1

Τρίτη, 22 ∆εκεµβρίου 2009.

∆Ε για Ποσοστό.

Έστω ( )1 2, , , ~vX X X Bernoulli p… . Ζητείται ένα ∆Ε για το p.

Λύση:

Μία Ε.Μ.Π. για το p είναι η:

�

1

1 v

i

i

p x xv =

= = ∑

Θέτουµε: 1

v

i

i

Y x=

=∑

( )~ ,Y Binomial v p ⇒

( )E Y vp= και ( ) ( )1V Y vp p= −

Από το Κ.Ο.Θ. γνωρίζουµε ότι ( )( ) ( )

( )~ 0,11

Y E Y Y vpN

V Y vp p

− −= ⇒

−

( )2 2

Pr1

a a

Y vpz z

vp p

− − ≤ ≤ = −

( )2 2

Pr1

a a

Yp

vz zp p

v

− − ≤ ≤ = −

( ) 2

Pr1

a

Yp

v zp p

v

− ≤ = −

( )( ) ( )

2

2

2

Pr1 a

Y pv

zp p

v

−

≤ = −

( ) ( ) ( )22

2

1Pr 0

a

p pY p z

v v

− − − ≤ =

* Κεντικό Οριακό Θεώρηµα

Ασυµπτωτικό Αποτέλεσµα

Όταν έχουµε 1 2, ,...,v

X X X ανεξάρτητες και ισόνοµες τ.µ. από κατανοµή µε

κοινό ( )i

E X µ= και ( ) 2

iV X σ= , τότε ο δειγµατικός µέσος ακολουθεί

ασυµπτωτικά ( )v →∞ τυποποιηµένη κανονική κατανοµή:

( )~ 0,1 ,X

N v

v

µσ−

→ ∞

2

( ) ( ) ( )2 2

22 22 22

Pr 0a a

z zYpY p p p

v v v v

− + − + ≤ =

( )�

( )�

2 2

222 2Pr 1 2 0 1

a az z

p p p p av v

+ − + + ≤ = −

(1)

Οι ρίζες του τριωνύµου στην (1) είναι:

�( ) � �( ) ( )

( )

2 2

2 2

22

1 2 2

2

1

2 4,

1

a a

a

a

z zp pp z

v v vp p

z

v

−+ +

=

+

∓

, και προσδιορίζουν τα άκρα του

∆Ε.

Όταν 0v >> , τότε:

�� �( )

1 22

1,

a

p pp p p z

v

−= ∓ και το ∆Ε είναι:

�� �( )

�� �( )

2 2

1 1,a a

p p p pp z p z

v v

− − − +

οπότε η (1) γίνεται:

�

� �( )2 2

Pr 1

1a a

p pz z a

p p

v

−− ≤ ≤ = −

−

. Αν επιλύσουµε την ανισότητα ως προς p,

� ( ) � ( )2 2

1 1Pr 1

a a

p p p pp z p p z a

v v

− −− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ = −

Εποµένως ∆Ε 100(1-α)%= �( ) � ( )

2 2

1 1,

a a

p p p pp z p z

v v

− −− ⋅ + ⋅

∆ιάστηµα Εµπιστοσύνης για τη ∆ιαφορά δύο ποσοστών.

Έστω ( )11 2 1

, , , ~v

X X X Bernoulli p… και ( )21 2 2

, , , ~v

W W W Bernoulli p…

Ζητείται ∆.Ε. για το 1 2p p− .

3

� 1

v

i

i

xY

pv v

== =∑

1

2

Y

Y

→

→, όπου

1

2

1

1

2

1

v

i

i

v

i

i

Y x

Y w

=

=

=

=

∑

∑

( )1~ ,

p pYN p

n n

−

( )( )

1 1 1

2 1 1

~ ,

~ ,

Y Bin v p

Y Bin v p

⇒

⇒

( )( )

1 1 1

2 2 2

E Y v p

E Y v p

=

=

( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1

2 2 2 2

1

1

V Y v p p

V Y v p p

= −

= −

Η τ.µ. 1 2

1 2

Y Y

v v− έχει:

1 2

1 2

Y YE

v v

− =

1 2

1 2

Y YE E

v v

− =

[ ] [ ]1 2

1 2

1 1E Y E Y

v v− =

1 1 2 2

1 2

1 1v p v p

v v− =

1 2p p− , άρα είναι µια αµερόληπτη εκτιµήτρια για τη διαφορά ποσοστού

1 2p p− .

1 2

1 2

Y YV

v v

− =

1 2

1 2

Y YV V

v v

+ =

[ ] [ ]1 22 2

1 2

1 1V Y V Y

v v+ =

( ) ( )1 1 1 2 2 22 2

1 2

1 11 1v p p v p p

v v− + − =

( ) ( )1 1 2 2

1 2

1 1p p p p

v v

− −+ .

Από το Κ.Ο.Θ. (για ν>30), έχουµε ότι:

( )

( ) ( )( )

1 21 2

1 2

1 1 2 2

1 2

~ 0,11 1

Y Yp p

v vN

p p p p

v v

− − −

− −

+

ασυµπτωτικά.

( )

( ) ( )

1 21 2

1 2

21 1 2 2

1 2

Pr1 1

a

Y Yp p

v vz

p p p p

v v

− − − ≤ = − − +

( ) ( ) ( )1 1 2 21 21 2

21 2 1 2

1 1Pr a

p p p pY Yp p z

v v v v

− − − − − ≤ + =

( ) ( ) ( )1 1 2 21 21 2

21 2 1 2

1 1Pr 1a

p p p pY Yp p z a

v v v v

− − − − − ≤ + = − ⇒

…….

( )

1 1 2 2

1 1 2 21 21 2

21 2 1 2

1 1

1 % , ,a

Y Y Y Y

v v v vY Ya z v v

v v v v

− − − ∆Ε = − ± +

µεγάλα.

4

Άσκηση (Παλιό Θέµα και µέρος Θέµατος Σεπτ 2009)

Έστω από 1 2, , , vX X X… τ.δ. από κατανοµή µε σ.π. ( ) 1; ,0 1f x x xθθ θ −= < < .

α) Να βρεθεί η εκτιµήτρια ροπών του θ, θ και η Ε.Μ.Π. του 1θ , έστω δ.

β) Να βρεθεί ∆Ε για το θ (Υπόδειξη: 2

22 ~ vY vθδ= X ,

( )( )

1~ ,v

v yY Gamma v y e

v

θθθ − −=

Γ

γ) Αν ένα τ.δ. από την παραπάνω κατανοµή έδωσε τις τιµές 0,2ix = , 0,7,

0,3, 0,4, 0,9, ποιο θα είναι το ∆.Ε. για το θ, µε σ.ε. 95%; ∆ίνονται

( )2

0,975 10 3,24=X , ( )2

0,025 10 20,48=X .

Λύση:

α) Μέθοδος των ροπών: Μία παράµετρος ροπής πρώτης τάξεως:

( ) ( )1

0

E x xf x dx= =∫

1

1

0

x x dxθθ − =∫

1

0

x dxθθ =∫

11

01xθθ

θ+ = +

1

θθ +

άρα 1

xθ

θ= ⇒

+ x xθ θ= + ⇒ ( )1x x xθ θ θ− = − = ⇒

1

x

xθ =

−

Θα βρω την εκτιµήτρια του θ και µετά, µέσω του αναλλοίωτου, θα βρω για την

1θ .

Άρα ( ) ( );L f xθ θ= = ( )1

;v

i

i

f x θ=

=∏ 1

1

v

i

i

xθθ −

=

=∏

1

1

vv

i

i

x

θ

θ−

=

∏

( ) ( )1

1

ln lnv

v

i

i

l L x

θ

θ θ θ−

=

= = =

∏ ( )

1

ln 1 lnv

i

i

v xθ θ=

+ − =

∏

( )1

ln 1 lnn

i

i

v xθ θ=

+ − ∑

( )l θθ

∂=

∂

( )1

ln 1 lnn

i

i

v xθ θ

θ=

∂ + − =

∂

∑

1

ln 0v

i

i

vx

θ =

+ = ⇒∑ 1

lnv

i

i

vx

θ =

= − ⇒∑

ɵ

1

lnv

i

i

v

x

θ

=

= − ⇒

∑ ( )

ɵ1

ln1

v

i

i

x

Xv

δ δθ

== = = −∑

β) Έστω lnW x= −

( ) ( )PrWF W W w= ≤ = ( )Pr ln x w− ≤ = ( )Pr wx e

−> = ( )1 Pr wx e

−− ≤ =

( )1 w

XF e−−

5

Άρα ( ) ( )W W

df W F W

dw= = ( )1 w

X

dF e

dw

− − = ( ) ( )w w

Xe f e− −− − =

( )1wwe e

θθ − −− = w w we e e

θθ− − = we

θθ − ⇒ ( ) w

Wf W e

θθ −= ( )exp θ→

( )ln ~ expi iW x θ= −

[ ]1

lnv

i

i

T x=

= − =∑ ( )1

ln ~ ,v

i

i

x Gamma v θ=

−∑ (άθροισµα εκθετικών

ακολουθεί κατανοµή Γάµµα)

2Y vθδ= = 1

2 lnv

i

i

v xθ=

− =

∑ 2

Tv

vθ = 2 Tθ

* ( ) ( )PrYF y Y y= ≤ = ( )Pr 2 T yθ ≤ = Pr2

yT

θ ≤ =

2

T

yF

θ

* ( ) 1

2 2Y T

yf y f

θ θ = =

( )

1

21 1

1

2 2

yv v

v v

ye

v

θθθ

θ θ

− −

− − =Γ

( ) ( )1 21 1~ ,

22

y

v

vy e Gamma v

v

−−

Γ

( )2

2

1,2 ~

2v

v Γ

X

Άρα ( )2

22 ~

vY vθδ= X

2 2

,2 1 ,22 2

Pr 1a av v

Y a−

≤ ≤ = − ⇒

X X 2 2

,2 1 ,22 2

Pr 2 1a av v

T aθ−

≤ ≤ = − ⇒

X X

2 2

,2 1 ,22 2Pr 1

2 2

a av v

aT T

θ−

≤ ≤ = −

X X

Άρα ∆.Ε.100(1-α)%=

2 2

,2 1 ,22 2,

2 2

a av v

T T

−

X X

γ) 1

ln 4,19v

i

i

T x=

= − =∑ , ν=5

∆.Ε. 95%= ( ) ( )2 2

0,025,10 1 0,025,10,

2 4,19 2 4,19

−

= ⋅ ⋅

X X

[ ]3,24 20,48, 0,3866;2,4439

8,38 8,38

=