194 ασκήσεις επανάληψης για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr

1 Επιμέλεια: Μερκούριος Καραγιάννης – Μαθηματικός – Θεσσαλονίκη

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

1) Ρίχνουμε πρώτα ένα νόμισμα μετά ένα ζάρι και καταγράφουμε τα

αποτελέσματα.Περιγράψτε ένα δειγματικό χώρο του πειράματος.

2) Αν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να εξετάσετε

αν τα ενδεχόμενα Α, ' είναι ασυμβίβαστα.

3) Δύο ομάδες 1 2, παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική

ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με

ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει σε δύο

αγώνες στη σειρά ή σε δύο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς.

Να βρείτε:

Α) Το δειγματοχώρο Ω των αποτελεσμάτων των αγώνων της

συνάντησης.

Β) Τα ενδεχόμενα :

i) Ακριβώς μία νίκη της ομάδας 1 .

ii) καμία νίκη της ομάδας 1 .

iii) τουλάχιστον μία νίκη της ομάδας 1 .

Γ) Πόσους αγώνες το πολύ θα είχε μία τέτοια ποδοσφαιρική

συνάντηση;

Δ) Τι παρατηρείτε για ενδεχόμενα Β(ii) και Β(iii) ;

4) Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές και καταγράφουμε τα

αποτελέσματα.



α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

β) Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα :

Α={να παρουσιαστεί Κ (κεφαλή) στην πρώτη ρίψη} ,

Β={να παρουσιαστεί Κ στη δεύτερη ρίψη},

Γ={να παρουσιαστεί Κ σε μία μόνο από τις δύο ρίψεις}.

γ) Είναι τα ενδεχόμενα Α,Β, Γ ανά δύο ασυμβίβαστα ;

(Δικαιολογήστε την απάντησή σας).

5) Ρίχνοντας ένα ζάρι ποια πιθανότητα είναι μεγαλύτερη να φέρουμε 5

ή να μη φέρουμε 5 ;

6) Θεωρούμε ενδεχόμενα , ενός πειράματος τύχης για τα οποία

ισχύουν 3

4P ,

2'

3P και

1

4P . Να βρείτε τις

Α) P και Β) P .

7) Αποδείξτε με τη βοήθεια ενός διαγράμματος Venn ότι :

Α)

α) ' .

β) ' ,

γ) ' .P P P

Β) Αν 1 1 2

, , ,4 3 3

P P P B τότε βρείτε τις πιθανότητες

'P και 'P B .



8) Ένας μαθητής διαλέγει τυχαία και ταυτόχρονα δύο από τους

αριθμούς του συνόλου 1 1 2, , .

32 3

Ποια η πιθανότητα οι δύο

αυτοί αριθμοί να είναι ημίτονο και συνημίτονο της ίδιας γωνίας φ ;

9) Η πιθανότητα να κρυολογήσουμε το χειμώνα είναι 3-πλάσια από το

να μην κρυολογήσουμε . Μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα

να κρυολογήσουμε το χειμώνα ;

10) Μία μέρα με πολύ άσχημες καιρικές συνθήκες η πιθανότητα να

λειτουργήσουν τα υπεραστικά λεωφορεία είναι 30%, η πιθανότητα

να μη λειτουργήσουν τα τρένα είναι 40% και η πιθανότητα να

λειτουργήσει ένα τουλάχιστον συγκοινωνιακό μέσο από τα

προηγούμενα είναι 90%. Ποια η πιθανότητα να λειτουργήσουν

συγχρόνως και τα δύο ;

11) Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Να βρείτε τα ενδεχόμενα :

Α:" Το αποτέλεσμα της δεύτερης ρίψης είναι διπλάσιο από το αποτέλεσμα της πρώτης ".

Β:" Το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι ίσο με 6".

Γ:" Το γινόμενο των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μικρότερο από το άθροισμά τους ".

12) Από μία τράπουλα με 52 φύλλα παίρνουμε ένα στη τύχη.Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων :

Α:" το χαρτί να είναι 5".

Β:" το χαρτί να μην είναι 5".



13) Ένα κουτί περιέχει μπάλες, 10 άσπρες , 15 μαύρες, 5 κόκκινες , 10 πράσινες. Παίρνουμε τυχαία μια μπάλα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων ,η μπάλα να είναι :

Α: μαύρη

Β: άσπρη ή μαύρη

Γ: ούτε κόκκινη ούτε πράσινη

14) Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Τότε ισχύει :

Α. Αν ( ) ( ) , τότε .

Β. Αν ( ) ( ) , τότε .

Γ. Αν ,τότε ( ) ( ) .

Δ. Αν , τότε ( ) ( ) .

Ε. Αν ( ) ( ) 1 , τότε ' .

15) Το σύνολο Α ={20ο ,60ο ,80ο , 100ο } περιέχει σαν στοιχεία μέτρα γωνιών. Επιλέγουμε τυχαία και ταυτόχρονα τρία στοιχεία του Α. Ποια η πιθανότητα αυτά να είναι μέτρα γωνιών ενός τριγώνου.

16) Μια τάξη έχει 30 μαθητές. Αν γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα σε τυχαία επιλογή μαθητή είναι 2/5 να είναι αγόρι, βρείτε πόσα κορίτσια έχει η τάξη.

17) Έστω Α,Β είναι τα ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με 4

( )7

και 2( )

3

Α: Να εξετάσετε αν τα Α,Β είναι ασυμβίβαστα.



Β: Να δείξετε ότι 3

'7

.

18) Έστω Ω={1,2,3,4} με Α={1,2,3} και Ρ(1)=Ρ(2)=2Ρ(3)=3Ρ(4).

Να βρείτε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω και την Ρ(Α).

19) Ρίχνουμε διαδοχικά δύο ζάρια και θέτουμε όπου α την ένδειξη του πρώτου ζαριού και όπου β την ένδειξη του δεύτερου

ζαριού.Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση 2 6 0ax x να

έχει :

Α: δύο ρίζες πραγματικές άνισες.

Β: μία διπλή πραγματική ρίζα.

20) Το 40% των υπαλλήλων μιας εταιρείας διαβάζει εφημερίδες , το 30% διαβάζει περιοδικά και το 10% διαβάζει και εφημερίδες και περιοδικά. Επιλέγουμε τυχαία έναν υπάλληλο.Ποια η πιθανότητα :

Α. Να διαβάζει εφημερίδες ή περιοδικά;

Β. Να διαβάζει εφημερίδες και όχι περιοδικά;

Γ. Να διαβάζει περιοδικά και όχι εφημερίδες;

Δ. Να διαβάζει μόνο εφημερίδες ή μόνο περιοδικά;

Ε.Να μην διαβάζει ούτε εφημερίδες ούτε περιοδικά;

Ζ.Να διαβάζει το πολύ εφημερίδες ή περιοδικά;

21) Σε ένα σχολείο με 400 μαθητές διδάσκονται η αγγλική και η γαλλική γλώσσα.Κάθε μαθητής είναι υποχρεωμένος να παρακολουθεί τουλάχιστον μία από τις παραπάνω ξένες γλώσσες.Από τους παραπάνω μαθητές 340 παρακολουθούν την



αγγλική γλώσσα και 240 τη γαλλική γλώσσα.Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Έστω Α το ενδεχόμενο να παρακολουθεί την αγγλική γλώσσα και Γ να παρακολουθεί τη γαλλική γλώσσα.

Α. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Γ είναι ασυμβίβαστα.

Β. Να αποδείξετε ότι : 3( )

5 .

Γ. Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να παρακολουθεί μόνο την αγγλική γλώσσα.

Δ.Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να παρακολουθεί μία μόνο ξένη γλώσσα από αυτές.

22) Έστω Ω ={1,2,3,4,5,6} ο δειγματικός χώρος της ρίψης ενός μη αμερόληπτου ζαριού. Αν Ρ(1)=Ρ(3)=Ρ(5)=2Ρ(2)=4Ρ(4)=2Ρ(6), τότε να βρείτε :

Α: Τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων Ρ(1), Ρ(2), Ρ(3), Ρ(4) ,Ρ(5), Ρ(6).

Β: Τις πιθανότητες των ενδεχομένων Γ και Δ, όπου

Γ:"Η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθμός".

Δ:"Η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός αριθμός".

23) Αν και είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου

Ω, με ( ) 0,6 και ( ) 0,7 , να δείξετε ότι

0,3 ( ) 0,6 .

2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους.



24) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις :

i. Α=

32

43

24

ii. Β=

12 4

35

4 23

iii. Γ= 1

1 1

4 2

25) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις :

i. Α= 6 3(2 3) (2 3)x x

ii. Β= 2 [ 2 ( 2) 1] 2

iii.Γ= [ 2[ 2( 3) ( 7)]]y y

26) Αν α-β=5 να βρείτε την τιμή της παράστασης :

( 2) ( 2) 2

27) Αν 2 3y x , να βρείτε την τιμή της παράστασης :

Α= 2[ 1 (4 3 )] 10( )y x y x

28) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζονται οι παραστάσεις :

i. Α=1

3

x

x

ii. Β=

5

4x iii. Γ= 2

3 ( 1)

x

x x

iv. Δ=

2

21

x

v. Ε=

2 1

2 15

3

x x

x

29) Να αποδείξετε ότι :

Α. Αν οι αριθμοί α και β είναι άρτιοι , τότε και ο α+β είναι άρτιος.



Β. Αν οι αριθμοί α και β είναι περιττοί, τότε ο α+β είναι άρτιος.

30) Αν α,β,γ είναι τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι ο αριθμός α+β+γ είναι πολλαπλάσιο του 3.


Α. Το άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού είναι περιττός.

Β. Το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος.

Γ. Το γινόμενο δύο περιττών είναι επίσης περιττός.

32) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα ενός άρρητου και ενός ρητού είναι άρρητος.

33) Για τους αριθμούς κ ,λ ,μ ισχύει :

4 5 6

και κ+λ= 45 .

Να βρείτε τους αριθμούς κ, λ ,μ.

34) Αν ισχύει η αναλογία :

2

να βρείτε τον λόγο

.

35) Αν , 0x y , να εκτελέσετε τις πράξεις :



i. 4 2 3( )xy x y ii. 3 2 5

4 2 2

64( )

16 ( )

x y

x y

iii.

43 2

24 6

x y

x y

iv.

3 43 2 2 3: : :x y x y

36) Να βρείτε την τιμή της παρακάτω παράστασης ,αν 8x και 2y

Α= 3 5

4 1 3 2 2x y x y y

37) Να αποδείξετε τις επόμενες ταυτότητες :

i. 2 2 2 22x y x y x y ii. 2 2 4 4x y x y x y y x

iii. 2 2 2 3

1 2 1 1x x x x x iv. 2 3 2

3 3x x y x y y y x

38) Αν ισχύει 2

13x

x

,με 0x ,να βρείτε τις τιμές των

παραστάσεων :

i. Α= 2

2

1x

x ii. B=

3

3

1x

x

39) Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις :

i. 2 26 9x x y ii. 5 4 25 2 5 2x x x x iii.

6 37 8x x

iv. 2 2 2 4 3x y x y v. 3 21 3 1x x

40) Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις :

i. Α=

2

2

3 3

4 4

x xy

xy y

ii. Β=

4 2

2

5 4

3 2

x x

x x

iii. Γ=

3 2

3 2

5 4 1

2 3 1

x x

x x



41) Αν για τους αριθμούς x και y με x y ισχύει ότι :

33 3 3 3x y x y y x να αποδείξετε ότι 1xy .

42) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις :

i. 3 4x x

ii. 3

3 32

xx x x

iii. 3 23 2 3 2x x x

iv. 3 3 3

5 3 2 2 0x x x

2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών.


Α) ( 4 ) (2 )

Β) 2

4 ( 2 )

Γ)

2

2 22 3

13

44) Αν 0 ,να αποδείξετε ότι :

Α) 3 3 ( )

Β) 33 3

2 2

45) Α) Να αποδειχθεί ότι :

2 24



Β) Ένα ορθογώνιο, του οποίου οι διαστάσεις είναι x και y ,έχει

περίμετρο 20m.

i) Να εκφραστεί το y με τη βοήθεια του x .

ii) Να εκφραστεί το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου με τη βοήθεια του x ,χρησιμοποιώντας τη σχέση του ερωτήματος (Α).

iii) Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν Ε είναι μικρότερο ή ίσο των 252m .

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικών αριθμών.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ -ΛΑΘΟΥΣ

i. Αν α < 0 τότε αβ = - αβ.

ii. Αν x > 0 τότε Α = -2x - 5x είναι ίση με 3x.

iii. Η εξίσωση x - 5 = 2 έχει λύσεις το 7 και το 3.

iv. Η λύση της ανίσωσης x - 5 < 2 είναι το διάστημα [3, 7].

v. Αν x < 2 η παράσταση Α = x + 3 - x - 2 είναι

ίση με 2x + 1.

vi. Αν -17 < x < 7 τότε x + 5 < 12.

vii. Αν d(x, 3) = 2 τότε x = 5 ή x = 1.

viii. Αν x - 5 = 5 - x τότε x < 5.



ix. Αν α < 0 τότε A = 3α

α - 3 είναι ίσο με το 6.

x. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει -α = -α

46) Αν α, β, γ 0 να αποδείξετε ότι -3 α

α + β

β +

γ

γ 3 .

47) Αν x 2 και y 3 να αποδείξετε ότι 2 x + 3 y 13.

48) Αν x 2 και g 1 να αποδείξετε ότι:

i. x-g 3 ii. 2x+ g 5 iii. 3x-2g 8.

49) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

i. Α = 5 -x-2, ii. B = 2x-1 - 35-x.

iii. Γ = 2x - 1 -x+ 1 -x- 3.

50) Αν x < 1 να απλοποιήσετε την παράσταση:

Α = x- 2 - 2x - 1 + x+ 3 - 5.

51) Αν β 0, 2α + 5β 0 και 5α + 2β

2α + 5β < 1 να αποδείξετε

ότι: α

β < 1 .

52) Να λύσετε τις εξισώσεις:



i. 2x - 5 = 7 ii. 3x - 1 = - 1

iii. 1 – 5x = 2 iv. -3x + 15 = 45.


i. 2x - 5 = 3x- 12, ii. 2x - 8 = 3(x- 10) - 7(x - 8),

iii. x + 1

3 =

x + 5

8 ,iv.

2 x - 1 - 5

3 = 15 .

54) Δίνεται η παράσταση Α = 2x - 5 - 31 - x.

i. Να γραφεί η παράσταση Α χωρίς απόλυτες τιμές.

ii. Να λυθεί η εξίσωση Α = -2.

55) Να λυθούν αλγεβρικά οι ανισώσεις:

i. x > 5, ii. 3 x 5, iii. x - 7 < -2,

iv. 2 < x - 1 4, v. x - 4

5 < 3 , vi

x - 1 - 4

2 +

5

3 <

x - 1

3

,

vii. x + 1

2 -

2 x

3 >

1 - x

3.

56) Να βρείτε τα διαστήματα (αν υπάρχουν) που συναληθεύουν οι

ανισώσεις:

i. x - 4 3 και x - 2 4

ii. x - 2 < 5 και x - 1 > 2.



2.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών.

57) Για ποιες τιμές του x ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις:

i) 3 5 -2x ,ii) x- 5 - 3 -x , iii)

2x

x- 5

.

58) Δίνονται οι παραστάσεις:

Α = 200 - 5 2 - 18

Β = 48 + 12 - 75

Γ = 2

12+

2

96 -

2

150+ 2.

i) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις .

ii) Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές τις Α, Β, Γ .

59) i) Αν x + 75 = 48 να βρείτε το x2 .

ii) Αν x - 125 = 45 - 80 να βρείτε το x2 .

60) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

i) 32 + 3 22 ii) (3 3 - 1)2

iii) 3 + 5 3 - 5 iv)

2

β - α - β α



61) Να αποδείξετε ότι:

i) 3 1 28 1 - 28 33

ii) 2 1 33 1 335

iii) 0 3

3 -

1 3

1

1 - 3

1

.

62) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μίας ρίζας:

i) 333 ii) 4 3 5 2 2 iii)

3 4 33 3 iv) 2

3

3

2

2

3.

63) Να απλοποιηθεί η παράσταση:

Α = x

x2

- 1 -x

1 2x - x 2 αν 0 < x < 1.

64) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή:

i) 3 14

7 ii) 5 43

6 iii) 3 2α

α iv) 6 4β

β v) 13 5α

α vi)

1 - 22

1

3ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.1 .Εξισώσεις 1ου βαθμού.



65) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις :

i) 2x – x(x –5) = -x2 + 7x –8

ii) –3(2x –5) + 7(x – 1) = 4(2 – x) + 3

iii) (2x – 5)2 – 3(x – 2) = 4(x2 – 3) + 5x .

66) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις :

i) 2

1

3

2 -x -

7

1 2x

ii) 10

3 -6x

4

3 -x -

5

1) -3(2x

iii) 6

1 -x

4

1 2x -

3

x- 5

iv) 15

2x - 7

6

3x - 5

2

1 -

5

1 -x

3

2 .

67) Για τις διάφορες τιμές του λ να λυθούν οι εξισώσεις:

i. 2λx = 2(x – 1) – 5λ

ii. λ2x – 2λ = 4λ + x + 6

iii. λ2x – λ2 = 9x + 3λ

iv. λ2x + 3 = 3x + λ

v. λ2x = x(4λ –3) + λ2 – 1



vi. λ3x – λ2 = 8x – 4

68) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση λ2x – λ2 = 9x –6λ + 9

i) είναι αδύνατη ii) έχει μοναδική λύση.

69) i) Να αποδείξετε ότι αν α + β + γ = 0 τότε

α3 + β3 + γ3 = 3αβγ.

ii. Να λύσετε την εξίσωση

(7x – 5)3 + (2 – 4x)3 + (3 – 3x)3 = 0 .


i. x x

1

1 x

3

x

22

ii.

4 - x

1

2 x

12

iii. 0 1 2x x

2

1x

1 x

22

iv. x

1

1 2x - x

x -

x - x

1 2x 22

71) Δίνονται οι παραστάσεις:

Α(x) = 4 4x - x

4 - x2

2



B(y) = 4 4y y

4 - y2

2

.

i) Για ποιες τιμές των x, y ορίζονται οι παραστάσεις αυτές .

ii) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς t ώστε Α(t) = B(t).

iii) Να βρείτε τα σημεία Μ(x,y) του επιπέδου για τα οποία ισχύει: Α(x) = B(y).

72) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του β οι εξισώσεις

i) (2x +β)2 – (2x – β)2 = 24β2

ii) (3x – β)2 – (3x – 2β)2 = β2

έχουν τουλάχιστον μία λύση .

73) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε οι εξισώσεις

4x + 2(3x – 1) = 1 + 3(x – 1) και 2α(1– x) = 1

να είναι ισοδύναμες .

3.2 H Eξίσωση v ax .


i) 3 8x

ii) 4 16x

iii) 3 27x

iv) 6 64x

75) Να λύσετε τις εξισώσεις :



i) 4 8 0x x

ii) 6 216 0x x

iii) 4 28 0x x

iv) 3 3 330 3x x x

v) 2 2 4 22 2 3 3 2x x x x


i) 3

2 3 8x

ii) 4

2 5 1 81x

iii) 4

3 5 16x

3.3 .Εξισώσεις 2ου βαθμού.


i) 2 2 3 0x x ii) 2 2 8 0x x iii) 2 5 7 0x x

iv) 22 7 6 0x x v) 24 9 0x vi) 2 3 0x x


i) 2 1 10

2 2x x ii) 2 1 1

2 02 4

x x

iii) 3 10 3 2x x x iv) 4 2 4 ( 3)( 3)x x x



79) Για ποιες τιμές του κ η εξίσωση

2 29 2 9 0x x k k

έχει ρίζα το -1;Για καθεμία από τις τιμές του κ που θα βρείτε, να λύσετε την παραπάνω εξίσωση.

80) Για ποιες τιμές των κ και λ η εξίσωση

2 2 1 4 05 xx

έχει διπλή ρίζα το 0 ;

81) Να λυθεί η εξίσωση 2 3 21x x x x x .

82) Δίνεται η εξίσωση :

2 92 3 0

4xx ,με 0

Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η εξίσωση :

i) έχει δύο ρίζες άνισες ,

ii) έχει μία διπλή ρίζα ,

iii) δεν έχει πραγματικές ριζές.

83) Η εξίσωση : 2 2 7 0x x έχει ρίζα το -2.

i) Να βρείτε το λ.

ii) Για κάθε τιμή του λ που προέκυψε, να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης.



84) Αν 1x και 2

x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2 3 2 0x x ,να

υπολογιστούν οι παραστάσεις :

i) 1 2

x x ii) 1 2

x x iii) 2 2

1 2x x iv) 3 3

1 2x x

85) Να βρείτε εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς :

i) 21 και 21

ii) 3 2 και 2 3

86) Να λυθεί η εξίσωση 22 5 3x x .

87) Να λυθεί η εξίσωση 2

2 1 2 1 6 0x x .

88) Να λυθεί η εξίσωση 2 3 1 0x x .

89) Να λυθεί η εξίσωση 1 19

5 5x xx .

90) Να λυθεί η εξίσωση 3 2 3 31

5 3 1x xx x x

.

91) Να λυθούν οι εξισώσεις :

i) 4 24 1 0x x

ii) 4 22 5 3 0x x

iii) 4 24 5 0x x

iv) 4 213 36 0x x



92) Δίνεται η εξίσωση : 2 2 22 2 0x x (1)

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, για οποιουσδήποτε αριθμούς α και β.

ii) Έστω S και P το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης (1).Να βρείτε τα α και β,ώστε να ισχύει 2S=P-2.

iii) Έστω 1

x και 2

x οι ρίζες της (1) για τις τιμές των α και β που

βρήκατε.

α) Να υπολογίσετε την παράσταση :

1 2

1 2

1 1

2 2

x xA

x x

4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.1 .Ανισώσεις 1ου βαθμού.



93) Να λύσετε τις ανισώσεις :

i) 3 5 4 1x x x ii) 13 3 2 4 3 7 3x x x

iii) 3 5 32 6 3

x x x iv) 1 1 1 2 1

16 2 16 4x x x x

.

94) Nα βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων που ακολουθούν και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν.

i) 1 32 0

2x

και 2 4 32 5

x x

ii) 2 3 14 2

x xx

και 3 15

2 4 02

xx

.

95) Δίνεται η ανίσωση : 3 2 2 3 2 3x x x

Να βρείτε για ποιες τιμές των λ και μ η παραπάνω ανίσωση είναι αδύνατη.


i) 4 2 3 12 0x ii) 7 3 2 1

14

x iii)

7 51

4

x

97) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων :

i) 2x και 4x

ii) 5 2 3x και 3 1x .




i) 3 2x ii) 7 2 1 10x iii) 12 1 3

2x x .

99) Να λύσετε την ανίσωση : 2 1

13

x

x

.

100) Να λύσετε την ανίσωση : 1 1 4 3x .


i) 32 3

2x x x

ii) 8

23

x

x

4.2 .Ανισώσεις 2ου βαθμού.

102) Nα μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα :

i) 23 15 42x x ii) 26 7 5x x iii) 220 60 45x x .



103) Nα βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ορίζεται το παρακάτω κλάσμα και στη συνέχεια να απλοποιηθεί.

2

2

6

2 5 2

x xA

x x

104) Δίνεται το τριώνυμο 26 5 6x x .

Να βρείτε το πρόσημο του για τις διάφορες τιμές του χ.

105) Να αποδείξετε ότι το κλάσμα

2 2

2

3 7 5 4 44 121

3 3

x x x xA

x x

είναι μη αρνητικό, για οποιαδήποτε τιμή του πραγματικού

αριθμού χ.

106) Να λυθούν οι ανισώσεις :

i) 23 0x x ii) 24 0x iii) 23 2 8 0x x iv) 2 2 3

02

x x

x

v) 225

02

x

x

vi)

2

2

2 90

2 3

x x

x x

vii)

2 31

7

x

x

107) Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο 2 2( ) 1 3 3x x x ,

είναι θετικό για οποιαδήποτε τιμή του χ.

108) Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο 2( ) 1Q x x x , είναι

πάντοτε μη αρνητικό.



109) Δίνεται η εξίσωση 22 2 2 3 0x x .Να βρεθεί ο πραγματικός

αριθμός λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.

110) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού κ, για τις οποίες η ανίσωση 22 2 2 5 2 0x x αληθεύει για κάθε x .

111) Δίνεται η εξίσωση 2 2 1 0x x .

i) Nα αποδείξετε ότι για κάθε ,η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες τις

1x ,

2x .

ii) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση :

2 21 1 2 2

1 7x x x x .

112) Δίνεται η εξίσωση 2 22 3 6 5xx με ρίζες 1

x και 2

x .

Αποδείξτε ότι η διαφορά 1 2

x x δεν εξαρτάται από το μ.

113) Δίνεται η εξίσωση : 2 3 1 0,xx (1).

i) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η (1) να έχει πραγματικές ρίζες.

ii) Αν 1

x ,2

x οι ρίζες της (1) και ισχύει 1 22x x να βρείτε τις ρίζες

1x

και 2

x , καθώς και το λ.

5ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΟΔΟΙ

5.1. Ακολουθίες.

114) Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών.

i) 3 2 ii) 5 4

iii) 12 iv) 4



115) Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών.

i) ν

2α

4

ii)

1

ν

1α

2 1

iii)

ν 1

14α

1

116) Nα βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών.

i) 13 και 1

2

ii) 1

13

και 13

117) Να ορίσετε αναδρομικά τις ακολουθίες :

i) 3 ii) 3 1 iii) 12

iv) 2

3

118) Να βρείτε το ν-οστό όρο των ακολουθιών :

i) 11 και 1

2 ii) 1

4 και 13

iii) 15 και 1

3

5.2. Αριθμητική πρόοδος.

119) Να βρείτε τον 21ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων :

i) 1,5,9… ii) -2,0,2… iii) 7,5,3… iv) -9,-4,1...

120) Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 1 2 και 3 .Να βρείτε :



i) τον 10ο όρο της προόδου,

ii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με 62.

121) Σε μια αριθμητική πρόοδο με 112 ,ο ένατος και ο

εικοστός όρος έχουν άθροισμα 30.Να βρείτε :

i) τη διαφορά ω της προόδου,

ii) τον όρο 30 ,

iii) ποιος όρος είναι ίσος με 0.

122) Να αποδείξετε ότι για κάθε , οι αριθμοί :

3α + β, 2(α - β) , α - 5β με τη σειρά που δίνονται, είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

123) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού χ για τις οποίες

οι αριθμοί χ-4,χ+4 και 3χ-4 είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου.

124) Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα :

i) 1+4+7+…+94

ii) 3+7+11+…+119

125) Σ’ένα θέατρο, η πρώτη σειρά έχει 70 καθίσματα και η

τελευταία έχει 250 καθίσματα.Το πλήθος των καθισμάτων

κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο.Η προτελευταία



σειρά έχει 140 καθίσματα περισσότερα από τη δεύτερη

σειρά.

i) Nα αποδείξετε ότι κάθε σειρά καθισμάτων του θεάτρου

έχει 20 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη

σειρά.

ii) Να υπολογίσετε το πλήθος των καθισμάτων του θεάτρου.

iii) Την πρώτη παράσταση ενός θεατρικού έργου

παρακολούθησαν 100 θεατές, ενώ σε κάθε επόμενη

παράσταση ο αριθμός των θεατών διπλασιαζόταν. Ποια

είναι η παράσταση στην οποία για πρώτη φορά θα γεμίσει

το θέατρο;

126) Δίνεται ακολουθία της οποίας ο ν-οστός όρος είναι

4 15 .

i) Nα αποδείξετε ότι η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος.

ii) Να βρείτε το άθροισμα : 15 16 30...S .

127) Μεταξύ των αριθμών 12 και 60 παρεμβάλλουμε ορισμένους

αριθμούς με άθροισμα 225, ώστε όλοι μαζί να αποτελούν

διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.Να βρείτε τους

αριθμούς αυτούς.

128) Η τιμή αγοράς ενός εκτυπωτή είναι μεγαλύτερη από 620€ και

μικρότερη από 640€.Κατά την αγορά συμφωνήθηκαν τα εξής:

Να δοθεί προκαταβολή 120€, η εξόφληση του υπόλοιπου



ποσού να γίνει σε 10 μηνιαίες δόσεις, κάθε δόση να είναι

μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά ω€,(όπου ω θετικός

ακέραιος) και τέλος η τέταρτη δόση να είναι 48€.

i) Να εκφράσετε το ποσό της πρώτης δόσης ως συνάρτηση

του ω.

ii) Να εκφράσετε την τιμή αγοράς ως συνάρτηση του ω.

iii) Να βρείτε την τιμή του ω.

iv) Να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης.

v) Να βρείτε την τιμή αγοράς του εκτυπωτή.

129) Μια ομάδα ακροβατών θέλησε να γραφτεί στο βιβλίο Γκίνες,

κάνοντας ρεκόρ στον σχηματισμό της υψηλότερης ανθρώπινης

πυραμίδας.Μπήκαν σε σειρές ως εξής : Στην κορυφή ένα

άτομο, στην επόμενη σειρά δύο,στην αμέσως πιο κάτω σειρά

τρεις κ.λ.π. Έτσι κατάφεραν 45 ακροβάτες να κάνουν το ρεκόρ.

i) Nα βρείτε πόσες σειρές είχε η πυραμίδα που σχημάτισαν.

ii) Να βρείτε πόσους ακροβάτες είχε η σειρά που βρισκόταν

στη βάση της πυραμίδας.

iii) Ένα μήνα αργότερα μια άλλη ομάδα ακροβατών

ξαναέσπασε το ρεκόρ σχηματίζοντας με όμοιο τρόπο μια

πυραμίδα υψηλότερη κατά 3 σειρές. Πόσοι ήταν συνολικά

οι ακροβάτες αυτοί;

5.3. Γεωμετρική πρόοδος.



130) Να βρείτε τον 9ο όρο των παρακάτω γεωμετρικών προόδων.

i) 1,2,4… ii) 32,16,8… iii) -2,-6,-18…

131) Σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι 1

29

και 46 .Να

βρείτε :

i) το λόγο λ της .

ii) τον 6ο όρο της .

132) Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο της οποίας ο 4ος όρος

ισούται με 108 και ο 8ος όρος ισούται με 8748.

133) Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο της οποίας ο 3ος όρος

ισούται με 24 και ο 8ος όρος ισούται με 768.

134) Ο αριθμός 6 είναι ο γεωμετρικός μέσος των χ-3 και 2χ+8.

Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο αριθμός χ.

135) Αν οι αριθμοί : 2β(α+β), β(β+γ), 2(α+β)(γ-β) είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι οι

αριθμοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.



136) Αν οι αριθμοί χ,10,y είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής

προόδου, ενώ οι αριθμοί χ,6,y είναι διαδοχικοί όροι

γεωμετρικής προόδου, να βρεθούν οι χ,y.

137) Σε μια γεωμετρική πρόοδο με λόγο λ=3, το άθροισμα των

4 πρώτων όρων της είναι 40.Να βρείτε :

i) τον πρώτο όρο της .

ii) Το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της .

138) Να βρείτε τις διαστάσεις ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

αν αυτές είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και το

άθροισμα όλων των ακμών του είναι 168, ενώ ο όγκος του είναι

512.

139) Μεταξύ των αριθμών 2 και 486 να βρείτε τέσσερις αριθμούς,

ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

140) Ο Πέτρος αποφάσισε να ξεκινήσει να αποταμιεύει

χρήματα.Έτσι τον πρώτο μήνα αποταμίευσε 64€ και κάθε

επόμενο μήνα θα αποταμίευε 50% περισσότερα χρήματα σε

σχέση με τον προηγούμενο μήνα.Να βρείτε :

i) πόσα χρήματα αποταμίευσε τον πέμπτο μήνα,

ii) πόσα χρήματα αποταμίευσε συνολικά τους πρώτους 6

μήνες.



141) Παρατηρήθηκε ότι η ποσότητα του πετρελαίου που διαρρέει

προς τη θάλασσα από ένα βυθισμένο δεξαμενόπλοιο

διπλασιάζεται κάθε ημέρα (λόγω αύξησης του ρήγματος που

προκάλεσε τη διαρροή).Το πετρέλαιο που διέρρευσε κατά τη

διάρκειατης πρώτης ημέρας ήταν 20 τόνοι.

i) Πόσοι τόνοι πετρελαίου θα διαρρεύσουν κατά τη διάρκεια

της 7ης ημέρας;

ii) Πόσοι τόνοι πετρελαίου θα διαρρεύσουν συνολικά κατά τις

5 πρώτες ημέρες;

iii) Αν η διαρροή σταματήσει στο τέλος της 7ης ημέρας και το

κόστος καθαρισμού του πετρελαίου είναι 1000€ ανά τόνο,

πόσο θα στοιχίσει ο καθαρισμός της θάλασσας από τη

ρύπανση που προκάλεσε το δεξαμενόπλοιο;

6ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης.

142) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f αν :

i) 2 10

( )6

xf x

ii) 1

( )f xx

iii) 2

2

2( )

2 10

xf x

x



iv) 2

4 3( )

4

xf x

x

v) 3

( )3 1

xf x

x

143) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f αν :

i) ( ) 3 2f x x ii) ( ) 1 2f x x iii) 5( )

5f x

x

iv) 3

( )6

xf x

x

v) 1

( ) 21

f x xx

144) Αν ( ) 2f x x a , να βρεθεί ο αριθμός α για τον οποίο ισχύει :

i) ( ) 8f a

ii) (8)f a

145) Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 3f x x x .

i) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f ;

ii) Να βρείτε τις τιμές :

Α) f (-2) , B) f (-1) , Γ) f (0) ,

Δ) f (3) , Ε) f (f(1)) , Z) f (f(5))

146) Δίνεται η συνάρτηση 5

( )6

xf x

ax

, 2

, 2

x

x

,

να αποδειχθεί ότι α=8.



147) Δίνεται η συνάρτηση 2

2

3.

9( )

x x

xf x

i) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

ii) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης.

iii) Να λύσετε την εξίσωση 2

( )5

f x .

iv) Να λύσετε την ανίσωση 1

( )2

f x .

6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης.

148) Το σημείο Α(2κ+4,3-κ) βρίσκεται στον άξονα χ΄χ.Να βρείτε

τις συντεταγμένες του.

149) Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(1,-4) ως προς :

i) τον άξονα χ’χ ii) τον άξονα y’y iii) το σημείο Ο(0,0)

iv) τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.



150) Να βρείτε τα σημεία στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των

επόμενων συναρτήσεων τέμνουν τους άξονες

i) ( ) 2 3 1f x x ii) 3( )g x x x

151) Τα σημεία 2(7 4 , 2 )A και (1,4) είναι συμμετρικά ως

προς την αρχή των αξόνων.

i) Να βρείτε τα , .

ii) Να βρείτε το συμμετρικού του σημείου Α ως προς :

Α) τον άξονα χ’χ,

Β) τον άξονα y’y,

Γ) τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

152) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(1,4),

Β(5,2) και Γ(-2,-2) είναι ορθογώνιο.

153) Έστω η συνάρτηση 2( ) 2f x x x .

i) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ,λ αν τα σημεία

Α(-1,-4) και Β(4,6) ανήκουν στη γραφική παράσταση της f.

ii) Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με

τους άξονες.

154) Δίνονται τα σημεία Α(1,-1) και Β(-1,1).



Να βρείτε για ποια σημεία Γ του καρτεσιανού επιπέδου το

τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

155) Δίνονται οι συναρτήσεις :

( ) 1 2f x x x και ( ) 2 5g x x .

Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f

C βρίσκεται πάνω από τη

gC .

156) Να βρείτε τα σημεία τομής των f

C και gC αν 2( ) 3f x x x

και 2( )g x x .

6.3. Η Συνάρτηση ( )f x x .

157) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες

1: 3 1y x και 2

: 3 2y x .Τι θέση έχουν οι δύο ευθείες μεταξύ

τους ;

158) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες :

1: 2y και 2

: 1y .

159) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν οι παρακάτω ευθείες με

τον άξονα χ’χ :

i) 1y x ii) 1y x iii) 3 5y x



160) Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η ευθεία x14

1y:1

με λ 14 να

είναι: α) παράλληλη στον άξονα x'x

β) κάθετη στην ευθεία 2 : y=(λ-2)x+10

161) Nα προσδιοριστεί ο λ ώστε η ευθεία x14

1y:1

με λ 14 να

είναι κάθετη στην ευθεία 3

x2

3y:2

.

162) Δίνεται η ευθεία

0,23

x2

y:

. Να προσδιοριστεί ο λ

ώστε η ευθεία (ε) α) Να είναι παράλληλη στην ευθεία y=-2

β) Να είναι παράλληλη στην ευθεία 5x2

1y

γ) Να είναι κάθετη στην ευθεία y=-4x+1

δ) Να διέρχεται από το σημείο Α(3,-1)

163) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

2x,3x

2x1,0

1x,4x

xf

.

164) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

i) f(x)=|x-1|+3 ii) f(x)=|x|+x-2

165) Να βρείτε τη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι η παρακάτω :



166) Ομοίως για την παρακάτω γραφική παράσταση :

167) Να σχεδιάσετε την ευθεία ε: y=2x+4 και να βρείτε το εμβαδόν

του τριγώνου που σχηματίζει με τους άξονες.

6.4. Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης 168) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις

των παρακάτω συναρτήσεων : ( )f x x , ( ) 1g x x , ( ) 1h x x .



169) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων :

( )f x x , ( ) 1g x x , ( ) 1h x x .

170) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις

των παρακάτω συναρτήσεων : ( )f x x και ( ) 2 1g x x .


των παρακάτω συναρτήσεων :

2( )f x x , 2( ) 1g x x , 2( ) 1h x x .



2( )f x x , 2

( ) 1g x x , 2

( ) 1h x x .

6.5.Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 173) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις :

i) ( ) 2 1f x x ii) ( ) 3 4f x x iii) 1( )

2x

f x

174) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία στο διάστημα Δ τις

συναρτήσεις :

i) 21( ) ,f x x

x στο 0,

ii) 2 1( ) ,f x x

x στο ,0



175) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η συνάρτηση

( ) 7 3 2 7f x x είναι :

i) γνησίως αύξουσα, ii) γνησίως φθίνουσα, iii) σταθερή.

176) Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων : i) ( ) 2 3f x x ii) ( ) 4 3f x x iii) 2( ) 1f x x

iv) ( ) 3f x x .

177) A) Nα βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης :

1( ) 5,f x x

x με 0,x

Β) Nα βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης :

1( ) 3,f x x

x με ,0x

178) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές :

i) 2

( )4

xf x

x

ii) 2

( )5

xf x

x

iii) ( ) 3f x x x

iv) ( ) 1 1f x x x v) 2 1

( )2

xf x

x

vi) ( )

1

xf x

x

7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Mελέτη Βασικών Συναρτήσεων

7.1.Μελέτη της Συνάρτησης : 2( )f x x 179) Να βρείτε την παραβολή, με κορυφή την αρχή των αξόνων, η

οποία διέρχεται από το σημείο 32,

2A

.

180) Α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων, να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 2( )f x x και ( )g x x .



Με τη βοήθεια του σχήματος να λύσετε την ανίσωση 2x x . Β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούμενο συμπέρασμα.

181) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

2( )f x x x .

182) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

2

1( )

1

xf x

x

0

0

x

x

7.2.Μελέτη της Συνάρτησης: ( )f xx

.



1( )f x

x , 1

( ) 1g xx

, 1( ) 2h x

x

184) Oμοίως τις συναρτήσεις :

,1 1 1

( ) , ( ) ( )1 2

f x g x h xx x x

185) Δίνεται η συνάρτηση : ( )f xx

για χ>0, με α>0

και Μ σημείο της γραφικής παράστασης της f. Έστω Α και Β οι προβολές του Μ στους ημιάξονες Οχ και Οy αντίστοιχα. i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΑΜΒ είναι

σταθερό όταν το Μ διατρέχει τη γραφική παράσταση της f. ii) Αν α=1, να βρείτε το σημείο Μ, ώστε η περίμετρος του

ορθογωνίου ΟΑΜΒ να είναι η ελάχιστη.

7.3.Μελέτη της Συνάρτησης: 2( )f x x x .

186) Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 6 5f x x x .



i) Να βρείτε την κορυφή και τον άξονα συμμετρίας της γραφικής παράστασης της f.

ii) Να βρείτε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f. iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f

με τους άξονες. iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.

187) Α) Θεωρούμε τη συνάρτηση 2( )f x x x .Να βρείτε τους

πραγματικούς αριθμούς α,β,γ αν η καμπύλη της τέμνει τον άξονα y’y στο 2 και τον χ’χ στα -2 και -1. Β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα μονοτονίας της f και να βρείτε το είδος και την τιμή του ακροτάτου αυτής.

188) Α) Θεωρούμε τη συνάρτηση 2( )f x x x .Να βρείτε τους

πραγματικούς αριθμούς α,β,γ αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από τα σημεία Α(1,-4),Β(2,-3) και Γ(-2,5). Β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα μονοτονίας της f και να βρείτε το είδος και την τιμή του ακροτάτου αυτής.

189) Η παραβολή 2( )f x x x έχει κορυφή το σημείο Κ(3,-5).Να

βρείτε τους αριθμούς β και γ.

190) Η παραβολή : 2( ) 3 1f x x x έχει άξονα συμμετρίας τον

y’y. Να βρείτε : i) τον αριθμό λ, ii) την κορυφή της παραβολής.

191) Δίνεται η συνάρτηση : 2( ) 3 2f x x x

Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η γραφική παράσταση της f : i) εφάπτεται στον άξονα χ’χ , ii) έχει άξονα συμμετρίας τον y’y , iii) έχει κορυφή με τεταγμένη -4.



192) Να αποδείξετε ότι η παραβολή 2 2( )f x x x εφάπτεται

στον άξονα χ’χ, μόνο όταν ή 3 .

193) Η παραβολή : 2 2( ) 1 4 9 4f x x x παρουσιάζει

μέγιστο στο 0 3x .Να βρείτε :

i) τον αριθμό λ, ii) την κορυφή της παραβολής.

194) Α) Να βρείτε τις τιμές του ,ώστε η γραφική παράσταση της

συνάρτησης 2( ) 6f x x x να εφάπτεται στον άξονα χ’χ.

Β) Για τιμές του κ που βρήκατε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.

194 ασκήσεις επανάληψης για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Education

Transcript of 194 ασκήσεις επανάληψης για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου