PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

CENTRO TECNOLÓGICO UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

EMC 6705 – Fundamentos de Vibrações

2º Exercício de Avaliação:(Aplicação do Método de Rayleigh-Ritz) Aluno: Giovanni Bratti Data:24/05/2009

Proposta:

Seja a barra da figura abaixo (tronco de cone), sujeita a movimentos torcionais θ(x,t),

com as duas extremidade engastadas.

A barra possui comprimento L = 1m, com diâmetros inicial 0,40m e final de 0,20m,

densidade ρ = 7,8.10³ kg/m³ e módulo de elasticidade transversal G = 85 GPa.

Aplicar o método de Rayleigh-Ritz para calcular 2 freqüências naturais não

amortecidas e correspondentes formas modais com qualidade. Utilizar funções tentativas

que sejam polinômios em x.

Comparar as freqüências naturais com resultados obtidos por desenvolvimento

analítico (Cap. 2 da disciplina), considerando uma viga de seção constante, cujo diâmetro

adote o valor do diâmetro médio da viga acima, ou seja, de 0,30 m.

Apresentar as matrizes de massa e de rigidez reduzidas.

x θ(x,t)

1,00 m

Ø 0

,40m

Ø 0

,20m

0

1 – Aplicação do Método dos Sistemas Contínuos (Solução Analítica)

Esta primeira abordagem é feita com a aplicação do Método dos Sistemas Contínuos

(ou Analítico) em uma viga com vibração torcional, cujo objetivo é encontrar as

freqüências naturais e as respectivas formas modais dos dois primeiros modos. Este método

considera os corpos (sistema) com massa e elasticidade distribuída continuamente, que são

considerados homogêneos e isotrópicos, comportando-se de acordo com a lei de Hooke,

quando dentro dos limites de elasticidade.

Vibração Torcional da Viga com Seção Constante:

O sistema a ser analisado pelo método dos sistemas contínuos é uma viga (Fig.1) com

seção transversal constante (diâmetro médio de Diam=0,30m), módulo de elasticidade

transversal G=85GPa, momento polar de inércia da seção transversal dado por J(x) e

momento polar de inércia de massa por comprimento dado por im(x).

Figura 1: Viga bi-engastada, com seção transversal constante.

Admitindo que G, J(x) e im(x) são constantes ao longo da viga, a equação diferencial

parcial que descreve o movimento da viga (equação da onda) é dada por:

onde a2 =GJ/im e tx, é o movimento de rotação da seção transversal em torno de x.

Aplicando o método da separação de variáveis com tx, =X(x)·T(t), a equação da

onda resulta em:

2

2

22

2 ,1,t

txax

tx

(1)

G,J,im

x θ(x,t)

1,00 m

0

Ø 0

,30m

ou unindo os termos como:

As condições de contorno especiais são:

ou seja, nos extremos da viga o deslocamento angular é zero. Usando a mesma separação

de variáveis, as condições de contorno acima nos fornecem:

Analisando o problema em X(x), tem-se que a equação diferencial ordinária é:

e as condições de contorno dadas pela equação (5).

Este problema só admite soluções triviais quando λ ≥ 0. Portanto para λ < 0, tem-se a

proposta de solução:

aplicando as condições de contorno dada pela equação (5), tem-se que:

assim, a condição é obtida quando:

condição que é obtida quando:

ou

Retornando à equação (7), as autofunções (forma modal, ou espacial) são obtidas:

TXa

TX 2

1 (2)

TT

aXX

2

1 (3)

0,0 t

0, tL (4)

0)0(0)().0(),0( XtTXt

0)(0)().(),( LXtTLXtL (5)

0)(.)( xXxX (6)

).cos(.).(.)( 21 xCxsenCxX (7)

LsenCLX

CX

.00)(

00)0(

1

2

(8)

0sen (9)

,...3,2,1.. nnLn (10)

,...3,2,12

22

nL

nn

(11)

Obs.: A constante 1C foi retirada com o intuito de mostrar como são as autofunções. Outro motivo é que na próxima etapa aparecerão

outras constantes que se misturariam com esta.

Para encontrar a solução de T(t), monta-se da parte direita da equação (3) junto com o

valor λ obtido pela equação (11) a seguinte equação:

cuja solução fornece (admitindo também que λ < 0):

Os termos J(x) (momento polar de inércia da seção transversal), im(x) (momento

polar de inércia de massa por comprimento) e a constante a, são dados respectivamente por:

32

)(4xDxJ iam

(15)

que para este modelo Diam(x)=cte=0,30m. Assim, a autofunção de x e de t levada à equação

da separação de variáveis nos fornece:

e a resposta do sistema é dada por:

e as respectivas freqüências de ressonância [rad/s] de cada modo são dadas por:

,...3,2,1.

.

nxL

nsenxX

xsenxX

n

n

(12)

0)(...)( 2

222

tTL

antT (13)

t

LansenDt

LanDtT nnn .......cos.)( 21

(14)

322

)(42 xD

LMR

LIxi iamm

m

(16)

G

iGJa

m

(17)

t

LGn

senDtLGn

DxL

nsentx nnn ./..

../..

cos..),( 21 (18)

1

),(),(n

n txtx (19)

...3,2,1,/..

nLGn

n

(20)

A solução final do problema já com os valores de G, ρ e L substituídos é dada

através da seguinte série:

e as freqüências naturais por:

A amplitude de vibração torcional ao longo da viga é uma onda seno. Através das

autofunções “equação (12)” é possível plotar as formas modais da viga para qualquer

modo, e também com a equação (21) acima se determinam as freqüências de ressonância de

qualquer modo. Para os quatro primeiros modos, têm-se os resultados:

TABELA 1: FREQÜÊNCIAS NATURAIS CALCULADAS PELO MÉTODO ANALÍTICO.

Modo wn [rad/s]

1 10370,79

2 20741,59

3 31112,38

4 41483,18

1

42

41 ..1,0371.10...1,0371.10cos...),(

nnn tnsenDtnDxnsentx (21)

1,2,3,.. =n.1,0371.104 nn (22)

Figura 2: Quatro primeiras formas modais da viga obtidos pelo método analítico.

Após a segunda parte do exercício são comparadas as formas modais adquiridas por

este método com as formas modais do segundo método junto com as suas respectivas

freqüências de naturais.

2 – Aplicação do Método de Rayleigh-Ritz (Solução Aproximada)

Esta segunda abordagem utiliza o Método energético de Rayleigh-Ritz (que é um

método aproximado) para estimar as formas modais e as freqüências naturais torcionais de

uma viga com seção transversal variável. De modo geral, o método transforma um

problema contínuo, de dimensão infinita, em um problema de autovalores de dimensão n.

Este método utiliza a energia cinética que está relacionada com a rigidez do sistema e

a energia potencial que está associada com a inércia do sistema no quociente de Rayleigh.

Este tratamento é feito para encontrar as matrizes reduzidas de massa [M] e de rigidez [K]

da viga, para que então seja resolvido o problema de autovalores que é montado com essas

matrizes [K] e [M]. Neste caso, os autovalores são com certa aproximação iguais as

freqüências naturais ao quadrado e os elementos dos autovetores são usados em conjunto

com funções tentativas para estimar as formas modais.

Vibração Torcional da Viga com Seção Variável:

Considere a viga da figura abaixo (Figura 3) como sistema:

Figura 3: Viga bi-engastada, com seção transversal variável.

Para encontrar as formas modais e as respectivas freqüências naturais utilizando o método

de Rayleigh-Ritz, admitem-se funções tentativas ϕi(x) que busque representar, através de

combinações lineares, as formas modais da estrutura.

O método de Rayleigh-Ritz admite que a solução aproximada do problema de

autovalores relacionada ao sistema contínuo possa ser dada através combinação linear da

seguinte equação:

n

ii xiax

1)()( (23)

x θ(x,t)

1,00 m

Ø 0

,40m

Ø 0

,20m

0

onde os ai são coeficientes a determinar. Normalmente neste método o número de funções

tentativas necessárias é igual ou maior que o dobro do número de modos de interesse, por

isso, será escolhidas quatro funções tentativas já que o interesse são os dois primeiros

modos.

Uma observação aqui feita é que o segundo modelo (fig.3) possui as mesmas

condições de contorno que o primeiro modelo (fig.1). Com isso, como critério de escolha

das funções tentativas, foram utilizadas as seguintes regras:

1) Todas as funções iniciam e terminam com valor nulo, concordando com a condição

de contorno que indica deslocamento angular (θ) nulo em x=0 e x=L.

2) As funções ϕ2(x), ϕ3(x) e ϕ4(x) dividem respectivamente o vão em dois, três e quatro

segmentos de comprimentos iguais.

3) Todas as funções possuem valor unitário na distância x=L/(2.i), ou seja: 1=2.iL

i

onde i é o número do modo. Por exemplo, a função ϕ1(x) tenta representar o modo i=1,

e o valor de 1=2.1L

1

.

Assim, as funções escolhidas foram as seguintes:

As quatro funções tentativas são mostradas na figura 4 a seguir:

21 44 xxx (24)

322 23

332 xxxx (25)

4323 918112

548 xxxxx (26)

54324 32870253

1051024 xxxxxx (27)

Figura 4: As quatro funções tentativas.

Para a viga da figura 3 sujeita a movimentos torcionais, que possui módulo de eleasticidade

transversal G, momento polar de inércia J(x) e momento de inércia de massa por unidade de

comprimento im(x), o quociente de Rayleigh é dado por:

onde conforme proposto pela equação (23), tem-se que:

Para resolver o numerador “N(θ)” da equação (28), aplica-se a integral por partes, que

fornece:

L

om

L

dxxxi

dxdx

xdxGJdxdx

R2

0

(28)

xaxaxaxax 44332211

(29)

LLL

dxdx

xdxGJdx

xdxxGJdxdx

xdxGJdxdxN

0

2

00

(30)

no qual aplicando as condições de contorno θ(0)=θ(x)=0, restará somente:

A viga com seção transversal variável possui o diâmetro variável dado por:

onde x é a posição na viga conforme representado na fig. 3. Substituindo a equação (32) na

equação (15) tem-se que o momento polar de inércia da seção transversal é dado por:

Substituindo a equação (33) na equação (31), tem-se:

Calculando a derivada com relação à x na equação (29) e substituindo no termo entre

colchetes da equação (34) tem-se:

no qual calculando a derivada da equação acima com relação a ar e simplificando em termo

de somatório, tem-se:

Segundo a teoria de Rayleigh-Ritz, ra

N é dado por:

e comparando a equação (37) com a (36), tem-se que:

onde os valores kij são os elementos da matriz rigidez [K]4x4 e i,j=1,2,3 e 4.

L

odx

dxxdxJGN

2 (31)

4,02,0)( xxDiam m (32)

32

4,02,0)(4

xxJ (33)

Ldx

dxxdxGN

0

244,02,0

32 (34)

L

dxxaxaxaxaxGN0

244332211

44,02,032

(35)

L

irii

r

dxxxaxGaN

0

4

1

4 24,02,032

(36)

n

irii

r

kaaN

1

2 (37)

L

riij dxxxxGk0

44,02,032

(38)

Substituindo a equação (29) no denominador “D” da equação (28) e derivando com

relação a ar, tem-se:

em que comparando a equação acima com a equação de ra

D , que segundo a teoria de

Rayleigh-Ritz é dado por:

resulta em:

onde os valores mij são os elementos da matriz massa [M]4x4 e i,j=1,2,3 e 4. Substituindo a

equação (32) na equação (16) e levando na equação (41), tem-se que os elementos mij são

dados por:

As matrizes massa [M] e rigidez [K] equivalente do modelo são obtidas levando as

funções Øi(x) e Øj(x) nas equações (42) e (38), o que com o auxílio do programa Matlab

(7.0 R14) foram calculadas e são dadas por:

Através da equação de Galerkin (desenvolvida no método de Rayleigh-Ritz) em

forma matricial dada por:

L

iriim

r

dxxxaxiaD

0

4

12 (39)

n

irii

r

maaD

1

2 (40)

L

rimij dxxxxim0

(41)

L

riij dxxxxm0

44,02,032

(42)

2,9368 2,0885 1,5895 0,55862,0885 3,5558 2,1318 0,94881,5895 2,1318 4,1137 1,74250,5586 0,9488 1,7425 3,6251

M [kg] (43)

6,4416 3,5883 1,7765 0,38943,5883 4,1709 1,8165 0,42481,7765 1,8165 2,0834 0,56150,3894 0,4248 0,5615 0,5066

109K [N/m] (44)

aMaK ][][ (45)

monta-se o problema de autovalores com as matrizes [K] e [M], em que as freqüências

naturais são as raízes quadradas dos autovalores. As freqüências naturais obtidas foram:

TABELA 2: FREQÜÊNCIAS NATURAIS CALCULADAS PELO MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ.

Modo wn [rad/s]

1 10847,54

2 21042,68

3 32196,87

4 49160,11

e os autovetores do problema reduzido fornecem, cada um deles, os quatro multiplicadores

ai que, com o auxilio da equação (29), permitem gerar as estimativas das formas modais.

Os autovetores, dos quatro primeiros modos (ordenadamente) são:

ou com os valores já substituídos:

Segundo a equação (29), tem-se que cada forma modal aproximada de cada modo é obtida

multiplicando-se cada elemento de cada autovetor φi pelas funções tentativas, ou seja:

onde θi é a forma modal do modo i e os coeficiente ai são os elementos do respectivo

autovetor i.

Uma observação aqui feita é que quando substituído valores de x[0,1] nas equações

θi, percebe-se que alguns valores possuem amplitude maior do que um. Para efeitos de

comparações, foram normalizados essas amplitudes, ou seja, cada forma modal foi

multiplicadas respectivamente pelas constantes 0,9232; 0,7379; 0,6324 e 0,8607 que torna

então suas amplitudes máximas com valores entre ±1. Assim, as formas modais obtidas

comparadas com as funções tentativas são mostradas a seguir:

4321 (46)

1.0000 0.1947-0.1844-0.0092

0.4180-1.0000 0.1547-0.0882-

0.0623 0.2717 1.0000-0.2004

0.0006 0.0156 0.2388-

1.0000

(47)

xaxaxaxaxi 44332211

(48)

Figura 5: Comparação das funções tentativas com as formas modais estimadas para

os quatro primeiros modos.

Percebe-se nas comparações acima que as formas modais diferenciaram das funções

tentativas em alguns aspectos tais como: alguns valores de amplitude e a inclinações das

curvas sofreram forte alterações, as posições em que as curvas cortam o eixo x algumas

foram deslocadas, mas mantiveram o número de cruzamentos no eixo x. Estas similaridades

se refletem nos coeficientes multiplicadores dado pelos autovetores. Nota-se que as maiores

parcelas i dos autovetores (elementos da diagonal principal) são aqueles que multiplicam as

funções tentativas i, ou seja, tem maior influência no modo i a função tentativa i.

A seguir são feitas comparações entre as formas modais e freqüências naturais

estimadas por este método e com o analítico.

3 – Comparações entre os Métodos:

As comparações dos valores das freqüências naturais calculadas pelo método

analítico e o de Rayleigh-Ritz (Tab. 3) tiveram boas concordâncias. As freqüências naturais

tiveram valores muito próximos, principalmente as três primeiras em que as diferenças não

ultrapassaram a 5%.

TABELA 3: COMPARAÇÕES DAS FREQÜÊNCIAS NATURAIS CALCULADAS [rad/s].

Modo Wn Analítico Wn Rayleigh-Ritz (Wn Ray.)-(Wn Ana.) Erro [%]

1 10370,79 10847,54 476,75 4,60

2 20741,59 21042,68 301,09 1,45

3 31112,38 32196,87 1084,48 3,49

4 41483,18 49160,11 7676,93 18,51

A teoria de Rayleigh-Ritz indica que somente a metade do número de modos

apresenta valores com precisão razoável, que neste caso são os modos um e dois. O modelo

com seção constante e diâmetro igual à média do diâmetro com seção variável foi um bom

exemplo para efeitos de comparação com o modelo de seção variável, pois os resultados

ficaram muito próximos.

As formas modais obtidas pelos métodos tiveram maiores diferenças quanto em

amplitudes, como também em deslocamento no eixo x o que se podia esperar, já que os

modelos comparados são diferentes. As comparações das formas modais dos dois modelos

obtidas pelos dois métodos são mostradas a seguir (fig.6):

Figura 6: Comparação das formas modais da viga com seção variável estimadas pelo Método de

Rayleigh-Ritz com as formas modais da viga com seção constante calculadas pelo Método Analítico.

Assim, pode-se dizer que os dois primeiros modos possuem precisão razoável, tanto em

valores de freqüência natural quanto em forma modal.

Analisando as duas primeiras formas modais acima comparadas, percebe-se que o

modelo com seção variável ficou um pouco deslocado para a direita. A seção transversal da

viga (fig.3) varia de uma área maior para uma área maior, ou seja, o diâmetro varia em

função de x. Tendo em vista que a massa da viga não é constante e que um elemento de

massa pode ser aproximado por:

dxxDxdVxdm iam2

4.)(. (49)

em que dV(x) é um elemento de volume, e a rigidez torcional Kt de uma barra circular (que

é análoga ao tronco de cone) é dada por:

percebe-se que a rigidez cresce com o diâmetro na quarta e a massa com o diâmetro ao

quadrado. Assim, em o modelo (fig.3) com seção transversal circular variável, o efeito de

massa é maior para valores de diâmetros menores e o de rigidez para valores de diâmetro

maiores.

Como complemento desta análise, foi realizado uma comparação do primeiro modo

(pelo método de Rayleigh-Ritz) em quatro vigas (tronco de cone) que possuem diâmetro

final igual a 0,2m ou seja, Diam(x=1,0)=0,2m, e da viga 1 até a 4 possuem respectivamente

diâmetros iniciais iguais a: Diam(x=0)=0,2m, Diam(x=0)=0,4m, Diam(x=0)=0,6m e

Diam(x=0)=0,8m na posição x=0,0m. Considerando G=85GPa, ρ=7,8kg/m3 e as mesmas

funções tentativas aqui sugeridas, as comparações da forma modal do primeiro modo estão

ilustradas a seguir:

Figura 7: Comparação da primeira forma modal de quatro troncos de cone com diâmetro

inicial diferentes e final iguais.

,32

4xDLG

LxGJK t

(50)

Observa-se então que modelos deste tipo sofrem deslocamento da forma modal para a

direção da menor rigidez e menor massa, ou seja, para onde o diâmetro diminui.

O modelo analítico é um modelo ideal que pode facilmente ser aplicado em sistemas

com propriedades constantes tais como: im, J, G, E, A..., o que facilita a resolução da

equação diferencial do movimento. Porém quando se trata de sistemas com propriedades

variáveis tal como o segundo modelo aqui analisado (fig.3) torna-se difícil a resolução da

equação diferencial, já que J(x) e im(x) não são constantes. Com isso, problemas deste tipo

são facilmente resolvidos com auxilio de um computador por métodos aproximados.

Uma análise extra para efeito de aprendizado e verificação da eficácia do método de

Rayleigh-Ritz foi feita aplicando o método no modelo da fig.1 e comparado com o analítico

já calculado mesmo modelo.

Considerando as mesmas funções tentativas, tem-se que as equações de massa e

rigidez são:

em que Diam=0,30m. Realizando o mesmo procedimento que foi feito para a viga com

seção variável, chega-se que as freqüências naturais e as formas modais assumem os

seguintes resultados:

TABELA 4: COMPARAÇÕES DAS FREQÜÊNCIAS NATURAIS [rad/s] CALCULADAS PARA A

VIGA COM SEÇÃO CONSTANTE

Modo Wn Analítico Wn Rayleigh-Ritz (Wn Ray.)-(Wn Ana.) Erro [%]

1 10370,79 10370,87 0,08 0,00

2 20741,59 20747,67 6,08 0,03

3 31112,38 33361,02 2248,64 7,23

4 41483,18 46743,12 5259,94 12,68

L

riij dxxxDiamm0

4

32 (51)

L

riij dxxxDiamGk0

4

32 (52)

Figura 8: Comparação dos quatro primeiros modos (ordenadamente) de vibração do

modelo de seção constante, utilizando o método Analítico e o de Rayleigh-Ritz.

o que percebe-se que a diferença é nula na primeira freqüência e 0,03% na segunda,

mostrando assim que realmente a metade dos resultados apresentam ótima precisão. Assim,

conclui-se que o método de Rayleigh-Ritz é uma ótima ferramenta que pode ser aplicado a

problemas de vibrações, que resulta em resultados muito confiáveis.