1. Übung zur Numerischen Mathematik I · Institut für Angewandte Mathematik Universittä Hannover...

Institut für Angewandte MathematikUniversität Hannover

Prof. Dr. E. P. Stephan, M. Teltscher

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IfAMHannover, den 14.10.2002

1. Übung zur Numerischen Mathematik I

Aufgabe 1.1

Man �nde das Interpolationspolynom p2 ∈ P2, das die Funktion f(x) = cos(x) in den Punkten

xk := −π2

+ πk

n, h =

1n, k = 0, . . . , n

für n = 2 interpoliert. Dazu verwende man dividierte Di�erenzen. Desweiteren gebe man eine Abschät-zung für den Interpolationsfehler ‖f − p2‖∞,[−π/2,π/2].

Aufgabe 1.2

Die Funktion f(x) =∫ x

0 e−s2ds sei für die Punkte xi = i

10 , i = 1, . . . , 10 im Intervall I = [0, 1] tabelliert.Wie groÿ ist der Fehler maximal, wenn mittels linearer Interpolation zwischen zwei Knoten xi, xi+1 einWert f(x) approximiert werden soll, wobei x ∈ [xi, xi+1], i = 0, . . . , 9?.

Aufgabe 1.3

Für die Funktion g(x) = cosh(x) stehe eine Tabelle mit der Schrittweite h = 0.1 zur Verfügung.Gesucht ist x mit cosh(x) = 2, und es sei bekannt, daÿ x zwischen 1.3 und 1.4 liegt.

(i) Zu den Stützstellen x0 = 1.2, x1 = 1.3, x2 = 1.4, x3 = 1.5 berechne man die Werte ti := g(xi),i = 0, . . . , 3 (per Taschenrechner). Nun bestimme man eine Interpolierende p3(t) von g−1(t) ineiner Umgebung von t = 2. Wie lautet x = p3(2), und wie groÿ ist x− x?

(ii) Ist eine solche �inverse Interpolation� immer möglich?

Aufgabe 1.4

Es seien x0 < x1 < . . . < xn. Man zeige:

maxx∈[x0,xn]

|(x− x0) · . . . · (x− xn)| ≤ n!4hn+1,

wobei h := maxi=1,...,n(xi − xi−1).Hinweis: Vollständige Induktion über n.

Hausübung

Hausaufgabe 1.1 (7 Punkte)Gegeben sei die Funktion f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 1.

(i) Man bestimme das Interpolationspolynom p von f zu den Knoten xi = −1 + i (i = 0, 1, 2, 3).

(ii) Man rechne nach, daÿ f(x) = p(x)+ω(x) gilt, wobei ω(x) das Knotenpolynom ist. Man beweise,daÿ diese Aussage unabhängig von der Wahl der Stützstellen xi, i = 1, . . . , 3 gilt.

(iii) Man berechne den exakten Interpolationsfehler im Punkt x = 0.5.



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Aufgabe 2.1

Seien xν paarweise verschieden, 0 ≤ k ≤ n. Man zeige:

f [x0, . . . , xk] =k∑ν=0

f(xν)[ k∏j=0j 6=ν

(xν − xj)]−1

.

Aufgabe 2.2

Interpoliere die Funktion g(x) = e−(x−1)2auf dem Intervall I = [0, 5] durch

(i) die Funktion p5 mit den Stützstellen xk = k, k = 0, . . . , 5,

(ii) die Funktion p∗5 mit den Stützstellen x0, . . . , x5 als Nullstellen des sechsten Tschebysche�-Polynoms T6.

(iii) Man skizziere die Funktionen g, p5 und p∗5.

Aufgabe 2.3

Man �nde das Hermite-Interpolationspolynom h5 ∈ P5, das die Funktion f(x) = cos(x) und ihre Ableitung inden Punkten

xk := −π2

+ πk

n, h =

π

n, k = 0, . . . , n

für n = 2 interpoliert(i) unter Verwendung dividierter Di�erenzen,

(ii) durch Aufstellung eines Gleichungssystems.Man gebe eine Abschätzung für den Interpolationsfehler ‖f − h5‖∞,[−π/2,π/2].

Aufgabe 2.4

Seien n ∈ N, a, b ∈ R, x0 ∈ [a, b] und eine Funktion f ∈ Cn+1([a, b];R) gegeben. Man �nde das Hermite-Interpolationspolynom p ∈ Pn, für das gilt

p(k)(x0) = f (k)(x0), k = 0, . . . , n.

Weiter �nde man eine Darstellung von f(x)− p(x) für x ∈ [a, b].

Hausübung

Hausaufgabe 2.1 (9 Punkte)

Interpoliere die Funktion f(x) =1

x2 + 1auf dem Intervall I = [−4, 4] durch

(i) die Funktion p3 mit den Stützstellen xk = −3 + 2k, k = 0, . . . , 3,

(ii) die Funktion p∗3 mit den Stützstellen x0, . . . , x3 als Nullstellen des vierten Tschebysche�-Polynoms T4.

(iii) Man skizziere die Funktionen f , p3 und p∗3.

(iv) Man schätze den Fehler ‖f − p∗3‖∞,I . Dazu berechne man ‖ω‖∞,I exakt und verwende (ohne Beweis)‖f (4)‖∞,I = |f (4)(0)|.

Abgabe der Hausübung bis Do. 31.10.02 um 10:00 Uhr (Kasten gegenüber des Terminalraumes der Unix-AG).



��IfAM Hannover, den 28.10.2002


Aufgabe 3.1

Interpoliere die Funktion f(x) = cos(π2x) in den Knoten -1, -1/2, 0, 1/2, 1 durch

(i) ein Polynom p4,

(ii) einen linearen Spline ϕ,

(iii) einen natürlichen kubischen Spline ψ,

(iv) einen verallgemeinerten kubischen Spline Ψ mit Ψ′′(−1) = f ′′(−1), Ψ′′(1) = f ′′(1).

Aufgabe 3.2

Gesucht ist die Lösung der gewöhnlichen Di�erentialgleichung

y′′ + y + 1 = 0, y(0) = y(1) = 0. (∗)

Man �nde den kubischen Spline ψ, der (∗) in den Punkten x0 = 0, x1 = 1/2, x2 = 1 erfüllt.Danach ermittle man die exakte Lösung y von (∗) und berechne ψ(0.5) und y(0.5).

Aufgabe 3.3

Man �nde den kubischen Spline, der die Funktion f(x) = sin2(x) − cos2(x) in den Punktenx0 = 0, x1 = π/2, x2 = π interpoliert und den Randbedingungen ψ′(0) = f ′(0), ψ′(π) = f ′(π)genügt.

Hausübung

Hausaufgabe 3.1 (8 Punkte)Gesucht ist der kubische Spline ψ, der folgende Bedingungen erfüllt:

ψ(0) = 14, ψ(1

4) = 1

3, ψ(1

2) = 0, ψ′′(0) = 0, ψ′′(1

2) = 24.

(i) Man berechne die Koe�zienten von ψ zur B-Spline-Basis.

(ii) Man berechne ψ′(0), ψ′(14), ψ′(1

2) und skizziere die Funktion ψ auf dem Intervall [0, 1

2].

Abgabe der Hausübung bis Do. 07.11.02 um 10:00 Uhr (Kasten gegenüber des Terminalraumesder Unix-AG).





Aufgabe 4.1

Zeige, daÿ natürliche kubische Splines im folgenden Sinne optimal sind:Es sei t0 < t1 < . . . < tn. Unter allen C2-Funktionen y, die die gleichen Punkte interpolierenund die gleichen Randbedingungen erfüllen, minimiert der kubische Spline ψ das Krümmungs-integral, d.h.:

tn∫t0

(y′′)2dt ≥tn∫t0

(ψ′′)2dt.

Aufgabe 4.2

Es seien

A =

4 2 40 10−4 12 0 10−4

und b =

1012

.

Berechne die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b mit Hilfe des Gauÿ-Algorithmus

(i) exakt,

(ii) ohne Pivotsuche bei 3-stelliger Genauigkeit,

(iii) mit Zeilenäquilibrierung und Spaltenpivotsuche bei 3-stelliger Genauigkeit

und vergleiche die Ergebnisse.

Aufgabe 4.3

A =

3 1 11 0.2 0.22 0.1 −0.1

und b =

3.51.33.2

.

(i) Bestimme die exakte Lösung.

(ii) Es werde nun mit zwei gültigen Zi�ern gerechnet. Bestimme so die LR-Zerlegung von Aund daraus eine Lösung x(0).

(iii) Bestimme nun mit doppelter Genauigkeit das Residuum r(x(0)) = b−Ax(0) und errechnemit der Methode der Nachiteration eine verbesserte Lösung x(1).

Hausübung

Hausaufgabe 4.1 (7 Punkte)Es ist das Gleichungssystem Ax = b zu lösen, wobei

A =

2 −3 11 2 0−1 0 2

und b =

031

.

Gegeben sei eine approximative LR-Zerlegung von A, nämlich A ≈ LR mit

L =

1 0 00 1 00 0 1

und R =

2 −3 10 3 00 0 2

.

(i) Man berechne mit den angegebenen Matrizen L und R eine Näherungslösung x(0).

(ii) Man berechne ein x(1) mit der Methode der Nachiteration.

(iii) Ist x(1) eine bessere Lösung als x(0)? (Berechne dazu die echte Lösung x und betrachtedie euklidische Norm des Fehlers.)

Hausaufgabe 4.2 (4 Punkte)Es sei A die positiv de�nite Matrix

A =

4 6 2 −106 18 3 −92 3 2 2

−10 −9 2 94

.

(i) Man berechne die LR-Zerlegung von A.

(ii) Man löse das Gleichungssystem Ax = b mit b = (3, 9, 2,−1)T.

Abgabe der Hausübung bis Do. 14.11.02 um 10:00 Uhr (Kasten gegenüber des Terminalraumesder Unix-AG).





Aufgabe 5.1

Es seien

A =

4 −2 6 −4−2 2 −2 0

6 −2 26 −12−4 0 −12 10

und b =

−10

22

14

.

Man löse das lineare Gleichungssystem Ax = b, indem man für die Matrix A eine Cholesky-Zerlegung durchführt, d.h. man �nde eine obere Dreiecksmatrix S mit A = STS.

Aufgabe 5.2

Für 1 ≤ p, q ≤ ∞ und A ∈ Rm×n bezeichnen wir mit ‖A‖p,q (mit ‖A‖p falls p = q) die von derp-Norm des Rm und der q-Norm des Rn auf dem R

m×n induzierte Matrixnorm. Man zeige:

(i) ‖A‖∞ = max1≤i≤m∑n

k=1 |aik| �Zeilensummennorm�,

(ii) ‖A‖1 = max1≤k≤n∑m

i=1 |aik| �Spaltensummennorm�,

(iii) Für 1 ≤ p, q ≤ ∞ ist ‖A ·B‖p ≤ ‖A‖p‖B‖p.

(iv) ‖A‖2 ≤√‖A‖1‖A‖∞,

Aufgabe 5.3

Es seien A, T ∈ Rn×n und T nichtsingulär. Es sei ‖ · ‖ eine (Vektor-)Norm auf Rn und ‖ · ‖ diedavon induzierte Matrixnorm auf Rn×n. Man zeige:

(i) x 7→ ‖x‖T := ‖T−1x‖ ist eine Norm auf Rn.

(ii) Die davon induzierte Matrixnorm ist A 7→ ‖A‖T = ‖T−1AT‖.

Hausübung

Hausaufgabe 5.1 (4 Punkte)Es sei A die positiv de�nite Matrix

A =

4 6 2 −106 18 3 −92 3 2 2

−10 −9 2 94

.

(i) Man berechne die Cholesky-Zerlegung von A.

(ii) Man löse das Gleichungssystem Ax = b mit b = (3, 9, 2,−1)T.

Hausaufgabe 5.2 (5 Punkte)Es sei ‖·‖ eine Matrixnorm auf Rn×n. Man zeige: Wenn C ∈ Rn×n und ‖C‖ < 1, so gelten

(I − C)−1 =∞∑ν=0

Cν , C0 := I = Einheitsmatrix

und‖(I − C)−1‖ ≤ 1

1− ‖C‖.

Hinweis: Man zeige zuerst, daÿ gilt: (I − C)∑k

ν=0 Cν = I − Ck+1.

Abgabe der Hausübung bis Do. 21.11.02 um 10:00 Uhr.





Aufgabe 6.1

Es seienA =

(0.99 0.980.98 0.97

)und b =

(1.971.95

).

(i) Man bestimme die exakte Lösung des LGS Ax = b.

(ii) Nun seien A und b fehlerbehaftet: Man löse das LGS Ax = b mit A = A+∆A, b = b+∆b,x = x+ ∆x und

∆A =

(5 · 10−6 −4 · 10−6

−4 · 10−6 4 · 10−6

)und ∆b =

(−3.3 · 10−6

3.5 · 10−6

).

(iii) Man gebe eine Abschätzung für den relativen Fehler‖∆x‖2

‖x‖2

.

Aufgabe 6.2

Wir wollen das lineare Gleichungssystem Ax = b mit

A =

−2 1 0 0

1 −2 1 00 1 −2 10 0 1 −2

, b =

0−1−1

0

näherungsweise lösen.

(i) Man zeige, daÿ das Gesamt- und das Einzelschrittverfahren konvergieren.

(ii) Ausgehend vom Startvektor x(0) = (0, 0, 0, 0)T rechne man jeweils drei Schritte mit demGesamt- und dem Einzelschrittverfahren.

(iii) Man berechne die Sassenfeldsche Zahl zu A und gebe damit eine a-posteriori Fehlerab-schätzung.

Aufgabe 6.3

Konvergiert das Jacobi-Verfahren für ein LGS ATx = b, so auch für jedes LGS Ay = c.

Aufgabe 6.4

Gebe ein Beispiel einer Matrix A ∈ R3×3,

(i) für die das Gauÿ-Seidel-Verfahren konvergiert, das Jacobi-Verfahren hingegen nicht,

(ii) für die das Jacobi-Verfahren konvergiert, das Gauÿ-Seidel-Verfahren hingegen nicht.

Hausübung

Hausaufgabe 6.1 (9 Punkte)Gegeben sei das LGS Ax = b mit

A =

1 0.4 0.61 −3 0.21 −0.2 2

, b =

1.9−1.1−0.1

.

(i) Man berechne die exakte Lösung x.

(ii) Man führe drei Schritte mit dem Jacobi- (Gesamtschritt-)Verfahren durch und berechne‖x− x(3)

J ‖2. Als Startwert nehme man den Nullvektor.

(iii) Man führe drei Schritte mit dem Gauÿ-Seidel- (Einzelschritt-)Verfahren durch und be-rechne ‖x− x(3)

GS‖2. Als Startwert nehme man den Nullvektor.

(iv) Kann man mit Hilfe der Sassenfeldschen Zahlen eine Fehlerabschätzung für das Gauÿ-Seidel-Verfahren angeben?

Hausaufgabe 6.2 (3 Punkte)Ist die Iterationsmatrix M = −(D + AL)−1AR des Einzelschrittverfahrens invertierbar?




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Aufgabe 7.1

Mit dem Banachschen Iterationsverfahren bestimme man alle Fixpunkte der Abbildung

f : (0,∞) −→ R, x 7−→ ln2 x

auf drei gültige Dezimalen.

Aufgabe 7.2

Gesucht ist der Fixpunkt x∗ ∈ [0, 2π) der Funktion

f(x1, x2) =(

0.5 cosx1 − 0.5 sinx2

0.5 sinx1 + 0.5 cosx2

).

(i) Man zeige, daÿ f die Voraussetzungen für das Banachsche Iterationsverfahren erfüllt und man führe vierSchritte des Verfahrens durch (Startwert x(0) = (0, 0)T).

(ii) Man führe zwei Schritte mit dem Newton-Verfahren durch (Startwert x(0) = (0, 0)T).

Aufgabe 7.3

Gesucht wird die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

x2 − y2 = 1,

x3y2 = 1

mit x, y ≥ 0.(i) Dazu führe man jeweils drei Schritte mit dem nichtlinearen Gesamt- und Einzelschrittverfahren durch

(Startwert (x0, y0)T = (1, 1)T).

(ii) Man rechne zwei Schritte mit dem Newton-Verfahren (Startwert (x0, y0)T = (1, 1)T).

Hausübung


Gesucht ist die Nullstelle (x∗, y∗) der Funktion F (x, y) :=(x2 + y2 − 2xx2 − y2 − y

)mit 0 < x, y < 2.

(i) Dazu führe man zwei Schritte mit dem Newton-Verfahren (Startwert (x(0), y(0)) = (1, 1)) durch.

(ii) Man zeige, daÿ x∗ bzw. y∗ die Gleichungen

4x3 − 8x2 + 5x− 2 = 0 bzw. 4y3 + 4y2 − 3y − 4 = 0

lösen.

(iii) Man führe für jedes der Gleichungen aus (ii) zwei Schritte mit dem Newton-Verfahren durch (Startwertex0 = 1, y0 = 1).




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Aufgabe 8.1

Man löse das LGS Ax = b mit dem CG-Verfahren. Dabei seien

A =(

2 44 11

), b =

(−1

1

).

Aufgabe 8.2

Seien A ∈ Rn×n positiv de�nit, b ∈ Rn und p0, . . . , pn−1 ∈ Rn\{0} konjugiert bzgl. A.

(i) Für x ∈ Rn Lösung von Ax = b gilt x =∑n−1j=0

〈b, pj〉〈Apj , pj〉

pj .

(ii) Es gilt A−1 =∑n−1ν=0

pν · pνT

〈Apν , pν〉.

Aufgabe 8.3

Man gebe eine geometrische Interpretation des CG-Verfahrens für n=2.

Aufgabe 8.4

Man löse das LGS Ax = b mit

A =

1.25 −0.5 1.5−0.5 2 −3

1.5 −3 10

und b =

1.183.74−3.6

,

indem man drei Schritte mit dem CG-Verfahren durchführt. Als Startvektor nehme man den Nullvektor.

Hausübung

Hausaufgabe 8.1 (8 Punkte)Es seien

A =

4 −2 6 −4−2 2 −2 0

6 −2 26 −12−4 0 −12 10

und b =

−10

22

14

.

Man löse das lineare Gleichungssystem Ax = b näherungsweise, indem man zwei Schritte mit dem CG-Verfahrendurchführt. Als Startvektor nehme man den Nullvektor.


1. Klausur: Montag, 16. Dezember 2002, 16:00 � 18:00, Raum E001Mitzubringen sind nicht-programmierbare Taschenrechner, sonstige Hilfsmittel sind nicht erlaubt!



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Aufgabe 9.1

Wir betrachten den Raum L2(I, w) mit I = [−1, 1] und w(x) = x+ 2.

(i) Mit dem Verfahren von Gram-Schmidt berechne man eine Orthonormalbasis des Unterraums P1 :=span{1, x}.

(ii) Man berechne die beste Approximation v ∈ P1 zur Funktion

u(x) ={

0, −1 ≤ x ≤ 0x, 0 ≤ x ≤ 1

und gebe den Fehler ‖u− v‖L2(I,w) an.

Aufgabe 9.2

Es seien Tn(x), n ∈ N0 die Tschebysche�-Polynome 1. Art, I = [−1, 1] and w(x) = 1√1−x2 .

(i) Man zeige: Die Tn bilden ein Orthogonalsystem in L2(I, w).

(ii) Sei f(x) = sin(πx), x ∈ [−1, 1]. Man bestimme die beste Approximation g(x) =∑3n=0 anTn(x) zu f in

L2(I). Man berechne ‖g − f‖L2(I) und f(0.95)− g(0.95).

(iii) Zum gleichen f wie in (ii) bestimme man die beste Approximation g(x) =∑3n=0 anTn(x) in L2(I, w).

Man berechne ‖g − f‖L2(I) und f(0.95)− g(0.95).

Aufgabe 9.3

Es sei folgende Tabelle experimentell ermittelter Meÿwerte gegeben:

xi 1.47 1.83 3.02 3.56 5.86 8.75 9.45yi 2.09 1.92 2.19 2.64 3.19 3.13 3.61

Laut Theorie sollen diese Meÿwerte auf einer Geraden liegen. Man �nde die Gerade mit der kleinsten Abweichungvon den Meÿwerten in der diskreten L2-Norm.

Hausübung

Hausaufgabe 9.1 (8 Punkte)Wir betrachten den Raum L2(I, w) mit I = [−1, 1] und w(x) = 1. Es sei Pn der Raum der Polynome bis zumGrad n. Für i = 1, 2, 3 bestimme man die beste Approximation vi ∈ Pi−1 zu

u(x) ={

0, −1 ≤ x ≤ 0x, 0 ≤ x ≤ 1

und gebe den Fehler ‖u− vi‖L2(I) an. Desweiteren zeichne man u und vi (i = 1, 2, 3) in ein gemeinsamesKoordinatensystem.






Aufgabe 10.1

Approximiere∫ 1

0exdx mit Hilfe der Mittelpunktregel, der Trapezregel und der Simpson-Regel

und schätze jeweils den Fehler ab.

Aufgabe 10.2

Man zeige,

(i) daÿ die Trapezregel Polynome zweiten Grades nicht mehr exakt integriert, d.h.: p ∈ P2 ⇒ET (p) 6= 0.

(ii) daÿ die Simpson-Regel Polynome dritten Grades exakt integriert, d.h.: p ∈ P3 ⇒ ES(p) =0, aber Polynome vierten Grades nicht mehr, d.h.: p ∈ P4 ⇒ ES(p) 6= 0.

Aufgabe 10.3

Für n = 8 ergeben sich für die geschlossene Newton-Cotes-Formel INC9 (f) die Gewichte α0 =α8 = 989 · σ, α1 = α7 = 5888 · σ, α2 = α6 = −928 · σ, α3 = α5 = 10496 · σ, α4 = −4540 · σ mitσ = (b− a)/28350. Für das Restglied gilt

ENC9 (f) = − 2368

467775· (b− a)11 · f (10)(ξ) für ein ξ ∈ (a, b).

Es sei f(x) = sin x.

(i) Für I =∫ 1.4

1f(x) dx berechne man die Näherung INC9 (f) unter Verwendung der vollen

Rechengenauigkeit und schätze den Integrationsfehler ab.

(ii) Man berechne INC9 (f) wie oben, nur daÿ man nun die Sinuswerte auf zwei gültigen Dezi-malen gerundet nehme. Man berechne explizit den Fehler. Wodurch läÿt sich die auftre-tende Beobachtung erklären?

Aufgabe 10.4

Gegeben sei die Newton-Cotes-Formel In+1f =∑n

j=0 αjf(tj) zur Berechnung vonb∫a

f(t)dt.

(i) Für die Funktionswerte f(tj) sind nur Näherungen f(tj) + εj mit |εj| ≤ ε bekannt. Diedadurch erhaltene Summe wird mit I bezeichnet. Bestimme ein möglichst kleines L, sodaÿ |In+1(f)− I| ≤ Lε gilt.

(ii) Zeige mit Hilfe des Weierstraÿschen Approximationssatzes, daÿ folgendes gilt: Es sei f :[0, 1] → R eine stetige Funktion. Gegeben sei eine Folge In von Newton-Cotes-Formelnmit positiven Gewichten, wobei In(p) =

∫ 1

0p(t)dt für alle p ∈ Pn−1. Dann gilt

limn→∞

In(f) =

∫ 1

0

f(t)dt.

Hausübung


Es sei f(y) =cos π

8y√

y2 + y. Man approximiere das Integral

∫ 4

0f(y) dy mit Hilfe der Mittelpunktre-

gel, der Trapezregel und der Simpson-Regel. Dazu substituiere man zuerst y = x2. Warum istdies nötig?

Hausaufgabe 10.2 (4 Punkte)Gegeben eine Quadraturformel der Gestalt I(f) =

∑ni=0 αif(xi) zur Approximation von

∫ baf(t) dt.

Man zeige, daÿ I(f) Polynome vom Grad 2n+ 2 nicht mehr exakt integriert.




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Aufgabe 11.1

Es sei f(x) = sinx.

(i) Für I =∫ 1.4

1f(x) dx berechne man eine Näherung S(h)(f) mit der summierten Simpson-Regel zur Schritt-

weite h = 0.1 unter Verwendung der vollen Rechengenauigkeit und schätze den Integrationsfehler ab.

(ii) Man berechne S(h)(f) wie oben, nur daÿ man nun die Sinuswerte auf zwei gültigen Dezimalen gerundetnehme. Man berechne explizit den Fehler. Man vergleiche das Ergebnis mit dem aus Stundenübung 10.3.

Aufgabe 11.2

Es soll die Funktion f(x) =√x

1 + xnumerisch über das Intervall [0,1] integriert werden

(i) durch die summierte Trapezregel mit h = 1, 12 ,

14 ,

18 ;

(ii) durch Extrapolation aus diesen Werten mit dem Romberg-Schema.

(iii) Welchen Fehler kann man in (i) voraussagen? Ist das Vorgehen unter (ii) sinnvoll?

Aufgabe 11.3

Berechne eine Näherung für∫ π/2

0sin(x)dx durch die Gauÿ-Quadraturformel mit drei Knoten.

Aufgabe 11.4

Es sei {p1, . . . , pm} eine Basis von Pm−1. Für paarweise verschiedene xν ∈ R, ν = 1, . . . ,m sei

A := (pi(xj)) i=1,...,mj=1,...,m

=

p1(x1) p1(x2) . . . p1(xm)p2(x1) p2(x2) . . . p2(xm)

......

...pm(x1) pm(x2) . . . pm(xm)

.

Man zeige: Es gilt detA 6= 0.

Hausübung


Es soll die Funktion f(x) =√x

1 + xnumerisch über das Intervall [0,1] integriert werden.

(i) Substituiere im Integral x = t2. Was gewinnt man hierbei?

(ii) Nun führe man die summierte Trapezregel mit h = 1, 12 ,

14 ,

18 für den neuen Integranden durch.

(iii) Man verbessere das Ergebnis durch Extrapolation aus diesen Werten mit dem Romberg-Schema.

(iv) Man berechne das gesuchte Integral (nach der Substitution aus (i)) näherungsweise mit der Gauÿ-Quadraturformelmit drei Knoten.




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Aufgabe 12.1

Gegeben sei die Funktion ga(t) = 1a2 (cos(at2) + t3) für a > 0.

(i) Berechne eine Näherung für∫ 1

0g1/4(t) dt nach der Simpson-Regel.

(ii) Vergleiche die Trapez-Summenformel und die Simpson-Summenformel zur Berechnung einer Näherung für∫ 1

0ga(t) dt und überlege welches Verfahren in Abhängigkeit von a besser geeignet ist.

(iii) Gebe an, wieviele Funktionsauswertungen nötig sind, um bei der Berechnung einer Näherung für∫ 1

0g1/4(t) dt

mit Hilfe der Simpson-Summenformel einen Fehler < 10−4 zu erzielen.

Aufgabe 12.2

Es soll das Integral∫ 1

0x1/3 dx näherungsweise bestimmt werden.

(i) Dazu benutze man zuerst die Trapez-Summenformel mit Schrittweite h = 14 .

(ii) Nun verwende man ein �graduierte� Trapez-Summenformel, d.h. man nehme als Stützstellen x0 = 0,x1 = 1

8 , x2 = 14 , x3 = 1

2 , x4 = 1.

(iii) Welches Verfahren (beide verwenden dieselbe Anzahl von Stützstellen) liefert die bessere Lösung undworan liegt das?

Aufgabe 12.3 (Aufgabe 9.3)Es sei folgende Tabelle experimentell ermittelter Meÿwerte gegeben:

xi 1.47 1.83 3.02 3.56 5.86 8.75 9.45yi 2.09 1.92 2.19 2.64 3.19 3.13 3.61

Laut Theorie sollen diese Meÿwerte auf einer Geraden liegen. Man �nde die Gerade mit der kleinsten Abweichungvon den Meÿwerten in der diskreten L2-Norm.

Hausübung

Hausaufgabe 12.1 (5 Punkte)Man berechne das Integral

∫ 0

−∞ xe2x dx näherungsweise mit der Gauÿ-Quadraturformel mit drei Knoten undvergleiche das Ergebnis mit dem exakten Wert.

Hausaufgabe 12.2 (3 Punkte)Es sei I(f) =

∑ni=0 αif(xi) eine Quadraturformel für

∫ baf(x)dx mit dem Exaktheitsgrad m ∈ N (d.h. E(p) = 0

für p ∈ Pm). Es gelte a < x0 < . . . < xn < b. Weiter sei Km(t) := 1m!Ex([(x−t)+]m) der zugehörige Peano-Kern.

Man zeigeKm(a) = Km(b) = 0.




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Aufgabe 13.1

Zur Bestimmung des betragsgröÿten Eigenwertes der Matrix

A =

3 2 2 −42 3 2 −11 1 2 −12 2 2 −1

verwende man die Potenzmethode nach von Mises. Als Startvektor wähle man

(i) z(0) = (1, 0, 0, 0)T,

(ii) z(0) = (3, 0, 0, 2)T.Man erkläre die auftretende Erscheinung.

Aufgabe 13.2

Man bestimme Näherungen für den betragskleinsten Eigenwert von

A =

8 −2 −3−2 4 2−3 2 5

.

Aufgabe 13.3

Man bestimme eine Näherung für den mittleren Eigenwert λ2 der Matrix

A =

8 −2 −3−2 4 2−3 2 5

.

Hinweis: Man mache einen Schritt mit der Inversen Iteration nach Wielandt. Man wähle γ = 5, und als Start-vektor nehme man z(0) = (1, 1, 1)T und verwende dann den Mittelwert der Quotienten ej .

Aufgabe 13.4

Gegeben sei

A =

5 −2 2.50.1 0 0

0 2 −3

.

(i) Man gebe mit dem Satz von Gerschgorin eine möglichst genaue Abschätzung für die EWe λ1 > λ2 > λ3

der Matrix A an.

(ii) Man approximiere den betragsgröÿten Eigenwert von A indem man zwei Schritte mit der Potenzmethodenach von Mises durchführt (Startwert z(0) = (1, 0, 0)T) und den Rayleighquotienten verwendet.

Aufgabe 13.5

Mit dem Satz von Gerschgorin gebe man Einschlieÿungen für die Eigenwerte der Matrix

A =

0.9 0 00 0.4 00 0 0.2

+ 10−5

0.1 0.4 −0.2−0.1 0.5 0.1

0.2 0.1 0.3

an. Danach verbessere man die Abschätzung des Eigenwerts λ1 mittels einer Ähnlichkeitstransformation A P−1AP mit P = diag(105, 1, 1).





Aufgabe 14.1

Gegeben sei die Matrix

A(α) :=

1 1

1. . .. . . 1

α 1

∈ Cn×n.

(i) Man berechne die Eigenwerte λ1(α), . . . , λn(α) von A.

(ii) Man zeige, daÿ die Eigenwerte von A(α) stetig, aber i.a. nicht di�erenzierbar von αabhängen.

(iii) Man bestimme maxj |λj(α)− λj(0)| für einen Parameterwert α ∈ C mit |α| = 10−6 undn = 12. Welche qualitative Aussage können Sie machen?

Aufgabe 14.2

Transformiere mit dem Verfahren von Wilkinson die Matrix

A =

4 1 2 11 7 1 02 1 4 −11 0 −1 3

auf obere Hessenberg-Form und bestimme ihr charakteristisches Polynom.

Aufgabe 14.3

Sei 0 6= w ∈ Rn. Die Matrix

Pw := I − 2

‖w‖22

w · wT = I − 2w · wT

wT · w

heiÿt die zu w gehörige Householder-Matrix. Man zeige: Jede Householder-Matrix ist symme-trisch und orthogonal, und es gilt P 2

w = I und detPw = −1.

Aufgabe 14.4

Mit dem Verfahren von Householder �nde man eine zur symmetrischen Matrix

A = A0 =

2 5 10 105 1 1 010 1 3 110 0 1 11

ähnlichen Matrix A1, in deren ersten Spalte unterhalb der Subdiagonalen Nullen stehen.

1. Übung zur Numerischen Mathematik I · Institut für Angewandte Mathematik Universittä Hannover...

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