1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

(ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΝΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ )

ΘΕΜΑ Α Α1 . (i) Να αναφέρετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών . (Μονάδες 4) (ii) Να δώσετε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα και να σχεδιάσετε ένα πρόχειρο σχήμα , μιας συνάρτησης f που δεν είναι συνεχής στο διάστημα α ,β και η οποία δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές της ανάμεσα στα α , f βf . (Mονάδες 3) Μονάδες 7 Α2. Δίνονται οι παρακάτω ισχυρισμοί : Ισχυρισμός 1 : « Αν για τη συνάρτηση f , ορισμένη στο σύνολο ισχύει : χ χf ο f , για κάθε χ , τότε αναγκαστικά θα ισχύει : f χ χ , για κάθε χ .» Ισχυρισμός 2 : « Αν για την γνησίως αύξουσα συνάρτηση f , ορισμένη στο σύνολο

ισχύει : χ χf ο f , για κάθε χ , τότε αναγκαστικά θα ισχύει : f χ χ , για κάθε χ .» α . Να χαρακτηρίσετε τους παραπάνω ισχυρισμούς γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α , αν είναι αληθείς , ή το γράμμα Ψ , αν είναι ψευδείς . (μονάδα 1) β . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α . (μονάδες 3)

γ . Για να λύσουμε την εξίσωση : ημ ημχ χ , στο διάστημα π0 ,2

, σε ποιανού

ισχυρισμού την αλήθεια θα στηριχθούμε και ποιά είναι η λύση της ; (μονάδες 5) Μονάδες 9 Α3 . Nα διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού . Mονάδες 3 Α4 . Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το για την οποία ισχύουν :

η f είναι παραγωγίσιμη στο 0χ 1 η f είναι ασυνεχής στο 1χ 0 η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 2 , Ισχύουν οι ισότητες : 3 7f , 4 5f , 5 7f , 2 6f και 8 1f .

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας , δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασμένη .

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης

α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0χ 1 . β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 1χ 0 . γ) Η συνάρτηση f έχει μέγιστο και ελάχιστο στο διάστημα 10 , 15 . δ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 3 , 5 , τέτοιο , ώστε να ισχύει : ξ 0f . ε) Υπάρχει ένα τουλάχιστον 2χ 4 , 5 , τέτοιο , ώστε να ισχύει : 2χ 2f . ζ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον 3χ 2 , 8 , τέτοιο , ώστε να ισχύει : 3χ 0f . Mονάδες 6 ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι συναρτήσεις h , g με πεδία ορισμού h g 0 , και τύπους :

2h χ n χ , g χ nχ 1 .

B1 . Nα ορίσετε τη συνάρτηση f = h g . Μονάδες 3 Έστω : 2f χ n nχ 1 , όπου χ e , , o τύπος της συνάρτησης f . B2 . Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα και να βρείτε το

σύνολο τιμών της . Μονάδες 7 B3 . Να αποδείξετε ότι : h χ < 2χ , για κάθε χ > 1 (Mονάδες 3) και στη συνέχεια να αποδείξετε

ότι : 3 4 2019 2020f e f e ....... f e f e 2018 2021 . (Μονάδες 4)

(Δίνεται ότι : ν ν 1

1 + 2 + 3 +...... + ν = 2

, για κάθε φυσικό αριθμό ν )

Μονάδες 7 B4 . Nα αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα e , και με τύπο

2 χ nχ 1 n nχ 1 2 nχ + 2 n nχ 1 2 nχ n nχ 1 είναι

ισχύει : f χχ =

χ . Μονάδες 3

B5 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 2 30χ e , e τέτοιο ώστε να ισχύει :

23 2 20 0e e n nχ 1 2χ n2 1 . Μονάδες 5

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f στο για την οποία ισχύουν τα εξής :

• 3f χ f χ 18 χ 1 (1) , για κάθε χ • Η εξίσωση f χ = 0 έχει μοναδική ρίζα τη χ = 0 • Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της 0 , f 0

σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα χ χ .

Γ1 . Να αποδείξετε ότι : (α) η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική 3ου βαθμού (Μονάδες 2) και (β) 3 2f χ = χ + 3 χ + 3 χ (Mονάδες 4) . Μονάδες 6 Γ2 . Να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση 1f και να εξετάσετε αν η 1f είναι παραγωγίσιμη στο 0χ = 1 . Μονάδες 7 Γ3 . Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και 1f . Μονάδες 6

Γ4 . Να αποδείξετε ότι : 3ημ 2χ 23 χ + 1χ2 4

f , για κάθε χ 1 . Μονάδες υ6

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση f : f χ = α συνχ + β ημχ , όπου α > 1 , β > 0 είναι σταθεροί

πραγματικοί αριθμοί , ορισμένη στο διάστημα π0 , 2

για την οποία ισχύουν τα εξής :

• Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση F ορισμένη στο διάστημα π0 , 2

, με την ιδιότητα

F χ = f χ ισχύει : π 0 23

F F

.

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης

• Το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης f στα σημεία της π π, f 3 3

, π π, f

4 4

ισούται με 6 22 .

Δ1 . Να αποδείξετε ότι : (α) η συνάρτηση f αποτελεί λύση της (διαφορικής) εξίσωσης : f χ + f χ = 0 (Μονάδες 2) και (β) α = 3 , β =1 (Mονάδες 4) . Μονάδες 6 Δ2 . Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , και να βρείτε το σύνολο τιμών της . Μονάδες 7

Δ3 . Να λύσετε την εξίσωση : 1 3 5π 3 5πσυνχ + ημχ = εφ χ σφ χ3 12 3 123

στο

διάστημα π0 , 6

. Μονάδες 6

Δ4 . (α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f μπορεί να πάρει την ισοδύναμη μορφή :

f χ = κ συν χ φ , όπου κ , φ > 0 και να αποδείξετε ότι : πκ = 2 , φ = 6

.

Μονάδες 3 (Δίνεται ότι : συν α β συνα συνβ ημα ημβ , για κάθε α , β ) (β) Nα βρείτε την ελάχιστη θετική περίοδο Τ της συνάρτησης f . Mονάδες 3

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης

1ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

(ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΝΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ )

ΘΕΜΑ Α Α1 . (i) Το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών αναφέρει ότι : Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα α , β . Aν :

η f είναι συνεχής στο α , β και α f βf

τότε , για κάθε αριθμό η μεταξύ των αf και f β υπάρχει ένας , τουλάχιστον 0χ α , β

τέτοιος , ώστε : 0f χ η . (ii) Μια συνάρτηση f που δεν είναι συνεχής στο διάστημα α ,β και η οποία δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές της ανάμεσα στα α , f βf φαίνεται στο διπλανό σχήμα .

Η συνάρτηση χ , 0 χ 1

f : f χχ 2 , 1 χ 2

δεν είναι συνεχής στο διάστημα 0 , 2 διότι δεν είναι συνεχής στο 0χ 1

( χ 1 χ 1imf χ imf χ

) δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές της ανάμεσα στα

0 = 0 , f 2 4f , για παράδειγμα η εξίσωση f χ 3 είναι αδύνατη στο διάστημα 0 , 2 . Α2. Ο Ισχυρισμός 1 είναι ψευδής , διότι αν θεωρήσουμε άπειρες συναρτήσεις της μορφής f : f χ α χ , όπου α , τότε ισχύει χ f α χ α α χ χf ο f , αλλά

δεν ισχύει f χ χ , για κάθε χ .

Ο Ισχυρισμός 2 είναι αληθής , διότι αν υποθέσουμε ότι f χ χ , για κάθε χ , τότε

θα ισχύει : f χ χ , για κάθε χ ή f χ χ , για κάθε χ .

o Αν f

f χ χ f f χ f χ χ f χ

, το οποίο είναι άτοπο .

o Αν f

f χ χ f f χ f χ χ > f χ

, το οποίο είναι άτοπο .

Άρα f χ χ , για κάθε χ .

Για να λύσουμε την εξίσωση : ημ ημχ χ , στο διάστημα π0 ,2

, θα στηριχθούμε στην

αλήθεια του Ισχυρισμού 2 , διότι αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f : f χ ημχ στο διάστημα

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης

π0 ,2

, η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο π0 ,2

, τότε έχουμε :

χ χ ημ ημχ χ ημχ χ χ 0f ο f . Α3 . To Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού είναι το παρακάτω : Aν μια συνάρτηση f είναι :

• συνεχής στο κλειστό διάστημα α , β • παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α , β

τότε υπάρχει ένα , τουλάχιστον , ξ α , β τέτοιο , ώστε : f β f αf ξ

β α

.

Α4 . α) Σωστό αφού η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0χ 1

β) Λάθος αφού η συνάρτηση f είναι η f είναι ασυνεχής στο 1χ 0 γ) Σωστό , αφού η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 2 , , άρα και συνεχής στο διάστημα 10 , 15 2 , , με εφαρμογή του Θεωρήματος Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής . δ) Σωστό , αφού ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle για τη συνάρτηση f στο διάστημα 3 , 5 . ε) Σωστό , αφού ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Μ .Τ για τη συνάρτηση f στο διάστημα 4 , 5 . ζ) Σωστό , αφού ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για τη συνάρτηση f στο διάστημα 2 , 8 . ΘΕΜΑ Β

B1 . Ισχύει : f g hχ χ ,g χ χ χ > 0 , nχ 1 0 χ e/ / e , .

Ορίζεται η συνάρτηση f με τύπο : 2f χ h g χ h g χ n nχ 1 , χ e , .

Έστω : 2f χ n nχ 1 , όπου , o τύπος της συνάρτησης f . B2 . H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο διάστημα e , ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων με

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης

nχ 1 2 n nχ 1f χ 2 n nχ 1

nχ 1 χ nχ 1

. Έχουμε :

22 n nχ 1f χ 0 0 nχ 1 1 nχ 2 χ e .

χ nχ 1

Για 2e < χ < e 1 nχ 2 0 nχ 1 1 f χ 0 , δηλαδή η συνάρτηση f

είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 2e , e , ενώ για

2χ e nχ 2 nχ 1 1 f χ 0 , δηλαδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 2e , . Για 2χ e η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο

το 2 2 2 2f e n ne 1 n 1 0 . Για το σύνολο τιμών της συνάρτησης f έχουμε :

• 2

2

χ eχ ef e , e im f χ , im f χ 0 ,

, διότι

nχ 1 u

2 2

χ e χ e u 0im f χ im n nχ 1 im n u

.

2 2

χf e , f e , im f χ 0 ,

, διότι

nχ 1 u

2 2

χ χ uim f χ im n nχ 1 im n u

. Άρα το σύνολο τιμών της

συνάρτησης f είναι το 0 , .

B3 . Αρκεί να δείξουμε ότι : 2n χ < 2 χ , για κάθε χ > 1 . Θεωρούμε τη συνάρτηση 2φ : φ χ n χ 2 χ , χ 1 η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 1 , ως διαφορά και

σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων με 2 nχ χ2 nχφ χ 2 = 0χ χ

, διότι

από γνωστή εφαρμογή του βιβλίου ισχύει : nχ χ 1 , για κάθε χ > 0 . Άρα για κάθε χ > 1 φ χ φ 1 2 , άρα φ χ 0 . Έχουμε

3 2 3 2

4 2 4 2

2019 2 2019 2

2020 2 2020 2

f e n ne 1 n 2 2 2

f e n ne 1 n 3 2 3

....................................

.....................................

f e n ne 1 n 2018 2 2018

f e n ne 1 n 2019 2 2019

( )

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης

3 4 2019 2020

2018 1009 ζεύγη2

f e f e ....... f e f e 2 2 3 ... 2018 2019

2 2 2019 3 2018 ..... 1010 1011 2 1009 2021 2018 2021.

B4 . Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα e , ως άθροισμα , γινόμενο και σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων με

2 2

2

2

nχ 1 χ nχ 1 n nχ 1 nχ 1 n nχ 1 2 nχ 2

nχ 1

n nχ 12 nχ n nχ 1 2 nχ n nχ 1

χ

nχ 1 2 2 22 nχ 1 n nχ 1 n nχ 1nχ 1 χ χ nχ 1 χ

nχ 1 n nχ 1 2 2 22 nχ n nχ 1nχ 1 χ χ χ χ nχ

2

1

2 nχ n nχ 1 f χ2 n nχ 1 .χ χ nχ 1 χ χ

B5 . Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα 2 3e , e και παραγωγίσιμη στο διάστημα

2 3e , e , άρα από το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού θα υπάρχει ένα τουλάχιστον 2 3

0χ e , e τέτοιο ώστε να ισχύει :

3 2 3 20

0 03 2 3 20

e e e ef χχ κ χ

e e χ e e

(1) , όπου

3 3 2 3 3 3 3 3

2 2

e ne 1 n ne 1 2 ne + 2 n ne 1 2 ne n ne 1

2 n 2 6 2 n2 6 n2 2 n 2 4 n2 + 6 και

2 2 2 2 2 2 2 2

n1 02

e ne 1 n ne 1 2 ne + 2 n ne 1 2 ne n ne 1

1 n 1 4 2 n1 4 n1 4 .

Από τη σχέση (1) παίρνουμε :

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης

2 220 0

3 2 3 20 0

23 2 20 0

f χ 2 n2 1 n nχ 1 2 n2 1χ e e χ e e

e e n nχ 1 2χ n2 1 .

ΘΕΜΑ Γ Γ1 . (α) Αφού η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική νβαθμού θα έχει τη γενική μορφή : ν ν 1

ν ν 1 1 0f χ α χ α χ ..... α χ α , όπου ν ν 1 1 0α , α ,....., α , α , με να 0 ,

για κάθε χ , με ν 1 ν 2ν ν 1 1f χ ν α χ ν 1 α χ ..... α

, ν 1 βαθμού και

με ν 2 ν 3ν ν 1 2f χ ν ν 1 α χ ν 1 ν 2 α χ ..... 2α

, ν 2 βαθμού .

Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι :

3βαθμός f χ f χ βαθμός 18 χ+1 3 βαθμός f χ βαθμός f χ 3 ,

οπότε τελικά παίρνουμε : ν 2 ν 1 3 2 ν = 6 ν = 3 . , δηλαδή η

συνάρτηση f είναι πολυωνυμική 3ου βαθμού .

(β) Η συνάρτηση f έχει γενικό τύπο : 3 2f χ α χ β χ γ χ δ , όπου α 0 και .

Η εξίσωση f χ = 0 έχει ρίζα τη χ = 0 , άρα f 0 = 0 δ = 0 2f χ 3α χ 2β χ γ , f χ 6α χ + 2 β , οπότε από την ισότητα (1) προκύπτει ότι :

3 3 2

2 3 2

2 3 2 2 3 2

2

2

f χ f χ 18 χ + 1 18 χ 54 χ 54 χ 18

3α χ 2β χ γ 6α χ 2β 18 χ 54 χ 54 χ 18

18α χ 18αβ χ 4β 6αγ χ +2β γ = 18 χ 54 χ 54 χ 18

18 α 1818 αβ 54

4β 6 αγ 542β γ 18

α 1 , β 3 , γ 3 ή α 1 , β 3 , γ 3

Με βάση τα παραπάνω παίρνουμε : 3 2f χ = χ + 3 χ + 3 χ ή 3 2f χ = χ 3 χ 3 χ ,

αλλά επειδή ισχύει f 0 > 0 η περίπτωση της συνάρτησης 3 2f : f χ = χ 3 χ 3 χ

απορρίπτεται , διότι f 0 = 3< 0 , άρα 3 2f χ = χ + 3 χ + 3 χ .

Γ2 . Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο , διότι έχει 2f χ = 3 χ +1 0

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης

για κάθε χ με f 1 = 0 , οπότε είναι 1—1 , άρα αντιστρέφεται , με

1fχ χf , = im f χ , im f χ , .

Έχουμε :

3 33 2

3 31

3 3

f χ = ψ = χ + 3 χ + 3 χ = χ +1 1 χ +1 ψ 1

χ ψ 1 1 , αν ψ 1 χ 1 1 , αν χ 1f χ

χ ψ 1 1 , αν ψ < 1 χ 1 1 , αν χ < 1

Έχουμε :

1 1 3 3

3 2χ 1 χ 1 χ 1 χ 13 3

f χ f 1 χ 1 χ 1 1im im im imχ 1 χ 1 χ 1 χ 1

,

διότι 23χ 1

im χ 1 0

και 23 χ 1 0 ΄΄κοντά΄΄ στο 0χ = 1 , άρα η συνάρτηση 1f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0χ = 1 . Γ3 . Θέλουμε να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης 1f χ f χ , όπου 1f f

χ Α . Αρχικά θα αποδείξουμε ότι , επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο , οι εξισώσεις 1f χ f χ και f χ χ είναι ισοδύναμες .

Έστω ότι 1f χ f χ , για κάθε χ και f χ χ . Τότε θα ισχύουν : f χ < χ , για κάθε χ ή f χ > χ , για κάθε χ .

• Αν

1 1 1χ f χ f χ f χ

1 1f χ < χ f f χ < f χ χ < f χ , άτοπο .

• Αν

1 1 1χ f χ f χ f χ

1 1f χ > χ f f χ > f χ χ > f χ , άτοπο .

Γεωμετρικά λοιπόν αποδείξαμε ότι τα σημεία τομής των 1,f fC C , εάν

υπάρχουν , θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία ψ χ (και μόνο πάνω σ ’ αυτήν) .

3 2 2f χ = χ χ + 3 χ + 3 χ = χ χ χ + 3 χ + 2 0

χ χ + 1 χ + 2 0 χ = 0 ή χ = 1 ή χ = 2 .

Τα σημεία τομής των 1,f fC C είναι τα 0 , 0 , 1 , 1 και 2 , 2 .

Γ4 . Αρκεί να αποδείξουμε ότι : 3 3ημ 2 χ + 13 χ + 1 2χ + 1 1

2 4

(2)

Θέτουμε : χ +1 = u 0 , άρα από τη σχέση (2) , αρκεί να αποδείξουμε ότι : 3 3 33 ημ 2u3 u 2u 1 4u 6u 3ημ 2u 4u 6u 3ημ 2u 0

2 4

(3) , για κάθε

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης

u 0 . Θεωρούμε την συνάρτηση 3g : g u = 4 u 6 u 3 ημ 2u , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 0 , ως άθροισμα και σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων με 2g u = 12 u 6 6 συν 2u , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 0 , με g u = 24 u 12 ημ 2u 12 2 u ημ 2u 0 , διότι ισχύει :

2 u ημ 2u 2 u , για κάθε u 0 . Έχουμε g 0 = 0 , άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο 0 , , οπότε για κάθε u 0 g u g 0 = 0 , άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο 0 , , οπότε για κάθε

u 0 g u g 0 = 0 .

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση f : f χ = α συνχ + β ημχ , όπου α > 1 , β > 0 είναι σταθεροί

πραγματικοί αριθμοί , ορισμένη στο διάστημα π0 , 2

για την οποία ισχύουν τα εξής :

Δ1 . (α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα π0 , 2

ως άθροισμα

παραγωγισίμων συναρτήσεων με f χ = α ημχ + β συνχ , καθώς επίσης και

f χ = α συνχ β ημχ = f χ f χ f χ 0 .

(β) Έχουμε F χ = f χ = α συνχ + β ημχ F χ α ημχ β συνχ c , όπου c .

π π π F χ = f χ = α συνχ + β ημχ F F 0 2 α ημ β συν + β = 23 3 3

3 1α β + β = 2 3 α + β 4 (1) .2 2

Επειδή το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης f στα σημεία της π π, f 3 3

, π π, f

4 4

ισούται με 6 22 , τότε

ισχύει :

π π 6 2 π π π π 6 2f f α ημ β συν α ημ β συν4 3 2 4 4 3 3 2

2 3 β 2α + β α + 3 1 α + β 3 α + β 2 3 1 . 2 2 2 2

(2)

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων : 3 α + β 4 (1) και α + β 3 α + β 2 3 1 (2) . Από την (1) παίρνουμε : β 4 3 α οπότε η

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης

(2) γίνεται : 22 α + 4 3 α 2 3 α 2 3 1 3 + 3 α 2 1 3 3 α + 9 3 0 (3)

Η εξίσωση (3) έχει 2Δ = 4 1 3 3 4 3 3 9 3 16 και ρίζες τις

2 1 3 3 + 4 3 1 3α = = 3 1

2 3 + 3 3 1 + 3

, άρα δεκτή και

2 1 3 3 4 3 3 1α = 13 + 32 3 + 3

, αφού 3 3 1 3 + 3 2 3 4 3 2 , το οποίο

ισχύει , άρα η λύση αυτή απορρίπτεται . Με α 3 από την εξίσωση (1) παίρνουμε : β 1 . Δ2 . Με α 3 και β 1 έχουμε : f χ = 3 ημχ + συνχ = 0 συνχ 3 ημχ . Αν

πχ 0 , ημχ 02

, άρα πσφχ 3 χ

6 . Για χ 0 f 0 1 . Επειδή η

συνάρτηση σφχ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα θα ισχύουν :

• Για ημχ 0π π0 < χ σφχ σφ = 3 συνχ 3 ημχ f χ 0

6 6

, δηλαδή η

συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα π0 , 6

.

• Για ημχ 0π π π < χ σφχ < σφ = 3 συνχ < 3 ημχ f χ 0

6 2 6

, δηλαδή η

συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π π , 6 2

. Η συνάρτηση f

παρουσιάζει στο 0πχ6

τοπικό μέγιστο το

π π π 3 1f 3 συν ημ 3 26 6 6 2 2

και επειδή f 0 3 2 , πf 1 2

2

, η τιμή 2 είναι το ολικό μέγιστο της συνάρτησης f , ενώ η τιμή 1 είναι το ολικό ελάχιστο

της συνάρτησης f , άρα ισχύει : πf 0 , 1 , 22

.

Δ3 . Ισχύει : π π 5π π 5π 5π 5π 0 χ χ 0 χ εφ χ 06 6 12 6 12 12 12

Έχουμε ισοδύναμα : 5π 13 συνχ + ημχ = εφ χ f χ g χ5π12 εφ χ12

, όπου

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης

5π 1g χ εφ χ 5π12 εφ χ12

. Από το ερώτημα Δ2 αποδείξαμε ότι στο διάστημα π0 , 2

ισχύει : f χ 2 . Γνωρίζουμε από γνωστή εφαρμογή της Α΄ Λυκείου ότι για κάθε α 0 , άρα

και 5πα εφ χ 012

ισχύει : 1α + 2α με την ισότητα να ισχύει για α =1 . Οπότε έχουμε :

f χ 2 g χ f χ 2 πχ (μοναδική λύση) .6f χ g χ g χ 2

Δ4 . (α) Έχουμε :

1 πf χ = 3 συνχ + ημχ = 3 συνχ ημχ 3 συνχ εφ ημχ63

π π πημ συνχ συν ημ ημχ 3 π π6 6 63 συνχ ημχ 3 συν χ 2 συν χπ π 6 63συν συν6 6 2

, άρα πκ = 2 , φ = 6

.

(β) Αναζητούμε τον ελάχιστο αριθμό > 0 για τον οποίο ισχύει :

κ 0

min

π πf χ + = f χ 2 συν χ + 2 συν χ6 6

π πχ + 2κ π χ , κ 2κ π 2π6 6 ή

π πχ + 2κ π χ + , κ6 6

ήπ2κ π 2χ + , κ αδύνατη3

Askisopolis

Μάνος Μαυρογιάννης