2 Thermodynamik (Thermodynamics)eitidaten.fh-pforzheim.de/daten/mitarbeiter/blankenbach/... · mit...

Informationstechnik SG Mechatronik

Blankenbach / Thermodynamik / SS 2015 1

2 Thermodynamik (Thermodynamics)

Aufgabe : Beschreibung makroskopischer (c, α, λ, k, ...) Materieeigenschaften durch

physikalische Größen aus Kristallgitter, Atom- und Moleküleigenschaften.

Beispiele : spezifische Wärmeleitfähigkeit, molare Wärmekapazität, …

Grundlage Statistik, da sonst pro Mol ca. 1025 Gleichungen zu lösen wären !

Bsp: Wärmekapazität c Gase pro Freiheitsgrad TkB21 → c = c(T)

c1atomig = TkB23 : 3 x Translation, z.B. He

c2atomig = TkB25 : 3 x Translation + 2 x Rotation, z.B. H2

Aus Einleitung:



Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Geschwindigkeit von Gasmolekülen

Wahrscheinlichkeitsverteilung (aus statistischer Physik) als Grundlage der Thermodynamik

mit Näherung „Ideales Gas“.

Geschwindigkeitsverteilung für Stickstoff (macht ca. 80% der Luft aus, , Quelle Wikipedia)

wird durch Gauß-Formel (e-cv²) beschrieben)

Mittlere Geschwindigkeit: �∅ �� mit

- kB = 1,38 10-23 J/K (Boltzmann-Konstante)

- R= NA kB = 8,3 J / mol K (Gaskonstante, NA = 6 1023 1/mol, Avogadro-Konstante)

- m: Teilchenmasse; M: molare Masse (N2 = 28 g/mol)

Für Stickstoff ergibt sich bei 300 K: v∅ ≈ 475 m/s, aber ein nennenswerter Anteil erreicht auch

das Doppelte und mehr (siehe Diagramm).



2.1 System-Definitionen

Thermodynamische Systeme sind Materieansammlung, deren Eigenschaften durch

Zustandsvariablen (z.B. V, E, T, p, z.B. p V = N R T Ideales Gas) beschrieben werden

können.

System Definition Formel Beispiel

Ab- geschlossenes System

keine Wechselwirkung (Ww)

oder Materieaustausch

(Teilchenzahl konstant) mit

der Umgebung;

Gesamtenergie (mechanisch,

elektrisch, ...) konstant

- Eges = W = const - n = const.

Technisch angenähert

durch Dewar-Gefäß

(Thermoskanne)

kein Wärmetransport

durch Strahlung oder

Wärmeleitung

Geschlossenes

System

Energieaustausch mit der

Umgebung zugelassen,

jedoch kein Materieaustausch

- Eges = W ≠≠≠≠ const. - n = const

Wärmebad,

Kühlkörper

Offenes

System

Energieaustausch und

Materieaustausch mit der

Umgebung zugelassen

- Eges = W ≠≠≠≠ const - n ≠≠≠≠ const

Gehäuse mit Lüfter

wie geschlossenes

System mit

Materialtransport



2.2 Zustands-Definitionen

• Gleichgewichtszustand

- Zustand, welcher sich von selbst einstellt

- 'Hineinlaufen' in den Gleichgewichtszustand meist ‘komplex’ (s.u. *)

Bsp: Thermisches Gleichgewicht:

Zusammenbringen zweier Teilsysteme im energetischem Kontakt

(kein Materieaustausch), bis keine Energie mehr fließt

(Nullter Hauptsatz der Thermodynamik),

z.B. taktile Temperaturmessung (s.u. **)

• Stationärer Zustand

wie Gleichgewichtszustand aber mit Energiefluß

Bsp: - Warmhalteplatte T = const, aber elektrische Energiezufuhr

- Aufheizen Elektronikgehäuse (s.o.)

Beispiel : Gleichgewichtszustand (Steady State, Equilibrum) und das Hineinlaufen (*)

In eine Wanne werden aus einem Bottich 50 l mit 20 °C kaltem Wasser hineingegossen. Es

werden dann mit einem anderen Bottich 50 l mit 40 °C dazugegeben. In der Badewanne

befinden sich nach Durchmischen 100 l Wasser mit einer Temperatur von 30 °C.

Der Anfangs- (2* 50 l, 20 bzw. 40°C) und Endzustand (100 l mit 30°C) ist leicht berechenbar.

Unberechenbar ist hingegen das Hineinlaufen in den Gleichgewichtszustand, d.h. die

zeitliche und räumliche Verteilung der Temperatur. Die Wasserströme können beispielsweise

mit gefärbten Wasser sichtbar gemacht werden (weiteres Beispiel: Milch in Kaffee gießen

ohne Umzurühren ergibt minutenlanges Strömen der Milch vor Gleichgewichtsverteilung).

Ferner ist es nicht möglich, den ursprünglichen Zustand (2 Bottiche mit je 50 l und 20 bzw. 40

°C) aus dem Gemisch zu extrahieren. Das Zusammengießen stellt also einen irreversiblen

Prozess (s.u.) dar.



Beispiel : Thermisches Gleichgewicht (**) (Thermal Equilibrum, - Balance)

Die Temperaturmessung mit einem Thermometer geschieht dadurch, daß das zu messende

Objekt in Kontakt mit dem Temperaturfühler gebracht wird. Nach einer gewissen Zeit stehen

Objekt und Fühler im thermischen Gleichgewicht, d.h. sie besitzen dieselbe Temperatur.

Dieser Prozess, der einem Mischen entspricht, verfälscht das Messergebnis:

Konkretes Beispiel: Die Temperatur von 1 l Luft mit 330 K (z.B. per Infrarot-Messung

bestimmt) soll mit einem Temperaturfühler aus Metall, der eine Temperatur von 300 K

aufweist, gemessen werden. Wie groß ist die gemessene Temperatur in diesem Extremfall:

aus (WL - 1') FFLL

FFFLLLMisch mcmc

TmcTmcT

+

+=

hier : - Luft mL = 1,2 g ; cL = 1 J/gK

- Fühler mF = 10 g ; cF = 0,5 J/gK

→ K52,1

30053302,1TMisch

+

⋅+⋅= = 306 K

Damit der Fehler also klein bleibt, darf muß 'Beitrag' des Fühlers genügend klein sein !

Rein rechnerisch (theoretisch) könnte die wahre Lufttemperatur errechnet werden: nach TL

auflösen, Tmisch wurde gemessen, ‚Rest’ bekannt. Nachteile: Luft wird abgekühlt,

Messgenauigkeit relativ gering.



2.3 Hauptsätze der Thermodynamik

• Nullter Hauptsatz der Thermodynamik

Alle Systeme, die mit einem System im thermischen Gleichgewicht stehen, sind auch

untereinander im thermischen Gleichgewicht.

Zur Erlangung des thermischen Gleichgewichtes findet solange ein Wärmetausch

(-transport) statt, bis die Temperaturen der betroffenen Systeme gleich sind.

Das ist der Fall bei taktilen (berührenden) Temperaturmessungen!

Dies gilt auch für

mehrere Körper

(Systeme).

Achtung : Die

‚Umwelt’ ist hier

nicht betrachtet !

Zur Verdeutlichung als Ring →

• Erster Hauptsatz (law) der Thermodynamik

Die Änderung der Inneren Energie U eines Systemes bei einer beliebigen

Zustandsänderung ist die Summe der mit der Umgebung ausgetauschten Arbeit W und

der Wärme Q :

U = W + Q . Üblich ist die differentielle Formulierung :

Innere Energie

= 'Mechanische Arbeit + Wärmemenge'

dU = dW + dQ

(WL - 16)

dW < 0 : Arbeit, welche vom System geleistet wird

dW > 0 : Arbeit, welche am System geleistet wird, z.B. Luftpumpe wird warm

Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art!

(Maschine, welche dauernd Arbeit leistet, ohne die Umgebung zu verändern)

Innere Energie gibt’s auch in der Elektrotechnik :

Entladen Akku (reversibel), Batterie (irreversibel)

ThermischesGleichgewicht

Alle untereinander im thermischen Gleichgewicht



• Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

Wärme kann nur dann in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein Teil der Wärme von

einem wärmeren auf einen kälteres System übergeht (Wärmekraftmaschine).

Wärme kann von einem kälteren auf ein wärmeres System nur mittels mechanischer

Arbeit übertragen werden (Kältemaschine).

Folgerung:

Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art

Durch Abkühlung kann Wärme nicht zu 100% in Arbeit umgewandelt werden

('Ein Körper kann nicht durch selbsttätige Abkühlung in die Luft springen')

physikalische Formulierung über Entropie S (Maß für Ordnung)

Entropie (Entropy)

[ ]K

JS =

TQd

Sd =

(WL - 17)

Je größer die Entropie S, desto größer die 'Unordnung'

Fälle: dS = 0 reversibler Prozess, kann in beide Richtungen ablaufen

dS > 0 irreversibel, Prozess läuft nur in eine Richtung ab, Unordnung nimmt zu

dS < 0 nur möglich, wenn von außen Energie zugeführt wird. Ordnung kann also nur

durch Energieaufwand erzeugt werden !

Abgeschlossene Systeme streben einen Gleichgewichtszustand an, der durch ein Maximum

der Entropie gekennzeichnet ist.

Mechanische und elektrische Systeme streben ein Minimum an potentielle Energie an (Stein

fällt zur Erde / Ladungsdifferenzen gleichen sich aus)

Alle Naturvorgänge verlaufen so, dass die gesamte Entropie aller beteiligten Systeme

zunimmt.



Beispiele :

- Durch Expansion des Weltalls wird dessen Ordnung kleiner, S nimmt also zu

- Zusammenmischen zweier Wassereimer erhöht die Unordnung, da zuvor zumindest

der Ort der Moleküle (Eimer 1 oder 2) festgelegt war, danach kann dies nicht mehr

'gesagt' werden (s.o.)

Alternative Formulierung 2. Hauptsatzes dS ≥≥≥≥ 0

(WL - 18)

• Dritter Hauptsatz der Thermodynamik

Die Entropie am absoluten Nullpunkt ist Null: S(0K) = 0 J/K

Folgerungen:

- die spezifische Wärmekapazität im Nullpunkt ist Null c (T=0) = 0

- der absolute Nullpunkt ist experimentell nicht erreichbar, 'Rekord' ≈ 10-6 K

2.4 Zustandsänderungen

• reversibel

Durch Umkehr der Ablaufrichtung wird der Ausgangszustand wieder erreicht, ohne daß

Energiezufuhr notwendig ist.

Beispiele: Mechanisches Pendel, Entladen Akku

• irreversibel

Eine Umkehr des Ablaufes ist von alleine nicht möglich. Dies betrifft alle Übergänge vom

Nichtgleichgewicht ins Gleichgewicht.

Beispiele: - Temperaturausgleich zweier Systeme

2 Eimer werden zusammengeschüttet. Ein Trennen in den Ausgangszustand

ist nicht mehr möglich (s.o.)!

- Ein Akku lädt sich nicht von ‚alleine‘ auf. Durch elektrische Energiezufuhr

kann aber der ‚Ausgangszustand‘ wiederhergestellt werden

- Entladen Batterie



2.5 Thermodynamik Idealer Gase

reversible Arbeit beim 1. Hauptsatz

für p V = n R T

∫=2

1

V

V

rev dVpW

(WL - 19)

Zustandsänderung Gleichung p - V - Diagramm Isochor

.constT

p=

Isobar

.constT

V=

Isotherm

p V = const.

Boyle Mariotte

Adiabatisch

hier v

p

c

c=κ

einatomiges Gas: 3

5=κ

p Vκκκκ = const

Zustandsänderung Isochor isobar isotherm adiabatisch

p

V

p

V

p

V

Hyperbel p ~ 1/V

p

Visotherm

adiabatisch


Blankenbach / Wärme + Thermodynamik / 12.06.2016 11:06:00 10 / 19

Bedingung

V = const

p = const

T = const

S = const

dQ = 0

pVκκκκ = const

Beispiel für Ideales Gas:

Temperaturänderung in einem Behälter

'Luftpumpe' (frei) bei äußerer

T-Erhöhung

Wärmebad

Dewar-Gefäß

schnelle Prozesse in nichtisolierten

Systemen Wärmeenergie

Q = cv m ∆T

Q = cp m ∆T

Q = W

Q = 0

Arbeit ∫=2

1

V

V

rev dVpW

W = 0 (keine mechanische Arbeit, da V = const))

W = p ∆V

W = p ∆V

W = - cv m ∆T

1. Hauptsatz

dU = dQ

dU = dW + dQ

dQ = dW

dU = - dW

dU = dW + dQ

κ: Adiabaten- bzw. Polytropenkoeffizient κ = 0 isobare Prozesse κ = 1 isotherme " κ → ∞∞∞∞ isochore " sonst adiabatisch


Blankenbach / Thermodynamik +Wärmelehre / SS 2015 11

2.6 Carnotscher Kreisprozess (Carnot Cycle)

periodisch arbeitende Maschine mit Idealem Gas als Arbeitsmedium in einem Kreisprozess als

Idealisierung realer Kreisprozesse z.B. Motor

Isotherm: T = const,

p ∼ V

1 (Hyperbel)

adiabatisch: pVκκκκ = const,

T ≠≠≠≠ const

Ziel: mechanische Energieerzeugung durch periodischen Wechsel zwischen warm und kalt !

Lernziel: „Wissen, dass es Carnot gibt + Grundprinzip“

Teilzyklen:

Beschreibung Formel

a Innere Energie konstant

Wärme wird zugeführt

(Isothermal heat supply)

∆U = 0

→

=∆

1

2B V

VlnTkNQ

b durch Expansion geleistete Arbeit wird aus U

entnommen, T sinkt

(isentropic expansion)

∆W = ∆U = cv m ∆T

c wie a, nur Wärme wird abgegeben

(Isothermal heat rejection)

d wie b, nur T steigt (isentropic compression)

nach einem Umlauf muß die Summe aller Parameter Null sein → 0T

QdS ==∆ ∫

p

V

isotherme Expansion

adiabatischeExpansion

adiabatischeKompression

a

b

c

d

T hoch

T niedrigisotherme Kompression



Definition : Entropie ∫=∆=b

a TQd

S;TQd

Sd

Entropie ist die bei der Temperatur T ausgetauschte Wärmemenge

Energiebilanz

im Prozeß erzeugt Wärme = umgesetzte Wärmemenge ∆W = - ∆Q

Wärme(energie) wird in Arbeit umgewandelt

Wirkungsgrad

[T] = K

1T

T1

hoch

niedrig <−=η

(WL - 20)

Wirkungsgrad ist hoch für große T- Differenzen

reale Maschinen : ηreal < ηcarnot

Der Carnotscher Kreisprozeß ermöglicht die Erzeugung von Arbeit durch Wärmetausch zwischen

kalten und heißen Medien.

Anwendung: Wärmepumpe, Kältemaschine, Motor

Beispiel für Solarzellen bei Sonnentemperatur von 6.000 K :

- Solarzelle bei Raumtemperatur : %95K000.6

K3001

T

T1

hoch

niedrig =−=−=η

- Durch Sonnenstrahlung erwärmte Solarzelle: %93K000.6

K4001 =−=η

Der theoretische Höchst-Wirkungsgrad verringert sich aufgrund der geringeren

Temperaturdifferenz – Hochleistungs-Solarzellen werden deshalb mit einer Wärmeabfuhr

versehen. Praktisch werden 10 – 20% erreicht.



Anwendung des Carnotschen Kreisprozesses : Otto – Motor (nur zur Info)

Beim Viertaktmotor werden vier Arbeitsgänge

Ansaugen - Verdichten - Arbeiten - Ausstoßen

in vier Bewegungen eines jeden Kolbens verrichtet. Bei allen Verbrennungsmotoren mit

Ausnahme des Wankelmotors treiben die aufwärts – und abwärtsgleitenden Kolben über Pleuel

eine Kurbelwelle an. Die Antriebskraft wird über die Kupplung, das Wechselgetriebe, die

Kardanwelle, das Ausgleichsgetriebe und die Antriebswellen auf die Räder übertragen.



Der Kreisprozess im Otto – Motor soll durch folgenden Idealisierten Kreisprozess angenähert

werden:

I Adiabatische Kompression des idealen Arbeitsgases vom Volumen V1, der

Temperatur T1 und dem Druck p1 zum Volumen V2

II

isochore Druckerhöhung, wobei das Gas mit einem Wärmebad der konstanten

Temperatur T3 in Berührung gebracht und Temperaturausgleich abgewartet wird

III

adiabatische Expansion bis zum Anfangsvolumen V1

IV

isochore Druckerniedrigung bis zum Anfangsdruck p1, wobei das Gas mit einem

zweiten Wärmebad der konstanten Temperatur T1 in Berührung gebracht und

Temperaturausgleich abgewartet wird

p - V – Diagramm des Kreisprozesses

Die Ziffern 1 – 4 bezeichnen die

Anfangszustände der vier Teilprozesse

3

2

1

4

III

I

II

IV

∆W

V2 V1 V

p



Druck, Volumen und Temperatur für die Anfangspunkte der vier Teilprozesse

'Motorwerte' - Volumen aller Zylinder V1 = 1,5 dm³

- Kompressionsverhältnis 8V

V

2

1 ==ε

- Umgebungstemperatur der angesaugten Luft T1 = 303 K

- Umgebungsdruck der angesaugten Luft p1 = 1 bar

- Höchsttemperatur des gezündeten Gemisches T3 = 1973 K , κ = 1,4

- cV konstant angenommen

Anfangszustand 1 2 3 4

V /dm³

1,5

0,1875

0,1875

1,5

p /bar

1,0

18,38

52,10

2,84

T /K

303

696,1

1973

858,9

Prozeß Berechnung obiger Tabellendaten

I

κκ = 2211 VpVp ; bar38,188bar1pp 4,1

12 =⋅=ε⋅= κ

K1,6968K303TV

VTT 4,01

1

1

2

112 =⋅=ε=

= −κ

−κ

II

bar1,52K1,696

K0,1973bar38,18

T

Tpp

2

323 =⋅==

III

bar84,28

bar10,52p

V

Vpp

4,13

4

334 ==

ε=

=

κ

κ

IV

K9,858bar1

bar84,2K303

p

pTT

1

414 =⋅==



Gewonnene Arbeit pro Umlauf im p V – Diagramm

Arbeit 4123 QQW ∆+∆=∆

Aufgenommene Wärmemenge ( ) 0TTcmQ 23v23 >−=∆

Abgegebene Wärmemenge ( ) 0TTcmQ 41v41 <−=∆

Wärmekapazität des Arbeitsgases vv cmC =

Mit : 1s

11

TR

Vpm = ;

1

1

T

Vp

cc

c

T

Vp

R

c

T

VpC

1

11

vp

v

1

11

s

v

1

11v

−κ⋅=

−⋅=⋅=

( ) K

J238,1

mK14,1303

mN105,110C

2

335

v =−

=

Wärmemengen : ( ) J3,1580K1,6961973K

Nm238,1Q23 =−⋅=∆

( ) J688K9,858303K

Nm238,1Q23 =−⋅=∆

→ J3,892J688J3,1580W =−=∆

Leistung des Viertakt – Motors bei einer Drehfrequenz 1min4500f −=

kW5,33s260

4500J3,892

2

fWP =

⋅=⋅∆=

denn W∆ wird während zweier Umdrehungen des Motors erzeugt !



Wirkungsgrad rev

η einer Carnot–Maschine, die mit den beiden Wärmebädern arbeitet :

Thermodynamischer Wirkungsgrad ( )%6,84

K1973K3031973

TTT

3

13rev =

−=

−=η

Effektiver Wirkungsgrad des 'realen' Motors:

Effektiver Wirkungsgrad %5,56K3,1580K3,892

TTTT1

QQ1

QW

23

41

23

41

23

==−

−+=

∆

∆+=

∆

∆=η

aus den Formeln für die betreffenden Prozesse:

I

1

1

221 V

VTT

−κ

=

III

1

1

234 V

VTT

−κ

=

folgt I – III %5,5681

11

1VV

TTTT

4,01

1

1

2

32

41 =−=ε

−=

=

−

−−κ

−κ

Der Wirkungsgrad η hängt nur vom Kompressionsverhältnis ε ab!



Entropieerzeugung pro Umlauf im p - V – Diagramm

geg.: Abgeschlossenes System aus Arbeitsgas und Wärmebehältern

Die Entropie des Gases ändert sich bei einem Umlauf im p – V – Diagramm nicht,

weil S eine Zustandsgröße ist.

Für die Wärmebehälter / - speicher gilt :

Abgabe bei T3 = konst.: KJ

801,0K1973J3,1580

TQ

S3

233 −=−=

∆−=∆

Aufnahme bei T1 = konst.: KJ

271,2K303J688

TQ

S1

411 ==

∆−=∆

Resultierende Entropie – Erzeugung: ( )K

J47,1

K

J80,027,2SSS 31 =−=∆+∆=∆

→ ∆∆∆∆S > 0 , weil die Prozesse II und IV irreversibel sind.



Entropieänderungen des Arbeitsgases bei den einzelnen Zustandsänderungen I – IV

Adiabatische Prozesse I und III ∆∆∆∆S = 0

Isochore Prozesse

=∆

2

3vII T

TlnCS

II4

1vIV S

TT

lnCS ∆−=

=∆

mit Division von

1

1

221 V

VTT

−κ

= durch

1

1

234 V

VTT

−κ

=

siehe Wirkungsgrad

erhält man 3

2

4

1

TT

TT

=

→ KJ

29,1K1,696K1973

lnKJ

238,1SII =

⋅=∆

Entropie S(T) – Temperatur -

Diagramm

Der Wert von S(T1) braucht nicht bekannt

zu sein. Die Kurven II und IV laufen

proportional zu ln(T)

III

IIIV

I

T1 T2 T4 T3

S

T

2 Thermodynamik (Thermodynamics)eitidaten.fh-pforzheim.de/daten/mitarbeiter/blankenbach/... · mit...

Documents

Transcript of 2 Thermodynamik (Thermodynamics)eitidaten.fh-pforzheim.de/daten/mitarbeiter/blankenbach/... · mit...