1

COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES - corrigé des exercices I. Coordonnées cylindriques et frottement solide 1.a. • En coordonnées cylindriques :

!

ur = cos(θ)

!

ux + sin(θ)

!

uy et

!

u" = -sin(θ)

!

ux + cos(θ)

!

uy , par consé-

quent :

!

durd"

=

!

u" et

!

du"d"

= -

!

ur .

• On en déduit pour le cas général :

!

OM = r

!

ur + z

!

uz ;

!

v =

!

OM • = r•

!

ur + r

!

ur • + z•

!

uz = r•

!

ur + rθ•

!

u" + z•

!

uz ;

!

a =

!

OM •• = (r••-rθ•2)

!

ur + (2r•θ•+rθ••)

!

u" + z••

!

uz . 1.b. • Dans le cas étudié, r est constant et z = hθ donc :

!

v = rθ•

!

u" + z•

!

uz = z•.(

!

rh

!

u" +

!

uz ) ;

!

a = -rθ•2

!

ur + rθ••

!

u" + z••

!

uz = -

!

rh2

z•2

!

ur + z••.(

!

rh

!

u" +

!

uz ).

2.a. • Le principe fondamental de la dynamique correspond à : m

!

a =

!

P +

!

R +

!

f avec

!

P = m

!

g. On en

déduit les trois équations différentielles : -m

!

rh2

z•2 = Rr + fr ; m

!

rh

z•• = Rθ + fθ ; mz•• = - mg + Rz + fz.

2.b. • La réaction normale est perpendiculaire à la vitesse :

!

R•

!

v = r Rθ + h Rz = 0. • Le frottement est parallèle à la vitesse, donc en particulier fr = 0 ; mais on peut écrire plus généra-lement :

!

f ✕

!

v = (z• fθ - rθ• fz)

!

ur =

!

0 ; on en tire : h fθ - r fz = 0. 2.c. • En simplifiant les équations différentielles, on peut écrire :

-m

!

rh2

z•2 = Rr ; mz•• =

!

hr

Rθ + fz ; mz•• = - mg -

!

rh

Rθ + fz.

• La différence des deux dernières équations donne : Rθ = -mg

!

rhr2 + h2

.

2.d. • La condition de glissement f = λ R donne : fθ2 + fz2 = λ2.(Rr

2 + Rθ2 + Rz

2).

• En utilisant fθ =

!

rh

fz et Rz = -

!

rh

Rθ, on obtient (après simplification et compte tenu de fz > 0 pour la

descente) : fz = λ

!

h2Rr2

r2 + h2+R"

2 .

2.e. • En éliminant fz, puis Rr et Rθ, dans les équations précédentes, on obtient une équation différentielle sur la variable z uniquement (qu'on peut envisager d'intégrer numériquement) :

z•• = -

!

gh2

r2 + h2 +

!

" rhr2 + h2

!

r2 + h2

h4z•4 + g2 .

3.a. • Pour chaque tour, la distance parcourue horizontalement est 2πr et la distance parcourue verticale-

ment est 2πh (pas de l'hélice) ; la tangente de l'angle de la pente est donc constante : tan(α) =

!

hr

.

◊ remarque : avec z• = vz =

!

v •

!

uz =

!

v sin(α) et

!

v = z•

!

rh" # $ % & ' 2

+1 on obtient : sin(α) =

!

h

r2 + h2

constant.

2

3.b. • En considérant que le cylindre est un “plan enroulé”, on peut le “dérouler” en passant à la limite

r → ∞ à condition de conserver constant : tan(α) =

!

hr

(donc aussi le sinus et le cosinus), ce qui implique en

même temps h → ∞.

• L'équation différentielle peut ainsi s'écrire : z•• = -g sin2(α) + λ sin(α) cos(α)

!

z•4

h2 sin2 "( )+ g2 . Sa

limite correspond à : z•• = -g sin2(α) + λg sin(α) cos(α). 4.a. • Sur le fil hélicoïdal, la rotation nécessite une accélération radiale en permanence orientée vers l'axe ; celle-ci est associée à une composante Rr supplémentaire de la réaction normale. • Les relations entre les autres composantes de

!

R et

!

f restant inchangées, du fait de leurs orienta-tions par rapport à

!

v , cela impose (dans des conditions de mouvement par ailleurs analogues) à une norme plus grande de la réaction normale dans le cas de l'hélice. Ceci conduit par suite à un frottement plus grand et à une accélération vers le bas plus faible (accélération algébrique plus grande).

4.b. • On retrouve effectivement une accélération algébrique plus grande puisque :

!

z•4

h2 sin2 "( )+ g2 > g.

II. Coordonnées sphériques ; loxodromie • Avec les coordonnées sphériques :

!

OM = R

!

ur donc

!

v =

!

OM • = R

!

ur • = R θ•

!

u" + R sin(θ) ϕ•

!

u" où

!

u" a la direction des “parallèles” et le sens des ϕ croissants (de lʼouest vers lʼest) ; où

!

u" a la direction des “méridiens” et le sens des θ croissants (du nord vers le sud). • Pour que la trajectoire fasse toujours le même angle α0 avec le parallèle terrestre, il faut donc que :

tan(α0) =

!

"R#•

R sin #( ) $• soit constant. On en tire :

!

"•

sin "( ) = -tan(α0) ϕ• qui sʼécrit :

!

x•

x = -tan(α0) ϕ•. Ceci

sʼintègre en : ln(|x|) = - tan(α0) ϕ + C où C est une constante dʼintégration qui dépend de la position initiale. • En notant θ0 et ϕ0 les coordonnées initiales, on peut finalement écrire la relation sous la forme :

tan

!

"2# $ %

& ' ( = tan

!

"02

# $ %

& ' ( exp[- tan(α0) . (ϕ-ϕ0)].

III. Coordonnées sphériques ; base locale et transport parallèle 1.a. • Pour s'écarter du pôle, l'avion doit augmenter l'angle θ ; juste après avoir quitté le pôle, il part donc dans la direction du vecteur

!

u" local (quel que soit l'angle φ). En se déplaçant “droit devant”, il se déplace le plus droit possible en suivant la surface courbe de la Terre ; par symétrie ce mouvement est dans un plan passant par le centre de la Terre, le long d'un “grand cercle” nommé “géodésique”. Ceci revient dans ce cas à continuer son déplacement selon le vecteur

!

u" local, ce qui ne fait varier que la coordonnée θ en suivant un méridien (qui est un géodésique). 1.b. • Dans une durée Δt = 1 h, l'avion a parcouru une distance Δl = v Δt = 5000 km correspondant à la

moitié de la distance qui sépare le pôle de l'équateur ; il se trouve donc à une colatitude θ =

!

"4

et à la

longitude φ = 0 (constante) du méridien qu'il a suivi.

3

2.a. • En tournant d'un quart de tour, l'avion se déplace initiale-ment dans la direction du vecteur

!

u" local. En se déplaçant “droit devant”, il se déplace le plus droit possible en suivant la surface courbe de la Terre, donc selon un grand cercle géodésique. Or, les parallèles terrestres sont centrés en des points différents sur l'axe nord-sud ; seul l'équateur est un géodésique. • Le géodésique passant par le point de redépart est donc un

géodésique incliné d'un angle

!

"4

par rapport à l'équateur. Ce géo-

désique recoupe l'équateur en deux points symétriques Aʼ et A” décalés d'un quart de tour par rapport au point de redépart (donc

pour φ = ±

!

"2

).

2.b. • L'avion a parcouru une distance Δl = v Δt = 5000 km correspondant à la moitié de la distance qui sépare le redépart de l'équateur (le long du géodésique parcouru). On peut retrouver ce point en considérant

un point placé sur l'équateur à φ =

!

"4

, puis en lui faisant subir une rotation de

!

"4

selon l'axe AʼA”.

• L'axe AʼA” étant l'axe (Oy) des coordonnées cartésiennes correspondantes, on peut par exemple considérer les coordonnées cartésiennes du point sur l'équateur :

!

OM = r

!

ur ; x =

!

r2

; y =

!

r2

; z = 0.

• L'application de la rotation de

!

"4

donne :

x1 = cos

!

"4

# $ %

& ' ( x - sin

!

"4

# $ %

& ' ( z =

!

r2

; y1 = y =

!

r2

; z1 = sin

!

"4

# $ %

& ' ( x + cos

!

"4

# $ %

& ' ( z =

!

r2

.

• Les angles θ et φ cherchés correspondent donc à :

x1 = r sin(θ) cos(φ) =

!

r2

; y1 = r sin(θ) sin(φ) =

!

r2

; z1 = r cos(θ) =

!

r2

.

• On en déduit : θ1 = arccos

!

12" # $

% & ' =

!

"3

= 60° ; φ1 = arctan

!

2( ) = arccos

!

13

"

# $

%

& ' =

!

"3,29

= 54,7°.

◊ remarque : on obtient θ1 >

!

"4

car plus on se déplace sur le géodésique, plus on se rapproche de

l'équateur (rejoint en A”) ; on obtient φ1 >

!

"4

car un arc de même longueur correspond qualitativement

(puisque le déplacement ne s'effectue pas selon un parallèle terrestre) à une variation de longitude d'autant plus grande qu'on est proche du pôle. 3.a. • Au lieu de terminer le trajet selon les deux côtés du “pseudo-carré” précédemment commencé, on peut imaginer que le pôle était le milieu d'un trajet analogue dont on considère alors la première moitié. Le second côté d'un tel trajet est un quart du méridien correspondant à φ =

!

"2

et le départ est symétrique de

l'arrivée (point (1) précédemment calculé) par rapport à φ =

!

"4

.

• La distance infinitésimale associée à un déplacement élémentaire d

!

OM = r dθ

!

u" + r sin(θ)

!

u"

peut s'écrire : dl = r

!

d"d#$

% &

'

( )

2

+ sin2 "( ) dφ, mais son utilisation nécessite d'établir la relation θ = θ(φ) décri-

vant le grand cercle reliant le point (1) à son symétrique. • Si l'arc de cercle n'est pas trop grand, on peut supposer que le terme en

!

d"d#

est négligeable (il inter-

vient dans une correction du second ordre) et proposer l'approximation correspondant à l'arc de parallèle :

Δl ≈ r sin(θ1) Δφ = 2r sin(θ1)

!

"1#$4

%

& '

(

) * = 1870 km (ce qui n'est pas vraiment petit).

4

• Dans le doute, on peut alors chercher la distance (en ligne droite) entre le point (1) et son symétrique

(2) : x2 = y1 ; y2 = x1 ; z2 = z1 ; D =

!

x2 " x1( )2 + y2 " y1( )2 + z2 " z1( )2 = r.

!

1" 12

#

$ %

&

' ( = 1865 km.

• Enfin on calcule la longueur de l'arc de grand cercle sous-tendu par une telle corde :

Δl = 2r arcsin

!

D2r"

# $

%

& ' = 1870 km (on constate que l'arc de parallèle était une bonne estimation).

3.b. • D'après la symétrie précédente, avec un point (1) tel que φ1 = 54,7° > 45°, on peut conclure que l'autre moitié du trajet est telle que le 4e côté recoupe le premier côté (φ2 = 35,3° < 45°). • En partant du pôle, on peut donc conclure que la seconde moitié du trajet aboutit un peu à l'ouest du premier côté. • En seconde approximation, la direction n'est pas très éloignée de la perpendiculaire au méridien selon φ1 (il faudrait considérer la perpendiculaire au grand cercle passant par le point (1) et par le point

d'intersection des premier et quatrième côtés). L'ordre de grandeur est donc φ ≈ φ1 -

!

"2

≈ -35° (décalage à

l'ouest logiquement un peu surestimé).