

f x 1 f x 2 f x 1 f x 2f

x 1 x 2 3

+ − − + − −′ ξ = =

+ − −

Η f είναι συνεχής στο R άρα και στο [ ]x 1, x 4+ +

Η f είναι παραγωγίσιµη στο R άρα και στο ( )x 1, x 4+ +

Άρα από θεώρηµα µέσης τιµής υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )2 x 1, x 4ξ ∈ + + τέτοιο ώστε

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2

f x 4 f x 1 f x 4 f x 1f

x 4 x 1 3

+ − + + − +′ ξ = =

+ − +

Είναι: ( ) ( )f

1 2 1 2x 2 x 1 x 4 f f′

′ ′− < ξ < + < ξ < + ⇔ ξ < ξ1

( ) ( ) ( ) ( )f x 1 f x 2 f x 4 f x 1

3 3

+ − − + − +⇔ <

( ) ( ) ( ) ( )f x 1 f x 2 f x 4 f x 1⇔ + − − < + − +

( ) ( ) ( )2f x 1 f x 4 f x 2⇔ + − + < −

∆3. Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) ( ) ( )xg x f x n 1 e−= − +ℓ

Η g είναι παραγωγίσιµη στο R ως πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε:

( ) ( ) ( )x x

xx x x

1 e eg x f x 1 e 1

1 e e 1 e 1

−−

− −′′ ′= − + = − +

+ + +

x x x xx

x x x x x x

x

1e e 1 e e 1 1e1 1 0

1e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 11e

+= − + = − + = − + =

+ + + + + ++

Οπότε ( )g x 0′ = για κάθε x∈R και η g είναι συνεχής, άρα η g είναι σταθερή, οπότε

υπάρχει σταθερά c∈R τέτοια ώστε: ( ) ( ) ( )xg x c f x n 1 e c−= ⇔ − + =ℓ

Για x = 0, είναι: ( ) ( )0f 0 n 1 e c c 0− + = ⇔ =ℓ

Άρα, ( ) ( ) ( ) ( )x xf x n 1 e 0 f x n 1 e ,− −− + = ⇔ = +ℓ ℓ για κάθε x∈R

∆4. α. Είναι: ( ) ( ) +′ ′+ = ⇔ = − = − = − <

+ + + + +

x x x x

x x x x x

e e e e 1 1f x 1 f x 1 0

e 1 e 1 e 1 e 1 e 1

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R

Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α = R , οπότε είναι:

( ) ( ) ( )( ) ( )x x

f A im f x , im f x 0,→+∞ →−∞

= = + ∞ℓ ℓ

γιατί: ( ) ( )( )x

x xim f x im n 1 e−→+∞ →+∞

• = +ℓ ℓ ℓ

Θέτουµε xu 1 e−= + οπότε ( )x0 x

u im 1 e 1−

→+∞= + =ℓ

οπότε ( ) ( )x u 1

im f x im nu 0→−∞ →

= =ℓ ℓ ℓ

( ) ( )( )x

x xim f x im n 1 e−→−∞ →−∞

• = +ℓ ℓ ℓ

Θέτουµε xu 1 e−= + οπότε ( )x0 x

u im 1 e−→−∞

= + = +∞ℓ

οπότε ( ) ( )x u

im f x im nu→−∞ →+∞

= = +∞ℓ ℓ ℓ

β. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R άρα γνησίως µονότονη, άρα 1 – 1, οπότε ορίζεται η

1f − µε πεδίο ορισµού ( ) ( )1fA f A 0,− = = + ∞

Είναι: ( ) ( )x x y x yf x y n 1 e y 1 e e e e 1− − −= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −ℓ

( ) ( )y yx n e 1 x n e 1⇔ − = − ⇔ = − −ℓ ℓ

Άρα, ( ) ( ) ( )1 xf x n e 1 , x 0,− = − − ∈ + ∞ℓ