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  • COLLECTION MATHÉMATIQUE

    ΣΥΝΑΓΩΓΉ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ

    AUTOUR

    DU

    LA DROITE D'EULER

    Jean-Louis AYME 1

    2.

    PARALLÈLES

    À

    LA DROITE D'EULER

    A

    B C

    A'

    B'

    C'

    A"

    E

    Résumé. L'auteur présente une collection de problèmes autour de la droite d'Euler d'un triangle

    et dont le contexte se réfère au titre ci-avant. Preuves souvent originales, commentaires et notes historiques accompagnent chaque problème.

    Cette collection construite d'une façon linéaire par accumulation se poursuit…

    1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 04/01/2019 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

  • 2

    2

    Les figures 2 sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

    Avertissement. L'auteur rappelle que la vision triangulaire d'un résultat est laissée aux soins du lecteur. Un renvoi comme ''Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de la même section. Un renvoi comme ''12. Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de ''la section 12''. Un foot note précise une origine du problème, une signification ou renvoie à un article de l'auteur.

    Abstract. The author presents a collection of problems around the Euler's line of to a triangle and whose context refers to the above title. Often original proof, comments and historical notes accompany each problem.

    This linearly collection builts by accumulation continues... The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated

    synthetically.

    Warning. The author recalls that the triangular vision of a result is left to the reader care.

    A reference as ''Problem 5'' means that the reader refers to the ''Problem 5'' of the same section. A reference like ''12. Problem 5'' means that the reader refers to the ''Problem 5'' of ''section 12''. A foot note specifies an origin of the problem, a meaning or refers to an article of the author.

    2 Le triangle de départ ABC est acutangle sauf pour des cas de lisibilité des figures…

    Sommaire

    1. La parallèle de Catalan 3 2. La parallèle de Gray 7 3. La parallèle (IX500) 8 4. La parallèle de Hung 9 5. La parallèle d'Ayme 11 6. La parallèle d'Ayme 13 7. La parallèle de Boutin 14 8. Les parallèles d'Hatzipolakis 16 9. La parallèle de Hung 18 10. La parallèle d'Ayme 20 11. La Ks'-parallèle 21 12. La Fe-parallèle 23

  • 3

    3

    1. LA PARALLÈLE DE CATALAN 3

    Eugène Catalan (1883)

    VISION

    Figure :

    A

    B C

    A'

    B'

    C'

    A"

    E

    Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, A'B'C' le triangle symétrique de ABC et A" le point d'intersection de (BC') et (CB'). Donné : (A'A") est parallèle à E.

    VISUALISATION

    A

    B C

    A'

    B'

    C'

    O

    A"

    H E

    • Notons O le centre du cercle circonscrit à ABC

    3 Catalan E., Quelques théorèmes de géométrie élémentaire, Journal de Mathématiques III (1883) 61-62

  • 4

    4

    et H l'orthocentre de ABC. • Scolie : E = (OH). • D'après Eugène Catalan 4, (A"A) passe par O. • Scolies : (1) (BA), (CA) sont resp. les B, C-bissectrices extérieures du triangle A"BC (2) (A"A) est la A"-bissectrice intérieure de A"CB.

    A

    B C

    A'

    B'

    C'

    O

    A"

    H E

    V U

    1

    J K

    S

    T

    • Notons U, V les pieds des perpendiculaires abaissées de A" resp. (CA), (BA), J, K les milieux resp. de [A"B], [A"C], 1 le cercle de diamètre [AA''] ; il passe par U et V ; S le pied de la A-hauteur de ABC et T le second point d'intersection de (AS) avec 1. • D'après Arthur Lascases 5, U, V, J et K sont alignés. • D'après Thalès de Milet "La droite des milieux" appliqué à A"BC, (BC) // (UV) ; par construction, (UV) // (A"T) ; par transitivité de la relation //, (BC) // (A"T).

    4 Catalan E., Quelques théorèmes de géométrie élémentaire, Journal de Mathématiques III (1883) 61-62 5 Lascases Arth., Question 477, Nouvelles Annales 18 (1859) 171

    Ayme J.-L., An unlikely concurrence, G.G.G. vol. 4, p. 1-3 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

  • 5

    5

    A

    B C

    A'

    B'

    C'

    O

    A"

    H E

    V U

    1

    J K

    S

    T

    • D'après Lazare Carnot "Symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté" 6, S est l'orthocentre du triangle AVU; en conséquences, (1) (US) est la U-hauteur de AUV (2) (US) // (CH).

    A

    B C

    A'

    B'

    C'

    O

    A"

    H E

    V U

    1

    J K

    S

    T

    W

    0

    • Notons 0 le cercle circonscrit à ABC et W le second point d'intersection de (AA'') avec 0. • D'après Thalès "La droite des milieux" appliqué au triangle AA'W, (SO) // (A'W).

    6 Carnot, n° 142, De la corrélation des figures géométriques (1801) 101

  • 6

    6

    A

    B C

    A'

    B'

    C'

    O

    A"

    H E

    V U

    1

    J K

    S

    T

    W

    0

    • Nous avons : (CH) // (US) et (WC) // A"U). • D'après Thalès de Milet 7 appliqué aux triangles A-perspectif CHW et USA", (HW) // (SA") .

    A

    B C

    A'

    B'

    C'

    O

    A"

    H E

    V U

    1

    J K

    S

    T

    W

    0

    • D'après Pappus "Le petit théorème" 8 appliqué à l'hexagone sectoriel A'A"SOHWA' de frontière (AA') et (AA''), (A'A") // (OH). • Conclusion : (A'A") est parallèle à E.

    7 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 6-10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 8 Pappus d'Alexandrie, Collections υναγωγ´η, Livre VII

    Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 3-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

  • 7

    7

    2. LA PARALLÈLE DE GRAY 9

    Steve Gray (2001)

    VISION

    Figure :

    A

    B C

    I

    Gra E

    Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, I le centre de ABC et Gra le point de Gray de ABC. Donné : (IGra) est parallèle à E. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 10

    Note historique : c'est en cherchant autre ''chose'' que Steve Gray 11 a découvert en 2001un résultat

    d'Émile Lemoine i.e. le point Gra répertorié sous X(79), et une parallèle à la droite d'Euler d'un triangle i.e. le droite (IGra). Darij Grinberg 12 a fait connaître ce résultat en 2003 au groupe Hyacinthos par un message dans lequel il propose de donner le nom de Gray à X(79). Signalons que la droite de Gray a été prouvée par le biais des coordonnées trilinéaires par Antreas Hatzipolakis 13.

    9 Parallel to euler line, AoPS du 30/09/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1715407_parallel_to_euler_line https://artofproblemsolving.com/community/c1332h992525_a_parallel_to_the_euler_line 10 Ayme J.-L., La droite de Gray, G.G.G. vol. 2 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/La%20droite%20de%20Gray.pdf 11 Gray S., New? triangle theorem, Math Forum du19/09/2001 12 Grinberg D., Gray point X(79) and X(80) Message Hyacinthos # 6491 du 05/02/2003 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/6491 13 Hatzipolakis A., Messages Hyacinthos # 7908 du 15-09-03 ;

    https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/7908

  • 8

    8

    3. LA PARALLÈLE I-X 500 14

    VISION

    Figure :

    A

    B C

    I

    O

    H

    E

    A'

    B'

    C' H'

    Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC, Gra le point de Gray de ABC, A'B'C' le triangle incentral de ABC et H' l'orthocentre de A'B'C'. Donné : (IH') est parallèle à E. . Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 15

    14 The Euler line, AoPS du 22/10/2007 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h171583 A parallel to the Euler's line, 19/03/2008 ;

    https://artofproblemsolving.com/community/c1332h992525_a_parallel_to_the_euler_line parallel to Euler line!, AoPS du 02/08/2012 ; http://www.a