1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ...

13
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Αν Ν είναι το σημείο τομής των ευθειών ΜΔ και ΡΕ να αποδείξετε ότι: i) ΜΔ = ΡΕ ii) ΜΔΑ ΡΕΑ iii) ΜΝ = ΡΝ ΛΥΣΗ i. Τα τρίγωνα ΜΔΒ και ΡΕΓ έχουν: ΜΒ = ΡΓ (ως μισά ίσων πλευρών), ˆ ˆ Β Γ (επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές) και ΒΔ = ΕΓ. Επομένως τα τρίγωνα ΜΔΒ και ΡΕΓ είναι ίσα (ΠΓΠ). Οπότε ΜΔ =ΡΕ και ˆ ˆ ω . ii. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ έχουν: ΑΒ = ΑΓ, ˆ ˆ Β Γ και ΒΔ = ΕΓ. Επομένως τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ είναι ίσα (ΠΓΠ). Οπότε ΒΔΑ ΓΕΑ και επειδή ˆ ˆ ω θα είναι ˆ ˆ η . iii. Επειδή ˆ ˆ ω θα είναι και ΝΔΕ ΝΕΔ , οπότε το τρίγωνο ΝΔΕ είναι ισοσκελές με βάση τη ΔΕ. Επομένως ΝΔ = ΝΕ και εφόσον ΜΔ = ΡΕ θα είναι και ΜΝ = ΡΝ.

Transcript of 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ...

Page 1: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Αν Ν είναι το σημείο τομής των ευθειών ΜΔ και ΡΕ να αποδείξετε ότι: i) ΜΔ = ΡΕ ii) ΜΔΑ ΡΕΑ iii) ΜΝ = ΡΝ

ΛΥΣΗ i. Τα τρίγωνα ΜΔΒ και ΡΕΓ έχουν:

ΜΒ = ΡΓ (ως μισά ίσων πλευρών), ˆ ˆΒ Γ (επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές) και ΒΔ = ΕΓ.

Επομένως τα τρίγωνα ΜΔΒ και ΡΕΓ είναι ίσα (ΠΓΠ). Οπότε ΜΔ =ΡΕ και ˆ ω .

ii. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ έχουν: ΑΒ = ΑΓ, ˆ ˆΒ Γ και ΒΔ = ΕΓ.

Επομένως τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ είναι ίσα (ΠΓΠ). Οπότε ΒΔΑ ΓΕΑ και επειδή ˆ ω θα είναι ˆη .

iii. Επειδή ˆ ω θα είναι και ΝΔΕ ΝΕΔ , οπότε το τρίγωνο ΝΔΕ

είναι ισοσκελές με βάση τη ΔΕ. Επομένως ΝΔ = ΝΕ και εφόσον ΜΔ = ΡΕ θα είναι και ΜΝ = ΡΝ.

Page 2: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

2 ΑΣΚΗΣΗ 2η Σε σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ φέρνουμε τη διάμεσο ΑΔ και την προεκτείνουμε κατά τμήμα ΑΔ = ΔΕ. Στη συνέχεια φέρνουμε το ύψος ΑΗ και στην προέκταση του παίρνουμε τμήμα ΗΖ = ΗΑ. Να αποδείξετε ότι:

ii. ΑΓΒ ΒΓΖ iii. Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΑΔΓ είναι ίσα iv. Αν Ο είναι το σημείο τομής των ΒΕ και ΓΖ, τότε το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ισοσκελές.

ΛΥΣΗ i) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΓΗ και ΗΓΖ είναι ίσα εφόσον ΑΗ = ΗΖ και ΗΓ κοινή πλευρά. Επομένως ΑΓΗ ΗΓΖ , δηλαδή ΑΓΒ ΒΓΖ (1). ii) Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΑΔΓ έχουν: ΒΔ = ΔΓ (η ΑΔ είναι διάμεσος), ΑΔ = ΔΕ και ΑΔΓ ΒΔΕ (ως κατακορυφήν). Επομένως τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΑΔΓ είναι ίσα (ΠΓΠ). Συνεπώς ΑΓΔ ΔΒΕ (2). iii) Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει

ότι ΗΓΖ ΔΒΕ , επομένως το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ισοσκελές.

Page 3: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

3 ΑΣΚΗΣΗ 3η Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ =ΑΓ και 0Α 90 . Στα σημεία Β και Γ φέρνουμε τις κάθετες Βχ και Γψ αντίστοιχα στη ΒΓ. Αν η κάθετη στο Α, προς την πλευρά ΑΓ τέμνει τη Βχ στο σημείο Μ και η κάθετη στο Α, προς την πλευρά ΑΒ τέμνει τη Γψ στο σημείο Ν, να αποδείξετε ότι ΒΜ = ΓΝ. ΛΥΣΗ Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: α) Έστω 0Α 90 . (σχ.1) Τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΝΑΓ έχουν: ΑΒ = ΑΓ, 0

1 2ˆ ˆ ˆΑ 90 Α Α

και 0 01 2

ˆ ˆ ˆ ˆΒ 90 Β 90 Γ Β ( ˆ ˆΒ Γ λόγω του ισοσκελούς τριγώνου).

Επομένως τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΝΑΓ είναι ίσα (ΓΠΓ) και άρα ΒΜ = ΓΝ.

β) Έστω 0Α 90 . Τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΝΑΓ έχουν: ΑΒ=ΑΓ, 0

1 2ˆ ˆ ˆΑ 90 Α Α και 0 0ˆ ˆΑΒΜ 90 Β 90 Γ ΑΓΝ ( ˆ ˆΒ Γ λόγω του ισοσκελούς τριγώνου).

Επομένως τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΝΑΓ είναι ίσα (ΓΠΓ) και άρα ΒΜ = ΓΝ

Page 4: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

4 ΑΣΚΗΣΗ 4η Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και θεωρούμε σημεία Κ,Ζ,Λ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑK = ΒΖ = ΓΛ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΖ είναι ισόπλευρο ΛΥΣΗ Τα τρίγωνα ΑΚΛ και ΒΚΖ έχουν:

ΑΚ = ΒΖ από την υπόθεση = =600 ως γωνίες ισοπλεύρου τριγώνου ΑΛ = ΒΚ γιατί

ΑΛ = ΑΓ-ΓΛ = ΑΒ-ΑΚ = ΒΚ Από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα, επομένως ΚΛ=ΚΖ (1)

Ομοίως δείχνουμε ότι τα τρίγωνα ΑΚΛ και ΓΛΖ είναι ίσα, επομένως ΚΛ=ΛΖ (2) Από (1) και (2) έχουμε ότι ΚΛ=ΚΖ=ΛΖ δηλαδή το τρίγωνο ΚΛΖ είναι ισόπλευρο.

Page 5: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

5 ΑΣΚΗΣΗ 5η Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με > , ΑΔ το ύψος του και ΑΜ η διάμεσός του. Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΖ. Αν Ε σημείο του τμήματος ΜΓ τέτοιο ώστε ΔΕ = ΓΔ - ΔΒ, να δείξετε ότι:

i) To M είναι μέσο της ΔΕ ii) Ζ Μ=900.

ΛΥΣΗ i) H ισότητα ΔΕ = ΓΔ-ΔΒ γράφεται:

ΔΜ + ΜΕ = (ΓΜ + ΜΔ)- ΔΒ ή ΔΜ + ΜΕ = ΒΜ + ΜΔ – ΔΒ ή ΜΕ = ΒΜ – ΔΒ ή ΜΕ = ΔΜ , δηλαδή το Μ είναι μέσο της ΔΕ. ii) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΖΜΕ: ΑΜ = ΜΖ (υπόθεση) ΔΜ = ΜΕ (από i) ερώτημα) Α Δ = Ζ Ε (ως κατακορυφήν γωνίες)

Από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα, επομένως Ζ Μ= Α Μ = 900.

Page 6: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

6 ΑΣΚΗΣΗ 6η Δίνονται τρία διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ μιας ευθείας ε. Με πλευρές τις ΑΒ και ΒΓ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΓ΄ και ΒΑ΄Γ προς το ένα μέρος της ευθείας και με πλευρά την ΑΓ κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο Α´à προς το άλλο μέρος της ευθείας. Να δείξετε ότι τα τμήματα ΑΑ΄, ΒΒ΄ και ΓΓ΄ είναι ίσα μεταξύ τους. ΛΥΣΗ Τα τρίγωνα AΑ΄Γ και Β´à έχουν: Α΄Γ=ΒΓ (γιατί το τρίγωνο ΒΑ΄Γ είναι ισόπλευρο) ΑΓ=´à (γιατί το τρίγωνο ΑΑ΄Γ είναι ισόπλευρο) Α΄ Α=Β Β΄= 600 (ως γωνίες των αντιστοίχων

ισοπλεύρων τριγώνων) Από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως ΑΑ΄=ΒΒ΄. Με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι τα τρίγωνα Αôà και Α´ είναι ίσα οπότε ΓΓ΄=ΒΒ΄. Τελικά έχουμε ΑΑ΄= ΒΒ΄=ΓΓ΄.

ΑΣΚΗΣΗ 7η Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α και ΒΔ<ΓΔ. Στην προέκταση της ΑΔ παίρνουμε τμήμα ΔΕ=ΑΔ και πάνω στην ΒΓ παίρνουμε τμήμα ΔΖ=ΔΒ. Αν η ΕΖ τέμνει την ΑΓ στο Η, να δείξετε ότι:

i) Το τρίγωνο ΑΗΕ είναι ισοσκελές ii) ΑΓ>ΑΒ.

ΛΥΣΗ i) Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΖΔΕ έχουν: ΑΔ=ΔΕ (υπόθεση) ΒΔ=ΔΖ (υπόθεση) Α Β=Ζ Ε ως κατακορυφήν

Από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως ΑΒ=ΕΖ (1) και Β Δ=Δ Ζ άρα Δ Γ=Δ Ζ (αφού η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α) δηλαδή το τρίγωνο ΑΗΕ είναι ισοσκελές με ΗΑ=ΗΕ.

ii) Έχουμε ΑΓ > ΗΑ = ΗΕ και ΗΕ > ΕΖ = ΑΒ (από την (1)). Επομένως ΑΓ>ΑΒ.

Page 7: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

7 ΑΣΚΗΣΗ 8η Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και =200. Έστω σημείο Δ της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΔ = ΒΓ. Να βρεθεί η γωνία Α Β. ΛΥΣΗ Κατασκευάζουμε στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ, ισόπλευρο τρίγωνο ΒΚΓ. Λόγω του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ έχουμε

= = 2

ˆ1800 = 800, επομένως

Α Κ=Α Γ-Κ Γ = 800- 600 = 200 (1). Τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΚΓ έχουν τις τρεις πλευρές τους μία προς μία ίσες άρα είναι ίσα και Α Β = Α Γ . Ισχύει Α Β + Α Γ+ Β Γ = 3600 επομένως

Α Β = Α Γ=2

ˆ3600 = 2

60360 00 =1500 (2).

Τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΒΔ έχουν:

ΑΒ κοινή πλευρά ΒΚ = ΑΔ (γιατί ΒΚ = ΒΓ = ΑΔ) Α Κ= Β Δ=200 (από την (1)).

Από κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως Α Β= Α Β =1500 (από (2)).

Page 8: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

8 ΑΣΚΗΣΗ 9η Έστω κύκλος (Ο,R) και Α ένα σημείο εξωτερικό του κύκλου. Κατασκευάζουμε τον κύκλο (Ο, ΟΑ) και στο σημείο τομής Ε της ΟΑ με τον κύκλο (Ο,R) φέρουμε μια κάθετη ευθεία που τέμνει τον κύκλο (Ο, ΟΑ) στα σημεία Γ και Δ. Αν Β και Κ είναι το σημεία τομής των ΟΓ και ΟΔ αντίστοιχα με τον κύκλο (Ο, R), να δείξετε ότι Ο Α=900 και Ο Α = 900 (με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να φέρουμε εφαπτόμενα τμήματα από το εξωτερικό σημείο Α του κύκλου (Ο,R)). ΛΥΣΗ Τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΕ έχουν: ΟΑ = ΟΓ (ως ακτίνες του κύκλου (Ο,ΟΑ)). ΟΒ=ΟΕ (ως ακτίνες του κύκλου (Ο,R)) A B = Γ Ε (κοινή γωνία) Από κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε Ο Α= Ο Γ = 900. Με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΔΟΕ είναι ίσα, οπότε Ο Α= Ο Δ = 900

Page 9: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

9 ΑΣΚΗΣΗ 10η Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημείο Ε της ΔΓ. Φέρουμε τη διχοτόμο ΑΖ της γωνίας Ε Β που τέμνει την ΒΓ στο Ζ. Από το Δ φέρνουμε κάθετη προς την ΑΖ που τέμνει την ΑΕ στο Κ και την ΑΒ στο Λ. Να δείξετε ότι:

i) Το τρίγωνο ΔΕΚ είναι ισοσκελές. ii) Τα τρίγωνα ΑΔΛ και ΑΒΖ είναι ίσα. iii) ΑΕ = ΔΕ + ΒΖ.

ΛΥΣΗ i) Αφού η ΑΖ είναι διχοτόμος της γωνίας Ε Β, είναι Ε Ζ = Ζ Β = ω. Τότε Α Δ= 900-ω και

Α Δ Λ = ω, οπότε Λ Δ Ε = 900-ω. Όμως Α Κ Λ = 900-ω και Δ Κ Ε = 900-ω ως κατακορυφήν με την Α Κ Λ.

Άρα Δ Κ Ε = Λ Δ Ε=900-ω, δηλαδή το τρίγωνο

ΔΕΚ είναι ισοσκελές.

ii) Το τρίγωνο ΑΚΛ είναι ισοσκελές γιατί η ΑΖ είναι διχοτόμος και ύψος. Άρα ΑΛ=ΑΚ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΛΔ και ΑΒΖ έχουν

iii) ΑΔ=ΑΒ και Α Δ Λ = Ζ Β= ω, άρα είναι ίσα. Από τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΚΛ και ΔΚΕ έχουμε ΑΚ=ΑΛ και ΚΕ = ΔΕ. Επίσης από την ισότητα των τριγώνων ΑΛΔ και ΑΒΖ έχουμε ΑΛ = ΒΖ. Επομένως: ΑΕ= ΑΚ + ΚΕ = ΑΛ + ΔΕ = ΔΕ + ΒΖ.

Page 10: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

10 ΑΣΚΗΣΗ 11η

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με

A =450 και ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τα ύψη του. Αν Η το σημείο τομής των υψών του τριγώνου, να δείξετε ότι ΑΗ = ΒΓ. ΛΥΣΗ Το τρίγωνο ΑΒΕ έχει =900 και = 450 επομένως είναι ισοσκελές με ΑΕ = ΒΕ (1). Ομοίως, το τρίγωνο ΑΓΖ έχει = 900 και = 450 , άρα Α Ζ = 450. Έτσι, το τρίγωνο ΓΗΕ έχει =900 και =450 επομένως είναι ισοσκελές με ΗΕ = ΕΓ (2). Τα τρίγωνα ΑΕΗ και ΒΕΓ έχουν:

ΑΕ=ΒΕ (από (1)). ΗΕ=ΕΓ (από (2)). Α Η=Β Γ=900, δηλαδή τα τρίγωνα είναι ίσα, επομένως ΑΗ = ΒΓ.

ΑΣΚΗΣΗ 12η

Δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ με

A = A = 900. Αν ισχύουν ΑΒ > Α΄ Β΄ και

ΑΓ > Α΄ Γ΄, να δείξετε ότι ΒΓ > Β΄ Γ΄. ΛΥΣΗ

Πάνω στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε σημεία Β΄΄ και Γ΄΄ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΒ΄΄ = Α΄Β΄ και ΑΓ΄΄ = Α΄Γ΄.

Τότε τα τρίγωνα Α´ô και ΑΒ΄΄Γ΄΄ είναι ίσα γιατί έχουν = ΄ = 900, ΑΒ΄΄ = Α΄Β΄ και ΑΓ΄΄ = Α΄Γ΄. Επομένως ô´= Γ΄΄Β΄΄ (1). Τα πλάγια τμήματα Γ΄΄Β΄΄ και Γ΄΄Β ικανοποιούν τη σχέση Γ΄΄Β΄΄< Γ΄΄Β (2), γιατί οι αποστάσεις των ιχνών τους Β΄΄ και Β από το ίχνος Α της καθέτου ικανοποιούν τη σχέση ΑΒ΄΄ < ΑΒ. Ομοίως, για τα πλάγια τμήματα Γ΄΄Β και ΓΒ, ισχύει Γ΄΄Β < ΓΒ (3), γιατί ισχύει αντίστοιχα ΑΓ΄΄ < ΑΓ. Από τις σχέσεις (2), (3) και τη μεταβατική ιδιότητα, προκύπτει Γ΄΄Β΄΄ < ΓΒ άρα από την (1) έχουμε ô´< ΓΒ.

Page 11: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

11 ΑΣΚΗΣΗ 13η

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με

A < 450 και ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τα ύψη του. Αν Η το σημείο τομής των υψών του τριγώνου, να δείξετε ότι ΑΗ > ΒΓ. ΛΥΣΗ Το τρίγωνο ΑΒΕ έχει = 900 και <450 επομένως είναι Α Ε > 450. Επειδή Α Ε > ισχύει ΑΕ > ΒΕ (1). Από το τρίγωνο ΑΖΓ με = 900 και < 450 έχουμε Ε Ζ > 450. Επομένως στο τρίγωνο ΕΓΗ με = 900 και Ε Η > 450, ισχύει Ε Γ < 450, δηλαδή Ε Η > Ε Γ άρα ΕΗ > ΕΓ (2). Τώρα, στα ορθογώνια τρίγωνα ΑΕΗ και ΒΕΓ ισχύουν από (1) και (2): ΑΕ > ΒΕ και ΕΗ > ΕΓ. Από το συμπέρασμα προηγούμενης άσκησης έχουμε ΑΗ > ΒΓ

ΑΣΚΗΣΗ 14η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και παίρνουμε τυχαίο σημείο Δ της διχοτόμου ΑΚ. Να αποδείξετε ότι: ΑΓ – ΑΒ > ΔΓ – ΔΒ. ΛΥΣΗ Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΑΕ =ΑΒ. Είναι ΕΓ= ΑΓ– ΑΕ , άρα ΕΓ = ΑΓ – ΑΒ (1). Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΕ έχουν την πλευρά ΑΔ κοινή, ΑΒ=ΑΕ και 1 2

ˆ ˆΑ Α (εφόσον ΑΚ διχοτόμος).

Επομένως τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΕ είναι ίσα (ΠΓΠ) και άρα ΒΔ = ΔΕ (2). Στο τρίγωνο ΔΕΓ, σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα και τις σχέσεις (1) και (2) ισχύει: ΕΓ>ΔΓ–ΔΕΑΓ–ΑΒ>ΔΓ–ΔΒ.

Page 12: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

12 ΑΣΚΗΣΗ 15η Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με 0Α 90 και Δ, Ε τυχαία σημεία των πλευρών ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

i. Η γωνία ΒΔΓ είναι αμβλεία ii. ΟΒ > ΒΕ, όπου Ο είναι το σημείο τομής των ΒΔ και ΓΕ

iii. ΒΔ + ΓΕ > ΒΕ + ΕΔ + ΓΔ ΛΥΣΗ i. Η ΒΔΓ είναι εξωτερική γωνία του

τριγώνου ΑΒΔ. Άρα 0ΒΔΓ Α 90 , δηλαδή η ΒΔΓ είναι αμβλεία.

Προκύπτει ότι ΟΓ > ΓΔ (1). ii. Παρόμοια αποδεικνύουμε ότι και η ΒΕΓ

είναι αμβλεία, επομένως ΟΒ > ΒΕ (2).

iii. Ισχύουν : ΟΓ>ΓΔ, ΟΒ>ΒΕ και ΕΟ+ΟΔ>ΕΔ (τριγωνική ανισότητα), οπότε αν προσθέσουμε τις ανισότητες κατά μέλη προκύπτει η ζητούμενη σχέση:

ΟΓ + ΟΒ + ΕΟ + ΟΔ > ΓΔ + ΒΕ + ΕΔ, Δηλαδή: ΒΔ + ΓΕ > ΒΕ + ΕΔ + ΓΔ.

ΑΣΚΗΣΗ 16η

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με

B > 45ο και

Γ <45ο και ΑΔ το ύψος του. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ > ΒΔ β) ΔΓ >ΑΔ > ΒΔ ΛΥΣΗ

α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε:

B + 1A

=90ο. Αφού είναι

B >45ο τότε θα είναι 1A

<45ο

επομένως έχουμε ότι

B > 1A

(επειδή σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται ομοιότροπα άνισες πλευρές) τότε είναι ΑΔ >ΒΔ

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε 2A

+

=90.

Αφού είναι

<45ο τότε θα είναι 2A

>45ο επομένως έχουμε ότι

< 2A

τότε είναι ΔΓ> ΑΔ και από το (α) ερώτημα έχουμε τελικά ΔΓ >ΑΔ > ΒΔ.

Page 13: 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ …šΕΦΑΛΑΙΟ 3ο...1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ

13 ΑΣΚΗΣΗ 17η (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Μ και Κ, Λ είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές. β) Να δείξετε ότι ΜΚ = ΜΛ ΛΥΣΗ α) Αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές τότε

1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆB B B ως μισά ίσων γωνιών

αφού η ΒΜ και ΓΜ είναι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ. Αφού είναι 1 1

ˆ ˆB έχουμε ότι το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές. β) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΒΚΜ και ΛΜΓ, αυτά έχουν

ΒΚ = ΓΛ (ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ)

ΒΜ = ΜΓ (αφού το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές από το α ερώτημα)

ˆ ˆKBM M γιατί κάθε μια γωνία είναι άθροισμα ίσων γωνιών, των γωνιών Β και Γ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ και των ίσων γωνιών Β1 και Γ1.

Επομένως τα τρίγωνα είναι ίσα, συνεπώς θα είναι και ΚΜ = ΛΜ.

Οι ασκήσεις είναι από το περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β από άρθρα των μαθηματικών Πάλλα Μαρίνα – Μπρίνου Παναγιώτη – Μάγκου Θάνου – Καρδαμίτση Σπύρου