2 La Conduction

Transfert de chaleur 1Université Libanaise – Faculté de Génie – Branche I

Ing. Wael Zmerly – 2006-2007La Conduction

Chapitre IILA CONDUCTION

Université LibanaiseFaculté de Génie

Branche I

Par Ing. Wael Zmerly – 2006-2007

Transfert de chaleur



1. LA CONDUCTIVITE THERMIQUE :

λ

Bois

Homogènes

Isotropes

λvλe

Transmission par vibrations des atomes ou molécules

Transmission par les électrons libres

λ La conductivité thermique λ du corps (w/m.°C)

λ

« λ = constante »

Briques Cuivre Verre Air

CorpsA - GENERALITES

Laine de verreFer

0.21 85386 0.74 0.024 0.046

(w/m.°C)

0.52

On considérera les solides Homogènes (caractéristiques physiques et mécaniques identiques en tout point) et Isotropes (même caractéristiques dans toutes les directions). Ainsi, certaines d’entre elles, ne dépendront que de la température, l’influence de la pression étant négligée.On a deux mécanismes pour la conduction dans les solides : une transmission de chaleur par les vibrations des atomes ou molécules que l'on caractérise par un coefficient λvet une transmission de chaleur par les électrons libres caractérisée par un coefficient λe . La conductivité thermique λ d'un corps sera telle que : λ = λv + λeλ est le coefficient de conductivité thermique exprimé en w/m.°CIl est fonction de la température, mais dans les intervalles de températures d’utilisations courantes on supposera « λ = constante ».



0.014 Anhydride carbonique 0.139 Dowtherm A à 20°C

0.019 Acétylène 0.162 Benzène à 30°C

0.024Oxygène0.59 Eau à 20°C

0.024 Azote 0.67 Eau à 100°C

0.024 Air 8,47 Mercure à 20°C

0.174Hydrogène 81,20Sodium à 200°C

GAZ (à 0°C et sous la pression normale)LIQUIDES

0.043Liège expansé pur0.52Briques

0.046Laine de verre0.70Plaque de fibrociment

0.046 Matières plastiques phénoplastes 0.74Verre courant

0.162 Amiante (feuilles) 0.928Porcelaine

0.162Matières plastiques polyvinyles 1.16Verre pyrex

0.209Matières plastiques polyester 1.75Béton plein de granulats lourds

0.21Bois116Electrographite

SOLIDES NON METALLIQUES (à la température ambiante)

85Fer pur

16Acier inox (Cr 18 % - Ni 8 %) 99Laiton (Cu 70 % - Zn 30 %)

21Titane 104Alliage (Al 92 % - Mg 8 %)

35Plomb pur 111Zinc

46Acier doux (1 % de C) 203Aluminium à 99 %

61Nickel pur 228Aluminium à 99,9 %

61Étain 386Cuivre à 99,9 %

METAUX ET ALLIAGES (à la température ambiante)

λ

λ

Isolant

Conducteur

λ vide = o

λ Liquides<λ Solides

λ Gaz < λ Liquides

1. LA CONDUCTIVITE THERMIQUE :B - INFLUENCE DE LA NATURE DU MATERIAU SUR LA CONDUCTIVITE THERMIQUE

λ en (w/m.°C)

Le tableau si dessus contient les conductivités thermiques λ en w/m°C de différents matériaux.Plus la valeur de λ est petite, plus le matériau sera dite ISOLANT.Plus la valeur de λ est grande, plus le matériau sera dite CONDUCTEUR.On constate que parmi les solides, les métaux sont beaucoup plus conducteurs que les composés non métalliques à l’exception du graphite (utilisé dans certains échangeurs de chaleur). L’acier inoxydable est moins conducteur que la plupart des autres métaux et alliages.Parmi les liquides, le mercure se détache nettement, les métaux fondus sont de bons conducteurs ce qui explique par exemple l’utilisation de sels de sodium comme fluide caloporteur pour le refroidissement des réacteurs nucléaires. Sauf pour les métaux fondus : λ des gaz < λ des liquides < λ des solidesPour le vide λ = o



1. LA CONDUCTIVITE THERMIQUE :C . INFLUENCE DE LA TEMPERATURE SUR LA CONDUCTIVITE THERMIQUE

La conductivité thermique varie avec la température.

λ = λ0 . (1 + a.T)

λ0 : conductivité thermique à 0°C

λ : conductivité thermique à T°C

Solides :

a : coefficient de température du solide

Liquides : λ Tquand

Gaz : λ Tquand

Mélanges : Pas de relations entre

λ mélange et λ composantes

Humidité : λ corps humide > λ corps sec

La conductivité thermique varie avec la température. - Pour les solides, on peut admettre, en première approximation, que les variations sont linéaires, soit :λ = λ0 . (1 + a.T)où λ0 est la conductivité thermique à 0°C et λ la conductivité thermique à T°C.a est une constante appelée coefficient de température du solide considéré. a > 0 pour de nombreux matériaux isolants. a < 0 pour la plupart des métaux et alliages (à l’exception de l’aluminium et du laiton). - Pour les liquides, la conductivité thermique diminue quand la température augmente (àl’exception de l’eau et du glycérol).- Pour les gaz, la conductivité thermique croît avec la température. Remarques :- La conductivité thermique d’un mélange ne varie pas linéairement avec la composition du mélange. Il est donc impossible de prévoir la conductivité thermique d’un alliage en connaissant sa composition et la conductivité des différents éléments constituant cet alliage. Il faut donc mesurer expérimentalement cette conductivité.- La conductivité thermique des matériaux poreux augmente avec leur densité et avec la température.- Un matériau humide est plus conducteur de la chaleur qu’un matériau sec. En particulier, lorsque les maçonneries d’un four sont terminées et avant de le mettre en exploitation, il convient de procéder à son séchage par une montée progressive en température qui permettra l’évaporation de l’eau.



2. EQUATION DE FOURIER :

ϕ λ ∂ ∂ ∂= × + +

∂ ∂ ∂( ) T T T - ( i j k ) x y zx

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ T T T i j k grad T x y zoù

= idTgrad Tdx

Hypothèses :

- Les surfaces isothermes sont constituées par des plans parallèles entre eux.

- Les pertes de chaleur latérales (suivant « y » et « z ») sont négligées

La densité de flux thermique ϕ qui s’écoule dans la matière est proportionnelle à la variation de la température et à la conductivité thermique du milieu.

Enoncé :

ϕ λ=( )dT - . dxx

x

dx

ϕ(x)

Surface isothermeà T2

Surface isothermeà T1

z

n

GENERALISATION DE L’EQUATION DE FOURIER :Si on considère un solide dans l’espace (caractérisée par ses coordonnées ‘x, y, z), l’équation s’écrit :

Avec : grad T (gradient de température) représente la variation de la température suivant toutes les directions. Et est la dérivée partielle de la température par rapport à l’axe « x ».ENONCE DANS LE PLAN :

Hypothèses simplificatrices :- Les surfaces isothermes sont constituées par des plans parallèles entre eux.- Les pertes de chaleur latérales (suivant « y » et « z ») sont négligées. Le gradient de température se réduit à :

Par convention le flux de chaleur sortant est compté négativement.Enoncé :

Soit un matériau homogène de longueur « dx » et de conductivité « λ », dont les surfaces externes sont respectivement à des températures T1 et T2La densité de flux thermique ϕ qui s’écoule dans la matière est proportionnelle à la variation de la température et à la conductivité thermique du milieu.

ϕ λ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= × + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂( ) T T T T T T - ( i j k ) où i j k grad T x y z x y zx

= idTgrad Tdx



3. APPLICATION DE L’EQUATION DE FOURIER :

La Loi de Fourier

e

A - CONDUCTION A TRAVERS UN MUR PLAN HOMOGENE

T1

Tx

x

Plan isotherme

T2

ϕ λ= =dT - cstedx

ϕ

λ

= 1 2T - T e

( )1 2S S . T - Te

ϕ λΦ = =

Le flux thermique à travers le mur:

ϕ

ϕ = Densité de flux [W/m²]

Φ = Flux de chaleur [W]

λ

Cette cas permet de résoudre la plupart des problèmes rencontrés dans le bâtiment.1-Hypothèses :

- Solide homogène et isotrope - Pertes latérales négligées.- Faible épaisseur par rapport aux dimensions transversales

2-Le flux thermique à travers le mur:En applicant la loi de Fourier

Le flux de chaleur « Φ », dans un tube de flux de section « S », s’écrira :

ϕ λ= =dT - cstedx

λ ϕ− = dT dx

λ ϕ− =∫ ∫2

1 0T

xT e

dT dϕ

λ

= 1 2T - T ed’où

( )1 2S S . T - Te

ϕ λΦ = =



3. APPLICATION DE L’EQUATION DE FOURIER :A - CONDUCTION A TRAVERS UN MUR PLAN HOMOGENE

R

e

T1T2

λ

( )1 2T - T

. SeR

λ= =

Φ

R est la résistance thermique en [°C/W]

la résistance thermique d'un mur plan Loi d’évolution T(x)

= 1 21( )

( T - T ) T - . xxTe

T1 T2

T(x)

X

T1

T2

x

T

S

3- la résistance thermique d'un mur plan:Comme en électricité, la résistance est le rapport d’une différence de potentiel donc

ici de température et d’un débit d’énergie donc ici le flux Φ, d’où l’expression suivante de la résistance thermique.

R est la résistance thermique globale [°C/W]4- Loi d’évolution T(x) :

(température en un point de coordonnée « x » d’une surface isotherme)

; - λ . ( T(x) – T1 ) = ϕ . x

Evolution T = f(e) linéaire.

( )1 2T - T

. SeR

λ= =

Φ

λ ϕ− =∫ ∫( )

1 0T

xxT x

dT d

λ λ− × = 1 21(x)

( T - T ) ( T - T ) . x . e

= 1 21( )

( T - T ) T - . xxTe



3. APPLICATION DE L’EQUATION DE FOURIER :B - CONDUCTION A TRAVERS PLUSIEURS MURS PLANS HOMOGENES, EN SERIE:

Φ = Φ1 = Φ2 = Φ3 = Φj = … = Φn. n

i0 n

1 i

e( T - T ) iS λ=

Φ= ∑

0 nni

1 i

. ( T - T )ei

S

λ=

Φ =∑

R

la résistance thermique équivalente

0 n( T - T ) = R

Φ

n ni

i 1 1i

e .i i

R RSλ= =

= =∑ ∑Analogie électrique : En série, la résistance totale est égale à la somme des résistances.

Le flux thermique

Soient « n » couches de matériaux différentsRemarque :- Pas d’accumulation de chaleur dans les matériaux- Problème unidimensionnel- Conservation du flux dans un tube de flux.1 - Le flux thermique à travers des murs en série :La lois de Conservation du flux donne : Φ = Φ1 = Φ2 = Φ3 = Φj = … = Φn. Pour le mur 1 : etPour le mur 2 : et Pour le mur n : et

2 - la résistance thermique équivalente des murs en série :L’expression précédente du flux peut être:

Ces n résistances sont placées en série et leur somme constitue la résistance thermique équivalente des n murs en série, soit :

1 1 0 11

S ( T - T )e

λΦ = Φ = 10 1

1

e( T - T ) S λΦ

=

2 2 1 22

S ( T - T )e

λΦ = Φ =2

1 22

e( T - T ) S λΦ

=

n n-1 nn

S ( T - T )en λΦ = Φ = n

n-1 nn

e( T - T ) S λΦ

=

ni

0 n 1 i

e( T - T ) iS λ=

Φ= ∑ 0 nn

i

1 i

. ( T - T )ei

S

λ=

Φ =∑

0 n 0 nn n

ii

1 1i

( T - T ) ( T - T ) e.i i

RSλ= =

Φ = =∑ ∑

0 n( T - T ) = R

Φn n

ii

1 1i

e .i i

R RSλ= =

= =∑ ∑donc



3. APPLICATION DE L’EQUATION DE FOURIER :B - CONDUCTION A TRAVERS PLUSIEURS MURS PLANS HOMOGENES, EN SERIE:

Températures d’interfaces Evolution T = f(R)

j

0i 1

eiT T - . ( )i.Sj λ=

= Φ ∑

j0 n

0i 1

( T - T ) ei T - . ( )R i.SjT

λ=

= ∑

T

R0 R

T0

Tn

T(n-1)

T1

1

1.eSλ .

n

n

eSλ

λ= ( )

.i

i

eT fS

3 - Températures d’interfaces :Afin de déterminer les températures d’interfaces, plusieurs solutions sont envisageables :a) Détermination des pentes d’évolution de T = f(e) dans chaque matériau (résolution par calculs ou graphique)

b) En reprenant l’équation du flux :

D’où la généralisation :

1 1 0 11

S ( T - T )e

λΦ = 11 0

1

eT T - . ( ).Sλ

= Φ

2 2 1 22

S ( T - T )e

λΦ = 22 1

2

eT T - . ( ).Sλ

= Φ

2 j-1 jj

S ( T - T )ej λΦ =

jj-1

j

eT T - . ( )

.j Sλ= Φ

j

0i 1

eiT T - . ( )i.Sj λ=

= Φ ∑ ou j

0 n0

i 1

( T - T ) ei T - . ( )R i.SjT

λ=

= ∑



3. APPLICATION DE L’EQUATION DE FOURIER :C - CONDUCTION A TRAVERS PLUSIEURS MURS PLANS HOMOGENES, EN PARALLELE:

ei

1Φ

2Φ

Φn

1λ

2λ

λn Sn

S2

S1

ΦTotal = Φ1 + Φ2 + . . . + Φn

Le flux thermique La résistance thermique

1 2( T - T ) RTotalΦ =

= + + +1 2 n

1 1 1 1 . . . R R RR

Analogie électrique

T1

T2

Req

T1 T2

λ1

11 1

= . seR

λ2

22 2

= . s

eR1 2

1 1 1 R ReqR

= +

1 2

1 2

1 2

1 . R 1 1 R R R R

eqRR = =

++

T1 T2

Supposons maintenant que différents éléments solides soient juxtaposés par bandes, les uns à cotés des autres et que la température soit uniforme sur chacune de leurs deux faces.La différence de température (T1-T2) est donc la même pour chacun des éléments traversé respectivement par les flux thermiques Φ1 , Φ2 , Φn.Ce n’est qu’un cas particulier de murs, planchers ou toitures terrasses existants dans le bâtiment. En effet, les parois peuvent présenter des discontinuités de matériaux dans le sens de la hauteur et/ou de la largeur.1 - Le flux thermique à travers des murs en parallèle L’étude est réalisée en choisissant un tube de flux représentatif de la paroi On ne peut plus raisonner en flux surfacique « ϕ » mais en flux de chaleur « Φ », puisque les matériaux n’ont pas la même constition et n’offrent pas la même surface au passage de la chaleur, Dans ce cas, on peut écrire : ΦTotal = Φ1 + Φ2 + Φn

2 - la résistance thermique équivalente des murs en parallèle Les résistances thermiques R1, R2 de chacun des éléments sont en parallèle et R est la résistance équivalente.

1 1 2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

. . 1 1( T - T ) ( T - T ) ( )( T - T ) e eTotalS S

R Rλ λ

Φ = Φ + Φ = + = +

1 2( T - T ) RTotalΦ =

1 2

1 1 1 R RR

= + = =++

1 2

1 2

1 2

1 . R 1 1 R R R R

RRd’où et



4. PROBLEMES CYLINDRIQUES EN REGIME PERMANENT :A- CONDUCTION A TRAVERS UN CYLINDRE HOMOGENE :

Le flux thermique La résistance thermique

1 2( )

2

1

(T - T ) 2 L ln

r rr

π λΦ = Φ =

HypothèsesLes surfaces internes et externes cylindriques sont des surfaces isothermes. Elles sont donc des cylindres concentriques.Le problème reste plan, d’où : où « r » est le rayonLes tubes de flux constituent des secteurs angulaires élémentaires d’ouverture dα.Les couches sont homogènes, isotropes et de faibles dimensions par rapport aux dimensions transversales.Le flux thermique à travers un tube cylindriqueConsidérons un tube cylindrique. Soient r1 le rayon de la paroi interne, r2 celui de la paroi externe, T1 et T2, les températures respectives des faces interne et externe et λ la conductivité thermique moyenne entre T1 et T2 du matériau constituant le tube.On désire connaître le flux thermique qui traverse le tube de l'intérieur vers l'extérieur (lorsque T1 > T2) pour une longueur L de tube. Par raison de symétrie, les lignes d'écoulement de la chaleur sont des droites dirigées selon des rayons. On dit que le transfert de chaleur est radial

S est l'aire de la surface latérale du cylindre de rayon r et de longueur L soit : S=2.Π.r.L

Comme Φ est constant à travers tout cylindre coaxial de rayon r compris entre r 1 et r 2 , l'équation précédente peut donc s'intégrer de l'intérieur à l'extérieur du cylindre de la manière suivante :

re r T T grad

dd

=

dT - . dr

SλΦ =

( )dT 2 r L ( - )drr π λΦ = × ( )

dr - 2 L dTrr π λΦ =ou

2 2

1 1

r T

( )r

dr - 2 L dTrr

T

π λΦ =∫ ∫2

2 1( )1

r ln - 2 L ( T - T )rr π λΦ =

1 2( )

2

1

(T - T ) 2 L ln

r rr

π λΦ = Φ =D’où :

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