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1.5 Construcción de funcionales 1.5.8. Método de Rayleigh-Ritz para la aproximación de funcionales La idea de este método consiste en que al buscar el extremo de un funcional: ()= Z ( )Ω considerando sólo las combinaciones lineales posibles de funciones admisibles de la forma ()= X () donde son las constantes y el sistema (), denominado sistema de funciones coordenadas es tal que las funciones () son linealmente independientes y forman en el espacio analizando un sistema de funciones. La condición de que () son funciones admisibles impone sobre las funciones coordenadas () algunas condiciones adicionales tales como condiciones de suavidad o de contorno. En tales combinaciones lineales el funcional ( ()) se convierte en una función de argumentos 1 2 , : ( )= Z ( )Ω Para encontrar los valores 1 2 para los cuales la función ( 1 2 ) alcanza un valor extremo. Para esto se resuelve el sistema de ecuaciones, en general, lineales respecto a 1 2 : ( ) =0 =1 2 Ejemplo barra con fuerza de cuerpo cuadrática De la barra mostrada en la Fig.(1.11), con fuerza de cuerpo cuadrático, determine el mediante el método de Rayleigh-Ritz una solución aproximada para el siguiente funcional: Π( ()) = Z Ω " 1 2 μ () ¶ 2 − 2 () # Ω (1.136) Solución Se utiliza la aproximación del campo de desplazamientos empleada para los métodos de residuos pesados que satisfacen las condiciones esenciales (0) = ()=0: ()= 1 ¡ 2 − ¢ + 2 ¡ 3 − 2 ¢ (1.137) La derivada de la ec. (1.137) es: c °GJL, UAM 38
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1.5 Construcción de funcionales
1.5.8. Método de Rayleigh-Ritz para la aproximación de funcionales
La idea de este método consiste en que al buscar el extremo de un funcional:
() =
Z( )Ω
considerando sólo las combinaciones lineales posibles de funciones admisibles de la forma
() =
X
()
donde son las constantes y el sistema (), denominado sistema de funciones coordenadas es
tal que las funciones () son linealmente independientes y forman en el espacio analizando un
sistema de funciones.
La condición de que () son funciones admisibles impone sobre las funciones coordenadas
() algunas condiciones adicionales tales como condiciones de suavidad o de contorno. En
tales combinaciones lineales el funcional (()) se convierte en una función de argumentos
1 2 ,:
() =
Z( )Ω
Para encontrar los valores 1 2 para los cuales la función (1 2 ) alcanza un
valor extremo. Para esto se resuelve el sistema de ecuaciones, en general, lineales respecto a
1 2 :
()
= 0 = 1 2
Ejemplo barra con fuerza de cuerpo cuadrática
De la barra mostrada en la Fig.(1.11), con fuerza de cuerpo cuadrático, determine el mediante
el método de Rayleigh-Ritz una solución aproximada para el siguiente funcional:
Π( ()) =
ZΩ
"1
2
µ ()
¶2− 2 ()
#Ω (1.136)
Solución
Se utiliza la aproximación del campo de desplazamientos empleada para los métodos de residuos
pesados que satisfacen las condiciones esenciales (0) = () = 0:
() = 1¡2 −
¢+ 2
¡3 − 2
¢(1.137)
La derivada de la ec. (1.137) es:
c°GJL, UAM 38
1.5 Construcción de funcionales
Figura 1.11: Barra restringida en los extremos.
()
= (2− )1 +
¡32 − 2¢2 (1.138)
Sustituyendo las ecs. (1.137) y (1.138) en el funcional de la ec. (1.136):
Π() =
ZΩ
∙1
2¡(2− )1 +
¡32 − 2¢2¢2 − 2
¡1¡2 −
¢+ 2
¡3 − 2
¢¢¸Ω
(1.139)
Las derivadas respecto a 1 y 2 son respectivamente:
Π()
1= 0 =
Z0
¡¡(2− )1 +
¡32 − 2¢2¢ (2− )− 2
¡2 −
¢¢
=1
603
¡201 + 102 + 3
2¢= 0 (1.140)
Π()
2= 0 =
Z0
¡¡(2− )1 +
¡32 − 2¢2¢ ¡32 − 2¢− 2
¡3 − 2
¢¢
=1
304
¡51 + 42 + 2
¢= 0 (1.141)
Las ecs. (1.140) y (1.141) proporcionan el sistema de ecuaciones:"20 10
5 4
#(1
2
)=
(−32
−2
)(1.142)
La solución del sistema dado en la ec. (1.142) es:
1 = − 115
2
2 = −16 (1.143)
c°GJL, UAM 39
1.5 Construcción de funcionales
Sustituyendo el valor de las constantes dadas en la ec. (1.143) en la ec. (1.137), se obtiene una
solución aproximada:
() =1
30
¡22+ 32 − 53¢ (1.144)
Nota: Se obtuvo la misma solución aproximada en la ec. (1.144) con el método de Rayleigh-
Ritz, para minimizar el funcional de la ec. (1.136), que la solución obtenida con el método de
Galerkin en la ec. (1.101), para satisfacer el equilibrio de la ec. (1.63). Por lo anterior se concluye
que esta solución aproximada minimiza el funcional de energía y satisface el equilibrio.
Ejemplo viga
De la viga mostrada en la Fig.(1.12), con fuerza de cuerpo cuadrático, determine mediante el
método de Rayleigh-Ritz una solución aproximada para el siguiente funcional:
Π( ()) =
=Z=0
"1
2
µ2 ()
2
¶2− () ()
#+
1
2 () ()|Γ −
1
2 ()
()
| z ()
¯¯
(1.145)
compare la solución exacta con la aproximada con el desplazamiento en = 2.
Figura 1.12: Viga simplemente apoyada.
Solución
Se utiliza la siguiente aproximación que satisfacen las condiciones esenciales (0) = () = 0:
() = 1¡2 −
¢+ 2
¡3 − 2
¢(1.146)
La segundad derivada de la ec. (1.146) es:
2 ()
2= 21 + (6− 2)2 (1.147)
Sustituyendo las ecs. (1.146) y (1.147) en el funcional de la ec. (1.145):
c°GJL, UAM 40
1.5 Construcción de funcionales
Π() =
Z0
µ1
2 (21 + (6− 2)2)2 −
¡1¡2 −
¢+ 2
¡3 − 2
¢¢¶ (1.148)
Las derivadas respecto a 1 y 2 son respectivamente:
Π()
1= 0 =
Z0
¡ (21 + (6− 2)2) (2)−
¡2 −
¢¢
=1
12¡481 + 242 + 2
2¢= 0 (1.149)
Π()
2= 0 =
Z0
¡ (21 + (6− 2)2) (6− 2)−
¡3 − 2
¢¢
=1
122¡241 + 482 + 2
¢= 0 (1.150)
Las ecs. (1.149) y (1.150) proporcionan el sistema de ecuaciones:
"48 24
24 48
#(1
2
)=
(−22−2
)(1.151)
La solución del sistema dado en la ec. (1.151) es:
1 = − 124
2
2 = 0(1.152)
Sustituyendo el valor de las constantes dadas en la ec. (1.151) en la ec. (1.146), se obtiene una
solución aproximada:
() =1
24
¡3− 22
¢(1.153)
La solución exacta es:
() =1
24
¡4 − 23 + 3
¢(1.154)
Al evaluar desplazamiento al cetro del claro en las ecs. (1.153) y (1.154):
µ
2
¶=
1
96
4
= 001042
4
(1.155)
() =5
384
4
= 00130
4
(1.156)
De los resultado mostrados en las ecs. (1.155) y (1.156) se tiene un 20% de diferencia.
c°GJL, UAM 41
1.5 Construcción de funcionales
Ejemplo barra con fuerza de cuerpo constante
De la barra mostrada en la Fig.(1.13), con fuerza de cuerpo constante, determine el mediante el
método de Rayleigh-Ritz una solución aproximada para el siguiente funcional:
Π( ()) =
ZΩ
"1
2
µ ()
¶2− () ()
#Ω− ()|Γ (1.157)
Considere las condiciones esenciales (0) = 1 y () = 2.
Figura 1.13: Barra.
Solución
Se utiliza la aproximación del campo de desplazamientos empleada para los métodos de residuos
pesados que satisfacen las condiciones esenciales (0) = 1 y () = 2:
() = 1 + 2 (1.158)
Evaluando las condiciones esenciales en la ec. (1.158) se obtienen las siguientes ecuaciones:
(0) = 1 = 1 (1.159)
() = 2 = 1 + 2 (1.160)
Sustituyendo la ec. (1.159) en la (1.160) se obtiene 2:
2 =2 − 1
(1.161)
Sustituyendo las ecs. (1.159) y (1.161) en la ec. (1.158)
() = 1 +2 − 1
=
−
1 +
2 (1.162)
La primera derivada de la ec. (1.162) es:
c°GJL, UAM 42
1.5 Construcción de funcionales
()
= −1
+
2
=1
(2 − 1) (1.163)
Sustituyendo las ecs. (1.162) y (1.163) en el funcional de la ec. (1.157):
Π() =
ZΩ
"1
2
µ1
(2 − 1)
¶2−
µ−
1 +
2
¶#Ω−
µ−
1 +
2
¶¯Γ
(1.164)
Las derivadas respecto a 1 y 2 son respectivamente:
Π()
1= 0 =
Z0
µ
µ1
(2 − 1)
¶µ− 1
¶−
µ−
¶¶− 1
µ−
¶¯Γ=0
=
1 −
2 − 1
2− 1 = 0 (1.165)
Π()
2= 0 =
Z0
µ
µ1
(2 − 1)
¶µ1
¶−
³
´¶− 2
³
´¯Γ=
= −
1 +
2 − 1
2− 2 = 0 (1.166)
Las ecs. (1.165) y (1.166) proporcionan el sistema de ecuaciones:
"1 −1−1 1
#(1
2
)=
(1
2
)+
(12
12
)(1.167)
Tarea
Determine mediante el método de Rayleigh-Ritz una solución aproximada para:
a) El funcional de la tarea anterior.
b) El funcional de la viga dado en la ec. (1.145) con la siguiente función de aproximación:
() = 1¡2 −
¢+ 2
¡3 − 2
¢+ 3
¡4 − 3
¢(1.168)
Compare el desplazamiento al centro de la viga con la solución exacta y la aproximada.
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